r2-5 INFERENCIAS ACERCA DE LAS DIFERENCIAS EN LAS MEDIAS, DISEOS DE COMPARACIONES PAREADAS 47

Tabla 2-4 Pruebas para medias de distribuciones normales,varianza desconocida

HiptesisHo:/-l = /-loH:/-l ~ /-loHo:/-l = /-loH:/-l < /-loHo:fl = /-loH:/-l> /-lo

Estadstico de prueba Criterios de rechazo

t - Ji -/-lo t < to - S / .Jii o - a,n-

Ho:/-l = flzH:fl ~ /-lz

Ho:/-l = flzH:/-l < flz

Ho:/-l = /-lzH:/-l > /-lz

t = y -yzo R1S -+-

p Il /2z

V =Il + /2z-2

v = (S; / Ilf + (Si / /2z)ZIl -1 /2z-1

2,5 INFERENCIAS ACERCA DE LAS DIFERENCIAS EN LAS MEDIAS,DISEOS DE COMPARACIONES PAREADAS

2,5.1 El problema de las comparaciones pareadasEn algunos experimentos comparativos simples puede conseguirse un mejoramiento significativo de laprecisin haciendo comparaciones de observaciones pareadas del material experimental. Por ejemplo,considere una mquina para probar la dureza que presiona una barra con una punta afilada sobre unejemplar de prueba de metal con una fuerza conocida. Al medir la profundidad de la depresin producidapor la punta, se determina la dureza del ejemplar de prueba. En esta mquina pueden instalarse dos pun-tas diferentes y aun cuando la precisin (la variabilidad) de las mediciones hechas con las dos puntas pa-rece ser la misma, se sospecha que una de las puntas produce diferentes lecturas de la dureza que la otra.

Sera posible realizar un experimento de la siguiente manera. Podran seleccionarse al azar variosejemplares de prueba del metal (por ejemplo, 20). La mitad de estos ejemplares de prueba podran pro-barse con la punta 1 y la otra mitad con la punta 2. La asignacin exacta de los ejemplares a las puntas sedeterminara de manera aleatoria. Puesto que se trata de un diseo completamente aleatorizado, la dure-za promedio de las dos muestras podra compararse utilizando la prueba t descrita en la seccin 2-4.

Al reflexionar un poco al respecto, se descubrira una seria desventaja del diseo completamentealeatorizado en este problema. Suponga que los ejemplares de prueba del metal se cortaron de barras di-

(2-39)

48 CAPTULO 2 EXPERIMENTOS COMPARATIVOS SIMPLES

ferentes que se fabricaron a temperaturas diferentes o que no fueran exactamente homogneos en cual-quier otra forma que pudiera afectar la dureza. Esta falta de homogeneidad entre los ejemplarescontribuir a la variabilidad de las mediciones de la dureza y tender a inflar el error experimental, ha-ciendo ms difcil detectar una diferencia real entre las puntas.

Para protegerse de esta posibilidad, considere un diseo experimental alternativo. Suponga que cadaejemplar de prueba tiene el tamao suficiente para que puedan hacerse en l dos determinaciones de ladureza. Este diseo alternativo consistira en dividir cada ejemplar de prueba en dos secciones, para des-pus asignar de manera aleatoria una punta a una mitad de cada ejemplar de prueba y la otra punta a laotra mitad. El orden en que se prueban las puntas en un ejemplar de prueba particular se seleccionara alazar. El experimento, cuando se llev a cabo de acuerdo con este diseo con 10 ejemplares de prueba,produjo los datos (codificados) que se muestran en la tabla 2-5.

Un modelo estadstico que describe los datos de este experimento puede expresarse como

{i = 1 2

Yij = /1 +{3j +sij j= 1: 2, oo., 10dondeYij es la observacin de la dureza para la puntai en el ejemplar de pruebaj,/1 es la verdadera durezapromedio de la punta i-sima,{3j es un efecto sobre la dureza debido al ejemplar de pruebaj-simo, y sij esel error experimental aleatorio con media cero y varianza a .Es decir, a; es la varianza de las medicionesde la dureza hechas con la punta 1 ya; es la varianza de las mediciones de la dureza hechas con la punta 2.

Observe que si se calcula la diferencia pareada j-simad j = Y1j - Y2j j =1, 2, oo., 10 (2-40)

el valor esperado de esta diferencia es/1d = E(d j )

=E(Y1j - Y2j )= E(Y1j)- E(Y2j)= /11 +{3 j - (/12 +{3 j )=/11-/12

Es decir, pueden hacerse inferencias acerca de la diferencia en las lecturas de la dureza promedio de lasdos puntas /11 - /12 haciendo inferencias acerca de la media de las diferencias /1d' Observe que el efecto adi-

Tabla 2-5 Datos del experimento dela prueba de la dureza

Ejemplar de prueba Punta 1 Punta 21762333 3 54435886327248 9 9954

10 4 5

2-5 INFERENCIAS ACERCA DE LAS DIFERENCIAS EN LAS MEDIAS, DISEOS DE COMPARACIONES PAREADAS 49

tivo de las f3j de los ejemplares de prueba se cancela cuando las observaciones estn pareadas de esta ma-nera.

Probar H o:/11 = /1z es equivalente a probarH o:/1d = OH1:/1d # O

El estadstico de prueba para esta hiptesis es

donde

es la media muestral de las diferencias y

rt (dj_d)z]l/Z [! d:-!(! dj)Z]l/Z}-1 }=1 n }=1

Sd = n-1 = n-1

(2-41)

(2-43)

d 6 = 3- 2= 1d7 =2-4=-2ds =9-9=0d g =5-4=1

dlO = 4-5=-1

es la desviacin estndar muestral de las diferencias. H o: /1d = Ose rechazara si ItoI > talZ,n-l' Debido aque las observaciones de los niveles del factor estn "pareadas" en cada unidad experimental, a este pro-cedimiento suele llamrsele prueba t pareada.

Por los datos de la tabla 2-5, se encuentrad1 = 7- 6= 1dz = 3- 3= Od 3 =3-5=-2d4 =4-3=1d s = 8- 8= O

Por lo tanto,_ 1 11 1d=- 2: dj =-(-1)=-0.10

n j=l 10

_ [~ d; -~(~ di 1']1IZ [13-.1..(-l)Z ]1IZSd - = 10 = 1.20n-1 10-1

Suponga que se elige a =0.05. Entonces, para tomar una decisin se calculara toYH ose rechazara si ItoI> tO.025, 9 = 2.262.

El valor calculado del estadstico de prueba t pareada es

dt = -----;=o Sd/.Jii

-0.10= 1.20/ .JIO=-0.26

50 CAPTULO 2 EXPERIMENTOS COMPARATIVOS SIMPLES

"C~ 0.3:sjgo

~0.2"C"C

2-6 INFERENCIAS ACERCA DE LAS VARIANZAS DE DISTRIBUCIONES NORMALES 51

Antes de dejar este experimento, es necesario destacar varios puntos. Observe que, aun cuando sehan hecho 2n = 2(10) = 20 observaciones, se cuenta nicamente con n - 1 = 9 grados de libertad para elestadstico t. (Se sabe que conforme se incrementan los grados de libertad para t, la prueba se hace mssensible.) Al hacer la formacin de bloques o pareo, se han "perdido" en. realidad n -1 grados de libertad,pero se espera haber ganado un mejor conocimiento de la situacin al eliminar una fuente adicional devariabilidad (la diferencia entre los ejemplares de prueba). Puede obtenerse unaindicacin de la calidadde la informacin producida por el diseo pareado comparando la desviacin estndar Sd de las diferen-cias con la desviacin estndar combinada Sp que habra resultado si el experimento se hubiera conducidode manera completamente aleatorizada yse hubieran obtenido los datos de la tabla 2-5. Al utilizar los da-tos de la tabla 2-5 como dos muestras independientes, la desviacin estndar combinada que se calculacon la ecuacin 2-25 es Sp = 2.32. Al comparar este valor con Sd = 1.20, se observa que la formacin debloques o pareo ha reducido la estimacin de la variabilidad en cerca de 50%. Esta informacin tambinpuede expresarse en trminos de un intervalo de confianza para,ul -flz. Utilizando los datos pareados, unintervalo de confianza de 95% para,ul - ,uz es

-0.10(2.262)(1.20)/ .JIO-0.1O0.86

Recprocamente, al utilizar el anlisis combinado o independiente, un intervalo de confianza de 95%para,ul - ,uz es

4.80- 4.90(2.101)(2.32)~to+to-0.102.18

El intervalo de confianza basado en el anlisispareado tiene una anchura sensiblemente menor que el in-tervalo de confianza del anlisis independiente. Esto ilustra la propiedad de reduccin del ruido de la for-macin de bloques.

La formacin de bloques no es siempre la mejor estrategia de diseo. Si la variabilidad dentro de losbloques es la misma que la variabilidad entre los bloques, la varianza deYl -Yz ser la misma independien-temente del diseo que se use. De hecho, la formacin de bloques en esta situacin sera una eleccin dediseo pobre porque la formacin de bloques produce la prdida de n - 1 grados de libertad y llevar enrealidad a un intervalo de confianza con una anchura mayor para,ul - ,uz. En el captulo 4 se ofrece una re-visin ms amplia de la formacin de bloques.

2~6 INFERENCIAS ACERCA DE LAS VARIANZASDE DISTRIBUCIONES NORMALES

En muchos experimentos, el inters se encuentra en las posibles diferencias en la respuesta media de dostratamientos. Sin embargo, en algunos experimentos es la comparacin de la variabilidad en los datos loque es importante. En la industria de alimentos y bebidas, por ejemplo, es importante que la variabilidaddel equipo de llenado sea pequea para que todos los empaques estn cerca del peso neto nominal o el

52 CAPTULO 2 EXPERIMENTOS COMPARATNOS SIMPLES

volumen del contenido neto nominal. En los laboratorios qumicos, tal vez quiera compararse la variabili-dad de dos mtodos de anlisis. A continuacin se examinan brevemente las pruebas de hiptesis y los in-tervalos de confianza para las varianzas de distribuciones normales. A diferencia de las pruebas para lasmedias, los procedimientos para las pruebas de varianzas son bastante ms sensibles al supuesto de nor-malidad. En el apndice 2A de Davies [36] hay un buen anlisis del supuesto de normalidad.

Suponga que quiere probarse la hiptesis de que la varianza de una poblacin normal es igual a unaconstante, por ejemplo, o~. Expresado en trminos formales, quiere probarse

H O:02 =o~

H 1 :0 2 ; o~

El estadstico de prueba para la ecuacin 2-44 es

(2-44)

(2-45)

(2-46)

donde SS = 2:7=1 (y - y)2 es la suma de cuadrados corregida de las observaciones muestrales. La distribu-cin de referencia apropiada para X~ es la distribucin ji-cuadrada con 12 - 1grados de libertad. La hipte-sis nula se rechaza si X~ > X~/2,n-l o si X ~ < X~-(a/2),n-1' donde X~/2,n-l y XL(a/2),n-l son los puntos porcentua-les a/2 superior y 1 - (a/2) inferior de la distribucin ji-cuadrada con 12 - 1 grados de libertad,respectivamente. En la tabla 2-7 se presentan las regiones crticas para las hiptesis alternativas de unacola. El intervalo de confianza de 100(1 - a) por ciento para if es

(12-1)S2 < 2 < (12-1)S2? -o _ ?X~/2,1l-1 Xi"-(a/2),1l-1

Considere ahora la prueba de la igualdad de las varianzas de dos poblaciones normales. Si se tomanmuestras aleatorias independientes de tamao 12 1y 122 de las poblaciones 1y 2, respectivamente, el estads-tico de prueba para

es el cociente de las varianzas muestrales

H '02 - 0 2O' 1 - 2H ? ?l:i";

(2-47)

(2-48)

La distribucin de referencia apropiada para Fa es la distribucinF con 121-1 grados de libertad en el nu-merador y 122 -1 grados de libertad en el denominador. La hiptesis nula se rechazara si Fa > Fa/2 ,1l1 -1,n2-1O si Fa < F1-(a/2),Il-1,1l2-1' donde Fa/2 ,n-1,1l2-1 YF1-(a/2),Il-1,n2-1 denotan los puntos porcentuales a/2 superiory 1- (a/2) inferior de la distribucinF con 12 1 -1 Y122 -1 grados de libertad. En la tabla IV del apndiceslo aparecen los puntos porcentuales para la cola superior de F; sin embargo, los puntos de las colas su-perior e inferior se relacionan por

1F: =---l-a,vl'V2 F

a,v2 ,v](2-49)

rI!

2-6 INFERENCIAS ACERCA DE LAS VARIANZAS DE DISTRIBUCIONES NORMALES

Tabla 2-7 Pruebas para las varianzas de distribuciones normalesHiptesis Estadstico de prueba Criterios de rechazo

H o:a2 = a02 ? ?X(j > X~/2,fI- oH :a2 :; a~ X~ < X:-a/2,fI-

53

H o:a2

= a~H:a2< a~H o:a2 = a~H :a2 > a~Ho:a: = a;H :a: :; a;

Ho:a: = a;

H:a: < a;

Ho:a: = a;

H:a: > a;

2 en -1 )S2Xo = a2

o

R = S2o si

s;Ro=~s-I

X~ < X:-a,fI-

X~ > X~'fI-Fa > ~/2'fll-''''- oFa < F;-aI2,'1l-,fI,-

En el captulo 3, seccin 3-4.3, se analizan los procedimientos de prueba para ms de dos varianzas. Se re-visar tambin el uso de la varianza o la desviacin estndar como variable de respuesta en situaciones ex-perimentales ms generales.

EJEMPLO 2~2 .Un ingeniero qumico investiga la variabilidad inherente de dos tipos de equipo de prueba que puedenusarse para monitorear la produccin de un proceso. El ingeniero sospecha que el equipo antiguo, tipo 1,tiene una varianza mayor que la del equipo nuevo. Por lo tanto, quiere probar las hiptesis

H 'a2 = a 2a' 1 2H1:a; >a;

Se toman dos muestras aleatorias de 111 = 12 Y112 = 10 observaciones, y las varianzas muestrales son S12 =14.5 Ysi = 10.8. El estadstico de prueba es

F = S12

= 14.5 = 1.34a si 10.8

En la tabla IV del apndice se encuentra que Fa,os, 11, 9 = 3.10, por lo que no puede rechazarse la hiptesisnula. Es decir, se ha encontrado evidencia estadstica insuficiente para concluir que la varianza del equipoantiguo sea mayor que la varianza del equipo nuevo........................................... .

El intervalo de confianza de 100(1 - a) por ciento para el cociente de las varianzas poblacionalesa; /a; es

(2-50)

, :

54 CAPTULO 2 EXPERIMENTOS COMPARATNOS SIMPLES

Para ilustrar el uso de la ecuacin 2-50, el intervalo de confianza de 95% para el cociente de las varianzaso; /o; del ejemplo 2-2 es, utilizando FO.025, 9,11 = 3.59 YFO.975,9,l1 = 1/FO.025,l1,9 = 1/3.92 = 0.255,

14.5 (0.255):5 o~ :5 14.5 (3.59)10.8 O 2 10.8

0 20.34:5 ---+-:5 4.81

o;

2~7 PROBLEMAS

2-1. Se requiere que la resistencia a la ruptura de una fibra sea de por lo menos 150 psi. La experiencia pasada in-dica que la desviacin estndar de la resistencia a la ruptura es o = 3 psi. Se prueba una muestra aleatoria decuatro ejemplares de prueba, y los resultados son Y = 145, Yz = 153, Y3 = 150 YY4 = 147.a) Enunciar las hiptesis que el lector considere que deberan probarse en este experimento.b) Probar estas hiptesis utilizando a = 0.05. A qu conclusiones se llega?e) Encontrar el valor P para la prueba del inciso b.d) Construir un intervalo de confianza de 95% para la resistencia a la ruptura promedio.

2-2. Supuestamente, la viscosidad de un detergente lquido debe promediar 800 centistokes a 25C. Se colectauna muestra aleatoria de 16 lotes del detergente, y la viscosidad promedio es 812. Suponga que se sabe que ladesviacin estndar de la viscosidad es a = 25 centistokes.a) Enunciar las hiptesis que debern probarse.b) Probar estas hiptesis utilizando a = 0.05. A qu conclusiones se llega?e) Cul es el valor P para la prueba?d) Encontrar un intervalo de confianza de 95% para la media.

2-3. Los dimetros de las flechas de acero producidas en cierto proceso de manufactura debern tener un prome-dio de 0.255 pulgadas. Se sabe que el dimetro tiene una desviacin estndar de a = 0.0001 pulgadas. Unamuestra aleatoria de 10 flechas tiene un dimetro promedio de 0.2545 pulgadas.a) Establecer las hiptesis apropiadas para la media !L.b) Probar estas hiptesis utilizando a = 0.05. A qu conclusiones se llega?e) Encontrar el valor P para esta prueba.d) Construir un intervalo de confianza de 95% para el di,metro promedio de las flechas.

2-4. Una variable aleatoria con una distribucin normal tiene una media desconocida!L yvarianza a2 = 9. Encon-trar el tamao de la muestra que se necesita para construir un intervalo de confianza de 95% para la media,cuya anchura total sea de 1.0.

2-5. La vida de anaquel de una bebida carbonatada es motivo de inters. Se seleccionan 10 botellas al azar y seprueban, obtenindose los siguientes resultados:

Das108 138124 163124 159106 134115 139

a) Quiere demostrarse que la vida media de anaquel excede los 120 das. Establecer las hiptesis apropia-das para investigar esta afirmacin.

b) Probar estas hiptesis utilizando a = 0.01. A qu conclusiones se llega?

2-7 PROBLEMAS 55

e) Encontrar el valor P para la plUeba del inciso b.d) ConstlUir un intervalo de confianza de 99% para la vida media de anaquel.

2-6. Considere los datos de la vida de anaquel del problema 2-5. La vida de anaquel puede describirse o mode-larse adecuadamente con una distribucin normal? Qu efecto tendra la violacin de este supuesto sobreel procedimiento de plUeba usado para resolver el problema 2-5?

2-7. El tiempo para reparar un instlUmento electrnico es una variable aleatoria medida en horas que sigue unadistribucin normal. El tiempo de reparacin de 16 de estos instlUmentos elegidos al azar es el siguiente:

Horas159224222149

280379362260

101179168485

212264250170

a) Quiere saberse si el tiempo de reparacin promedio excede 225 horas. Establecer las hiptesis apropia-das para investigar esta cuestin.

b) Probarlas hiptesis que se formularon en el inciso a. A qu conclusiones se llega? Utilizara = 0.05.e) Encontrar el valor P para la plUeba.d) ConstlUir un intervalo de confianza de 95% para el tiempo de reparacin promedio.

2-8. Considere nuevamente los datos del tiempo de reparacin del problema 2-7. En opinin del lector, el tiem-po de reparacin puede modelarse de manera adecuada con una distribucin normal?

2-9. Se utilizan dos mquinas para llenar botellas de plstico con un volumen neto de 16.0 onzas. Puede supon~se que el proceso de llenado es normal, con desviaciones estndar de al = 0.015 yaz = 0.018. El departamen-to de ingeniera de calidad sospecha que ambas mquinas llenan el mismo volumen neto, sin importar si estevolumen es 16.0 onzas o no. Se realiza un experimento tomando una muestra aleatoria de la produccin decada mquina.

Mquina 116.03 16.0116.04 15.9616.05 15.9816.05 16.0216.02 15.99

Mquina 216.0215.9715.9616.0115.99

16.0316.0416.0216.0116.00

a) Enunciar las hiptesis que debern probarse en este experimento.b) Probar estas hiptesis utilizando a = 0.05. A qu conclusiones se llega?e) Encontrar el valor P para esta plUeba.d) Encontrar un intervalo de confianza de 95 % para la diferencia en el volumen de llenado promedio de las

dos mquinas.2-10. Un fabricante de calculadoras electrnicas puede usar dos tipos de plstico. La resistencia a la ruptura de

este plstico es importante. Se sabe que al =az= 1.0 psi. De muestras aleatorias de nI = 10 Ynz = 12 se obtie-ne YI = 162.5 YYz = 155.0. La compaa no emplear el plstico 1 a menos que su resistencia a la lUptura ex-ceda la del plstico 2 por al menos 10 psi. Con base en la informacin muestral, deber usarse el plstico 1?Para responder esta pregunta se deben establecer y probar las hiptesis apropiadas utilizando a = 0.01.ConstlUir un intervalo de confianza de 99% para la verdadera diferencia media en la resistencia a la lUptura.

56 CAPTULO 2 EXPERIMENTOS COMPARATIVOS SIMPLES

2-11. A continuacin se presenta el tiempo de combustin de dos cohetes qumicos con formulaciones diferentes.Los ingenieros de diseo se interesan tanto en la media como en la varianza del tiempo de combustin.

Tipo 1 Tipo 265 82 64 5681 67 71 6957 59 83 7466 75 59 8282 70 65 79

a) Probar la hiptesis de que las dos varianzas son iguales. Utilizar a = 0.05.b) Utilizando los resultados del inciso a, probar la hiptesis de que los tiempos de combustin promedio

son iguales. Utilizar a = 0.05. Cul es el valor P para esta prueba?e) Comentar el papel del supuesto de normalidad en este problema. Verificar el supuesto de normalidad

para ambos tipos de cohetes.2-12. En un artculo de Solid State Technology, "Diseo ortogonal para optimizacin de procesos y su aplicacin en

el grabado qumico con plasma" de G.Z. Yin y D.W. Jillie, se describe un experimento para determinar elefecto de la velocidad del flujo de CZF6 sobre la uniformidad del grabado en una oblea de silicio usada en lafabricacin de circuitos integrados. Los datos de la velocidad del flujo son los siguientes:

Flujo de Observacin de la uniformidadCZF6 1 2 3 4 5 6

125 2.7 4.6 2.6 3.0 3.2 3.8200 4.6 3.4 2.9 3.5 4.1 5.1

a) La velocidad del flujo de CZF6 afecta la uniformidad del grabado promedio? Utilizar a = 0.05.b) Cul es el valor P para la prueba del inciso a?e) La velocidad del flujo de CZF6 afecta la variabilidad de una oblea a otra en la uniformidad del grabado?

Utilizar a = 0.05.d) Trazar diagramas de caja que ayuden a interpretar los datos de este experimento.

2-13. Se instala un nuevo dispositivo de filtrado en una unidad qumica. Antes de instalarlo, de una muestra alea-toria se obtuvo la siguiente informacin sobre el porcentaje de impurezas:)l1 = 12.5, Slz = 101.17 YnI = 8.Despus de instalarlo, de una muestra aleatoria se obtuvo )lz = 10.2, si = 94.73, nz = 9.a) Puede concluirse que las dos varianzas son iguales? Utilizar a = 0.05.b) El dispositivo de filtrado ha reducido de manera significativa el porcentaje de impurezas? Utilizar a =

0.05.2-14. Se hacen 20 observaciones de la uniformidad del grabado en obleas de silicio durante un experimento de eva-

luacin de un grabador de plasma. Los datos son los siguientes:

5.346.005.975.25

6.657.557.356.35

4.765.545.444.61

5.985.624.396.00

7.256.214.985.32

a) Construir una estimacin con un intervalo de confianza de 95% de aZb) Probar la hiptesis de que aZ = 1.0. Utilizar a = 0.05. A qu conclusiones se llega?