diseño de vigas y armaduras
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Diseño de Vigas y ArmadurasTRANSCRIPT
5. PROBLEMAS DE DISEÑO DE VIGAS Y ARMADURAS
5.1. DISEÑO DE VIGAS 1
Para el diseño de vigas por el método ASD se usan las fórmulas:
Donde:
M = momento flector, I = momento de Inercia, c = la fibra mas alejada, S = módulo de
sección y = esfuerzo admisible. En la mayoría de los casos el esfuerzo admisible:
(Ecuación F1-1 del ASD)
No se requiere reducción por agujeros de tornillos en cualquier patín es necesario si:
(Ecuación B10-1 del ASD)
Donde: y son las áreas neta y total del patín.
Para el diseño de vigas por el método LRDF se usan las fórmulas:
(Ecuación F1-1 del LRDF)
con
Donde: y son momentos nominal y resistente plástico respectivamente, Z
módulo plástico y esfuerzo de fluencia.
Para miembros híbridos, el momento de fluencia
En un análisis elástico, para que
Para el dimensionado se utiliza la fórmula:
PROBLEMAS
5.1. Seleccione una sección W para la cargas y claros mostrados de la viga de la figura
P 5.1. Ignore el peso propio de la viga en los cálculos. El esfuerzo de fluencia es σ y =
360 MPa. (Hibbeler, 1997, p. 195)
Figura P 5.1
Solución:
Primero determinamos la sección donde el momento flector es máximo:
1 (Mc Cormac, 2002)
Determinación del módulo de sección:
En la tabla de W, columna Sx del AISC en SI buscamos próximo al calculado y
seleccionamos W310x74 con
5.2. Para el marco acero que se muestra en la figura P 5.2, seleccione una sección W
que pueda soportar la carga indicada. Ignore el peso del material en los cálculos, σ y =
360 MPa. (Laible, 1995. p. 456)
Figura P 5.2
Solución:
Primero determinamos la sección donde el momento flector es máximo:
Trazando el diagrama de momento flector se ve que la sección crítica está en el punto de
aplicación de la carga externa.
Determinación del módulo de sección:
En la tabla de W, columna Sx del AISC en SI buscamos próximo al calculado y
seleccionamos W200x22.5 con
5.3. Usando la sección W18x106 (Z = 230) de acero A572 grado 50 (σy = 50 ksi) y la
teoría plástica determine el valor de Pn de la viga indicada en la figura P 5.3. (Mc
Cormac, 2002, p 238)
Figura P 5.3
Solución
Las articulación plástica se produce debajo de la carga puntual Pn.
Analizando la viga con articulaciones plásticas, mediante la teoría del ángulo pequeño
donde el seno del ángulo pequeño es igual a la tangente del mismo ángulo y también a
éste expresado en radianes. Girando un ángulo θ la articulación derecha, genera un
desplazamiento 24θ hacia abajo del punto de aplicación de la carga y la articulación
izquierda girará 2θ.
Aplicando el método del trabajo virtual, donde el trabajo de la carga externa durante el
desplazamiento 24θ es igual al trabajo interno absorbido por la articulación plástica, es
decir.
Por otro lado:
Luego igualando los Mn obtenemos el valor de Pn:
Comparación con el método elástico (Sx = 204 pulg3):
La sección de máxima carga está debajo de la carga puntual donde el momento máximo
es:
Por otro lado:
Se observa la ventaja del método plástico en el diseño de estructuras porque permite
mayor carga de trabajo para el mismo perfil.
5.4. Usando la sección W27x84 (Z = 244) de acero A572 grado 50 (σy = 50 ksi) y la
teoría plástica determine el valor de Pn de la figura P 5.4. (Mc Cormac, 2002, p 238)
Figura P 5.4
Solución
La articulación plástica se produce debajo de las cargas puntuales Pn.
Analizando la viga con articulaciones plásticas, mediante la teoría del ángulo pequeño
donde el seno del ángulo pequeño es igual a la tangente del mismo ángulo y también a
éste expresado en radianes. Aplicando el método del trabajo virtual, donde el trabajo de
las cargas externas durante el desplazamiento de sus puntos de aplicación es igual al
trabajo interno absorbido por las articulaciones, es decir.
- Considerando que la articulación plástica se produce primero en el centro de la viga
generando un desplazamiento 20θ del punto de aplicación de la carga Pn y rotación θ de
los apoyos reales. Aplicando el método del trabajo virtual, donde el trabajo de las cargas
externas es igual al trabajo interno absorbido por la articulación plástica, es decir.
- Considerando que la articulación plástica se produce debajo de la máxima carga, éste
sufrirá un desplazamiento 30θ y el de la menor carga 20θ.
la articulación derecha gira un ángulo θ y la izquierda gira θ, con lo cual la articulación
plástica gira 4θ.
Aplicando el método del trabajo virtual, donde el trabajo de las cargas externas es igual
al trabajo interno absorbido por la articulación plástica, es decir.
- Considerando que la articulación plástica se produce debajo de las 2 cargas, y éstas
sufren un desplazamiento 20θ; la articulación derecha gira un ángulo θ y la izquierda
gira 2θ, con lo cual la articulación plástica gira 3θ. Aplicando el método del trabajo
virtual se tiene:
El más desfavorable es el segundo caso donde , luego el cálculo se
realiza para esa condición:
Comparación con el método elástico (Sx = 213 pulg3):
La sección crítica está debajo de la máxima carga puntual donde el momento máximo
es:
Por otro lado:
Se observa nuevamente la ventaja del método plástico en el diseño de vigas y
estructuras en general porque permite mayor carga de trabajo para el mismo perfil.
5.5. Usando la sección W21x57 (Z = 129) de acero A572 grado 50 (σy = 50 ksi) y la
teoría plástica determine el valor de Pn de la viga mostrada en la figura P 5.5. (Mc
Cormac, 2002, p 238)
Figura P 5.5
Solución
Las articulaciones plásticas se producen en los empotramientos y debajo de la carga
puntual Pn.
Analizando la viga con articulaciones plásticas, mediante la teoría del ángulo pequeño
donde el seno del ángulo pequeño es igual a la tangente del mismo ángulo y también a
éste expresado en radianes. Girando un ángulo θ la articulación derecha, genera un
desplazamiento 24θ hacia abajo del punto de aplicación de la carga y la articulación
izquierda girará 2θ, con lo cual la articulación intermedia gira 3θ.
Aplicando el método del trabajo virtual, donde el trabajo de la carga externa durante el
desplazamiento 24θ es igual al trabajo interno absorbido por las articulaciones, es decir.
Por otro lado:
Luego igualando los Mn obtenemos el valor de Pn:
5.6. Usando la sección W33x118 (Z = 415) de acero A572 grado 50 (σy = 50 ksi) y la
teoría plástica determine el valor de Pn. de la viga mostrada en la figura P 5.6. (Mc
Cormac, 2002, p 238)
Figura P 5.6
Solución
Las articulaciones plásticas se producen en los empotramientos y debajo de la carga
puntual Pn.
Analizando la viga con articulaciones plásticas, mediante la teoría del ángulo pequeño
donde el seno del ángulo pequeño es igual a la tangente del mismo ángulo y también a
éste expresado en radianes. Aplicando el método del trabajo virtual, donde el trabajo de
las cargas externas durante el desplazamiento de sus puntos de aplicación es igual al
trabajo interno absorbido por las articulaciones, es decir.
Considerando que la articulación plástica se presenta primero en dos puntos de la viga:
empotramiento y punto de aplicación de una carga puntual y luego en dos puntos
intermedios:
- Caso del empotramiento y punto de mayor carga:
- Caso del empotramiento y punto de carga intermedia:
- Caso del empotramiento y punto de carga menor:
- Caso de puntos de carga mayor y menor.
- Caso de puntos de carga menor e intermedio.
El caso de menor carga Pn surge cuando se plastifican primero el empotramiento y el
punto de mayor carga (3Pn) Girando un ángulo θ la articulación izquierda, genera un
desplazamiento 30θ hacia abajo del punto de aplicación de la carga máxima (3Pn) y la
articulación derecha gira 3θ, con lo cual los puntos intermedios de aplicación de cargas
intermedias tienen desplazamientos 12θ y 20θ respectivamente
Por otro lado:
Luego igualando los Mn obtenemos el valor de Pn:
5.7. Usando la sección W21x101 (Z = 253) de acero A572 grado 50 (σy = 50 ksi) y la
teoría plástica determine el valor de la carga distribuida wn., mostrada en la figura P 5.7.
. (Mc Cormac, 2002, p 238)
Figura P 5.7
Solución
Se tiene el caso de una viga continua de 3 tramos con carga uniformemente distribuida.
Las articulaciones plásticas se producen en los empotramientos y en los puntos de
máximo momento flector. Aplicando el método del trabajo virtual, donde el trabajo de
las cargas externas durante el desplazamiento de sus puntos de aplicación es igual al
trabajo interno absorbido por las articulaciones en el tramo analizado, es decir.
- Analizando el tramo derecho con bordes empotrado – apoyado , primero
determinamos el punto x donde el momento es máximo
Por otro lado:
- El tramo intermedio e izquierdo son iguales en longitud y condición de borde:
Luego la carga a considerar es
5.2. DISEÑO DE ARMADURAS
Para armaduras en tensión, para el estado límite de fluencia en la sección bruta
con (Ecuación D1-1 del LRDF)
Por fractura en la sección neta donde están los agujeros para remaches o tornillos.
con , (Ecuación D1-2 del LRDF)
Donde: = esfuerzo de fluencia, = esfuerzo último, = área bruta, = área neta
efectiva.
Para barras en compresión se utilizan las fórmulas:
Con el método ASD:
y
para (columna larga)
para (columna corta)
De donde:
Con el método LRDF, la resistencia de diseño del elemento se se determina con:
(Ecuación E2-4 del LRDF)
para (Ecuación E2-2 del LRDF)
para (Ecuación E2-3 del LRDF)
con = 0.85 (Ecuación E2-1 del LRDF)
PROBLEMAS:
5.8. Para la armadura mostrada en la figura P 5.8, seleccione un tubo estándar de acero
que pueda soportar la barra más crítica sometida a carga de compresión. σy = 250 MPa,
E = 200 GPa. (Nelson, 2006, p 292)
Figura P 5.8
Solución:
Cálculo de las fuerzas internas en las barras de la armadura:
Equilibrio en el nudo C:
Equilibrio en el nudo D:
La barra crítica es la que trabaja a compresión y la de mayor carga es la barra BC con
134.2 kN y longitud m., luego el dimensionado será para esa barra. De la tabla de
tubos seleccionamos el tubo de Φ = 10” = 273 mmm , A = 7680 mm2 y r = 92.10 mm
La columna es corta, se aplica la fórmula de la columna corta.
Como el esfuerzo de trabajo es mucho menor, seleccionamos otro tubo de Φ = 8” = 219
mm, A = 5420 mm2 y r = 73.90 mm.
La columna es larga, la fórmula a aplicar es de Euler:
Debido a la diferencia de esfuerzos, seleccionamos otro tubo de menor diámetro Φ = 6”
= 219 mm, A = 3600 mm2 y r = 56.50 mm.
La columna es larga, la fórmula a aplicar es de Euler:
Luego, el tubo seleccionado es de 8”.
5.9. Una armadura simple articulada está apoyada y sometida a cargas, como se muestra
en la figura P 5.9. Todos los miembros de la armadura son secciones WT102x43.
hechas de acero estructural con un módulo de elasticidad de 200 GPa y una resistencia a
la fluencia de 250 MPa. Determine:
a) el factor de seguridad respecto a la falla por fluencia.
b) el factor de seguridad respecto a la falla por pandeo.(Riley, 2001, p 563)
Figura P 5.9
Solución:
Cálculo de las fuerzas internas en las barras de la armadura:
Equilibrio en el nudo A:
Equilibrio en el nudo D:
Las barras críticas son las que soportan mayores cargas: DE a tensión y CD a
compresión luego el factor de seguridad se determinará para esas barras. De la tabla de
perfiles T seleccionamos para WT 102 x 43 : A = 5515 mm2 y r = 26.2 mm.
En tensión:
En compresión:
La columna es larga, se aplica la fórmula de la columna larga.
Se observa que la condición crítica se presenta en las barras sometidas al pandeo.
5.10 Un miembro a compresión AB de la armadura mostrada en la figura P 5.10 es una
sección de patín ancho de acero estructural W254x67 con el eje x-x situado en el plano
de la armadura. El miembro es continuo de A a B. considérese que todas las
conexiones son el equivalente de extremos con articulaciones. Si se aplica el reglamento
1 (AISC), determine: a) la carga de seguridad máxima para el miembro AB, b) la carga
de seguridad máxima para el miembro AB si se retira el miembro de arriostramiento
CD. .(Riley, 2001, p 563)
Figura P 5.10.
Solución:
El acero estructural tiene: E = 200 GPa, σy = 250 MPa. De la tabla de perfiles W
seleccionamos para W254x67: A = 8580 mm2 y r = 51.1 mm.
a) La longitud efectiva es 6m.
La columna es corta, se aplica la fórmula de la columna corta.
b) La longitud efectiva es 12m
La columna es larga, se aplica la fórmula de la columna larga
REFERENCIALES
1) AMERICAN INSTITUTE OF STEEL CONSTRUCTION (AISC). Steel Construction
Manual. Chicago: 13th Edition, 2005.
2) HIBBELER R.C. Análisis Estructural. México. Prentice Hall. 3ra edición. 1997
3) KASSIMALI, Aslam. Análisis estructural. México: Ed. Thomson – Learning. 2da Edición.
2001
4) LAIBLE, Jeffrey P. Análisis Estructural. Bogotá: Mc Graw Hill. 1ra edición. 1995.
5) MC CORMAC, Jack C Diseño de estructuras metálicas. Método ASD, México:
Alfaomega Grupo Editor. 4ta Edición. 1999.
6) MC CORMAC, Jack C. Diseño de estructuras metálicas. Método LRDF, México:
Alfaomega Grupo Editor. 2da Edición, 2002.
7) MC CORMAC, Jack C., NELSON James K. Jr. Structural Analysis a Classical and
Matrix Approach. New York: John Wiley & Sons, Inc., 2nd edition. 1996.
8) NELSON James K. Jr., MC CORMAC, Jack C. Análisis de estructuras Métodos
clásico y matricial. México. Ed. Alfa omega. 3ra Edición. 2006.
9) POPOV EGOR P. Mecánica de Sólidos. México: Pearson Educación. 2da
Edición.1999.
10) RILEY William E., STURGES LeRoy D. & MORRIS Don H. Mecánica de
Materiales. . México: Limusa Wiley. 1ra Edición. 2001..