diseÑo de pendulo invertido.pdf

7/25/2019 DISEO DE PENDULO INVERTIDO.pdf

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Tecnura

ISSN: 0123-921X

[email protected]

Universidad Distrital Francisco Jos de Caldas

Colombia

MARTNEZ SANTA, FERNANDO; GUERRERO CIFUENTES, CINDY ESTEFANY; PREZ RAMREZ,

JOS DAVID

Diseo de un sistema pndulo invertido, sobre plataforma LEGO Mindstorms NXT, controladomediante MATLAB

Tecnura, vol. 16, octubre, 2012, pp. 76-85

Universidad Distrital Francisco Jos de Caldas

Bogot, Colombia

Disponible en: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=257025147007

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Tecnura | Vol. 16 | Edicin Especial | pp 76 - 85 | Octubre 201276

FERNANDOMARTNEZSANTAIngeniero en Control Electrnico e Instrumentacin, Magister en Ingeniera Electrnica yde computadores. Docente de la Universidad Distrital Francisco Jos de Caldas, Bogot,Colombia. Contacto:[email protected]

CINDYESTEFANYGUERREROCIFUENTESIngeniera Elctrica. Ingeniera de diseo elctrico de Schneider Electric S.A. Bogot,Colombia. Contacto: [email protected]

JOSDAVIDPREZRAMREZIngeniero Elctrico. Inspector de calidad de mantenimiento a redes de energa, enJMSedinko. Bogot, Colombia. Contacto:[email protected]

Fecha de recepcin: 24 Agosto de 2012 Clasificacin del artculo: Investigacin

Fecha de aceptacin: 1 de Octubre de 2012 Grupo de Investigacin: Control Electrnico

Palabras clave: -dulo invertido

Key words:

Design of an inverted pendulum system on LEGO MINDSTORMS NXT

platform, controlled by MATLAB

Diseo de un sistema pndulo invertido, sobreplataforma LEGO Mindstorms NXT, controladomediante MATLAB

RESUMEN

Este artculo muestra el diseo de un sistema pn-

dulo invertido, sobre la plataforma LEGO MINDS-

TORMS NXT, as como el diseo y la implementa-

cin del controlador correspondiente. Como punto

de partida se realiza la medicin de parmetros f-

sicos necesarios para el modelamiento del sistema

en espacio de estados. Adicionalmente, el modelo

empleando Matlab, donde la adquisicin de datosde los sensores y el servomotor se realizan con el

toolbox RWTH - Mindstorms NXT. Luego se dise-

a un controlador usando el mtodo de ubicacin

de polos, para ser posteriormente implementado en

Simulink, entorno desde el cual se ejecuta Embe-

dded Coder Robot NXT toolbox, encargado de la

conversin, compilacin y transferencia al bloque

NXT del controlador. Como resultado se tiene el

diseo de una planta fsica con un kit armable y el

diseo e implementacin de un controlador viable

para dicha planta.

ABSTRACT

This paper shows the inverted pendulum systemdesign using the LEGO MINDSTORMS NXT pla-

tform, as well as the design and implementation of

the corresponding controller. As a starting point,

the needed physical parameters measurement for

modeling the system on state space is made. In ad-

-


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diseo de un sistema pndulo invertido, sobre plataforma lego mindstorms nxt, controlado mediante matlab

FERNANDOMARTNEZSANTA| CINDYESTEFANYGUERREROCIFUENTES| JOSDAVIDPREZRAMREZ77

investigacin

1. INTRODUCCIN

El pndulo invertido es uno de los sistemas inesta-

bles ms usado en la teora del control. En la edu-

cacin y en la industria tiene diversidad de apli-caciones y formas de estudio [1]. Las implemen-

tipo de controlador planteado para su desempeo.

Teniendo en cuenta que, segn sea el diseo me-

cnico, puede ser vulnerable a agentes como fric-

cin y banda muerta, lo cual lo hace un modelo no

basan en la construccin de prototipos, sino tam-

correspondientes anlisis [3]. La mayora de tra-

bajos realizados con anterioridad utilizan diversas

piezas mecnicas tomadas de sistemas tales comoimpresoras o piezas creadas a la medida.

La principal caracterstica de este trabajo es la uti-

lizacin del kit de robtica LEGO MINDSTOR-

MS NXT como base para el diseo y construc-

cin de la planta fsica, creando una nueva estruc-

tura para el sistema carro-pndulo. Adems, hallar

el modelo matemtico del sistema por medio de

algoritmos genticos, ampliando de esta manera

sistemas dinmicos, mediante algoritmos de inte-

El kit educativo utilizado es de referencia 9797,

el bloque inteligente NXT [4]. Adicional a esto,

cuenta con dos procesadores, el primero es un mi-

-

Adems, el bloque cuenta con enlace bluetooth, un

-

da, para los sensores, y 3 puertos de salida para

los servomotores [6]. Adems, ste es compatible

con lenguajes de programacin tales como: JAVA,

-

mulink. Estos ltimos programas utilizados para el

desarrollo de este trabajo dado su facilidad de uso

y anlisis de resultados.

La construccin de la planta se realiza con un total

-

tor y el bloque NXT. El sistema pndulo invertido

sobre plataforma NXT, se compone de diferentes

etapas. La principal es el ensamble donde se tienen

en cuenta los parmetros fsicos y mecnicos para

el diseo. De igual manera se emplean tcnicas de

obtener el modelo matemtico de la planta. Luegose realiza la simulacin del controlador, as como

la transferencia de este al bloque NXT. Con el sis-

tema en funcionamiento se ejecuta el anlisis de

resultados y de esta manera se concluye acerca del

comportamiento de la planta.

gorithms using Matlab, when the data acquisition

from sensors and servo-motor is done through the

RWTH - Mindstorms NXT Toolbox. The next step

is the controller design, using the pole placement

method, to be subsequently implemented in Simu-

link, from which the Embedded Coder Robot NXT

is executed; this toolbox is responsible of the con-

version, compilation and transfer of the controller

to the NXT block. The result is a physical plant

design using a buildable kit, and the design and im-

plementation of a feasible controller for this plant.

the task of the rescue team. This paper presents the

position and to correct errors in the location of a

robot.

* * *


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investigacin

2. METODOLOGA

2.1 Ensamble de la planta

En esta seccin se hace referencia al ensamble so-

bre la plataforma LEGO, en el cual se tienen en

cuenta los parmetros que constituyen un sistema

pndulo invertido. Como primer paso se realizan

pruebas para encontrar la ubicacin adecuada del

servomotor y las ruedas del carro, adems de pro-

porcionar equilibrio en el peso del mismo carro y

en el pndulo. Como criterio principal de diseo,

el sistema pndulo invertido debe permitir la ad-

quisicin de cuatro seales como son: posicin y

velocidad del carro, as como posicin y velocidaddel pndulo. Inicialmente se instala en el extremo

superior del pndulo, un giroscopio HiTechnic

NXT, empleado como sensor de velocidad angular,

-

tica se puede usar este sensor para la obtencin de

posicin del pndulo, sin embargo es una medicin

indirecta, calculada por medio de una integral dis-

creta. Al desconocer la constante de adicin para

el resultado, este mtodo genera un error el cual se

vuelve acumulativo y hace que la medicin no sea

HiTechnic NXT, este mide rotacin de un eje de

ensamble de la planta el sensor se ubica en la base

del pndulo midiendo as la posicin de este en una

-

jar slo este sensor de ngulo y obtener su deriva-

da, lo cual representa tambin la velocidad angular

comparacin del valor medido por el giroscopio y

el valor resultante de derivar la posicin angular

.

De acuerdo a la comparacin con la seal obtenidadel giroscopio, la medicin indirecta de velocidad

angular tiene un error promedio del 9,6% en su am-

-

miento es muy similar a la obtenida con el girosco-

medicin indirecta como la velocidad angular del

sistema, dado que el cambio entre el uso de esta o

-

cin del sistema.

el centro del chasis del carro, permitindole a este

igual fuerza para el desplazamiento hacia adelante

y hacia atrs en las dos ruedas laterales y, de esta

manera, las ruedas de los extremos continan con

el movimiento producido por el motor. Este ser-

vomotor tiene internamente un encoder, sensor de

Figura 1. Medicin de velocidad angular. Ante un impulsocomo valor de consigna, se realiza la compara-

cin del valor medido por el giroscopio y el valor

calculado mediante la derivada de la posicin,

medida por el sensor de ngulo.

Fuente: Elaboracin propia.

Figura 2. Modelo ensamblado. Sistema pndulo invertido,sobre la plataforma LEGO MINDSTORMS NXT,

digitalizado en LEGO digital designer


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investigacin

posicin, con resolucin de un grado y de 170 rpm

para la velocidad de rotacin del eje [7]. Aprove-

chando la estructura del servo motor se pueden

adquirir las dos mediciones faltantes, sin embargo,

una medicin se hace indirecta. La posicin del ca-

rro, es proporcionada directamente del servo-

motor, en cambio la velocidad del carro , se ob-

tiene derivando su posicin. Al conseguir el diseo

enven informacin de la ubicacin del carro y el

pndulo al bloque NXT, y ste consecuentemente

por comunicacin USB enva los datos a Matlab.

-

blado para el sistema pndulo invertido.

2.2 Modelado del sistema

Un sistema pndulo invertido se considera como

-

portamiento y de qu manera lo hacen. Cada una

-

observan las variables fsicas que intervienen en el

sistema pndulo invertido de este artculo. En el

modelamiento matemtico se desarrolla el diagra-

ma de cuerpo libre e implementacin de las leyes

de Newton para obtener el modelo como funcin

nmero de entradas, salidas y estados. Estas varia-

bles deben ser expresadas de forma vectorial, don-

de un sistema de orden n, es separado en n ecua-

ciones de estado, por lo que siempre va a ser un

sistema de orden uno [9]. El modelo en espacio de

estados de este artculo, cuenta con cuatro salidas

-

espacio de estados puede representarse por medio

de la ecuacin de estado en el dominio del tiempo,

Donde

=Vector de estados

= Kx, preserva la linealidad y da origen al sis-

tema en lazo cerrado.

es la sali-

da del sistema.

y t C x du t

importa el sistema que se modele, ni la compleji-

dad que este pueda tener, puesto que por estar en

espacio de estados el sistema va a ser de orden uno.

A continuacin se muestra el modelo calculado en

espacio de estados.

Matriz de estados,A

dx t

Ax t Bu tdt

0 1 0 0

0 0 0 1

Figura 3. Diagrama del pndulo invertido. Contiene cadauno de los parmetros del sistema; a partir de

este se realiza el anlisis de fuerzas para obte-

ner el sistema de ecuaciones de la dinmica de

la planta y realizar el modelamiento en espacio

de estados.Fuente: Elaboracin propia


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investigacin

decir, que dicha funcin simula el comportamiento

de un sistema dinmico con parmetros aleatorios

entregados por el algoritmo gentico, y lo compa-

ra con el comportamiento real del sistema, donde

entre ms similitud sea encontrada, menor ser el

minimizar esta funcin, se escoger un sistema lo

-

En el modelo calculado se presentaron 6 variables,

estas se encuentran en las matrices y, del modelo

en espacio de estados, y corresponden a la posicin

de los valores no nulos del sistema modelado, esto

-

delo por espacio de estados original.

Matriz de estados,AA

Vector de entrada,BB

de los errores medios cuadrticos entre las cuatro

salidas de los sistemas reales y los obtenidos por el

estimacin del modelo se encuentran en la tabla 1

.

Tabla 1. Parmetros para estimacin del modelo por AG.

Poblacin

Tipo de poblacin Doble vector

Tamao de poblacin

Rango inicial [0;1]

Mutacin

Funcin de mutacin Gaussiana

Escala Criterios de parada

Generaciones de estancamiento 100Fuente: Elaboracin propia.

-

caso representa el error entre la seal medida y la

seal estimada por medio de algoritmos genticos,

estados, este se transforma a funcin de transferen-

0 1 0 0

0 0 0 1

0 3 4 0

v v

v v

0

0

6

v

v

4

e e e ef

sH s

s s s

0 0.1 0.3 0.4 0.6 0.7

-100

0

100

Tiempo [s]

Consigna

Valor real

Valor estimado

Figura 4. Seal de salida del sensor de ngulo. Se buscaque el valor estimado, tenga el mismo comporta-

miento al valor real del sensor. Esto se realiza por

medio de la herramienta de algoritmos genticos

de Matlab, con la cual se logr una respuesta de

la funcin de fitnessde 6,05 de error, para este

caso.



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investigacin

2.4 Controlador

En esta seccin se presenta el diseo del controla-

dor, para la sintonizacin de ste, se usasisotoolde

Matlab, en el cual se observa la ubicacin de los

polos del sistema, adems de su respuesta. Esta he-

rramienta permite la adicin de polos y ceros, tanto

sistema, consecuentemente es calculado el contro-

lador. En la sintonizacin, el primero de los mejo-

res resultados es un controlador con dos ceros. Sin

embargo, a pesar de ser un sistema con un tiempo

-

dor, la seal de control se vuelve inestable. El se-

gundo controlador sintonizado, presenta un polo ydos ceros, con un tiempo de estabilizacin de 1 [s]

controlador rpido, pero de igual manera al discre-

-

trolador seleccionado, cuenta con dos polos y dos

El controlador cuenta con un tiempo de estabili-

considera apropiado para el sistema pndulo inver-

tido. En el proceso de diseo del controlador es im-

portante realizar la simulacin previa del sistema

-

terfaz de diseo y la recepcin de datos del sensor

y el servomotor.

El controlador se discretiza, ya que ECRobot, tra-

baja en tiempo discreto. El mtodo de discretiza-

cin implementado en Matlab es el mtodo tustin

o trapezoidal, el cual aproxima numricamente las

integrales, es decir, hace la sumatoria de reas bajo

Los datos adquiridos del sensor de ngulo son en-

-

en la simulacin esta clase de conversiones: la detipos de dato. En el diagrama de bloques en Simu-

link se adiciona una saturacin antes del bloque de

Este ltimo punto es crtico debido a la seal de

control. Cualquier prdida de datos puede ocasio-

nar fallas al controlar el sistema.

Otro aspecto importante a tener en cuenta es la

banda muerta del sistema, este fenmeno se pre-

-

carro. Dicha inercia se debe a la masa del carro ya la relacin de trasformacin existente por los en-

y 13% del valor de la potencia del motor, la cual

no es tenida en cuenta en el modelamiento ni en la

Al determinar el controlador adecuado para la

planta, basado en la respuesta del sistema, se pro-

cede a realizar el diagrama de bloques del contro-

lador en el entorno de ECRobot, donde el diagrama

realizado en Simulink, es convertido a un archivo

de extensin *.rxe por medio del compilador GNUARM GCC, archivo compatible con el bloque

el bloque para poder ejecutar el sistema operativo

NXTOsek, necesario para la realizacin del diagra-

ma de bloques de Simulink.

s sH s

s s

Figura 5. Diagrama de bloques del controlador. Se realizaen Simulink para la simulacin del controlador

sintonizado.Fuente: Elaboracin propia


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investigacin

3. RESULTADOS

Como principal resultado se obtiene un sistema

altura, 36 centmetros de largo, 16 centmetros de

ancho y un pndulo de 34 centmetros.

El comportamiento del sistema mejora cuando el

tiempo de muestreo es menor, se realiz la iden-

procesador de 3 G.Hz y memoria RAM de 3 GB,

con el cual se obtiene un tiempo de muestreo de

-

ms muestras del comportamiento y dando al siste-

ma y al controlador mejores resultados.

Inicialmente al obtener el modelo calculado en es-

pacio de estados se disea un controlador por reali-

mentacin de estados o control LQR, donde se ha-

lla el vector, el cual contiene las cuatro constantes

de realimentacin, para cada una de las salidas del

En la simulacin el sistema se estabiliza. Este com-

embargo, al transferirse al bloque NXT, la planta

se hace inestable y no hay respuesta al controlador.

Esto puede ocurrir por diferentes aspectos que in-

de los parmetros fsicos del sistema, poca exacti-

tud del modelo utilizado, el mtodo de discretiza-

cin, la medicin indirecta de seal de velocidad y

obtenido puede no ser el apropiado, dado que el

sistema con el que fue calculado puede diferir sig-

]K

Figura 6. Respuesta del sistema, ante un controlador porrealimentacin de estados en tiempo contino.


Figura 8. Respuesta de la posicin angular ante un impulso,luego de la discretizacin del controlador y simu-

lado en Simulink.Fuente: Elaboracin propia.

Figura 7. Respuesta de la posicin angular, controlada porun sistema de orden dos, hallado por medio de

ubicacin de polos, ante un impulso en tiempo

contino.Fuente: Elaboracin propia


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investigacin

El controlador diseado para el manejo de la posi-

cin angular, sintonizado por ubicacin de polos,

cuenta con la respuesta en tiempo continuo ante

un impulso, ste comportamiento se presenta en la

para analizar su comportamiento antes de transfe-

rirlo al bloque NXT. La respuesta del sistema ante

aplica un impulso en el entorno discretizado, ade-

ms de estar simulados todos los componentes del

sistema, como los tipos de datos y la saturacin.

Al discretizar el controlador sintonizado se cambia

sus seales de control se hacen grandes, de valores

- -

-

dos a los lmites del saturador. Entonces, los va-

lores de las seales de control quedan recortados,

por lo tanto el controlador no actuaria de manera

adecuada sobre el sistema.

4. CONCLUSIONES

El principal error a la hora de implementar el con-trolador sobre el bloque NXT se encuentra en la

saturacin que se debe anteponer al actuadorya

son aproximadamente el doble. Razn por la cual

el controlador no logra emitir seales de control

al actuador, obteniendo un sistema con una seal

-

delo adquirido cambiar por medio del controlador

dichos valores mximos.

El cdigo generado por GNU GCC se hace extenso

al pasar del entorno Simulink al lenguaje de pro-gramacin del bloque. Esto tambin hace que tome

mayor tiempo para su ejecucin, debido bsica-

mente a la doble compilacin generada, de Simu-

la implementacin del controlador directamente en

lenguaje C podra mejorar el tiempo de ejecucin y

as el comportamiento del sistema.

Si el sistema fuera establecera posible mejorar la

-

-

cin de los datos para un sistema ms factible.

Se comprueba que la utilizacin de un algoritmo

-

ales de entrada y de salida desequilibradas.

-

ada bsicamente de dos formas: cambiando la

estructura de tipo carro a tipo riel, donde la masade la parte mvil sea nicamente la del pndulo, o

haciendo que la accin de control se realice direc-

tamente sobre el eje de giro del pndulo. Este lti-

Se puede proponer un compensador para la ban-

da muerta del sistema para hacer ms efectivo el

comportamiento. Este compensador podra ser uti-

lizado antes o despus del clculo del controlador.

El clculo de controladores basados en sistemas

-lizado con sistemas modelados, porque trabajan

directamente sobre datos reales del sistema.

5. TRABAJO FUTURO

Dada la complejidad del sistema pndulo inverti-

do es posible, en trabajos futuros, utilizar control

adaptativo y control ptimo, as como diversas

tcnicas bio-inspiradas por medio de inteligencia

computacional como: Algoritmos genticos, Redes

Neuronales, entre otros.

-

-

mas dinmicos utilizando algoritmos genticos y,

a partir de estos, analizar los resultados obtenidos,


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investigacin

abriendo as, la posibilidad de plantear otros pro-

yectos enfocados a la investigacin en este tema.

Es posible seguir utilizando el embedded coder

-

controladores. De esta forma no se restringira la

investigacin al uso del kit NXT.

6. FINANCIAMIENTO

Este artculo surge del proyecto de investigacin

titulado Diseo y control de un sistema pndulo

invertido, sobre plataforma Lego MINDSTOR-

formacin del laboratorio de control del proyecto

curricular Tecnologa en Electricidad e Ingeniera

-

to fue otorgado por la Universidad Distrital Fran-

cisco Jos de Caldas, Facultad Tecnolgica.

REFERENCIAS

[1]. S. Mallo, V. Mazzone,

diseo de Controladores de un pndulo in-vertido rotante, Universidad Nacional de

F. Castaos, R. Carrera Levantamientoy control de un pndulo invertido con un Uni-versidad Nacional Autnoma de Mxico,

[3]. J. Beltran, -vertido, Universidad politcnica de Va-

[4]. LEGO Education LEGO MINDS-TORMS NXT , [En lnea]. Disponi-ble: - -

LEGO Education LEGO MINDS-TORMS NXT , [En lnea]. Disponi-ble: - -

[6]. M. Silva, -MS NXT,

[7].

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NXT LEGO Mindstorms con Tcnicas de UniversidadDistrital Francisco Jos de Caldas, Colom-

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[9]. Notas grupos, Espacio estado, [En li-nea]. Disponible:

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[11]. N. Gil, Algoritmos genticos, Univer-sidad Nacional de Colombia, Colombia,

C. Herrera, R. Romero, Controlador di- -

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