diseño de nodos en concreto armado

TRABAJO ESPECIAL DE GRADO DE JOHANNA TEIXEIRA PARA OPTAR AL GRADO DE

INGENIERO CIVIL

UNIVERSIDAD CATÓLICA ANDRÉS BELLO

Diseño de nodos viga-columna en pórticos de concreto estructural

INDICE GENERAL

Índice de Figuras …………………………………………………………………….….……………… I

Índice de Tablas…………………………………………………………………………………………. V

Notación………………………………………………………………………………………………….. VI

Resumen…………………………………………………………………………………………………. XIII

Introducción……………………………………………………………………………………………... 1

Objetivos……………………………………………………………………………………….................. 4

Alcance y Limitaciones……….…………………………………………………………………………. 5

CAPITULO 1.- MARCO TEORICO

Nodo viga-columna……………………………………………………………………………………. 6

Clasificación de los nodos viga-columna……………………………………………………………. 6

Según requisitos de disipación de energía y acciones …………………………………………. 6

Según el grado de confinamiento…………………………………………………………………. 8

Según su configuración geométrica y su ubicación dentro de la estructura……….………... 8

Comportamiento de los nodos viga-columna……………………………………………………… 12

Fuerzas actuantes……………………………………………………………………………….... 12

Modos de falla …………………………………………………………………………………… 18

Mecanismos que controlan el comportamiento del nodo viga-columna……………………….. 20

Mecanismo de adherencia………………………………………………………………………. 20

Mecanismo de corte………………………………………………………………………………. 23

Diseño de nodos viga-columna………………………………………………………………………. 28

Objetivos……………………………………………………………………………………………. 28

Criterios de diseño ………………………………………………………………………………... 28

Recomendaciones adicionales de tipo práctico…………………………………………………. 29


CAPITULO 2.- EVOLUCION HISTORICA DE LAS NORMAS ACI 352 y NVC 1753

Cuadro 1…………………………………………………………………………………………….. 32

Comentarios al Cuadro 1 …………………………………………………………………………. 41

Cuadro 2…………………………………………………………………………………………….. 58

Comentarios al Cuadro 2 …………………………………………………………………………. 62

CAPITULO 3.-PROCEDIMIENTOS DE DISEÑO

Procedimiento de Diseño según ACI 352-02…………………………………………………… 67

Procedimiento de Diseño según COVENIN 1753-85………………………………………….. 85

Procedimiento de Diseño según SOCVIS 1753 (R)…………………………………………….. 95

Ejemplo 1 según la Norma ACI 352-02………………………………………………………….. 104

Ejemplo 1 según la Norma COVENIN 1753-85………………………………………………… 122

Ejemplo 1 según la Norma SOCVIS 1753 (R)…………………………………………………… 130

Ejemplo 2 según la Norma ACI 352-02…………………………………………………….. …... 134

Ejemplo 2 según la Norma COVENIN 1753-85………………………………………………… 146

Ejemplo 2 según la Norma SOCVIS 1753 (R)…………………………………………………… 152

Comparación de resultados y conclusiones de la comparación……………………………… 155

CAPITULO 4.-DISEÑO DE NODOS VIGA-COLUMNA ASISTIDO POR EL COMPUTADOR

Limitaciones del programa………………………………………………………………………... 162

Tareas que realiza el programa…………………………………………………………………… 163

Descripción de la edificación…………………………………………………………………….. 165

Nodos seleccionados………………………………………………………………………………. 166

Nodo 1………………………………………………………………………………………….. 166

Nodo 2………………………………………………………………………………………….. 167

Diseño de los nodos seleccionados asistido por el ETABS……………………………………. 168


Diseño de los nodos de acuerdo a los procedimientos manuales ……………………………. 171

Nodo 1…………………………………………………………………………………………… 171

Nodo 2…………………………………………………………………………………………... 184

Comparación entre los resultados y conclusiones………………………………………………. 194

CAPITULO 5.-CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Conclusiones…………………………………………………………………………………………. 200

Recomendaciones……………………………………………………………………………………. 204

Referencias Bibliográficas…………………………………………………………………... 206


I

INDICE DE FIGURAS

Figura 1.1: Nodo Viga-Columna típico………………………………………………………………. 6

Fig. 1.2: Nodos Confinados…………………………………………………………………………… 8

Fig. 1.3: Nodos Interiores……………………………………………………….................................... 9

Fig. 1.4 Nodos Exteriores………………………………………………………………………………. 9

Fig. 1.5: Nodos de Esquina ……………………………………………………………………………. 10

Fig. 1.6: Nodo de Vigas Planas………………………………………………………………………… 10

Fig. 1.7: Nodo Excéntrico………………………………………………………………………………. 10

Fig. 1.8: Nodo Discontinuo……………………………………………………………………………. 11

Fig. 1.9: Fuerzas debido a cargas gravitacionales ………………………………………………….. 13

Fig. 1.10: Fuerzas producidas por la acción de cargas laterales en un nodo interior…………… 14

Fig. 1.11: Fuerzas producidas por la acción de cargas laterales en un nodo exterior…………… 14

Fig. 1.12: Detalles de anclaje del refuerzo longitudinal en nodos exteriores…………………….. 15

Fig. 1.13: Nodo de esquina sometido a fuerzas que tienden a abrirlo……………………………. 16

Fig. 1.14: Nodo de esquina sometido a fuerzas que tienden a cerrarlo…………………………… 17

Fig. 1.15: Formación de rótulas plásticas en las vigas………………………………………………. 18

Fig. 1.16: Formación de rótulas plásticas en las columnas…………………………………………. 18

Fig. 1.17: Pérdida de recubrimiento del refuerzo longitudinal de las columna…………………. 19

Fig. 1.18: Pérdida del anclaje de las barras de la viga ……………………………………………… 19

Fig. 1.19: Falla por corte del nodo ……………………………………………………………………. 19

Fig. 1.20: Tensiones de Adherencia…………………………………………………………………… 20

Fig. 1.21: Ganchos en un nodo exterior………………………………………………………………. 22

Fig. 1.22: Distorsión en el nodo producida por las acciones sísmicas…………………………….. 23

Fig. 1.23: Fuerzas cortantes horizontales en un nodo interior……………………………………... 24

Fig. 1.24: Mecanismo del puntal diagonal de compresión…………………………………………. 26

Fig. 1.25: Mecanismo de celosía o de armadura…………………………………………………….. 26

Fig. 1.26: Cartela en el extremo de la viga …………………………………………………………… 30

Fig. 1.27: Cruce de barras en forma de diagonal…………………………………………………….. 30

Fig. 2.1: “Headed Bars” típicas………………………………………………………………………... 42


II

Fig. 2.2: Nodo armado con “Headed Bars”……………………………………………………….. … 43

Fig. 2.3: Empalmes mecánicos típicos………………………………………………………………… 43

Fig. 2.4: Secciones críticas para nodos Tipo 1 y 2……………………………………………………. 45

Fig. 2.5: Condiciones para el confinamiento del nodo……………………………………………… 45

Fig. 2.6: Doblado de barras en cambios de sección…………………………………………………. 48

Fig. 2.7: Longitudes mínimas de los ganchos en ligaduras cerradas (ACI 352)…………………. 50

Fig. 2.8: Longitudes mínimas de los ganchos en ligaduras de una rama (ACI 352)……………. 50

Fig. 2.9: Anchura efectiva del nodo (ACI 352)………………………………………………………. 53

Fig. 2.10: Dispositivos de anclaje contemplados por la Norma ACI 352…………………………. 55

Fig. 2.11: Tensiones de adherencia idealizadas en una barra recta que pase a través del nodo… 56

Fig. 2.12: Longitud mínima del gancho (SOCVIS 1753 (R))…………………………………........... 64

Fig. 2.13: Uso de ganchos a 90º en ligaduras de una rama (ACI 352-02)………………………….. 65

Fig. 2.14: Anchura efectiva según las Normas COVENIN 1753-85 y SOCVIS 1753(R)…………. 66

Fig. 3.1: Nodos viga-columna contemplados en el ACI 352-02……………………………………. 68

Fig. 3.2: Ilustración de la distancia entre barras arriostradas lateralmente………………………. 71

Fig. 3.3: Longitudes mínimas de los ganchos según el ACI 352-02………………………………… 71

Fig. 3.4: Distancia c t…………………………………………………………………………………….. 73

Fig. 3.5: Dirección del sismo que produce momentos en el sentido horario

(dos vigas en la dirección analizada)…………………………………………………………. 75

Fig. 3.6: Dirección del sismo que produce momentos en el sentido antihorario

(dos vigas en la dirección analizada)…………………………………………………………. 75

Fig. 3.7: Dirección del sismo que produce momentos en el sentido horario

(una viga en la dirección analizada)…………………………………………………………. 76


(una viga en la dirección analizada)……………………………………………………. ……. 76

Fig. 3.9: Cortes en la columna para la dirección del sismo que produce momentos horarios

(dos vigas en la dirección analizada) …………………………………………………………. 77

Fig. 3.10: Cortes en la columna para la dirección del sismo que produce momentos antihorarios

(dos vigas en la dirección analizada)……………………………. ……………......................... 77


III

Fig. 3.11: Cortes en la columna para la dirección del sismo que produce momentos horarios

(una viga en la dirección analizada)…………………………. ……………………………… 78

Fig. 3.12: Cortes en la columna para la dirección del sismo que produce momentos antihorarios

(una viga en la dirección analizada) ………………………………………………………… 78

Fig. 3.13: Corte último del nodo para la dirección del sismo que produce momentos horarios

(dos vigas en la dirección analizada) ……………………………………………………… 78

Fig. 3.14: Corte último del nodo para la dirección del sismo que produce momentos antihorarios

(dos vigas en la dirección analizada) ……………………………………………………… 79

Fig. 3.15: Corte último del nodo para la dirección del sismo que produce momentos horarios

(una viga en la dirección analizada) ………………………………………………………. 79

Fig. 3.16: Corte último del nodo para la dirección del sismo que produce momentos antihorarios

(una viga en la dirección analizada)………………………………………………………... 79

Fig. 3.17: Momentos teóricos horarios en vigas y antihorarios en columnas

(dos vigas en la dirección analizada)……………………………………………………… 81

Fig. 3.18: Momentos teóricos antihorarios en vigas y horarios en columnas

(dos vigas en la dirección analizada)………………………. ……………………………… 82

Fig. 3.19: Momentos teóricos horarios en vigas y antihorarios en columnas


Fig. 3.20: Momentos teóricos antihorarios en vigas y horarios en columnas


Fig. 3.21: Anchura máxima de las vigas según la Norma COVENIN 1753-85…………………….. 85

Fig. 3.22: Excentricidad máxima de las vigas según la Norma COVENIN 1753-85……………… 86

Fig. 3.23: Características de la ligaduras según la Norma COVENIN 1753-85…………………… 87

Fig. 3.24: Anchura efectiva del nodo según la Norma COVENIN 1753-85……………………….. 91

Fig. 3.25: Momentos últimos horarios en vigas y antihorarios en columnas

(dos vigas en la dirección analizada)……………………………………………………....... 92

Fig. 3.26: Momentos últimos antihorarios en vigas y horarios en columnas

(dos vigas en la dirección analizada)……………………………………………………….. 93


IV


(dos vigas en la dirección analizada)………………………………………………………. 93


(dos vigas en la dirección analizada)………………………………………………………… 93

Fig. 3.29: Longitudes mínimas de los ganchos del refuerzo transversal

según la Norma SOCVS 1753 (R) ……………………………………………………………………….. 97

Fig. 3.30: Anchura efectiva del nodo según la Norma SOCVIS 1753 (R)…………………………... 101

Fig. 4.1: Vista 3D de la estructura……………………………………………………………………… 165

Fig. 4.2: Ubicación en la estructura del nodo 1……………………………………………………….. 166

Fig. 4.3: Ubicación en la estructura del nodo 2……………………………………………………….. 167

Fig. 4.4: Resultados emitidos por el ETABS para el nodo 1……………………………………….. 169

Fig. 4.5: Resultados emitidos por el ETABS para el nodo 2………………………………………… 170


V

INDICE DE TABLAS

Tabla 2.1 : Cuadro 1 ………………………………………………………………………………….. 32

Tabla 2.2: Cuadro 2 ………………………………………………………………………………….. 58

Tabla 3.1: Valores de γ …………………………………….…………………………………………. 80

Tabla 3.2: Separaciones y áreas del refuerzo transversal…………………………………………. 155

Tabla 3.3: Momentos máximos probables………………………………………………………….. 156

Tabla 3.4: Cortes en la columna……………………………………………………………………… 157

Tabla 3.5: Fuerzas de tracción y compresión ………………………………………………………. 159

Tabla 3.6: Cortes últimos y teóricos…………………………………………………………………. 160

Tabla 4.1: Momentos máximos probables para los nodos 1 y 2………………………………….. 194

Tabla 4.2 : Cortes últimos para los Nodos 1 y 2 …………………………………………………… 195

Tabla 4.3: Fuerzas de compresión y tracción para los nodos 1 y 2 ……………………………… 196

Tabla 4.4: Cortes últimos de la columna…………………………………………………………… 197

Tabla 4.5: Anchura efectiva del nodo………………………………………………………………... 197

Tabla 4.6: Valores de γ para los nodos 1 y 2………………………………………………………… 198

Tabla 4.7:Corte teórico para los nodos 1 y 2………………………………………………………… 199


VI

NOTACION Código ACI 352-02 Ab = Área de una barra individual, cm 2.

Ac = Área del núcleo de la columna, medida exteriormente al refuerzo transversal, cm2.

Ag= Área total de la sección de la columna, cm2

Ash = Área total de la sección transversal del acero de refuerzo transversal, incluyendo estribos

de una rama, dentro de una separación sh y perpendicular a bc’’, cm2

bb= Anchura de la viga , cm.

bc = Anchura de la columna en la dirección perpendicular al corte , cm.

bc’’= Dimensión transversal del núcleo de la columna ligada, medida exteriormente al refuerzo

transversal , cm2

be= Anchura efectiva para vigas T o L

bj= Anchura efectiva del nodo, medida perpendicularmente a la dirección del corte, cm.

ct= Distancia desde la cara interior de la columna al borde de la losa, medida

perpendicularmente al borde , cm.

d= Distancia desde la fibra extrema comprimida al baricentro del acero de refuerzo

traccionado, cm.

db= Diámetro nominal de la barra, cm.

f’c = Resistencia especificada del concreto en compresión , kgf/cm2.

fy = Resistencia cedente especificada del acero de refuerzo, kgf/cm2.

fyh= Resistencia cedente especificada del acero de refuerzo transversal, kgf/cm2.

hb= Altura total de la viga, cm.

hc= Profundidad total de la columna, cm.

ldh= Longitud de transferencia para barras en tracción que terminan en ganchos estándar ,

medida desde la sección crítica al extremo exterior del gancho, cm.

ldt = Longitud de transferencia de una “headed bar”,medida desde la sección crítica al borde

externo de la cabeza de la barra, cm.

m= Pendiente para definir la anchura efectiva del nodo perpendicular a la dirección del corte.

Mn= Resistencia teórica a flexión de la sección, kgf-m.


VII

Mpr= Momento resistente máximo probable de la sección, suponiendo un valor de α mayor o

igual que 1.00.

ph= Perímetro de la línea central del refuerzo transversal por torsión, cm.

sh = Separación centro a centro del refuerzo transversal, medida a lo largo del eje longitudinal

del miembro, cm.

Vcol = Corte en la columna, calculado para los momentos máximos probables de las vigas, kgf.

Vn= Resistencia teórica al corte en el nodo, kgf.

Vu= Fuerza de corte de diseño en el nodo, kgf.

α = Multiplicador de tensiones para el refuerzo longitudinal en la interfase nodo-miembro.

γ= Factor para el cálculo del corte teórico del nodo que depende del confinamiento de sus

caras.

ρs= Cuantía del refuerzo helicoidal. Relación entre el volumen de acero de refuerzo de los

zunchos y el volumen total del núcleo (medido por la parte exterior de los zunchos), en un

miembro comprimido zunchado.

φ= Factor de minoración de resistencias.

Códigos ACI 352-91 y ACI 352-85

Ab = Área de una barra individual, cm 2.

Ac = Área del núcleo de la columna, medida exteriormente al refuerzo transversal, cm2.

Ag= Área total de la sección de la columna, cm2

Ash = Área total de la sección transversal del acero de refuerzo transversal, incluyendo estribos de

una rama, dentro de una separación sh y perpendicular a h”, cm2

bb= Anchura de la viga , cm.

bc = Anchura de la columna en la dirección perpendicular al corte , cm.

bj= Anchura efectiva del nodo, medida perpendicularmente a la dirección del corte, cm.

db= Diámetro nominal de la barra, cm.

f’c = Resistencia especificada del concreto en compresión en el nodo , kgf/cm2.

fy = Resistencia cedente especificada del acero de refuerzo, kgf/cm2.

fyh= Resistencia cedente especificada del acero de refuerzo transversal, kgf/cm2.


VIII

fys= Resistencia cedente especificada del refuerzo en espiral, kgf/cm2.

h= Altura total de la columna o altura total de la viga, cm.

h”= Dimensión del núcleo de la columna ligada , medida exteriormente a la barra .

ldh= Longitud de transferencia para barras en tracción que terminan en ganchos estándar ,

medida desde la sección crítica al extremo exterior del gancho.

Mn= Resistencia teórica a flexión de la sección, kgf-m.

sh = Separación centro a centro del refuerzo transversal, medida a lo largo del eje longitudinal del

miembro, cm.

Vn= Resistencia teórica al corte en el nodo, kgf.

Vu= Fuerza de corte de diseño en el nodo, kgf.

α = Multiplicador de tensiones para el refuerzo longitudinal en la interfase nodo-miembro.

γ= Factor para el cálculo del corte teórico del nodo que depende del confinamiento de sus caras

laterales.

ρs= Cuantía del refuerzo helicoidal. Relación entre el volumen de acero de refuerzo de los

zunchos y el volumen total del núcleo (medido por la parte exterior de los zunchos), en un

miembro comprimido zunchado.

φ= Factor de minoración de resistencia.

ACI 352-76

Ab = Área de una barra individual, cm 2.

Ac = Área del núcleo de la columna, medida como diámetro exterior de la espiral, cm2.

Ach = Área del núcleo rectangular, medida exteriormente a la ligadura, cm2.

Acv = Área efectiva de corte, cm2

Ag= Área total de la sección, cm2

A”sh =Área de la sección transversal, en cm2, de las ligaduras, incluyendo refuerzo

suplementario, dentro de una separación sh y perpendicular a la dimensión del núcleo h”

b= Anchura del nodo, perpendicular a la dirección del corte, cm.

b’= Anchura del núcleo del nodo perpendicular a la dirección del corte y medida

exteriormente a las ligaduras o a las barras longitudinales de la columna, si no se requieren

las ligaduras.


IX

d= Altura efectiva del nodo en la dirección de la fuerza cortante, cm.

db= Diámetro nominal de la barra , cm.

f’c= Resistencia especificada del concreto a la compresión, kgf/cm2

fh= Tensión desarrollada por el gancho estándar , kgf/cm2

fy= Resistencia cedente especificada del refuerzo, kgf/cm2

f”yh= Resistencia cedente especificada de las ligaduras , kgf/cm2

h”= Dimensión del núcleo de una columna ligada, cm.

ls= Longitud de transferencia para barras que terminan en ganchos estándar , medida desde la

sección crítica al extremo exterior del gancho, cm.

sh= Separación de las ligaduras, cm.

α= Multiplicador de tensiones para el refuerzo por flexión en la interfase nodo-miembro

ρs = Relación entre el volumen del refuerzo helicoidal y el volumen del núcleo

φ= Factor de reducción de resistencias

ψ= Factor que refleja el efecto del confinamiento sobre la capacidad de la barra con gancho

estándar

SOCVIS 1753-(R): A = Área total de la sección de concreto, cm2.

Ab= Área de una barra o alambre individual, cm2.

Ach= Área total de la sección transversal de un miembro estructural, medida exteriormente al

refuerzo transversal, cm2.

Aj= Área efectiva de la sección transversal del nodo en un plano paralelo al acero de refuerzo

que genera el corte en el nodo. La profundidad del nodo es igual a la profundidad total de

la columna.

Ash= Área total de la sección transversal del acero de refuerzo transversal, incluyendo estribos de

una rama, dentro de una separación s, y perpendicular a hc, cm2.

Ast= Área total del acero de refuerzo longitudinal, cm2.

fy= Resistencia cedente especificada del acero de refuerzo, kgf/cm2.


X

Ln= Luz libre en la dirección más larga para construcciones armadas en dos direcciones, medida

cara a cara de los apoyos en placas sin vigas y medida cara a cara de las vigas u otros

apoyos en los demás casos, cm. Luz libre para momentos positivos o fuerzas cortantes y

promedio de luces libres adyacentes para momentos negativos medida cara a cara de los

apoyos, cm.

Lo = Longitud mínima medida desde la cara del nodo y a lo largo del miembro, en la cual se

dispondrá el refuerzo transversal de confinamiento, cm.

Mc = Momento teórico en la cara del nodo correspondiente a la resistencia nominal a flexión de la

columna conectada al nodo, calculada para la fuerza axial mayorada, consistente con la

dirección de la fuerza lateral considerada, que resulte en la más baja resistencia a la flexión.

Mn = Resistencia teórica a flexión de la sección, m kgf.

Mpr = Momento resistente máximo probable en los extremos del miembro, con o sin carga axial,

calculado considerando las propiedades del miembro, suponiendo la resistencia a la

cedencia de las barras longitudinales, no menor de 1.25 fy y el factor de minoración de

resistencia φ = 1.00.

Mprc = Momento resistente máximo probable en columnas.

Mprv = Momento resistente máximo probable en vigas.

So = Máxima separación del acero de refuerzo transversal en zonas confinadas en Lo, cm.

a = Profundidad o altura del bloque rectangular equivalente de tensiones, cm.

bw= Anchura del alma, o diámetro de la sección circular, en cm.

d= Distancia la fibra extrema comprimida y el baricentro del acero de refuerzo

traccionado, cm. (altura efectiva). Altura útil. También se define como altura del miembro

menos el recubrimiento de diseño.

db= Diámetro nominal de la barra o alambre, cm.

dc = Espesor del recubrimiento de concreto medido desde la fibra extrema traccionada hasta el

centro de la barra o alambre ubicado más cerca de ella, cm.

cf ′ = Resistencia especificada del concreto en compresión, kgf/cm2.


XI

hc= Dimensión transversal del núcleo de la columna o de un miembro de borde de un muro

estructural, medida centro a centro del acero de refuerzo de confinamiento, cm.

hn= Altura libre de un muro o segmento, cm.

hj= Profundidad del nodo, cm.

s= Separación del refuerzo transversal por corte o por torsión, medida a lo largo del eje

longitudinal del miembro, cm.

sh= Separación del acero de refuerzo por corte o por torsión en dirección perpendicular al

refuerzo longitudinal o del acero de refuerzo horizontal en el muro, cm.

γ= Factor que depende del confinamiento en las caras del nodo.

ρg= Cuantía geométrica de acero longitudinal de las columnas

φ= Factor de minoración de resistencia.

COVENIN 1753-85: Ac= Área del núcleo de un miembro comprimido zunchado, medida hasta el diámetro exterior

del zuncho, cm2

Ach= Área de la sección transversal de un miembro, medida exteriormente al refuerzo

transversal, cm2

Ag= Área total de la sección, cm2

Aj = Área de la menor sección transversal del nodo en un plano paralelo al eje del refuerzo

longitudinal que transmite el corte al nodo. Cuando una viga concurre a un apoyo muy

ancho, la anchura efectiva del nodo no excederá la anchura de la viga más la dimensión de

la columna medida paralelamente al eje de la viga, cm2

Ash= Área total de la sección transversal de ligaduras, cm2

Ast= Área total de la armadura longitudinal, cm2

a= Altura del bloque rectangular equivalente de esfuerzos, cm.

bc= Anchura de la columna, cm.

bw= Ancho del alma o diámetro de una sección circular, cm.

d= Distancia desde la fibra externa comprimida hasta el baricentro de la armadura

traccionada, cm.


XII

db= Diámetro nominal de la barra , cm.

dc= Espesor del recubrimiento de concreto medido desde la fibra extrema traccionada hasta el

centro de la barra ubicada más cerca de ella, cm.

dc= Dimensión de la columna, medida paralelamente al eje de la viga, cm.

fy= Resistencia cedente especificada en armadura, kgf/cm2

fyh= Resistencia cedente especificada para el acero de refuerzo transversal , kgf/cm2

h= Espesor total del miembro, cm.

hc= Dimensión transversal del núcleo de una columna, medido centro a centro de la armadura

de confinamiento, cm.

lah= Longitud de anclaje para barras con gancho estándar , cm.

ln= Luz libre de la pieza, altura no arriostrada de un muro estructural o de una columna, cm.

lo= Longitud mínima medida desde la cara del nodo y a lo largo del eje del miembro, en la cual

se debe disponer el refuerzo transversal, cm.

Mn= Momentos flectores nominales en los extremos de un miembro. Estos momentos se

calcularán tomando para φ=1.00 y como esfuerzo en la armadura en tracción, el valor de

1.0 fy , kgf-m.

s= Separación de los estribos o ligaduras, cm.

so= Máxima separación de la armadura transversal ,cm.

Vj= Fuerza cortante de diseño en el nodo suponiendo que el esfuerzo en la armadura de tracción

de las vigas es igual a 1.25 fy, kgf.

γ= Factor que depende de la configuración geométrica y posición relativa de los miembros

concurrentes a un nodo.

φ= Factor de reducción de resistencias

ρg = Cuantía geométrica del acero longitudinal en columnas.

Nota: Dada la relativa indefinición del cuerpo normativo venezolano, se adoptará el prefijo NVC

para identificar las Normas Venezolanas en aquellos casos en que convenga citarlas de forma

genérica.


XIII

RESUMEN

El presente Trabajo Especial de Grado trata del estudio teórico-práctico del diseño

de nodos viga-columna en pórticos de concreto estructural, basado fundamentalmente

en consideraciones de diseño sismorresistente. Dada la multiplicidad de Normas

existentes en cuanto a diseño de nodos viga-columna se refiere, este Trabajo se enfoca

en el estudio de las Normas del ACI y las Normas Venezolanas.

En el Capítulo 1 se presenta una introducción teórica, que contiene los aspectos

principales del comportamiento del nodo viga-columna.

En el Capítulo 2 se realiza un estudio de la evolución histórica del Código ACI 352 ,

justificado por la eventual necesidad que puede tener el Ingeniero Estructural de

intervenir y/o adecuar estructuras existentes a la Normativa legal vigente.

El Capítulo 3 presenta procedimientos ordenados de diseño de nodos, de acuerdo con

los planteamientos de las Normas ACI 352 vigentes y las NVC 1753 y se realizan dos

ejemplos que permiten ilustrar la aplicación de los procedimientos propuestos.

En el Capítulo 4, se acomete al diseño de nodos viga-columna asistido por el

computador, utilizando el programa ETABS v9. Se presentan ejemplos procesados con

el programa y realizados con los procedimientos manuales propuestos en el Capítulo 3,

y se realizan comparaciones entre ellos.

Se recomienda que se realicen estudios que amplíen el alcance del presente Trabajo

Especial de Grado, a través del estudio de otras Normas y de otros programas de

computación que traten el diseño de los nodos viga-columna .


XIV

Diseño de nodos viga-columna en pórticos de concreto estructural Introducción

1

INTRODUCCIÓN

Aunque el papel protagónico del nodo en la conformación de los sistemas estructurales no

fue reconocido de manera concreta y científica sino hasta la década de los 70, ya nadie puede

negar que su importancia para el comportamiento general de esos sistemas es por lo menos

similar a la de los miembros que conecta, y, en algunos casos, mayor. En consecuencia, su diseño

debe ser abordado con la misma consistencia metodológica que suele aplicarse a dichos

miembros.

El concepto de nodo estructural y su aplicación en la construcción de las innumerables obras

requeridas desde los más primitivos orígenes de la actividad humana, ha sufrido a través del

tiempo una evolución similar a la de los procedimientos de análisis, diseño y tecnología

constructiva.

Los logros de cada época, testimoniados por monumentos dignos de estudio y admiración, se

corresponden estrechamente con la capacidad que paralelamente fueron demostrando los

autores de tales obras para resolver u obviar los problemas que planteaban los sistemas de

nodación. La trayectoria conceptual puede trazarse desde los prehistóricos dólmenes, uninodales

en su planteamiento estructural con su única vinculación a tierra, pasando por los menhires,

multinodales ya. En estos casos, las conexiones se resolvían aprovechando la elevada fricción

generada por los pesados miembros. Así se fue evolucionando, hasta llegar a los modernos

rascacielos de hoy, donde el diseño de la nodación se basa en resultados de complejas

investigaciones que incluyen el análisis y la evaluación de fallas aleccionadoras.

En términos actuales, en las estructuras aporticadas de concreto reforzado los nodos

viga – columna deben garantizar el cabal desempeño global ante las solicitaciones a las que sean

sometidas en razón de las funciones para las que fueron diseñadas. Es decir, deben asegurar la

continuidad de la estructura, lo que se traduce fundamentalmente en estar capacitados para

resistir y/o transmitir adecuadamente las tensiones de origen gravitacional, eólico, sísmico y de

cualquier otra índole del sistema de piso a las vigas, de éstas a las columnas, y de las últimas

hasta la infraestructura o sistema de fundación.


2

A pesar de la importancia que tienen los nodos viga–columna de acuerdo a lo anteriormente

mencionado, hasta hace tres décadas los profesionales del diseño estructural, en muchos casos

por carencia de información o de recursos metodológicos suficientes, resolvían intuitivamente su

detallado, dándose incluso el caso de que con frecuencia esta tarea quedaba en manos de los

constructores, que apelaban más a razones prácticas o de simple factibilidad constructiva que a

criterios basados en experiencias de rango científico.

La ocurrencia de sismos recientes evidenció que muchas de las estructuras que colapsaron

durante estos eventos lo hicieron por problemas constructivos o por deficiencias en el detallado

de los nodos viga-columna .En estructuras no colapsadas pero que presentaban fallas en los

nodos, éstas eran muy difíciles de reparar, lo que en la práctica podría considerarse equivalente

al colapso. Por esta razón, en los años 70 se iniciaron en países como Japón, China, Nueva

Zelanda y Estados Unidos investigaciones sistemáticas sobre esta materia.

Fue en esta etapa inicial de investigación cuando comenzó a afirmarse que el deterioro de la

rigidez en los nodos viga–columna podía conducir a grandes desplazamientos en la estructura y

a impedir que se desarrollaran mecanismos de disipación de energía, poniendo en peligro la

integridad de la estructura. Los métodos modernos de diseño, atienden a esta afirmación.

Para prevenir estos mecanismos indeseables de falla de los nodos viga–columna, diferentes

países emitieron las primeras recomendaciones para su diseño, entre los que se puede mencionar

el Código Neozelandés NZS 3101 (1982), el del Instituto de Arquitectura del Japón (1988) y el

ACI-ASCE 352 (1976), de Estados Unidos.

El estudio de la evolución histórica de la última norma mencionada en el párrafo anterior

(ACI-ASCE 352), es uno de los objetivos principales del presente Trabajo Especial de Grado. El

interés en estudiar esta norma en particular se funda en su influencia en los tratamientos que

hacen del tema otras normas y, en especial, la venezolana, la cual también fue objeto de estudio.


3

En cuanto al enfoque histórico, su inclusión atiende a la creciente importancia que éste está

tomando para el ingeniero estructural de nuestros días. Entre otras razones, porque cada vez es

más frecuente la necesidad de evaluar, rehabilitar o, en términos generales, intervenir una

estructura existente y, obviamente, este trabajo no puede realizarse adecuadamente sin apelar a

los criterios de diseño originales para guiar el estudio. La evaluación estructural de los nodos

forma parte de esos trabajos, lo cual implica revisarlos en función de las Normas vigentes para la

fecha de proyecto y/o de construcción.

Diseño de nodos viga-columna en pórticos de concreto estructural Objetivos

4

OBJETIVOS

• Estudiar la evolución de las Normas ACI 352 “Recomendaciones para el diseño de

conexiones viga–columna en estructuras monolíticas de concreto reforzado”, y NVC 1753

• Proponer un procedimiento ordenado de diseño de nodos viga–columna, de acuerdo a las

Normas ACI 352-02, COVENIN 1753-85 y SOCVIS 1753(R)

• Presentar ejemplos de aplicación

• Realizar comparaciones entre los ejemplos de aplicación

• Evaluar el procedimiento de diseño de nodos viga–columna utilizado por el programa

ETABS v9 y realizar comparaciones entre éste y los presentados en las Normas ACI 352 y

SOCVIS 1753 (R)

• Suministrar información actualizada sobre el diseño de nodos viga–columna

Diseño de nodos viga-columna en pórticos de concreto estructural Alcance y Limitaciones

5

ALCANCE Y LIMITACIONES

El presente trabajo especial de grado se concentra fundamentalmente en el estudio

teórico–práctico del procedimiento de diseño de nodos viga-columna en estructuras aporticadas

de concreto estructural según las disposiciones vigentes de la Norma ACI 352-02. Esta Norma se

considera como representante del “estado del arte” y, en cierta forma, guía de otras Normas

sobre el particular. En especial, en el marco de la actividad de diseño en nuestro país, la

revisión propuesta, SOCVIS 1753 (R), ha estado considerando los aportes de la Norma

ACI 352-02 dentro de sus más recientes planteamientos de revisión.

Para ilustrar el procedimiento, por razones de tiempo y espacio sólo se planteará y resolverá un

número reducido de ejemplos que, obviamente, no abarcan todas las configuraciones posibles de

nodos viga-columna, pero sí tratan de abordar los casos de mayor ocurrencia en la práctica.

El alcance propuesto concuerda, en general, con el de la Norma ACI 352-02. Por lo cual, este

Trabajo no trata temas tales como: conexiones que incluyen elementos prefabricados, conexiones

directas losa-columna, conexiones losa-muro, conexiones columna-pedestal/cabezal/fundación,

entre otras, sin considerarlas menos dignas de mención y estudio que aquellas en las que se

enfoca el contenido del presente Trabajo.

Se ha escogido un enfoque basado en consideraciones de diseño sismorresistente, debido a la

importancia que revisten en nuestro país, por estar ubicado en una zona de alta sismicidad.

Hasta la fecha de redacción del presente Trabajo Especial de Grado no se había llegado a un

consenso en algunos puntos de la Norma Venezolana 1753 (R), por lo que en aquellos aspectos

donde este trabajo se refiere a dicha Norma, se utilizó la propuesta SOCVIS 1753 (R), presentada

en el año 2003. En función del texto definitivo que adopte esta Norma pueden encontrarse

discrepancias con los criterios aquí expuestos.

Diseño de nodos viga-columna en pórticos de concreto estructural Capítulo 1

6

CAPITULO 1: MARCO TEÓRICO

Nodo Viga – Columna

El nodo viga–columna puede definirse como el volumen de concreto resultante de la

intersección de la columna con la viga de mayor altura que concurre a ella.

Fig. 1.1: Nodo Viga-Columna Típico

Clasificación de los nodos viga – columna

a) Según requisitos de disipación de energía y acciones

De acuerdo al Código ACI 352-02, los nodos se clasifican en Tipo 1 y Tipo 2. Los nodos Tipo 1 unen miembros diseñados para resistir fundamentalmente las acciones

gravitacionales y normales de viento, de modo que para el diseño de éstos no se

consideran requisitos especiales de ductilidad, ya que, por la naturaleza misma de las

acciones que se esperan sobre la estructura, no se esperan deformaciones inelásticas

significativas.


7

Los nodos Tipo 2 unen miembros diseñados para resistir, además de las acciones

mencionadas para los nodos Tipo 1, acciones eólicas fuertes, explosiones y

acciones sísmicas; de modo que para el diseño de estas conexiones se consideran

requisitos especiales de ductilidad, ya que, para resistir las acciones antes mencionadas,

se requiere que la estructura disipe energía en el rango inelástico.

Por su parte, las Normas Venezolanas COVENIN 1753-85 y SOCVIS 1753 (R), clasifican

los nodos viga-columna según este criterio, en tres niveles de diseño, denominados ND1,

ND2 y ND3.

Los nodos con ND1 unen miembros de estructuras ubicadas en zonas con bajo riesgo

sísmico (acciones sísmicas esperadas de baja intensidad), por lo que en el diseño de éstos

no se contemplan incursiones significativas de la deformación en el rango inelástico.

Los nodos con ND2 unen miembros de estructuras ubicadas en zonas con riesgo sísmico

intermedio, por lo que en el diseño de éstos se consideran requisitos que contemplen

incursiones de la estructura en el rango de respuesta inelástico para cargas de moderada

intensidad.

Los nodos con ND3 unen miembros de estructuras ubicadas en zonas de alto riesgo

sísmico. En el diseño de este tipo de nodos se consideran requisitos especiales de

ductilidad, que aseguren grandes disipaciones de energía cuando la estructura incursione

en el rango inelástico.

Es importante resaltar que la clasificación de los nodos viga – columna de acuerdo a estos

criterios (Tipo 1 y 2 según el ACI 352-02 y ND1, ND2 y ND3 según las NVC 1753) implica

el cumplimiento de una serie de disposiciones normativas para que las estructuras sean

capaces de resistir las acciones esperadas. Dichas disposiciones serán comentadas en el

Capítulo 2.


8

b) Según el grado de confinamiento.

Este factor toma en cuenta el grado de confinamiento que puedan aportar al nodo los

diferentes miembros que concurren a él. Estos miembros se denominan confinantes, y,

para que puedan ser considerados como tales, deben cumplir ciertas condiciones, a saber:

• Su anchura debe ser mayor o igual que ¾ partes de la anchura de la columna,

• La distancia que sobresale la columna a cada lado de la viga, no debe superar los

10 cm.

Un nodo se considera confinado en una dirección cuando a dos caras opuestas del mismo

llegan miembros confinantes. Un nodo se considera confinado en las dos direcciones

cuando a sus cuatro caras llegan miembros confinantes.

a) En una dirección b) En las dos direcciones

Fig. 1.2: Nodos Confinados

c) Según su configuración geométrica y su ubicación dentro de la estructura:

Según este criterio, los nodos se clasifican en:

1. Interiores

2. Exteriores

3. De Esquina

4. Otros Tipos


9

1. Nodos interiores: Se subdividen en:

1.1) Nodos interiores en pórticos unidireccionales (denominados por el

ACI 352-02, nodos interiores sin viga transversal) y,

1.2) Nodos interiores en pórticos bidireccionales.

a) En pórticos unidireccionales b) En pórticos bidireccionales

Fig. 1.3: Nodos Interiores

2. Nodos exteriores: Estos nodos se subdividen en:

2.1) Nodos exteriores en pórticos unidireccionales (denominados por el

ACI 352-02 nodos exteriores sin viga transversal) y,

2.2) Nodos exteriores en pórticos bidireccionales.


Fig. 1.4: Nodos Exteriores


10

3. Nodos de esquina: Estos nodos se subdividen de forma análoga a los casos

anteriores.


Fig. 1.5: Nodos de Esquina

4. Otros Tipos: Nodos con vigas planas, excéntricos y discontinuos.

• Los nodos con vigas planas son aquellos en los que la anchura de las vigas que a

ellos concurren es mayor que la anchura de la columna

Fig. 1.6: Nodo de Vigas Planas

• Los excéntricos son aquellos en los que el eje central de la viga está desplazado

con respecto al eje de la columna.

Fig. 1.7: Nodo excéntrico


11

• Los discontinuos o nodos de techo (“roof joints”) son aquellos en los que la

columna no continúa (puede ser, por ejemplo, el caso de un nodo ubicado en el

último piso de un edificación).

Fig. 1.8: Nodo discontinuo

Estos tres tipos de nodos pueden ser clasificados dentro de los Tipos 1, 2 ó 3

anteriormente mencionados (interiores, exteriores y de esquina).Así, puede hablarse,

por ejemplo, de nodos exteriores en pórticos bidireccionales excéntricos, o de nodos

de esquina en pórtico unidireccional, discontinuos, y de vigas planas.


12

Comportamiento de los nodos viga–columna

El comportamiento del nodo viga – columna tiene una incidencia directa sobre la respuesta

total y la estabilidad de estructuras aporticadas de concreto estructural. Así pues, una pérdida

sustancial de la rigidez y la resistencia en el nodo puede producir un mecanismo de falla local e

incluso global de la estructura. Esto se evidenció en sismos como el de Tangshan (1976), el de El

Asnam (1980) el de Loma Prieta (1989) y, más recientemente, en los sismos de Turquía (1999),

Taiwán (1999) y Cariaco (1997).

Por ello, desde hace tres décadas se han venido realizando estudios experimentales y analíticos

sobre el comportamiento de los nodos viga-columna bajo acciones sísmicas .Parte de los

resultados obtenidos en esos estudios serán presentados en este aparte.

Conocer estos resultados es importante, ya que las teorías relativas al comportamiento sísmico

de los nodos, son el trasfondo teórico de las recomendaciones prácticas de diseño actuales.

Fuerzas actuantes

El patrón de fuerzas actuantes sobre un nodo depende de su configuración geométrica y

del tipo de acciones (sísmicas, gravitacionales, etc.) a las que esté sometido. Los efectos de las

cargas sobre los nodos exteriores, interiores y de esquina son presentados a continuación, en

relación con las tensiones y los patrones de agrietamiento producidos por las mismas.

Nodos Interiores

Las fuerzas actuantes sobre un nodo interior sometido a cargas gravitacionales pueden

ser representadas a través del diagrama de cuerpo libre que se muestra en la

Figura 1.9 a .Las fuerzas internas se muestran en la Figura 1.9 b.


13

a) Diagrama de cuerpo libre b) Fuerzas Internas Resultantes

Fig. 1.9: Fuerzas debido a cargas gravitacionales

En la generalidad de los casos, los valores de M1 y M2 presentados en la Figura 1.9 a, no

son iguales, por lo que esta desigualdad debe equilibrarse con la suma de los momentos M3

y M4 que se producen en las columnas.

Cuando el nodo es sometido a cualquier carga lateral, por ejemplo las sísmicas, las fuerzas

que se producen en vigas y columnas desarrollan tensiones diagonales de tracción y

compresión dentro del nodo, como se muestra en la Figura 1.10 .Si estas tensiones se

incrementan, pueden producirse grietas diagonales cuando las tensiones de tracción

superen la resistencia a tracción del concreto .Debido a que el concreto es relativamente

débil a tracción, cuando no se coloca el refuerzo adecuado, el nodo falla prematuramente

debido al desarrollo de las grietas antes descritas.

En un nodo interior, las grietas se desarrollan de la forma presentada en la Figura 1.10.Las

grietas se desarrollan perpendicularmente a la diagonal de tensión A-B y en las caras del

nodo a las que llegan las vigas.


14

Fig. 1.10: Fuerzas producidas por la acción de cargas laterales en un nodo interior

Nodos Exteriores

El patrón de fuerzas que se produce en un nodo exterior debido a acciones sísmicas, es

presentado en la Figura 1.11.

Fig. 1.11: Fuerzas producidas por la acción de cargas laterales en un nodo exterior

Al igual que en los nodos interiores, cuando las tensiones de tracción exceden la resistencia

a tracción del concreto, se generan grietas diagonales en el nodo, mostradas en la

Figura 1.11.


15

El detallado del anclaje del refuerzo longitudinal de las vigas en este tipo de nodos afecta

significativamente su eficiencia. Algunos de estos detalles son mostrados en la Figura 1.12.

(a) (b)

Fig.1.12: Detalles de anclaje del refuerzo longitudinal en nodos exteriores

Estudios han demostrado que los nodos con barras longitudinales dobladas hacia afuera

del núcleo (Fig. 1.12 a), presentan eficiencias entre 25 y 40 %, mientras que los nodos con

barras longitudinales ancladas en el núcleo (Fig. 1.12 b) muestran eficiencias entre 85 y

100 %.La eficiencia es la relación Momento prueba/Momento calculado, donde el Momento

de prueba es el que resiste el nodo de acuerdo con resultados de ensayos.

Nodos de Esquina

Las fuerzas actuantes sobre un nodo de esquina en el que la columna continúa pueden ser

interpretadas y representadas de la misma manera que las actuantes sobre un nodo exterior,

presentadas en el aparte anterior.

Los nodos de esquina discontinuos (“roof corner joints”) evidencian un comportamiento

diferente a los de esquina en los que la columna continúa. En estos casos, las fuerzas

producidas por las cargas sísmicas pueden tender a abrir o a cerrar el nodo.


16

Cuando las fuerzas tienden a abrir el nodo, se produce una distribución antes del

agrietamiento como la mostrada en la Figura 1.13 a.

A medida que las fuerzas internas aumentan, lo hacen también las tensiones en el centro

del nodo. En consecuencia, se inicia la formación de grietas diagonales por tensión, como se

observa en la Figura 1.13 b.

El diagrama de cuerpo libre de la esquina superior del nodo se muestra en la Figura 1.13 c.

De este diagrama se puede desprender que la fuerza T es necesaria para el equilibrio del

nodo, ya que, si no se coloca un refuerzo que permita que esta fuerza se desarrolle, el nodo

fallará casi inmediatamente después del desarrollo de la grieta diagonal por la separación

de la esquina del nodo del resto de éste.

a) Patrón de fuerzas antes del b) Patrón de agrietamiento c) Diagrama de cuerpo libre agrietamiento de la esquina superior del

nodo

Fig. 1.13: Nodo de esquina sometido a fuerzas que tienden a abrirlo

Las fuerzas que se desarrollan en un nodo que tiende a cerrarse son exactamente opuestas a

las de un nodo que tiende a abrirse, aunque menos desfavorables. La distribución elástica

de las tensiones antes del agrietamiento es la mostrada en la Figura 1.14 a.

Como resultado del incremento de las fuerzas actuantes, el nodo se agrieta de la forma

mostrada en la Figura 1.14 b. El agrietamiento más pronunciado se observará en la

diagonal.


17

a) Patrón de fuerzas antes del b) Patrón de agrietamiento agrietamiento Fig. 1.14: Nodo de esquina sometido a fuerzas que tienden a cerrarlo

Debido a la naturaleza misma de las acciones sísmicas, es muy probable la reversión de

fuerzas en el nodo, es decir, éste puede experimentar tanto fuerzas que tiendan a abrirlo

como fuerzas que tiendan a cerrarlo.

Por ello, los nodos de esquina discontinuos deben ser conservadoramente diseñados como

nodos que tienden a abrirse, con un detallado apropiado.


18

Modos de falla

Las fuerzas y tensiones internas generadas en el nodo debido a la acción de las cargas

sísmicas, presentadas en el aparte anterior, pueden producir, si exceden su resistencia,

alguno de los siguientes modos de falla:

a) Falla dúctil por flexión en las vigas adyacentes al nodo, es decir, formación de rótulas

plásticas en éstas. Es el modo de falla más deseable, puesto que la formación de

articulaciones (rótulas) plásticas en las vigas permite la disipación de energía a través

de grandes deformaciones sin pérdida de resistencia aparente de la estructura.

Fig.1.15: Formación de rótulas plásticas en las vigas

b) Falla dúctil por flexión en las columnas adyacentes al nodo, es decir, formación de

rótulas plásticas en las columnas. Es menos deseable que el anterior, aun cuando el

mecanismo es similar. La formación de rótulas en las columnas puede generar una

inclinación permanente en la estructura, difícil de reparar .Además, puede verse

comprometida la estabilidad de las columnas y por lo tanto la de la estructura.

Fig. 1.16: Formación de rotulas plásticas en las columnas


19

c) La pérdida del recubrimiento del acero de refuerzo longitudinal de las columnas en el

núcleo del nodo. Esta falla es indeseable, básicamente porque debido a la pérdida de

recubrimiento se reduce la capacidad de carga por compresión de la columna.

Fig. 1.17: Pérdida del recubrimiento del refuerzo longitudinal de las columnas

d) La pérdida del anclaje (adherencia) del refuerzo. Este modo de falla es

extremadamente inconveniente, porque impide que la estructura transmita el corte

lateral.

Fig.1.18: Pérdida del anclaje de las barras de la viga

e) La falla por corte. Es especialmente indeseable, por ser un modo de falla frágil. Este

tipo de falla impide la formación de las rótulas plásticas y reduce la capacidad de la

estructura de disipar energía inelástica.

Fig.1.19: Falla por corte del nodo


20

Mecanismos que controlan el comportamiento del nodo viga-columna

Como se puntualizó en el aparte anterior, el modo de falla deseable de un nodo viga-columna

es el de la formación de articulaciones plásticas en las vigas (modo de falla a). Esta consideración

rige en lo fundamental el diseño de este elemento estructural, pudiéndose enunciar que dicho

diseño persigue que, de producirse una eventual falla, pertenezca a ese modo. Al ocurrir la falla,

las grandes fuerzas internas que se desarrollan en los extremos de las vigas por la aparición de las

rótulas plásticas originan condiciones críticas de adherencia en las barras de refuerzo

longitudinal de las vigas en el nodo y altas demandas de fuerza cortante en el núcleo del mismo.

En otras palabras, el comportamiento del nodo está controlado por la interacción entre los

mecanismos de adherencia y de corte. Ambos mecanismos serán descritos a continuación.

Mecanismo de adherencia

Durante un movimiento sísmico, las vigas adyacentes al nodo pueden estar sometidas a

momentos en la misma dirección. Debido a la acción de estos momentos, las barras superiores

en el nodo están sometidas a fuerzas en una dirección, mientras que las inferiores están

sometidas a fuerzas en la dirección opuesta.

Fig. 1.20: Tensiones de Adherencia


21

Dado el carácter reversible del movimiento sísmico, las fuerzas en las barras cambian de

dirección en cada ciclo. Estas fuerzas reversibles son resistidas por las tensiones de

adherencia desarrolladas entre el acero y el concreto en la región del nodo (ver Figura 1.20).

El aumento de las fuerzas internas va generando grietas en el concreto. Antes de la

cedencia del acero, el efecto de este fenómeno puede ser soportado por el nodo sin

mayores problemas, ya que la anchura de las grietas es pequeña y las tensiones internas no

exceden las tensiones de adherencia. Cuando se alcanza la cedencia, las grietas se ensanchan

y se propagan hacia el núcleo del nodo por el aumento de las tensiones internas. En esta

etapa, las tensiones internas pueden superar a las tensiones de adherencia, produciéndose el

deslizamiento de las barras.

En el caso de los nodos interiores, la profundidad de la columna en la dirección del pórtico es

la longitud de transferencia disponible para que las barras rectas longitudinales que

atraviesan el nodo desarrollen su adherencia con el concreto. Estudios realizados han

demostrado que cuando esta longitud de transferencia es mayor que 28 veces el diámetro de

la barra, se observa poca o ninguna degradación de la rigidez y resistencia en el nodo. En

otras palabras, para evitar el deterioro de la adherencia en nodos interiores, la profundidad

de la columna debe ser igual a 28 veces el diámetro de la barra. Esta observación sugiere la

adopción de diámetros de las barras relativamente pequeños, para obtener una columna de

menor profundidad.

En nodos exteriores, el refuerzo longitudinal que llega a la columna debe anclarse dentro del

núcleo del nodo. Los ganchos son útiles para suministrar un adecuado anclaje cuando la

barra tiene suficiente longitud de transferencia horizontal y el gancho tiene una extensión

adecuada (la estándar es igual a 12 veces el diámetro de la barra a ser doblada). Debido a que

la cedencia de las barras puede penetrar el núcleo del nodo, la longitud de transferencia debe

ser considerada como efectiva desde la sección crítica adyacente a la zona de penetración de

la cedencia en el núcleo, ya que en esta zona la perdida de adherencia es considerable. Por lo

tanto, la profundidad del miembro debe ser mayor que la longitud de transferencia

considerando la posibilidad de la penetración de la cedencia de las barras en el nodo.


22

Fig. 1.21: Ganchos en un nodo exterior

En los nodos de esquina continuos o discontinuos, los requerimientos de adherencia de las

barras longitudinales de las vigas son similares a los de los nodos exteriores.

El deterioro de la adherencia en el refuerzo longitudinal de la viga genera las siguientes

consecuencias indeseables:

1. La deformación de la viga se incrementa antes de la rotación de cedencia

2. Las grandes rotaciones y el agrietamiento extensivo que se producen en los extremos

de las vigas aceleran el deterioro del concreto en las caras del nodo

3. La eventual falla es frágil y muy difícil de reparar

Factores que afectan la adherencia de las barras en el nodo viga- columna

Los parámetros que influyen en la adherencia de las barras a través de la región del

nodo son:

1. Confinamiento: El confinamiento afecta significativamente el comportamiento de

la adherencia bajo cargas sísmicas. El confinamiento se puede mejorar en el nodo a

través de la colocación de refuerzo transversal, de carga axial de la columna, o de

la colocación de refuerzo longitudinal intermedio en la columna.


23

2. Diámetro de la barra: Aunque no afecta significativamente la adherencia, sí limita

la fuerza máxima que puede ser transmitida por este mecanismo. Mientras mayor

sea el valor de la relación entre la profundidad de la columna y el diámetro de la

barra, menor será la probabilidad de falla por adherencia

3. Separación libre entre las barras: Estudios realizados han revelado que cuando la

distancia libre entre las barras longitudinales es menor que 5 veces el diámetro de

las barras, mejora el comportamiento del nodo en cuanto a adherencia se refiere

Mecanismo de corte

Las acciones sísmicas pueden generar grandes tensiones internas en el nodo. En el rango

elástico, cuando el concreto no está fisurado, el nodo se comporta como un elemento rígido.

Como se dijo, cuando las tensiones de tracción exceden la resistencia a tracción del concreto,

aparecen grietas diagonales que se propagan por el núcleo del nodo debido al aumento de

las cargas. Esta propagación de las grietas trae como consecuencia la degradación de la

resistencia y la rigidez del nodo, por lo que éste empieza a presentar deformaciones de

importancia, distorsionándose como se muestra en la Figura 1.22.

Fig.1.22: Distorsión en el nodo producida por las acciones sísmicas

Antes de discutir los mecanismos de transmisión de las fuerzas cortantes se presentarán las

fuerzas cortantes que se generan en un nodo viga-columna debido a las acciones sísmicas.


24

Fuerzas cortantes en el nodo

Considérese el nodo interior que se muestra en la Figura 1.23 a. La fuerza cortante

actuante puede ser determinada por equilibrio de fuerzas en el nodo. La altura de piso es lc

y la luz centro a centro de las vigas es lb. La Figura 1.23 b muestra las fuerzas actuantes en

las caras del nodo. La distribución de momentos y de fuerzas cortantes para la columna es

mostrada en las Figuras 1.23 c y 1.23 d, respectivamente.

a) Nodo interior considerado

b) Fuerzas actuantes c) Diagrama de d) Diagrama de momentos corte

Fig. 1.23: Fuerzas cortantes horizontales en un nodo interior


25

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

b

cb

b

ccoljh Z

hVZlVV 1

c

cbbbcol l

hVZTV +=

2

En la Figura 1.23 c se puede observar que el momento presenta un gradiente entre las

secciones superior e inferior del nodo. Este gradiente genera fuerzas cortantes elevadas en

el nodo con respecto a las de la columna.

Los momentos Ms y Mh actuantes en las caras opuestas del nodo generan las fuerzas de

tracción (Tb) y de compresión (Cb). El corte vertical de la viga sobre la cara del nodo es Vb.

Asumiendo que Cb=Tb, el corte de la columna Vcol por equilibrio de fuerzas en el nodo, es

igual a:

Donde hc es la profundidad de la columna y zb es el brazo del momento. Considerando el

gradiente de momentos en el núcleo, la fuerza cortante horizontal del nodo Vjh puede ser

escrita de la siguiente forma:

Las fórmulas anteriores no son utilizadas rigurosamente en la práctica. Las ecuaciones para

el cálculo del corte en las recomendaciones de diseño de nodos del ACI 352, no toman en

cuenta la fuerza cortante vertical, sólo consideran las fuerzas horizontales. Estas ecuaciones

simplificadas de diseño serán presentadas y comentadas en los Capítulos 2 y 3.

Mecanismos de transmisión de las fuerzas cortantes

Las fuerzas internas actuantes en el nodo son transmitidas por éste al resto de la

estructura a través de dos mecanismos básicos: El mecanismo del puntal diagonal de

compresión y el mecanismo de celosía. Parte de las fuerzas internas, en especial aquellas

generadas en el concreto, se combinarán para desarrollar un puntal diagonal de

compresión, otras, en especial aquellas transmitidas al núcleo del nodo por mecanismos de

adherencia , desarrollarán un mecanismo de celosía.


26

El mecanismo de puntal diagonal de compresión se forma a lo largo de la diagonal

principal del nodo como resultado de la actuación de las tensiones verticales y horizontales

de compresión que actúan en las secciones críticas de vigas y columnas.

Fig.1.24: Mecanismo del puntal diagonal de compresión

El mecanismo de celosía o de armadura se produce por una combinación de las tensiones

de adherencia que se transfieren a través del refuerzo longitudinal de la viga y de la

columna, la resistencia a tracción del refuerzo lateral y la resistencia a compresión de los

pequeños puntales diagonales que se forman en el concreto del nodo.

Fig. 1.25: Mecanismo de celosía o de armadura

La resistencia del mecanismo de puntal depende fundamentalmente de la resistencia a

compresión del concreto y la del mecanismo de celosía depende de la resistencia cedente

del refuerzo lateral que atraviesa el plano de falla.


27

Es importante resaltar que el mecanismo del puntal diagonal se forma independientemente

de las condiciones de adherencia de las barras dentro del nodo, mientras que el de celosía

únicamente es posible si se mantiene una buena adherencia a lo largo del refuerzo de vigas

y columnas. Sin embargo, la adherencia a lo largo del refuerzo de la viga inevitablemente se

deteriora, especialmente después de su cedencia por flexión.

Con el inicio del deterioro por adherencia, el mecanismo de celosía empieza a degradarse,

por lo que la fuerza de tracción en el refuerzo de la viga no transferida al concreto del nodo

por adherencia debe ser resistida por el concreto a compresión en el nodo,

incrementándose, por lo tanto, las tensiones de compresión en el puntal principal. El puntal

de concreto es progresivamente debilitado por las cargas cíclicas reversibles. Al mismo

tiempo, la resistencia a compresión del concreto es reducida por el incremento en las

deformaciones por tensión perpendiculares a la dirección del puntal principal. La

combinación de esos dos fenómenos resulta en la falla del puntal de concreto por corte y

compresión.


28

Diseño de nodos viga – columna

Objetivos

En el estado actual del conocimiento del comportamiento de los nodos viga-columna, el

diseño de éstos plantea como principales objetivos:

1. Preservar la integridad del nodo, de tal manera que las capacidades de deformación y

resistencia de las vigas y columnas vinculadas a él puedan ser desarrolladas durante un

evento sísmico. Esto puede lograrse con un adecuado confinamiento.

2. Prevenir la degradación excesiva de la rigidez del nodo bajo carga sísmica, minimizando

el agrietamiento del concreto, y la pérdida de adherencia entre el concreto y el acero

longitudinal de vigas y columnas. Esto puede ser logrado a través de un adecuado

anclaje o de suficiente longitud de transferencia de tensiones del acero de refuerzo

longitudinal de vigas y columnas.

3. Prevenir la falla frágil por corte. Este requisito exige que el nodo tenga la suficiente

resistencia al corte para resistir la demanda de fuerzas cortantes impuestas por los

miembros conectados.

Criterios de diseño

Para atender a los objetivos anteriormente citados los criterios a seguir en el diseño de nodos

viga-columna son:

1. La resistencia del nodo deberá ser mayor o igual que la de los miembros que se

conectan a él.

2. La resistencia de la columna no deberá verse afectada por una posible degradación de

la resistencia del nodo


29

3. Ante sismos moderados, los nodos deberán responder en el rango elástico

4. Las deformaciones del nodo no deberán contribuir significativamente al

desplazamiento del entrepiso

5. El refuerzo en el nodo, no debe dificultar la construcción, es decir, el diseño no debe

redundar en una congestión excesiva del acero.

Recomendaciones adicionales de tipo práctico

• Utilizar el mayor diámetro para el acero de refuerzo longitudinal en las vigas, que

satisfaga, por supuesto, la demanda de resistencia y los requisitos de adherencia y

anclaje dentro del nodo. Esta recomendación favorece la reducción de la congestión de

los aceros concurrentes al nodo, lo que facilita la disposición para el vaciado del

concreto desde un punto de vista constructivo.

• Debe utilizarse la mayor cantidad de acero longitudinal en las columnas que sea

posible, también atendiendo a las demandas de adherencia y resistencia, y evitando el

congestionamiento excesivo en el nodo. Se recomienda que se coloquen al menos tres

barras por cara, separadas aproximadamente 20 cm.

• Procurar que la separación de las ligaduras sea la máxima permitida normativamente,

igualmente para evitar el congestionamiento del refuerzo

• Alejar la rótula plástica de la cara del nodo cuando éste no pueda cumplir con los

requisitos de corte establecidos en las Normas. De este modo, las tensiones de los

refuerzos en el nodo no alcanzan la tensión cedente, disminuyéndose así el corte

actuante y propiciando un comportamiento elástico en el nodo.


30

Esto se puede lograr de varias maneras, entre las que se pueden mencionar las siguientes:

a) Disponer cartelas en los extremos de las vigas.

Fig.1.26: Cartela en el extremo de la viga

b) Doblar los aceros de refuerzo longitudinales de los lechos superior e inferior,

de manera tal que el punto de cruce quede a una distancia igual a vez y media

la altura total de la viga medida desde la cara del nodo.

Fig.1.27: Cruce de barras en forma de diagonal

c) Aumentar las cantidades de acero de refuerzo, tanto superior como inferior y

de paramento de la siguiente manera:

Incrementar en un 25 % el acero de refuerzo superior

El acero de refuerzo inferior debe ser por lo menos el 50 % del superior.

El acero de paramento debe ser por lo menos el 30 % del refuerzo superior.

En los Capítulos siguientes se presentarán y comentarán las disposiciones normativas que, junto

a las recomendaciones conceptuales ya expuestas, favorecen el desempeño sísmico del nodo.


31


31

CAPÍTULO 2. EVOLUCIÓN HISTÓRICA DEL CODIGO ACI 352-02 Y NVC 1753

La evolución del tratamiento del concepto de nodo viga-columna ha tenido repercusión

directa en los articulados de los Códigos que se ocupan de la normalización de su diseño. Así, el

American Concrete Institute (ACI) emite el primer Código en materia de diseño de nodos

viga–columna, elaborado por su Comité 352, en el año 1976. Dicho Código se denominó

ACI 352 -76 “Recommendations for design of beam-column joints in Monolithic Reinforced Concrete

Structures” (Recomendaciones para el Diseño de Nodos Viga-Columna en Estructuras

Monolíticas de Concreto Reforzado). Estas recomendaciones tuvieron revisiones en varias

ediciones posteriores (en los años 1985, 1991 y 2002), como producto de las experiencias

recabadas en ensayos realizados y las fallas aleccionadoras ocurridas en sismos.

En este Capítulo se presenta un cuadro comparativo entre todas las ediciones del Código

ACI 352 (denominado Cuadro 1), con el objeto de ilustrar la evolución en el tiempo de los

principales conceptos de diseño de los nodos viga-columna según la Norma anteriormente

mencionada. A continuación de este cuadro, se encontrará una serie de comentarios, que explican

o complementan algunos puntos de su contenido.

Como complemento y para presentar los conceptos principales del diseño de nodos en el

contexto de las Normas Venezolanas, se incluirá un segundo cuadro que ilustra los conceptos de

diseño de nodos prescritos por las Normas COVENIN 1753-85 y SOCVIS 1753 (R) (denominado

Cuadro 2), con sus respectivos comentarios.


32

1. T

ipo

de

cone

xion

es c

onte

m-

plad

as

6.D

efin

icio

nes

Tip

o 1

Tip

o 2

8. U

bica

ción

de la

sse

ccio

nes

críti

cas

8.3

Para

che

- T

ipo

1 qu

eo d

el a

ncla

je T

ipo

2

420

kgf/

cm2

1050

kgf

/cm

2

"Hea

ded

Bars

"

con

la S

ecc.

21.

2.6

del A

CI 3

18-0

2N

o es

peci

ficad

o (N

.E)

Nod

o +

colu

mna

s +v

iga+

losa

(N.E

)

6.3

Vig

a tr

ansv

ersa

l

cort

e ú

ltim

o de

l nod

o

vig

as y

col

umna

s

del n

odo

9. R

equi

sito

s pa

ra e

l con

fina

mie

nto

7. V

alor

máx

imo

de la

an-

6.2

Con

exió

n

Plan

o ho

rizo

ntal

por

la m

itad

de la

altu

ra d

el n

odo

(N.E

)M

ín (3

b c ,

b c+1

.5 h

c )

acer

o lo

ngitu

dina

l per

mit

ido

4. T

ipo

de d

ispo

sitiv

o de

anc

laje

del

2. T

ipo

de c

oncr

eto

perm

itido

6.1

Nod

o

5. U

so d

e Em

palm

es M

ecán

icos

3. M

áxim

o va

lor d

e f' c

per

miti

do

Int

erse

cció

n en

tre

.No

debe

n de

jar m

ás d

e 10

cm

des

cubi

erto

s a

cada

lado

de

la c

olum

na.

dire

cció

n de

l cor

te c

onsi

dera

da(N

.E)

Gan

cho

Está

ndar

Idem

más

AC

I 352

-02

cént

rica

s,de

col

umna

dis

cont

inua

losa

Perm

itido

, sie

mpr

e qu

e cu

mpl

an

Con

agr

egad

os d

e pe

so n

orm

al

res

y de

esq

uina

de

viga

s pl

anas

, e

xter

iore

s y

de e

squi

na s

in

vig

as tr

ansv

ersa

les

, con

vig

as e

x-

Gan

cho

Está

ndar

,

CO

NC

EPTO

A

CI 3

52 -7

6A

CI 3

52-8

5A

CI 3

52 -9

1

La a

nchu

ra d

e la

col

umna

La

anc

hura

de

la c

olum

na

A 2

car

as o

pues

tas

o a

las

4 ca

ras,

deb

en ll

egar

vig

as q

ue c

ubra

n al

men

os 3

/4 d

el a

ncho

de

la c

olum

na

Vig

a pe

rpen

dicu

lar a

la

La c

ara

del n

úcle

o

8.1

Por t

rans

fere

ncia

de

8.2

Para

el c

álcu

lo d

el

fuer

zas

Inte

rfas

e ju

nta-

mie

mbr

o

chur

a de

la v

iga

perm

itida

Inte

rior

, Ext

erio

r,Esq

uina

, int

erio

-

La

cara

de

la c

olum

na L

a ca

ra d

el n

úcle

o de

la c

olum

na

de la

col

umna

Inte

rsec

ción

ent

re la

vig

a m

ásal

ta y

la c

olum

na

de v

igas

pla

nas

del T

ipo

1 In

teri

or, E

xter

ior

Inte

rior

, Ext

erio

r , E

squi

na, e

xcén

tric

as,

1.2

Segú

n la

con

figu

raci

ónge

omét

rica

Tipo

1 (N

o sí

smic

as)

Tipo

2 (S

ísm

icas

) de

car

ga

1.1

Seg

ún la

s co

ndic

ione

s

CU

AD

RO

1


33

10.1

Val

or

Tip

o 1

mín

imo

de α

Tip

o 2

10. R

esis

ten-

cia

a fl

exió

n 10

.2 A

nchu

ra

de lo

s ef

ecti

va d

e m

iem

bros

la lo

sa, b

e

tr,b

b+1/

2·di

st.li

bre

En c

onex

ione

s de

esq

uina

sin

vi g

as

En c

onex

ione

s ex

teri

ores

sin

vig

as

b e≤1

/10

Luz

cent

ro a

cen

tro

viga

tran

sver

sale

s b e

= 2

c t+b

c .

Ade

más

, b e≤

1/12

· Ln

tran

sver

sale

s, b

e=c t

+bc+

Mín

(dis

tan-

Ade

más

, b e≤

1/12

· Luz

cen

tro

a b

orde

de

la lo

sa ,

ct )

Para

flex

ión

posi

tiva

: de

esq

uina

sin

vig

as tr

ansv

ersa

les:

flexi

ón p

ositi

va,

adem

ás,

AC

I 352

R-0

2

Si h

ay lo

sa e

n am

bos

lado

s:

b e=M

ín(b

b+8·

espe

sor

de la

losa

a

Para

flex

ión

posi

tiva

:

CO

NC

EPT

O

flexi

ón p

ositi

va, a

dem

ás, b

e≥ 2

·bb

1.00

cia

de la

car

a de

la c

olum

na a

l

AC

I 352

-76

AC

I 352

-85

Exce

pto

en c

onex

ione

s ex

teri

ores

y

1.25

idem

al T

ipo

1

Tip

o 1

Si h

ay lo

sa e

n un

sol

o la

do,

AC

I 352

-91

cada

lado

,bb+

dist

.libr

e a

la p

róx.

vig

a,

a la

pró

x. v

iga

, bb+

6·es

peso

r lo

sa)

be=

Min

(bb+

1/12

·Luz

de

la v

iga

,

a ca

da la

do,

1/4

*luz

de

la v

iga

)

Para

flex

ión

nega

tiva

: Ide

m a

la

Para

flex

ión

nega

tiva

: Ide

m a

la

Tip

o 2

cent

ro a

cen

tro

de la

vig

a )

(N.E

) , p

ero

enun

cia

que

debe

tom

arse

un

valo

r ad

ecua

do(N

.E.)

CU

AD

RO

1


34

Tip

o 1

10. R

esis

ten-

10.3

Rec

omen

-ci

a a

flex

ión

daci

ones

par

a de

los

cone

xion

es

mie

mbr

os d

e vi

ga p

lana

(con

t.)

11.R

efue

rzo

long

itudi

nal

de la

1

1.2

Val

ores

co

lum

na

límite

s del

área

de

acer

o

Liga

dura

s Circ

ular

es o

rect

angu

lare

s : 4

Máx

0.0

6·A

g- M

ín. 0

.01·

Ag

Tip

o 1

barr

as

Tip

o 2

11.1

Núm

ero

mín

imo

de

En a

rreg

lo c

ircul

ar: 6

men

os 1

/3 d

el re

fuer

zo d

e la

may

or o

igua

l a: M

ín(p

h/16

,15

cm)

11.6

del

AC

I 318

-02.

La

sepa

raci

ónde

l ref

uerz

o po

r tor

sión

deb

e se

r

para

resi

stir

la to

rsió

n im

pues

ta

en e

l núc

leo

de la

colu

mna

. La

viga

tran

sver

sal d

ebe

esta

r dis

eñad

a

Máx

.= 0

.08·

Ag,

Mín

=0.0

1·A

g

Liga

dura

s Tria

ngul

ares

: 3

En a

rreg

lo re

ctan

gula

r : 4

(N.E

)

Refu

erzo

hel

icoi

dal (

zunc

ho):

6

losa

que

est

á de

ntro

de

la a

nchu

-ra

efe

ctiv

a y

el re

fuer

zo lo

ngi-

tudi

nal d

e la

vig

a , d

ebe

ancl

arse

CO

NC

EPTO

A

CI 3

52-7

6 (N

.E)

Para

cone

xion

es in

terio

res:

Al

men

os 1

/3 d

el re

fuer

zo d

e la

lo

sa q

ue e

stá

dent

ro d

e la

anc

hu-

ra e

fect

iva

mas

el r

efue

rzo

long

i-tu

dina

l de

la v

iga

, deb

e pa

sar p

orel

núc

leo

de la

col

umna

Pa

ra c

onex

ione

s ext

erio

res :

Al

por l

a vi

ga p

lana

, seg

ún la

Sec

ción

AC

I 352

-85

AC

I 352

-91

Tip

o 2

AC

I 352

-02

CU

AD

RO

1


35

11.3

Dob

lado

d

e ba

rras

en

C

uand

o di

smin

uya

el a

nchu

ra d

e un

a co

lum

na d

e m

aner

a qu

e un

a de

sus c

aras

que

da d

espl

azad

a 7.

5 cm

o m

ás c

on

11.R

efue

rzo

cam

bios

de

resp

ecto

a la

del

pis

o in

feri

or, n

o pu

eden

dob

lars

e la

s bar

ras

long

itudi

nal

secc

ión

El re

fuer

zo tr

ansv

ersa

l col

ocad

o en

la z

ona

del d

oble

z de

be re

sist

ir p

or lo

men

os v

ez y

med

ia la

com

pone

nte

de la

h

oriz

onta

l de

la fu

erza

tran

smiti

da e

n la

par

te in

clin

ada

de la

bar

raco

lum

na

(con

t.)

12.1

Cua

ntía

volu

mét

rica

mín

ima

zunc

hos

12. R

efue

rzo

Tran

sver

sal

de la

12

.3 Á

rea

colu

mna

m

ínim

a de

ac

ero

pero

lig

adur

as

Idem

al T

ipo

1

4200

kgf

/cm

2

Tipo

1

Tip

o 2

4200

kgf

/cm

212

.4 M

áxim

a te

nsió

n ce

den-

Las b

arra

s a se

r do

blad

as n

o pu

eden

tene

r una

pen

dien

te m

ayor

que

1: 6

Tipo

2

No

se p

erm

ite

Idem

al T

ipo

1 ,

Tip

o 2

12.2

Máx

ima

tens

ión

ce-

dent

e es

peci

fica

da z

unch

os

(N.E

)

te e

spec

ific

ada

ligad

uras

AC

I 352

-02

AC

I 352

-76

AC

I 352

-85

AC

I 352

-91

sien

do c

onsi

dera

da la

sepa

raci

ón) ,

30

cm )

Tip

o 1

Las p

arte

s de

las b

arra

s que

est

án p

or e

ncim

a y

por d

ebaj

o de

l dob

lez

debe

n se

r par

alel

as a

l eje

de

la c

olum

na

11.4

Máx

ima

sepa

raci

ón

cent

ro a

cen

tro

entr

e ba

rras

M

ín( M

áx (

20 cm

,1/

3 de

la d

imen

sión

de

la c

olum

na e

n la

dir

ecci

ón e

n la

que

est

é

Idem

al T

ipo

1

(N.E

)

Las b

arra

s deb

en d

obla

rse

ante

s de

ser c

oloc

adas

CO

NC

EPTO

Tip

o 1

fy'fAA

.c

cgs

⋅⎟⎟ ⎠⎞

⎜⎜ ⎝⎛−

⋅=

ρ1

450

hy

c

cgs

f'f

AA.

⋅⎟⎟ ⎠⎞

⎜⎜ ⎝⎛−

⋅=

ρ1

450

yh

ch

shf

'f''bc

s.

A⋅

⋅=

090

≥≥

⎟⎟ ⎠⎞

⎜⎜ ⎝⎛⋅ ⎟⎟ ⎠⎞

⎜⎜ ⎝⎛−

⋅⋅

=ρ

yhc

cg

yhcs

f'fAA

.,

f'f.

Máx

145

012

0

⎟⎟ ⎠⎞⎜⎜ ⎝⎛

−⋅

=1

30

cg

yh

c'' c

hsh

AA

f'f

bs

.A

⎟⎟ ⎠⎞⎜⎜ ⎝⎛

−⋅

=1

30

cgc

''

shAA

f

'fh

s.

Ayh

h

yh''c

chgh

''sh

f'f

AAs

h.

''A

⎟⎟ ⎠⎞⎜⎜ ⎝⎛

−⋅

=1

30

"hs

f'f.

"A

hyh

shc

⋅≥

120

⎟⎟⎟ ⎠⎞

⎜⎜⎜ ⎝⎛⋅ ⎟⎟ ⎠⎞

⎜⎜ ⎝⎛−

⋅⋅

=ρ

yc

cf'f

AA.

,f'f

.M

áxg

ycs

145

012

0

yh

c"

hsh

f

'fh

s.

A09

0=

CU

AD

RO

1


36

Ang

ulo

de

dobl

a-do

mín

i-m

o de

los

12.5

Dim

en-

extr

emos

sion

es re

que-

Lon

gitu

d ri

das

ligad

uras

m

ínim

a d

e la

ga

nchu

ra12

. Ref

uerz

o D

iám

etro

s

Tran

sver

sal

mín

imos

de la

co

lum

na

12.6

Máx

ima

(con

t.)

sepa

raci

ón

cent

ro a

ce

ntro

lig

adur

as

12.7

Red

ucci

ón p

or

conf

inam

ient

o

Tip

o 1

Tipo

2

14. C

orte

;

φ Vn≥

Vu

en e

l nod

o

En li

gadu

ras c

erra

das,

10 d

b

Si p

erte

nece

al S

R C

L sí

smic

as, M

ín(1

/4·m

enor

En a

mbo

s ext

rem

os d

e

En li

gadu

ras d

e un

a ra

ma

, 90°

en

un e

xtre

mo

y 13

5° e

n el

otr

o.

Máx

( 6d

b, 7.

5 cm

)En

liga

dura

s de

una

ram

a,

En a

mbo

s ext

rem

os d

e lig

adur

as

liga

dura

s cer

rada

s y

13. M

ínim

a lo

ngitu

d de

la

zona

con

fina

da c

olum

na

Tip

o 2

men

or d

imen

sión

cerr

adas

y d

e un

a ra

ma

, 4d

b en

el e

xtre

mo

a 13

5° y

14.

1 C

orte

Teó

rico

Tipo

1

Tip

o 2

(N.E

)

En li

gadu

ras d

e un

a ra

ma,

de

una

ram

a,10

db e

n el

ext

rem

o a

90°

4 in

Si e

l nod

o es

tá c

onfin

ado

por l

as 4

car

as o

pues

tas o

por

2 c

aras

opu

esta

s, no

nec

esita

col

ocar

se re

fuer

zo tr

ansv

ersa

l

Máx

(1/6

· hn,

45 c

m,m

ayor

dim

ensi

ón c

olum

na)

Tip

o 1

(N.E

)

14.

2

φ

en la

dir

ecci

ón d

el c

onfin

amie

nto,

exc

epto

si e

s req

ueri

do p

or o

tras

cau

sas.

dim

ensi

ón c

olum

na,6

d b,1

5 cm

)

Mín

(Mín

(16d

b,48d

estr

ibo,m

enor

dim

ensi

ón c

olum

na) ,

15

cm)

y 6d

b en

el e

xtre

mo

a 90

° 6

d b

col

umna

) ,15

cm)

dim

ensi

ón c

olum

na ,3

0 cm

)

Mín

(Mín

(16d

b,48d

est,

la

Si p

erte

nece

al S

RCL

sísm

icas

idem

al a

nter

ior.

Si n

o, M

ín(1

/3 d

e la

men

or

Mín

( Mín

(16d

b,48d

estr

ibo,m

enor

dim

ensi

ón c

olum

na) ,

30

cm)

Si e

l nod

o pe

rten

ece

al si

stem

a re

sist

ente

a c

arga

s lat

eral

es (S

RCL

) no

sísm

icas

Si n

o, M

ín(1

/3·m

enor

dim

ensi

ón c

olum

na, 2

0 cm

)

En li

gadu

ras c

erra

das,

135°

En li

gadu

ras c

erra

das,

10d b

Si e

l nod

o es

tá c

onfin

ado

por l

as 4

car

as, p

uede

redu

cirs

e a

la m

itad

del r

eque

rido

10 d

b en

el e

xtre

mo

a 13

5°

AC

I 352

-76

AC

I 352

-85

#3, S

i db≤

#10

. #4,

Si d

b es #

11, 1

4 ó

18

AC

I 352

-02

AC

I 352

-91

CO

NC

EPTO

0.85

db

Acv

*=

cvAVu

vu⋅

=φ/

cj

cn

hb

fV

'γ

=

CU

AD

RO

1


37

14.5

Cla

sifi

ca-

14. C

orte

ci

ón d

el

en e

l no

do p

ara

Nod

o la

apl

icac

ión

(c

ont.)

d

el fa

ctor

γ

A.N

odos

con

col

umna

s co

ntin

uas

14.6

Val

ores

de

γla

s 4

cara

s :γ

= 5

.3B.

2)Po

r 3

cara

s ó

2 op

uest

as: γ

=4

Tip

o 1

14.

3 A

nchu

ra E

fect

iva

Tip

o 2

la c

olum

na .

Si n

o, b

=Anc

hu-

Efec

tiva

del

nod

o 14

.4 P

rofu

ndid

ad

Dis

t. en

tre

la c

ara

de la

co-

La p

rofu

ndid

ad d

e la

col

umna

(hc)

Con

fina

do p

or 3

car

as ó

2 o

pues

tas

(N.E

)

Otr

os c

asos

Es

quin

a

Inte

rior

cara

s :

γ =

6.3

lum

na y

el c

entr

oide

del

re-

en

la d

irec

ción

del

cor

te (d

)

(N.E

)

A.2

) Por

3 c

aras

ó 2

opu

esta

s: γ

=5.3

A.1

) Nod

os c

onfin

ados

por

las

4

del n

odo

lar

al c

orte

, b=

Anc

hura

de

ra d

el n

úcle

o de

la c

olum

na

en la

dir

ecci

ón p

erpe

ndic

u-Si

hay

mie

mbr

os c

onfi

nant

es

Si e

>bc/

8 ; m

=0.3

0

Tip

o 1

Tip

o 2

B.3)

Otr

os c

asos

: γ =

3.2

Esqu

ina

: γ =

3.2

Exte

rior

γ =

4In

teri

or :γ

= 5

.3

Exte

rior

Otr

os c

asos

; m

=0.5

0

la c

olum

na d

el b

orde

de

la v

iga

Con

fina

do p

or la

s 4

cara

s

A.3

) Otr

os c

asos

: γ

= 4

B.N

odos

con

col

umna

s di

scon

ti-nu

as :

B.1)

Nod

os c

onfin

ados

por

A.1

. γ=

5.3

, A.2

. γ=

4, A

.3. γ=

3.2

fuer

zo lo

ngitu

dina

l, m

edid

a

mh c

/2<

la d

ista

ncia

que

sob

resa

le

B.1.

γ=

4 , B

.2. γ=

3.2

, B.3

. γ=

2

CO

NC

EPT

OA

CI 3

52-7

6A

CI 3

52-8

5A

CI 3

52-9

1A

CI 3

52-0

2

(N.E

)

Inte

rior

: γ

= 6.

3 E

xter

ior

: γ =

5.3

Esqu

ina:

γ =

4

⎟ ⎠⎞⎜ ⎝⎛

⋅+

+h

bb

bb

Mín

bc

cb

21,

,2

⎟ ⎠⎞⎜ ⎝⎛

⋅Σ

++

2,

,2

cb

cc

bh

mb

bb

bM

in

CU

AD

RO

1


38

Tip

o 1

15.1

Val

ores

mín

imos

de

15. F

lexi

ónla

rela

ción

Σ

Mnc

/ ΣM

nv

16.2

Lon

gitu

d de

tran

sfer

en-

cia

(gan

cho

est

ánda

r )

16. D

esa-

rrol

lo d

el16

.3 F

acto

res

re

fuer

zode

redu

cció

n d

e la

long

itud

de tr

ansf

eren

cia

(gan

cho

está

ndar

) T

ipo

2

1.00

Si d

b≤ #

11 ,

el re

cubr

imie

nto

Tip

o 1

Si d

b≤ #

11 ,

el r

ecub

rim

ient

o no

rmal

al p

lano

del

gan

cho ≥

6 cm

y e

l rec

ubri

mie

nto

de

Tip

o 1

16.1

Val

ores

mín

imos

de

la

(gan

cho

está

ndar

) lo

ngit

ud d

e tr

ansf

eren

cia

CO

NC

EPTO

Tip

o 2

1.2

Si p

erte

nece

al S

RCL

sísm

icas

AC

I 352

-76

Si n

o ,

1.00

(N

.E)

barr

a m

ás a

llá d

e la

renc

ia ("

head

ed b

ars"

) (N

.E)

16.4

Val

ores

mín

imos

de

la

Tipo

2

Si a

dem

ás la

gan

cho

está

en-

cerr

ado

por e

stri

bos

con

una

mie

nto

de la

ext

ensi

ón d

e la

norm

al a

l pla

no d

e la

sepa

raci

ón ≤

3d b

,ψ=1

.80

.

ganc

ho ≥

6 c

m ,ψ

=1.4

0

ganc

ho≥

6 cm

y e

l rec

ubri

-

long

itud

de

tran

sfer

enci

a ( "

head

ed b

ars"

)16

.5 L

ongi

tud

de tr

ansf

e-

(N.E

)Si e

l ref

uerz

o es

tá c

oloc

ado

a un

a di

stan

cia

no m

ayor

a 3

db ,

0.8

de l

a ex

tens

ión

de la

bar

ra m

ás a

llá d

el g

anch

o ≥

5 cm

, 0.

7 .

Mín

(3d b

,15c

m)

Máx

( 4d b

, 10

cm)

Mín

(8d b

, 15

cm

)

Secc

ión

21.1

1 de

l AC

I 318

-02

Si p

erte

nece

al S

R C

L sí

smic

as, 1

.40

Si n

o , d

ebe

cum

plir

se la

AC

I 352

-02

Si d

b≤ #

11 y

el g

anch

o es

tá e

ncer

rado

por

est

ribo

s co

n un

a se

para

ción

≤ 3

db, 0

.8

Si s

e co

loca

más

ace

ro p

or fl

exió

n qu

e el

requ

erid

o, A

sreq

ueri

do/A

s col

ocad

o

Mín

(8 d

b , 1

5 cm

)

AC

I 352

-85

AC

I 352

-91

c

by

dh'f

df

.l

⋅=

075

0

c

by

dh

'f

df

.l

⋅⋅

α⋅=

0493

0c

hy

bs

'f

)f

f(

A.

l⋅

ψ

−⋅

α⋅

⋅=

060

c

by

dt

'f

df

.l

⋅⋅

α⋅⋅

=04

930

43

c'b

hf

)d

.(

f⋅

ψ⋅⋅

−⋅

=12

01

185

CU

AD

RO

1


39

16.6

Bar

ras

de

Tip

o 1

16. D

esa-

viga

s y

rrol

lo d

elco

lum

nas

refu

erzo

que

pasa

n (c

ont.)

po

r la

;co

nexi

ón

Tip

o 1

Tip

o 1

el re

fuer

zo tr

ansv

ersa

l en

con

exio

nes

de v

iga

p

lana

en

la z

ona

conf

inad

aba

rra

long

itudi

nal ,

24·

d est

)

Deb

e co

loca

rse

en u

na lo

ngitu

d al

men

os ig

ual a

2 v

eces

la a

ltura

del

mie

mbr

o D

ebe

tene

r una

sepa

raci

ón ig

ual a

:Mín

( d/4

, 24·

des

trib

o, 8

diám

etro

s de

la m

enor

ba

rra

long

itudi

nal,

30 c

m)

(N.E

)

(N.E

)

La se

para

ción

deb

e se

r may

or o

ig

ual a

: Mín

(1/2

· Altu

ra E

fect

iva

Tip

o 2

el re

fuer

zo tr

ansv

ersa

l

conf

inad

a

(N.E

)

(N.E

)

de la

vig

a en

la z

ona

Tip

o 2

CO

NC

EPTO

AC

I 352

-76

AC

I 352

-85

AC

I 352

-91

(N.E

)

18. R

ecom

enda

cion

es p

ara

En c

onex

ione

s de

viga

pla

na :

AC

I 352

-02

17.

Rec

omen

daci

ones

par

a

Si e

l cor

te e

n la

vig

a V

b es .

men

or q

ue

Si V

b >V

Máx

, cúm

plan

se lo

s re

quis

itos d

el ít

em 1

8

Tipo

2

(N.E

)de

la v

iga

, 8· d

iám

etro

de

la m

enor

20≥

viga

dh b

c20

≥co

lum

nad

h

b

b

2060

000

20≥

≥y

b

cf

viga

dh

2060

000

20≥

≥y

b

bf

col

dh

2460

000

24≥

≥y

b

cf

viga

dh

db

f54.0

Vb

c'M

áx⋅

⋅⋅

=

CU

AD

RO

1


40

tas

Tipo

1

Tip

o 1

19. R

ecom

enda

cion

es p

ara

en c

onex

ione

s co

n el

refu

erzo

tran

sver

sal

tran

sver

sal d

e la

col

umna

en

jun-

pas

de re

fuer

zo tr

ansv

ersa

l ver

tical

en to

da la

altu

rade

l nod

o

Deb

en c

oloc

arse

al m

enos

dos

ca-

6·di

ámet

ro d

e la

men

or b

arra

lo

ngitu

dina

l,15

cm)

(N.E

)

Tip

o 2

Deb

e co

loca

rse

refu

erzo

tran

sver

-sa

l ver

tical

en

toda

la a

ltura

de

l nod

o..L

a se

para

ción

deb

e se

r m

ayor

o ig

ual a

: Mín

(1/4

·bb,

La s

epar

ació

n de

be c

umpl

ir lo

s m

ism

os re

quis

itos

que

el re

fuer

zo

col

umna

dis

cont

ínua

AC

I 352

-02

CO

NC

EPTO

AC

I 352

-76

AC

I 352

-85

AC

I 352

-91

CU

AD

RO

1


41

Comentarios al Cuadro 1

1. 1.1 El ACI 352 en toda su historia ha clasificado a los nodos como Tipo 1 y Tipo 2. Como se

comentó en el Capítulo 1, un nodo del Tipo 1 no está diseñado para resistir incursiones

de la deformación en el rango inelástico, ya que los miembros que a él concurren están

diseñados sólo para resistir acciones gravitacionales o eólicas moderadas. Este Tipo de

nodo debe cumplir con todos los requisitos expuestos en el ACI 352 para este tipo de

nodo y con todos los requisitos del ACI 318, excluyendo el Capítulo 21. Un nodo del

Tipo 2 debe estar diseñado para resistir incursiones de la deformación en el rango

inelástico, que pueden deberse a acciones sísmicas, explosiones, vientos fuertes, etc.

Este Tipo de nodo debe cumplir con los requisitos del ACI 352 para este tipo de nodo, y

con el Capítulo 21 del ACI 318.

1.2 El ACI 352, a partir de su edición del año 1985, incorpora los nodos excéntricos, pero

con la condición de que todas las barras longitudinales de las vigas deben anclarse en el

núcleo de la columna o pasar a través de él.

Los nodos con vigas planas del Tipo 2 fueron incluidos en el ACI 352-02 sobre la base

de resultados de estudios realizados para nodos interiores y exteriores con vigas planas

sometidos a cargas reversibles, por lo que las recomendaciones emitidas por este Código

son aplicables principalmente a estos tipos de conexiones.

Los nodos discontinuos contemplados en este Código son básicamente los exteriores y

los de esquina, ya que los estudios que permitieron incorporar este tipo de nodos en el

Código, se hicieron fundamentalmente en nodos con esta configuración geométrica.

Las conexiones sin vigas transversales incluidas en este Código son fundamentalmente

las exteriores y las de esquina.


42

2. El diseño de nodos de concreto con agregados livianos, a pesar de que se han hecho

investigaciones al respecto, sigue sin plantearse en las diferentes ediciones del ACI- 352, debido

a que el Comité respectivo las ha considerado insuficientes. De hecho, este carácter de

insuficiencia sigue planteado en el Apéndice A del ACI 352 (Áreas que requieren de

investigación) en su edición vigente.

3. Las ediciones previas al ACI 352-02 no cubrían los concretos de alta resistencia porque no había

investigación suficiente.

4. Antes del 2002, el ACI-352 no incluía recomendaciones para dispositivos de anclaje diferentes

al comúnmente usado “gancho estándar” (que implica el doblado de la barra con un radio

especificado y dejando un gancho normalizado).

ACI 352-02, con base en una serie de investigaciones, extiende su alcance para incluir barras con

dispositivos de anclaje como los mostrados en la figura:

Fig. 2.1: “Headed Bars” típicas

Las barras que tienen estos dispositivos son denominadas “headed bars” y su utilización es

ventajosa, por lo siguiente:

• La eficiencia del anclaje con respecto a la del gancho estándar se ve incrementada

por la acción de la extremidad.

• Permite el uso de mayores diámetros, con lo cual se reduce el número de barras y

la consecuente congestión del nodo.

• Facilidades constructivas


43

Fig.2.2: Nodo armado con “Headed Bars”

5. ACI 352-02 extiende su alcance para permitir el uso de los llamados empalmes mecánicos

(“mechanical splices”), siempre que éstos cumplan con el Artículo 21.2.6 del ACI 318-02. Dicho

artículo enuncia que un empalme Tipo 1 debe desarrollar, tanto en tracción como en

compresión, al menos 1.25 fy de la barra; y un empalme mecánico Tipo 2 debe desarrollar la

resistencia a tracción especificada de la barra empalmada.

Los empalmes mecánicos son ventajosos porque reducen la congestión del acero y mantienen

mejor la integridad estructural durante los eventos sísmicos que los empalmes

convencionales. En Venezuela no son comúnmente usados por su alto costo con respecto a las

soluciones convencionales de empalme.

Fig.2.3: Empalmes mecánicos típicos


44

6. 6.1 Sin Comentario (S.C)

6.2 El Comité 352 introduce el concepto de conexión en ACI 352-02 para resaltar que en la

actualidad se está tomando en cuenta el efecto de la losa en la resistencia a flexión de las

vigas. De hecho, el nombre del Código fue modificado en esta edición. Las ediciones

anteriores al ACI 352-02 se denominaban “Recommendations for Design of Beam-Column

Joints in Monolithic Concrete Structures” (Recomendaciones para el diseño de nodos viga-

columna en estructuras monolíticas de concreto reforzado”).

En la edición vigente (ACI 352-02) este nombre cambia a “Recommendations for Design of

Beam-Column Connections in Monolithic Concrete Structures” (Recomendaciones para el

diseño de conexiones viga–columna en estructuras monolíticas de concreto reforzado).

Debido a que el ACI 352-02 incorpora el concepto de conexión, a partir de este punto se

aplicará este concepto cuando sea necesario mencionar al nodo de forma ampliada, es

decir, a éste y a las vigas, las columnas y la losa adyacentes.

7. La extensión del alcance del ACI 352-02 para incluir las conexiones de vigas planas de ambos

Tipos (1 y 2) se basó en resultados de ensayos realizados sobre conexiones con vigas planas

exteriores e interiores del Tipo 2 sometidas a cargas reversibles. El valor de la anchura fijado

como límite superior (el menor valor entre 3bc y bc+1.5 hc) tiene como finalidad asegurar la

formación completa de una rótula plástica en las vigas en las conexiones del Tipo 2, ya que, si

se aumenta demasiado las dimensiones de las vigas, se corre el riesgo de que la rótula plástica

se traslade a la columna, lo cual, como se mencionó en el Capítulo 1, no es deseable.

8.8.1 -8.2 S.C

8.3 Las ediciones posteriores al ACI 352-76, toman como sección crítica desde la cual se mide la

longitud de anclaje, la cara de la columna para nodos del Tipo 1 y la cara del núcleo para

nodos del Tipo 2. Esta diferencia entre las secciones críticas para cada tipo de nodo se debe

a que estudios realizados han demostrado que, para cargas sísmicas elevadas, el

recubrimiento de la columna se vuelve rápidamente inefectivo, es decir, se desprende con


45

facilidad, por lo que en nodos del Tipo 2 se supone que el desarrollo del mecanismo de

adherencia entre la barra y el concreto se inicia en la cara del núcleo de la columna y no en

la cara exterior de la misma.

Fig. 2.4: Secciones criticas para nodos Tipo 1 y 2

9. Las siguientes Figuras permiten ilustrar los requisitos para el confinamiento del nodo

presentados en todas las ediciones del ACI 352.

Fig. 2.5: Condiciones para el confinamiento del nodo


46

10. 10.1 El endurecimiento por deformación del acero afecta el momento resistente máximo

probable que puede desarrollar un miembro de concreto reforzado. Para cuantificar este

efecto se introduce el valor de α, el cual depende de la forma de la sección, la resistencia

del concreto, las características del acero de refuerzo, la relación de endurecimiento del

acero, la cuantía de acero de refuerzo longitudinal y transversal, el recubrimiento del

concreto y los diagramas de momento curvatura, entre otras variables.

Se permite que el valor mínimo de α en conexiones del Tipo 1 sea igual a 1.0 por que

los miembros adyacentes a este tipo de conexiones sólo requieren una ductilidad

limitada, dado que no se diseñan para incursionar en el rango inelástico.

Un valor de α = 1.25 debe ser considerado como mínimo para conexiones Tipo 2

construidas con aceros ASTM 706 o equivalentes. Para otros tipos de acero de refuerzo,

un valor mayor que 1.25 puede resultar apropiado.

10.2 Las ediciones precedentes al ACI 352-02 no consideraban el acero de la losa para el

cálculo de la resistencia a flexión de las vigas, aunque el ACI 352-91 prescribe que se

puede tomar el acero de la losa dentro de una anchura efectiva que se considere

apropiada, pero no especifica cuál es ese valor, sino que se deja al criterio del diseñador.

El ACI 352-02 incluye, ya de una manera más precisa, el concepto de anchura efectiva de

la losa. Este concepto se incorpora luego de la realización de numerosos estudios en

conexiones del Tipo 2 en los que se demuestra que cuando la viga está sometida a

momentos negativos (fibra superior en tracción) parte del refuerzo longitudinal de la

losa actúa como acero a tracción, conjuntamente con el acero a tracción colocado en el

alma de la viga. El concepto de anchura efectiva de la losa se utiliza únicamente para

efectos del diseño del nodo, no para el de las vigas.


47

Es importante resaltar que la capacidad adicional para resistir flexión negativa

proporcionada por la losa puede generar grandes fuerzas cortantes en el nodo y

menores diferencias de resistencia a flexión entre las vigas y las columnas que las que

anticipan los cálculos del diseño, ya que la losa confiere a las vigas una resistencia y

rigidez adicionales.

10.3 El comportamiento de las conexiones exteriores de vigas planas está influenciado por la

relación entre la anchura de la columna y la anchura de la viga y por la cantidad de

acero longitudinal que se ancla en la viga transversal y en el núcleo de la columna. El

límite inferior del acero longitudinal que debe anclarse en el núcleo de la columna

corresponde a limites probados en ensayos de laboratorio (al menos 1/3 del acero

superior de la viga más el acero de la losa que está dentro de la anchura efectiva debe

anclarse en el núcleo de la columna). Dado que la viga ancha puede provocar la falla

torsional de la viga transversal, ésta debe ser reforzada de acuerdo con lo prescrito en la

sección 11.6 del ACI 318 ,para resistir la torsión impuesta por las barras de la viga plana

y de la losa ancladas en la viga transversal. De allí la motivación de las recomendaciones

presentadas para este tipo de conexiones.

11. 11.1 S.C

11.2 El límite inferior (0.01 Ag) está destinado a asegurar que las columnas diseñadas según

estos Códigos sean realmente de concreto reforzado y a reducir los efectos de la fluencia

y la retracción del concreto bajo la acción de tensiones sostenidas de compresión.

Ensayos han comprobado que la fluencia y la retracción tienden a transferir la carga del

concreto a los aceros, con el consiguiente aumento de las tensiones en éstos, siendo el

incremento mayor cuanto menor sea la cuantía del acero. A menos que se fije un límite

inferior a esta cuantía, la tensión en los refuerzos puede alcanzar el nivel cedente bajo la

acción de cargas de servicio sostenidas.


48

El límite superior (0.06 Ag) es el máximo desde el punto de vista constructivo y

económico. Cuando el uso de altas cuantías de refuerzo ocasione dificultades

constructivas en el vaciado del concreto, se debe adoptar una cuantía menor, lo que

puede requerir una sección de columna mayor o una mayor resistencia del concreto o

del refuerzo. Cuando el empalme de las barras longitudinales de la columna se realiza

por solape, la cuantía máxima de acero de refuerzo recomendable es de 4%.

11.3 Las siguiente Figura permite ilustrar los requisitos para el doblado de barras en cambios

de sección, presentados en el cuadro comparativo:

a) Si las caras de las columnas quedan desplazadas menos de 7.5 cm.

b) Si las caras de la columna quedan desplazadas más de 7.5 cm. Fig. 2.6: Doblado de barras en cambios de sección


49

11.4 Estas prescripciones tienden a propiciar una distribución uniforme del refuerzo

longitudinal en conexiones Tipo 2, lo cual, según estudios realizados en columnas

sometidas a cargas reversibles severas, mejora el confinamiento del núcleo de la

columna.

12. 12.1 El efecto del acero de refuerzo helicoidal en el incremento de la capacidad resistente del

concreto en el núcleo de la columna, tiende a evidenciarse cuando la carga axial y la

deformación son lo suficientemente grandes como para producir el desprendimiento de

la cáscara de concreto que recubre al núcleo. La cuantía del refuerzo helicoidal calculado

con las fórmulas presentadas en este ítem tiene como propósito dar a la columna una

capacidad resistente igual o ligeramente mayor a la que tiene antes de desprenderse el

recubrimiento de concreto. Los ensayos y la experiencia han comprobado que las

columnas con la cuantía de acero de refuerzo helicoidal presentados en este ítem

alcanzan una considerable ductilidad y tenacidad.

12.2 S.C

12.3 El refuerzo recomendado en este ítem tiene como función principal la de confinar el

núcleo del nodo, permitiéndole funcionar mejor cuando esté sometido a cargas sísmicas

o reversibles de cualquier tipo. Estas fórmulas no consideran el efecto de la carga axial

en el cálculo del acero de refuerzo por confinamiento.

12.4 S.C


50

12.5 En las siguientes Figuras se puede observar los cambios de criterio relativos al

dimensionamiento del refuerzo transversal.

Fig. 2.7: Longitudes mínimas de los ganchos en ligaduras cerradas (ACI 352)

Fig. 2.8: Longitudes mínimas de los ganchos en ligaduras de una rama (ACI 352)

12.6 Cada requisito de separación de las ligaduras para nodos del Tipo 2 fue planteado por

razones diferentes. Así, el requisito de que la separación no exceda un cuarto de la

mínima dimensión del miembro es para garantizar un confinamiento adecuado del

concreto, al igual que el requisito de que la separación sea inferior a 15 cm.

El requisito de que la separación no exceda 6 veces el diámetro de la barra, tiene por

finalidad evitar el pandeo del acero de refuerzo longitudinal después del agrietamiento

del concreto.


51

Se pueden agrietar los recubrimientos no reforzados a medida que la columna se deforma

al resistir efectos de tipo sísmico. La separación de parte del recubrimiento del núcleo

causado por el agrietamiento local crea un peligro por la caída de porciones de concreto.

Para reducir este riesgo se requiere refuerzo adicional.

12.7 Estudios han demostrado que puede colocarse la mitad del refuerzo transversal

requerido por las ecuaciones presentadas en el ítem 12.3, siempre y cuando existan en las

cuatro caras del nodo miembros que lo confinen de acuerdo con los requisitos

presentados en el ítem 9.

13. El refuerzo transversal requerido según el ítem 12.3 debe distribuirse a lo largo de las zonas

donde sea probable la cedencia por flexión de la columna, por encima y por debajo del nodo.

El Comité 352 expone sus reservas acerca de la aplicación de estos requisitos en zonas críticas

tales como la base de las edificaciones, ya que, en estos sitios, la zona donde es posible la

cedencia por flexión generalmente es más extensa que la especificada por las Normas. Los

resultados de investigaciones indican que en estos casos la longitud debe incrementarse en un

50% o más, dado que la fuerza axial y la flexión pueden resultar particularmente altas.

14. 14.1 Las disposiciones de corte en el nodo del Código ACI 352-76, se basaban en el modelo

de corte para vigas, es decir, se consideraba que el comportamiento y la transmisión de

las fuerzas cortantes de un nodo era el mismo que el de las vigas, por lo que las

fórmulas utilizadas y el procedimiento de cálculo tanto del corte como del refuerzo

transversal en el nodo eran muy similares a los usados en las vigas. Investigaciones

posteriores al año 1976 comprobaron que ese procedimiento arroja cantidades excesivas

de acero en el nodo, dificultando su construcción.

Debido a esto, a partir de la edición del año 85, el mecanismo que se plantea como base

es el del puntal diagonal de compresión, mecanismo comentado en el Capítulo 1.


52

La fuerza horizontal límite del concreto (corte teórico del nodo) se acota a un valor

determinado, especificado en función de c'f ), y la cantidad de refuerzo transversal

necesaria se determina por consideraciones de confinamiento.

Algunos investigadores han insistido en la necesidad de considerar también las fuerzas

cortantes verticales en el diseño del nodo. Las recomendaciones para la distribución del

refuerzo longitudinal de la columna que aparecen en el ítem 11.4 del cuadro

comparativo, unidas con la suposición de que la respuesta de la columna es lineal,

confieren al nodo una adecuada capacidad para resistir dicha componente del corte. La

intención de diseño introducida en la ecuación del corte teórico y presentada en todas

las ediciones del ACI 352 a partir de la del año 76, es que, durante las acciones sísmicas,

el nodo pueda resistir las fuerzas cortantes especificadas si el concreto dentro del nodo

está adecuadamente confinado, es decir, si cumple las prescripciones para los refuerzos

transversal y longitudinal en la zona del nodo.

14.2 S.C

14.3 A este respecto, se dieron cambios sucesivos. El primero se da en el año 85, ya que se

modifica la manera de calcular el corte, con lo que cambia también el cálculo de la

anchura efectiva. Luego permanece igual hasta la edición del 2002, en el que cambia

nuevamente, ya que se incluye el parámetro m, que depende de la excentricidad de la

viga con respecto a la de la columna.

Las siguientes figuras ilustran lo presentado en el cuadro comparativo para la anchura

efectiva del nodo:


53

Fig.2.9: Anchura efectiva del nodo (ACI 352)

14.5-14.6 Las ediciones previas al ACI 352-02 (excepto la del año 76), clasificaban la conexión

para efectos de la Tabla 1 del Código (tabla utilizada para encontrar el valor de γ en

el Código) en interior, exterior y de esquina. Esta clasificación traía como

consecuencia que, por ejemplo, una conexión donde concurrían cuatro miembros

(lo que geométricamente se denomina conexión interior) terminaba siendo

clasificada como una conexión exterior por que sólo dos miembros opuestos de los

cuatro concurrentes tenían dimensiones suficientes para confinarla.

En beneficio de la claridad, se optó por considerar dos casos, con sus

correspondientes subcasos: el Caso A, que contempla las conexiones en las que la

columna es continua, y el Caso B, para columnas discontinuas.


54

Cada caso conduce a la determinación del parámetro γ, de los cuales los valores

correspondientes a los subcasos A.1, A.2 y A.3 (ver ítem 14.6 del cuadro) son

equivalentes a los valores correspondientes a los de los casos de conexiones

interiores, exteriores y de esquina que presentaban los Códigos del 85 y del 91. El

caso B y sus respectivos subcasos B.1 y B.2 no eran considerados en las ediciones

anteriores y fueron definidos por el Comité 352 sin referencia a datos

experimentales, ya que no se disponía de los mismos. Los valores correspondientes

al subcaso B.3, por el contrario, sí fueron evaluados con base en estudios

experimentales de conexiones viga-columna con columna discontinua bajo cargas

laterales reversibles. En estos ensayos, se evidenció el hecho de que las conexiones

con columna discontinua y con tres caras no confinadas no eran capaces de

desarrollar un nivel de esfuerzos cortantes superior a c'f⋅2 .

15. El objetivo principal de esta recomendación es reducir el riesgo de cedencia en las columnas

consideradas como parte del sistema resistente a fuerzas laterales sísmicas. Si las columnas no

son más resistentes que las vigas concurrentes a un determinado nodo, hay riesgo de que

pueda ocurrir la cedencia en ambos extremos de la columna en un determinado nivel (modo

de falla b .Ver Capítulo 1), generando un mecanismo de falla que puede conducir a la

inestabilidad de la estructura.

El valor de 1.2 que se utiliza actualmente no asegura completamente que las columnas no

cederán o no sufrirán daño si la estructura incursiona en el rango inelástico.

Estudios han demostrado que se necesitarían mayores factores (entre 2 y 3) para asegurar que

la cedencia no ocurra en la columna, particularmente si la estructura es flexible y si los modos

más altos contribuyen apreciablemente a la respuesta de la estructura.

El valor de 1.2 representa el valor límite entre la necesidad de proteger a la estructura de la

cedencia en la columna y la necesidad de mantener el tamaño de las columnas dentro de un

límite económico. Ensayos realizados para nodos viga-columna en los que se aplicaron las


55

máximas tensiones cortantes permitidas en combinación con el valor mínimo de la relación

entre las resistencias por flexión de las columnas y de las vigas, frecuentemente arrojaron

como resultado que la cedencia se trasladaba a la columna, generándose el indeseable modo

de falla de cedencia por flexión de la columna.

16. Tanto en nodos exteriores como de esquina, las barras deben ser ancladas, ya sea utilizando

gancho estándar o “headed bars”. Los dispositivos de anclaje deben colocarse en el nodo

como se muestra en la figura 2.10 para promover el desarrollo de un puntal diagonal de

compresión dentro del nodo, el cual, como se dijo anteriormente, es el mecanismo principal

en el que se basan estas recomendaciones.

a) Gancho estándar b) “Headed Bars”

Fig. 2.10: Dispositivos de anclaje contemplados por la Normas ACI 352

16.1 S.C

16.2-16.3 La diferencia entre las ecuaciones para la longitud de transferencia en nodos Tipo 1

y en conexiones Tipo 2 (ver ítem 16.2) toma en consideración diversos factores, entre

ellos los siguientes:

a) El gancho de las barras en un nodo Tipo 2 debe estar encerrado dentro del

núcleo confinado. Por tal motivo, el factor de 0.7 (factor de reducción

presentado en el ítem 17.3), es incluido en la ecuación de la longitud de

anclaje presentada para nodos del Tipo 2.


56

b) Para el Tipo 2 se incrementa la longitud con respecto a la del Tipo 1 para

tomar en cuenta los efectos perjudiciales de las cargas reversibles sobre la

adherencia de las barras.

c) El incremento en las tensiones para grandes deformaciones en conexiones

del Tipo 2 es tomado en cuenta a través del factor α.

16.4 S.C

16.5 Estudios realizados en nodos exteriores armados con “headed bars” con una longitud

de transferencia de aproximadamente el 75% de la presentada para los ganchos

estándar en el ítem 16.2 para nodos del Tipo 2, no presentaban pérdidas significativas

de adherencia en el anclaje debido al deterioro de la zona del nodo durante la acción de

cargas reversibles. Los estudios fueron realizados en nodos con una sola capa de

“headed bars”. El comité 352 ha planteado que deberá investigarse más a fondo la

afectación de la longitud de transferencia cuando se coloca más de una capa de refuerzo.

16.6 Varias investigaciones han demostrado que las barras de vigas y columnas que pasan a

través del nodo pueden deslizarse dentro de él durante la actuación de momentos

reversibles. Las tensiones de adherencia sobre estas barras pueden ser muy

grandes. El propósito del valor recomendado para h/db (20fy/4200) es limitar el

deslizamiento de las barras de vigas y columnas a través del nodo.

Fig. 2.11: Tensiones de adherencia idealizadas en una barra recta que pase a través del nodo


57

La adopción de este valor límite no asegura completamente que la barra no deslizará en el

nodo. Como se dijo en el Capítulo 1, si las barras se deslizan, se reduce considerablemente

la rigidez y la capacidad de disipación de energía en la zona del nodo. Es altamente

deseable que se garanticen grandes longitudes de transferencia en las barras,

particularmente cuando las fuerzas cortantes son elevadas y los valores de la relación

entre los momentos de las columnas y los de las vigas son bajos. Estudios indican que los

nodos con longitudes de transferencia de 24 a 28 veces el diámetro de la barra mejoran

sustancialmente su desempeño con respecto a los que tienen de 16 a 20 veces el diámetro.

Los nodos con longitudes de transferencia iguales a 28 veces el diámetro de la barra

exhiben poca o ninguna degradación de la resistencia, lo que se traduce en poco o ningún

deslizamiento ante las cargas cíclicas, mientras que aquellos con 24 veces el diámetro de la

barra se desempeñan marcadamente mejor que aquellos con 20 veces.

17. El refuerzo transversal en las vigas se requiere esencialmente para confinar el concreto y

mantener el apoyo lateral de las barras de refuerzo en aquellas regiones donde se espera la

cedencia.

18. Las conexiones de vigas planas presentan, generalmente, valores bajos de las tensiones

cortantes en las vigas. Por lo tanto, las disposiciones para el cálculo del corte presentadas en

el ACI 352-02 (ítem 15), al no tomar en cuenta este hecho, resultan demasiado conservadoras

cuando se aplican a este caso. Los estudios realizados demuestran que el comportamiento de

este tipo de conexión está básicamente controlado por la flexión, razón por la cual se permiten

en estos casos mayores separaciones para el refuerzo transversal de las vigas.


58

1. T

ipo

de

cone

xion

es c

onte

m-

1.2

Segú

n la

con

figu

raci

ónpl

adas

límit

es d

e f'c

7.C

ondi

cio-

7.2

Anc

hura

mín

ima

nes

dim

en-

sion

ales

pa

ra

las

viga

s

Máx

imo

Si e

s de

agr

egad

os d

e pe

so n

orm

al,

(N.E

)

Si e

s de

agr

egad

os li

vian

os ,

300

kgf/

cm2

210

kgf/

cm2

perp

endi

cula

rmen

te a

la v

iga

exce

ntri

cida

d

A 2

car

as o

pues

tas

o a

las

4 ca

ras,

deb

en ll

egar

vig

as q

ue c

ubra

n al

men

os 3

/4 d

el a

ncho

de

la c

olum

na

Mín

imo

200

kgf/

cm2

que

se

inte

rcep

tan

La d

el m

iem

bro

que

le s

irve

de

sopo

rte

mas

una

dis

tanc

ia, a

cad

a la

do, m

enor

o ig

ual a

l 75%

de

la a

ltura

de

25 c

mla

vig

a

1753

-85

1753

( R

)

3. V

alor

es

7.4

Val

or m

áxim

o de

la

25 %

de

la d

imen

sión

que

teng

a la

col

umna

(N

.E)

6. N

odo

geom

étri

ca

ND

1, N

D2,

ND

3

Inte

rior

es, e

xter

iore

s, d

e es

quin

a, e

xcén

tric

as y

de

viga

anc

ha

Con

agr

egad

os d

e pe

so n

orm

al y

con

agr

egad

os li

vian

os

Gan

cho

Está

ndar

7.3

Rel

ació

n m

ínim

a en

tre

la a

nchu

ra y

la a

ltur

a 0.

3

5. U

so d

e Em

palm

es M

ecán

icos

(N

.E)

Idem

AC

I 352

-02

(N.E

)V

olum

en d

e co

ncre

to c

omún

a d

os o

más

mie

mbr

os

2. T

ipo

de c

oncr

eto

perm

itid

o

4. T

ipo

de d

ispo

siti

vo d

e an

claj

e de

l ac

ero

long

itud

inal

per

mit

ido

CO

NC

EPTO

1

.1 S

egún

las

cond

icio

nes

de c

arga

8. R

equi

sito

s pa

ra e

l con

fina

mie

nto

del n

odo

7.1

Anc

hura

máx

ima

CU

AD

RO

2


59

be=M

ín(b

b+8·

espe

sor d

e la

9. R

esis

ten-

losa

a c

ada

lado

,bb+

dist

.libr

e a

la p

róx.

vig

a a

cada

la-

cia

a fl

exió

n do

, 1/4

*luz

de

la v

iga

)de

los

mie

mbr

osvi

ga,b

b+1/

2·di

st.li

bre

a la

pró

xim

a vi

ga, b

b+6·

espe

sor

losa

)

10.R

efue

rzo

long

itud

inal

de la

Id

em a

l AC

I 352

-02

, exc

epto

que

la d

ista

ncia

per

miti

daco

lum

na

cam

bios

de

secc

ión

entr

e la

s ca

ras

de la

col

umna

es

igua

l a 1

0 cm

mín

ima

de lo

s zu

ncho

s

11. R

efue

rzo

Tran

sver

sal

de la

co

lum

na

Idem

AC

I 352

-02

Idem

AC

I 352

-02

Idem

AC

I 352

-02

10.3

Dob

lado

de

barr

as e

n

acer

o li

gadu

ras

11.2

Áre

a m

ínim

a de

11.1

Cua

ntía

vol

umét

rica

10.

2 V

alor

es lí

mite

s de

l ár

ea d

e ac

ero

(N.E

)

Si h

ay lo

sa e

n am

bos

lado

s:

be=

Min

(bb+

1/12

·Luz

de

la S

i hay

losa

en

un s

olo

lado

:

Ver

com

enta

rio.

CO

NC

EPTO

9.

1 V

alor

m

ínim

o de

l fac

tor d

e so

brer

resi

sten

cia

9.2

Anc

hura

la lo

sa, b

e

1753

-85

1753

( R

)

Idem

al v

alor

de

α d

el A

CI 3

52 -0

2 pa

ra n

odos

Tip

o 2

10.1

Núm

ero

mín

imo

de

barr

as

efec

tiva

de

⎟⎟⎟ ⎠⎞

⎜⎜⎜ ⎝⎛⋅ ⎟⎟ ⎠⎞

⎜⎜ ⎝⎛−

⋅⋅

=ρ

yc

cf'f

AA.

,f'f

.M

áxg

yhcs

145

012

0⎟⎟⎟ ⎠⎞

⎜⎜⎜ ⎝⎛⋅ ⎟⎟ ⎠⎞

⎜⎜ ⎝⎛−

⋅⋅

=ρ

yc

cf'f

AA.

,f'f

.M

áxyc

s1

450

120

⎪⎪ ⎩⎪⎪ ⎨⎧

−⋅

⋅⋅

⋅

⋅⋅

⋅

=

)AA

()

ffh

s(.

)ff

hs(

.

.M

áxA

chg

yhc'c

yhc'c

sh

13

0

120

⎪⎪ ⎩⎪⎪ ⎨⎧

−⋅

⋅⋅

⋅

⋅⋅

⋅

=

)AA

()

ffh

s(.

)ff

hs(

.

.M

áxA

chyc'

c

yc'c

sh

13

0

090

CU

AD

RO

2


60

Ang

ulo

de

dobl

a-11

.3 D

imen

-do

mín

i-si

ones

requ

e-m

o de

los

rida

s lig

adur

asex

trem

os11

. Ref

uerz

o L

ongi

tud

Tran

sver

sal

mín

ima

de la

de

l gan

cho

colu

mna

D

iám

etro

s (c

ont.)

m

ínim

os

V

er c

omen

tari

o13

. Cor

te

del n

odo

en e

l nod

o

Si s

e us

an a

greg

ados

livi

anos

, deb

erá

redu

cirs

e en

un

25 %

#2 s

i db

= #4

;#3,

Si d

b≤#1

0 ; #

4, S

i db

es #

11, 1

4 ó

18

Idem

AC

I 352

-02

11.4

Máx

ima

sepa

raci

ónce

ntro

a c

entr

o lig

adur

asSi

el n

odo

está

con

finad

o po

r las

4 c

aras

, pue

de re

duci

rse

a la

mita

d de

l req

ueri

do e

n un

a lo

ngitu

dig

ual a

la m

enor

altu

ra d

e la

s vig

as c

oncu

rren

tes

y co

n un

a se

para

ción

no

may

or d

e 15

cm

. .

13.4

Pro

fund

idad

Ef

ectiv

a d

el n

odo

13.5

Val

ores

de

γ

13.

3 A

nchu

ra E

fect

iva

Idem

AC

I 352

-02

13.

1 C

orte

Teó

rico

1

3.2

φ

12. M

ínim

a lo

ngitu

d de

la z

ona

con

fina

da c

olum

na

11.5

Red

ucci

ón p

or

conf

inam

ient

o

Idem

AC

I

Idem

AC

I 352

-02

γ=5.

3 pa

ra n

odos

con

finad

os e

n su

s cu

atro

car

as

Idem

al C

aso

A p

ara

Nod

os T

ipo

2 de

l AC

I 352

-02

γ=4.

0 en

cua

lqui

er o

tro

caso

Idem

AC

I 352

-02

Idem

AC

I 352

-02En

liga

dura

s ce

rrad

as y

de

una

ram

a , 1

35°

Idem

AC

I 352

-85

Idem

AC

I 352

-02

Idem

AC

I 352

-02

Mín

(1/4

·men

or d

imen

sión

col

umna

,10

cm)

1753

-85

1753

( R

) C

ON

CEP

TO

2cw

j

cw

j

db

b

db

b

+≤

+≤

⎪ ⎩⎪ ⎨⎧

+⋅

+=

c

jww

j

b

hb

rb

Mín

b2

CU

AD

RO

2


61

14. F

lexi

ón

15. D

esa-

rrol

lo d

elSi

se

utili

zan

conc

reto

s co

n ag

rega

dos

livia

nos,

la lo

ngitu

d de

re

fuer

zofe

renc

ia (g

anch

o es

tánd

ar)

ancl

aje

debe

incr

emen

tars

e en

un

25 %

15. D

esa-

de la

long

itud

de

tran

sfe-

rrol

lo d

elre

ncia

(gan

cho

está

ndar

) re

fuer

zoSi

se

utili

za a

greg

ados

li-

(con

t.)co

lum

nas

que

pasa

n po

r la

vian

os, h

deb

e in

crem

en-

cone

xión

ta

rse

en u

n 30

%

Idem

AC

I 352

-02

16.

Rec

omen

daci

ones

par

a el

re

fuer

zo tr

ansv

ersa

l en

la v

iga

en

la z

ona

conf

inad

a

15.2

Bar

ras

de v

igas

y

15.1

Fac

tore

s de

redu

cció

n

long

itud

de

tran

sfer

enci

a (g

anch

o es

tánd

ar)

15.2

Lon

gitu

d de

tran

s-

Idem

AC

I 352

-02

15.1

Val

ores

mín

imos

de

la

14.1

Val

ores

mín

imos

de

la re

laci

ón

ΣM

nc/ Σ

Mnv

(N.E

)

1.2

Ver

com

enta

rio

Idem

AC

I 352

-02

CO

NC

EPTO

17

53-8

517

53 (

R)

c'

yb

dhf

fd

.l

⋅⋅

=06

0

bc'

yb

df

fd

.h

⋅≥

⋅⋅

=20

080

CU

AD

RO

2


62

Comentarios al Cuadro 2

1. 1.1 Las Normas Venezolanas, tanto la COVENIN 1753-85 como la SOCVIS 1753 (R), clasifican a

los nodos y, en general, a toda estructura a diseñar según estas Normas en Nivel de

Diseño 1 (ND1), ND2 y ND3. La gradación de estos niveles crece en correspondencia con

el rigor de las exigencias para el diseño, lo cual a su vez guarda relación con la incursión

esperada de la estructura en el rango inelástico, como es de prever que ocurra en eventos

sísmicos de importancia.

Según la Norma SOCVIS 1753 (R) los nodos de estructuras con ND1 deberán cumplir con

los requisitos de detallado definidos en el Artículo 7.8 para obtener la integridad

estructural y con los requisitos del Art. 11.10 en lo que respecta al diseño de nodos

propiamente dicho. Los nodos de estructuras con ND2 y ND3 deberán cumplir con el

Capítulo 18 y su diseño propiamente dicho, con el Art. 18.9 para el ND2 y con el 18.5

para el ND3.

1.2 S.C

2. COVENIN 1753-85 y SOCVIS 1753 (R), sí contemplan el uso de concretos con agregados

livianos, pero se “castiga” a través de factores de incremento o de reducción de algunos

parámetros, dependiendo del caso, como la longitud de anclaje y el factor γ para el cálculo del

corte teórico del nodo.

3. La resistencia máxima para concretos con agregados livianos, se especifica en cada Norma

debido a la experiencia insuficiente en el país en el uso de este tipo de concreto.

La Norma SOCVIS 1753 (R) no especifica un límite superior para el valor de f’c, pero enuncia

que los miembros construidos con concretos de alta resistencia requieren condiciones

especiales de confinamiento, por ser de naturaleza frágil.

4. S.C


63

5. Los empalmes mecánicos son contemplados en la SOCVIS 1753 (R) (Art. 12.3 (b)) y los

requisitos para los mismos son similares a los especificados en el ACI 318-02.

6.1 -6.2 S.C

7. Estas limitaciones geométricas son el resultado de experiencias en laboratorios con pórticos de

concreto reforzado que resistieron fuerzas inducidas por sismos.

8. S.C

9. 9.1 Las Normas COVENIN 1753-85 y SOCVIS 1753 (R) fijaban un valor de α de 1.00 para

nodos ND1 y ND2, y 1.25 para ND3. Sin embargo, en recientes discusiones de la Norma

SOCVIS 1753 (R), se ha planteado que el valor de α puede tomar un valor entre 1.25 y 1.40,

ya que según el IMME (Castilla y Marinilli, 2001) el valor de α oscila alrededor de 1.25 para

barras de acero con un bajo contenido de carbono (Tipo W) y alrededor de 1.40 para barras

de acero con un alto contenido de carbono (Tipo S). En el presente Trabajo se adoptará

como valor mínimo de α para las conexiones del Tipo 2, 1.25, en el entendido de que

cuando se llegue al consenso pertinente se pueden hacer las adaptaciones del caso.

9.2 La Norma COVENIN 1753-85 no contempla el concepto de la anchura efectiva de la losa, lo

que si hace la SOCVIS 1753 (R), siendo la forma de calcular la anchura efectiva similar a la

del ACI 352-02.

En la Norma SOCVIS 1753 (R), el efecto de la losa en la resistencia a flexión de las vigas no

es tomado en cuenta en el cálculo de los momentos máximos probables como en el ACI 352-

02, sino que es tomado en cuenta únicamente en el cálculo de los momentos teóricos de las

vigas, a efectos de la relación entre la suma de momentos teóricos de las columnas y la

suma de momentos teóricos en las vigas (ítem 14.1).Además, especifica que en los pisos

constituidos por losas nervadas no debe considerarse el acero de refuerzo de la losa dentro

de la anchura efectiva.


64

10.10.1 -10.2 S.C

10.3 La Norma COVENIN 1753-85 establece que si la cara de la columna queda desplazada

más de 10 cm. con respecto a la del nivel inferior, no pueden doblarse las barras, a

diferencia del ACI 352 y la Norma SOCVIS 1753 (R), que establecen como diferencia

máxima entre las caras de las columnas, 7.5 cm., para permitir el doblado de las barras.

11.11.1 -11.2 S.C

11.3 La Norma SOCVIS 1753 (R), como puede apreciarse en la Figura 2.12, prescribe como

ángulo de doblado mínimo para las ligaduras, tanto cerradas como de una sola rama en

estructuras ND2 y ND3, 135° para el ND2 y ND3, a diferencia de la Norma ACI 352, que

permite que uno de los extremos sea doblado a 90 ° aunque la conexión sea del Tipo 2.

Fig. 2.12: Longitud mínima del gancho (SOCVIS 1753(R))

Esta restricción de la Norma Venezolana se debe a que estudios han demostrado que los

ganchos doblados a 90 ° tienden a abrirse bajo la acción de cargas reversibles elevadas, en

especial cuando soportan barras longitudinales de grandes diámetros.


65

ACI 352 permite el uso de ganchos a 90 °, siempre y cuando sean alternados sobre caras

opuestas de la columna, así:

Fig.2.13: Uso de ganchos a 90° en ligaduras de una rama (ACI 352-02)

Con respecto a los diámetros mínimos de las ligaduras, es importante resaltar que la

Norma COVENIN 1753-85 especifica que para el soporte de barras longitudinales

menores al N° 4, se pueden utilizar ligaduras de diámetro N° 2. En el resto de las

Normas, el diámetro mínimo es N° 3.

12. 12.1 -12.2 S.C

13. 13.1 -13.2 S.C

13.3

a)


66

b) 1753 (R)

Fig. 2.14: Anchura efectiva según las Normas COVENIN 1753-85 y SOCVIS 1753(R)

13.4-16 S.C

Como se puede apreciar en los cuadros comparativos, los cambios que presentan las NVC 1753

son muy similares a los que presentan las Normas ACI 352, en los parámetros en los que

coinciden, ya que hay parámetros que las NVC 1753 no contemplan por que no son Normas

dedicadas enteramente al diseño de nodos, sino al diseño de estructuras en general.


67


67

CAPITULO 3: PROCEDIMIENTOS DE DISEÑO

En este Capítulo se proponen procedimientos de diseño de conexiones viga-columna,

atendiendo a lo recomendado por el Código ACI 352-02 y por las Normas Venezolanas

COVENIN 1753-85 y SOCVIS 1753 (R).

En estos procedimientos de diseño se incluirán las condiciones que deberán cumplir tanto las

vigas como las columnas en la zona adyacente al nodo (zona confinada).Estas disposiciones son

dadas por las Normas con la finalidad de que se formen rótulas plásticas en las vigas o en las

columnas, modo de falla dúctil que, como se ha mencionado, es preferible a otros modos de falla

frágiles, como las fallas por corte.

Luego de los procedimientos, se encontrarán ejemplos resueltos que permitirán clarificar la

aplicación de los mismos.

Procedimiento de diseño según ACI 352-02

1. Verificar que el concreto de la conexión sea de agregados de peso normal y que su c'f no

exceda los 2cm/kgf1050 (Art.1.2 ACI 352-02)

2. Identificar el tipo de conexión objeto del problema (interior, exterior, de esquina, de viga plana,

excéntrica, sin vigas transversales o con columna discontinua) (Art. 2.2 ACI 352-02)

a) Interiores b) Exteriores


68

⎩⎨⎧

+=

cc

cMáx h.b

bMínb

513

Máxb bb ≤

c) Esquina d) Viga plana

e) Excéntrica f) Con columna discontinua

Fig. 3.1: Nodos viga-columna contemplados en el ACI 352-02

3. Verificar las siguientes condiciones dimensionales en los miembros:

a) La anchura de cada una de las vigas que llegan a la conexión no debe exceder el valor

máximo permitido para la aplicación del ACI 352-02 (Art. 2.2.1 ACI 352-02)

;

b) Verificar si el refuerzo de la columna se ancla en el nodo. En caso contrario, debe

cumplirse que:

(Art. 4.5.5 ACI 352-02)

bcoly

b d4200

f20h ⋅

⋅≥


69

En caso de que esta expresión no se cumpla, para que lo haga se puede aumentar la altura

de la viga o disminuir el diámetro de las barras de la columna.

c) Verificar si el refuerzo de cada viga se ancla en el nodo, es decir, no pasa a través de él.

En caso contrario, verificar que se cumpla la condición:

Si la conexión es de vigas planas:

(Art. 4.5.5 ACI 352-02)

En cualquier otro caso:

En caso de que esta expresión no se cumpla, para que lo haga se puede aumentar la

profundidad de la columna o disminuir el diámetro de las barras de la viga.

4. Refuerzo longitudinal de la columna

4.1 Verificar que el área de acero longitudinal de la columna (Ast) esté entre 0.01 Ag y

0.06 Ag (Art. 21.4.3.1 ACI 318-05)

Cuando esto no se cumpla, se deberá aumentar o disminuir el área de acero longitudinal

de la columna, dependiendo del caso.

4.2 Calcular la separación centro a centro máxima entre las barras de la columna (s Máx) y

compararla con la separación entre las barras colocadas (s).

(Art. 4.1 ACI 352-02)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅=

separaciónlaaconsideradsiendoestéquelaendirección

laencolumnaladeensióndim

cm

.Máx

cm

.MínsMáx 3120

30

bvigay

c d4200

f24h ⋅

⋅≥

bvigay

c d4200

f20h ⋅

⋅≥


70

Si Máxss ≤ , verifica

Si Máxss > cambiar la configuración del acero longitudinal de la columna

5. Refuerzo transversal de la columna en el nodo

5.1 Verificar que para cada una de las vigas que forman la conexión se cumplen las

siguientes condiciones:

a) Que cb bb43

≥

b) Que la distancia que sobresale la columna de la viga sea menor o igual que

10 cm.

Si estas dos condiciones se cumplen para dos vigas opuestas concurrentes al nodo, éste

estará confinado en esa dirección.

Si concurren cuatro vigas al nodo y todas cumplen con las dos condiciones anteriores, el

nodo estará confinado por sus cuatro caras.

5.2 Suponer un arreglo inicial de ligaduras que cumpla con las siguientes condiciones:

a) Las barras longitudinales de cada esquina deben tener soporte lateral.

Adicionalmente, las restantes deben quedar lateralmente soportadas como

mínimo en forma alternada, es decir, no dejando más de una de por medio

sin soporte. Ninguna barra sin soporte lateral estará separada de la barra

soportada lateralmente en más de 15 cm. libres, medidos sobre la ligadura.

Esta conexión debe ser suministrada por el doblez de un estribo con un

ángulo interno no mayor de 135º. (Art.7.10.5.3 ACI 352-02)


71

Fig. 3.2: Ilustración de la distancia entre barras arriostradas lateralmente

b) El diámetro mínimo de las ligaduras debe ser #3, si el diámetro de las barras

longitudinales es menor al #10; y # 4 si el diámetro de las barras es #11, #14 ó

#18 (Art. 7.10.5.1 ACI 318-05)

c) Los ganchos deben tener las características que se muestran en la Figura:

(Figura 4.3 ACI 352-02)

Fig.3.3: Longitudes mínimas de los ganchos según el ACI 352-02


72

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

cm

columnaaleslongitudinbarrasd

columna.dim.Mín

Míns bMáxh

15

64

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⋅⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

⋅⋅⋅

=⋅

yh

c'

c"

h

c

g

yh

c'

c"

h

shreq

ffbs.

AA

ffbs.

MáxA090

130

5.3 Calcular el área de acero colocado en el punto anterior, Ashcol en cada dirección (X e Y).

5.4 Calcular la separación máxima centro a centro entre ligaduras, atendiendo a lo siguiente:

(Art. 4.2.2.3 ACI 352-02)

5.5 Calcular el acero requerido, Ashreq como:

(Art. 4.2.2.2 ACI 352-02)

Realizar este cálculo en cada dirección (X e Y).

5.5.1 Cuando las cuatro vigas que llegan al nodo, lo confinen de acuerdo a las

condiciones presentadas en el numeral 5.1, es igual a 4, se puede reducir el acero

requerido Ashreq antes calculado, a la mitad. (Art. 4.2.2.5 ACI 352-02)

5.6 Comparar el valor de Ashreq con Ashcol.

Si shcolshreq AA ≤ , verifica

Si no, se debe disminuir la separación de las ligaduras o aumentar su diámetro

La separación mínima de los estribos es de 7 cm.

Se deberá calcular el refuerzo necesario por corte y compararlo con el obtenido de las

fórmulas anteriormente presentadas. Si resulta mayor, deberá adoptarse como

definitivo para la columna.


73

⎪⎩

⎪⎨⎧

+

+=

b

ct

e bcentroacentroLuz121

bc2Mínb

6. Refuerzo transversal de la columna en la zona confinada

El cálculo del refuerzo transversal de la columna en la zona confinada es idéntico al del nodo,

excepto que no aplica el factor de reducción del refuerzo cuando el nodo está confinado en sus

cuatro caras.

El refuerzo obtenido, debe extenderse una distancia igual a: ⎪⎩

⎪⎨

⎧ ⋅=

columna.dim.may.cm

h/.MáxL

n

o 4561

7. Anchura efectiva de la losa

Si la losa es nervada, pasar al punto 8.

Si la losa es maciza, calcular la anchura efectiva de la losa, be, para cada una de las vigas que

concurren al nodo. Esta anchura efectiva dependerá del tipo de conexión y de si esta tiene losa en

un lado o en ambos lados

Si la conexión es exterior sin vigas transversales: (Art. 3.3.2 ACI 352-02) Fig. 3.4: Distancia c t

Si la conexión es de esquina sin vigas transversales: (Art. 3.3.2 ACI 352-02)

⎪⎩

⎪⎨⎧

+

++=

b

tct

e bcentroacentroLuz121

)c,losaladebordealcolumnaladecaraladesdeciatandis(MinbcMínb


74

En cualquier otro caso:

Si hay losa en ambos lados:

Flexión positiva (momento que comprime la fibra superior de la viga):

(Art. 8.10.2 ACI 318-05)

Flexión negativa (momento que comprime la fibra inferior de la viga): Ídem a la positiva, excepto que be b2b ⋅≥

Si hay losa en un solo lado:

Flexión positiva: (Art. 8.10.3 ACI 318-05)

Flexión negativa: Ídem a la positiva, excepto que be b2b ⋅≥

Cuando la conexión sea de vigas planas, deberá verificarse que al menos 1/3 del refuerzo

superior de la viga más el de la losa que están dentro de la anchura efectiva, be, debe pasar por el

núcleo de la columna.

8. Calcular los momentos resistentes máximos probables de las vigas en cada dirección (X e Y).

Para este cálculo se utilizarán las fórmulas típicas de diseño de vigas sometidas a flexión,

adoptando un valor de φ igual a 1.00 y un valor de α mayor o igual a 1.25. El procedimiento

dependerá de si la losa es maciza o nervada.

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅⋅+

⋅

⋅⋅+

=

2)viga.próxlaalibre.dist(21b

centroacentroLuz41

2losaladeespesor8b

Mínb

b

b

e

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅+

⋅+

⋅+

=

)viga.próxlaalibre.dist(21b

centroacentroLuz121b

losaladeespesor6b

Mínb

b

b

b

e


75

)2/ad(ba'f85.0M 111ec1pr −⋅⋅⋅⋅=

losa2prviga2pr2pr MMM +=

)2/ad(ba'f85.0M losa2losa2losa2blosa2closa2pr −⋅⋅⋅⋅=


Si la losa es maciza:

Si hay dos vigas en la dirección analizada

be1 es la anchura efectiva para flexión positiva de la viga de la izquierda .

Fig. 3.5: Dirección del sismo que produce momentos en el sentido horario (dos vigas en la dirección analizada)

As2losa es el acero de la losa que está dentro de la anchura efectiva para flexión negativa de la viga de la derecha.

Fig. 3.6: Dirección del sismo que produce momentos en el sentido antihorario As3losa es el acero de la losa que está dentro ( dos vigas en la dirección analizada) de la anchura efectiva para flexión negativa de la viga de la izquierda

)2/ad(ba'f85.0M viga2viga22bviga2cviga2pr −⋅⋅⋅⋅=

2bc'

ylosa2slosa2 bf85.0

fAa

⋅⋅

⋅α⋅=

3

33

850 bc'

yvigasupsviga bf.

fAa

⋅⋅

⋅α⋅=

3bc'

ylosa3slosa3 bf85.0

fAa

⋅⋅

⋅α⋅=

)2/ad(ba'f85.0M losa3losa3losa3blosa3closa3pr −⋅⋅⋅⋅=

)2/ad(ba'f85.0M viga3viga3viga3bviga3cviga3pr −⋅⋅⋅⋅=

1ec'

y1fsin1 bf85.0

fAa

⋅⋅

⋅α⋅=

2

22

850 bc'

yvigasupsviga bf.

fAa

⋅⋅

⋅α⋅=


76


be1 es la anchura efectiva para flexión positiva de la viga de la derecha.

Si hay sólo una viga en la dirección analizada:

Fig. 3.7: Dirección del sismo que produce momentos en el sentido horario (una viga en la dirección analizada)

As1losa es el acero de la losa que está dentro de la anchura efectiva para flexión negativa de la viga.

be2 es la anchura efectiva para flexión positiva de la viga.


( una viga en la dirección analizada)

Si la losa es nervada, seguir el mismo procedimiento, pero sin tomar en cuenta la anchura

efectiva ni el acero de la losa, por lo que, en las fórmulas presentadas en este punto se

reemplazará be por bb y el Mprlosa en cualquier caso será igual a cero, al igual que el área de

acero Aslosa.

)/ad(ba'f.M vigavigabvigacvigapr 2850 1111 1 −⋅⋅⋅⋅=

1

11

850 bc'

yvigasupsviga

bf.

fAa

⋅⋅

⋅α⋅=

1bc'

ylosa1slosa1 bf85.0

fAa

⋅⋅

⋅α⋅=

)/ad(ba'f.M losalosablosaclosapr 2850 11111 −⋅⋅⋅⋅=

2ec'

y2fsin2 bf85.0

fAa

⋅⋅

⋅α⋅=

)2/ad(ba'f85.0M 222ec2pr −⋅⋅⋅⋅=

)/ad(ba'f.M ecpr 2850 44444 −⋅⋅⋅⋅=4

44

850 ec'

yfsin

bf.

fAa

⋅⋅

⋅α⋅=


77

n

2pr1pr21col h

MMV

+=−

n

4pr3pr43col h

MMV

+=−

9. Calcular los cortes de la columna, Vcol en las dos direcciones (X e Y)

Estas fórmulas asumen que el punto de inflexión se encuentra en la mitad de la altura de cada

entrepiso y que éstos son iguales.

Si hay dos vigas en la dirección analizada:

Fig. 3.9: Cortes en la columna para la dirección del sismo que produce momentos horarios (dos vigas en la dirección analizada)

Fig. 3.10: Cortes en la columna para la dirección del sismo que produce momentos antihorarios (dos vigas en la dirección analizada)


78

n

1pr1col h

MV =

n

2pr2col h

MV =

21col2121u VTCV −− −+=

yfsin fAC ⋅α⋅= 11

ylosasvigasups f)AA(T ⋅α⋅+= 222


Fig. 3.11: Cortes en la columna para la dirección del sismo que produce momentos horarios (una viga en la dirección analizada)

Fig. 3.12: Cortes en la columna para la dirección del sismo que produce momentos antihorarios (una viga en la dirección analizada)

10. Calcular el corte último del nodo para cada dirección del sismo

Si la losa es maciza:

Si hay dos vigas en la dirección analizada: Fig. 3.13: Corte último del nodo para la dirección del sismo que produce momentos horarios (dos vigas en la dirección analizada)


79

43col4343u VCTV −− −+=


Fig. 3.14: Corte último del nodo para la dirección del sismo que produce momentos antihorarios (dos vigas en la dirección analizada)

Si hay sólo una viga en la dirección analizada: Fig. 3.15: Corte último del nodo para la dirección del sismo que produce momentos horarios (una viga en la dirección analizada) Fig. 3.16: Corte último del nodo para la dirección del sismo que produce momentos antihorarios (una viga en la dirección analizada)

Si la losa es nervada, tomar Aslosa igual a cero

111 colu VTV −=

222 colu VCV −=





80

11. Corte Teórico en el nodo

11.1 Definir el valor de γ en la Tabla 3.1 adjunta, de acuerdo al número de caras confinadas

que tenga el nodo. Una cara del nodo estará confinada si la viga que a ella concurre,

además de cumplir con las dos condiciones de confinamiento presentadas en el punto

5.1, cumple con que su altura sea mayor que ¾ partes de la altura del nodo. La altura

del nodo será la menor altura de las vigas concurrentes al mismo. (Tabla 1 ACI 352-02)

Tabla 3.1: Valores de γ

11.2 Calcular m: (Art. 4.3 ACI 352-02)

Si la excentricidad e de la viga es mayor que 8cb , tomar como valor de m ,0.3. En

cualquier otro caso, tomar como valor de m, 0.5.

11.3 Determinar la anchura efectiva del nodo, bj, como: (Art. 4.3.1 ACI 352-02)

2chm ⋅ no puede ser mayor que la distancia que sobresale la columna de la viga. Si

resultara mayor, se deberá tomar 2hm c⋅ como la distancia que sobresale la columna de

la viga.

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+

⋅Σ+

=

c

cb

cb

j

b

bb

hmb

.Mínb2

2


81

Si la anchura de las vigas (bb) en la dirección analizada es diferente, tomar como valor de

bb el promedio de los dos valores de anchura. Si la profundidad de la columna superior

es diferente de la inferior, tomar como valor de hc el menor valor.

11.4 Calcular el corte teórico del nodo en cada dirección, como:

12. Tomando un valor de φ=0.85, calcular , y compararlo con el mayor con el Corte Ultimo

(Vu) obtenido en 10.

Si un VV ≥⋅φ , verifica, si no puede aumentar la sección de la columna, aumentar la altura de la

viga, aumentar la anchura de la viga, aumentar el f’c o seguir cualquiera de las recomendaciones

dadas en el Capítulo 1 para alejar la rótula plástica de la cara del nodo.

13. Relación :

13.1 Calcular los momentos teóricos de las vigas, utilizando las mismas fórmulas presentadas

en el punto 8 para el cálculo de los momentos probables, pero adoptando un valor de

φ=1.00 y un valor de α=1.00


Fig. 3.17: Momentos teóricos horarios en vigas y

antihorarios en columnas (dos vigas en la dirección analizada)

cjc'

n hbfV ⋅⋅⋅γ=

nVφ

2nv1nv

supncinfnc

v

c

MMMM

MnMn

+

+=

∑∑

v

c

MnMn

∑∑


82

Fig. 3.18: Momentos teóricos antihorarios en vigas y

horarios en columnas (dos vigas en la dirección analizada)

Si hay sólo una viga en la dirección considerada:

Fig. 3.19: Momentos teóricos horarios en vigas y antihorarios en columnas (una viga en la dirección analizada)

4nv3nv

supncinfnc

v

c

MMMM

MnMn

+

+=

∑∑

1nv

supncinfnc

v

c

MMM

MnMn +

=∑∑


83

Fig. 3.20: Momentos teóricos antihorarios en vigas y

horarios en columnas (una viga en la dirección analizada)

Si , si no, se debe aumentar la dimensión de la columna. 14. Refuerzo transversal por corte en las vigas en la zona confinada.

Si la conexión es de vigas planas: (Art.4.6.2 ACI 352-02)

Estimar el corte en la cara de la columna. De una forma aproximada, se puede estimar utilizando la siguiente fórmula:

Calcular VMáx como: dbf54.0V bc'

Máx ⋅⋅⋅=

Si Máxb VV ≤ se puede colocar la separación de los estribos de la viga como:

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅

⋅=

2/dd24

vigad8MínS estribo

b

Se deberán colocar como mínimo cuatro ramas de refuerzo transversal.

ok20.1MnMn

v

c ≥∑∑

2nv

supncinfnc

v

c

MMM

MnMn +

=∑∑

)vigaladelibreluz(*.MV máx

b 50=


84

Si no se cumple que Máxb VV ≤ o en cualquier otro tipo de conexión:

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅

⋅=

4248

/dd

vigadMíns estribo

b

En cualquier caso, el refuerzo deberá extenderse una distancia igual a 2 hb .El primer estribo

debe colocarse a no menos de 5 cm. de la cara del nodo.

15. Si las barras de la (s) vigas se anclan en el nodo, calcular la longitud de anclaje ldh como:

c

'

bvigaydh

f

df0493.0l

⋅⋅α⋅= (Art. 4.5.2.4 ACI 352-02)

Esta longitud debe ser mayor o igual que el menor valor entre 8 veces el diámetro de la barra de

la viga y 15 cm.

Si la separación de las ligaduras o de los estribos es menor o igual a 3 veces el diámetro de la

barra, se puede multiplicar por 0.8 el valor de ldh antes obtenido.

Comparar el valor de ldh antes obtenido con el espacio disponible en la columna. Si

verifica,disponibleEspacioldh ≤ .Si no, se puede aumentar la profundidad de la columna o

disminuir el diámetro de las barras de la viga.

Cuando se usen como dispositivo de anclaje las llamadas “headed bars”:

dhdt ll ⋅=43


85

Procedimiento de diseño de conexiones viga-columna según la Norma COVENIN

1753-85

1. Verificar que el valor de c'f sea mayor o igual a 200 kgf/cm2 cuando se utilicen agregados de peso

normal .Cuando se utilicen agregados livianos, verificar que c'f sea menor que 300 kgf/cm2.

(Art.18.1.3.1)

2. Identificar el tipo de conexión objeto de problema (interior, exterior, esquina, excéntrica, de vigas

planas). Ver Figura 3.1

3. Verificar las siguientes condiciones dimensionales en los miembros:

a) La relación anchura –altura de las vigas deberá ser mayor o igual que 0.30 (Art. 18.2.1)

b) La anchura de las vigas deberá ser mayor o igual que 25 cm. (Art. 18.2.1)

c) La anchura de la viga deberá ser menor o igual que la del miembro que le sirve de soporte,

más una distancia, a cada lado, menor o igual al 75 % de la altura total de la viga

(Art. 18.2.1)

Fig.3.21: Anchura máxima de las vigas según la Norma COVENIN 1753-85


86

d) La excentricidad de las vigas respecto a la columna que cruzan, medida como distancia

entre los ejes de los dos miembros, deberá ser menor o igual del 25% de la dimensión que

tenga la columna perpendicularmente a la viga.

Fig.3.22: Excentricidad máxima de las vigas según la Norma COVENIN 1753-85

e) La menor dimensión transversal de la columna, medida a lo largo de una recta que pase

por su centro geométrico, no sea menor que 30 cm. (Art. 18.4.2 )

f) La relación entre la menor dimensión de la sección transversal de la columna y la

correspondiente en una dirección perpendicular, no sea inferior a 0.4. (Art.18.4.2)


4.1 Verificar que la cuantía geométrica ρ este entre 0.01 y 0.06 (ρ=Αs/Ag) (Art.18.3.3.2)

Si esto no se cumple se deberá aumentar o disminuir el área de acero longitudinal de la

columna, dependiendo del caso.


87

5. Refuerzo transversal de la columna en la zona del nodo

5.1 Verificar que para cada una de las vigas que forman la conexión se cumple

que cw b43b ≥ (Art.18.4.2.2)


a) Las ligaduras deberán disponerse de manera que las barras longitudinales de cada

esquina tengan soporte lateral. Adicionalmente, las restantes deben quedar

lateralmente soportadas como mínimo en forma alternada, es decir, dejando una

de por medio sin soporte. Ninguna barra sin soporte lateral estará separada de la

barra soportada lateralmente en más de 15 cm. libres, medidos sobre la ligadura.

Esta conexión debe ser suministrada por el doblez de un estribo con un ángulo

interno no mayor de 135º. (Ver Figura 3.2) (Art. 7.10.5.3)

b) El diámetro mínimo de las ligaduras es Nº2, para barras Nº4; #3, para barras

mayores del Nº4 y hasta el Nº 11 inclusive; y #4 si el diámetro de las barras es

mayor al #11. (Art. 7.10.5.1)

c) Los ganchos deben tener las características que se muestran en la Figura 3.20:

(Art. 7.1)

Fig. 3.23: Características de la ligaduras según la Norma COVENIN 1753-85

5.3 Calcular el área de acero colocado en el punto anterior, Ashcol


88

⎪⎩

⎪⎨⎧

=cm

columna.dim.MínMíns Máxh

104

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅⋅⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅⋅⋅

=

yh

c'

c

ch

g

yh

c'

c

shreq

ffhs.

AA

ffhs.

MáxA

120

130


(Art. 18.3.4.4)


(Art.18.3.4.3.2)

5.5.1 Cuando el nodo esté confinado por sus cuatro caras de acuerdo al punto 5.1, se

puede reducir el acero requerido Ashreq antes calculado, a la mitad, en una longitud

igual a la menor altura de las vigas concurrentes a la conexión y con una

separación no mayor de 15 cm. (Art.18.4.2.2)

5.6 Comparar el valor de Ashreq con Ashcol .






cuatro caras.


⎪⎨

⎧ ⋅=

columna.dim.may.cm

h/.MáxL

n

o 4561


89

)/ad(ba'f.M bcpr 2850 22222 −⋅⋅⋅⋅=

2

22

850

251

bc'

ysups

bf.

f.Aa

⋅⋅

⋅⋅=

)/ad(ba'f.M bcpr 2850 1111 −⋅⋅⋅⋅=1

1

850

2511

bc'

yfsin

bf.

f.Aa

⋅⋅

⋅⋅=

7. Calcular los momentos resistentes máximos probables para cada dirección del sismo. Para este

cálculo se utilizarán las fórmulas típicas del diseño de vigas sometidas a flexión, adoptando un

valor de φ igual a 1.00


Dirección del sismo que produce momentos en sentido horario (Ver Figura 3.5): ;

;

Dirección del sismo que produce momentos en sentido antihorario (Ver Figura 3.6):

3bc

'y3sups

3 bf85.0

f25.1Aa

⋅⋅

⋅⋅= ; )2/ad(b3a'f85.0M 333bc3pr −⋅⋅⋅⋅=

4bc

'y4fsin

4 bf85.0

f25.1Aa

⋅⋅

⋅⋅= ; )/ad(ba'f.M bcpr 2850 44444 −⋅⋅⋅⋅=

Si hay una viga en la dirección analizada:

Dirección del sismo que produce momentos en sentido horario (Ver Figura 3.7):

1bc

'y1sups

1 bf85.0

fAa

⋅⋅

⋅α⋅= ; )2/ad(ba'f85.0M 111b1c1pr −⋅⋅⋅⋅=


2

22

850 bc'

yfsin

bf.

fAa

⋅⋅

⋅α⋅= ; )2/ad(ba'f85.0M 222bc2pr −⋅⋅⋅⋅=


90

infcsupc

prn

prn

col LL

MllM

ll

V+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅

=−

44

43

3

3

43

2

infcsupc

prn

prn

col LL

MllM

ll

V+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅

=−

22

21

1

1

21

2


8. Calcular los cortes de la columna, Vcol para cada dirección del sismo (Art. C-18.2)










infcsupc

prn

col LL

Mll

V+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

=1

1

1

1

2

infcsupc

prn

col LL

Mll

V+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

=2

2

2

2

2

212121 −−−+= colj VTCV

ysups fAT ⋅α⋅= 22


91

434343 −−−+= colj VCTV





10. Corte Teórico en el nodo (Art.18.4.3.1)

10.1 Definición del valor de γ: Si todas las caras del nodo están confinadas según el

numeral 5.1, γ=5.3. En cualquier otro caso, γ=4.0.

Si se utilizan concretos de agregados livianos, el valor de γ se deberá tomar como el 75%

de los valores presentados anteriormente.

10.2 Determinar la anchura efectiva del nodo, bj, como se indica en la Figura adjunta:

Fig.3.24: Anchura efectiva del nodo según la Norma COVENIN 1753-85

La anchura efectiva debe ser menor o igual que la anchura de la columna.

111 colVTVj −=

222 colj VCV −=

ysups fAT ⋅α⋅= 33 yfsin fAC ⋅α⋅= 44




92

Cuando la anchura de las vigas (bw) en la dirección analizada sea diferente, tomar como

valor de bw el promedio de los dos valores de anchura. Si la profundidad de la columna

superior es diferente de la inferior, tomar como valor de dc el menor valor.

10.3 Calcular la fuerza cortante teórica del nodo, Vjn adoptando un valor de φ=0.85 y siendo

Aj=bj dc: y dc la profundidad de la columna medida en la dirección considerada:

11. Comparar el valor de la fuerza cortante teórica con el corte último del nodo en cada dirección X

e Y, obtenido en el punto 8.

Si jnjVV ≥ verifica, si no, si no puede aumentar la sección de la columna, aumentar la altura

de la viga, aumentar la anchura de la viga, aumentar el f’c o seguir cualquiera de las

recomendaciones dadas en el Capítulo 1 para alejar la rótula plástica de la cara del nodo.

12. Si la fuerza axial de compresión mayorada excede 0.1Ag·f’c, calcular la relación :


Fig. 3.25: Momentos últimos horarios en vigas y antihorarios en columnas (dos vigas en la dirección analizada)

jc'

jn AfV ⋅⋅γ⋅φ=

2uv1uv

supucinfuc

vu

cu

MMMM

MM

+

+=

∑∑

vu

cu

MM

∑

∑


93

Fig. 3.26: Momentos últimos antihorarios en vigas y horarios en columnas (dos vigas en la dirección analizada)

Si hay sólo una viga en la dirección considerada: Fig. 3.27: Momentos últimos horarios en vigas y antihorarios en columnas (dos vigas en la dirección analizada)

Fig. 3.28: Momentos últimos horarios en vigas y antihorarios en columnas (dos vigas en la dirección analizada)

43 uvuv

supucinfuc

vu

cu

MMMM

MM

+

+=

∑

∑

1uv

supucinfuc

vu

cu

M

MM

MM +

=∑

∑

2uv

supucinfuc

v

cM

MMMnMn +

=∑∑


94

Si , si no, se debe aumentar la dimensión de la columna. 13. Refuerzo transversal de las vigas en la zona del nodo

La separación máxima de los estribos debe ser:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧⋅

⋅

=

cm304/dd24

vigad8

MínS estribo

b

El refuerzo deberá extenderse una distancia igual a 2 hb .El primer estribo debe colocarse a no

menos de 5 cm. de la cara del nodo.

14. Si las barras de la (s) viga (s) se anclan en el nodo, calcular la longitud de anclaje ldh como:

c

'

bvigaydh

f

df.l

⋅⋅=

060 (Art. 18.4.4.1)

Para concretos hechos a base de agregados livianos, ldh debe aumentarse en un 25 %.


verifica,disponibleEspacioldh ≤

Si no, se puede aumentar la profundidad de la columna o disminuir el diámetro de las barras

de la viga.

ok20.1MuMu

v

c ≥∑∑


95

Procedimiento de diseño de conexiones viga-columna según la Norma SOCVIS 1753 (R)

1. Verificar que el valor de c'f sea mayor o igual a 210 kgf/cm2 cuando se utilicen agregados de peso

normal .Cuando se utilicen agregados livianos, verificar que c'f sea menor que 300 kgf/cm2.

(Art.5.2.1)

2. Identificar el tipo de conexión objeto de problema (interior, exterior, esquina, excéntrica, de vigas

planas). (Ver Figura 3.1)

3. Verificar las siguientes condiciones dimensionales en los miembros.

a) La relación anchura –altura de las vigas deberá ser mayor o igual que 0.30 (Art. 18.3.2)

b) Su anchura deberá ser mayor o igual que 25 cm. (Art. 18.3.2)

c) La anchura de las vigas deberá ser menor o igual que la del miembro que le sirve de

soporte, medida en un plano perpendicular al eje longitudinal de la viga, más una

distancia, a cada lado, menor o igual al 75 % de la altura total de la viga (Ver Figura 3.18)

(Art. 18.3.2)

d) La luz libre de las vigas, Ln, debe ser por lo menos cuatro veces su altura útil, d.

(Art. 18.3.2)

e) Cuando la conexión sea de viga plana, ésta deberá tener una altura mayor o igual a 15

veces el diámetro de la mayor barra longitudinal de las columnas donde se apoya.

(Art. 18.3.2)

f) La menor dimensión transversal de la columna, medida a lo largo de una recta que pase

por su centro geométrico, debe ser menor que 30 cm. (Art. 18.4.2)


96

g) La relación entre la menor dimensión de la sección transversal y la correspondiente

en una dirección perpendicular, no sea inferior a 0.4. (Art.18.4.2)

h) La dimensión mínima de columnas de concreto de peso normal y de cualquier

sección, h, en la dirección paralela al acero de refuerzo de la viga no será menor

que lo obtenido con la fórmula

(Art. 18.4.2)

Donde dbviga, es el diámetro de la barra longitudinal de mayor diámetro de la viga,

cuando esta se extiende a través del nodo viga - columna.

La dimensión mínima de columnas de concreto con agregado liviano será un 30%

mayor que la correspondiente a las columnas de concreto con agregados de peso

normal.

Si la conexión es de vigas planas, la profundidad de la columna será al menos 24

veces el diámetro de la mayor barra longitudinal de la viga fuera del núcleo de la

columna. (Art. 18.3.2)


4.1 Verificar que la cuantía geométrica ρ este entre 0.01 y 0.06 (ρ=Αs/A) (Art.18.4.4)

Si esto no se cumple se deberá aumentar o disminuir el área de acero longitudinal de la

columna, dependiendo del caso.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅⋅=

⋅

=

c'f

yfbvigad.h

d

.Máxh

bviga

080

20


97

5. Refuerzo transversal de la columna en la zona del nodo

5.1 Verificar que cada una de las vigas que llegan al nodo cubren al menos ¾ partes del mismo

(Art.18.5.1)


a) Las ligaduras deberán disponerse de manera que las barras longitudinales de

cada esquina tengan soporte lateral. Adicionalmente, las restantes deben

quedar lateralmente soportadas como mínimo en forma alternada, es decir,

dejando una de por medio sin soporte. Ninguna barra sin soporte lateral estará

separada de la barra soportada lateralmente en más de 15 cm. libres, medidos

sobre la ligadura. Esta conexión debe ser suministrada por el doblez de un

estribo con un ángulo interno no mayor de 135º. (Art. 7.5.2)

b) Todas las barras longitudinales deberán cercarse con ligaduras transversales

de por lo menos No. 3 para barras longitudinales menores al Nº. 10 y No. 4 para

barras de diámetros mayores o iguales al Nº11. (Art. 7.5.2)

c) Los ganchos deben tener las características que se muestran en la Figura:

(Art. 18.4.5.2)

Fig. 3.29: Longitudes mínimas de los ganchos del refuerzo transversal según la Norma 1753 (R)

5.3 Calcular el área de acero colocado en el punto anterior, Ashcol


98

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⋅=cmd

columna.dim.Mín

Míns bMáxh156

4

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅⋅⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅⋅⋅

=

y

c'

c

chy

c'

c

shreq

ffhs.

AA

ffhs.

MáxA

090

130


(Art. 18.4.5)


(Art.18.3.4.3.2)

5.5.1 Cuando el nodo esté confinado por sus cuatro caras, de acuerdo al punto 5.1, es

igual a 4, se puede reducir el acero requerido Ashreq antes calculado a la mitad, en

una longitud igual a la menor altura de las vigas concurrentes a la conexión y con

una separación no mayor de 15 cm. (Art.18.5.3)

5.6 Comparar el valor de Ashreq con Ashcol .






cuatro caras.


99

n

prprcol h

MMV 43

43+

=−

n

prcol h

MV 2

2 =


⎪⎨

⎧ ⋅=

columna.dim.may.cm

h/.MáxL

n

o 4561

7. Calcular los momentos resistentes máximos probables para cada dirección del sismo. Para este

cálculo se utilizarán las fórmulas típicas del diseño de vigas sometidas a flexión, adoptando un

valor de φ igual a 1.00. El procedimiento y las formulas a utilizar serán las mismas que se

presentaron el procedimiento de diseño de acuerdo a la Norma COVENIN 1753-85

8. Calcular los cortes de la columna, Vcol para cada dirección del sismo


Dirección del sismo que produce momentos en el sentido horario (Ver Figura 3.9):

Dirección del sismo que produce momentos en el sentido antihorario (Ver Figura 3.10):




n

prprcol h

MMV 21

21+

=−

n

prcol h

MV 1

1 =


100

212121 −− −+= colu VTCV yfsin fAC ⋅α⋅= 11

434343 −− −+= colu VCTV

222 colu VCV −=








10. Corte Teórico del nodo

10.1 Definición del valor de γ: Si todas las caras del nodo están confinadas según el punto

5.1, γ = 5.3. Si el nodo está confinado por tres caras o por dos opuestas, γ = 4.0.En cualquier

otro caso γ = 3.2.

10.2 Determinar la anchura efectiva del nodo , bj (Art. 18.5.2 )

Si la anchura de la viga es igual a la anchura de la columna bj= bw

Si la anchura de las vigas es menor que la anchura de la columna:

Donde hj es la profundidad del nodo igual a la dimensión de la columna paralela a la

dirección de las vigas

⎩⎨⎧

++

≤r2b

hjbb

w

wj


ysups fAT ⋅α⋅= 33 yfsin fAC ⋅α⋅= 44

111 colu VTV −=




101

Si la anchura de las vigas (bw) en la dirección analizada es diferente, tomar como valor de

bw el promedio de los dos valores de anchura.

Fig.3.30: Anchura efectiva del nodo según Norma 1753 (R)

10.3 Calcular el área efectiva del nodo como Aj= bj·hj

11. Calcular el corte teórico (Art. 18.5.2) 12. Tomando un valor de φ=0.85, calcular , y compararlo con el Corte Ultimo (Vu) obtenido

en 8.

Si uc VV ≥⋅φ verifica, si no puede aumentar la sección de la columna, aumentar la altura de la

viga, aumentar la anchura de la viga, aumentar el f’c o seguir cualquiera de las recomendaciones

dadas en el Capítulo 1 para alejar la rótula plástica de la cara del nodo.

13. Relación :

13.1 Calcular los momentos teóricos de las vigas, utilizando las mismas fórmulas presentadas en

el punto 6 para el cálculo de los momentos probables, adoptando un valor de φ=1.00 y un

valor de α=1.00.

v

c

MnMn

∑∑

cVφ

jc'

c AfV ⋅⋅γ=


102

Si la losa es maciza, calcular los momentos teóricos considerando la anchura efectiva de la

losa, de la misma forma presentada en el procedimiento según el Código ACI 352-02.

Si la losa es nervada, no considerar la anchura efectiva de la losa.

13.2 Calcular la relación entre los momentos de las columnas y los de las vigas, como:


Dirección del sismo que produce momentos en el sentido horario (Ver Fig. 3.22)

Dirección del sismo que produce momentos en el sentido antihorario (Ver Fig. 3.23)

Si hay sólo una viga en la dirección considerada:

Dirección del sismo que produce momentos en el sentido horario (Ver Fig. 3.24)

Dirección del sismo que produce momentos en el sentido antihorario (Ver Fig. 3.25)

Si , si no, se debe aumentar la dimensión de la columna.

2nv1nv

supncinfnc

v

c

MMMM

MnMn

+

+=

∑∑

ok20.1MnMn

v

c ≥∑∑

4nv3nv

supncinfnc

v

c

MMMM

MnMn

+

+=

∑∑

1nv

supncinfnc

v

c

MMM

MnMn +

=∑∑

2nv

supncinfnc

v

c

MMM

MnMn +

=∑∑


103

14. Refuerzo transversal en las vigas en la zona del nodo.

La separación máxima de los estribos debe ser:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧⋅

⋅

=

cm/d

dvigad

Míns estribo

b

304

248

El refuerzo deberá extenderse una distancia igual a 2h, siendo h la altura de la viga .El primer

estribo debe colocarse a no menos de 5 cm. de la cara del nodo.

14. Si las barras de la (s) viga (s) se anclan en el nodo, calcular la longitud de anclaje ldh como:

c

'

bvigaydh

f

df06.0l

⋅⋅= (Art.18.5.4.1)

Esta longitud debe ser mayor o igual que el menor valor entre 8 veces el diámetro de la barra y

15 cm.

Para concretos con agregados livianos, los valores de la longitud de anclaje anteriormente

mencionado, deben incrementarse en un 25%.


okdisponibleEspaciol dh ≤

Si no, se puede aumentar la profundidad de la columna o disminuir el diámetro de las barras

de la viga.


104

2y cm/kgf4200f =

2c

' cm/kgf250f =

Ejemplo N° 1: Diseñar la siguiente conexión viga-columna, atendiendo a las recomendaciones del

Código ACI 352-02.

Datos:

Materiales:

Losa:

Columnas superior e inferior:

Acero Total = 18 Nº 8 Mncx =173000 kgf-m Mncy = 144000 kgf-m Re= 6 cm. Rc = 4 cm.


105

Viga X: Viga Y:

Solución: (Art. 1.2 ACI 352-02)

1. ¿f’c ≥ 1050 kgf/cm2?

Si, ya que f’c = 250 kgf/cm2

2. Identificación de la conexión

La conexión es de esquina (Tipo c, ver Figura 3.1) (Art. 2.2 ACI 352-02)

3. Condiciones dimensionales de vigas y columnas

a) Anchura máxima de las vigas permitida (Art. 2.2.1 ACI 352-02)

Dirección X:

La anchura máxima permitida será:

bbMáxx=⎩⎨⎧

=⋅+=+=⋅=

)gobierna(cm.)().(h.bcm)(b

Míncc

c517775516551

1956533

La anchura de la viga es bbx = 55 cm., por lo tanto, bbx < bbMáxx (verifica)

Dirección Y:

La anchura máxima permitida será:

bbMáxy =⎩⎨⎧

=⋅+=+=⋅=

)gobierna(cm.)().(h.bcm)(b

Míncc

c517265517551

2257533

Re = 6 cm. Rc = 4 cm.

ex =0 cm.

Re = 6 cm. Rc = 4 cm.

ey =0 cm.


106

bcoly

b df

h ⋅⋅

≥420020

22

20914

54218 cm.).(Ast =⋅π⋅

=

La anchura de la viga es bby = 65 cm., por lo tanto, bby < bbMáxy (verifica)

b) El refuerzo de la columna sigue a través del nodo, luego deberá cumplirse que:

(Art. 4.5.5 ACI 352-02)

Dirección X:

La altura mínima será: cm.).()(

df

h bcoly

Mínb 8505424200

4200204200

20=⋅

⋅=⋅

⋅=

La altura de la viga es hbx=70 cm., por lo tanto hbx > hbMínx (verifica)

Dirección Y:


df

h bcoly

Mínb 8505424200

4200204200

20=⋅

⋅=⋅

⋅=

La altura de la viga es hby=70 cm., por lo tanto hby > hbMíny (verifica)

c) La verificación dimensional para la profundidad de la columna no se realiza en este caso,

ya que el refuerzo de la viga no continúa a través de la conexión en ninguna de las dos

direcciones X e Y.


4.1 Ast debe estar entre 0.01Ag y 0.06 Ag (Art. 21.4.3.1ACI 318-05)

Ag.AA. stg ⋅≤≤⋅ 060010 (verifica)

275486575010010 cm.)()(.A. g =⋅⋅=⋅ 252926575060060 cm.)()(.A. g =⋅⋅=⋅


107

4.2 Separación máxima centro a centro entre barras: Máxss ≤ (Art. 4.1 ACI 352-02)

Dirección X:

La separación máxima centro a centro entre barras debe ser:

La separación centro a centro entre barras es:

sx= okcmcm.barras#

Rh ec ∴<=−

⋅−=

−⋅−

2561216

62751

2

Dirección Y:

La separación máxima centro a centro entre barras debe ser:

Y la separación centro a centro entre barras es:

sy= verificacm.barras#

Rh ec ∴<=−

⋅−=

−⋅−

21251315

62651

2

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⋅=⋅=

separaciónladedirección

)gobierna(cmlaencolumnaladeensióndim

cm

.Máx

cm

.Míns xMáx 257531

3120

30

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⋅=⋅=


)gobierna(cm.laencolumnaladeensióndim

cm

.Máx

cm

.Míns yMáx 66216531

3120

30


108

5. Refuerzo transversal de la columna en el nodo

5.1 Confinamiento:

Dirección X:

a) cb bqueigualomayorserdebeb43

bbx=55 cm. , verifica. ∴=⋅> 7548654355

b) La distancia que sobresale la columna de la viga debe ser menor o igual que 10 cm.

Se cumplen las dos condiciones, luego, la cara a la que llega la viga en X está confinada

Dirección Y:


bby=65 cm. , verifica. ∴=⋅> 2556754365 .


Se cumplen las dos condiciones, luego, la cara a la que llega la viga en Y está confinada

verificacmcmvigaladecolumnalasobresaleque.Dist ∴<=−

= 1052

5565

verificacmcmvigaladecolumnalasobresaleque.Dist ∴<=−

= 1052

6575


109

5.2 Supongamos el siguiente arreglo de ligaduras para la columna:

Como puede observarse en la Figura, todas las barras longitudinales de las esquinas tienen

soporte lateral.

Las barras que no tienen soporte

lateral (dos barras en la dirección Y, como se

puede apreciar en la figura) están colocadas

de forma alternada con barras que tienen

soporte lateral (cada una de ellas tiene a cada

lado una barra lateralmente soportada) y la

separación libre entre ellas es menor a 15 cm.

Los dobleces de los ganchos de las ligaduras son a 135 ° y su longitud mínima deberá ser:

Para la ligadura de 1/2”:

cm.ganchomín.Longcm.

cm...dMíngancho.mín.Long b 627

576275425066

=→⎩⎨⎧ =⋅⋅=⋅

=

Para la ligadura de 3/8”:



577155542375066

=→⎩⎨⎧ =⋅⋅=⋅

=


110

De acuerdo con lo anteriormente expuesto, el arreglo supuesto cumple con los artículos

7.10.5.1 y 7.10.5.3 del ACI 318-05 y con lo presentado en la Figura 4.3 del ACI 352-02.

5.3 El área de acero colocado, de acuerdo al arreglo de ligaduras antes presentado será:

En la dirección X:

En la dirección Y:

5.4 Separación máxima centro a centro entre ligaduras:

(Art. 4.2.2.3 ACI 352-02)

5.5 Acero requerido: (Art. 4.2.2.2 ACI 352-02)

Dirección X:

Como el nodo no está confinado por las cuatro caras (sólo lo está en dos) no puede aplicarse

ningún factor de reducción al acero de refuerzo antes calculado.

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=⋅=⋅

==

=)gobierna(cm

cm.).(d

cm..col.dimMín

.Míns bcolumnaMáxh15

241554266

25164

654

) 2

22

2963

4

542212

4

542832

4cm.

..d(ramasdeºNA estxcolsh =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅π⋅

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅π⋅

=⋅π⋅

=

) 2

22

2385

4

542212

4

542834

4cm.

..d(ramasdeºNA estycolsh =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅π⋅

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅π⋅

=⋅π⋅

=

⋅

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=⋅⋅−⋅⋅

=⋅⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅−⋅⋅−⋅

⋅⋅⋅−⋅⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

⋅⋅⋅

=⋅ )gobierna(cm.)()()(.

ffbs.

cm..)()(

)()()()()(.AA

ffbs.

MáxA

yh

c'

c"

h

c

g

yh

c'

c"

h

xshreq2

2

5844200

250426515090090

2214142654275

65754200

25042651530130


111

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⋅=⋅

==

cm33.58)350(6/1h6/1cm45

)gobierna(cm75columna.dim.may.MáxL

n

o

5.6 El acero de refuerzo requerido (4.58 cm2) es mayor que el colocado (3.96 cm2), luego, se

reducirá la separación del arreglo de ligaduras.

Suponiendo ahora una separación igual a 12 cm. y aplicando las mismas fórmulas

anteriores, se obtiene un acero requerido igual a 3.664 cm2 .Este valor es menor que el acero

colocado (3.96 cm2), lo que quiere decir que el arreglo supuesto es suficiente para la columna

por condiciones de confinamiento en esta dirección, si se lo coloca a una separación de

12 cm.

Dirección Y: Suponiendo una separación de 12 cm., el acero requerido será:

El acero requerido (4.307 cm2) es menor que el colocado (5.38 cm2), por lo que se puede decir

que el acero colocado a una separación igual a 12 cm. es suficiente para confinar a la

columna en esta dirección.

6. Refuerzo Transversal de la columna en la zona confinada :

El refuerzo necesario por confinamiento de la columna en esa zona es igual al del nodo y

debe extenderse en una longitud igual a:

⋅

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=⋅⋅−⋅⋅

=⋅⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅−⋅⋅−⋅

⋅⋅⋅−⋅⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

⋅⋅⋅


ffbs.

cm.)()(

)()()()()(.AA

ffbs.

MáxA

yh

c'

c"

h

c

g

yh

c'

c"

h

shreqy2

2

30744200

250427512090090

9693142654275

65754200

25042751230130


112

7. Anchura efectiva de la losa, be

Dado que la losa en este ejemplo es maciza, este paso es aplicable.

Dirección X:

Para flexión positiva

Para flexión negativa: Es idéntica a la flexión positiva, excepto que bex≥2·bbx

bex (105 cm.) > 2·bbx (110 cm.) luego se tomará como bex= 110 cm. para flexión negativa

Dirección Y:


Para flexión negativa: Es idéntica a la flexión positiva, excepto que bey≥2·bby

bey (115 cm.) > 2·bby (130 cm.) luego se tomará bey= 130 cm. para flexión negativa

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⋅−⋅+=⋅+

=⋅+=⋅+

=⋅+=⋅+

≤

cm.)()vigapróxlaalibre.dist(b

)gobierna(cm)(centroacentroLuzb

cm)(losaladeespesorb

b

bx

bx

bx

ex

53272556002155

21

10560012155

121

145156556

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⋅−⋅+=⋅+

=⋅+=⋅+

=⋅+=⋅+

≤

cm.)()viga.próxlaalibre.dist(b

)gobierna(cm)(centroacentroLuzb

cm)(losaladeespesorb

b

by

by

by

ye

53322656002165

21

11560012165

121

155156656


113

22

1 402304

5426 cm.).(Axvigasups =

⋅π⋅=

)/ad(baf.M vigaxvigaxxbvigaxc'

xvigapr 2850 11111 −⋅⋅⋅⋅=

mkgf.M vigaxpr −= 08912491

8. Momentos máximos probables: Para el cálculo de los momentos máximos probables se asumirá

que el dlosa = dviga .

Dirección X:

losaxprprxpr MMM vigax 111 +=

mkgf.M..M xprxpr −=⇒+= 481030674118180891249 11

22

1 56234

542835cm.

)./(A losaxs =

⋅⋅π⋅=

)/.()().()(.M losaxpr 2601670556012508501 −−⋅⋅⋅⋅=

mkgf.M losaxpr −= 4118181

)/ad(baf.M losaxlosaxxblosaxc'

xlosapr 2850 11111 −⋅⋅⋅⋅=

cm.a)()(.

)().().(bf.

fAa xosal

xbc'

ylosaxsxlosa 601

5525085042002515623

8501

1

11 =⇒

⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

⋅α⋅=

2

2

2 268204

542884

cm..

A xinfs =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅π⋅

=

cm.a)()(.

)().().(bf.

fAa x

xec'

yfsinx 7684

105250850420025126820

8502

2

22 =⇒

⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

⋅α⋅=

)/ad(baf.M xxxxc'

xpr e 2850 2222 2 −⋅⋅⋅⋅=

cm.a)()(.

)().().(bf.

fAa

xvigaxbc

'yvigaxsups

xviga 6561355250850420025140230

8501

1

11 =⇒

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅

⋅α⋅=

).()().()(.Mxvigapr 2

6561367055656132508501 −−⋅⋅⋅⋅=


114

ylosapryvigaprypr MMM 111 +=

)/.()().()(.M xpr 2768467010576842508502 −−⋅⋅⋅⋅=

mkgf.M xpr −= 79655502 Dirección Y:

22

1 469354

5427cm.

).(A

yvigasups =⋅π⋅

=

cm.a)()(.

)().().(bf.

fAa

yvigaybc

'yvigaysups

yviga 4811365250850420025146935

8501

1

11 =⇒

⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

⋅α⋅=

)/ad(baf.Myvigavigayybvigayc

'yvigapr 2850 11111 −⋅⋅⋅⋅=

).()().()(.Myvigapr 2

4811367065481132508501 −−⋅⋅⋅⋅=

)/.()().()(.M losaypr 289516706589512508501 −−⋅⋅⋅⋅=

mkgf.M losaypr −= 79165031

)/ad(baf.M ylosalosayyblosayc'

ylosapr 2850 11111 −⋅⋅⋅⋅=

2

2

2 335254

542885

cm..

A yinfs =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅π⋅

=

cm.a)()(.

)().().(bf.

fAa losay

ybc'

ylosasupslosay 8951

6525085042002519874

8501

1

11 =⇒

⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

⋅α⋅=

22

1 98744

542837cm.

)./(A

ylosasups =⋅⋅π⋅

=

mkgf.M yvigapr −= 801066201

cm.a)()(.

)().().(bf.

fAa y

yec'

yyfsiny 4425

115250850420025133525

8502

2

22 =⇒

⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

⋅α⋅=

mkgf.M..M yprypr −=⇒+= 59123124791650380106620 11


115

mkgf.M ypr −= 25814942

9. Corte último de la columna, Vcol

;

;

;

)/ad(baf.M yyyyc'

ypr e 2850 22222 −⋅⋅⋅⋅=

n

xprcol h

MV

x

11 = kgf.

..V

xcol 8529447503

481030671 ==

n

xprcol h

MV

x

22 = kgf.

..V

xcol 7918728503

79655502 ==

n

yprcol h

MV

y

11 = kgf.

..V ycol 45435178

50359123124

1 ==

)/.()().()(.M ypr 2442567011544252508502 −−⋅⋅⋅⋅=


116

;

10. Corte Último del nodo

Dirección X:

ylosaxsvigaxsupsx f)AA(T ⋅α⋅+= 111

kgfT)().()..(T xx 1783114200251562340230 11 =⇒⋅⋅+=

Vu1x = T1x-Vcol1x kgf.V.V xuxu 151488638529447178311 11 =⇒−=

yxfsin fAxC ⋅α⋅= 22

kgfxC)().().(xC 106407420025126820 22 =⇒⋅⋅=

Vu2x = C2x-Vcol2x kgf.V.V xuxu 21876787918728106407 22 =⇒−=

Dirección Y:

yylosasvigaysupsy f)AA(T ⋅α⋅+= 111

kgfT)().()..(T yy 2123944200251987446935 11 =⇒⋅⋅+=

Vu1y = T1y-Vcol1y kgf.V.V yuyu 54617721545435178212394 11 =⇒−=

yyfsiny fAC ⋅α⋅= 22

kgf.xC)().().(yC 75133008420025133525 22 =⇒⋅⋅=

Vu2y = C2y-Vcol2y kgf.V.V yuyu 67910972407123284133008 22 =⇒−=

n

yprcol h

MV

y

22 = kgf.

..V ycol 07123284

5032581494

2 ==


117

11. Corte teórico del nodo

11.1 Valor de γ : Como el nodo es de esquina, es imposible que haya confinamiento del nodo en

sus cuatro caras o en dos opuestas .Luego, el valor de γ es igual a 3.2.

11.2 Cálculo de m:

Dirección X: La excentricidad de la viga, ex (0 cm.), es, obviamente, menor a bc/8 (65/8),

luego, el valor de m es igual a 0.5.

Dirección Y: La excentricidad de la viga, ey (0 cm.), es, obviamente, menor a bc/8 (75/8),

luego, el valor de m es igual a 0.5.

11.3 Anchura efectiva del nodo

Dirección X:

cm.)(.hm c 7518

27550

2=

⋅=

⋅ no debe ser mayor que la distancia que sobresale la columna de

la viga ( 5 cm.) .Luego, se tomará como valor de cm,hm c 5

2⋅

Dirección Y:

cm.)(.hm c 2516

26550

2=

⋅=

⋅ no debe ser mayor que la distancia que sobresale la columna de

la viga ( 5 cm.) .Luego, se tomará como valor de cm,hm c 5

2⋅

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+

=+

=⋅+=⋅

Σ+

≤

cm

)gobierna(cmbb

cm)(hm

b

xb cbx

cbx

j

65

602

65552

6552552


118

11.4 Los cortes teóricos del nodo para cada dirección serán:

Dirección X:

kgf.V)()()(.V xnxn 99227683756025023 =⇒⋅⋅⋅=

Dirección Y:

12. φ·Vn

Dirección X:

¿φ·Vn≥ Vu?

Si, ya que y kgf.V ux 06148863= (el mayor corte último en X)

Dirección Y:

¿φ·Vn≥ Vu?

Si, ya que y kgf.Vuy 72177301= (el mayor corte último en Y)

Para las dos direcciones X e Y, φ·Vn≥ Vu, luego, el nodo cumple con los requisitos de fuerza

cortante establecidos por el ACI 352-02.

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+

=+

=⋅+=⋅

Σ+

≤

cm

)gobierna(cmbb

cm)(hm

b

b cby

cby

yj

75

702

75602

7552652

cjxcxn hb'fV ⋅⋅γ=

cjycyn hb'fV ⋅⋅γ=

kgf.V.V ynyn 813230213657025023 =⇒⋅⋅⋅=

kgf.V)(.xV xnn 392193531227683850 =φ⇒⋅=φ

kgf.V).(.V ynyn 7419568181230213850 =φ⇒⋅=φ

kgf.xVn 392193531=φ

kgf.V yn 74195681=φ


119

052842242173000

.)( ⋅

.)(

528552173000 ⋅

13. Relación

13.1 Para calcular los momentos teóricos de las vigas, se utilizó el mismo procedimiento y los

mismos datos que se utilizaron en el punto 7 para el cálculo de los momentos probables de

las vigas, con la diferencia de que el valor de α que se utilizará para calcular estos momentos

será igual a 1.00 y no a 1.25.

De acuerdo a lo anteriormente expuesto, se obtienen los siguientes valores de momentos

teóricos de las vigas:

mkgf.M xn −= 052842241 ; mkgfM xn −= 528552

mkgf.M yn −= 761054711 ; mkgf.M yn −= 47657652

13.2 Las relaciones entre la suma de los momentos teóricos de las vigas y los de las columnas

serán:

Dirección X:

=

=

v

cMnMn

∑∑

xnv

supncinfnc

v

cxM

MMxMn

Mn

1

+=

∑∑

ok..xMn

Mn

v

cx 201104 >=∑∑

xnv

supncinfnc

v

cxM

MM

xMnMn

2

+=

∑∑

ok..xMn

Mn

v

cx 2015466 >=∑∑


120

Dirección Y:

14. Refuerzo transversal de las vigas en la zona confinada

Dirección X:

La separación máxima de los estribos de la viga será

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−==⋅⋅=⋅

=⋅=⋅=

)gobierna(cm164/)670(4/dcm86.22)54.2()8/3(24d24

cm32.20)54.2(8vigad8Míns estribo

b

Dirección Y:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−==⋅⋅=⋅

=⋅=⋅=

)gobierna(cm164/)670(4/dcm86.22)54.2()8/3(24d24

cm32.20)54.2(8vigad8Míns estribo

b

ynv

supncinfnc

yv

cy

M

MM

Mn

Mn

1

+=

∑

∑

ok..Mn

Mn

yv

cy201732 >=

∑

∑

ynv

supncinfnc

yv

cy

M

MM

Mn

Mn

1

+=

∑

∑

ok..Mn

Mn

yv

cy2013794 >=

∑

∑

47657652144000

.)( ⋅

=

761054712144000

.)( ⋅

=


121

c'

bvigayyydh

f

df.l

⋅⋅α⋅=

04930

cm.l...

l ydhydh 4840250

54288420025104930

=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅⋅

=

La longitud de la zona confinada tanto en la dirección X como en la dirección Y será igual a

2·70 cm. = 140 cm.

15. Longitud de anclaje de las barras, ldh

Dirección X:

cm.).(.)(DisponibleEspacio x 046654237504275 =⋅−⋅−=

Dirección Y:

verificaDisponibleEspaciol yydh >

verificaDisponibleEspaciol xxdh >

estecx dRbdisponibleEspacio −⋅−= 2

cm...)(DisponibleEspacio y 045654237504265 =⋅−⋅−=

estecy dRbdisponibleEspacio −⋅−= 2

c'

bvigaxyxdh

f

df.l

⋅⋅α⋅=

04930

cm.l.)().(.

l xdhxdh 4840250

54288420025104930

=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅⋅

=


122

Ejemplo 1 según la Norma COVENIN 1753-85

Solución:

1. ¿f’c ≥ 200 kgf/cm2? (Art. 18.1.3.1)

Si, ya que f’c = 250 kgf/cm2


La conexión es de esquina (Tipo c, Ver Fig. 3.1)


a) 30.h

bw ≥ (Art. 18.2.1)

Dirección X: 78507055 .

hb

bx

wx == >0.30 verifica

Dirección Y: 92807065 .

hb

by

wy == >0.30 verifica

b) wb ≥ 25 cm (Art. 18.2.1)

Dirección X: bwx(55 cm ) > 25 cm verifica

Dirección Y: bwx (65 cm ) > 25 cm. verifica

c) bwx < bc+a1+a2 (Art. 18.2.1)

Dirección X: bwx (55 cm) < bc+a1+a2 (170 cm) verifica

Dirección Y: bwy (65 cm) < bc+a1+a2 (180 cm) verifica

d) e≤ bc/4 (Art. 18.2.1)

Dirección X: ex (0 cm) < bc/4 (65/4 cm.) verifica

Dirección Y: ey (0 cm) < bc/4 (75/4 cm.) verifica

e) La menor dimensión de la columna ≤ 30 cm. (Art. 18.4.2)

La menor dimensión de la columna es 65 cm., valor mayor a 30 cm.


123

22

20914

54218 cm.A).(A ss =⇒⋅π⋅

=

f) 400.hb

≥ (Art. 18.4.2)

verifica.. ∴>= 4008607565


4. 1 0.01 ≤ ρ ≤ 0.06 (Αrt. 18.3.3.2)

018065752091 ..

AA

g

s =⋅

==ρ , ok... 0600180010 ≤≤

5. Refuerzo Transversal de la Columna

5.1 Confinamiento: Ídem al ACI 352-02, excepto que no es necesario cumplir la segunda

condición presentada (que la distancia que sobresale la columna de la viga no exceda los

10 cm.)

5.2 El arreglo de ligaduras supuesto es el mismo que el del ejemplo resuelto por el ACI 352-02 y

debe cumplir con las mismas condiciones presentadas, excepto en la longitud mínima de los

ganchos de las ligaduras, que debe ser igual a:

Para las ligaduras de 1/2”:

cm...dgancho.mín.Long b 712542501010 =⋅⋅=⋅=

Para las ligaduras de 3/8”:

cm..dgancho.mín.Long b 5259542831010 =⋅⋅=⋅=

5.3 Las áreas de acero colocadas en las direcciones X e Y son las mismas que para el ACI 352-02

(3.96 cm2 en la dirección X y 5.38 cm2 en la dirección Y)


124

5.4 Separación máxima centro a centro entre ligaduras:

(Art. 18.3.4.4)

5.5 Acero requerido: (Art.18.3.4.3.2)

Dirección X:

Como el nodo no está confinado por las cuatro caras (sólo lo está en dos) no puede

aplicarse ningún factor de reducción al acero de refuerzo antes calculado.

El acero de refuerzo requerido (4.07 cm2) es mayor que el colocado (3.96 cm2), luego, se

reducirá la separación del arreglo de estribos.

Suponiendo ahora una separación igual a 9 cm. y aplicando las mismas fórmulas

presentadas anteriormente, se obtiene un acero requerido igual a 3.663 cm2 .Este valor es

menor que el acero colocado, lo que quiere decir que el último es suficiente para la

columna por condiciones de confinamiento en la dirección X, si se lo coloca a una

separación de 9 cm.

Dirección Y: Suponiendo una separación de 9 cm., el acero requerido será:

cmScm

cm..col.dimMín.Míns MáxMáxh 10

10

2516465

4 =⇒⎪⎩

⎪⎨⎧ ==

=

⋅

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⋅⋅−⋅⋅

=⋅⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅−⋅⋅−⋅

⋅⋅⋅−⋅⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

⋅⋅⋅


ffhs.

cm.)()(

)()()()()(.AA

ffhs.

MáxA

yh

c'

c

ch

g

yh

c'

c

xshreq2

2

0744200

250426510120120

8142142654275

65754200

25042651030130

⋅

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⋅⋅−⋅⋅

=⋅⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅−⋅⋅−⋅

⋅⋅⋅−⋅⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

⋅⋅⋅


ffhs.

cm.)()(

)()()()()(.AA

ffhs.

MáxA

yh

c'

c

ch

g

yh

c'

c

shreqy2

2

30744200

25042759120120

9772142654275

65754200

2504275930130


125

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⋅=⋅

==

cm33.58)350(6/1h6/1cm45

)gobierna(cm75columna.dim.may.MáxL

n

o

El acero requerido (4.307 cm2) es menor que el colocado (5.38 cm2), por lo que se puede

decir que el acero colocado a una separación igual a 9 cm. es suficiente para confinar a la

columna en la dirección Y.

6. Refuerzo transversal de la columna en la zona confinada: Ídem al del nodo. Debe extenderse

una distancia igual a

7 Momentos máximos probables:

Dirección X:

22

1 402304

5426cm.

).(A

xsups =⋅π⋅

=

)/ad(baf.M xxxbxc'

xpr 2850 11111 −⋅⋅⋅⋅=

).()().()(.Mxpr 2

6561367055656132508501 −−⋅⋅⋅⋅=

mkgf.M xpr −= 08912491

mkgf.M xpr −= 45632542

cm.a)()(.

)().().(bf.

fAa x

xbc'

yxfsinx 1049

55250850420025126820

850 22

22 =⇒

⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

⋅α⋅=

)/ad(baf.M xbxxc'

xpr 2850 2222 −⋅⋅⋅⋅=

cm.a)()(.

)().().(bf.

fAa x

bc'

ysupsx 65613

55250850420025140230

850 11

11 =⇒

⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

⋅α⋅=

)/.()().()(.M xpr 210496705510492508502 −−⋅⋅⋅⋅=

22

2 268204

5424cm.

).(A xfsin =

⋅π⋅=


126

Dirección Y:

22

1 469354

5427 cm.).(Aysups =

⋅π⋅=

cm.a)()(.

)().().(bf.

fAa y

ybc'

yysupsy 48113

65250850420025146935

850 11

11 =⇒

⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

⋅α⋅=

)/ad(baf.M yyybyc'

ypr 2850 11111 −⋅⋅⋅⋅=

).()().()(.Mypr 2

4811367065481132508501 −−⋅⋅⋅⋅=

mkgf.M ypr −= 801066201

)/.()().()(.M ypr 262996706562992508502 −−⋅⋅⋅⋅=

mkgf.M ypr −= 047787172

8. Corte último de la columna, Vcol (Art. C-18.2)

2

2

2 335254

542885

cm..

A yinfs =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅π⋅

=

cm.a)()(.

)().().(bf.

fAa y

ybc'

yfsiny 6299

65250850420025133525

850 22

22 =⇒

⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

⋅α⋅=

)/ad(baf.M yyyyc'

ypr b2850

22222 −⋅⋅⋅⋅=

infcsupc

xprn

col LL

MLL

Vx +

⋅=

11

1

1

2

kgf..

).(V

xcol 61297955032

089124975600

6002

1 =⋅

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−⋅

=


127


Dirección X:

yxsupsx fAT ⋅α⋅= 11

kgf.T)().().(T xx 5159610420025140230 11 =⇒⋅⋅=

Vj1x = T1x-Vcol1x

5032

456325475600

6002

2 .

).(V

xcol ⋅

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−⋅

=

kgf.Vxcol 514206542 =

5032

8010662065600

6002

1 .

).(V

ycol ⋅

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−⋅

=

kgf.V ycol 208341641 =

5032

0477871765600

6002

2 .

).(V

ycol ⋅

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−⋅

=

kgf.V ycol 085252232 =

kgf.V..V xjxj 8912981461297955159610 11 =⇒−=

infcsupc

xprn

col LL

MLL

Vx +

⋅=

22

2

2

2

infcsupc

yprn

col LL

MLL

Vy +

⋅=

11

1

1

2

infcsupc

yprn

col LL

MLL

Vy +

⋅=

22

2

2

2


128

kgfxC)().().(xC 106407420025126820 22 =⇒⋅⋅=

Vj2x = C2x-Vcol2x

kgf.V.V xjxj 4868575251420654106407 22 =⇒−=

Dirección Y:

yysupsy fAT ⋅α⋅= 11

kgf.T)().().(T yy 25186212420025146935 11 =⇒⋅⋅=

Vj1y = T1y-Vcol1y

kgf.C)().().(C yy 75133008420025133525 22 =⇒⋅⋅=

Vj2y = C2y-Vcol2y

kgf.V..V yjyj 6651077850852522375133008 22 =⇒−=


10.1 Valor de γ : El valor de γ en este caso será igual a 4.0, ya que el nodo no está confinado por

sus cuatro caras, sólo lo está en 2, de acuerdo a lo calculado en el punto 5.1.


Dirección X: En este caso, el nodo está centrado, luego, la anchura efectiva del nodo será

cwj dbb +≤ .

cmbb jj 1307555 ≤⇒+≤

Pero la anchura efectiva del nodo no puede ser mayor que la anchura de la columna, luego

se tomará como valor de la anchura efectiva del nodo, 65 cm.

kgf.Vj..V yyj 0421520482083416425186212 11 =⇒−=




129

cjxcxn db'fVj ⋅⋅γ=

cjycyjn db'fV ⋅⋅γ=

Dirección Y: En este caso, el nodo está centrado, luego, la anchura efectiva del nodo será

cwj dbb +≤ .

cmbb jj 1306565 ≤⇒+≤



La profundidad efectiva del nodo será igual a la dimensión de la columna en la

direcciones considerada, luego, la profundidad efectiva en X será igual a 75 cm. y en la

dirección Y será igual a 65 cm.


Dirección X:

Dirección Y:

11. φ·Vn

Dirección X:

¿φ·Vjn≥ Vj?

Si, ya que y kgf.V jx 89129814=

Dirección Y:

¿φ·Vjn≥ Vj?

Si, ya que y kgf.Vjy 042152048=


cortante establecidos por la Norma COVENIN 1753-85

kgf.V)()()(.Vyjnyjn 07308322657525004 =⇒⋅⋅⋅=

kgf.V).(.xVxjnjn 7626207307308322850 =φ⇒⋅=φ

kgf.V).(.Vyjnyjn 7626207307308322850 =φ⇒⋅=φ

kgf.xVjn 76262073=φ

kgf.Vyjn 76262073=φ

kgf.V)()()(.Vxjnxjn 07308322756525004 =⇒⋅⋅⋅=


130

12. Relación : No se pudo calcular, ya que el problema no da como dato los

momentos últimos de las columnas.

13. Refuerzo transversal de las vigas por confinamiento

Ídem al ACI 352-02


Ídem al ACI 352-02

Ejemplo 1 según la Norma SOCVIS 1753 (R)

Solución:

1. ¿f’c ≥ 210 kgf/cm2?

Si, ya que f’c = 250 kgf/cm2 (Art. 5.2.1)


La conexión es de esquina (Tipo c ver Figura 3.1)


Las condiciones que se deben cumplir son idénticas a las de la Norma COVENIN 1753-85, excepto

que la excentricidad de la viga no necesita ser menor que la cuarta parte de la anchura de la

columna.


Ídem a la Norma COVENIN 1753-85

5. Refuerzo Transversal de la Columna en el nodo

5.1 Confinamiento: Ídem COVENIN 1753-85

5.2 Ídem al ACI 352-02


5.4 Separación máxima centro a centro entre ligaduras: Ídem al ACI 352-02

5.5 Acero requerido: Ídem ACI 352-02

6. Refuerzo Transversal de la Columna en la zona confinada : Ídem ACI 352-02

vu

cu

MM

∑∑


131

7. Momentos máximos probables: Los momentos máximos probables son idénticos a los calculados

por el procedimiento de la Norma 1753-85.


;

;

;

;

n

xprcol h

MV

x

11 = kgf.

..V

xcol 16526071503

08912491 ==

n

xprcol h

MV

x

22 = kgf.

..V

xcol 7118072503

45632542 ==

n

yprcol h

MV

y

11 = kgf.

..V ycol 08530463

50380106620

1 ==

n

yprcol h

MV

y

22 = kgf.

..V ycol 58422490

50304778717

1 ==


132


Dirección X:


kgf.T)().().(T xx 5159610420025140230 11 =⇒⋅⋅=

Vu1x = T1x-Vcol1x


kgfxC)().().(xC 106407420025126820 22 =⇒⋅⋅=

Vu2x = C2x-Vcol2x kgfVV xuxu 8833518072106407 22 =⇒−=

Dirección Y:

yysupsy fAT ⋅α⋅= 11

kgf.T)().().(T yy 25186212420025146935 11 =⇒⋅⋅=

Vu1y = T1y-Vcol1y


kgf.xC)().().(C y 75133008420025133525 22 =⇒⋅⋅=

Vu2y = C2y-Vcol2y

kgf.V..V yuyu 1661105185842249075133008 22 =⇒−=



sus cuatro caras ni en tres caras o en dos opuestas, de acuerdo con lo calculado en el punto 5.1.

kgf.V..V xuxu 835133538165260715159610 11 =⇒−=

kgf.V..V yuyu 1651557490853046325186212 11 =⇒−=


133


Dirección X:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+=+=⋅+=⋅+

= cmhbcm)(rb

bjw

wjx 1307555

6552552→ bjx=65 cm.

Dirección Y:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+=+=⋅+=⋅+

= cmhbcm)(rb

bjw

wjy 1306565

7552652→ bjy=75cm.


Dirección X:

Dirección Y:

hjb'fV jycyc ⋅⋅γ=

11. φ·Vn

Dirección X:

¿φ·Vc≥ Vu?

Si, ya que y kgf835.133538V cx =

Dirección Y:

¿φ·Vn≥ Vu?

Si, ya que y kgf165.155749Vcy =

Para las dos direcciones X e Y, φ·Vc≥ Vu, luego, el nodo cumple con los requisitos de fuerza

cortante establecidos por la Norma 1753 (R).

kgf657.246657V)65()75()250(2.3V ycyc =⇒⋅⋅⋅=

kgf008.209659Vc)657.246657(85.0xV xc =φ⇒⋅=φ

kgf008.209659V)657.246657(85.0V ycyc =φ⇒⋅=φ

kgf008.209659xVc =φ

kgf008.209659V yc =φ

kgf657.246657V)75()65()250(2.3V xnxc =⇒⋅⋅⋅=

hjb'fV jxcxc ⋅⋅γ=


134

12. Relación

Ídem ACI 352-02


Ídem al ACI 352-02


Ídem a COVENIN 1753-85

vn

cn

MM

∑∑


135

2y cm/kgf4200f =

2c

' cm/kgf250f =

Ejemplo N° 2: Diseñar la siguiente conexión viga-columna, atendiendo a las recomendaciones del

Código ACI 352-02.

Datos: Materiales: Losa Maciza:

Columnas superior e inferior:

Acero Total: 16 N°8

Mncx =Mncy = 96000 kgf-m

Re = 6 cm

Rc =4 cm.


136

bcoly

b df

h ⋅⋅

≥420020

Vigas X e Y:

Solución:

Nota: En este ejemplo la columna es cuadrada y las vigas X e Y son iguales, luego, los cálculos

que se realicen para la dirección X serán idénticos a los de la dirección Y, por lo que se omitirán

todos los cálculos en la dirección Y.

1. ¿ f’c ≥ 1050 kgf/cm2 ?

Si, ya que f’c = 250 kgf/cm2 (Art. 1.2 ACI 352-02)


La conexión es interior (Tipo a, Ver Figura 3.1) (Art. 2.2 ACI 352-02)


a) Anchura máxima de las vigas permitida: (Art. 2.2.1 ACI 352-02)

La anchura máxima permitida debe ser:

bbMáxx=⎩⎨⎧

=⋅+=+=⋅=

)gobierna(cm)().(h.bcm)(b

Míncc

c15060516051

1806033

La anchura de la viga es bbx = 45 cm., por lo tanto, bbx < bbMáxx (verifica)

b) El refuerzo de la columna sigue a través del nodo, luego deberá cumplirse que:

(Art. 4.5.5 ACI 352-02)

Re = 6 cm

Rc = 4 cm. ex =ey=0cm


137


df

h bcoly

Mínb 8505424200

4200204200

20=⋅

⋅=⋅

⋅=

La altura de la viga es hbx=60 cm, por lo tanto hbx > hbMínx (verifica)

c) Las barras de la viga continúan a través del nodo, luego, la profundidad mínima de la

columna deberá ser: xbviga

yc d

fh ⋅

⋅≥

4200

20 (Art. 4.5.5 ACI 352-02)

La profundidad mínima de la columna será: hcMín=

La profundidad de la columna es cmh c 60= , por lo tanto, )ok(hh cMínc >


4.1 Ast debe estar entre 0.01Ag y 0.06 Ag (Art. 21.4.3.1 ACI 318-05)

22

07814

54216cm.

).(Ast =

⋅π⋅=

2366060010010 cm)()(.A. g =⋅⋅=⋅ , 22166060060060 cm)()(.A. g =⋅⋅=⋅

Ag.AA. stg ⋅≤≤⋅ 060010 (verifica)

4.2 Separación máxima centro a centro entre barras: Máxss ≤ (Art. 4.1 ACI 352-02)

La separación máxima centro a centro entre barras será:

cm.).()(

df

bvigaxy

8505424200

4200204200

20⇒⋅

⋅=⋅

⋅

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⋅=⋅=


)gobierna(cm)(laencolumnaladeensióndim

cm

.Máx

cm

.Míns xMáx 206031

3120

30


138

La separación centro a centro entre barras es:

sx= verificacmcmbarras#

Rh ec ∴<=−

⋅−=

−⋅−

201215

62601

2

5. Refuerzo transversal de la columna

5.1 Confinamiento :


bbx=45 cm. , okcm)( ∴=⋅= 45604345 .


verificacm.vigaladecolumnalasobresalequeciatanDis ∵10572

4560<=

−=

Al cumplirse las dos condiciones anteriores, se puede decir que todas las caras del nodo

están confinadas por las vigas que a ellas concurren.

5.2 Supongamos el siguiente arreglo de estribos para la columna:


139

Como puede observarse en la Figura, todas las barras longitudinales de las esquinas tienen

soporte lateral.

Las barras que no tienen soporte

lateral (dos barras en la dirección Y, y dos en la

dirección x como se puede apreciar en la figura)

están colocadas de forma alternada con barras

que tienen soporte lateral (cada una de ellas tiene

a cada lado una barra lateralmente soportada) y

la separación libre entre ellas es menor a 15 cm.

Los dobleces de los ganchos de las ligaduras son a 135 ° y su longitud mínima deberá ser:



577155542375066

=→⎩⎨⎧ =⋅⋅=⋅

=

De acuerdo con lo anteriormente expuesto, el arreglo supuesto cumple con los artículos

7.10.5.1 y 7. 10.5.3 del ACI 318-05 y con lo presentado en la Figura 4.3 del ACI 352-02.

5.3 Acero Colocado

El área de acero colocado, de acuerdo al arreglo de estribos antes presentado es:

5.4 Separación máxima centro a centro entre ligaduras: (Art. 4.1 ACI 352-02)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=⋅=⋅

==

=cm

cm.).(d

)gobierna(cm.col.dimMín

.Míns bcolumnaMáxh15

241554266

154

604

) 2

22

2953

4

542212

4

542832

4cm.

..d(ramasdeºN

A estxcolsh =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅π⋅

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅π⋅

=⋅π⋅

=


140

5.5Acero requerido: (Art. 4.2.2.2 ACI 352-02)

⋅

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=⋅⋅−⋅⋅

=⋅⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅−⋅⋅−⋅

⋅⋅⋅−⋅⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

⋅⋅⋅

=⋅ 2

2

1744200

250426015090090

614142604260

60604200

250426015301

30

cm.)()()(.f

fbs.

)gobierna(cm.)()(

)()()()()(.AA

ffbs.

MáxA

yh

c'

c"

h

c

g

yh

c'

c"

h

xshreq

Como el nodo está confinado por las cuatro caras (ya que todas las vigas cumplen con las

condiciones de confinamiento presentadas en el punto 5.1, se puede reducir el acero

requerido, anteriormente calculado, a la mitad. Entonces, 2305261450 cm.).(.Ashreqx =⋅=

5.6 El acero de refuerzo requerido (2.305 cm2) es menor que el colocado (3.95 cm2), lo que

quiere decir que el último es suficiente para la columna por condiciones de confinamiento,

si se lo coloca a una separación de 15 cm.

6. Refuerzo de la columna en la zona confinada

El refuerzo de la columna en la zona confinada será el mismo que el del nodo, con la única

diferencia que no se puede aplicar el factor de reducción del área de acero requerido por

confinamiento.

Entonces, el acero requerido será igual a 4.61 cm2, mientras que el acero colocado es igual a

3.95 cm2, luego habrá que reducir la separación del arreglo de ligaduras.

Suponiendo una separación igual a 12 cm., el acero requerido es igual a 3.688 cm2, valor inferior

al acero colocado (3.95 cm2), luego adoptaremos esta separación como la definitiva para el

arreglo de ligaduras de la columna en la zona confinada.

El refuerzo obtenido debe extenderse una longitud igual a:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⋅=⋅

==

cm.)(/h/cm

)gobierna(cmcolumna.dim.May.MáxL

n

o33583506161

4560


141

mkgf.M vigaxpr −= 27625382

7. Anchura efectiva de la losa, be


Para flexión negativa: Es idéntica a la flexión positiva, excepto que bex≥2·bbx

bex (150 cm.) > 2·bbx (90 cm.) luego se tomará como be2x=150 cm. para flexión negativa

8. Momentos máximos probables: Para el cálculo de los momentos máximos probables se

asumirá que el dlosa = dviga .

22

1 201154

5423cm.

).(A xfsin =

⋅π⋅=

cm.a)()(.

)().().(bf.

fAa x

xec'

yxfsinx 5032

150250850420025120115

850 11

11 =⇒

⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

⋅α⋅=

)/axd(baf.xM xxexc'

pr 2850 11111 −⋅⋅⋅⋅=

).()().()(.xMpr2503266015050322508501 −−⋅⋅⋅⋅=

mkgf.M xpr −= 405420841

22

2 33254

5425cm.

).(A

xvigasups =⋅π⋅

=

cm.a)()(.

)().().(bf.

fAa

xvigaxbc

'yvigaxsups

xviga 90134525085042002513325

8502

2

22 =⇒

⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

⋅α⋅=

)/ad(baf.Mxvigavigaxxbvigaxc

'xvigapr 2850 22222 −⋅⋅⋅⋅=

).()().()(.Mxvigapr 2

90136604590132508502 −−⋅⋅⋅⋅=

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⋅−⋅+=⋅⋅+

=⋅=⋅

=⋅⋅+=⋅⋅+

≤

cm)()()viga.próxlaalibre.dist(b

)gobierna(cm)(L

cm)()(eb

b

bx

n

lbx

xe

60024560021452

21

15060041

41

28521584528

1


142

xlosaxvigaxpr MMM 222 +=

mkgf.M..M xprxpr −=⇒+= 368200209194642762538 22

xprxpr MM 23 = , ya que las dos vigas en la dirección

X son iguales en sección y en aceros.

Por la misma razón, xprxpr MM 14 = .


22

2 12574

5428310cm.

)./(A losaxs =

⋅⋅π⋅=

)/.()().()(.M losaxpr 291136604591132508502 −−⋅⋅⋅⋅=

mkgf.M losaxpr −= 09194642

)/ad(baf.M xlosaxlosaxbosaxlc'

xlosapr 2850 22222 −⋅⋅⋅⋅=

cm.a

)()(.)().().(

bf.

fxAa

xlosa

xbc'

ylosasxlosa

9113

4525085042002511257

850

2

12

22

=

⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

⋅α⋅=

n

x2prx1pr21col h

MMV

x

+=−

kgf26.3545350.3

36.8200205.42084V x21col =+

=−


143


Vu1-2x = T2x+C1x - Vco1-2x

kgf.C)().().(C xx 2579805420025120115 11 =⇒⋅⋅=

yxlosasvigaxsupsx f)AA(T ⋅α⋅+= 222

kgf.T)().()..(T xx 75170388420025112573325 22 =⇒⋅⋅+=

Vu1-2x = T2x+C1x - Vco1-2x kgf74.214740V26.3545325.7980575.170388V x21ux21u =⇒−+= −−

Vu3-4x = T3x+C4x - Vcol3-4x

kgf.C)().().(C xx 2579805420025120115 44 =⇒⋅⋅=

yx3slosax3vigasupsx3 f)AA(T ⋅α⋅+=

kgf.T)().()..(T xx 75170388420025112573325 33 =⇒⋅⋅+=

Vu3-4x = T3x+C4x - Vco3-4x kgf74.214740V26.3545325.7980575.170388V x43ux43u =⇒−+= −−


12.1 Valor de γ :

Las dos condiciones de confinamiento presentadas en el punto 5.1, se cumplen para todas las

vigas que llegan al nodo.

n

x4prx3prx43col h

MMV

+=−

kgf36.3545350.3

05.4208436.82002Vx43col =

+=−

yx1infx1 fAsC ⋅α⋅=



144

Pero, hb ≥ 3/4 h?

cm/h/ 45604343 =⋅=⋅ hbx =60 cm , 60> 45 luego, hbx ≥ 3/4 h

Dado que para todas las vigas que llegan al nodo se cumplen las dos condiciones de

confinamiento presentadas en el punto 5.1 y además su altura es mayor a ¾ de la altura del

nodo, este está confinado por sus cuatro caras. Por lo tanto, el valor de γ es igual a 5.3.

12.2 Cálculo de m:

La excentricidad de la viga, ex (0 cm.), es, obviamente, menor a bc/8 (60/8), luego, el valor

de m es igual a 0.5.


cm)(.hm c 15

26050

2=

⋅=

⋅ no debe ser mayor que la distancia que sobresale la columna de la

viga (7.5 cm.) .Luego, se tomará como valor de cm5.7,2hm c⋅


13. φ·Vn

¿φ·Vn≥ Vu?

Si, ya que y kgf74.214740V ux =

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+

=+

=⋅+=⋅

Σ+

≤

cm

)gobierna(cm.bb

cm).(hm

b

xb cbx

cbx

j

60

5522

60452

60572452


kgf.V)().()(.V xnxn 122639716055225035 =⇒⋅⋅⋅=

kgf.V).(.xV xnn 4522437512263971850 =φ⇒⋅=φ

kgf45.224375xVn =φ


145

mkgf.M xnv −= 48338361

mkgf.M xnv −= 80672212

mkgf.M xnv −= 80672213

mkgf.M xnv −= 48338364



14. Relación

14.1 Para calcular los momentos teóricos de las vigas, se utilizará el mismo procedimiento y los

mismos datos que se utilizaron en el punto 7 para el cálculo de los momentos probables de

las vigas, con la diferencia de que el valor de α que se utilizará para calcular estos momentos

será igual a 1.00 y no a 1.25.

De acuerdo a lo anteriormente mencionado, se obtienen los siguientes valores de momentos

teóricos de las vigas:

Luego, las relaciones entre la suma de los momentos teóricos de las vigas y los de las columnas

serán:

= 80.6722148.33836

296000+

⋅

=80.6722148.33836

296000+

⋅

x2nvx1nv

supncinfnc

21v

x21c

MMMM

xMnMn

+

+=

∑∑

−

−

ok20.189.1xMn

Mn

21v

x21c >=∑∑

−

−

v

c

MnMn

∑∑

x4nvx3nv

supncinfnc

43v

x43c

MMMM

xMnMn

+

+=

∑∑

−

−

ok20.189.1xMn

Mn

43v

x43c >=∑∑

−

−


146


La separación máxima de los estribos de la viga será

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−==⋅⋅=⋅

=⋅=⋅=

)gobierna(cm./)(/dcm../d

cm..vigadMínS estribo

b

513466048622542832424

322054288

El refuerzo deberá extenderse en una distancia igual a 2·h=2·60=120 cm


No aplica, ya que las barras no se anclan en el nodo, sino que pasan a través de él


147

Ejemplo 2 de acuerdo a la Norma COVENIN 1753-85

Solución:

1. ¿f’c ≥ 200 kgf/cm2?

Si, ya que f’c = 250 kgf/cm2 (Art. 18.1.3.1)


La conexión es interior (Tipo a, Ver Figura 3.1)


a) 30.h

bw ≥ (Art.18.2.1)

7506045 .

hb

b

w == >0.30 verifica

b) wb ≥ 25 cm. (Art.18.2.1)

bw (45 cm.) > 25 cm. verifica

c) bwx < bc+a1+a2 (Art.18.2.1)

bwx (45 cm.) < bc + a1+a2 (150 cm.) verifica

d) e≤ bc/4 (Art.18.2.1)

ex (0 cm.) < bc/4 (60/4 cm.) verifica

e) La menor dimensión de la columna ≤ 30 cm. (Art.18.4.2)

La menor dimensión de la columna es 60 cm., valor mayor a 30 cm.

f) 40.hb

≥ (Art.18.4.2)

verifica.. ∴>= 400016060


148


4. 1 0.01 ≤ ρ ≤ 0.06 (Αrt. 18.3.3.2)

22

07814

54216cm.

).(As =

⋅π⋅=

022506060

0781 .)()(

.AA

g

s =⋅

==ρ , verifica... 06002250010 ≤≤




10 cm.)

5.2 El arreglo de estribos supuesto es el mismo que el del ejemplo resuelto por el ACI 352-02 y

debe cumplir con las mismas condiciones presentadas, excepto en la longitud mínima de los

ganchos de las ligaduras, que debe ser igual a:

5.3 Las áreas de acero colocadas en las direcciones X e Y son las mismas que para el ACI 352-02,

(2.85 cm2 en ambas direcciones)

5.4 Separación máxima centro a centro entre ligaduras: (Art. 18.3.4.4)

5.5 Acero requerido: (Art. 18.3.4.3.2)

⎪⎩

⎪⎨⎧ ==

=)gobierna(cm

cm.col.dimMín.MínsMáx

10

154

604

⋅

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⋅⋅−⋅⋅

=⋅⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅−⋅⋅−⋅

⋅⋅⋅−⋅⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

⋅⋅⋅


ffhs.

cm.)()(

)()()()()(.AA

ffhs.

MáxA

yh

c'

c

ch

g

yh

c'

c

xshreq2

2

71434200

250426010120120

07693142604260

60604200

250426010301

30

cm.).()(dgancho.mín.Long b 5259542831010 =⋅⋅=⋅=


149

El nodo está confinado por las cuatro caras, según lo calculado en el punto 5, luego, se

puede reducir el acero calculado a la mitad. Entonces, el acero requerido será igual a:

Ashreq=0.5·(3.714) = 1.85 cm2.

El acero de refuerzo requerido (1.85 cm2) es menor que el colocado (3.95 cm2), luego, el acero

colocado es suficiente para la columna por condiciones de confinamiento, si se lo coloca a

una separación de 10 cm.


El refuerzo de la columna en la zona confinada será el mismo que el del nodo, con la única

diferencia que no se puede aplicar el factor de reducción del área de acero requerido por

confinamiento.

Entonces, el acero requerido será igual a 3.714 cm2, mientras que el acero colocado es igual a

3.95 cm2, luego adoptaremos esta separación (10 cm) como la definitiva para el arreglo de

ligaduras de la columna en la zona confinada.

El refuerzo obtenido debe extenderse una longitud igual a:

7. Momentos máximos probables:

22

1 201154

5423cm.

).(A xfsin =

⋅π⋅=

)/ad(baf.M xxxbxc'

xpr 2850 11111 −⋅⋅⋅⋅=

).()().()(.Mxpr 2

34586604534582508501 −−⋅⋅⋅⋅=

mkgf.M xpr −= 87397611

cm.a)()(.

)().().(|bf.

fAa x

xbc'

yxfsinx 3458

45250850420025120115

850 11

11 =⇒

⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

⋅α⋅=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⋅=⋅

==

cm.)(/h/cm

)gobierna(cmcolumna.dim.May.MáxL

n

o33583506161

4560


150

22

2 33254

5425 cm.).(A xfsin =⋅π⋅

=

xprxpr MM 23 =

mkgf.M xpr −= 271625382

8. Corte último de la columna, Vcol (Art. C-18.2)

infcsupc

prn

prn

xcol LL

MllM

ll

V+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅

=−

22

21

1

1

21

2

El Vcol3-4x es idéntico al Vcol1-2x

cm.a)()(.

)().().(bf.

fAa x

xbc'

yfsinx 9013

4525085042002513325

8502

2

22 =⇒

⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

⋅α⋅=

)/ad(baf.M xbxxc'

xpr 2850 2222 −⋅⋅⋅⋅=

kgf..

).().(V xcol 3732476

5032

2716253860600

600873976160600

6002

21 =⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

−+⋅

−⋅

=−

)/.()().()(.M xpr 290136604590132508502 −−⋅⋅⋅⋅=

xprxpr MM 14 =


151

hjb'fVj jxcxn ⋅⋅γ=


yxfsinx fAC ⋅α⋅= 11

kgf.C)().().(C xx 4279806420025120115 11 =⇒⋅⋅=


kgf.T)().().(T xx 513298242002513325 22 =⇒⋅⋅=

Vj1-2x = T2x+C1x-Vcol1-2x

Vj3-4x es igual a Vj1-2x


10.1 Valor de γ : El valor de γ en este caso será igual a 5.3, ya que el nodo está confinado por sus

cuatro caras, de acuerdo con lo calculado en el punto 5.1.


En este caso, el nodo está centrado, luego, la anchura efectiva del nodo será

cwj dbb +≤ .

cmbb jj 1056045 ≤⇒+≤




11. φ·Vn

¿φ·Vn≥ Vu?

Si, ya que y kgf.V jx 76180042=

kgf.V).(.xVxjnjn 09525642928301681850 =φ⇒⋅=φ

kgf.xVjn 095256429=φ

kgf.V...V xjxj 55180042373247642798065132982 2121 =⇒−+= −−

kgf.V)()()(.Vxnjxjn 28301681606025035 =⇒⋅⋅⋅=


152


cortante establecidos por la Norma COVENIN 1753-85

12. Relación : No se pudo calcular, ya que el problema no da como dato los momentos

últimos de las columnas.


Ídem al ACI 352-02


Ídem al ACI 352-02

vu

cu

MM

∑∑


153

Ejemplo 2 según la Norma SOCVIS 1753 (R)

Solución:

1. ¿f’c ≥210 kgf/cm2?

Si, ya que f’c = 250 kgf/cm2 (Art. 5.2.1)


La conexión es interior (Tipo a, ver Figura 3.1)


Las condiciones que se deben cumplir son idénticas a la de la Norma 1753 R, excepto que la

excentricidad de la viga no necesita ser menor que la cuarta parte de la anchura de la columna.


Ídem a la Norma COVENIN 1753-85




10 cm.)



5.4 Separación máxima centro a centro entre ligaduras: Ídem al ACI 352-02

5.5 Acero requerido: Ídem ACI 352-02

6. Refuerzo Transversal de la Columna en el nodo: Ídem al ACI 352-02

7. Momentos máximos probables: Los momentos máximos probables son idénticos a los calculados

por el procedimiento de la Norma SOCVIS 1753 (R).

8. Corte de la columna, Vcol

n

xprxprcol h

MMV

x

2121

+=−

kgf..

..V x´col 6129228503

27162538873976121 =

+=−


154

Vcol3-4 es idéntico al Vcol1-2


yxfsinx fAC ⋅α⋅= 11

kgf.C)().().(C xx 4279806420025120115 11 =⇒⋅⋅=


kgf.T)().().(T xx 513298242002513325 22 =⇒⋅⋅=

Vu1-2x = T2x+C1x-Vcol1-2x

Vu-4x es igual a Vu1-2x



sus cuatro caras ni en tres caras o en dos opuestas, de acuerdo a lo calculado en el punto 5.1.


⎪⎩

⎪⎨⎧

=+=+=⋅+=⋅+

= cmhb)gobierna(cm).(rb

bjw

wjx 1056045

60572452

kgf.V...V xjxu 31183560612922842798065132982 2121 =⇒−+= −−


155


11. φ·Vc

¿φ·Vc≥ Vu?

Si, ya que y kgf.V ux 76180042=

Para las dos direcciones X e Y, φ·Vc≥ Vu, luego, el nodo cumple con los requisitos de fuerza


12. Relación

Ídem ACI 352-02


Ídem al ACI 352-02


Ídem al ACI 352-02

hjb'fV jxcxc ⋅⋅γ=

kgf095.256429V)28.301681(85.0xV xcc =φ⇒⋅=φ

kgf095.256429xVc =φ

vn

cn

MM

∑∑

kgf28.301681V)60()60()250(3.5V xcxc =⇒⋅⋅⋅=


156

EJEMPLO 1

ACI 352-02 1753-85 1753 ( R) ACI 352-02 1753-85 1753 ( R)

Ref. Tranv. 12 9 Idem ACI 352-02

de la col en Ashreqx (s=12 cm) Ashreqx (s=9 cm) Ashreqx (s=12 cm) 3.664 3.663 Idem ACI 352-02

el nodo AshreqY (s=12 cm) AshreqY (s=9 cm) AshreqY (s=12 cm) 4.307 4.307 Idem ACI 352-02

Ref. Tranv. 12 9 Idem ACI 352-02

de la col en Ashreqx (s=12 cm) Ashreqx (s=9 cm) Ashreqx (s=12 cm) 3.664 3.663 Idem ACI 352-02

zona conf. AshreqY (s=12 cm) AshreqY (s=9 cm) AshreqY (s=12 cm) 4.307 4.307 Idem ACI 352-02

EJEMPLO 2

ACI 352-02 1753-85 1753 ( R) ACI 352-02 1753-85 1753 ( R)

Ref. Tranv. de la col enel nodo Ashreqx (s=12 cm) Ashreqx (s=9 cm) Ashreqx (s=12 cm) 2.305 1.85 Idem ACI 352-02

Ref. Tranv. de la col enzona conf. Ashreqx (s=12 cm) Ashreqx (s=10 cm) Ashreqx (s=12 cm) 2.305 1.85 Idem ACI 352-02

Idem ACI 352-02

Sep. del refuerzo obtenida 12 10 Idem ACI 352-02

Sep. del refuerzo obtenida 15 10

Sep. del refuerzo obtenida

Sep. del refuerzo obtenida

Comparación de resultados

En este aparte se presentarán una serie de Tablas que permitirán comparar los resultados

obtenidos para los parámetros más resaltantes de los dos ejemplos resueltos por cada una de las

Normas consultadas (ACI 352-02, COVENIN 1753-85 y SOCVIS 1753 (R)).Además, se incluirán

las conclusiones pertinentes producto de la comparación de dichos resultados.

1) Área de acero transversal de la columna en el nodo y en la zona confinada:

Tabla 3.2: Separaciones y áreas del refuerzo transversal

Se puede desprender de la Tabla adjunta que, aunque se obtuvo por las tres Normas el

mismo arreglo de ligaduras, la separación de este es diferente, siendo menor la

obtenida de acuerdo a la Norma COVENIN 1753-85 que la obtenida de acuerdo a las

Norma ACI 352-02 y SOCVIS 1753 (R).


157

EJEMPLO 1 ACI 352-02 1753-85 1753 ( R) ACI 352-02 1753-85 1753 ( R)

Momentos 65550.79 63254.45 Idem 1753-85Positivos 81494.25 78817.047 Idem 1753-85

Momentos 103067.48 91249.08 Idem 1753-85Negativos 123124.59 106620.8 Idem 1753-85


Momentos 42084.405 39761.87 Idem 1753-85Positivos 42084.405 39761.87 Idem 1753-85

Momentos 82002.36 62538.271 Idem 1753-85Negativos 82002.36 62538.271 Idem 1753-85

Mpr1y

Mpr1x

Mpr4x

Mpr2x

Mpr2x

Mpr2y

Mpr1x

Mpr3x

De acuerdo con esto, se puede concluir que la Norma COVENIN 1753-85 es más

conservadora en cuanto al área de acero transversal se refiere, ya que, a pesar de que

el arreglo de estribos que se obtiene es el mismo que el de las otras Normas, se obtiene

una separación menor, lo que redunda en una mayor cantidad de acero por unidad de

longitud.

Si se hubiera adoptado un valor de 9 cm. de separación para todas las Normas en el

Ejemplo 1, se habría obtenido, por la Norma ACI 352-02 un área de acero requerida

igual a 2.748 cm2, valor inferior al obtenido de acuerdo a la Norma COVENIN 1753-85

(3.663 cm2).Esta diferencia en las áreas de acero para la misma separación se debe a

que una de las fórmulas utilizadas para el cálculo del acero de refuerzo transversal es

la siguiente: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅= 1

c

g

yh

c'

sh A

A

ffFactorA . El Factor que multiplica a la expresión

anteriormente presentada es igual a 0.12 en la Norma COVENIN 1753-85 y fue

reducido a 0.09 en el ACI 352-02 y en la SOCVIS 1753 (R), por lo que es de esperarse

que el área de acero calculada de acuerdo con la Norma COVENIN 1753-85 resulte

mayor que la calculada por las Normas ACI 352-02 y SOCVIS 1753 (R).

2) Momentos máximos probables:

Tabla 3.3: Momentos máximos probables


158

Se puede observar en las Tablas presentadas que para ambos ejemplos se obtienen

momentos máximos probables mayores utilizando la Norma ACI 352-02 que

utilizando las Normas COVENIN 1753-85 y 1753 (R). Esto se debe a que el

ACI 352-02 considera el efecto de la losa maciza en el cálculo de la resistencia a

flexión de las vigas, a través del concepto de la anchura efectiva. Así, las vigas, que

tienen una sección rectangular, debido a la consideración de la anchura efectiva, son

calculadas como una sección T, con una anchura superior igual a la anchura efectiva y

con un acero superior igual al de la viga, más el de la losa que esté dentro de la

anchura efectiva.

La mayor diferencia porcentual que se registró entre los momentos positivos fue de

5.51 %, mientras que la mayor diferencia entre los momentos negativos fue de

23.71 %. La diferencia entre los momentos negativos es mayor que la diferencia entre

los momentos positivos ya que para el cálculo de los momentos negativos se toma en

cuenta una cantidad de acero superior mayor (el de la viga más el de la losa que está

dentro de la anchura efectiva, mientras que para el cálculo de los momentos positivos

se toma en cuenta una anchura mayor que la de la viga (la anchura efectiva). Al ser el

momento de una viga más sensible a un aumento en el área de acero que a un

aumento en la anchura del miembro, la diferencia registrada en los momentos

negativos será generalmente mayor que la registrada para los momentos positivos.


159


Direcc del sismo que pro- 29447.850 29795.610 26071.165duce momentos horarios 35178.454. 34164.208 30462.85Direcc del sismo que pro- 18728.79 20654.514 18072.71duce momentos antihor. 23284.071 25223.085 22490.58


Direcc del sismo que pro-duce momentos horarios Direcc del sismo que pro-duce momentos antihor.

35453.360 32476.370 29228.610

35453.36 32476.37 29228.61

Vcol1-2x

Vcol3-4x

Vcol1x

Vcol1y

Vcol2x

Vcol2y

3) Corte en la columna, Vcol :

Tabla 3.4: Cortes en la columna

Como se puede observar en la Tabla adjunta, no se registraron mayores diferencias

entre los cortes de la columna, calculados por las tres Normas consultadas. La mayor

diferencia que se obtiene es igual a 17.55 %.Por la Norma ACI 352-02 se obtienen

mayores cortes en la columna que por la Norma SOCVIS 1753 (R), ya que los

momentos máximos probables obtenidos de acuerdo a la primera Norma son mayores

que los obtenidos de acuerdo a la segunda, debido a la consideración de la anchura

efectiva, como se comentó en el punto anterior.

En cuanto a las magnitudes de los cortes en la columna de acuerdo a la Norma

COVENIN 1753-85, éstas no presentan una tendencia definida con respecto a las

obtenidas de acuerdo a la Norma ACI 352-02, aunque resultaron siempre mayores que

las obtenidas según la Norma SOCVIS 1753 R. Esto se debe a que la fórmula con la

que se calcula el corte en la columna según la Norma COVENIN 1735-85 difiere de la

fórmula que se utiliza para calcular el corte de acuerdo a las Normas SOCVIS 1753(R)

y al ACI 352-02.


160

EntrepisoAltura

MprLL

V ncol

⋅= 1

1

Para entrepisos iguales, la fórmula del corte en la columna según la Norma

COVENIN 1753-85 es

El factor L1/L1n es siempre mayor que uno, ya que la luz centro a centro siempre será

mayor que la luz libre .Por lo tanto, este factor siempre aumentará el momento

máximo probable, pudiendo aumentarlo hasta el punto que resulte mayor que el

momento máximo probable obtenido incorporando la anchura efectiva. En

consecuencia, el corte de la columna puede resultar mayor o menor por la Norma

COVENIN 1753-85 que por la Norma ACI 352-02, dependiendo del caso.

4) Fuerzas de tracción y compresión en el nodo :


Direcc del sismo que pro- 178311 159610.5 Idem 1753-85duce momentos horarios 212394 186212.25 Idem 1753-85Direcc del sismo que pro- 106407 Idem ACI 352-02 Idem ACI 352-02duce momentos antihor. 13308.75 Idem ACI 352-02 Idem ACI 352-02


Direcc del sismo que pro- 170388.75 132982.5 Idem 1753-85duce momentos horarios 79805.25 Idem ACI 352-02 Idem ACI 352-02Direcc del sismo que pro- 170388.75 132982.5 Idem 1753-85duce momentos antihor. 79805.25 Idem ACI 352-02 Idem ACI 352-02

T2x

C1x

T3x

C4x

T1x

T1y

C2x

C2y

Tabla 3.5: Fuerzas de tracción y compresión

Como se puede observar en las tablas adjuntas, las fuerzas de tracción obtenidas de

acuerdo al ACI 352-02 resultaron siempre mayores que las obtenidas de acuerdo a las

NVC 1753.


161



φVnx 224375.45 256429.1 256429.095

195681.74 262073.8 209659.008φVny φVjny φVny

193531 262073.8 209659.008φVnx φVjnx φVnx

Esto se debe a que para el cálculo de las fuerzas de tracción en la Norma ACI 352-02 se

considera además del acero de la viga, el acero de la losa dentro de la anchura

efectiva, a diferencia de las NVC 1753.

Las fuerzas de compresión obtenidas por las tres Normas son iguales, ya que el acero

que consideran las tres Normas para el cálculo de esta fuerza es igual al acero inferior

de la viga.

5) Cortes últimos y teóricos en el nodo:

Tabla 3.6: Cortes últimos y teóricos


162

Los cortes últimos en el nodo obtenidos de acuerdo a la Norma ACI 352-02 son

siempre mayores que los obtenidos por la Norma COVENIN 1753-85.Esta diferencia

se debe a que, para el cálculo de las fuerzas de tracción y de los momentos máximos

probables, se tomó en cuenta, en el caso de la Norma ACI 352-02, el efecto de la

anchura efectiva. El hecho de que por el ACI 352-02 se obtengan cortes últimos

menores, la hace más conservadora con respecto a las otras Normas consultadas.

Los cortes teóricos por la Norma ACI 352-02 son siempre menores que los obtenidos

por las Normas COVENIN 1753-85 y 1753 (R).Esto se debe a que la anchura efectiva

calculada de acuerdo con la Norma ACI 352-02 es siempre menor que la obtenida de

acuerdo con las Normas COVENIN 1753-85 y 1753 (R). En consecuencia, el área

efectiva calculada de acuerdo a la Norma ACI 352-02 resultará menor que la calculada

de acuerdo con las otras dos Normas consultadas, y, por consiguiente, el corte teórico.


163


163

CAPITULO 4: DISEÑO DE NODOS VIGA –COLUMNA ASISTIDO POR EL

COMPUTADOR

En el presente Capítulo se hará mención a los recursos útiles para el diseño de nodos que ofrecen

programas de computación existentes. Estos programas generalmente abordan el problema de

análisis y diseño de estructuras como objetivo básico y destinan uno o varios de sus módulos a

complementar el diseño de los miembros incorporando el de los nodos.

Para no extender demasiado el alcance de este tema, de por si digno de un Trabajo Especial, se

limitará su tratamiento a las facilidades que ofrece el programa ETABS, desarrollado por la

Empresa CSI (“Computers and Structures”) que figura dentro de los más usados en el área

estructural para los fines mencionados. Se usará la versión v.9.0.2 y se aplicará al modelo de un

edificio real, escogido por tener una configuración bastante regular, con lo que se precisa el

enfoque a lo esencial del problema.

Limitaciones del programa

Como dato previo, y aplicando el procedimiento establecido en el Capítulo 3, se pueden

establecer las siguientes limitaciones del programa:

1. No realiza las verificaciones dimensionales de vigas y columnas

2. No calcula el refuerzo transversal por confinamiento. Sólo calcula la cantidad de

refuerzo trasversal necesaria de acuerdo a las solicitaciones de corte que tenga la

columna. El refuerzo transversal por confinamiento debe calcularse manualmente

La cantidad de refuerzo transversal que entrega el programa viene dada por unidad

de longitud (m2/m, cm2/cm., in2/in, etc.), que no son unidades usadas en la práctica.

Por otro lado, la separación real del refuerzo transversal debe ser calculada

manualmente.


164

3. No toma en cuenta el efecto de la losa en la resistencia a flexión de los miembros, en

otras palabras, no toma en cuenta la anchura efectiva de la losa para el cálculo de los

momentos máximos probables de los miembros

4. No toma en cuenta el hecho de que la conexión pueda ser excéntrica, ya que siempre

la asume centrada, es decir que el eje de la viga coincide con el de la columna.

5. No calcula la longitud de anclaje de las barras de las vigas. Esta debe ser calculada

manualmente

Tareas que realiza el programa

En el marco del diseño de nodos viga-columna, el programa realiza básicamente las

siguientes tareas:

1. Calcula los momentos máximos probables de las vigas concurrentes al nodo para cada

dirección del sismo.

2. Calcula los cortes de la columna para cada dirección del sismo.

3. Calcula los cortes últimos del nodo para cada dirección del sismo

4. Verifica si las vigas que llegan al nodo, lo confinan

5. Define el valor de γ

6. Determina la anchura efectiva del nodo

7. Calcula el corte teórico del nodo

8. Compara el corte teórico con el mayor valor del corte último para cada dirección y

calcula la relación entre el segundo y el primero. Si esta relación arroja un valor mayor

que 1.00, el nodo no cumple por corte.

Para que el programa emita la salida del diseño del nodo, la estructura debe estar

completamente modelada e introducida en el programa, analizada y diseñada.


165

En el caso concreto de los ejemplos de este trabajo, se acometerá el diseño sismorresistente de dos

nodos de una edificación de un proyecto real, ya modelada atendiendo a sus características

geométricas, de uso y de materiales a utilizar en su construcción, y analizada y diseñada. Los

resultados se compararán con los que se obtendrán con los procedimientos presentados en el

Capítulo anterior, basados en las Normas ACI 352-02 y SOCVIS 1753 (R).

Descripción de la edificación

Se trata de una estructura aporticada regular de 9 pisos, con una altura total de 24.40 m.

Todos los miembros son de sección rectangular, salvo las columnas de la planta baja, que son

circulares. La Figura 4.1 presenta el modelo tridimensional de la estructura.

Fig. 4.1: Vista 3D de la estructura


166

Nodos seleccionados

Nodo 1:

Es interior, y está ubicado en el piso 6 de la estructura, a una altura de 16 metros. Todas las

vigas concurrentes a él son de 30x60 cm. y las columnas, de 35x75 cm.

En la figura adjunta se muestra gráficamente la ubicación del nodo dentro de estructura.

Fig. 4.2: Ubicación en la estructura del nodo 1


167

Nodo 2:

El segundo nodo es de esquina y está ubicado en el piso 4 de la misma edificación, a una

altura de 13.20 m. Todas las vigas concurrentes al nodo son de 30x60 cm. y las columnas, de

30x75 cm.

Fig. 4.3: Ubicación en la estructura del nodo 2


168

Diseño de los nodos seleccionados asistido por el ETABS

Una vez modelada, analizada y diseñada la estructura, puede accederse al menú Joint Shear

seleccionando la columna inferior del nodo en cualquiera de las elevaciones donde ella se

encuentre representada (en el caso del nodo 1, podría seleccionarse la elevación B o la 7; y en el

caso del nodo 2, la B o la 2)

Del Menú Joint Shear, para el nodo 1, se obtiene la siguiente salida, donde el programa resume

los resultados arrojados por su proceso de diseño. Hemos superpuesto a la hoja unas llamadas

numéricas que remiten a las notas que aparecen posteriormente.


169

Fig.4.4: Resultados emitidos por el ETABS para el nodo 1

Y para el nodo 2:


170

Fig.4.5: Resultados emitidos por el ETABS para el nodo 2

Notas:

1. Relación de capacidad del nodo

2. Corte último del nodo


4. Aceros superiores e inferiores de las vigas que concurren al nodo

5. Momentos máximos probables positivos de las vigas que concurren al nodo

6. Momentos máximos probables negativos de las vigas concurrentes al nodo

7. Clockwise es la dirección del sismo que produce momentos en el sentido horario y

counterclockwise, la que los produce en el sentido antihorario.

8. Suma de las fuerzas de tracción para cada dirección del sismo en las direcciones mayor y

menor de la columna inferior al nodo.

9. Suma de las fuerzas de compresión para cada dirección del sismo en las direcciones

mayor y menor de la columna inferior al nodo.

10. Corte de la columna para cada dirección del sismo, en las direcciones mayor y menor de

la columna inferior al nodo.

11. Chequeo del confinamiento del nodo en las direcciones mayor y menor

12. Anchura efectiva del nodo para las direcciones mayor y menor

13. Profundidad de la columna en las direcciones mayor y menor

14. Área efectiva del nodo

15. Valor igual a c´´f⋅φ⋅γ


171

Diseño del nodo por el procedimiento manual

Para aplicar el procedimiento manual presentado en el Capítulo 3, se tomarán como datos los

aceros longitudinales de las vigas adyacentes al nodo en cuestión, arrojados por el programa

La resolución del ejemplo por el procedimiento de la Norma ACI 352-02 es similar a la de la

Norma SOCVIS 1753 (R), excepto en el punto en el cual se calcula la anchura efectiva del nodo.

Por esa razón, se presentará un solo proceso para todos los pasos, excepto en el cálculo del corte

teórico del nodo, donde se mostrarán los resultados obtenidos utilizando cada Norma.

Nodo 1:

Datos:

f’c=250 kgf/cm2, fy=4200 kgf/cm2, Re=5 cm.

Aceros longitudinales de las vigas en la dirección X:


172

La viga de la izquierda es la que el programa denomina Beam 2. La viga de la de la derecha

es la Beam 1.

Aceros longitudinales de las Vigas en la dirección Y:

La viga de la izquierda es la que el programa llama Beam 3 .La viga de la derecha es la que el

programa llama Beam 4


173

1bc'

y1fsinx1 bf85.0

fAa

⋅⋅

⋅α⋅=

2

22

850 bc'

ysupsx bf.

fAa

⋅⋅

⋅α⋅=

Los resultados del análisis del nodo en la dirección X corresponden a los obtenidos con el

programa para la dirección 3-3 (Minor), y en la dirección Y, a los obtenidos con el programa

para la dirección 2-2 (Major).

Solución:

Momentos probables:

Dirección X:

El momento Mpr1x corresponde a lo que el programa denomina “Capacity + Vem Beam 2”

(Capacidad positiva de la viga 1), y el Mpr2x corresponde a lo que el programa denomina

“Capacity – Vem Beam 1”

cm.a)()(.

)().().(a xx 7333

3025085042002515344

11 =⇒⋅⋅⋅⋅

=

mkgf.M.)().()(.M xprxpr −=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⋅⋅⋅⋅= 5212647

27333560307333250850 11

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅⋅⋅⋅=2

850 11111

xxbxc

'xpr

adbaf.M

cm.a)()(.

)().().(a xx 5494

3025085042002515245

22 =⇒⋅⋅⋅⋅

=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅⋅⋅⋅=2

850 22222

xxbxc

'xpr

adbaf.M


⎜⎝⎛ −−⋅⋅⋅⋅= 8915290

25494660305494250850 22


174

1bc'

y1fsiny1 bf85.0

fAa

⋅⋅

⋅α⋅=

El momento Mpr3x corresponde a lo que el programa denomina “Capacity - Vem Beam 2”

(Capacidad positiva de la viga 1), y el Mpr4x corresponde a lo que el programa denomina

“Capacity + Vem Beam 1”

Dirección Y:

cm.a)()(.

)().().(a xx 7245

3025085042002519516

33 =⇒⋅⋅⋅⋅

=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅⋅⋅⋅=2

850 33333

xxxbxc

'xpr

adbaf.M


⎜⎝⎛ −−⋅⋅⋅⋅= 52519026

27245660307245250850 33

xbc'

yfsinx

bf.

fAa

4

44

850 ⋅⋅

⋅α⋅= cm.a

)()(.)().().(

a xx 9523025085042002515893

44 =⇒⋅⋅⋅⋅

=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅⋅⋅⋅=2

850 44444

xxbxc

'xpr

adbaf.M


⎜⎝⎛ −−⋅⋅⋅⋅= 78210084

295266030952250850 44

cm.a)()(.

)().().(a yy 4114

3025085042002513275

11 =⇒⋅⋅⋅⋅

=

mkgf.M.)().()(.M yprypr −=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⋅⋅⋅⋅= 9014764

24114560304114250850 11

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅⋅⋅=

2850 1

1111y

yybyc'

ypra

dbaf.M

xbc'

yxsupsx bf.

fAa

3

33 850 ⋅⋅

⋅α⋅=


175

ybc

'yysups

y bf.

fAa

2

22 850 ⋅⋅

⋅α⋅=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⋅⋅⋅⋅=

2850 2

2222ya

dbaf.M yybyc'

ypr


⎜⎝⎛ −−⋅⋅⋅⋅= 4628365

27928660307928250850 22

El momento Mpr1y corresponde a lo que el programa denomina “Capacity + Vem Beam

4” (Capacidad positiva de la viga 1), y el Mpr2y corresponde a lo que el programa

denomina “Capacity – Vem Beam 3” (Capacidad negativa de la viga 3)

El momento Mpr3y corresponde a lo que el programa denomina “Capacity - Vem

Beam 4” (Capacidad positiva de la viga 1), y el Mpr4y corresponde a lo que el programa

denomina “Capacity + Vem Beam 3”

cm.a)()(.

)().().(a yy 7556

3025085042002512038

33 =⇒⋅⋅⋅⋅

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅⋅⋅=

2850

33333

yyybyc

'ypr

adbaf.M


⎜⎝⎛ −−⋅⋅⋅⋅= 6122231

27556660307556250850 33

ybc'

yyfsiny

bf.

fAa

4

44

850 ⋅⋅

⋅α⋅= cm.a

)()(.)().().(

a yy 549143025085042002515245

44 =⇒⋅⋅⋅⋅

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅⋅⋅=

2850

44444

yyybyc

'ypr

adbaf.M


⎜⎝⎛ −−⋅⋅⋅⋅= 9015290

2549146603054914250850 44

ybc'

yysupsy

bf.

fAa

3

33

850 ⋅⋅

⋅α⋅=

cm.a)()(.

)().().(a yy 7928

30250850420025167710

22 =⇒⋅⋅⋅⋅

=


176

n

xprxprxcol h

MMV 43

43+

=−

kgf.V.

..V xcolxcol 8910396802

78210084525190264343 =⇒

+= −−

Cortes en la columna

Dirección X:

Vcol1-2x corresponde a lo que el programa denomina el Vu Top Minor clockwise

Vcol3-4x corresponde a lo que el programa denomina Vu Top Minor Counterclockwise

Dirección Y:

n

x2prx1prx21col h

MMV

+=−

kgf9978V80.2

89.1529052.12647V x21colx21col =⇒+

= −−

n

ypryprycol h

MMV 21

21+

=−

kgf.V.

..V ycolycol 715403802

901476446283652121 =⇒

+= −−


177

Vcol1-2y corresponde a lo que el programa denomina Vu Top Major clockwise

Vcol3-4y corresponde a lo que el programa denomina Vu Top Major Counterclockwise

Corte Último del nodo

Dirección X: Vu1-2x = T2x+C1x - Vco1-2x

kgf.C)().().(C xx 52380342002515344 11 =⇒⋅⋅=

C1x corresponde a lo que el programa denomina Sum (C) minor clockwise

yxvigasupsx fAT ⋅α⋅= 22

kgfT)().().(T xx 2900142002515245 22 =⇒⋅⋅=

T2x corresponde a lo que el programa denomina Sum (T) minor clockwise

Vu1-2x = T2x+C1x - Vco1-2x kgf.V.V xuxu 542826997829001523803 2121 =⇒−+= −−

n

ypryprycol h

MMV 43

43+

=−

kgf.V.

..V ycolycol 8913400802

901529061222314343 =⇒

+= −−



178

kgf.V...V xuxu 1144938891039625188427536492 4343 =⇒−+= −−

Vu3-4x = T3x+C4x - Vcol3-4x

C4x corresponde a lo que el programa denomina Sum (C) minor Counterclockwise


kgf.T)().().(T xx 753649242002519516 33 =⇒⋅⋅=

T3x = Sum (T) minor counterclockwise en programa

Vu3-4x = T3x+C4x - Vco3-4x

El mayor valor entre Vu1-2x y Vu3-4x es el valor que el programa llama “Shear Vutot”, Minor shear (V3).

Dirección Y:

Vu1-2y = T2y+C1y - Vco1-2y

kgf.C)().().(C yy 752796642002513275 11 =⇒⋅⋅=

C1y = Sum (C) major clockwise en el programa

yyvigasupsy fAT ⋅α⋅= 22

kgf.T)().().(T xy 2556054420025167710 22 =⇒⋅⋅=

T2y corresponde a lo que el programa denomina Sum (T) major clockwise

Vu1-2y = T2y+C1y - Vco1-2y

kgf.V...V yuyu 36861771540375279662556054 2121 =⇒−+= −−

Vu3-4y = T3y+C4y - Vcol3-4y

yxinfx fAsC ⋅α⋅= 44

kgf.C)().().(C xx 251884242002515893 44 =⇒⋅⋅=

yyinfy fAsC ⋅α⋅= 11


179

kgf.V..V yuyu 86586658913400290017543065 4343 =⇒−+= −−

C4y corresponde a lo que el programa denomina Sum (C) major counterclockwise


kgf.T)().().(T yy 754306542002512038 33 =⇒⋅⋅=

T3y corresponde a lo que el programa denomina Sum (T) major counterclockwise Vu3-4y = T3y+ C4y - Vco3-4y

El mayor valor entre Vu1-2y y Vu3-4y es el valor que el ETABS llama “Shear Vu tot”, Major shear (V3)

Corte teórico del nodo:

Según la Norma ACI 352-02:

Dirección X:

Valor de γ :

El nodo está confinado por dos de sus caras (las caras perpendiculares a las vigas de la

dirección Y) ya que )cm.(b/quemayores)cm(b cb 25264330 ⋅ , y, además hb (60 cm.) es

mayor que 3/4 h (45cm).

Las caras perpendiculares a las vigas de la dirección X no están confinadas, ya que

)cm.(b/quemenores)cm(b cb 25564330 ⋅ .

Dado que dos caras opuestas del nodo están confinadas, el valor de γ correspondiente a

este caso será igual a 4.0.

yyinfy fAsC ⋅α⋅= 44

kgfC)().().(C yy 2900142002515245 44 =⇒⋅⋅=


180

Cálculo de m:

Dirección X: La excentricidad de la viga, ex (0 cm.) es menor que bc/8 (75/8), luego, el

valor de m es igual a 0.5.

Dirección Y: La excentricidad de la viga, ey (0 cm.) es menor que bc/8 (35/8), luego, el

valor de m es igual a 0.5.

Anchura efectiva del nodo

Dirección X:

cm.)(.hm c 758

23550

2=

⋅=

⋅ no debe ser mayor que la distancia que sobresale la columna

de la viga (22.5 cm.). En este caso, se tomará como valor de cm75.8,2hm c⋅ , ya que este

valor no sobrepasó a la distancia que la columna sobresale de la viga.

bjx corresponde a lo que el programa denomina Joint Width (Minor)

Dirección Y:

cm.)(.hm c 7518

27550

2=

⋅=


viga ( 2.5 cm.) .Luego, se tomará como valor de cm5.2,2hm c⋅

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+

=+

=⋅+=⋅

Σ+

≤

cm

cm.bb

)gobierna(cm.).(hm

b

xb cbx

cbx

j

75

5522

75302

5477582302


181

bjy corresponde a lo que el programa denomina Joint Width (Major) en el programa

Los cortes teóricos del nodo para cada dirección serán:

Dirección X:

Dirección Y:

φ·Vn

Dirección X:

Vnx corresponde a lo que el programa denomina Capacity phi*Vc (Minor)

¿φ·Vn≥ Vu?

Si, ya que y el mayor corte último en X es igual a kgf11.44938V ux =

Dirección Y:

Vny corresponde a lo que el programa denomina Capacity phi*Vc (Major)

¿φ·Vn≥ Vu?

Si, ya que y el mayor corte último en Y es igual a kgf3.68617Vuy =

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+

=+

=⋅+=⋅

Σ+

=

cm

)gobierna(cm.bb

cm).(hm

b

.Mínb cby

cby

yj

35

5322

35302

35522302


kgf.V)().()(.V xnxn 731051453554725004 =⇒⋅⋅⋅=


kgf.V)().()(.V ynyn 031541617553225004 =⇒⋅⋅⋅=

kgf.V).(.xV xnn 878937373105145850 =φ⇒⋅=φ

kgf.V).(.V ynyn 8813103603154161850 =φ⇒⋅=φ

kgf87.89373xVn =φ

kgf88.131036V yn =φ


182



Corte teórico según la 1753 (R):

Valor de γ :

El nodo está confinado por dos de sus caras (las caras perpendiculares a las vigas de la

dirección Y) ya que )cm25.26(b4/3)cm30(b cb ⋅> .

Las caras perpendiculares a las vigas de la dirección X no están confinadas, ya que

)cm25.56(b4/3)cm30(b cb ⋅< .

Dos caras opuestas del nodo están confinadas, luego, el valor de γ correspondiente a este

caso será de 4.0.

Dirección X:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=+=

=⋅+=+

≤)gobierna(cmhb

cmbcm).(rb

b

jwx

c

xw

jx653530

75755222302

Dirección Y:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=+=

=⋅+=+

≤cmhb

)gobierna(cmb

cm.rb

b

jwy

c

yw

jy1057530

35

35522302


Dirección X:


kgf.V)()()(.V xnxn 63143883356525004 =⇒⋅⋅⋅=


183

Dirección Y:

φ·Vn

Dirección X:

¿φ·Vn≥ Vu?


Dirección Y:

¿φ·Vn≥ Vu?

Si, ya que y kgf.Vuy 368617=


cortante establecidos por la Norma SOCVIS 1753 (R)


kgf.V)()()(.V ynyn 57166019753525004 =⇒⋅⋅⋅=

kgf.V).(.xV xnn 0812230163143883850 =φ⇒⋅=φ

kgf.V).(.V ynyn 6314111657166019850 =φ⇒⋅=φ

kgf.xVn 08122301=φ

kgf.V yn 63141116=φ


184

Nodo 2:

Datos: f’c=250 kgf/cm2, fy=4200 kgf/cm2

Aceros longitudinales de las vigas en el sentido X


185

La viga correspondiente a esta dirección es la llamada por el programa Beam 2.

Aceros longitudinales de las vigas en el sentido Y

La viga de esta dirección es la llamada por el programa Beam 1


186

Solución del ejemplo por el método manual:

Momentos máximos probables:

Dirección X:

)/ad(baf.M xxvigaxbxc'

xpr 2850 11111 −⋅⋅⋅⋅=

).()().()(.Mxpr 2

966660309662508501 −−⋅⋅⋅⋅=

mkgf.M xpr −= 86228601

)/.()().()(.M xpr 251746603051742508502 −−⋅⋅⋅⋅=

mkgf.M xpr −= 64151872

Mpr1y y Mpr2y son lo que el programa denomina Capacity – Vem Beam 2 y Capacity + Vem Beam 2, respectivamente.

cm.a)()(.

)().().(bf.

fAa x

xbc'

yfsinx 5174

3025085042002514855

8502

2

22 =⇒

⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

⋅α⋅=

)/ad(baf.M xxxbxc'

xpr 2850 22222 −⋅⋅⋅⋅=

cm.a)()(.

)().().(bf.

fAa

xvigaxbc

'yxvigasups

xviga 9663025085042002514528

850 11

11

=⇒⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

⋅α⋅=


187

Dirección Y:

).()().()(.Mypr 2

17176603017172508501 −−⋅⋅⋅⋅=

mkgf.M ypr −= 92251621

mkgf.M ypr 89152902 =

Mpr1y y Mpr2y son los que el programa denomina Capacity – Vem Beam 1 y Capacity + Vem Beam 2, respectivamente.

cm.a)()(.

)().().(bf.

fAa y

ybc'

yfsiny 5494

3025085042002515245

850 22

22 =⇒

⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

⋅α⋅=

)/ad(baf.M yybyc'

ypr 2850 22222 −⋅⋅⋅⋅=

cm.a)()(.

)().().(a

bf.

fAa

yy

bc'

ysupsy

17173025085042002513719

850

11

1

11

=⇒⋅⋅⋅⋅

=

⋅⋅

⋅α⋅=

)/ad(baf.M yvigayvigabyc'

ypr 2850 11111 −⋅⋅⋅⋅=

)/.()().()(.M ypr 254946603054942508502 −−⋅⋅⋅⋅=


188

Corte último de la columna, Vcol

Dirección X:

;

Vcol1x es lo que el programa denomina Vu Top Minor

(clockwise)

;

Vcol1x es lo que el programa denomina Vu Top Minor (Counterclockwise)

Dirección Y:

;

Vcol1y es lo que el programa denomina Vu Top Major

(clockwise)

;

n

yprcol h

MV

y

11 = kgf.

..V

ycol 4968986802

18251621 ==

n

yprcol h

MV

y

22 = kgf.

..V ycol 035461

8028915290

2 ==

n

xprcol h

MV

x

11 = kgf.

..V xcol 598164

8028622860

1 ==

n

xprxcol h

MV 2

2 = kgf..

.V xcol 0635424802

37151872 ==


189

kgf.V..V xuxu 2544021149689867549197 11 =⇒−=

Vcol2x es lo que el programa denomina Vu Top Major (Counterclockwise)

Corte Último del nodo

Dirección X:


kgfT)().().(T xx 4437342002514528 11 =⇒⋅⋅=

T1x corresponde a lo que el programa denomina Sum (T) Minor (Clockwise)

Vu1x = T1x-Vcol1x kgf.V.V xuxu 413620859816444373 11 =⇒−=

yxfsin fACx

⋅α⋅= 22

kgf.C)().().(C xx 252879642002514855 22 =⇒⋅⋅=

C2x corresponde a lo que el programa denomina Sum (C) Minor (Counterclockwise)

Vu2x = C2x-Vcol2x kgf.V..V xuxu 182337206354242528796 22 =⇒−=

El mayor valor entre Vu1x y Vu2x es lo que el programa denomina VuTot (Minor shear V2)

Dirección Y:


kgf.T..T yy 754919742002513719 11 =⇒⋅⋅=

T1y = Sum T Major (Clockwise) en el programa Vu1y = T1y-Vcol1y


190

kgf.V..V yuyu 922354003546162229001 22 =⇒−=


kgf.C)().().(C yy 6222900142002515245 22 =⇒⋅⋅=

C2y = Sum C Major (Counterclockwise) en el programa

Vu2y = C2y-Vcol2y

El mayor valor entre Vu1y y Vu2y es lo que el programa denomina VuTot (Major shear V2)

Corte teórico del nodo

Según el ACI 352-02:

Valor de γ : Como el nodo es de esquina, es imposible que haya confinamiento del nodo en

sus cuatro caras o en dos opuestas. Luego, el valor de γ es igual a 3.2.

Cálculo de m:

Dirección X: La excentricidad de la viga, ex (0 cm.), es menor a bc/8 (75/8) el valor de m es

igual a 0.5.

Dirección Y: La excentricidad de la viga, ey (0 cm.), es menor a bc/8 (35/8), luego, el valor

de m es igual a 0.5.


Dirección X:

cm.)(.hm c 57

23050

2=

⋅=


viga ( 22.5 cm.) .Luego, se tomará como valor de cm.,hm c 572⋅


191

bjx es lo que el programa denomina Joint Width (Minor)

Dirección Y:

cm.)(.hm c 7518

27550

2=

⋅=


viga ( 0 cm.). Luego, se tomará como valor de cm,hm c 02⋅

bjy es lo que el programa denomina Joint Width (Major)


Dirección X:

Vnx = Capacity phi*Vc (Minor)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+

=+

=⋅+=⋅

Σ+

≤

cm

cm.bb

)gobierna(cm).(hm

b

xb cbx

cbx

j

75

5522

75302

45572302

cmb

cm

cmbb

cm)(hm

b

b jycby

cby

yj30

30

302

30302

3002302

=⇒

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+

=+

=⋅+=⋅

Σ+

≤


kgf.V)()()(.V xnxn 19768305304525023 =⇒⋅⋅⋅=


192

Dirección Y:

Vny = Capacity phi*Vc (Major)

φ·Vn

Dirección X:

¿φ·Vn≥ Vu?


Dirección Y:

¿φ·Vn≥ Vu?




Corte teórico del nodo calculado según la Norma 1753 (R):

Valor de γ : Como el nodo es de esquina, es imposible que haya confinamiento del nodo en sus

cuatro caras o en dos opuestas. Luego, el valor de γ es igual a 3.2.


Dirección X:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=+=

=⋅+=+

≤)gobierna(cmhb

cmbcm.rb

b

jwx

c

xw

jx603030

75755222302


kgf.V)()()(.V ynyn 99113841753025023 =⇒⋅⋅⋅=

kgf.V).(.xV xnn 415805919768305850 =φ⇒⋅=φ

kgf.V).(.V xnxn 699676599113841850 =φ⇒⋅=φ

kgf.xVn 4158059=φ

kgf.V yn 6996765=φ


193

Dirección Y:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=+=

=⋅+=+

≤cmhb

)gobierna(cmb

cmrb

b

jwy

c

yw

jy1057530

30

3002302


Dirección X:

Dirección Y:

φ·Vn

Dirección X:

¿φ·Vn≥ Vu?

Si, ya que y kgf.Vux 436208=

Dirección Y:

¿φ·Vn≥ Vu?





kgf.V)()()(.V xnxn 5991073306025023 =⇒⋅⋅⋅=


kgf.V)()()(.V ynyn 995113841753025023 =⇒⋅⋅⋅=

kgf.V).(.xV xnn 55774125991073850 =φ⇒⋅=φ

kgf.V).(.V ynyn 1112095749142302850 =φ⇒⋅=φ

kgf.xVn 5577412=φ

kgf.V yn 6996765=φ


194

Comparación entre los resultados

Momentos máximos probables

Los resultados obtenidos para los momentos máximos probables con el programa para

ambos ejemplos, son básicamente los mismos que los obtenidos realizando el cálculo

manualmente, como se puede apreciar en las siguientes Tablas:

Nodo 1:

Momentos máximos probables Resultados (kgf-m) ETABS Manual ETABS Manual

Capacity + Vem Beam 1 Mpr4x 10084.3865 10084.782 Capacity - Vem Beam 1 Mpr2x 15291.2105 15290.89 Capacity + Vem Beam 2 Mpr1x 12646.3779 12647.52 Capacity - Vem Beam 2 Mpr3x 19027.2411 19026.525 Capacity + Vem Beam 3 Mpr4y 15291.2105 15290.9 Capacity - Vem Beam 3 Mpr2y 28365.8037 28365.46 Capacity + Vem Beam 4 Mpr1y 14769.5054 14764.9 Capacity - Vem Beam 4 Mpr3y 22231.4628 22231.61

Nodo 2:

Momentos máximos probables Resultados ETABS Manual ETABS Manual

Capacity + Vem Beam 1 Mpr2y 15291.2105 15290.8966 Capacity - Vem Beam 1 Mpr1y 25159.4188 25162.189 Capacity + Vem Beam 2 Mpr2x 15186.5978 15187.3764 Capacity - Vem Beam 2 Mpr1x 22861.201 22860.8651

Tabla 4.1: Momentos máximos probables para los Nodos 1 y 2

Dada la similitud de los resultados obtenidos se puede deducir que el programa hace

correctamente el cálculo de los momentos máximos probables y lo hace de modo similar al

presentado por las Normas ACI 352-02 y SOCVIS 1753 (R).


195

Cortes en la Columna

Los resultados obtenidos para los cortes de la columna también muy similares en el

programa a los del procedimiento manual. En efecto,

Nodo 1:

Cortes en la columna Resultados (kgf)

ETABS Manual ETABS Manual Vu Top (Minor, clockwise) Vcol 1-2x 9977.71 9978

Vu Top (Minor , counterclockwise) Vcol 3-4x 10397.01 10396.89 Vu Top (Major, clockwise) Vcol 1-2y 15405.468 15403.7

Vu Top (Major, Counterclockwise) Vcol 3-4y 13400.955 13400.89 Nodo 2 :

Cortes en la columna Resultados (kgf) ETABS Manual ETABS Manual

Vu Top (Minor, clockwise) Vcol 1x 8164.715 8164.59 Vu Top (Minor , counterclockwise) Vcol 2x 5423.785 5424.063

Vu Top (Major, clockwise) Vcol 1y 8985.507 8986.496 Vu Top (Major, Counterclockwise) Vcol 2y 5461.147 5461.03

Tabla 4.2: Cortes últimos para los Nodos 1 y 2

Fuerzas de Tracción y Compresión

Las fuerzas de tracción y de compresión obtenidas por el programa son muy similares a las

obtenidas por el procedimiento manual, según puede apreciarse a continuación.

Nodo 1:

Fuerzas de Tracción Resultados (kgf)

ETABS Manual ETABS Manual Sum (T) (Minor, clockwise) T2x 29001.622 29001

Sum (T) (Minor , counterclockwise) T3x 36494.202 36492.75 Sum (T) (Major, clockwise) T2y 56054.99 56054.25

Sum (T) (Major, Counterclockwise) T3x 43065.614 43065.75


196

Fuerzas de Compresión Resultados (kgf)

ETABS Manual ETABS Manual Sum (C) (Minor, clockwise) C1x 23801.257 23803.5

Sum (C) (Minor , counterclockwise) C4x 18841.489 18842.25 Sum (C) (Major, clockwise) C1y 27969.191 27966.75

Sum (C) (Major, Counterclockwise) C4y 29001.622 29001

Nodo 2:

Fuerzas de Traccion Resultados (kgf) ETABS Manual ETABS Manual

Sum (T) (Minor, clockwise) T1x 44373.699 44373 Sum (T) (Minor , counterclockwise) 0 -

Sum (T) (Major, clockwise) T1y 49195.686 49197.75 Sum (T) (Major, Counterclockwise) 0 -

Fuerzas de Compresión Resultados (kgf)

ETABS Manual ETABS Manual Sum (C) (Minor, clockwise) 0 -

Sum (C) (Minor , counterclockwise) C2x 28794.333 28796.25 Sum (C) (Major, clockwise) 0 -

Sum (C) (Major, Counterclockwise) C2y 29001.622 2900.622 Tabla 4.3: Fuerzas de compresión y tracción para los Nodos 1 y 2

Cortes últimos del nodo

Al igual que en los puntos anteriores, los valores que se obtienen para el corte último del

nodo con el programa y con el método manual son iguales:

Nodo 1:

Corte último del nodo Resultados (kgf)

ETABS Manual ETABS Manual Shear VuTot (Major shear V2) Vu3-4x 68618.713 68617.3 Shear VuTot (Minor shear V3) Vu1-2y 44938.682 44938.11


197

Nodo 2:

Corte último del nodo Resultados (kgf)

ETABS Manual ETABS Manual Shear VuTot (Major shear V2) Vu2y 40210.179 40211.254 Shear VuTot (Minor shear V3) Vu1x 36208.984 36208.41

Tabla 4.4: Cortes últimos de la columna.

Cabe destacar que el programa sólo presenta el resultado del mayor corte último para cada

dirección, es decir, calcula los cortes para cada dirección del sismo y tanto en la dirección

mayor como en la menor, y descarta la dirección del sismo que dé menor valor tanto para la

dirección mayor como para la menor del miembro. Por esta razón se presentó sólo un

resultado de corte último para cada dirección en lugar de dos (uno para cada dirección del

sismo).


Los resultados obtenidos para cada uno de los ejemplos se presentan en las siguientes Tablas:

Nodo 1:

Anchura Efectiva de nodo Resultados (cm.)

ETABS Manual (ACI 352-02) Manual (1753(R)) ETABS Manual (ACI 352-02)

Manual (1753(R))

Joint Width (Major) bjy bjy 35 32.5 35

Joint Width (Minor) bjx bjx 65 47.5 65

Nodo 2:

Anchura Efectiva de nodo Resultados (cm.)

ETABS Manual (ACI 352-02) Manual (1753(R)) ETABS Manual (ACI 352-02)

Manual (1753(R))

Joint Width (Major) bjy bjy 30 30 30

Joint Width (Minor) bjx bjx 60 45 60

Tabla 4.5: Anchura efectiva del nodo


198

Como se puede apreciar, la mayoría de los valores de la anchura efectiva del nodo obtenidos

con el programa son diferentes a los obtenidos por el ACI 352-02 .Para ambos ejemplos, se

obtienen valores menores por el ACI 352-02 que utilizando el programa.

Los resultados de aplicar la Norma SOCVIS 1753 (R) son iguales a los resultados obtenidos

utilizando el programa. Esto se debe a que la Norma SOCVIS 1753 (R) presenta los mismos

requisitos para el cálculo de la anchura efectiva del nodo que el ACI 318-05, que es el Código

con el que se realizó el diseño de la estructura. Se puede concluir entonces que el ETABS no

incorpora las recomendaciones del ACI 352-02 para el cálculo de la anchura efectiva del nodo,

sino que se queda con las disposiciones generales enunciadas por el ACI 318-05. Profundizar

en las razones y consecuencias de esta particularidad escapa al alcance del presente Trabajo.

Valores de γ utilizados para el cálculo del corte teórico

Nodo 1:

Valores de γ Resultados

ETABS Manual (ACI 352-02) Manual (1753(R)) ETABS Manual (ACI 352-02) Manual (1753(R))

(Major) Y Y 4 4 4 (Minor) X X 3.2 4 4

Nodo 2:

Valores de γ Resultados

ETABS Manual (ACI 352-02) Manual (1753(R)) ETABS Manual (ACI 352-02) Manual (1753(R))

(Major) Y Y 3.2 3.2 3.2 (Minor) X X 3.2 3.2 3.2

Tabla 4.6: Valores de γ para los nodos 1 y 2

Nótese que en los resultados obtenidos para el ejemplo 1 hay una diferencia entre el valor de

γ presentado por el programa para la dirección Major (Y) y el presentado por el programa

para la dirección Minor (X). Tanto la Norma ACI 352-02, como las Normas ACI 318-05 y

SOCVIS 1753 (R) estipulan que el valor de γ es único para las dos direcciones X e Y y depende


199

de las caras confinadas que tenga el nodo. En el caso del ejemplo 1, por tener dos caras

opuestas confinadas, el valor de γ debería ser igual a 4.0.

Sin embargo, el programa, en la dirección que no está confinada, toma como valor de γ, 3.2,

lo cual es más conservador, ya que da como resultado un corte teórico menor al que

estipulan las Normas.

Corte teórico del nodo

Nodo 1:

Corte Teórico del nodo Resultados (kgf)

ETABS Manual ACI 352-02 1753 ( R) ETABS Manual ACI 352-02 1753 ( R) Phi*Vc (Major shear V2) φ·Vny φ·Vny 140316.48 131036.88 141116.63 Phi*Vc (Minor shear V3) φ·Vnx φ·Vnx 97286.086 89373.87 122301.08

Nodo 2:

Tabla 4.7: Corte teórico para los nodos 1 y 2

En el caso del nodo 1, los cortes obtenidos por el programa para la dirección Y (2) son muy

similares a los obtenidos según la Norma SOCVIS 1753 (R), mientras que es un poco mayor

al calculado según la Norma ACI 352-02. La diferencia está en que la anchura efectiva del

nodo en Y calculada según el ACI 352-02 es un poco menor que la calculada por el

programa y la 1753 (R). En la dirección X, los cortes obtenidos por los tres procedimientos

son diferentes, debido a que el ETABS, como se comentó en puntos anteriores, tomó en este

ejemplo un valor de γ diferente para cada dirección, contrariamente a lo que estipulan las

Normas. Si esto no hubiera ocurrido, los valores de los cortes calculados por la

SOCVIS 1753 (R) y por el ETABS, coincidirían, ya que coinciden los valores de la anchura

efectiva.

Corte Teórico del nodo Resultados (kgf) ETABS Manual ACI 352-02 1753 ( R) ETABS Manual ACI 352-02 1753 ( R)

Phi*Vc (Major shear V2) φ·Vny φ·Vny 96217.11 96765.69 96765.69 Phi*Vc (Minor shear V3) φ·Vnx φ·Vnx 76973.689 58059 77412.55


200

En el caso del nodo 2, en ambas direcciones, los cortes teóricos obtenidos por el ETABS y

por la Norma SOCVIS 1753 (R) son muy similares, ya que el valor de la anchura efectiva

coincide y el valor de γ es muy similar. En la dirección X, el resultado obtenido por el

ACI 352-02 coincide con los resultados del ETABS y la Norma SOCVIS 1753 (R), y en la

dirección Y es relativamente menor que estos. La razón se debe a que, generalmente, el

método utilizado por el ACI 352-02 para el cálculo de la anchura efectiva del nodo, arroja

valores de esta anchura más pequeños, por lo que se puede concluir que, en este

aspecto, la Norma ACI 352-02 es más conservadora que las Normas SOCVIS 1753 (R)

y el ACI 318-05, norma utilizada por el ETABS para el diseño de las estructuras, incluyendo

el de los nodos.


201

CAPITULO 5: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Conclusiones

1. La Norma Venezolana COVENIN 1753-85 está basada en el ACI 352-76, con ciertas

modificaciones basadas del ACI 318-83, documento madre de la Norma Venezolana.

2. La Norma Venezolana 1753 (R) no acoge las prescripciones del ACI 352-02, porque la

última Norma fue de publicación posterior. No es de nuestro conocimiento si la Norma

acogerá o no las disposiciones del ACI 352-02, ya que esta Norma, hasta la fecha de

culminación del presente Trabajo Especial de Grado, aun se encuentra en discusión

pública.

3. Los cambios más importantes que se observaron en los Códigos ACI 352 y que reflejan su

evolución fueron:

• La inclusión en la edición del 2002 de nuevos materiales y dispositivos, como

concretos de alta resistencia, barras con nuevos dispositivos de anclaje (“headed

bars”) y empalmes mecánicos.

• La incorporación en la edición del 2002 del concepto de conexión, que no toma en

cuenta solamente al nodo, sino a las vigas, las columnas y la losa adyacentes a él.

• La incorporación en la edición del 2002 del concepto de anchura efectiva de la losa

para el cálculo de la resistencia a flexión de las vigas.

• La incorporación en la edición del 2002 de recomendaciones para nuevos tipos de

conexiones, como las conexiones de vigas planas, las discontinuas y las conexiones

sin vigas transversales.


202

• La reducción del factor que multiplica a una de las fórmulas para el cálculo del

refuerzo transversal. En el año 76 se tomaba igual a 0.12 .A partir de la edición del

año 85, se redujo a 0.09.

• El criterio del cálculo del corte en el nodo. En el año 76, se utilizaba el modelo de

corte para vigas. A partir del año 85 se incorpora una nueva fórmula, basada en el

mecanismo del puntal diagonal de compresión.

• La forma de clasificar la conexión a efectos de la definición del valor de γ. En la

edición del 2002 se pasa de clasificar la conexión como interior, exterior y de

esquina para efectos de la definición del valor de γ , a clasificarla según el número

de caras confinadas que tenga y según sea continuo o discontinuo

• La forma de calcular la anchura efectiva del nodo. En la edición del 2002 se toma

en cuenta la excentricidad que pueda tener la viga a través del factor m, lo que no

se hacía en las ediciones anteriores.

• El valor mínimo de la relación entre la sumatoria de momentos de las columnas y

la sumatoria de momentos de las vigas. Las Normas del 85 y del toman 1.40 como

valor de esta relación, mientras que en la edición del 2002 este valor se reduce a

1.20.

Todos estos cambios muestran que, en general, la primera edición del 352 (ACI 352-76) es más

conservadora que las siguientes, en especial en lo que al cálculo del corte teórico del nodo y las

áreas de acero de refuerzo transversal de las columna se refiere. Además, reflejan que la edición

del 2002 tiene un alcance relativamente mayor que las ediciones anteriores, todo lo cual es

consecuencia de la evolución del tema y el interés del Comité por el mismo, concretados en los

numerosos estudios, investigaciones y ensayos realizados.


203

4. Con respecto a la comparación entre los planteamientos establecidos en las Normas

ACI 352-02, COVENIN 1753-85 y SOCVIS 1753 (R), se pudo concluir lo siguiente:

a. La Norma ACI 352-02 incorpora la recomendación de profundidades de vigas y

columnas en función de los diámetros de los aceros que atraviesan el nodo, a

diferencia de la Norma COVENIN 1753-85 (que no la incluye) y la SOCVIS 1753

(R) (que sólo incluye la recomendación de la profundidad de la columna en

función del acero pasante de la viga).

a. La Norma COVENIN 1753-85 es más conservadora que las Normas ACI 352-02

y SOCVIS 1753 (R) en lo que al cálculo del área de acero de refuerzo transversal

por confinamiento de las columnas se refiere. En efecto, por un lado, la separación

máxima permitida por la Norma COVENIN 1753-85 es menor que la permitida

por el ACI 352-02 (10 cm. para la primera y 15 cm. para la segunda) y, por otro

lado, en una de las fórmulas empleadas para el cálculo del acero de refuerzo

transversal, se utiliza un factor de 0.12, mientras que en las Normas ACI 352-02 y

SOCVIS 1753 (R), este factor es igual a 0.09.

b. El Código ACI 352-02 considera el efecto de las losas macizas en el cálculo de la

resistencia a flexión de las vigas, tanto teórica (a efectos del cálculo de la relación

entre la suma de los momentos teóricos de las vigas y los de las columnas) como

máxima probable (a efectos del cálculo del corte en la columna). En esto difiere de

la Norma COVENIN 1753-85. SOCVIS 1753(R), considera el efecto de la losa

maciza, pero no en el cálculo de los momentos máximos probables de las vigas,

sino únicamente en el cálculo de los momentos teóricos a efectos del cálculo de la

relación entre la sumatoria de los momentos teóricos de las vigas y los de las

columnas (criterio de columna fuerte-viga débil).


204

c. La consideración del acero de la losa en el diseño del nodo hecha por el ACI 352-

02, da como resultado momentos máximos probables mayores que los obtenidos

de acuerdo a las NVC 1753, reflejándose la mayor diferencia en los momentos

negativos.

Las fuerzas de tracción resultantes de esta consideración son también mayores.

d. La fórmula utilizada para el cálculo del corte en la columna según las Normas

ACI 352-02 y SOCVIS 1753 (R), es diferente a la dada en la Norma 1753-85. Sin

embargo, los resultados que se obtienen de la aplicación de estas fórmulas son

relativamente similares, siendo las diferencias debidas a la consideración de la

anchura efectiva de la losa en los momentos máximos probables en el caso de la

Norma ACI 352-02 y el factor Luz centro a centro/Luz libre, empleado en la

Norma COVENIN 1753-85.Por la Norma SOCVIS 1753 (R), los cortes son

menores a los del ACI 352-02, ya que la primera no considera la anchura

efectiva, por lo que los momentos probables serán menores y, por consiguiente, el

corte en la columna.

e. La Norma ACI 352-02 es más conservadora que las Normas COVENIN 1753-85 y

SOCVIS 1753 (R) en lo que al cálculo de los cortes últimos y teóricos en el nodo se

refiere, ya que por la primera Norma se obtienen mayores cortes últimos y

menores cortes teóricos que por las demás.

5. Con respecto al diseño de nodos viga-columna asistido por el programa ETABS, se pudo

concluir que el tratamiento que éste da a dicho diseño presenta las siguientes

particularidades:

a. Se basa en las disposiciones del ACI 318-05 para el diseño de las estructuras,

incluyendo el de los nodos como un aspecto complementario. Estas disposiciones

presentan algunas diferencias con las del ACI 352-02 y, en cambio, son muy

similares a las de la Norma SOCVIS 1753 (R), por lo que los resultados obtenidos


205

por el programa son muy similares a los obtenidos manualmente utilizando las

Normas SOCVIS 1753 (R).

b. Presenta ciertas limitaciones que deben ser tomadas en cuenta a la hora de su

utilización como recurso para el diseño de nodos viga-columna, como las que se

mencionan a continuación.

• No calcula el refuerzo transversal por confinamiento

• No calcula la separación del refuerzo transversal, ya que entrega la

cantidad de acero transversal requerido por corte por unidad de longitud.

• No considera la anchura efectiva de la losa para el cálculo de los momentos

máximos probables de las vigas.

• No toma en cuenta la posible excentricidad que pueda presentarse en un

nodo, caso muy común en fachadas de edificaciones.

• No calcula las longitudes de anclaje de los miembros.

c. En algunos casos, el valor de γ es calculado de forma incorrecta. Sin embargo, el

error cometido por el programa al definir un valor de γ diferente para cada

dirección está del lado de la seguridad ya que, en el ejemplo que se procesó, el

valor de γ utilizado por el programa resultó ser menor que el estipulado por las

Normas.


206

7. Un resumen de las disposiciones más importantes que del ACI 352-02 para los nodos viga-

columna, y para la zona confinada de las vigas y las columnas adyacentes a ella, se

presenta en las siguientes Figuras:


207

7.1 Si el nodo no cumple por corte, se tienen ciertas opciones, entre ellas , las siguientes:

a. Aumentar la sección de la columna. De este modo, se incrementará el área efectiva

del nodo, y, por consiguiente, su corte resistente (corte teórico).

b. Aumentar la altura de la viga. Con esto se reduce el área de acero requerido en el

nodo, con lo que se reducen las tensiones en el mismo.

c. Aumentar la anchura de la viga. De este modo, las vigas que no confinan al nodo

porque no cubren tres cuartas partes de él, pueden confinarlo ,con lo que se

incrementa el valor de γ y, en consecuencia, el corte teórico.

d. Aumentar la resistencia especificada del concreto a compresión (f’c) en el nodo. De

este modo, se incrementa la resistencia al corte del nodo, ya que el corte teórico es

directamente proporcional a la raíz cuadrada de ese parámetro.

e. Relocalizar la rótula plástica, alejándola de la cara de la columna. Esto se puede

lograr de varias maneras, entre ellas, las siguientes :

1. Colocar cartelas en los extremos de las vigas. De este modo, se

incrementa la resistencia de la viga en las cercanías del nodo, ya que, al

aumentar la altura, se incrementa el brazo del momento, y por

consiguiente, el momento resistente de la viga. De esta forma se pude

lograr que la penetración cedente de las barras no alcance al nodo, por lo

que el diseño del mismo se puede hacer con un valor de α =1.00 y no a

1.25, como sería requerido para diseño sísmico.

2. Detallar el acero de la viga de tal manera que, a una distancia igual a vez

y media la altura de la viga, haya un punto de cruce entre los aceros de

las vigas. Esto causa un efecto similar al caso anterior en lo que a la

penetración cedente de las barras se refiere.


208

RECOMENDACIONES

• Aplicar el método de diseño presentado en el ACI 352-02 hasta tanto no se apruebe la

nueva propuesta de Norma SOCVIS 1753 (R) que, hasta la fecha de presentación de este

Trabajo Especial de Grado, aun se encontraba en discusión, ya que estas especificaciones

(las del ACI 352-02) están actualizadas y los resultados que se obtienen de su uso están del

lado de la seguridad.

• Realizar un programa con el procedimiento de diseño presentado en el Capítulo 3, que

permita realizar las verificaciones que no realizan los programas comerciales, es decir, que

permitan el post procesamiento de los resultados.

• Completar el estudio del diseño de nodos asistido por computador incorporando otros

programas de uso comercial.

• Estudiar las otras Normas relativas al tema, y realizar comparaciones entre éstas y el ACI

352-02, para aprovechar los aportes de esas comparaciones en la implementación del

método de diseño que parezca más adecuado para nuestro país.

• Dada la apertura del mercado mundial de la construcción hacia nuevos materiales, se

recomienda estudiarlos e incorporar recomendaciones relativas a ellos en las Normas ,

para propiciar en nuestro país su uso cuando sea comercialmente factible

• Realizar comparaciones entre la Norma venezolana que en definitiva se apruebe y el

ACI 352-02.


209

• Estudiar métodos prácticos para la rehabilitación de nodos en estructuras existentes, que

permitan adecuarlas a la normativa vigente, expuesta en el presente Trabajo.

• Aun cuando en el presente Trabajo no fue tratado el importante tema del prediseño de

nodos viga-columna, se recomienda actualizar atendiendo a la Norma Venezolana que en

definitiva se apruebe, la propuesta de prediseño de nodos presentada en la Referencia 12,

ya que el método propuesto en dicha Referencia está basado en la Norma

COVENIN 1753-85.


210

REFERENCIAS

1. ACI-ASCE Committee 352, Recommendations for Design of Beam –Column Joints in

Monolithic Concrete Structures (ACI 352R-76). American Concrete Institute, 1976

2. ACI-ASCE Committee 352, Recommendations for Design of Beam –Column Joints in

Monolithic Concrete Structures (ACI 352R-85). American Concrete Institute ,1985

3. ACI-ASCE Committee 352 , Recommendations for Design of Beam –Column Joints in

Monolithic Concrete Structures (ACI 352R-91) .American Concrete Institute ,1991

4. ACI-ASCE Committee 352, Recommendations for Design of Beam –Column

Connections in Monolithic Concrete Structures (ACI 352R-02) .American Concrete

Institute ,2002

5. ACI 318-71 Building Code Requirements for reinforced concrete (ACI 318-83) American

Concrete Institute, 1983.

6. ACI Committee 318, Building Code Requirements for reinforced concrete (ACI 318-83)

American Concrete Institute, 1983.








211

10. Alcocer, Sergio M. Paper “Comportamiento y diseño de estructuras de concreto

reforzado. Uniones de Elementos”.

Página Web: www.crid.or.cr/digitalizacion/pdf/spa/doc6519/doc6519.htm

11. Barreiro V., María. Resumen de la ponencia “Actualización de la Norma Venezolana

COVENIN 1753-85” en el marco del Seminario Técnico “Proyectos de Concreto

Estructural según la nueva Norma 1753”, promovido por la empresa SIDETUR S.A. 2005.

12. Casadey, Rossana.”Variables determinantes en la obtención de la capacidad

sismorresistente de una estructura aporticada de concreto armado”.

13. COVENIN – MINDUR 1753-87. Estructuras de Concreto Armado para Edificaciones.

Análisis y Diseño. Norma Venezolana

14. Artículo ”Comportamiento sísmico de edificios aporticados de hormigón armado”.

Página Web: www.elprisma.com

15. IITK Kanpur and BMTPC (2003). “How do the Beam – Column Joints in RC

Building Resist Earthquakes”. Earthquake Tip No. 20.

Página Web: www.bmtpc.org

16. IMME/FI/UCV-FI/LUZ. Minuta de avances “Observaciones Anteproyecto 1753-1 (R)

CT3 Edificaciones “.

17. Loges, Sigfrido .Trabajo Especial de Grado “Análisis de nodos viga-columna de concreto

estructural, empleando las normas ACI 352-02 y COVENIN-MINDUR

1753-85“.Universidad Simón Bolívar, 2006.

18. Mc Gregor. “Reinforced Concrete Mechanics and Design”. 1988


212

19. Paulay-Priestley.”Seismic Design of Reinforced Concrete and Masonry Buildings”.1992

20. Portland Cement Association, Notes on ACI 318-89 with design applications, PCA.

21. Portland Cement Association, Notes on ACI 318-05 with design applications, PCA.

22. Priestly N., Collins M., Seible F. (1995). “Recent Developments in Lateral Force

Transfer in Buildings”. ACI SP-157. Michigan, U.S.A.

23. Recine, Antonio; Castro, Luis. Trabajo Especial de Grado “Estudio del nodo viga-

columna en el diseño antisísmico”. Universidad Metropolitana, 1990.

24. Rodríguez, Denis .Artículo “Diseños apropiados de nodos en sismorresistencia”. Revista

Construcción.2005

25. SOCVIS 1753 (R) .Proyecto y Construcción de Obras en Concreto Estructural. Norma

venezolana.

26. S.R Uma ; A. Meher Prasad. Paper “Seismic Behaviour of Beam Column Joints in

Reinforced Concrete Moment Resisting Frames-A review”.

Página Web: www.iitk.ac.in/nicee/IITK-GSDMA/EQ31.pdf

27. Página Web: http://www.hrc-usa.com/index.html

28. Página Web:http://concreteproducts.com/mag/concrete_practice_6/index.html

29. Página Web: http://www.barsplice.com/


213

diseño de nodos en concreto armado

Documents