Covariance models for geodetic applications of collocation

candidato:Ing. Carlo De Gaetani

Dottorato in Ingegneria Ambientale e delle Infrastrutture25° ciclo

tutor:Prof. Riccardo Barzaghi

Introduzione:

Nel marzo 2009 è stato lanciato in orbita il satellite GOCE. L’obiettivo è quello di mappare globalmente il campo gravitazionale terrestre con elevata accuratezza (1-2 cm in termini di N o 1 mGal in termini di Δg) e risoluzione spaziale (<100 km).

Quale impatto in ambito locale?

Quali margini di miglioramento?

Come si integra con altre metodologie di misura?

Obiettivi e struttura della tesi:

Sviluppo di una procedura per la stima locale del campo gravitazionale terrestre tramite l’integrazione di osservazioni di natura diversa.

Studio del potenziale gravitazionale, la sua rappresentazione

analitica, le quantità correlate, le tecniche di misura.

Analisi delle attuali tecniche di stima e di integrazione dati, con particolare attenzione alle loro potenzialità e limiti.

Implementazione di una nuova procedura

che superi i limiti riscontrati.

Analisi dei risultati ottenibili con la nuova procedura.

Il potenziale anomalo ed i suoi funzionali:

E’ possibile considerare il potenziale gravitazionale come la somma di un potenziale di “riferimento” ed un potenziale di “disturbo”.

Il potenziale normale U è quello generato da un ellissoide di rotazione che approssima la Terra.

Il potenziale anomalo T è la parte residua rispetto alla rappresentazione analitica dell’ellissoide di rotazione, circa 0,001% del potenziale totale W.

Ogni osservabile del campo anomalo si può esprimere come funzionale lineare (o linearizzato) di T.

Trr

Tg

2

2

2

r

TTrr

T

N

)()()( PUPTPW

L’anomalia di gravità Δg:

• copertura spaziale disomogenea

• medie-alte frequenze

• risoluzione spaziale bassa

QPgg

L’ondulazione del geoide N:

• raccolta dati solo su mare

• basse-medie frequenze

• risoluzione spaziale alta

SSTNSSHh

L’ondulazione del geoide N (2):

• copertura spaziale disomogenea

• basse-medie frequenze

• raccolta dati solo su terra

• risoluzione spaziale bassa

HhN

I gradienti gravitazionali:

Il gradiometro di GOCE misura il tensore gravitazionale terrestre.

Il continuo tracciamento del satellite permette di rilevare le anomalie d’orbita dovute alla variazione di gravitazione.

• copertura spaziale omogenea

• basse-medie frequenze

• risoluzione spaziale alta

ijii V

j

VV

12

La tecnica Remove-Restore:

Si rimuove la componente deterministica al segnale gravitazionale.

La stima locale del campo viene fatta sulla base di un segnale residuo comprendente noise di misura, mismodeling e segnale di interesse.

OBS

MOD

RTC

RES

MOD

PRED

RTC

RES

-+

+

- =

=

longwavelengths

shortwavelengthsre

mo

ve p

has

e

restore p

hase

RESIDUAL COMPONENT ESTIMATION

OBS RES

RR technique

La teoria della collocazione:

In geodesia è la metodologia tradizionalmente applicata per l’integrazione di differenti funzionali del campo della gravità.

Permette la stima di un qualunque funzionale di T dati n valori di altri funzionali di T osservati in altrettanti n punti sparsi.

L’ipotesi di base è che il potenziale anomalo sia un processo stocastico debolmente stazionario ed ergodico nella media e nella covarianza, le cui osservazioni sono realizzazioni di questo processo stocastico.

La più generale formula di stima è:

Ruolo fondamentale è quello assunto dalla funzione di covarianza che esprime la correlazione spaziale tra le diverse quantità osservate.

))((),(),()(ˆ )(12)()()()()(j

PnjiTT

PPiTT

PPP nTLIPPCLLPPCLLTL jjii

Il modello di covarianza e la sua propagazione:

Il modello analitico di è:

Da cui è possibile ottenere, per propagazione, i modelli analitici relativi agli altri funzionali:

max

min

)(cos)(),(

12

22

2

,

l

lll

l

QPlpqTTqp P

rr

R

R

GMCTTC

qp

)()()()()( pqTTjiqLpL qpjiCqLpLC

max

min

)(cos)1(

22

224

2

)(),(

l

lll

l

QPlQgPg P

rr

Rl

R

GMC

max

min

)(cos)2()1(

32

2226

2

)(),(

l

lll

l

QPlQTrrPTrr P

rr

Rll

R

GMC

)(),(2)(),(

1QTPTQNPN CC

Trr

Tg

2

2

2

r

TTrr

T

N

La stima della funzione di covarianza modello:

La stima del modello di covarianza più opportuno consiste nello stimare un unico set di tale per cui le funzioni di covarianza empiriche dei funzionali osservati ed i corrispondenti modelli si trovano in accordo.

Le usuali metodologia di stima di adeguati modelli di covarianza presentano alcune criticità:

• Non-negatività delle stimate non garantita.

• Poca flessibilità.

• Propagazione della covarianza poco soddisfacente.

2l

2l

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-50

0

50

100

150

200

250

300C(DgDg)

deg

[mG

al2 ]

empirical

model

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2C(NN)

deg

[m2 ]

empirical

model

l

mlmlml sc

0

222

Il metodo del Simplesso:

Lo studio si è concentrato su tecniche di calcolo proprie della programmazione lineare riconducibili al calcolo combinatorio.

Algoritmo nato per la risoluzione di problemi di Ottimizzazione.

Minimizzare (o massimizzare) una data funzione obiettivo (lineare), soggetta lei stessa, le sue variabili e/o una loro combinazione lineare a determinati vincoli.

Metodo del Simplesso

Il metodo del Simplesso (2):

Il meccanismo:• Si basa sul teorema della programmazione lineare.• Determina la regione delle soluzioni ammissibili.• Valuta in maniera iterativa l’ottimalità delle soluzioni.• In ciascuna iterazione sceglie in maniera “intelligente” la successiva

soluzione da valutare.

Le caratteristiche:• Seleziona in maniera efficiente le soluzioni da testare.• Passa da una soluzione all’altra senza inversioni di matrici o

risoluzione di sistemi• La determinazione della soluzione ottimale avviene sempre in un

numero finito di iterazioni.

max

min

)(cos)(

12

22

2

,

l

lll

l

QPlpqTT P

rr

R

R

GMC

qp

Un nuovo strumento per la stima della funzione di covarianza modello:

Come adattare le caratteristiche dell’algoritmo del simplesso al caso della stima congiunta di funzioni di covarianza modello?

1- non negatività di

2- accordo tra covarianza empirica e modello

3- linearità delle equazioni dei vincoli

4- stima integrata

5- adattabilità

2l

I vincoli imposti:

Il modello analitico applicato è stato:

Il problema di ottimizzazione che ne deriva è:

lredl

l

nl

lredpre

TT PehR

R

R

GMC

2

2)1(22

)(cos)(

)()()( redpostTT

redpreTTTT CCC

lmaxl

1lredl

nl

lredpost

TT PehR

R

R

GMC )(cos)( 2

)1(22

)min(

))

))

(βtollβ(βtoll

(αtollα(αtoll

))(ψ(Ctoll)(ψC))(ψ(Ctoll kLLkLLkLL jijiji

La procedura realizzata:

covarianza empirica

covarianza modello

osservazioneΔg N T Trr

RTCΔg N T Trr

residuoΔg N T Trr

Δg N T Trr modello-

-

stimaΔg N T Trr

modelloΔg N T Trr

predizioneΔg N T Trr

Δg N T Trr RTC+

+

COLLOCAZIONE +

SIMPLESSO

REMOVE

RESTORE

][]][[]ˆ[ 1ˆ nSCCCS nnSSSS

La procedura implementata:

covarianza empirica

covarianza modello

COLLOCAZIONE

][]][[]ˆ[ 1ˆ nSCCCS nnSSSS

scelta iniziale dei vincoli da applicare

SIMPLESSO

nessuna soluzione soluzioni multiplesoluzione singola

vincoli troppo rigidi vincoli troppo rilassati

selezione dei residui interni alla finestra di

ricerca scelta

SCCC nnSSSS

1][ nnSS CC

La soluzione a finestre:

La risoluzione del sistema di collocazione richiede l’inversione di una matrice di dimensioni pari al numero di osservazioni.

Le osservazioni più distanti dal punto di predizione contribuiscono in maniera limitata al processo di stima.

La funzione di covarianza fornisce indicazioni a riguardo.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3C(NN)

deg

[m2 ]

empirical

model

Correlation length

Test della procedura implementata: l’Arco Calabro

• area test: 15.5° < λ < 17.5°, 38° < φ < 39.5°

• 1157 ΔgFA da campagna aerogravimetrica

• integrazione di dati radar-altimetrici e GOCE• area di selezione: 12° < λ < 21°, 34° < φ < 43°• 22932 N da ERS1-GM

• 16370 Trr filtrati SPT e TRK con media mobile (0.7°)

• riduzione del dato con GOCE DIRr3 (l=180)

• RTC rimossa ai soli dati ΔgFA e N

Dato GOCE disponibile:

I dati GOCE sono accessibili attraverso il portale ESA Earthnet Online.

E’ necessario un ulteriore processamento del dato.

mo

de

lloo

sse

rva

zio

ni

- GDIR r3 l=180

- GDIR r3 l=180

Pre-trattamento del dato GOCE:

E’ stata applicata una media mobile alle osservazioni ridotte:

Stima di una funzione di covarianza modello adeguata:

Persistono comunque problemi legati alla propagazione su altri funzionali.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3C(NN)

deg

[m2 ]

empirical

model

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-2

0

2

4

6

8

10

12C(TrrTrr)

deg

[mE

2 ]

empirical

model

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.5

0

0.5

1

1.5

2C(TrrTrr)

deg

[mE

2 ]

empirical

model

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5C(NN)

deg

[m2 ]

empirical

model

N Trr (TRK) Trr (SPT)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-2

0

2

4

6

8

10

12C(TrrTrr)

deg

[mE

2 ]

empirical

model

Stima integrata di una funzione di covarianza modello adeguata:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25C(NN)

deg

[m2 ]

empirical

model

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.5

0

0.5

1

1.5

2C(TrrTrr)

deg

[mE

2 ]

empirical

model

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25C(NN)

deg

[m2 ]

empirical

model

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-2

0

2

4

6

8

10

12C(TrrTrr)

deg

[mE

2 ]

empirical

model

N+Trr (SPT) N+Trr (TRK)

test A, risultato filtraggio:

ResidualsMean

[mGal]σ

[mGal]

ΔgFA RES -1.12 21.34

ΔgFA RES - ΔgFA

PRED (Trr TRK) -9.36 23.52

ΔgFA RES - ΔgFA

PRED (Trr SPT) -8.66 19.80

ΔgFA RES - ΔgFA

PRED (N) 8.31 15.64

ΔgFA RES - ΔgFA

PRED (N+Trr TRK) 4.72 14.97

ΔgFA RES - ΔgFA

PRED (N+Trr SPT) -2.16 33.23

• Raggio della finestra di selezione (N): 0.7° ≈ 600 valori• Raggio della finestra di selezione (Trr): 0.7° ≈ 500 valori

15.5 16 16.5 17 17.537.5

38

38.5

39

39.5

40Residuals aerogravimetry Dg [mGal]

deg

deg

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

test B, risultato filtraggio:

• Raggio della finestra di selezione (N): 0.7° ≈ 600 valori• Raggio della finestra di selezione (Trr): 0.7° ≈ 500 valori• Rimozione della media locale alle osservazioni selezionate.

ResidualsMean

[mGal]σ

[mGal]

ΔgFA RES -1.12 21.34

ΔgFA RES - ΔgFA

PRED (Trr TRK) -10.72 22.49

ΔgFA RES - ΔgFA

PRED (Trr SPT) -17.64 22.54

ΔgFA RES - ΔgFA

PRED (N) -0.04 17.05

ΔgFA RES - ΔgFA

PRED (N+Trr TRK) -1.19 17.46

ΔgFA RES - ΔgFA

PRED (N+Trr SPT) -7.87 16.18

15.5 16 16.5 17 17.537.5

38

38.5

39

39.5

40Residuals aerogravimetry Dg [mGal]

deg

deg

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

test C, risultato filtraggio:

• Raggio della finestra di selezione (N): 1° ≈ 800 valori• Raggio della finestra di selezione (Trr): 1° ≈ 600 valori• Rimozione della media locale alle osservazioni selezionate.

ResidualsMean

[mGal]σ

[mGal]

ΔgFA RES -1.12 21.34

ΔgFA RES - ΔgFA

PRED (Trr TRK) -9.38 20.37

ΔgFA RES - ΔgFA

PRED (N) -0.04 17.01

ΔgFA RES - ΔgFA

PRED (N+Trr TRK) 2.26 15.94

15.5 16 16.5 17 17.537.5

38

38.5

39

39.5

40Residuals aerogravimetry Dg [mGal]

deg

deg

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

15.5 16 16.5 17 17.537.5

38

38.5

39

39.5

40Predicted residuals Dg [mGal] case N+TrrTRK

deg

deg

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

test C, risultato filtraggio (2):

L’integrazione N+Trr permette una migliore modellizzazione delle aree terrestri.

15.5 16 16.5 17 17.537.5

38

38.5

39

39.5

40(case N) - (case N+TrrTRK) [mGal]

deg

deg

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

test C, risultato filtraggio vs EGM2008:

ResidualsMean

[mGal]σ

[mGal]

ΔgFA RES - ΔgFA

EGM08(2160) -0.28 3.73

ΔgFA RES - ΔgFA

EGM08(1800) -0.72 4.49

ΔgFA RES - ΔgFA

EGM08(1000) 0.34 9.58

ΔgFA RES - ΔgFA

EGM08(800) 1.09 12.74

ΔgFA RES - ΔgFA

PRED (N+Trr TRK) 2.26 15.94

ΔgFA RES - ΔgFA

EGM08(650) 2.50 16.78

Test della procedura implementata: il Mediterraneo Centrale

• area test: 7° < λ < 17°, 37° < φ < 49°

• 1068 N da GPS-livellazione

• integrazione di dati radar-altimetrici, GOCE e ΔgFA

• area di selezione: 3° < λ < 22°, 33° < φ < 50°• 27092 N da ERS1-GM

• 66010 Trr filtrati SPT con media mobile (0.5°) e GOCE DIRr3 (l=240)

• 49559 ΔgFA

• riduzione del dato con GOCE DIRr3 (l=180)

• RTC rimossa ai soli dati ΔgFA e N

Esempi di stima di una funzione di covarianza modello adeguata:

ΔgFA + N + Trr(DIRr3)

ΔgFA

Stima integrata:

Stima con funzionale singolo:

risultato filtraggio:

Residuals #σ

[m]

NGPS-LEV RES - NPRED (Δg) 954 0.24

NGPS-LEV RES - NPRED (Δg+N) 984 0.29

NGPS-LEV RES - NPRED (Trr DIR) 937 0.47

NGPS-LEV RES - NPRED (Δg+Trr DIR) 968 0.30

NGPS-LEV RES - NPRED (Δg+N+Trr DIR) 967 0.30

NGPS-LEV RES - NPRED (Trr SPT) 972 0.62

NGPS-LEV RES - NPRED (Δg+Trr SPT) 969 0.30

NGPS-LEV RES - NPRED (Δg+N+Trr SPT) 973 0.30

Conclusioni:

La procedura implementata è in grado di stimare, tramite collocazione, un qualsiasi funzionale del potenziale gravitazionale terrestre a partire da osservazioni di altri funzionali o una loro combinazione.

La stima della funzione di covarianza modello attraverso il metodo del simplesso è risultata stabile e versatile.

Una soluzione a finestre, scelte sulla base della lunghezza di correlazione dei dati in ingresso, si è dimostrata appropriata.

La stima congiunta della funzione di covarianza modello permette una migliore modellizzazione delle caratteristiche stocastiche del campo locale.

Conclusioni (2):

La distribuzione spaziale del dato sembra essere un parametro maggiormente significativo rispetto alla numerosità delle osservazioni.

In applicazioni pratiche, se la precisione richiesta non è particolarmente elevata, i modelli globali GOCE sono già sufficienti.

E’ necessario approfondire il pre-trattamento del dato GOCE.

Miglioramenti della stima locale del campo gravitazionale sono ottenibili attraverso l’integrazione di dati diversi.

Grazie per l’attenzione