discrete maximum principle

7/27/2019 Discrete Maximum Principle

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DI SCRE T E M AXI M UM PRI NCI PL EN. N . D z yuba and B . N . Ps he nic hny i UDC 5 1 9 . 8

I n t h is p a p e r w e c o n s i d e r t h e q u e s t i o n o f n e c e s s a ry c o n d i t i o n s f o r a n e x t r e m u m f o r t h e f o l lo w i n g p r o b l e m .L e t X b e a l o c a l ly c o n v e x l i n e a r s e p a r a t e d t o p o l o g i c a l s p a c e . W e a re g i v en a p o i n t - s e t m a p p i n g a (- ) w h i c h p u t se a c h p o i n t x E X in t o c o r r e s p o n d e n c e w i t h a s e t a ( x ) i n t h is s p a c e. I t is re q u i r e d t h a t t h e f u n c t i o n f ( x ~ ) b em i n i m i z e d u n d e r t h e c o n d i t i o n t h a t

x k + ~ E a ( x ~ ) , k = 0 , 1 . . . . . m - - l , ( 1)and x 0 i s f ixed.

B e l o w i t w il l b e s h o w n t h a t a n e c e s s a r y c o n d i t i o n f o r a m i n i m u m c a n b e w r i t t e n i n t h e f o r m o f a m a x i -m u m p r in c .i p le w h i c h g e n e r a l iz e s th e k n o w n o n e [ 1 ] . F o r t h e c a s e o f a c o n v e x m a p p i n g t h is p r o b l e m h a s b e e nc o n s i d e r e d i n [ 2 ] .I t s h o u l d , h o w e v e r , b e m e n t i o n e d t h a t i n t h e c a s e o f a s u f f i c i e n t l y g e n e r al m a p p i n g a ( .) i t is i m p o s s i b l e t of o r m u l a t e s u c h c o n d i t i o n s i n a w a y t h a t w o u l d n o t l e a d t o s t r i n g e n t h y p o t h e s e s i n p a r t i c u l a r ca s es . T h e r e f o r e ,t h e g e n e r a l re s u l t g iv e n b e l o w s h o u l d b e c o n s i d e r e d a s a s c h e m e f o r o b t a i n i n g c o n d i t i o n s f o r a m i n i m u m i np a r t i c u l a r ca s es . I n t h i s c o n n e c t i o n , t h e b a s ic t h e o r e m o n a m a x i m u m p r i n c i p le h a s b e e n f o r m u l a t e d w i t hh y p o t h e s e s w h i c h r e q u i r e s p e c i a l v e r i f i c a t i o n i n e a c h c o n c r e t e c a s e i n o r d e r t o o b t a i n t h e m o s t p r e c i s e r e s u l t .H o w e v e r , t h is v e r i f i c a t i o n c a n b e c a r r i e d o u t i n a r e l a ti v e l y s im p l e w a y o n t h e b a s is o f w e l l - k n o w n r e su l ts i n[ 1 , 3 , 4 ] .W e r e m a r k t h a t t h e p r o b l e m c o n s i d e r e d i n t h i s p a p e r h a s b e e n s t u d i e d u n d e r o t h e r h y p o t h e s e s i n [ 5 ] .1 . L e t X a n d Y b e l o c a l l y c o n v e x s e p a r a t e d l i n e a r t o p o l o g i c a l s p a c e s, a n d l e t Z b e t h e i r d i r e c t p r o d u c t ,i .e ., Z = X X Y . W e d e n o t e b y X * a n d Y * t h e i r t o p o l o g i c a l d u a l s p a ce s , i .e . , t h e s p a c e s o f c o n t i n u o u s l i n e a r

f u n c t i o n a l s . W e w i ll d e n o t e t h e v a l u e o f t h e f u n c t i o n a l x * E X * ( r e s p e c ti v e l y , y * E Y * ) o n t h e e l e m e n t x ( y )by ( x* , x ) ( r e s pe c t i ve l y , ( y* , y ) ) . I t is c l e a r t ha t Z* = X* X Y* a nd ( z * . z ) - = ( ( x * , x ) + ( t j * , y ) ) , i f ( x , y ) i st h e p a i r d e f i n i n g z a n d ( x * , y * ) i s t h e p a i r d e f i n i n g z * .

I f a ( - ) i s a m a n y - v a l u e d m a p p i n g w h i c h p l a c e s t h e p o i n t x E X i n t o c o r r e s p o n d e n c e w i t h t h e s e t a ( x ) C Y ,t h e n i t d e t e r m i n e s a s e t g r a f a = { ( x , y ) : y E a ( x ) } , w h i c h li e s i n Z . O n t h e o t h e r h a n d , i f t h e s e t g r a f a C Zi s g i v e n , t h e n i t u n i q u e l y d e t e r m i n e s a m a p p i n ga (x) = {y : (x, y) E graf a} .S u p p o s e n o w t h a t z ~ g r a f a . W e w i ll s a y t h a t a c o n e K z C Z d e f i n e s a c o n e o f a d m i ss i b le d i r e c t io n s i f f o ra ll p E Kz , p = ( P l , P2 ) , P l E X , P2 E Y , t he r e e x i s t s a f un c t i o n a ( X) E Z , X ~> 0 , s uc h t ha t a ( X)X - 1 ~ 0f o r X -~ + 0 , a nd

z -~ Lp q- ~ (k) E gr a f a ( 2 )f o r s u f f ic i e n t ly s m a ll X . I n o t h e r w o r ds , t h e c o n d i ti o n y + k p 2 q - % ( k ) E a ( x + Lp~ q -~ ( k ) ) mus t be f u l f i l l e df o r s u f f ic i e n t l y s m a l l X , w h e r e x a n d y a r e t h e c o m p o n e n t s o f z a n d a ~ ( X ), c~ 2( X ) a r e t h e c o m p o n e n t s o f c ~(X ).

W e d e n o t e b y K~* t h e c o n e d u a l t o K z , i .e . ,K ; = t z * E Z " : ( z * , z ) > O , v z E K ~ } 9

W e d e f i n e t h e d u a l c o n e i n a n a n a l o g o u s W a y i n a ll t h e r e m a i n i n g c a s es a p p e a r i n g i n t h e f o l l o w i n g e x p o s i t i o n :D e f i n i t i o n . T h e p o i n t - s e t m a p p i n g

a~ ~ ' ) = {x" : ( - - x* , V) E K;}T r a n s l a t e d f r o m K i b e m e t i k a , N o . 2 , p p . 4 6 - 4 9 , M a r c h - A p r i l , 1 9 7 5 . O r i g in a l ar t ic l e s u b m i t t e d M a y 1 5 , 1 9 7 4 .

01 9 76 Plen um Publishing Corporation, 22 7 W est 17th Street , N ew York, N. Y. 10011. N o part of this publ icat ion m ay be reproduced,stored in a retrieval system , o r transmitted, in atLv fo rm o r by any means, electronic, mec hanical, ph oto cop yin g, microfilming,recording o r otherwise, with ou t w ri t ten perm iss ion o f the publisher . A cop) , o f this art icle is avai lable fro m the publisher for $15.00.

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i s s a i d t o be dua l t o t he m a pp i ng a ( . ) a t t he po i n t z - - ( x , y ) .G e n e r a l l y sp e a k i n g , t h e g i v en d e f i n i t i o n d e t e r m i n e s t h e d u a l m a p p i n g in a n o n u n i q u e w a y . W e d e n o t e b y

K ~ ~ t h e c o n e o f al l d i re c t i o n s p s u c h t h a t f o r s o m e f u n c t i o n a ( ? , ) = o ( k ) w e h a v e f o r s m a ll X t h e c o n d i t i o n~- : max( 2 ). A n y c o n e K ~ K ~ w i ll b e a c o n e o f a d m i s s i b le d i re c t i o n s , a n d it d e t e r m i n e s s o m e d u a l m a p p i n g . I t i s

/m or e ov e r c l e a r t ha t K ; ~_ (K~- ") * , a n d , t he r e f o r e , a ; ( g ' ) ~ ( a m~) *( g * ) , whe r e ( a a ~~ , i s t h e d u a l m a p p i n gc o r r e s p o n d i n g t o K F "x

W e c o u l d d e fi n e t h e d u a l m a p p i n g a s t h e m a p p i n g c o r r e s p o n d i n g t o K T ~ . H o w e v e r , in c o n c r e t e p r o b le m st h e c o n e K ~~ c a n n o t a l w a y s b e d e t e r m i n e d , w h i l e s o m e c o n e K ~ c a n b e d e t e r m i n e d r e l a ti v e l y e a s il y . M o r e o v e r ,

IVI~IXa s a r u l e i t h a p p e n s t h a t , a l t h o u g h t h e c o n e K ~ d o e s n o t c o i n c i d e w i t h K ~ , t h e c l o s u r e o f K z c o i n c i d e s w i t hK m "~ w h i c h i m p l i e s t h e e q u a l i t y K * = ( K~ m ax ) , w l f i c h m e a n s t h a t w e h a v e t h e c o i n c i d e n c e a * = ( a m ~ ) *T h e r e f o r e , w e r e t a in i n t h e f o l l o w i n g s o m e i n d e t e r m i n a c y i n t h e d e f i n i t i o n o f a~* , t h e m o r e s o , a s i t w i l l n o t ! c a dt o a n y c o m p l i c a t i o n o f t he e x p o s i t i o n .

R e m a r k . T h e g i v e n d e f i n i t i o n is e n t i r e l y c o n s i s t e n t w i t h t h e d e f i n i t i o n g i v e n i n [ 2 ] f o r t h e c o n v e x c a s e , a si s c l e a r f r o m L e m m a 2 o f [ 2 ] . I n d e e d , i t is cl e a r f r o m t h i s l e m m a t h a t f o r t h o s e y * f o r w h i c h t h e d u a l m a p p i n gi n [ 2 ] i s d e f i n e d i t c o i n c i d e s w i t h t h a t g i v e n a b o v e .

W e w i ll g iv e e x a m p l e s o f d u a l m a p p i n g s f o r s o m e s p e c i a l c a se s w h i c h w i !l b e o f in t e r e s t t o u s i n t h ef o l l o w i n g :Ex a m pl e 1 . Le t X = E n , Y = E n ,

a ( x ) = { y . ~ - l ( x , u ) : u E U } ,w h e r e U ~ E ' , f : E " X E ' - . + E " , a n d f ( x , u ) is a c o n t i n u o u s l y d i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o n o f it s a r g u m e n t s , w h i le U isa c o n v e x s e t .

Le t z = ( x , y ) , whe r e y = f ( x , u o ) , u o E U . Th e nK . = { 0 ~ , . p ~ ) : p ~ = f '~ x , u o ) p ~ + f . ( x , u o ) v , v E V ~ , } ,

w h e r e V . , , - - - {r~ : v ~ - ? ( u - - u0 ) , u E U , 7 ~ O} , a nd f ~ a nd f d a r e t he pa r t i a l de r i va t i ve s o f t he ma pp i n g f w i t hr e s p e c t t o x a n d y .

I n d e e d ,

wh ere a~ (X) -= 0 ,y + ~,p~ + a~ (;~) --- f (x + ~p~ + ~ (~,), u o + ;w),

% (k) = / (x + k/)~, u 0 + 7,v) - - f (r , u0) -- ~ if ; (x, '~0)P~ + f~ (x, u 0) v),a nd i t i s e a s i l y ve r i f i e d t ha t ~2 ( ) . ) ) '- ~ - + 0 , wh i l e u o E 3 .v E U f o r s m a l l X .

I t i s e a s y t o v e r i f y t h a tK- = {(x*,g ' ) :x" - - -- - ( / ; (x , % )) 'y ' , ( y ' , f ~ ( x , ~ a ) ) ~ O , u E U } ,

w h e r e ( f~ ) * i s t h e m a t r i x c o n j u g a t e t o f ~ . T h e r e f o r e ,a2 (.q ' ) = {x* : x* = (f;(x , u0))*g*},

i f( y ' ,f ' , ( x , u o ) ( u - - % ) ) : a 0 , u E U ,

( 3 )

( 4 )a n d a ~ ( g ' ) = 2 ~ i n t h e o p p o s i t e c a se .

T h u s , i n t h e g i v en e x a m p l e t h e v e c t o r x * is u n i q u e l y d e t e r m i n e d w i t h r e s p e c t t o y * b y t h e m a p p i n g a z* (y *) .E x a m p l e 2 . L e t X = E ~ , Y = E " ~, % ( x , g ) , i = 1 . . . . k , b e c o n t i n u o u s l y d i f f e r e n t ia b l e f u n c t i o n s o f t h e i r

a r gum e n t s , w hos e g r a d i e n t s w i t h r e s p e c t t o x a nd y w i l l be de no t e d b y ~o~ y ) a nd 9~y (x , y ) , r e s pe c t i ve l y .L e t ~ o (x , y ) E E k b e a v e c t o r w i t h c o m p o n e n t s ~ o i( x, y ) .We de f i ne a m a pp i ng a b y m e a ns o f i t s g r a ph g r a f a = ( ( x , y ): ~o ( x, y ) ~< 0} .W e m a k e t h e f o l l o w i n g h y p o t h e s i s : i f z ~ g r a f a a n d

2 2 7


3/5

l ( z ) = { i : % ( x , y ) = O , i = ! . . . . . l e } ,t h e n t h e v e c t o r s ~ y ( x , y ) , i E I ( z ) a re l in e a r l y i n d e p e n d e n t . U n d e r t h e s e c o n d i t io n s i t is p o s s i b le to s h o w t h a t

K . = { (p ,, p~) : ~ ( x , y ) p , + % (x , y ) p~ ~< 0 , i E I ( z )} .T h e n b y t h e F a r k a s - M i n k o w s k i l e m m a ( [ 6 ] , p . 2 1 8)

~)) , v ~ O , v E E z ( ~ ) } ,( * ~ = { ( x * , V ) . x = ( ~ ) ~ ( x , V ) ) v , y = ( ~ ' ~ (~ ) v x , " vw her e ~o~(, ) and ~Ol(z)y a re m a t r i ce s w ho se row s a r e ~O.;x and 9 ;y , i E I ( z ) , r e spe c t iv e ly .

F r o m t h i s i t f o l l o w s t h a ta; Cu') = i - - (q0j~,)+ x , v ) ) " v : v + = ( ~ ) ( ~ ) ~ ( x , y ) ) + v , v > ! 0} . ( 5 )

Th u s , a ~ *( y* ) i s n o n e m p t y o n l y i f t h e e q u a t i o n y * = ~ o~ (z )y (X , y ) v h a s a p o s i t i v e s o l u t i o n v .I t i s c o n v e n i e n t t o r e w r i t e t h e f o r m u l a ( 5 ) i n t h e f o l l o w i n g f o r m , i n o r d e r t o m a k e i t c l e a r t h a t i t d o e s

n o t h a ve a n y t h i n g t o d o w i t h t h e s e t I ( z ):9 * 9 *[ja ~ ( V ' ) - - { - - ( % ( x , y ) ) v : y * = ( % (x , y ) ) , o > I 0 , ( v , ~ ( x , y ) ) = 0 } , ( 6 )

|w h e r e n o w v E E k , a n d ~o a n d ~ oy a r e t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f t h e m a p p i n g ~ o ( x , y ) .2 . W e r e t u r n n o w t o t h e o ri g i n a l p r o b l e m . T h u s , s u p p o s e w e a r e g i v e n a m u l t i v a l u e d m a p p i n g a w h i c hm a p s x E X i n t o s o m e s u b s e t a ( x ) o f t h e s p a c e X . I t is r e q u i r e d t o m i n i m i z e t h e f u n c t i o n f ( x m ) , x m E X ,

u n d e r t h e c o n d i t i o n t h a tx k + 1 6 a ( x~ ), k = 0 . . . . . m - - I , ( 7 )

a n d x o i s f i x e d .T h i s p r o b l e m c a n b e c o n s i d e r e d a s a n o p t i m a l c o n t r o l p r o b l e m i n d i s c r et e t im e . W e w i ll s u p p o s e t h a t t h ef u n c t i o n f ( x ) i s d i f f e r e n t i a b l e a t e a c h p o i n t i n t h e s e n s e t h a t t h e r e e x i s t s a t e a c h p o i n t x o E X a l in e a r

f u n c t i o n a l f ~ ( x o ) E X , s u c h t h a tl im [ (x~ q- ~ 'p + c , (~,)) - - [ (Xo) = ([~ (x0) P)

f o r a n y p E X a n d f o r a n y f u n c t i o n a ( X ) E X w h i c h s a t i s f i e s t h e u n i q u e n e s s c o n d i t i o n a ( ? , ) X - ~ ~ 0 f o r X $ 0 .A n y s e t o f p o i n t s x ~ , . . ., X~n s a t i s f y i n g ( 7 ) w i l l b e c a l l e d a t r a j e c t o r y a n d w i l l b e d e n o t e d b y x . I n t h eg e n e r al c as e t h e ~ p e r w a v e s y m b o l w i l l i n t h e s e q ue l m e a n t h a t w e h a v e to d o w i t h s o m e e l e m e n t o f t hes p a c e X m . L e t x ~ b e a n o p t i m a l t r a j e c t o r y . W e c o n s i d e r i n X m t h e s e t s

M = { 2 ; x k + l E C l ( x k ) , k = O . . . . . I T t - - l } ,

M k = {x : x~+~ E a (xk )} , k = O . . . . m - - 1 ,m - - tw h e r e x o i s f i x e d . I t i s c l e a r t h a t M = s M h a n d t h e o p t i m a l c o n t r o l p r o b l e m p o s e d r e d u c e s t o t h e m i n i m i z a -k=0 tkj ,xjt i o n ' o f t h e f u n c t i o n 7 ( x) = f(x,~)on t h e s e t M . I t i s c l e a r t h a t t h e d e r i v a t i v e o f f w i t h r e s p e c t t o x i s t h e

v e c t o r w i t h c o m p o n e n t s { 0 . . . . . 0 , f ~( x)} .% %W e d e n o t e b y K k t h e c o n e o f p o s s i b l e d i r e c t i o n s a t t h e p o i n t x ~ t o w a r d s t h e s e t M k . C l e a r l y , K 0 =

{ P : p ~ E K o } , w h e r e K o C X i s t h e c o n e o f v e c t o rs P l s u c h t h a t x ? + ~ . p , q - c ~ ( ~ , ) E a ( x o ) f o r s m a l l X > 0f o r s 0 m e f u n c t i o n o ~(X ) E X w h i c h s a t i sf i e s t h e c o n d i t i o n c ~ ( ~ ) ~ - ' - + 0 fo r X ~ 0 . A n a l o g o u s l y ,

K ~ = { P : C ~ P k + , ) E K ~ } , k = 1 . . . . m - - 1 ,- x0 xo+i )w h e r e K k i s t h e c o n e o f p o s s i b l e d i r e c t i o n s t o w a r d g r a f a a t t h e p o i n t z ~ - ( k,

T H E O R E M . S u p p o s e t h a t t h e c o n e s K k , k = 0, . .. , m - 1 , a r e c o n v e x a n d t h a t w e h a ve t h e f o l l o w i n gc o n d i t i o n s :

2 2 8


4/5

m - - l . ~a ) t h e c o n e / ~ - - - ( - I K s i s t h e c o n e o f p o s s ib l e d i r e c t i o n s fo r t h e s e t M a t t h e p o i n t X O ;4 = 0m - - l , ~ %" x k C X * , k = 0 , . .. . m ,) K * = ~ K k " T h e n f o r a n o p t i m a l t r a j e c t o r y x ~ t h e r e e x i st l in e a r f u n c t io n s

k ~ 0s u c h t h a t

( 8 )z ; E : k ( x ; + ~ ) , / e - -- -- m - - I . . . . . 1 .

P r o o f . I f x o i s a n o p t i m a l t r a j e c t o r y , t h e n i t is e a s y t o s e e t h a t a n e c e s s a r y c o n d i t i o n f o r a n e [ 4 ] i s t h e c o n d i t i o n

f L (x ~ E K ' , ( 9 )xi f t h e c o n d i t i o n a ) o f t h e t h e o r e m h o l d s . T h e r e f o r e , f o r a p r o o f o f th e t h e o r e m i t s u f fi c e s t o c h e c k i n m o r ed e t a i l th e c o n d i t i o n ( 9 ).

I t is n o t h a r d t o s e e t h a t

C o n s i d e r i n g t h e e x p r e s s i o n f o r f 2~;(x0) = x;~ . . . . ~, 0 = xL + xL~_, ,

~ 2 = l~-* : ( x ; , x ; + , ) E K I , x ; = 0 , i v a k , k + l },k = 1 . . . . m - - l ,

a n d t h e c o n d i t i o n b ) o f t h e t h e o r e m , w e g e t t h e r e l a t io n sk = 1 . . . . m - - l , ( 10 )

w h e r e( x ' k . ~ ,x ~ + l . ~ ) E K ~ , k = ! . . . . m - - l , X~.oEK*o. ( 1 t )

W e n o w u s e t h e n o t a t i o n X ' ~ X ' k , k _ ~ , k = 1 . . . . m . T h e n t h e r e l a t io n s ( 1 0 ) a n d ( 1 1 ) g iv e t h e f o l l o w i n g :xL = -x;,

( - - x ' k , x ' k + : ) E K ' k , k = 1 . . . . m - - 1,r ; ( x0) = x~ , x~ c ~ .

F r o m t h is , t a k i n g i n t o a c c o u n t t h a t K k i s th e c o n e o f p o s s i b l e d i r e c t i o n s t o ~ a f a a t t h e p o i n t z k - ( x k , x k + ~ ) ,w e g e tfx (x0) = Xm,

x ; C a ;~ ( x ; + O , k = 1 . . . . m - - l ,w h i c h c o n c l u d e s t h e p r o o f o f t h e t h e o r e m .

R e m a r k 1 . I f t h e m a p p i n g a ( ' ) i s c o n v e x , i . e ., g r a f a i s a c o n v e x s e t , t h e n i n t h e c a s e o f a c o n v e x f u n c t i o nf ( x ) t h e c o n d i t i o n s a r e a l so s u f fi c i e n t . F o r t h is i t i s n e c e s s a r y t o t a k e a s t h e c o n e s o f a d m i s s ib l e d i r e c t i o n sw h i c h d e f i n e a ~* t h e c o n e sK~ = { p : H ~ , > 0 , suc h th a t ( x ~Pl , Y + ~P2) E gra f a} .

I n t h i s ca s e th e c o n d i t i o n a ) o f t h e t h e o r e m i s a u t o m a t i c a l l y f u l f il l e d .ovR e m a r k 2 . T h e r e a r e v a ri o u s m e t h o d s o f v e r i f y i n g t h e c o n d i t i o n b ) . I n p a r t ic u l a r , i f t h e c o n e s K k i n t e rs e c t

a t a p o i n t w h i c h i s i n t e r n a l f o r a l l t h e c o n e s , o r i f t h e s p a c e X i f f i n i te - d i m e n s i o n a l , a n d K k a r e p o l y h e d r a l ,t h e n t h e c o n d i t i o n b ) i s f u l f i ll e d .R e m a r k 3 . T h e v e r i f i c a t io n o f th e c o n d i t i o n a ) is a s a ru l e a s so c i a t e d w i t h t h e a p p l i c a t i o n o f s o m ei m p l i c i t f u n c t i o n t h e o r e m s , b u t i n a b r o a d c l a s s o f c a s e s t h i s v e r i f i c a t i o n i s r e l a t i v e l y e a s i l y c a r r i e d o u t . I n

p a r t i c u l a r , a s a n e x e r c i s e i t c a n e a s i ly b e v e r i f ie d t h a t t h e c o n d i t i o n s a ) a n d b ) a r e f u l f i ll e d fo r t h e m a n y - v a l u e dm a p p i n g d e f i n e d i n E x a m p l e s I a n d 2 a b o v e . I n b o t h t h e s e e x a m p l e s ( i f t h e s e t U is p o l y h e d r a l i n E x a m p l e 1 )t ~t h e c o n e s I Z ~ a r e p o l y h e d r a l .

2 2 9


5/5

* E a zk (X k + ) c o n t a in s b o t h a n a s s o c i a t e d s y s t e m f o r t h e m a x i m u m p r i n c ip l ee m a r k 4 . T h e c o n d i t i o n x k[ 3 ] a n d a c o n d i t i o n f o r a lo c a l m a x i m u m . T h i s i s c l e a rl y o b v i o u s f r o m t h e m a p p i n g d e f in e d i n E x a m p l e I .I nde e d , t he r e l a t i ons ( 3 ) a nd ( 4 ) i n t h i s c a s e g i ve

x2 = ( f ; (~ ' u ~ ) ) ' x ~ + l ' ( 1 2 )" [ 1 * 9r e x k ~ 1 ' I u ' ~ - k '" 1 " ~ 0 . 0 ~ / , ~ kI 0 ~ " ~ I u l u ( X i ' ~ - l ' t ~ ( X ~ ' " k 0 ) " ) '

w h e r e u ~ x ~ a r e a n o p t i m a l c o n t r o l a n d a t r a j e c t o r y , r e s p e c t iv e l y , w h i c h c o i n c i d e s w i t h t h e u s u a l n e c e s s a r yc o n d i t i o n f o r l i n e a r s y s t e m s . W e f u r t h e r o b s e r v e i n t h i s e x a m p l e t h e r o le o f t h e l as t o f t h e c o n d i t i o n s ( 8 ) . I nt h is c a s e w e c a n t a k e a s t h e c o n e K 0 t h e c o n e

K 0 = {p : p = [~ (x~, u 0 v, v E V,0}.I n d e e d , i f p i s a n e l e m e n t o f K 0 , t h e n f r o m x ~ = f ( x o , % ) i t f o l l o w s t h a t

xO + ~,p + c~ (~,) = f (Xo, Uo + ~.v) ,w h e r e

i .e ., f o r s m a l l X w e h a v e b y d e f i n i t i o n o f V , , , u o - t- ~ , v E U an d ~ + kp -4- a (~.) E a (x0).i m p l i e s t h a t

i .e . , fu l f i l l m e n t o f t h e l o c a l m a x i m u m p r i n c i p le a l s o f o r t h e c o n t r o l a t t h e z e r o s t e p , w h i le f r o m t h e s e c o n dr e l a t i o n o f ( 8 ) t h e r e l a t i o n ( 1 2 ) f o l l o w e d o n l y f o r k > / 1.

T h e f a c t t h a t x * E K * n o w

L I T E R A T U R E C I T E D1 . V . G . B o l t y a n s k i i , O p t i m a l C o n t r o l w i t h D i s cr e t e P r o c e s s es [ i n R u s s i a n ] , I z d . N a u k a , M o s c o w ( 1 9 7 3 ) .2 . B . N . P s h e n i ch n y i , " C o n v e x m u l t i va l u e d m a p p i n g s , " K i b e r ne t i k a, N o . 3 ( 1 9 7 2 ) .3 . B . N . P s h e n i c h n y i, N e c e ss a r y C o n d i t i o n s f o r a n E x t r e m u m [ in R u s s i a n ], I zd . N a u k a , M o s c o w ( 1 9 6 9 ) .4 . A . Y a . D u b o v i t s l d i a n d A . A . M i l y u t i n , " E x t r e m u m p r o b l e m s w i t h c o n s t r a i n t s , " Z h . V y c h i s l. M a t . i M a t .

F i z . , No . 3 ( 1965 ) .5 . V . G . B o l t y a n s k l i , " T h e s u p p o r t p r i n c ip l e i n p r o b l e m s o f o p t i m a l c o n t r o l , " D i f f . U r a v ., 9 , N o . 8 ( 1 9 7 3 ) .6 . R . T . R o c k a f e l l a r , C o n v e x A n a l y s i s , P r i n c e t o n U n i v e r s i t y P r e ss ( 1 9 7 0 ) .

2 3 0

discrete maximum principle

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