저 시-비 리- 경 지 2.0 한민

는 아래 조건 르는 경 에 한하여 게

l 저 물 복제, 포, 전송, 전시, 공연 송할 수 습니다.

다 과 같 조건 라야 합니다:

l 하는, 저 물 나 포 경 , 저 물에 적 된 허락조건 명확하게 나타내어야 합니다.

l 저 터 허가를 면 러한 조건들 적 되지 않습니다.

저 에 른 리는 내 에 하여 향 지 않습니다.

것 허락규약(Legal Code) 해하 쉽게 약한 것 니다.

Disclaimer

저 시. 하는 원저 를 시하여야 합니다.

비 리. 하는 저 물 리 목적 할 수 없습니다.

경 지. 하는 저 물 개 , 형 또는 가공할 수 없습니다.

공학박사학위논문

자기베어링을 이용한 공기정압베어링

강체축의 유체 불안정성 억제에 관한 연구

Suppression of Fluid Induced Instability of an Aero-static

Bearing Rigid Rotor using an Active Magnetic Bearing

2014 년 8 월

서울대학교 대학원

기계항공공학부

장 희 도

자기베어링을 이용한 공기정압베어링

강체축의 유체 불안정성 억제에 관한 연구

Suppression of Fluid Induced Instability of an Aero-static

Bearing Rigid Rotor using an Active Magnetic Bearing

지도교수 김 종 원

이 논문을 공학박사 학위논문으로 제출함

2014 년 5 월

서울대학교 대학원

기계항공공학부

장 희 도

장희도의 공학박사 학위논문을 인준함

2014 년 6 월

위 원 장 : ______________________

부위원장 : ______________________

위 원 : ______________________

위 원 : ______________________

위 원 : ______________________

i

국

산업 발달에 라 가공 고 밀, 고속 , 고강 주축

필요 이 증 하고 있다. 고속 가공 고능률 및 고생산 동반하

는 요한 생산 인 고 있 며, 이 부 가공 밀도 향상,

면 도 개 , 가공 시간 단축, 삭 열 및 항 감소 등 장

지니고 있다. 이 부 고속 가공이 가능한 고 능 공작 계

요구가 커지고 있 며, 고속 회 이 가능한 주축에 한 요구가 커

지고 있다.

공 압베어링 회 축 지지함 써 마찰 항이 작

고 발열도 작아 고속회 에 리하다. 작동 체 평균 효과에

해 회 밀도가 높다. 하지만, 강 과 부하 용량이 작 단

지니고 있 며, 아래 같 불안 에 한 한계가 존재한다.

공 압베어링 불안 크게 가지 공 해 및 체

불안 분류할 있다. 공 해 링 상 회 축이 회

또는 회 상황에 모 나타날 있다. 이는 공 압베어링

구를 통해 공 는 압 시간 지연 인하여 발생하며,

구 상 변경 및 조건 변경 통해 해결 할 있다.

반면에 공 압베어링 핑 부족에 하여 발생하는 체 불안

상 회 축 1차 험 속도 약 2배에 발생한다고 알

있다. 이는 회 축 회 속도가 증가함에 라 베어링 틈새 내

에 는 압 분포가 칭 생 발생하며,

-베어링 시스 계 단계에 고 어야만 한다.

본 논 에 는 공 압베어링 불안 억 하고, 회 속도

상향 하여 자 베어링과 복합 를 시하 다. 이는 능동

자 베어링 복합 용 통해 회 축에 작용하는 강 및 감

쇠를 조 함 써 공 압베어링 불안 억 하고자 하

ii

다. 이를 해 공 압베어링과 자 베어링 구 -베

어링 시스 모델링하고 이를 통해 시스 특 인하 다.

-베어링 시스 작하고, 공 압베어링 지지

회 실험 행하여, 공 압베어링 체 불안 인하

다. 자 베어링 PD 어를 행함 써 공 압베어링 체

불안 억 하 며, 고속 역에 안 인 운

실험 통해 인하 다.

주요어: 공 압베어링, 체 불안 , 능동 자 베어링, 지

PD 어, 고속 밀 강체축, 강체축 안 향상

학번: 2008-30197

iii

목차

국 i

목차 iii

LIST OF FIGURES v

LIST OF TABLES viii

NOMENCLATURE ix

1 1

1.1 연구 배경 1

1.2 연구 동향 5

1.3 연구 목 및 내용 8

2 베어링 및 모델 10

2.1 공 압베어링 10

2.1.1 공 압베어링 종류 10

2.1.2 공 압베어링 지배방 식 11

2.1.3 공 압베어링 구 19

2.2 자 베어링 27

2.2.1 자 베어링 본 구 27

2.2.2 자 구동 28

2.2.3 자 베어링 등가 특 30

2.2.4 자 베어링 어 37

2.2.5 자 베어링 어 알고리즘 38

2.3 -베어링 모델링 42

2.3.1 운동방 식 42

iv

2.3.2 심 궤 47

3 베어링 및 모델 분 49

3.1 공 압베어링 특 49

3.1.1 공 압베어링 특 50

3.1.2 공 압베어링 동특 50

3.2 자 베어링 특 53

3.3 -베어링 시스 분 57

3.3.1 -베어링 시스 사양 57

3.3.2 -베어링 시스 특 58

4 -베어링 시스 작 62

4.1 공 압베어링 62

4.1.1 공 압베어링 작 62

4.1.2 공 압베어링 경 조건 63

4.2 자 베어링 66

4.2.1 자 베어링 작 66

4.2.2 자 베어링 어 67

4.3 -베어링 시스 작 70

4.3.1 작 70

4.3.2 -베어링 시스 77

4.3.3 실험 장 구 78

5 실험 81

5.1 공 압베어링 불안 인 81

5.2 자 베어링 용 통한 불안 극복 86

6 결 92

참고 헌 93

ABSTRACT 100

v

LIST OF FIGURES

Fig. 1.1 Schematic of an aero-static bearing pressure distribution

Fig. 1.2 Instability control using AMB

Fig. 2.1 ASB type according to air supply restrictor

Fig. 2.2 Coordinate system for dynamic analysis

Fig. 2.3 Mesh for analysis

Fig. 2.4 Geometry of inherent restrictor

Fig. 2.5 Conventional active magnetic bearing

Fig. 2.6 Magnetic actuator model

Fig. 2.7 Current control scheme of differential type AMBs

Fig. 2.8 Force on 1 D.O.F. magnetic actuator

Fig. 2.9 Block diagram open loop system

Fig. 2.10 Block diagram closed loop system

Fig. 2.11 1 D.O.F. actuator model

Fig. 2.12 Control block diagram of AMB

Fig. 2.13 Current control block diagram in continuous-time

Fig. 2.14 total control block diagram

Fig. 2.15 Schematic of the rotor-bearing system with aero-static and magnetic

hybrid bearings

Fig. 3.1 Eccentricity vs static force

Fig. 3.2 Stiffness and damping of ASB with increase in the rotating speed

Fig. 3.3 Locus of journal center with increase in the rotating speed

Fig. 3.4 AMB force vs coil current

Fig. 3.5 Force-current factor vs coil current

Fig. 3.6 Force-displacement factor vs coil current

Fig. 3.7 Magnetostatic flux analysis using ANSYS

vi

Fig. 3.8 Campbell diagram of rotor

Fig. 3.9 System poles of the rigid rotor with and without AMB

(10,000~40,000rpm, P=10,000A/m, D=6.0As/m)

Fig. 3.10 Normalized maximum radius according to the rotating speed and

gain variations

Fig. 4.1 Schematic of hybrid aerostatic-magnetic bearing system

Fig. 4.2 Photo of the ASB

Fig. 4.3 Compressed air filter & refrigeration dryer

Fig. 4.4 The international standard for compressed air quality

Fig. 4.5 Photo of the AMB

Fig. 4.6 TMS320C28346 Syncworks Inc. DSP module

Fig. 4.7 AMB controller & current amplifier

Fig. 4.8 E+A built-in motor

Fig. 4.9 Photo of the rigid rotor

Fig. 4.10 FEM analysis using ANSYS

Fig. 4.11 Natural frequencies of the rigid rotor through the impulse test

Fig. 4.12 Shaft balancing - CEMB

Fig. 4.13 CEMB balancing machine – ZB5 TC/GV

Fig. 4.14 Balancing certificate from Balance Tech

Fig. 4.15 Rotor-Bearing System 3D Modeling

Fig. 4.16 Photo of Rotor-Bearing System

Fig. 4.17 Photo of the experimental set-up

Fig. 5.1 Orbits of the journal with only ASB: Red line is the front bearing and

Blue line is the rear bearing

Fig. 5.2 Front x-displacement of ASB (27,000rpm)

Fig. 5.3 Water-fall plot of the front journal with only ASB (12,000~27,000rpm)

Fig. 5.4 Water-fall plot of the rear journal with only ASB (12,000~27,000rpm)

Fig. 5.5 Water-fall plot of the thrust disk with only ASB (12,000~27,000rpm)

vii

Fig. 5.6 Orbits of the journal with both ASB and AMB: Red line is the front

bearing and Blue line is the rear bearing

Fig. 5.7 Water-fall plot of the front journal with both ASB and AMB

(0~35,000rpm)

Fig. 5.8 Water-fall plot of the rear journal with both ASB and AMB

(0~35,000rpm)

Fig. 5.9 Water-fall plot of the thrust disk with both ASB and AMB

(0~35,000rpm)

Fig. 5.10 RMS magnitudes of the front journal orbits with and without AMB

viii

LIST OF TABLES

Table 1.1 Comparison of high-speed spindle bearings

Table 3.1 Specifications of the ASB

Table 3.2 Locus of journal center

Table 3.3 Specifications of the AMB

Table 3.4 Parameters of the rotor-bearing system

Table 4.1 Specification of the TMS320C28346

Table 4.2 Specification of the AMB controller

ix

NOMENCLATURE

aA area of the pole face

iA area of inherent restrictor

aB flux density

ASBC ASB damping coefficient matrix

C bearing clearance

dC discharge coefficient

pC specific heat at constant pressure

vC specific heat at constant volume

c bearing damping

ASBc ASB bearing damping

eqc equivalent damping coefficient

c cD ,P stiffness and damping matrices provided by the local PD

feedback control

gD differential gain

sd diameter of feeding hole

e eccentricity of journal

bdF ASB reaction force from static pressure

bsF ASB reaction force from dynamic pressure

stF static load

AMBf AMB force

ASBf ASB force

Uf unbalance force

G gyroscopic matrix

H dimensionless film thickness

aH flux intensity of the air gap

x

h gas film thickness

I Laplace transform of current

, ,x y zI I I moment of inertia

i individual coil control currents vector

i current

bi bias current

pi control current

ASBK ASB stiffness coefficient matrix

iK force-current factor matrix

sK force-displacement factor matrix

sSK bearing stiffness matrix transformed into C.O.G. coordinate

K controller

IK controller integral gain

PK controller proportional gain

k bearing stiffness

ASBk ASB bearing stiffness

eqk equivalent stiffness coefficient

ik force-current factor

pk proportional factor of force-current relationship

xk force-displacement factor

shk specific heat ratio

L inductance

Fel mean length of the magnetic displacement

M inertia matrix

m mass of rotor

n number of coil turns

bO bearing center of ASB

dynO journal center of dynamic condition

xi

jO journal center of ASB

statO journal center of static condition

P dimensionless film pressure

gP proportional gain

p gas film pressure

ap atmospheric pressure

sp supply pressure

sQ dimensionless mass flow supplied through feeding hole

q rotor displacements vector

sq mass flow supplied through feeding hole

R resistance

gcR gas constant

rR receptance of the rotor

RF magnetic reluctance

r radius of journal

s air gap length of AMB

T Transformation matrix

T sampling period

DdT discrete derivative time constant

IdT discrete integral time constant

sT temperature of supplied gas

t time

U velocity of journal

u resultant bearing force vector

V Laplace transform of voltage

aV volume of the air gap

v voltage

aW energy stored in the air gap

xii

, ,x y z cartesian coordinate

,x y% % normalized rotor center position

y rotor displacements vector at sensor position

,a b euler angles

sG feeding parameter

,z q dimensionless coordinates

h gas viscosity

L compressibility number

m permeability

0m magnetic permeability of a vacuum

rm relative permeability

r density

t dimensionless time

F magnetic flux

f attitude angle of journal center

y relative clearance

W angular velocity of journal

cw controller cutoff frequency

- 1 -

1.

1.1 연구 경

산업 달에 라 가공 고 , 고속 , 고강 주축

요 이 증 고 있다. 고속 고 가공 고 능 고 생산

동 는 요 생산 인 고 있 며, 이 부 가공

도 향상, 면 도 개 , 가공 시간 단축 등 장 지니고

있 며 삭열 삭 항 감소 등이 동시에 고 어야 다.

이 부 고속 가공이 가능 고 능, 고 공작 계 요구가 커

지고 있 며, 고속 고 회 이 가능 주축에 요구가 커지

고 있다.[1-3]

주축 고속 고 회 본 고 베어링과

법에 특단 책 요구 며, 이에 구름 베어링(rolling bearing),

공 베어링(aero-static bearing: ASB), 자 베어링(active magnetic bearing:

AMB) 등 사용 있다. [4-6]

구름베어링 시스 요 지만 구조가 간단

다. 식 베어링이므 강 동 강 이 높다. 면에 고

속 회 마찰 손실 에 요 동 손실이 크게 생 여

열에 요소 창 회 도 를 가 며, 미소 진동

생 가 있다. 근 라믹 볼 베어링과

토 회 속도 향상 가 나, 베어링 명이

지 못 다는 단 이 있다. 고속 주축에 구름 베어링

능 인 여 자 베어링과 공 베어링 등 체 에

연구가 진행 고 있다.

자 베어링 베어링 틈새를 크게 가 갈 있어 고속회 에

리 다. 어에 강 가 갈 있 며, 특

- 2 -

주 강 조 또 가능 다. 다만, 복잡 어 시스 갖

추어야 다. 또 공구 특 가공 조건에 라미 변

경이 요 경우도 있어 범용 장 사용에 이 른다.

공 베어링 회 축 고 미 외 틈새에 공

시 지지함 써 마찰 항이 작고 열도 작

고속회 에 리 다. 작동 체 평균 효과에 해 회

도가 높다. 지만, 강 과 부 용량이 작 단 지니고 있

다. Table 1.1에 공 베어링과 자 베어링 장 과 단 리

다.[7-9]

Table 1.1 Comparison of high-speed spindle bearings

베어링

종 공 베어링 자 베어링

복합베어링

(공 +자 )

장

w 동강 이 크다.

w 고속 회

도가 좋다.

w 마찰 손실이 작

다.

w 지지용량이

크다.

w 강 이 크다

이 크다.

w 고속 회 이 용

이 다.

w 마찰 손실이 작

다.

어에 베어

링 특 변경이

가능 다.

w 동강 이 크다.

w 고속 회

도가 좋다.

w 지지용량이

크다.

w 강 이 크다.

w 이 크다.

단

w 강 이 낮다.

w 지지용량이

작다.

w 이 작다.

w 동강 이 낮다.

w 구조가 복잡

다.

w 고 용 요구

다.

- 3 -

근 공 베어링 다양 분야 산업에 그 사용이 증가

고 있다. 고 요 는 다이 몬드 삭 계(Diamond turning

M/C), 다이 몬드 래 계(Diamond Lapping M/C) 그라인

계(Optics Grinding M/C) 도체 가공 계 등 다양 분야

에 그 사용처를 찾 있다.[10]

(a) wafer cutting M/C (b) spindle for wafer

(c) PCB drilling M/C (d) Optics Grinding M/C

(e) Diamond turning M/C (f) Diamond Lapping M/C

Fig. 1.1 Application of ASB

- 4 -

공 베어링 불 크게 가지 분 있다. 공

해 에 상 회 축이 회 또는 회 상황에 모

나타날 있 며, 이는 공 베어링 구 포 통

해 공 는 시간 지연 인 여 생 다. 이는 구

상 변경 조건 변경 통해 해결 있다. 공

베어링 부족에 여 생 는 체 불 상 회 축

1차 험 속도 약 2 에 생 다고 있 며, 이는 베

어링 강 변 또는 회 축 험 속도 구간 이동

함 써 해결 있다. 즉 회 체 시스 계 단계에 고

어야만 다.[11-13]

(a) aero-static (non-rotating) (b) aero-dynamic (rotating)

Fig. 1.1 Schematic of an aero-static bearing pressure distribution

이러 공 베어링 지지 회 축 불 회 축

회 속도가 증가함에 라 베어링 틈새 내에 는 분

포가 Fig. 1.1과 같이 칭 생 다. 이 부

회 심 회 향 이동시키며, 이 작용 는

- 5 -

향과 그에 직 는 향 강 감쇠 특 이 등 이

다. 이러 특 에 인 여 고속 회 시 험 계속도

이상에 불 진동 상이 생 있다. 훨(whirl), 돌림

(whip), 불 (rotor instability)이라고 진 이러

상 회 계 상 인 작동 란시 심각 손상 입힐

있다.

같 불 운 상태는 Fig. 1.2(b) 같이 자 베어링

용 통해 회 축에 작용 는 계 시스 인 개 강 k

감쇠 c 를 조 함 써 고속회 가능 게 있

다.[43,44]

(a) instability motion (b) instability control

Fig. 1.2 Instability control using AMB

1.2 연구동향

공 가 체 사용 있다는 가능 1854 랑스

G. Hirn[14]에 해 었고, 1897 국 A. Kingsbury[15]가 공

베어링 작 고 실험 통해 사용 가능 입증

- 6 -

다. 그 이후 1913 W. J. Harrison[16] 장 공 슬라이

베어링에 이 해를 구 다. 그 이후 공 베어링

본격 인 연구는 1950 이후라 있겠다.

공 베어링 불 1960 부 실험 연구 시

작 다. 1962 W. A. Gross [17] R. H. Larson과 H. H.

Richardson[18]에 해 행 어 다. 고속 회 시 불 시작 속

도 그 회 체 불 특 실험 다.

이러 불 지 베어링 다이 램

[19], O-ring[20]등 탄 체 지지 거나, Floating-ring[21] 삽입

여 2개 막 함 써 시스 특 증가시

개 고자 다. 그러나 이런 베어링들 고속 자체

에는 좋 능 가지고 있 나 베어링 지지체 탄 변 과

도 보장에 가 있다.

O. Taniguchi[22]는 공 베어링 에 실험 연구

에 구 개 , 베어링 틈새를 변 여

향 조사 며, 고속 불 시작 속도를 가장 지연 시킬

있는 베어링 틈새가 존재함 실험 보 다.

A. Mori[23,24]는 베어링에 축 이 가해지지 도 회 체를

직 운 경우에 여 베어링 폭, 틈새, 구 개

에 조건 변경 여 불 시작 실험 고찰

고, 이 불 이 에 베어링 막 내에 효과에

것 고찰 다.

일 베어링 경우 불 개 고자 진원 태 베어

링 사용함 써 불 개 있다는 것이 있

다. 이에 K. M. Kim[25]는 이를 공 베어링에 용 여

해 진행 며, 실험 통해 불 개 인 다.

같이 공 베어링 불 개 여 공

베어링 계 변 변경 부 능 향상 꾀 고자

- 7 -

연구가 행 었다. 근에는 베어링 복합 또는 능동 구동

를 추가함 써 베어링 능 향상 얻고자 는 연구가 진행

고 있다.

Horikawa, S. Kaiji, A. Shimokohobe[27]에 여 에조 구동

를 사용 여 공 베어링 강 과 를 어함 써

베어링 특 향상시키고자 다. 이는 인 상태 속에

실험에 그 고 있다.

공 베어링에 능동 구동 를 사용 여 구 단면 또

는 량 어함 써 베어링 강 향상시키며, 회 도

를 향상시키고자 함이 다양 면 연구가 진행 고 있다.[28,29]

공 동 베어링 틸 - 드 베어링 또는 에어-포일 베어링

경우 에조 구동 를 이용 여, 베어링 인 특 향상시키

며, 베어링 불 고속 향상시키 다양 연

구가 행 었다.[30-35]

자 구동 를 일 베어링 공 동 베어링에 용 여 복합

베어링 태 연구가 진행 고 있다. 일 베어링과 자 구동

병 용 통해 베어링 향상 연구는 S.C.

Jung[36], Q. Tan[37], C.C. Fan[38] 등에 해 행 었 며, 공 동

베어링 에어포일베어링과 자 베어링 복합 를 통해 어

게인 회 심 이동에 연구가 M. N.

Pham[39]에 해 연구 었다.

공 베어링과 자 베어링 복합 를 통 연구는 T.

Matsubara[40]에 해 연구가 행 었 나, 회 축 운 속도가 1

차 험 속도를 상회 지 못 고, 회 축 진동 감에 그 목 이

있다. 또 N. Suzuki[5], J. H. Kim[41], I.H. Park[42]등 복합베어링

용 여 고속 주축 계 고, 속에 베어링 강 증

고속에 회 도 향상 주 목 연구를 행

있다.

- 8 -

이 같이 능동 구동 공 베어링 일베어링등과

목 통 연구는 꾸 히 행 었 나, 공 베어링 불

개 연구는 미 다 있다. 이에 본 연구에 는

베어링 장 지니고 있 나 상 특 가지

고 있는 공 베어링과 자 베어링 복합 를 통해 장

취 며, 공 베어링 불 개 고, 고속

보 고자 다.

1.3 연구 목 내용

본 논 다 과 같 내용 목 다.

l 공 베어링과 자 베어링 구 -베어링 시스

해 해 모델링 고 이를 통해 시스 특 인 다.

l -베어링 시스 작 고, 공 베어링 지지

회 실험 행 여, 공 베어링 체 불

생 여부를 인 다.

l 자 베어링 P , D 어를 통 답 특 -베어

링 해 모델 통 여 그 향 다.

l 공 베어링 체 불 거 여 자 베어링

복합 용 고, 고속 역에 인 운 실험 통

해 검증 다.

다양 요소부품 구 -베어링 시스 주 베어링과

에 특 이 시스 계속도를 결 다. 이에 시스

계속도를 높이고자 다양 연구가 진행 고 있다.

공 베어링 많 장 지니고 있 나, 공

- 9 -

해 링 체 불 지니고 있어 회 증가에 그 계

가 존재 다. 이러 단 보 고자 연구가 행 어 나,

체 불 자 베어링 이용 여 직 어 고자

는 연구는 미 다.

라 , 본 논 에 는 공 베어링과 자 베어링 구

-베어링 시스 모델 립 고( 2장), 이를 통해 -베어

링 시스 특 인 고자 며( 3장), -베어링 시스

특 인 실험 장 를 작 다( 4장). 작

-베어링 시스 부 고속 회 에 공 베어링 불

인 고, 이를 자 베어링 복합 용 고 어를

행함 써 공 베어링에 불 극복 여 보다 향상

회 속도를 얻 있었다( 5장).

- 10 -

2. 베어링 모델

2.1 공 베어링

2.1.1 공 베어링 종

공 베어링 그 작동 원리에 해 크게 2종 식 분

있다. 첫째 상 운동에 해 베어링 틈새내 체가

효과를 일 , 생시 부 용량 얻는 동 공

베어링이 있 며, 외부 부 가 체 또는 공 를 베어링 내부

에 입시 부 용량 얻는 공 베어링이 있다.[45]

(a) 자 (b) 포

(c) 다공질 (d) 슬롯

(e) 면 항

Fig. 2.1 ASB type according to air supply restrictor

- 11 -

외부가 공 베어링 부분 간극이 좁 지면 그 부분

이 높 지고, 부분 간극이 어지면 그 부분

이 상 낮 지는 항 효과를 가지고 있다. 이러 항

그 식에 라 외부가 공 베어링 식이 결 다. 이러

항 식 는 리 스를 베어링 내 포 에 연결시 사용

는 법, 베어링 면에 그루 를 만들어 그 불연속면에

항효과를 생시키는 면 항 , 베어링 면에 작 공

만들어 그 공이 항효과를 일 키는 자 , 베어링 면에

단차를 주어 그 단차에 항효과를 생시키는 포러스

등이 있다. 그 에 작이 간편 며 공 해 링에 자

항 이용 공 베어링 이용 다.

2.1.2 공 베어링 지 식

공 베어링 해 법 가장 리 사용 는 식 일

이놀즈 식이다. 이놀즈 식(Reynolds equation)

체역 본인 나 에-스톡스(Navier-Stokes) 식 부 베어

링 틈새 내에 연속 조건 등 합 가 통 여 간략 후

이를 베어링 틈새 역에 분함 써 얻어진 체 미

지 는 이차 편미분 식 이다.[8,46]

( ) ( )3 3 6 2p p

h h U h hx x z z x t

r r h r r¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶æ ö æ ö é ù

+ = +ç ÷ ç ÷ ê ú¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶è ø è ø ë û (2.1)

여 x , z 는 각각 원주 향 축 향 좌 이며, t는 시간, h

는 도, r 는 도이며 h 는 틈새함 이고 p

는 막 이다.

인 공 를 등 이상 체라 가 면, 막

- 12 -

식(2.2) 같이 나타낼 있다.

gcp R Tr= (2.2)

라 , 지 식 식(2.3)과 같다.

( ) ( )3 3 6 2p p

ph ph U ph phx x z z x t

h¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶æ ö æ ö é ù

+ = +ç ÷ ç ÷ ê ú¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶è ø è ø ë û (2.3)

계산 간단히 고 결과 용 범 를 히 해 다 과 같

이 차원 다.

차원 좌 : x rq = , z rz =

차원 틈새 높이: /H h C=

틈새 상 : / aP p p= (2.4)

차원 시간: tt = W

상 인 베어링 틈새: /C ry =

축 계 : 2

6

ap

h

y

WL =

차원 항 도입 축 를 일 이놀즈

식 다 과 같이 도 다.

( ) ( )3 3 2P P

PH PHPH PHq q z z q t

æ ö¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶æ ö+ = L + Lç ÷ ç ÷¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶è ø è ø

(2.5)

이 식에 요 것 동 (hydrodynamic) 베어링과

막 P 에 식이라는 것이다. 이 식

- 13 -

경 향 틈새 ( ),H q z , 축 계 L 차원 시간에 라 변

는 틈새 높이 ( )H t 에 ( ), ,P q z t 를 나타낸다.

Fig. 2.2 Coordinate system for dynamic analysis

그림 Fig. 2.1 베어링 공 막 동특 해

좌 를 나타낸다. 여 베어링 심이 bO , 축 심이 jO 이고

stF 는 y 축 향 작용 고 있 , 축 심이

막 동 작용에 해 statO 에 dynO 다면

힘과 동 힘 체 막에 힘 다 과 같다.

( )0 , , ,x xF F x y x y= +D & & (2.6)

( ), , ,y st yF F F x y x y= +D & & (2.7)

sinx e f= D × D , cosy e f= D × D

여 미분항 t

¶

¶를 나타내며 f 는 축 심이 y 축과 이

루는 자 각 나타낸다. 축 심 동 인 변 eD fD 에 해

- 14 -

생겨나는 동 인 힘인 FD 를 일러 변 시 1차항 지

택 면

, , , ,

x x x xx

st st st st

ASB xx ASB xy ASB xx ASB xy

F F F FF x y x y

x y x y

k x k y c x c y

æ ö æ ö æ ö æ ö¶ ¶ ¶ ¶D = × + × + × + ×ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷

¢ ¢¶ ¶ ¶ ¶è ø è ø è ø è ø

= × + × + × + ×

& &

& &

(2.8)

, , , ,

y y y yy

st st st st

ASB yx ASB yy ASB yx ASB yy

F F F FF x y x y

x y x y

k x k y c x c y

æ ö æ ö æ ö æ ö¶ ¶ ¶ ¶D = × + × + × + ×ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷

¢ ¢¶ ¶ ¶ ¶è ø è ø è ø è ø

= × + × + × + ×

& &

& &

(2.9)

같이 고 ASBk , ASBc 는 각각 막 강 계 감

쇄계 를 나타낸다. 이 경우는 축 간 심이 작 범 에 운

동 다는 가 에 출 다. 즉 xD , yD 가 충분히 작 막

께 란 다 과 같이 나타낼 있다.

1 2

o

st st

o

H HH H x y

x y

H H x H y

æ ö¶ ¶æ ö= + × + ×ç ÷ç ÷

¶ ¶è ø è ø

= + × + ×

(2.10)

Fig. 2.2 부

( )

cos( )

cos cos sin sin

cos sin

o

o

o

H H e

H e

H y x

f f

f f f f

f f

= - D - D

= - D D + D

= - × - ×

(2.11)

- 15 -

라 ,

1 sinH f= - , 2 cosH f= - (2.12)

다.

축 운동 회 에 동 진동 횡 향 x , y 분 를

해 x y 를 복소 실 있다. 즉, 각 분

진동 조 함 나타낼 있고 x , y 각각 미분 값 식

간략 계 용이 도를 해 복소 식

있 므 , 다 과 같이 x x&를 나타낼 있다.

( ) ( )( )ˆRe Re cos siniτ o *x x e x ix if fé ù= × = + +ë û (2.13)

x& y& 는

x i x= ×& , ( ) Re( iy i y i x i x e t= × × = × ×& (2.14)

가 며, 회 축 심 미소 변 에 해 생 는 막내

란 P는 다 과 같이 나타낼 있다.

1 2 1 2

o

st stst st

o o * *o

P P P PP P x y x y

x y x y

P P x P y P x P y

æ ö æ ö¶ ¶ ¶ ¶æ ö æ ö= + × + × + × + ×ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷

¶ ¶ ¶ ¶è ø è øè ø è ø

= + × + × + × + ×

& && &

& &

(2.15)

란 P를 복소 식 쓰면 다 과 같다.

- 16 -

1 2

1 1 1

2 2 2

o

o *

o *

P P P x P y

P P i P

P P i P

= + × + ×

= + ×

= + ×

(2.16)

라 , 식 시간 존항 다 과 같다.

( ) ( )

1 2

1 2

2 2PH

Λ Λ PH PHτ

P i P x i P y

H i H x i H y

¶= +

¶

= × × + × ×

= × × + × ×

& &

&

&

(2.17)

부 란항 P H , P& , H& 를 지 식에 입 여 0과 1

차 란 매개변 x , y 에 열 통해 다 식 얻

는다.

상상태 oP 에 식

( )3 3o oo o o o o o

P PPH PH Λ PH

θ θ ζ ζ θ

¶ ¶¶ ¶ ¶æ öæ ö+ =ç ÷ ç ÷¶ ¶ ¶ ¶ ¶è ø è ø

(2.18)

그리고, 란 1P , 2P 에 식

- 17 -

( ) ( )

3 2 311 1

3 2 311 1

1 1 1 1

3

3

2

o oo o o o o

o oo o o o o

o o o o

P PPP H P H H H P

θ θ θ θ

P PPP H P H H H P

ζ ζ ζ ζ

Λ P H PH i P H PHθ

¶ ¶¶¶ æ ö+ +ç ÷

¶ ¶ ¶ ¶è ø

¶ ¶¶¶ æ ö+ + +ç ÷¶ ¶ ¶ ¶è ø

¶= + + L +

¶

(2.19)

( ) ( )

3 2 322 2

3 2 322 2

2 2 2 2

3

3

2

o oo o o o o

o oo o o o o

o o o o

P PPP H P H H H P

θ θ θ θ

P PPP H P H H H P

ζ ζ ζ ζ

Λ P H P H i P H P Hθ

¶ ¶¶¶ æ ö+ +ç ÷

¶ ¶ ¶ ¶è ø

¶ ¶¶¶ æ ö+ + +ç ÷¶ ¶ ¶ ¶è ø

¶= + + L +

¶

(2.20)

얻 있 며, 이를 벡 시 면

( )3 0o o o o oP H P Λ P Hé ùÑ × Ñ - =ë û (2.21)

( )

( )

3 2 31 1 1 1

1 1

3

2

o o o o o o o o o o

o o

P H P P H H P H P P Λ P H PH

i P H PH

é ùÑ × Ñ + Ñ + Ñ - +ë û

= L + (2.22)

( )

( )

3 2 32 2 2 2

2 2

3

2

o o o o o o o o o o

o o

P H P P H H P H P P Λ P H P H

i P H P H

é ùÑ × Ñ + Ñ + Ñ - +ë û

= L + (2.23)

이고

ˆi kq z

¶ ¶Ñ = +

¶ ¶

iL = L

- 18 -

이다.

Fig. 2.3 Mesh for analysis

상상태 과 란 해 여 베

어링 면 펼쳐 그 망 고 차 에 이 다고 가

다. Fig. 2.3 같이 공 이 이루어지는 면 임

( ),i j 러싼 면 ,i jå 에 해 분 면 다 식(2.24),

식(2.25) 식(2.26)과 같다.

( ),

3 0i j

o o o o oP H P Λ P H d dq zå

é ùÑ × Ñ - × =ë ûò ò (2.24)

( ),

3 2 31 1 1 13

i j

o o o o o o o o o oP H P P H H P H P P Λ P H PH d dq zå

é ùÑ × Ñ + Ñ + Ñ - + ×ë ûò ò

- 19 -

( ),

1 12i j

o oi P H PH d dq zå

= L + ×ò ò (2.25)

( ),

3 2 32 2 2 23

i j

o o o o o o o o o oP H P P H H P H P P Λ P H P H d dq zå

é ùÑ × Ñ + Ñ + Ñ - + ×ë ûò ò

( ),

2 22i j

o oi P H P H d dq zå

= L + ×ò ò (2.26)

식에 Gauss’divergence theorem 용시키면 각각 래 같

태가 다.

( ),

3 0i j

o o o o oP H P Λ P H n dlG

é ùÑ × Ñ - × =ë ûò (2.27)

( ),

3 2 31 1 1 13

i j

o o o o o o o o o oP H P P H H P H P P Λ P H PH n dlG

é ùÑ × Ñ + Ñ + Ñ - + ×ë ûò

( ),

1 12i j

o oi P H PH d dq zå

= L + ×ò ò (2.28)

( ),

3 2 32 2 2 23

i j

o o o o o o o o o oP H P P H H P H P P Λ P H P H n dqG

é ùÑ × Ñ + Ñ + Ñ - + ×ë ûò

( ),

2 22i j

o oi P H P H d dq zå

= L + ×ò ò (2.29)

같이 도 이놀즈 식 이산 를 통해 각 과

간 분포를 가 고, 차분식 이용 여 근사

있다.

과 베어링 인 조건 부 얻어진 베어링 틈새

베어링 양단에 조건 그리고 원주 향 분포

연속 조건 통해 식 해를 구함 써 면 에

분포를 얻 있 며, 막에 생 는 에 해

축에 작용 는 베어링 면 미소 면 에 작용 는 힘

- 20 -

베어링 면 체에 걸쳐 분함 써 얻 있다.

2.1.3 공 베어링 구

공 베어링 구에 미지 값이다. 그러므

구 에 구해야 는데 구에 상 는

량 함 써 래 같 법 구 있다.[47]

Fig. 2.4 Geometry of inherent restrictor

Fig. 2.4과 같 리 스 공 공 상 에 는 축공 가 차

있 므 포 상태라고 가 다. 이 같이 공 공 가 포 상태에

있 , 리 스 출구에 공 속도가 속에 도달 면

공에 질량 량 가능 값이 다. 이러 상태를 우크

상태라 부르며, 체 속도가 속에 도달 지 못 상태를

우크 지 못 상태라 부른다. 그러므 각각 경우에 해 공

동 지 식 별도 구해야만 다.

1) unchoked condition에 질량 량

우크 지 못 상태에 는 베어링 내 입 는 질량 량

이상 인 질량 량에 리 스 상 를 곱 양이 다.

- 21 -

,i j ideals d sq C q= × (2.30)

ideals i i iq A Vr= × × (2.31)

여 dC 는 리 스를 통과 는 동 를 나타내는 리 스 계

이고, idealsq 리 스에 항 지 고 베어링 막내

입 량이 다. ir 는 리 스를 통과 직후 체

도이고, iA 는 공 면 이고 iV 는 공 통과 직후

체 속도이다.

리 스를 통과 는 동 축 체 등엔트 과 이라

고 가 면, 열역 2법 에 해

21

2p i i p sC T V C T+ = (2.32)

이 립 게 다. 이 부

1sh

sh

k

ki i

s s

T p

T p

-

æ ö= ç ÷è ø

계식 이용 면,

리 스를 통과 직후 공 속도를 얻 있다.

111 2

221

1

sh

sh

k

ki

i s

sh s

pkV RT

k p

-é ùæ ö æ öê ú= -ç ÷ ç ÷ê ú-è ø è øê úë û

(2.33)

Psh

V

Ck

C=

또 ,

shk

i i

s s

p

p

r

r

æ ö= ç ÷è ø

계식 부 공 통과 직후 도

- 22 -

ir 를 구 있다.

1

1

sh

sh

ki

i s

s

ks i

s s

p

p

p p

RT p

r ræ ö

= ç ÷è ø

æ ö= ç ÷

è ø

(2.34)

그리고 공 면 i s iA d hp= 가 다. 그러면 리 스를 통과

여 베어링 막내 러들어 는 량 구 있게 다.

,

1121 2

2 , ,

,

1,

2

1

2,

1

sh

sh

i j

sh

sh

k

k ki j i jS

S d S i j

S S

k

ki j

S

p pp kq C d h

k p pRT

p

p k

p

+

-

é ùæ ö æ öæ ö ê ú= × × -ç ÷ ç ÷ç ÷ ê ú-è ø è ø è øê úë û

æ ö> ç ÷+è ø

(2.35)

2) choked condition에 질량 량

주어진 공 공 상태에 해 출구에 공 속도가 속

에 도달했 , 질량 량 값에 도달 게 다.

*

1, 2

1

sh

sh

k

ki j

S S

p p

p p k

-æ ö£ = ç ÷

+è ø 여 상첨자 * 는 속상태 리량

나타내는 이다. 그러면 이 상태에 질량 량

,

* * *

i js dq C A Vr= × × × (2.36)

- 23 -

이고

1*

1

2

1

2

1

sh

sh

sh

sh

k

k

s

sh

k

ks

s sh

k

p

RT k

r r-

-

æ ö= ç ÷

+è ø

æ ö= ç ÷

+è ø

(2.37)

1

2* 2

1sh

s

sh

kV RT

k

æ ö= ç ÷

+è ø

(2.38)

가 다. 그러면 속에 도달했 질량 량 다 과 같이 구

해진다.

,

1

2 1 1,

,

2 2 2,

1 1 1

sh sh

sh sh

i j

k k

k ki jS sh

S d S i j

sh sh S sh

pp kq C d h

k k p kRTp

- -æ ö æ ö æ ö= × × £ç ÷ ç ÷ ç ÷

+ + +è ø è ø è ø

(2.39)

식(2.35) 식(2.39)를 다 과 같이 차원 다.

, ,2 3

,3

12

12

i j i jS S

a o

d oi j S

a o

RTQ q

p h

C A RTH P

p h

m

m

=

= × ×F

(2.40)

여

- 24 -

1

2 1 1,

111 2 2

2 1, , ,

2 2 2,

1 1 1

2 2,

1 1

sh sh

sh sh

sh sh

sh sh sh

k kk ki jsh

sh sh S

k k

k k ki j i j i jsh

sh S S S sh

pk

k k p k

p p pk

k p p p k

- -

+

-

æ ö æ ö æ öF = £ç ÷ ç ÷ ç ÷

+ + +è øè ø è ø

é ùæ ö æ ö æ ö æ öê ú= - >ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ê ú- +è ø è ø è ø è øê úë û

이며, oA 는 면

o s oA d hp= (2.41)

이다. 여 차원 계 SG 를 다 과 같이 다.

3

12 d oS

a o

C A RT

p h

mG = (2.42)

라 차원 량 ,i jSQ 는 다 과 같이 차원 변 들 시

있다.

, ,i jS S S i jQ P H= G F (2.43)

미소 변 에 란 량식 다 과 같이 도 며 이를

0P , 1P , 2P 공이 에 경계 조건 사용 다.

, 1 2i jS oQ Q Q x Q y= + + (2.44)

란항 oH , 1H , 2H oP , 1P , 2P 를 식에 입 여 0차 1

차 란 매개변 에 해 리 면 각 조건에 식(2.45), 식

- 25 -

(2.46) 식(2.47)과 식(2.48), 식(2.49)_ 식(2.50) 얻 있다.

1) choked condition

1, 2

1

sh

sh

k

ki j

S sh

p

p k

-æ ö£ ç ÷

+è ø

1

2 12 2

1 1

sh

sh

k

k

o S S o

sh sh

kQ P H

k k

-æ ö æ ö= G ç ÷ ç ÷

+ +è ø è ø

(2.45)

1

2 1

1 1

2 2

1 1

sh

sh

k

ksh

S S

sh sh

kQ P H

k k

-æ ö æ ö= G ç ÷ ç ÷

+ +è ø è ø

(2.46)

1

2 1

2 2

2 2

1 1

sh

sh

k

ksh

S S

sh sh

kQ P H

k k

-æ ö æ ö= G ç ÷ ç ÷

+ +è ø è ø

(2.47)

2) un-choked condition

1, 2

1

sh

sh

k

ki j

S sh

p

p k

-æ ö> ç ÷

+è ø

111 2 2

22

1

sh

sh sh

k

k ksh o o

o S S o

sh S S

k p pQ P H

k p p

+é ùæ ö æ ö æ öê ú= G -ç ÷ ç ÷ ç ÷ê ú-è ø è ø è øê úë û

(2.48)

- 26 -

2 1

1 1

1121 2

2

1

112 2

1

12

22

1

sh

sh sh

sh

sh sh

sh

sh sh

k

k ko sh o

o

sh S S sh S S

k

k ko osh

S SS Ssh

k

k ko o

S S

p k pp pH

k p p k p p

p pkQ P

p pk

p pH

p p

-

+

+

é é ùæ ö æ ö æ ö æ ö+ê ê ú-ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ê ê úè ø è ø è ø è øê ê úë û

é ùæ ö æ öæ ö ê ú-= G ç ÷ ç ÷ç ÷ ê ú- è ø è øè ø ê úë û

é ùæ ö æ öê ú+ -ç ÷ ç ÷ê úè ø è øê úë ûë

ùúúú

ê úê úê úê úê úê úê úê úê úê ú

û

(2.49)

2 1

2 2

1121 2

2

2

112 2

1

12

22

1

sh

sh sh

sh

sh sh

sh

sh sh

k

k ko sh o

o

sh S S sh S S

k

k ko osh

S SS Ssh

k

k ko o

S S

p k pp pH

k p p k p p

p pkQ P

p pk

p pH

p p

-

+

+

é é ùæ ö æ ö æ ö æ ö+ê ê ú-ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ê ê úè ø è ø è ø è øê ê úë û

é ùæ ö æ öæ ö ê ú-= G ç ÷ ç ÷ç ÷ ê ú- è ø è øè ø ê úë û

é ùæ ö æ öê ú+ -ç ÷ ç ÷ê úè ø è øê úë ûë

ùúúú

ê úê úê úê úê úê úê úê úê úê ú

û

(2.50)

상 같 조건 부 Fig. 2.3에 보인 공 베어링

차 에 공이 존재 는 경우, 공 출구에 는

얻 있다.

- 27 -

2.2 자 베어링

2.2.1 자 베어링 본 구

Fig. 2.5 Conventional active magnetic bearing

일 자 베어링 Fig. 2.5과 같이 상 체를 지지

자 구동 가 마주보고 어 있 며, 이를

구동 워 앰 가 각 구동 에 연결 어 있다. 그리고

상 체 를 를 요 며, 신

입 어 고리즘 행 는 2개 어

1개 어 구 어 있다.

자 베어링 상 체가 공 에 부양 에 일 인 구

름 베어링과 달리 베어링과 상 체 사이에 계 인 마찰이 없

다. 라 마찰에 열이 요시 는 고속 회 축 경우에

리 다 있다. 이 요 없 므 진공 상태에 운

이 가능 며 청 경 속에 작동 요 는 경우에 독보

인 를 갖는다. 구름 베어링 경우 시스 고 진동 에

- 28 -

운 이 힘들지만, 자 베어링 능동 어가 가능 므 어

게인 조 통 여 베어링 시스 강 조 여

체 회 축 시스 고 진동 역 어 운 이 가능 다.

2.2.2 자 구동

Fig. 2.6 Magnetic actuator model

Fig. 2.6는 자 구동 작동상태를 모식 나타낸 그림이다.

그림에 v는 일에 인가 는 , i 는 일에 르는 ,

R 일 항, L 일 인 스, aA 는 자속이 르는 공

극 단면 , s는 공극 거리를 나타낸다.

우 자 회 에 다 과 같 가 다.

1) 공극 외 고 자속 철심 통 여 모 른다. 즉 자속

없다고 가 다.

2) 철심 자 공 자 보다 충분히 크다

3) 자가 이 철심 나 공극 통과 에는 철심에

- 29 -

직 게 나 다.

이 , 자속 F 자 F 계는 다 과 같이 나타낼 있다.

F RF= F× (2.51)

일 를 n이라 면 다 과 같 계가 립 다.

F ni= , 1

a

lR

AmF = , 0 rm m m= (2.52)

식 (2.51)과 (2.52) 부 자속 구 면 다 과 같다.

0 0 0

2 12

Fe Fe

a r r

F ni ni

lsR ls

A A Am m m m mF

F = = =æ ö+ +ç ÷è ø

(2.53)

강자 체 어를 사용 다면, 2Fe

r

ls

m이므 식 (2.53) 다 과 같

이 리 다.

0

2anA i

s

mF = (2.54)

인 스 L 부 식 (2.54)를 이용 여 리 면 다 과

같다.

20

1 1

2a

nL n A

i sm

Fº = (2.55)

- 30 -

공극에 장 에 지 aW 를 자속 aH , 공극 부 aV

나타내면 다 과 같다.[44]

1 12

2 2a a a a a a aW B H V B H A s= = × (2.56)

이 , 힘 계를 구 면 식 (2.57)과 같다.

2

0

a a aa a a

dW B Af B H V

dy m= = = (2.57)

2 2 22

0 0 2 2

1

2 4a a

ni i if A n A k

s s sm m

æ ö= = =ç ÷

è ø (2.58)

20

1

4ak n Am= (2.59)

식 (2.58)에 보듯이 자 베어링 힘 곱에 다.

라 자 베어링 어 고리즘 이용 여 어 는 경

우에 작동 근처에 여야 다.

2.2.3 자 베어링 등가 특

자 구동 견인 f 는 식 (2.58)과 같이 이동체 x

일에 르는 i 함 주어진다. 라 2개 자 베

어링 Fig. 2.7과 같이 여 작동 부근에 가 요

다. bi 를 편향 라 고, pi 를 어 라 면 쪽 구동 에

는 합 b pi i+ 인가 고 쪽에는 b pi i- 를 인가 다.

이 일이 상 체에 미 는 힘 크 는 식 (2.58) 부

- 31 -

다 과 같다.

Fig. 2.7 Current control scheme of differential type AMBs

( )( )

2

2

0

b pi if k

s y+

+=

- (2.60)

( )( )

2

2

0

b pi if k

s y-

-=

+ (2.61)

식 (2.60)과 식 (2.61) 부 일 합 구 면 다 과 같다.

( )( )

( )( )

2 2

2 2

0 0

b p b p

y

i i i if f f k

s y s y+ -

ì ü+ -ï ï= - = -í ý

- +ï ïî þ

(2.62)

견인 f 를 해, 식 (2.62) 같이 y 향

- 32 -

작용 는 견인 작동 0y y= , ,0p pi i= 에 truncated 일러 시

리즈(Taylor series) 면,

( ) ( )0 ,0

0 ,00 ,0

,0 0,

,,

p p

p pp p

y p py y i ip y y i iy y i i

f ff f i i y y

i y= =

= == =

¶ ¶= + - + - +

¶ ¶K

(2.63)

식 (2.63)에 강 yk 강 ik 는 래 같이 다.

0 ,0

2

30,

4

p p

by

y y i i

kifk

y s= =

¶º - = -

¶ (2.64)

0 ,0

20,

4

p p

bi

p y y i i

kifk

i s= =

¶º =¶

(2.65)

자 구동 강 yk 자 구동 심에

이동체에 미소변 가 생 경우에 자 변 이며,

항상 값 갖는다. 이는 자 간극 크 에 므 ,

이동체 움직임이 있는 향 욱 게 작용 이다.

라 드 어 지 는 자 구동 는 항상 불 다.

자 구동 강 ik 는 이동체가 심에 했

자 구동 일에 르는 변 에 자 변

다. 여 , 변 는 pi 에 해 만 존재 므 작

동 이득 0y = 에 어 pi 변 에 자 변

볼 있다.

- 33 -

Fig. 2.8 Force on 1 D.O.F. magnetic actuator

불 자 구동 를 시키 여 드 어

를 이용 여 폐루 를 구 며, 자 구 는 가지 분인

강 과 강 이용 여 자 구동 자 변

부 일 인 구동 동특 에 해당 는 등가 강 등가

감쇠를 도출 있다. 자 구동 지지 특 부

등가 강 등가 감쇠를 얻 해 이동체 운동 모델 구

다. Fig. 2.8는 1자 도 이동체에 가해지는 자 W 외 extf 과,

자 구동 강 yk , 강 ik 어 pi 그리고

이동체 질량 보상 0pi 에 힘이 도시 어 있다. 이 부

이동체에 가해지는 힘 사이 평 식 구 면 식(3.16)과 같

다.

0ext y i p i pf m y k y k i k i W= × + × + × + × +&& (2.66)

만약 0i pk i W× = 가 도 , 즉 가 이동체 상쇄

도 0pi 를 면 식 (2.66) 우변 4항과 5항이 소거 다.

- 34 -

ext y i pf m y k y k i= × + × + ×&& (2.67)

상 상태에 해를 구 해 이 식 라 라스 변 면, 식

(2.68)과 같다.

( ) ( ) ( ) ( )2ext y i pF s m s k Y s k I s= × + × + × (2.68)

라 , 이동체에 가해진 힘과 그에 른 변 사이 상 계는

다 과 같이 리 다.

( )( ) 2

1

ext i p y

Y s

F k I s m s k=

- × × + (2.69)

여 ( )ext i pF k I s- × 는 이동체가 가해지는 외 이다. 식

개루 (open loop) 달함 도는 Fig. 2.9 같 며 0yk <

이므 시스 불 다.

Fig. 2.9 Block diagram open loop system

- 35 -

Fig. 2.10 Block diagram closed loop system

Fig. 2.10 에 보여지는 폐루 자 구동 시스 달함

는 식 (2.70)과 같다.

( )( )2

1

ext y i

Y s

F m s k k K s=

× + + × (2.70)

Fig. 2.11 1 D.O.F. actuator model

- 36 -

식 폐루 자 구동 시스 달함 이를 일 인

구동 강 과 감쇠 여 Fig. 2.11과 같이 모델링

일 인 구동 1자 도 지지 모델 달 함 해

야 다. 구동 강 이동체 변 에 른 지지 변

이며 감쇠는 이동체 변 속도에 른 지지 변

이다. 1자 도 지지 모델 이용 여 계 운동 식

면 다 과 같다.

( ) ( )ext eq eqf m y c y k yw w= × + +&& & (2.71)

식 (2.71) 라 라스 변 면, 가진에 상상태에

달 함 는 식 (2.72) 같다.

( )( ) ( )2

1

ext eq eq

Y s

F m s c s kw w=

× + + (2.72)

그러므 자 구동 달 함 인 식 (2.70)과 식 (2.72)를 등가

놓 면 자 구동 등가강 eqk 과 등가감쇠 eqc 를 구

있다.

( ) ( ) ( )y i eq eqk k K s c s kw w+ × = + (2.73)

식 (2.73) 해를 상상태 함 가 여 s jw=

여 실 부 허 부를 분리 면

( ) ( ) ( ) ( )Re Imeq eq y i ij c s k k k K j jk K jw w w w w× + = + × + ×é ù é ùë û ë û

(2.74)

- 37 -

식 (2.74) 실 부 허 부를 분리 여 다시 등식 우면 종

인 자 구동 등가 강 eqk 에 식 (2.75)과 등가 감쇠

eqc 에 식 (2.76)를 얻 있다.

( ) ( )Reeq y ik k k K jw w= + × é ùë û (2.75)

( )( )Imi

eq

k K jc

ww

w

× é ùë û= (2.76)

이에 라 자 구동 1자 도 모델 이용 여 자 구동

자 부 자 구동 등가 강 등가 감쇠를

도출 있다. 지만, 여 도출 등가 강 등가 감쇠 모

델 가진 이 함 에 여만 효 므 , 이 역 또는

인 외란에 답 특 해 에는 차를

있다.

자 구동 강 강 이동체 미소 변

에 에 값이므 이동체 변 가 과도 경우 자

에 인 차를 보 어 다. 또 등가 강

등가 감쇠 모 어 ( )K jw 함 이므 자 구동

지지 특 어 역폭에 존 이다. 그러므 어

이득 특 원 는 주 역에 여 계 여야 다.

2.2.4 자 베어링 어

Fig. 2.12 Control block diagram of AMB

- 38 -

2.2.3장에 언 했듯이 자 베어링 시스 게 해

는 드 어가 요 다. 자 베어링 드 어는 보통

나 어를 통 여 이루어지는데, 본 연구에 는 드

통 여 구 다. 드 어를 경우 체 시스 다

이어그램 Fig 2.12과 같이 구 다.[44]

증폭 에 자 베어링 일에 르는 를 여 이

를 어 에 드 다. 어 는 어 부 계

산 지 부 어 고리즘에 라

증폭 입 신 를 계산 다. 어 는 자 베어링 시스

상 체 를 드 어 지 를 계

산 다. 이 어 답 어 답 속도보다

충분히 빨라 어가 어에 여 지 도

다.

2.2.5 자 베어링 어 고리즘

자 베어링 일에 르는 를 어 여 PI 고리즘

사용 며, 어를 해 PD 고리즘 사용

다. 일에 르는 어 연속 시간 역에

도를 살펴보면 Fig. 2.13 같다.

Fig. 2.13 Current control block diagram in continuous-time

이 CK 는 어 를 P 는 일 달 함 를 나타낸다.

- 39 -

과 달 함 를 구 면 다 과 같다.

( )( )

( ) ( )( ) ( )1

1

11

C

C

IP

IP

I s K s P s

V s K s P s

KK

s Ls R

KK

s Ls R

=+

æ öæ ö+ ç ÷ç ÷

+è øè ø=æ öæ ö

+ + ç ÷ç ÷+è øè ø

(2.77)

이 , 어 P게인과 I 게인 다 과 같이 있다.

, P C I CK L K Rw w= = (2.78)

Cw 는 차단 주 (cutoff frequency)를 나타낸다. 식 (2.78) 식(2.77)

에 입 여 리 면 다 과 같다.

( )( ) 1

C

C

C C

I s sV s s

s

ww

w w= =

++ (2.79)

식 (2.79)에 살펴보면 어 루 차단 주 를 면 1

차 역 통과 같이 과 달함 가 리 다.

어를 지 신 처리 장 에 구 여는

이산 가 요 며, 이에는 다양 법이 존재 다. 본 연구에 는

MPZ 법 사용 다.[48]

- 40 -

( )1 1

1

1 1

11

1 1

, ,

Ddp

Id

NT TId I Dd

TT z zK z k

T z T z

T T T NT e

n

n

- --

- -

-

æ ö-= + +ç ÷

- -è ø

= = =

(2.80)

T : sampling period

식 (2.80) 이산 PID 어 달 함 를 보여 다.

( )1k ku K z e-= (2.81)

식 (2.81)에 같이 입 e , 출 u라 면 각각 항목

래 식 (2.82) 식 (2.83)과 같이 나타낼 있다. 또 출

ku 는 각 항 함 써 식 (2.84) 같이 리 있다.

1 1I Ik k k

Id

Tv v e

T- -

æ ö= + ç ÷

è ø (2.82)

( )1 1D D Ddk k k k

Tv v e e

T- -

æ ö= + -ç ÷

è ø (2.83)

( )I Dk p k k ku k e v v= + + (2.84)

이 부 일 어 체 도를 Fig. 2.14에 나타

내었다. 체 어 어를 2개 어 루

가 실행 고 있다.

- 41 -

Fig. 2.14 total control block diagram

- 42 -

2.3 -베어링 모델링

공 베어링과 자 베어링 회 축 구 시스 모

델링 행 다. 회 축 1차 굽힘 모드 래에 운 므

강체 가 다. 또 축 향 운동 본 연구에 찰 상이

니므 외 었다.

2.3.1 운동 식

Fig. 2.15 Schematic of the rotor-bearing system with aero-static and magnetic

hybrid bearings

Fig. 2.15에 도식 나타낸 공 베어링과 자 베어링 시

스 운동 식 래 같이 있다.

, , , ,ASB xA ASB xB AMB xA AMB xBmx f f f f= + + +&& (2.85)

, , , ,ASB yA ASB yB AMB yA AMB yBmy f f f f= + + +&&

, , , ,y z ASB xA ASB xB AMB xA AMB xBI I af bf cf dfb a- W = + + +&& & (2.86)

- 43 -

, , , ,x z ASB yA ASB yB AMB yA AMB yBI I af bf cf dfa b- + W = + + +&&&

seAx c xb= + (2.87)

seBx d xb= +

seAy c ya= - + (2.88)

seBy d ya= - +

이를 행 태 나타내면 식 (2.89) 같다.

+ = +

=

C S ASB C M AMB

S C

Mq Gq T u T u

y T q

&& & (2.89)

( ) ( ) ( ), , , , , , , , , , , ,T T

y x seA seB seA seBdiag I m I m x y x x y yb a= = - =M q y

, ,

, ,

, ,

, ,

0 0 0

0 0 0 0, , ,

0 0 0

0 0 0 0

ASB xA AMB xAz

ASB xB AMB xB

ASB yA AMB yAz

ASB yB AMB yB

f fI

f f

f fI

f f

W é ù é ùé ùê ú ê úê úê ú ê úê ú= = =ê ú ê úê ú- Wê ú ê úê úê ú ê úë û ë û ë û

ASB AMBG u u

0 0 0 0 1 0 0

1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0, ,

0 0 0 0 0 0 1

0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1

a b c d e

f

a b c d e

f

é ù é ù é ùê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú= = =ê ú ê ú ê úê ú ê ú ê úë û ë û ë û

C S C M S CT T T

공 베어링에 작용 ASBu 는 공 베어링 강

특 며, 자 베어링에 힘 AMBu 는 베어링에

변 일에 르는 태 래 같이

있다.

- 44 -

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

, ,

, ,

, ,

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

ASB xx ASB xy ASB A

ASB xx ASB xy ASB B

ASB yx ASB yy ASB A

ASB yx ASB yy ASB B

ASB xx ASB xy

ASB xx ASB xy

ASB yx ASB yy

ASB yx ASB yy

k k x

k k x

k k y

k k y

c c

c c

c c

c c

é ù é ùê ú ê úê ú ê ú= -ê ú ê úê ú ê úê ú ë ûë û

é ùê úê ú-ê úê úê úë û

ASBu

&,

,

,

,

ASB A

ASB B

ASB A

ASB B

x

x

y

y

é ùê úê úê úê úë û

= - -ASB ASB,b ASB ASB,bK q C q

&

&

&

&

(2.90)

,

,

,

,

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

xA AMB A

xB AMB B

yA AMB A

yB AMB B

xAiA

xBiB

yAiA

yBiB

k x

k x

k y

k y

ik

ik

ik

ik

é ù é ùê ú ê úê ú ê ú= -ê ú ê úê ú ê úê ú ë ûë û

é ùé ùê úê úê úê ú+ê úê úê úê úê úë û ë û

= - +

AMB

s AMB,b i

u

K q K i

(2.91)

여 벡 bq 는 공 베어링 자 베어링에 변

를 나타내며, 벡 i 는 자 베어링에 르는 를 나타낸다.

식(2.90) 식 (2.91) 식 (2.89)에 입 면 래 같 식 (2.92)

를 얻 있다.

( )( )

+ = - -

+ - +

=

C S ASB ASB,b ASB ASB,b

C M s AMB,b i

S C

Mq Gq T K q C q

T K q K i

y T q

&& & &

(2.92)

- 45 -

,

,

,

,

1 0 0

1 0 0

0 0 1

0 0 1

ASB A

ASB B

ASB A

ASB B

x a

x b x

y a

y b y

b

a

é ù é ù é ùê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú= = = =ê ú ê ú ê ú-ê ú ê ú ê ú

ë û ë ûë û

TASB,b C S C Sq T q T q (2.93)

,

,

,

,

1 0 0

1 0 0

0 0 1

0 0 1

AMB A

AMB B

AMB A

AMB B

x c

x d x

y c

y d y

b

a

é ù é ù é ùê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú= = = =ê ú ê ú ê ú-ê ú ê ú ê ú

ë û ë ûë û

TAMB,b C M C Mq T q T q (2.94)

식 (2.93) 식 (2.94) 부 공 베어링과 자 베어링

부 회 축 변 를 있 며, 식 (2.92)에 입 여

리 면 식 (2.95)과 같이 다.

( ) ( )ASB ASB sS C M iMq + G + D q + P + K q = T K i&& & (2.95) T T

ASB C S ASB C S ASB C S ASB C SP = T K T ,D = T C T

( )= = =TT Τ T Τ

sS C Μ S C Μ C Μ S C Μ sSK Τ Κ Τ Τ Κ Τ K

2 2

2 2

0 0

0 0

0 0

0 0

xA xB xA xB

xA xB xA xB

yA yB yA yB

yA yB yA yB

k c k d k c k d

k c k d k k

k c k d k c k d

k c k d k k

é ù+ +ê ú

+ +ê ú=ê ú+ +ê ú

+ +ê úë û

sSK

식 (2.95)에 공 베어링 강 행 ASBK 행 ASBC

자 베어링 강 xk , yk 를 회 축 질량 심 좌 변

면 행 ASBP , ASBD sSK 있다.

- 46 -

, ,

, ,

, ,

, ,

xA g A seA g A seA

xB g B seB g B seB

yA g A seA g A seA

xA g B seB g B seB

i P x D x

i P x D x

i P y D y

i P y D y

= - -

= - -

= - -

= - -

&

&

&

&

(2.96)

자 베어링에 르는 는 어 P , D게인과 장착 변

부 획득 회 축 변 변 부 추 속도에 해

식 (2.96)과 같이 나타난다. 이를 벡 태 면 식 (2.97)

같다.

( )

( ) ( ), , , , , , , ,, , , , , , ,g A g B g A g B g A g B g A g Bdiag P P P P diag D D D D= =

i = - Py + Dy

P D

& (2.97)

식 (2.97)를 식 (2.95)에 입 고 리 함 써 회 축 운동

식 래 같이 식 (2.98) 나타난다. 여 자 베어링 폐

루 어에 강 행 cP 과 행 cD 이 리 다.

( ) ( )ASB c ASB sS c

c C M i S C c C M i S C

Mq + G + D + D q + P + K + P q = 0

P = T K P T , D = T K D T

&& & (2.98)

이를 상태공간 태 면 식 (2.99)과 같고 상태공간행 과 특

식 태인 식 (2.100) 나타난다.

- 47 -

( ) ( )

[ ]

é ùé ù é ù= ê úê ú ê ú- + + - + +ë û ë ûë û

é ù= ê ú

ë û

-1 -1ASB sS c ASB c

S C

0 Iq q

M P K P M G D Dq q

qY T 0

q

& &

&

(2.99)

( ) ( )é ùê úë û

-1 -1ASB sS c ASB c

0 IA =

-M P + K + P -M D + G + D

det(λI - A) = 0

(2.100)

2.3.2 심 궤

회 축 축 심 운동 살펴보 여 식 (2.101)과 같이 리

스 를 이용 다. 리 스는 작용 에 변 써 회

축과 같이 외부 부 작용 는 힘에 답 특 보고자

경우 용 다.

receptancex

f= (2.101)

리 스 식 (2.101) 부 회 축 심 변 는 래

같이 식 (2.102) 다.

, , ,

, , ,

r xx r xy U x

r yx r yy U y

R R fx

R R fy

é ù ì üì ü=í ý í ýê ú

î þ ë û î þ (2.102)

회 축 불평 질량 부 생 는 가진 조 함 태

있 며, 이는 식 (2.103) 같다.

- 48 -

2,

2,

cos

sin

U x

U y

f mr

f mr

q

q

= W

= W (2.103)

식 (2.103)를 식 (2.102)에 입 고 리함 써, 회 축 경

향 변 는 식 (2.104)과 같다.

( )( )

2

2

cos sin

cos sin

xx xy

yx yy

x mr R R

y mr R R

q q

q q

= W +

= W + (2.104)

얻어 진 회 축 변 상 인 를 해 다 과 같이 평균

다.

( )

( )

2

2

cos sin

cos sin

xx xy

yx yy

xx R R

mr

yy R R

mr

q q

q q

= = W +

= = W +

%

%

(2.105)

- 49 -

3. 베어링 모델 분

공 베어링 특 를 계산 여 2.1장에 이놀

즈 식 통 여 공 베어링 강 계 계산

시 며, 2.2장에 는 자 베어링 어 법

강 강 나타내었다. 이어 2.3장 통해 -베어링

모델 시 다. 이를 통 여 공 베어링과 자 베어링이 함

께 용 회 축 특 살펴보고자 다.

3.1 공 베어링 특

-베어링 모델 공 베어링 사양 Table 3.1과 같

다. 공 베어링 직경과 베어링 폭 약 1:1 가지고

있 며, 베어링 폭 50mm 이다. 공 베어링에 축공 를 공

공 0.2mm이며, 원주 향 12개 공

가지고 있 며, 축 향 2열 열 고 있다. 외부 부 가

는 4.0bar를 이용 고, 회 축과 베어링 사이 공

극 30μm 다.

Table 3.1 Specifications of the ASB

Parameter Value Unit

Air supply diameter 0.2 mm

Nominal air gap 30.0 μm

Bearing diameter 49.0 mm

Bearing width 50.0 mm

Supply pressure 4.0 bar

Configuration 2 row, 12 column -

- 50 -

3.1.1 공 베어링 특

공 베어링 특 베어링 편심 에 여 지지

용량 있다. 회 축 회 이 없고, 외부 부 일

축 공 가 공 면, 지지용량 Fig. 3.1과 같이

편심 증가에 여 인 결과를 보인다. 래 그림

Table 3.1 조건에 여 베어링 공극 변 에 지지용

량 크 를 나타내고 있다.

Fig. 3.1 Eccentricity vs static force

3.1.2 공 베어링 동특

공 베어링 회 시작함에 라 동특 이 부여 다. 회

축이 회 시작함에 라 베어링 과 베어링 틈새에 생

는 상에 미 갖는 공 단 동에

동 이 생 게 고, 그 합 이 에 작용 게 다.

- 51 -

(a) Stiffness characteristics

(b) Damping characteristics

Fig. 3.2 Stiffness and damping of ASB with increase in the rotating speed

Fig. 3.2에 공 베어링 강 특 회 축 회

에 라 도시 다. 주강 축 회 속도가 증가함에 라

약간 증가 는 경향 나타내고 있고, x, y 향 크 가 거 사

- 52 -

함 있다. 면 연 강 경우 칭 태를 가진

다. 즉 축이 회 함에 라 그 작용 향이 칭임 있

다. 면에 특 살펴보면, 주 격 감소 연

증가 인 여 그 크 가 사 며, 칭 특 가지고 있

있다.

공 베어링 지지 축 그 속도가 증가함에 라 동

효과에 여, 심이 작용축 y 이루는 자 각과 편

심 이 연속 변 다. 자 각 회 속도 증가에 라 지속

증가 며, 편심 연속 감소 는 경향 보인다. 회

축 속도에 른 자 각과 편심 Table 3.2에 나타내었고, 이

를 도시 면 Fig. 3.3과 같다.

Table 3.2 Locus of journal center

rpm X 1000 10 20 30 40 50 60

attitude angle 2.374 4.443 6.002 7.037 7.639 7.931

eccentricity ratio 0.129 0.127 0.124 0.121 0.118 0.116

Fig. 3.3 Locus of journal center with increase in the rotating speed

- 53 -

3.2 자 베어링 특

본 연구에 고속 고 공작 계 스 들 폭 -베

어링 모델에 자 베어링 사양 Table 3.3과 같다. 자 베어

링 8pole 어 태를 지니며, 지지용량 인 5.5A

에 약 300N 계 었고, 이 베어링 공극 0.3mm이다.

Table 3.3 Specifications of the AMB

Parameter Value Unit

Load capacity 300 N

Nominal air gap 0.3 mm

Area of pole face 160 mm2

Coil turns 80 -

Maximum current 5.5 A

Fig. 3.4에 자 베어링 일에 르는 지지용량 특

도시 다. 지지용량 곱에 며, 식 (5.28)에

여 계산 값이다. 이는 자 베어링 효 이 고 지

값 실 값 상회 다. Fig. 3.5 Fig. 3.6 자 베어링

특 값인 강 과 강 일에 르는 값에 여

도시 다. 식 (2.65) 부 는 강 에 다.

지만 식 (2.64)에 해 강 곱에

며, 값 가지게 다.

- 54 -

Fig. 3.4 AMB force vs coil current

Fig. 3.5 Force-current factor vs coil current

- 55 -

Fig. 3.6 Force-displacement factor vs coil current

Fig. 3.7 FEM 해 소 트웨어인 ANSYS를 사용 여 경 향

자 베어링에 해 진행 다. 베어링 일에 1A, 3A

5A 가 르는 상황에 자 베어링과 회 축 부에

는 럭스를 계산 고, 약 0.26T, 0.75T 그리고 1.3T 럭스

가 인 다. 이 부 사용 실리 어 허

용 를 과 지 면 베어링이 지지용량 갖

있 이 인 었다.

- 56 -

(A) coil current: 1A

(b) coil current: 3A

- 57 -

(c) coil current: 5A

Fig. 3.7 Magnetostatic flux analysis using ANSYS

3.3 -베어링 시스 분

3.3.1 -베어링 시스 사양

Fig. 2.12에 나타나 있는 -베어링 시스 도식도 부 Table

3.4에 공 베어링, 자 베어링 변 가 장착

회 축 를 입 다. 회 축 약 5.2kg이며, 350mm

이를 가진다. 회 축 심에 축 회 모 가 존

재 며, 모 좌우에 공 베어링 부가 존재 다.

이어 자 베어링에 해 지지 는 부분 에 커런트(eddy-current)

에 손실 지 고자 실리 스틸 여 작 다. 회

축 변 는 축 양 단에 었 며, 이

는 강체모드 역에 운 는 축 운동 명 게 나타낼

있다.

- 58 -

Table 3.4 Parameters of the rotor-bearing system

System Parameter Value Unit

Mass 5.20 kg

Length 350 mm

Moment of inertia 5.68e-2 kgm2

Polar moment of inertia 0.165e-2 kgm2

a(ASB) -91.0 mm

b(ASB) 61.0 mm

c(AMB) -138 mm

d(AMB) 108 mm

e(sensor) -163 mm

f(sensor) 133 mm

3.3.2 -베어링 시스 특

2장에 시 식 (2.92)에 table 3.3에 시 리미 공

베어링 강 과 자 베어링 강 강

입함 써, -베어링 시스 고 (eigenvalue)를 구

있다. 이 부 회 축 계회 속도 시스 불

별이 가능 다. 또 시스 에 자 베어링 용함 써 얻

있는 이 구분 지 있다.

Fig. 3.8 공 베어링 사용 경우 자 베어링 추가

용함 써 나타나는 시스 험 계속도를 나타내고 있다. 자

베어링 용 통해 회 축에 작용 는 강 증가에 른

험 계속도 상승 엿볼 있다.

Fig. 3.9 -베어링 시스 폴 실 축과 허 축에

고 있다. 회 축 회 속도가 증가함에 라 폴이 허 축 근

고 있 며, 이 부 회 속도 증가는 시스 불

- 59 -

향 이 고 있 있다. 자 베어링 공 베어링 시

스 에 추가함 써, 시스 특 이 변함 인시 다. 자

베어링 용 통해 시스 폴이 체 좌 겨가고

있 이 인 며, 이는 시스 불 개 시키고 있다

단 있다. 이 자 베어링 어 P 게인

10,000A/m이며, D게인 6,0As/m이다.

Fig. 3.10는 자 베어링 게인 변 에 른 축 회

경 보여 다. 이는 식 (2.97)에 평균 값이다. Fig. 3.9 (a)

는 어 P게인 변 에 른 답 특 나타낸다. P게인

증가 부 자 베어링 강 이 증 며, 이 부 일차 험 속

도 회 경이 증가 는 경향 보인다. 면에 Fig. 3.9 (b) 부

어 D게인 증가는 증가를 뜻 며, 이 부 일차

험속도에 회 경 감소를 가 다. 이 부 어

게인 조 함 써 회 축 답 특 변 를 꾀 있

인 다.

Fig. 3.8 Campbell diagram of rotor

- 60 -

(a) System poles

(b) Zoom in system poles

Fig. 3.9 System poles of the rigid rotor with and without AMB

(10,000~40,000rpm, P=10,000A/m, D=6.0As/m)

- 61 -

(a) Proportional gain variation (D=6.0As/m)

(b) Derivative gain variation (P=10,000A/m)

Fig. 3.10 Normalized maximum radius according to the rotating speed and

gain variations

- 62 -

4. -베어링 시스 작

Fig. 4.1 Schematic of hybrid aerostatic-magnetic bearing system

Fig. 4.1에 공 베어링과 자 베어링 지지 회 축과 공

베어링에 축공 를 공 장 자 베어링 어

회 축 속도 어를 인버 등 구 도식도를

나타내었다.

4.1 공 베어링

4.1.1 공 베어링 작

Table 3.1 사양 갖는 공 베어링 Fig. 4.2 같이 작

었다. 공 베어링에 축공 를 공 0.2mm 공

- 63 -

슈퍼 드릴 이용 여 드릴링 가공 다. 베어링 내경 연삭공

마 리 었다. 공 베어링 고 황동(high tensile brass)

사용 고, 베어링 우징 스 인리스강(SUS304)계열 사용

여 가공 다. 조립 시 공차를 소 베어링

우징 억지끼워맞춤 통해 조립 고, 조립 후 연삭 통해

가공에 차를 소 고자 다.

Fig. 4.2 Photo of the ASB

4.1.2 공 베어링 경 조건

공 베어링 동작 해 는 외부 부 가 공 를 베

어링과 회 축 사이 공극에 공 여야 다. 이 축 공

품질 또 요 요소라 있다. Fig. 4.4에 축공 품질에

국 (ISO8573-1:2010) 시 다. 실험 해 사용

축공 는 컴 를 통해 축 공 를 단 , 냉동 건조

말단 를 통과 여 분진, 증 , 일 거르고 있 며, 국

CLASS 1 만족 는 축 공 를 베어링에 공 고

있다. 이 조 를 거쳐 일 이 베어링에 공

있도 다. Parker사 조 가 사용 었고,

- 64 -

HANKISON 사 냉동 건조 를 사용 다.

Fig. 4.3 Compressed air filter & refrigeration dryer

- 65 -

Fig. 4.4 The international standard for compressed air quality

- 66 -

4.2 자 베어링

4.2.1 자 베어링 작

Table 3.3 사양 갖는 경 향 자 베어링 Fig. 4.5 (a) 같이

작 었다. 자 베어링 어는 0.5mm 실리 스틸 충 여

구 고, 이 부 베어링 손실 소 있도 다.

또 자 베어링 NNSSNNSS 태 자극 갖는 열 태를 사

용 며, 이는 x 향과 y 향 베어링 간 소

있고, 베어링 어 면에 이 이 있다. 또 자속

지 여 베어링 어를 감싸고 있는 우징 스 인

리스강(SUS304) 사용 여 작 며, 회 축 변 를

Bently Nevada 사 변 는 자 베어링 우징에 함

께 결합 었다. Fig. 4.5 (b)에 작 축 향 자 베어링 보여주

고 있다. 회 축 축 향 운동 구속 며, 축에 장착 축 향

스크 사이즈를 소 여, 회 축 도를 높이고자 다.

(a) Radial bearing

- 67 -

(b) Thrust bearing

Fig. 4.5 Photo of the AMB

4.2.2 자 베어링 어

본 연구에 는 자 베어링 시스 어 를 구 해

지 신 처리 장 를 사용 다. 사용 지 신 처리 장

는 Texas Instrument 사 TMS320C28346 이를 싱크웍스 사에

모듈 품 사용 다. Fig 4.6에 는 사용 DSP 장

모듈 보여주고 있다. TMS320C28346 주요 사항 Table 4.1에

다. 인 특징 는 FPU를 탑재 고 있어 실시간 부

동소 계산에 매우 강 능 보이고 있다. 이는 IQmath

같 번거 운 과 없이 매우 른 계산 구 있다.

- 68 -

Fig. 4.6 TMS320C28346 Syncworks Inc. DSP module

Table 4.1 Specification of the TMS320C28346

CPU 32bit C28X Core + 32bit 소 연산 닛(FPU)

연산능 300MHz / 300MMAC / 600MFLOPS

모리 RAM: 516kByte

타이 32bit CpuTimer 3개 / 16bit 범용 9개 / 독 1개

PWM PWM 18CH (ePWM 9개, 3.33nsec)

HRPWM 9CH (각 ePWMxA에 당, 60psec)

APWM 6CH ( eCAP 모듈 APWM 모드 사용시)

GPIO 88개

통신 SCI 3개 / SPI 2개 / eCAN 2개 / McBSP 2개 / I2C 1개

부트모드 SPI, SCI, eCAN, 내부 RAM, OTP, Parallel 등 14가지

Core: 1.2V, Clock: 1.8V, I/O: 3.3V

도범 T버 : -40도~105도

소개 DSP를 사용 여 자 베어링 시스 어 를 구

다. 어 사양 Table 4.2에 나타나있다. 종 작

어 태는 Fig. 4.7과 같다.

- 69 -

Table 4.2 Specification of the AMB controller

구분 특징 사양 사진

어

- 12ch. Controller

- 12ch. 25kHz PWM Signals

Output

증폭

- 4ch. Current Amp.

- RMS Output Current 6A

- LC filter

A/D

변

- 16bit 18ch. A/D Converters

- Range: -15V ~ +15V

- Excellent Signal to Noise

Performance

신

변

- 6 ch. Signal Converters

- Differential or Single Input

- 70 -

Fig. 4.7 AMB controller & current amplifier

4.3 -베어링 시스 작

4.3.1 작

축 회 운동 얻 여 E+A 사 트인 모 를 이용

다. Fig. 4.8 (a)에 모 (b)에 스 이 사진이 있다.

는 회 축과 열 통해 결합 며, 상 능

외경 사이즈가 해 있다. 또 스 이 는 연삭 공 통 마

감이 요 며, 루미늄 가공 워 자 과 열 공 통

해 조립 다.

회 축 부분에 모 가 존재 며, 좌우 부분

공 베어링에 해 지지 는 부분이 존재 다. 공

- 71 -

베어링에 해 지지 는 부분 스 인리스강(SUS304)를

사용 고, 자 베어링 어는 0.5mm 실리 스틸 여

구 었다. 쪽 단 축 향 운동 구속 스

크가 있 며, 이는 자 베어링에 해 구속 므 SM45C 재질 사

용 다. 작 사진 Fig. 4.9에 인 있다.

(a) rotor

(b) stator

Fig. 4.8 E+A built-in motor

- 72 -

Fig. 4.9 Photo of the rigid rotor

작에 ANSYS를 이용 여 FEM 해 이 진행 었다.

해 높이고자 열 조건 고 간 량이

었고, 자 베어링 부 실리 스틸 부분 계산 시간상

이 외 었다. Fig. 4.10에 보이는 같이 1차 굽힘 모드

는 약 780Hz에 나타났고, 2차 굽힘 모드는 약 2,482Hz에 나타나

고 있 인 다. 이 부 본 연구에 행 고자 는 회

속도를 상회 고 있 있다. 이어 작 임

펄스 스트를 행함 써, 작 축 모드를 인 있었

다. 임펄스 스트를 여, HP 사 신 분 (HP 35670A) 키

슬러 사 가속도 (KISTLER 8776A50) 키슬러 사 해

(KISTLER 9722A500)가 사용 었고 그 결과를 Fig. 4.11에 나타내었다.

임펄스 스트에 1차 굽힘 모드는 880Hz에 나타나고 있 며,

2차 굽힘 모드 생 2510Hz에 생 고 있다.

작 축 불평 질량 소 고자 런싱 작업이 이루어

다. Fig. 4.12는 작업 인 회 축 모습 나타내고 있 며, 이는

CEMB 사 런싱 계(ZB5 TC/GV)를 통해 이루어 다. Fig. 4.14

에 런싱 증명 를 첨부 다.

- 73 -

(a) 1st bending mode

(b) 2nd bending mode

Fig. 4.10 FEM analysis using ANSYS

- 74 -

Fig. 4.11 Natural frequencies of the rigid rotor through the impulse test

Fig. 4.12 Shaft balancing - CEMB

- 75 -

Fig. 4.13 CEMB balancing machine – ZB5 TC/GV

- 76 -

Fig. 4.14 Balancing certificate from Balance Tech

- 77 -

4.3.2 -베어링 시스

-베어링 시스 구조를 명 여 Fig. 4.15를 통해

3D 모델 단면 삽입 다. 모 냉각 워 자 통

해 냉각 를 통 냉각 이 이루어진다.

시스 우징 부 공 베어링 가 이루어 지

며, 우징과 공 베어링 이톤(Viton) 재질 링 사용

여 폐 었다.

Fig. 4.16 통해 우징과 회 축 공 베어링, 자 베어링

등이 조립 모습 사진 인 있다. 회 축 변

이 , 자 베어링 일에 를 르게

, 모 에 공 는 냉각 를 실리 스

공 베어링에 축공 를 공 명 고

스를 인 있다.

Fig. 4.15 Rotor-Bearing System 3D Modeling

- 78 -

Fig. 4.16 Photo of Rotor-Bearing System

4.3.3 실험 장 구

-베어링 시스 실험장 구 살펴보고자 다. 실험

구 Fig. 4.17에 사진 통해 나타내었다. -베어링 시스

이 주철 에 어있다. 공 베어링 작동

여 조 를 거쳐 축 공 가 공 고 있다. 자 베어링

작동 여 자 베어링 어 가 어 있고, 어 회

축 변 신 입 이 들어 며, 앰 를 통해 자 베어링

이 공 고 있다. 자 베어링에 DC 공 여

Agilent사 DC power supply가 그 역 담당 고 있다. 신

를 직 찰 여 Newport 사 실 스 커

런트 루 가 장착 어 있고, 변 신 를 획득 여

dSPACE 사 데이 획득 장 가 PC 연결 어 있다. 모 작

- 79 -

동 3상 인버 가 있 며, 모 속도 어를 PC가 인

버 연결 어 있다. 또 모 냉각 습식 열 가

장착 어 있다.

- 80 -

Fig. 4.17 Photo of the experimental set-up

- 81 -

5. 실험

공 베어링 지지 강체 회 축 회 실험 통해

체 불 인 고, 자 베어링 용 통해 불 극

복 있 회 실험 통해 보이고자 다.

5.1 공 베어링 불 인

공 베어링 지지 강체 회 축 회 실험 행

다. Fig. 5.1에 6,000rpm 부 27,000rpm 지 회 축 궤 도시

다. 12,000rpm 역에 1차 강체 모드가 나타나고 있 인

있고, 강체 모드가 나타나고 있는 상황에 도 부드러운 운 이

가능함 인 다. 이어 2차 강체 모드 출 이후 지속

회 궤 이 작 지고 있 이 인 가능 다. 27,000rpm 에 도달

여 작스런 궤 변 를 보이고 있다. 이는 언 Fig.

3.8에 보인 1차 강체 모드 약 2 속도에 생 고 있

있고, 이는 공 베어링 체 불 에 해 생

상이라 보인다. 공 베어링 불 회 축 베어링

손 불러 일 키므 , 상이 보이는 즉시 회 축 가속 지

함께 감속 었다.

Fig. 5.2는 회 축이 26,000rpm 에 27,000rpm 가속 고 있는

상황이다. 27,000rpm 속도 증가 함께 공 베어링 축

지지 지 못 고, 시간이 지남에 라 격 회

궤 변동 가 고 있다. 이 회 궤 경 베어링

공극과 사함 있 며, 회 축과 공 베어링

이 일어 날 있는 상황이라 있다.

- 82 -

Fig. 5.1 Orbits of the journal with only ASB: Red line is the front bearing

and Blue line is the rear bearing

- 83 -

Fig. 5.2 Front x-displacement of ASB (27,000rpm)

Fig. 5.3 Fig. 5.4에 공 베어링 지지 를 일

가속도를 가지고 가속 고 있는 상황에 water-fall plot 도시

다. 1차 강체 모드가 나타나고 있는 12,000rpm 시작 해

회 축 불 거동 보이는 27,000rpm 지 나타내었다. Fig. 5.3

(a)는 베어링 x 향에 그래 이며, Fig. 5.3 (b)에 는

베어링 y 향에 그래 를 보여 다. 이어 Fig. 5.4에 는 뒤

베어링에 그래 를 나타내고 있다. 장착 변 부 획

득 데이 를 이용 여, 주 특 보인 그래 동일 상

찰 있다. 27,000rpm 지 가속이 이후, 1차 강체 모드

인 200Hz 주 분이 작스럽게 증가 고 있 이 모든 그래

에 나타난다.

Fig. 5.5는 축 향 변 부 추출 회 축 주 에 른 특

보이고 있다. 회 축 경 향에 는 불 상이 보이고

있는 면에, 축 향 운동 그 거동에 이상이 생 고 있지

있 며, 이 부 경 향 운동이 축 향 운동에

향 거 미 지 는다 단 있겠다.

- 84 -

(a) X-displacement

(b) Y-displacement

Fig. 5.3 Water-fall plot of the front journal with only ASB

(12,000~27,000rpm)

- 85 -

(a) X-displacement

(b) Y-displacement

Fig. 5.4 Water-fall plot of the rear journal with only ASB

(12,000~27,000rpm)

- 86 -

Fig. 5.5 Water-fall plot of the thrust disk with only ASB

(12,000~27,000rpm)

5.2 자 베어링 용 통 불 극복

공 베어링 지지 회 축 불 거동 살펴보

다. 또 경 향 움직임이 축 향 움직임에 향이 작

있었다. 공 베어링 불 극복 고자 자 베

어링 이용 여 회 축 시스 강 변 를 꾀 고자

다. 실험 해 어 게인 복 실험 통해

값 었 며, 식 (2.80)에 보인 인자는 일

3~10 사이 결 어지나, 본 연구에 는 회 축 답 특 이

는 시 인 2 결 었다. 지 어 샘 링 시간

0.00004 , P게인 8000A/m이며 D게인 800μs 입 었다.

공 베어링과 자 베어링 지지 고 있는 회 축 회

실험이 행 었고, 그 결과는 다 그림에 도시 어 있다.

Fig. 5.6에는 6,000rpm 부 35,000rpm 지 회 궤 이 도시

어 있 며, 약 12,000rpm 과 18,000rpm 부근에 1차 강체 모드

- 87 -

2차 강체 모드가 나타나고 있 인 있다. 공 베어링

지지 회 축이 27,000rpm 에 불 보이고 있는 면

에 자 베어링과 공 베어링 복합 지지 고 있는 회 축

강체 모드를 어 면 지속 인 회 궤 감소 함께

35,000rpm 지 인 회 궤 보이고 있 있다.

Fig. 5.6 Orbits of the journal with both ASB and AMB: Red line is the front

bearing and Blue line is the rear bearing

- 88 -

(a) X-displacement

(b) Y-displacement

Fig. 5.7 Water-fall plot of the front journal with both ASB and AMB

(0~35,000rpm)

- 89 -

(a) X-displacement

(b) Y-displacement

Fig. 5.8 Water-fall plot of the rear journal with both ASB and AMB

(0~35,000rpm)

- 90 -

Fig. 5.9 Water-fall plot of the thrust disk with both ASB and AMB

(0~35,000rpm)

Fig. 5.7, Fig. 5.8 Fig. 5.9에 회 축 궤 에 water-fall plot

도시 다. Fig. 5.7 회 축 베어링, Fig. 5.8 뒤 베어링이며

Fig. 5.9는 축 향 운동에 주 특 보여 다. 회 축이

지상태 부 35,000rpm 지 가속 고 있는 상황 , 강체 모

드 그 이상 속도에 인 거동 고 있 이 인 었

다.

Fig. 5.10 회 속도에 평균 회 경 도시 다. 1차

강체 모드 2차 강체 모드는 거 슷 시 에 생 고 있

인 있다. 자 베어링 장착 인 여 1차 강체 모

드에 회 경이 상당히 작 있다. 이는 시스

증가를 미 다 있겠다. 공 베어링 지지 시

스 경우 27,000rpm에 격 회 경 증가를 인 가능

며, 이는 공 베어링 체 불 에 상이라 볼

있다. 이어 자 베어링 용 시스 강 증가

를 통해 35,000rpm 지 인 회 경 가지고 있 이 인

- 91 -

었다.

Fig. 5.10 RMS magnitudes of the front journal orbits with and without

AMB

- 92 -

6. 결

본 논 에 는 공 베어링 지지 회 축 체 불

에 회 축 불 거동 살 고, 불 극복

자 베어링 복합 용 연구를 행 다. 자 베

어링 복합 용함 써 회 축에 작용 는 베어링 강

변 를 가 다. 또 자 베어링 어 게인 변 를 통해

베어링 강 조 이 가능 다.

l -베어링 시스 모델링에 있어 공 베어링과 자 베

어링 복합 용함 써 나타나는 회 체 시스 답 특

인 고, 자 베어링 어 게인 변 에 른 시스

경향 인 다.

l 공 베어링 지지 회 축 회 실험 통해

27,000rpm 에 1차 강체모드 약 2 회 속도에 나타나

는 체 불 진동 인 다.

l 공 베어링 체 불 진동 극복 고자 자 베어링

복합 사용 고, 회 축 작동 속도를 35,000rpm

지 향상 시 다.

공 베어링 체 불 극복 여 회 축 인

회 속도를 높이는 자 베어링 복합 용 시

고, 이를 실험 통해 입증함 써 개 향 시

다.

- 93 -

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Abstract

Suppression of Fluid Induced Instability of an Aero-static

Bearing Rigid Rotor using an Active Magnetic Bearing

Hee-Do Jang

School of Mechanical and Aerospace Engineering

The Graduate School

Seoul National University

The industry development makes it wanted high precision, high speed, and

high stiffness of the spindle in the field of machining tools. High-speed

machining(HSM) is now recognized as the important manufacturing

technologies for higher productivity and throughput. HSM is characterized by

some advantages such as decreased cutting force, high chip removal rate, low

temperature increase, minimum reaction forces, and excellent surface quality.

In addition, HSM creates special demands on the machine tool design, the

adequate components and the numerical control.

One of the key technologies for HSM is a high-speed spindle supported by

high-speed and stiff bearings. Aero-static bearing(ASB) is a good candidate

for a high-speed spindle. Although the positioning accuracy of the ASB

spindle is very high, the characters of ASBs for high-speed spindles have

intrinsic limitations such as low load capacity and static stiffness as well as

inherent onset instability.

ASBs exhibit two types of instability: pneumatic and self-excited vibration

in non-rotating status called pneumatic hammering and fluid induced

instability by journal rotation. Although pneumatic hammering could be

avoided by using a gas supply restrictor, fluid-induced instability is very

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difficult to control due to the low damping capacity of the aerodynamic gas

film produced by journal rotation; it also disrupts the normal operation of

rotating machinery resulting in serious damage.

This paper presents an improvement of the high-speed stability of an ASB-

rotor system with an AMB. First, we build an experimental set-up of a rigid

rotor system supported with both ASBs and AMBs. Theoretical analysis

shows that high-speed operation may cause a fluid induced instability of the

ASB rotor supported with only ASB due to the low system damping. An

experimental run-up test with only ASB confirms the fluid induced instability

of the rotor bearing system. AMB has capability of adjusting stiffness and

damping of the system, and can effectively improve the fluid induced

instability in a high-speed operation. Finally, it is shown experimentally that

AMB can suppress the fluid induced instability of the ASB-rotor system as

well as extend the operating speed.

Key words: Aero-static bearing, Fluid induced instability, Active

magnetic bearing, Digital PD control, High speed & high precision rotor,

Improvement of rigid rotor stability

Student Number: 2008-30197