UNIVERZA V MARIBORU

FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO

Oddelek za matematiko in racunalnistvo

DIPLOMSKO DELO

Nina Jelen

Maribor, 2010

UNIVERZA V MARIBORU

FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO

Oddelek za matematiko in racunalnistvo

Diplomsko delo

YOUNGOVE TABLICE

Mentor: Kandidatka:

dr.Dusan Pagon Nina Jelen

Maribor, 2010

ZAHVALA

Z diplomsko nalogo se zakljucuje moje najlepse obdobje studijskega zivljenja. Zato bi

se ob tej priloznosti najprej rada zahvalila starsem, ki so mi omogocili studij in me na

tej poti spodbujali. Hvala moji sestri Ursi, fantu Zdravku in vsem mojim prijateljem,

ki so mi kakorkoli pomagali pri nastajanju diplomske naloge in za lepe spomine na

studijska leta. Iskrena hvala gre tudi mojemo mentorju, dr. Dusanu Pagonu, za

njegove nasvete in pomoc pri izdelavi diplomske naloge, ter za vso potrpezljivost in

cas, ki ga je porabil zame.

UNIVERZA V MARIBORU

FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO

IZJAVA

Podpisana Nina Jelen, rojena 07. maja 1985, studentka Fakultete za naravoslovje in

matematiko Univerze v Mariboru, smer enopredmetna pedagoska matematika, izjavl-

jam, da je diplomsko delo z naslovom

YOUNGOVE TABLICE

pri mentorju dr. Dusanu Pagonu avtorsko delo. V diplomskem delu so uporabljeni

viri in literatura korektno navedeni; teksti niso uporabljeni brez navedbe avtorjev.

Mozirje, Junij 2010

Nina Jelen

Youngove tabliceprogram diplomskega dela

V diplomskem delu obravnavajte nerazcepne predstavitve simetricnih grup, vsaki od

katerih ustreza dolocena Youngova tablica. Opisite vse Youngove tablice za simetricne

grupe majhnega reda (n < 7).

Kot primer pokazite, kako na ta nacin dobimo vse nerazcepne kompleksne upodobitve

simetricne grupe S3.

Osnovna vira:

1. G. D. James. The irreducible representations of the symmetric groups, Bull.

London Math. Soc., 8 (1976)

2. W. Fulton. young tableaux with applications to representation theory and

geometry, London Math. Soc. Student Texts 35 (1997)

prof. dr. Dusan Pagon

JELEN, N.: Youngove tablice.

Diplomsko delo, Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in mate-

matiko, Oddelek za matematiko in racunalnistvo, 2010.

IZVLECEK

V diplomski nalogi bom predstavila Youngove tablice, ki so v upodobitveni teoriji zelo

uporaben objekt. Uporabljajo pa se tudi v kombinatoriki in algebrski teoriji. So zelo

prirocne za upodobitev simetricnih in splosnih linearnih grup ter za preucevanje njihovih

lastnosti. Veliko dejstev o upodobitvah lahko izpeljemo iz ustreznih diagramov, na primer

dolocitev dimenzije upodobitve in omejitve upodobitve Sn na podgrupah. V obeh primerih

se vidi, da veliko lastnosti upodobitve lahko razberemo ze iz njene tablice. Predstavljeni

so tudi posevno simetricni diagrami, ki jih dobimo z odstranjevanjem manjsih Youngovih

diagramov iz vecjih in kako se konstruirajo nerazcepne upodobitve simetricnih grup nad

poljubnim poljem. Na koncu so navedene tudi vse nerazcepne upodobitve simetricne grupe

S3.

Kljucne besede: Youngove tablice, Youngovi diagrami, posevno simetricni diagrami,

upodobitve simetricnih grup, nerazcepne upodobitve.

Math. Subj. Class. (2010): 20C15, 20C30.

JELEN, N.: Young tableaux.

Graduation Thesis, University of Maribor, Faculty of Natural Scicences and

Mathematics, Department of Mathematics and Computer Science, 2010.

ABSTRACT

In my thesis I present the Young tableaux, which are in the representation theory a very

useful subject. They are also used in combinatorics and algebraic theory. They are very

convenient for the representation of symmetric and general linear groups and they have also

been usable when studying their properties. Many facts about the representations can be

derived from the corresponding diagrams, such as the determination of the dimension of

the representation and restriction of Sn on subgroups. In both cases one can see that many

properties of the representation can already be made out from its tableaux. I have also

represented skew diagrams, which are obtained by removing smaller Young’s diagrams from

the larger ones and how to construct irreducible representations of symmetric groups over

an arbitrary field. In the end I have quoted all irreducible representations of symmetric

group S3.

Keywords: Young tableaux, Young diagrams, skew diagrams, representation theory of

the symmetric group, irreducible representation.

Math. Subj. Class. (2010): 20C15, 20C30.

Kazalo

1 Uvod 1

2 Alfred Young 3

3 Youngove tablice in diagrami 4

3.1 Youngove tablice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.2 Upodobitve majhnih dimenzij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3 Dimenzija upodobitve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.4 Omejitve upodobitev Sn na podgrupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.5 Alternirajoce grupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Konstrukcije nerazcepnih upodobitev simetricnih grup nad poljubnim

poljem 11

4.1 Nerazcepnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.2 Variacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.3 Posevno simetricni diagrami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5 Youngov simetrizator 20

5.1 Definicija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.2 Konstrukcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6 Nerazcepne upodobitve simetricne grupe S3 23

ix

7 Pregled uporabe 26

7.1 Uporaba v upodobitveni teoriji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Literatura 27

Poglavje 1

Uvod

Definicija 1.1 Linearno upodobitev poljubne grupe G dobimo, ce pogledamo njeno delo-

vanje na vektorski prostor V nad F , to je homomorfizem ϕ : G→ Lin∗V .

Ce je F = Q,R ali C, govorimo o racionalnih, realnih oziroma kompleksnih upodobitvah.

Definicija 1.2 Ce v V obstajajo G-invariantni podprostori (razlicni od trivialnih), potem

upodobitev ϕ imenujemo razcepna: U ⊂ V,∀g ∈ G⇒ ϕ(g)U ⊂ U .

Definicija 1.3 Upodobitvam, ki imajo samo trivialne invariantne prostore, recemo neraz-

cepne.

Definicija 1.4 Linearni upodobitvi ϕ : G → End∗V in ψ : G → End∗W sta ekvivalentni

natanko tedaj, ce ∃ linearna preslikava ρ : V →W , da ∀g ∈ G in ∀v ∈ V :

ρ ◦ ϕ(g) = ψ(g) ◦ ρ, torej

∀v ∈ V : ρ(gv) =∼g (ρv)

Upodobitve simetricnih grup so poseben primer upodobitev koncnih grup. Ta teorija ima

v matematiki sirok spekter uporabnosti, vse od teorije simetricnih funkcij do problemov

kvantne mehanike.

1

2

Simetricna grupa Sn vsebuje n! elementov. Konjugirani razredi so doloceni s particijami

stevila n. Stevilo neekvivalentnih upodobitev simetricne grupe Sn nad kompleksnimi stevili

je enako stevilu particij stevila n; upodobitve simetricnih grup se ujemajo na posameznih

razredih konjugiranih elementov.

Za razliko od splosne situacije pri koncnih grupah, imamo tu naravno izbiro parametrizacije

nerazcepnih upodobitev z isto mnozico, ki parametrizira konjugirane razrede, namrec s par-

ticijo n ali, ekvivalentno, z Youngovimi diagrami dolzine n.

Vsako nerazcepno upodobitev grupe Sn lahko realiziramo nad celimi stevili (vsaka per-

mutacija se obnasa kot matrika s celostevilskimi koeficienti). Lahko jo eksplicitno konstru-

iramo z Youngovo simetrizacijo, delujoco na prostoru, generiranem z Youngovimi tablicami.

Nad drugimi polji pa je lahko situacija veliko bolj komplicirana. Ce ima polje K karakter-

istiko enako 0 ali vecjo od n, potem je po Maschkejevi teoriji grupna algebra KSn polenos-

tavna. V tem primeru nerazcepne upodobitve nad celimi stevili tvorijo koncno mnozico.

Nerazcepne upodobitve pa se ne vidijo v poljubni karakteristiki. V tem kontekstu je bolj

obicajno uporabiti jezik modulov kot pa upodobitev.

Upodobitev, dobljena iz nerazcepne upodobitve, definirane nad celimi stevili, z reduciranjem

karakteristike po nekem modulu, v splosnem ne bo nerazcepna. Tako konstruirani moduli

se imenujejo Spechtovi moduli in vsi nerazcepni so znotraj teh. Dobimo manj nerazcepnih

modulov in ceprav jih znamo klasificirati, jih zelo slabo razumemo. Na primer, celo njihove

dimenzije niso splosno znane.

Opis nerazcepnih modulov simetricnih grup nad izbranim poljem je eden najpomembnejsih

odprtih problemov v upodobitveni teoriji.

Poglavje 2

Alfred Young

Matematik Alfred Young je bil rojen 16. aprila 1873 v Widnesu v Angliji. Solal se je v

Monkton Combe v Somersetu in kasneje na univerzi Clare v Cambridgu. Diplomiral je leta

1895.

Najbolj je poznan po delih na podrocju grup. Youngove diagrame in Youngove tablice je

vpeljal leta 1900 in so jih kasneje poimenovali po njem.

Leta 1901 je postal predavatelj na univerzi Selwyn v Cambridgu, leta 1905 pa se je preselil

na univerzo Clare.

Leta 1908 je postal duhovnik, dve leti kasneje pa se je preselil v zupnijo Birdbrook v Essexu,

kjer je ostal do konca svojega zivljenja. Leta 1926 je ponovno zacel predavati v Cambridgu.

Umrl je 15. decembra 1940.

Vecino svojih del o invariantni teoriji in simetricnih grupah je napisal v casu, ko je bil za-

poslen kot duhovnik.

3

Poglavje 3

Youngove tablice in diagrami

3.1 Youngove tablice

Youngove tablice so v upodobitveni teoriji zelo uporaben objekt. So zelo prirocne za up-

odobitve simetricnih in splosnih linearnih grup ter za preucevanje njihovih lastnosti. Leta

1900 jih je vpeljal matematik Alfred Young, leta 1903 pa jih je pri studiju simetricnih grup

uporabil Georg Frobenius.

Definicija 3.1 Youngove tablice (imenovane vcasih tudi Ferrerovi diagrami) so koncni na-

bori levo poravnanih prostorov ali celic z nestrogo upadajoco dolzino vrstic (vsaka vrstica

ima enako ali krajso dolzino kot predhodna).

4

3.1 Youngove tablice 5

Zgled. Poznamo dva nacina zapisovanja Youngovih tablic:

• Angleski zapis

Youngova tablica oblike (5, 4, 1), angleski zapis

• Francoski zapis

Youngova tablica oblike (5, 4, 1), francoski zapis

Prestevanje stevila celic v vsaki vrstici nam da particijo λ pozitivnega celega stevila n, ki

je enako stevilu vseh celic v tablici. Kot receno, Youngov diagram je oblike λ in nosi isto

informacijo kot particija.

Prestevanje celic v vsakem stolpcu pa nam da konjugirano oziroma transponirano particijo

λ. Z zrcaljenjem diagrama vzdolz diagonale dobimo nov Youngov diagram.

Pri oznacevanju celic z urejenimi pari v Youngovih diagramih imamo univerzalen dogovor,

da prvi indeks izbere vrstico, drugi pa stolpec v diagramu. To oznacevanje se imenuje an-

gleski zapis. Pri francoskem zapisu pa prva celica v vsaki naslednji vrstici pripada prejsnji.

Angleski zapis je bolj univezalen za matrike, francoski pa za kartezicne koordinate. Torej

oba zapisa se razlikujeta v tem, da zamenjata koordinati.

3.1 Youngove tablice 6

Zgled. Poglejmo si Youngovo tablico, ki ustreza angleskemu zapisu, pripada particiji stevila

8 in je oblike (4, 3, 1). Njena konjugirana particija, ki meri dolzino stolpca, pa je oblike

(3, 2, 2, 1).

1 2 4 7

3 5 6

8

Standardna Youngova tablica oblike (4, 3, 1).

1 3 8

2 5

4 6

7

Konjugirana particija stevila 8 oblike (3, 2, 2, 1).

Youngova tablica je dobljena s polnjenjem celic s simboli iz neke abecede, za katero je pon-

avadi zazeljeno, da je popolnoma urejena mnozica.

Izvirno je bila ta abeceda mnozica indeksiranih spremenljivk x1, x2, x3, ..., ampak sedaj se

zaradi jedrnatosti raje uporablja mnozica stevil.

V originalni aplikaciji so imele upodobitve simetricnih grup Youngove tablice z n razlicnimi

vnosi, zapisanimi v celice.

Definicija 3.2 Tabelo imenujemo standardna, ce so koeficienti v vsaki vrstici in vsakem

stolpcu narascajoci.

3.2 Upodobitve majhnih dimenzij 7

V drugih aplikacijah je naravno dovoliti, da se ista stevila v tabeli pojavijo vec kot enkrat

(ali pa sploh ne).

Definicija 3.3 Tabelo imenujemo polstandardna, ce vnosi nestrogo narascajo vzdolz vsake

vstice in vsakega stolpca.

Definicija 3.4 Zapisovanje kratnosti stevil v tabeli nam da zaporedje, znano kot teza tabele.

Tako so standardne Youngove tablice natanko polstandardne tabele teze (1, 1, 1, 1, ...), pri

katerih se vsako stevilo vecje od n pojavi natanko enkrat.

3.2 Upodobitve majhnih dimenzij

Upodobitve majhnih dimenzij za simetricne grupe lahko opisemo eksplicitno, kot v (Burn-

side 1955, str. 468). To delo je bilo razsirjeno na primer najmanjse stopnje k (eksplicitno

za k = 4 in k = 7) v (Rasal 1977) in nad poljubnimi polji v (James 1983).

Najmanjsi stopnji v karakteristiki 0 sta naslednji:

• vsaka simetricna grupa ima 1-dimenzionalno upodobitev imenovano trivialna up-

odobitev, kjer vsak element predstavlja (1x1) matriko z elementom 1,

• za n ≥ 2 obstaja druga nerazcepna upodobitev stopnje 1, imenovana znakovna up-

odobitev ali izmenicni karakter, ki priredi permutaciji (1x1) matriko z elementom ±1,

ki je enak znaku dane permutacije.

To so edine 1-dimenzionalne upodobitve simeticnih grup. Kot 1-dimenzionalne so abelove

in abelizacija simetricnih grup je C2, ciklicna grupa reda 2.

3.3 Dimenzija upodobitve 8

Za vsak n imamo tudi n-dimenzionalno upodobitev simetricne grupe reda n; to je tako imen-

ovana regularna upodobitev, ki jo sestavljajo (nxn) matrike. Ima trivialno podupodobitev,

sestavljeno iz vektorjev, vse koordinate katerih so med seboj enake. Ortogonalni komple-

ment pa je sestavljen iz tistih vektorjev, katerih vsota koordinat je enaka 0.

Kadar je n ≥ 2 vsebuje regularna upodobitev tega podprostora (n− 1)-dimenzionalno ner-

azcepno upodobitev. Drugo (n−1)-dimenzionalno upodobitev dobimo kot direktni produkt

upodobitve z znakovno upodobitvijo.

Za n ≥ 7 so to vse nerazcepne upodobitve Sn najnizje dimenzije. Vse ostale upodobitve

imajo namrec dimenzijo vsaj n.

Imamo tudi izjeme:

• pri n = 4 surjekcija iz S4 v S3 inducira dvodimenzionalno upodobitev;

• za n = 6 poseben tranzitivni monomorfizem grupe S5 v grupo S6 generira dodaten

par nerazcepnih 5-razseznih upodobitev.

3.3 Dimenzija upodobitve

Definicija 3.5 Dimenzija nerazcepne upodobitve∏λ simetricne grupe Sn, ki ustreza par-

ticiji λ stevila n, je enaka stevilu razlicnih polstandardnih Youngovih tablic, ki jih dobimo

iz diagrama dane upodobitve.

Definicija 3.6 Dolzina kljuke h(x) celice x v Youngovem diagramu Y (λ) oblike λ je skupno

stevilo tistih celic, ki so v isti vrstici kot x, tistih, ki so v istem stolpcu pod njim in celice

same.

3.4 Omejitve upodobitev Sn na podgrupe 9

Posledica 3.7 Dimenzija dane nerazcepne upodobitve je enaka kvocientu n! s produktom

dolzin kljuk vseh celic v sliki te upodobitve (n! je stevilo vseh celic v Youngovem diagramu).

∏λ = n!∏

x∈Y (λ) h(x)

Zgled. Primer izracuna dimenzije nerazcepne upodobitve oblike (5, 4, 1)

7 5 4 3 1

5 3 2 1

1

Dolzine kljuk h(x) vsake celice x smo zapisali v celici sami.

Dimenzija upodobitve pa je:

∏λ = 10!

1·1·1·2·3·3·4·5·5·7 = 288

3.4 Omejitve upodobitev Sn na podgrupe

Upodobitev simetricne grupe na n elementih, Sn, je tudi upodobitev simetricne grupe na

(n− 1) elementih, Sn−1.

Nerazcepna upodobitev Sn ni nujno nerazcepna za Sn−1. Namesto tega je lahko direktna

vsota nekaterih upodobitev, ki so nerazcepne za Sn−1. Te upodobitve potem imenujemo

faktorji omejene upodobitve.

Za dolocitev tega razcepa omejene upodobitve dane nerazcepne upodobitve Sn, ki ji pripada

particija λ stevila n, se dogovorimo sledece.

3.5 Alternirajoce grupe 10

Nekatere tipe Youngovih tablic lahko dobimo iz diagramov oblike λ z odstanitvijo le ene

celice, ki mora biti na koncu vrstice ali stolpca. Omenjena upodobitev potem tablico raz-

cepi v direktno vsoto nerazcepnih upodobitev Sn−1, skladno s temi diagrami, ki se ponovijo

natanko enkrat.

3.5 Alternirajoce grupe

Upodobitve alternirajocih grup so podobne, z razliko, da tukaj ni znakovne upodobitve.

Za n ≥ 7 sta nerazcepni upodobitvi najnizje dimenzije trivialna upodobitev dimenzije 1 in

(n− 1) dimenzionalna upodobitev.

Alternirajoce grupe za n ≥ 5 imajo le trivialno 1-dimenzionalno nerazcepno upodobitev.

Za n = 3, 4 pa obstajata dve dodatni 1-dimenzionalni nerazcepni upodobitvi, ki pripadata

preslikavi na ciklicno grupo reda 3: A3∼= C3 in A4 → A4/V4

∼= C3.

Povzemimo:

• za n ≥ 7 obstaja le ena nerazcepna upodobitev grupe An stopnje (n − 1), kar je

najmanjsa stopnja netrivialnih nerazcepnih upodobitev;

• za n = 3 je (n − 1)-dimenzionalna upodobitev ocitno razcepna - permutacijska up-

odobitev sovpada z regularno upodobitvijo in tako preide v tri 1-dimenzionalne up-

odobitve, v primeru abelove grupe A3;

• za n = 4 obstaja le ena (n − 1)-dimenzionalna nerazcepna upodobitev, obstaja pa

tudi izjemna nerazcepna upodobitev dimenzije 1;

• za n = 5 imamo dve dualni nerazcepni upodobitvi dimenzije 3;

• za n = 6 imamo posebno nerazcepno upodobitev dimenzije 5.

Poglavje 4

Konstrukcije nerazcepnih

upodobitev simetricnih grup nad

poljubnim poljem

Poljubno Youngovo tablico D, pri cemer so r1, r2, ..., rk dolzine vrstic pemutacijskega mod-

ula Sn na podgrupi Sr1x...xSrk , oznacimo z VD.

Ce je b bilinearna forma, definirana na VD, je dolocen poseben podmodul ED modula VD.

Izkaze se, da z menjavo D dobimo vse nerazcepne upodobitve Sn v obliki (ED/ED∩(ED)⊥).

Ce je karakteristika polja za dano upodobitev enaka p, je tezko najti vse nerazcepne kom-

ponente (ED∩(ED)⊥).

Naj bo sedaj n fiksno pozitivno celo stevilo in Sn simetricna grupa na n simbolih.

Youngov diagram D je definiran na obicajen nacin. Pripadajoco tabelo T pa dobimo z

vstavljenjem stevil 1, 2, ..., n v D brez ponavljanj.

11

12

Zgled. Primer Youngovega diagrama D s pripadajoco tabelo T .

D =

x x x x

x x

x x

x

T =

8 9 5 6

7 2

1 3

4

Velja, da D′ 6= D, ce je za vsak i

∑j≤i(dolzina j-te vrstice D′ja)≤

∑j≤i(dolzina j-te vrstice Dja)

Definicija 4.1 D je p − regularen, ce nobeni dve vrstici D-ja nimata enake dolzine p.

Drugace imenujemo D p-singularen.

Definicija 4.2 Ce je T tabela in g element Sn, definiramo sliko Tg na obicajen nacin. Naj

bo RT podgrupa Sn, ki je usklajena z vrsticami slike T:

RT = {g ∈ Sn; ∀ i,j i pripada j-ti vrstici slike T ⇒i pripada j-ti vstici sliki Tg}

Ce namesto besede vrstica uporabimo v zadnji definiciji besedo stolpec, dobimo se definicijo

podgrupe CT .

Definirajmo ekvivalencno relacijo ≈ s predpisom: T ≈ T ′ na {T |T ∈ D}, ce obstaja tak h

v RT , za katerega velja T ′ = Th.

4.1 Nerazcepnost 13

Ekvivalencne razrede, ki vsebujejo T , bomo imenovali tabloid wT , asociran s T .

Naj bo F poljubno polje in naj bo VD vektorski prostor nad poljem F , razsirjen z {wT |T ∈D}. Ce v Sn definiramo wT g = wTg , dobimo VD.

Obicajna Sn-invariantna bilinearna forma 〈, 〉 je definirana kot:

〈w1, w2〉 = 1, ce je w1 = w2 in 0, kadar je w1 6= w2.

Definirajmo element kT simetricne grupe Sn z kT = Σ{εh|h ∈ CT }, kjer je εh znak per-

mutacije h. Element eT mnozice VD je definiran z eT = wTkT in ED je podmodul VD,

razsirjen z {eT |T ∈ D}.

4.1 Nerazcepnost

Lema 4.3 Ce T in T ′ ∈ D ⇒ wT ′kT = ±eT ali 0.

Dokaz. Ce je koeficient wT v eT nenicelen ⇒ wT ′ = wTh za nek h ∈ CT .

Zato iz tega sledi:

wT ′kT = wThkT = ±wTkT = ±eT

Ce sta koeficienta wT ′ in eT nicelena, potem iz tega sledi, da pari stevil a,b pripadajo istemu

stolpcu in isti vrstici T.

Potem je:

wT ′(1− (ab)) = wT ′ − wT ′(ab) = 0

4.1 Nerazcepnost 14

Iz tega sledi:

wT ′kT = 0

Izrek 4.4 Naj bo U podmodul VD ⇒ U ⊇ ED ali U ⊆ (ED)⊥.

Dokaz. Naj bo u ∈ U in T ∈ D.

Potem je:

〈u, eT 〉 = 〈u,wTkT 〉 = 〈ukT , wT 〉

Po Lemi 4.3 sledi, da je ukT veckratnik eT .

Ce je veckratnik nenicelen, je

eT ∈ U in U ⊇ ED.

Kadar pa je nicelen, velja:

〈u, eT 〉 = 0 in U ⊆ (ED)⊥

Ker Izrek 1 pokaze, da med ED in ED ∩ (ED)⊥ ni podmodulov, lahko zapisemo:

Izrek 4.5 ED/ED ∩ (ED)⊥ je nicelen ali nerazcepen.

Izrek 4.6 Ce je charF = 0, z ED dobimo vse nerazcepne upodobitve.

Dokaz. Naj bo F polje racionalnih stevil. Potem je 〈, 〉 skalarni produkt in velja:

ED ∩ (ED)⊥ = 0

4.1 Nerazcepnost 15

Torej, kadarkoli je charF = 0 ⇒ ED ∩ (ED)⊥ = 0.

Naj bo < popolna leksikografska urejenost na mnozici diagramov (prvi diagram je [n]).

Naj bo D′ < D, T ∈ D in T ′ ∈ D′.Potem nekateri pari stevil a, b pripadajo isti vrstici T ′ in stolpcu T .

Iz tega, kot v Lemi 4.3, sledi

wT ′kT = 0

Ce je θ modulski homomorfizem iz ED v ED′ , razsirimo θ v homomorfizem, definiran na

celem VD, tako da dovolimo, da je enak nic na (ED)⊥.

Potem imamo

eT θ = wTkT θ = wT θkT = 0

Tako nobeni dve (ED)′

ne moreta biti izometricni.

Ker pa je stevilo diagramov enako stevilu konjugiranih razredov Sn, kar pa je enako stevilu

nerazcepnih upodobitev, je ta izrek dokazan.

Naslednji izrek bo razlikoval med dvema primeroma, ki nastaneta v Izreku 2.5.

Izrek 4.7 Naj bo charF = p. Potem je ED ⊆ (ED)⊥, kadar je D p-singularen.

Dokaz. Predpostavimo, da je D p-singularen ter da so vrstice od

(a+ 1)− ve, ..., (a+ p)− te

v D iste dolzine.

4.1 Nerazcepnost 16

Ce veljata spodnja dva pogoja, definirajmo ekvivalencno relacijo v s predpisom wT1 v wT2 .

1) Ce i in j pripadata isti vrstici v T1, potem i in j pripadata isti vstici v T2.

2) Ce b /∈ {a+ 1, ..., a+ p}, potem i pripada b-ti vstici v T1. Iz tega sledi, da i pripada b-ti

vrstici v T2.

(Neformalno to pove, da lahko pridemo iz wT1 v wT2 s permutacijo vzdolz (a + 1)-ve do

(a+ p)-te vrstice T1 in s tem ostanejo druge vrstice fiksne.)

Vidimo: ce delni tabloid pripada eT , potem je enako z vsemi tabloidi v istem razredu. Ker

so v razredi velikosti p!, iz tega sledi, da je katerikoli par (eT )′skupen veckratnik p tabloida.

Zato velja ED ⊆ (ED)⊥.

Naslednja domneva je, da je D p-regularen.

Naj bo T ∈ D in naj se T ∗ razlikuje od T v tem, da so stevila v vsaki vstici zapisana v

obratnem vrstem redu.

T =

a1 a2 a3 a4

a5 a6 a7

a8 a9 a10

a11

T ∗ =

a4 a3 a2 a1

a7 a6 a5

a10 a9 a8

a11

Naj bo h ∈ CT z lastnostjo, da ∀i stevili i in ih pripadata vsticama iste dolzine.

Potem imata eT in eT ∗ skupen wTh.

Torej, ce ima D xj vrstic dolzine j, iz tega sledi:

4.2 Variacije 17

〈eT , eT ∗〉 =∏nj=1(xj !)j .

To stevilo pa je tuje stevilu p in velja:

ED ⊆ (ED)⊥

4.2 Variacije

Obstaja nekaj variacij zgornje definicije.

Ena izmed njih je, da v tabeli vhodi strogo narascajo vzdolz vrstice in nestrogo narascajo

po stolpcu.

Imamo tudi posplositve kot so domino slike in trak slike, v katerih so nekatere celice zbrane

skupaj pred vpisovanjem stevil vanje.

4.3 Posevno simetricni diagrami

Posevno simetricne diagrame dobimo z odstranjevanjem manjsih Youngovih diagramov iz

vecjih.

4.3 Posevno simetricni diagrami 18

Ce je manjsi diagram µ = (µ1, µ2, ...) in vecji λ = (λ1, λ2, ...), potem mora biti µi ≤ λi za ∀i.

Obstaja vec moznosti za sestavljanje posevnih diagramov.

Zgled. Posevni diagram, ki sestoji iz ene same celice na poziciji (1, 4), lahko dobimo z

odstranitvijo diagrama µ = (4, 3, 1) iz λ = (5, 3, 1):

5

kjer je diagram µ = (4, 3, 1) oblike:

1 2 3 4

6 7 8

9

in diagram λ = (5, 3, 1) oblike:

1 2 3 4 5

6 7 8

9

Posevni diagrami so lahko dopolnjeni v obliko posevne slike, pri cemer razlikujemo polstan-

dardno in standardno posevno sliko na isti nacin kot pri Yougovih tablicah.

Kadar hocemo videti razliko med dvema Youngovima tablicama, je najlazje, ce uporabimo

ta diagram. Tudi veliko operacij, definiranih na posevnih tablicah, sloni na izbiri realizacije

posevnega diagrama. Za taksno rabo je potem najbolje, da definiramo obliko posevne tabele

(ne kot dopolnjevanje posevnega diagrama) kot posevne strukture, sestavljene le iz parov

4.3 Posevno simetricni diagrami 19

particij (µ, λ), ki zadoscajo pogoju µi ≤ λi za vsak i, in jo oznacimo z λ/µ.

Ta oblika mora biti sestavni del posevne slike, kar pomeni, da se morata dve razlicni posevni

sliki razlikovati le v obliki, medtem, ko imata isto mnozico kvadratov, napolnjeno z enakimi

stevili.

Youngovo tablico lahko enacimo s posevno sliko, v kateri je µ prazna particija (0).

Katerakoli posevna polstandardna tabela T oblike λ/µ s pozitivnimi celostevilskimi koefi-

cienti, nam da zaporednje particij (ali Youngovih tablic), ki se zacnejo z µ in zavzamejo za

particijo i tiste kasnejse prostore v zaporedju, katerih diagrami so dobljeni z µ z dodajan-

jem vseh skatlic, ki vsebujejo vrednost ≤ i v T . Taksna particija eventuelno lahko postane

enaka λ.

Katerikoli par v taksnem zaporedju je posevne oblike in vsebuje najvec eno celico v vsakem

stolpcu.

Take oblike imenujemo horizontalni trakovi in taksno zaporedje particij povsem doloci T .

Poglavje 5

Youngov simetrizator

5.1 Definicija

Definicija 5.1 Youngov simetrizator je element simetricnih grup, konstruiran na tak nacin,

da slika elementa ustreza nerazcepni upodobitvi simetricnih grup nad kompleksnimi stevili.

Podobna konstrukcija deluje nad vsemi polji in dobljene upodobitve imenujemo Spechtovi

moduli.

Definicija 5.2 Koncna simetricna grupa Sn in dolocena Youngova slika λ, ki pripada

stevilu partcij n, definirata podgrupi permutacij Pλ in Qλ v Sn na naslednji nacin:

Pλ = {g ∈ Sn; g ohrani vsako vrstico v λ}

in

Qλ = {g ∈ Sn; g ohrani vsak stolpec v λ}

Definirajmo vektorja aλ in bλ v grupni algebri CSn, ki pripadata zgornjima podgrupama:

20

5.2 Konstrukcija 21

aλ =∑

g∈Pλ eg

in

bλ =∑

g∈Qλ sgn(g)eg,

kjer je eg enotski vektor, ki pripada g, in sgn(g) znak permutacije g.

Produkt

cλ = aλbλ =∑

g∈Pλ,h∈Qλ sgn(h)egh

je Youngov simetrizator, ki pripada Youngovi sliki λ. Vsak Youngov simetrizator pripada

nerazcepni upodobitvi dane simetricne grupe in vsaka nerazcepna upodobitev je dobljena

iz pripadajocega Youngovega simetrizatorja.

5.2 Konstrukcija

Naj bo V vektorski prostor nad kompleksnimi stevili. Imejmo direktni produkt vektorskega

prostora V ⊗n = V ⊗ V ⊗ ...⊗ V . Naj Sn na tem direktnem produktu deluje s permutacijo

vsakega indeksa.

Podajmo particijo λ stevila n: n = λ1 + λ2 + ...+ λj .

Potem je slika elementa aλ:

Im(aλ) = Symλ1V ⊗ Symλ2V ⊗ ...⊗ SymλjV .

In slika elementa bλ:

Im(bλ) = ∧µ1V ⊗ ∧µ2V ⊗ ...⊗ ∧µkV ,

kjer je µ konjugirana particija λ, SymλV in ∧µV pa sta simetricni in alternirajoci tenzorski

prostor.

Slika CSncλ elementa cλ = aλ ·bλ iz CSn je nerazcepna upodobitev Sn, imenovana Spechtov

modul in jo zapisemo kot

5.2 Konstrukcija 22

Im(cλ) = Vλ.

Ce je skalarni veckratnik cλ idempotent, to pomeni, da je c2λ = αλcλ za neka racionalna

stevila αλ, natancneje αλ = n!/dimVλ. V nekaterih primerih to pomeni, da je lahko up-

odobitev simetricnih grup definirana nad racionalnimi stevili, torej nad QSn.

Zgled. Poglejmo si na primer S3 in particijo (2, 1).

c(2,1) = e(123) + e(213) − e(321) − e(312)

Kadar je V kompleksni vektorski prostor, slike elementa cλ na prostoru V d opisejo vse

koncno dimenzionalne nerazcepne upodobitve GL(V ).

Poglavje 6

Nerazcepne upodobitve simetricne

grupe S3

Za primer n = 3 obstajajo tri razlicne particije: (3), (2, 1), (1, 1, 1).

Pripadajoci Youngovi diagrami pa so:

• (3)

• (2, 1)

23

24

• (1, 1, 1)

Iz njih dobimo naslednje standardne Youngove tablice:

1 2 3

Pλ = S3 in Qλ = {id}Zato iz tega sledi, da je aλ =

∑p ep = a (simetrizator cele grupe), bλ = e in cλ = ea = a.

1 2

3

Pλ ={e, e(12)

}in Qλ =

{e, e(31)

}Iz tega sledi aλ = eid + e(12), bλ = eid − e(13) in cλ = aλbλ = eid + e(12) − e(13) − e(132).

1

2

3

Pλ = {id} in Qλ = S3

Zato iz tega sledi aλ = eid; bλ = eid − e(12) − e(13) − e(23) + e(123) + e(132) in cλ = aλbλ = bλ.

1 3

2

25

Pλ ={e, e(13)

}in Qλ =

{e, e(12)

}Iz tega sledi aλ = eid + e(13), bλ = eid − e(12), cλ = eid + e(13) − e(12) − e(123).

Iz tega primera lahko zakljucimo nekaj splosnih lastnosti:

• Pri vsaki tabeli T mnozici horizontalnih permutacij Pλ in vertikalnih permutacij Qλtvorita podgrupo Sn.

• Kadar sta aλ in bλ simetrizator oziroma antisimetrizator dane grupe, so izpolnjeni

naslednji pogoji: aλhλ = hλaλ = aλ, bλvλ = vλbλ = (−1)vλbλ, aλaλ = nλaλ,

bλbλ = nλbλ (kjer je nλ = λ1!λ2!...λn!). Tako sta aλ in bλ idempotenta.

• Vemo ze, da cλ v primeru 1. in 3. tabele generirata dve neekvivalentni 1-dimenzionalni

upodobitvi S3. Prav tako cλ v primeru 2. tabele generira 2-dimenzionalno nerazcepno

upodobitev S3. Lahko preverimo, da desno mnozenje s cλ v tem primeru generira 2-

dimenzionalni podprostor na pripadajoci grupni algebri.

ecλ = cλ

e(12)cλ = cλ

e(23)cλ = e(23) + e(321) − e(123) − e(12)

e(31)cλ = e(31) + e(123) − e− e(23)

e(123)cλ = e(123) + e(31) − e(23) − ee(321)cλ = e(321) + e(23) − e(12) − e(123)

Tako je podprostor ali levi ideal porojen s cλ.

Zakljucimo, da simetrizator standardnih Youngovih tabel generira vse nerazcepne

upodobitve grup.

• Podobno lahko pokazemo, da cλ v primeru 4. tabele tudi generira 2-dimenzionalno

nerazcepno upodobitev. Invarianten podprostor generiran s cλ je drugacen kot prejsnji.

Podan je s cλ in e(123) + e(23) − e(31) − e(321). Ne sovpada z nobenim levim idealom

generiranim z drugimi tabelami.

Poglavje 7

Pregled uporabe

Youngove tablice se veliko uporabljajo v kombinatoriki, upodobitveni teoriji in algebrski

teoriji. Raziskani so bili razlicni nacini stetja Youngovih tablic, ki vodijo do definicije in

identitete Schurovih funkcij. Poznamo veliko kombinatoricnih algoritmov na tablicah, ki so

jih raziskovali tudi Schutzenberger, Robinson, Shensted in Knuth. Lascoux in Schutzen-

berger sta preiskovala asociativen produkt v mnozici vseh polstandardnih Youngovih tablic.

V upodobitveni teoriji standardna Youngova tablica dolzine k opise nerazcepne upodobitve

simetricne grupe na k crkah.

Standardna baza koncnodimenzionalnih nerazcepnih upodobitev splosne linearne grupe

GLn je parametrizirana z mnozico polstandardnih Youngovih tablic fiksne oblike nad abecedo

{1, 2, ..., n}. To ima pomembne posledice tudi v teoriji invariant in algebraicni geometriji.

7.1 Uporaba v upodobitveni teoriji

Youngove tablice ustrezajo nerazcepim upodobitvam simetricnih grup nad kompleksnimi

stevili. Ponujajo prirocno pot do dolocenih Youngovih simetrizacij, iz katerih so zgrajene

nerazcepne upodobitve Sn.

26

7.1 Uporaba v upodobitveni teoriji 27

Veliko dejstev o upodobitvah lahko izpeljemo iz ustreznih diagramov, naprimer:

• dolocitev dimenzije upodobitve;

• omejitve upodobitev Sn na podgrupo.

V obeh primerih se vidi, da veliko lastnosti upodobitve lahko razberemo ze iz njene tablice.

Youngove tablice parametrizirajo narazcepne polinomske upodobitve splosnih linearnih grup

GLn (kadar imajo kvecjemu n nepraznih vrst) ali nerazcepne upodobitve posebnih linearnih

grup SLn (kadar imajo kvecjemu n − 1 nepraznih vrst) ali pa nerazcepne kompleksne up-

odobitve posebnih unitarnih grup SUn (kadar imajo kvecjemu n− 1 nepraznih vrst).

V tem primeru polstandardne tablice z vnosi, vecjimi od n, igrajo vecjo vlogo kot pa stan-

dardne tablice.

Literatura

[1] G. D. JAMES, The irreducible representations of the symmetric groups, Bull. London

Math. soc., 8 (1976), str. 229-232.

[2] G. D. JAMES, On the minimal dimensions of irreducible representations of symmet-

ric groups, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 94(3)

(1983), str. 417-424.

[3] R. RASAL, On the minimal degrees of characters of Sn, Journal of Algebra 45(1)

(1977), str. 132-181.

[4] W. Tung, Group theory in Physics, Mainland Press, Singapore, 2003.

[5] W. Burnside, Theory of groups of finite order, Dover Publications, New York, 1955.

[6] Wikipedia. (online). (citirano 12.03.2010). Dostopno na naslovu:

http://en.wikipedia.org/wiki/Representation−theory−of−the−symmetric−group.

[7] Wikipedia. (online). (citirano 06.04.2010). Dostopno na naslovu:

http://en.wikipedia.org/wiki/Young−symmetrizer.

[8] Wikipedia. (online). (citirano 06.04.2010). Dostopno na naslovu:

http://en.wikipedia.org/wiki/Alfred−Young.

28