N e l i n e a r n e D i o f a n t s k e j e d n a č i n aAhmed Hadžiaganović, prof.

Jednačine sa više promjenljivih kojima tražimo cjelobrojna rješenja zovemo diofantske ili neodređene jednačine. Razlikujemo nekoliko metoda razlikovanja slučajeva:

Metoda rastavljanja polinoma na faktore (Metoda proizvoda)Metoda dijeljenja polinoma (Metoda količnuka)Metoda zbira stepena s parnim eksponentimaMetoda posljednja znamenkeMetoda kongruencije(Metoda ostatka dijeljenja)Metoda nejednakosti

Metoda proizvoda

Metoda proizvoda je česta u rješavanje nelinearnih Diofantskih jednačina.Sastoji se u tome da jednu stranu jednačine faktprizacijom pretvorimo u prizvod, a zatim posmatramo razne slučajeve koji mogi nastupiti.Uzmimo nekoliko primjera.

Primjer 1. Rješiti jednačinu Rješenje:

Dakle, brojevi i treba da su faktori broja 3. To možemo odrediti tabelom:

x - 3 1 -1 3 -3y +1 3 -3 1 -1x = (x -3) +3 4 2 6 0y = (y +1) -1 2 -4 0 -2

Otuda slijedi

Primjer 2.Odrediti cijele brojeve x i y tako da je (p je prost broj).

Rješenje: Pretpostavimo da je par cijelih brojeva za koje je jednačina zadovoljena. Prenošenjem drugog i trećeg člana sa lijeve na desnu stranu i dodavanjem objema stranama, dobijamo jednačinu

odakle je

gdje su a i b prirodni brojevi. Moguće vrijednosti za su

Primjer 3.Odrediti cijele brojeve x tako da je bude potpun kvadrat.

1

Rješenje: Neka je .Tada je . Da bi trinom bio potpun kvadrat to jednačina mora imati diskriminatu koja je jednaka kvadratu nekog prirodnog broja,tj. mora biti , odakle je

Imamo

Sabiranjem dobijamo

Sada dobijamo

Primjer 4. Riješiti u skupu cijelih brojeva jednačinu .

Rješenje:

Posljednja jednačina ima rješenja .

Metoda dijeljenja polinoma (Metoda količnuka)

Primjer 1. Naći cjelobrojna rješenja jednačine .

Rješenje:

Ako je x = -2, onda je lijeva strana jednačine jednaka nuli, desna je -2. To znači da (-2, y) nije rješenje date jednačine. Zbog toga jednačinu možemo podijeliti sa x +2. Nakon dijeljenja dobijemo

Kako je , to mora biti .Odavde slijedi , tj. .

Na kraju dobijamo

2

Primjer 2. Naći sva cjelobrojna rješenja jednačine .

Rješenje:

Jasno mora biti Jednačinu možemo transformisati.

Imamo . Ako je x = 2, onda je lijeva strana jednačine jednaka nuli, desna je 2. To znači da (2, y) nije rješenje date jednačine, pa jednačinu možemo podijeliti sa x - 2. Nakon dijeljenja dobijamo

Kako je , to mora biti .Odavde slijedi ,

tj..

Na kraju dobijamo

.

Metoda zbira stepena s parnim eksponentima

Primjer 1. Rješiti jednačinu .

Rješenje: Broj 5 možemo napisati kao zbir dva kvadrata na dva načina i to: 5 = 1+ 4 i 5 = 1+ 4.

Koristeći tabelu dobijamo:

x2 1 4y2 4 1x 1 | -1 2 | -2y 2 | -2 | 2 | -2 1 -1 | 1 | -1

Iz tabele dobijamo

Metoda posljednje znamenke (cifre)

Primjer 1. Rješiti jednačinu .

Rješenje: Kvadrati završavaju sa 0,1,4,5,6 ili 9, a sa 0,1,5 ili 6. Zbog toga se ne može završavati sa 9. Dakle, jednačina nema cjelobrojnih rješenja.

Primjer 2. Naći sva cjelobrojna rješenja jednačine .

3

1o Za

2o Za

3o Za

4o Za 5o Za lijeva strana polazne jednačine očigledno se završava cifrom 3, pošto se suma

završava 3, a suma završava sa cifrom 0.Tako dobijemo da je , (desna strana), broj koji se završava cifrom 3, što je nemoguće, jer se kvadrat ni jednog

cijelog broja ne ne završava sa 3. Znači Prema tome,

.

Metoda kongruencije (ostatka dijeljenja)

Primjer 1. Naći sva cjelobrojna rješenja jednačine

Rješenje:

Odavde zaklljučujemo da x može biti 1 ili paran broj.

1o

2o

Ako je k neparan broj, tada je neparan, što je jedino moguće za , pa je Ako je k paran broj,tj. tada je . Imamo:

Kako je lijeva strana djeljiva sa 5, a desna to nije zaključujemo da jednačina nema više cjelobrojnih rješenja.Dakle rjšenja date jednačine su

.

Primjer 2. Dokazati da jednčina nema cjelobrojnih rješenja. Rješenje:

4

x mora biti neparan broj ako jednačina ima rješenje u skupu Z, onda slijedix -1 i x +1 su parni, a djeljivo sa 4. Dakle, lijeva strana je djeljiva sa 4, a desna nije (4 ne dijeli 10). Prema tome, data jednačina nema cjelobrojnih rješenja.

Primjer 3. Rješiti u skupu Z jednačinu .Rješenje:

1°

2°

Metoda nejednakosti

Primjer 1. Rješiti u skupu Z jednačinu

Rješenje: Očigledno x = 2 je jedno rješenje jednačine. Datu jednačinu možemo transformisati u jednačinu

Eksponencijalna funkcija ax je rastuća ako je a > 1, a opadajuća ako je 0 < a < 1. U našem

slučaju 0 < a < 1, pa su fumkcije opadajuće.

Sada iz x < 2 slijedi

Za x > 2 je

Dakle, nema drugih rješenja, pa je jedino cjelobrojno rješenje date jednačine x = 2.

Primjer 2. Dokazati da jednačina nema rješenja u skupu N.

Rješenje:

5

Ne umanjujući opštost, možemo pretpostaviti da je . Ako se u jednačini y zamjeni sa x dobije se

ili

S druge strane interesuju nas samo prirodni brojevi pa je .

Ako je x = 1 jednačina očigledno nema rješenja u skupu N. .Kako između 1 i nema nijednog cjelog broja, zaključujemo da jednačina nema rješenja u skupu N.

Primjer 2. Naći sve prirodne brojeve x , y , z (x > y > z) za koje važi .

Prvo rješenje:

Očigledno je z > 3.

10 Za z = 4 je tj. .

Ova jednačina ekvivalentna je jednačini . Uslov x > y > z zadovoljavaju samo rješenja x = 20, y = 10 i x = 36, y = 9 .

20 Za z = 5 je , odakle slijedi . Uslov x > y > z zadovoljava

samo x = 15 i y = 6 .

30 Za z = 6 je odakle je . Uslov x > y > z ne zadovoljava

niti jedno rješenje x, odnosno y.

40 Za z > 6 je x > 6 i y > 6 slijedi

tj.

Dakle, jedina rješenja su (20,10,4) , (36,9,4) i (15,6,5) .

Primjer 2.

Drugo rješenje:

Iz uslova x > y > z slijedi

Sabiranjem dobijamo , tj. z < 6, takođe mora biti , tj. z > 3.

Zaključujemo da z može biti 4 ili 5.

Ispitajmo prvi slučaj z = 4.

6

Tada je , pa mora važiti , a zbog i imamo

.

Dakle, y može biti: 9, 10 i 11.

Provjerom zaključujemo da za y = 9 dobijamo x = 20, a za y = 10 dobijamo da je x = 36, dok y = 11 ne daje za x prirodan broj.

Ako je z = 5, tada važi:

Iz uslova zadatka zaključujemo:

Kako je y prirodan broj, on može biti samo 6 ili 7. Provjerom zaključujemo da za y = 6 je x = 15, dok za y = 7, x ne zadovoljava uslove zadatka. Prema tome, postoje tri trojke koji ispunjavaju uslove zadatka.To su:

Primjer 3. Rješiti jednačinu .

Rješenje:

Očito jedno rješenje je uređena trojka (3, 3, 3). Jasno je da je . Neka je .

Tada je pa imamo

Dakle, x < 3 i z < 3. Kako je , to je x = 2. Sada jednačina postaje

Budući da je y < z, to je

Dakle, z > 4 i y < 4. No, zbog y > x =2 slijedi y = 3.

Sada iz nalazimo z = 6.

Zanči uređena trojka (2,3,6) je još jedno rješenje date jednačine.Kako su nepoznate x, y, i z ravnopravne to je rješenje i svaka trojka nastala permutacijom trojke (2,3,6). Ovih permutacija ima 3! = 1·2 ·3 = 6 (3! čitamo 3 faktorijel). To su:

(2,3,6), (2,6,3) (3,2,6) (3,6,2) (6,3,2) (6,2,3)

7

Neka su sada dvije promjenljive jednake, tj. neka je npr. x = y. Sada mogu nstupiti dva slučaja: x < z ili x > z. Razmotimo slučaj x = y < z. Tada imamo

tj. z > 3 i x < 3. Kako je x > 1, to je x = 2. Tada data jednačina postaje

što je nemoguće.

Razmotrimo sada slučaj x = y > z. Jednačina postaje

Dalje iz x > z imamo , pa je

Dakle, x > 3 i z < 3. Znači z = 2. Sada iz nalazimo x = 4. Znači uređena trojka

(4,4,2) je rješenje. Zbog ravnopravnosti nepoznatih imamo još dva rješenja (4,2,4) (2,4,4).Prema tome,jednačina ima ukupno 10 rješenja.

Primjer 4. Neka je strogo rastući niz prirodnih brojeva, dokazati da jednačina

nema rješenja (n >1).

Rješenje:

Ako je , tada je očigledno i , jer a1 ne može biti 1.Kako je

to je

pa jednačina nema rješenja jer zbir kvadrata recipročnih vrijednosti niza je uvijek manji od 1.Primjer 5. Odrediti prirodne brojeve tako da je .Rješenje:

Neka je . Tada je

Iz nejednačine slijedi .

Dakle odakle zaključujemo da zbir kvadrata preostalih osam brojeva

8

Očigledno da vrijednost ovih osam brojeva mora biti manja od 6 čak i od 5 , jer bi u protivnom premašivao 30..Neka među 8 brojeva a ima vrijednost1, b ima vrijednost 2, c ima vrijednost 3 i d ima vrijednost 4. Tada je

odakle je .Odavde zaključujemo da da 22-8c mora biti dljeljivo sa 3.,a to je samo za c = 2. Tada je 3b + 15d = 6 odakle je b = 2 i d = 0.Sada se dobija zamjenom u sistem jednačina da je a = 4, pa smo jednačinu u potpunosti riješili.. Pored 1976 jedinica među osam preostalih brojeva imamo još 4 pa je

Dakle, rješenja date jednačine je ma koja permutacija skupa

Primjer 6. Uskupu prirodnih brojeva riješiti jednačinu: .

Rješenje:

Jasno je da je x < z , y < z . Neka je x ! < y ! i tako je u jednačini x ! = z ! - y ! (1) desna strana djeljiva sa y ! dok lijeva nije.

Neka je x ! >y !. Tada je u jednačini y ! = z ! - x ! desna strana djeljiva sa x !, dok lijeva nije.Prema tome, ostaje da je x ! = y ! i tada se jednačina (1) svodi na jednačinu 2x ! = z !

Kako je z > x, imamo z x + 1, odnosno 2x! = , pa je . Znači, jednačina (1) nema rješenja za x 2 .

Dakle, x 1, tj. x = 0 x = 1, y = 0 y = 1, z = 2, pa su rješenja date jednačine uređene trojke:

( 0, 0, 2 ), ( 0, 1, 2 ), ( 1, 0, 2 ), ( 1, 1, 2 )

Primjer 7. Odrediti prirodne brojeve a,b,c,d tako da je

Rješenje:

Uočimo prvo da nijedna promjenljiva ne može uzeti vrijednost 1. Zato pretpostavimo da je

, tj. .

Tada vrijedi

Odavdje slijedi , tj. d = 2. Iz polazne jednačine sada imamo

9

odakle slijedi , tj. c = 2. Dalje je

, tj. b = 2. Konačno, . Prema tome (a, b, c, d) = (2, 2, 2, 2).

Primjer 8. Za koje cijele brojeve x je broj kub cijelog broja?

Rješenje: Treba da bude Razlikovaćemo dva slučaja:

1o 2o

1o Uvrštavanjem u polaznu jednačinu dobijamo

Diskriminanta ove kvadratne jednačine po x koja ima realna rješenja ako i samo ako je njena diskriminanta nenegativna, tj.

,

a samo za .Tada je

U ovom slučaju jednačina nema cjelobrojnih rješenja.

2o Uvrštavanjem u polaznu jednačinu dobijamo

Diskriminanta ove kvadratne jednačine po x iznosi . Očigledno, tj. samo za n =1. Tada jednačina glasi

Dakle, x = -1 je jedino rješenje date jednačine.

10

R j e š e n i z a d a c i

1. Ako je .Dokazati.

Rješenje:

Iz jednačina dobijamo

Zamjenom druge jednačine u treću, a zatim u prvu dobijamo

Oadkle je

i naizad.

2. Naći cjelobrojna rješenja jednačine .

Rješenje:

Imamo dvije mogućnosti:1° 2° Prema tome, .

3. Naći u skupu Z rješenje jednačine . Rješenje:

Razlikujemo pet slučajeva:

11

Prema tome cjelobrojna rješenja date jednačine su:

4. U skupu Z riješiti jednačinu .

Rješenje:

1° 2°

3° 4°

nema rješenja

Prema tome, rješenja jednačine

5. Naći sva cjelobrojna rješenja jednačine .

12

Rješenje:

Djelioci broja 34 su:

6. Naći sva cjelobrojna rješenja jednaćine. Rješenje:

Ako su x, y i z neparni, onda je lijeva strana djeljiva sa 8, a desna nije djeljiva pa nema rješenja. Ako su x, y i z parni onda lijeva je paran, a desna neparan broj pa nema rješenja. Ako su x i y neparni, a z paran onda lijeva je paran broj djeliv sa 4, a desna nije djeljiva sa 4 pa nema rješenja. Očita rješenja su x = y = z = 0. Dakle, jedino rješenje je uređena trojka (0,0,0).

7. U skupu Z naći rješenja jedanačine .

Rješenje:

13

Rješenja su:

8. U skupu N naći rješenje jednačine .

Rješenje:

Sve prirodne brojeve možemo napisati pomoću 3k, 3k+1 i 3k-1, . Imamo

1o

Lijeva strana djeljiva sa 3 desna nije, pa jednačina nema rješenja.

2o

Lijeva strana djeljiva sa 3 desna nije, pa jednačina nema rješenja.

3o

Lijeva strana djeljiva sa 3 desna nije, pa jednačina nema rješenja. Prema tome, data jednačina nema rješenja u skupu N.

9. Naći cjelobrojna rješenja jednačine. .

Rješenje:

Sada imamo:

14

Prema tome, rješenja date jednačine su:

II način:

zbog , pa je

10. Odrediti sve nenegativne cjele brojeve (x, y) za koje vrijedi . Rješenje:

Očigledno su rješenja (7,0) i (0,7).

Za i imamo

1o

ili

15

2o

ili

Prema tome,

11. U skupu cjelih brojeva riješiti jednačinu .

Rješenje:

Očito rješenje jednačine je .

Pošto je desna strana kvadrat cjelog broja, to i lijeva strana mora biti. Recimo za neko . Imamo

1o

2o

Prema tome, cjelobrojna rješenja jednačine su

12. U skupu cjelih brojeva riješiti jednačinu . Rješenje:

16

1o

Prema tome

2o

Prema tome,

.

Dakle, data jednačina ima bezkonačno mnogo rješenja.

13. Naći sve parove (x,y) prirodnih brojeva za koje vrijedi . Rješenje:

.

Djelioci broja 33 su a prirodni brojevi su pa imamo:

1o

Ovaj sistem nema rješenja u skupu N

2o 3o nema rješenja u skupu N

4o nema rješenja u skupu N Dakle, jedino rješenje je par (2,3).

14. U skupu N riješiti jednačinu

Rješenje:

Kako je

imamo dvanaest različitih sistema.17

Sistemi

i

.

imaju rješenja kao što vidimo a ostali nemaju u skupu N.

Prema tome, rješenja u skupu N su parovi

.

15. Naći sve racionalne brojeve r za koje jednačina ima cjelobrojna rješenja.

Rješenje:

Pošto jednačina ima cjelobrojna rješenja, to iz Vietovih formula slijedi

To je moguće za . Zamjenom u jednačini

dobijamo .

16. Naći sve parove jednačini .

Rješenje:

Kako su djelioci broja 6: 1,2,3 i 6 , to je

Zamjenom u polaznu ili posljednju jednačinu nalazimo vrijednaosti za y i na kraju dobijamo

18

17. Za svaki pozitivan cio broj posmatrajmo jednakost . Ako je p prost broj, tada

jednačina ima tri rješenja, a u suprotnom ima više rješenja. Dokazati.

Rješenje:

Neka je x > p, y > p. Recimo x = p + q, y = p + r. Tada polazna jednačina postaje

odakle je . Ako je p prost broj rješenja jednačine su: , a rješenja date jednačine su: , dakle samo tri para.Ako je p složen broj, očito ima više rješenja.

18. Naći sva cjelobrojna rješenja jednačine .

Rješenje:

Jasno mora biti Jednačinu možemo tzransformisati u

jednačinu . Neka je . To znači da su a i b uzajamno prosti brojevi. Tada je

Kako je mjera slijedi , pa je Iz , pa je

19. Dokazati da je x = y = z = 1 jedino rješenje jednačine

ako su x, y i z prirodni brojevi.

Prvo rješenje:Brojevi x ,y ,z su pozitivni, pa važi nejednakost (A G):

Kako su x, y, z prirodni brojevi zaključujemo da je x = y = z = 1, zaista jedino rješenje date jednačine. Drugo rješenje:

Datu jednačinu možemo napisati u obliku , odnosno

Rješenja posljednje jednačine po x su:

, (x, y, z ).

19

Stoga mora biti y = z =1, jer bi u suprotnom bilo (za ma koje druge prirodne brojeve y, z ) , pa bi pod korijenom bio negativan broj, a x ne bi bio realan.

Ovako za y = z = 1 imamo .

Budući da je x prirodan broj, ostaje samo x = 1. Tvrđenje je dokazano.

Treće rješenje:

Najprije ćemo dokazati nejednakost za sve prirodne brojeve x, y, z.

što je istinito za prirodne brojeve x, y, z. Analogno je:

Sabiranjem ovih nejednakosti dobijamo:

Da bi bilo , mora biti .

Budući da su x, y, z prirodni brojevi, mora biti

x = y = z = 1.

20. Dokazati da jednačina ima beskonačno mnogo rješenja ako su x, y i z prirodni brojevi.

Rješenje:

Posmarajmo ovu jednačinu kao kvadratnu jednačinu po x

Ako je x jedno njeno rješenje, drugo je 3yz-x. Neka je . Kako su x, y i z prirodni brojevi, to je pa ako je rješenje date jednačine, onda je

novo, različito rješenje. Dakle, polazeći od rješenja možemo dobiti beskonačno mnogo rješenja date jednačine.

21. U skupu cijelih brojeva riješiti jednačinu . Rješenje:

20

Data jednačina ekvivalentna je jednačini

Smjenom dobijamo jednačinu , odnosno jednačinu ili

odakle je (1)

ili (2)

Diskriminata jednačine (1) je .

Kako diskriminanta mora biti potpun kvadrat, to je recimo

Odavde je

Rešavanjem prvog sistema dobijamo

, ili pa je

Diskriminata jednačine (2) je .

Kako mora biti , odnosno

.

Za y = 0 nema cijelog x, pa otpada .

Zamjenom u (2) dobijamo

,

Prema tome , .

22. Riješiti u skupu cijelih brojeva jednačinu

Rješenje:

21

Desna strana jednačine je nenegativna, budući da je jednaka kvadratu, pa slijedi da je , odakle zaključujemo da lijeva strana nije manja od jer apsolutna vrijednost ralike i proizvoljnog kvadrata cijelog broja ( za i različite kvadrate ) nije manja od 2y -1.Iz slijedi da je Dakle, desna strana može uzimati vrijednosti 1, 17, 33,49, 65, 81, od kojih u obzir dolazi samo 1, 49 i 81 kao potpuni kvadrati.

Razmotrimo tri moguća slučaja:

1o Iz se dobijaju rješenja

2o Iz se dobijaju rješenja

3o Iz se dobijaju rješenja .

23. Naći cjelobrojna riješenja jednačine

Rješenje:

Datu nejednakost transfomišimo u kvadratnu nejednačinu po nepoznatoj x.

Imamo

čija je diskriminata

Pa data jednačina nema realnih, a samim tim i cjelobrojnih rješenja.

Zadaci za samostalni rad

Metoda rastavljanja polinoma na faktore

1. Riješiti diofantsku jednačinu Rješenje: .2. Rastavljanjem polinoma na faktore riješiti jednačinu . Rješenje:: .

22

3. U skupu cjelih brojeva riješiti jednačinu . Rješenje: .4. Odrediti sve cijele brojeve x i y takve da je . Rješenje: 5. Koliko ima pravouglih trouglova čije su sve stranice prirodni brojevi, a jedna kateta 21. Naći stranice tih trouglova.Rješenje: 3; 6. Odrediti prirodne brojeve x i y tako da je (p je prost broj).

Rješenje:

7. Odrediti prirodan broj n i prost broj p tako da je . Rješenje: n = 1, p = 5.8. Odrediti prirodan broj n takav da je potpun kvadrat nekog prirodnog broja. Rješenje:n =1.9. Postoje li cijeli brojevi x i y takvi da je ? Rješenje: 10. Odrediti prirodan broj n i prost broj p tako da je . Rješenje: n = 5 ili n = 6, a p = 7 ili p = 3.11. Postoji li prost broj koji se može prikazati u obliku , gdje je n neki cio broj? Rješenje: n = 0, p = 3.12. Koliko prirodnih brojeva n ima osobinu da je potpun kvadrat nekog cijelog broja? Rješenje: 2, ( n = 5 ili n = 20).13. U skupu cijelih brojeva riješiti jednačinu .14. U skupu cijelih brojeva riješiti jednačinu .15. U skupu cijelih brojeva riješiti jednačinu .16. Postoje li cijeli brojevi x ,y i z takvi da je .17. Postoje li cijeli brojevi x i y takvi da je .18. Ako je n prirodan, a p prost broj riješiti jednačine: a) b) c) d) e) 19. Ako su x, y i z cijeli brojevi riješiti jednačinu .20. Riješiti u skupu cijelih brojeva .21. Naći cjelobrojna rješenja sistema: . Rješenje: .

22. Koliko cjelobrojnih rješenja ima jednačina . (Rez. 9).

Metoda dijeljenja polinoma

1. U skupu cjelih brojeva riješiti jednačinu .

Rješenje: .

2. Odrediti sve cijele brojeve koji se mogu napisati u obliku , gdje je a cio .

Rješenje: 3. U skupu cijelih brojeva riješiti jednačinu . Rješenje: .4. Odrediti sve dvocifrene prirodne brojeve sa osobinom da je njihova vrijednost jednaka kvadratu zbira cifara.

23

Rješenje: To je broj 81.5. U skupu cjelih brojeva riješiti jednačine:

a) b) c) d)

6. Postoji li prost broj p koji se može prikazati u obliku , gdje je n neki prirodan broj.

Metoda zbira stepena s parnim eksponentima

1. U skupu cjelih brojeva riješiti jednačinu . Rješenje: .2. Postoje li cijeli brojevi takvi da je . Rješenje: .3. U skupu cjelih brojeva riješiti jednačinu . Rješenje: .4. Odrediti sve cijele brojeve x i y tako da je . Rješenje: .5. Postoje li cijeli brojevi x , y i z takvi da je ? Rješenje:

.6. U skupu cjelih brojeva riješiti jednačine:

a) b) c)

Metoda posljednje znamenke (cifre)

1. Riješiti jednačinu u skupu Z. Rješenje: Nema rješenja. 2. Naći sva cjelobrojna rješenja jednačine Rješenje: Nema rješenja.

Metoda kongruencije (ostatka dijeljenja)

1. Dokazati da jednačina nema rješenja u skupu cijelih brojeva.2. Odrediti sve cijele brojeve čiji se kvadrat može napisati u obliku 9n + 5.3. U skupu Z riješiti jednačinu 4. Koliko rješenja u skupu Z ima ju jednačine: a) b) c) d) 5. Naći sve brojeve koji zadovoljavaju jednačinu . Rješenje: .6. Naći sve brojeve koji zadovoljavaju jednačinu .

24

Rješenje: i trojka (3,2,3).7. U skupu prirodnih brojeva riješiti jednačinu . Rješenje: .8. Dokazati da jednčina nema cjelobrojnih rješenja

Metoda nejednakosti

1. Naći sva cjelobrojna rješenja jednačine . Rješenje: .2. U skupu prirodnih brojeva riješiti jednačinu . Rješenje: (x,y,z) = (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3) (2,3,1) (3,1,2) (3,2,1).3. U skupu Z riješiti jednačinu x! + y! = z! , (n! čitamo n faktor jel i znači n! = 1·2·3··n). Rješenje: (x,y,z) = ( 0, 0, 2 ), ( 0, 1, 2 ), ( 1, 0, 2 ), ( 1, 1, 2 ).4. Naći sva cjelobrojna rješenja jednačine . Rješenje: (Upustvo: svesti na kvadratnu jednačinu po x).5. Za koje cijele brojeve x je broj kub cijelog broja? Rješenje: x = -1.6. Naći sva uređene trojke u skupu N jednačine . Upustvo.Smjena: . Rješenje: (x,y,z) = (1,1,1), (2,3,4), (2,4,3) (3,2,4) (3,4,2) (4,3,2) (4,2,3).7. Naći cjelobrojna rješenja sistema: . Rješenje: .8. Odredi sve dvocifrene brojeve koji se mogu napisati kao zbir kuba cifre desetica i kvadrata cifre jedinica. Upustvo: . Rješenje: (Broj 24.)

9. Naći sva cjelobrojna rješenja jednačine . Rješenje:

25