dinamika podzemnih voda

“Bez modernih u~ila nema ni novih saznanja”

IZDAVA^I:

1. Rudarsko geoloki fakultet, Beograd

Institut za hidrogeologiju

2. BALBY INTERNATIONAL, Preduzee za in`enjering, projektovanje i izvo|enje,Beograd

RECENZENTI:

Dr Vojislav Tomi, dipl. in`. geol.

Dr Duan Babac, dipl. in`. gra|.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Odlukom Komisije za izdava~ku delatnost Rudarsko geolokog fakulteta, br. 2144/1od 16.11.1995. godine, odobrava se tampanje rukopisa “Dinamika podzemnih voda”,autora Milenka Puia, kao stalnog ud`benika Univerziteta-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

[TAMPA:

Tira` 300 primeraka

UNIVERZITET U BEOGRADU

RUDARSKO GEOLO[KI FAKULTET

Dinamika

Podzemnih

Voda

Milenko Pui

Beograd, 2000.

Milenko Pui: Dinamika podzemnih vod I

S A D R @ A J

PREDGOVOR

GLAVA 1: UVOD U DINAMIKU PODZEMNIH VODA 1.

1.1. POJAM DINAMIKE PODZEMNIH VODA 3.

1.2. PRAKTIÂN INTERES IZUÂVANJA DINAMIKEPODZEMNIH VODA

3.

1.3. USLOVI STRUJANJA PODZEMNIH VODA 4.

1.4. [EMATIZACIJA STRUJANJA I POROZNE SREDINE 5.

1.4.1. [ematizacija porozne sredine 5.

1.4.2. [ematizacija strujanja podzemnih voda 6.

1.5. PARAMETRI STRUJANJA PODZEMNIH VODA 8.

1.6. JEDNAÎNE KOJIMA SE OPISUJE NESTACIONARNOSTRUJANJE

9.

1.7. USTALJENO I NEUSTALJENO KRETANJE 9.

GLAVA 2: HIDRODINAMI^KA TEORIJANESTACIONARNOG STRUJANJAPODZEMNIH VODA

11.

2.1. OSNOVNE POSTAVKE HIDRODINAMI^KE TEORIJESTRUJANJA

13.

2.1.1. Metode izu~avanja kretanja te~nosti 14.

2.1.2. Pojam idealne i realne te~nosti 14.

2.1.3. Sile koje uti~u na strujanje podzemnih voda 15.

2.2. OP[TA JEDNAÎNA NESTACIONARNOG STRUJANJAIDEALNE TE^NOSTI

15.

2.2.1. Jedna~ina stanja 15.

2.2.2. Jedna~ina kontinuiteta - kinematska jedna~ina 20.

2.2.3. Ojlerove jedna~ine strujanja idealne te~nosti - dinami~kejedna~ine

22.

2.2.4. Prelaz od idealne ka realnoj te~nosti - jedna~ina kretanjapodzemnih voda

26.

2.3. OSNOVNI POJMOVI POTENCIJALNOG STRUJANJA 29.

2.3.1. Pojam vrtlo`nog i bezvrtlo`nog strujanja 29.

2.3.2. Potencijal brzine 30.

2.3.3. Funkcija toka 30.

2.3.4. Ortogonalnost funkcije toka i potencijala brzine - strujna mreà 32.

2.4. POÊTNI I GRANI^NI USLOVI KOD RE[AVANJADIFERENCIJALNIH JEDNAÎNA STRUJANJA PODZEMIHVODA

33.

SadràjII

2.4.1. Definisanost problema 33.

2.4.2. Po~etni uslovi 34.

2.4.3. Grani~ni uslovi 34.

2.4.3.1. Granica zadatog potencijala 34.

2.4.3.2. Granica sa definisanim proticajem 35.

2.4.3.3. Vodonepropusna granica 35.

2.4.3.4. Polupropusna kontura 35.

2.4.3.5. Slobodna vodena povrina 36.

2.4.3.6. Povrina procurivanja 36.

2.4.3.7. Nagla promena koeficijenta filtracije 37.

GLAVA 3: RAVANSKO NESTACIONARNO STRUJANJEPODZEMNIH VODA

39.

3.1. PRIMENA HIDRODINAMI^KE TEORIJE FILTRACIJE IPRELAZAK NA HIDRAULI^KU TEORIJU

41.

3.2. OSNOVNE PRETPOSTAVKE HIDRAULI^KE TEORIJESTRUJANJA

41.

3.3. SPECIFI^NA IZDA[NOST IZDANI 43.

3.3.1. Specifi~na izdanost izdani pod pritiskom 44.

3.3.2. Specifi~na izdanost izdani sa slobodnom vodenom povrinom 46.

3.3.3. Ponderisana i fiktivna specifi~na izdanost i njena promenatokom vremena

47.

3.4. OSNOVNA DIFERENCIJALNA JEDNAÎNA RAVANSKOGSTRUJANJA (JEDNAÎNA BOUSSINESQ-A)

48.

3.4.1. Izvo|enje jedna~ine Boussinesq-a 48.

3.4.2. Linearizacija diferencijalne jedna~ine ravanskog strujanja 50.

3.4.2.1. Linearizacija prema Boussinesq-u 51.

3.4.2.2. Linearizacija prema Bagrov-Veriginu 52.

3.5. METODE RE[AVANJA 53.

3.5.1. Neka analiti~ka reenja 54.

3.5.1.1. Neograni~ena izdan 55.

3.5.1.2. Poluograni~ena izdan 56.

3.5.1.2.1 Slu~aj promene nivoa na granici toka 56.

3.5.1.2.2 Slu~aj poznatog proticaja na granici toka 59.

3.5.2. Numeri~ke metode reavanja - metoda kona~nih prirataja 61.

3.5.2.1. Jednodimenzionalno strujanje 61.

3.5.2.1.1 Eksplicitna metoda 64.

Milenko Pui: Dinamika podzemnih vod III

3.5.2.1.2 Implicitna metoda 64.

3.5.2.2. Dvodimenzionalno strujanje 65.

3.5.2.3. Osetljivost reenja na promene ulaznih parametara 69.

GLAVA 4: RADIJALNO NESTACIONARNO STRUJANJE 71.

4.1. DIFERENCIJALNA JEDNAÎNA RADIJALNOG STRUJANJAU HOMOGENOJ IZOTROPNOJ POROZNOJ SREDINI

73.

4.1.1. Strujanje sa slobodnom vodenom povrinom 74.

4.1.2. Strujanje pod pritiskom 77.

4.2. RE[ENJE DIFERENCIJALNE JEDNAÎNE RADIJALNOGSTRUJANJA U POSEBNOM SLUÂJU RE[ENJE THEISS-A

79.

4.3. PRIMENA JEDNAÎNE THEISS-A 83.

4.3.1. Raspored proticaja u strujnom polju 83.

4.3.2. Brzina sniènja nivoa podzemnih voda 85.

4.3.3. Radijus dejstva bunara 86.

4.3.4. Superpozicija strujanja 90.

4.3.4.1. Istovremeni rad grupe bunara sa konstantnim proticajima 90.

4.3.4.2. Strujanje u poluograni~enoj i ograni~enoj izdani saematizovanim granicama tipa ??= Const., ili ? = Const.

91.

4.3.4.3. Crpenje iz bunara sa konstantnim proticajem i trenutnimprekidom crpenja

92.

4.3.4.4. Crpenje iz usamljenog bunara sa sloènim hidrogramom 93.

4.4. DOPUNSKI HIDRAULI^KI GUBICI U BUNARU IPRIFILTARSKOJ ZONI

94.

4.4.1. Dopunski hidrauli~ki gubici linearnog karaktera 95.

4.4.1.1. Dopunska depresija usled nesavrenstva bunara 95.

4.4.1.2. Dopunska depresija u bunaru usled formiranja sloja isplake nazidu buotine

97.

4.4.1.3. Dopunska depresija usled neodgovarajue izrade, razrade ilieksploatacije bunara

98.

4.4.2. Dopunski hidrauli~ki gubici kvadratnog karaktera 99.

4.4.2.1. Dopunska depresija usled turbulentnog reìma strujanja uprifiltarskoj zoni bunara

99.

4.4.2.2. Dopunska depresija kao rezultat hidrauli~kih gubitaka na ulazuu bunarsku konstrukciju

101.

4.4.2.3. Dopunska depresija usled gubitaka na trenje du` filtarskekonstrukcije i eksploatacione kolone bunara

102.

SadràjIV

4.4.3. Promena dopunskih hidrauli~kih gubitaka 104.

GLAVA 5: INTERPRETACIJA PODATAKA OPITNIHCRPENJA U USTALJENOM INEUSTALJENOM RE@IMU STRUJANJA UHOMOGENOJ IZOTROPNOJ POROZNOJSREDINI

105.

5.1. UVOD 107.

5.2. GRAFOANALITI^KA OBRADA PODATAKA OPITNOGCRPENJA

108.

5.2.1. Opitno crpenje u kvazistacionarom reìmu strujanja 110.

5.2.1.1. Metoda S/Q = f(Q) 110.

5.2.1.2. Metoda S = log r 118.

5.2.2. Opitno crpenje u nestacionarnom reìmu strujanja 121.

5.2.2.1. Metoda S = f(log t) 122.

5.2.2.2. Metoda S = log(t/r2) 126.

5.2.2.3. Metoda S = log(t/t-t1) 128.

5.3. CRPENJE SA PROMENLJIVIM PROTICAJEM 130.

5.3.1. Crpenje sa neujedna~enim proticajem 130.

5.3.2. Crpenje sa dva, ili vie proticaja 132.

5.4. GRAFOANALITI^KA OBRADA PODATAKA OPITNOGCRPENJA IZ IZDANI KOJA NIJE NEOGRANIÊNA

133.

5.4.1. Izdan ograni~ena jednom pravolinijskom granicom konstantnogpotencijala

133.

5.4.2. Izdan ograni~ena jednom pravolinijskom vodonepropusnomgranicom

141.

5.4.3. Izdan ograni~ena sa vie granica 146.

5.5. PRIMENA RAÛNARA KOD OBRADE PODATAKAPROBNIH CRPENJA

147.

5.6. KONCEPCIJA POSTAVLJANJA OPITA CRPENJA 148.

GLAVA 6: NEUSTALJENO STRUJANJE U USLOVIMADVOSLOJEVITE POROZNE SREDINE

149.

6.1. UVOD 151.

6.2. OSNOVNE DIFERENCIJALNE JEDNAÎNENESTACIONARNOG STRUJANJA U DVOSLOJEVITOJPOROZNOJ SREDINI

152.

6.2.1. Usvojene hipoteze 152.

6.2.2. Postavka i izvo|enje jedna~ina 153.

Milenko Pui: Dinamika podzemnih vod V

6.2.2.1. Vodonosni sloj 153.

6.2.2.2. Povrinski slabije propusni sloj 154.

6.2.3. Reavanje sistema jedna~ina 155.

6.3. RE[AVANJE POSEBNIH SLU~AJEVA 156.

6.3.1. Posebno reenje za slu~aj kada je nivo podzemnih voda h =Const.

156.

6.3.1.1. Diskretizacija prora~unskog profila i postavljanje sistemajedna~ina

157.

6.3.1.2. Grani~ni uslovi, odre|ivanje integracionih konstanti 158.

6.3.1.3. Odre|ivanje proticaja kroz vodonosni i povlatni sloj 159.

6.3.2. Posebno reenje za slu~aj promenljivog nivoa podzemnih voda,h = h(x)

160.

6.3.2.1. Aproksimativno reenje primenom metode kona~nih prirataja 161.

6.3.2.2. Aproksimativna analiti~ka reenja 161.

6.4. STRUJANJE U TROSLOJEVITOJ POROZNOJ SREDINI 162.

6.5. RE[AVANJE PRAKTI^NIH ZADATAKA 164.

GLAVA 7: RE[AVANJE PROBLEMA IZ OBLASTISTRUJANJA PODZEMNIH VODAPRIMENOM MATEMATI^KOGMODELIRANJA RE@IMA PODZEMNIHVODA

167.

7.1. UVOD 169.

7.2. POJAM MATEMATI^KOG MODELA STRUJANJAPODZEMNIH VODA

169.

7.3. ELEMENTI MATEMATI^KOG MODELA 170.

7.4. FAZE IZRADE MATEMATI^KOG MODELA 171.

7.4.1. Definisanje problema 171.

7.4.2. Teorijska razmatranja, izbor karakteristika modela 172.

7.4.3. Priprema ulaznih podataka 172.

7.4.3.1. [ematizacija, diskretizacija 172.

7.4.3.2. Neophodne podloge 173.

7.4.3.3. Izbor grani~nih i po~etnih uslova 173.

7.4.3.4. Istorijat promene pojedinih parametara 174.

7.4.3.5. Izbor prora~unskog intervala, njegova diskretizacija 174.

7.4.4. Izrada matemati~kog modela - prva aproksimacija 174.

7.4.5. Identifikacija repzentativnih parametara i verifikacija modela 175.

7.4.5.1. Identifikacija reprezentativnih parametara 175.

SadràjVI

7.4.5.2. Parametarska analiza 176.

7.4.5.3. Analiza stepena greke 176.

7.5. EKSPLOATACIJA MATEMATI^KOG MODELA -SIMULACIJA I PROGNOZA RE@IMA PODZEMNIH VODA

177.

7.5.1. Ciljevi 177.

7.5.2. Problemi prognoze ulaznih parametara 177.

7.5.3. Izrada reenja po varijantama 178.

7.5.4. Noveliranje matemati~kog modela, praenje i prognozaeksploatacije

178.

7.5.5. Prognoza efekata eksploatacije u narednom periodu 178.

GLAVA 8: IZABRANA POGLAVLJA 179.

8.1. UTICAJ PROMENE ATMOSFERSKOG PRITISKA -BAROMETARSKI EFEKAT

181.

8.2. KONTAKT SLATKE I SLANE VODE 184.

8.2.1. Giben-Hertzbergov zakon 184.

8.2.1.1. Osnovne postavke 184.

8.2.1.2. Ograni~enja Giben-Hertzbergovog zakona 185.

8.2.1.3. Duìna intruzije slane vode u zale|u priobalja 186.

8.2.1.4. Mere prevencije i sanacije intruzije slane vode 187.

8.2.2. Specifi~na izdanost izdani u uslovima kontakta slane i slatkevode

188.

8.2.2.1. Specifi~na izdanost izdani u uslovima strujanja sa slobodnimnivoom

189.

8.2.2.2. Specifi~na izdanost izdani u uslovima strujanja pod pritiskom 190.

8.3. PRIMENA HIDROLO[KIH METODA IZUÂVANJA IPROGNOZE RE@IMA PODZEMNIH VODA

191.

8.3.1. Korelaciona veza padavina i promene nivoa podzemnih voda, zapodru~je van uticaja povrinskih vodotoka

192.

8.3.1.1. Slu~aj postojanja samo vertikalnih faktora bilansa 194.

8.3.1.2. Slu~aj postojanja vertikalnih faktora bilansa i podzemnogdoticaja

195.

8.3.1.3. Slu~aj postojanja vertikalnih parametara bilansa i povrinskogoticaja 197.

8.3.1.4. Opti slu~aj 198.

8.3.2. Hidroloke metode u izu~avanju reìma podzemnih vodapriobalnog podru~ja

200.

8.3.3. Metoda tarismana 201.

Milenko Pui: Dinamika podzemnih vod VII

DODATAK I 203.

DODATAK II 207.

DODATAK III 219.

LITERATURA 227.

PREDGOVOR

Inènjersko reavanje prakti~nih problema iz oblasti strujanja podzemnih voda

zahteva kvantifikaciju parametara prirodne sredine i procesa u prostoru i vremenu. Pored

toga, prognoza odre|enih pojava, kako u prirodnim uslovima, tako i uslovima primene

planiranih tehni~kih reenja, predstavljaju osnovne zadatke inènjera, koji se bave ovom

problematikom. Za uspeno prevazilaènje ovog problema, neophodno je poznavati zakone

strujanja podzemnih voda, uslove primene diferencijalnih jedna~ina koje ih opisuju i

raspolagati odgovarajuim matemati~kim aparatom za njihovo reavanje.

U dananje vreme, praksa sve vie zahteva naputanje starih, utabanih staza u

reavanju hidrogeolokih problema. Ovo se najvie ogleda u metodici interpretacije rezultata

terenskih i laboratorijskih istraìvanja. Dinamika podzemnih voda, kao jedna od osnova

(pored hidraulike, hidrologije i hidrohemije) tzv. kvantitativne hidrogeologije, tako|e je pod

sna`nim uticajem savremenih trendova.

“Dinamika podzemnih voda” je knjiga u kojoj se obra|uju neki oblici strujanja

podzemnih voda u nestacionarnim uslovima. Ovaj ud`benik obuhvata gradivo koje se u

okviru dvosemestralnog kursa predaje studentima hidrogeologije na Rudarsko geolokom

fakultetu u Beogradu i predstavlja logi~an nastavak knjige “Hidraulika podzemnih voda -

stacionarna strujanja” istog autora.

Polazei od hidrodinami~ke teorije filtracije, koja predstavlja osnovu dinamike

podzemnih voda, pa preko hidrauli~ke teorije, ~ijom primenom su omoguena analiti~ka

reenja diferencijalnih jedna~ina strujanja podzemnih voda, autor je pokuao da studentima, a

i zainteresovanim ~itaocima, izloì put od postavke problema do njegovog reavanja. U

ovome se naroito isti~u poglavlja koja tretiraju radijalno strujanje podzemnih voda, gde su

detaljno izloène metode grafoanaliti~ke interpretacije opitnih crpenja iz bunara, kao i delovi

knjige, vezani za primenu numeri~kih metoda reavanja diferencijalnih jedna~ina strujanja

podzemnih voda (metoda kona~nih prirataja) i reavanje prakti~nih problema matemati~kim

modeliranjem.

Beograd, mart 1996. Autor

1. GLAVA

U

DINAMIKU PODZEMNIH VODA

M. Puši - Dinamika podzemnih voda---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2

Glava 1 - Uvod u dinamiku podzemnih voda---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3

1.1 POJAM DINAMIKE PODZEMNIH VODAU nau~noj i stru~noj praksi uobi~ajeno je da se nauka o kretanju podzemnih voda

naziva dinamikom podzemnih voda. Dinamika podzemnih voda proizlazi iz optijih nauka okretanju te~nosti - hidraulike i mehanike fluida.

Ona je tesno vezana sa srodnim prirodnim naukama: geologijom, hidrogeologijom,hidrologijom, geomorfologijom, meteorologijom, hidrohemijom, itd., u toj meri, u kojojprirodni faktori i procesi, koji se izu~avaju tim naukama, uti~u na kretanje podzemnih voda.

Dinamika podzemnih voda je povezana sa naukama fizi~ko - matemati~kog karaktera,u prvom redu sa matemati~kom fizikom, viom matematikom i hidrodinamikom, tj. naukamakoje omoguuju kvantitativnu ocenu osnovnih komponenti filtracionog toka - njegove brzine,proticaja i pritiska.

Razvijanjem sopstvenih i korienjem odgovarajuih metoda reavanja iz pomenutihnauka, dinamika podzemnih voda se razvila u samostalnu nau~nu disciplinu. Povezanostdinamike podzemnih voda sa razli~itim nau~nim disciplinama pokazuje da ona predstavljakompleksnu nauku, bez ~ije primene nije mogue reavanje ozbiljnijih hidrogeolokihzadataka.

Za primenu hidrodinami~kih prora~una (uobi~ajeni naziv za prora~une u okvirudinamike podzemnih voda) neophodno je izvriti ematizaciju prirodne sredinu i granicaoblasti strujanja podzemnih voda, kao i odrediti prora~unske veli~ine, odnosno hidrogeolokeparametre - filtracione karakteristike vodonosne stenske mase, geometrijske i hidrauli~keosobine podzemnog filtracionog toka, itd.

Osnovni zadaci inènjera hidrogeologa kod sprovo|enja hidrodinami~kih prora~unajesu: pravilna ematizacija prirodnih uslova (usvajanje prora~unske eme) i pravilnoodre|ivanje hidrogeolokih parametara.

Takva ematizacija mora biti napravljena s minimalnim odstupanjem od prirodnihuslova. U protivnom, hidrodinami~ki prora~uni mogu biti "odvojeni" od prirodnih uslova isamim tim nerealni. Me|utim, pri tome se mora voditi ra~una da se ne upadne u greku, jerpreterano “pribliàvanje” prirodi ~esto ne omoguava racionalno reavanje postavljenogzadatka.

1.2 PRAKTIÂN INTERES IZUÂVANJA DINAMIKE

PODZEMNIH VODA

Prakti~an zna~aj dinamike podzemnih voda ogleda se u njenoj primeni u reavanjuraznovrsnih problema iz oblasti strujanja podzemnih voda, isti~ui na taj na~in i zna~ajhidrogeologije, ~iji je ona sastavni deo, u bitnim oblastima ljudske delatnosti.

U vodosnabdevanju - veoma su zna~ajni zadaci odre|ivanja prirodnih resursa ieksploatacionih rezervi podzemnih voda, kapaciteta vodozahvata i njihovog uzajamnogdejstva u prostoru i vremenu.

U oblasti navodnjavanja - znanje dinamike podzemnih voda je neophodno zaodre|ivanje filtracionih gubitaka iz kanala irigacionih mreà, izrada bilansa podzemnih vodana teritoriji navodnjavanja, prora~una normi zalivanja. U oblasti odvodnjavanja, jedna~inedinamike podzemnih voda se koriste pri projektovanju isuivanja mo~vara i zamo~varenihpodru~ja i za potrebe razli~itih drena`nih objekata.

Kod hidrotehni~ke izgradnje - primena dinamike podzemnih voda omoguavaodre|ivanje filtracionih gubitaka u osnovama i oko brana, uticaj filtracije vode na stabilnostsredine u osnovama brana pri izlasku vode na nizvodnom kraju, davanje prognoze potapanjateritorije koja se nalazi u zoni uticaja akumulacije, itd.

U gra|evinarstvu - kod prora~una i prognoze sleganja terena usled izgradnje objekata,odvodnjavanja temelja objekata, itd.


Na osnovu analize hidrogeolokih uslova i primene jedna~ina dinamike podzemnihvoda, prognozira se dotok podzemnih voda u rudarske radove. Odvodnjavanje rudarskihkopova predstavlja zna~ajno polje delatnosti dinamike podzemnih voda.

Pri eksploataciji nafte - hidrogeoloki prora~uni omoguavaju razradu mera zaodvodnjavanje naftnog leìta. Pored toga, oni predstavljaju bazu za projektovanjeeksploatacije.

Pored toga, kao to odre|ene nauke i struke imaju uticaja na razvoj dinamikepodzemnih voda, tako i ona ima povratni uticaj na njih. Rezultati hidrodinami~kih istraìvanjaimaju primenu u geolokim, geofizi~kim, gra|evinskim i drugim istraìvanjima.

1.3 USLOVI STRUJANJA PODZEMNIH VODA

Posmatrajui strujanje podzemnih voda jedne izdani, mogu se odvojeno analiziratitakozvani makrouslovi i mikrouslovi strujanja.

Makrouslovi strujanja vezani su pre svega za reìm i bilans izdani u celini. Faktorikoji uslovljavaju oblik pojavljivanja i strujanja podzemnih voda su, generalno: geoloki,hidrogeoloki i hidrauli~ki.

Kao osnovni geoloki faktori kretanja podzemnih voda, javljaju se litoloke, teksturnei strukturne karakteristike stenskih masa, njihov tektonski sklop i uslovi rasprostiranjavodonosnih stena.

Hidrogeoloki faktori su tip i veli~ina poroznosti stena, vodopropusnost, uslovihranjenja i dreniranja podzemnih voda.

Hidrauli~ki karakter strujanja podzemnih voda se karakterie rasporedom pritisaka ibrzina u strujnom polju.

Reìm izdani u celini zavisi od reìma njenog prihranjivanja i dreniranja, odnosnonjihovog intenziteta i promene tokom vremena. Hranjenje i dreniranje izdani mogu bitirezultat prirodnih i veta~kih (antropogenih) ~inilaca.

U zavisnosti od uslova strujanja, da li je sa slobodnom vodenom povrinom, ili podpritiskom, hranjenje se odvija kroz razli~ite oblike infiltracije vode u poroznu sredinu, kaoinfiltracija sa povrine terena od padavina, topljenja snega, navodnjavanja, zatim kao doticajiz dubljih i pliih vodonosnih horizonata, ili kroz hranjenje infiltracijom iz povrinskihvodotoka.

Dreniranje se odvija preko prirodnih izvora i povrinskih vodotoka,evapotranspiracijom (kod plitkih izdani sa slobodnom vodenom povrinom), pretakanjem(filtracijom) u susedne vodonosne horizonte i veta~ki, eksploatacijom podzemnih voda.

Pod mikrouslovima strujanja podzemnih voda mogu se smatrati uslovi egzistencije ikretanja u okviru pora porozne sredine. Ovde su od zna~aja tip i oblici pojavljivanja pora,njihova geometrija i hidrauli~ke karakteristike. U izu~avanju strujanja u ovoj razmeriposmatranja ne mogu se zanemariti ni hidrodinami~ke osobine podzemnih voda, od kojih sunajva`nije gustina i viskozitet. Tako|e, od zna~aja su procesi interakcije vode i poroznesredine: procesi rastvaranja (korozija), transporta i istaloàvanja (inkrustacija i kristalizacija)mineralnih materija i gasova, termodinami~ki procesi u okviru razmene toplote stenske mase ivode, itd.

Kretanje podzemnih voda ne zavisi samo od filtracionih svojstava porozne sredine,nego u zna~ajnom stepenu i od svojstava same te~nosti. Filtraciona svojstva podzemnih vodauslovljena su u osnovi viskozitetom, gustinom i zasienou gasovima. Znatna promena ovihsvojstava sree se kod podzemnih voda u dubokim horizontima.


5

Slika 1.1: Ciklus kretanja voda : PO - povrinski oticaj, E - evaporacija (isparavanje sa slobodne vodenepovrine), ET - evapotranspiracija, T - transpiracija, Inf. - infiltracija

1.4 [EMATIZACIJA STRUJANJA I POROZNE SREDINE

U poroznoj vodonosnoj sredini podzema voda prolazi kroz kompleksnu mreùme|usobno povezanih pora i upljina. U izu~avanju strujanja podzemnih voda uobi~ajeno jeda se mikroskopska strujna mreà unutar pojedina~nih pora previ|a, posmatra se i analizirafiktivni podzemni tok koji reprezentuje realno strujanje u poroznoj sredini. Ovaj fiktivni tokzadovoljava pretpostavljeni koncept kontinuuma, koji nalazi viestruku primenu u fizici.O~igledan razlog zbog koga se koristi aproksimacija strujne oblasti kontinuumom kodstrujanja kroz poroznu sredinu je taj to je prakti~no nemogue ta~no opisati na bilo kojimatemati~ki na~in komplikovanu geometriju povrina pora koje ograni~avaju strujni fluid.Prema tome, mada se u principu raspolaè sa osnovnim jedna~inama zakona strujanja (naprimer Navije - Stoksovim jedna~inama) i konturnim uslovima, prakti~no reenje namikroskopskom nivou je nemogue.

1.4.1 [EMATIZACIJA POROZNE SREDINE

U skladu sa usvojenom osnovnom emom strujanja podzemnih voda - emomkontinuuma, dalje generalno uproavanje se nastavlja u vezi sa genitetom i tropijom poroznesredine, odnosno njenih filtracionih karakteristika:

Slika 1.2: Genitet i tropija porozne sredine (posmatrano u mikrorazmeri)

• homogena izotropna - filtracione karakteristike, naprimer koeficijent filtracije, su isti usvim ta~kama sredine i u svim pravcima, slika 1.2.a.

• homogena anizotropna - koeficijent filtracije je u svim ta~kam isti, ali je razli~it urazli~itim pravcima, slika 1.2.b.


• heterogena izotropna - koeficijent filtracije nije isti u svim ta~kama sredine, ali je u datojta~ki isti u svim pravcima, slika 1.2.c.

• heterogena anizotropna - koeficijent filtracije nije isti u svim ta~kama sredine i u datojta~ki nije isti u svim pravcima, slika1.2.d.

1.4.2 [EMATIZACIJA STRUJANJA PODZEMNIH VODA

U zavisnosti od karakteristika strujnog polja, strujanje, koje je u optem slu~ajuprostorno, mo`e se, za potrebe lakeg prora~una, ematizovati kao:• jednodimenzionalno strujanje - odvija se u pravcu paralelnom sa jednom osom

koordinatnog sistema. Brzine i pritisci su funkcija samo jedne koordinate - na primer x,slika 1.3.

Slika 1.3: Izdanski tok pod pritiskom, sa konstantnom debljinom vodonosnog sloja

• dvodimenzionalno (ravansko) strujanje - Odvija se u jednoj ravni (u planu, ili u profilu),slika 1.4.

Slika 1.4: Dvodimenzionalno strujanje ispod tela brane, posmatrano u profilu

• radijalno (osnosimetri~no) strujanje - predstavlja specijalan slu~aj ravanskog strujanja uplanu. Javlja se kod strujanja prema usamljenom savrenom bunaru, koji kaptirahomogenu izotropnu poroznu sredinu, neograni~enog prostiranja, slika 1.5. U profilu,strujanje prema bunaru se mo`e posmatrati kao jednodimenzionalno, u pojedinimslu~ajevima strujanja pod pritiskom, ili kao dvodimenzionalno, kod strujanja saslobodnim nivoom.

• trodimenzionalno (prostorno) strujanje - predstavlja opti vid strujanja podzemnih voda,u pogledu pavca i smera kretanja, slika 1.6.


7

Slika 1.5: Radijalno strujanje - strujanje prema bunaru

Generalno, strujanje podzemnih voda mo`e biti u uslovima pod pritiskom i saslobodnim nivoom. Prepoznavanje ovih strujanja, odnosno, razlika izme|u njih u prirodnimuslovima nije uvek o~igledna i jednostavna, me|utim ematizacija realnog strujanja na jednood navedenih, ili njihovu kombinaciju, veoma olakava prou~avanje strujanja podzemnihvoda. Ovakva ematizacija je zna~ajna i zbog postavljanja i izvo|enja jedna~ina, kojima sestrujanje opisuje.

Slika 1.6: Trodimenzionalno strujanje - strujanje prema grupi bunara: a) trodimenzionalni prikazpijezometarske povri; b) projekcija izopijeza na horizontalnu ravan (aksonometrija)

Najzna~ajnija razlika izme|u strujanja pod pritiskom i sa slobodnim nivoom je utretmanu nivoa slobodne vodene povrine.

Kod strujanja sa slobodnom povrinom, slobodna povr izdani ujedno predstavlja ipijezometarsku povr, obzirom da su brzine filtracije podzemnih voda kroz poroznu sredinudovoljno male, tako da se kineti~ka energija toka mo`e zanemariti1 (slika 1.7.a).

1 Gornja pretpostavka je jedna od fundamentalnih za ematizaciju strujanja podzemnih voda i postavku i

izvo|enje jedna~ina strujanja.


Nivo slobodne vodene povrine diktira debljinu izdanskog toka, tako da je strujanje uovom slu~aju uglavnom izrazito prostorno. Filtracioni tok je u funkciji gradijenta (pada)nivoa slobodne vodene povrine, a propagacija promene nivoa u prostoru je relativno spora.

Kod strujanja pod pritiskom oblast strujanja je limitirana zapreminom vodonosnogsloja, gde je njegova povlata ujedno i gornja povrina izdanskog toka (slika 1.7.b). U ovimuslovima, propagacija uticaja strujanja (promena nivoa) je daleko br`a nego kod strujanja saslobodnim nivoom.

** *

Primenom eme kontinuuma u analizi strujanja podzemnih voda, uspostavljena jelinearna veza izme|u filtracionog proticaja i pada pijezometarskog nivoa izdani - Darsijevzakon strujanja, kao zakon filtracije podzemnih voda. U odre|enim uslovima strujanja, uporoznoj sredini sa pukotinskom, ili kavernoznom poroznou, primenjuju se razli~iti modelistrujanja, ali je i tu mogue primeniti model kontinuuma sa zadovoljavajuom ta~nou,naravno, imajui u vidu razmeru posmatranja.

1.5 PARAMETRI STRUJANJA PODZEMNIH VODA

U optem slu~aju, kod reavanja strujanja podzemnih voda, kao nepoznate veli~inejavljaju se veli~ine koje treba poznavati u svim ta~kama strujnog polja i u svakom trenutkustrujanja: - gustina te~nosti, (skalarna veli~ina), ρ, - hidrodinami~ki pritisak, (skalarna veli~ina), p i - filtraciona brzina, (vektorska veli~ina), v.

Slika 1.7: Strujni tok sa - a) slobodnim nivoom; b) pod pritiskom

Sa gledita matemati~ke analize, pogodnije je operisati sa komponentama brzine, upravcu osa datog (pravougaonog) koordinatnog sistema, umesto sa brzinom, v, i to: vx, vy, vz,slika 1.8.

Slika 1.8: Komponente brzine u pravouglom koordinatnom sistemu


9

1.6 JEDNAÎNE KOJIMA SE OPISUJE NESTACIONARNO

STRUJANJE

Na osnovu gornjeg, postavljeni zadatak reavanja strujanja podzemnih voda se svodina nalaènje pet veli~ina - funkcija koordinata (poloàja u prostoru) i vremena:

ρ = f (x,y,z,t),p = f (x,y,z,t),

vx= f (x,y,z,t), (1.1)

vy= f (x,y,z,t),

vz = f (x,y,z,t),gde su:x,y,z - koordinate posmatrane ta~ke strujnog toka, u pravcu osa pravouglog koordinatnogsistema, [L],t - posmatrani vremenski trenutak, [Τ],tako da je za reenje neophodno postaviti ukupno pet jedna~ina, i to:

• jedna~inu stanja,• jedna~inu kontinuiteta (kinematska jedna~ina) i• tri jedna~ine kretanja (dinami~ke jedna~ine).

1.7 USTALJENO I NEUSTALJENO KRETANJE

Pri ustaljenom, ili stacionarnom strujanju, gustina te~nosti, hidrodinami~ki pritisak ibrzina kretanja svake ~estice te~nosti, u datom momentu i datom poloàju ta~ke u prostoruostaju nepromenjeni, ne zavise od vremena. Pri prelasku posmatrane ~estice te~nosti iz jedneu drugu ta~ku prostora, ovi osnovni parametri strujanja se menjaju od ta~ke do ta~ke. Na tajna~in, gustina te~nosti, hidrodinami~ki pritisak i brzina kretanja ~estica toka su funkcijekoordinata kretanja ~estica te~nosti:

ρ = f1(x,y,z); p = f2(x,y,z); v = f3(x,y,z) (1.2)

Pri neustaljenom (nestacionarnom) strujanju te~nosti, gustina, hidrodinami~ki pritisaki brzina kretanja ~estica se ne menjaju samo pri prelasku ~estice te~nosti iz jedne ta~keprostora u drugu, nego se menjaju u svakoj ta~ki i tokom vremena, tj. u datom slu~aju oviparametri kretanja ~estica su funkcija kako koordinata poloàja, tako i vremena:

ρ = f1'(x,y,z,t); p = f2'(x,y,z,t); v = f3'(x,y,z,t) (1.3)

Nestacionarno strujanje je najoptiji vid kretanja. Stacionarno strujanje je specijalan(poseban) slu~aj opteg kretanja, kod koga nema promene osnovnih parametara tokomvremena:

∂ρ∂t

= 0 ; ∂∂p

t= 0 ;

∂∂v

t= 0 (1.4)

Neustaljeno kretanje podzemnih voda se javlja pri promeni uslova hranjenja ilidreniranja izdani. Promene mogu biti izazvane prirodnim, ili veta~kim uzrocima. Kaoprirodni uzroci mogu se javiti neravnomerna infiltracija atmosferskih padavina na povrinezona hranjenja vodonosnog sloja, kolebanje nivoa drenirajuih povrinskih voda, otapanjesnega, povodanj. Veta~ki uzroci mogu biti: crpenje vode iz bunara, odvodnjavanje, kolebanjenivoa podzemnih voda pri izgradnji brana i punjenju akumulacija, navodnjavanje, isuivanjejezera i mo~varnih povrina, itd.

Neustaljeno kretanje se javlja pri izmeni nivoa podzemnih voda, to izaziva promenugradijenta pritiska, brzine filtracije i proticaja podzemnog toka.

2. GLAVA

HIDRODINAMI^KA TEORIJA

NESTACIONARNOG STRUJANJA

PODZEMNIH VODA

M. Pui - Dinamika podzemnih voda---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------12

2.1 OSNOVNE POSTAVKE HIDRODINAMI^KE

TEORIJE STRUJANJA

2.1.1 METODE IZUÂVANJA KRETANJA TE^NOSTI

Deo hidromehanike (kao deo opte mehanike materijalnih ta~aka i tvrdih tela), kojirazmatra oblike kretanja te~nosti, ne uzimajui u obzir sile pod ~ijim se uticajem strujanjeodigrava, zove se kinematika te~nosti (fluida).

Za razliku od kinematike, u hidrodinamici se analiziraju sile koje deluju unutarte~nosti i njihovi odnosi sa kinematskim karakteristikama.

U hidrodinamici postoje dva pristupa prou~avanju strujanja te~nosti.Prema prvom, nazvanom Lagranòva metoda, analizira se i prati kretanje beskona~no

male, elementarne zapremine te~nosti u strujnom toku. Za poznate po~etne koordinate x0, y0 iz0 (u koordinatnom sistemu koji u optem slu~aju moè biti i krivolinijski), strujanje jepoznato, ako je poloàj svih ~estica te~nosti zadan koordinatama x, y i z u funkciji vremena, t:

x = x(x0, y0, z0, t)

y = y(x0, y0, z0, t) (2.1)

z = z(x0, y0, z0, t)

Za potpuno poznavanje posmatranog strujanja neophodno je poznavati i promenukarakteristika same te~nosti, koja se izraàva preko gustine te~nosti, ρ, koja je u funkciji istihparametara:

ρ = ρ(x0, y0, z0, t) (2.2)

Na slici 2.1.a moè se videti grafi~ka ilustracija ove metode, kretanje posmatraneelementarne zapremine (materijalne ta~ke) u strujnom toku.

Drugi na~in je tzv. Ojlerova metoda, prema kojoj se posmatra nepokretna zapremina,kroz koju prolazi te~nost. U ovom slu~aju se analiziraju veli~ina i promena brzine kretanjate~nosti i njenih projekcija na koordinatne ose, koje se izraàvaju u funkciji koordinata ivremena:

vx = vx(x, y, z, t)

vy = vy(x, y, z, t) (2.3)

vz = vz(x, y, z, t)

Tako|e, neophodno je poznavati i gustinu te~nosti, tako|e u funkciji koordinata ivremena:

ρ = ρ(x, y, z, t) (2.4)

Za elementarnu zapreminu, ~ije su koordinate poznate, brzina je prakti~no funkcijavremena, slika 2.1.b.

U dosadanjoj praksi izu~avanja strujanja te~nosti ubedljivo preovla|uje Ojlerovametoda, kao jednostavnija i prihvatljivija za reavanje prakti~nih problema.

Glava 2 - Hidrodinami~ka teorija nestacionarnog strujanja ...---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

13

Slika 2.1: Praenje kretanja te~nosti - a) prema metodi Lagranà; b) prema metodi Ojlera

2.1.2 POJAM IDEALNE I REALNE TE^NOSTI

Pod te~nostima podrazumevamo fizi~ka tela, lako promenljive forme pri dejstvuspoljanjih sila, ili pri promeni temperature. Te~nosti mogu biti bez i sa sadràjem gasova,mogu se posmatrati kao nestiljive i stiljive. Hidraulika izu~ava te~nosti bez sadràja gasova.

U hidrodinamici se izu~ava uticaj sila toka na tela koja se u njemu nalaze, kao ireakcija tela na delovanje strujnog toka. Reavanje ovakvih problema je veomakomplikovano, ukoliko se uzimaju u obzir sve karakeristike te~nosti.

Zbog toga su osnovne jedna~ine hidrodinamike izvedene najpre za idealnu, ilisavrenu te~nost, apstraktnu, koja se ne javlja u prirodi. Ona se razlikuje od realne te~nostiotsustvom sila unutranjeg trenja (viskoziteta), apsolutnom nestiljivou i otsustvomtemperaturnog irenja.

Realna, prirodna te~nost, u veoj, ili manjoj meri poseduje unutranju koheziju(sposobnost pruànja otpora tangencijalnim silama). Ova sposobnost se naziva viskoznost.Prema veli~ini viskoznosti, realne te~nosti se razlikuju me|u sobom, pa ~ak i jedna istate~nost zbog promenljive viskoznosti ima razli~ita svojstva. Tako|e, u odre|enim uslovima,promena gustine i stiljivosti te~nosti dolaze do izraàja, to je karakteristika realne te~nosti.

Idealne te~nosti ~esto nazivamo neviskoznim, a realne te~nosti - viskoznim.Kretanje viskozne te~nosti opisuje su optim jedna~inama Navije-Stoksa, koje

predstavljaju polazni element analize viskoznih te~enja u klasi~noj hidromehanici. U osnovitakve analize leì integracija pomenutih jedna~ina u okviru datih grani~nih uslova.

Me|utim, od samog po~etka je jasno da se, usled dominatne uloge grani~nih uslovastrujanja podzemnih voda, u kombinaciji sa izuzetno sloènom geometrijom porozne sredine,reenje jedna~ina Navije-Stoksa za poroznu ili ispucalu sredinu, prakti~no ne moè nai. Ovajna~in je, prirodno, zatvoren za postavljanje teorije filtracije i posebno, za teorijsko opisivanjeosnovnog zakona kretanja podzemnih voda na bazi fizi~ki zasnovanih uproavanja.

Uvo|enje postavke o idealnoj te~nosti omoguilo je jednostavnije reavanje mnogihteorijskih pitanja hidraulike i izvo|enje diferencijalnih jedna~ina kretanja te~nosti. Brojnimteorijskim istraìvanjima, pokazano je, da je matemati~kim transformacijama i uvo|enjemkorektivnih, ili dopunskih ~lanova u jedna~ine idealne te~nosti, mogue prei ka izu~avanjuprirodnih voda. Time je uspostavljena veza izme|u hidraulike i dinamike podzemnih voda.


2.1.3 SILE KOJE UTIÛ NA STRUJANJE PODZEMNIH VODA

Na te~nosti, podzemne vode u geolokim formacijama (poroznoj, vodopropusnoj, ilivodonosnoj sredini), deluju sile razli~itog porekla i karaktera.

Na ~estice vode, posmatrane kao idealna te~nost, deluje sila hidrostati~kog pritiska(povrinska sila) i privla~na sila Zemljine teè (zapreminska sila). Kretanju idealne te~nosti sesuprotstavlja inercijalna sila, prema zakonu akcije i reakcije (III Njutnov zakon).

Voda, kao realna te~nost, pri kretanju vri odre|eni rad, koji se izraàva kroz rad sileotpora.

U odre|enim uslovima, podzemne vode u poroznoj sredini su pod uticajem i drugihenergetskih polja, kao to je energija elasti~nih svojstava same vode i vodonosnog sloja ukome se nalazi, zatim energija kompresije slobodnog gasa u vodi, itd.

2.2 OP[TA JEDNAÎNA NESTACIONARNOG STRUJANJA

IDEALNE TE^NOSTI

U osnovi postavke matemati~ke teorije kretanja podzemnih voda o~igledno leèfundamentalne fizi~ke zakonomernosti, koje mogu biti formalno predstavljene u vidunekoliko osnovnih jedna~ina.

Prva od takvih zakonomernosti je jedna~ina kretanja - veza izme|u gubitka energije irada sila otpora, koja se za iroki krug uslova izraàva zakonom Darsija (u diferencijalnojformi). Ako bi se u teoriji razmatralo i premetanje ~vrste faze, morala bi se napisati ijedna~ina kretanja sitnijih frakcija zrna (ispune) u okviru skeleta porozne sredine.

Dalje sledi va`na zakonomernost - uslov o~uvanja mase te~nosti, koji se izraàva umatemati~koj formi jedna~inom kontinuiteta. Ova jedna~ina se izvodi iz bilansa mase te~nostikoja prolazi kroz elementarnu zapreminu u elementarnom intervalu vremena.

Na kraju je jedna~ina stanja, koja odraàva karakter promene fizi~kih svojstavaizu~avane te~nosti (vode) i sredine tokom procesa filtracije. Na jedna~inu stanja mogu seodnositi: zakon Huka, koji odraàva zavisnost gustine vode (ρ) od hidrostati~kog pritiska ijedna~ina stiljivosti, koja opisuje vezu poroznosti (n) i efektivnog pritiska. Za slu~ajnestiljivih faza, kada se smatra da su voda i porozna sredina nestiljive, jedna~ina stanjadobija oblik ρ = Const. i n = Const.

U nastavku se prikazuju ove jedna~ine, polazei od najjednostavnije, jedna~ine stanja,pa preko jedna~ine kontinuiteta (kinematske jedna~ine), do Ojlerovih jedna~ina kretanjaidealne i realne te~nosti (dinami~ke jedna~ine).

2.2.1 JEDNAÎNA STANJA

Na uslove filtracije podzemnih voda uti~u svojstva te~nosti i porozne sredine, koja semogu menjati po prostoru i po vremenu u zavisnosti od temperature, pritiska i drugih faktora.Poznavanje ovih svojstava i njihove promene pri oceni uslova filtracije odraàva se naprimenu (oblik) jedna~ina stanja te~nosti i porozne sredine. Jedna~ina stanja karakterieponaanje (stanje) porozne sredine i te~nosti u uslovima filtracije.

O~igledno je da se u realnim uslovima filtracije, u zavisnosti od promene pritiska, p, itemperature, T, menjaju odre|ena svojstva te~nosti, od kojih su dominantni: gustina, ρ, iviskozitet, ν. U vezi s tim, opta jedna~ina stanja te~nosti se moè napisati u sledeem vidu:

ρν

= f p T( , ) (2.5)


15

Na slici 2.2, grafi~ki je prikazana zavisnost gustine i viskoznosti (izraèna prekokoeficijenta kinematskog viskoziteta), od promene temperature (pri atmosferskom pritisku).

Slika 2.2: Zavisnost gustine (ρ) i koeficijenta kinematskog viskoziteta (ν) vode od temperature

Uzimajui u obzir promene zapremine pornog prostora stenske mase, odnosno aktivneporoznosti, n, pri promeni hidrostati~kog pritiska, jedna~ina stanjaporozne sredine u optemslu~aju se moè napisati u sledeem vidu

n = f(p, T) (2.6)

U konkretnim prirodnim uslovima, u zavisnosti od karaktera i stepena promenesvojstava te~nosti i stene, jedna~ina stanja se moè promeniti.

Pri izu~avanju i oceni uslova filtracije podzemnih “presnih” voda1sa slobodnimnivoom, koje se nalaze na relativno malim dubinama, voda se ponaa kao nestiljiva ijednorodna po sastavu, pri ~emu je gustina nepromenljiva. Jedna~ina stanja te~nosti ima tadaoblik:

ρ = Const. (2.7)

Pri tome je porozna sredina tako|e nestiljiva, a aktivna poroznost nepromenljiva,tako da je jedna~ina stanja porozne sredine:

n = Const. (2.8)

Strogo govorei, elasti~na svojstva porozne sredine i te~nosti imaju uticaja i prifiltraciji podzemnih voda kod plitkih vodonosnih horizonata, ali obzirom na njihov malizna~aj, pri razmatranju ovih strujanja ne uzimaju se u obzir.

Pri izu~avanju i oceni uslova filtracije podzemnih voda dubokih vodonosnihhorizonata pod pritiskom, dolaze do izraàja elasti~na svojstva stena i te~nosti. Pri tome sevoda razmatra kao viskozna, stiljiva te~nost, gustine, viskoziteta i zapremine, koje semenjaju u zavisnosti od pritiska i temperature. Jedna~ine stanja te~nosti i porozne sredine uoptem vidu u tim uslovima su tada opisane izrazima (2.5) i (2.6).

Osnovne sile, koje su uzro~nici kretanja viskozne stiljive te~nosti u stiljivojporoznoj i pukotinskoj sredini, jesu potencijalna energija elasti~nih deformacija te~nosti istene i potencijalna energija te~nosti (razlika pritisaka).

1 Uobi~ajeni naziv za malomineralizovane vode


Ne uzimajui u obzir uticaj promene temperature na karakteristike vode, prirazmatranju njenih elasti~nih svojstava primenjuje se zakon Huka, kojim se izraàvazavisnost promene zapremine od promene hidrostati~kog pritiska:

dV

V

dp

Ev

v

v

v

= − (2.9)

gde je:Vv - posmatrana (po~etna) zapremina vode, [L3],dpv - promena pritiska, izraèna u diferencijalnom obliku, [MLT-2L-2 = Pa],dVv - promena zapremine, izazvana promenom pritiska, dp, [L3],Ev - moduo elasti~nosti vode, [MLT-2L-2 = Pa].

Za vode u "obi~nim" uslovima ("presne", ili "slatke" vode) i pritiscima ispod 50 MPa,moduo elasti~nosti, Ev = 2·109 Pa, a za gazirane vode, sa koli~inom sadràja rastvorenog gasa,Vg, izraènog u kubnim metrima po kubnom metru vode (m3/m3), moduo elasti~nosti gaziranevode, Evg se odre|uje po formuli2:

Evg = Ev (1 + 0.05 Vg) (2.10)

Pri promeni zapremine vode pod dejstvom promene pritiska, njena masa ostajenepromenjena (zakon o odrànju mase), tako da je promena zapremine praena promenomgustine vode (obrnuto proporcionalno). Polazei od navedenog, moduo elasti~nosti vode semoè izraziti u funkciji promene gustine vode i hidrostati~kog pritiska:

Edp

dvv= ρ

ρ (2.11)

Gornja jedna~ina predstavlja jedna~inu stanja stiljive te~nosti pri elasti~nom reìmufiltracije u diferencijalnom obliku.

Integracijom u granicama:1. pv = p0 ρ = ρ0

2. pv = p ρ = ρdobija se izraz, u kona~nom obliku:

ρ ρ=−

0

0

ep p

Ev (2.12)

Na sli~an na~in, pri izu~avanju filtracije podzemnih voda u uslovima elasti~nogreìma, analizira se promena zapremine porozne sredine. Pri tome se porozna sredina, kojamoè imati intergranularnu, ili pukotinsku poroznost, posmatra tako|e kao Hukovo, odnosnoelasti~no telo.

Rezultanti pritisak na zidove pora vodonosnog sloja, psk, dobija se kao razlika pritiskapovlatnih stenskih masa, ps (teìna stena u povlati posmatrane porozne sredine), koji seprenosi kroz skelet porozne sredine i hidrostati~kog pritiska vode u okviru vodonosnog sloja,pv, slika 2.3:

2 Klimentov P. P., Kononov V. M.: DINAMIKA PODZEMNÜH VOD, Via kola,

Moskva, 1985.


17

Slika 2.3: Ukupni, neutralni i efektivni pritisak

psk = ps - pv (2.13)

gde je:psk - rezultantni (efektivni) pritisak na zidove pora, (skelet porozne sredine), [MLT-2L-2],ps - ukupni pritisak (povlatne) stenske mase, [MLT-2L-2],pv - hidrostati~ki (neutralni) pritisak vode u vodonosnom sloju, [MLT-2L-2].

Iz jedna~ine (2.13) moè se zaklju~iti da pri smanjenju hidrostati~kog pritiska, pv,raste pritisak na skelet vodonosne sredine, psk, a pri tome se smanjuje zapremina pora. Podpretpostavkom da se promena zapremine pora pokorava Hukovom zakonu, moè se napisatida je:

dV

V

dp

En

s

sk

s

= − (2.14)

gde je:Vs - posmatrana (po~etna) zapremina stene (porozne sredine), [L3],dpsk - promena rezultantnog pritiska na zidove pora (efektivnog pritiska), izraèna u

diferencijalnom obliku, [MLT-2L-2],dVn - promena zapremine pora, izazvana promenom efektivnog pritiska, dpsk, [L

3],Es - moduo elasti~nosti skeleta, odnosno stenske mase, [MLT-2L-2].

Za uslov da je ukupni povlatni pritisak stenske mase, ps, konstantan, to je prakti~nouvek slu~aj, moè se prihvatiti da je promena efektivnog pritiska, psk, jednaka promenihidrostati~kog pritiska, pv:

dpsk = - dpv (2.15)

i tada se promena zapremine pora porozne sredine moè napisati na sledei na~in:

dV

V

dp

En

s

v

s

= (2.16)


Gornja jedna~ina predstavlja jedna~inu stanja porozne sredine pri elasti~nom reìmustrujanja. Kako je:

dV

V

d nV

Vdnn

s

s

s

= =( )

(2.17)

gde je:n - poroznost, [-], jedna~ina (2.16) moè se napisati u sledeem obliku:

dndp

Ev

s

= (2.18)

to tako|e predstavlja jedna~inu stanja elasti~ne porozne sredine.Moduo elasti~nosti skeleta porozne sredine zavisi od karakteristika stenske mase: tipa

poroznosti, mineralokog i mehani~kog sastava, stepena zbijenosti, itd. Veliki broj istraìva~aradio je na izu~avanju i utvr|ivanju reprezentativnih veli~ina deformabilnih karakteristikarazli~itih materijala. U tablici 1 su prikazani rezultati istraìvanja brojnih autora3, koji suradili na utvr|ivanju modula elasti~nosti razli~itih materijala stenske mase.

Prikazani rezultati pokazuju relativno veliko rasipanje vrednosti modula elasti~nostistenske mase (Es), to zavisi od vrste materijala i uslova njegovog odre|ivanja.

TABLICA 1Autor Materijal Moduo

elasti~nostisredine, Es

(GPa)Zbijeni Srednje zbijeni

Bo~ever(1976.)

Glinoviti materijal nagranici plasti~nosti

15-25%

0.03 0.013-0.025

Prainasti pesak 0.012 - 0.014 0.010Ilovasta zemljita 0.012 - 0.014 0.010Sitnozrni pesak 0.028 - 0.37 0.024

Srednjezrni iljunkovit pesak

0.040 - 0.046 0.033

[ljunkoviti sedimenti 0.05 - 0.07Kre~njak (n = 0.1) 45 - 74Pe~ar (n = 0.05) 56 - 68

Eruptivne stene (n =0.01)

60 - 100

Boreli Glina na dubini od 3m

0.002

(1967., na dubini od 10m

0.005

1975.) na dubini od 30m

0.0125

na dubini od100 m

0.03

na dubini od350 m

0.1

Staklene kuglice 1Pe~ar 30

3 Vukovi Milan, Soro An|elko: HIDRAULIKA BUNARA - TEORIJA I PRAKSA, Gra|evinska knjiga,

Beograd, 1990.


19

Domeni- Plasti~na glina 0.0005 - 0.004ko ^vrsta glina 0.004 - 0.008(Dome- Srednje tvrde gline 0.008 - 0.015nico Rastresiti pesak 0.01 - 0.02(1972.) Zbijeni pesak 0.05 - 0.08

Zbijeni peskovitiljunak

0.1 - 0.2

Ispucala stena 0.15 - 3.2Kompaktna stena 3

Treset 0.0001 - 0.0005Jaki Organski mulj 0.0005 - 0.001(1949.) Meka glina 0.0015 - 0.004

Potpuno vla`na glina 0.004 - 0.008Suva glina 0.008 - 0.012

Rastresit pesak 0.01 - 0.02Zbijen pesak 0.05 - 0.08

Kako(Caquot) Pesak 0.1Shnebelli, 1966.Miro- Glina 0.02 - 0.2nenko Pesak 0.15 - 1.5(1983.) Stene sa pukotinskom

poroznou1 – 10

Porozni blokovi 10 – 100Verruijt Glinoviti materijali 0.001 - 0.01(1970.) Pesak 0.01 - 0.1

2.2.2 JEDNAÎNA KONTINUITETA - KINEMATSKA JEDNAÎNA

Jedna~ina kontinuiteta predstavlja matemati~ki izraz zakona o~uvanja mase strujnogtoka. Jedna~ina kontinuiteta se moè dobiti analizom bilansa mase te~nosti u elementarnojzapremini porozne sredine.

Posmatra se prizma, beskona~no male (elementarne) zapremine porozne sredine, ~ijesu dimenzije ivica su dx, dy i dz. Kroz posmatrani paralelopiped proti~e kontinualni strujnitok vode, slika 2.4.

Slika 2.4: Elementarna prizma porozne sredine - ema za izvo|enje jedna~ine kontinuiteta


Zapremina posmatrane elementarne prizme (dV) je konstantna:

dV = dxdydz = Const. (2.19)

U optem slu~aju, brzine toka vode su razli~ite na suprotnim stranama elementarneprizme. Masa vode, m1, koja u|e u prizmu kroz povrinu dydz, u pravcu ose x, u vremenskomintervalu dt, jeste:

m1 = ρvxdydzdt (2.20)

gde je:vx - komponenta filtracione (Darsijeve) brzine u pravcu ose x, [LT-1],ρ - gustina vode u okviru mase m1, [ML-3].

Masa vode, m2, koja istekne iz elementarne zapremine u pravcu ose x, u intervaluvremena dt, je:

m v dydzdtv

xdxdydzdtx

x2 = +ρ

∂ ρ∂

( ) (2.21)

gde je ∂ ρ

∂( )v

xdxx promena, odnosno prirataj gustine, ρ, i komponente filtracione brzine, vx,

u pravcu x-ose, du` ivice dx elementarne prizme.Promena mase vode u okviru elementarne zapremine, u vremenskom intervalu dt,

jednaka je razlici masa vode koje ulaze i izlaze iz elementarne prizme:

u pravcu ose x → m mm

tdt

v

xdxdydzdtx x

1 2− = = −∂∂

∂ ρ∂

( )

u pravcu ose y → ∂

∂

∂ ρ

∂

m

tdt

v

ydxdydzdt

y y= −

( ) (2.22)

u pravcu ose z → ∂∂

∂ ρ∂

m

tdt

v

zdxdydzdtz z= −

( )

Ukupna promena (razlika) mase vode koja u|e i iza|e iz elementarne zapremineporozne sredine u vremenskom intervalu dt je:

∂∂

∂ ρ∂

∂ ρ

∂∂ ρ

∂m

tdt

v

x

v

y

v

zdxdydzdtx y z= − + +

( ) ( ) ( ) (2.23)

Sa druge strane, zapremina pora u okviru zapremine elementarne prizme poroznesredine, ~ija je poroznost, n, jeste:

dVn = n dV = n dxdydz (2.24)

Na po~etku diferencijalno malog vremenskog intervala dt, u vremenskom trenutku t,masa zapremine vode u okviru pornog prostora elementarne prizme, je:

mt = ρ n dxdydz (2.25)

Na kraju vremenskoj intervala dt, u trenutku t+dt, masa vode je:

m ndxdydzn

tdtdxdydzt dt+ = +ρ

∂ ρ∂( )

(2.26)

gde je ∂∂m

tdt promena, odnosno prirataj gustine te~nosti, ρ, i poroznosti, n, u vremenskom

intervalu dt.Promena mase vode za vreme dt u elementarnoj zapremini je (slika 2.5):

∂∂

∂ ρ∂

m

tdt m m

n

tdtdxdydzt dt t= − =+

( ) (2.27)


21

Ukupna promena (razlika) mase vode koja u|e i iza|e iz elementarne zapremineporozne sredine za vreme dt jednaka je promeni mase vode u elementarnoj zapremini(izjedna~avanjem jedna~ina (2.23) i (2.27)). Sre|ivanjem, dobija se jedna~ina kontinuiteta uobliku:

∂ ρ∂

∂ ρ

∂∂ ρ

∂∂ ρ

∂( ) ( ) ( ) ( )v

x

v

y

v

z

n

tx y z+ + = − (2.28)

Slika 2.5: Promena mase vode elementarne zapremine dV u vremenskom intervalu dt

koja karakterie nestacionarno strujanje podzemnih voda u elasti~noj poroznoj sredini.U neelasti~nom reìmu strujanja, kada se gustina vode i poroznost sredine ne menjaju

tokom vremena (ρ = Const., ∂ ρ

∂( )n

t= 0), odnosno u uslovima idealne te~nosti, jedna~ina

kontinuiteta ima oblik:

∂∂

∂

∂∂∂

v

x

v

y

v

zx y z+ + = 0 (2.29)

Prema jedna~ini (2.29), u uslovima neelasti~nog reìma strujanja, zapremina vode,koja ulazi u posmatranu elementarnu zapreminu, jednaka je zapremini koja izlazi iz nje.

2.2.3 OJLEROVE JEDNAÎNE STRUJANJA IDEALNE TE^NOSTI -DINAMI^KE JEDNAÎNE

Dinami~ke jedna~ine opisuju strujanje te~nosti, kao posledicu dejstva sila koje na njudeluju. U postavci matemati~kih izraza koji opisuju strujanje, Ojler4 je poao od analizestrujanja idealne te~nosti, kao jednostavnijeg slu~aja.

Za izvo|enje Ojlerovih jedna~ina kretanja idealne te~nosti, posmatra se prizma,beskona~no male (elementarne) zapremine, izdvojena iz strujnog toka. Ivice prizme suparalelne sa osama Dekartovog pravouglog koordinatnog sistema, a njihove dimenzije su dx,dy i dz. U centru prizme vlada pritisak p, slika 2.6.

U zapremini elementarne prizme nalazi se masa te~nosti m, koja je jednaka proizvoduelementarne zapremine dV i gustine te~nosti:

m = ρdV = ρ dxdydz (2.30)

gde je:ρ - gustina idealne te~nosti (pretpostavka je da je ρ = Const.), [ML-3],dxdydz = dV - elementarna zapremina [L3].

4 Leonard Ojler (Leonhard Euler, 1707. - 1783.), vajcarski matemati~ar


Na posmatranu zapreminu elementarne prizme izdvojenu iz toka te~nosti, du`koordinatnih osa, deluju sledee sile:

Slika 2.6: Elementarna prizma toka idealne te~nosti - prora~unska ema za izvo|enje jedna~ine Ojlera

1. sila hidrostati~kog pritiska (povrinska sila),2. sila Zemljine teè (zapreminska sila),3. inercijalna sila (zapreminska sila).

U posmatranom slu~aju kretanja idealne te~nosti, sila hidrostati~kog pritiska i sila Zemljineteè su "aktivne" sile, uzro~nici kretanja, dok je inercijalna sila fiktivna, ili "pasivna" sila,koja, saglasno III Njutnovom zakonu (zakonu akcije i reakcije) stoji u ravnoteì saprethodnim.

1. Sila hidrostati~kog pritiska - u centru elementarne prizme deluje hidrostati~ki pritisak p.Razlika sile hidrostati~kog pritiska na suprotnim stranicama prizme dydz, u pravcu ose x, je:

pp

xdx dydz p

p

xdx dydz−

− +

1

2

1

2

∂∂

∂∂

(2.31)

odnosno, jednaka je prirataju sile pritiska na duìni dx u pravcu ose x:

−∂∂p

xdxdydz (2.32)

Analogno prethodnom, u pravcu koordinatnih osa y i z, razlike sile hidrostati~kogpritiska na suprotnim stranama elementarne prizme su:

u pravcu ose y : −∂∂p

ydxdydz

u pravcu ose z : −∂∂p

zdxdydz

2. Sila Zemljine teè - Na masu u okviru zapremine elementarne prizme idealne te~nosti(zato je i zapreminska sila, jer deluje po celoj zapremini) deluje sila Zemljine teè, tako da seteìna elementarne prizme moè izraziti u sledeem obliku:

dG = N m = N ρdxdydz (2.33)


23

gde je:dG - teìna elementarne prizme, [MLT-2],m - masa elementarne prizme, [M],ρ - gustina vode, [ML-3],dxdydz - zapremina elementarne prizme, [L],N - ubrzanje Zemljine teè, odnosno sila jedinice mase te~nosti, [LT-2].

Ubrzanje, N, se moè razloìti na komponente, u pravcu osa usvojenog pravouglogkoordinatnog sistema:

N = X + Y + Z (2.34)

tako da su komponente zapreminske sile: dGx = ρdxdydzX

dGy = ρdxdydzY (2.35)

dGz = ρdxdydzZ

3. Inercijalna sila - Prema III Njutnovom zakonu, jedan inercijalni sistem se nalazi uravnoteì, ako je:

F + I = 0 (2.36)

gde je:F - "aktivna sila", uzro~nik kretanja, [MLT-2],I - fiktivna, inercijalna sila, sila (reakcije), [MLT-2], za posmatranu elementarnu zapreminuglasi:

I ma dxdydzdv

dt= − = − ρ (2.37)

gde je adv

dt= ubrzanje, odnosno promena brzine dv u vremenu dt, [LT-2].

Komponente inercijalne sile u pravcu koordinatnih osa su:

I dxdydzdv

dtxx= − ρ

I dxdydzdv

dty

y= − ρ (2.38)

I dxdydzdv

dtzz= − ρ

Suma komponenti svih sila u pravcu ose x, koje deluju na elementarnu zapreminuidealne te~nosti u pokretu, jednaka je nuli. Dakle, jedna~ina ravnoteè svih sila u pravcu ose xje:

− + + =∂∂p

xdxdydz dG Ix x 0 (2.39)

odnosno

− + − =∂∂

ρ ρp

xdxdydz dxdydzX dxdydz

dv

dtx 0

Skraivanjem se dobija, du` ose x:

Xp

x

dv

dtx− − =

10

ρ∂∂

(2.40)


Analogno prethodnom, za koordinatne ose y i z se dobija:

- za osu y: Yp

y

dv

dty

− − =1

0ρ

∂∂

(2.40’)

- za osu z: Zp

z

dv

dtz− − =

10

ρ∂∂

(2.40’’)

Jedna~ine (2.40) predstavljaju Ojlerove jedna~ine kretanja idealne (neviskozne inestiljive) te~nosti, napisane u optem obliku.

U jedna~ini (2.40) veli~ina vx za slu~aj neustaljenog kretanja predstavlja funkcijuvremena i prostora, tako da je

dvv

tdt

v

xdx

v

ydy

v

zdzx

x x x x= + + +∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(2.41)

odakle je dv

dt

v

t

v

x

dx

dt

v

y

dy

dt

v

z

dz

dtx x x x x= + + +

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(2.42)

Poto jedx

dtv x= ;

dy

dtv y= ;

dz

dtv z= (2.43)

jedna~ina (2.42) dobija oblik

dv

dt

v

t

v

xv

v

yv

v

zvx x x

xx

yx

z= + + +∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(2.44)

Smenom (2.44) u jedna~inu (2.40) dobija se

Xdp

dx

v

t

v

xv

v

yv

v

zvx x

xx

yx

z− = + + +1

ρ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(2.45)

Analogno prethodnom, komponente kretanja du` osa y i z opisuju se sledeimjedna~inama:

Ydp

dy

v

t

v

xv

v

yv

v

zv

y y

x

y

y

y

z− = + + +1

ρ

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂ (2.45’)

Zdp

dz

v

t

v

xv

v

yv

v

zvz z

xz

yz

z− = + + +1

ρ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(2.45’’)

Jedna~ine (2.45) predstavljaju diferencijalne jedna~ine Ojlera neustaljenog kretanjaidealne te~nosti u razvijenom obliku.

Pri ustaljenom (stacionarnom) kretanju brzina je konstantna, tako da je njena promenajednaka nuli. Po komponentama, mo`e se napisati:

∂∂v

tx = 0 ;

∂

∂

v

ty

= 0 ; ∂∂v

tz = 0 (2.46)

Tada diferencijalne jedna~ine Ojlera imaju jednostavniji oblik:

Xdp

dx

v

xv

v

yv

v

zvx

xx

yx

z− = + +1

ρ∂∂

∂∂

∂∂

Ydp

dy

v

xv

v

yv

v

zv

y

x yx

z− = + +1

ρ

∂

∂∂∂

∂∂

(2.47)

Xdp

dx

v

xv

v

yv

v

zvx

xx

yx

z− = + +1

ρ∂∂

∂∂

∂∂


25

2.2.4 PRELAZ OD IDEALNE KA REALNOJ TE^NOSTI -

JEDNAÎNA KRETANJA PODZEMNIH VODA

Pored navedenih sila (sile hidrostati~kog pritiska, sile Zemljine teè i inercijalnih sila),koje, kako je re~eno deluju na idealnu te~nost, na realnu te~nost u poroznoj sredini deluju isile otpora kretanju podzemnih voda, koje e se u nastavku definisati.

Na elementarnoj strujnici filtracionog toka podzemnih voda, na dva preseka, name|usobnom rastojanju ds, ozna~ene su pijezometarske visine (slika 2.7.). Pijezometarskavisina predstavlja potencijalnu energiju jedinice teìne te~nosti (izraènu u odnosu nareferentnu ravan xy):

Gubitak energije du` strujnice, koji je uslovljen kretanjem te~nosti, manifestuje seradom sile otpora, koji je na slici 2.7., ozna~en kao razlika pijezometarskih visina dΠ.

Slika 2.7.: Sila otpora filtraciji - gubitak energije du` elementarne strujnica filtracionog toka

Π = +p

gz

ρ (2.48)

gde je:Π - pijezometarska visina, funkcija poloàja posmatrane ta~ke, Π = Π(x,y,z), [L].

Sila otpora, F*, koja deluje na jedinicu mase te~nosti, m,

FF

m* = (2.49)

moè se definisati polazei od elementarnog rada dA, koji na~ini sila otpora F na putu ds:

dA = Fds = F*m ds (2.50)

Rad sile otpora, dA*, na jedinicu teìne te~nosti, dG, moè se izraziti kao:

dAdA

dG

F mds

mg

F ds

g*

* *

= = = (2.51)

Ovaj rad, dA*, koji je rezultat dejstva sile F* na elementarnom putu ds, predstavljagubitak energije, dE* po jedinici teìne vode, razliku pijezometarskih nivoa, dΠ (slika 2.7.):

dA* = dE* = dΠ (2.52)

Smenom iz jedna~ine (2.51) dobija se


F ds

gd

*

= Π (2.53)

odakle je sila otpora (na jedinicu mase te~nosti):

F gd

ds* =

Π (2.54)

U analizi strujanja podzemnih voda dokazano je da vaì Darsijev zakon filtracije.Otuda se brzina strujanja podzemnih voda kroz poroznu sredinu izraàva Darsijevom,odnosno filtracionom brzinom, koja je data izrazom:

v Kd

ds= −

Π (2.55)

gde je:K - koeficijent filtracije [LT-1], u ovom slu~aju posmatrano u homogenoj poroznoj sredini,d

ds

Π - gradijent (pad pijezometarskog nivoa) filtracionog toka u pravcu ds, [−].

Gornji izraz se moè zameniti u jedna~inu (2.54) pri ~emu se dobija veza sile otpora,filtracione brzine i koeficijenta filtracije:

Fg

Kv* = − (2.56)

Komponente sile otpora, u pravcu osa datog koordinatnog sistema, su:

Fg

Kvx x

* = −

Fg

Kvy y

* = − (2.57)

Fg

Kvz z

* = −

Sila otpora F*, kao sila koja deluja na jedinicu mase te~nosti, predstavlja zapreminskusilu. Ona stoji u ravnoteì sa zapreminskim silama koje su posledica gravitacije i inercijalnesile.

Sre|ivanjem Ojlerovih jedna~ina (2.40) i izjedna~avanjem sa jedna~inama (2.57),dobijaju se sledei izrazi:

1

ρ∂∂p

xX

dv

dtF

g

Kvx

x x= − = = −*

1

ρ∂∂p

yY

dv

dtF

g

Kv

y

y y= − = = −* (2.58)

1

ρ∂∂p

zZ

dv

dtF

g

Kvz

z z= − = = −*

O~igledno je da gravitacija deluje samo u pravcu ose z, tako da se, polazei odjedna~ine (2.34), za realnu te~nost, moè napisati (slika 2.6.):

X = 0; Y = 0; Z = - g (2.59)

Osim toga, kod strujanja podzemnih voda u poroznoj sredini brzine su naj~ee male,tako da se moè zanemariti inercijalna sila:


27

dv

dtx = 0 ;

dv

dty

= 0; dv

dtz = 0 . (2.60)

Uzimajui u obzir izraze (2.59) i (2.60) i sre|ujujui jedna~ine (2.58), dobijaju serelacije izme|u zapreminske i sile otpora realne te~nosti u pokretu:

1 1

ρ∂∂gp

x Kv x= −

1 1

ρ∂∂gp

y Kv y= − (2.61)

11

1

ρ∂∂gp

z Kv z+ = −

Ako se diferencira izraz za pijezometarski pritisak, po x, y i z, (jedna~ina 2.48):

Π = +p

gz

ρ (2.62)

dobija se:

du` ose x →∂∂ ρ

∂∂

Πx g

p

x=

1

du` ose y →∂∂ ρ

∂∂

Πy g

p

y=

1 (2.63)

du` ose z →∂∂ ρ

∂∂

Πz g

p

z= +

11

Smenom jedna~ina (2.63) u jedna~ine (2.61), (transformacija, poznata u literaturi kaosmena @ukovskog) i njihovim sre|ivanjem, dobijaju se osnovne jedna~ine strujanjapodzemnih voda u sledeem obliku:

v Kxx = −

∂∂Π

v Kyy = −

∂∂Π

(2.64)

v Kzz = −

∂∂Π

Kao to se vidi, gornje jedna~ine izra`avaju zakon Darsija u diferencijalnom obliku.One, tako|e, predstavljaju dinami~ke jedna~ine strujanja podzemnih voda. Na ovaj na~in jepokazana veza izme|u strujanja realne te~nosti i Ojlerovih jedna~ina strujanja idealnete~nosti, koje predstavljaju osnovu za dalju matemati~ku analizu.

** *

Uvo|enjem jedna~ina (2.63) u jedna~inu kontinuiteta, koja se odnosi na strujanje ustacionarnim uslovima:

∂∂

∂

∂∂∂

v

x

v

y

v

zx y z+ + = 0 (2.65)

za uslove nehomogene i anizotropne porozne sredine, gde se koeficijent filtracije menja odta~ke do ta~ke i razli~it je u razli~itim pravcima, dobija se izraz:

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂x

Kx y

Ky z

Kzx y z

Π Π Π

+

+

= 0 (2.66)


Za izotropnu, ali nehomogenu sredinu, gornji izraz postaje:

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂x

Kx y

Ky z

Kz

Π Π Π

+

+

= 0 (2.67)

dok se za homogenu izotropnu sredinu jedna~ina kontinuiteta redukuje u oblik, poznat kaojedna~ina Laplasa:

∂∂

∂∂

∂∂

2

2

2

2

2

2 0Π Π Πx y z

+ + = (2.68)

Jedna~ina Laplasa ima primenu u teorijskim postavkama mnogih nau~nih disciplina:hidrodinamici, elektrotehnici, termodinamici. Detaljno razmatranje osobina i primene ovejedna~ine opisano je u okviru matemati~ke fizike.

2.3 OSNOVNI POJMOVI POTENCIJALNOG STRUJANJA

2.3.1 POJAM VRTLO@NOG I BEZVRTLO@NOG STRUJANJA

Za razliku od kretanja ~vrstog tela, ~estice te~nosti u toku kretanja pored poloàja,menjaju i svoj oblik.

Ne ulazei u razmatranje jedna~ina koje opisuju deformacije ~estica te~nosti, ovde sedaje samo ilustracija osnovnih deformacija delia te~nosti. Na slici 2.8. prikazani suelementarni oblici, koji se dobijaju kao posledica deformacije elementarne ~estice(elementarne zapremine, posmatrane kao paralelopiped).

Deformacija elementarne zapremine ~estice te~nosti, odnosno njene strane, moè biti:a) translacija, pomeranje ~estice u pravcu koordinatnih osa, slika 2.8.a,b) linearna deformacija, promena duìne parova ivica elementarne prizme ~estice

(posmatrane kao prizme elementarnih dimenzija), 2.8.b,c) ugaona deformacija, promena uglova ivica na stranama prizme, 2.8.c,d) rotacija strana prizme kao ~vrstog tela oko koordinatnih osa, 2.8.d.

Slika 2.8.: Elementarni oblici deformacija ~estica te~nosti - a) translacija; b) linearna deformacija; c)ugaona deformacija; d) rotacija

Takvo kretanje te~nosti, koje je praeno obrtanjem njenih ~estica oko koordinatnih osakoje kroz njih prolaze, naziva se vrtlo`no kretanja (strujanje).

Bezvrtlo`no, ili potencijalno kretanje te~nosti je takvo kretanje, kod koga nema takverotacije.


29

2.3.2 POTENCIJAL BRZINE

U jedna~inama kretanja podzemnih voda, kojima se izraàvaju komponente brzinefiltracije u pravcu koordinatnih osa (dinami~ke jedna~ine):

v Kxx = −

∂∂Π

; v Kyy = −

∂∂Π

; v Kzz = −

∂∂Π

(2.69)

mogue je izvriti smenu funkcijom φ 5:

φ = -KΠ (2.70)

koju je uveo Lagran` (1781.) i koja je nazvana potencijalom brzine:

vxx =

∂φ∂

; vyy =

∂φ∂

; vzz =

∂φ∂

(2.71)

U strujnom toku, ta~ke koje imaju istu vrednost potencijala brzine, daju liniju, koja seizraàva jedna~inom

φ(x, y) = Const. (2.72)

i koja se naziva ekvipotencijalnom linijom.Projekcije ekvipotencijalnih linija potencijala brzine, (linija istog pijezometrskog

nivoa) na horizontalnu ravan, zovu se hidroizohipse (kod strujanja sa slobodnom vodenompovrinom), odnosno hidroizopijeze (kod strujanja pod pritiskom). Karte hidroizohipsi ihidroizopijeza imaju iroku primenu kod reavanja zadataka iz oblasti dinamike podzemnihvoda.

Preko potencijala brzine moè se izraziti i jedna~ina kontinuiteta, kada se tako|edolazi do jedna~ine Laplasa, za trodimenizionalno strujanje:

∂ φ∂

∂ φ∂

∂ φ∂

2

2

2

2

2

2 0x y z

+ + = (2.73)

Za strujanje u jednoj ravni (ravansko strujanje):

∂ φ∂

∂ φ∂

2

2

2

2 0x y

+ = (2.74)

2.3.3 FUNKCIJA TOKA

U hidraulici je re~eno da strujnu liniju, ili strujnicu, predstavlja kriva linija kojaprolazi kroz niz ta~aka, tako da vektor brzine u svakoj ta~ki predstavlja tangentu na strujnuliniju, ili, strujna linija (strujnica) odre|uje pravac kretanja niza uzastopnih delia te~nosti udatom momentu, pri ~emu je vektor brzine u svakoj ta~ki tangenta na strujnicu.

Ako se posmatra ravansko strujanje podzemnih voda, gde se strujanje odvija u jednojravni, xy, tada se deo strujne linije, slika 2.9., sa ta~nou do beskona~no malih veli~ina, moèzameniti pravom linijom, du` MA .

Posmatrano u pravcu x ose, ugao α se moè izraziti kao:

dx

ds= cosα kao i

v

vx = cosα (2.75)

Odatle je:dx

v

ds

vx

= (2.76)

5 fi - gr~ko slovo


Slika 2.9: Strujna linija - ema za izvo|enje funkcije toka

Analogno prethodnom, u pravcu ose y:

dy

ds= sinα ,

v

vy

= sinα (2.77)

dy

v

ds

vy

= (2.78)

Izjedna~avanjem (2.76) i (2.78) dobija se:

dx

v

dy

vx y

= (2.79)

odnosno vxdy - vydx = 0 (2.80)

to predstavlja diferencijalnu jedna~inu strujne linije.U gornju jedna~inu se uvodi funkcija ψ6= f(x, y), koja zadovoljava sledee uslove:

vyx =

∂ψ∂

; vxy = −

∂ψ∂

(2.81)

Funkcija ψ = f(x, y) se u hidrodinamici naziva funkcija toka. Ako se funkcija toka(2.81) zameni u jedna~inu strujnice (2.80), dobija se izraz za totalni diferencijal funkcije tokaravanskog strujanja, ψ = f(x, y):

∂ψ∂

∂ψ∂

ψxdx

ydy d+ = = 0 (2.82)

Opti integral gornje jedna~ine je

ψ(x, y) = Const. (2.83)

Za sve ta~ke date strujne linije funkcija toka ima istu vrednost.Fizi~ki smisao funkcije toka sastoji se u tome, to razlika funkcija toka (razlika dve

strujnice), koje prolaze kroz ta~ke A i B (ψΑ i ψΒ) predstavlja proticaj, q, kroz konturuizme|u ta~aka A i B, tj.

q = ψΑ − ψΒ (2.84)

6 psi - gr~ko slovo


31

Do gornjeg izraza se mo`e doi, polazei od elementarnog dela strujnog toka, slika 2.10:

Slika 2.10: Proticaj q izme|u dve strujnice

Ta~ke A, B i C su definisane preko svojih koordinata: A(x, y) ; B(x+dx, y+dy) ; C(x+dx, y).

Elementarni proticaj dq se definie kao zbir proizvoda komponenti brzina i projekcijepreseka strujnog toka:

dq = vx BC + vy AC (2.85)

BC = B(x+dx, y+dy) - C(x+dx, y) = dy (2.86)

AC = A(x, y) - C(x+dx, y) = - dx (2.87)

Smenom u jedna~inu za q:

dq = vx dy - vy dx (2.88)

Zamenjujui elementarni proticaj sa totalnim diferencijalom funkcije toka

dq dydx

xdy= = +ψ

∂ψ∂

∂ψ∂

(2.89)

i integracijom izme|u dve strujnice

q d= = −∫ ψ ψ ψψ

ψ

1

2

2 1 (2.90)

dolazi se do proticaja izme|u dve strujnice, koji se dobija kao razlika odgovarajuih funkcijatoka ψ(x, y).

2.3.4 ORTOGONALNOST FUNKCIJE TOKA I POTENCIJALA

BRZINE - STRUJNA MRE@A

Ako se komponente brzine ravanskog strujanja, vx i vy, izraze preko potencijala brzineφ(x,y) i funkcije toka ψ(x,y):

potencijal brzine: vxx =

∂φ∂

; vyy =

∂ψ∂

(2.91)

funkcija toka: vxx =

∂ψ∂

; vxy = −

∂ψ∂


i izjedna~e, dobijaju se relacije poznate kao jedna~ine Koi-Rimana:

∂φ∂

∂ψ∂x y

= (2.92)

∂φ∂

∂ψ∂y x

= −

Iz kursa vie matematike poznato je da su gornje relacije dovoljan dokaz zaortogonalnost dve familije krivih potencijalnog strujanja, potencijala brzine ϕ(x, y) i funkcijetoka ψ(x, y).

Familije ekvipotencijalnih i strujnih linija obrazuju ortogonalnu mreù, koja se zovehidrodinami~ka mreà strujanja. Ako se usvoji da je razlika susednih ekvipotencijalnih istrujnih linija ista (∆ϕ = ∆ψ) dobija se kvadratna mreà, ~iji su elementi krivolinijski kvadrati(slika 2.11). Ova osobina se koristi kod grafi~ke metode konstrukcije strujne mreè, poznatepod imenom metoda malih kvadrata.

Slika 2.11: Strujna slika - mreà malih kvadrata

2.4 POÊTNI I GRANI^NI USLOVI KOD RE[AVANJADIFERENCIJALNIH JEDNAÎNA STRUJANJAPODZEMIH VODA

2.4.1 DEFINISANOST PROBLEMA

Svaka od jedna~ina, koje opisuju strujanje podzemnih voda, jeste parcijalnadiferencijalna jedna~ina koja opisuje fizi~ku pojavu. Jedna~ine same po sebi ne sadrèinformacije za bilo koji poseban slu~aj strujanja. Ina~e, svaka jedna~ina ima beskona~an brojmoguih reenja, od kojih svako odgovara posebnom slu~aju strujanja.

Za dobijanje posebnog reenja iz skupa moguih, neophodno je obezbediti dodatneinformacije koje nisu sadràne u jedna~inama. Dopunske informacije, koje, zajedno saparcijalnom diferencijalnom jedna~inom, definiu dati problem, su:

1. geometrija oblasti strujanja (sa moguim delovima kontura u beskona~nosti),2. vrednosti svih relevantnih fizi~kih koeficijenata (na primer K, µ, ρ, n, ...),3. po~etni uslovi, koji opisuju po~etno stanje fluida u posmatranoj strujnoj oblasti,4. grani~ni uslovi, tj. uslovi na konturama oblasti strujanja, uslovi interakcije fluida

sa okolinom,


33

O~igledno, konturni i po~etni uslovi su u skladu sa fizikom strujanja. Oni se prvideterminiu (ili usvoje na bazi moguih informacija i iskustva) na terenu i samo tada se moguizraziti u matemati~koj formi. Razli~iti konturni uslovi dovode do razli~itih reenja, otudazna~aj korektnog determinisanja uslova koji vladaju du` realnih kontura.

Matemati~ki problem, koji odgovara realnosti, zahteva obezbe|enje sledeih zahteva:

a) reenje mora da postoji (egzistencija reenja),b) reenje mora biti jedinstveno,c) stabilnost reenja zavisi od kontinualnosti ulaznih podataka.

Prvi zahtev prosto zna~i da reenja ima. Drugi uslov obezbe|uje kompletnost reenja -nejasnoe i dvosmislenosti moraju biti isklju~ene, osim ako nisu sadràne u fizici problema.Trei zahtev zna~i da promene datih podataka (npr. konturnih i po~etnih uslova) u dovoljnomalom obimu dovode do dovoljno male promene u reenju. Ovaj uslov tako|e vaì zaaproksimativna (tj. numeri~ka) reenja. Ako male greke u podacima ne rezultujuodgovarajuim malim grekama u reenju, verovatno je da je matemati~ki model fizi~kepojave loe formulisan.

2.4.2 POÊTNI USLOVI

Po~etni uslovi podrazumevaju vrednosti potencijala (pijezometarskog nivoa, Π) usvim ta~kama strujne oblasti u nekom po~etnom vremenu, ozna~enom kao t = 0. Ovo moèbiti napisano kao:

Π = f(x, y, z, 0) (2.93)

za sve ta~ke unutar strujne oblasti, sa koordinatama x, y i z; f je poznata funkcija.

2.4.3 GRANI^NI USLOVI

2.4.3.1 Granica zadatog potencijala

Potencijal, Π poznat je u svim ta~kama konture kao:

Π = f1(x, y, z), ili Π = f2(x, y, z, t) (2.94)

gde su f1 i f2 poznate funkcije. Kontura ove vrste se javlja kad god je strujna oblast ukontaktu sa slobodnom vodom. Konture AB i FG na slici 2.12, su primeri konturekonstantnog potencijala. Na konturi AB potencijal je Π = H1. Ako se H1 menja sa vremenommoè se napisati kao Π = H1(t). Na konturi FG potencijal je Π = H2 .

Specijalan slu~aj je:

Π = Π0 = Const. (2.95)

tj. kontura je ekvipotencijalna povr, ili linija, posmatrano u ravni. Konture AB i FG na slici2.12 su ekvipotencijalne konture.

U teoriji parcijalnih diferencijalnih jedna~ina, problem koji sadrì samo ovakvegrani~ne uslove nazvan je Dirihleov (Dirichlet), ili problem prve vrste konturnih uslova.


Slika 2.12: Strujna oblast izme|u dve reke

2.4.3.2 Granica sa definisanim proticajem

Na konturi ovog tipa, proticaj, normalan na povrinu konture, dat je u svim ta~kama.Na slici 2.12 kontura AB moè da pretstavlja granicu sa definisanim proticajem. Moè senapisati:

qn = f(x, y, z, t) (2.96)

gde je f, poznata funkcija, a qn ozna~ava komponentu specifi~nog proticaja u pravcu normalena konturnu povrinu. Za izotropnu poroznu sredinu proticaj moè biti izraèn u zavisnosti odgradijenta potencijala Π, kao:

qn = -K grad Π = f(x, y, z, t) (2.97)

2.4.3.3 Vodonepropusna granica

Specijalan slu~aj prethodnog tipa konturnih uslova je vodonepropusna kontura,odnosno strujna linija (konture AG i BD na sl. 2.12). Ovaj uslov se moè izraziti kao :

qn = 0, odnosno ψ = Const. (2.98)

U teoriji parcijalnih diferencijalnih jedna~ina, ovakav problem je nazvan Nojmanov(Neumann) problem, ili problem druge vrste konturnih uslova.

2.4.3.4 Polupropusna kontura

Ovaj tip konturnih uslova se javlja kada se porozna sredina strujne oblasti nalazi ukontaktu sa vodom, ili drugom poroznom sredinom, razdvojena relativno tankimpolupropusnim slojem, koji ih razdvaja. Ozna~imo sa Π pijezometarski nivo u posmatranojstrujnoj oblasti, a sa Π0 u drugoj (slika 2.13).


35

Slika 2.13.: Pretakanje izme|u dva vodonosna sloja koja su razdvojena slabije propusnim me|uslojem

Ako usvojimo pretpostavku da je koeficijent filtracije osnovni hidrodinami~kiparametar tankog polupropusnog sloja, tada je jedini~ni proticaj, qm, kroz taj sloj (proticajkroz jedini~nu povrinu):

qK

mmm= −( )Π Π0 (2.99)

gde je:Km - koeficijent filtracije me|usloja, [LT-1],m - debljina me|usloja, [L].

Ovo je konturni uslov tree vrste, ili uslov Koija (Cauchy).

2.4.3.5 Slobodna vodena povrina

Slobodna vodena povrina se definie kao povrina na kojoj je p = 0 (u pitanju jemanometarski pritisak). Pri tome se zanemaruju kapilarne sile i atmosferski pritisak iznad nje.Poloàj i oblik slobodne vodene povrine je nepoznat. Ustvari, njihova determinacijapredstavlja deo traènog reenja.

Poto je pritisak u svim ta~kama slobodne povrine jednak p = 0, iz (2.48) i (2.70) sedobija:

φ(x, y, z, t) = z, ili φ(x, y, z, t) - z = 0 (2.100)

Slobodna vodena povrina je takoe kontura sa poznatim potencijalom. Na slici2.12., to je kontura DE. Ona moè biti posmatrana kao ekvivalent sa jedna~inom F(x, y, z) =0, kojom se opisuje geometrija povrine:

F(x, y, z, t) = φ(x, y, z, t) - z = 0 (2.101)

Tekoa proizilazi iz ~injenice da je raspored φ(x, y, z, t) i F(x, y, z, t) nepoznat prenego to je problem reen. Tako imamo zatvoreni krug: u èlji da determiniemo φ moramoznati poloàj konture F i u èlji da znamo gde je kontura, moramo znati φ.

Za prevazilaènje ovog problema u praksi se koriste iterativne tehnike, posebnonumeri~ka reenja. Analiti~ke tehnike, osim nekih posebnih klasa problema, retko se koriste.

2.4.3.6 Povrina procurivanja

Linija, ili povrina procurivanja (proviranja), javlja se uvek kada se slobodna vodenapovrina zavrava isticanjem u slobodnu atmosferu du` dela konture oblasti strujanja. Deolinije slobodne vodene povrine EF na slici 2.12, je linija procurivanja. Slobodna povrina jetangenta na konturu porozne sredine u ta~ki E. Du` linije proviranja voda izlazi iz strujneoblasti, curei naniè do susedne vode.


Pritisak du` linije proviranja je atmosferski (p = 0) i konturni uslov du` nje je:

φ(x, y, z, t) = z (2.102)

Geometrija linije proviranja je poznata (poto se poklapa sa konturom poroznesredine) osim za gornju ta~ku (ta~ka E slike 2.12), koja leì tako|e i na (a priori) nepoznatojslobodnoj vodenoj povrini. Poloàj ove ta~ke je deo traènog reenja. U nestacionarnomstrujanju poloàj gornjeg kraja (ta~ke) linije proviranja se menja sa vremenom.

2.4.3.7 Nagla promena koeficijenta filtracije

Jo jedan tip konturnih uslova predstavlja diskontinuitet u koeficijentu filtracije,odnosno vodopropusnosti porozne sredine.

Jedna~ina (2.66) opisuje strujanje u nehomogenoj sredini. Ina~e, raspored K = K(x, y,z) (ili Kx = Kx(x, y, z) u anizotropnoj oblasti) mora biti kontinualan, uklju~ujui i prvi izvod,da bi jedna~ine imale reenje. Ako diskontinuitet u K postoji du` odre|enih povrina (ili linijau dvodimenzionalnom strujanju), jedini na~in za reenje problema je da se strujna oblastpodeli du` ove povrine (ili linije) u posebne oblasti u okviru kojih je K = K(x, y, z)kontinualno, a tako|e i prvi izvod. Ovo zna~i da moramo obezbediti uslove da je φ definisanodu` svake takve konture da bismo imali dobro definisan problem u svakoj izdvojenojpodoblasti.

Kao primer, posmatra se nehomogena dvodimenzionalna strujna oblast, sl. 2.14.Oblast D se sastoji od dve homogene podoblasti, D1,, sa K1 = Const. i D2 sa K2 = Const. Potoje K diskontinualno du` konture C, problem se ne moè reiti reavanjem jedna~inekontinuiteta po φ. Zato se problem rastavlja na dva podproblema, obeleàvajui potencijal uD1 sa φ1 i u D2 sa φ2. Simultanim reavanjem parcijalnih diferencijalnih jedna~ina dobijaju sereenja za φ1 i φ2 u njihovim podoblastima i datim konturnim uslovima, C1 za φ1 i C2 za φ2

. Poto je C deo kontura i D1 i D2 , mora se definisati grani~ni uslov du` nje. Potrebna su dvauslova, jedan za D1 i jedan za D2 .

Slika 2.14: Kontura izme|u oblasti sa razli~itom vodopropusnou

Mogu nastupiti dva slu~aja:a) Poto su kota z i pritisak p isti kada se posmatra ta~ka na konturi C sa obe strane, imamo:

φ1 = φ2 (2.103)

b) Drugi uslov na konturi C se dobija iz uslova kontinuiteta proticaja kroz konturu C. Ovo seizraàva preko komponente specifi~nog proticaja, normalne na konturu:

(qn)1 = (qn)2 (2.104)


37

U generalnoj formi, jedna~ina (2.104) je vaèa i za konturu u trodimenzionalnomstrujanju. Ta~an oblik izraza (2.104) za promenljive φ1 i φ2 zavisi od prirode materijala uokviru D1 i D2 (s obzirom na tropiju).

** *

Sa konturnim uslovima opisanim u ovom poglavlju i parcijalnim diferencijalnimjedna~inama strujanja datim u prethodnim, bilo koji problem strujanja se moè matemati~kidefinisati na sledei na~in:a) definisanjem oblasti strujanja jedna~inom (ili jedna~inama) kontura; deo konture moè

biti u beskona~nosti; ponekad je kontura nepoznata apriori i predstavlja deo traènogreenja;

b) izraàvanjem parcijalne diferencijalne jedna~ine po promenljivoj φ (koja se obi~no uzima,mada se i ostale veli~ine tako|e mogu koristiti, na primer p, ili ρ), za sve ta~ke strujneoblasti i t > 0;

c) utvr|ivanjem konturnih uslova koji moraju biti zadovoljeni sa φ u svim ta~kama i tokomcelog vremena;

d) zadavanjem po~etnih uslova u svim ta~kama oblasti strujanja, kada je strujanjenestacionarno.

3. GLAVA

RAVANSKO NESTACIONARNO

STRUJANJE PODZEMNIH VODA

40 M. Pui - Dinamika podzemnih voda ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Glava 3 - Ravansko nestacionarno strujanje podzemnih voda---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

41

3.1 PRIMENA HIDRODINAMI^KE TEORIJE FILTRACIJE IPRELAZAK NA HIDRAULI^KU TEORIJU

Kao to je u prethodnom poglavlju prikazano, dosledna primena hidrodinami~keteorije filtracije podzemnih voda dovodi do komplikovanih matemati~kih izraza. Dobijeneparcijalne diferencijalne jedna~ine nemaju reenje u optem obliku, to oteàva njihovuprakti~nu primenu. Me|utim, i pored toga, veliki broj prakti~nih zadataka zahteva reavanjeprimenom hidrodinami~ke teorije. Ovo se odnosi pre svega na prostorna (trodimenzionalna)strujanja podzemnih voda, koja se ne mogu ematizovati kao prostija (ravanska, ilijednodimenzionalna), zatim strujanja u uslovima visokih pritisaka i temperature, gde sukarakteristike porozne sredine i vode u funkciji poloàja (pre svega dubine) posmatrane ta~ke.

Problemi matemati~ke prirode kod primene hidrodinami~ke teorije filtracije, danas serelativno jednostavno prevazilaze primenom razli~itih numeri~kih metoda reavanjadiferencijalnih jedna~ine i radom na ra~unarima.

Ipak, niz zadataka iz oblasti strujanja podzemnih voda moè se reiti primenomhidrauli~ke teorije filtracije, kod koje se uvode odre|ena uproavanja uslova strujanja, kojane rezultuju veim grekama u dobijenim rezultatima. Zahvaljujui uvedenimpretpostavkama, mogue je izvesti relativno jednostavne analiti~ke izraze za niz posebnihslu~ajeva, to hidrauli~koj teoriji filtracije daje odre|enu prednost u dosadanjoj praksireavanja problema iz oblasti strujanja podzemnih voda. Pored toga, primena numeri~kihmetoda reavanja diferencijalnih jedna~ina na ra~unarima omoguava prakti~no neograni~enou~ee hidrauli~ke teorije filtracije podzemnih voda u prakti~nom reavanju.

3.2 OSNOVNE PRETPOSTAVKE HIDRAULI^KE TEORIJESTRUJANJA

Dakle, reavanjem diferencijalnih jedna~ina (ukoliko je to mogue), dobija se slikastrujanja te~nosti u svakom trenutku i u svakoj ta~ki prostora strujnog polja. Uvaàvajuiosnovne pretpostavke uslova strujanja podzemnih voda, kao to je "ema kontinuuma" iDarsijev zakon strujanja, primenom hidrauli~ke teorije filtracije se, od jedna~ina kojeodre|uju neku veli~inu strujanja u ta~ki strujnog toka, prelazi na jedna~ine koje se rasprostiruna kona~nu zapreminu dela strujnog toka. Uvode se pojmovi popre~nog preseka toka po celojnjegovoj visini, zatim srednje, ili reprezentativne, brzine, proticaji i pritisci, itd. (slika 3.1.).

Slika 3.1: Analiza strujanja primenom hidrodinami~ke (a) i hidrauli~ke (b) teorije filtracije


Ovo je omogueno, zahvaljujui pre svega, konceptu horizontalnog strujanjapodzemnih voda i uvo|enju hipoteze Dipuija u popre~ni pesek strujnog toka. Ovaj postupakje nazvan hidrauli~kom aproksimacijom.

U optem slu~aju, strujanje podzemnih voda kroz poroznu sredinu jetrodimenzionalno. Brzina se sastoji od tri komponente, vx, vy i vz (u pravougaonomkoordinatnom sistemu), koje sve mogu biti razli~ite od nule. Pijezometarski nivo obi~novarira u prostoru i tokom vremena, tj. Π = Π(x, y, z, t). Me|utim, zahvaljujui uslovimageneze veine vodonosnih slojeva, njihova geometrija je takva, da im je debljina relativnomala u odnosu na horizontalne dimenzije. U skladu sa time moè se primeniti aproksimacija,prema kojoj se pretpostavlja da je strujanje u vodonosnom sloju svuda horizontalno, ili semoè posmatrati kao takvo, zanemarujui vertikalnu komponentu strujanja.

Ova hipoteza je prihvatljiva za strujanje u horizontalnom, homogenom, izotropnomvodonosnom sloju konstantne debljine, u uslovima strujanja podzemnih voda pod pritiskom,ili kada je debljina vodonosnog sloja promenljiva, ali ne odstupa mnogo od prose~ne debljine(slika 3.2.).

Slika 3.2: Strujni tok u vodonosnom sloju pod pritiskom ~ija je debljina relativno malo promenljiva: M(x)<< L7

Tako|e, pretpostavka da je strujanje strogo horizontalno i u izdanima sa slobodnimnivoom osnova je hipoteze Dipuija (slika 3.3.).

Slika 3.3: Strujanje sa slobodnim nivoom (freatska izdan): a) realno strujanje; b) strujanje premapretpostavci Dipuija

Pretpostavka horizontalnog strujanja se ne moè primeniti u regionima gde strujanjeima veliku vertikalnu komponentu, kao to je, na primer, u blizini nesavrenog bunara (slika3.4.), ili na mestima izlaska filtracionog toka, kao to su izvori, reke, itd.

Ina~e, i u ovim slu~ajevima, na odre|enom udaljenju od izvora ili ponora, moè seprimeniti pretpostavka strogo horizontalnog strujanja. U praksi, pretpostavka horizontalnogstrujanja se primenjuje na udaljenju veim od 1.5 do 2 puta od debljine filtracionog toka. Nakraem rastojanju, ekvipotencijalne povri nisu vertikalne, strujanje je trodimenzionalno, imora se tretirati kao takvo. Gornja pretpostavka strujanja je primenljiva i kod vodonosnihslojeva sa me|usobnim procurivanjem (slika 3.5.).


43

Kada su propusnost i debljina posmatranog vodonosnog sloja mnogo vee odslabopropusnog me|usloja, moè se usvojiti pretpostavka da je strujanje u njemuhorizontalno, dok je vertikalno u me|usloju. Ove pretpostavke, koje u praksi daju vrlo malegreke, veoma pojednostavljuju analizu strujanja u vodonosnom sloju pod pritiskom i saprihranjivanjem kroz slabopropusni me|usloj.

Slika 3.4: Strujanje u blizini nesavrenog bunara

Slika 3.5: Strujanje u vodonosnom sloju pod pritiskom i sa prihranjivanjem kroz slabije propusnime|usloj

3.3 SPECIFI^NA IZDA[NOST IZDANI

Re~eno je da, u optem slu~aju, pri filtraciji podzemnih voda, elasti~na svojstvaporozne sredine i te~nosti imaju odre|enog uticaja na karakter strujanja. Ako se zanemareprocesi transporta i razmene toplote, efekti uticaja navedenih parametara vode i poroznesredine dolaze do izraàja kao posledica promene naponskih stanja oblasti strujanja. U timuslovima, voda i porozna sredina se mogu posmatrati kao elasti~na tela, kod kojih se promenenjihovih svojstava deavaju kao posledica promene pijezometarskog nivoa izdani. To zna~i,da se voda i porozna sredine posmatraju kao deformabilna, stiljiva tela.

Kao rezultantni parametar stanja te~nosti i porozne sredine, u dinamici podzemnihvoda se uzima i analizira veli~ina zapremine podzemnih voda, koja se dobija na ra~unelasti~nih osobina vode i porozne sredine, izraèna kroz specifi~nu izdanost izdani.

Specifi~na izdanost izdani predstavlja pojam koji je vezan isklju~ivo za izu~avanjestrujanja podzemnih voda u neustaljenom (nestacionarnom) reìmu. U optem slu~aju, moèse definisati kao zapremina vode koju izdan odaje, ili akumulira, usled jedini~ne promenepijezometarskog nivoa izdani, odnosno, to je koli~nik zapremine vode (iscrpene izvodonosnog sloja, ili nalivane u njega) i zapremine promene pijezometarskog nivoa izdani:

dV

dV Π

(3.1)

gde je:dV- zapremina vode koju izdan odaje, ili akumulira, usled promene pijezometarskog nivoa,

[L3],dVΠ - zapremina, koja je rezultat promene pijezometarskog nivoa (pritiska) izdani, [L3].


Kao odnos dve dimenzionalno iste veli~ine, specifi~na izdanost izdani jebezdimenzionalna veli~ina. U zavisnosti od uslova strujanja podzemnih voda, razlikuju se:

• specifi~na izdanost izdani kod koje se strujanje odvija pod pritiskom, µ, i• specifi~na izdanost izdani sa slobodnim nivoom, ε , koja su u praksi ~esto naziva i

efektivna, ili dinami~ka poroznost1.

3.3.1 SPECIFI^NA IZDA[NOST IZDANI POD PRITISKOM

Podzemne vode u uslovima strujanja pod pritiskom, ponaaju se saglasno uslovimaelasti~nog re`ima, to se ispoljava kod promene pijezometarskog nivoa izdani (odnosnotokom crpenja ili nalivanja). Pri smanjenju arteskog pritiska, vodonosni sloj se zbija, a pripoveanju pritiska se iri.

Zapremina vode koja se u uslovima pod pritiskom mo`e dobiti iz vodonosnog sloja,posledica je:

• elasti~nih osobina vode,• elasti~nih (deformabilnih) svojstava porozne sredine.

U teorijskom razmatranju usvojene su pretpostavke da su podina i povlata vodonosnogsloja apsolutno vodonepropusne i nestiljive.

Kp = 0 ; Ep = ∞ (3.2)

gde je:Kp - koeficijent filtracije podine i povlate vodonosnog sloja, [LT-1],Ep - moduo elasti~nosti stenske mase podine i povlate vodonosnog sloja, [Pa].

Zapremina vode dV, koja se izdvoji iz elementarne prizme vodonosnog sloja,dimenzija dx, dy, M, (slika 3.6.) usled smanjenja pijezometarskog nivoa, dΠ je:

dV = dVv + dVs (3.3)

gde je:dVv - elementarna zapremina vode, koja se oslobodi (drenira) iz elementarne prizme, usled

elasti~nih svojstava vode, [L3],dVs - elementarna zapremina vode, koja se drenira iz elementarne prizme, usled elasti~nih

(deformabilnih) svojstava materijala vodonosnog sloja, [L3].

Slika 3.6: Elementarna prizma strujnog toka u uslovima pod pritiskom (prora~unska skica za izvo|enjeizraza za specifi~nu izdanost izdani)

1 Koju treba razlikovati od geometrijske poroznosti (n).


45

a) Zapremina usled elasti~nih svojstava vode

Prema Hukovom zakonu, promena zapremine vode pod dejstvom promene spoljnjegpritiska, izra`ava se sledeim odnosom:

dV

V

dp

Ev

v v

= − (3.4)

gde je:dVv - promena zapremine vode u okviru elementarne prizme, izazvana promenom pritiska dp,

[L3],Vv = nV = n M dxdy - zapremina vode u elementarnoj prizmi, [L3],n - poroznost, [-],dp - promena pritiska, [Pa],Ev - moduo elasti~nosti vode, (Ev ≈ 2 GPa, pri pritiscima manjim od 50 MPa), [Pa].

Iz gornje jedna~ine, promena zapremine vode u elementarnoj prizmi, dVv, usledpromene spoljnjeg pritiska, dp, jednaka je:

dV Mndxdydp

Evv

= − (3.5)

b) Zapremina usled elasti~nih svojstava porozne sredine

Usvojena je pretpostavka da se zapremina ~vrste faze porozne sredine ne menja, nego sepromena zapremine deava na ra~un promene poroznosti (promene zapremine pora):

dV

V

dp

Es

s

= − (3.6)

gde je:dVs - promena zapremine pora porozne sredine u okviru elementarne prizme, izazvana

promenom pritiska dp, [L3],V = Mdxdy - zapremina elementarne prizme, [L3],Es - moduo elasti~nosti porozne sredine, [Pa]. Moduo elasti~nosti porozne sredine za razli~ite

materijale je dat u tablici 3.1.

dV Mdxdydp

Ess

= − (3.7)

TABLICA 3.1Materijal Es

Glina 0.005·109 PaPesak - ljunak 0.05·109 Pa

Staklene kuglice 1·10 9 PaKonsolidovane stene 50·109 Pa

Dakle, zapremina vode koja se izdvoji iz elementarne prizme vodonosnog sloja, dV,dimenzija dxdyM, usled smanjenja pritiska, dp, mo`e se izraziti, smenom jedna~ina (3.5) i(3.7) u jedna~inu (3.3), na sledei na~in:

dV Mndxdydp

EMdxdy

dp

Ev s

= − − (3.8)


odnoso dV MndxdydpE nEv s

= − +

1 1 (3.9)

Korienjem relacije izme|u promene pritiska i promene pijezometarskog nivoaizdani

dp = - ρgdΠ (3.10)

dobija se: Π

+−= gdnEE

MndxdydVsv

ρ11

(3.11)

Iz gornje jedna~ine mo`e se dobiti izraz za specifi~nu izdanost izdani u uslovimastrujanja pod pritiskom, polazei od jedna~ine (3.1):

µ = =dV

dV

dV

dxdydΠ Π (3.12)

ili µ ρ= +

gMn

E nEv s

1 1 (3.13)

Okvirno, vrednosti specifi~ne izdanosti pod pritiskom kreu se u granicama od 5⋅10-6

za konsolidovane stene, do 5⋅10-3 za peskovito - ljunkovite sedimente. Za glinovitetvorevine, ove vrednosti mogu biti i vee, to zavisi od stepena konsolidacije glina.

3.3.2 SPECIFI^NA IZDA[NOST IZDANI SA SLOBODNOMVODENOM POVR[INOM

Specifi~na izdanost izdani sa slobodnim nivoom se definie kao zapremina vode kojase pod dejstvom gravitacije iscedi iz porozne sredine, pri jedini~noj promeni pijezometarskognivoa izdani, odnosno, zapremina vode, koja u slu~aju punjenja porozne sredine ispuniporoznu sredinu pri jedini~nom poveanju nivoa. U optem slu~aju, specifi~na izdanostizdani sa slobodnim nivoom zavisi od vremena i smera kretanja nivoa slobodne vodenepovrine2 (razlikuje se u slu~aju hranjenja i dreniranja izdani).

Slika 3.7: Elementarna prizma izdanskog toka u uslovima strujanja sa slobodnim nivoom (prora~unska skicaza izvo|enje izraza za specifi~nu izdanost izdani)

2 Slobodna vodena povrina izdani definisana je kao povr na kojoj vlada atmosferski pritisak, p=patm.


47

Ako se iz strujnog toka sa slobodnim nivoom izdvoji elementarna prizma, osnovedxdy (slika 3.7.), gde se za vremenski interval dt, pijezometarski nivo (nivo slobodne vodenepovrine) promeni za dΠ, onda se, prema navedenoj definiciji, specifi~na izdanost izdani saslobodnim nivoom moè napisati kao:

ε = =dV

dV

dV

dxdydv v

Π Π (3.14)

gde je:dVv - zapremina vode, dotekla, ili istekla iz elementarne prizme, [L3],dVΠ - zapremina koja predstavlja promenu pijezometarskog nivoa u elementarnoj prizmi, [L3]:

dVΠ = dxdydΠ (3.15)

dΠ - razlika nivoa slobodne vodene povrine (pijezometarskog nivoa), koja se ostvari uvremenskom intervalu dt, [L].

Specifi~na izdanost izdani sa slobodnim nivoom manja je od ukupne geometrijskeporoznosti porozne sredine, poto je deo pora ispunjen delimi~no, ili potpuno vezanomvodom:

ε < n (3.16)

Strogo govorei, specifi~na izdanost izdani, kao posledica elasti~nih svojstava vode iporozne sredine, µ, postoji i u uslovima strujanja sa slobodnim nivoom, me|utim, u odnosuna prethodno definisanu specifi~nu izdanost, ε, toliko je mala da se moè zanemariti.

Prema ranijem shvatanju prirode procesa, specifi~na izdanost izdani sa slobodnimnivoom je razmatrana isklju~ivo u kontekstu karakteristika materijala porozne sredine, pri~emu nisu uzimani u obzir i uticaji ostalih ~inilaca. Danas se me|utim smatra da poredkarakteristika materijala porozne sredine, u formiranju veli~ine specifi~ne izdanosti,zna~ajnu ulogu imaju i sledei parametri:

• dubina podzemnih voda,• brzina pomeranja slobodne vodene povrine,• smer pomeranja slobodne povrine,• verikalni faktori bilansa podzemnih voda,• reìm pomeranja slobodne vodene povrine.

U vezi sa prethodnim, o~igledno je da je specifi~na izdanost izdani funkcionalnopovezana sa vremenom. U praksi primenu nalazi isklju~ivo prose~na vrednost specifi~neizdanosti, koja predstavlja osrednjenu vrednost, ε , u datom vremenskom intervalu:

ε = =∫∫dV

dV

V

Vv v

Π Π

∆∆

(3.17)

3.3.3 PONDERISANA I FIKTIVNA SPECIFI^NA IZDA[NOST INJIHOVA PROMENA TOKOM VREMENA

U prethodnom razmatranju specifi~ne izdanosti izdani, pretpostavljeno je da se pripromeni pijezometarskog nivoa izdani voda dobija isklju~ivo iz analizirane vodonosnesredine. Pretpostavljeni su idealni uslovi, koji se u prirodi retko sreu. U realnim uslovima,uobi~ajeno je da su zastupljeni razli~iti vidovi prihranjivanja (obnavljanja) izdani, koje je~esto nemogue posebno izdvojiti i kvantifikovati. Usled toga, opravdano je da se sve vode,koje se dobijaju obaranjem nivoa izdani, izraze preko specifi~ne izdanosti izdani, koja u ovoslu~aju predstavlja tzv. ponderisanu veli~inu (ponderisanu specifi~nu izdanost izdani).


Ovako definisana, ponderisana specifi~na izdanost izdani je parametar koji se menjasa vremenom i koji je u funkciji prihranjivanja (obnavljanja), ili dreniranja (eksploatacije)izdani.

U praksi, prilikom reavanja tzv. inverznih problema, izdan (strujna oblast) senaj~ee ematizuje krajnje uproeno, kao homogena izotropna, sa jednostavnim oblicimakontura i grani~nih uslova, bez dopunskog prihranjivanja. Tada se, u cilju dobijanjareprezentativnih vrednosti osnovnih parametara strujanja, uvodi fiktivna specifi~na izdanostizdani, veli~ina, koja u ovim uslovima nema fizi~ki smisao. Me|utim, kvantifikacija veli~inefiktivne specifi~ne izdanosti i njene promene tokom vremena, omoguava da se kroz njuintegriu svi nepoznati parametri porozne sredine i uslova strujanja, kao i greke koje suposledica neodgovarajue ematizacije realnih uslova.

Ovakav pristup reavanju prakti~nih problema (uvo|enjem ponderisane i fiktivnespecifi~ne izdanosti izdani) naao je punu primenu naro~ito u uslovima dugotrajneeksploatacije dubljih izdani, za koje se ne raspolaè sa pouzdanim podacima orasprostranjenju, veli~ini i rasporedu filtracionih karakeristika i elementima reìma izdani.

3.4 OSNOVNA DIFERENCIJALNA JEDNAÎNARAVANSKOG STRUJANJA (JEDNAÎNABOUSSINESQ-A)

3.4.1 IZVO\ENJE JEDNAÎNE BOUSSINESQ-A

Za dobijanje osnovnih diferencijalnih jedna~ina filtracije u dinamici podzemnih voda(prema hidrauli~koj teoriji filtracije) koriste se dva metoda:

a) metod sinteze tri oblika jedna~ina koje odre|uju uslove filtracije - jedna~ine kretanjapodzemnih voda, jedna~ine kontinuiteta strujnog toka i jedna~ine stanja te~nosti i poroznesredine - integrisanjem jedna~ine kontinuiteta za ta~ku po visini akvifera,

b) bilansna metoda, u ~ijoj je osnovi izu~avanje promene vodnog bilansa izdvojenogelementa strujnog toka podzemnih voda, pod uticajem faktora koji odre|uju uslovestrujanja, pretpostavljajui da je strujanje u akviferu strogo horizontalno - izvodei bilansza elementarnu zapreminu kolektora. Na taj na~in, grani~ni uslovi porozne sredine suinkorporirani u rezultate integracije.

Interesantno je napomenuti, da, mada je prvi metod mnogo stroì, rezultati suidenti~ni.

Jedna~ina Busineska (Joseph Boussinesq) je osnovna diferencijalna jedna~inaneustaljenog kretanja podzemnih voda. Ona je izvedena na osnovu bilansa podzemnih voda uelementu filtracionog toka, pri sledeim pretpostavkama:

• porozna sredina je homogena, izotropna i neograni~enog prostiranja, ematizovanamodelom kontinuuma,

• strujanje je sa slobodnim nivoom izdani, i pokorava se hipotezi Dipuija (strujanjeje horizontalno, zanemaruje se vertikalna komponenta brzine),

• podina vodonosnog sloja je vodonepropusna, a pre po~etka strujanja izdan jekonstantne debljine.

Posmatra se bilans beskona~no malog elementa filtracionog toka, elementarne prizme,osnove dxdy i visine h, slika 3.8.


49

Slika 3.8: Elementarna prizma izdanskog toka sa slobodnim nivoom (prora~unska ema za izvo|enjeBusineskove jedna~ine)

U elementarnu prizmu za vreme dt ulazi zapremina vode, dVu

du` ose x: qxdydt, (3.18)

du` ose y: qydxdt, (3.19)

sa povrine terena: Wdxdydt, (3.20)

gde je:qx, qy - jedini~ni proticaj (proticaj po jedinici irine strujnog toka) u pravcu odgovarajuih

koordinatnih osa, [L2T-1],W - jedini~na infiltracija (infiltracija po jedinici povrine horizontalnog rasprostranjenja

strujnog toka), predstavlja efektivni intenzitet vertikalnog hranjenja izdani, [LT-1].Iz elementarne prizme za vreme dt izlazi zapremina vode, dVi :

du` ose x: qq

xdx dydtx

x+

∂∂

(3.21)

du` ose y: qq

ydy dxdty

y+

∂∂

(3.22)

Jedna~ina bilansa mo`e se napisati kao razlika zapremine vode koja doti~e uelementarnu prizmu i isti~e iz nje. S druge strane, u vremenskom intervalu dt, u elementarnojprizmi izdanskog toka akumulira se odgovarajua zapremina vode, to se manifestuje krozpromenu (povienje) pijezometarskog nivoa izdani, u istom vremenskom periodu:

dV dVtdtdxdyu i− = ε

∂∂Π

(3.23)

gde je :ε - specifi~na izdanost izdani sa slobodnim nivoom, koja se manifestuje kao nedostatak

zasienja vlage zemljita pri izdizanju nivoa vode, ili kao efektivna poroznost priobaranju nivoa izdani, [-],

∂∂Πtdt - promena (prirataj) pijezometarskog nivoa izdani, koji je u optem slu~aju strujanja

sa slobodnim nivoom razli~it od debljine izdanskog toka.


Smenom elemenata bilansa podzemnih voda u gornju jedna~inu dobija se:

q dydt q dxdt Wdxdydt qq

xdx dydt

qq

ydy dxdt

tdxdydt

x y xx

y

y

+ + − +

−

− +

=

∂∂

∂

∂ε

∂∂

Π

3.24)

odnosno: ε∂∂

∂∂

∂

∂Πt

q

x

q

yWx y

= − − + (3.25)

Uvo|enjem proizvoda filtracione (Darsijeve) brzine i jedini~nog popre~nog presekastrujnog toka u izraz za jedini~ni proticaj i njegov prvi izvod u pravcu koordinatnih osa:

q Khxx = −

∂∂Π ∂

∂∂∂

∂∂

q

x xKh

xx = −

Π(3.26)

y

HKhq y ∂

∂−=

∂

∂∂∂

∂∂

q

y yKh

yy

= −

Π(3.27)

dobija se opta Busineskova jedna~ina:

ε∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

Π Π Πt x

Khx y

Khy

W=

+

+ (3.28)

Za homogenu, izotropnu sredinu (K = Const.), mogue je izvui koeficijent filtracijeispred diferencijala:

ε∂∂

∂∂

ε∂∂

∂∂

ε∂∂ W

yh

y

K

xh

x

K

t+

Π+

Π

=Π

(3.29)

U slu~aju horizontalne podine (i0=0), pijezometarski nivo se izjedna~ava sa visinomtoka, Π = h:

ε∂∂

∂∂

ε∂∂

∂∂

ε∂∂ W

y

Hh

y

K

x

Hh

x

K

t

h+

+

= (3.30)

Za jednodimenzionalno strujanje, jedna~ina Busineska glasi:

∂∂ ε

∂∂

∂∂ ε

h

t

K

xhh

x

W=

+ (3.31)

3.4.2 LINEARIZACIJA DIFERENCIJALNE JEDNA^INE

RAVANSKOG STRUJANJA

Jedna~ina Busineska je nelinearna diferencijalna jedna~ina, koja nema reenje uoptem obliku, osim reenja koja je dala P. Â. - za slu~ajtrenutne promene uslova na granicama i pri po~etnom horizontalnom polo`aju slobodnevodene povrine, tj. za apstraktne uslove. Sva ostala reenja su zasnovana na linearizacijiBusineskove jedna~ine uvo|enjem pojma srednje debljine izdanskog toka.


51

3.4.2.1 LINEARIZACIJA PREMA BOUSSINESQ-U

Za slu~aj relativno velike debljine izdanskog toka i male promene nivoa du`filtracionog toka, zamenjuje se promenljiva h = h(x,t) sa konstantom (po prostoru i vremenu),hsr, slika 3.9:

hsr ≅ h (3.32)

Slika 3.9: Srednja debljina (dubina) izdanskog toka, hsr

Polazei od jedna~ine Busineska (3.31), za jednodimenzionalno strujanje, dobija se:

∂∂ ε

∂∂

∂∂ ε

h

t

K

xh

h

x

Wsr=

+ (3.33)

odnosno ∂∂ ε

∂∂ ε

h

t

Kh h

x

Wsr= +2

2 (3.34)

gde je Khsr = T koeficijent vodoprovodnosti, [L2 T-1],

Koli~nik Khsr

ε predstavlja parametar a, koji se naziva koeficijent nivoprovodnosti. On

izra`ava sposobnost propagacije promene nivoa podzemnih voda u uslovima strujanja saslobodnim nivoom. Ta veli~ina je direktno proporcionalna veli~ini srednjeg koeficijentavodoprovodnosti sloja T = Khsr i obrnuto proporcionalna specifi~noj izdanosti izdani ε:

aT

=ε

[L2T-1] (3.35)

Smenom u prethodnu jedna~inu, dobija se jedna~ina strujanja podzemnih voda,linearizovana prema metodi Busineska:

∂∂

∂∂ ε

h

ta

h

x

W= +

2

2 (3.36)

Gornja jedna~ina se mo`e primeniti i za neustaljeno kretanje podzemnih voda podpritiskom. U tom slu~aju koeficijent nivoprovodnosti se zamenjuje koeficijentompijezoprovodnosti, kojim su, preko specifi~ne izdanosti izdani u uslovima strujanja podpritiskom, µ, obuhvaena elasti~na svojstva podzemnih voda i porozne sredine:

aKM

=µ

(3.37)

gde je M debljina vodonosnog sloja, [L].Za slu~aj bez infiltracije, (W = 0), linearizovana jedna~ina prelazi u oblik:

∂∂

∂∂

h

ta

h

x=

2

2 (3.38)

52 M. Pui - Dinamika podzemnih voda ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ili, kod dvodimenzionalnog strujanja:

1 2

2

2

2a

h

t

h

x

h

y

∂∂

∂∂

∂∂

= + (3.39)

Gornja jedna~ina je analogna jedna~ini Furijea, dobro poznatoj u teoriji prenoenjatoplote, koja ima niz reenja za konkretne konturne i po~etne uslove.

Prema nekim istraìva~ima (S.F. Averb®nov, 1965.), linearizacija prema metodiBusineska, daje greku do 20% u najnepovoljnijim slu~ajevima, to je dopustivo, imajui uvidu realnost odre|ivanja filtracionih parametara.

Za slu~aj stacionarnog strujanja (∂h/∂t = 0), odsustva infiltracije (W = 0) i zajednodimenzionalno strujanje, dolazi se do jedna~ine Laplasa:

∂∂

2

2 0h

x= (3.40)

Integracijom gornje jedna~ine dobija se jedna~ina prave, u obliku:

h(x) = Ax + B (3.41)

gde su A i B integracione konstante.Iz jedna~ine (3.41) moè se zaklju~iti, da ako se za linearizaciju Busineskove

jedna~ine usvoji h = hsr, kao reenje se dobija linija slobodne vodene povrine u obliku pravelinije, to u uslovima strujanja sa slobodnim nivoom nije fizi~ki opravadano. Me|utim, ovametoda linearizacije ima opravdanje kod strujanja pod pritiskom.

3.4.2.2 LINEARIZACIJA PREMA BAGROV-VERIGINU

Radi bolje preglednosti, posmatra se Busineskova jedna~ina za jednodimenzionalnostrujanje:

ε ∂∂

∂∂

∂∂K

h

t xhh

x

W

K=

+ (3.42)

Mnoènjem leve strane jedna~ine (3.42) sa jedan, odnosno, proirenjem razlomka sah/h:

∂∂

∂∂

∂∂

h

t

h

h

h

t hhh

t= =

1(3.43)

i uvo|enjem veli~ine h pod diferencijal, dobija se:

ε∂

∂

∂

∂Kh

h

t

h

x

W

K

22

2

2

2 2

=

+ (3.44)

Zamenom Kh

ε (kod strujanja sa slobodnim nivoom), ili

Kh

µ (za slu~aj strujanja pod

pritiskom), sa a i veli~ine h 2

2 sa u, dobija se:

1 2

2a

u

t

u

x

W

K

∂∂

∂∂

= + (3.45)

Za slu~aj stacionarnog strujanja (∂h/∂t = 0) i odsustva infiltracije (W = 0), dolazi setako|e do jedna~ine Laplasa:


53

∂∂

2

2 0u

x= (3.46)

Integracijom gornje jedna~ine dobija se parabola (linija slobodne povrine), koja je"blià" fizici strujanja u uslovima sa slobodnim nivoom:

h(x)2 = Cx + D (3.47)

gde su C i D integracione konstante.Grafik funkcije h(x) daje parabolu, koja se formira pri ustaljenom kretanju podzemnih

voda sa slobodnim nivoom i pri horizontalnoj podini vodonosnog sloja.V. M. [estakov preporu~uje da se kod hidrogeolokih prora~una u nejednorodnim

vodonosnim sredinama koristi linearizacija jedna~ine neustaljenog kretanja podzemnih vodasa slobodnom vodenom povrinom po metodi Busineska. Linearizaciju po metodi Bagrov-Verigina, [estakov preporu~uje za jednorodne sredine.

** *

Pored navedenih, postoje i druge metode linearizacije Busineskove parcijalnejedna~ine strujanja podzemnih voda, kao to je linearizacija metodom kona~nih prirataja(metoda G.N. Kamenskog), itd.

Linearizovana jedna~ina Busineska:

∂∂

∂∂ µ

h

ta

h

x

W= +

2

2 (3.48)

pripada klasi dobro izu~enih linearnih diferencijalnih jedna~ina paraboli~nog tipa (jedna~inetipa Furijea) i za njeno reavanje se iroko koristi bogati aparat matemati~ke fizike. Uopte,ukoliko se pijezometarski nivo izdani (i druge uklju~ujue funkcije) mogu izraziti prekojedna~ine Laplasa, tada se svojstva ove jedna~ine koriste u dinamici podzemnih voda prireavanju razli~itih hidrogeolokih zadataka. Kao najva`nije svojstvo ove jedna~ina trebanavesti sledee: svaka kombinacija pojedina~nih reenja jedna~ine Laplasa predstavlja deoopteg reenja. Odavde poti~e mogunost korienja metode superpozicije pri pronalaènjureenja u konkretnim slu~ajevima. U sloènim hidrogeolokim uslovima mogue je posebnoprou~avati uticaje razli~itih faktora na uslove filtracije, a rezultat dobiti kao sumu zajedni~kogdejstva svih faktora.

3.5 METODE RE[AVANJA

Reavanje diferencijalnih jedna~ina u osnovi se svodi na njihovu integraciju razli~itimmetodama. Kako sledi iz teorije diferencijalnih jedna~ina, jedinstveno reenje u konkretnimuslovima se moè dobiti pri zadatim uslovima jednozna~nosti reenja. Za postojanjejednozna~nosti, koje obezbe|uje jedinstvenost reenja diferencijalnih jedna~ina strujanja idobijanje kvantitativnih karakteristika uslova filtracije u realnim uslovima, neophodni susledei pokazatelji:

1) vid (zakon) filtracije i geometrijske karakteristike oblasti filtracije;2) struktura oblasti filtracije i osnovni parametri (vodoprovodnost, debljina,

nivoprovodnost, pijezoprovodnost, specifi~na izdanost izdani, itd.);3) karakter granica i konturni uslovi (zakonomernost promene pritiska i proticaja na

granicama oblasti filtracije);4) po~etni uslovi (koji se ispoljavaju pri izu~avanju neustaljene filtracije).

Pri zadavanju jednozna~nih uslova neizbe`na je ematizacija i uproavanje prirodnihhidrogeolokih uslova, kako zbog njihove izvanredne sloènosti, tako i zbog nemogunostinjihovog izra~unavanja pri reavanju diferencijalnih jedna~ina. Posebne tekoe se javljajupri reavanju nelinearnih diferencijalnih jedna~ina pri sloènim grani~nim uslovima.


Metode reavanja diferencijalnih jedna~ina filtracije su sloène, mnogobrojne i veomaraznovrsne. S ta~ke posmatranja potpunosti i primenljivosti izra~unavanja razli~itih prirodnihfaktora, sve metode reavanja diferencijalnih jedna~ina se mogu podeliti na dve kategorije:teorijske i eksperimentalne.

Teorijske metode (stroge i pribli`ne) zasnovane su na reavanju diferencijalnihjedna~ina pomou aparata fizike i matematike. One polaze od definisanja funkcionalne vezeizme|u osnovnih hidrogeolokih karakteristika toka podzemnih voda i optih reenja.

Na eksperimentalne metode reavanja diferencijalnih jedna~ina filtracije odnose semetode fizi~kog i matemati~kog modeliranja. One se koriste za reavanje zadataka filtracijepodzemnih voda u sloènim hidrogeolokim uslovima, za koja nedostaju analiti~ka reenja, ilije njihovo dobijanje veoma komplikovano. Dobra strana eksperimentalnih metoda jemogunost upoznavanja sloènih prirodnih uslova i faktora, koji uti~u na filtraciju podzemihvoda. Me|utim, pri modeliranju se dobijaju posebna reenja, koja odgovaraju konkretnimuslovima, a ne opte funkcionalne veze, kao pri strogim teorijskim reenjima.

3.5.1 NEKA ANALITI^KA RE[ENJA

Postoji izvestan broj ema strujanja, sa datim po~etnim i konturnim uslovima, koji semogu reiti analiti~ki, reavanjem linearizovane jedna~ine Busineska.

Za elementarnu prora~unsku emu (jednodimenzionalni izdanski tok), prikazanu naslici 3.10., linearizovana jedna~ina Busineska:

Slika 3.10: Prora~unska skica (ema) za reenjeBusineskove jedna~ineanaliti~kim putem

∂∂

∂∂ µ

h

ta

h

x

W= +

2

2 (3.49)

moè se napisati u sledeem obliku:

∂∂

∂∂ µ

∆ ∆H x t

ta

H x t

x

W( , ) ( , )= +

2

2 (3.50)

gde je H(x, t) = H(x, t) - H0(x, 0) (3.51)∆H(x, t) - promena nivoa podzemnih voda u preseku x u vremenskom intervalu od t = 0 do t

= t, [L],H0(x, 0) - po~etni nivo u preseku x u trenutku t = 0, [L],H(x, t) - nivo u preseku x u trenutku t, [L],W - intenzitet infiltracije (odozgo) za koji se pretpostavlja da se trenutno uspostavio na celoj

duìni toka posle po~etka promene nivoa. Za t < 0, W = 0, [LT-1].


55

3.5.1.1 NEOGRANIÊNA IZDAN

Neograni~enom izdani se moè smatrati ona ~ije je rasprostranjenje toliko da se uticajipromena na granicama, u posmatranom domenu njenog rasprostranjenja, mogu zanemariti. Uovom slu~aju posmatra se izdan kod koje se nivo premeta translatorno, paralelno samoj sebi.U optem slu~aju nivo izdani moè biti sa nagibom, dok je poseban slu~aj izdan bezhorizontalnog kretanja, slika 3.11., a) i b). Sa povrine terena se odvija infiltracija, koja jeravnomerna po celoj povrini izdani.

Za linearizovanu jedna~inu Busineska ovako postavljenog jednodimenzionalnogstrujanja:

Slika 3.11: Neograni~ena izdan sa infiltracijom odozgo: a) sa nagibom, b) horizontalna izdan

∂∂

∂∂ µ

∆ ∆H x t

ta

H x t

x

W( , ) ( , )= +

2

2 (3.52)

grani~ni uslovi su:

za x = + ∞ i x = - ∞ →∂∂∆Hx

= 0 (3.53)

Reenje jedna~ine (3.52) je tada:

∆H x tWt( , ) =

µ(3.54)

to zna~i da je promena pijezometarskog nivoa izdani, ∆H(x,t) u funkciji intenzitetainfiltracije, W i vremena, t, u kome se posmatra promena.

Ukoliko se jedna~ina (3.52) napie preko jedna~ine bilansa voda zajednodimenzionalno strujanje (3.25), dobija se sledei oblik:

∂∂ µ

∂∂ µ

∆H x t

t

q

x

W( , )= +

1(3.55)

Za navedene grani~ne uslove (3.53), kada nema promene nagiba nivoa izdani du` x-ose, tj.:

∂∂q

x= 0 (3.56)

nema prirataja proticaja u horizontalnom pravcu. Ovakav slu~aj u prirodi se javlja kada jenivo podzemnih voda duboko u odnosu na povrinu terena i pri velikoj udaljenosti granica,odnosno grani~nih uslova. Ukoliko se raspolaè podacima o promenama nivoa podzemnihvoda i veli~ini specifi~ne izdanosti izdani (koja se moè odrediti drugim metodama), mogueje odrediti veli~inu prihranjivanja izdani sa povrine terena, iz jedna~ine 3.54.


3.5.1.2 POLUOGRANIÊNA IZDAN

Na slici 3.12 prikazan je idealizovani jednodimenzionalni filtracioni tok prema konturikoja se moè ematizovati kao savreni rov. Promena nivoa na konturi izaziva promenu nivoaizdani, kako je ematski prikazano na slici 3.12. Generalno, pretpostavlja se da je promenanivoa, ∆H, svuda relativno mala u odnosu na debljinu izdani, tako da se moè primenitijedna~ina (3.52) kako na strujanje u uslovima pod pritiskom, tako i na uslove strujanja saslobodnim nivoom.

U optem slu~aju, promena uslova na granici moè biti izazvana ili promenom nivoa,ili proticaja kroz konturu.

Slika 3.12: Strujni tok u poluograni~enoj izdani

3.5.1.2.1 Slu~aj promene nivoa na granici toka

Kao fundamentalno reenje, analizira se izdanski tok bez infiltracije, za slu~ajskokovite promene nivoa na konturi, slika 3.13. Uslov je da nema infiltracije (hranjenjeizdani) odozgo i odozdo, odnosno W = 0:

∂

∂∂

∂∆ ∆H x t

ta

H x t

x

( , ) ( , )=

2

2 (3.57)

Slika 3.13: Strujni tok u poluograni~enoj izdani - skokoviti pad nivoa na konturi

Grani~ni uslovi:• trenutna promena na granici toka:

x = 0 ; t > 0 → ∆H(0,t) = ∆H0 (3.58)

• uslov neograni~enosti toka na strani suprotnoj od grani~ne konture, gde je nivo izdanineporemeen:

x = ∞ ; t > 0 → ∆H(x,t) = 0 ; [ ]∂∂x

H x t∆ ( , ) = 0 (3.59)

Po~etni uslov:


57

t ≤ 0 ; ∆H(x,0) = 0 (3.60)

Uvodi se parametar λ:

λ =x

at2 (3.61)

gde je:

aKhsr=

ε - kod strujanja sa slobodnim nivoom, [L2T-1],

aKM

=µ

- kod strujanja pod pritiskom, u izdani konstantne debljine, [L2T-1].

Reenje jedna~ine (3.57) se u tom slu~aju moè napisati u obliku:

∆H = ∆H0 erfc λ (3.62)

gde je:∆H = ∆H(x,t) - promena nivoa izdani u vremenu t, na udaljenju x, [L],∆H0 = ∆H0(0,t) - trenutna promena nivoa izdani na konturi toka, koja je nastupila u t = 0 i jo

uvek traje, [L],

erfc λ = 1 - erf λ (3.63)

erf λ - integral verovatnoe3:

erf e dλπ

λλλ

= −∫2 2

0

(3.64)

Jedna~ina (3.62) je izvedena za izdan koja se proteè neograni~eno, ali jezadovoljavajua i za slu~aj kona~ne izdani ~ija je granica rasprostranjenja na dovoljnojudaljenosti od konture sa skokovitom promenom nivoa, na kojoj je promena nivoa dovoljnomala.

Proticaj kroz konturu, paralelnu sa pruànjem granice filtracionog toka, odnosnodoticaj u ematizovani rov po jedinici njegove duìne, koji je rezultat promene nivoa nagranici4, ra~una se iz:

q x t TH

x( , ) = −

∂∂

(3.65)

Kako je, iz (3.51):

∆H(x,t) = H(x,t) - H0(x,0) (3.66)

H(x,t) = ∆H(x,t) + H0(x,0) (3.67)

moè se napisati izraz za jedini~ni proticaj u diferencijalnom obliku, smenom (3.66) u (3.65):

q x t TH

xTH

x( , )

( )= − −

∂∂

∂∂

∆ 0 (3.68)

Uvo|enjem smene, jedna~ine (3.62) u (3.68), dobija se diferencijalna jedna~ina zajedini~ni proticaj filtracionog toka na proizvoljnom udaljenju x i u vremenskom trenutku t:

q x t T Hxerfc q( , ) ( )= − −∆ 0 0

∂∂

λ (3.69)

3 Funkcija erfc λ = f(λ) data je tabelarno i prikazana grafi~ki u dodatku 1, na kraju knjige.4 U slu~aju povienja nivoa na granici, dolazi do oticanja vode iz savrenog rova u izdan.

58 M. Pui - Dinamika podzemnih voda ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------gde je:q0 - "prirodni" doticaj iz zale|a, koji postoji u slu~aju "prirodnog" nagiba pijezometarskog

nivoa izdani, pre po~etka poremeaja na granici. U slu~aju horizontalnog nivoa izdani,prirodni doticaj q0 = 0.

Diferencijal integrala (erfc-a) je:

∂∂

λλ

λ∂λ∂ λ π

λλλ

xerfc

d

derfc

x

d

de d

at( ) ( )= = −

−∫1

2 1

2

2

0

(3.70)

∂∂

λπ

λ

xerfc

ate( ) = − −1 2

(3.71)

Reenjem integrala erfc λ, dobija se izraz za proticaj filtracionog toka naproizvoljnom udaljenju od savrenog rova i u proizvoljnom vremenskom trenutku:

q x tT H

ate q( , ) = −−∆ 0

0

2

πλ (3.72)

odnosno q x tT H

ate q

x

at( , ) = −−

∆ 0 4

0

2

π(3.73)

Po konturi savrenog rova, za x = 0, proticaj je:

qT H

at=

∆ 0

π(3.74)

Reenje (3.62), odnosno (3.72), ima fundamentalni karakter. Primenjujui principsuperpozicije strujanja, na njegovoj osnovi se mogu dobiti reenja i za slo`enije grani~neuslove. Na primer ako grafik promene nivoa na konturi vodonosnog sloja ima oblik krive(slika 3.14), aproksimirajui krivu H0(t) serijom stepenastih promena, mogue je dobiti izrazza promenu ∆H(x,t) u tra`enom vremenskom trenutku; na primer, za drugi interval (t1 > t > t2)dobija se:

Slika 3.14: Proizvoljna promena nivoa na granici, ematizovana kao niz skokovitih promena

∆ ∆ ∆H x t H erfcx

atH erfc

x

a t t( , )

( )= +

−01 0212 2

(3.75)

Za proizvoljni momenat tn-1 < t < tn, promena nivoa na udaljenju x od konture je:

∑=

= −−∆=∆

ni

i i

itta

xerfcHtxH

1 1

0)(2

),( (3.76)


59

Promena uslova na granici mo`e, naravno, biti pozitivna, ili negativna.Izraz za proticaj pri viestepenoj skokovitoj promeni nivoa na granici (za tn-1 < t < tn )

je:

∑=

= −−

∆=

ni

i i

i

tt

H

a

Tq

1 1

0

)(π(3.77)

U dodatku 2 dat je jedan prakti~an primer strujanja poluograni~enog filtracionog toka,sa nizom skokovitih promena na granici, kao ilustracija primene analiti~kog reenja strujanja iprimene superpozicije strujanja.

Nekad je od interesa znati ukupnu zapreminu koja protekne kroz konturu filtracionogtoka, odnosno doticaj u reku, ili kanal. U tom slu~aju mo`e se primeniti izraz za zapreminuvode, koja je rezultat proizvoda proticaja i vremenskog intervala:

V = q⋅t (3.78)

Polazei od elementarne zapremine, koja u beskona~no kratkom vremenskomintervalu protekne kroz konturu kontakta reke i filtracionog toka:

dV = q⋅dt (3.79)

gde je:q - proticaj na granici filtracionog toka:

qT H

at=

∆ 0

π(3.80)

i integracijom u granicama od t = 0 do t = t, dobija se zapremina protekle vode u datomvremenskom intervalu:

V qdtT H

at dt

t t

= =∫ ∫ −

0

01

2

0

∆π

(3.81)

VT H

at=

2 Λπ

(3.82)

3.5.1.2.2 Slu~aj poznatog proticaja na granici toka

U realnim, prirodnim uslovima, javlja se slu~aj crpenja (ili nalivanja) sa konstantnimproticajem iz vodotoka (prirodnog - reka ili jezero, ili veta~kog - kanal, jarak, itd.), koji je uhidrauli~kom kontaktu sa vodonosnom sredinom. U tom slu~aju, kao i u prethodnom, dolazido promene nivoa izdani usled crpenja (nalivanja) i proticaja du` filtracionog toka, tokomvremena.

Za potrebe izvo|enja izraza kojim se definie ovakvo strujanje, granica izdani(kontakt sa vodenom sredinom) ematizuje se kao savreni rov i primenjuje se analognaprora~unska ema kao i u slu~aju skokovite promene nivoa na konturi filtracionog toka (slika3.15.).

Polazei od linearizovane jedna~ine Busineska, za jednodimenzionalni filtracioni tokbez infiltracije:

∂∂

∂∂

h

ta

h

x=

2

2 (3.83)

gornja jedna~ina se diferencira, uvodei prethodno Darsijevu brzinu:


Slika 3.15: Strujni tok u poluograni~enoj izdani - konstantni proticaj (crpenje ili nalivanje) na granicitoka

v Kh

x= −

∂∂

(3.84)

av

x

v

t

∂∂

∂∂

2

2 = (3.85)

Za konturne i po~etne uslove:

srh

qtv 0),0( = (3.86)

v(∞,t)=0 (3.87)

v(x,0)=0 (3.88)

reenje za jedini~ni proticaj, na proizvoljnom udaljenju od konture toka, glasi:

qx = q0 erfc λ (3.89)

gde je:q0 - proticaj po jedinici irine toka (jedini~ni proticaj) na konturi kontakta filtracionog toka i

ematizovanog savrenog rova, [L2T-1],qx - proticaj po jedinici irine toka (jedini~ni proticaj) na udaljenju x od konture filtracionog

toka, [L2T-1].Promena nivoa du` filtracionog toka, koja je izazvana konstantnim crpenjem iz

vodotoka, dobija se iz izraza:

∆H x tq x

T

eerfc( , ) = −

−0

2

2λ

λ πλ (3.90)

Promena nivoa na granici toka izra`ena je jedna~inom:

∆H tq

T

at( , )0 0=

π(3.91)


61

Zamenjujui veli~inu q0 iz gornje jedna~ine u jedna~inu za veli~inu ∆H(x,t), moè sedobiti izraz za promenu nivoa izdani du` filtracionog toka, u funkciji promene nivoa nagranici:

( )∆ ∆H x t H t e erfc( , ) ( , )= ⋅ − ⋅−02λ λ π λ (3.92)

3.5.2 NUMERI^KE METODE RE[AVANJA - METODA KONA^NIH

PRIRA[TAJA

Numeri~ke metode reavanja sistema diferencijalnih jedna~ina se koriste, kao to jeranije re~eno, za reavanje sloènijih slu~ajeva, kada nije mogue izvrti ematizaciju prirodei posmatranih procesa u tolikoj meri da se mogu nai odgovarajua analiti~ka reenjadiferencijalne jedna~ine Busineska. Numeri~ke metode spadaju u grupu iterativnih metoda iza prakti~nu upotrebu pretpostavljaju korienje ra~unara. Rezultati dobijeni ovim metodamasu pribli`ni, sa unapred zadatom ta~nou.

Postoji vie metoda numeri~ke integracije sistema diferencijalnih jedna~ina, koje sebaziraju na razli~itim tipovima diskretizacije, zadavanja ulaznih parametara i metodaprora~una. Me|u najrairenijim su metoda kona~nih prirataja, kona~nih elemenata, grani~nihelemenata, itd.

Primena numeri~kih metoda je prakti~na i jednostavna, ali primena na dati fizi~kisistem moè biti komplikovana i zahteva solidno znanje i vetinu u postavci problema iinterpretaciji rezultata. Numeri~ke metode se ne smeju posmatrati kao zamena za analiti~kemetode, nego kao "alat" za izu~avanje kompleksnog strujanja podzemnih voda. U optemslu~aju, izbor neke od tehnika (analiti~ki, numeri~ki, ili fizi~ki modeli) zavisi od iskustva iznanja korisnika, kompleksnosti problema koji se reava, usvojenih pretpostavki i izme|uostalog, od mogunosti kompjutera, matemati~kog aparata i podataka.

Ovde nije namera da se prikaù sve numeri~ke metode koje se koriste. Umesto toga,daje se prikaz metode i razlika izme|u reenja jedna~ina, dobijenih eksplicitnim i implicitnimtehnikama prora~una. Osnovna namera ovog poglavlja je da principijelno prikaè model,primenljiv za prakti~nu analizu problema strujanja podzemnih voda.

Sistem linearizovanih Busineskovih jedna~ina, napisanih u obliku kona~nih prirataja,formira se na bazi diskretizacije strujnog polja (u planu, profilu). Svako polje diskretizacijeematizuje se kao homogeno, sa reprezentativnim parametrima. Veli~ina polja zavisi odkaraktera postavljenog zadatka, kvaliteta i obima ulaznih podataka, zahtevane ta~nostirezultata, metode prora~una, kao i znanja i iskustva inènjera.

Isti~e se problem reprezentativnosti usvojenih parametara, kao i dobijenih rezultata, uodnosu na datu prora~unsku emu, koji se javlja u vezi sa veli~inom polja mreèdiskretizacije. O~igledno je da, teoretski posmatrano, sitnija polja omoguavaju vernijusimulaciju realnih uslova, ali u praksi to ne mora uvek da bude slu~aj. êsto se deava da, zadelove terena za koje ne postoje pouzdani podaci, sitnija (detaljnija) mreà daje rezultate saveim odstupanjem od realnosti.

3.5.2.1 JEDNODIMENZIONALNO STRUJANJE

Za ilustraciju metode kona~nih prirataja, kao jednostavniji slu~aj, analizirae senestacionarno strujanje jednodimenzionalnog filtracionog toka. Pre postavljanja sistemajedna~ina, neophodno je prethodno izvriti odgovarajuu ematizaciju prirodnih karakteristikaporozne sredine i strujnog toka. Oblast strujanja se diskretizuje (izdeli) na deonice (polja),koje u optem slu~aju mogu biti razli~ite veli~ine (slika 3.16.). Za svaku deonicu moraju bitizadate reprezentativne vrednosti koeficijenta filtracije (Ki), duìne deonice (∆xi), debljine


vodonosnog sloja (Mi), specifi~ne izdanosti izdani (µi) i po~etne vrednosti pijezometarskognivoa (Πi).

Slika 3.16: [ematizacija i diskretizacija jednodimenzionalnog strujnog toka

U konkretnom slu~aju, da bi se pojednostavila analiza, razmatra se homogeniizotropni vodonosni sloj, kontantne debljine, u kome su poznate vrednosti K, µ, M i ∆x (slika3.17).

Slika 3.17: Strujni tok u homogenoj izotropnoj vodonosnoj sredini

Diferencijalne jedna~ine su izvedene iz Busineskove jedna~ine strujanja, u kojoj jesadr`an zakon strujanja (Darsijev zakon) i jedna~ina kontiuiteta. Radi lakeg analiziranjaposmatra se jedini~na irina strujnog toka (b = 1).

Bilans masa vode (jedna~ina kontinuiteta) za polje (i) zahteva da razlika ulaza(doticaj, Qi-1→i) iz polja (i-1) u polje (i), i izlaza (oticaj, Qi→i+1) iz polja (i) u polje (i+1), morabiti jednak promeni zapremine vode (∆Vi/∆t) u polju (i), slika 3.18.

Usvojena je pretpostavka da nema vertikalnih parametara bilansa podzemnih voda -infiltracije iz podine, ili povlate vodonosnog sloja, ili crpenja, ili nalivanja u njega.

U ovom slu~aju proticaj iz deonice (i-1) u deonicu (i) je:

Q Kxi i

in

in

− →−= −

−1

1ωΠ Π

∆(3.93)

gde:- indeks (i) ozna~ava deonicu pod brojem (i),- eksponent (n) ozna~ava posmatrani vremenski trenutak,Qi-1→i - (jedini~ni) proticaj iz deonice (i-1) u deonicu (i), [L3T-1]K - koeficijent filtracije porozne sredine, [LT-1],


63

Slika 3.18: Bilans voda u polju diskretizacije

ω - povrina, popre~ni presek filtracionog toka, [L2]. U ovom slu~aju povrina je proizvoddebljine vodonosnog sloja (M) i jedini~ne irine toka (b = 1):

ω = M⋅b (3.94)

Πin - reprezentativni pijezometarski nivo u deonici (i), nivo u centru polja diskretizacije, [L],

Πi-1n - reprezentativni pijezometarski nivo u deonici (i-1), nivo u centru polja diskretizacije,

[L],∆x - du`ina deonice, [L].

U jedna~ini (3.93) pretpostavljen je pravolinijski pad pijezometarskog nivoa izme|udve susedne deonice: gradijent pijezometarskog nivoa filtracionog toka u vremenu (n) jerazlika reprezentativnih nivoa dve susedne deonice, podeljena sa rastojanjem izme|u centaratih deonica. Obzirom da je ∆x kona~no mala veli~ina, ova aproksimacija se mo`e usvojiti kaota~na.

Povrina ω je proizvod jedini~ne irine toka b i debljine vodonosnog sloja M, i potoje b jedinica, a M je konstanta, jedna~ina (3.93) postaje:

Q Txi i

in

in

− →−= −

−1

1Π Π∆

(3.95)

Tako|e, proticaj iz deonice (i) u deonicu (i+1) je:

Q Txi i

in

in

→ ++= −

−1

1Π Π∆

(3.96)

Brzina promene zapremine vode u deonici (i) za vremenski interval ∆t je:

∆∆

∆Π Π

∆

∆V

tx

ti i

t tit

=−+

µ (3.97)

Jedna~ina kontinuiteta za deonicu (i) je:

Q QV

ti i i ii

− → → +− =1 1

∆∆

(3.98)

koja sa zamenama iz jedna~ina (3.95), (3.96) i (3.97) daje:

Tx

Tx

xt

in

in

in

in

it t

itΠ Π

∆Π Π

∆∆

Π Π∆

∆+ −

+−−

−=

−1 1 µ (3.99)


Sre|ivanjem gornje jedna~ine dobija se:

Π Π Π∆∆

Π Π∆in

in

in

it t

it

T

x

t+ −+− + = −1 1

2

2µ

( ) (3.100)

Ako je u jedna~ini (3.100), n = t (sadanja, ili poznata vrednost), dobija se eksplicitnaforma diferencijalne jedna~ine. Sa druge strane, ako je n = t+∆t (budua vrednost, koja sera~una), dobija se implicitna forma jedna~ine.

3.5.2.1.1 Eksplicitna metoda

Ova metoda se jo naziva metoda reavanja diferencijalne jedna~ine unapred.Jedna~ina se dobija stavljajui u jedna~inu (3.100) n = t:

Π Π Π∆∆

Π Π∆it

it

it

it t

it

T

x

t+ −+− + = −1 1

2

2µ

( ) (3.101)

i sre|ivanjem, dobija se:

Π∆∆

Π Π Π∆

∆∆

it t

it

it

itT t

x

T t

x+

+ −= + + −

µ µ2 1 1 212

( ) (3.102)

Jedna~ina (3.102) se za svaku deonicu moè eksplicitno reiti. Reenje zavisi samo odpoznatih vrednosti nivoa u susednim deonicama na po~etku (t) vremenskog koraka ∆t, tako dase prora~un za Π ∆

it t+ u bilo kojoj deonici, moè sprovesti u svakom slu~aju, bez obzira na

vrednosti Π ∆it t+ u susednim.

Reenje prikazano jedna~inom (3.102) je naravno samo aproksimacija realno ta~nogreenja. Stepen aproksimacije ta~nog reenja nije dovoljno uniforman u vremenu i prostoru izavisi od izbora veli~ine deonice, ∆x i vremenskog koraka, ∆t. Mogue je, na primer, izabrati∆x i ∆t tako da razlika izme|u aproksimativnog i ta~nog reenja raste sa poveanjemvremena. Za aproksimativno reenje se tada kaè da je nestabilno. Stabilno reenje jeosigurano u jednodimenzionalnom slu~aju strujanja, ako je zadovoljen uslov:

∆∆x

T t

2

4

1

2

µ> (3.103)

Tako|e, vremenski interval ne moè biti izabran nezavisno od veli~ine poljadiskretizacije. Naglaava se da gornja nejednakost obezbe|uje samo stabilnost ra~una, a ne idobru aproksimaciju ta~nog (realnog) reenja.

3.5.2.1.2 Implicitna metoda

Reavanje diferencijalne jedna~ine unazad (implicitno reenje) se dobija stavljajui zan=t+∆t u jedna~inu (3.100):

Π Π Π∆∆

Π Π∆ Λ ∆ ∆it t

it t

it t

it t

it

T

x

t++ +

−+ +− + = −1 1

2

2µ

( ) (3.104)

Ure|enjem jedna~ine (3.104) tako da su sve poznate veli~ine na desnoj strani dobijase:

( ) ti

tti

tti

tt

x

tT

x

tTΠ=

∆∆

Π+Π−

∆

∆+Π ∆+

−∆+

+∆+

21121

21

µµ (3.105)


65

Iz jedna~ine (3.105) vidi se da pijezometarski nivo u polju (i), u vremenu t+∆t, zavisiod vrednosti nivoa u susednim poljima (i+1) i (i-1). Tako, jedna~ina (3.105) reprezentuje skupalgebarskih jedna~ina koje se moraju reavati iterativno.

Rezultati analize pokazuju da stabilnost prora~una nije problem kod implicitne metodei teoretski, izbor veli~ine deonice (∆x) i vremenskog koraka (∆t) je me|usobno nezavisan.Izbor vrednosti inkrementa prostora i vremena zavisi od korisnikove potrebe za ta~nou,detaljnosti analize i kvaliteta podataka.

3.5.2.2 DVODIMENZIONALNO STRUJANJE

Veina strujanja podzemnih voda, zahvaljujui genezi i uslovima stvaranja poroznesredine, moè se ematizovati, posmatrati i analizirati kao ravansko strujanje u planu.Uvo|enjem hipoteze Dipuija i drugih neophodnih pretpostavki, omoguena je primenarelativno jednostavnog matemati~kog aparata.

Kod primene numeri~ke metode kona~nih prirataja, uobi~ajena je diskretizacijastrujnog polja u planu mreòm paralelograma, slika 3.19. O~igledno je da je za reavanjezadatka neophodno prethodno postaviti sistem jedna~ina kojih ima koliko i diskretizovanihpolja. Skup linearnih algebarskih jedna~ina se iterativno reava za usvojene grani~ne usloveodgovarajuim numeri~kim postupkom (kao najprihvatljivija, preporu~uje se Gausovametoda eliminacije).

Slika 3.19.: Mreà diskretizacije, koordinatni i numeri~ki sistem za primer ravanskog strujanja

Za generalni dvodimenzionalni slu~aj, promenljivi parametri filtracione propusnosti,specifi~ne izdanosti izdani i "vertikalnog bilansa" voda se tretiraju kao prose~ne konstantne(i reprezentativne) vrednosti u polju konstantnih dimenzija. U vremenu, t, svako polje moèimati razli~ite vrednosti vertikalnog bilansa voda. Za izdan sa slobodnim nivoom, nelinearnadiferencijalna jedna~ina strujanja se linearizuje usvajajui konstatnu vrednost debljine

izdanske zone u vremenskom intervalu ∆t. Simbol ”M” se koristi za debljinu izdanske(saturisane) zone, da bi se izbegla konfuzija sa nivoom slobodne vodene povrine, h. Debljinavodonosnog sloja, M, postaje jednaka sa h samo kada je njegova podina horizontalna i kada sekoristi kao referentna ravan. Kod strujanja pod pritiskom, koristi se debljina vodonosnoogsloja, ozna~ena tako|e sa “M”, kao reprezentativna veli~ina za diskretizovano polje inepromenljiva tokom vremena (u najveem broju zadataka).

U sledeoj analizi posmatra se strujanje pod pritiskom i koristi se linearizacija@ukovskog (ili, u zapadnoj literaturi poznata kao Dipui-Forhajmer5 aproksimacija).

5 Dupuit - Forcheimer


Polje (i, j) i njegova ~etiri susedna polja su prikazana na slici 3.20. Strujanje iz polja(i-1, j) u polje (i, j) se izra`ava Darsijevom jedna~inom, kao proticaj kroz povrinu koja jeproizvod irine diskretizovanog polja ∆xi,j i veli~ine debljine izdanskog toka (saturacije)M i j

t−1 2/ , , koja je na konturi izme|u polja (i-1, j) i polja (i, j).

Slika 3.20: Sistem diskretizacije za dvodimenzionalno (ravansko) strujanje sa slobodnim nivoom

Izvo|enje jedna~ina strujanja izme|u susednih polja je ilustrovano izvo|enjemjedna~ine za proticaj izme|u polja (i-1, j) i (i, j). Prema slici (3.21.), tok iz polja (i-1, j) upolje (i, j) je Qi-1/2,j. Gradijent pijezometarskog nivoa (nagib vodene povrine) u (i-1)/2, semora izra~unati korienjem vrednosti nivoa u (i-1, j) i (i, j). Dalje, Qi-1/2,j zavisi od vrednostikoeficijenta filtracije i debljine izdanske zone (debljine vodonosnog sloja u uslovima strujanjapod pritiskom) u poljima (i-1, j) i (i, j). Uslov kontinuiteta zahteva da proticaj Qi-1/2,j ima istuvrednost, koja se izra~unava korienjem vrednosti parametara u polju (i-1, j), kao i vrednostproticaja, dobijena na osnovu parametara u polju (i, j).

Slika 3.21: Proticaj izme|u dva susedna polja - 1) realna pijezometarska linija; 2) linearna aproksimacija


67

Tako se dobija par jedna~ina, koje imaju istu vrednost:

Q K M yxi j i j i j i j

i jn

i jn

i j− − − −

− −

−=

−1 2 1 1 1

1 1 2

1

2

/ , , , ,

, / ,

,

∆Π Π

∆ (3.106)

i Q K M yxi j i j i j i j

i jn

i jn

i j−

−=

−1 2

1 2

2

/ , , , ,

/ , ,

,

∆Π Π

∆ (3.107)

Eliminacijom nepoznate Πi jn−1 2/ , u jedna~inama (3.106) i (3.107) i njihovim

simultanim reavanjem, dobija se:

Qx

K M y

x

K M y

i j

i jn

i jn

i j

i j i j i j

i j

i j i j i j

−−

−

− − −

=−

+1 2

1

1

1 1 12 2

/ ,

, ,

,

, , ,

,

, , ,

Π Π∆

∆

∆

∆

(3.108)

Koeficijent kojim se mno`i razlika nivoa u jedna~ini (3.108) je dat kao simbol Ci,j ijedna~ina (3.108) postaje:

Q Ci j i j i jn

i jn

− −= −1 2 1/ , , , ,( )Π Π (3.109)

Na sli~an na~in se dolazi do:

Q Di j i j i jn

i jn

+ += −1 2 1/ , , , ,( )Π Π (3.110)

gde je Di,j isto to i Ci,j , sa indeksom (i-1) zamenjenim sa (i+1). Tako|e je,

Q Ai j i j i jn

i jn

, / , , ,( )− −= −1 2 1Π Π (3.111)

za tok u pravcu j-ose. Koeficijent Ai,j je:

Ax

K M y

x

K M y

i ji j

i j i j i j

i j

i j i j i j

,,

, , ,

,

, , ,

=+

−

− − −

1

2 21

1 1 1

∆

∆

∆

∆

(3.112)

Na kraju: Q Bi j i j i jn

i jn

, / , , ,( )+ += −1 2 1Π Π (3.113)

gde je koeficijent Bi,j dobijen iz Ai,j, zamenom indeksa (j-1) sa (j+1).Brzina promene zapremine vode u okviru polja (i,j), u vremenskom intervalu ∆t, je:

∆

∆∆ ∆

Π Π

∆

∆V

tx y

tQ

i j

i j i j i j

i jt t

i jt

i jt,

, , ,

, ,

,=−

++

µ (3.114)

odnosno Λ

ΛΠ Π∆

V

tE Q

i j

i j i jt t

i jt

i jt,

, , , ,( )= − ++ (3.115)

gde je Qi jt, dodatni ulaz ili izlaz vode, koji se koristi da reprezentuje doticaj ili oticaj iz polja.

Realno mo`e pretstavljati crpenje ili nalivanje, infiltraciju iz podinskih, ili povlatnihvodonosnih slojeva, sa povrine terena, itd., [L3T-1].

Na osnovu bilansa masa za polje (i, j), razlika ulaza (jedna~ine 3.109 i 3.111) i izlaza(jedna~ine 3.110 i 3.112) jednaka je brzini promene zapremine vode (jedna~ina 3.114,odnosno 3.115), tako da se dobija:


( ) ( ) ( )( ) ( )

C D A

B E Q

i j i jn

i jn

i j i jn

i jn

i j i jn

i jn

i j i jn

i jn

i j i jt t

i jt

i jt

, , , , , , , , ,

, , , , , , ,

Π Π Π Π Π Π

Π Π Π ΠΛ

− + −

++

− − − + − −

− − = − +

1 1 1

1 (3.116)

Za strujni tok pod pritiskom, veli~ina Mi,j u koeficijentu Ai,j (i sli~ne veli~ine u ostalimkoeficijentima) je debljina vodonosnog sloja, koja moè varirati u prostoru, ali je konstantnau vremenu.

U slu~aju sa slobodnim nivoom, Mi,j predstavlja debljinu izdanske zone (saturacije)na po~etku vremenskog koraka, koja ostaje konstantna u toku intervala vremena ∆t. Na tajna~in, svi koeficijenti su poznati na po~etku prora~unskog vremenskog koraka.

Sli~no, kao kod analize jednodimenzionalnog strujanja, ako je u jedna~ini (3.116), n =t (sadanja, ili poznata vrednost), u pitanju je eksplicitna forma diferencijalne jedna~ine. Akoje n = t+∆t (budua vrednost, koja se ra~una), tada je u pitanju implicitna forma jedna~ine.

U eksplicitnoj formi, jedna~ina (3.116) dobija oblik:

Ci,j (Πti-1,j - Π

ti,j) - Di,j (Π

ti,j - Π

ti+1,j) +Ai,j (Π

ti,j-1 - Π

ti,j) -

- Bi,j (Πti,j - Π

ti,j+1) = Ei,j (Π Λ

i jt t,+ - Πt

i,j) + Qti,j (3.117)

iz koje se nepoznata Π Λi jt t,+ moè eksplicitno izraziti:

( ) ( )

( ) ( )

ΠΠ Π Π Π

Π Π Π ΠΠ

Λi jt t i j i j

ti jt

i j i jt

i jt

i j

i j i jt

i jt

i j i jt

i jt

i jt

i ji jt

C D

E

A B Q

E

,

, , , , , ,

,

, , , , , , ,

,,

+ − +

− +

=− − −

+

+− − − −

+

1 1

1 1

(3.118)

Dalje reavanje se sprovodi kao kod jednodimenzionalnog strujanja. Na àlost, zadvodimenzionalno strujanje u nehomogenoj vodonosnoj sredini nije mogue definisati optiuslov stabilnosti. Ipak, kao uslov, i to kod mreè diskretizacije kod koje su polja kvadratnogoblika (∆x = ∆y), uzima se da je:

( )∆∆x

T t

2

41 10

µ> ÷ (3.119)

Ta~na vrednost navedenog uslova odre|uje se u svakom konkretnom slu~aju.U praksi je ina~e poèljno koristiti metod gde stabilnost nije problem. Implicitna

metoda zadovoljava ovaj uslov, metoda je veoma jednostavna, kompletno stabilna i bezproblema fluktuacija oscilacija.

U implicitnoj formi, jedna~ina (3.116) glasi:

( ) ( ) ( )( ) ( )

C D A

B E Q

i j i jt t

i jt t

i j i jt t

i jt t

i j i jt t

i jt t

i j i jt t

i jt t

i j i jt t

i jt

i jt

, , , , , , , , ,

, , , , , , ,

Π Π Π Π Π Π

Π Π Π Π

Λ Λ Λ Λ Λ Λ

Λ Λ Λ

−+ + +

++

−+ +

++

+ +

− − − + − −

− − = − +

1 1 1

1 (3.120)


69

Sre|ivanjem se dobija, na osnovu svih poznatih vrednosti koje su preba~ene nadesnu stranu jedna~ine:

A B C D

A B C D E Q E

i j i jt t

i j i jt t

i j i jt t

i j i jt t

i j i j i j i j i j i jt t

i jt

i j i jt

, , , , , , , ,

, , , , , , , , ,( )

Π Π Π Π

Π Π

∆ ∆ ∆ ∆

∆

−+

++

−+

++

+

+ + + −

− + + + + = −1 1 1 1

(3.121)

U matri~noj notaciji, gornja jedna~ina je:

[COEF] [Πt+∆t]= [Qt - E⋅Πt] (3.122)

3.5.2.3 OSETLJIVOST RE[ENJA NA PROMENE ULAZNIH PARAMETARA

Analiza jedna~ina, dobijenih bilo kojim metodom pokazuje da moraju biti poznatevrednosti filtracionih karakteristika, specifi~ne izdanosti izdani, debljine izdanske zone,grani~nih uslova, podzemnog i "vertikalnog" ulaza i po~etnog nivoa.

U mnogim ta~kama istra`ivanog prostora, ove vrednosti su nepoznate, ali rezultatiprora~una moraju biti u skladu sa odgovorom prirodne sredine na ulazni poremeaj.

Posledi~no, korisno je imati indikacije efekata promene svake promenljive nareenje. Mada se ovde govori samo o oscilacijama nivoa, mo`e se posmatrati i distribucijaproticaja u datom vremenskom trenutku, ili lokaciji.

Naglaava se, da, poto se potuje zakon (jedna~ina) kontinuiteta, greke postojesamo u vremenu i prostoru rasporeda brzine toka. Prose~na greka u prora~unu brzina, za datislu~aj je nula (t.j. obra~unava se ukupna zapremina vode).

Strogo posmatrano, stvarni efekti greaka u ulaznim podacima na rezultate, zavise odkonkretnog problema i analize osetljivosti u datom slu~aju. Ina~e, iskustvo generalnopokazuje da neki parametri uti~u na reenje vie od ostalih.

4. GLAVA

RADIJALNO NESTACIONARNO

STRUJANJE

Glava 4 - Nestacionarno radijalno strujanje---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

73

rpenjem iz bunara (ili drugih "ta~kastih" crpnih centara), formira se strujanje,koje se moè u prostoru posmatrati kao osnosimetri~no, ili kao radijalno,posmatrano u ravni. Ovakvo strujanje, iako se u prirodi relativno retko sree, od

velike je va`nosti za hidrogeoloku praksu, posebno metodiku hidrogeolokih istraìvanja,gde crpenje i nalivanje bunara zauzimaju zapaèno mesto.

Obradom podataka opitnih i eksploatacionih crpenja dobijaju se dragoceneinformacije o genitetu, tropiji, filtracionim karakteristikama i rasprostranjenju kaptiraneporozne sredine, kao i podaci o hidrauli~kim parametrima samog bunara i njihovoj promenitokom vremena.

Slika 4.1: Strujanje prema usamljenom bunaru u razli~itim uslovima: a) strujanje pod pritiskom; b)strujanje sa slobodnim nivoom; c) strujanje prema nesavrenom bunaru u uslovima podpritiskom; d) kombinovano strujanje prema bunaru, pod pritiskom i sa slobodnim nivoom

Iz navedenih razloga, "hidraulici bunara" je u dosadanjem periodu posveena velikapa`nja, kako u teorijskom, tako i prakti~nom pogledu. Razra|eni su brojni postupciinterpretacije i analize radijalnog strujanja.

4.1 DIFERENCIJALNA JEDNAÎNA RADIJALNOG

STRUJANJA U HOMOGENOJ IZOTROPNOJ POROZNOJ

SREDINI

Strogo posmatrano, kao radijalno strujanje moè se posmatrati samo strujanje podpritiskom, odnosno strujanje prema bunaru koji kaptira sloj pod pritiskom, konstantnedebljine, kada se strujanje moè ematizovati i posmatrati kao ravansko u planu. Strujanjeprema bunaru koji kaptira izdan sa slobodnim nivoom je prostorno, pri ~emu je vertikalnakomponenta strujanja sve vie izraèna sa pribliàvanjem prema bunaru. Me|utim, primenomhidrauli~ke teorije strujanja, uvo|enjem odre|enih hipoteza i ovo strujanje se moèposmatrati kao ravansko, odnosno radijalno. Posledica gornjeg je da, iako se polazniparametri izvo|enja diferencijalnih jedna~ina strujanja za uslove pod pritiskom i saslobodnim nivoom donekle razlikuju, njihov krajnji oblik je identi~an.

C


Analiti~ka reenja, koja se za odre|ene grani~ne i po~etne uslove mogu dobiti,primenjuju se i za uslove strujanja pod pritiskom, kao i sa slobodnim nivoom.

Oslanjajui se na rezultate istraìvanja Darsija (Henry Darcy) i Dipuija (Jules Dupuit),Tajs (Charles Theiss) je 1935. godine izveo diferencijalnu jedna~inu nestacionarnog strujanjapodzemnih voda prema usamljenom savrenom bunaru u homogenoj i izotropnoj izdanineograni~enog (horizontalnog) prostiranja. Za ovakvo strujanje Tajs je dao i analiti~koreenje jedna~ine, koje je u praksi nalo veliku primenu.

4.1.1 STRUJANJE SA SLOBODNOM VODENOM POVR[INOM

Jedna~ina kojom se opisuje strujanje prema usamljenom bunaru u izdani sa slobodnimnivoom je optija, obzirom da je ovo strujanje kompleksnije, slika 4.2., dok se strujanje podpritiskom moè posmatrati kao poseban slu~aj prethodnog. Za izvo|enje jedna~ine, uvode sesledee hipoteze:

Slika 4.2.: Strujanje prema bunaru sa slobodnim nivoom

1. Porozna sredina je ematizovana modelom kontinuuma, kao homogena, izotropna,neograni~enog prostiranja, posmatrano u planu.

2. Podina vodonosnog sloja je horizontalna, a izdan je pre po~etka crpenja konstantnedebljine.

3. Strujanje podzemnih voda je u skladu sa zakonom Darsija.4. Zanemaruje se vertikalna komponenta strujanja, odnosno, primenjuje se hipoteza Dipuija.5. Strujanje prema bunaru je radijalno, posmatra se kao ravansko u planu.

Iz strujnog toka se izdvaja ise~ak kru`nog prstena, beskona~no malih dimenzija, kojise moè aproksimirati kao prizma sa dimenzijama: rdθ, dr i h (slika 4.3.):

Diferencijalna jedna~ina strujanja se moè izvesti, polazei od jedna~ine kontinuiteta,analizirajui bilans zapremina voda, koje u vremenskom intervalu dt ulaze, zadràvaju se, iliizlaze iz elementarne prizme:

dV1 + dV2 - dV3 = dV (4.1)


75

Slika 4.3: Elementarna prizma strujnog toka sa slobodnim nivoom, prema usamljenom savrenombunaru

gde je:dV1 - zapremina vode koja u vremenu dt uti~e u prizmu kroz povrinu rdθ, [L3]:

dV1 = qrrdθdt (4.2)

qr - jedini~ni proticaj, proticaj po jedinici obima cilindra (irine) strujnog toka, na udaljenju rod ose koordinatnog sistema (koja je ujedno i osovina bunara). Jedna~ina za jedini~niproticaj predstavlja ujedno i dinami~ku jedna~inu, kojom se izraàva zakon strujanja(Darsijev zakon) u diferencijalnom obliku i cilindri~nim koordinatama, [L2T-1]:

rKhqr ∂

∂Π= (4.3)

dV2 - zapremina vode koja se u vremenu dt infiltrira u elementarnu prizmu sa povrine terena.U optem slu~aju, ova zapremina moè biti i negativna, to zavisi od realnih uslova naterenu (infiltracija od padavina, evapotranspiracija, navodnjavanje, itd.), [L3]:

dV2 = W rdθdrdt (4.4)

W - infiltracija (sa pozitivnim), ili evapotranspiracija (sa negativnim predznakom), [LT-1],dV3 - zapremina vode, koja u datom vremenskom intervalu dt izlazi iz elementarne prizme, je,

[L3]:

−−= drr

dtrdqdtrdqdV r

r ∂θ∂

θ)(

3 (4.5)

odnosno dtddrr

rqrqdV rr θ

∂∂

−−=

)(3 (4.6)

dV - prirataj zapremine vode, kao rezultat razlike zapremine vode koja ulazi, ili izlazi izelementarne prizme, izraàva se kao:

dtrdrdt

dV θ∂∂

εΠ

−= (4.7)

Ako pretpostavimo da e tokom intervala vremena dt doi do opadanjapijezometarskog nivoa, izraz (4.7) bie sa negativnim predznakom, [L3].


ε - specifi~na izdanost izdani sa slobodnim nivoom, u koju su uklju~eni i elementivertikalnog bilansa voda. Pri izdizanju nivoa manifestuje se kao nedostatakvlage nadizdanske zone, a pri opadanju nivoa kao efektivna poroznost (ovakodefinisana, predstavlja ponderisanu veli~inu), [-].

Zamenom izraza za veli~ine dV1 , dV2 , dV3 i dV u jedna~inu (4.1), dobija se:

dtrdrdt

dtddrr

rqrqdtWrdrddtrdq rrr θεθ

∂∂

θθ∂Π∂

−=

−−+

)( (4.8)

Deljenjem (4.8) sa rdrdθdt i njenim sre|ivanjem:

Wtr

rq

rr +

Π=

∂∂

ε∂

∂ )(1 (4.9)

Wtr

rqr

rr

q

r rr +

Π=+

∂∂

ε∂∂

∂∂ 11

(4.10)

dobija se jedna~ina kontinuiteta u obliku:

Wtr

q

r

q rr +Π

=+∂∂

ε∂∂

(4.11)

Uvo|enjem dinami~ke jedna~ine (4.3) u jedna~inu kontinuiteta (4.11), dobija sediferencijalna jedna~ina radijalnog strujanja u homogenoj izotropnoj poroznoj sredini(jedna~ina Busineska napisana u polarnim koordinatama):

Wtrr

Kh

r

rKh

+Π

=Π

+

Π

∂∂

ε∂∂

∂∂∂

∂ (4.12)

Gornja parcijalna diferencijalna jedna~ina radijalnog strujanja sa slobodnim nivoom, uoptem slu~aju nema reenje. Osim toga, ni u posebnim jednostavnim slu~ajevima, nijepogodna za integraciju. Da bi se prevaziao ovaj problem, uvodi se njena linearizacija,pretpostavkom da je debljina izdani konstantna. Ova metoda linearizacije, nazvana po njenomautoru, linearizacijom po metodi Busineska, uspeno se primenjuje u slu~ajevima relativnovelike debljine izdani i relativno malih sni`enja nivoa (kao posledice crpenja iz bunara).Dakle, usvaja se pretpostavka da je:

h ∼ h0 = Const. (4.13)

Gornjom linearizacijom se dobija jedna~ina strujanja:

Wtrrr

Kh +Π

=

Π+

Π∂∂

ε∂∂

∂∂ 1

2

2

0 (4.14)

odnosno00

2

2 1

Kh

W

tKhrrr+

Π=

Π+

Π∂∂ε

∂∂

∂∂

(4.15)

Ukoliko se u jedna~inu (4.15) uvede depresija S (razlika izme|u stati~kog, po~etnog nivoa irealnog nivoa u posmatranoj ta~ki strunog polja) umesto pijezometarskog nivoa Π, slika 4.2.:

S = Π0 - Π (4.16)


77

gde je:Π0 - po~etni (stati~ki) pijezometarski nivo izdani, [L],i parametar a, koji predstavlja koeficijent nivoprovodnosti izdani, [L2T-1]:

ε0Kh

a = (4.17)

zatim, ako se usvoji za infiltraciju (W) da je nula:

W = 0 (4.18)

dobija se osnovna diferencijalna jedna~ina (linearizovana), za strujanje prema bunaru:

t

S

ar

S

rr

S

∂∂

∂∂

∂∂ 11

2

2

=+ (4.19)

4.1.2 STRUJANJE POD PRITISKOM

Jedna~ina strujanja prema usamljenom bunaru u izdani pod pritiskom predstavljaposeban slu~aj jedna~ine strujanja u uslovima sa slobodnim nivoom. Pored ve navedenihhipoteza, ovde se uvode i sledee pretpostavke:

1. vodonosni sloj je horizontalan, konstantne debljine (M = Const.).2. podina i povlata sloja su vodonepropusne konture, slika 4.4.,3. strujanje je pod pritiskom u svim ta~kama strujnog polja i u svakom trenutku.

Slika 4.4: Strujanje prema bunaru pod pritiskom

Izvo|enje jedna~ine kontinuiteta je analogno prethodnom slu~aju, s tim to je debljina(visina) strujnog toka konstantna i iznosi M = Const., slike 4.4. i 4.5.

Analogno prethodnom, dobija se jedna~ina kontinuiteta u obliku:

Wtr

q

r

q rr +Π

=+∂∂

µ∂∂

(4.20)


gde je:W - infiltracije vode u izdan, koja je teorijski nula (obzirom da se podina i povlata

vodonosnog sloja posmatraju kao vodonepropusne konture). U praksi me|utim,infiltracija u izdan pod pritiskom moè biti rezultat pretakanja vode iz susednihvodonosnih slojeva, ce|enja vode iz glina (podine, povlate, so~iva u vodonosnom sloju)usled njihove prekonsolidacije, itd., [LT-1].

Slika 4.5: Elementarna prizma strujnog toka pod pritiskom, prema usamljenom savrenom bunaru

µ - specifi~na izdanost izdani pod pritiskom. Teorijski posmatrano, u njoj su sadrànaelasti~na svojstva vode i porozne sredine, me|utim, obzirom na uvedene pretpostavke,ona ovde predstavlja tzv. ponderisanu veli~inu, [-].

Preko veli~ine qr (jedini~ni proticaj), za uslove strujanja pod pritiskom izraàva sedinami~ka jedna~ina, u obliku:

rKMqr ∂

∂Π= (4.21)

odnosno r

Tqr ∂∂Π

= (4.22)

Ako se jedna~ina (4.22) uvede u jedna~inu kontinuiteta (4.20), dobija se parcijalnadiferencijalna jedna~ina nestacionarnog strujanja prema usamljenom bunaru, koji kaptiraizdan pod pritiskom, homogenih i izotropnih karakteristika i neograni~enog prostiranja:

Wtr

Trr

rT

+Π

=Π

+

Π

∂∂

µ∂∂

∂∂∂

∂1

(4.23)

ili, sre|ivanjem:T

W

tarrr+

Π=

Π+

Π∂∂

∂∂

∂∂ 11

2

2

(4.24)

gde je:a - koeficijent pijezoprovodnosti izdani, [L2T-1]:

µµKMT

a == (4.25)


79

Prema istom postupku kako je izvedena jedna~ina strujanja prema bunaru saslobodnim nivoom, uvo|enjem depresije (S, jedna~ina (4.16), i isklju~ivanjem infiltracije (W= 0), jedna~ina (4.18), dobija se jedna~ina strujanja za uslove pod pritiskom, koja, kako jere~eno, predstavlja poseban slu~aj optijeg strujanja sa slobodnim nivoom:

t

S

ar

S

rr

S

∂∂

∂∂

∂∂ 11

2

2

=+ (4.26)

Upore|enjem jedna~ina (4.19) i (4.26) moè se videti da su one, zahvaljujuiuvo|enju navedenih pretpostavki, prakti~no identi~ne.

Za uslove stacionarnog strujanja, desna strana jedna~ina (4.19) i (4.26) je nula, tako dase dobija jedna~ina Laplasa, napisana u polarnim koordinatama:

01

2

2

=+r

S

rr

S

∂∂

∂∂

(4.27)

4.2 RE[ENJE DIFERENCIJALNE JEDNAÎNE

RADIJALNOG STRUJANJA U POSEBNOM SLUÂJU -

RE[ENJE THEISS-A

Re~eno je da parcijalna diferencijalna jedna~ina neustaljenog strujanja prema bunaru uuslovima pod pritiskom i linearizovana parcijalna diferencijalna jedna~ina neustaljenogstrujanja sa slobodnim nivoom imaju isti oblik:

t

S

ar

S

rr

S

∂∂

∂∂

∂∂ 11

2

2

=+ (4.28)

gde je:a - koeficijent pijezoprovodnosti, odnosno nivoprovodnosti, u optem smislu, [L2T-1].

Gornja diferencijalna jedna~ina nema reenja u optem slu~aju. U posebnom slu~aju,uvode se pretpostavke i jednostavni grani~ni i po~etni uslovi, za koje je mogue naianaliti~ko reenje. U nastavku se daje reenje koje je dao Tajs (Theiss, 1935.), koje je nalo velikuprakti~nu primenu. To je slu~aj crpenja iz usamljenog savrenog bunara, sa konstantnimproticajem, koji je trenutno po~eo, slika 4.6.

Slika 4.6: Hidrogram crpenja iz bunara, sa trenutnim uklju~enjem i konstantnim proticajem


Pretpostavlja se da nema doticaja u izdan i da je specifi~na izdanost izdanikonstantna po prostoru i tokom vremena. U tom slu~aju pretpostavljaju se sledei grani~ni ipo~etni uslovi (slika 4.7):

Slika 4.7: [ema nestacionarnog strujanja prema bunaru

Grani~ni uslovi:

1. za r → 0 i t > 0 :

Π

→=

rr

rT

Qb∂∂

π 0lim

2 (4.29)

Proticaj iz bunara (r → 0) u periodu crpenja (t > 0) je konstantan (Qb = Const.).

2. za r → ∞ i t > 0 : S = 0; 0=r

S

∂∂

; Π(∞,t) = Π0 (4.30)

Na beskona~nom udaljenju od bunara (r → ∞), na po~etku i tokom vremena crpenja iz njega(t > 0), sa proticajem Qb = Const., depresija je nula (S = 0), pijezometarski nivo izdani jehorizontalan (∂S/∂r = 0) i neporemeen (jednak je nivou pre po~etka crpenja, po~etnomnivou, Π(∞,t) = Π0).

Po~etni uslov:

3. za t < 0 : S = 0; Π(r, 0) = Π0 (4.31)

U periodu pre po~etka crpenja (t < 0), depresija je nula (S = 0), a pijezometarski nivo usvim ta~kama strujnog polja je isti, Π(r, 0) = Π0.

Za gornje grani~ne i po~etne uslove, Tajs je 1935. godine dao reenje diferencijalnejedna~ine (4.28) u sledeem obliku:

∫∞ −

=u

ub du

u

e

T

QS

π4 (4.32)

gde je:

u - bezdimenzionalni parametar, [-]:Tt

ru

4

2µ= (4.33)

µ - specifi~na izdanost izdani, [-],t - vreme od po~etka crpenja, [T].


81

Eksponencijalni integral u gornjoj jedna~ini se ~esto u stru~noj literaturi ozna~ava kaobunarska funkcija, W(u) i pie se kao:

∫∞ −

−−==u

i

u

uEduu

euW )()( (4.34)

Bunarska funkcija se moè izraziti u obliku reda:

...!44!33!22

ln5772.0)(432

+⋅

−⋅

+⋅

−+−−=uuu

uuuW (4.35)

gde je: 0.577215665... - veli~ina, u matematici poznata kao Ojlerova konstanta, odnosno:

∑∞=

=

+

⋅−+=

n

n

nn

nn

u

uuW

1

1

!)1(

5615.0ln)( (4.36)

Funkcija W(u) se moè grafi~ki interpretirati i prikazati na semilogaritamskomdijagramu, u zavisnosti od bezdimenzionalnog parametra u, slika 4.8:

Slika 4.8: Grafi~ki prikaz bunarske funkcije W(u) u zavisnosti od bezdimenzionalnog parametra u

Za male vrednosti u, funkcija W(u) se svodi na prva dva ~lana reda:

u

uuW5615.0

lnln5772.0)( =−−= (4.37)

koji su na dijagramu W(u) = log(u) predstavljeni pravom linijom, slika 4.8.Zbog jednostavnosti izraza, oblik funkcije W(u), izraèn preko prva dva ~lana reda,

naiao je na veliku primenu u praksi. Pri tome se postavlja pitanje greke koja se pri tome~ini. Na slici 4.9. grafi~ki je dato upore|enje ta~ne i aproksimirane vrednosti funkcije W(u),kao procenta dobijene greke.

Kao grani~na vrednost (sa grekom od 2%), u praksi se uzima vrednost u = 0.05. Utom slu~aju, za vrednosti u manje od 0.05 (u < 0.05), bunarska funkcija se moè aproksimiratiizrazom:

µ225.2

ln)(r

TtuW = (4.38)


gde je:T - koeficijent vodoprovodnosti vodonosne sredine, [L2T-1],t - vreme od po~etka crpenja iz bunara, [T],r - udaljenje posmatrane ta~ke od koordinatnog po~etka (centra bunara), [L],µ - specifi~na izdanost izdani, [−].

Slika 4.9: Relativna greka funkcije W(u) u procentima (razlika ta~ne i aproksimirane vrednosti), uzavisnosti od veli~ine parametra u

U tom slu~aju, depresija u ta~ki strujnog polja na udaljenju r od ose bunara je:

µπ 2

25.2ln

4 r

Tt

T

QS b= (4.39)

gde je:

Qb - (konstantni) proticaj kojim se crpi iz bunara, [L3T-1].

Na udaljenju za koji vaì uslov u < 0.05 i jedna~ina (4.39), u jednom vremenskomtrenutku, ukoliko se ta~ke depresione linije prikaù na semilogaritamskom dijagramu S(t1) =f(log r), pruàju se du` prave. Izvan udaljenja, za koji vaì navedeni uslov, kriva depresije sepokorava zavisnosti, izraènoj bunarskom funkcijom W(u), slika 4.10. U sledeem trenutku,zona u kojoj je ispunjen uslov u < 0.05 se proiruje, a pravi deo linije depresije S(t2) = f(log r)translatorno se pomera za veli~inu ∆S.

Deo oblasti strujanja, u kojoj je bezdimenzionalni parametar u < 0.05, za koji se linijadepresije u semilogaritamskom dijagramu moè prikazati pravom linijom, nalazi se ukvazistacionarnom reìmu strujanja. Osnovna (o~igledna) karakteristika ove oblasti je da sedepresiona povr u okviru ove oblasti tokom vremena crpenja translatorno pomera (paralelnosamoj sebi).

Oblast dalje od bunara, gde nije ispunjen navedeni uslov (u datom vremenskomtrenutku), gde bezdimenzionalni parametar u nije manji od 0.05, nalazi se u izrazitonestacionarnom reìmu strujanja (slika 4.10).

Za velike vrednosti parametra u (za u > 5) funkcija W(u) se moè aproksimiratiizrazom:

u

e

uuW

u−

−=

8.01)( (4.40)


83

odnosno, depresija je u tom slu~aju:

u

e

uT

QS

ub

−

−=

8.01

4π (4.41)

Za vrednosti parametra u vee od 7 (u > 7) funkcija W(u) je prakti~no nula (W(u) ≅ 0),tako da se u tom slu~aju i depresija moè zanemariti.

Slika 4.10: Kvazistacionarna i nestacionarna (1 i 2) oblast strujanja prema bunaru, u dva vremenskapreseka (primer)

4.3 PRIMENA JEDNAÎNE THEISS-A

4.3.1 RASPORED PROTICAJA U STRUJNOM POLJU

Za proticaj, Qr, po konturi cilindra koji se nalazi u radijalnom strujnom toku, sacentrom u osovini bunara i polupre~nikom r od bunara, slika 4.11, vaì jedna~ina Darsija, uobliku:

dr

dSTrQ π2= (4.42)

Slika 4.11: Proticaj Qr na udaljenju r od bunara


Gradijent pijezometarskog nivoa dobija se diferenciranjem Tajsove jedna~ine zadepresiju:

∫∞ −

=u

ub du

u

e

T

QS

π4 (4.43)

dr

du

u

e

T

Q

dr

dS ub

−

=π4

(4.44)

Kako je Tt

ru

4

2µ= → u

rTt

r

dr

du 2

4

2==

µ , (4.45)

smenom u jedna~inu (4.44) dobija se izraz za gradijent pijezometarskog nivoa:

r

e

T

Quru

e

T

Q

dr

dS ub

ub

−−

==ππ 2

2

4 (4.46)

Zamenom gradijenta (jedna~ina (4.46) u jedna~inu za proticaj (4.42) i njenimsre|ivanjem, dobija se relacija koja izraàva funkcionalnu zavisnost proticaja, Qr, naudaljenju r od bunara i proticaja u bunaru, Qb:

r

e

T

QTr

dr

dSTrQ

ub

−

==π

ππ2

22 (4.47)

Qr = Qbe-u (4.48)

Filtraciona brzina u bilo kojoj ta~ki strujnog polja, na udaljenju r od centra bunara,dobija se iz izraza za Darsijevu (filtracionu) brzinu:

dr

dSKvr = (4.49)

ili, preko proticaja Qr, iz jedna~ine (4.47):

Mr

Qv rr π2

= (4.50)

odnosno ubr e

Mr

Qv −=

π2 (4.51)

Analiza odnosa filtracionog proticaja, Qr i proticaja bunara, Qb moè da ukaè naoblasti formiranja podzemnog doticaja prema bunaru. Neka se jedna~ina (4.48) napie usledeem obliku:

ur eQ

Q

b

−= (4.52)

Grafi~ki prikaz relativnog proticaja (koli~nika Qr/Qb) prikazan je na slici 4.12.:U zoni bunara, gde je u < 0.05, kao to se sa dijagrama slike 4.12 vidi, formira se

manje od 5 % proticaja bunara. Ova zona se naziva tranzitnom zonom, a sa gledita reìmastrujanja podzemnih voda ova oblast se smatra zonom kvazistacionarnog strujanja.

Oblast izvan tranzitne zone se zove zona rezervoara. Prostire se u oblasti gde je u >0.05, dakle, gde se formira ostalih 95 % proticaja bunara. Teoretski, ova oblast se pruà ubeskona~nost i poklapa se sa delom strujnog polja u izrazito nestacionarnom reìmu strujanja.


85

Me|utim, ako se usvoji da se u zoni rezervoara formira 90 % vode koja se crpi izbunara, odnosno da se izvan nje formira 5% proticaja bunara, mo`e se rei da se zonarezervoara nalazi u granicama parametra u, od 0.05 do 3, slika 4.12.

Slika 4.12: Zavisnost veli~ine relativnog proticaja prema bunaru (Qr/Qb) od veli~ine bezdimenzionalnogparametra u (tranzitna zona i zona rezervoara)

4.3.2 BRZINA SNI@ENJA NIVOA PODZEMNIH VODA

Brzina promene nivoa izdani (depresije) tokom crpenja, vS, data je izrazom:

dt

dSvS = (4.53)

Iz jedna~ine za depresiju:

∫∞ −

=u

ub du

u

e

T

QS

π4 (4.54)

diferenciranjem po vremenu, (t), dobija se brzina promene depresije u posmatranoj ta~kistrujnog polja:

dt

du

u

e

T

Q

dt

dSv

ub

S

−

==π4

(4.55)

Tt

ru

4

2µ= → u

tTt

r

dt

du 1

4 2

2

−=−=µ

(4.56)

utu

e

T

Qv

ub

S

1

4

−

−=π

(4.57)

ubS e

Tt

Qv −−=

π4 (4.58)

Odre|ivanje (progoza) promene depresije na razli~itim udaljenjima od bunara iz kogase crpi ima prakti~nog zna~aja, naro~ito kod planiranja intenziteta i trajanja opitnog crpenja uuslovima postojanja prateih pijezometara. Tako|e, prognoza brzine promene depresije imazna~aja uopte u analizi efekata eksploatacije podzemnih voda iz pojedina~nog bunara, ilislu~ajeva koji se mogu posmatrati kao takvi.


4.3.3 RADIJUS DEJSTVA BUNARA

Radijus dejstva bunara ima viestruki, prakti~ni i teoretski zna~aj. U pogledunjegovog definisanja i danas vladaju odre|ene nedoumice. Naivno shvatanje, (~esto u praksi),da je "radijus dejstva bunara udaljenje do koga se "osea" uticaj crpenja", ne moè se (iz vierazloga) prihvatiti.

Radijus dejstva bunara se izvodi iz definicije depresije i jedna~ine strujanja premausamljenom bunaru u stacionarnim uslovima (jedna~ina Dipuija), jedna~ina 4.59:

r

R

T

QS Ab ln

2π= (4.59)

gde je:S - depresija na udaljenju r od bunara, razlika po~etnog pijezometarskog nivoa izdani (pre

po~etka crpenja) i Dipuijeve parabole (slika 4.13), [L]:

S = Π0 - Π (4.60)

RA - radijus dejstva bunara, udaljenje od bunara na kome je depresija nula (S = 0), odnosno nakome je Dipuijeva parabola jednaka po~etnom (tzv. stati~kom) nivou. Ovako shvaen,naziva se radijusom dejstva bunara u smislu Dipuija , slika 4.13, [L].

Slika 4.13: Radijus dejstva bunara u smislu Dipuija, RA

Prema hipotezama koje su usvojene kod stacionarnog strujanja (Dipuijeva hipoteza):"radijus dejstva bunara predstavlja udaljenje od ose bunara na kome po~etni pijezometarskinivo ostaje neporemeen i izvan koga nema strujanja prema bunaru".

O~igledno je da radijus dejstva bunara, definisan u smislu Dipuija, u praksi nema bamnogo fizi~kog smisla. Stacionarni uslovi strujanja pri crpenju iz bunara se retko postiù, ajedini slu~aj kada je strogo zadovoljena jedna~ina (4.59) je kada se crpi iz bunara u centrukru`nog ostrva (slika 4.14). Analiza slu~ajeva stacionarnih strujanja prema bunaru, kada jemogue izraziti radijus dejstva bunara u smislu Dipuija, pokazuje da je za njegovo definisanjeneophodno postojanje obnavljanja izdani (u bilo kom vidu)1.

O~igledno je da u neograni~enoj izdani, bez obnavljanja, ne moè doi do stabilizacijenivoa tokom crpenja. Teoretski posmatrano, uticaj crpenja se propagira do beskona~nosti odtrenutka njegovog po~etka, tako da o radijusu dejstva bunara koji bi imao neku realnuveli~inu nema ni govora.

1 Vidi: M. Pui - HIDRAULIKA PODZEMNIH VODA - STACIONARNA STRUJANJA, Slavija-pres, Novi

Sad, 1994.


87

Slika 4.14: Radijus dejstva bunara (u smislu Dipuija), u slu~aju crpenja iz bunara u centru kru`nogostrva (u stacionarnim uslovima strujanja)

Me|utim, mogue je uspostaviti funkcionalnu vezu izme|u nestacionarnog strujanja iradijusa dejstva bunara u smislu Dipuija, uvaàvajui pretpostavke i hipoteze, uvedene priizvo|enju (i reavanju) jedna~ine strujanja prema bunaru.

Jedna~ina nestacionarnog strujanja prema bunaru u neograni~enoj izdani glasi:

)(4

uWT

QS b

π= (4.61)

dok je jedna~ina Dipuija, za stacionarno strujanje prema bunaru:

r

R

T

QS Ab ln

2π= (4.62)

Izjedna~avanjem gornje dve jedna~ine dolazi se do izraza kojim je izraèna vezaizme|u radijusa dejstva bunara u smislu Dipuija i bunarske funkcije W(u):

RA = r eW(u)/2 (4.63)

Poto se bunarska funkcija menja u zavisnosti od promene bezdimenzionalnogparametra u, koji se menja sa vremenom:

Tt

ru

4

2µ= (4.64)

zaklju~ak je da je u (navedenim) uslovima nestacionarnog strujanja, radijus dejstva Dipuijatako|e u funkciji vremena crpenja:

RA = f(t) (4.65)

Depresija u delu strujne oblasti, gde je ispunjen uslov da je u < 0.05, moè se izrazitilogaritamskom zavisnou:

µπ 2

25.2ln

4 r

Tt

T

QS b= (4.66)


Radijus dejstva bunara u smislu Dipuija pri nestacionarnom strujanju podzemnih vodaprema bunaru, moè se tada dobiti izjedna~avanjem izraza (4.62) i (4.66) i sre|ivanjem, uobliku:

µTt

RA25.2

= (4.67)

odnosno: µTt

RA 5.1= (4.68)

Radijus dejstva bunara u smislu Dipuija u nestacionarnim uslovima strujanja nemafizi~kog smisla. Relacija izme|u Dipuijeve parabole i realne linije depresije nestacionarnogstrujanja prema bunaru, u nekom vremenskom preseku, moè se sagledati iz slika 4.15 i 4.16.Njegovo odre|ivanje ima samo teoretski zna~aj, osim kod reavanja odre|enih zadatakasloènih strujanja i odre|ivanja veli~ina zona napajanja bunara.

Prema navedenim definicijama tranzitne zone i zone rezervoara, njihova veli~ina uodnosu na radijus dejstva bunara u smislu Dipuija, kod nestacionarnog strujanja, izraàva sena sledei na~in:

r0 < tranzitna zona < 0.3 RA < zona rezervoara < 2.3 RA (4.69)

gde je:r0 - polupre~nik bunara, [L],RA - radijus dejstva bunara u smislu Dipuija, [L].

Zona rezervoara

Parabola Dipuija

Slika 4.15: Uporedni prikaz realne depresione linije i Dipuijeve parabole u nestacionarnom reìmustrujanja prema bunaru sa konstatnim proticajem

Na veem udaljenju od 2.3RA od bunara, formira se 5% njegovog proticaja, tako dase ova zona moè zanemariti.

Interesantno je napomenuti da u izrazu za radijus dejstva bunara u smislu Dipuija(4.67 i 4.68) ne figurie proticaj bunara, dakle ne zavisi od njega. Radijus dejstva bunara jefunkcija filtracionih parametara izdani (koeficijenta vodoprovodnosti, T, i specifi~neizdanosti izdani, µ) i menja se sa kvadratnim korenom vremena, t.


89

Slika 4.16: Upore|enje zavisnosti S = f(log r), za realnu liniju depresija i Dipuijevu parabolu

Radijus dejstva bunara mogue je definisati i na druge na~ine, kao na primer:

• radijus dejstva bunara definisan depresijom,• radijus dejstva bunara definisan proticajem,

gde se kao kriterijumi usvajaju dogovorene, relativne (bezdimenzionalne) veli~ine navedenihparametara. Me|utim, i u ovim izrazima ne figurie proticaj bunara2. Ovo se naglaava zbogtoga, to se u praksi ~esto mea funkcionalna veza izme|u proticaja bunara i radijusa dejstvabunara (u gore navedenom smislu), gde ona ne postoji, i veza izme|u proticaja bunara idepresije, gde je ona nesumnjiva.

Za razliku od prethodnih, realni radijus dejstva bunara (R0) predstavlja udaljenje odose bunara na kome se zadràva prvobitni pijezometarski nivo, odnosno izvan koga nemastrujanja prema bunaru. Stvarni radijus dejstva bunara se vezuje samo za uslove kada se izdanprihranjuje, odnosno za uslove stacionarnog strujanja.

Za slu~aj konstantnog prihranjivanja izdani (W = Const.), realni radijus dejstva bunarase izraàva u sledeem obliku:

W

QR b

π=0 (4.70)

Odnos izme|u radijusa dejstva bunara u smislu Dipuija i realnog radijusa dejstvabunara je izraèn u obliku:

e

RRA

0= (4.71)

2 âk i za slu~aj radijusa dejstva bunara, definisanog proticajem, u izrazu kojim se on definie, ne stoji proticaj

bunara, nego relativni proticaj, Qr/Qb, gde je Qr - proticaj kroz omota~ cilindra, polupre~nika radijusa dejstvabunara (vidi M. Vukovi, A. Soro: “Hidraulika bunara”, Beograd, 1990.


4.3.4 SUPERPOZICIJA STRUJANJA

Linearni karakter diferencijalne jedna~ine strujanja prema bunaru (kao i mogunostnjenog svo|enja na Laplasovu jedna~inu, (4.27), omoguava analiti~ko opisivanje radijalnogstrujanja i u sloènijim uslovima. To se postiè razlaganjem sloènog strujanja na skupelementarnih, a zatim algebarskim sabiranjem njihovih analiti~kih izraza3. Slaganje strujanjaje mogue samo za elementarna strujanja istih karakteristika i sa istim grani~nim uslovima.

Izdvojeni su neki tipski slu~ajevi nestacionarnog sloènog strujanja podzemnih vodaprema usamljenom bunaru, ili grupi bunara, kao karakteristi~ni primeri, na koje se mogusvesti veina prakti~nih problema. Njihovom kombinacijom mogu se reavati i kompleksnijislu~ajevi strujanja. To su:

1. istovremeni rad grupe bunara sa konstantnim proticajima,2. strujanje u poluograni~enoj i ograni~enoj izdani (sa ematizovanim granicama,

tipa φ = Const., ili ψ = Const.),3. crpenje iz bunara sa naglim po~etkom crpenja sa konstantnim proticajem i naglim

prekidom crpenja,4. crpenje iz usamljenog bunara sa vie proticaja.

4.3.4.1 ISTOVREMENI RAD GRUPE BUNARA SA KONSTANTNIM

PROTICAJIMA

Analizira se rad grupe savrenih bunara, koji se nalaze u homogenoj, izotropnojizdani, neograni~enog prostiranja. U optem slu~aju, svi bunari rade sa razli~itimkapacitetima, koji su konstantni. Vreme po~etka crpenja iz svakog pojedinog bunara je tako|eproizvoljno. U proizvoljnoj ta~ki strujnog polja, M, pojedina~ni uticaji svakog bunara, koji surezultat njihovog rada (depresije), mogu se predstaviti sistemom jedna~ina (4.72):

)(4 1

11 uW

T

QS

π=

)(4 1

21

1 ttT

ru

−=

µ

)(4 22 uWT

QS

π=

)(4 2

22

2 ttT

ru

−=

µ

. (4.72)

)(4 nn uWT

QS

π=

)(4

2

n

nn ttT

ru

−=

µ

Na slici 4.17 prikazani su elementarni i sumarni nivogrami (depresije) grupe od 4bunara u ta~ki M, koji su rezultat rada pojedina~nog svakog bunara.

Rezultantnu depresiju u ta~ki M, (SM), predstavlja zbir pojedina~nih depresija u istojta~ki (slika 4.17):

∑=

=

=ni

i

Mi

M SS1

(4.73)

U optem slu~aju, uticaj rada pojedinih bunara u ta~ki M, izraèn kroz depresiju, je:

)(4 ii uWT

QS

π=

)(4

2

i

ii ttT

ru

−=

µ (4.74)

dok je ukupna, sumarna depresija u ta~ki M:

∑=

=

=ni

i

Mi

M SS1

(4.75)

3 Vukovi, Soro, 1990.; Pui, 1994.


91

gde je:n - ukupan broj bunara.

0

0

Slika 4.17: Elementarni i sumarni nivogrami (depresije) - uticaj rada grupe bunara u ta~ki M

4.3.4.2 STRUJANJE U POLUOGRANIÊNOJ I OGRANIÊNOJ IZDANI SA

[EMATIZOVANIM GRANICAMA TIPA ϕ = Const., ILI ψ = Const.

Kada se bunar nalazi pored konture koja se moè ematizovati pravolinijskomgranicom, tipa vodonepropusne granice (ψ = Const.), ili granice konstantnog potencijala (ϕ =Const.), analiti~ko opisivanje strujanja se postiè uvo|enjem fiktivnih bunara, koji zamenjujufizi~ku ematizovanu granicu (slika 4.18). Ovaj slu~aj se primenom metode ogledalnih slikasvodi na prethodnu ta~ku:

Slika 4.18: Fizi~ka i prora~unska ema strujanja prema bunaru pored pravolinijske konture, tipa ψ =Const. (a), ili ϕ = Const.(b) - primena metode ogledalnih slika


4.3.4.3 CRPENJE IZ BUNARA SA KONSTANTNIM PROTICAJEM I

TRENUTNIM PREKIDOM CRPENJA

Posmatra se usamljeni bunar u izdani neograni~enog prostiranja. Primer hidrogramasa trenutnim uklju~enjem konstantnog proticaja i naglim isklju~enjem, dat je na slici 4.19.a.Razlaganjem na elementarne hidrograme dobija se grafik kao na slici 4.19.b. Sumarna ielementarne depresije tako|e su prikazane na slici 4.19.

Slika 4.19: Sumarni (a) i elementarni (razlo`eni) hidrogrami i nivogrami (b), za slu~aj naglog uklju~enja iisklju~enja proticaja bunara

U periodu rada bunara (t0 < t < t1 ) depresija je u optem slu~aju:

)(4 0uWT

QS

π= (4.76)

gde je: )(4 0

2

0 ttT

ru

−=

µ (4.77)

U periodu posle isklju~enja bunara (t > t1), depresija se dobija kao zbir elementarnihdepresija, koje su rezultat dva elementarna proticaja (slika 4.19):

[ ])()(4 10 uWuWT

QS −=

π (4.78)

gde je: )(4 0

2

0 ttT

ru

−=

µ (4.79)

)(4 1

2

1 ttT

ru

−=

µ (4.80)


93

4.3.4.4 CRPENJE IZ USAMLJENOG BUNARA SA SLO@ENIM

HIDROGRAMOM

Kao to je u prethodnom slu~aju dati realni hidrogram predstavljen sumom dvaelementarna proticaja, isti princip se moè primeniti i u slu~aju sloènog, proizvoljnoghidrograma. Na slici 4.20 prikazan je mogui slu~aj sloènog hidrograma, koji je razloèn naelementarne.

Slika 4.20: a) sloèni hidrogram, b) razloèn na elementarne

Potujui navedene principe mogue je interpretirati i analizirati i sloènije slu~ajevestrujanja, sa vie bunara i sa sloènijim hidrogramima.


4.4 DOPUNSKI HIDRAULI^KI GUBICI U BUNARU I

PRIFILTARSKOJ ZONI

Ovo poglavlje donekle odstupa od koncepcije izlaganja materije, ali zbog zna~ajapoznavanja i kvantifikacije parazitskih gubitaka u bunaru i prifiltarskoj zoni, neophodno je daim se posveti du`na pa`nja. U stru~noj literaturi na naem jeziku ima relativno maloinformacija o ovim pokazateljima kvaliteta bunara, a i u (naoj) praksi je ova oblast prili~nozanemarena. Zbog toga je cilj autora, da ovom prilikom malo vie osvetli navedenuproblematiku i ~itaocima pruì osnovne informacije.

Poznato je da registrovana depresija u bunaru sadrì, pored depresije koja je rezultatfiltracije vode kroz poroznu sredinu i depresiju, koja je posledica pojave dopunskih“parazitskih” hidrauli~kih gubitaka, koji se formiraju u samoj konstrukciji bunara i njegovojprifiltarskoj zoni.

Ovi parazitski gubici su posledica delom laminarnog, delom turbulentnog strujanjapodzemnih voda.

Ukupna depresija u bunaru je suma depresija koje su posledica filtracije vode krozporoznu sredinu (prema zakonu Darsija) i dopunskih hidrauli~kih gubitaka laminarnog iturbulentnog (kvadratnog) karaktera (slika 4.21):

Sb = S0 + SL + ST (4.81)

ili Sb = A0Q + A1Q + BQ2 (4.82)

gde je:Sb - registrovana (ukupna) depresija u bunaru, [L],S0 - depresija u bunaru, kao rezultat strujanja u poroznoj sredini (u skladu sa Darsijevim

zakonom strujanja), [L]:

S0 = A0Q (4.83)

A0 - koeficijent gubitka energije, koji je posledica filtracije vode u poroznoj sredini, [L-2T].Izraàva se kao:

Slika 4.21: Ukupna depresija i parazitski gubici u bunaru i prifiltarskoj zoni

00 ln

2

1

r

R

TA A

π= ; RA = f(t) (4.84)


95

SL - dopunska, parazitska depresija u bunaru, posledica hidrauli~kih gubitaka u bunaru iprifiltarskoj zoni, linearnog karaktera, [L]:

SL = A1Q (4.85)

A1 - koeficijent gubitka energije, odnosno hidrauli~kih gubitaka u laminarnom reìmustrujanja, [L-2T],

ST - dopunska, parazitska depresija u bunaru, posledica hidrauli~kih gubitaka u bunaru iprifiltarskoj zoni, kvadratnog karaktera, [L]:

ST = BQ2 (4.86)

B - koeficijent hidrauli~kih gubitaka, u turbulentnom reìmu strujanja, [T2L-5].

4.4.1 DOPUNSKI HIDRAULI^KI GUBICI LINEARNOG

KARAKTERA

Postoji vie moguih uzroka pojave dopunskih hidrauli~kih gubitaka, odnosnoparazitske depresije u bunaru linearnog karaktera (u laminarnom reìmu strujanja):

a) usled nesavrenstva bunara, kada dolazi do zakrivljenosti (produètka) strujnica ublizini bunara,

b) zbog formiranja sloja isplake ("ispla~nog kola~a") na zidu buotine, kao posledicaizrade bunara uz korienje isplake,

c) usled neodgovarajue izrade, razrade, ili eksploatacije bunara.Uzroci mogu biti i drugi, ali su izvan ovog razmatranja.

4.4.1.1 DOPUNSKA DEPRESIJA USLED NESAVR[ENSTVA BUNARA

Nesavreni, ili nepotpuni bunar je relativno ~est slu~aj u praksi. Umesto da bunarfiltarskim, vodoprijemnim delom kaptira vodonosni sloj po celoj njegovoj visini, ovakav tipbunara kaptira (zahvata) samo jedan njegov deo. Obi~no se nesavreni bunar izra|uje tako dakaptira gornji deo vodonosne sredine (slika 4.22), mada moè biti i druga~iji slu~aj.

Kod strujanja prema nesavrenom bunaru dolazi do zakrivljenja i razlike u duìnipojedinih strujnica. Sa pribliàvanjem bunaru, sve vie dolazi do izraàja trodimenzionalnikarakter strujanja i zna~ajnije odstupanje od (usvojene pretpostavke) Dipuijeve hipoteze odvodimenzionalnom, ravanskom strujanju.

Dopunska depresija (hidrauli~ki gubitak) koja se pri tome javlja u bunaru, moè seizraziti preko relacije, kao funkcija proticaja bunara, filtracionih karakteristika sredine igeometrijskih odnosa bunara i vodonosnog sloja:

=∆

01 ,

r

M

M

Lf

T

QS n (4.87)

odnosno ∆S1nes = A1nQ (4.88)

gde je:∆Slnes - dopunska depresija u bunaru, posledica njegovog nesavrenstva, [L],Q - proticaj bunara, [L3T-1],T - koeficijent vodoprovodnosti, [L2T-1],l - duìna filtarskog (vodoprijemnog) dela bunara, [L],M - debljina vodonosnog sloja, [L],r0 - polupre~nik bunara (polupre~nik buenja), [L],


A1nes - koeficijent dopunske depresije, linearnog karaktera, [TL-2].Na slici 4.23 je u obliku dijagrama, prikazana zavisnost bezdimenzionalne veli~ine

=

01 ,

r

M

M

LfTA nes u uslovima stacionarnog strujanja, preko koje se moè odrediti ova

dopunska parazitska depresija.

Slika 4.22: Razli~iti slu~ajevi nesavrenstva bunara: a) vodoprijemni deo u gornjem delu vodonosnogsloja, b) u sredinjem delu sloja, c) pri dnu sloja, d) vodoprijemni deo u dva vodonosna sloja,delimi~no kaptira donji

Slika 4.23: Funkcija

=

01 ,

r

M

M

LfTA nes za

odre|ivanje dopunskedepresije u bunaru,koja je posledicanjegovognesavrenstva

Hantu (Hantush) je 1964. godine, izveo analiti~ki izraz za depresiju u slu~ajustrujanja prema nesavrenom bunaru, koji se "oslanja" na klasi~no reenje Tajsa. U reenjuHantua, bunarska funkcija W je funkcija nekoliko parametara, a njeno izra~unavanje jerelativno sloèno te se na ovom mestu ovo reenje ne prezentira4. 4 Za ovaj i druge, relativno sloène slu~ajeve, preporu~ujemo knjigu autora M. Vukovia i A. Soro: “Hidraulika

bunara”, u izdanju “Gra|evinske knjige”, Beograd, 1990.


97

4.4.1.2 DOPUNSKA DEPRESIJA U BUNARU USLED FORMIRANJA SLOJA

ISPLAKE NA ZIDU BU[OTINE

Kada se buotina, u koju se kasnije ugra|uje bunarska konstrukcija, bui uz upotrebuisplake, mestimi~no na zidu buotine obavezno ostane deo isplake i pored kasnijeg ispiranja,u obliku tzv. "ispla~nog kola~a", u vidu relativno tankog sloja ("filma"), loih filtracionihkarakteristika. Ako se formira relativno homogeni sloj po celom zidu buotine, tada se prieksploataciji takvog bunara javlja dopunski hidrauli~ki gubitak linearnog karaktera, koji semo`e izraziti, prema prora~unskoj emi prikazanoj na slici 4.24, kao:

0

0

0

01 ln

2ln

2 r

rr

KM

Q

r

rr

MK

QS

ispisp

∆+−

∆+=∆

ππ (4.89)

gde je:Kisp - koeficijent filtracije slabopropusnog "filma" isplake na zidu buotine, [LT-1],K - koeficijent filtracije porozne sredine, [LT-1],M - debljina vodonosnog sloja (jasno je da su u ovom slu~aju posmatra savreni bunar), [L],r0 - polupre~nik buotine, [L],∆r - debljina slabopropusnog "filma" isplake na zidu buotine, [LT-1],

Slika 4.24: Funkcija

∆=

ispisp K

K

r

rfTA ,0

1 za odre|ivanje dopunske depresije u bunaru, koja je

posledica formiranja “ispla~nog kola~a” na zidu buotine


Dopunska depresija u bunaru, koja je posledica formiranja "ispla~nog kola~a" nazidu buotine, moè se izraziti preko relacije, kao funkcija proticaja bunara, filtracionihkarakteristika sredine i geometrijskih odnosa bunara i vodonosnog sloja:

∆=∆

ispisp K

K

r

rf

T

QS ,01 (4.90)

odnosno ∆S1isp = A1ispQ (4.91)

gde je:A1isp - koeficijent dopunske depresije, [TL-2].

Na slici 4.24 grafi~ki je prikazana zavisnost bezdimenzionalne veli~ine

∆=∆

ispisp K

K

r

rf

T

QS ,01 u uslovima stacionarnog strujanja, odakle se lako moè nai veli~ina

A1isp .

4.4.1.3 DOPUNSKA DEPRESIJA USLED NEODGOVARAJU]E IZRADE,

RAZRADE ILI EKSPLOATACIJE BUNARA

U uslovima neodgovarajue izrade, razrade, ili eksploatacije bunara, moè doi doformiranja slabije propusnog sloja ("filma") na konturi buenja, ili filtarske konstrukcijebunara. Ovaj sloj moè delimi~no, ili potpuno da pokriva konturu prifiltarske zone ikonstrukcije bunara. Materijal "filma" moè da bude ostatak od medijuma korienog pribuenju (isplaka). Usled neodgovarajue razrade bunara, ili njegove eksploatacije, moè doido povla~enja sitnije frakcije materijala porozne sredine u okolini bunara (naruavanjefiltracione stabilnosti porozne sredine) i nagomilavanja najsitnijih ~estica u prifiltarskoj zoni ina filtarskoj konstrukciji bunara (kolmiranje bunara). Ovaj proces je jo izraèniji, ako suotvori na filtru suvie sitni, ili ako je ugra|en neodgovarajui filtarski zasip.

Hidrauli~ki otpori, koji se javljaju, rezultat su pre svega zakrivljenja strujnica ipoveanih lokalnih otpora u prifiltarskoj zoni bunara (slika 4.25) i linearnog su karaktera.

Slika 4.25: [ematski prikaz strujanja u prifiltarskoj zoni bunara, u uslovima neodgovarajue izrade,razrade, ili eksploatacije bunara: a) ostatak isplake na zidu buotine, b) ostatak isplake koji seusled crpenja “preselio” sa zida buotine, c) kolmiranje usled neodgovarajue veli~ine otvorana filtru i neodgovarajue veli~ine zrna ljun~anog zasipa


99

Dopunsku parazitsku depresiju, koja je posledica neodgovarajue izrade, razrade, ilieksploatacije bunara, u optem slu~aju je nemogue definisati i izdvojiti od ostalih linearnihgubitaka. U praksi, oni se definiu u sklopu ostalih linearnih gubitaka, a njihovo razgrani~enjeje mogue samo u pojedinim, konkretnim uslovima.

4.4.2 DOPUNSKI HIDRAULI^KI GUBICI KVADRATNOG

KARAKTERA

Dopunska depresija, koja se registruje u bunaru, i koja je rezultat hidrauli~kih otporausled turbulentnog strujanja u bunarskoj konstrukciji i prifiltarskoj zoni, izraàva se kao:

ST = BQ2 (4.92)

Poreklo turbulencije (hidrauli~kih gubitaka kvadratnog karaktera) moè bitiviestruko, ali, izraèna su tri dominantna uzroka, koji se naj~ee ispoljavaju. To su:

• pojava turbulencije, odnosno odstupanje od laminarnog reìma strujanja, u uòjzoni bunara,

• hidrauli~ki gubici na ulazu vode u bunar, kroz otvore filtarske konstrukcije,• gubici na trenje du` cevi filtarske konstrukcije i eksploatacione kolone bunara.Obzirom na viezna~nost uzroka pojave hidrauli~kih gubitaka turbulentnog karaktera,

ne postoji opti model za njihovo odre|ivanje i prognozu, kao mogui kriterijum za ocenukvaliteta pojedinog bunara. U praksi je neophodno u svakom konkretnom slu~aju izvritiocenu o~ekivane veli~ine koeficijenta turbulentnih gubitaka i uporediti dobijenu vrednost sarealnom.

4.4.2.1 DOPUNSKA DEPRESIJA USLED TURBULENTNOG RE@IMA

STRUJANJA U PRIFILTARSKOJ ZONI BUNARA

U intervalu 3 < Re < 200, strujanje podzemnih voda odvija se u tzv. prelaznom reìmustrujanja, u kome jo nije dolo do punog razvoja turbulencije. Pravi turbulentni reìmstrujanja podzemnih voda u intergranularnoj poroznoj sredini javlja se pri vrednostimaRejnoldsovog broja veim od 200 (odnosno kod odgovarajuih vrednosti filtracionih brzina).

U realnim uslovima strujanja prema bunaru, retko dolazi do prekora~enja uslovalaminarnog strujanja, posebno u intergranularnoj poroznoj sredini. Do pojave turbulencijeobi~no dolazi kada bunar kaptira izrazito krupnozrne materijale (ljunak), ili kada je u pitanjusredina sa pukotinskom, odnosno karstnom poroznou.

Za razliku od strujanja kroz originalnu (prirodnu) poroznu sredinu, u oblasti filtarskogzasipa znatno ~ee dolazi do pojave turbulencije. Uzroke ovoj pojavi treba traìti pre svegau:

• poveanju filtracionih brzina na ulazu u filtarsku cev, kao posledice radijalnogstrujanja. U odnosu na brzine na ulasku u filtarski zasip, poveanje filtracionihbrzina se kree od 30% do 100%,

• (naglom) poveanju efektivnog pre~nika zrna, koji je kod filtarskog zasipanekoliko puta (5 do 15 puta) vei od efektivnog pre~nika zrna originalnogmaterijala.

[ematski prikaz promene efektivnog pre~nika porozne sredine i ljun~anog zasipa,poroznosti i Rejnoldsovog broja, u zavisnosti od udaljenja od filtarske konstrukcije bunara,prikazan je na slici 4.26. Iz ove slike je mogue razumeti zato je filtarski zasip kriti~na oblastsa gledita pojave i razvoja turbulencije kod strujanja prema bunaru.


Imajui u vidu kriterijume za odre|ivanje uslova pojave turbulencije pri poveanjuulaznih filtracionih brzina u bunar, data je relacija relativnog odnosa kriti~nih (grani~nih)proticaja bunara na konturi buenja i konturi filtarske konstrukcije, pri kojima dolazi donaruavanja laminarnog reìma strujanja. U zavisnosti od konkretnih uslova, ovaj odnos sekree u granicama:

307 <<fkr

bkr

Q

Q (4.93)

gde je:bkrQ - kriti~ni proticaj bunara, iznad koga je naruen laminarni reìm strujanja na konturi

buenja bunara (Re > 3, na r = r0 ), [L3T-1],

fkrQ - kriti~ni proticaj bunara, iznad koga je naruen laminarni reìm strujanja na konturi

filtarske konstrukcije bunara (Re > 3, na r = rf), [L3T-1].

Slika 4.26: [ematski prikaz promene efektivnogpre~nika porozne sredine iljun~anog zasipa (def), poroznosti(n) i Rejnoldsovog broja (Re) uzavisnosti od udaljenja od filtarskekonstrukcije bunara

Obzirom na prirodu procesa pojave turbulencije u prifiltarskoj zoni bunara, prakti~noje nemogue direktno ih razgrani~iti od ostalih vidova dopunskih gubitaka i kvantifikovati.Okvirnu veli~inu ovih gubitaka mogue je odrediti posredno, prethodnom eliminacijomostalih vidova hidrauli~kih gubitaka kvadratnog (turbulentnog) karaktera.


101

4.4.2.2 DOPUNSKA DEPRESIJA KAO REZULTAT HIDRAULI^KIH

GUBITAKA NA ULAZU U BUNARSKU KONSTRUKCIJU

Dodatni hidrauli~ki gubitak, na ulazu u bunarsku konstrukciju, koji se javlja pristrujanju vode kroz otvore filtra, izraàva se kao:

∆STu = BuQ2 (4.94)

gde je:∆STu - dopunska depresija, [L],Bu - koeficijent hidrauli~kog gubitka, koji je posledica prolaska vode kroz otvore filtra, [L-

5T2].Prolazak vode kroz otvore na filtru predstavlja u hidrauli~kom smislu isticanje

te~nosti kroz potopljene male otvore, slika 4.27, koje se izraàva poznatim izrazom:

Hgv ∆= 2µ (4.95)

gde je:v - brzina isticanja kroz potopljeni otvor, [LT-1],µ - koeficijent isticanja, kao orijentaciona vrednost za prakti~ne prora~une moè se usvojiti

µ ∼ 0.58, [-],∆H - razlika pijezometarskih nivoa ispred i iza otvora na filtarskoj cevi, [L].

Slika 4.27: Strujanje vode kroz otvore na filtarskoj konstrukciji bunara

Ukupni doticaj u bunar kroz otvore filtarske konstrukcije bunara predstavlja zbir svihproticaja kroz pojedina~ne otvore:

( )∑∑=

=

=

=

∆==Ni

ii

Ni

iib HgqQ

11

2 ωµ (4.96)

gde je:Qb - proticaj bunara, [L3T-1],qi - proticaj kroz jedan otvor na filtarskoj cevi, [L3T-1],ω - povrina jednog otvora, [L2],N - ukupan broj otvora na filtarskoj cevi, [−].

Ako se usvoji osrednjena, reprezentativna razlika pijezometarskih nivoa ispred i izaotvora na filtru, tj. da je ∆H = ∆STu, jedna~ina 4.98 se pojednostavljuje:

Tub SgNQ ∆= 2ϖµ (4.97)


Ako se ukupna povrina otvora izrazi preko poroznosti filtarske konstrukcije, to je upraksi relativno ~est slu~aj:

Nω = nDfπlf (4.98)

gde je:n - poroznost filtarske konstrukcije, [-],Df - pre~nik filtarske konstrukcije, [L],lf - duìna filtarske konstrukcije, [L],proticaj bunara se moè izraziti na sledei na~in:

Tuffb SglnDQ ∆= 2µπ (4.99)

Zamenom koeficijenta parazitskog gubitka, koji je posledica prolaska vode krozotvore filtra, u jedna~inu 4.96, usvajajui za µ = 0.58, dobija se izraz:

22265

1

ff

ulDn

B = (4.100)

Kod korektno izra|enih bunara i u po~etnom periodu eksploatacije, gubitak na ulazu ufiltarsku konstrukciju je obi~no mali (prakti~no zanemarljiv). Kasnije, razvojem procesastarenja bunara, ovi parazitski gubici se poveavaju tokom vremena.

4.4.2.3 DOPUNSKA DEPRESIJA USLED GUBITAKA NA TRENJE DU@

FILTARSKE KONSTRUKCIJE I EKSPLOATACIONE KOLONE BUNARA

Strujanje vode du` filtarske i eksploatacione cevi (kolone) bunara je uglavnom uturbulentnom reìmu strujanja, tako da se hidrauli~ki gubitak, koji se manifestuje krozdodatnu parazitsku depresiju u bunaru, moè napisati kao:

∆STb = BbQ2 (4.101)

Obzirom da se navedeno strujanje moè posmatrati kao strujanje kroz cevi, hidrauli~kigubitak se izraàva Darsi-Vajzbahovom jedna~inom:

g

v

D

lh

2

2

λ=∆ (4.102)

gde je:∆h - hidrauli~ki gubitak, [L],λ - koeficijent trenja u cevima, [-], moè se izra~unati na osnovu koeficijenta rapavosti po

Maningu:

3

2

6.124D

n=λ (4.103)

n - Maningov koeficijent rapavost, [L1/3],l - duìna cevi, [L],D - pre~nik cevi, [L],v - brzina u cevi, [LT-1],g - gravitacija, [LT-2].

Du` filtarske cevi proticaj se poveava (kao i brzina), od nule do ukupnog proticajabunara:

0 < Qf < Qb (4.104)


103

gde je:Qf - proticaj du` filtarske konstrukcije, [L3T-1],Qb - proticaj du` eksploatacione kolone, [L3T-1].

Proticaj du` eksploatacione kolone je konstantan, sve do ulaska u usisni deo bunarskepumpe (ukoliko nije u pitanju samoizlivni bunar), gde opada na nulu, slika 4.28.

Osim toga, du` filtarske konstrukcije dolazi do promene pravca kretanja vode izna~ajnog zakrivljenja strujnica, tako da se hidrauli~ki gubici mogu razdvojiti na:

• gubitke kroz filtarsku konstrukciju, i• gubitke kroz eksploatacionu kolonu bunara.

Prema rezultatima istraìva~a (UNESKO, 1972. - Vukovi, Soro, 1990.) dopunskaparazitska depresija u bunaru, koja je posledica strujanja vode kroz filtarsku i eksploatacionucev, izraàva se kao:

g

v

D

l

g

v

D

lS f

f

ff

c

c

ccTb 2

3.12

22

λλ +=∆ (4.105)

Slika 4.28: Raspored brzina (i proticaja) du` filtarske i eksploatacione kolone bunara

odnosno 2

5523.1

8b

f

ff

c

ccTb Q

D

l

D

l

gS

+=∆ λλ

π (4.106)

gde se:- indeks (c) odnosi na eksploatacionu kolonu (cev) bunara,- indeks (f) odnosi na filtarsku kolonu (cev).

Koeficijent kvadratnog gubitka Bb u optem slu~aju (ra~unajui do usisnog delabunarske pumpe, ili celu duìnu eksploatacione cevi bunara u slu~aju samoizliva), izraàva sekao:

2552

3.18

bf

ff

c

ccTb Q

D

l

D

l

gS

+=∆ λλ

π (4.107)


odnosno

+=

553.1083.0

f

ff

c

ccb

D

l

D

lB λλ (4.108)

U posebnom slu~aju, kada su pre~nici filtarske i eksploatacione kolone isti (Df = Dc =D) i ako se usvoji za koeficijent trenja (λf = 2λc ), koeficijent kvadratnog gubitka Bb se dajekao izraz:

5

6.2083.0

D

llB fc

cb

+= λ (4.109)

4.4.3 PROMENA DOPUNSKIH HIDRAULI^KIH GUBITAKA

Poznata pojava "starenja" bunara, rezultat je promene koeficijenata koji kvantifikujudopunske parazitske gubitke u bunaru i prifiltarskoj zoni. Smanjenje kapaciteta (izdanosti,proticaja) bunara, odnosno relativno poveanje depresije u njemu, rezultat je kolmiranja,inkrustacije i korozije bunarske i filtarske konstrukcije, kao i prifiltarske zone bunara. Uzrocipojave i razvoja ovih procesa su raznovrsni, ali ovde e se dati osvrt samo na njihovupromenu koja je uslovljena proticajem bunara.

Koeficijent linearnog parazitskog gubitka, koji se javlja u uslovima laminarnog reìmastrujanja (A1), menja se samo u uslovima kada bunar nije korektno razra|en, odnosno, kada zadate eksploatacione kapacitete nije formirana stabilna zona filtracije u prifiltarskoj zonibunara. U tom slu~aju, dolazi do naknadnog kolmiranja ove zone sitnijim ~esticamamaterijala porozne sredine.

Kolmiranje izazvano poveanjem proticaja bunara iznad dozvoljenog (za date uslove)se relativno brzo odigrava, u prvih nekoliko sati, najduè nekoliko dana i ne moè se unapredpronozirati njegov intenzitet.

U normalnim uslovima korektne izrade, razrade i eksploatacije bunara, moè sesmatrati da koeficijent linearnog parazitskog gubitka u bunaru ne zavisi od proticaja, tj.:

A1 ≠ f(Q) (4.110)

Koeficijent kvadratne dopunske parazitske depresije u bunaru moè da se menja uzavisnosti od proticaja u uslovima kada se menja i veli~ina zone turbulencije u prifiltarskojzoni bunara u zavisnosti od proticaja. Ovo se deava kada bunar kaptira pukotinsku poroznusredinu sa izraènom velikim pukotinskim sistemima, to je posebno izraèno kod karstneizdani, ili kod izdani u krupnozrnom ljunku. Me|utim, ako se turbulentno strujanje zadràvaisklju~ivo u filtarskoj i eksploatacionoj cevi bunara, tada koeficijent kvadratnog parazitskoggubitka ne zavisi od proticaja (to treba razlikovati od parazitske depresije, ~ija veli~ina zavisiod kvadrata proticaja).

5. GLAVA

INTERPRETACIJA PODATAKA OPITNIH

CRPENJA U USTALJENOM I

NEUSTALJENOM RE@IMU STRUJANJA U

HOMOGENOJ IZOTROPNOJ POROZNOJ

SREDINI

Glava 5 - Interpretacija podataka opitnih crpenja ...---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

107

5.1 UVOD

Neophodnost sprovo|enja razli~itih prora~una u reavanju hidrogeolokih problemauslovljava potrebu utvr|ivanja karaktera i veli~ine osnovnih hidrogeolokih parametara. Naprimer, u svim jedna~inama kojima se opisuje strujanje podzemnih voda figurie parametarhidrauli~kog otpora strujanju - koeficijent filtracije. Dalje, kod nestacionarnih strujanja,zna~ajni parametar koji ih karakterie jeste specifi~na izdanost izdani.

Problem odre|ivanja filtracionih karakteristika je sloèn i mora se posmatrati sa vieaspekata. Obzirom na metode odre|ivanja i veli~inu analiziranog uzorka porozne sredine,dobijene vrednosti mogu reprezentovati manju, ili veu oblast (prakti~no od “ta~ke”, pa doregiona). Kod odre|ivanja filtracionih karakteristika izdani uvek se postavlja pitanjereprezentativnosti dobijenih rezultata. Pored ostalih, greke u odre|ivanju filtracionihkarakteristika direktno se reflektuju na realnost prora~una.

Standardna terenska metoda kojom se odre|uje koeficijent filtracije i specifi~naizdanost izdani, jeste opit probnog crpenja iz bunara. Ovim opitom se dobijaju i jo nekedodatne informacije o bunaru i strujnom polju. Opitno crpenje predstavlja eksperiment uprirodi, gde se crpenjem iz bunara (ili odgovarajueg objekta) inicira promenapijezometarskog nivoa izdani, koja se prati i registruje u izabranim ta~kama strujnog polja.Adekvatnom interpretacijom dobijenih podataka ustvari se reava standardni inverznizadatak1.

U zavisnosti od tehni~kih i prirodnih uslova na terenu, ova metoda se moè primenitisa vie ili manje uspeha. Dobijeni rezultati interpretacije tako|e zavise i od stepenapoznavanja prirodne sredine. U svakom slu~aju, rezultati obrade podataka opitnog crpenja supo kvalitetu daleko ispred vrednosti koeficijenta filtracije dobijenih na osnovu empirijskihformula, koje se baziraju na granulometrijskom sastavu uzoraka porozne sredine.

Interpretacija podataka opitnog crpenja bazira se na primeni Tajsovog reenjadiferencijalne jedna~ine strujanja prema usamljenom bunaru, za koju vaè pretpostavke ohomogenoj izotropnoj poroznoj sredini neograni~enog prostiranja, Darsijev zakon filtracije iDipuijeva hipoteza o vertikalnosti ekvipotencijalnih povri i srednjoj brzini filtracije upreseku toka. O~igledno je da je striktna primena navedenih pretpostavki prakti~nonemogua. Ipak, metoda odre|ivanja reprezentativnih vrednosti filtracionih karakteristika naosnovu podataka opitnog crpenja je najrairenija metoda u praksi. Rezultati interpretacijedobijeni grafoanaliti~kim postupkom, moraju biti potkrepljeni rezultatima drugih istra`nihradova.

Metodologija realizacije opitnog crpenja i interpretacije podataka praenja je ve dugopoznata i razvijena. Postoje mnogobrojne metode, zasnovane na grafoanaliti~koj obradipodataka, koje nose (uglavnom neopravdano) imena svojih “autora”. înjenica je da se skorosve zasnivaju na Tajsovom reenju diferencijalne jedna~ine strujanja podzemnih voda premausamljenom bunaru. U novije vreme, masovnim korienjem ra~unara u inènjerskoj praksi,omogueno je davanje novog kvaliteta opitu crpenja. Analiza kompletnog hidrogramacrpenja, sa vie proticaja i sa vie bunara, koja je relativno lako izvediva uz primenu ra~unara,prakti~no svako crpenje iz pojedina~nog, ili grupe bunara, svrstava u red istra`nog rada(“opitnog crpenja”).

1 Inverzni zadatak se zasniva na ~injenici da jedan sistem, u ovom slu~aju hidrogeoloki sistem, za dati ulaz

daje uvek odgovarajui odziv. Poznavajui zadati ulaz i registrovani odziv, mogue je odrediti (izra~unati)reprezentativne parametre sistema. Kod direktnog zadatka se na osnovu poznatih karakteristika sistema izadatog ulaza, moè odrediti (izra~unati) izlaz.


5.2 GRAFOANALITI^KA OBRADA PODATAKA OPITNOG

CRPENJA

Metoda grafoanaliti~ke obrade podataka opitnog crpenja bazira se na prakti~nojprimeni Tajsove jedna~ine strujanja podzemnih voda prema usamljenom savrenom bunaru,koji kaptira homogenu, izotropnu izdan neograni~enog prostiranja, jedna~ina (5.1):

SQ

TW ub=

4π( ) (5.1)

Za uslov da je bezdimenzionalni parametar u < 0.05, odnosno:

ur

Tt= ≤

2

4005

µ. (5.2)

jedna~ina (5.1) se moè napisati u obliku logaritamske zavisnosti:

SQ

T

Tt

rb=

4

2 252π µ

ln.

(5.3)

U odnosu na jedna~inu (5.3), kojom se daje veli~ina depresije u ostalim ta~kamastrujnog polja, izraz za ukupnu depresiju u bunaru, uklju~ujui i dopunske, parazitske gubitkeu bunaru i prifiltarskoj zoni, glasi:

SQ

T

Tt

rA Q BQb

b= + +4

2 25

02

2

1π µln

. (5.4)

gde je:A1Q - dopunski gubitak (dopunska depresija) u samom bunaru i prifiltarskoj zoni, usled

strujanja vode u laminarnom reìmu (dopunski gubitak linearnog karaktera), [L],BQ2 - dopunski gubitak (dopunska depresija) u bunaru i prifiltarskoj zoni, usled strujanja vode

u turbulentnom reìmu (dopunski gubitak kvadratnog karaktera), [L],A1 - koeficijent dopunskog gubitka u uslovima laminarnog strujanja, [L-2T],B - koeficijent dopunskog gubitka u uslovima turbulentnog strujanja, [L-5T2].

Za nezavisnu promenljivu t i zavisno promenljivu S, jedna~ine (5.3) i (5.4) usemilogaritamskom koordinatnom sistemu predstavljaju jedna~ine prave. Bezirajui se na toj~injenici (da se, teorijski posmatrano, eksperimentalne ta~ke depresija, registrovane tokomvremena trajanja crpenja, re|aju du` prave), razra|ena je grafoanaliti~ka metodainterpretacije.

Grafoanaliti~ka obrada podataka opitnog crpenja moè se primeniti samo na opitnocrpenje sa jednostavnim hidrogramom iz usamljenog savrenog bunara u homogenojizotropnoj izdani pod pritiskom, neograni~enog prostiranja. Samo tada se mogu dobitijednozna~ni rezultati filtracionih karakteristika. Me|utim, kada realni uslovi odstupaju od oveidealizovane prora~unske eme, u optem slu~aju se ne mogu dobiti jednozna~ni rezultati.

Grafoanaliti~ka obrada podataka opitnog crpenja primenjuje se i u slu~aju strujanja saslobodnim nivoom. Me|utim, treba imati u vidu ~injenicu da, usled primene hipoteze Dipuijakod postavljanja pora~unske eme i izvo|enja jedna~ine strujanja u uslovima sa slobodnimnivoom, dolazi do razlike izme|u realnih i prora~unskih vrednosti pijezometarskih nivoa. Overazlike (razlika izme|u realne linije slobodne vodene povrine i linije dobijene prora~unom,tzv. Dipuijeve parabole) su sve izraènije sa pribliàvanjem bunaru, slika 5.1. Kao rezultatnavedene razlike, dobijaju se i odstupanja u prora~unskim vrednostima koeficijenta filtracije,vodoprovodnosti i specifi~ne izdanosti izdani u odnosu na realne veli~ine.


109

Slika 5.1: [ema strujanja prema usamljenom bunaru u izdani sa slobodnim nivoom

Kod strujanja sa slobodnim nivoom, interpretacija podataka se sprovodi kao i uslu~aju strujanja pod pritiskom. Pri tome je neophodno da se jedna~ine kojima se opisujestrujanje podzemnih voda sa slobodnim nivoom transformiu u oblik jedna~ina koje opisujustrujanje pod pritiskom. Dakle, Dipuijevu jedna~inu stacionarnog strujanja premausamljenom bunaru u izdani sa slobodnim nivoom (5.5), oznake prema slici 5.1:

h hQ

K

r

rb

22

12 2

1

− =π

ln (5.5)

treba izraziti u obliku jedna~ine za strujanje pod pritiskom, oznake prema slici 5.2.:

SQ

T

r

rb=

22

1πln (5.6)

Slika 5.2: [ema strujanja prema usamljenom bunaru u izdani pod pritiskom

Visina izdanskog toka sa slobodnim nivoom mo`e se izraziti preko depresije nasledei na~in (slika 5.1):

h = H - S (5.7)


Uvodei gornji izraz u jedna~inu (5.5), dobija se:

( ) ( ) lnH S H SQ

K

r

rb− − − =2

21

2 2

1π (5.8)

Mnoènjem leve strane jedna~ine (5.8) sa jedan (2H/2H) i njenim sre|ivanjem:

[ ]2

2 22

12 2

1

H

HH S H S

Q

K

r

rb( ) ( ) ln− − − =π

(5.9)

22 2

2

22 2

2 21 1

22

1

HH HS S H HS S

H

Q

K

r

rb− + − + −

=π

ln (5.10)

dobija se:

SS

HS

S

H

Q

HK

r

rb

112

222

2

12 2 2−

− −

=

πln (5.11)

Ako se uvede tzv. korigovana depresija, S*:

S SS

H* = −

2

2 (5.12)

jedna~ina (5.5) se moè napisati u obliku jedna~ine (5.6) na sledei na~in:

S SQ

HK

r

rb

1 22

12* * ln− =

π (5.13)

Pri tome treba imati u vidu da Dipuijeva parabola ne predstavlja realnu liniju slobodnevodne povrine, to naro~ito dolazi do izraàja u blizini bunara, o ~emu treba voditi ra~una.

Tokom izvo|enja opita crpenja, uslovi strujanja naj~ee mogu biti nestacionarni, ilikvazistacionarni (pravi stacionarni uslovi se na terenu relativno retko ostvaruju). I u jednom iu drugom slu~aju mogue je, uz adekvatno realizovane uslove opita, sprovesti grafoanaliti~kuobradu podataka.

5.2.1 OPITNO CRPENJE U KVAZISTACIONAROM RE@IMU

STRUJANJA

Opitno crpenje sa vie proticaja (sniènja), pri ~emu je u toku trajanja svakog proticajanastupilo kvazistacionarno strujanje, moè se interpretirati preko dijagrama S/Q = f(Q).Tako|e, svako takvo sniènje moè se interpretirati na dijagramu S = f(log r).

5.2.1.1 Metoda S/Q = f(Q)

Metoda interpretacije podataka praenja opitnog crpenja u obliku S/Q = f(Q) relativno~esto nalazi primenu u praksi i opiti crpenja se ~esto prilago|avaju zadatom uslovu, odnosnoteì se ostvarivanju kvazistacionarnih uslova strujanja. Ovom metodom mogue je dobitipokazatelje kvaliteta bunara, koeficijente hidrauli~kih gubitaka, linearnog i kvadratnogkaraktera u bunaru i njegovoj prifiltarskoj zoni, odnosno vrednost dopunske (parazitske)depresije u bunaru.

Metoda je zasnovana na pretpostavci da se depresija u bunaru moè izraziti kao zbirdepresija:

Sb = A0Q + A1Q + BQ2 (5.14)


111

odnosno Sb = AbQ + BQ2 (5.15)

gde je:

A0Q - depresija na konturi bunara (bez dopunskih gubitaka), posledica filtracije kroz poroznusredinu, [L],

A1Q - dopunska depresija, posledica dopunskih hidrauli~kih gubitaka u bunaru i prifiltarskojzoni, linearnog karaktera (u laminarnom reìmu strujanja), [L],

BQ2 - dopunska depresija, posledica dopunskih hidrauli~kih gubitaka u bunaru i prifiltarskojzoni kvadratnog karaktera (u turbulentnom reìmu strujanja), [L],

AbQ - ukupna depresija u bunaru, linearnog karaktera (u laminarnom reìmu strujanja), [L].

Slika 5.3: Gubici (depresija) u bunaru i prifiltarskoj zoni

Obzirom da u pijezometru nema strujanja, pa ni dopunskih parazitskih gubitaka(pijezometar treba posmatrati kao ta~ku strujnog polja u optem slu~aju, posmatrano u planu),izraz za depresiju glasi:

Sp = ApQ (5.16)

U stacionarnom strujanju, jedna~ine (5.14) i (5.16) se mogu izraziti preko Dipuijevejedna~ine:

za bunar SQ

T

R

rA Q BQb = + +

2 01

2

πln (5.17)

za pijezometar SQ

T

R

rpp

=2π

ln (5.18)

U uslovima kvazistacionarnog strujanja (za uslov 5.2), gde je u < 0.05, kada se izdanmoè posmatrati kao neograni~ena, radijus dejstva bunara u smislu Dipuija, (R) je funkcijavremena, tako da se moè napisati:

R R f tTt

t= = =( ) .15µ

(5.19)


Kod primene ove metode u kvazistacionarnim uslovima strujanja, neophodno je daradijusi dejstva bunara u smislu Dipuija za svako sniènje (svaki pojedina~ni proticaj) buduisti, odnosno, neophodan je uslov:

Rt1 = Rt2 = ... = Rtn = Const. (5.20)

gde je:Rt1 = Rt2 = ... = Rtn - odgovarajui radijus dejstva bunara u smislu Dipuija za svako sniènje

(pojedina~ni proticaj), [L].Uslov (5.20) se u praksi ostvaruje zadavanjem istog trajanja sniènja (proticaja) tokom

opitnog crpenja2, kao i sa~ekivanjem povratka pijezometarskog nivoa izdani posle svakogsniènja na po~etni (stati~ki) nivo.

Ako se jedna~ine (5.15) i (5.16) podele sa Q, dobija se funkcionalna zavisnostspecifi~ne depresije bunara i proticaja u obliku:

za bunar S

QA BQbb= + (5.21)

odnosno, za pijezometarS

QA

p

p= (5.22)

Za uslov da su Ab, Ap i B konstante, jedna~ine (5.21) i (5.22) predstavljaju jedna~ineprave, gde su Ab i Ap otse~ci na ordinati, a B koeficijent pravca prave u jedna~ini (5.21), slika5.4.

Ab

Slika 5.4: Funkcija S/Q = f(Q): a) za bunar; b) za pijezometar

Grafoanaliti~kom interpretacijom podataka opitnog crpenja koji se odnose na bunar,slika 5.4.a, mogue je dobiti:

1. koeficijent ukupnog gubitka (depresije), linearnog karaktera (u laminarnom reìmustrujanja), Ab, ~ija je veli~ina definisana otse~kom prave na ordinati koordinatnogsistema, [L-2T]:

AT

R

rAb = +

1

2 01π

ln (5.23)

2 Navedeni uslov (5.20) je neophodan, jer je za princip slaganja strujanja, koji je u ovoj metodi primenjen,

neophodno da, pored karakteristika strujne oblasti i uslovi na granicama budu isti (odnosno, da se strujneoblasti elementarnih strujanja poklapaju).


113

2. koeficijent dopunske, parazitske depresije, kvadratnog karaktera (u turbulentnomreìmu strujanja), B, kao koeficijent pravca prave (tangens ugla β), [L-5T2]:

B = tg β (5.24)

Na osnovu podataka koji se odnose samo na bunar ne mogu se razdvojiti linijskigubici A0 i A1 (vidi izraze 5.17., 5.21. i 5.23), tako da se ne moè odrediti koeficijentvodoprovodnosti, T.

Pijezometar se moè posmatrati kao bilo koja ta~ka strujnog polja (posmatrano uravni), tako da kod njega nema dopunskih gubitaka. Interpretacijom podataka crpenja, koji seodnose na pijezometar, u homogenoj izotropnoj izdani neograni~enog prostiranja, dobija sehorizontalna prava, koja je na udaljenju Ap od apscise (jedna~ina (5.22), slika 5.4.b:

AT

R

rpp

=1

2πln (5.25)

Iz podataka za jedan pijezometar, nije mogue direktno izra~unati koeficijentvodoprovodnosti, T, obzirom da treba dokazati i dodatni uslov, a to je da se pijezometarnalazi u tranzitnoj zoni strujanja, to izlazi iz uslova da je u < 0.05.

Navedeni uslov se dokazuje pravolinijskim rasporedom registrovanih ta~aka tokomtrajanja crpenja, na dijagramu S = f(log t).

Da bi se ostvario uslov Rt1 = Rt2 = ... = Rtn = Const. (uslov 5.20.), u praksi se opitnocrpenje izvodi sa vie razli~itih proticaja istog trajanja, sa povratkom nivoa izdani na po~etni,posle svakog sniènja, slika 5.5.

Slika 5.5: Hidrogram i nivogram opitnog crpenja sa prekidima

Prema ovoj metodologiji, ukoliko se raspolaè sa podacima opitnog crpenja zanajmanje dva pijezometra, mogue je odrediti koeficijent vodoprovodnosti, T, i specifi~nuizdanost izdani, µ.


U tom slu~aju, izrazi za specifi~nu depresiju, Sp/Q, na dva pijezometra (pod uslovomda se izdan mo`e smatrati homogenom izotropnom, neograni~enog prostiranja i da sepijezometri nalaze u tranzitnoj zoni strujanja prema bunaru), glase:

S

QA

T

R

rp

pp

1

1

1

1

2= =

πln (5.26)

S

QA

T

R

rp

pp

2

2

2

1

2= =

πln (5.27)

Sre|ivanjem jedna~ina (5.26) i (5.27), dobija se:

A AT

R

r T

R

rp pp p

1 2

1 2

1

2

1

2- = - ln

π πln (5.28)

A AT

r

rp p

p

p1 2

2

1

1

2- =

πln (5.29)

Ako se razlika koeficijenata gubitaka za pijezometre (Ap1- Ap2) usvoji sa dijagramaSp/Q = Q, slika 5.6, reavanjem jedna~ine (5.29), po T, dobija se vrednost za koeficijentvodoprovodnosti izdani:

TA A

r

rp p

p

p

=−

1

21 2

2

1π ( )

ln (5.30)

Slika 5.6: Dijagram Sp/Q = Q za dva pijezometra

Veli~ina radijusa dejstva bunara u smislu Dipuija mo`e se dobiti, ili iz jednogpijezometra, jedna~ina (5.26):

R r epTAp=

1

12π

(5.31)

ili iz podataka za dva pijezometra, iz jedna~ina (5.26) i (5.30):

1

2

1

21 1 1 2

2

1π πA

R

r A A

r

rp p p p

p

p

ln( )

ln=−

(5.32)

R e

A

A A

r

r

p

p p

p

p=−

1

1 2

2

1

ln

(5.33)


115

Izraz za radijus dejstva bunara u smislu Dipuija pri konstantnom proticaju uvremenskom intervalu ∆t glasi:

RT t

=⋅

15.∆

µ (5.34)

gde je:∆t - vreme trajanja crpenja , koje isto u svim “sniènjima”, [T],

odakle se moè dobiti specifi~na izdanost izdani, µ, u obliku:

µ =⋅2 25

2

. T t

R

∆ (5.35)

Razdvajanje linearnih gubitaka (depresija) mogue je prema ovoj metodi, ukoliko seraspolaè sa podacima za bunar i najmanje dva pijezometra (prema gornjem). Koeficijentlinearne parazitske depresije se odre|uje preko izraza (5.23), u obliku:

A AT

R

rb10

1

2= −

πln (5.36)

U slu~aju crpenja prema hidrogramu sa tri uzastopna proticaja (bez pauze),registrovane depresije se ne mogu direktno interpretirati ovom metodom. Razlog za to je tokod ovakvog hidrograma dolazi do superpozicije elementarnih strujanja sa razli~itimradijusima dejstva bunara u smislu Dipuija. Razli~iti radijusi dejstva su posledica razli~itogtrajanja pojedina~nih elementarnih proticaja, slika 5.7.

Zbog toga je neophodno sprovesti redukciju registrovanih depresija na istu vremenskubazu (isti radijus dejstva u smislu Dipuija). Drugim re~ima, treba nai depresije koje bi sedobile za pojedina~ne (elementarne) hidrograme, sa istim trajanjem crpenja (istomvremenskom bazom), slika 5.7.

Kod stepenastog hidrograma uvodi se redukcija registrovanih depresija, svo|enjem navremenski interval prvog sniènja.

Do izraza za veli~inu redukciju depresije na kraju drugog sniènja dolazi se na sledeina~in:

Izraz za depresiju S2 na kraju drugog sniènja, koristei princip superpozicijestrujanja, u kvazistacionarnim uslovima strujanja, glasi:

SQ

T

R t

r

Q Q

T

R t t

r21 2 2 1 2 1

2 2= +

− −π π

ln( )

ln( )

(5.37)

gde je:R(t2), R(t2-t1) - odgovarajui radijusi dejstva bunara u smislu Dipuija, u uslovima

kvazistacionarnog strujanja, [L].Depresija S*

2, koja bi se dobila crpenjem sa proticajem Q2, u vremenu ∆t = t1, kojepredstavlja usvojenu vremensku bazu, data je u obliku:

SQ

T

R t

r22 1

2* ln

( )=

π (5.38)

∆S2 = S2 - S*2 (5.39)

odnosno ∆STQ

R t

R t tQ

R t t

R t2 12

2 12

2 1

1

1

2=

−+

−

π

ln( )

( )ln

( )

( ) (5.40)


Slika 5.7: Hidrogram i nivogram “stepenastog” opitnog crpenja - sumarni i razloèni

Redukcija depresije ∆S2, veli~ine za koju treba umanjiti registrovanu depresiju nakraju drugog sniènja, dobija se iz razlike jedna~ina (5.37) i (5.38):

Uvo|enjem jedna~ine za radijus dejstva bunara u smislu Dipuija u homogenojizotropnoj sredini i kvazistacionarnom reìmu strujanja (jedna~ina (5.34) i sre|ivanjem,dobija se za ∆S2:

∆STQ

t

t tQ

t t

t2 12

2 12

2 1

1

1

4=

−+

−

πln ln (5.41)

Jednostavniji oblik jedna~ine (5.41) dobija se zadavanjem istog vremena svakogsniènja, kako se ina~e u praksi naj~ee programira opitno crpenje:

t2 - t1 = t1, (5.42)

odnosno t1 = ∆t (5.43)

t2 = 2∆t (5.44)

U tom slu~aju je redukcija depresije:

∆SQ

T21

42=

πln (5.45)

Redukovana depresija na kraju drugog sniènja, S*2, dobija se umanjenjem

registrovane depresije (na kraju drugog sniènja) za veli~inu ∆S2:

S*2 = S2 - ∆S2 (5.46)

Na sli~an na~in sprovodi se redukcija depresija na istu vremensku bazu i za ostalasniènja.

Na primer, depresija na kraju treeg sniènja (u kvazistacionarnim uslovima strujanja)izraàva se jedna~inom:


117

SQ

T

R t

r

Q Q

T

R t t

r

Q Q

T

R t t

r31 3 2 1 3 1 3 2 3 2

2 2 2= +

− −+

− −π π π

ln( )

ln( )

ln( )

(5.47)

Depresija S*2, sa proticajem Q3 i za usvojenu vremensku bazu t1, data je u obliku:

SQ

T

R t

r33 1

2* ln

( )=

π (5.48)

Redukcija ∆S3 se dobija iz razlike jedna~ina (5.47) i (5.48):

∆S3 = S3 - S*

3 (5.49)

∆STQ

t

t tQ

t t

t tQ

t t

t3 13

3 12

3 1

3 23

3 2

1

1

4=

−+

−−

+−

πln ln

)ln

) (5.50)

Uvo|enjem uslova: t1:t2:t3 = 1:2:3 (5.51)

dobija se jednostavniji oblik jedna~ine (5.50):

∆STQ Q3 1 2

1

4

3

22= +

πln ln (5.52)

Daljim pojednostavljenjem uslova crpenja, za uslov da se hidrogram opitnog crpenjaprogramira tako, da je:

Q2 = 2Q1 (5.53)

dobija se:

∆SQ

T31

46=

πln (5.54)

Dakle, redukovana depresija na kraju drugog sniènja S*3, dobija se kada se od

registrovane depresije S3 oduzme redukcija depresije ∆S3.Metodom obrade podataka opitnog crpenja u stacionarnim, odnosno

kvazistacionarnim usovima strujanja, S/Q = f(Q), pretpostavljeno je da su koeficijentidopunskih parazitskih gubitaka u bunaru i prifiltarskoj zoni konstantni.

Me|utim, u praksi se interpretacijom podataka crpenja relativno ~esto dobijaju ta~ke,koje se ne raspore|uju du` prave linije, nego odstupaju od nje (u obliku glatke, ili izlomljenekrive linije, slika 5.8). Direktan zaklju~ak koji se moè izvesti na osnovu ovakvog dijagramajeste da je koeficijent kvadratnih parazitskih gubitaka na neki na~in u funkcionalnojzavisnosti od proticaja.

Grafik a) sa slike 5.8 ukazuje na poveanje parazitskih gubitaka kvadratnog karakterasa poveanjem proticaja, dok grafik b) ukazuje na njihovo relativno smanjenje. Grafik c)indicira na procese koji skokovito menjaju veli~inu koeficijenta B sa promenom proticaja, ujednom i drugom smeru.

Uzroci promenljive vrednosti koeficijenta B mogu biti razli~iti:1. Ukoliko je ugra|ena neodgovarajua konstrukcija bunara, ili bunar nije korektno ura|en i

razra|en, mogue je da tokom opitnog crpenja dolazi do naknadnog pro~iavanja ilikolmiranja filtra i prifiltarske zone bunara. U tom slu~aju, dijagram S/Q = f(Q) moè dapoprimi bilo koji od oblika grafika sa slike 5.8.

2. Mogue je da se sa poveanjem filtracionih brzina (odnosno proticaja) poveava i zonaturbulencije u prifiltarskoj zoni bunara. Ova pojava moè biti naro~ito izraèna uvodonosnoj sredini sa pukotinskom, ili karstnom poroznou.

3. Pojava filtracione nestabilnosti u prifiltarskoj zoni bunara, usled neadekvatno izabranogproticaja izaziva promenu strukture porozne sredine i zasipa bunara, sa prateimefektima, koji mogu dovesti do totalne havarije bunara.


B(Q)

Slika 5.8: Grafik S/Q = f(Q) za slu~aj promenljive vrednosti koeficijenta B

Promena koeficijenta linearnih parazitskih gubitaka u bunaru, A1, najlake se moèdetektovati pri ponovljenom opitu crpenja. Uzroci njegove promene su sli~ni uzrocimapromene koeficijenta kvadratnih gubitaka, s tim to je ovde u pitanju laminarni reìmstrujanja.

Prilikom eksploatacije bunara, dragocene su informacije o njegovom starenju (podstarenjem bunara podrazumeva se opadanje njegove specifi~ne izdanosti, Q/S, tokomvremena). Prognoza ovog procesa je od izuzetne va`nosti za planiranje perspektiveeksploatacije bunara. Periodi~nim opitima crpenja iz bunara moè se doi do empirijske(grafi~ke, ili grafoanaliti~ke) zavisnosti ovog procesa za date uslove eksplotacije. Na slici 5.9.dat je ematski prikaz rezultata interpretacije opitnih crpenja iz bunara, koja su periodi~norealizovana i promena parametara A1 i B tokom vremena.

t0t0 t0

Slika 5.9: [ematski prikaz promene parazitskih gubitaka tokom vremena eksploatacije bunara

5.2.1.2 METODA S = log r

Strujanje prema usamljenom savrenom bunaru u homogenoj izotropnoj poroznojsredini neograni~enog prostiranja, pri konstantnom proticaju, opisano je preko izraza zadepresiju:

SQ

TW ub=

4π( ) (5.55)

gde je: ur

Tt=

2

4

µ (5.56)


119

U tranzitnoj zoni, za koju vaì uslov da je u < 0.05, jedna~ina (5.55) se moè napisatiu logaritamskom obliku:

SQ

T

Tt

rb=

4

2 252π µ

ln.

(5.57)

ili SQ

T

Tt

rb=

2

15

πµ

ln

.

(5.58)

gde je 15.Tt

Rµ

= radijus dejstva bunara u smislu Dipuija.

Usvojeno je da tranzitna zona (oblast u kojoj je formirano kvazistacionarno strujanje)iznosi 1/3 radijusa dejstva bunara u smislu Dipuija.

Jedna~ina (5.58) se moè napisati u obliku:

SQ

T

Tt Q

Trb b=

−

215

2π µ πln . ln (5.59)

Za navedene uslove crpenja iz bunara, u jednom vremenskom trenutkueksperimentalne ta~ke depresija, registrovane u tranzitnoj zoni (zoni u kojoj je u < 0.05),re|aju se u semilogaritamskom koordinatnom sistemu (S = f(log r)) du` prave linije, slika5.10.

rT

QTt

T

QS bb log366.05.1log366.0 −

=

µ(5.60)

Koeficijent pravca ove prave, iz jedna~ine (5.60) i prema slici 5.10, predstavljatangens ugla α:

tgQ

Tbα = −0 366. (5.61)

gde je tgS S

r rα = −

−−

2 1

2 1log log (5.62)

Slika 5.10: Dijagram S = f(log r)


Iz (5.61) i (5.62) moè se odrediti koeficijent vodoprovodnosti:

0366 2 1

2 1

.log log

Q

T

S S

r rb =

−−

(5.63)

odnosno: T Qr r

S Sb=−−

0 366 2 1

2 1

.log log

(5.64)

Produènjem prave S = f(log r) do preseka sa apscisom (S = 0), dolazi se do radijusadejstva bunara u smislu Dipuija (R). Za ovako odre|en radijus dejstva bunara mogue jeizra~unati veli~inu specifi~ne izdanosti izdani iz jedna~ine (5.65):

µ =2 25

2

. Tt

R (5.65)

gde je t vreme od po~etka trajanja proticaja bunara, Qb, na koje se odnosi dati dijagram S =f(log r).

Dopunska depresija u bunaru, koja je posledica parazitskih gubitaka na filtru iprifiltarskoj zoni bunara, δS, moè se odrediti iz razlike registrovane depresije, Sb i vrednostiekstrapolirane prave S = f(log r) do polupre~nika bunara r0.

Pod pretpostavkom da su koeficijenti parazitskih gubitaka konstantni, odnosno da nezavise od proticaja i ne menjaju se sa vremenom, na osnovu podataka opitnog crpenja sajednim sniènjem (proticajem) nije mogue izvriti njihovo razdvajanje.

Prema ovoj metodi, determinaciju koeficijenata linearnih i kvadratnih parazitskihgubitaka, mogue je sprovesti interpretacijom podataka opita crpenja sa vie sniènja(proticaja). Svedeni na istu vremensku bazu, registrovani podaci za pijezometre (u okvirutranzitne zone, ili za uslov u < 0.05) nalaze se na istoj pravoj dijagrama S/Q = f(log r), slika5.11.

O~itavanjem dopunskih depresija u bunaru za razli~ita sniènja i nanoenjem ovihpodataka na dijagram δ(S/Qb) = f(Q), dobija se funkcionalna zavisnost iz koje je mogueodrediti veli~inu koeficijenta A1 i B, slika 5.12. Koeficijent parazitskih linearnih gubitaka ubunaru, A1, se dobija kao otse~ak prave na ordinati, dok je koeficijent parazitskih kvadratnihgubitaka, B, koeficijent pravca prave δ(S/Qb) = f(Q), odnosno tangens ugla β, slika 5.12:

Slika 5.11: Dijagram S/Qb = f(log r)

Interpretacijom podataka opitnog crpenja sa vie sniènja, mogue je izra~unatikoeficijent vodoprovodnosti, sli~no kao na osnovu podataka jednog sniènja, prema izrazu:

Ttg

=0 366.

'α (5.66)


121

Tako|e, specifi~na izdanost izdani se moè izra~unati korienjem izraza (5.65).

B = tg β (5.67)

Slika 5.12: Dijagram δ(S/Qb) = f(Qb)

5.2.2 OPITNO CRPENJE U NESTACIONARNOM RE@IMU

STRUJANJA

Grafoanaliti~ke metode obrade podataka opitnog crpenja u nestacionarnom reìmustrujanja svode se prakti~no na primenu Tajsovog (Theiss) reenja deferencijalne jedna~inestrujanja prema usamljenom bunaru (Busineskove jedna~ine izraène u polarnimkoordinatama). Brojni autori, po kojima su nazivane metode grafoanaliti~ke obrade,uglavnom su parafrazirali pomenuto reenje.

U praksi su se pokazale najprikladnijim najjednostavnije metode, koje omoguavaju iodre|enu kontrolu ulaznih podataka. Ovo se odnosi na one metode kod kojih seeksperimentalne ta~ke grafi~kom interpretacijom pruàju du` prave linije.

Ograni~enja ovakve interpretacije odnose se pre svega na uslove strujanja u ta~kamastrujnog polje u kojima se registruju depresije (uslov kvazistacionarnog strujanja, odnosno u< 0.05) i naravno, na osnovne karakteristike porozne sredine, koja je, po teoriji, homogena,izotropna i neograni~enog rasprostranjenja. Odstupanje od teoretskih oblika dijagrama,dobijenih interpretacijom eksperimentalnih ta~aka, omoguava, pored odre|ene kontroleulaznih podataka i izvo|enje dodatnih zaklju~aka o karakteristikama sredine i uslovimastrujanja podzemnih voda. Ove dodatne informacije, potpomognute rezultatima drugihodgovarajuih istraìvanja, mogu da budu dragocene indicije, ili putokazi, u istraìva~komprocesu reavanja datog problema.

Standardnim grafoanaliti~kim metodama obuhvaena je interpretacije podatakaopitnog crpenja koje se sastoji od jednostavnog hidrograma (jednog sniènja). Ne trebaizgubiti iz vida (to se u praksi ponekad deava), da u opit crpenja ulazi, kako periodefektivnog crpenja (sniènja), tako i period povratka nivoa izdani na po~etni, po prestankucrpenja. Sloèniji oblik hidrograma (popularni “step test” opit, koji e se kasnije detaljnijeobjasniti), svodi se na takav, koji se analiti~ki tako|e moè izraziti preko jedna~ine prave,slika 5.13.

Grafoanaliti~kom metodom obrade podataka opitnog crpenja mogue je interpretiratieksperimentalne podatke koji se odnose na (prvo) sniènje i povratak nivoa. U slu~ajusloènog hidrograma, podaci drugog i sledeih sniènja se ne mogu obraditi ovom metodom.Tada se pristupa drugim, odgovarajuim metodama, namenjenim interpretaciji podatakakompletnog hidrograma crpenja u nestacionarnim uslovima strujanja.


“Jednostavni” hidrogram “Step test” hidrogram

Slika 5.13: Jednostavni i “step test” oblik hidrograma opitnog crpenja

5.2.2.1 METODA S = f(log t)

Metoda obrade podataka opitnog crpenja u obliku dijagrama S = f(log t) poznata je uliteraturi kao metoda Dèkoba (Jacob). Primenjuje se na podatke opitnog crpenja sakonstantnim proticajem iz usamljenog savrenog bunara. Ovom metodom mogu se obraditipodaci koji se odnose na bunar i pijezometre koji se nalaze u tranzitnoj zoni strujnog polja(oblasti, obuhvaenoj uslovom da je u < 0.05). Za uslov da je strujna oblast homogenaizotropna i neograni~enog prostiranja (odnosno, tako se moè ematizovati), jedna~inastrujanja prema bunaru u optem slu~aju se moè napisati u obliku:

SQ

T

T

r

Q

Ttb b= +

4

2 25

42π µ πln

.ln (5.68)

to u semilogaritamskom koordinatnom sistemu predstavlja jedna~inu prave, S = f(ln t), ili,to je prakti~nije, S = f(log t):

SQ

T

T

r

Q

Ttb b= +2 3

4

2 252 3

42. log.

. logπ µ π

(5.69)

odnosno

SQ

T

T

r

Q

Ttb b= +0183

2 2501832. log

.. log

µ (5.70)

- DEPRESIJA U BUNARU -

Za vreme crpenja iz homogene izotropne izdani, neograni~enog prostiranja, ukupnadepresija u bunaru, zajedno sa dopunskim “linearnim” i “kvadratnim” gubicima, izraàva sejedna~inom:

SQ

T

T

rA Q BQ

Q

Ttb

b bb= + + +

4

2 25

402 1

2

π µ πln

.ln (5.71)

gde je:r0 - polupre~nik bunara, [L].


123

U uslovima konstantnog proticaja (Qb = Const.) i nepromenljivih koeficijenataparazitskih gubitaka (A1 = Const., B = Const.), na semilogaritamskom dijagramu, S = f(ln t),jedna~ina (5.71), je jedna~ina prave:

SQ

Tt Constb= +

4πln . (5.72)

odnosno, u koordinatnom sistemu gde je apscisa sa dekadnom logaritamskom osnovom, log t,slika 5.14:

SQ

Tt Constb= +0183. log . (5.73)

Slika 5.14: Podaci prvog sniènja interpretirani kao dijagram funkcije S = f(log t) - depresija u bunaru

Koeficijent vodoprovodnosti, T, moè se izra~unati iz koeficijenta pravca prave, kojije predstavljen tangensom ugla α, slika 5.14.

tgQ

Tbα = 0183. (5.74)

odnosno tgS S

t tα =

−−

2 1

2 1log log (5.75)

gde se indeksi 1 i 2 odnose na proizvoljno izabrane ta~ke na pravoj. Sre|ivanjem jedna~ina(5.74) i (5.75), dobija se izraz kojim je mogue izra~unati koeficijent vodoprovodnosti izdanina osnovu interpretacije registrovanih podataka opitnog crpenja:

0183 2 1

2 1

.log log

Q

T

S S

t tb =

−−

(5.76)

T Qt t

S Sb=−−

0183 2 1

2 1

.log log

(5.77)

Ako se eksperimentalne ta~ke izaberu sa vremenima u odnosu t2=10t1, dobija se zakoeficijent vodoprovodnosti izraz u sledeem obliku:

TQ

S Sb=

−0183

2 1

. (5.78)

to je pogodno za rad naro~ito u terenskim uslovima.Analizirajui jedna~inu (5.71), moè se zaklju~iti da veli~inu parazitskog gubitka u

bunaru i prifiltarskoj zoni i specifi~ne izdanosti izdani nije mogue odrediti samo na osnovupodataka praenja opitnog crpenja na bunaru. Za njihovo odre|ivanje neophodno jeraspolagati sa podacima praenja, registrovanim u pijezometru (pijezometrima), odnosno,merenim u ta~ki (ta~kama) strujnog polja u kojoj se ne manifestuju parazitski gubici.


- DEPRESIJA U PIJEZOMETRU -

Depresija u pijezometru, koji se nalazi u tranzitnoj zoni strujanja prema bunaru uhomogenoj izotropnoj izdani neograni~enog prostiranja, moè se izraziti jedna~inom (5.70):

SQ

T

T

r

Q

Ttb b= +0183

2 2501832. log

.. log

µgde je:r - udaljenje od ose bunara do pijezometra, [L].

Uslov da se pijezometar u datom vremenskom trenutku nalazi u tranzitnoj zonistrujnog polja, je da je bezdimenzionalni parametar u manji od 0.05 (u < 0.05), odnosno, zaposmatrani pijezometar, slika 5.15:

tr

T> 5

2 µ (5.79)

Vrednost koeficijenta vodoprovodnosti dobija se, kao i za bunar, izborom dveproizvoljne ta~ke na pravoj S = f(log t), i uvrtavanjem veli~ina sa apscise i ordinate, ujedna~inu (5.77):

T Qt t

S Sb=−−

0183 2 1

2 1

.log log

ili, ako se eksperimentalne ta~ke izaberu sa vremenima u odnosu t2 = 10t1, korienjemjedna~ine (5.78).

Slika 5.15: Podaci prvog sniènja interpretirani kao dijagram funkcije S = f(log t) - depresija u pijezometru

Veli~ina specifi~ne izdanosti izdani se moè dobiti interpretacijom eksperimentalnihpodataka praenja opitnog crpenja na pijezometru, na dva na~ina:1. Ako se postavi uslov da je S = 0, slika 5.15, produènjem eksperimentalne prave do

preseka sa apscisom:

025.2

log4

183.02

==µπ r

Tt

T

QS b (5.80)

dolazi se do izraza:

025.2

log2

=µrTt

(5.81)

odnosno 125.22

=µrTt

(5.82)


125

gde je: t = t0 - vreme na apscisi za S = 0. Iz gornje jedna~ine, specifi~na izdanost izdani je:

µ =2 25 0

2

. Tt

r (5.83)

2. Obzirom na ~injenicu da mala promena nagiba prave (prilikom njenog povla~enja krozeksperimentalne ta~ke) ima za posledicu relativno veliku promenu vremena, t0, specifi~naizdanost izdani se moè dobiti i iz podataka za jednu eksperimentalnu ta~ku, reavanjemjedna~ine za pijezometar po µ, na primer:

SQ

T

Tt

rb

11

24

2 25=

π µln

. (5.84)

4 2 251 12

πµ

TS

Q

Tt

r= ln

. (5.85)

eTt

r

TS

Q

4

12

1 2 25π

µ

=.

(5.86)

µ π=

2 25 1

2

4 1

. Tt

r eTS

Q

(5.87)

Slika 5.16: Uporedni prikaz interpretiranih podataka praenja “prvog sniènja” opitnog crpenja zabunar i satelitske pijezometre

Ako se uporede podaci za bunar i pijezometre na istom dijagramu S = f(log t), moèse lako zaklju~iti da su nagibi ovih pravih isti. Odnosno, interpretacijom podatakaregistrovanih depresija za bunar i pijezometre, dobija se familija me|usobno paralelnihpravih, slika 5.16. Iz toga se moè zaklju~iti da se na osnovu interpretacije podataka opitnogcrpenja, kako za bunar, tako i za pijezometre, moè izra~unati vrednost koeficijentavodoprovodnosti.


Me|utim specifi~na izdanost izdani se moè dobiti samo iz podataka koji se odnosena pijezometre. Izuzetak od ovog pravila predstavljao bi slu~aj kada bi se poznavalikoeficijenti parazitskih gubitaka u bunaru (A1 i B, jedna~ina (5.71)).

5.2.2.2 Metoda S = log(t/r2)

U slu~aju kada se opitno crpenje na bunaru prati i na grupi satelitskih pijezometara,registrovani podaci se mogu interpretirati u obliku dijagrama S = log(t/r2). Pri tome vaèuslovi da je izdan homogena i izotropna, neograni~enog prostiranja, a crpenje se odvija izsavrenog bunara sa konstantnim proticajem. U zoni u kojoj je parametar u manji od 0.05(tranzitnoj zoni), jedna~ine za depresiju u bunaru i pijezometrima se mogu napisati usledeem obliku:

- za bunar: SQ

T

TA Q BQ

Q

T

t

rbb

b bb= + + +

4

2 25

412

02π µ π

ln.

ln (5.88)

odnosno SQ

T

TA Q BQ

Q

T

t

rbb

b bb= + + +0183

2 2501831

2

02. log

.. log

µ (5.89)

- za pijezometre: SQ

T

T Q

T

t

rb b= +0183

2 250183 2. log

.. log

µ (5.90)

Analizom jedna~ine (5.90), moè se zaklju~iti da se registrovani podaci sa svihosmatranih satelitskih pijezometara (za prethodno postavljene uslove) re|aju du` jedne prave,na dijagramu S = f(log t/r2), slika 5.17. Podaci za bunar su translatorno pomereni u odnosu napijezometarske podatke, a vertikalna razlika (po ordinati) predstavlja veli~inu dopunskihhidrauli~kih gubitaka u bunaru i prifiltarskoj zoni δS :

δS = A1Qb + BQb2 (5.91)

Slika 5.17: Interpretacija registrovanih podataka praenja opitnog crpenja na dijagramu S = f(log t/r2):a) bunar; b) pijezometri

Interesantno je napomenuti da se ne poklapaju ta~ke na dijagramu S = f(log t/r2), kojese odnose na depresije u istom vremenskom trenutku, za pijezometre koji se nalaze narazli~itim udaljenjima od bunara. Podaci depresija za pijezometar koji je bliì bunaru, nalazese u viem delu prave S = f(log t/r2), u odnosu na podatke udaljenijeg pijezometra. U periodudok se posmatrani pijezometar ne nalazi u tranzitnoj zoni strujanja prema bunaru (period kadaje u > 0.05), registrovane ta~ke odstupaju od prave S = f(log t/r2), odnosno formiraju krivuliniju. Sa porastom vremena, ova kriva linija konvergira pravoj S = f(log t/r2) i u momentuispunjenja uslova u < 0.05, “ulazi” u nju (slika 5.17).


127

Upore|enjem jedna~ina (5.89) i (5.90), zaklju~uje se da podaci depresija za bunar ipijezometre formiraju dve paralelne prave, sa istim koeficijentom pravca, koji je grafi~kipredstavljen uglom α, slika 5.17. Odre|ivanjem tangensa ugla α, izborom dve proizvoljneta~ke na pravama S = f(log t/r2), za bunar, ili pijezometre, moè se izra~unati vrednostkoeficijenta vodoprovodnosti izdani, prema sledeem izrazu, slika 5.18:

T Q

t

r

t

r

S Sb=

−

−0183

22

21

2 1

.

log log

(5.92)

Ako se eksperimentalne ta~ke sa dijagrama S = f(log t/r2) izaberu sa vremenima uodnosu (t/r2)2 = 10(t/r2)1, izraz za koeficijent vodoprovodnosti je u obliku:

TQ

S Sb=

−0183

2 1

. (5.93)

Ekstrapolacijom prave S = f(log t/r2) za pijezometre, do preseka sa apscisom, za uslovda je S = 0, dobija se vrednost (t/r2)0, iz koje se moè izra~unati specifi~na izdanost, µ:

SQ

T

T t

rb=

=

4

2 2502

0π µln

. (5.94)

odnosno µ =

2 25 2

0

. Tt

r (5.95)

Slika 5.18: Grafoanaliti~ko odre|ivanje koefcijenta vodoprovodnosti preko dijagrama S = f(log t/r2) - a)bunar, b) pijezometri

Dakle, na osnovu opitnog crpenja sa konstantnim proticajem iz usamljenog savrenogbunara, koji kaptira homogenu izotropnu izdan neograni~enog prostiranja, a koje se prati nabunaru i vie satelitskih pijezometara, mogu se odrediti filtracione i akumulacionekarakteristike porozne sredine, koeficijent vodoprovodnosti i specifi~na izdanost izdani.Veli~ina dopunskog hidrauli~kog (parazitskog) gubitka u bunaru i prifiltarskoj zoni moè seodrediti samo sumarno. Samo na osnovu ove metode ne mogu se razdvojiti linearni odkvadratnih gubitaka.


5.2.2.3 METODA S = log(t/t-t1)

Kada se opitno crpenje izvodi sa jednim konstantnim proticajem, onda je mogueprimeniti grafoanaliti~ku metodu obrade i na podatke koji se odnose na period povratkanivoa, po prestanku crpenja.

Primenjujui princip superpozicije strujanja, strujanje poprestanku crpenja sa jednim konstantnim proticajem se mo`e predstaviti kao zbir dvastrujanja sa proticajem beskona~nog trajanja: Q, sa po~etkom u t = 0 i -Q, sa po~etkom u t =t1, slika 5.19.

Depresija u bilo kojoj ta~ki strujnog polja (za uslov da je u posmatranoj ta~ki ispunjenuslov u < 0.05), dobija se sabiranjem elementarnih strujanja:

S = S1 + S2 (5.96)

gde je: SQ

T

Tt

rb

1 24

2 25=

π µln

. (5.97)

SQ

T

T t t

rb

21

24

2 25=

− −π µ

ln. ( )

(5.98)

t - tekue vreme, [T],t1 - vreme prestanka crpenja, [T].

Sre|ivanjem gornje dve jedna~ine, prema izrazu (5.96), dolazi se do jedna~ine zadepresiju u bilo kojoj ta~ki strujnog polja:

SQ

T

t

t tb=

−4 1πln (5.99)

ili, u obliku logaritma sa dekadnom osnovom:

SQ

T

t

t tb=

−0183

1

. log (5.100)

Slika 5.19: Sumarni i elementarni hidrogrami crpenja sa konstatnim proticajem i naglim prestankom: a)sumarni; b) i c) elementarni hidrogrami


129

Kao to se vidi iz jedna~ina (5.99) i (5.100), depresija po prestanku crpenja ne zavisiod udaljenja od bunara, to zna~i da je u posmatranom vremenskom trenutku u celoj strujnojoblasti ista, pod uslovom da je ispunjen uslov u < 0.05.

U tranzitnoj zoni, eksperimentalne ta~ke registrovanih depresija u bunaru ipijezometrima, re|aju se na semilogaritamskom dijagramu S = f(log t/(t-t1)) du` jedne prave,slika 5.20.

Ekstrapolacijom prave S = f(log t/(t-t1)) do preseka sa apscisom, S = 0, dobija se, zauslove homogene izotropne izdani neograni~enog prostiranja, odse~ak:

t

t t−=

1

1 (5.101)

Svako odstupanje od ove prave ukazuje da neki od pretpostavljenih uslova(homogenost, izotropnost, neograni~enost) nije zadovoljen.

Slika 5.20: Grafi~ka interpretacija podataka registrovanih depresija na bunaru i pijezometrima poprestanku crpenja - povratak nivoa: dijagram S = f(log t/(t-t1))

Koeficijent vodoprovodnosti se odre|uje iz koeficijenta pravca prave S = f(log t/(t-t1)),odnosno tangensa ugla njenog nagiba, α :

tgQ

Tbα = 0183. (5.102)

odnosno tgS S

t

t t

t

t t

α =−

−

−

−

2 1

1 2 1 1

log log

(5.103)

Izjedna~avanjem izraza (5.102.) i (5.103.) i sre|ivanjem, dobija se izraz za koeficijentvodoprovodnosti, T:

T Q

t

t t

t

t t

S Sb=−

−

−

−0183

1 2 1 1

2 1

.

log log

(5.104)

Iz jedna~ina (5.99) i (5.100), koje opisuju strujanje podzemnih voda po prestankucrpenja, vidi se da se specifi~na izdanost izdani ne figurie u navedenim izrazima, odnosno,prema ovoj metodi, ova veli~ina se ne mo`e dobiti.


U slu~aju da se crpenje izvodi sa vie sni`enja, prema stepenastom hidrogramu,redukuje se ovaj hidrogram na jedan proticaj (obi~no poslednji, koji je i najvei), uz uslov daiscrpena zapremina vode ostane ista, slika 5.21.

Fiktivno vreme trajanja crpenja, t*, na ~iji po~etak se postavlja nula nove apscise,ra~una se prema izrazu:

tQ t Q t t Q t t Q t t

Qn n n

n

*( ) ( ) ... ( )

=+ − + − + + − −1 1 2 2 1 3 3 2 1 (5.105)

gde je:n - ukupan broj proticaja [-],tn - n-to vreme po~etka promene proticaja, [T],Qn - n-ti proticaj, [L3T].

Slika 5.21: Svo|enje hidrograma crpenja sa tri proticaja na fiktivni hidrogram, sa jednim konstantnimproticajem: a) realni hidrogram; b) fiktivni (ematizovani) hidrogram

Interpretacija podataka povratka nivoa, sprovodi se tada kao da je u pitanju crpenje sakonstantnim proticajem i naglim prekidom.

[ematizacijom stepenastog hidrograma na jednostavni, sa jednim konstatnimproticajem, uvodi se odre|eni stepen greke u rezultate prora~una koeficijentavodoprovodnosti prema ovoj metodi. Me|utim, analize su pokazale da je greka, koja jeposledica ematizacije stepenastog hidrograma na jednostavni, manja od greaka, koje se ~inepri radu na terenu tokom praenja opitnog crpenja i registrovanja podataka.

5.3 CRPENJE SA PROMENLJIVIM PROTICAJEM

5.3.1 CRPENJE SA NEUJEDNA^ENIM PROTICAJEM

Konstantni proticaj tokom opitnog crpenja nije mogue u praksi uvek realizovati.Relativno ~esto, on se menja, u zavisnosti od razli~itih uzroka. Oblici hidrograma,ematizovanih u obliku histograma, mogu biti razli~iti, ali naj~ea su dva slu~aja: u prvom,proticaj osciluje tokom vremena oko neke srednje vrednosti, slika 5.22.a, ili se proticajpostepeno smanjuje, u zavisnosti od poveanja depresije, slika 5.22.b. Drugi slu~aj je u vezisa kapacitetom bunarske pumpe, koji je obrnuto proporcionalan sa visinom dizanja(depresijom).

Ukoliko proticaj osciluje u relativno malom dijapazonu (10 do 15%), u praksi sepodaci mogu interpretirati grafoanaliti~kom metodom, prema zavisnostima, koje nisuteoretski korektne:

S

Qf t

b

= (log ) iliS

Qf

t

rb

=

log 2 (5.106)


131

Slika 5.22: [ematizovani hidrogram crpenja sa promenljivim proticajem: a) proticaj osciluje oko nekesrednje vrednosti; b) proticaj se smanjuje sa poveanjem depresije

Za ispunjene ostale uslove (homogena izotropna neogani~ena izdan, posmatrana ta~kastrujnog polja je u tranzitnoj zoni strujanja), eksperimentalne ta~ke relativne depresije (S/Qb)se raspore|uju pribli`no du` prave, slika 5.23.

Koeficijent vodoprovodnosti izdani se odre|uje analogno slu~aju opitnog crpenja sakonstantnim proticajem, prema izrazima:

Slika 5.23: Dijagrami: a) S/Q = f(log t); b) S/Q = f(log t/r2), za slu~aj neujedna~enog kapaciteta crpenja

Slika 5.23.a: Tt t

S

Q

S

Qb b

=−

−

0183 2 1

2 1

.log log

(5.107)

Slika 5.23.b: T

t

r

t

r

S

Q

S

Qb b

=

−

−

01832

22

1

2 1

.

log log

(5.108)

Specifi~na izdanost izdani mo`e se odrediti samo na osnovu podataka koji se odnosena pijezometre, produ`enjem pravih S = f(log t) i S/Qb = f(log t/r2) do preseka sa apscisom S =0. Odse~ak na apscisi je vreme t0, koje se uvrtava u jedna~inu (5.109) :

µ =2 25 0

2

. Tt

r (5.109)


5.3.2 CRPENJE SA DVA, ILI VI[E PROTICAJA

Grafoanaliti~ke metode obrade podataka opitnih crpenja iz bunara u nestacionarnomreìmu strujanja, zasnovane su na primeni jedna~ine Tajsa (Theiss), kojom se opisujestrujanje podzemnih voda prema usamljenom savrenom bunaru, koji kaptira homogenuizotropnu izdan neograni~enog rasprostranjenja i iz koga se crpi voda sa konstantnimproticajem. Grafoanaliti~kom interpretacijom podataka registrovanih depresija, u perioducrpenja i povratka nivoa vode (po naglom prestanku crpenja), mogue je dobiti osnovnefiltracione karakteristike izdani (koeficijent vodoprovodnosti i specifi~nu izdanost) i veli~inuparazitskih gubitaka u bunaru i prifiltarskoj zoni. Me|utim, podaci dobijeni na osnovu crpenjasa sloènijim hidrogramom u nestacionarnim uslovima strujanja, ne mogu se obraditi na ovajna~in.

Ako se, kao najjednostavniji primer, posmatra crpenje sa dva proticaja, vidi se dajedna~ine, kojima se opisuju ovo strujanje, ne predstavljaju jedna~inu prave usemilogaritamskom koordinatnom sistemu. Izraz za depresiju u ta~ki strujnog polja koja je utranzitnoj zoni u periodu trajanja drugog proticaja glasi, slika 5.24:

Slika 5.24: Hidrogram i nivogram crpenja sa dva proticaja (sniènja): a) sumarni; b) elementarni(razloèni)

SQ

T

Tt

r

Q Q

T

T t t

r= +

− −12

2 1 124

2 25

4

2 25

π µ π µln

.ln

. ( ) (5.110)

ili SQ

T

t

t t

Q

T

T t t

r=

−+

−1

1

2 124 4

2 25

π π µln ln

. ( ) (5.111)

Depresija u periodu povratka nivoa po prestanku crpenja, u ovom slu~aju (uz uslov daje posmatrana ta~ka strujnog polja u tranzitnoj zoni, uslov u < 0.05) izraàva se izrazom, slika5.24:

SQ

T

Tt

r

Q Q

T

T t t

r

Q

T

T t t

r= +

− −−

−12

2 1 12

2 224

2 25

4

2 25

4

2 25

π µ π µ π µln

.ln

. ( )ln

. ( )(5.112)


133

ili SQ

T

t

t t

Q

T

t t

t t=

−+

−−

1

1

2 1

24 4π πln ln (5.113)

Iz navedenih primera (jedna~ine (5.110), (5.111), (5.112) i (5.113), moè sezaklju~iti da primena grafoanaliti~kih metoda interpretacije podataka nije mogua kodopitnog crpenja sa sloènijim hidrogramom. Ostaje konstatacija da je grafoanaliti~ku obradumogue korektno realizovati samo za podatke prvog sniènja i povratka nivoa, dakle samo uslu~aju jednostavnog hidrograma.

5.4 GRAFOANALITI^KA OBRADA PODATAKA OPITNOG

CRPENJA IZ IZDANI KOJA NIJE NEOGRANIÊNA

Grafoanaliti~ku metodu obrade podataka opitnog crpenja mogue je primeniti i naneke slu~ajeve koji odstupaju od osnovne prora~unske eme (kontinualno crpenje izusamljenog savrenog bunara, sa konstantnim proticajem, iz homogene izotropne izdani,neograni~enog rasprostranjenja). Neophodno je da budu ispunjena dva uslova: da se moèprimeniti princip superpozicije strujanja (da se strujanje moè opisati primenom jedna~ineTajsa, jer to je pretpostavka metode) i da se registrovani podaci depresija, ostvarenih tokomopita crpenja, mogu interpretirati u obliku prave u semilogaritamskom koordinatnom sistemu.

Prvi uslov je ispunjen u slu~ajevima kada se izdan moè posmatrati kao homogena iizotropna, ograni~ena sa jednom, ili vie granica, jednostavnog (pravolinijskog) oblika. Zajednostavne geometrijske odnose granica i njihove osnovne tipove (granica konstantnogpotencijala, ili vodonepropusna granica), ovakva strujanja se opisuju preko jedna~ine Tajsa,kao strujanje prema grupi bunara u neograni~enog izdani.

Drugi uslov se ispunjava ako se na dijagramu depresija u funkciji vremena moèizdvojiti interval u kome se registrovani podaci raspore|uju du` prave, a koji predstavljajurezultat dominantnog uticaja bunara iz koga se crpi (realnog bunara). U postupku obradepodataka, ovaj interval na po~etku crpenja se analizira kao da je u pitanju strujanje premausamljenom bunaru u neograni~enoj izdani. Iz ovih podataka je mogue kvantifikovatikoeficijent vodoprovodnosti i specifi~nu izdanost izdani, kao i ukupne parazitske gubitke ubunaru i prifiltarskoj zoni.

Podaci koji su rezultat zajedni~kog uticaja rada bunara i granica rasprostranjenjaizdani na registrovane depresije, obi~no se na semilogaritamskom dijagramu raspore|uju ponekom drugom zakonu, koji odstupa od prethodne prave linije. Ovaj deo podataka obi~no sekoristi za odre|ivanje tipa i udaljenja granice rasprostranjenja izdani.

O~igledno je da interpretacija podataka opitnog crpenja u slu~ajevima koji odstupajuod elementarne eme, ne omoguava jednozna~nu determinaciju parametara, nego jeneophodno dobijene rezultate dopuniti, odnosno bazirati na drugim rezultatim istraìvanja,pre svega terenskim geolokim i hidrogeolokim istraìvanjima.

5.4.1 IZDAN OGRANIÊNA JEDNOM PRAVOLINIJSKOM

GRANICOM KONSTANTNOG POTENCIJALA

Ako se posmatrana izdan moè ematizovati kao homogena izotropna, sapravolinijskom granicom konstatnog potencijala, pored koje se nalazi bunar iz koga se crpi,takvo strujanje se primenom principa superpozicije strujanja moè svesti na strujanje premagrupi od dva bunara u neograni~enoj izdani, slika 5.25. Realni bunar je sa pozitivnimproticajem, dok je fiktivni bunar (kojim se simulira granica), sa negativnim.


Slika 5.25: Crpenje iz bunara pored granice konstantnog potencijala: a) fizi~ka ema; b) prora~unskaema

U slu~aju konstantnog proticaja bunara, depresija u proizvoljnoj ta~ki (npr.pijezometru P) realnog strujnog polja, definisana je sledeom jedna~inom:

SQ

TW u

Q

TW up

bp

bp= −

4 4π π( ) ( )' (5.114)

gde je: ur

Ttp = 12

4

µ (5.115)

r1 - udaljenje pijezometra P do realnog bunara B, [L],

ur

Ttp, = 2

2

4

µ (5.116)

r2 - udaljenje pijezometra P do fiktivnog bunara -B, [L].Izraz za depresiju u bunaru je:

SQ

TW u

Q

TW u Sb

bb

bb= − +

4 4π πδ( ) ( ), (5.117)

gde je: ur

Ttb = 02

4

µ (5.118)

r0 - polupre~nik realnog bunara B, [L],

ua

Ttb, ( )

=2

4

2 µ (5.119)

2a - rastojanje izme|u realnog i fiktivnog bunara, dvostruko udaljenje realnog bunara B0 dohidrauli~ki ematizovane granice konstantog potencijala, [L],

δS - dopunski parazitski gubici u bunaru i prifiltarskoj zoni bunara, [L].Ako se podaci registrovanih depresija u bunaru iz koga se crpi i prateem

(satelitskom) pijezometru prika`u grafi~ki u obliku zavisnosti S = f(log t), dobie sedijagram kao na slici 5.26.

Povezivanjem eksperimentalnih ta~aka za bunar i pijezometar, dobijaju se krive linijekoje se u odre|enim vremenskim intervalima mogu aproksimirati pravom.

Analizom dijagrama na slici 5.26, mogu se izdvojiti nekoliko karakteristi~nihvremenskih intervala: tri za bunar i ~etiri za pijezometar.


135

Na po~etku crpenja, uticaj fiktivnog bunara je veoma mali, tako da on prakti~no neuti~e na razvoj depresije u realnom bunaru, sve dok je ispunjen uslov:

Slika 5.26: Dijagram S = f(log t) za slu~aj opitnog crpenja iz bunara pored granice konstantnogpotencijala

( )2

44

2a

Tt

µ> , (5.120)

a za proizvoljnu ta~ku (pijezometar P) realnog strujnog polja uslov je:

ur

Ttp = >22

44

µ (5.121)

U tom periodu (prema uslovu (5.120)), depresija u bunaru B0 se formira po zakonustrujanja prema bunaru u neograni~enoj izdani. Za bunar ovo vreme iznosi, iz (5.120):

ta

T<

2

4

µ (5.122)

a za pijezometar P:

tr

T< 2

2

16

µ (5.123)

Sa druge strane, da bi se podaci o depresijama re|ali du` prave linije usemilogaritamskom koordinatnom sistemu, neophodno je da bezdimenzionalni parametar ubude manji od 0.05. Kako se za bunar prakti~no trenutno postiè zadovoljenje ovog uslova,obzirom na relativno malu veli~inu r0, na dijagramu S = f(log t), slika 5.26, moè se izdvojitideo prave linije, u intervalu vremena obeleènom sa A.

Ako se posmatraju podaci za pijezometar u periodu vremena kada je zadovoljen uslov(5.123), mogu se razlikovati dve zone: A’ i A.

Na po~etku crpenja (interval A’) vrednost parametra up je vea od 0.05 i u ovomperiodu registrovane depresije se ne re|aju du` prave linije na dijagramu S = f(log t). Pozadovoljenju uslova:

up < 0.05, odnosno tr

T> 5 1

2 µ, (5.124)

dobija se prava linija (interval A). Dakle, vrednosti depresija u pijezometru se re|aju du`prave linije u intervalu vremena:

516

12

22r

Ttr

T

µ µ< < (5.125)


Jasno je da ovaj (pravolinijski) deo dijagrama S = f(log t), koji se odnosi napijezometar, u praksi ne mora uvek da bude jasno, ili uopte izraèn, to zavisi od udaljenostipijezometra od bunara i granice.

Re~eno je da se za pravu u intervalu vremena A moè primeniti zakon strujanja premabunaru u neograni~enoj izdani. Jedna~ina za depresiju u bunaru u ovom slu~aju glasi (zauslov u0 < 0.05):

SQ

T

Tt

rSb

b= +4

2 25

02π µ

δln.

(5.126)

a za pijezometar P (tako|e uz uslov up < 0.05):

SQ

T

Tt

rpb=

4

2 25

12π µ

ln.

(5.127)

Kao to se vidi, iz jedna~ina (5.126) i (5.127), primenjujui standardni postupakgrafoanaliti~ke obrade podataka, mogue je u datom slu~aju (pravolinijski deo grafika na slici5.26, obeleèn sa A), odrediti koeficijent vodoprovodnosti, specifi~nu izdanost izdani, iukupne parazitske gubitke u bunaru i prifiltarskoj zoni.

Deo grafika na slici 5.26, koji je obeleèn sa B, predstavlja interval vremena u komese uticaj fiktivnog bunara (-B0) ne moè zanemariti, ali se ne moè aproksimirati pravomlinijom. Ako se posmatra razvoj depresije u tom periodu, u:

• bunaru, bezdimenzionalni parametar u’0 je manji od 4, ali je vei od 0.05. Pri tomese podrazumeva da je u0 manji od 0.05;

• pijezometru, bezdimenzionalni parametar, u’p je tako|e manji od 4, ali je vei od0.05. Parametar up je manji od 0.05.

Na kraju, deo dijagrama S = f(log t) na slici 5.26., obeleèn sa C, odnosi se na periodkada su svi bezdimenzionalni parametri u0, u’0, up i u’p manji od 0.05, odnosno pojedina~niuticaji rada realnog i fiktivnog bunara se mogu aproksimirati pravom linijom. Superpozicijomdepresija dobija se linija koja se moè aproksimirati horizontalnom pravom. Ovaj period se upraksi moè smatrati periodom stabilizacije nivoa.

Treba naglasiti, da se, teorijski posmatrano, podaci depresija u slu~aju crpenja sakonstantnim proticajem iz savrenog usamljenog bunara u homogenoj izotropnoj izdani,ograni~enoj sa granicom koja se moè ematizovati kao pravolinijska granica konstantnogpotencijala, re|aju tokom vremena du` glatke krive linije, koja sa porastom vremenakonvergira horizontali. “Stabilizacija nivoa”, horizontala, dostiè se u beskona~no velikomvremenu.

Na deo linije koji se moè aproksimirati horizontalom (deo grafika obeleèn sa C),primenjuje se jedna~ina za depresiju u stacionarnim uslovima strujanja prema bunaru poredgranice konstantnog potencijala:

za bunar: SQ

T

a

rSb

b= +2

2

0πδln (5.128)

za pijezometar: SQ

T

r

rpb=

22

1πln (5.129)

Vreme preseka prave, koja se odnosi na depresiju u neograni~enoj izdani (deo A) sahorizontalnom asimptotom (depresijom u stacionarnim uslovima strujanja, deo C), dobija seizjedna~avanjem izraza (5.126) i (5.128), odnosno (5.127) i (5.129) i sre|ivanjem:

za bunar: SQ

T

Tt

rS

Q

T

a

rSb

b b= + = +4

2 25

2

2

02

0π µδ

πδln

.ln (5.130)


137

za pijezometar: SQ

T

Tt

r

Q

T

r

rpb b= =

4

2 25

212

2

1π µ πln

.ln (5.131)

odakle je “vreme stabilizacije”:

ta

T=

4

2 25

2 µ.

za bunar, (5.132)

tr

T= 2

2

2 25

µ.

za pijezometar. (5.133)

Grafi~kim odre|ivanjem vremena stabilizacije, iz preseka ekstrapolacije prave du`koje se re|aju podaci, sa horizontalnom asimptotom (deo grafika A i C), mo`e se odreditiudaljenje hidrauli~ke granice od bunara, odnosno, uz pomo pijezometarskih podataka, njenpolo`aj, slika 5.27.

Slika 5.27: Odre|ivanje “vremena stabilizacije” nivoa u bunaru i pijezometru

U periodu povratka nivoa po prestanku crpenja sa konstantnim proticajem izusamljenog savrenog bunara u izdani pored granice konstantnog potencijala, depresija ubunaru u optem slu~aju, definisana je jedna~inom:

( )SQ

TW u W u W u W ub= − − +

4 0 0 1 1π( ) ( ) ( ) ( ), , (5.134)

gde je:

ur

Tt002

4=

µ ;

( )u

a

Tt0

22

4, =

µ ; u

r

T t t102

14=

−µ

( ) ; u

a

T t t1

2

1

2

4, ( )

( )=

−µ

(5.135)

Prethodna jedna~ina (5.134) rezultat je superpozicije elementarnih strujanja realnog ifiktivnog bunara, koja se dobijaju ematizovanjem strujanja prema bunaru pored granicekonstantnog potencijala na strujanje prema grupi (koja se u ovom slu~aju sastoji od dva)bunara i razlaganjem sumarnog (realnog) hidrograma na elementarne, prema slici 5.28.

U zavisnosti od vremena kada je nastupio prekid (prestanak) crpenja, mogu se uprincipu razlikovati dva slu~aja povratka nivoa:

1. prestanak crpenja je nastupio pre uspostavljanja uslova potpune stabilizacije nivoa(interval vremena B na slici 5.26),

2. prestanak crpenja je nastupio po uspostavljanju uslova stabilizacije nivoa, intervalvremena C, na slici 5.26.


Slika 5.28: Sumarni i razloèni hidrogrami realnog i fiktivnog bunara, za slu~aj crpenja iz bunara poredgranice konstantnog potencijala: a) sumarni (realni) hidrogram; elementarni hidrogrami: b)crpenje - realni bunar, c) crpenje - fiktivni bunar, d) “prestanak crpenja” - realni bunar, e)“prestanak crpenja” - fiktivni bunar

Ovde e se razmatrati slu~aj kada je prestanak crpenja iz bunara nastupio pouspostavljanju stabilizacije nivoa (slu~aj 2).

Poto se moè smatrati da je u realnom bunaru prakti~no trenutno po prestankucrpenja ispunjen uslov da je bezdimenzionalni parametar u1 manji od 0.05, ostaje da seanalizira uticaj prestanka rada fiktivnog bunara (kojim se simulira granica konstantnogpotencijala). Mogu da se izdvoje tri slu~aja:

Slu~aj 1.

u0 < 0.05; u’0 < 0.05; u1 < 0.05; u’1 > 4 (5.136)

U ovom slu~aju se prakti~no moè zanemariti uticaj fiktivnog bunara na povrataknivoa u realnom:

SQ

T

Tt

r

Tt

a

T t t

rb= − −

−

4

2 25 2 25

2

2 25

02 2

1

02π µ µ µ

ln.

ln.

( )ln

. ( ) (5.137)

SQ

T

t

t t

Tt

ab=

−−

4

2 25

212π µ

ln ln.

( ) (5.138)

odnosno, u semilogaritamskom koordinatnom sistemu, sa osnovom 10:

SQ

T

t

t t

Tt

ab=

−−

0183

2 25

212. log log

.

( ) µ (5.139)

U praksi grafoanaliti~ke obrade podataka opitnih crpenja uobi~ajeno je da se povrataknivoa po prestanku crpenja prikazuje u obliku zavisnosti S = f(log t/t-t1). U slu~ajuneograni~ene homogene i izotropne izdani, registrovane ta~ke se re|aju du` prave linije i tadaje lako odrediti koeficijent vodoprovodnosti izdani (iz nagiba prave, slika 5.29., A). Me|utim,kao to se iz oblika jedna~ine (5.138) moè zaklju~iti, u slu~aju poluograni~ene izdani sagranicom konstantnog potencijala, grafi~ka interpretacije podataka u periodu povratka nivoa


139

u obliku zavisnosti S = f(log t/(t-t1)), nije sasvim korektna. Dodue, u po~etnom periodu(odnosno pri viim vrednostima promenljive t/t-t1), ta~ke se re|aju du` pribli`no prave linije,ali je ona pomerena za veli~inu drugog ~lana u zagradi jedna~ine (5.138), odnosno (5.139),(na slici 5.29, to je linija 2, deo A). Radi o~iglednijeg upore|enja, linija 2 je translatornopreslikana u liniju 2’, tako da se moè videti razlika u nagibu, u odnosu na neograni~enuizdan. Ovakav na~in prikazivanja podataka je koristan za kvalitativnu analizu tipa granice, aopravdanje za prakti~no odre|ivanje koeficijenta vodoprovodnosti, nalazi se u (naj~ee)relativno maloj vrednosti ~lana

ln.

( )

2 25

2 2

Tt

a µ , (5.140)

u jedna~ini (5.138), kada se on zanemaruje.

Slika 5.29: Funkcija S = f(log t/(t-t1)) - povratak nivoa: 1) neograni~ena izdan; 2) poluograni~ena izdan

Slu~aj 2.

u0 < 0.05; u’0 < 0.05; u1 < 0.05; 0.05 < u’1 < 4 (5.141)

Depresija u ovom slu~aju je odre|ena izrazom

( )( )S

Q

T

t

t t

Tt

aW ub=

−− +

4

2 25

212 1π µ

ln ln. , (5.142)

Period kada je ispunjen ovaj uslov, na slici 5.29 je obeleèn sa B

Slu~aj 3

u0 < 0.05; u’0 < 0.05; u1 < 0.05; u’1 < 0.05 (5.143)

Depresija se u ovom slu~aju izraàva jedna~inom:

( )( )

( )S

Q

T

t

t t

Tt

a

T t t

ab=

−− +

−

4

2 25

2

2 25

212

1

2π µ µln ln

.ln

. (5.144)

odnosno, posle odgovarajuih skraenja: S = 0

Iz prakti~nih razloga, lake je podatke povratka nivoa po prestanku crpenja iz bunarapored granice konstantnog potencijala interpretirati u obliku zavisnosti:

S* = f(log t-t1) (5.145)

Gornju zavisnost mogue je izraziti, ako je u periodu crpenja dolo do “stabilizacije”nivoa vode, odnosno, ako su ispunjeni uslovi kvazistacionarnog strujanja:


u0 < 0.05, u’0 < 0.05. (5.146)

U tom slu~aju, depresija u bunaru na kraju crpenja izra`ava se jedna~inom Dipuija:

SQ

T

a

rSb= +

2

2

0πδln (5.147)

Iz razlike jedna~ina (5.147) i (5.137), dobija se jedna~ina (5.148):

SQ

T

T t t

rSb* ln

. ( )=

−+

4

2 25 1

02π µ

δ (5.148)

odosno SQ

Tt t Constb* . log( ) .= − +0183 1 (5.149)

Grafi~ki prikaz promene depresije u periodu povratka nivoa dat je na slici 5.30.

Slika 5.30: Zavisnost S = f(log t-t1) kod povratka nivoa po prestanku crpenja iz bunara pored granicekonstantnog potencijala (φ = Const.)

Povratak nivoa u ovakvim uslovima dakle treba posmatrati prakti~no kao strujanje uslu~aju nalivanja vode u bunar sa proticajem Q, koje se superponira na prethodno postignutostacionarno stanje.

Odre|ivanje parametara izdani i bunara grafoanaliti~kom obradom podataka povratkanivoa po prestanku crpenja, preko dijagrama S* = f(log t-t1), sprovodi se potpuno analogno,odnosno prema metodologiji interpretacije podataka registrovanih tokom crpenja iz bunarapored granice konstantnog potencijala, slika 5.31.

Slika 5.31: Povratak nivoa, kao zavisnost S* = f(log t-t1)


141

5.4.2 IZDAN OGRANI^ENA JEDNOM PRAVOLINIJSKOM

VODONEPROPUSNOM GRANICOM

U slu~aju crpenja sa konstantnim proticajem iz usamljenog savrenog bunara kojikaptira homogenu izotropnu izdan, ograni~enu sa jednom pravolinijskom vodonepropusnomgranicom, tada se takvo strujanje mo`e ematizovati kao na slici 5.32.

Slika 5.32: Crpenje iz bunara pored vodonepropusne granice: a) fizi~ks ema; b) prora~unska ema

U optem slu~aju, depresija u proizvoljnoj ta~ki (npr. pijezometru P) strujnog polja,definisana je sledeom jedna~inom:

SQ

tTW u

Q

TW up

bp

bp= +

4 4π π( ) ( ), (5.150)

gde je: ur

Ttp = 12

4

µ (5.151)

r1 - udaljenje pijezometra P do realnog bunara, [L],

ur

Ttp, = 2

2

4

µ (5.152)

r2 - udaljenje pijezometra P do fiktivnog bunara, [L].Izraz za depresiju u bunaru je:

SQ

TW u

Q

TW u Sb

b b= + +4 40 0π π

δ( ) ( ), (5.153)

gde je:

ur

Tt002

4=

µ (5.154)

r0 - polupre~nik realnog bunara, [L],

ua

Tt0

22

4, ( )

=µ

(5.155)

2a - rastojanje izme|u realnog i fiktivnog bunara, dvostruko udaljenje realnog bunara B0 dohidrauli~ki ematizovane vodonepropusne granice, [L],

δS - dopunski hidrauli~ki gubici u bunaru i prifiltarskoj zoni bunara, [L].


Grafi~ka interpretacija registrovanih depresija u obliku zavisnosti S = f(log t),prikazana je na slici 5.33.

Slika 5.33: Podaci opitnog crpenja za slu~aj konstantnog proticaja iz bunara pored vodonepropusnegranice - S = f(log t)

Na po~etku crpenja, fiktivni bunar prakti~no ne uti~e na razvoj depresije u realnombunaru, sve dok je ispunjen uslov:

ua

Tt0

22

44, ( )

= >µ

, odnosno ta

T<

2

4

µ , (5.156)

a za proizvoljnu ta~ku (pijezometar P):

ur

Ttp, = >2

2

44

µ, odosno t

r

T< 2

2

16

µ . (5.157)

U tom periodu, dok su ispunjeni uslovi (5.155) i (5.156), depresije u bunaru ipijezometrima formiraju se po zakonu strujanja prema bunaru u neograni~enoj izdani. Na slici5.33 to je deo grafika ozna~en sa A i A’. Ovaj deo grafika, koji se mo`e aproksimiratipravom, grafoanaliti~kom metodom se analizira po metodologiji obrade podataka crpenja uneograni~enoj izdani.

Uticaj fiktivnog bunara, odnosno vodonepropusne granice na razvoj depresije tokomcrpenja, manifestuje se na oblik dijagrama S = f(log t) kroz zakrivljenje (deo B), a zatimuspostavljanje nove prave linije, ~iji je nagib dvostruko vei od nagiba prave dela grafika A.Deo grafika B karakteriu uslovi:

za bunar: 0 052

440

2

.( ),< =

<u

a

Tt

µ (5.158)

za pijezometar : 0 054

422

. ,< =

<u

r

Ttp

µ (5.159)

Pravu C na grafiku karakteriu uslovi:

bunar: ua

Tt0

22

40 05, ( ).=

<

µ (5.160)

pijezometar: ur

Ttp, .=

<2

2

40 05

µ (5.161)


143

Jedna~ine kojima se izra`avaju depresije u bunaru i pijezometrima za uslove (5.159) i(5.160), dobijaju se superpozicijom elementarnih strujanja prema realnom i fiktivnom bunaru,sa konstantnim (istim) proticajem:

za bunar: SQ

T

Tt

r

Q

T

Tt

aSb

b b= + +4

2 25

4

2 25

202 2π µ π µ

δln.

ln.

( ) (5.162)

SQ

T

Tt

r aSb

b=

+

4

2 25

20

2

π µδln

. (5.163)

SQT

Tt

r aSb

b= +4

2

2 25

20π µδln

. (5.164)

za pijezometar: SQ

T

Tt

r

Q

T

Tt

rpb b= +

4

2 25

4

2 25

12

22π µ π µ

ln.

ln.

(5.165)

SQT

Tt

r rpb=

42

2 25

1 2π µln

. (5.166)

Iz dela dijagrama C, iz nagiba prave, mogue je dobiti vrednost koeficijentavodoprovodnosti, dvostruko manji od realne, to se i vidi iz izraza (5.163) i (5.165).

Udaljenje fiktivnog bunara od realnog (dvostruko rastojanje do granice), ili dopijezometra, dobija se iz preseka dve ekstrapolirane prave, “skidanjem” odgovarajuegvremena, t*, (slika 5.33) i uvrtavanjem dobijenih vrednosti u izraze:

za bunar 2 15aTtb= .

*

µ (5.167)

za pijezometar rTt p

2 15= .*

µ (5.168)

Depresija, tokom povratka nivoa po prestanku crpenja iz bunara, koji kaptirahomogenu iztropnu izdan, ograni~enu sa pravolinijskom vodonepropusnom granicom(strujnom povri, odnosno posmatrano u planu linijom ψ = Const.), u optem slu~aju seizra`ava jedna~inom:

[ ]SQ

TW u W u W u W ub= + − −

4 0 0 1 1π( ) ( ) ( ) ( ), , (5.169)

gde je:W(u0) - funkcija bezdimenzionalnog parametra u0 realnog bunara, u periodu crpenja, [−],W(u0’) - funkcija bezdimenzionalnog parametra u0’ fiktivnog bunara, u periodu crpenja, [−],W(u1) - funkcija bezdimenzionalnog parametra u1 realnog bunara, u periodu povratka nivoa,

[−],W(u1’) - funkcija bezdimenzionalnog parametra u1’ fiktivnog bunara, u periodu povratka

nivoa, [−].Gornja jedna~ina je dobijena razlaganjem realnog hidrograma na elementarne, slika

5.34, i sabiranjem pojedina~nih (elementarnih) strujanja.


Slika 5.34: Sumarni i razloèni hidrogrami realnog i fiktivnog bunara, za slu~aj crpenja iz bunara poredvodonepropusne granice: a) sumarni (realni) hidrogram; elementarni hidrogrami: b) crpenje- realni bunar, c) crpenje - fiktivni bunar, d) povratak nivoa - realni bunar, e) povratak nivoa- fiktivni bunar

Ako se, prema uobi~ajenoj metodologiji, registrovani podaci depresija interpretiraju uobliku grafi~kog prikaza funkcije S = f(log t/(t-t1)), dobie se dijagram kao na slici 5.35.

Slika 5.35: Funkcija S = f(log t/(t-t1)) za bunar pored vodonepropusne granice - povratak nivoa

Na dijagramu slike 5.35, mogu se povezivanjem registrovanih ta~aka za bunaraproksimirati dve prave. Na po~etku povratka nivoa, kada se uticaj fiktivnog bunara (sahidrogramom e) na slici 5.34) moè zanemariti, odnosno, kada su ispunjeni uslovi:

u0 < 0.05, u0’ < 0.05, u1 < 0.05, u1’ > 4 , (5.170)

depresija u bunaru se izraàva jedna~inom (prava A):

( )

−−+=

µµµπ 20

1

220

25.2ln

)2(

25.2ln

25.2ln

4 r

ttT

a

Tt

r

Tt

T

QS bb (5.171)

+

−=

µπ 21 )2(

25.2lnln

4 a

Tt

tt

t

T

QS bb (5.172)


145

Iz koeficijenta pravca (tangensa ugla α) prave A moè se dobiti koeficijentvodoprovodnosti izdani (zanemarujui pri tome drugi ~lan u zagradi jedna~ine (5.171), premaizrazu:

TQ

tgb=

4π α (5.173)

odnosno, u logaritamskom koordinatnom sistemu sa osnovom 10:

TQ

tgb= 0183.α

(5.174)

U kasnijem periodu povratka nivoa, sa poveanjem uticaja fiktivnog bunara, podacidepresija u bunaru postepeno se re|aju du` nove prave (prava B na slici 5.35), ~iji jekoeficijent pravca dvostruko vei od koeficijenta pravca prave A (2tgα = tgβ). Jedna~inaprave B se dobija superpozicijom elementarnih strujanja, slika 5.34., i uz ispunjenje uslovakvazistacionarnosti strujanja za “sve” bunare:

u0 < 0.05, u0’ < 0.05, u1 < 0.05, u1’ < 0.05 , (5.175

( )( )

SQ

T

Tt

r

Tt

a

T t t

r

T t t

ab= + −

−−

−

4

2 25 2 25

2

2 25 2 25

202 2

1

02

12π µ µ µ µ

ln.

ln.

( )ln

. ( )ln

. (5.176)

SQ

T

t

t tb=

−

42

1πln (5.177)

SQT

t

t tb=

−

42

1πln (5.178)

Iz tangensa ugla β prave B sa slike 5.35, dobija se dvostruko manja vrednostkoeficijenta vodoprovodnosti, T.

Analizom jedna~ina (5.171) i (5.177) moè se zaklju~iti da se ta~na vrednostkoeficijenta vodoprovodnosti izdani moè dobiti iz podataka koji odnose na kasniji periodpovratka nivoa (prava B, slika 5.35). Me|utim, sa zadovoljavajuom ta~nou se moè dobitikoeficijent vodoprovodnosti i iz podataka sa po~etka povratka nivoa (prava A, slika 5.35).

Specifi~nu izdanost izdani i udaljenje do fiktivnog bunara, 2a, nije mogue direktnodobiti grafoanaliti~kom interpretacijom podataka samo povratka nivoa za slu~aj crpenja izbunara pored vodonepropusne granice (jedna~ine (5.171) i (5.177).

Me|utim, za jednu poznatu veli~inu (dobijenu interpretacijom podataka u tokucrpenja) mogue je odrediti drugu, izborom proizvoljne ta~ke na pravoj A i uvrtavanjemdobijenih vrednosti za depresiju S = f(log t/(t-t1)) u jedna~inu

µ π=−

2 25

2

1

2

4

.

( )

Ttt

t t

a eTS

Q

(5.179)

odnosno 2 151

4a

Ttt

t t

eTS

Q

=−

.

µπ (5.180)


5.4.3 IZDAN OGRANIÊNA SA VI[E GRANICA

Pokazano je teorijski, da se jednozna~ni rezultati grafoanaliti~kom metodom obrademogu dobiti samo u slu~aju neograni~ene homogene iizotropne izdani. Na dva jednostavnaprimera izdani ograni~ene sa jednom pravolinijskom granicom, koja se moè ematizovatikao granica konstantnog potencijala, ili vodonepropusna granica, pokazane su mogunostiidentifikacije parametara izdani grafoanaliti~kim postupkom i ograni~enja ove metode.

U slu~aju izdani koja se moè ematizovati kao homogena i izotropna, postojiprakti~no neograni~eni broj kombinacija poloàja i tipova granica i me|usobnog odnosapoloàja bunara i pijezometara. O~igledno je da su u tim uslovima prili~no suènemogunosti primene grafoanaliti~ke metode obrade podataka opitnog crpenja iz usamljenogbunara. Oblici krivih na dijagramima u toku crpenja i po njegovom zavretku (povratkanivoa), pokazuju veliku raznovrsnost i ukazuju na nemogunost korektne grafoanaliti~keinterpretacije u cilju dobijanja jednozna~nih rezultata.

U principu, mogu se razlikovati dva tipska slu~aja razvoja depresija tokom crpenja ipovratka nivoa, koji se manifestuju razlli~itim oblicima krivih.

U prvom slu~aju, kada je izdan ograni~ena sa jednom, i ili vie granica, od kojih sebar jedna granica moè ematizovati kao granica konstantnog potencijala (φ = Const.), posleizvesnog vremena crpenja dolazi do “stabilizacije nivoa”, odnosno do kvazistacionarnogstrujanja, koje se prakti~no moè usvojiti (prihvatiti) kao stacionarno. Grafi~ki prikazpodataka (depresija) crpenja zavrava se linijom koja asimptotski teì horizontali. Dijagrampodataka povratka nivoa po prestanku crpenja je u svom zavrnom delu (po~etak linije S =f(log t/t-t1)) konkavnog oblika, a sama linija u beskona~nom vremenu preseca apscisu uvrednosti log t/(t-t1) = 1.

U drugom slu~aju, kada je izdan ograni~ena sa jednom, ili vie vodonepropusnihgranica, tokom vremena se ne postiè stabilizacija nivoa u bunaru i pijezometrima, nego, toje u zavisnosti od trajanja crpenja, grafi~ki prikaz podataka moè da pre|e u pravu liniju, ~ijije nagib vei nego nagib prave na po~etku crpenja. Generalni oblik krive za period crpenja jekonkavnog oblika. Nasuprot tome, podaci koji se odnose na povratak nivoa daju krivukonveksnog oblika, sa tendencijom zavretka u ta~ki S = 0 za log t/(t-t1) = 1.

Specifi~an slu~aj predstavlja strujanje prema usamljenom bunaru koji kaptira izdanpotpuno ograni~enu vodonepropusnim granicama. Na po~etku crpenja, kada uticaj granicaprakti~no nije izraèn, strujanje se moè posmatrati i analizirati kao strujanje prema bunaru uneograni~enoj sredini. Iz ovih podataka mogue je grafoanaliti~ki dobiti vrednosti parametaravodonosne sredine (prava A, slika 5.36.a). U kasnijem periodu crpenja, depresija uposmatranim ta~kama se razvija sve vie u skladu sa linearnim zakonom crpenja iz izolovaneizdani bez prihranjivanja. Izraz za depresiju u ovim uslovima je (prava B, slika 5.36.a):

S = S0 + ∆h (5.181)

gde je:

S0 - lokalna depresija, rezultat strujanja prema bunaru u ograni~enoj izdani bez prihranjivanja,[L],

∆h - generalni pad pijezometarskog nivoa izdani, posledica iscrpljivanja izdani, [L]:

∆hQt

=ωµ

(5.182)

ω - povrina (horizontalno rasprostranjenje) izdani, [L2].

Podaci povratka nivoa tako|e se mogu aproksimirati pravom na dijagramu S = logt/(t-t1), slika 5.36.b. Iz nagiba prave moè se odrediti koeficijent vodoprovodnosti izdani.


147

Slika 5.36: Bunar u izdani ograni~enoj vodonepropusnim granicama: a) crpenje - dijagram S = log t; b)povratak nivoa - dijagram S = log t/t-t1

Osobenost povratka nivoa u slu~aju crpenja iz bunara u potpuno ograni~enoj izdanibez prihranjivanja je da se ne vraa na po~etni nivo. Na kraju povratka nivoa ostajerezidualna depresija, koja predstavlja nedostatak iscrpene zapremine vode iz izdani. Veli~inarezidualne depresije data je izrazom

ωµQt

Sr = (5.183)

Za poznati proticaj i vreme crpenja (zapreminu iscrpene vode), registrovanurezidualnu depresiju i specifi~nu izdanost izdani, iz jedna~ine (5.182) mogue je odreditihorizontalno rasprostranjenje izdani.

5.5 PRIMENA RAÛNARA KOD OBRADE PODATAKA

PROBNIH CRPENJA

U slu~aju crpenja iz usamljenog bunara sa dva, ili vie proticaja, ili crpenja iz grupebunara, nije mogue sprovesti interpretaciju kompletnih podataka crpenja grafoanaliti~kimmetodama.

Kod crpenja relativno kraeg trajanja, dovoljno pouzdane i reprezentativnekarakteristike mogu se dobiti modeliranjem izdani kao homogene izotropne, saneograni~enim prostiranjem, ili modeliranjem homogene izdani, ograni~ene jednostavnimoblikom i tipom granica. Me|utim, pri tome treba naglasiti da i oblast koju reprezentujudobijene filtracione karakteristike obuhvata samo uù zonu bunara. Za ove uslove pokazalo sekao pogodno, korienje jedna~ine Tajsa, u postupku reavanja tzv. inverznog problema.

U datom slu~aju, razlaganjem realnog hidrograma na niz elementarnih, sloènostrujanje u prirodi se posmatra kao zbir (superpozicija) elementarnih, za koje postojeanaliti~ki izrazi. Kako se ovim postupkom obi~no dobijaju relativno veliki (mada ne uvek ikomplikovani) matemati~ki izrazi, koji zahtevaju obimne prora~une, njihovo sprovo|enje serealizuje na ra~unaru.

Reavanje inverznog problema u praksi podrazumeva da se za dati (poznati) ulaz iizlaz, iterativnim postupkom dobijaju reprezentativne karakteristike posmatranog sistema, uovom slu~aju porozne sredine, ili ire posmatrano, izu~avanog hidrogeolokog sistema. Ustru~noj praksi reavanje inverznog problema je poznato i kao identifikacija reprezentativnihparametara prirodne sredine.


Ukratko, reavanje inverznog problema se moè predstaviti na primeru interpretacije iobrade podataka opitnih i eksploatacionih crpenja, kao iterativni postupak, koji se sastoji iznekoliko elemenata, odnosno faza:• pretpostavi se geometrija izdani, na bazi poznatih podataka, koja se ematizuje kao

homogena izotropna, bez, ili sa jednostavnim oblicima i tipovima granicarasprostranjenja,

• pretpostave se reprezentativne vrednosti koeficijenta vodoprovodnosti i specifi~neizdanosti izdani, koje karakteriu izdan,

• pretpostave se vrednosti koeficijenata dopunskih, parazitskih gubitaka (depresija) ubunaru (bunarima) i prifiltarskoj zoni,

• izvri se ematizacija realnog hidrograma, dekompozicijom na elementarne,• za usvojene veli~ine, sprovodi se hidrodinami~ki prora~un, a kao rezultat se dobijaju

depresije u odabranim ta~kama strujnog polja i za date vremenske trenutke,• sprovodi se proces identifikacije reprezentativnih parametara sredine i karakteristika

bunara, usaglaavanjem rezultata prora~una (depresija) sa registrovanim podacima,izmenom prethodno usvojenih vrednosti parametara i ponavljanjem prora~una, sve dopostizanja zadovoljavajue (zadate) ta~nosti.

Metoda modeliranja, koja bazira na pojednostavljenoj prora~unskoj ematizacijiprirodnih uslova, moè se primeniti i u uslovima duèg trajanja crpenja iz veeg brojavodozahvatnih objekata, s tim to se tada mora prihvatiti ~injenica da se dobijeni modelizdani nalazi izme|u “realnog fizi~kog” modela i modela “crne kutije” - predstavlja model“sive kutije”3.

5.6 KONCEPCIJA POSTAVLJANJA OPITA CRPENJAPlaniranje i programiranje opitnog crpenja, kao elementa terenskih istra`nih radova,

nije nimalo jednostavno. Ovaj, relativno skupi istra`ni rad treba uvek po mogustvukoncipirati u sklopu optimizacije istraìvanja. Prema naem vi|enju, postoje ~etiri osnovnegrupe kriterijuma, koje treba uvaìti kod planiranja i projektovanja opitnog crpenja:

1. ~emu sluì opit, ta se od njega o~ekuje,2. koncepcija postavke objekata realizacije opitnog crpenja,3. metode obrade podataka praenja crpenja,4. ekonomski faktori.

ad. 1. - Ciljevi opita su uglavnom: eksploatacioni kapacitet vodozahvatnog objekta,provera njegove tehni~ke funkcionalnosti, definisanje karakteristika izdani u uòj zonibunara, me|usobni uticaji vodozahvatnih objekata, reprezentativne karakteristike izdani uiroj zoni, karakteristike izdani u celini (uslovi na granicama), probna eksploatacija (reìmizdani u eksploatacionim uslovima), itd.

ad. 2. - Poloàj, dubina i konstruktivne karakteristike bunara i prateih pijezometara,zatim reìm realizacije opita crpenja, zavise pre svega od postavljenog cilja, a tako|e i odprirodnih geolokih i hidrogeolokih uslova, tehni~kih uslova na terenu i mogunostiizvo|a~a.

ad. 3. - Metode obrade podataka praenja diktiraju da li je crpenje iz pojedina~nogbunara, ili grupe bunara, sa jednim, ili vie proticaja, u stacionarnom, ili nestacionarnomreìmu, itd.

ad. 4. - Ekonomski momenat je od veoma velike va`nosti za koncipiranje opitnogcrpenja. Ponekad, na àlost, ekonomska strana realizacije, moè da kompromituje i najboljiopit, tako da je optimizacija opita, kako u tehni~kom, tako i u ekonomskom smislu, izuzetnozna~ajna. 3 “crna kutija” - model kod koga nisu poznate zakonitosti strujanja podzemnih voda, nego se preko odre|enih

relacije (naj~ee statisti~ke prirode), za poznati ulaz dobija traèni izlaz, “siva kutija” - model kod koga je poznat osnovni zakon strujanja, ali se ostale nepoznate karakteristike sistema

simuliraju naj~ee preko fiktivnih parametara.

6. GLAVA

NEUSTALJENO STRUJANJE U

USLOVIMA DVOSLOJEVITE POROZNE

SREDINE

Glava 6 - Neustaljeno strujanje u uslovima dvoslojevite sredine---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

151

6.1 UVOD

Pod dvoslojevitom poroznom sredinom podrazumeva se intergranularna poroznasredina, sastavljena iz dva horizontalna sloja, razli~itih filtracionih karakteristika, koji leè navodonepropusnoj podini. Slojevi su postavljeni jedan iznad drugog: gornji sloj, ~ija je povlataujedno i povrina terena, ima loije filtracione karakteristike, dok je donji sloj glavnivodonosni sloj i on se odlikuje veim vrednostima koeficijenta filtracije. Podinu ovogkompleksa predstavlja sloj sa izrazito slabim filtracionim svojstvima, tako da se strujanjepodzemnih voda kroz njega moè zanemariti. U emi dvoslojevite porozne sredine,vodonepropusna podina je povr koja se moè posmatrati kao vodonepropusna povr (ψ =Const.), slika 6.1.

Strujanje podzemnih voda u vodonosnom (donjem) sloju posmatra se kao u uslovimapod pritiskom. Ono je horizontalno (zanemaruje se vertikalna komponenta brzine) i odvija seusled razlike pijezometarskih nivoa u horizontalnom pravcu. U slabije propusnom(povrinskom) sloju strujanje je u uslovima sa slobodnim nivoom. Strujanje u gornjem slojuje vertikalno (zanemaruje se horizontalna komponenta strujanja) i rezultat je razlike izme|upijezometarskog nivoa u vodonosnom sloju i nivoa slobodne vodene povrine u povrinskomsloju. Pravac filtracionog toka u povlatnom sloju moè biti upravljen navie, ili naniè, slika6.1.

Slika 6.1: Strujanje u dvoslojevitoj poroznoj sredini: 1) vodonepropusna podina (ψ=Const.); 2) vodonosni(glavni, donji) sloj; 3) slabije propusni (gornji) sloj; 4) pijezometarski nivo u vodonosnom sloju;5) nivo slobodne vodene povrine u gornjem, slabije propusnom sloju

Aluvijalni tereni, naro~ito priobalni pojasevi velikih reka (Dunav, Sava, Morava, itd.),predstavljaju prirodne sredine na koje se naj~e~e moè primeniti hidrogeoloka emadvoslojevite sredine. Ovi sedimenti se po pravilu formiraju na sledei na~in: prekovodonepropusne, starije podloge, taloè se prvo krupnozrni, ljunkoviti i peskoviti sedimenti,a u njihovoj povlati se nalaze prete`no glinovito - muljevite tvorevine. [ljunkovito -peskoviti, glavni vodonosni sloj je obi~no vie puta deblji od povlatnog, slabije propusnog, apo svojim granulometrijskim i filtracionim karakteristikama je predisponiran za intenzivnu(horizontalnu) cirkulaciju podzemnih voda. êst je slu~aj da je vodonosni sloj prese~enpovrinskim vodotokom, tako da su me|usobno u direktnom hidrauli~kom kontaktu. Ovaveza uslovljava dominantnu zavisnost reìma podzemnih voda vodonosnog sloja od reìmapovrinskih voda vodotoka, koja opada sa udaljavanjem od reke. Tako|e, sa udaljavanjem odreke, reìm voda u gornjem, slabije propusnom sloju sve vie potpada pod uticaj tzv. faktoravertikalnog bilansa (od kojih su glavni infiltracija od padavina i evapotranspiracija).

Izu~avanje reìma podzemnih voda, korienjem eme dvoslojevite porozne sredine,ima veliki prakti~an interes, imajui u vidu da se ovom hidrogeolokom ematizacijom moèobuhvatiti najvei deo naih aluvijalnih terena, zatim nai veliki hidrotehni~ki objekti (kanalDunav - Tisa - Dunav, Novi Beograd, HE \erdap, Morava, itd.).


6.2 OSNOVNE DIFERENCIJALNE JEDNAÎNENESTACIONARNOG STRUJANJA U DVOSLOJEVITOJPOROZNOJ SREDINI

6.2.1 USVOJENE HIPOTEZE

Na hidrogeoloku emu dvoslojevite porozne sredine moè se primeniti principgrani~ne anizotropije, na sledei na~in:

• u donjem vodonosnom sloju strujanje je isklju~ivo horizontalno (zanemaruje severtikalna komponenta strujanja),

• u povrinskom slabije propusnom sloju strujanje je isklju~ivo vertikalno(zanemaruje se horizontalna komponenta strujanja), slika 6.2.

Slika 6.2: Raspored pijezometarskih nivoa i nivoa slobodne vodene povrine kod strujanja u dvoslojevitojporoznoj sredini

Sa gledita inènjerske prakse smatra se da primena principa grani~ne anizotropije nastrujanje podzemnih voda u dvoslojevitoj poroznoj sredini daje zadovoljavajuu ta~nostrezultata prora~una, u uslovima kada je odnos koeficijenata filtracije vodonosnog sloja (KM) ipovrinskog (slabije propusnog) sloja (Km) vei od pedeset:

KM : Km > 50 (6.1)

Strujanje kroz poroznu sredinu se pokorava Darsijevom zakonu filtracije. Osim toga,za strujanje u vodonosnom sloju se smatra da odgovara hipotezi Dipuija, prema kojoj sustrujnice paralelne (i horizontalne), a ekvipotencijalne povri (linije, posmatrano u profilu) suvertikalne.

Za potrebe izvo|enja diferencijalnih jedna~ina kojima se opisuje strujanje udvoslojevitoj poroznoj sredini uvode se i dodatne hipoteze (pretpostavke):

• i vodonosni i povrinski sloj imaju homogene i izotropne filtracione karakteristike,• strujanje je toliko sporo, da se moè zanemariti inercijalni ~lan kretanja vode, ∂v/∂t,• specifi~na izdanost izdani u povrinskom, slabijepropusnom sloju je konstantna po

vremenu i ne zavisi od smera i brzine kretanja vode,• oscilacije nivoa slobodne vodene povrine odvijaju se isklju~ivo u povrinskom

sloju.


153

6.2.2 POSTAVKA I IZVO\ENJE JEDNA^INA

Za izvo|enje jedna~ine nestacionarnog strujanja u dvoslojevitoj poroznoj srediniposmatra se bilans voda izdvojenog beskona~no malog elementa (prizme), du`ine dx ijedini~ne irine strujnog toka, slika 6.3.

Slika 6.3: Prora~unska ema nestacionarnog strujanja podzemnih voda u dvoslojevitoj poroznoj sredini

Postavlja se sistem jedna~ina kojima se opisuje dato strujanje, posebno za vodonosni,a posebno za povrinski sloj (oznake su date na slici 6.3.), gde je:KM - koeficijent filtracije vodonosnog sloja, [LT-1],Km - koeficijent filtracije povrinskog sloja, [LT-1],M - debljina vodonosnog sloja, [L],H - pijezometarski nivo u vodonosnom sloju, [L],h - nivo slobodne vodene povrine u povrinskom sloju, [L],µ - specifi~na izdanost povrinskog sloja, [-],W - rezultantna veli~ina infiltracije sa povrine terena ("vertikalni bilans"), pozitivan znak

zna~i punjenje podzemlja, a negativan - pra`njenje, [LT-1].Postavlja se sistem od ~etiri jedna~ine, za svaki sloj po dve i to po jedna dinami~ka

jedna~ina i jedna~ina kontinuiteta.

6.2.2.1 VODONOSNI SLOJ

- Dinami~ka jedna~ina -U donjem, vodonosnom sloju strujanje se pokorava zakonu Darsija (i u skladu sa

hipotezom Dipuija), a rezultat je gradijenta pijezometarskog nivoa (pada) du` ose x:

Q MKH

xM= −∂∂

(6.2)

- Jedna~ina kontinuiteta -U posmatrani element vodonosnog sloja, u vremenskom intervalu dt ulazi zapremina

vode sa proticajem Q, a izlazi sa proticajem Q - (∂Q/∂x)dx, slika 6.3. Istovremeno, izvodonosnog sloja doti~e u gornji zapremina vode qdxdt.


Va`i pretpostavka da u okviru vremenskog intervala dt, nema promenepijezometarskog nivoa u vodonosnom sloju. Promena horizontalnog proticaja (∂Q/∂x)dx idoticaja u povrinski sloj, qdx, su u ravote`i, tako da jedna~ina kontinuiteta za vodonosni slojglasi:

qdxdtQ

xdxdt=

∂∂

odnosno qQ

x=

∂∂

(6.3)

6.2.2.2 POVR[INSKI SLABIJE PROPUSNI SLOJ

- Dinami~ka jedna~ina -U povrinski, gornji sloj, u vremenskom intervalu dt, doti~e zapremina vode iz

vodonosnog sloja sa proticajem qdx. Ovo strujanje je posledica razlike pijezometarskog nivoai nivoa slobodne vodene povrine:

qdx KH h

hdxm=

−odnosno q K

H h

hm=−

(6.4)

- Jedna~ina kontinuiteta -

Pored zapremine vode qdx, u povrinski sloj doti~e i zapremina voda Wdx, kojapredstavlja rezultantnu veli~inu infiltracije voda sa povrine terena (vertikalni bilans).Promena zapremine vode u povrinskom sloju koja je rezultat doticaja iz vodonosnog sloja isa povrine terena, manifestuje se preko promene nivoa slobodne vodene povrine u vremenudt:

µ∂∂h

tdxdt qdxdt Wdxdt= + odnosno µ

∂∂h

tq W= + (6.5)

Prethodne ~etiri diferencijalne jedna~ine predstavljaju polaznu osnovu za izvo|enjejedna~ina strujanja u dvoslojevitoj sredini. Zamenom q iz (6.4) u (6.5), dobija se:

µ∂∂h

tK

H h

hWm=

−+ (6.6)

Jedna~ina (6.2) se diferencira po x, ~ime se omoguava korienje relacije (6.3):

∂∂

∂∂

Q

xMK

H

xM= −2

2 (6.7)

Smenom gornje jedna~ine i jedna~ine (6.4) u jedna~inu (6.3), dobija se:

− =−

MKH

xK

H h

hM m

∂∂

2

2 (6.8)

Sre|ivanjem (6.8) i (6.6) dobija se sistem parcijalnih diferencijalnih jedna~ina kojimse opisuje nestacionarno strujanje u dvoslojevitoj poroznoj sredini (jedna~ine (6.9) i (6.10)):

∂∂

2

2

H

x

K

K M

H h

hm

M

= −−

(6.9)

∂∂ µ µh

t

K H h

h

Wm=−

+ (6.10)

Gornji sistem parcijalnih diferencijalnih jedna~ina nema reenje u optem obliku.


155

6.2.3 RE[AVANJE SISTEMA JEDNAÎNA

U sistemu jedna~ina (6.9) i (6.10) javljaju se reprezentativne veli~ine koje karakteriuporoznu sredinu: koeficijent filtracije vodonosnog, KM i povrinskog sloja, Km, debljinavodonosnog sloja M, i specifi~na izdanost povrinskog sloja, µ. Veli~ine koje su u funkcijipoloàja i vremena su pijezometarski nivo u vodonosnom sloju, H i nivo slobodne vodenepovrine u povrinskom sloju, h. Pored navedenih, u jedna~ini (6.10) figurie i parametarvertikalnog bilansa, W, koji je rezultat dejstva veeg broja ~inilaca i koji se tako|e menja poprostoru i sa vremenom. U zavisnosti od raspoloìvih podloga i podataka, kao i tipa zadatka1,reavanjem postavljenog sistema jedna~ina u svakom konkretnom slu~aju dobijaju se traèneveli~ine.

Prakti~no reavanje sistema diferencijalnih jedna~ina nestacionarnog strujanjapodzemnih voda u dvoslojevitoj poroznoj sredini, svodi se na aproksimaciju nestacionarnogstrujanja na seriju stacionarnih, sa kona~nim vremenskim intervalima ∆t. U tom slu~aju,promenljive H(x,t) i h(x,t) postaju zavisne samo od nezavisno promenljive x, kao H(x) i h(x),tako da parcijalna diferencijalna jedna~ina (6.9) prelazi u obi~nu diferencijalnu jedna~inu, usledeem obliku:

d H

dx

K

K M

H h

hm

M

2

2 = −−

(6.11)

Analiti~ko reenje jedna~ine (6.11) u optem obliku se ne moè nai. Posebna reenjase mogu nai za karakteristi~ne funkcije h(x) kojima se moè aproksimirati oblik linijeslobodne vodene povrine u povrinskom sloju.

Parcijalna diferencijalna jedna~ina strujanja vode kroz povrinski sloj (6.10) reava semetodom kona~nih prirataja. Za x = Const., moè se napisati:

h h

t

K H h

h

Wt t t m t

t

+ −=

−+∆

∆ µ µ (6.12)

gde je:ht - nivo slobodne vodene povrine u povrinskom sloju na po~etku posmatranog vremenskog

intervala ∆t, [L],ht+∆t - nivo slobodne vodene povrine u povrinskom sloju na kraju posmatranog vremenskog

intervala ∆t, [L],∆t - vremenski interval izme|u dva "stacionarna" stanja kretanja podzemnih voda, [T].

Sistem jedna~ina (6.11) i (6.12) se reava tako to se rezultati, dobijeni reavanjemjedna~ine (6.11) za po~etni trenutak vremena t posmatranog nestacionarnog strujanja, koristeza reavanje jedna~ine (6.12). Tako dobijeni rezultati iz jedna~ine (6.12) se dalje koriste zaponovno reavanje jedna~ine (6.11) u sledeem vremenskom koraku t+∆t, itd.

Zadatak se reava kao ravanski, dvodimenzionalni problem u profilu, izdvajanjem izstrujnog toka trake jedini~ne irine, ograni~ene strujnim povrima (strujnim linijama,posmatrano u planu).

Postupak prora~una nivoa podzemnih voda i pijezometarskih nivoa je sledei:Za dati po~etni raspored nivoa podzemnih voda (slobodne vodene povrine u

povrinskom sloju) u prora~unskom profilu, na po~etku posmatranog vremenskog intervala,koji je u optem slu~aju aproksimiran funkcijom h = h(x), izra~unava se rasporedpijezometarskih nivoa u vodonosnom sloju, H = H(x), koristei jedna~inu (6.11).

1 Direktnim reavanjem sistema jedna~ina, za poznate karakteristike porozne sredine i parametre vertikalnog

bilansa, dobija se raspored pijezometarskog nivoa i nivoa slobodne vodene povrine, dok se kod reavanja tzv.inverznog zadatka, na osnovu poznatog rasporeda pijezometarskog nivoa i nivoa slobodne vodene povrine,mogu dobiti karakteristike porozne sredine, ili veli~ina vertikalnog bilansa.


Veli~ina nivoa podzemnih voda na kraju vremenskog intervala ∆t izra~unava sekorienjem jedna~ine (6.12) za zadate vrednosti rastojanja du` prora~unskog profila (x1, x2,..., xn). Na osnovu dobijenih rezultata, linija nivoa podzemnih voda se aproksimiraprethodnom, ili nekom drugom funkcijom h = h(x), koja se dalje koristi kao po~etni uslov zaprora~un jedna~inom (6.11) u sledeem vremenskom preseku.

Stepen ta~nosti aproksimacije parcijalnih diferencijalnih jedna~ina zavisi najvie odveli~ine usvojenog kona~nog vremenskog intervala ∆t. Prema dosadanjem iskustvu,pokazalo se da je za ra~unski vremenski interval ∆t pogodno usvojiti period od 5 do 30 dana,to zavisi od hidrogeolokog sklopa terena i konturnih uslova.

6.3 RE[AVANJE POSEBNIH SLUÂJEVA

Iz navedenog pristupa reavanja parcijalnih diferencijalnih jedna~ina nestacionarnogstrujanja podzemnih voda u dvoslojevitoj poroznoj sredini vidi se da je za svaki vremenskipresek, kada je nestacionarno strujanje aproksimirano stacionarnim, neophodno reitijedna~inu (6.11):

d H

dx

K

K M

H h

hm

M

2

2 = −−

odnosno raspored pijezometarskih nivoa u vodonosnom sloju du` prora~unskog profila.Me|utim, kako je raspored nivoa vode u povrinskom sloju u optem slu~aju proizvoljan,diferencijalna jedna~ina (6.11) se ne moè reiti u optem slu~aju.

Za slu~aj da se linija nivoa podzemnih voda moè aproksimirati nekomkarakteristi~nom funkcijom h = h(x) mogue je izraziti reenje jedna~ine (6.11) u analiti~komobliku.

6.3.1 POSEBNO RE[ENJE ZA SLUÂJ KADA JE NIVO PODZEMNIH

VODA h = Const.

Kada se linija slobodne vodene povrine du` prora~unskog profila moè aproksimiratihorizontalom, h = h0 = Const., diferencijalna jedna~ina (6.11) prelazi u oblik:

∂∂

2

20

0

H

x

K

K M

H h

hm

M

= −−

(6.13)

odnosno∂∂

λ2

22

0

H

xH h= − −( ) (6.14)

gde je:h0 - nivo slobodne vodene povrine u povrinskom sloju, h0 = Const., [L],λ - parametar u jedna~ini, λ = Const., ~iji kvadrat predstavlja proizvod filtracionih i

geometrijskih karakteristika porozne sredine, [L-1]:

λ20

=K

K Mhm

M

(6.15)

Reenje diferencijalne jedna~ine (6.13) dato je u obliku:

H - h0 = C1eλx + C2e

-λx (6.16)

gde su:C1 i C2 - integracione konstante, koje se odre|uju iz grani~nih uslova, [L].


157

Proticaj kroz vodonosni sloj dobija se, polazei od (Darsijeve) parcijalnediferencijalne jedna~ine za proticaj (na jedinicu irine toka):

Q MKH

xM= −∂∂

(6.17)

Na slici 6.4., prikazana je opta ema strujanja podzemnih voda u dvoslojevitojporoznoj sredini, kada je nivo slobodne vodene povrine u povrinskom sloju horizontalan. Uovoj prora~unskoj emi usvaja se ematizacija povrinskog vodotoka (reke, jezera) kaosavrenog rova, ~iji je hidrauli~ki kontakt sa vodonosnim slojem bez hidrauli~kih gubitaka.

Slika 6.4: [ema strujanja u dvoslojevitoj poroznoj sredini, kada je nivo podzemnih voda horizontalan (h0

= Const.)

Prora~unski profil, dat slikom 6.4., predstavlja ematizaciju moguih realnih uslovaprofila na terenu, koji se sastoji od plavnog podru~ja, inundacije (deo A), nasipa (deo B) ibranjenog podru~ja (deo C).

6.3.1.1 DISKRETIZACIJA PRORA^UNSKOG PROFILA I POSTAVLJANJE

SISTEMA JEDNA^INA

Deonice A, B i C predstavljaju homogene delove prora~unskog profila, sa gleditauslova strujanja, geometrijskih i filtracionih karakteristika porozne sredine. Zbog toga se uovom slu~aju postavlja sistem od tri jedna~ine, kojima se opisuje strujanje podzemnih vodakroz vodonosni sloj.

Zona inundacije - AU zoni inundacije strujanje kroz povrinski sloj se odvija usled razlike nivoa slobodne

vode u vodotoku HA i pijezometarskog nivoa u vodonosnom sloju H1, kroz povrinski sloj(HA - H1), ~ija je debljina mA, slika 6.4. Diferencijalna jedna~ina (6.14) u ovom slu~aju glasi:

∂∂

λ2

22

1

H

xH HA A= − −( ) (6.18)

gde je: λAm

M A

K

K Mm2 = (6.19)


Njeno reenje je:

H H C e C eAx xA A

1 1 2− = + −λ λ (6.20)

Zona nasipa - B

U stacionarnim uslovima strujanja, na ovoj deonici prora~unskog profila slobodninivo podzemnih voda se izjedna~ava sa pijezometarskim nivoom vodonosnog sloja, H = h,tako da nema kretanja u vertikalnom pravcu. Tako|e, i dalje va`i hipoteza da nemahorizontalnog strujanja u povrinskom sloju. Diferencijalna jedna~ina (6.14) prelazi u sledeioblik:

∂∂

2

2 0H

x= (6.21)

~ije je reenje: H2 = C3x + C4 (6.22)

Branjena zona - C

U branjenoj zoni nivo vode u povrinskom sloju je h0 = Const. Diferencijalnajedna~ina kojom se opisuje strujanje u vodonosnom sloju, jedna~ina (6.14) prelazi u sledeioblik:

∂∂

λ2

22

3 0

H

xH hC= − −( ) (6.23)

gde je: λCm

M

K

K Mh2

0

= (6.24)

Reenje jedna~ine (6.23) je u obliku:xx

CCC eCeChH λλ −+= 653 - (6.25)

6.3.1.2 GRANI^NI USLOVI, ODRE\IVANJE INTEGRACIONIH KONSTANTI

Reavanje integracionih konstanti sistema jedna~ina (6.20), (6.22) i (6.25) sprovodi seza date grani~ne uslove, slika 6.4. Koordinatni sistem se postavlja tako da je referentna ravan(osa x) postavljena u nivou kontakta vodonosnog i povrinskog sloja, sa koordinatnimpo~etkom na konturi kontakta vodonosnog sloja i ematizovanog vodotoka. Postavljaju sesledei grani~ni uslovi:

1. x = 0 H1 = HA

2. x = LA H1 = H2

3. x = LA qA = qB

Kako je MA = MB = M = Const., gornji uslov prelazi u oblik dH

dx

dH

dx1 2=

4. x = LB H2 = H3 (6.26)

5. x = LB qB = qC

Za uslov M = Const. dH

dx

dH

dx2 3=

6. x → ∞ H3 → h0


159

Smenom grani~nih uslova u jedna~ine (6.20), (6.22) i (6.25) i reavanjem dobijenogsistema od est jedna~ina sa est nepoznatih veli~ina, dobijaju se vrednosti integracionihkonstanti. U datom slu~aju izrazi za konstante glase2:

Ch H

ch L L L sh L

C C

C C ch L

C H C sh L L ch L

C

C C ch L e

A

A A A B AC

A A

A A A

A A A A A A A

A

CA A

LC B

10

2 1

3 1

4 1

5

6 1

21

2

2

0

2

=−

− + +

= −== + −=

= −

λ λλ

λ

λ λλ λ λ

λλ

λ λ

( )

(6.27)

Smenom izraza za integracione konstante (6.27) u reenja parcijalnih diferencijalnihjedna~ina, za svaku od ematizovanih deonica strujnog toka, dobija se sistem jedna~ina kojimse opisuje strujanje u datom slu~aju:

Za deo A:

H Hh H

ch L L L sh L

e

h H

ch L L L sh L

e

AA

A A A B AC

A A

x

A

A A A B AC

A A

x

A

A

10

0

21

21

= +−

− + +

−

−−

− + +

−

λ λλ

λ

λ λλ

λ

λ

λ

(6.28)

Za deo B:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )

H Hh H ch L

ch L L L sh Lx

h H sh L L ch L

ch L L L sh L

A

A A A A

A A A B AC

A A

A A A A A A A

A A A B AC

A A

2

0

0

1

1

= +−

− + ++

+− −

− + +

λ λ

λ λλ

λ

λ λ λ

λ λλ

λ

(6.29)

Za deo C:( ) ( )

( ) ( )H h

h H ch L e

ch L L L sh Le

A A AL

A CA A B AC

A A

A

C

xC B

C3 0

0

1= −

−

− + +

−λ

λ λλ

λ

λλ

λλ (6.30)

6.3.1.3 ODRE\IVANJE PROTICAJA KROZ VODONOSNI I POVLATNI SLOJ

Proticaj kroz vodonosni sloj dobija se, kako je re~eno, iz Darsijeve jedna~ine zaproticaj (jedna~ina (6.17), uvodei prvi izvod jedna~ine kojom se opisuje strujanje krozvodonosni sloj na odgovarajuoj deonici prora~unskog profila, umesto gradijentapijezometarskog nivoa filtracionog toka, ∂H/∂x.

Na primer, na profilu x = LB , ukupna koli~ina vode koja se infiltrira kroz vodonosnisloj u branjeno podru~je dobija se iz izraza:

2 Za brojne konkretne slu~ajeve, reenja su data u literaturi: M. Vukovi - “Prilog izu~avanju re`ima podzemne

vode u uslovima dvoslojevite porozne sredine”, Institut za vodoprivredu “Jaroslav ^erni”, Saopštenje br. 39,Beograd, 1966.


dx

dHMKQ M

3−= (6.31)

u sledeem obliku: Q MK C eM CLC B= − −λ λ

6 (6.32)Doticaj u povrinski sloj iz vodonosnog, du` prora~unskog profila, odre|uje se iz

sledee jedna~ine:

dq KH x h

hdxm=

−( ) (6.33)

odnosno, u datom slu~aju, na deonici branjenog podru~uja

( ) dxhxHh

Kdq

C

m )( 030

−= (6.34)

integracijom u zadatim granicama od L1 do L2:

( )∫∫=

=

−=2

1

)( 0300

Lx

Lx

mq

dxhxHh

Kdq (6.35)

6.3.2 POSEBNO RE[ENJE ZA SLUÂJ PROMENLJIVOG NIVOA

PODZEMNIH VODA, h = h(x)

Naj~ei slu~aj u prirodi je kada je nivo podzemnih voda u povrinskom slojupromenljiv. Iako jedna~ina (6.11):

d H

dx

K

K M

H h

hm

M

2

2 = −−

u optem slu~aju nema reenje, za slu~aj da se nivo podzemnih voda moè izraziti u funkcijix, kao h = h(x), u nekim konkretnim slu~ajevima se mogu nai aproksimativna reenja. Unastavku se navode dva pristupa reavanju ovako postavljenog zadatka.

6.3.2.1 APROKSIMATIVNO RE[ENJE PRIMENOM METODE KONA^NIH

PRIRA[TAJA

Diferencijalna jedna~ina (6.11) se moè napisati u sledeem obliku:

d H

dx

H

h

2

2 + =α α (6.36)

gde je: α =K

K Mm

M

(6.37)

U obliku kona~nih prirataja, za presek xi, oznake prema slici 6.5, prvi ~lan jedna~ine(6.36) se moè napisati u obliku:

d H

dxx

H H H

xii i i

i

2

21 1

2

2( ) =

− ++ −

∆ (6.38)

Diferencijalna jedna~ina (6.36) tada glasi, u formi kona~nih prirataja:

( )

H H H

x

H

hi i i

i

i

xi

+ −− ++ =1 1

2

2

∆α α (6.39)


161

Slika 6.5: Primena metode kona~nih prirataja - prora~unska ema strujanja u dvoslojevitoj poroznojsredini

Metoda kona~nih prirataja se zasniva na pretpostavci da je poznat raspored nivoapodzemnih voda h(xi), du` prora~unskog profila.

Usvojeni hidrogeoloki profil, du` koga se u optem slu~aju menjaju geometrijske,hidrogeoloke i hidrodinami~ke karakteristike (kote terena, kote kontakta vodonosnog islabije propusnog povrinskog sloja, kote podine vodonosnog sloja, koeficijenti filtracijevodosnosnog i povlatnog sloja i specifi~na izdanost izdani), deli se (ematizuje) na deonice,duìne ∆x, sa homogenim i reprezentativnim karakteristikama.

Za svaku deonicu diskretizovanog prora~unskog profila postavlja se po jednajedna~ina, oblika (6.39). Za poznate grani~ne uslove, na primer za x = 0, H(0) = H0 i za x =n∆x, H(n∆x) = Hn, dobija se sistem od n-2 jedna~ine sa n-2 nepoznate, koji se moè relativnolako reiti:

H H HH x

hx

H H HH x

hx

H H HH x

hx

x

x

n n nn

n x

2 1 01

22

3 2 12

2

2

2

1 21

22

2

2

2

− + + =

− + + =

− + + =− −−

αα

αα

αα

∆∆

∆∆

∆∆

∆

∆

∆

( )

( )

( )

.

.

.

(6.40)

Ta~nost reenja jedna~ine (6.11) primenom metode kona~nih prirataja, odnosnosistema jedna~ina (6.40), zavisi pre svega od usvojene veli~ine kona~nih prirataja ∆x. Izboroptimalne veli~ine prirataja se sprovodi u svakom konkretnom slu~aju i on je predmetinènjerske analize.

6.3.2.2 APROKSIMATIVNA ANALITI^KA RE[ENJA

Poto se jedna~ina (6.11) ne moè reiti u optem obliku, za poznate funkcijerasporeda nivoa podzemnih voda u povrinskom sloju mogu se nai aproksimativna reenjaove jedna~ine

d H

dx

K

K M

H h x

h xm

M

2

2 = −− ( )

( ) (6.41)


zamenjujui ~lan h(x) u imeniocu desne strane konstatnom veli~inom h = m = Const. Ovo semo`e usvojiti za relativno male promene vrednosti nivoa vode u gornjem sloju h u odnosu nanjenu ukupnu veli~inu:

[ ]d H

dx

K

K MmH h xm

M

2

2 = − − ( ) (6.42)

odnosno [ ]d H

dxH h x

2

22= − −λ ( ) (6.43)

gde je: λ2 =K

K Mmm

M

(6.44)

Reenje diferencijalne jedna~ine (6.42) u optem obliku glasi:

H = C1eλx + C2e

-λx + ϕ(x) (6.45)

gde je ϕ(x) - partikularno reenje nehomogene linearne diferencijalne jedna~ine.Linija nivoa podzemnih voda mo`e se aproksimirati razli~itim funkcijama, pri ~emu

treba voditi ra~una o njihovoj podobnosti u svakom konkretnom slu~aju. Odre|ivanjereprezentativne veli~ine m predstavlja poseban problem, jer odstupanje ove veli~ine odstvarne vrednosti nivoa podzemnih voda direktno uti~e na ta~nost dobijenih rezultata.

TABLICA 6.1.

Analiti~ki izraz zaoblik slobodne vodene

povrineReenje diferencijalne jedna~ine

h = ax2 + bx + c H h C e C eax x− = + +−

1 2 2

2λ λ

λ

h = ae-bx + c H h C e C eb

bex x bx− = + −

−−

1 21

2

2 2λ λ

λα

h = ae-bx + ce-dx + f H h C e C eb

be

d

dcex x bx dx− = + −

−−

−− − −

1 2

2

2 2

2

2 2λ λ

λα

λ

h = a(x-b)e-c(x-b) + d( )

( )H h C e C ece

cc x b

cx x

c x b

− = + −−

− +−

−− −

1 2 2 2

2

2 2

2λ λ αλ

λλ


163

6.4 STRUJANJE U TROSLOJEVITOJ POROZNOJ SREDINI

Pod troslojevitom poroznom sredinom podrazumeva se hidrogeoloka sredina, kojase sastoji iz tri sloja (slika 6.6.):

1. vodonosnog sloja, na vodonepropusnoj podini, sa koeficijentom filtracije KM idebljinom M,

2. slabije propusnog me|usloja, sa koeficijentom filtracije Km i debljinom m,3. povrinskog sloja, sa koeficijentom filtracije Kp, koji je mnogo vei od Km:

Kp >> Km , odnosno Kp / Km > 10 (6.46)

Slika 6.6: [ema troslojevite porozne sredine

U povrinskom sloju formira se nivo sa slobodnom vodenom povrinom. Horizontalnostrujanje se u ovom sloju zanemaruje.

Diferencijalna jedna~ina strujanja kroz vodonosni sloj za troslojevitu poroznu sredinuje:

[ ]∂∂

2

2

H

x

K

K MmH h xm

M

= − −*

( ) (6.47)

gde je: m m h mK

Km

p

* ( )= + − (6.48)

Za uslov kada je Kp : Km > 10, izraz ( )h mK

Km

p

− se mo`e zanemariti u odnosu na m.

Diferencijalna jedna~ina (6.43) se tada svodi na sledei oblik:

[ ]∂∂

2

2

H

x

K

K MmH h xm

M

= − − ( ) (6.49)

pa se reenja gornje jedna~ine svode prakti~no na slu~aj dvoslojevite sredine.


6.5 RE[AVANJE PRAKTI^NIH ZADATAKA

Primenom hidrogeoloke eme dvoslojevite porozne sredine mogue je izvriti analizureìma podzemnih voda u velikom broju slu~ajeva priobalnog strujanja, pored reka, ili jezera.Najveu tekou u reavanju jedna~ina (6.9) i (6.10):

∂∂

2

2

H

x

K

K M

H h

hm

M

= −−

(6.9)

∂∂ µ µh

t

K H h

h

Wm=−

+ (6.10)

predstavlja utvr|ivanje ulaznih veli~ina za prora~un, reprezentativnih vrednosti parametarasredine i vertikalnog bilansa. Zbog toga se u praksi prvo pribegava reavanju tzv. inverznogzadatka.

Postupak reavanja se sastoji u sledeem: na osnovu analize podataka terenskihistraìvanja, usvajaju se reprezentativne veli~ine parametara sredine i veli~ine W, sa kojimase sprovode prora~uni (za date po~etne i konturne uslove), ~iji se rezultati upore|uju sarezultatima osmatranja oscilacija pijezometarskog nivoa podzemnih voda.

Menjajui karakteristike porozne sredine, prora~uni se sprovode sve dotle dok se nedobije zadovoljavajua saglasnost rezultata prora~una i osmatranja. Ovaj proces, etaloniranjemodela, predstavlja neophodan proces verifikacije, prvi korak u izradi matemati~kog modelaposmatranog strujanja3.

Za upore|enje rezultata prora~una i rezultata terenskih osmatranja uglavnom sekoriste podaci pijezometarskih nivoa vodonosnog sloja, koji integriu uticaje na iremprostoru. Podaci o nivoima podzemnih voda u povrinskom sloju se obi~no ne mogu koristitiza upore|enje, obzirom da su rezultat lokalnih uticaja (topografije terena, litolokog imehani~kog sastava terena, vegetacije, itd.).

Primenom matemati~kog modela strujanja, du` posmatranog prora~unskog profiladvoslojevite porozne sredine, mogue je sprovesti prognozu reìma podzemnih voda,uvo|enjem izmenjenih grani~nih uslova, usled dejstva razli~itih hidrotehni~kih mera(drenaè, kanali, nasipi, itd.).

Na slici 6.7., prikazane su deonice sa reprezentativnim vrednostima parametaraprirodne sredine, jednog prora~unskog profila, ematizovanog kao dvoslojevita poroznasredina. Profil je postavljen du` strujne liniju, upravno na vodotok (Dunav) i diskretizovan jedeonicama razli~ite duìne. Na profilu se mogu razlikovati: zona ispred nasipa (inundacija),zona nasipa i zona iza nasipa (branjeno podru~je). Nekoliko pijezometara je postavljeno uvodonosni sloj.

Rezultati prora~una, upore|eni sa registrovanim vrednostima pijezometarskog nivoa,na lokacijama pojedinih pijezometara, dati su u slici 6.8. Ovi rezultati predstavljaju potvrdu,odnosno verifikaciju realnosti usvojenog matemati~kog modela strujanja (ematizovanoghidrogeolokog profila, sa svojim reprezentativnim karakteristikama).

Kao to je gore navedeno, poseban problem u primeni eme dvoslojevite sredinepredstavlja odre|ivanje (i zadavanje) rezultante vertikalnog bilansa - infiltracije W. Ovajparametar, koji je rezultat uzajamnog dejstva vie ~inilaca, moè se u odre|enim uslovimara~laniti na infiltraciju od padavina i evapotranspiraciju sa nivoa podzemnih voda.

3 Metoda matemati~kog modeliranja predstavlja danas standardnu metodu za reavanje problema iz oblasti

strujanja podzemnih voda - simulacijom prirodnog i prognozom reìma podzemnih voda u zadatim uslovima.


165

Slika 6.7: Primer ematizovanog hidrogeolokog profila dvoslojevite porozne sredine - lokacija "BrzaVrba"

Slika 6.8: Rezultati prora~una oscilacija pijezometarskog nivoa - upore|enje registrovanih (1) iizra~unatih (2) vrednosti


Slika 6.9: a) Zavisnost evapotranspiracije sa nivoa podzemnih voda i isparavanja sa slobodne vodenepovrine u funkciji dubine nivoa podzemnih voda; b) zavisnost izme|u padavina (mese~nesume) i infiltracije (mese~ne sume)

Na osnovu podataka dugogodinjeg osmatranja sprovedenih na lizimetrima,uspostavljena je zavisnost izme|u isparavanja sa slobodne vodene povrine ievapotranspiracije na razli~itim dubinama nivoa podzemnih voda, koja je reprezentativna zauslove koji vladaju u iroj zoni rasprostranjenja akumulacije HE \erdap (priobalje Dunava),kao i zavisnost izme|u padavina i infiltracije.

Ove zavisnosti su utvr|ene po mesecima u toku godine, a kao osnova za vremenskujedinicu uzet je mesec (slika 6.9).

7. GLAVA

RE[AVANJE PROBLEMA IZ OBLASTI

STRUJANJA PODZEMNIH VODA

PRIMENOM MATEMATI^KOG

MODELIRANJA RE@IMA PODZEMNIH

VODA

M. Pui: Dinamika podzemnih voda---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------168

Glava 7 - Reavanje problema iz oblasti strujanja podzemnih voda ...---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

169

7.1 UVOD

Osnovni zadatak kod reavanja prakti~nih problema iz oblasti hidrogeologije jesteprognoza reìma podzemnih voda, naro~ito u uslovima eksploatacije, odnosno primenerazli~itih tehni~kih reenja. U zavisnosti od postavljenog zadatka, znanja istraìva~a, uslovana terenu i tehni~kih mogunosti, razli~it je metodoloki pristup i koncepcija reavanja datogproblema.

Sloèniji problemi zahtevaju i odgovarajui nivo reavanja. Naj~ee se izu~avanjereìma podzemnih voda u okviru izu~avane strujne oblasti sprovodi preko modela strujanja,razli~itih karakteristika, namena i mogunosti. Njihova zajedni~ka osobina je da naodgovarajui na~in mogu da simuliraju (oponaaju) prirodnu sredinu (u naem slu~aju to jehidrogeoloki sistem) i odre|ene elemente reìma podzemnih voda. O~igledno je da nepostoji model koji moè da simulira prirodu u svim njenim aspektima. Kvalitet jednogmodela ogleda se kroz nekoliko osobina. To su, pre svega, realnost rezultata dobijenihnjegovim korienjem, jednostavnost kod njegove izrade i pri radu sa njim, kao i mogunostekstrapolacije, odnosno mogunost sprovo|enja prognoze u izmenjenim uslovima (uuslovima primene predvi|enog tehni~kog reenja).

Pored ostalih, ve klasi~nih metoda modeliranja (fizi~ki, analogni modeli),matemati~ko modeliranje reìma podzemnih voda danas predstavlja prakti~no osnovnosredstvo u inènjerskom reavanju problema vezanih za podzemne vode. Prednost primenematemati~kog modeliranja u odnosu na druge metode izu~avanja podzemnih voda ogleda se umogunosti simulacije sloènih uslova i oblika strujanja i prognozi efekata planiranogtehni~kog reenja, za prakti~no neograni~eni broj prora~unskih ema. Matemati~kimmodelom mogue je determinisati parametre porozne sredine (strujne oblasti) i elementereìma podzemnih voda, koji se drugim metodama ne mogu, ili se veoma teko, moguodrediti. Najzad, mogunost relativno lakog sprovo|enja velikog broja hidrodinami~kihprora~una strujanja podzemnih voda na matemati~kom modelu, omoguava optimizaciju usvim fazama terenskih istraìvanja (radova po pravilu daleko skupljih), kao i samogplaniranog reenja.

7.2 POJAM MATEMATI^KOG MODELA STRUJANJA

PODZEMNIH VODA

Matemati~ki model strujanja podzemnih voda (dela, cele, ili vie izdani) u sutinipredstavlja skup matemati~kih izraza (jedna~ina) kojima se opisuje dato strujanje.Reavanjem sistema jedna~ina, za date grani~ne i po~etne uslove, dobijaju se numeri~kevrednosti traènih parametara izu~avanog prirodnog (hidrogeolokog) sistema, njihovraspored po prostoru, kao i njihova promena tokom vremena. Matemati~ki model kojim sesimulira neko strujanje podzemnih voda, baziran je na primeni numeri~kih metoda reavanjadiferencijalnih jedna~ina, kojima se izraàva dato strujanje.

Strogo posmatrano, matemati~ki model moè biti pretstavljen i analiti~kim, odnosnopartikularnim reenjima optih diferencijalnih jedna~ina kojima se opisuje strujanjepodzemnih voda. Me|utim, iako su ovakva reenja nalazila relativno veliku primenu udosadanjoj inènjerskoj praksi, ne mogu se primeniti na sloènije uslove strujanja, zbogsvojih otro postavljenih ograni~enja. Zbog toga se danas sve vie pribegava primeninumeri~kih metoda reavanja optih diferencijalnih jedna~ina strujanja podzemnih voda, uokviru kojih se primenjuju pribli`ne, iterativne metode reavanja. Na ovaj na~in jeomogueno izu~avanje i sloènih slu~ajeva strujanja, ~ime je dinamika podzemnih vodadobila mono “oru`je” u prakti~nom reavanju konkretnih problema: mogunost realnesimulacije i prognoze reìma podzemnih voda.


Matemati~ki modeli se mogu grupisati, u zavisnosti od razli~itih kriterijuma, narazli~ite na~ine:• Ako se modelom simulira strujanje podzemnih voda u skladu sa fizikom procesa (koji je

kao zakon strujanja izraèn odgovarajuim diferencijalnim jedna~inama), u pitanju jedeterministi~ki model. Stohasti~ki model u sebi sadrì vie, ili manje, slu~ajnukomponentu, (odstupanje neke veli~ine, ili pojave od onih, datih zakonom, odnosnoutvr|enom funkcionalnom vezom). Dakle, stohasti~ki modeli obavezno sadrè i odre|enistepen verovatnoe pojave.

• Numeri~ke metode reavanja sistema jedna~ina mogu biti: metoda kona~nih prirataja,kona~nih elemenata, grani~nih elemenata, itd. Tako|e, postoje razli~ite metode reavanjasistema jedna~ina: eksplicitna, implicitna, Gausova metoda eliminacije, metodarelaksacije i nadrelaksacije, metoda alternativnih pravaca, metoda konjugovanihgradijenata, itd. Obi~no je primenjenoj metodi prilago|en i odgovarajui na~indiskretizacije strujnog polja.

• Pored simulacije strujanja podzemnih voda sa ~isto hidrodinami~kog aspekta,matemati~kim modelom se simuliraju i procesi migracije materija sadrànih u vodi,fizi~ko-hemijske reakcije u vodi, procesi interakcije vode i porozne sredine, procesiizmene toplotne energije, itd.

Ne mora se posebno ni napominjati, da je nagla ekspanzija primene matemati~kogmodeliranja u izu~avanju podzemnih voda, posledica pre svega tehni~kog razvoja, razvitkara~unarske tehnike, koja je danas dostupna svakom inènjeru. Zahvaljujui primeni ra~unarau svakodnevnoj upotrebi, davno razra|ene numeri~ke (iterativne) metode reavanja sistemadiferencijalnih jedna~ina, doìvele su svoju punu ekspanziju.

U reavanju prakti~nih problema, korienjem metode matemati~kog modeliranja,dolaze do izraàja dva konceptualno razli~ita pristupa reavanja. To su: reavanje

• direktnog zadatka i reavanje• inverznog zadatka.

Naj~ee su oba zastupljena, s tim, to je u procesu rada reavanje inverznog zadatkaobi~no prvi po redosledu.

Pod reavanjem direktnog zadatka se podrazumeva takav proces reavanja, kod kogase za poznate karakteristike izu~avanog prirodnog sistema i zadati ulaz, prora~unom dobijatraèni izlaz. Kod hidrodinami~kog matemati~kog modela parametri sredine su uglavnomgeometrija i filtracione karakeristike, dok se kao ulazni parametri zadaju (poznati)pijezometarski nivoi i proticaji, a kao rezultat ovakvog prora~una dobijaju se tako|e nivoi iproticaji.

Kod reavanja inverznog zadatka se, naprotiv, ne znaju parametri izu~avanog sistema,nego se oni traè i nalaze, kroz prora~une (naj~ee iterativno). Pri ovim prora~unima poznatisu ulaz i izlaz, i to su, kao kod reavanja direktnog zadatka, naj~ee pijezometarski nivoi iproticaji.

Inverzni zadatak se reava u fazi izrade i verifikacije matemati~kog modela, dok jereavanje direktnog zastupljeno u prora~unima simulacije i prognoze reìma podzemnih voda.

7.3 ELEMENTI MATEMATI^KOG MODELA

Matemati~ki model je, kako je prethodno re~eno, skup jedna~ina kojima se izraàvajume|usobne zakonitosti stanja, odnosa i kretanja unutar hidrogeolokog sistema. Me|utim,matemati~ke relacije predstavljaju samo osnovu, "kostur", na koji treba nadograditi konkretneparametre koji karakteriu dati analizirani hidrogeoloki sistem. To su pre svega fizi~ke,hidrogeoloke i hidrodinami~ke (i to reprezentativne) veli~ine. Tako|e, neophodno jeprirodnu sredinu “smestiti” u odgovarajue stanje reìma podzemnih voda, to se postièpreko odgovarajuih po~etnih i konturnih uslova. Tek posle “ugradnje” odgovarajuihreprezentativnih parametara prirodnog hidrogeolokog sistema u matemati~ki model i


171

postavke po~etnih i konturnih uslova, mogue je sprovoditi tzv. hidrodinami~ke prora~une,odnosno simulaciju i prognozu pojedinih elemenata reìma podzemnih voda.

[ematski, osnovni elementi matemati~kog (hidrodinami~kog) modela se mogupredstaviti na sledei na~in:

1. “skup jedna~ina” - ustvari, to je kompjuterski program, kompletan matemati~ki aparat,koji pored sistema jedna~ina kojima se opisuje analizirano strujanje, uklju~uje u sebe inumeri~ke metode njihovog reavanja, postupak zadavanja ulaznih parametara i izbora ina~ina prezentacije dobijenih rezultata;

2. reprezentativni parametri prirodne sredine - obi~no su to: geometrija, filtracionekarakteristike oblasti strujanja (porozne sredine), hidrogeoloke pojave i objekti, itd.;

3. po~etni i konturni (grani~ni) uslovi - “stanje” reìma podzemnih voda u odnosu na koje seprora~un nadovezuje. U stacionarnim uslovima strujanja, konturni uslovi su fiksni, dok unestacionarnim oni mogu da se menjaju tokom vremena.

Slika 7.1: Osnovni elementi matemati~kog modela strujanja podzemnih voda

7.4 FAZE IZRADE MATEMATI^KOG MODELA

U izradi (formiranju) matemati~kog modela strujanja podzemnih voda i radu sa njimmogu se razlikovati (izdvojiti) vie faza, od kojih se neke ponavljaju, ili me|usobno prepliu.Me|utim, generalno se mogu izdvojiti

• faza izrade matemati~kog modela i• faza eksploatacije modela (simulacije i prognoze reìma podzemnih voda).

Osobenost rada na matemati~kom modelu je, kako je re~eno, zastupljenost reavanja idirektnog i inverznog zadatka. Faza izrade matemati~kog modela1 predstavlja tipi~an primerreavanja inverznog zadatka, dok je proces simulacije i prognoze ustvari reavanje direktnogzadatka. Imajui u vidu ovakav konceptualni pristup primene metode matemati~kogmodeliranja, moè se zaklju~iti da je kvalitetno poznavanje izu~avanog terena neophodanpreduslov za uspeno reavanje postavljenog zadatka. Iluzorno je o~ekivati da i najsavrenijikompjuterski program i savremeni ra~unar mogu sami po sebi da reavaju problem.

7.4.1 DEFINISANJE PROBLEMA

Pre po~etka rada na izradi i eksploataciji modela, neophodno je imati jasno i preciznopostavljen problem, zadatak koji treba reiti. Bez jasno postavljenog cilja, nije mogue dobitini racionalno, ni inènjerski korektno reenje. Da bi se uopte moglo pristupiti reavanju,neophodno je znati ta se hoe, moraju se definisati kriterijumi za ocenu valjanosti dobijenihrezultata. 1 U irem smislu, poto bi ispravnije bilo rei da samo prora~uni u ovoj fazi predstavljaju reavanje inverznog

zadatka


U praksi je ~est slu~aj da se èlje korisnika (koji je naj~ee i investitor), neizraàvaju na potrebnom stru~nom nivou, tako da u toku reavanja dolazi do nesporazuma saizvo|a~em, odnosno inènjerom istraìva~em. Zbog toga je od izuzetnog zna~aja prisustvo (iaktivno u~estvovanje) kompetentnog stru~njaka (u ovom slu~aju hidrogeologa) od samogpo~etka formulisanja projektnog zadatka.

Po zavretku preliminarnih analiza postojeih i raspoloìvih podataka o izu~avanomterenu (naàlost, iskustvo iz prakse je pokazalo da ih naj~ee nema dovoljno, ili nisuzadovoljavajueg kvaliteta), radi se program namenskih istra`nih radova, koji treba daobezbede dovoljno kvalitetne podloge. Po njihovoj realizaciji, sintetizuju se svi rezultatiinterpretacije i sprovodi analiza raspoloìvih podataka u cilju dobijanja potpune slike prirodnesredine, sa gledita reavanja postavljenog problema.

7.4.2 TEORIJSKA RAZMATRANJA, IZBOR KARAKTERISTIKA

MODELA

Na osnovu dobijenih saznanja o izu~avanom terenu, analiziraju se karakteristikeprirodne sredine, oblici strujanja i elementi reìma podzemnih voda, sve u cilju njihoveematizacije, odnosno prilago|avanja uslovima hidrodinami~kih prora~una. U zavisnosti odtipa poroznosti i razmere posmatranja usvaja se odgovarajui model strujnog polja. Naj~ee(ukoliko je to mogue) se primenjuje model kontinuuma, na koji se mogu primenitistandardne teorijske postavke i diferencijalne jedna~ine strujanja podzemnih voda. Ukoliko jeporozna sredina sa pukotinskom poroznou i izraènim sistemom pukotina u jednom, ili viepravaca, primenjuje se anizotropni model strujanja. Kod sredina sa izraènim privilegovanimpravcima i putevima filtracije podzemnih voda, to je naj~ee slu~aj kod karstnih sistema,nekada se mora primeniti kombinovani model kontinuuma (u kome je strujanje laminarno -pokorava se zakonu Darsija) sa modelom strujanja kroz cevi, ili otvorene tokove (gde jestrujanje turbulentno). U zavisnosti od prostornog oblika strujnog polja i izraènih pravacastrujanja, primenjuju se jedna~ine kojima se opisuje jednodimenzionalno, ravansko, iliprostorno strujanje. Neizmerni doprinos hidrauli~koj teoriji filtracije dao je Dipui (Dupuit),~ija je hipoteza nezaobilazna u prakti~nom reavanju. Njenom primenom omogueno jerazmatranje ina~e prostornog strujanja podzemnih voda kao ravanskog, to je umnogomeolakalo integraciju diferencijalnih jedna~ina strujanja.

U zavisnosti od tipa strujanja, ematizacije i diskretizacije, primenjuje seodgovarajua numeri~ka metoda reavanja diferencijalnih jedna~ina. U uslovima homogenoraspore|enih podataka, adekvatnija je primena metode kona~nih prirataja, dok je u uslovimaneravnomernog rasporeda i gustine informacija o prirodnoj sredini, adekvatnija metodakona~nih elemenata.

Karakteristike modela, (diskretizacija, konfiguracija i specifi~nosti) zavise oddominantnih elemenata reìma, uslova strujanja (pod pritiskom - sa slobodnim nivoom), tipagrani~nih uslova, da li se posmatra samo kretanje podzemnih voda, ili i procesi u njima(difuzija, disperzija, apsorpcija rastvorenih materija, izmena mase ili toplote, itd.).

7.4.3 PRIPREMA ULAZNIH PODATAKA

7.4.3.1 [EMATIZACIJA, DISKRETIZACIJA

Priprema ulaznih podataka za matemati~ki model predstavlja jedan od najva`nijihsegmenata u procesu matemati~kog modeliranja. U zavisnosti od obima i kvaliteta podloga(kao i postavljenog zadatka), usvaja se odgovarajua ematizacija karakteristika prirodnesredine i uslova strujanja podzemnih voda. Tako|e, od razmere posmatranja zavisidiskretizacija izu~avanog prostora i vremenskog intervala.


173

[ematizacija karakteristika prirodne sredine i uslova strujanja predstavlja jedan odnajdelikatnijih i najodgovornijih zadataka istraìva~a, jer se posledice direktno odraàvajukako na dalji rad, tako i na ta~nost, a posebno na realnost dobijenih rezulta (o ovome e bitivie govora u analizi stepena greke).

U lancu istraìvanja, prvo se definie istra`no podru~je - hidrogeoloki sistem, kojimoè predstavljati deo, celu, ili vie izdani. Zatim se sprovodi ematizacija, tako to se prvoformira hidrogeoloki, a zatim i hidrodinami~ki (matemati~ki) model (“lanac” istraìvanja,slika 7.2).

Slika 7.2: “Lanac” istraìvanja - postepena ematizacija i prelazak sa prirodnih uslova na matemati~kimodel

Diskretizacija izu~avanog podru~ja se sprovodi sa ciljem da se izdvoje celine koje semogu smatrati homogenim. Za svako diskretizovano polje se postavlja po (u principu) jednajedna~ina strujanja, sa reprezentativnim vrednostima karakteristi~nih parametara za celopolje. Tako se dobija sistem od onoliko jedna~ina koliko ima diskretizovanih polja u strujnojoblasti.

Oblici polja diskretizacije mogu biti razli~iti, to zavisi i od primenjene numeri~kemetode. Naj~ee se primenjuju polja oblika paralelograma (i to kvadrata i pravougaonika) itrougla, posmatrano u planu. Ina~e, u prostoru, to su prizme, naj~ee ~etvorostrane.

Od veli~ine polja diskretizacije zavise preciznost i reprezentativnost, a samim tim irealnost dobijenih rezultata prora~una. O~igledno je da e sitnija diskretizacija obezbeditiveu preciznost i veu gustinu dobijenih rezultata. Me|utim, u nedostatku odgovarajuihpodataka sa terena, postavlja se pitanje svrsishodnosti preteranog “usitnjavanja” mreèdiskretizacije.

7.4.3.2 NEOPHODNE PODLOGE

Re~eno je da u osnovi karakteristike modela u uèm smislu (pored jedna~inastrujanja), ~ine: geometrija (rasprostranjenje i prostorni poloàj oblasti strujanja), raspored iveli~ina filtracionih, odnosno hidrodinami~kih karakteristika i grani~ni (konturni i po~etni)uslovi.

U zavisnosti od usvojene prora~unske eme, izra|uju se karte ili profili poroznesredine strujanja, u skladu sa diskretizacijom strujnog polja. Veli~ine kota podine, povlate, ilidebljine kolektora, povrine terena, itd., zadaju se kao reprezentativne vrednosti u svakomdiskretizovanom polju, ili deonici. Na isti na~in se pripremaju karte rasporeda koeficijentavodoprovodnosti, koeficijenta filtracije, specifi~ne izdanosti izdani, parametri tzv.vertikalnog bilansa, itd., to zavisi i od same prirode problema.

7.4.3.3 IZBOR GRANI^NIH I POÊTNIH USLOVA

Grani~ni uslovi se usvajaju kao delovi, ili konture, u okviru posmatranog strujnogpolja, za zadatim konstantnim, ili promenljivim veli~inama, koje su u osnovi, ili pritisci(pijezometarski nivoi), ili proticaji (brzine, odnosno gradijenti). Obi~no su to konture reka ilijezera, zone hranjenja ili dreniranja izdani, hidrotehni~ki objekti (akumulacije, vodozahvati),bunari, izvori, ponori, itd. Kao grani~ni uslov se javlja infiltracija i evapotranspiracija sapovrine terena kod strujanja sa slobodnim nivoom, ili doticaj iz dubljih vodonosnihhorizonata, kao posledica pretakanja, kod strujanja pod pritiskom. Izbor, odnosno definisanjei usvajanje grani~nih uslova ponekad predstavlja delikatan i neizvestan posao. Problem senaj~ee javlja kod utvr|ivanja stvarne hidrauli~ke uloge date konture (ematizovane kaolinija ili povr) na analiziranu strujnu oblast.


Na primer, kontakt reke, ~ije korito preseca vodonosni sloj, hidrauli~ki je oteànzbog kolmiranosti dna usled taloènja vu~enog i suspendovanog nanosa. Ili, nivo u bunaru nepredstavlja i nivo izdani zbog dopunskih parazitskih hidrauli~kih otpora na filtru i uprifiltarskoj zoni.

Da bi hidrodinami~ki prora~un mogao uopte da se sprovede, primenom numeri~kihiterativnih metoda reavanja diferencijalnih jedna~ina strujanja, neophodno je zadati po~etneuslove, koji se u dinamici podzemnih voda definiu kao raspored pijezometarskih nivoa usvakoj ta~ki strujnog polja, odnosno, u datom slu~aju, u svakom polju diskretizacije. Kada seraspolaè sa kartom rasporeda nivoa podzemnih voda, koja predstasvlja rezultat interpretacijedovoljno kvalitetnih registrovanih podataka, zadavanje po~etnog stanja za prora~un nepredstavlja problem. U nedostatku ovih podataka, to je u praksi redovan slu~aj, pribegava sejedinoj preostaloj mogunosti: kao po~etni uslov se zadaje proizvoljni pijezometarski nivo, odkojeg po~inje prora~un. U skladu sa zadatim parametrima sistema i konturnim uslovimadobija se raspored pijezometarskih nivoa u strujnoj oblasti, koji se proverava u ta~kama zakoje postoje registrovani podaci.

7.4.3.4 ISTORIJAT PROMENE POJEDINIH PARAMETARA

Za kvalitetnu izradu matemati~kog modela, neophodno je, po mogustvu, prikupiti ianalizirati promenu pojedinih (naro~ito dominantnih) parametara reìma podzemnih vodatokom vremena. Ovo je naro~ito va`no kada je u pitanju eksploatacija, ili drugi vid korienjapodzemnih voda koji traje odre|eno vreme. Za razliku od standardnih terenskih istra`nihradova, koji su po pravilu veoma skupi, praenje rada ve izgra|enog sistema je neuporedivojeftinije, a sa druge strane, dobijeni podaci su kvalitetniji, jer se baziraju na dugoro~nomopaànju i registrovanju, to ina~e u istraìva~koj praksi nije uvek slu~aj. U ovom smislu,podaci praenja eksploatacije (proticaja i oscilacija pijezometarskog nivoa izdani) sudragocene informacije, koje se ne mogu nadoknaditi drugim istra`nim radovima.

7.4.3.5 IZBOR PRORAÛNSKOG INTERVALA, NJEGOVA DISKRETIZACIJA

U zavisnosti od raspoloìvih podataka, njihovog kvaliteta i distribucije po vremenu iprostoru, kao i reìma izdani (a tako|e i zahteva postavljenog zadatka), izdvaja se jedan, ilivie vremenskih intervala, ili preseka, za koje se sprovode hidrodinami~ki prora~uni. Ukolikoje mogue, izdvaja se stanje reìma podzemnih voda koje se moè smatrati stacionarnim, ilise, u slu~aju prora~una u nestacionarnim uslovima, izdvajaju karakteristi~ni periodi vremena.Od raspoloìvih podataka i postavljenog zadatka zavisi i veli~ina intervala vremena uvremenskom koraku (prora~unskom intervalu) kod prora~una nestacionarnog strujanja.

7.4.4 IZRADA MATEMATI^KOG MODELA - PRVA

APROKSIMACIJA

Kada se pripreme sve neophodne podloge i ulazni podaci na odgovarajui na~in, pravise prva aproksimacija (verzija) matemati~kog modela. Ona se realizuje tako to se odnumeri~kih vrednosti parametara porozne sredine i strujanja formiraju datoteke kojepredstavljaju ulaz za sprovo|enje prora~una. Ova faza rada na matemati~kom modelupredstavlja uglavnom fizi~ki posao, koji zahteva dosta pa`nje i koncentracije. Problemi kojise javljaju, nastaju uglavnom zbog greaka pri unoenju podataka.


175

7.4.5 ETALONIRANJE I VERIFIKACIJA MODELA

Reìm oscilacija pijezometarskog nivoa izu~avane izdani rezultat je kompleksnog iuzajamnog delovanja mnogobrojnih ~inilaca i nalazi se u funkciji velikog broja prirodnihfaktora (geometrijskog oblika izdani, poloàja vodozahvatnih objekata u odnosu na granice,tipova granica, rasporeda filtracionih karakteristika, reìma eskploatacije izdani, elemenata"vertikalnog bilansa", itd.).

U tehni~koj praksi se vrlo ~esto postavlja problem da se na osnovu podataka praenjareìma prirodnih oscilacija nivoa podzemnih voda (a u posebnom slu~aju efekataeksploatacije), inverznim postupkom do|e do reprezentativnih parametara izdani i uslovanjenog reìma, kroz postupak koji je u tehni~koj terminologiji poznat kao identifikacija,etaloniranje, kalibracija, ili tariranje modela.

7.4.5.1 IDENTIFIKACIJA REPREZENTATIVNIH PARAMETARA

Proces identifikacije predstavlja skup postupaka, koji, za usvojenu ematizacijuprirodnih i eksploatacionih uslova (model), rezultuje reprezentativnim parametrima datogizu~avanog sistema. Identifikacija reprezentativnih karakteristika izdani sprovodi se uzavisnosti od obima i karaktera raspoloìvih podataka i èljenog cilja. Svaki fond podataka,odre|enog obima i kvaliteta, ima po pravilu i odgovarajui nivo pouzdanosti dobijenihreprezentativnih karakteristika: to su obimniji i kvalitetniji raspoloìvi podaci sa kojima seulazi u proces identifikacije, to je i model, sa reprezentativnim podacima, bliè prirodi.

Proces identifikacije, koji u osnovi predstavlja reavanje inverznog problema,sprovodi se na taj na~in, to se prema raspoloìvim podacima analiziraju mogue realne eme(modeli prirodnih uslova), izme|u kojiH se, na osnovu analize rezultata prora~una iupore|enja sa rezultatima osmatranja u prirodi, usvaja ona za koju se smatra da je najrealnija.Ovako dobijen model (ematizacija prirodnih uslova) odgovara raspoloìvim obimu ikarakteru postojeih podataka. Kao to se iz ovog moè zaklju~iti, identifikacija po pravilumora da predstavlja stalni proces, kojim se periodi~no, sa uvo|enjem novih podataka,rezultata istraìvanja i osmatranja, model (odnosno prora~unska ema) sve vie pribliàvaprirodnim uslovima i daje izlaz iz sistema najsli~niji prirodi.

Etaloniranje modela predstavlja najvii stepen obrade istra`nih radova. Ciljetaloniranja predstavlja optimalno uskla|ivanje karakteristika modela sa informacijama,dobijenim preko svih istra`nih radova. Ova konstatacija je fundamentalna u kona~nojinterpretaciji rezultata tariranja i oceni njene vrednosti.

Etaloniranje modela je savremeni proces interpretacije istra`nih radova. Etaloniranjeje jedini na~in da se na relativno objektivan na~in istovremeno obuhvate i sintetizuju razli~iteinformacije, koje su u vezi sa izu~avanim problemom. Da bi se model mogao maksimalnoiskoristiti, treba dobro poznavati mogunosti modeliranja.

Osnovu za etaloniranje modela predstavljaju podaci registrovani u prirodi, kao rezultatpraenja elemenata reìma podzemnih voda. U tu svrhu mogu da posluè:

• postojei podaci, koji su rezultat ranijih istraìvanja, po pravilu nenamenskikoncipiranih za rad na modelu,

• rezultati namenski koncipiranih i programiranih istra`nih radova za potrebe izradei verfikacije matemati~kog modela,

• rezultati praenja efekata postojee eksploatacije podzemnih voda, ili primenetehni~kih mera, naro~ito ako se odnose na duì vremenski period.

Ovi poslednji su naro~ito dragoceni, jer se pokazalo da registrovani efekti radaeskploatacionog sistema podzemnih voda (u najirem smislu), nikakvim naknadnim istra`nimradovima ne mogu da se zamene. S druge strane, sistematsko praenje eskploatacije unajveoj moguoj meri smanjuje potrebu za dopunskim istra`nim radovima.


U vezi sa prethodnim, treba naglasiti zna~aj veli~ine perioda za koji se sprovodietaloniranje. O~igledno je da, to je duì period za koji se sprovodi etaloniranje, obuhvaen jevei dijapazon uslova reìma podzemnih voda. To zna~i da model implicira veufleksibilnost, odnosno veu mogunost realnog odziva na iri dijapazon promene ulaznihveli~ina.

7.4.5.2 PARAMETARSKA ANALIZA

U toku etaloniranja modela javljaju se razli~iti problemi, od kojih se navode sledei:⇒ Kroz etaloniranje se pokazuje da se ne raspolaè sa nizom relevantnih podataka,

neophodnih za pouzdani zavretak procesa. Zbog toga se ~esto planiraju dopunski istra`niradovi, na osnovu prethodnih ispitivanja na modelu.

⇒ Etaloniranjem se konstatuje da su neke informacije (rezultat istra`nih radova), prividnoprotivre~ne. Na osnovu jedne grupe informacija dobijaju se jedne vrednosti parametarasistema, a na osnovu druge grupe informacija, druge vrednosti tih istih parametara.Postoje dva osnovna pristupa u reavanju problema:

A. korienje (jo) sloènijeg modela u cilju maksimalnog usaglaavanja sa sviminformacijama,

B. determinacija dominantnih parametara i utvr|ivanje njihovih reprezentativnihvrednosti na relativno jednostavnijem modelu.

Teoretski posmatrano, svi podaci, registrovani u prirodi, mogu se uskladiti samodelom kroz proces tariranja, uvo|enjem novih parametara, odnosno uslo`njavanjemmodela. Ako bi broj uvedenih parametara bio jednak broju informacija, tada bi se moglodobiti idealno slaganje modela sa svim informacijama. Postoje razra|ene matemati~kemetode koje koriste taj postupak. Naàlost, idealno slaganje u fazi tariranja, uvo|enjemsloènijih modela nije nikakva garancija za njegov uspean zavretak. Neposredno korienjetakvog postupka se smatra nedozvoljenim u primeni modelske tehnike.

U praksi se teì da se izdvoje dominantni parametri, parametri, ~ija promena, zazadati ulaz izaziva najvee promene u rezultatima prora~una (odzivu modela). Njihovimizborom i kroz njihove reprezentativne vrednosti se u model uklju~uju i mnogobrojneneizvesnosti realne prirodne sredine, koje se ina~e standardnim postupcima ne mogu lakoidentifikovati. Ove neizvesnosti, nazovimo ih manje zna~ajnim parametrima, po prirodi stvarinemaju zna~ajniji uticaj na realnost modela.

Determinacija (utvr|ivanje) dominantnih parametara sprovodi se kroz parametarskuanalizu, odnosno kroz analizu intenziteta promene odziva modela na promenu vrednostipojedinih parametara. Parametarska analiza se naziva jo i analiza osetljivosti modela(odnosno hidrogeolokog sistema). Selekcija, izbor i kvantifikacija dominantih parametarasprovode se u datom slu~aju u zavisnosti od konkretnih uslova. Zato ovo predstavlja delikatanzadatak za inènjera hidrogeologa - modelara, koji se sa vie uspeha i za krae vreme reavasa poveavanjem njegovog iskustva.

7.4.5.3 ANALIZA STEPENA GRE[KE

Kvalitet identifikacije reprezenativnih parametara na modelu se verifikuje zadatimstepenom usaglaenosti rezultata prora~una sa podacima registrovanim u prirodi. Veli~inadozvoljenog odstupanja (greke) predstavlja rezultat uticaja mnogobrojnih faktora:karakteristika izu~avanog hidrogeolokog sistema, tipa postavljenog zadatka, obima ikaraktera raspoloìvih podataka, razmere posmatranja, karakteristika modela, itd. Ovde se neuzimaju u obzir greke koje su posledica primene neadekvatne numeri~ke metode, ili ta~nostisa kojom ra~unar radi. One su izvan razmatranja i prevazilaze se posebnim postupcima. Uodre|ivanju veli~ine dozvoljene greke ima dosta subjektivnosti i ona u velikoj meri zavisi odznanja i iskustva inènjera modelara.


177

Slaganje sa izmerenim vrednostima nije jedini kriterijum uspenosti etaloniranjamodela. Sutina problema je sloènija, jer etaloniranje modela ne dovodi do jednozna~nogreenja.

Razli~iti modeli mogu zadovoljiti postavljene kriterijume simulacije rada prirodnogsistema. Zato se postavlja ispunjenje i drugog uslova, a to je: vrednosti parametara prirodnesredine dobijene etaloniranjem moraju zadovoljiti kriterijum pouzdanosti, odnosno, mali rizikda e rezultati u prirodi biti izvan intervala dozvoljene greke.

7.5 EKSPLOATACIJA MATEMATI^KOG MODELA -

SIMULACIJA I PROGNOZA RE@IMA PODZEMNIH

VODA

7.5.1 CILJEVI

Krajnji cilj svake identifikacije, u ovom slu~aju identifikacije parametarahidrogeoloko - hidrodinami~kog sistema, predstavlja obezbe|enje pouzdane osnove zaprognozu eksploatacije datog sistema u zadanim uslovima i za naredni period. Poredprognoze budueg reìma podzemnih voda, na etaloniranom i verifikovanom modelu jemogue sprovesti prora~une reìma u proteklom periodu, to je ponekad od posebnoginteresa.

Rekonstitucijom reìma podzemnih voda u proteklom periodu, ili stanja u pojedinimvremenskim presecima, sprovodi se i naknadna dodatna verifikacija usvojenog matemati~kogmodela.

Prognoza, odnosno simulacija reìma podzemnih voda predstavlja reenje direktnogzadatka. Na modelu se zadaje èljeni, pretpostavljeni ulaz, a kao rezultat se dobijaju vrednostiodre|enih parametara reìma podzemnih voda, koji se obi~no izraàvaju preko proticaja inivoa.

Pored toga to pouzdanost prognoze zavisi od karakteristika koje su rezultat korektnosprovedene identifikacije, ona zavisi i od perioda za koji se sprovodi. Sa poveanjemprognoznog perioda pouzdanost rezultata prognoze je sve manja, jer po pravilu nije mogueda se kroz proces identifikacije, sa dovoljno reprezentativnosti definiu parametri u iroj zonikoju zahvata dugotrajna eksploatacija, a to moè biti od velikog zna~aja za delovanje datogsistema.

7.5.2 PROBLEMI PROGNOZE ULAZNIH PARAMETARA

S obzirom da prelazak sa faze etaloniranja modela na prognozu pojedinih varijantireenja, predstavlja ekstrapolaciju uslova za koje je izvreno etaloniranje na nove uslove,logi~no je pretpostaviti da je prognoza utoliko pouzdanija ukoliko je ekstrapolacija manja. Stim u vezi, javlja se problem ekstrapolacije, odnosno problem prognoze ulaznih parametara.

Kada se jedan problem razmatra na nivou idejnog reenja, zna~i kroz upore|enje vievarijanti, uobi~ajeno je da se prora~uni prognoze efekata primene tehni~kog reenja (povarijantama) sprovode za izabrani karakteristi~ni vremenski interval, ili presek (ili vie njih),koji predstavlja odre|enu verovatnou pojave reìma podzemnih voda.

Na taj na~in se, pored deterministi~ke komponente sadràne u samom modelu, uvodiodre|eni stepen slu~ajne, stohasti~ke komponente u prognozirani reìm podzemnih voda.


7.5.3 IZRADA RE[ENJA PO VARIJANTAMA

Prognoza reìma podzemnih voda u novim, pretpostavljenim uslovima, primenommatemati~kog modela, daje ovoj metodi odlu~ujuu prednost u odnosu na sve druge metodeinterpretacije i prognoze.

Lakoa zadavanja ulaznih parametara, brzina prora~una i mogunost efektnogprikaza dobijenih rezultata su glavne operativne prednosti ove metode. O~igledno je da ostajumnogobrojni problemi, ve navedeni, koji metodu matemati~kog modeliranja svrstavaju ugrupu pribli`nih (iterativnih) inènjerskih metoda.

U procesu reavanja postavljenog problema, nalaènje optimalnog reenja je ~estomukotrpno i veoma komplikovano. Analiza rezultata i upore|enje izme|u ponu|ene lepezemoguih i logi~nih reenja, omoguava da se zna~ajno suzi mogui izbor. Tehnoekonomskaanaliza realno verovatnih varijanti treba da omogui izbor kona~ne, kao osnove za razradukona~nog reenja.

7.5.4 NOVELIRANJE MATEMATI^KOG MODELA, PRA]ENJE I

PROGNOZA EKSPLOATACIJE

Po usvajanju kona~ne varijante reenja ne zavrava se rad na modelu. Kroz fazurealizacije neophodno je obezbediti odgovarajui monitoring i praenja na terenu, tako da sena osnovu novih podataka moè vriti dodatno etaloniranje i verifikacija modela, a samim timi eventualne korekcije reenja.

Ovo, noveliranje modela je veoma dragoceno, jer, po pravilu, istra`ni radovi za nivoprojektovanja i izrade reenja su daleko detaljniji od istra`nih radova u prethodnim fazama.Posebno, oni omoguavaju detaljnu analizu uslova u razmeri predvi|enog tehni~kog objekta(ili objekata), to je zna~ajno naro~ito u slu~aju njihovog me|usobnog uticaja.

Proces rada na matemati~kom modelu, u okviru reavanja nekog zadatka, trebashvatiti kao nerazdvojivu celinu, po~evi od faze istraìvanja, preko realizacije reenja itokom rada izgra|enog sistema.

7.5.5 PROGNOZA EFEKATA EKSPLOATACIJE U NAREDNOM

PERIODU

Ve je re~eno da realnost, odnosno pouzdanost prognoze zavisi od duìnepredvi|enog prognoznog perioda. Krai period prognoze, baziran na modelu, etaloniranomprema podacima iz duèg vremenskog intervala (naro~ito ako je to period prethodneeksploatacije), omoguava veu pouzdanost.

Prakti~no, moè se zaklju~iti da je analiza (i prognoza) efekata rada izgra|enogsistema nemogua bez odgovarajueg korienja matemati~kog modela.

Povremeno noveliranje modela na bazi rezultata praenja eksploatacije i prognoza zanaredni period, predstavljaju dovoljnu garanciju za pouzdano upravljanje sistemom.

8. GLAVA

IZABRANA POGLAVLJA

Glava 8 - Izabrana poglavlja---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

181

8.1. UTICAJ PROMENE ATMOSFERSKOG PRITISKA -

BAROMETARSKI EFEKAT

Pojam barometarskog efekta javlja se u uslovima strujanja (ili mirovanja) podzemnih vodapod pritiskom. Manifestuje se kao promena nivoa vode u bunarima i pijezometrima kojikaptiraju ovakvu izdan, usled promene atmosferskog (barometarskog) pritiska. Ova pojava jeposledica elasti~nih svojstava izdani. Odnos promene nivoa izdani prema veli~ini promeneatmoseferskog pritiska naziva se "barometarski efekat" (BE) i izraàva se sledeom relacijom:

ap

gBE

∆∆Π

−=ρ

(8.1)

gde je:ρ − gustina vode, [ΜL-3],g - gravitacija, [LT-2],∆Π - promena (amplituda) pijezometarskog nivoa, [L],∆patm - amplituda atmosferskog pritiska, [Pa].

Za izvo|enje jedna~ine (8.1), postavlja se odgovarajua prora~unska ema, data slikom 8.1:

Slika 8.1: Prora~unska ema za izvo|enje jedna~ine barometarskog efekta

U povlati vodonosnog sloja (koji je pod pritiskom) vlada ravnoteà sila. Zbiratmosferskog pritiska i pritiska koji formira povlatni sloj (njegova teìna), stoje u ravnoteì sasumom pritisaka vode na povlatu vodonosnog sloja i napona koji vlada u skeletu poroznesredine:

patm + pp = pv + pps (8.2)gde je:patm - atmosferski pritisak, [Pa]pp - pritisak povlatnog sloja (njegova teìna po jedinici povrine na koju deluje), [Pa],pv - (hidrostati~ki) pritisak vode na povlatu vodonosnog sloja, [Pa]pps - (efektivni) pritisak (u skeletu) porozne sredine, koja moè imati intergranularnu,

pukotinsku, ili kavernoznu poroznost, [Pa].Uz uslov da je pritisak povlatnog sloja konstantan (pp = Const.), odnosno, da se

njegova teìna ne menja, promena atmosferskog pritiska se moè izraziti kao:

∆patm = ∆pv + ∆pps (8.3)


Sa druge strane, zbir pritiska vodenog stuba u osmatra~kom bunaru (pijezometru) iatmosferskog pritiska (u odnosu na referentnu ravan, koja je na povlati vodonosnog sloja),jeste u ravnoteì sa pritiskom vode u izdani, koji vlada na istoj (referentnoj) ravni (slika 8.1):

ρgΠ + patm = pv (8.4)

Promena atmosferskog pritiska izaziva i promenu visine stuba vode u bunaru i pritiskavode u vodonosnom sloju:

ρg∆Π + ∆patm = ∆pv (8.5)

odnosno: ∆patm = ∆pv - ρg∆Π (8.6)Izjedna~avanjem izraza (8.3) i (8.6), dobija se izraz (8.7) iz kojeg se moè zaklju~iti

da promena pijezometarskog pritiska u izdani direktno zavisi od promene veli~ine naponakoji vlada u skeletu porozne sredine:

ρg∆Π = - ∆pps (8.7)

Uvodei jedna~ine (8.7) i (8.3) u jedna~inu (8.1), dobija se za barometarski efekatizraz:

psv

ps

pp

pBE

∆+∆

∆= (8.8)

U uslovima pretpostavljenog elasti~nog reìma koji vladaju u posmatranoj izdani,moè se primeniti Hukov zakon, za promenu zapremine vode u porama porozne sredine:

za vodu → v

v

ps

v

E

p

nV

V ∆−=

∆ (8.9)

ps

vvv nV

VEp

∆−=∆ (8.10)

gde je:∆Vv - promena zapremine vode usled promene pritiska vode, ∆pv, [L

3],n - poroznost stenske mase (porozne sredine), [-],Vps - ukupna zapremina porozne sredine, [L3],nVps = Vv - zapremina vode u porama sredine, [L3],∆pv - promena pritiska u vodi, [Pa],Ev - moduo elasti~nosti vode, za vodu pod pritiskom do 50 Mpa, Ev ≈ 2 GPa, [Pa].

Za poroznu sredinu (skelet kod intergranularne poroznosti, ili osnovnu stensku masu,kod pukotinske poroznosti), Hukov zakon se moè napisati u obliku:

ps

ps

ps

ps

E

p

V

V ∆−=

∆ (8.11)

ps

pspsps nV

VEp

∆−=∆ (8.12)

Smenom jedna~ina (8.10) i (8.12) u (8.8), dobija se:

ps

psps

ps

vv

ps

psps

V

VE

nV

VE

V

VE

BE∆

+∆

∆

= (8.13)


183

odnosno pspsvv

psps

VnEVE

VnEBE

∆+∆

∆= (8.14)

U ovom slu~aju primenjuje se pretpostavka da su zrna porozne sredine (ili osnovnastenska masa, ako je u pitanju pukotinska poroznost) nestiljiva, odnosno ne menjajuzapreminu. Ukupna deformacija vodonosnog sloja, koja je ustvari posledica promene naponaskeleta porozne sredine (jedna~ina 8.7), odvija se na ra~un smanjenja zapremine poraispunjenih vodom, odnosno, promena zapremine porozne sredine ∆Vps, odgovara promenizapremine vode u porama, ∆Vv, tako da se moè napisati:

∆Vv = ∆Vps (8.15)

Uvodei relaciju (8.15) u jedna~inu (8.14) i zatim njenim sre|ivanjem, dobija se izrazza barometarski efekat za datu izdan:

psv

ps

nEE

nEBE

+= (8.16)

to je dokaz da barometarski efekat jedne izdani pod pritiskom predstavlja rezultat elasti~nihsvojstava sredine i vode (koje se izraàvaju preko modula elasti~nosti) i poroznosti stenskemase.

Za slu~aj da se porozna sredina ne deformie (Eps → ∞), promena naponskog stanja,izazvana promenom atmosferskog pritiska, manifestuje se isklju~ivo kroz promenu zapreminevode. Tada barometarski efekat teì jedinici (BE → 1), odnosno:

∆pv = ∆patm (8.17)

Rezultati terenskih merenja pokazuju da je barometarski efekat uvek manji od jedan,to je o~igledan efekat kompresibilnosti porozne sredine. U praksi, veli~ina barometarskogefekta se kree izme|u 0.2 i 0.75.

** *

Poto i specifi~na izdanost izdani, µ, zavisi od deformabilnih svojstava poroznesredine, postoji odre|ena kvantitativna veza izme|u nje i barometarskog efekta. Ukoliko jeBE manji, dominantnija je uloga deformabilnosti porozne sredine na specifi~nu izdanostizdani, koja se pri tome poveava. Kako se specifi~na izdanost izdani izraàva jedna~inom:

+=

ps

vps

v nE

EnE

E

gnMρµ (8.18)

to je BEE

gnM

v

1ρµ = (8.19)

Kao orijentacioni podatak za procenu specifi~ne izdanosti izdani, u uslovimastrujanja pod pritiskom, moè se (uzimajui za BE = 0.5) ra~unati prema obrascu:

µ = M n ⋅10-5 (8.20)


8.2. KONTAKT SLATKE I SLANE VODE

8.3.1. GIBEN-HERTZBERGOV ZAKON

8.2.1.1. OSNOVNE POSTAVKE

U odre|enim uslovima prostiranja vodonosnih slojeva u priobalnom pojasu mora, kao i naostrvima, kada je porozna sredina u direktnom kontaktu sa morskom vodom, dolazi dokontakta slatkih izdanskih sa slanom vodom. Formira se povr kontakta, koja je u oblikurelativno uske zone. U odnosu na povr kontakta, slana voda, koja ima veu gustinu, nalazi seispod, dok je slatka voda, sa manjom gustinom, iznad njega (slika 8.2.). Zona kontakta vodarazli~itih gustina je relativno uska zona i posledica je njihovog meanja u uslovima filtracijekroz poroznu sredinu.

Dok u priobalnom pojasu izdanske vode nale`u na slanu morsku vodu, na ostrvima seformira so~ivo slatke vode, koje “pliva” na slanoj, slika 8.2.

Promene nivoa podzemnih voda u priobalju, usled promene uslova hranjenja idreniranja izdani, (lokalne, ili sezonske promene infiltracije od padavina, evapotranspiracija,eksploatacija podzemnih voda, itd.), izazivaju pomeranje, odnosno premetanje povrikontakta dve vode.

Ukoliko se slatka voda intenzivno (prekomerno) eksploatie, tada dolazi do intruzijeslane vode u priobalje i podizanja, odnosno pribli`avanja fronta slane vode povrini terena.Na taj na~in se zaslanjuje porozna sredina i onemoguava za korienje u humane svrhe (slika8.2.a). Poznati su primeri (Bliski Istok, Amerika) gde je slana morska voda zna~ajno zala upriobalje, ba usled intenzivne i dugotrajne eksploatacije slatkih podzemnih voda. Deficitzapremine slatke vode “nadokna|en” je intruzijom (prodorom) slanih voda u zale|e.

Slika 8.2: So~ivo slatke vode u slanoj vodi na ostrvu, (a) i kontakt slatke i slane vode u priobalju mora, (b)

Oblik i veli~ina povri kontakta dve vode nije uvek isti: on zavisi od gustine voda,karakteristika porozne sredine, intenziteta i u~estalosti promena nivoa podzemnih (slatkih)voda u zale|u, itd. U prirodnim uslovima formira se zona disperzije (prelazna zona na slici8.2.b) u okviru koje je voda delimi~no zasla|ena.


185

Odnos te~nosti razli~itih gustina, u ovom slu~aju slatke i slane vode, izraàva se prekoGiben-Hertzbergovog (Gyben-Hertzberg) zakona, koji se bazira na nekoliko hipoteza:

• te~nosti razli~itih gustina se ne meaju,• analizira se stacionarno strujanje,• usvaja se hipoteza Dipuija (pretpostavka o vertikalnosti ekvipotencijalnih

linija i povri).Za izvo|enje ovog zakona, postavlja se uslov hidrostati~ke ravnoteè, prema

ematizovanoj skici, datoj slikom 8.3. Stub slane vode h i gustine ρsv, stoji u hidrostati~kojravnoteì sa stubom slatke vode h+∆h, ~ija je gustina ρ, posmatrano u odnosu na ta~ku A.

Slika 8.3: Prora~unska ema za izvo|enje jedna~ine ravnoteè slane i slatke vode

ρ (h+∆h) = ρsvh (8.21)

Iz gornje jedna~ine dobija se dubina do kontakta slane i slatke vode u odnosu na nivomorske povrine:

vs

vhHρρ

ρ−

∆= (8.22)

Ako se usvoji da je gustina slatke vode ρ = 1000 kg/m3 , a slane vode ρsv = 1028÷1033 kg/m3, dobija se relacija izme|u dubine do kontakta slane i slatke vode i nivoa visineslatke vode, u odnosu na nivo mora:

h = (30 ÷36)∆h (8.23)

to zna~i da, ako se (u stacionarnim uslovima), nivo slatke vode promeni (poraste ili opadne)za 1 m, dubina "so~iva" slatke vode e se poveati, ili smanjiti za 30 ÷36 m. Terenskamerenja su potvrdila ispravnost Gyben-Hertzberg-ovog zakona.

8.2.1.2. OGRANIÊNJA GIBEN-HERTZBERGOVOG ZAKONA

Ranije je re~eno koje su pretpostavke usvojene kod izvo|enja Gyben-Hertzberg-ovogzakona. Odstupanja koja se javljaju kao razlika izme|u ra~unskih vrednosti (primenom ovogzakona) i realnih u prirodi, javljaju se u blizini morske obale, kada je izraèn vei gradijentpijezometarskog nivoa izdani (odnosno, kada osnovne pretpostavke zna~ajnije odstupaju odhipoteze Dipuija) i kada su zastupljene vee brzine filtracionog toka.

Iz slike 8.4 moè se zaklju~iti kako dolazi ove razlike. Ako se nivo izdani registruje navertikali ta~ke A, dobie se pijezometarski nivo ekvipotencijalne linije kojoj pripada ta~ka B.Realni pijezometarski nivo u ta~ki A odre|en je visinom ∆hA, dok se registrovani nivo odnosina pijezometarski nivo koji je u ta~ki B. Razlika izme|u ova dva nivoa je veli~ina δ, u odnosuna nivo mora to je:


δ = ∆hA - ∆hB (8.24)

Slika 8.4: Oblast gde Giben-Hertzbergov zakon odstupa od realnosti

8.2.1.3. DU@INA INTRUZIJE SLANE VODE U ZALE\U PRIOBALJA

U slu~aju intruzije slane vode u priobalje, mogue je u pojedinim jednostavnimslu~ajevima izra~unati pribli`nu veli~inu njene duìne. U ovom slu~aju pretpostavlja sestacionarno strujanje pod pritiskom, u vodonosnom sloju horizontalnog prostiranja,konstantne debljine, M i homogenih izotropnih filtracionih karakteristika sa koeficijentomfiltraciije, K, slika 8.5. I dalje vaè pretpostavke Dipuijeve hipoteze i Darsijevog zakonafiltracije.

Slika 8.5: [ematski prikaz duìne intruzije slane vode u zale|e

Proticaj po irini strujnog toka moè se izraziti jedna~inom:

L

hKMq

∆= (8.25)

Iz uslova hidrostati~ke ravnoteè slane i slatke vode, moè se dobiti veli~ina ∆h:

ρ(h+∆h)=ρsvh (8.26)

ρ∆h=ρsvh - ρh (8.27)

ρ∆h=(ρsv-ρ)h ( 8.28)

hh sv

ρρρ −

=∆ (8.29)


187

Jedna~ina za proticaj (8.25) se moè, zamenjujui u nju izraz za ∆h (8.29), napisatikao:

hL

KMq sv

ρρρ −

= (8.30)

Iz jedna~ine (8.30) prose~na duìna intruzije se moè izra~unati preko izraza:

hq

KML sv

ρρρ −

= (8.31)

Zna~i, poznavajui vrednosti gustina slatke i slane vode, kao i srednju debljinu idubinu do podine vodonosnog sloja, moè se izra~unati osrednjeni, reprezentativni proticajkroz vodonosni sloj.

Gornja jedna~ina se moè primeniti i za uslove strujanja sa slobodnim nivoom, akosu strujnice pribli`no horizontalne.

8.2.1.4. MERE PREVENCIJE I SANACIJE INTRUZIJE SLANE VODE

Intruzija slanih voda u priobalje, koja je posledica eksploatacije slatkih voda, kaorezultat ima zaga|enje vodonosne porozne sredine, odnosno ugroàvanje postojeih ipotencijalnih izvorita.

Proces revitalizacije izdani za potrebe vodosnabdevanja je dugotrajan proces, tako daje bolje i jeftinije reenje unapred spre~iti prodor slanih voda u priobalje. Mere prevencije isanacije intruzije slanih voda svode se u praksi na primenu hidrauli~kih metoda, odnosnoizmeni pravca i gradijenta strujanja podzemnih voda.

Jedna od najjednostavnijih mera prevencije jeste dirigovana eksploatacija podzemnihvoda, pri ~emu se vodi ra~una da jedan deo slatkih voda iz zale|a prolazi izme|u objekatavodozahvatnog sistema i na taj na~in odràva front slane vode na zadovoljavajuemudaljenju, slika 8.6.a.

Drugi na~in je izmetanje vodozahvatnih objekata na dovoljnom udaljenju od obalemora, tako da slana vode ne dostiè do objekata, slika 8.6.b.

Slika 8.6: Modifikacija eksploatacije slatkih voda:a) “prirodni” uslovi rada

vodozahvatnog sistema;b) strujni tok u uslovima izmetenog

vodozahvatnog sistema

U drugom slu~aju, primenjuje se tzv. hidrauli~ka zavesa i to tako, to se moèpostaviti niz vodozahvatnih bunara, ili niz nalivajuih bunara, slika 8.7.


Slika 8.7: "Hidrauli~ka zavesa": a) crpenjem; b) nalivanjem

8.3.2. SPECIFI^NA IZDA[NOST IZDANI U USLOVIMA

KONTAKTA SLANE I SLATKE VODE

U oblasti priobalja mora, ili na ostrvima, eksploatacija podzemnih (slatkih) vodaizaziva formiranje “negativne” depresione kupe slane vode. Pri tome, obzirom na usloveravnote`e debljine izdanske zone slatke i slane vode (jedna~ine 8.22 i 8.23), za jedan metarsni`enja nivoa izdani neophodno je iscrpeti srazmerno mnogo veu zapreminu vode.

Slika 8.8: Promena “so~iva” slatke vode, kao rezultat promene pijezometarskog nivoa izdani

Poto je u veini hidrodinami~kih prora~una neophodno poznavanje veli~inespecifi~ne izdanosti izdani (µ), to je odre|ivanje ove veli~ine u datim uslovima od posebnoginteresa. Mogu se razlikovati dve vrste specifi~ne izdanosti izdani u uslovima kontakta slatkei slane vode: sa slobodnim nivoom i pod pritiskom.


189

8.2.2.1. SPECIFI^NA IZDA[NOST IZDANI U USLOVIMA STRUJANJA SA

SLOBODNIM NIVOOM

Specifi~na izdanost izdani se moè opisati, kako je ranije re~eno, kao zapreminaiscrpene vode koja se dobije jedini~nim sniènjem pijezometarskog nivoa. Prema definiciji, toje bezdimenzionalna veli~ina, koli~nik iscrpene zapremine vode prema zapremini jedini~nedepresije (na jedinicu povrine).

Za izvo|enje odgovarajueg izraza posmatra se prizma, elementarne povrine dxdy,izdvojena iz izdani, na koti kontakta slatke i slane vode, pre po~etka promene nivoa (t = t0).Prema skici (slika 8.9), specifi~na izdanost izdani je:

∆Π=∗

dxdy

dVε (8.32)

gde je:ε∗ - specifi~na izdanost izdani sa slobodnim nivoom u uslovima vaènja Gyben-Hertzberg-

ovog zakona, [-],dV - zapremina iscrpene vode (iz elementarne prizme), [L3],dxdy∆Π - zapremina porozne sredine (u okviru elementarne prizme), kao posledica promene

pijezometarskog nivoa, ∆Π, [L3].

Slika 8.9: Elementarna prizma - prora~unska ema zaizvo|enje jedna~ine za specifi~nu izdanostu uslovima strujanja sa slobodnim nivoomu slu~aju kontakta slane i slatke vode

Zapremina iscrpene vode jednaka je sumi zapremina slatke vode dobijene iz poroznesredine pri obaranju pijezometarskog nivoa izdani i zapremini slatke vode dobijenoj na ra~unpodizanje fronta slane vode:

dV = εdxdy∆Π + εdxdy∆H

ρρρ

εε−

∆Π+∆Π=sv

dxdydxdydV (8.33)

gde je:ε - specifi~na izdanost izdani, u uslovima sa slobodnim nivoom, [−],εdxdy∆Π - zapremina vode koja se dobija crpenjem, obaranjem nivoa za ∆Π, [L3],

Hådxdy∆ - zapremina vode koja se dobija crpenjem, iz visine porozne sredine u okviru slatke

vode, na ra~un podizanja fronta slane vode (∆H na slici 8.9.), [L3], gde je:

ρρρ−

∆Π=∆sv

H (8.34)


Sre|ivanjem jedna~ine (8.33) dobija se

∆Π

−+= dxdydV

sv ρρρ

ε 1 (8.35)

Smenom izraza za dV (jedna~ina 8.35) u jedna~inu (8.32) dobija se izraz za specifi~nuizdanost izdani sa slobodnim nivoom i u uslovima va`enja zakona Gyben-Hertzberg-a:

−

+=∗

ρρρ

εεsv

1 (8.36)

Kako je 3630 ÷≈− ρρ

ρ

sv

, dobija se, za specifi~nu izdanost izdani pribli`na relacija:

ε* ∼(31÷37)ε (8.37)Ako je se usvoji za ε ∼ 0.2 (to je realna vrednost za peskovite sedimente i za izdan sa

slobodnim nivoom), onda je orijentaciona vrednost specifi~ne izdanosti sa slobodnimnivoom, u uslovima va`enja Gyben-Hertzberg-ovog zakona:

ε* = 6.2 ÷ 7.4 (8.38)

8.2.2.2. SPECIFI^NA IZDA[NOST IZDANI U USLOVIMA STRUJANJA POD

PRITISKOM

Za slu~aj strujanja pod pritiskom uspostavlja se prora~unska ema, data skicom naslici 8.10., a specifi~na izdanost izdani je:

Π=∗

dxdyd

dVµ (8.39)

gde je:dV - zapremina iscrpene vode, [L3]:

dV = µdxdy∆Π + εdxdy∆H

ρρρ

εµ−

∆Π+∆Π=sv

dxdydxdydV (8.40)

µ - specifi~na izdanost izdani u uslovima pod pritiskom (usled elasti~nih svojstava vode iporozne sredine), [−].

Slika 8.10: Elementarna prizma - prora~unska emaza izvo|enje jedna~ine za specifi~nuizdanost u uslovima strujanja podpritiskom, u slu~aju kontakta slane islatke vode


191

Specifi~na izdanost u uslovima strujanja pod pritiskom, u slu~aju kontakta slane islatke vode (vaènja Gyben-Hertzberg-ovog zakona), je:

ρρρ

εµµ−

+=∗sv

(8.41)

Obzirom da je specifi~na izdanost izdani usled elasti~nih svojstava vode i poroznesredine reda veli~ine 10-3, izlazi da su jedna~ine (8.36) i (8.41) pribli`no iste, odnosno:

ε* ≅ µ∗ (8.42)

8.3. PRIMENA HIDROLO[KIH METODA IZUÂVANJA I

PROGNOZE RE@IMA PODZEMNIH VODA

Poznato je da se danas primenjuju razli~iti pristupi i metode izu~avanja i prognozereìma podzemnih voda, kojima se, vie ili manje uspeno, definiu sumarno, ili pojedina~no,parametri reìma, kako u prirodnim, tako i veta~kim uslovima (usled primene raznihtehni~kih mera, kao to su izgradnja vodozahvatnog sistema, nasipanje terena, izgradnjanasipa u cilju ure|enja vodotoka, itd.)

Danas su, u praksi zastupljeni razli~iti metodski pravci izu~avanja i prognoze reìmapodzemnih voda, rezultat teorijskog i empirijskog razvoja istraìvanja i izu~avanjapodzemnih voda u irem smislu. Mogu se izdvojiti nekoliko osnovnih grupa metoda:

1. statisti~ke, korelacione (hidroloke) metode, 2. metode opteg vodnog bilansa, 3. analiti~ka reenja diferencijalnih jedna~ina, 4. numeri~ka reenja diferencijalnih jedna~ina (metoda matemati~kog modeliranja), 5. analogne metode modeliranja (elektroanalogija, hidroanalogija, analogija

viskoznog te~enja, itd.), 6. kombinacija prethodnih metoda.

Hidroloke metode se zasnivaju na statisti~koj obradi rezultata dugogodinjegosmatranja pojedinih parametara reìma podzemnih voda - uspostavljanju korelativnih vezameteorolokih i hidrolokih veli~ina sa podzemnim vodama.

Hidroloke metode izu~avanja podzemnih voda ne omoguavaju kompleksnu analizu,ve analiziraju sumarno dejstvo faktora bilansa i uspostavljaju postojee zakonitosti u datimprirodnim (ili veta~kim) uslovima. Hidroloke metode se zbog toga ne mogu koristiti zaprognozu reìma podzemnih voda u izmenjenim uslovima (na primer usled primene razli~itihtehni~kih mera).

U primeni se koristi se samo bilansna jedna~ina, od koje se polazi, bezhidrodinami~kih relacija. Hidroloke metode se ne mogu koristiti za prognozu reìmapodzemnih voda u uslovima promene parametara bilansa.

Za jedno definisano podru~je, bilansna jedna~ina, u odre|enom vremenskom perioduglasi:

P - E + Dpovr - Opovr + Dpodz - Opodz ± ∆R = µ ∆H (8.43)gde je:P - padavine, [L]1,E - evapotranspiracija, [L],Dpovr - povrinski doticaj u podru~je, [L],

1 Sve navedene veli~ine u gornjoj jedna~ini, ~ije su dimenzije date preko [L], izraène su u vidu visine vodenog

stuba.


Opovr - povrinski oticaj iz podru~ja, [L],Dpodz - podzemni doticaj, [L],Opodz- podzemni oticaj, [L],∆R - promena vla`nosti u zoni aeracije (negativan znak predstavlja poveanje vla`nosti u

aeracionom sloju), [L],µ - specifi~na izdanost izdani, [−],∆H - promena nivoa podzemnih voda, [L].

[ematski, jedna~ina bilansa je ilustrovana slikom 8.11.Iz gornje jedna~ine samo se dve veli~ine mogu lako meriti i to :

− padavine i

− nivo (promene nivoa) podzemnih voda,tako da je mogue uspostaviti funkcionalnu vezu:

P = f(∆H) (8.44)

Slika 8.11: [ema za bilansnu jedna~inu

Mogua je korelacija ovih dveju veli~ina, u sledeim uslovima:

− tamo gde dominiraju “vertikalni faktori” bilansa (padavine i evapotranspiracija),

− u periodu kada evapotranspiracija ima malu, ili konstantnu vrednost.Tako|e, isparavanje sa slobodne vodene povrine (E0 ) se mo`e relativno lako meriti.

Isparavanje sa slobodne vodene povrine i evapotranspiracija nalaze se u odre|enojzavisnosti, to omoguava uspostavljanje i funkcionalne veze izme|u padavina,evapotranspiracije i promene nivoa podzemnih voda, u slu~aju kada su ostali faktori bilansnejedna~ine konstantni, ili se mogu zanemariti.

8.3.1. KORELACIONA VEZA PADAVINA I PROMENE

NIVOA PODZEMNIH VODA, ZA PODRU^JE VAN UTICAJA

POVR[INSKIH VODOTOKA

U oblastima izdani koje su udaljene od povrinskih tokova, mogue je ostvaritifunkcionalnu vezu P = f(∆H) i to u periodu kada su padavine dominantne (zimski i proleniperiod) i kada je evapotranspiracija mala. U naim uslovima, ova pojava je karakteristi~na zaneogene bazene (kao to je Panonski).

Pretpostavke koje se usvajaju za primenu izmenjene bilansne jedna~ine (8.44) su:

− postoji linearna zavisnost padavina i ~lanova bilansa, koji zavise od njih,

− ~lanovi bilansa koji ne zavise od padavina imaju konstantnu vrednost uviegodinjem periodu.

U tom slu~aju jedna~ina bilansa se mo`e napisati u sledeem obliku:

P = C0 + ∆C + α(P - C0) + µ ∆H (8.45)


193

gde je:C0 = E + ∆R - deo padavina koji ne stiè do nivoa podzemnih voda, odlazi na

evapotranspiraciju i zadovoljenje nedostatka vlage u nadizdanskoj zoni, [L],∆C = Dpodz - Opodz - suma ~lanova bilansa koji ne zavise od padavina, razlika podzemnog

doticaja i oticaja (+ predstavlja podzemni oticaj), [L],α(P - C0) = Dpovr - Opovr - suma ~lanova bilansa koji zavise od padavina (sumarni povrinski

oticaj ili doticaj, itd.), [L],α - koeficijent proporcionalnosti (uz ~lanove bilansa koji zavise od padavina).

Na slici 8.12., dat je ematski prikaz nivoa podzemnih voda i rasporeda vla`nosti Θ(z)u nadizdanskoj zoni na po~etku (a) i na kraju (b) zimskog perioda, kada dolazi do generalnogpodizanja nivoa podzemnih voda usled dominatnog uticaja infiltracije vode od padavina. Utom periodu, pored podizanja nivoa podzemnih voda, dolazi i do poveanja sadràja vlage unadizdanskoj zoni po vertikali, i to kako direktno od infiltracije od padavina, tako i usledpodizanja nivoa podzemnih voda.

Sre|ivanjem jedna~ine (8.45) dobija se:

HC

CP ∆−

+−∆

+=α

µα 110 (8.46)

odnosno: P = C + a ∆H , (8.47)

to predstavlja jedna~inu prave, gde je:

C - odse~ak na ordinati: α−

∆+=

10

CCC (8.48)

a - koeficijent pravca prave:a

a−

=1

µ(8.49)

Slika 8.12: [ematski prikaz prihranjivanja podzemnih voda tokom zimskog perioda, pod uticajemvertikalnih faktora bilansa; a) na po~etku i b) na kraju zimskog perioda - 1) rasporedvla`nosti na po~etku zimskog perioda, 2) deo padavina koji odlazi na popunjavanjedeficita vla`nosti zemljita, 3) deo padavina koji izaziva porast nivoa podzemnih voda

Kao to se iz jedna~ina (8.47) i (8.49) moè zaklju~iti, iz nagiba prave P=f(∆H) moèse dobiti vrednost specifi~ne izdanosti izdani, za uslov da je α=0. U tom slu~aju, kada su~lanovi bilansa nezavisni od padavina, specifi~nu izdanost izdani (µ) je mogue dobiti izizraza:

H

CCP

∆∆+−

=)( 0µ (8.50)


U slu~aju kada reìm podzemnih voda zavisi isklju~ivo od vertikalnih ~lanovabilansne jedna~ine, odnosno padavina i kada nema horizontalnog kretanja podzemnih voda(nema ni povrinskog, ni podzemnog doticaja, ili oticaja), kada je α=0 i ∆C=0, jedna~ina(8.47) se moè napisati u pojednostavljenom obliku:

P= C0+µ∆H (8.51)

iz koje se moè tako|e dobiti specifi~na izdanost izdani:

H

CP

∆−

= 0µ (8.52)

Nagib prave P=f(∆H) u optem slu~aju moè biti razli~it od realne vrednostispecifi~ne izdanosti izdani, on moè biti vei, ili manji od nje. Ako se, me|utim, zna veli~inaspecifi~ne izdanosti u datim uslovima, tada je mogue odrediti i deo bilansa podzemnih vodakoji je linearna funkcija padavina. Iz jedna~ina (8.47) i (8.48) i za uslov ∆C=0 (nemapodzemnog doticaja i oticaja), dobija se:

( )0

1CP

a

CPH −

−=

−=∆

µα

(8.53)

odakle je lako dobiti C0, odnosno deo padavina koji ne stiè do nivoa podzemnih voda (troise na popunjavanje deficita vlage u nadizdanskoj zoni.

8.3.1.1. SLUÂJ POSTOJANJA SAMO VERTIKALNIH FAKTORA BILANSA

Deluju samo “vertikalni faktori” bilansa, ne postoji podzemni i povrinski doticaj, ilioticaj (pijezometarska povrina je u iroj zoni horizontalna). Oscilacije nivoa podzemnih vodasu rezultat isklju~ivo padavina i evapotranspiracije. Prema tome, za pretpostavke da su:

• podzemni doticaj ili oticaj, ∆C = 0 i• povrinski doticaj ili oticaj, α = 0,

osnovna jedna~ina: HC

CP ∆−

+−∆

+=α

µα 110 (8.54)

prelazi u oblik: P = C0 + µ ∆H (8.55)

odakle je:H

CP

∆−

= 0µ (8.56)

gde je:C0 - deo padavina koji ne dopire do nivoa podzemnih voda (evapotranspiracija i popunjavanje

deficita vlage), [L].U datom slu~aju i za navedene uslove iz podataka viegodinjeg praenja oscilacija

nivoa podzemnih voda na jednom pijezometru i sume mese~nih padavina (slika 8.13),interpretirane su u obliku korelativne zavisnosti P=f(∆H), pri ~emu je u obzir uziman periodod XI do IV meseca (zimski period kada je evapotranspiracija mala, prakti~no zanemarljiva),slika 8.14.

U skladu sa jedna~inom (8.51) odnosno (8.55), odse~ak na ordinati grafika na slici8.14, predstavlja veli~inu C0 , dok je nagib prave (tangens ugla α) specifi~na izdanost izdani.

Prema slici 8.14: C0 = 120 mm; µ = tgβ = 0.24.


195

Slika 8.13: Pluviogram i nivogram za viegodinji period

Slika 8.14: Primer korelativne zavisnosti P = f(∆H),uspostavljene za zimski period, za slu~ajdelovanja isklju~ivo “vertikalnihparametara” bilansa

8.3.1.2. SLU^AJ POSTOJANJA VERTIKALNIH FAKTORA BILANSA I

PODZEMNOG DOTICAJA

U podru~je doti~e konstantna koli~ina vode, nezavisna od padavina (podzemni doticaj,∆C). Pri tome se smatra da je u viegodinjem ciklusu:

• ∆C = Const.,• povrinski doticaj ili oticaj je zanemarljivo mali, ili ga nema, odnosno α = 0.Osnovna jedna~ina (8.46):

HC

CP ∆−

+−∆

+=α

µα 110

postaje: P = C0 + ∆C + µ ∆H (8.57)odnosno: P = C + µ ∆H (8.58)

Iz gornje jedna~ine, specifi~na izdanost je jednaka tangesu ugla nagiba prave,odnosno:

H

CCP

H

CP

∆∆+−

∆−

=)( 0µ (8.59)


Za dobijanje vrednosti parametra ∆C neophodno je prethodno poznavati sumuvetikalnih parametara bilansa podzemnih voda, C0, odakle se dobija vrednost podzemnogdoticaja (ili oticaja):

∆C = C - C0 (8.60)

Slika 8.15: Korelativna zavisnost P = f(∆H), u zimskom periodu, za slu~aj postojanja podzemnog doticaja,koji ne zavisi od padavina: - 1) uspostavljena korelativna zavisnost, 2) procenjenazavisnost, za uslove delovanja isklju~ivo vertikalnih faktora bilansa

Prema slici 8.15, specifi~na izdanost izdani je :

µ = tg β (8.61)

Otse~ak na ordinati C predstavlja fiktivni gubitak padavina, obzirom da je procenjeno, iliutvr|eno na drugi na~in, da je deo padavina koji ne sti`e do nivoa podzemnih voda C0.

Podzemni doticaj (oticaj) se mo`e izra~unati prema relaciji (8.60), u milimetrima

vodenog stuba.

∆C = C - C0 (8.62)

Negativna vrednost ∆C u jedna~ini (8.62) odnosni se na podzemni doticaj, dok je upitanju podzemni oticaj, ako je ∆C pozitivno. Prema dijagramu na slici 8.15, o~igledno je daje u datom slu~aju u pitanju podzemni doticaj, Dpodz.

Znajui veli~inu ∆C, odnosno Dpodz u zimskom periodu, mogue je izra~unati prose~nipodzemni doticaj po kvadratnom kilometru u l/s:

[ ] [ ]( )[ ] [ ]2

2

// mesec

kmslsIVXI

kmmDQ podz

−

⋅= (8.63)


197

8.3.1.3. SLUÂJ POSTOJANJA VERTIKALNIH PARAMETARA BILANSA I

POVR[INSKOG OTICAJA

Iz podru~ja oti~e, ili u njega doti~e, deo voda koje predstavljaju funkciju padavina,izraèn kroz visinu dela padavina u milimetrima, ∆P. To je deo padavina koji se ne infiltrira upodzemlje, nego povrinski oti~e. U ovom slu~aju, pretpostavlja se da nema podzemnogdoticaja, ili oticaja:

• nema podzemnog doticaja (oticaja), ∆C = 0,• povrinski oticaj (doticaj) je konstantan i u linearnoj je zavisnosti od

padavina, to se izraàva preko koeficijenta proporcionalnosti, α = Const.

Polazei od osnovne jedna~ine (8.46):

HC

CP ∆−

+−∆

+=α

µα 110

dobija se HaCHCP ∆+=∆−

+= 00 1 αµ

(8.64)

odakle je koeficijent proporcionalnosti α:a

a µα

−= (8.65)

to zna~i, za usvojene pretpostavke, da sumarni parametar vertikalnog bilansa, C0 (infiltracijaod padavina i evapotranspiracija) ima realnu vrednost, dok je nagib prave a, odnosno tangensugla β, vei od realne veli~ine specifi~ne izdanosti izdani, iz (8.53):

H

CP

∆−−

=)1)(( 0 α

µ (8.66)

Deo padavina koji otekne iz podru~ja (∆H=∆P) predstavlja proizvod razlike padavina(P) i dela padavina, koji se troi na evapotranspiraciju i popunjavanje deficita vlage iznadnivoa podzemnih voda (C0), i koeficijenta proporcionalnosti α :

)( 0CPP −=∆ α (8.67)

ili, smenom izraza za α (jedna~ina 8.65):

)( 0CPa

aP −

−=∆

µ (8.68)

Sa slike 8.16, suma parametara vertikalnog bilansa, C0=75 mm, dok je izra~unata(fiktivna) vrednost specifi~ne izdanosti izdani:

36.0, == atgβ (8.69)

dok je, kao realna vrednost, procenjena na µ = 0.22 . Iz jedna~ine (8.65) izra~unata jevrednost koeficijenta proporcionalnosti:

39.036.0

22.036.0=

−=

−=

a

a µα (8.70)


Prose~na suma estomese~nih padavina u zimskom periodu, u viegodinjem ciklusuje:

mmPIV

XI

270=∑ (8.71)

tako da se deo padavina, koji otekne iz podru~ja (∆H=∆P), dobija iz jedna~ine (8.67):

∆P = 0.39 (270 - 75) = 76 mm (8.72)

Prose~ni viegodinji povrinski oticaj iz analiziranog podru~ja (od padavina) izra`enu litrima u sekundi po kvadratnom kilometru, je:

89.486400306

1076 26

0 =⋅⋅⋅

=s

mmmQ l/s/km2 (8.73)

Slika 8.16: Korelativna zavisnost P = f(∆H), u zimskom periodu, za slu~aj postojanja podzemnog doticaja,koji zavisi od padavina: - 1) uspostavljena korelativna zavisnost, 2) procenjena zavisnost

8.3.1.4. OP[TI SLU^AJ

Kao opti slu~aj primene osnovne jedna~ine

HC

CP ∆−

+−∆

+=α

µα 110 (8.74)

daje se primer hidroloke interpretacije podataka registrovanih na pijezometru, gde se, poredoscilacija pijezometarskog nivoa izdani, registruje i konstantni podzemni doticaj (nezavisanod padavina) , kao i oticaj vode, koji je u funkciji padavina (na primer povrinski oticaj),dakle:

• podzemni oticaj (doticaj), ∆C= Const.,• povrinski oticaj (doticaj), α = Const.

Iz osnovne jedna~ine, specifi~na izdanost izdani je:

)1(10

ααµ −∆

−∆

+−=

H

CCP

(8.75)


199

Veza odse~ka na ordinati prave, C (slika 8.17.), podzemnog doticaja (oticaja), ∆C, isume parametara vertikalnog bilansa je, C0, prema jedna~ini (8.74):

∆C = (C - C0)(1 - α) (8.76)

Prividna (fiktivna) vrednost specifi~ne izdanosti izdani je:

αµ

β−

==1

, atg (8.77)

Deo padavina koji povrinski oti~e, dobija se, analogno prethodnom slu~aju, izjedna~ina (8.67), odnosno (8.68):

)()( 00 CPa

aCPP −

−=−=∆

µα (8.78)

Slika 8.17: Korelativna zavisnost P = f(∆H), u zimskom periodu, za slu~aj postojanja podzemnog ipovrinskog doticaja, koji ne zavisi od padavina: - 1) uspostavljena korelativna zavisnost,2) procenjena zavisnost

Za prethodno definisane (procenjene, ili izra~unate) vrednosti realne specifi~neizdanosti izdani, µ, sume parametara vertikalnog bilansa podzemnih voda, C0 i prose~nih

viegodinjih padavina u zimskom periodu, ∑IV

XI

P , mogue je izra~unati veli~inu povrinskog

i podzemnog doticaja (oticaja) u analizirano podru~je.Prema podacima (procenjenim, ili izra~unatim) sa slike 8.17.: µ = 0.18 (procenjeno),

C0 = 125 mm (procenjeno), tgβ’ = a = 0.36 (izra~unato), ∑IV

XI

P= 268 mm (procenjeno),

dobijene su sledee vrednosti:

• koeficijent proprcionalnosti, α = 0.5,• prose~ni povrinski oticaj, ∆P = 71.5 mm, ili Q0 = 4.6 l/s/km2,• prose~ni podzemni doticaj, ∆C = - 25 mm, ili Qd = 1.6 l/s/km2.•


8.3.2. HIDROLO[KE METODE U IZUÂVANJU RE@IMA

PODZEMNIH VODA PRIOBALNOG PODRU^JA

U priobalnom podru~ju, uticaj vodostaja vodotoka na reìm izdani sa kojom je uhidrauli~kom kontaktu, dominantniji je od uticaja parametara vertikalnog bilansa. Uzavisnosti od intenziteta i brzine promene vodostaja, formira se i strujni tok u pravcu, ili izpravca reke. U priobalnom pojasu (reke, jezera) dominantni parametri bilansa su podzemnidoticaj i oticaj. Ovaj uticaj se smanjuje sa udaljenjem od linije kontakta vodotoka i poroznesredine. Iako se prethodna analiza ne moè primeniti na ovaj slu~aj, mogue je ostvaritikorelaciju izme|u nivoa vode u povrinskom toku i nivoa podzemnih voda.

Jedna~ina bilansa za ovaj slu~aj glasi (ematski prikaz je dat na slici 8.18):

(qz + qr)∆t + ∑V = µ ∆F (8.79)

gde je:qz - koli~ina vode koja doti~e iz zale|a, [L2T-1],qr - koli~ina vode koja doti~e iz pravca reke, [L2T-1],∆t - dati vremenski interval, [T],∑V - zbir “vertikalnih” i ostalih faktora bilansa, [L2]:

∑V = ∑(P - ET + D - O ± ∆R) ⋅ L (8.80)

P - padavine, [L],ET - evapotranspiracija, [L],D - povrinski doticaj, navodnjavanje, itd., [L],Ο - povrinski oticaj, odvodnjavanje, itd., [L],∆R - promena vlage u nadizdanskoj zoni, [L],L - irina priobalnog pojasa, pod uticajem reìma reke, [L],∆F - povrina koju zatvaraju dve linije slobodne vodene povrine, u trenucima t i t+∆t.

Slika 8.18: [ematski prikaz strujanja podzemnih voda u zoni uèg priobalnog podru~ja

Ako se zanemari O i D, onda gornja jedna~ina glasi:

∑V = ∑(P - ET ± ∆R)L = ∑(P - C0)L (8.81)gde je:C0 = E + ∆R - deo padavina koji ne stiè do nivoa podzemnih voda, odlazi na

evapotranspiraciju i zadovoljenje nedostatka vlage u nadizdanskoj zoni, [L].

Parametar C0 se moè pribli`no odrediti preko podataka osmatranja iz unutranjostipodru~ja, iz jedna~ine za prvi slu~aj prethodnog razmatranja:

P= C0+µ∆H


201

Iz jedna~ine (8.79) se moè nai zbir podzemnog doticaja u priobalno podru~je:

t

VFqq rz ∆

−∆=± ∑µ

(8.82)

Pretpostavljajui da se qz ne menja mnogo tokom vremena i da se moè proceniti,dobija se:

zr qt

VFq −

∆

−∆= ∑µ

(8.83)

Dobijeni rezultati se odnose isklju~ivo na postojei reìm reke. Ukoliko do|e dopromene reìma (regulacija reke, regulacija slivnog podru~ja, itd.) postojea analiza ne vaì.Tada se primenjuju druge metode, preko hidrodinami~kih relacija.

8.3.3. METODA TARISMANA

Metoda tarismana je hidroloka metoda interpretacije podataka izdanosti izvora, kojaje nala primenu u izu~avanju reìma i rezervi podzemnih voda izdani sa pukotinskom, anaro~ito karstnom poroznou. Bazirana je na funkcionalnoj zavisnosti proticaja izvora izapremine izdani u periodu kada nema padavina, odnosno obnavljanja izdani.

Ako se proticaj izvora u periodu bez padavina (slika 8.19.a) izrazi u obliku log Q = f(t), dobija se po pravilu prava linija (slika 8.19.b).

Slika 8.19: Hidrogram izvora: a) registrovan, u normalnoj razmeri; b) u semilogaritamskoj razmeri

Opta jedna~ina ove prave linije, jedna~ina tarismana, glasi:

Q = Q0 e-at (8.84)

gde je:

Q - proticaj u vremenskom trenutku t, (L3T-1),Q0 - po~etna izdanost u periodu tarismana, (L3T-1),a - koeficijent tarismana, (T-1),t - posmatrani vremenski trenutak, od po~etka perioda tarismana, (T).

Ukupna zapremina podzemne akumulacije, iznad kote izvora (slika 8.20.) izra~unavase iz izraza:

∫∫∞

−∞

==00

0

t

at

t

dteQQdtV (8.85)


Slika 8.20: Zapremina vode u podzemnoj akumulaciji, ra~unato od trenutka t0

gde je:V - zapremina vode u podzemnoj akumulaciji, ra~unato od trenutka t, [L3].Q - registrovani proticaj u trenutku to, (L

3T-1),t - vremenski presek, (T).Q0 - proticaj izvora na po~etku perioda tarismana, (L3T-1).

U posebnom slu~aju, ako je t0 = 0, jedna~ina (8.85.) prelazi u oblik:

a

QV 0= (8.86)

prema kome se ra~una zapremina vode u podzemnoj akumulaciji, iznad kote izvora.Zapremina vode, koja istekne od po~etka perioda tarismana do vremenskog trenutka t,

izra~unava se kao razlika zapremina podzemne akumulacije V0 i Vt, u vremenskim presecimat0 i t:

∆V=V0 - Vt (8.87)

gde je:a

QV 0

0 = (8.88)

att e

a

QV −= 0 (8.89)

Smenom jedna~ina (8.88) i (8.89) u (8.87), dobija se izraz za zapreminu istekle vode:

( )atea

QV −−=∆ 10 (8.90)

Prose~na debljina vodenog sloja, koji istekne u vremenskom intervalu t (ra~unajui odpo~etka tarismana t = t0 = 0), je:

( )Ω−

=Ω

∆=∆

−

a

eQVH

at

v

10 (8.91)

gde je:∆Hv - prose~na debljina sloja vode, (L),Ω - prose~no horizontalno rasprostranjenje izdani, (L2).

U slu~aju karstne izdani, mo`e se desiti da je zakonitost pra`njenja izdani izra`ena savie pravih linija (u logaritamskoj podeli):

...22110201 ++= −− tt eQeQQ αα (8.92)

DODATAK I

Dodatak I---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

205

Funkcija erfc λ = f(λ)

erfc erf e dλ λπ

λλλ

= − = − −∫1 12 2

0

λ erfcλ λ erfcλ λ erfcλ λ erfcλ0.002 0.9977 0.064 0.9279 0.23 0.745 0.54 0.44510.004 0.9955 0.066 0.9256 0.24 0.7343 0.55 0.43670.006 0.9932 0.068 0.9234 0.25 0.7237 0.56 0.42840.008 0.991 0.07 0.9211 0.26 0.7131 0.57 0.42020.01 0.9887 0.072 0.9189 0.27 0.7026 0.58 0.41210.012 0.9865 0.074 0.9167 0.28 0.6921 0.59 0.40410.014 0.9842 0.076 0.9144 0.29 0.6817 0.6 0.39610.016 0.9819 0.078 0.9122 0.3 0.6714 0.61 0.38830.018 0.9797 0.08 0.9099 0.31 0.6611 0.62 0.38060.02 0.9774 0.082 0.9077 0.32 0.6509 0.63 0.3730.022 0.9752 0.084 0.9054 0.33 0.6407 0.64 0.36540.024 0.9729 0.086 0.9032 0.34 0.6306 0.65 0.3580.026 0.9707 0.088 0.901 0.35 0.6206 0.66 0.35060.028 0.9684 0.09 0.8987 0.36 0.6107 0.67 0.34340.03 0.9662 0.092 0.8965 0.37 0.6008 0.687 0.33620.032 0.9639 0.094 0.8942 0.38 0.591 0.69 0.32920.034 0.9616 0.096 0.892 0.39 0.5813 0.7 0.32220.036 0.9594 0.098 0.8898 0.4 0.5716 0.71 0.31530.038 0.9571 0.1 0.8875 0.41 0.562 0.72 0.30860.04 0.9549 0.11 0.8764 0.42 0.5525 0.73 0.30190.042 0.9526 0.12 0.8652 0.43 0.5431 0.74 0.29530.044 0.9504 0.13 0.8541 0.44 0.5338 0.76 0.28250.046 0.9481 0.14 0.8431 0.45 0.5245 0.77 0.27620.048 0.9459 0.15 0.832 0.46 0.5153 0.78 0.270.05 0.9436 0.16 0.821 0.47 0.5063 0.79 0.26390.052 0.9414 0.17 0.81 0.48 0.4973 0.8 0.25790.054 0.9391 0.18 0.7991 0.49 0.4883 0.81 0.2520.056 0.9369 0.19 0.7882 0.5 0.4975 0.82 0.24620.058 0.9346 0.2 0.7773 0.51 0.4708 0.83 0.24050.06 0.9324 0.21 0.7665 0.52 0.4621 0.84 0.23490.062 0.9301 0.22 0.7557 0.53 0.4535 0.85 0.22930.86 0.2239 1.05 0.1376 1.38 0.051 1.76 0.01280.87 0.2186 1.06 0.1339 1.4 0.0477 1.78 0.01180.88 0.2133 1.07 0.1303 1.42 0.0446 1.8 0.01090.89 0.2082 1.08 0.1267 1.44 0.0417 1.84 0.00930.9 0.2031 1.09 0.1232 1.46 0.0389 1.88 0.00780.91 0.1981 1.1 0.1198 1.48 0.0363 1.92 0.00660.92 0.1932 1.12 0.1132 1.5 0.0339 1.96 0.00560.93 0.1884 1.14 0.1069 1.52 0.0316 2 0.00470.94 0.1837 1.16 0.1009 1.54 0.0294 2.1 0.0030.95 0.1791 1.18 0.0952 1.56 0.0274 2.2 0.00190.96 0.1746 1.2 0.0897 1.58 0.0255 2.3 0.00120.97 0.1701 1.22 0.0845 1.6 0.0237 2.4 0.00070.98 0.1658 1.24 0.0795 1.62 0.022 2.5 0.0004


λ erfcλ λ erfcλ λ erfcλ λ erfcλ0.99 0.1615 1.26 0.0748 1.64 0.0204 2.6 0.00021 0.1573 1.28 0.0703 1.66 0.0189 2.7 0.00011.01 0.1573 1.3 0.066 1.68 0.0175 2.8 0.00011.02 0.1492 1.32 0.0619 1.7 0.0162 2.9 01.03 0.1453 1.34 0.0581 1.72 0.015 3 01.04 0.1414 1.36 0.0545 1.74 0.0139

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.001 0.01 0.1 1 10λ

erfcλ

DODATAK II

Dodatak II---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

209

PRIMER 1

Izdanski filtracioni tok sa slobodnim nivoom formiran je u vodonosnoj poroznojsredini, homogenih izotropnih filtracionih karakteristika. Sa jedne strane, tok je ograni~enrekom, dok se sa druge strane mo`e smatrati da nije ograni~en. Nivo u reci je nepromenjendovoljno dugo da su uspostavljeni stacionarni uslovi strujanja. Nivo izdani je u ovimuslovima horizontalan (tako da strujanja realno i nema). Debljina (visina) izdanskog toka je11 m, a filtracione karakteristike izdani su: koeficijent filtracije, K = 2.3x10-4 m/s, specifi~naizdanost izdani, ε = 0.14. U vremenskom trenutku t0 = 0, po~inje serija skokovitih promenanivoa u reci, koje izazivaju i promene nivoa filtracionog toka (tablica 1 i slika 1).

TABLICA 1

Slika 1: [ematizovani nivogram promena nivoa na granici toka

Zadatkom se tra`i da se sprovede analiza promene nivoa i proticaja u razli~itimpresecima filtracionog toka i odabranim vremenskim trenucima.

Reenje:Na slici 2 prikazan je ematski prikaz profila filtracionog toka, gde je reka za potrebe

prora~una ematizovana kao savreni rov. Pre po~etka promene vodostaja, nivo izdani jeidenti~an nivou u reci i horizontalan je.

Slika 2: [ematizovani poluograni~eni filtracioni tok

U trenutku t0 dolazi do skokovite promene nivoa na granici (reci), ∆H(0,0), koja se uvremenskom intervalu ∆t1 propagira du` filtracionog toka, (u pravcu ose x, na slici 2).Promena nagiba izdanskog (filtracionog) toka, izazvana promenom nivoa, tako|e ima zaposledicu i promenu filtracionog proticaja, koja je u funkciji veli~ine promene nivoa nagranici, udaljenja od granice toka i vremenskog intervala od po~etka promene.

Izraz za promenu nivoa filtracionog toka u posmatranom preseku toka i datomvremenskom trenutku, za navedene uslove, glasi:

∆H(x,t) = ∆H0 erfc λ

t(dani) ∆t(dani) H0(m) ∆H0(m)

<0 0 11 0

t0=0 ∆t1=10 13 2

t1=10 ∆t2=12 15.8 2.8

t2=22 ∆t3=18 10.8 -5

t3=40 ∆t4=20 9.4 -1.4

t4=60 ∆t5=8 13.4 4

t5=68


gde je:∆H(x,t) - promena nivoa na udaljenjenju x, u vremenskom trenutku t, koja se ra~una od

po~etka skokovite promene na granici toka, [L],∆H0 - skokovita promena nivoa na granici toka, u vremenskom trenutku t = 0, [L],λ - bezdimenzionalni parametar:

λ =x

at2

x - udaljenje od granice filtracionog toka, [L],a - koeficijent nivoprodnosti porozne sredine, [L2T-1],

aKhsr=ε

K - koeficijent filtracije, [LT-1],hsr - srednja debljina izdanskog toka, u ovom slu~aju hsr = H(x,0) = H0, [L],ε- specifi~na izdanost izdani, [-],t - vreme od trenutka skokovite promene nivoa na granici, [T].

Jedini~ni proticaj filtracionog toka (proticaj po jedinici irine toka), uz pretpostavkuda nema podzemnog doticaja iz zale|a, ra~una se prema jedna~ini:

q x tT H

ate

x

at( , ) =−

∆ 0 4

2

πRaspored promene nivoa filtracionog toka, na kraju vremenskog intervala ∆t1 (u

vremenskom preseku t1), dobija se prora~unom veli~ine ∆H1(x,t). Rezultati prora~una, zaodabrana udaljenja od reke, prikazani su u tablici 2. Rezultati prora~una jedini~nog proticaja,izra`enog u l/s na 1 m irine toka, analogno prora~unu nivoa, dati su tako|e u tablici 2.

TABLICA 2

t(dani) x(m)= 20 50 100 150 200 300 400 500 600 700

λ1 0.081 0.2 0.4 0.601 0.802 1.203 1.604 2 2.406 2.8

erfc λ1 0.91 0.777 0.571 0.395 0.257 0.089 0.023 0.004 0.001 0

10 ∆H1 1.819 1.553 1.141 0.79 0.513 0.178 0.047 0.009 0.001 0

q(l/s) 0.0278 0.0244 0.0201 0.016 0.012 0.005 0.002 0

Grafi~ka interpretacije rezultata prora~una promene nivoa, kao funkcija ∆H1 = f(x,t),i jedini~nog proticaja, q(x,t), koji su dati u tablici 2, prikazana je na slici 3. Kao to se vidi izrezultata prora~una, uticaj promene nivoa na granici, posle deset dana, propagira se prakti~nodo udaljenja od oko 500 m.

Slika 3: Dijagrami promene nivoa (∆H) i proticaja q, deset dana od po~etka promene nivoa na granicifiltracionog toka

Dodatak II---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

211

Gornji dijagrami prikazuju situaciju, u pogledu rasporeda nivoa (kao razliku po~etnogi trenutnog stanja, ∆H) i proticaja na kraju vremenskog intervala ∆t1, odnosno na krajudesetog dana od trenutka promene nivoa u reci, neposredno pre po~etka sledee promene.Postavlja se sledee pitanje: ta se deava sa nivoima (i proticajima) u nastavku vremena,kada dolazi do novih promena nivoa na granici ?

Za ovako formulisan zadatak, primenjuje se poznati princip superpozicije strujanja,kod koga je sloèno strujanje mogue dobiti jednostavnim sabiranjem elementarnih.Prora~uni promene nivoa izdani i proticaja, sprovode se posebno za svaku izdvojenuelementarnu promenu na granici toka. Zatim se dobijeni rezultati, za odgovarajue vremenskepreseke i odabrana udaljenja, aritmeti~ki saberu.

U ovom slu~aju, neophodno je prvo razloìti sloèni nivogram promene na granici(slika 1) na niz elementarnih, slika 4.

Slika 4: Realni nivogram promene na granici filtracionog toka (a) i elementarni nivogrami, nastalirazlaganjem realnog (b, c, d, e, f)

Kao to se vidi, zadati nivogram promene nivoa na granici, mogue je dobiti i kaorezultat superpozicije (sabiranja) pojedina~nih (elementarnih) promena. Promene nivoa izdani(filtracionog toka) ra~unaju se pojedina~no za svaki elementarni nivogram, polazei odvremenskog trenutka njegove promene.

Za prvu promenu nivoa na granici toka, ∆H01, propagacija promene se ra~una premaizrazu

∆ ∆H x t H erfcx

at1 01 2( , ) =

gde je:∆H01 - skokovita promena na granici toka, nastala u vremenu t1 = 0, [L],∆H1(x,t) - promena nivoa izdani (filtracionog toka) izazvana promenom na granici (∆H01), u

odabranom vremenskom trenutku i na proizvoljnom udaljenju od granice, [L],x - udaljenje od granice filtracionog toka, [L]. Usvojene vrednosti su prikazane u tablicama 3,

4, 5, 6 i 7,t - vreme od po~etka datog poremeaja nivoa na granici toka, [T].


Proticaj po jedinici irine filtracionog toka se ra~una prema izrazu:

q x tT H

ate

x

at1

01 4

2

( , ) =−

∆

πgde je:q1(x,t) - jedini~ni filtracioni proticaj, na proizvoljnom udaljenju i u odabranom vremenskom

trenutku posle promene nivoa na granici, [L2T-1].Rezultati prora~una promene nivoa du` filtracionog toka i jedini~nog filtracionog

proticaja, koji su posledica prve skokovite promene na ganici, prikazani su tabelarno u tablici3.

Na slici 5 data je grafi~ka interpretacije rezultata prora~una promene nivoa izdani ifiltracionog proticaja, koje su rezultat promene nivoa na granici na po~etku prora~unskogperioda (t = 0).

TABLICA 3

t(dani) x(m)= 20 50 100 150 200 300 400 500 600 700 800 1000λ1 0.081 0.2 0.4 0.601 0.802 1.203 1.604 2 2.406 2.8

erfc λ1 0.91 0.777 0.571 0.395 0.257 0.089 0.023 0.004 0.001 0t1=10 ∆H1 1.819 1.553 1.141 0.79 0.513 0.178 0.047 0.009 0.001 0

q1(l/s) 0.0278 0.0244 0.0201 0.016 0.012 0.005 0.002 0λ1 0.054 0.135 0.27 0.405 0.541 0.811 1.081 1.351 1.622 1.892 2.162

erfc λ1 0.939 0.848 0.702 0.566 0.449 0.251 0.126 0.056 0.022 0.007 0.002t2=22 ∆H1 1.878 1.696 1.4 1.133 0.889 0.503 0.252 0.112 0.043 0.015 0.004

q1(l/s) 0.0176 0.0164 0.0146 0.0131 0.0113 0.008 0.005 0.002 0.0006 0λ1 0.04 0.1 0.2 0.301 0.401 0.601 0.802 1.002 1.203 1.403 1.604 2.005

erfc λ1 0.955 0.887 0.777 0.671 0.571 0.395 0.257 0.156 0.089 0.047 0.023 0.005t3=40 ∆H1 1.909 1.774 1.553 1.341 1.141 0.79 0.513 0.313 0.178 0.094 0.047 0.009

q1(l/s) 0.0126 0.0121 0.0114 0.0106 0.01 0.008 0.006 0.004 0.003 0.002 0.001 0λ1 0.033 0.082 0.164 0.245 0.327 0.491 0.655 0.818 0.982 1.146 1.309 1.637

erfc λ1 0.963 0.908 0.817 0.728 0.643 0.487 0.354 0.247 0.165 0.105 0.064 0.02t4=60 ∆H1 1.926 1.816 1.634 1.457 1.287 0.975 0.709 0.494 0.33 0.21 0.128 0.041

q1(l/s) 0.0099 0.0094 0.009 0.0084 0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001λ1 0.031 0.077 0.154 0.231 0.307 0.461 0.615 0.769 0.922 1.076 1.23 1.537

erfc λ1 0.965 0.913 0.828 0.744 0.664 0.514 0.384 0.277 0.192 0.128 0.082 0.03t5=68 ∆H1 1.931 1.827 1.656 1.489 1.327 1.028 0.76 0.553 0.384 0.256 0.164 0.059

q1(l/s) 0.0099 0.0097 0.009 0.0083 0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.0022 0.001

Slika 5: Promena nivoa i proticaja du` filtracionog toka u vremenskim presecima posle: t1 = 10 dana, t2 =22 dana, t3 = 40 dana, t4 = 60 dana, t5 = 68 dana. Promena na granici ∆H01 je nastupila u t = 0

Za drugu promenu nivoa na granici, ∆H02, (elementarna) promena nivoa du`filtracionog toka se ra~una prema izrazu:

( )Λ ΛH x t H erfc

x

a t t2 02

12( , ) =

−

Dodatak II---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

213

a proticaj je:

( )( )q x t

T H

a t te

x

a t t2

02

1

4

2

1( , ) =−

−−

∆

πRezultati prora~una su prikazani u tablici 4 i grafi~ki interpretirani na slici 6.

O~igledno je da se vreme poremeaja ra~una od t1 = 10 dana, kada je nastupila promena ∆H02.

TABLICA 4

ukupnovreme(dani)

∆t (dani)x(m)= 20 50 100 145 200 300 400 500 600 800 1000 1200

λ2 0.073 0.183 0.366 0.549 0.732 1.098 1.464 1.83 2.196

erfc λ2 0.917 0.796 0.605 0.437 0.3 0.12 0.038 0.01 0.002

22 ∆t1=12 ∆H2 2.569 2.228 1.693 1.225 0.841 0.337 0.107 0.027 0.005

q2(l/s) 0.029 0.028 0.026 0.022 0.017 0.009 0.003 0.001 0

λ2 0.046 0.116 0.231 0.347 0.463 0.694 0.926 1.157 1.389 1.852 2.315

erfc λ2 0.948 0.87 0.743 0.623 0.513 0.326 0.19 0.102 0.049 0.009 0.001

40 ∆t2=30 ∆H2 2.654 2.436 2.081 1.745 1.435 0.913 0.533 0.285 0.139 0.025 0.003

q2(l/s) 0.0185 0.018 0.017 0.016 0.015 0.011 0.008 0.005 0.003 0.0006 0

λ2 0.036 0.09 0.179 0.269 0.359 0.538 0.717 0.896 1.076 1.434 1.793 2.152

erfc λ2 0.959 0.899 0.8 0.704 0.612 0.447 0.31 0.205 0.128 0.042 0.011 0.002

60 ∆t3=50 ∆H2 2.687 2.517 2.239 1.97 1.714 1.251 0.869 0.573 0.359 0.119 0.031 0.006

q2(l/s) 0.0144 0.0142 0.014 0.0136 0.013 0.011 0.0087 0.006 0.004 0.002 0.001 0

λ2 0.033 0.083 0.166 0.25 0.333 0.499 0.666 0.832 0.999 1.332 1.664 1.998

erfc λ2 0.962 0.906 0.814 0.724 0.638 0.48 0.346 0.239 0.158 0.06 0.018 0.005

68 ∆t4=58 ∆H2 2.695 2.538 2.279 2.027 1.786 1.344 0.97 0.669 0.442 0.167 0.052 0.013

q2(l/s) 0.0133 0.0132 0.013 0.0124 0.012 0.01 0.008 0.0061 0.0043 0.002 0.0008 0

Slika 6: Promena nivoa i proticaja du` filtracionog toka u vremenskim presecima posle: t2 = 22 dana(prora~unski period ∆t1 = 12 dana), t3 = 40 dana (∆t2 = 30 dana), t4 = 60 dana (∆t3 = 50 dana), t5= 68 dana (∆t4 = 58 dana). Promena nivoa na granici ∆H02 nastupila je u t1 = 10 dana.

Trea promena nivoa filtracionog toka, prouzrokovana je promenom nivoa na granici,∆H03, koja je u suprotnom pravcu u odnosu na prethodne. Zato je ona sa negativnimpredznakom. Ra~una se prema izrazu:

( )203

2),(

tta

xerfcHtxH s

−Λ=∆


dok je proticaj:( )

( )q x tT H

a t te

x

a t t3

03

2

4

2

2( , ) = −−

−−

∆

π

Rezultati prora~una promene nivoa i proticaja su prikazani u tablici 5 i na slici 7.Po~etak poremeaja (∆H03) u ovom slu~aju je u trenutku t2 = 22 dana.

^etvrta promena nivoa na granici filtracionog toka, ∆H04, tako|e je sa negativnimpredznakom. Promena nivoa du` toka i (elementarni) proticaj se ra~unaju prema sledeimizrazima:


x

a t t4 04

32( , ) = −

−

−−

−

∆= )(4

3

044

3

2

)(),(

tta

x

etta

HTtxq

π

TABLICA 5

ukupnovremet(dani)

∆t(dani) x(m)= 20 50 100 150 200 300 400 500 600 800 1000 1200

λ3 0.06 0.149 0.299 0.448 0.597 0.896 1.195 1.494 1.85 2.39 0

40 ∆t1=18 erfc λ3 0.933 0.833 0.672 0.526 0.398 0.205 0.091 0.034 0.011 0.001 0

∆H3 -4.66 -4.16 -3.36 -2.63 -1.99 -1.02 -0.45 -0.17 -0.06 0

q3(l/s) -0.043 -0.042 -0.039 -0.035 -0.03 -0.019 -0.01 -0.005 -0.002 0

λ3 0.041 0.103 0.206 0.308 0.411 0.617 0.823 1.028 1.234 1.645 2.057 2.468

60 ∆t2=38 erfc λ3 0.954 0.884 0.771 0.663 0.561 0.383 0.245 0.146 0.081 0.02 0.004 0

∆H3 -4.77 -4.42 -3.86 -3.31 -2.80 -1.91 -1.22 -0.73 -0.40 -0.1 -0.02 0

q3(l/s) -0.033 -0.032 -0.03 -0.028 -0.025 -0.02 -0.013 -0.009 -0.006 -0.002 0

λ3 0.037 0.093 0.187 0.28 0.374 0.561 0.748 0.935 1.122 1.495 1.869 2.243

68 ∆t3=46 erfc λ3 0.958 0.895 0.791 0.692 0.597 0.428 0.29 0.186 0.113 0.034 0.008 0.001

∆H3 -4.79 -4.47 -3.96 -3.46 -2.98 -2.14 -1.45 -0.93 -0.56 -0.17 -0.04 0

q3(l/s) -0.027 -0.027 -0.026 -0.025 -0.023 -0.019 -0.014 -0.010 -0.007 -0.003 -0.001 0

Slika 7: Promena nivoa i proticaja du` filtracionog toka u vremenskim presecima posle: t3 = 40 dana (∆t1

= 18 dana), t4 = 60 dana (∆t2 = 38 dana), t5 = 68 dana (∆t3 = 46 dana). Promena nivoa nagranici ∆H03 nastupila je u t2 = 22 dana.

Rezultati prora~una promene nivoa i proticaja su prikazani u tablici 6 i na slici 8.Po~etak poremeaja (∆H04) je u trenutku t3 = 40 dana.

Dodatak II---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

215

TABLICA 6

ukupnovremet(dani)

∆t (dani)x(m)= 20 50 100 150 200 300 400 500 600 700 800

λ4 0.057 0.141 0.283 0.425 0.567 0.851 1.134 1.417 1.701 1.984 2.268

erfc λ4 0.936 0.841 0.688 0.547 0.422 0.229 0.109 0.045 0.016 0.005 0.001

60 ∆t1=20 ∆H4 -1.31 -1.18 -0.96 -0.77 -0.59 -0.32 -0.15 -0.06 -0.02 -0.01 0

q4(l/s) -0.011 -0.011 -0.01- -0.009 -0.008 -0.005 -0.003 -0.002 07 0

λ4 0.048 0.12 0.24 0.359 0.479 0.719 0.958 1.198 1.438 1.678 1.92

erfc λ4 0.946 0.865 0.735 0.611 0.498 0.309 0.175 0.09 0.042 0.018 0.007

68 ∆t2=28 ∆H4 -1.32 -1.21 -1.03 -0.86 -0.7 -0.43 -0.24 -0.13 -0.06 -0.02 -0.01

q4(l/s) -0.01 -0.01 -0.009 -0.008 -0.008 -0.006 -0.004 -0.002 -0.001 0 0

Slika 8: Promena nivoa i proticaja du` filtracionog toka u vremenskim presecima posle: t4 = 60 dana (∆t1

= 20 dana), t5 = 68 dana (∆t2 = 28 dana). Promena nivoa na granici ∆H04 nastupila je u t3 = 40dana.

Poslednja, peta promena nivoa na granici filtracionog toka, ∆H05, nastupila je 60-togdana od po~etka ukupnog posmatranog intervala vremena (t4 = 60 dana). Promena nivoa du`toka se ra~una prema sledeem izrazu:


x

a t t5 05

42( , ) =

−Elementarni proticaj je:

( )( )q x t

T H

a t te

x

a t t5

05

4

4

2

4( , ) =−

−−

∆

π

Rezultati prora~una promene nivoa i proticaja su prikazani u tablici 7 i na slici 9.

TABLICA 7

ukupnovremet(dani)

∆t(dani) x(m)= 20 50 100 150 200 300 400 500 600

λ5 0.089 0.224 0.448 0.672 0.896 1.344 1.793 2.241 2.689

erfc λ5 0.899 0.751 0.526 0.342 0.105 0.057 0.011 0.001 0

68 ∆t1=8 ∆H5 3.596 3.005 2.104 1.366 0.819 0.229 0.045 0.006 0

q5(l/s) 0.051 0.049 0.042 0.033 0.023 0.008 0.002 0


Slika 9: Promena nivoa i proticaja du` filtracionog toka posle t5 = 68 dana (∆t1 = 8 dana). Promena nivoana granici ∆H05 nastupila je u t4 = 60 dana.

Kao to je re~eno, rezultantna, sumarna, ili ukupna promena nivoa na odabranimudaljenjima strujnog toka, dobija se sabiranjem propagacije uticaja elementarnih promena nagranici, u odgovarajuim vremenskim presecima:

( )Λ ΛH x t H x tii

i n

( , ) ,==

=

∑1

Sumarni proticaj u datom trenutku je:

q x t q x tii

i n

( , ) ( , )==

=

∑1

Kompletni rezultati prora~una ukupne promene nivoa du` analiziranog filtracionogtoka dati su u tablici 8.

TABLICA 8

ukupno vremet(dani) x(m)= 20 50 100 150 200 300 400 500 600 800 1000 1200

10 ∆H1 1.819 1.553 1.141 0.79 0.513 0.178 0.047 0.009 0.001

q1(l/s) 0.028 0.024 0.020 0.016 0.012 0.005 0.002 0

∆H1 1.878 1.696 1.4 1.133 0.889 0.503 0.252 0.112 0.043 0.004 0

∆H2 2.569 2.228 1.693 1.225 0.841 0.337 0.107 0.027 0.005 0 0

22 Σ∆Η2 4.447 3.924 3.093 2.358 1.73 0.84 0.359 0.139 0.048 0.004 0

q1(l/s) 0.018 0.016 0.015 0.013 0.011 0.008 0.005 0.002 0.001

q2(l/s) 0.029 0.028 0.026 0.022 0.017 0.009 0.003 0.001 0

Σq2 0.047 0.044 0.041 0.035 0.028 0.017 0.008 0.003 0.001

∆H1 1.909 1.774 1.553 1.341 1.141 0.79 0.513 0.313 0.178 0.047 0.009 0

∆H2 2.654 2.436 2.081 1.745 1.435 0.913 0.533 0.285 0.139 0.025 0.003 0

∆H3 -4.663 -4.163 -3.363 -2.63 -1.99 -1.024 -0.454 -0.173 -0.056 -0.003 0 0

40 Σ∆Η3 -0.1 0.047 0.271 0.456 0.586 0.679 0.592 0.425 0.261 0.069 0.012 0

q1(l/s) 0.013 0.012 0.011 0.011 0.01 0.008 0.006 0.004 0.003 0.001 0

q2(l/s) 0.018 0.018 0.017 0.016 0.015 0.011 0.008 0.005 0.003 0.001 0

q3(l/s) -0.043 -0.042 -0.039 -0.035 -0.03 -0.019 -0.01 -0.005 -0.002 0 0

Σq3 -0.012 -0.012 -0.011 -0.008 -0.005 0 0.004 0.004 0.004 0.002 0

∆H1 1.926 1.816 1.634 1.457 1.287 0.975 0.709 0.494 0.33 0.128 0.041 0.011

∆H2 2.687 2.517 2.239 1.97 1.714 1.251 0.869 0.573 0.359 0.119 0.031 0.006

∆H3 -4.768 -4.421 -3.856 -3.313 -2.804 -1.914 -1.223 -0.729 -0.405 -0.1 -0.018 -0.002

∆H4 -1.31 -1.177 -0.964 -0.766 -0.591 -0.32 -0.152 -0.063 -0.022 -0.001 0 0

Dodatak II---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

217

nastavak tablice 8:

ukupno vremet(dani) x(m)= 20 50 100 150 200 300 400 500 600 800 1000 1200

60 Σ∆Η4 -1.465 -1.265 -0.947 -0.652 -0.394 -0.008 0.203 0.275 0.262 0.146 0.054 0.015

q1(l/s) 0.01 0.01 0.009 0.008 0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.002 0.001 0

q2(l/s) 0.014 0.014 0.014 0.014 0.013 0.011 0.009 0.006 0.004 0.002 0.001 0

q3(l/s) -0.033 -0.032 -0.030 -0.028 -0.025 -0.02 -0.013 -0.009 -0.006 -0.002 0 0

q4(l/s) -0.011 -0.011 -0.010 -0.009 -0.008 -0.005 -0.003 -0.002 -0.001 0 0 0

Σq4 -0.02 -0.019 -0.018 -0.016 -0.012 -0.007 -0.001 0.000 0.001 0.002 0.002 0

∆H1 1.931 1.827 1.656 1.489 1.327 1.028 0.76 0.553 0.384 0.164 0.059 0.018

∆H2 2.695 2.538 2.279 2.027 1.786 1.344 0.97 0.669 0.442 0.167 0.052 0.013

∆H3 -4.789 -4.474 -3.957 -3.458 -2.985 -2.138 -1.451 -0.931 -0.563 -0.172 -0.041 -0.007

∆H4 -1.324 -1.212 -1.029 -0.856 -0.697 -0.433 -0.245 -0.126 -0.059 -0.009 0 0

∆H5 3.596 3.005 2.104 1.366 0.819 0.229 0.045 0.006 0 0 0 0

68 Σ∆Η5 2.109 1.684 1.053 0.568 0.25 0.03 0.079 0.171 0.204 0.15 0.07 0.024

q1(l/s) 0.001 0.001 0.009 0.008 0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.002 0.001 0

q2(l/s) 0.013 0.013 0.013 0.012 0.012 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 0.001 0

q3(l/s) -0.027 -0.027 -0.026 -0.024 -0.023 -0.019 -0.014 -0.010 -0.007 -0.003 -0.001 0

q4(l/s) -0.010 -0.010 -0.009 -0.009 -0.008 -0.006 -0.003 -0.002 -0.001 0 0 0

q5(l/s) 0.051 0.049 0.042 0.033 0.023 0.008 0.002 0 0 0 0 0

Σq5 0.037 0.035 0.029 0.020 0.012 0.000 -0.002 -0.001 0.000 0.001 0.001 0

Grafi~ki prikaz dobijenih rezultata dat je na dijagramima slike 10.

Slika 10: Ukupna promena nivoa i proticaja du` fitlracionog toka, usled niza usastopnih skokovitihpromena na granici, posle t1 = 10 dana, t2 = 22 dana, t3 = 40 dana, t4 = 60 dana, t5 = 68 dana

DODATAK III

Dodatak III---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

221

PRIMER 2

Kao primer primene eksplicitne metode analizira se slu~aj, prikazan na slici 3.17. Uovom slu~aju, posmatra se filtracioni tok pod pritiskom u homogenom izotropnomvodonosnom sloju, konstantne debljine. Koeficijent vodoprovodnosti izdani je T = 0.001m2/s, a specifi~na izdanost µ = 0.003. Tok je izdeljen na homogene deonice, duìne ∆x = 50m. Prva i poslednja deonica predstavljaju polja sa zadatim nivoom (potencijalom, Π =Const.). U vremenskom periodu t < 0, (po~etni) pijezometarski nivo izdani je horizontalan, savisinom od Π0 = 28 m. U vremenu t = 0 dolazi do skokovite promene nivoa u deonici 7, nanivo od 13 m, koji se zadràva u narednom periodu.

Zadatkom se traì da se izra~una promena nivoa tokom vremena od 20 sati upojedinim deonicama ematizovanog profila (strujnog polja).

Slika 1.: [ematizovani prora~unski profil za primer 2

RE[ENJE:

Filtracioni tok je podeljen na, efektivno, est deonica. Prva i sedma deonica predstavljajugrani~ni uslov filtracionog toka. Prema tome, neophodno je postaviti sistem od est jedna~inasa est nepoznatih.

Za date parametre, postavlja se pitanje izbora veli~ine vremenskog koraka, da bireenje bilo stabilno. Za eksplicitnu metodu, napred izloènu, uslov stabilnosti je:

2

1

4

2>

∆∆

tT

x µ (1)

Prema zadatim vrednostima, dobija se kao kriti~no vreme, vremenski interval od

tT

xt

ΛΛ

≤∆2

2µ (2)

Kao vremenski korak usvojen je interval od ∆t = 3600 s (1h).Sistem jedna~ina, kojim se izra~unavaju nivoi u svakom vremenskom koraku, izvodi

se iz jedna~ine:

Π∆∆

Π Π Π∆∆

∆it t

it

it

itT t

x

T t

x+

+ −= + + −

µ µ2 1 1 212

( ) (3)


Zamenom konstanti: 48.0250003.0

3600001.02

=⋅

⋅=

∆

∆

x

tT

µ(4)

04.0250003.0

3600001.021

22

1 =

⋅

⋅⋅−=

∆

∆−

x

tT

µ(5)

u prethodnu jedna~inu, dobija se jednostavniji oblik:

Π Π Π Π∆it t

it

it

it+

+ −= ⋅ + + ⋅0 48 0 041 1. ( ) . (6)

Postavljajui jedna~ine za sve deonice filtracionog toka, dobija se sledei sistem(nivoi Π1 i Π7 su, kao grani~ni uslovi, sa konstatnim vrednostima tokom celog ciklusaprora~una (Π1 =13 m, a Π7 = 28 m)):

Π Π Π∆2 3 20 48 13 0 04t t t t+ = ⋅ + + ⋅. ( ) . (7)

Π Π Π Π∆3 4 2 30 48 0 04t t t t t+ = ⋅ + + ⋅. ( ) . (8)

Π Π Π Π∆4 5 3 40 48 0 04t t t t t+ = ⋅ + + ⋅. ( ) . (9)

Π Π Π Π∆5 6 4 50 48 0 04t t t t t+ = ⋅ + + ⋅. ( ) . (10)

Π Π Π∆6 5 60 48 28 0 04t t t t+ = ⋅ + + ⋅. ( ) . (11)

Rezultati prora~una za svaki vremenski korak prikazani su u tablici 1. Moè seprimetiti da u svakom narednom koraku, po~evi od po~etka, u prora~un se uklju~uje po jednadeonica. Smanjenjem koraka, postiè se krae vreme uklju~enja svih deonica u prora~un. Iztoga se moè zaklju~iti da se vea realnost i ta~nost prora~una mogu postii smanjenjemprora~unuskog koraka.

TABLICA 1

t(h) Π1 Π2 Π3 Π4 Π5 Π6 Π7

0 13 28 28 28 28 28 28

1 13 20.68 28 28 28 28 28

2 13 19.79 24.49 28 28 28 28

3 13 18.79 23.92 26.31 28 28 28

4 13 18.47 22.6 25.97 27.19 28 28

5 13 17.82 22.23 24.94 26.99 27.61 28

6 13 17.62 21.41 24.62 26.3 27.5 28

7 13 17.22 21.13 23.89 26.07 27.16 28

8 13 17.07 20.58 23.61 25.55 27.04 28

9 13 16.8 20.35 23.09 25.33 26.79 28

10 13 16.68 19.96 22.85 24.96 26.67 28

11 13 16.49 19.77 22.48 24.77 26.49 28

12 13 16.39 19.5 22.28 24.5 26.4 28

13 13 16.26 19.34 22.01 24.34 26.26 28

14 13 16.17 19.14 21.85 24.14 26.17 28

15 13 16.07 19.01 21.65 24.01 26.07 28

16 13 16.01 18.87 21.52 23.87 26.01 28

Dodatak III---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

223

nastavak tablice 1:

t(h) Π1 Π2 Π3 Π4 Π5 Π6 Π7

17 13 15.94 18.77 21.38 23.77 25.94 28

18 13 15.89 18.66 21.27 23.66 25.89 28

19 13 15.83 18.58 21.16 23.58 25.83 28

20 13 15.79 18.5 21.08 23.5 25.79 28

Grafi~ka interpretacija rezultata prora~una, oscilacije reprezentativnih pijezometarskihnivoa u deonicama, data je na dijagramu, slika 2.

Slika 2: Rezultati prora~una oscilacija pijezometarskog nivoa izdani po deonicama - eksplicitna metoda.Prora~unski korak, ∆t = 1 h

Kao ilustraciju nestabilnosti prora~una, na slici 3 su prikazani rezultati prora~unanivoa u deonici 4, sa vremenskim korakom od 1.2 sata. Kao to se vidi, rezultati prora~unaosciluju oko ta~ne vrednosti, sa tendencijom poveanja amplitude oscilacija. Sa poveanjemvremenskog koraka, brè se postiè nestabilnost. Na slici 4 su prikazani rezultati prora~una,sa vremenskim korakom od 1.5 h. Kao to se vidi, sa poveanjem vremenskog korakanestabilnost prora~una jo brè i intenzivnije nastupa.

Slika 3: Uporedni rezultati prora~una nivoa - eksplicitna metoda: a) vremenski korak ∆t = 1h, b)vremenski korak ∆t = 1.2 h


Slika 4: Uporedni rezultati prora~una nivoa - vremenski korak ∆t = 1.5 h

Prema implicitnoj metodi, prema kojoj je opta jedna~ina za izdvojenu deonicu:

titT

xtti

ttitT

xtti Π

∆∆

−=∆+−Π+∆+Π

∆∆

+−∆++Π

2

1

221

µµ (12)

za postavljeni zadatak se formira sledei sistem od pet jedna~ina (usvojen je vremenski korakod ∆t = 1 h):

Π3i+∆t – 4.083 Π2

i+∆t + 13 = -2.083 Π2i (13)

Π4i+∆t – 4.083 Π3

i+∆t + Π2i+∆t = -2.083 Π3

i (14)

Π5i+∆t – 4.083 Π4

+∆t + Π3i+∆t = -2.083 Π4

i (15)

Π6i+∆t – 4.083 Π5

i+∆t + Π4i+∆t = -2.083 Π5

i (16)

28 – 4.083 Π6i+∆t + Π5

i+∆t = -2.083 Π6i (17)

Navedeni sistem se reava iterativnim postupcima, a rezultati sprovedenih prora~unasu dati u tablici 2.

Dodatak III---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

225

TABLICA 2

t(h) Π1 Π2 Π3 Π4 Π5 Π6 Π7

0 13 28 28 28 28 28 28

1 13 24.04 26.97 27.73 27.93 27.98 28

2 13 21.77 25.77 27.26 27.77 27.93 28

3 13 20.33 24.66 26.68 27.52 27.85 28

4 13 19.36 23.71 26.08 27.22 27.73 28

5 13 18.67 22.92 25.5 26.89 27.59 28

6 13 18.16 22.25 24.96 26.55 27.44 28

7 13 17.76 21.69 24.47 26.22 27.28 28

8 13 17.44 21.22 24.02 25.9 27.12 28

9 13 17.18 20.82 23.62 25.6 26.96 28

10 13 16.96 20.47 23.27 25.33 26.82 28

11 13 16.78 20.17 22.95 25.08 26.68 28

12 13 16.62 19.91 22.67 24.85 26.55 28

13 13 16.48 19.69 22.42 24.64 26.43 28

14 13 16.36 19.49 22.2 24.46 26.34 28

15 13 16.26 19.31 22 24.3 26.25 28

16 13 16.17 19.16 21.83 24.15 26.16 28

17 13 16.09 19.02 21.68 24.02 26.09 28

18 13 16.02 18.91 21.55 23.9 26.02 28

19 13 15.96 18.8 21.43 23.8 25.96 28

20 13 15.9 18.71 21.32 23.71 25.91 28

Rezultati prora~una su grafi~ki interpretirani na slici 5, a kao to se vidi, prema ovojmetodi prora~una, uticaj promene nivoa na granici se propagira du` celog filtracionog toka,odmah na kraju prvog prora~unskog perioda.

Slika 5: Rezultati prora~una oscilacija pijezometarskog nivoa izdani po deonicama - implicitna metoda.Prora~unski korak, ∆t = 1 h

Kod implicitne metode, stabilnost prora~una ne dolazi u pitanje, me|utim ta~nost,odnosno realnost dobijenih rezultata zavisi od veli~ine usvojenog prora~unskog koraka.


Za deonicu 2 dat je uporedni prikaz dobijenih rezultata prora~una nivoa tokomvremena, za usvojene veli~ine prora~unskog koraka od ∆t = 1 h, ∆t = 2 h i ∆t = 5 h, slika 6.

Slika 6: Implicitna metoda - upore|enje prora~una sa razli~itom veli~inom prora~unskog koraka

Interesantno je uporediti rezultate prora~una dobijene primenom obe metode,eksplicitne i implicitne. Upore|enje rezultata prora~una za jednu deonicu (deonica 2) ukazujena odre|ene karakteristike obe metode. Razlike mogu biti zna~ajne. Ovo treba imati u viduprilikom prakti~nog reavanja zadataka, gde u svakom konkretnom slu~aju treba izvritiproveru i verifikaciju kako ulaznih parametara, tako i dobijenih rezultata.

Slika 7: Upore|enje rezultata prora~una dobijenih eksplicitnom (E) i implicitnom (I) metodom

L I T E R A T U R A

Literatura---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

229

1. Agroskin I. I., Dmitrijev G. T., Pikalov F. I.: HIDRAULIKA (prevod sa ruskog),Tehni~ka knjiga, Zagreb, 1969.

2. Avakumovi Dimitrije: HIDROTEHNI^KE MELIORACIJE - ODVODNjAVANjE,

Gra|evinska knjiga, Beograd, 1991. 3. Bear J., Zaslavsky D., Irmay S.: PHYSICAL PRINCIPLES OF WATER PERCOLATION

AND SEEPAGE, UNESCO, Arid zone research - XXIX, Place de Fontenoy, Paris-7 ,France, 1968.

4. Ber J., Zaslavski D., Irmej S.: FIZIKO-MATEMATIÊSKIE OSNOVY FIL\TRACIJ

VODY (prevod sa engleskog), "Mir", Moskva, 1971. 5. Bear Jacob: HYDRAULICS OF GROUNDWATER, McGraw-Hill Book Company,

Israel, 1979. 6. Bennett D. Gordon: INTRODUCTION TO GROUND-WATER HYDRAULICS,

Techniques of Water-Resources Investigations of the United States Geological Survey,Book 3, Alexandria, USA, 1985.

7. Boreli Mladen: ODRE\IVANjE KARAKTERISTIKA VODONOSNIH SLOJEVA

PROBNIM CRPENjEM U NESTACIONARNOM RE@IMU, Seminar: Bilans podzemnihvoda, Beograd, 1967.

8. Boreli Mladen: HIDRAULI^KI (FILTRACIONI) OTPORI, Seminar: Bilans podzemnih

voda, Beograd, 1967. 9. Boreli Mladen: PODZEMNA VODA U ZONI AERACIJE TRETIRANA JEDNAÎ-

NAMA STRUJANjA VODE U NEZASI]ENIM SREDINAMA, Seminar: Bilanspodzemnih voda, Beograd, 1967.

10. Boreli Mladen: RADIJUS DEJSTVA BUNARA, Seminar: Bilans podzemnih voda,

Beograd, 1967. 11. Boreli Mladen: HIDRAULIKA, Gra|evinski fakultet Univerziteta u Beogradu, Beograd,

1984. 12. Castany G.: TRAITE PRATIQUE DES EAUX SOUTERRAINES, DUNOD, Paris, 1963. 13. Chow Te Ven : ADVANCES IN HYDROSCIENCE, Vol. 13-1982., Academic Press, Inc.

(London) LTD, 1982. 14. ârniy A. I.: PODZEMNAÂ GIDROGAZODINAMIKA, Gostoptehizdat, Moskva, 1963. 15. ûgaev Romanovi~ Roman: GIDRAVLIKA, Zenergoizdat, Leningrad, 1982. 16. Dzvis S., de Uist R.: GIDROGEOLOGIÂ, (prevod sa engleskog), "Mir", Moskva, 1970. 17. Domenico A. Patrick: CONCEPTS AND MODELS IN GROUNDWATER HYDRO-

LOGY, McGraw-Hill Book Company, USA, 1972.


18. Eriksson E., Gustafsson Y., Nilsson K.: GROUND WATER PROBLEMS, Proceedings ofthe International Symposium held in Stockholm, Ostober 1966.

19. Harr E. M.: GROUNDWATER AND SEEPAGE, McGraw-Hill Book Company, New

York, 1962. 20. Hajdin Georgije: MEHANIKA FLUIDA I, Gra|evinska knjiga, Beograd, 21. Huisman L.: GROUNDWATER RECOVERY, The Macmillan Press Ltd, London, 1972. 22. Klimentov P. P., Kononov V. M.: DINAMIKA PODZEMNÀH VOD, Visa® kola,

Moskva, 1985. 23. Komatina Miomir: HIDROGEOLO[KA ISTRA@IVANjA (Prora~uni II), Geozavod,

Beograd, 1986. 24. Marsily Ghislan de: QUANTITIVE HYDROGEOLOGY (GROUNDWATER

HYDRLOGY FOR ENGINEERS), Academic Press Inc., (London ) Ltd., 1986. 25. McWhorther B. David, Sunada K. Daniel: GROUND-WATER HYDROLOGY AND

HYDRAULICS, Water Resources Publications, Fort Collins, Colorado, USA, 1977. 26. Milojevi Nikola: HIDROGEOLOGIJA, Zavod za izdavanje ud`benika SR Srbije,

Beograd, 1967. 27. Mironenko V. A.: DINAMIKA PODZEMNÀH VOD, "Nedra", Moskva, 1983. 28. Mitrinovi S. Dragoslav: PREDAVANjA O DIFERENCIJALNIM JEDNA^INAMA

(DRUGO DOPUNjENO IZDANjE), Gra|evinska knjiga, Beograd, 1983. 29. Mucha Igor, [estakov Vsevolod: HYDRAULIKA PODZEMNYCH VOD, ALFA -

Bratislava, SNTL - Praha, 1986. 30. Najdanovi Nikola, Obradovi Radmilo: MEHANIKA TLA U IN@ENjERSKOJ

PRAKSI, Rudarski institut, Beograd, 1979. 31. Pietraru V.: STUDII DE GEOTEHNICA, FUNDATII SI CONSTUCTII

HIDROTEHNICE, Comitetul De Stat Apelor, Institul De Studii si Cercetari hidrotehnice,Bucuresti, 1966.

32. Polubarinova-Ko~ina P. Â.: TEORIÂ DVI@ENIÂ GRUNTOVÀH VOD, Gosudarstvenoe

izdatelÍstvo tehniko-teoreti~eskoŸ literaturì, Moskva, 1952. 33. Proki Dobrivoje: ZAKONSKE MERE U SFRJ, Tehnika, specijalno izdanje, Savez

in`enjera i tehni~ara Jugoslavije, Beograd, 1981. 34. Pui Milenko: PRILOG SPROVO\ENjU PROCESA IDENTIFIKACIJE

REPREZENTATIVNIH PARAMETARA IZDANI POD PRITISKOM NA OSNOVUREZULTATA PRA]ENjA DUGOGODI[NjE EKSPLOATACIJE PODZEMNIH VODA(magistarski rad), Gra|evinski fakultet Univerziteta u Beogradu, Beograd, 1983.

Literatura---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

231

35. Pui Milenko: VE[TA^KO PRIHRANjIVANjE DUBOKIH IZDANI UINTERGRANULARNOJ POROZNOJ SREDINI (doktorski rad), Rudarsko geolokifakultet Univerziteta u Beogradu, Beograd, 1990.

36. Pui Milenko: HIDRAULIKA PODZEMNIH VODA - STACIONARNA STRUJANjA,

Slavija-pres, Novi Sad, 1994. 37. Raudkivi J. A., Callander A. R., ANALYSIS OF GROUNDWATER FLOW, Edward

Arnold (Publishers) Ltd, London, 1976. 38. Reilly E. Thomas, Franke O. Lehn, Bennett D .Gordon: THE PRINCIPLE OF

SUPERPOSITION AND ITS APPLICATION IN GROUND WATER HYDRAULICS,Techniques of Water-Resources Investigations of the United States Geological Survey,Book 3, Chapter B6, Washington, 1987.

39. Schneebeli G.: HYDRAULIQUE SOUTERRAINE, Eyrolles, Collection du Centre de

Recherches et D'Essais de Chatou, Paris, 1966. 40. Schoeller H.: LES EAUX SOUTERRAINES, Masson & C , Editeurs, Paris, 1962. 41. Silin-Bek~urin AlekseŸ Ivanovi~ : DINAMIKA PODZEMNÀH VOD (s osnovami

gidravliki), Moskovski universitet, Moskva, 1965. 42. Todd Keith David: GROUND WATER HYDROLOGY, John Wiley & Sons, Inc., New

York and London, 1959. 43. Topolac @ivotije: FIZIKA, Nau~na knjiga, Beograd,1973. 44. Verruijt A.: GROUNDWATER FLOW, Macmillan And Co Ltd, London, 1970. 45. Vladisavljevi @ivko: O VODOPRIVREDI, Gra|evinski fakultet univerziteta u Beogradu,

Institut za vodoprivredu "Jaroslav êrni", Beograd, 1969. 46. Vukovi Milan: PRILOG IZUÂVANjU RE@IMA PODZEMNE VODE U USLOVIMA

DVOSLOJEVITE POROZNE SREDINE, Institut za vodoprivredu "Jaroslav êrni",Saoptenja, god XIII, br.39, Beograd, 1966.

47. Vukovi Milan: ODRE\IVANjE PARAMETARA VODONOSNE SREDINE I

FAKTORA BILANSA U DVOSLOJEVITOJ I VI[ESLOJEVITOJ POROZNOJSREDINI ANALIZOM PRIOBALNOG RE@IMA, Seminar: Bilans podzemnih voda,Beograd, 1967.

48. Vukovi Milan: KRATAK OSVRT NA HIDROLO[KE (STATISTI^KE) METODE

IZUÂVANjA I PROGNOZE RE@IMA PODZEMNIH VODA, Seminar: Bilanspodzemnih voda, Beograd, 1967.

49. Vukovi Milan: HIDRAULIKA PODZEMNIH VODA (autorizovana predavanja),

Rudarsko geoloki fakultet, OOUR Grupa za hidrogeologiju, Beograd, 1984. 50. Vukovi Milan, Soro An|elko: DINAMIKA PODZEMNIH VODA KROZ RE[ENE

PROBLEME - USTALjENA STRUJANjA, Institut za vodoprivredu "Jaroslav êrni",posebna izdanja, knjiga 25, Beograd, 1984.


51. Vukovi Milan, Soro An|elko: OSNOVI HIDRAULIKE, Rudarsko geoloki fakultet,Beograd, 1985.

52. Vukovi Milan, Pui Milenko: PRIKAZ SAVREMENOG PRISTUPA SANACIJI

NASIPA NA PRIMERU NASIPA "BRZA VRBA", Vode Vojvodine, br. 17, Novi Sad,1989.

53. Vukovi Milan, Soro An|elko: HIDRAULIKA BUNARA - TEORIJA I PRAKSA,

Gra|evinska knjiga, Beograd, 1990. 54. Vukovi Milan, Soro An|elko: ODRE\IVANjE KOEFICIJENTA FILTRACIJE PREKO

PODATAKA O GRANULOMETRIJSKOM SASTAVU, Institut za vodoprivredu"Jaroslav ^erni", posebna izdanja, Beograd, 1991.

55. Walton C. William: GROUNDWATER RESOURCE EVALUATION, McGraw-Hill

Book Company, USA, 1970. 56. Walton W. William: GROUNDWATER PUMPING TESTS, Lewis Publishers, Inc.,

Michigan, USA, 1987. 57. Wilson M. E.: ENGINEERING HYDROLOGY, MacMilan and co. LTD, London, Great

Britain, 1970.

Literatura---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

233

dinamika podzemnih voda

Documents