dinamika konstrukcija mehmed causevic cropped

UD�BENICI SVEUÈILIŠTA U RIJECIMANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM FLUMINENSIS

1Dinamika konstrukcija 11 - 2012.prnD:\Posao\Causevic\Prijelom\Dinamika konstrukcija 11 - 2012.vp12. o�ujak 2012 16:54:36

Color profile: Generic CMYK printer profileComposite Default screen

Nakladnik

Golden marketing – Tehnièka knjiga

Jurišiæeva 10, Zagreb

Za nakladnika

Ana Rešetar

Urednik

�elimir Èoliæ, dipl. ing. grað.

Recenzenti

Prof. dr. sc. Dragan Moriæ

Prof. dr. sc. Bernardin Peroš

Objavljivanje ovog sveuèilišnog ud�benika odobrilo jePovjerenstvo za izdavaèku djelatnost Sveuèilišta u Rijeci

odlukom pod brojem klasa: 602-09/09-01/06,ur. broj: 2170-57-05-09-3

Copyright © 2010. Golden marketing – Tehnièka knjiga, ZagrebSva prava pridr�ana

ISBN 978-953-212-388-3

CIP zapis dostupan u raèunalnom kataloguNacionalne i sveuèilišne knji�nice u Zagrebu

pod brojem 729320.



Prof. dr. sc. Mehmed Èauševiæredoviti profesor Graðevinskog fakulteta Sveuèilišta u Rijeci

DINAMIKA KONSTRUKCIJA• POTRESNO IN�ENJERSTVO

• AERODINAMIKA

• KONSTRUKCIJSKE EURONORME

GOLDEN MARKETING • TEHNIÈKA KNJIGAZagreb, 2010.



Objavljivanje ovog djela financijski su pomogli:– Ministarstvo znanosti, prosvjete i športa Republike Hrvatske,– Graðevinski fakultet Sveuèilišta u Rijeci,– Hrvatska komora arhitekata i in�enjera u graditeljstvu,– Razred in�enjera graðevinarstva

Na naslovnici knjige je fotografija viseæeg mosta Akashy Kaikyo u Japanus najveæim svjetskim rasponom. Autor te fotografije kao i veæine fotografija

koje su prikazane u knjizi je autor knjige.



SADR�AJ

Predgovor ...................................................................................................................... IX

Poglavlje 1. LINEARNE OSCILACIJE TOÈKE;SUSTAVI S JEDNIM STUPNJEM SLOBODE ........................................1

1.1. Slobodne neprigušene oscilacije toèke....................................................................3

1.2. Slobodne prigušene oscilacije toèke .....................................................................16

1.3. Prisilne neprigušene oscilacije toèke.....................................................................29

1.4. Prisilne prigušene oscilacije toèke ........................................................................38

1.5. Prikaz harmonijskih prisilnih oscilacija u kompleksnom obliku .........................50

1.6. Periodièna poremeæajna sila u sluèaju rotora s ekscentriènom masom...............54

1.7. Izoliranje oscilacija ................................................................................................ 57

1.8. Numerièki primjeri................................................................................................. 60

Poglavlje 2. VRSTE DINAMIÈKIH DJELOVANJA IKLASIFICIRANJE TEORIJE OSCILACIJA .........................................75

2.1. Podjela dinamièkih djelovanja............................................................................... 77

2.2. Diskretni i kontinuirani sustavi ............................................................................. 80

Poglavlje 3. DUHAMELOV INTEGRAL. APERIODIÈNE I PROLAZNEVIBRACIJE SUSTAVA S JEDNIM STUPNJEM SLOBODE..............83

3.1. Integral superpozicije ili Duhamelov integral.......................................................85

3.2. Primjeri primjene Duhamelovog integrala ............................................................90

Poglavlje 4. SLOBODNE NEPRIGUŠENE OSCILACIJE DISKRETNIHSUSTAVA S PROIZVOLJNIM BROJEM STUPNJEVA SLOBODE.....99

4.1. Diferencijalne jednad�be gibanja dobivene primjenomLagrangeovih jednad�bi druge vrste....................................................................101

Poglavlje 5. RJEŠENJE PROBLEMA VLASTITIH VRIJEDNOSTIDISKRETNIH SUSTAVA S VIŠE STUPNJEVA SLOBODE ............105

5.1. Definiranje vlastitih vrijednosti ...........................................................................107

5.2. Ortogonalnost vlastitih oblika osciliranja............................................................112

Poglavlje 6. ANALIZA IDEALIZIRANOG SUSTAVA S PROIZVOLJNIMKONAÈNIM BROJEM STUPNJEVA SLOBODE:“ZGRADA POSMIKA” (SHEAR BUILDING)......................................115

6.1. Osnovne pretpostavke i jednad�be gibanja višekatne “zgrade posmika”..........117

6.2. Primjeri................................................................................................................. 121

V



Poglavlje 7. FORMULIRANJE PROBLEMA VLASTITIH VRIJEDNOSTIU MATRIÈNOM OBLIKU......................................................................129

7.1. Matrica fleksibilnosti i matrica krutosti ..............................................................131

7.2. Slobodne neprigušene oscilacije u matriènom obliku ........................................134

7.3. Primjeri................................................................................................................. 136

Poglavlje 8. UVJETI ORTOGONALNOSTI VLASTITIH OBLIKAOSCILIRANJA U MATRIÈNOM OBLIKU .........................................149

8.1. Ortogonalnost vlastitih oblika. Generalizirana masa i generalizirana krutost ...151

Poglavlje 9. MODALNE KOORDINATE ....................................................................155

9.1. Matrica transformacije. Generalizirane i modalne koordinate ...........................157

Poglavlje 10. ANALIZA PRISILNIH PRIGUŠENIH OSCILACIJADISKRETNOG SUSTAVA S n STUPNJEVA SLOBODEPRIMJENOM POSTUPKA RAZVIJANJA PO VLASTITIMOBLICIMA (MODALNA ANALIZA) ..................................................161

10.1. Modalne jednad�be ............................................................................................ 163

10.2. Primjeri............................................................................................................... 168

Poglavlje 11. RJEŠENJE MODALNE JEDNAD�BE PRIMJENOMLAPLACEOVIH INTEGRALNIH TRANSFORMACIJA.................175

11.1. Matematièko objašnjenje Laplaceove integralne transformacijei teorema konvolucije ........................................................................................ 177

11.2. Rješenje modalne jednad�be.............................................................................. 180

11.3. Primjeri............................................................................................................... 182

Poglavlje 12. ODZIV KONSTRUKCIJE USLIJED GIBANJA PODLOGEU POTRESU............................................................................................. 195

12.1. Spektri odziva .................................................................................................... 197

12.2. Koeficijent posmika ........................................................................................... 207

12.3. Primjeri............................................................................................................... 213

Poglavlje 13. MODALNA SEIZMIÈKA ANALIZA VIŠEKATNIH SUSTAVASPEKTRALNOM TEORIJOM .............................................................217

13.1. Primjena posebnog naèina matriènog obilje�avanja u modalnoj analizi .........219

13.2. Postavka i rješenje modalne jednad�be u sluèaju seizmièkog optereæenja .....227

13.3. Analiza višekatnih sustava spektralnom teorijom.............................................234

13.4. Primjeri............................................................................................................... 240

VI



Poglavlje 14. LINEARNO-ELASTIÈNA SEIZMIÈKA ANALIZA ZGRADAPREMA EUROPSKOJ NORMI EN 1998-1:2004(Eurokod 8-1) ........................................................................................... 249

14.1. Definiranje uvjeta ponašanja konstrukcije u potresu i projektna ubrzanja tla ...251

14.2. Naèini odreðivanja seizmièkih djelovanja ........................................................256

14.3. Metoda spektara odziva ..................................................................................... 258

14.4. Izraèun ukupne vrijednosti popreène sile konstrukcije od potresa.....................266

14.5. Raspodjela ukupne popreène sile potresa po visini graðevine ........................269

14.6. Kombinacija djelovanja prema Eurokodu 0 [78] za seizmièkuproraèunsku situaciju ......................................................................................... 270

14.7. Projektiranje u zgradarstvu................................................................................ 281

14.8. Projektiranje betonskih konstrukcija u zgradarstvu..........................................283

14.9. Projektiranje èeliènih konstrukcija u zgradarstvu.............................................287

14.10. Primjeri............................................................................................................. 295

Poglavlje 15. SEIZMIÈKA ANALIZA ZA MOSTOVE I VIJADUKTEPREMA EN 1998-2: 2004 (Eurokod 8-2) .............................................301

15.1. Temeljne postavke EN 1998-2: 2004 ...............................................................303

15.2. Primjer seizmièke analize vijadukta..................................................................308

15.2.1. Opis konstrukcije ................................................................................... 309

15.2.2. Analiza konstrukcije .............................................................................. 312

15.2.3. Poseban komentar .................................................................................. 325

Poglavlje 16. NELINEARNE SEIZMIÈKE ANALIZE KONSTRUKCIJAPREMA EN 1998-1: 2004.......................................................................327

16.1. Uvod ................................................................................................................... 329

16.2. Nelinearna statièka metoda postupnog guranja ................................................331

16.2.1. Opis nelinearne statièke metode N2 .....................................................333

16.2.2. Dodatak A: sa�etak nelinearne statièke metode N2 [26] .....................349

16.2.3. Dodatak B [90]: Odreðivanje ciljanog pomakaza nelinearnu statièku metodu postupnog guranja ...............................352

16.3. Nelinearna dinamièka metoda u vremenu (time history) .................................358

16.3.1. Opæenito ................................................................................................. 358

16.3.2. Izraèun uporabom umjetnih vremenskih zapisa....................................359

16.3.3. Izraèun uporabom realnih zapisa potresa..............................................363

16.4. Primjeri............................................................................................................... 369

VII



Poglavlje 17. AMERIÈKE NORME UBC ZA KONSTRUKCIJEU POTRESNIM PODRUÈJIMA – PRIMJENA ZA HRVATSKU......413

17.1. Izraèun ukupnog posmiènog optereæenja ..........................................................415

17.2. Raspodjela boènog optereæenja po visini graðevine i vrijednosti katnih sila .422

17.3. Primjeri............................................................................................................... 425

Poglavlje 18. AERODINAMIKA MOSTOVA I DRUGIH VITKIHKONSTRUKCIJA PREMA EUROPSKIM NORMAMAEN 1991-1-4: 2005 I EN 1993-3-1: 2006...............................................431

18.1. Aerodinamièke vibracije mostova .....................................................................43418.1.1. Nastanak vrtloga oko kru�nog cilindra .................................................43418.1.2. Kàrmànovi vrtlozi .................................................................................. 43818.1.3. Most Tacoma Narrows ..........................................................................44318.1.4. Aerodinamièka stabilnost popreènog presjeka mosta...........................44618.1.5. Galopiranje ............................................................................................. 450

18.2. Primjeri............................................................................................................... 453

PRILOZI

PRILOG 1.: Fenomenologija potresa (neki pojmovi) .................................................529P.1.1. Uvod ........................................................................................................... 529P.1.2. Uopæe o potresima ..................................................................................... 531P.1.3. Jaèina potresa (magnituda) ........................................................................539P.1.4. Odnosi izmeðu magnitude potresa, intenziteta potresa i ubrzanja tla .....550P.1.5. Karakteristike vibracija tla na odreðenoj lokaciji.....................................552

PRILOG 2.: Seizmièki odziv temeljnog tla. Meðusobno djelovanje (interakcija)tla i konstrukcije ........................................................................................ 557

PRILOG 3.: Odreðivanje najpovoljnijih oblika graðevina u seizmièkimpodruèjima .................................................................................................. 567

PRILOG 4.: Dijelovi EN 1991-1-4:2005 koji se odnose na aerodinamiku ...............579P4.1. Brzina vjetra i tlak izazvan brzinom vjetra ...............................................579P4.2. Sile vjetra .................................................................................................... 585P4.3. Tlakovi i koeficijenti sila............................................................................ 589P4.4. Sile vjetra na mostove ................................................................................ 593P4.5. Dodatak E � Vrtlo�no odvajanje i aerodinamièke nestabilnosti ..............602P4.6. Nacionalni dodatak za primjenu u Republici Hrvatskoj ...........................612

LITERATURA.................................................................................................................. 617

KAZALO POJMOVA ..................................................................................................... 622

VIII



Predgovor II. izdanju

I ovo novo izdanje knjige je zadr�alo isti koncept, tj. u prvih 13 poglavlja iz-lo�eno je temeljno gradivo Dinamike konstrukcija i to u obimu koji je dostatan dase razumiju osnove Potresnog in�enjerstva, osnove In�enjerstva vjetra te konstruk-cijske euronorme. Ovo II. izdanje je u stvari ispravljen i dopunjen sadr�aj I. izdanjaknjige. Dana je i najnovija seizmoloških karta RH s ubrzanjima tla, koja je sastavnidio Nacionalnog dodatka za primjenu Eurokoda 8 u Hrvatskoj.

Autor

Predgovor

Nakon što su knjige Statika i Stabilnost konstrukcija - Geometrijska nelinear-nost [11], Potresno in�enjerstvo [12] i Dinamika konstrukcija - diskretni sustavi[14] naišle na dobar prijem struène javnosti, a Potresno in�enjerstvo je veæ raspro-dano, u ovoj novoj knjizi je obraðena dinamika konstrukcija u opsegu koji je do-statan za razumijevanje potresnog in�enjerstva, aerodinamike za graðevinske kon-strukcije te odredbi odgovarajuæih konstrukcijskih euronormi. Posebna pozornostje posveæena primjedbama i sugestijama koje je autor dobio od projektanata graðe-vinskih konstrukcija, korisnika navedenih knjiga. Veæina tih sugestija i primjedbinašla je mjesto u ovoj knjizi.

Knjiga je namijenjena kako studentima diplomskog studija na graðevinskimfakultetima za kolegije Dinamika konstrukcija i Potresno in�enjerstvo, tako i za po-trebe projektanata konstruktora u praksi. Osim toga, dijelovi knjige prilagoðeni sugradivu poslijediplomskog doktorskog studija na Graðevinskom fakultetu u Rijeci.

Veæ je od prije poznat pristup da se gradivo dinamike konstrukcija obradi uopsegu koji je potreban za razumijevanja potresnog in�enjerstva [6, 9]. Ovdje je,znaèi, izlo�en obim gradiva koji je neophodan kako za razumijevanje potresnogin�enjerstva i aerodinamike za graðevinske konstrukcije, tako i za razumijevanjeodredbi najnovijih konstrukcijskih euronormi. Da bi to bilo moguæe, u knjizi jenajprije izlo�eno klasièno gradivo dinamike diskretnih sustava, kao i elementiaerodinamike, i to u obimu potrebnom za razumijevanje spomenutih euronormi.

U prvom su poglavlju knjige izlo�ene linearne oscilacije toèke, i to postupnimuslo�njavanjem gradiva: od slobodnih i prisilnih neprigušenih oscilacija do prisil-nih prigušenih oscilacija. Cilj ovakvog opširnog prvog poglavlja je da se uvedu iobjasne svi potrebni pojmovi radi razumijevanja spektralne teorije, koja se zasniva

IX



na sustavima s jednim stupnjem slobode, a nalazi veliku primjenu u Potresnomin�enjerstvu i Eurokodu 8 pri proraèunu sustava s više stupnjeva slobode.

U drugom su poglavlju izlo�ene sve vrste dinamièkih optereæenja te je s timeu vezi u treæem poglavlju objašnjeno kada se u Dinamici konstrukcija koristi ter-min oscilacija (titranje), a kada termin vibracija. U istom je poglavlju obraðen po-jam integrala konvolucije, poznatijeg pod nazivom Duhamelov integral, koji æe setakoðer poslije primjenjivati u spektralnoj teoriji u 12. poglavlju, pri definiranjupojmova spektralne pseudobrzine i spektralnog pseudoubrzanja.

U poglavljima od 4. do 11. izlo�eno je gradivo poèevši od diskretnih sustavas više stupnjeva slobode u zgradarstvu (uveden je i objašnjen pojam shear buil-ding), kada je poremeæajna sila potres, pa do modalne dinamièke analize. Pritom seu ovim poglavljima još uvijek ne spominje nikakva regulativa koja propisuje pro-jektiranje i graðenje konstrukcija zgradarstva u potresnim podruèjima, koja æe seuvesti veæ od 14. poglavlja.

U poglavljima 12. i 13. najprije se uvode temeljni pojmovi iz potresnogin�enjerstva, kao što su: spektralna analiza, spektralna pseudobrzina, spektralnopseudoubrzanje i koeficijent posmika, a potom je izlo�ena modalna seizmièka ana-liza višekatnih sustava.

U 14. poglavlju izlo�ena je europska norma za projektiranje zgrada u seizmiè-kim podruèjima (Eurokod 8-1) [90]. Poznato je da su europske konstrukcijske nor-me znanstveno utemeljene, a za razumijevanje odredbi Eurokoda 8 u cjelini [90,91, 92] dovoljno je predznanje koje je izlo�eno u prethodnih trinaest poglavlja oveknjige. Buduæi da su odredbe svake norme dane dosta koncizno, u ovom, 14. po-glavlju su odredbe europske norme Eurokod 8-1 detaljno komentirane, pri èemu senastojalo objasniti zašto su propisane odreðene odredbe. Znaèi, ovo poglavlje izno-si razloge zašto je propisana odreðena odredba u Eurokodu 8-1, a tekst svakeodredbe lako je dostupan u izvorniku ove norme [90]. Buduæi da se europska nor-ma EN [90] znaèajno razlikuje od europske prednorme ENV [89], koja je premaTehnièkom propisu za betonske konstrukcije [96] propisana za uporabu u Republi-ci Hrvatskoj, treba naglasiti da je u 14. poglavlju izlo�ena europska normaEN [90], koja se kod nas primjenjuje od poèetka 2009. godine. Takoðer je u ovompoglavlju dan zemljovid Republike Hrvatske s vrijednostima ubrzanja, što su te-meljni podatci kojima se projektanti slu�e u praksi.

U 15. poglavlju prikazana je dinamièka analiza mostova i vijadukata na kojedjeluju sile potresa. Opet valja spomenuti da je za potrebe projektiranja mosta ilivijadukta koji se nalazi u seizmièkom podruèju, kao i za razumijevanje odredbieuropske norme za mostove u seizmièkim podruèjima (Eurokod 8-2) [91], dovolj-

X



no predznanje iz dinamike konstrukcija u opsegu u kojem je ono izlo�eno u ovojknjizi. Na kraju 15. poglavlja izlo�en je primjer proraèuna vijadukta Reber u Slo-veniji, koji se nalazi na autocesti Zagreb - Ljubljana, u svezi s èime je prezentiranzemljovid Slovenije s vrijednostima ubrzanja .

Buduæi da su u odnosu na europsku prednormu [89], u europskoj normi [90]uvedene i nelinearne metode proraèuna konstrukcija u potresnim podruèjima, onese u 16. poglavlju detaljno prikazane. To su: nelinearna statièka metoda (N2) i neli-nearna dinamièka metoda. Na kraju ovog poglavlja izlo�eni su numerièki primjeriuporabe europske norme [90] te izlo�ena uporedna analiza rezultata dobivenih pre-ma linearnim i nelinearnim proraèunima za istu graðevinu.

U 17. poglavlju obraðeni su amerièki propisi Uniform Building Code(UBC97), jer su njima propisani parametri s kojima se mogu projektirati graðevinskekonstrukcije u seizmièkim podruèjima širom svijeta. Za svaku dr�avu, pa tako i zaHrvatsku, UBC97 propisao je vrijednost seizmièkog intenziteta, usklaðeno s podje-lom na seizmièka podruèja unutar SAD. Koncept donošenja normi u SAD-u je takavda se one vrlo èesto mijenjaju, jer odreðena struèna povjerenstva stalno zasjedaju irezultate znanstvenih istra�ivanja ugraðuju u norme. Zbog toga èesto izlaze nove ina-èice odreðene norme, a tako je i s dijelom norme koji obraðuje proraèun i izvedbugraðevinskih konstrukcija u potresnim podruèjima. U 17. je poglavlju obraðenanorma UBC iz 1997. godine [93], a 2000. godine stupila je na snagu nova inaèicaove norme s novim nazivom INTERNATIONAL BUILDING CODE [94]. Novainaèica norme zadr�ala je sve principe i filozofiju proraèuna i graðenja u potresnimpodruèjima iz prethodne inaèice. U meðuvremenu je veæ u primjeni inaèica ove ame-rièke norme iz 2006. godine. Promjena samog naziva norme, koja sada i slu�benopoprima meðunarodni karakter, potvrðuje veæ navedenu konstataciju da je primjenaove norme takoðer moguæa i za proraèun i graðenje graðevinskih konstrukcija useizmièkim podruèjima Hrvatske. Cilj ovoga 17. poglavlja je i da se usporedi nivoseizmièke zaštite iste zgrade projektirane prema europskim i amerièkim normama.

U 18. poglavlju izlo�eni su najva�niji pojmovi iz mehanike stišljivog fluida uopsegu potrebnom da in�enjer konstruktor lakše savlada odredbe europskih normiEN 1991-1-4:2005 i EN 1993-3-1:2006 koje se odnose na proraèun mostova i vija-dukata te proraèun vitkih èeliènih konstrukcija (kao što su vitki èelièni nosaèi ante-na pridr�ani kablovima, èelièni nosaèi rasvjete nogometnih igrališta i sl.) na djelo-vanje vjetrom. Naime, da bi in�enjer konstruktor savladao zahtjeve koji se postav-ljaju u navedenim normama, same te norme u svojim dodacima daju objašnjenjaosnovnih pojmova iz mehanike stišljivog fluida, a u ovom, 18. poglavlju ti su poj-movi dodatno detaljnije objašnjeni. Na kraju ovog poglavlja su detaljno prezen-tirana dva primjera iz prakse. Treba spomenuti da su programi naših i europskih

XI



sveuèilišta nedostatni glede nivoa znanja koje buduæi in�enjeri konstruktori trebajuimati iz mehanike stišljivog fluida da bi razumjeli i primijenili europsku normu zadjelovanje vjetra na konstrukcije EN 1991-1-4:2005. Radi toga se u dodatku E ovenorme to gradivo posebno pojašnjava.

U Prilogu 1. izlo�eno je gradivo i objašnjeni osnovni pojmovi iz seizmologijeu neophodnom obimu da graðevinar i pojmovno i suštinski mo�e razumjeti oneodredbe europske norme u kojima se ti pojmovi spominju.

U Prilogu 2. objašnjeni su va�ni pojmovi podruèja interakcije tla i konstrukci-je, koje treba poznavati radi lakšeg shvaæanja odredbi konstrukcijskih euronormi.Naime, Prilog 2. uveden je poglavito radi pojašnjenja pojmova koji su potrebni zarazumijevanje gradiva izlo�enog u 14. poglavlju ove knjige, a odnose se na seizmi-èki odziv temeljnog tla i interakciju tla i konstrukcije, te s time u svezi nastanak za-danih elastiènih spektara u Eurokodu 8-1. i Eurokodu 8-2.

Gradivo izlo�eno u Prilogu 3. treba pojasniti kriterij regularnosti graðevinskihkonstrukcija, koji je jedan od temeljnih pojmova ne samo u Eurokodu 8-1, veæ i ukoncepciji odabira oblika graðevina u zgradarstvu. Radi toga bi navedeni kriterijiregularnosti graðevinskih konstrukcija trebali savladati i arhitekti – projektanti gra-ðevina koje æe se graditi u seizmièkim podruèjima.

Prilogom 4. detaljnije su objašnjene najva�nije odredbe europske norme zadjelovanje vjetra na konstrukcije [81, 94], na koje je korisnik knjige upuæen priproraèunu djelovanja vjetra na mostove i vijadukte te visoke i vitke graðevine, kaošto su nosaèi rasvjete stadiona, nosaèi antena i sl. (18. poglavlje).

Poznato je da je pri izradi konstrukcijskih euronormi usvojeno naèelo da svakisimbol koji objašnjava odreðenu pojavu ima slovèanu oznaku koja je identiènaprvom slovu rijeèi (pojmu) na engleskom jeziku. Radi toga u knjizi se nastojalo dase za svaki va�an pojam da i njegov naziv na engleskom jeziku, kako bi èitateljknjige kasnije lakše svladao konstrukcijske euronorme u engleskom izvorniku.

Gradivo u knjizi sadr�i i numerièke primjere. Veæina numerièkih primjera kojiilustriraju primjenu izlo�enog gradiva osmišljena je od strane autora, odreðeniprimjeri predstavljaju konstrukcije izvedene u praksi, a neki numerièki primjeripreuzeti su iz navedene literature.

Zahvaljujem mojim suradnicima dr. sc. Mladenu Buliæu, dr. sc. Vanji Trava-šu, mr. sc. Saši Mitroviæu i mr. sc. Elvisu �icu na pomoæi u pripremi knjige terecenzentima prof. dr. sc. Draganu Moriæu i prof. dr. sc. Bernardinu Perošu naulo�enom trudu i danim prijedlozima.

Rijeka, sijeèanj 2010. Autor

XII



POGLAVLJE 1.

LINEARNE OSCILACIJE TOÈKE;SUSTAVI S JEDNIM STUPNJEM SLOBODE



1.1. Slobodne neprigušene oscilacije toèke

Na vodoravnoj nepomiènoj glatkoj ravnini nalazi se toèka M mase m, koja jeu nultom polo�aju O vezana za nedeformiranu oprugu krutosti k. U istom polo�ajuO statièke ravnote�e toèke M na nju djeluju njena te�ina

�G i reakcija

�N idealno

glatke ravnine. Te se dvije sile uzajamno poništavaju. Kada se toèka M izvede izravnote�nog polo�aja nekim vanjskim virtualnim poremeæajem i taj poremeæaj od-mah ukloni, onda osim uravnote�enog sustava sila

�G i

�N na toèku djeluje i elastiè-

na sila opruge (koja se još zove i sila uspostavljanja ili restitucijska sila opru-ge)

�Fk , koja nastoji toèku M vratiti u ravnote�ni polo�aj “O”, tj. nastoji uspostaviti

prvobitni polo�aj toèke, slika 1-1.Matematièki model opisuje prirodnu pojavu, a to je u ovom sluèaju slobodno

osciliranje (titranje) tijela s jednim stupnjem slobode (Single-Degree-Of-Freedom,

3

LINEARNE OSCILACIJE TOÈKE; SUSTAVI S JEDNIM STUPNJEM SLOBODE

Sl. 1-1. Matematièki model sustava s jednim stupnjem slobode



SDOF), jer je za definiranje polo�aja toèke M u proizvoljnom trenutku t potrebnoznati samo jednu koordinatu, tj. zakonitost x(t). Termini broj stupnjeva slobode igeneralizirane koordinate objašnjeni su u mehanici, naprimjer, u literaturi [13, 61],a podjela sustava na diskretne i kontinuirane sustave objašnjena je u poglavlju 2.2.ove knjige.

Vrijednost elastiène sile opruge je:

� �F k xikx �� (1.1)

Diferencijalna jednad�ba pravocrtnog gibanja toèke M du� osi x mo�e se na-pisati na dva naèina [13, 61]:

a) primjenom osnovnog zakona dinamike (drugi Newtonov zakon)

b) primjenom D’Alembertovog naèela

a) m x k x� �� b) m x k x� � � �� 0

��xk

mx� � � 0 (1.2)

�2 �k

m(1.3)

��x x� � ��2 0 (1.4)

Kvocijentk

mpredstavlja kvadrat kru�ne frekvencije slobodnih neprigu-

šenih oscilacija. Mo�e se uoèiti da kru�na frekvencija slobodnih nepriguše-nih oscilacija ovisi o prirodnim karakteristikama k i m oscilatornog sustava, a neovisi o poèetnim uvjetima gibanja toèke M. Zbog toga se � još naziva prirodnaili vlastita kru�na frekvencija slobodnih oscilacija. Jedinica mjere kru�nefrekvencije je radijan u sekundi (rad · s–1). Kako je radijan izvedena jednica za kut(rad � m/m), mo�e se pisati za mjernu jedinicu kru�ne frekvencije samo reciproènasekunda (s�1).

Jednad�ba (1.4) linearna je diferencijalna jednad�ba slobodnih nepriguše-nih oscilacija toèke M. To je linearna homogena diferencijalna jednad�ba drugogstupnja s konstatnim koeficijentima m i k (znaèi s konstantnom vrijednošæu �2 ) tese radi toga uz pojam “oscilacije” dodaje termin “linearne”, kao u naslovu ovogpoglavlja. Integriranje jednad�be (1.4) izvršit æe se odreðivanjem njezine karakteri-stiène jednad�be zamjenom x A e t� � �� te je:

�x A e t� � � �� x A e t� � � �� 2

4

POGLAVLJE 1.



� ��2 0� � � �2 2��

Korijeni ove karakteristiène jednad�be su:

� �1 � �i � �2 �� i

Opæe rješenje (opæi integral) diferencijalne jednad�be (1.4) ima oblik:

x A e A e A e A et t i t i t� � � � � � � �� 1 2 1 2

1 2� � � � (1.5)

Koristeæi Eulerov obrazac:

e t i ti t � �� cos sin

opæi integral (1.5) mo�e se napisati na sljedeæi naèin:

x A t i t A t i t� � � �1 2(cos sin ) (cos sin )� � � �

x A A t i A A t� � � �( )cos ( )sin1 2 1 2� �

x C t C t� �1 2cos sin� � (1.6)

Ovdje su C1 i C2 proizvoljne integracijske konstante koje se odreðuju premapoèetnim uvjetima gibanja. Pretpostavlja se da je u poèetnom trenutku t0 0� :

x x� 0

� �x x� 0

� sin cosx C t C t�� 1 2� � � � (1.7)

Vraæanjem ovih poèetnih uvjeta u jednad�be (1.6) i (1.7), dobiju se sljedeæevrijednosti integracijskih konstanti:

C x1 0�

Cx

2

0��

�

(1.8)

5




pa opæi integral za dane poèetne uvjete gibanja glasi:

x x tx

t� �0

0cos�

sin��

� (1.9)

Kao što se iz rješenja (1.9) uoèava, gibanje toèke u ovom se sluèaju sastoji oddva harmonijska gibanja (jer su trigonometrijske funkcije ujedno i harmonijske)koja imaju iste kru�ne frekvencije �, a razlièite amplitude. Zato se razmatraneoscilacije nazivaju i harmonijske slobodne neprigušene oscilacije toèke koje su,prema obliku rješenja (1.9), moguæe samo ako postoje poèetni uvjeti gibanja razli-èiti od nule. Njihova grafièka prezentacija dana je na slici 1-2(a).

Dva harmonijska gibanja od kojih se sastoji jednad�ba (1.9) moguæe je mate-matièki svesti na jedno harmonijsko gibanje iste kru�ne frekvencije �. S tim ciljemuvesti æe se dvije nove konstante A i :

C A1 � sin

C A2 � cos

koje æe se zamijeniti u jednad�bu (1.6) i dobiti:

x A t A t� � � � �sin cos cos sin � �

x A t� �sin ( )� (1.10)

y A t� �cos( )�

6

POGLAVLJE 1.

Sl. 1-2. Grafièka prezentacija odziva sustava s jednim stupnjem slobode



Znaèi da je funkcija (1.10) harmonijska i periodièna, a njena prezentacija jedana na slici 1-2(b). Velièina A u jednad�bi (1.10) predstavlja amplitudu slobod-nih harmonijskih oscilacija toèke koja ima vrijednost:

A C C xx

� � � ��

�

�

��( )

�12

22

02 0

2

�(1.11)

Kut ( )� t� u jednad�bi (1.10) naziva se fazom oscilacija toèke, a kut predstavlja faznu razliku izmeðu rezultirajuæeg gibanja toèke i gibanja odreðenogdijelom x t0 cos� iz rješenja (1.9) koje predstavlja primarnu komponentu u re-zultirajuæem gibanju. Kut fazne razlike ima vrijednost:

tg �

� ��C

C

x

x1

2

0

0�

(1.12)

Buduæi da svakoj vrijednosti tangensa odgovaraju dva kuta u granicama od0 do 2�, da bi se odredila vrijednost fazne razlike potrebno je odrediti i sin icos :

sin�

�

� �

��

�

�

��

C

A

x

xx

1 0

02 0

2cos

�

�

��

� �

C

A

x

x x

2 0

202

02

Broj prijeðenih punih ciklusa (punih rotacija) ostvarenih u jedinici vremena(sekundi) je frekvencija f, èija se vrijednost izra�ava u hertzima (Hz).

f ��

�2(1.13)

Period slobodnih neprigušenih oscilacija toèke T ima vrijednost, slika 1-2.:

Tf

m

k� � �

1 22

�

�� (1.14)

Period oscilacija T i kru�na frekvencija � ne ovise o poèetnim uvjetima gi-banja toèke. S poveæanjem krutosti neke konstrukcije smanjuje se njezin periodosciliranja T te se za sustav s malim periodom osciliranja uvodi pojam krutisustav.

7




Do diferencijalne jednad�be slobodnih neprigušenih oscilacija (1.4) mo�e sedoæi i razmatranjem slobodnih oscilacija tereta obješenog o oprugu krutosti k, slika1-3. Du�ina opruge u nenapregnutom stanju je l0 , a kada se o nju objesi teret

�G (pri

èemu se teret nanosi postupno da ne bi došlo do inercijalnih efekata), opruga se iz-du�i za vijednost O O f s1 � . Tada je (uz uvjet da teret miruje te nema inercijalnihsila) sila u opruzi u ravnote�i s te�inom

�G, pa se progib f s naziva statièko iz-

du�enje opruge.

8

POGLAVLJE 1.

Slika 1-3. Slobodne oscilacije obješenog tereta



Trenutak uspostavljanja statièke ravnote�e tereta naziva se poèetni trenutak iima oznaku t0 . U tom poèetnom trenutku (kada je koordinatni poèetak oznaèen oz-nakom O) teret

�G (znaèi toèka M) nekim vanjskim virtualnim djelovanjem izvest

æe se iz ravnote�nog polo�aja po vertikali za vrijednost x 0 i nakon toga æe se toèkaM pustiti da slobodno oscilira. U tom trenutku njena poèetna brzina bit æe �x 0 . Timesu postignuti ranije uvedeni poèetni uvjeti gibanja za t t� �0 0 : x x� 0 i � �x x� 0 .U analizi æe se zanemariti otpor zraka i masa opruge. U nekom trenutku, kada jepolo�aj tereta odreðen koordinatom x, na toèku M djeluju te�ina

�G i elastièna sila

(sila uspostavljanja), èiji je intenzitet proporcionalan ukupnoj deformaciji opruge iima vrijednost:

F k f xkx s�� ( )

Sada primjenom osnovnog zakona dinamike [61] diferencijalna jednad�bagibanja toèke M ima oblik:

mx G k f xs�� ( )� � � (1.15)

Buduæi da se u polo�aju statièke ravnote�e mo�e napisati:

�x G kf s� � � 0

G k f s�

kG

f

mg

fs s

� � (1.16)

jednad�ba (1.15) svodi se na:

mx kx�� 0 (1.17)

Prema tome, slobodne neprigušene oscilacije tereta obješenog o oprugu kruto-sti k opisane su istom, prije izvedenom diferecijalnom jednad�bom za sluèaj kadase teret nalazio na nepomiènoj glatkoj vodoravnoj ravnini. To je zbog toga što se uovom sluèaju te�ina

�G tereta u svakom trenutku uravnote�uje s elastiènom silom

opruge u polo�aju statièke ravnote�e. Znaèi, ako se za koordinatni poèetakusvoji statièki polo�aj ravnote�e tereta, onda æe u diferecijalnoj jednad�bi giba-nja (1.17) figurirati samo elastièna sila kx, kao i prije u jednad�bi (1.4). Drugi jerazlog zbog kojega je analiziran primjer tereta obješenog o oprugu taj što je do-

9




bivena moguænost da se iz vrijednosti krutosti (1.16) mo�e izravno izraèunatifrekvencija (ili period) sustava s jednim stupnjem slobode, ako se zna vrijednostnjegovog statièkog progiba.

U sluèaju tereta obješenog o oprugu krutosti k mo�e se iz (1.16) napisati:

�2 � �k

m

g

f s

Tf

gs� �

22

�

��

Iz posljednjeg izraza za period osciliranja T slijedi da sila�

G u ovom slu-èaju ne mijenja karakter osciliranja tijela, veæ se samo pomièe centar osci-liranja u smjeru djelovanja sile

�G za vrijednost statièkog izdu�enja opruge

f s .Znaèi da je iz posljednjih izraza moguæe odrediti kru�nu frekvenciju nekog

nosaèa ako je poznato statièko izdu�enje opruge f s , tj. generalno, ako je poznatstatièki progib razmatranog nosaèa. Ta se osobina koristi za odreðivanje kru�nefrekvencije raznih statièkih sustava.

Naprimjer, za prostu gredu na slici 1-4. raspona l, optereæenu vlastitomte�inom mg koja je koncentrirana u sredini raspona (takva koncentrirana masa do-biva naziv diskretna masa, pojam koji æe se uvesti u 2. poglavlju), mo�e se odre-diti prirodna kru�na frekvencija.

Ako je krutost grede na savijanje EI, njen statièki progib [69] ima vrijed-nost:

10

POGLAVLJE 1.

Sl. 1-4. Prosta greda za koju treba odrediti prirodnu kru�nu frekvenciju



fm g l

EIs ��

�

3

48

��

�

g

f

EI

m ls

483

Na kraju æe se prikazati i torzijske oscilacije sustava s jednim stupnjemslobode, koji predstavlja konzolu na èijem se slobodnom kraju nalazi disk,slika 1-5. Stupanj slobode predstavlja rotaciju diska oko osi n mjerenu koordina-tom �.

Ako se razmatrani sustav na trenutak pobudi momentom torzije Mt , koji æe seodmah nakon toga ukloniti, za sustav se, analogno diferencijalnoj jednad�bi (1.4)odnosno (1.17), mo�e napisati:

J kn t�� 0

�� 2 0(1.18)

Kao što je na slici 1-5. pokazano, uvedene su sljedeæe oznake:

J r mn nm

�� 2d polarni moment tromosti diska;

rn najkraæi razmak elementarne mase diska dm od osi n;

k t torzijska krutost sustava, koja je jednaka torzijskom momentu potrebnomda izvede rotaciju diska oko osi n za jedan radijan [Nm/rad];

�2 �k

Jt

n

prirodna torzijska frekvencija.

Iz tehnièke mehanike-dinamike [61] poznato je da u sluèaju kada je generali-zirana koordinata dana u radijanima, kao u ovom primjeru, vrijednost kojom semno�i �� u jednad�bi (1.18) mora imati dimenziju momenta tromosti.

11


Sl. 1-5. Slobodne torzijske oscilacije diska



Treæi razlog zbog kojeg je uvedeno razmatranje tereta obješenog o oprugu,slika 1-3., potreba je za razumijevanjem ponašanja paralelno i serijski spregnutihvertikalnih opruga, što æe se prikazati u nastavku.

• Odreðivanje krutosti ekvivalentne opruge

A. Paralelna sprega

Iz uvjeta da je izdu�enje sve tri opruge na slici 1-6. isto,

� � �1 2� �

mo�e se napisati:

S S mg S1 2� � � S k1 1 1� �� S k2 2 2� �� S kekv� ��

k k kekv1 1 2 2� � � � �� k k k kekv ii

n

� � ��

�1 21

12

POGLAVLJE 1.

Sl. 1-6. Sustav s paralelnim oprugama i njemu ekvivalentan sustav s jednom oprugom



B. Serijska sprega

U ovom se sluèaju iz uvjeta da je sila u sve tri opruge na slici 1-7. ista,

S S S1 2� �

mo�e napisati:

� � �1 2� �

S

k

S

k

S

kekv

1

1

2

2

� � �1 1 1 1

1 2 1k k k kekv ii

n

� � ��

�

Sustavi opruga i pojam ekvivalente opruge nalaze svoju primjenu i kod pred-stavljanja pojava kao što su: vremenske deformacije betona (pu�enje i teèenje beto-na) ili praæenje odreðenih pojava i procesa u geomehanici. Sve se to izuèava u po-sebnoj disciplini nazvanoj reologija betona i reologija tla.

13


Sl. 1-7. Sustav sa serijskim polo�ajem opruga i njemu ekvivalentan sustav s jednom oprugom



1.1.1. Primjer

Primjer 1.

Odrediti period osciliranja za sustav na slici 1-8. što ga èini èelièna konzola naèijem je slobodnom kraju preko opruge krutosti 100 N/cm obješen teret te�ine 50 N.Konzola je èelièna, kvadratnog popreènog presjeka (širine 25 mm, debljine 7 mm).

E� � �210 000 2 1 102 7 2N/mm N/cm,

I ��

�2 5 0 7

120 09188

34

, ,, cm

Iz otpornosti materijala [69] poznato je da pomak � slobodnog kraja konzoleuslijed djelovanja sile F na njenom slobodnom kraju ima vrijednost:

��FL

EI

3

3

Krutost konzole na savijanje, odnosno, krutost ekvivalentne opruge konzolepredstavlja silu na slobodnom kraju opruge koja uzrokuje jedinièni pomak tog slo-bodnog kraja te je:

14

POGLAVLJE 1.

Sl. 1-8. Zadani statièki sustav i optereæenje



kF EI

L1 3

3214� � �

�N/cm

Oznaka za krutost opruge koja predstavlja konzolu dobila je indeks “1”, aoznaka za krutost opruge na koju je obješen teret dobila je indeks “2”, slika 1-8.,kao što je prikazano na slici 1-7. kojom je uveden pojam serijske sprege opruga, zakoju je:

1 1

214

1

1000 01469

ke

� � � ,

ke � 69 15, N/cm

m� �50

9810 051, Ns /cm2

�� k me 69 15 0 051 36 83, , , rad · s–1

f � ��

�25 86, Hz ; T

f� �

10 17, s

15




1.2. Slobodne prigušene oscilacije toèke

U ovom sluèaju osim elastiène sile na toèku djeluje i sila otpora, koja je uvijekusmjerena suprotno od smjera gibanja toèke. Postoji nekoliko vrsta sila otpora:

a) sila otpora viskoznog trenja linearna je funkciji brzine toèke;

b) sila otpora suhog trenja naziva se i Coulombovo trenje, a konstantnog jeintenziteta;

c) sila otpora zraka pri malim je brzinama toèke linearno proporcionalnabrzini toèke, dok je pri veæim brzinama linearno proporcionalna kvadratubrzine toèke;

d) sila otpora zavisna od pomaka, odnosno, generalno od stanja deformacijakonstrukcije i naziva se histerezna sila otpora, koja je povezana s trošenjemenergije što se u konstrukciju unosi u potresu. O tome više u 14. poglavlju.

Ovdje æe se u analizi slobodnih prigušenih oscilacija toèke pretpostaviti silaotpora viskoznog trenja što se slikovito mo�e prikazati gibanjem klipa u cilindru stekuæinom odreðenog viskoziteta, slika 1-9. Gibanjem klipa u cilindru se stvara silaotpora, za koju je reèeno da joj je intezitet linearno proporcionalan brzini gibanjaklipa, a smjer suprotan smjeru gibanja klipa. Koeficijent proporcionalnosti koji

16

POGLAVLJE 1.

Sl. 1-9. Predstavljanje sile otpora viskoznog trenja



karakterizira otpor sredine, tj. otpor viskozne tekuæine oznaèit æe se oznakom c.To je numerièka konstanta i zvat æe se koeficijent viskoziteta c ili prigušenje. Uovom sluèaju sila otpora viskoznog trenja

�Fc ima sljedeæu vrijednost:

� � �F c x c vc �� (1.19)

gdje je �� x v� brzina materijalne toèke M.

Promatrat æe se ravnote�a toèke M mase m matematièkog modela na slici1-10(c) koji predstavlja neku realnu konstrukciju kao na slici 1-10(a), na koju dje-luju: elastièna sila, sila otpora te inercijalna sila.

� �F k x ik ��

� �F c x ic ��

� �F m x iin ��

Primjenom drugog Newtonovog zakona ili D’Alembertovog naèela, kada se zakoordinatni poèetak osi x usvoji toèka O, slika 1-10(c), koja odgovara polo�aju sta-tièke ravnote�e toèke M, dobija se sljedeæa diferencijalna jednad�ba:

m x F Fk c� � ��

m x kx cx� ��

mx cx kx�� 0

17


Sl. 1-10. Konstrukcija s jednim stupnjem slobode (a) i njen dinamièki model (b)i matematièki model (c)



�� xc

mx

k

mx� � � � � 0 (1.20)

Ovo je diferencijalna jednad�ba slobodnih prigušenih oscilacija toèke M. Toje homogena linearna diferencijalna jednad�ba drugog stupnja sa konstantnim koe-ficijentima m, k i c, èija karakteristièna jednad�ba nakon smjene x A e t� � � imasljedeæi oblik:

� �2 0� � � �c

m

k

m

Korijeni karakteristiène jednad�be su:

�1

2

22 4��

c

m

c

m

k

m� 2

2

22 4��

c

m

c

m

k

m

x A e A et t� � � �� 1 2

1 2� �

Karakter gibanja toèke, znaèi, ovisi o prirodi korijena karakteristiène jed-nad�be, što opet ovisi o vrijednosti ispod kvadratnog korijena:

c

m

k

m

2

24�

�

�

�

��

Ako se uvede oznaka:

c

m� 2�

pri èemu je simbolom � nazvan koeficijent prigušenja, posljednja diferencijanajednad�ba dobiva oblik:

�� x x x� � � � � �2 02� � (1.21)

Kritièno prigušenje ccr ona je velièina za koju je vrijednost ispod kva-dratnog korijena jednaka nuli.

c

m

k

mcr2

240

��

18

POGLAVLJE 1.



c km m m mcr � � � � �2 2 22� � (1.22)

Ako se uvede sljedeæe obilje�avanje za kvocijent stvarnog prema kritiènomprigušenju

� �c

ccr

(1.23)

koji se naziva relativno prigušenje, koeficijentc

mu diferencijalnoj jednad�bi

(1.20) imat æe sljedeæi oblik:

c

m

c

m

m

mcr� �

��

� � ��

22 (1.24)

pa se diferencijalna jednad�ba (1.20) mo�e napisati u obliku:

�� x x x� � �2 02�� (1.25)

Korijeni njene karakteristiène jednad�be imaju vrijednosti:

� �� 1 22 2 2 2 1, ( )�� (1.26)

Reèeno je da gibanje toèke ovisi o prirodi korijena karakteristiène jednad�be,koji opet ovise od vrijednosti �. Promatrat æe se tri tipa rješenja diferencijalne jed-nad�be (1.25) za:

� � �� 1 1 1; ; .

• Sluèaj kada je � � 1 ili sluèaj “malog prigušenja”

U ovom su sluèaju korijeni karakteristiène jednad�be (1.26) konjugiranokompleksni:

� � � � �1 22

, ( )� � �i

pa rješenje diferencijale jednad�be (1.25) ima oblik:

x A e A ei t i t� �� 1

12

12 2� � � � � �( ) ( ) (1.27)

19




Radi skraæenja pisanja primjenjuje se prije uvedeno obilje�avanje:

c

m� �2 2� ��

te je:� ��

� � �d � �1 2 (1.28)

(indeks d je od engl. damping, a u skladu s praksom primijenjenom u konstrukcij-skim euronormama, u kojima se za simbole i indekse koristi poèetno slovo odreðe-nog pojma na engleskom jeziku)

Rješenje (1.27) ima oblik:

� �x A e A e e A e A ei t i t t i t i td d d� � � �� 1 2 1 2

( ) ( )� � � � � � ��

gdje je �d kru�na frekvencija slobodnih prigušenih oscilacija.

Ako se primijeni Eulerov obrazac (e t i ti td d

d � � � �cos sin ) na posljednjujednad�bu, opæi integral dobiva se u sljedeæem obliku:

x e A t i t A t i ttd d d d� � � �� [ (cos sin ) (cos sin )]1 2

x e A A t i A A ttd d� � � �� [( )cos ( )sin ]1 2 1 2

Zamjenom C A A1 1 2� � ; C i A A2 1 2� �( ) dobije se:

x e C t C ttd d� �� ( cos sin )1 2 (1.29)

I ovdje su C1 i C 2 proizvoljne integracijske konstante odreðene prema poèet-nim uvjetima gibanja koji æe se pretpostaviti kao i u prethodnom poglavlju:

Za t0 0� je:x x� 0 ; � �x x� 0

� ( cos sin ) ( sin cox e C t C t e C t Ctd d d

td��

1 2 1 2 s )�d t

C x1 0� ;

20

POGLAVLJE 1.



��

x C C Cx x

dd

0 1 2 2

0 0��

� ��

�

Opæi integral (1.29) za zadane poèetne uvjete ima sljedeæi oblik:

x e x tx x

ttd

dd� �

��

�

�

��

��

��0

0 0cos�

sin (1.30)

Prema obliku rješenja (1.30) uoèava se da je zakon gibanja toèke odreðen su-perpozicijom dva harmonijska gibanja istih kru�nih frekvencija �d, a razlièitihamplituda. Ove amplitude nisu ovdje više konstante veæ ovise o vremenu, tako dase tijekom vremena smanjuju zbog èlana e t�� .

I ovdje æe se zakon gibanja (1.30) napisati u jednostavnijem obliku uvodeæiumjesto konstanti C1 i C 2 nove integracijske konstante A i , stavljajuæi da je:

C A1 � sin ; C A2 � cos (1.31)

Zamjenom ovih konstanti u opæi integral (1.29) dobija se zakon gibanja toèkeu sljedeæem obliku:

x Ae ttd� �� sin ( ) (1.32)

gdje je amplituda A:

A C C xx x

d

� � � ��

�

�

��1

222

02 0 0

2�

�

�

a kut fazne razlike :

tg �

��

�

C

C

x

x xd1

2

0

0 0�

U rješenju (1.32) za sluèaj prigušenih oscilacija amplitude x te�e nuli kadavrijeme t te�i beskonaènosti, slika 1-11.

Iz grafièkog prikaza ovog gibanja uoèava se da je ono aperiodièno jer se svremenom maksimalni odmaci toèke od ravnote�nog polo�aja smanjuju. Meðutim,iako gibanje nije periodièno, ono je harmonijsko i oscilatornog karaktera jer jefunkcija sinusa harmonijska, a interval vremena koje protekne izmeðu dvije susjed-ne amplitude uvijek je isti i ima vrijednost Td. Zbog toga se ovo gibanje naziva pri-

21




gušeno oscilatorno gibanje. (Pojmovi periodiènih i aperiodiènih funkcija detaljnosu objašnjeni u poglavlju 2.1.).

Period slobodnih prigušenih oscilacija ima vrijednost:

Tdd

� ��

2 2

1 2

�

�

�

� �(1.33)

Vrijednosti relativnog prigušenja ovise o vrsti materijala konstrukcije i naèinuostvarivanja spojeva te se za metalne zavarene konstrukcije kreæu od 2% do 4%, zametalne vijèane konstrukcije od 4% do 7%, za prednapete betonske konstrukcijeod 2% do 5%, a za armiranobetonske konstrukcije od 5% do 10% [6, 41].

Buduæi da se u ovom sluèaju razmatra osciliranje kada je � �1, nazvano sluè-aj malog prigušenja, kvadrat kritiènog prigušenja � 2 zanemarljivo je mali u odnosuna jedinicu pa se mo�e pisati da je:

T Td �

� � � �d � � �1 2 (1.34)

22

POGLAVLJE 1.

Sl. 1-11. Grafièki prikaz slobodnih prigušenih oscilacija



Ako se uoèe dvije uzastopne amplitude na slici 1-11. i napiše logaritam njiho-vog kvocijenta:

DA

A

e

ee e e

t

tt t T Td� � � � �

�

��ln ln ln ln ln( )1

2

1

2

2 1

�

��

D T Td d� � ��

� ��

� �

2

1 2

D��

2

1 2

��

�(1.35)

Izraz (1.35) naziva se logaritamsko opadanje (engl. logarithmic decrement)prigušenih oscilacija toèke. Na temelju njegove vrijednosti mo�e se ocijenitibrzina prigušivanja oscilacija u odreðenoj konstrukciji. Naèin mjerenja logari-tamskog opadanja na konstrukcijama u prirodnoj velièini prikazan je na slici 1-13.Logaritamsko opadanje ovisi samo o relativnom prigušenju � te kada je relativnoprigušenje vrlo malo (� ��1) logaritamsko opadanje ima vrijednost D� 2��.

• Sluèaj kada je � � 1 ili sluèaj “velikog prigušenja”

U ovom su sluèaju korijeni (1.26) karakteristiène jednad�be realni i razlièiti:

� �� 1 22 2 2 2 2

, �� m

Opæi integral diferencijane jednad�be (1.25) u ovom sluèaju je:

x A e A et t� �1 21 2� �

x e A e A et mt mt� �� ( )1 2

Uvoðenjem zamjene:

e mt mtmt � ch sh

opæi integral mo�e se napisati u obliku:

x e A mt mt A mt mtt� � � �� [ ( ) ( )]1 2ch sh ch sh

x e A A mt A A mtt� � � �� [( ) ( ) ]1 2 1 2ch sh

x e C mt C mtt� �� ( )1 2ch sh (1.36)

23




gdje su:

C A A1 1 2� � ; C A A2 1 2� �

proizvoljne integracijske konstante koje se odreðuju iz poèetnih uvjeta gibanjatoèke.

Prema rješenju (1.36) gibanje toèke u ovom je sluèaju aperiodièno i priguše-no i nije oscilatorno. Kada vrijeme te�i beskonaènosti ( ),t ! tada se toèka Masimptotski pribli�ava polo�aju ravnote�e bez oscilatornog gibanja, slika 1-12.

Ovaj oblik grafikona gibanja toèke odgovara sljedeæim poèetnim uvjetima:

x 0 0�

�x 0 0�

• Sluèaj kada je � � 1 ili “granièni sluèaj prigušenja”

U ovom su sluèaju korijeni karakteristiène jednad�be realni i meðusobno jed-naki:

� � � �� 1 2 2 2

� �� c

c

c

m

c

mkr

x A e A e Aet t t1 1 2

1 2� � � ��

24

POGLAVLJE 1.

Sl. 1-12. Gibanje toèke u sluèaju velikog prigušenja �� 1



Oèigledno da i sljedeæe rješenje zadovoljava diferencijalnu jednad�bu (1.25):

x Bte t2 �

��

pa opæi intgral diferencijalne jednad�be (1.25) ima oblik:

x A Bt e t� � �( ) �� (1.37)

Gibanje toèke i u ovom je sluèaju aperiodièno i nije oscilatorno, a grafikonovog gibanja za iste poèetne uvjete ne razlikuje se suštinski od grafikona za sluèajvelikog prigušenja.

• Mjerenje stvarnog relativnog prigušenja u konstrukciji s jednim stupnjemslobode, slika 1-13.

Buduæi da nije moguæe analitièki odrediti prigušenje c (znaèi niti relativnoprigušenje �), njegova se vrijednosti odreðuje eksperimentalno. Razumijevanje dosada izlo�enog dovoljna je osnova za eksperimentalno odreðivanje prigušenja i pri-rodnog perioda vibracija T, a radi se na sljedeæi naèin:

25


Sl. 1-13. Eksperimentalno odreðivanje prigušenja u konstrukciji



� pobudi se konstrukcija i izvede iz ravnote�nog stanja u stvarni oblikosciliranja (termin oblik osciliranja uvest æe se i objasniti u poglavlju 4)nekim poremeæajem, slika 1-13., pa se taj poremeæaj ukloni;

� na posebnom se ureðaju registrira slobodno osciliranje konstrukcije i na tajse naèin dobije dijagram x(t) kao na slici 1-13.;

� iz tako dobivenog dijagrama raèuna se logaritamsko opadanje, pri èemu sedobije toèniji rezultat ako se meðusobno podijele amplitude xi i xi�j, gdje jej� 3;

Dj

x

xi

i j

� ��

12ln ��

DOKAZ:

x

x

x

x

x

x

x

xn

n

n

0 0

1

1

2

1� � � � �...

ln ...x

xD D D nD

n

0�

�

�

��

Dn

x

x n

��

�

�

��

120ln ��

� raèuna se vrijednost relativnog prigušenja ��

�D

2;

�mjerenjem se dolazi i do vrijednosti perioda slobodnih prigušenih oscilacijaT Td� .

Ovaj postupak vrijedi samo za sustav s jednim stupnjem slobode. Postoji jošjedan naèin za odreðivanje stvarnog relativnog prigušenja � u konstrukciji, neovis-no o broju njenih stupnjeva slobode, poznat pod nazivom Half-power metoda[6, 9]. Njime se vrijednost � dobije tako da se konstrukcija u prirodnoj velièini(most, brana, zgrada) pobudi specijalnom opremom, a naèin rada opreme i naèinmjerenja vrijednosti prigušenja u konstrukciji izlo�en je u potresnom in�enjerstvu[49, 74].

26

POGLAVLJE 1.



1.2.1. Primjer

Primjer 2.

Platformu te�ine W � 4000 N nose èetiri jednaka stupa upeta na oba svoja kra-ja, slika 1-14. Eksperimentalno je odreðeno da statièka sila inteziteta F �1000 Nprimijenjena horizontalno na platformu stvara pomak u vrijednosti �� 0,1 cm.Procjenjuje se da je relativno prigušenje u konstrukciji reda velièine � � 0,05.Odrediti:

(a) prirodnu frekvenciju neprigušenih oscilacija;(b) koeficijent viskoziteta c;(c) logaritamsko opadanje D;(d) broj ciklusa i potrebno vrijeme da se amplitude horizontalnih pomaka plat-

forme reduciraju od poèetne vrijednosti 0,1 cm na vrijednost 0,01 cm.

(a) kF

� � ��

1000

0110 000

,N cm�1

mW

g� � �

4000

9814 08, Ns2 cm�1

27


Sl. 1-14. Shematski prikaz platforme



�� k

m

10 000

4 0849 51

,, rad · s�1

� � �d � � � � �1 49 51 1 0 05 49 4482 2, , , rad · s�1

(b) � � 0 05,

c kmcr � �2 403 98, Ns · cm�1

c ckr� � � �� 0 05 403 98 20 20, , , Ns · cm�1

(c) DA

A�

�

�

�

�� ln ( , ) ,0

1

2 2 0 05 0 314��

(d)A

A

A

A

A

A

A

An

n

n

0 0

1

1

2

1� � � � �...

ln ...A

AD D D nD

n

0�

�

�

��

ln,

,,

01

0 010 314

�

�

�

�� n

n� � �ln

,

,

,,

10

0 314

2 303

0 3147 333

� � �d � � � � �1 49 51 1 0 05 49 4482 2, ( , ) , s�1

Tdd

� � �2 2

49 44801271

�

�

�

,, s

Vrijeme poslije 7,333 ciklusa:

t Td� � � � �7 333 7 333 01271 102, , , , s

28

POGLAVLJE 1.



1.3. Prisilne neprigušene oscilacije toèke

Analizirat æe se oscilacije toèke M mase m po vodoravnoj glatkoj ravnini nakoju djeluju:

� sila elastiènosti opruge� �F k xik �� ,

� inercijalna sila� �F m x iin �� ,

� vanjska poremeæajna sila�F" uslijed npr. rada nekog stroja s ekscentrom.

Primjenom D’Alemberovog naèela mo�e se napisati:

� � �F F mxk" � � �� 0

mx kx F�� "

U ovoj analizi æe se protpostaviti da je vanjska poremeæajna sila periodiènafunkcija vremena i da se mijenja po harmonijskom zakonu:

F F t" "� �0 sin ( )# (1.38)

29


Sl. 1-15. Matematièki model prinudnih neprigušenih oscilacija sustavas jednim stupnjem slobode



F0 je amplituda, " kru�na frekvencija, ( )"t� # faza, a # poèetna faza pore-meæajne sile.

I ovdje je poèetak O koordinatne osi Ox usvojen u polo�aju statièke ravnote�etoèke M. Na temelju D’Alembertovog naèela ili na temelju osnovnog zakona di-namike je:

mx F kx�� "

mx kx F t�� sin ( )� � �0 " #

�� sin ( )x x h t� � �� #2 " (1.39)

pri èemu je uvedeno sljedeæe obilje�avanje:

hF

m� 0 (1.40)

Diferencijalna jednad�ba prisilnih neprigušenih oscilacija toèke (1.39) je line-arna nehomogena diferencijalna jednad�ba drugog stupnja s konstantnim koefici-jentima. Njezin opæi integral jednak je zbroju integrala homogene jednad�be xh ipartikularnog integrala nehomogene jednad�be xp.

x x xh p� �

x C t C th � �1 2cos sin� �

Partikularni integral za sluèaj da je �$" tra�it æe se u obliku u kojemu je ifunkcija poremeæajne sile.

x C tp � �sin ( )" # (1.41)

gdje je C nepoznata konstanta.

�� sin ( )x C tp �� " "2 # (1.42)

Zamjenom (1.41) i (1.42) u diferencijalnu jednad�bu (1.39) dobije se kon-stanta C.

30

POGLAVLJE 1.



� � � � � �C t C t h t" " " "2 2sin ( ) sin ( ) sin ( )# � # #

� � �C C h" 2 2�

Ch

��2 2"

(1.43)

Konstanta C ne ovisi o poèetnim uvjetima gibanja. Sada se opæe rješenje dife-rencijalne jednad�be (1.39) mo�e napisati u sljedeæem obliku:

x C t C th

t� � ��

�1 2 2 2cos sin sin ( )� ��

#"

" (1.44)

ili u obliku:

x A t C t� � � �sin ( ) sin ( )� � # (1.45)

Rješenje (1.45) predstavlja zbroj dvaju harmonijskih gibanja, razlièitih amplitu-da, razlièitih kru�nih frekvencija i razlièitih faza. Proizvoljne integracijske konstanteC1 i C 2 u rješenju (1.44) odredit æe se iz poèetnih uvjeta gibanja. Za t t� �0 0 je:

x x� 0

� �x x� 0 (1.46)

Ako se ovi poèetni uvjeti gibanja zamjene u jednad�bu (1.44), dobije se:

x Ch

0 1 2 2� ��

#"

sin ; � cosx Ch

0 2 2 2� ��

��

#"

"

C xh

1 0 2 2� ��

#"

sin ; Cx h

2

0

2 2� � ��

�cos

� � �#

"

"

pa se za jednad�bu gibanja (1.44) i poèetne uvjete (1.46) dobiva sljedeæe konaènorješenje:

x x tx

th

t t� � ��

��

0

0

2 2cos�

sin sin cos cos sin��

��

# ��

# �"

" ��

��

�h

t�

#2 2""sin ( ) (1.47)

31




Iz jednad�be (1.47) slijedi da je rezultirajuæe gibanje toèke odreðeno superpo-zicijom:

(1) slobodnih neprigušenih oscilacija toèke prema zadanim poèetnim uvjetimagibanja (prva dva èlana rješenja),

(2) neprigušenih oscilacija koje imaju prirodnu kru�nu frekvenciju �, ali surezultat djelovanja poremeæajne sile,

(3) i èisto prisilnih oscilacija (posljednji èlan rješenja).

U stvarnim uvjetima postoje sile otpora pa se slobodne oscilacije vrlo brzoizgube (prigušuju) i nemaju utjecaja na rezultirajuæe gibanje, kako je prikaza-no u predhodnom poglavlju. Znaèi da primarnu va�nost imaju prisilne oscilacije(3) u rješenju (1.47), koje se ne prigušuju niti pri postojanju sile otpora. Zbog togaæe se detaljnije prouèiti prinudne oscilacije toèke M odreðene posljednjim dijelomrješenja (1.47), tj. prouèit æe se ovisnost amplitude prinudnih oscilacija od frekven-cije " poremeæajne sile.

Dio (3) rješenja (1.47) nazvano je “ustaljene” oscilacije (steady-state respon-se), jer se zapravo na njih svodi problem prisilnih neprigušenih oscilacija, tj. oscili-ranje materijalne toèke “ustali” se po zakonitosti danoj dijelom (3) rješenja (1.47).

Ako se zna da je prije u poglavlju 1.1. uvedeno obilje�avanje f s za statièkoizdu�enje opruge (statièki progib) nastalo djelovanjem konstantne poremeæajne si-le, naprimjer sile F0 , iz uvedenog obilje�avanja (1.40) dobije se:

F mh kf s0 � �

odakle je:

fmh

k

hs � �

�2 (1.48)

Sada partikularni integral (1.41), tj. posljednji dio rješenja (1.47) ima sljedeæioblik:

xh

t

h

tf

ps�

��

��

� �

��

# �

�

#

�

2 2

2

2

1 1"

""

""

sin ( ) sin ( )

� ��

�2 sin ( )"t # (1.49)

32

POGLAVLJE 1.



Kvocijent frekvencije poremeæajne sile " i prirodne ili vlastite kru�ne frek-vencije slobodnih oscilacija � naziva se koeficijent poremeæaja (frequency ratio),koji æe se obilje�iti oznakom r:

r�"

�(1.50)

Imajuæi u vidu uvedena obilje�avanja (1.48) i (1.50) partikularni integral(1.49) dobiva sljedeæi oblik:

xf

rt f tp

s

d��

� � �1 2 sin ( ) sin ( )" "# # (1.51)

gdje je f d amplituda pomaka kada je vanjska sila dinamièkog karaktera. Kvocijentmaksimalnih amplituda pomaka pri dinamièkom ( f d ) i statièkom ( f s ) djelovanjuporemeæajne sile naziva se dinamièki faktor (dynamic factor) i obilje�ava ozna-kom % d :

% d

d

s

f

f r� �

�

1

1 2 (1.52)

U (1.51) pretpostavlja se da je r�1. Za sluèaj kada je r�1, dinamièki faktor(1.52) postaje:

% d rr�

��

1

112 , (1.53)

Sada izraz za partikularni integral ima sljedeæi oblik:

x f tp d s� �% #sin ( )" (1.54)

Velièina amplitude prisilnih oscilacija ovisi o dinamièkom faktoru % d , koji jefunkcija koeficijenata poremeæaja r prema dijagramu na slici 1-16.

Iz slike 1-16. uoèava se da pri poveæanju kru�ne frekvencije poremeæajne sile" od"� 0 do"� �, dinamièki faktor % d raste od 1 do!. Pri daljnjem poveæanju" do njene beskonaène vrijednosti, dinamièki faktor % d opada na nulu. Za sluèaj ka-da je "� � (ili r�1), dinamièki faktor % d postaje beskonaèan kao i amplitudeprisilnih oscilacija. Taj sluèaj kada je kru�na frekvencija slobodnih oscilacija jedna-ka kru�noj frekvenciji prisilnih oscilacija, naziva se rezonancija. Iz slike 1-16. tako-

33




ðer se uoèava da se za vrijednosti"� � dinamièki faktor % d mo�e smanjiti najvišedo jedinice pa se u tom sluèaju amplitude prisilnih oscilacija, pri dinamièkom djelo-vanju poremeæajne sile, mogu smanjiti najviše do velièine amplitude pri statièkomdjelovanju poremeæajne sile. Iz slike 1-16. takoðer se uoèava da za vrijednost"� �, kada r !, dinamièki faktor % d 0, što znaèi da se u podruèju kada je"� � mo�e postiæi da amplituda prisilnih oscilacija (pri dinamièkom djelovanjuporemeæajne sile) te�i nuli, tj. da je manja od amplitude pri statièkom djelovanju si-le. Kada je " �, amplituda prisilnih oscilacija se neogranièeno uveæava, tj. za"� � postaje beskonaèno velika. U ovom se sluèaju (za r�1) partikularni integralne mo�e napisati u obliku (1.54), veæ se za njega pretpostavlja sljedeæi oblik:

x Bt tp � �cos( )" # (1.55)

Konstanta B odredit æe se na naèin da se jednad�ba (1.55) i njena druga deri-vacija uvrsti u diferencijalnu jednad�bu prisilnih oscilacija (1.44).

� sin ( ) cos( )x B t t B tp �� " " "# #

�� sin ( ) cos( ) sin ( )x B t B t t B tp �� " " " " " "# # #2

�� sin ( ) cos( )x B t B t tp �� 2 2" " " "# # (1.56)

34

POGLAVLJE 1.

Sl. 1-16. Ovisnost dinamièkog faktora o koeficijentu poremeæaja



Uvrštavanjem (1.55) i (1.56) u jednad�bu (1.44) za sluèaj kada je ��", do-bije se:

� � � � � � � �2 2 2B t B t t Bt t h t" " " " " "sin ( ) cos( ) cos( ) sin (# # � # #)

� � � �2B t h t" " "sin ( ) sin ( )# #

Bh

��2"

(1.57)

U ovom sluèaju (za "� �) partikularni integral (1.55) svodi se na sljedeæioblik:

xh

t tp �� 2"

"cos( )# (1.58)

što se mo�e napisati i na sljedeæi naèin:

xh

t tp � � �&�'

(�)2 2"

"sin ( )#�

(1.59)

Znaèi da faza pomaka ( )"t� �&�'

(�)

#�

2kod prisilnih oscilacija u sluèaju rezo-

nancije ("� �) zaostaje za fazom ( )"t� # poremeæajne sile za vrijednost�

2.

Iz slike 1-17. uoèava se da amplituda prisilnih oscilacija pri pojavi rezonanci-je raste neogranièeno tijekom vremena. Grafikon ovih oscilacija toèke nalazi seunutar podruèja ogranièenog pravcima danim jednad�bom:

xh

t�2"

Na kraju æe se razmotriti i sluèaj kada se kru�na frekvencija " poremeæajnesile veoma malo razlikuje od kru�ne frakvencije � slobodnih oscilacija toèke, kadanastaje pojava nazvana podrhtavanje (beating). Da bi se objasnila ova pojava,prouèit æe se sluèaj osciliranja za koji je rješenje dano jednad�bom (1.47). U to serješenje uvrštavaju sljedeæi poèetni uvjeti:

x x0 0 0� ��

35




za koje su slobodne oscilacije jednake nuli te se dobije:

xh

t th

t��

��

��

��

�# �

�# �

�2 2 2 2"

"

""sin cos cos sin sin ( #) (1.60)

Ako je u sluèaju podrhtavanja"

��1, jednad�ba (1.60) postaje:

xh

t t��

� � ��

# � #2 2""[sin ( ) sin ( )] (1.61)

Izraz u srednjoj zagradi posljednje jednad�be napisat æe se koristeæi trigono-metrijsku vezu:

sin sin sin cos # # #

� ��

22 2

i uzevši da je"

"�

*�

2, jednad�ba (1.61) postaje:

xh

t t��

��

2

22 2�

�#

"

""sin cos( ) (1.62)

Uvoðenjem oznake:

D th

t( ) sin��

�2

22 2�

�

"

"(1.63)

36

POGLAVLJE 1.

Sl. 1-17. Prisilne oscilacije toèke pri pojavi rezonancije



jednad�ba (1.61) mo�e se napisati u svom konaènom obliku:

x D t t� �( )cos( )" # (1.64)

Uoèava se da je u jednad�bi (1.64) amplituda gibanja toèke D t( ) periodièna

funkcija vremena, a gibanje toèke dano jednad�bom (1.64) mo�e se smatrati

kao oscilatorno gibanje kru�nom frekvencijom " i periodom T" "�

2�, slika 1-18.

Kao što je reèeno, amplituda gibanja toèke odreðena rješenjem (1.64) periodi-èna je funkcija, èiji period ima oznaku TD .

TD � ��

�

2

2

4��

�

�" "(1.65)

S obzirom da je"� �, period TD amplitude daleko je veæi od perioda oscila-cija toèke T" .

37


Sl. 1-18. Prikaz sluèaja podrhtavanja



1.4. Prisilne prigušene oscilacije toèke

I ovdje æe se kao i u poglavlju 1.2., pretpostaviti sila otpora viskoznog trenjakoja je rezultat postojanja prigušenja, a linearna je funkcija brzine toèke. Matema-tièki model kojim se opisuju prisilne prigušene oscilacije dan je slikom 1-19., nakojoj je uvedeno obilje�avanje:

��Fk sila elastiènosti opruge,

��Fc sila otpora viskoznog trenja,

��F" vanjska poremeæajna sila.

(a)

(b)

Pri djelovanju navedenih sila toèka M mase m giba se po horizontalnojnepomiènoj idealno glatkoj ravnini. Poremeæajna sila

�F" mijenja se po har-

monijskom zakonu, a njena projekcija na os x ima vrijednost kao i u prošlom po-glavlju:

F F t" "� �0 sin ( )#

38

POGLAVLJE 1.

Sl. 1-19. Matematièki model prisilnih prigušenih oscilacija sustava s jednim stupnjem slobode (a),D’Alembertovo naèelo (b)



Diferencijalna jednad�ba gibanja toèke M koja se giba du� osi x glasi:

mx cx kx F t�� sin ( )� � � �0 " # (1.66)

ili

�� sin ( )x x x h t� � � �2 2� � #" (1.67)

gdje je uvedeno sljedeæe obilje�avanje:

� �� , � �c

ckr

, hF

m� 0

Jednad�ba (1.67) predstavlja diferencijalnu jednad�u prisilnih prigušenihoscilacija toèke. Ona je linearna nehomogena jednad�ba s konstantnim koeficijenti-ma, a njen opæi integral dobije se zbrajanjem opæeg integrala x h odgovarajuæe ho-mogene diferencijalne jednad�be i njenog partikularnog integrala x p .

x x xh p� �

Opæi integral homogene jednad�be x h dobijen je u poglavlju 1.2. za sluèajeve� �1; � �1 i � �1. Buduæi da je samo za sluèaj � �1 moguæe oscilatorno gibanjetoèke, u ovoj analizi primijenit æe se od ranije poznato rješenje za x h kada je � �1:

x e C t C tht

d d� �� ( cos sin )1 2

C1 i C 2 su integracijske konstante, dok je �d dano sljedeæim, otprije pozna-tim izrazom:

� � � � �d � � � �1 2 2 2

Partikularni integral x p diferencijalne jednad�be (1.67) pretpostavit æe se usljedeæem obliku:

x A tp � � �sin ( )" # + (1.68)

gdje su A i + nepoznate konstante. Rješenjem oblika (1.68) pretpostavlja se da seprisilne prigušene oscilacije vrše konstantnom amplitudom A i da je njihova kru�nafrekvencija identièna kru�noj frekvenciji " poremeæajne sile te da postoji fazno

39




kašnjenje � pomaka u odnosu na poremeæajnu silu. Konstante A i + odredit æese na sljedeæi naèin:

� cos( )x A tp � � �" " # +

�� sin ( )x A tp �� " "2 # +

Iz jednad�be (1.67) dobije se:

� � � � � � � � � �A t A t A t" " " " "2 22sin ( ) cos( ) sin ( )# + � # + � # +

� �h tsin ( )" #(1.69)

Dio posljednje jednad�be desno od znaka jednakosti transformirat æe se nasljedeæi naèin:

h t h tsin ( ) sin [( ) ]" "� � � � � �# # + +

� � � � � �h t h tsin ( )cos cos( )sin" "# + + # + +

Zamjenom ovog izraza u jednad�bu (1.69) nakon izjednaèavanja koeficijenatauz iste trigonometrijske funkcije dobiva se:

A h( ) cos� +2 2� �"

A h2� +"� sin(1.70)

Iz jednad�bi (1.70) dobivaju se amplituda A i kut fazne razlike + prinudnihprigušenih oscilacija:

Ah

�� ( )� �2 2 2 2 24" "

(1.71)

tg +�

��

�

22 2

"

"(1.72)

Sada se mo�e napisati opæi integral diferencijalne jednad�be (1.67):

x e C t C t A ttd d� � � � �� # +( cos sin ) sin ( )1 2 " (1.73)

u kojem su konstante A i + dane izrazima (1.71) i (1.72).

40

POGLAVLJE 1.



Integracijske konstante C1 i C 2 odredit æe se iz uvjeta:

t t x x x x� � � � �0 0 00 ; � �

� ( cos sin )x e C C ttd d��

1 2

� � � � � �� # +�d

td de C t C t A t( sin cos ) cos( )1 2 " "

(1.74)

Unosom ovih poèetnih uvjeta u posljednju jednad�bu i jednad�bu (1.74) do-bije se:

x C A0 1� � �sin ( )# +

� cos( )x C C Ad0 1 2�� # +"

odakle je:

C x A1 0� � �sin ( )# +

C x x A Ad

2 0 0

1� � � � � ��

� � # + # +[ � sin ( ) cos( )]"

Zamjenom vrijednosti za C1 i C2 u jednad�bu (1.73) ona postaje:

x e x tx x

ttd

dd� �

��

�

�

��

��

��0

0 0

1

cos�

sin

� ��

�

� � � � � ��e A tAt

dd

d� # + �

�� # + # + �sin ( )cos [ sin ( ) cos( )] sin" t

�

�

�

��

2� ��

(1.75)

� � �A tsin ( )" # +3

� ��

i predstavlja konaèan oblik jednad�be gibanja toèke u sluèaju prisilnih prigušenihoscilacija za dane poèetne uvjete.

Iz jednad�be (1.75) slijedi da je rezultirajuæe gibanje toèke odreðeno superpo-zicijom:

(1) slobodnih prigušenih oscilacija toèke uvjetovanim danim poèetnim uvjeti-ma gibanja;

41




(2) prigušenih oscilacija koje imaju prirodnu kru�nu frekvenciju �d , ali su re-zultat djelovanja poremeæajne sile;

(3) èisto prisilnih ustaljenih oscilacija.Prvi (1) i drugi (2) dio u jednad�bi (1.75) tijekom vremena prigušuju se i ne-

staju pa se kao osnovne oscilacije koje odreðuju karakter gibanja toèke javljaju pri-silne oscilacije (3) amplitude A i kru�ne frekvencije ", slika 1-20., koje su faznopomaknute u odnosu na poremeæajnu silu za vrijednost �.

Prema obliku rješenja (1.75) mo�e se zakljuèiti da su prisilne oscilacije toèkepri postojanju viskoznog trenja harmonijske oscilacije, èija se amplituda A tije-kom vremena ne mijenja. Znaèi, prisilne prigušene oscilacije tijekom vremena neprigušuju se, jer poremeæajna sila odr�ava oscilatorni karakter gibanja toèkepa cijelo vrijeme amplituda A ima konstantnu vrijednost. Ove se oscilacije zbogtoga i suštinski razlikuju od slobodnih prigušenih oscilacija (èija se amplitudatijekom vremena smanjuje) i zato se zovu ustaljene oscilacije (steady-state res-ponse).

Buduæi da su kru�na frekvencija " i period T" prisilnih oscilacija, slika 1-20.,pri postojanju otpora viskoznog trenja jednaki kru�noj frekvenciji i periodu pore-meæajne sile, znaèi da otpor viskoznog trenja nema utjecaja na vrijednostikru�ne frekvencije i perioda prisilnih oscilacija. Ova konstatacija je suprotnaonom što je reèeno za vrijednost �d i Td pri analizi slobodnih prigušenih oscilacija,jer su �d i Td ovisili o otporu viskoznog trenja.

U nastavku æe se detaljnije analizirati prisilne oscilacije dane dijelom (3) jed-nad�be (1.75), jer one, kako je objašnjeno, imaju primarnu va�nost. Dobivena

42

POGLAVLJE 1.

Sl. 1-20. Prisilne prigušene oscilacije toèke



vrijednost amplitude prinudnih oscilacija (1.71) mo�e se napisati i u sljedeæemobliku:

Ah

r r�

� �� 2 2 2 2 21 4( )(1.76)

Ovdje su:

r�"

�koeficijent poremeæaja,

��

��

c

ckr

relativno prigušenje (bezdimenzionalni koeficijent).

U dijelu 1.3. je uvedeno obilje�avanje fs za statièko izdu�enje opruge:

fh

s � �2 ; hF

m� 0 ; �2 �

k

m;

F mh kf s0 � � ; fF

k

mh

k

hs � � �0

2�

Ako se amplituda pri statièkom djelovanju poremeæajne sile shvati kao sta-tièki progib i obilje�i oznakom As:

A fh

s s� ��2 (1.77)

mo�e se iz (1.76) uspostaviti kvocijent izmeðu amplituda pri dinamièkom i sta-tièkom djelovanju poremeæajne sile, koji se naziva dinamièki faktor (dynamicfactor) %d:

%�

ds

A

A r r� �

� �

1

1 42 2 2 2( )(1.78)

Znaèi da se u sluèaju prisilnih prigušenih oscilacija amplituda A pri dinami-èkom djelovanju poremeæajne sile mo�e napisati u sljedeæem obliku:

A f Ad s d s� � � �% % (1.79)

43




Na slici 1-21. prikazat æe se promjena dinamièkog faktora %d u funkciji odkoeficijenta poremeæaja (frequency ratio) r za odreðene vrijednosti relativnogprigušenja �.

Kada je � � 0 dinamièki faktor %d dobiva vrijednost iz poglavlja 1.3. u kojemsu analizirane neprigušene prinudne oscilacije:

% d r��

1

1 2

pri èemu je za r�1 dinamièki faktor %d bio beskonaèan, tj. amplitude prisilnihoscilacija bile su neogranièene.

44

POGLAVLJE 1.

Sl. 1-21. Vrijednosti dinamièkog faktora % �d r( , )



Meðutim, pri postojanju sile viskoznog trenja dinamièki faktor % d ima vri-jednost razlièitu od beskonaène èak i u sluèaju kada je"� �, tj. kada je r�1(slu-èaj rezonancije):

( ) .%�d rez �1

2(1.80)

U tom sluèaju i amplituda prisilnih oscilacija ima konaènu vrijednost, koja sedobije iz (1.76):

( ) .Ah h

rez � �2 22��

(1.81)

Za r�1 pri postojanju sile viskoznog trenja (� $ 0) amplituda nema ek-stremnu vrijednost, slika 1-21. Ekstremne vrijednosti amplitude A odreðuju se popravilima diferencijalnog raèuna, tj. tra�i se pri kojim vrijednostima r dinamièkifaktor poveæanja % d ima (za odreðenu vrijednost �) maksimalnu vrijednost % d , max .Dinamièki faktor % d dan izrazom (1.78) imat æe maksimalnu vrijednost kada je ve-lièina pod korijenom u nazivniku minimalna. Ako se za tu vrijednost uvede oznakay, mo�e se napisati:

y r r� � �( )1 42 2 2 2� (1.82)

d

d

y

rr r r r r r r r�� 4 1 8 4 8 4 4 8 42 2 2 3 2 2( ) [ ( )]� � � (1.83)

d

d

2

22 24 8 12

y

rr�� (1.84)

Iz uvjetad

d

y

r� 0 dobiju se sljedeæa rješenja jednad�be (1.83):

r1 0� , r221 2� � � , r3

21 2�� ,

45




Za prvo rješenje r1 0� je:

% d �1, A Ah

s� ��2

Buduæi da treæe rješenje ne ispunjava uvjet r, 0, neæe se niti analizirati.Znaèi ostaje analizirati drugo rješenje r2. Ako se r2 zamijeni u drugu derivacijudobije se:

d

d

2

22 2 2

2

4 8 12 1 2 8 1 2y

rr r

�

�

�

��

� � �( ) ( ) (1.85)

Da bi nazivnik u izrazu (1.78) imao minimalnu vrijednost druga derivacija(1.85) treba biti veæa od nule:

8 1 2 02( )� ��

a to je ispunjeno ako je:

( )1 2 02� ��

odakle je:

2 12� � ; � �1

2; � ��

1

2

Zakljuèak: Dinamièki faktor %d bit æe maksimalan kada koeficijent poreme-æaja r ima sljedeæu vrijednost:

r r� � �221 2� (1.86)

u kom sluèaju je:

( ) ( ) ( )1 4 2 4 1 2 4 4 82 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4� � � � � � � � �r r� � � � � � �

� � � �4 4 4 12 4 2 2� � � �( )

%� �

d , max ��

1

2 1 2(1.87)

46

POGLAVLJE 1.



Usporeðivanjem izraza (1.80), koji daje vrijednost dinamièkog faktora pove-æanja u sluèaju rezonancije (r�1), i izraza (1.87), mo�e se napisati:

( ) , max% %d rez d� (1.88)

što znaèi da je postignuta amplituda pri rezonanciji manja od amplitude kada je di-namièki faktor % d , max . Ako bi se na slici 1-20. toèkastom crtom spojile maksimalnevrijednosti skupa krivulja % �d f r� ( , ), dobila bi se krivulja koja je veoma bliskapravcu èija je jednad�ba r�1.

Na temelju dobivene vrijednosti (1.87) mogu se napisati maksimalne ampli-tude:

A Ah

s dmax , max� � ��

%� � �2 12 2

(1.89)

Iz dijagrama na slici 1-21. uoèava se da dinamièki faktor %d ima velikevrijednosti u podruèju u kojem su vrijednosti koeficijenata poremeæaja rbliske jedinici. Zbog toga se uvodi pojam podruèje rezonancije, što podra-zumijeva podruèje u kojem se koeficijent poremeæaja r nalazi u sljedeæim gra-nicama:

0 75 125, ,� �r

Za ove vrijednosti r amplitude prisilnih oscilacija toèke imaju velike vrijedno-sti, što mo�e izazvati trajne deformacije objekta osciliranja. Ova konstatacija æese poslije potkrijepiti numerièkim primjerom.

Veæ je reèeno da faza prinudnih oscilacija ( )"t� �# + pri postojanju otporaviskoznog trenja zaostaje za fazom poremeæajne sile ( )"t� # za kut fazne razlike+, èiji je tangens dan vrijednošæu (1.72), koja se mo�e napisati i u sljedeæemobliku:

tg +�

��

�

2

1 2

r

r(1.90)

Znaèi da kut fazne razlike (phase angle) + zavisi od koeficijenta poremeæa-ja r i relativnog prigušenja �. Slièno prezentaciji na slici 1-21. i sada se mo�e pri-kazati funkcionalna ovisnost +( )r za razne vrijednosti relativnog prigušenja �, slika1-22. Prema obliku rješenja za kut fazne razlike (1.90), za � � 0 fazna razlika + ima

47




vrijednosti nula ili �. Nadalje, kada je r�1, tada je tg + �!, tj. + �� / ,2 što znaèida sve krivulje na slici 1-22. prolaze kroz toèku èija je apscisa r�1, a ordinata+ � -90 i asimtotski se pribli�avaju pravcu + �� .

Iz slike 1-22. uoèava se da se vrijednost kuta fazne razlike + znatno mijenjapri malim promjenama vrijednosti r u podruèju u kojemu je r�1. Nadalje, iz po-sljednje dvije slike mo�e se generalno zakljuèiti da u podruèju rezonancije sileotpora viskoznog trenja imaju znatan utjecaj na vrijednosti i dinamièkog faktora %d

i kuta fazne razlike +.

Na slici 1-23. dan je vektorski prikaz pomaka i svih sila u sluèaju prinudnihprigušenih oscilacija:

� pomak�x zaostaje u odnosu na poremeæajnu silu

�F t( ) za kut +,

� elastièna sila� �F kxk �� uvijek je orijentirana suprotno pomaku

�x,

� sila prigušenja� �F cxc �� zaostaje za 90° iza pomaka i ima orijentaciju

uvijek suprotnu od vektora brzine ��x,

� inercijalna sila� �F mxin �� u fazi je s pomakom

�x, a orijentirana je suprotno

od vektora ubrzanja ��x.

48

POGLAVLJE 1.

Sl. 1-22. Prikaz kuta fazne razlike + �( , )r



49


Sl. 1-23. Vektorski prikaz pomaka i svih sila prisilnih prigušenih oscilacija



1.5. Prikaz harmonijskih prisilnih oscilacijau kompleksnom obliku

Najprije se valja podsjetiti definicije kompleksnog broja iz kompleksne alge-bre [10], slika 1-24.:

z x iy� �

x A� cos ;� y A� sin�

z A i Ae i� � �(cos sin )� � � (Eulerova formula)

z Ae i� � (1.91)

A x y� �2 2

�� arctg

y

x

z x iy A i Ae i� � � � � �(cos sin )� � � (1.92)

A je apsolutna vrijednost ili modul, dok je � argument kompleksnog broja.

50

POGLAVLJE 1.

Sl. 1-24. Definicija kompleksnog broja



Ponovo æe se napisati diferencijalna jednad�ba prisilnih prigušenih oscilacijatoèke M mase m:

mx cx kx F t F t�� ( ) cos� � � � 0 " (1.93)

U poglavlju 1.4. pokazano je da pomak x toèke M kasni u odnosu na poreme-æajnu silu za kut +:

x x x A th p� � � �cos( )" + (1.94)

Znaèi da vektor pomaka�x rotira faznom razlikom + u odnosu na vektor po-

remeæajne sile�F. Prema tome, analogno izrazima (1.93) i (1.94), ako se poremeæaj-

na sila napiše u sljedeæem kompleksnom obliku:

F t F e i t( )� 0" (1.95)

rješenje (1.94) glasit æe:

x t Ae Ae e Aei t i i t i t( ) ( )� � � �� " " "+ + (1.96)

Ovdje je uvedena oznaka:

A Ae i� � + (1.97)

koja se naziva kompleksna amplituda, a predstavlja kut polo�aja pomakax t( ) prema F t( ).

Kompleksna æe se amplituda naæi ako se pretpostavljeno rješenje (1.96) uvrstiu diferencijalnu jednad�bu (1.93):

mx cx kx F e i t�� 0" (1.98)

�x i Ae i t� " "

��x Ae i t��" "2(1.99)

A AeF

k m ici� �

� �� + 0

2( )" "(1.100)

51




Ako se posljednji izraz za kompleksnu amplitudu pomno�i s:

( )

( )

k m ic

k m ic

� �

� �

" "

" "

2

2

rješenje dobiva sljedeæi oblik:

AF k m

k m ci

F c

k m c�

�

� ��

� �0

2

2 2 2

0

2 2 2

( )

( ) ( ) ( ) ( )

"

" "

"

" "(1.101)

S obzirom na relaciju (1.97) i definiciju kompleksnog broja (1.92), mo�e senapisati:

A Ae x iyi� � �� +

z x iy Ai� � � �

z x iy Ae i� � � � �

( )( )x iy x iy x y A� � � � �2 2 2

te je:

A x yF k m

k m c

F c

k m� � �

�

� �

&

�'

(

�) �

�2 2 0

2

2 2 2

2

0

2

( )

( ) ( ) ( )

"

" "

"

" 2 2

2

�

&

�'

(

�)

( )c"

A Fk m c

k m c

F

m k m

m

��

� ��

�0

2 2 2

2 2 2 2

0

2

2

1( ) ( )

[( ) ( ) ] ( )

" "

" " "2 2

2�( )c

m

"

F

mh0 � ;

c

m� 2�

52

POGLAVLJE 1.



Ah

�� ( )� �2 2 2 2 24" "

(1.102)

tg��

��

��

�

y

x

c

k m

"

"

"

"2 2 2

2(1.103)

Rješenja za amplitudu prisilnih oscilacija (1.102) i kut fazne razlike (1.103)identièna su rješenjima (1.71) i (1.72) iz prošlog poglavlja.

53




1.6. Periodièna poremeæajna sila u sluèaju rotoras ekscentriènom masom

U praksi se èesto javlja sluèaj poremeæajne sile harmonijskog karaktera, kadase sila mijenja prema funkciji sinusa ili kosinusa. Rotor na slici 1-25(a), koji imaekscentriènu rotirajuæu masu mo, prenosi na svoj temelj poremeæajnu silu, što mo�eizazvati nepovoljne oscilacije temelja i buku.

Uobièajeno je da se samo efekti pobude harmonijskog karaktera nazivajuoscilacije, a efekti pobude koja nije harmonijskog karaktera nazivaju se vibracija-ma. Buduæi da je u ovom sluèaju rotora s ekscentriènom masom poremeæajna silaharmonijska, zadr�an je termin oscilacije.

Da bi se smanjile navedene pojave primjenjuje se model s elastiènimoprugama, slika 1-25(b), prisiljen da se giba samo vertikalno, a oslonjenpreko temelja na opruge koje predstavljaju karakteristike medija na kojemse temelj nalazi. Ako bi rotor bio savršeno uravnote�en, tada bi na te-

54

POGLAVLJE 1.

Sl. 1-25. Rotor s ekscentriènom masom



melj djelovala samo te�ina rotora�

G. Pretpostavlja se da se na rotoru nala-zi ekscentrièna masa m0. Takva ekscentrièna rotirajuæa masa proizvest æe cen-trifugalnu silu

�. kada rotor rotira jednoliko (ravnomjerno), kutnom brzinom

/ � const.(Za razliku od prethodnih poglavlja ovdje je za frekvenciju poremeæajne sile

uzeta oznaka �).

U kinematici [13] su definirane dvije komponente ubrzanja pri rotaciji toèkeoko nepomiène osi: tangencijalno i normalno:

av

t te e

tT � � � �d

d

d

d

d

d( ) ,/

/0 ( .)/ � const (1.104)

av

R

e

eeN

k

� ��

�2 2 2

2// (1.105)

Sada se mo�e iz dinamike [61] definirati sljedeæa vrijednost inteziteta centri-fugalne sile

�., slika 1-26.

. /� m e02 (1.106)

(Usmjerenjem sile�. kao na slici 1-26. uzet je u obzir predznak minus).

55


Sl. 1-26. Centrifugalna sila�.



Centrifugalna sila�. rastavlja se na vertikalnu

�.V i horizontalnu komponentu�

. H . Vertikalna komponenta djeluje u smjeru moguæeg pomaka temelja i u ovomsluèaju predstavlja poremeæajnu silu temelja rotora.

. . / / /V t m e t� �sin sin02 (1.107)

Horizontalnu komponentu primaju pomièni oslonci (slika 1-25.b) te uslijedsprijeèenog pomaka nema horizontalnih osciliranja.

56

POGLAVLJE 1.



1.7. Izoliranje oscilacija

Za rotirajuæi stroj zadanih karakteristika valja odrediti kako se najuspješnijemo�e sprijeèiti prijenos oscilacija na konstrukciju.

Treba odrediti vrijednost sile koja se prenosi na podlogu Fpodl., slika 1-27. Bu-duæi da pomak kasni u odnosu na poremeæajnu silu,

x t A tF

kt A td st d( ) sin( ) sin ( ) sin ( )� � � � � �/ + % / + % / +

57


Sl. 1-27. Rotirajuæi stroj na elastiènoj podlozi



te da nema inercijalnih sila podloge (Fin � 0), sila koja se prenosi na podlogu imasljedeæu vrijednost:

F F F kx cx F t cF

ktpodl k c d d.

� sin ( ) cos( )� � � � � � � �% / + % / / +

cF

k

c F

k

m F

mF rFd

kr

d d d d% /�

% /� �

�% / �

/

�% � %� � � �

( )22 22

F t F t rF tpodl d d. ( ) sin ( ) cos( )� � � �% / + � % / +2 (1.108)

( ) ( ) ( ) ( ). maxF F rF F rpodl d d d� � � �% � % % �2 2 22 1 2 (1.109)

Oèito da bi se u sluèaju potpuno krutog naèina oslanjanja, npr. na stijeni,na podlogu prenosila sila F. Sljedeæi kvocijent:

( ) max.

max.. maxF

F

vrijednost posljedice

vrijednospodl

�t uzroka

naziva se stupanj prenosivosti (transmissibility) naèina oslanjanja i obilje�avaoznakom TR.

TRF

Fr

podl

d� � �( )

( ). max

% �1 2 2 (1.110)

Iz izlo�enog se mo�e zakljuèiti:

a) da se za dane osobine medija koji prenosi sile na konstrukciju mo�e izra-èunati ( ) ,. maxFpodl

b) da treba projektirati sustav oslanjanja ili prijenosa sila na konstrukciju ta-ko da vrijednost TR bude što manja, a to je prema slici 1-27. ostvareno zavrijednost r� 2, kada je TR�1.

Na kraju se prema izrazu (1.110) mogu prikazati vrijednosti stupnja prenosi-vosti TR u zavisnosti od r i �, jer prema gradivu izlo�enom u poglavlju 1.4. i dina-mièki faktor %d ovisi od r i �, slika 1-28.

58

POGLAVLJE 1.



Zakljuèci:

• Da bi stupanj prenosivosti TR imao što manje vrijednosti, mora biti r� 2,pri èemu � treba imati što manju vrijednost.

• Za r� 2 medij uveæava utjecaj sile F na podlogu. U tom sluèaju materijalmedija treba birati tako da vrijednost � materijala ima što veæu vrijednost.

59


Sl. 1-28. Vrijednosti stupnja prenosivosti TR



1.8. Numerièki primjeri

Primjer 3.

Greda zanemarljive mase i poznate krutosti EI optereæena je na sredini rasponadinamièki neuravnote�enom dizalicom nosivosti 35 kN, koja ima brzinu vrtnjen� 500 rotacija/min. Uslijed ekscentriènosti jednog dijela svoje mase, dizalica optere-æuje nosaè vertikalnom centrifugalnom silom F t0 sin" , gdje je F m e0 0

2 10� �" kN.Naæi amplitudu prinudnih neprigušenih oscilacija grede ako je ona napravljena odèeliènog europskog širokopojasnog valjanog profila HEB 300. Greda je postavljenatako da “nosi” savijanjem oko “slabije” osi y-y popreènog presjeka.

S235, t0 40 mm

Granica popuštanja f y � 235 N/mm2

Vlaèna èvrstoæa f u � 360 N/mm2

60

POGLAVLJE 1.

Sl. 1-29. Greda s optereæenjem i njen popreèni presjek



Modul elastiènosti E� 210 000 N/mm2

Poissonov koeficijent / � 0,3

Popreèni presjek: valjani profil HEB 300

Površina popreènog presjeka: A � 149 cm2

Momenti tromosti: Iy� 25 170 cm4

Iz � 8 560 cm4

Elastièni momenti otpora: Wy.el� 1 680 cm3

Wz.el � 571cm3

Plastièni momenti otpora: Wy.pl � 1 869 cm3

Wz.pl � 870,1cm3

Radijusi tromosti: iy� 13 cm

iz � 7,58 cm

Visina presjeka: h � 300 mm

Širina presjeka: b � 300 mm

Debljina pojasnice: tf � 19 mm

Ravni dio hrpta: d � 208 mm

Debljina hrpta: tw� 11 mm

POPREÈNI PRESJEK JE KLASE 1 [43]

OTPORNOST POPREÈNOG PRESJEKA:

• Otpornost popreènog presjeka izlo�enog savijanju [85]:

MW f

c Rd

pl y y

M,

, , ,

,,� �

��

+0

8701 23 5

1020 447 35 kN cm

Izraèun reznih sila po teoriji plastiènosti ovdje nema smisla buduæi da se uovom primjeru radi o statièki odreðenom sustavu koji nema plastiènih rezervi.

M Mz Ed f k, ,� � ��

�+ 15035 400

45 250 kN cm

61




UVJET NOSIVOSTI [85]:

M Mz Ed c Rd, ,0

• Posmièna otpornost popreènog presjeka:

Av � � � �19 30 2 114, cm2

V Af

Rd v

y

M

� � � � �3

1114

23 5

3

1

101546 72

0+

,

,, kN

VEd � � �1535

226 25, , kN

UVJET NOSIVOSTI [85]:

Velièina djelovanja V VEd Rd�

• Interakcija M� V

Buduæi da najveæi moment savijanja i najveæa popreèna sila djeluju u razlièi-tim popreènim presjecima, nema interakcije M� V.

• Amplituda prisilnih neprigušenih oscilacija:

��

��

g

f

EI g

F lst

z

st

48 48 21000 8 560 981

35 40061 43 3( )

, 7 s�1

f � �9 79 5, Hz (ispunjen uvjet za granièno stanje uporabivosti GSU [85])

EI z � �17 98 107, kN cm2

n� 500 rot/min

"��

�500 2

6052 33

�, s�1

Koeficijent poremeæaja:

r� � � �"

�

52 33

61 470 851 0 75

,

,, , (podruèje rezonancije)

62

POGLAVLJE 1.



Dinamièki faktor:

% d r��

��

��

�1

1

1

1 0 851

1

1 0 7243 6232 2( , ) ,

,

Vrijednost maksimalnog progiba:

fF l

EI

F l

EIst

z zdmax

( )

,� � �

�

� ��

30

3 3

748 48

35 400

48 17 98 10%

10 400 3 623

48 17 98 10

3

7

� �

� ��

( ) ,

,

� � �0 260 0 269 0 529, , , cm

fl

dozv � �500

0 8, cm

Uvjet graniènog stanja uporabivosti (GSU):

f f dozvmax 0

ZAKLJUÈCI:

� progib grede više se nego udvostruèio zbog toga što jedan dio mase dizali-ce nije izbalansiran,

� greda je namjerno predimenzionirana (M MEd Rd�� ; V VEd Rd�� ) zato dabi bio zadovoljen uvjet za GSU.

Primjer 4.

Èelièni okvir na slici 1-30. nosi rotirajuæi stroj koji proizvodi horizontalnu di-namièku silu u razini grede F t F t( ) sin� / . Pod pretpostavkom da je prigušenje ukonstrukciji 5% od kritiènog, treba izraèunati:

a) vrijednost dinamièkog progiba;

b) maksimalne vrijednosti dinamièkih popreènih sila i dinamièkih momenatasavijanja

63




Pretpostavlja se da je greda apsolutno kruta.

Zadano:� n stroja 100 rotacija/min� Popreèni presjek IPN 220� F � 5 kN� E � 210 000 N/mm2

� � 0 5,

EI y � �6 426 107, kN cm2

• Proraèun krutosti okvira, slika 1-31.

�11

2

72300

150

2

2

3150

6 426 100 07003� �

� � �

�� M

EIs

s

d,

, cm

k� �1

14 2811�

, kN/cm

64

POGLAVLJE 1.

Sl. 1-30. Zadani okvir, optereæenje i popreèni presjek grede



• Proraèun statièkog i dinamièkog progiba

fF

kst � � �5

14 280 35014

,, cm� �

h

3001 cm (uvjet GSU)

�2 �k

m; m

G

g� � �

100

981010194, kN s2 cm�1

�� k

m

14 28

0101941183583

,

,, s�1

65


Sl. 1-31. Dijagram momenata savijanja okvira M za stanje F �1



/� �

��

��

�n 2

60

100 2

6010 47197, s�1

r� � �/

�

10 47197

11835830 88477

,

,, podruèje rezonancije

%�

dr r

��

��

�1

1 2

1

1 0 88477 2 0 05 0 884772 2 2 2( ) ( ) ( , ) ( , , )4 264 1, �

fF

kfd d st d� � � � � �% % 0 35014 4 264 1 49299, , , cm�

h

300

• Maksimalne vrijednosti dinamièkih popreènih sila i dinamièkih momenatasavijanja, slika 1-32.

V k f dmax , , ,� � � � �14 28 1 49299 213199 kN

MV

maxmax , ,� � � � �2

3 10 65995 3 3197985 kN m

66

POGLAVLJE 1.

Sl. 1-32. Maksimalne vrijednosti dinamièkih reznih sila



Primjer 5.

Greda zanemarljive mase raspona L� 6 m na sredini raspona nosi opremukoju èini rotor ukupne te�ine 50 kN, slika 1-33(a). Greda je popreènog presjekaINP 300. Broj rotacija rotora n � 400 rot/min. Rotor je dinamièki neuravnote�endijelom koji proizvodi silu od 150 N, polumjera e0 25� cm, slika 1-33(b). Pronaæiamplitudu prinudnih prigušenih oscilacija sistema ako se pretpostavi da je vrijed-nost prigušenja � � 5% od kritiènog. Na slici 1-33. predstavljeni su nosaè i opremakao i odgovarajuæi matematièki model.

67


Sl. 1-33. Nosaè i oprema (a) i matematièki model (b)



INP 300:

I y � �9 80 103, cm4; W y � 653 cm3;

E� 210 000 MPa� �21 103 kN/cm3

EI y � �20 58 107, kN/cm2

Krutost k:

kEI

L� �

� � ��

48 48 20 50 10

60045 733

7

3( ), kN/cm

Masa m:

m� �50

9810 05097, kN s2 cm�1

��

�k

m

45 73

0 0509729 95

,, rad · s�1

/�

��

�400 2

604189, rad · s�1

r� � � �/

�

4189

29 951398 125

,

,, , (nije podruèje rezonancije)

Prema slici 1-33(a) m je ukupna masa opreme, dok je 1m na slici 1-32(b) dina-mièki neuravnote�ena rotirajuæa masa.

Znaèi, ako je x(t) vertikalni pomak nerotirajuæe mase ( ),m m� 1 onda se pomakx1(t) mase 1m mo�e predstaviti izrazom:

x t x t e t1 0( ) ( ) sin� � / (a)

Ako se uzmu u obzir sve sile na pravcu vertikale, diferencijalna jednad�ba gi-banja u tom sluèaju je:

( )�� m m x m x cx kx� 1 � 1 � � �1 0 (b)

�� sinx x e t1 02� � / / (c)

68

POGLAVLJE 1.



Uzimajuæi u obzir (a) i (c), jednad�ba (b) dobiva sljedeæi oblik:

( )�� (�� sin ) �m m x m x e t cx kx� 1 � 1 � � � �02 0/ /

mx cx kx m e t�� sin� � � 1 02/ / (d)

Jednad�ba (d) ima isti oblik kao i diferencijalna jednad�ba gibanja u sluèajuprisilnih prigušenih oscilacija sustava pobuðenog vanjskom harmonijskom silomèija amplituda ima vrijednost:

F t F t( ) sin� 0 /

F m e0 02� 1 / (e)

U poglavlju 1.6. pokazano je da izraz (e) predstavlja amplitudu centrifugalnesile.

F02

0150

98125 4189 6 71� � � �

,( , ) , kN

Amplituda prinudnih prigušenih oscilacija sustava ima vrijednost:

A

F

k

r r�

� ��

� � � �

0

2 2 2 2 21 2

6 71

45 73

1 1398 2 0 05 1( ) ( )

,

,

( , ) ( ,� , ),

3980152

2� cm

ili

A Ast d� � � � �%6 71

45 731036 0152

,

,, , cm

ili

AFL

EI d� ��

� ��

3 3

748

6 71 600

48 20 58 101036 0152%

, ( )

,, , cm

Ukupan pomak rotora dobije se ako se vrijednosti 0,152 cm doda pomak od

nerotirajuæe masePL

EI

3

48.

69




Primjer 6.

Analizirati sustav na slici 1-34. koji je izlo�en harmonijskim pomicanjem tla(base motion).

x t x t x tt b( ) ( ) ( )� � (a)

Primjenom D’Alembertovog naèela mo�e se napisati:

mx c x x k x xt t b t b�� ( � � ) ( )� � � � � 0 (b)

Vrijednost ( )x xt b� predstavlja anga�irani pomak da bi se stvorila elastiènasila u opruzi.

m x x cx kxb(�� ) �� 0

mx cx kx mx F tb�� ( )� � �� (c)

F t mx b( ) ��

x t x tb bo( ) sin� / (d)

70

POGLAVLJE 1.

Sl. 1-34. Djelovanje pomicanja tla na sustav s jednim stupnjem slobode



�� ( ) sin ( sin ) ( )x t x t x t x tb bo bo b�� / / / / /2 2 2

F t m x t F tb( ) sin sin� �/ / /200

(e)

F m x bo02� /

Ako se (d) i (e) zamijene u (c) dobije se:

mx cx kx F t�� sin� � � 0 / (f)

Rješenje posljednje jednad�be dano je u poglavlju 1.4.:

x t A t( ) sin ( )� �/ +

x tm x

k r rtbo( )

( ) ( )sin ( )�

� ��

/

�/ +

2

2 2 21 2(g)

x t

x

r t

k r rr t

bod

( ) sin ( )

( ) ( )sin ( )�

�

� ��

2

2 2 2

2

1 2

/ +

�% / + (h)

Stupanj prenosivosti TR iz poglavlja 1.7. ovdje predstavlja koliènik maksi-malnog pomicanja mase oscilatora xt,max i maksimalnog pomicanja podloge xbo:

TRx

x

vrijednost posljedice

vrijednost

bo

� �, max max.

max. t uzroka(i)

Da bi se dobila vrijednost x t , max ponajprije treba napisati izraz za xt(t):

x t x t x t x t x r tt b bo bo d( ) ( ) ( ) sin sin ( )� � � � �/ % / +2

U literaturi [9] je pokazano da se iz posljednjeg izraza dobije:

x t x r tt bo d( ) ( ) sin ( )� � � �1 2 2� % / +

71




te je:

x x rt bo d, max ( )� �% �1 2 2 (j)

TRx

xr

t

bod� � �

, max( )% �1 2 2 (k)

Znaèi da je dobiveno isto rješenje (1.110) kao u poglavlju 1.7 te vrijede istizakljuèci doneseni u poglavlju 1.7.:

� najmanji je stupanj prenosivosti TR onda kada je r� 2 i kada je � štomanji. Znaèi da je efekt pomicanja podloge na konstrukciju najmanjiako je r� 2 i kada je � što manje.

Primjer 7.

Na slici 1-35. prikazan je betonski most sanduèastog popreènog presjeka naèetiri oslonca � dva upornjaka (abutments) i dva simetrièno rasporeðena stupišta(bents). Površina je popreènog presjeka ploèe mosta 11,427 m2. Te�ina mosta idea-lizirana je kao koncentrirana na razini ploèe. Te�ina stupišta mo�e se zanemariti.

Svako stupište sastoji se od tri stupa kru�nog popreènog presjeka visine7,62 m. Moment inercije pojedinog stupa je Iy1 � Iz1 � 0,112202672 m4.

Modul elastiènosti betona je 21 GPa.

Odrediti :

a) Elemente diferencijalne jednad�be gibanja mosta (masu i krutost) za slo-bodne neprigušene oscilacije u uzdu�nom smjeru. Dinamièki model mostausvojiti kao diskretni sustav s jednim stupnjem slobode.

b) Prirodnu kru�nu frekvenciju �, prirodnu frekvenciju f i prirodni periodoscilacija T za uzdu�ni pravac mosta.

L � 114,3 m

A � 11,427 m2

h � 7,62 m

�b � 24 kN/m3

Iy1 � Iz1 � 0,112202672 m4

E � 21 GPa

72

POGLAVLJE 1.



73


Sl. 1-35. Izmjere mosta



Rješenje

a) Diferencijalna jednad�ba slobodnih neprigušenih oscilacija

Te�ina po jedinici du�ine rasporeðena na razini ploèe je:

11,427 · 24 � 274,25 kN/m

Ukupna te�ina rasporeðena na razini ploèe ima vrijednost:

Q � 274,25 · 114,3 � 31 346,55 kN

Odgovarajuæa je masa:

mQ

g g� � �

31346 553195 367

,kg

Krutost mosta u uzdu�nom smjeru odreðena je uz pretpostavku da se ploèa shva-æa kao beskonaèno kruto tijelo. Svaki stup stupišta ponaša se kao obostrano upet stup.

Uzdu�na krutost koju osigurava svako stupište je:

kEI

hstz�

��

�

�

��

� � �13

123

12 21 10 0112202672

7 623

9

3

,

( , )

�

�

�

�� 191 72 103, kN · m�1

Dva stupišta osiguravaju ukupnu krutost od:

k � 2 · kst � 2 · 191,72 · 103 � 383,44 · 103 kN/m

Diferencijalna jednad�ba gibanja izra�ena preko uzdu�nog pomaka x je:

mx kx�� 0

b) Prirodna kru�na frekvencija, prirodna frekvencija i prirodni period oscila-cija za uzdu�no gibanje mosta:

��

�k

m

383 44 10

3195 36710 95

6,, rad · s�1

T � � �2 2

10 950 574

�

�

�

,, s

fT

� � �1 1

0 5741 74

,, Hz

74

POGLAVLJE 1.



POGLAVLJE 2.

VRSTE DINAMIÈKIH DJELOVANJA IKLASIFICIRANJE TEORIJE OSCILACIJA



2.1. Podjela dinamièkih djelovanja

U cijelom su prethodnom poglavlju za poremeæajnu silu rabljene oznake�F t"( ) ili

�F tv ( ). To je bio samo jedan od sluèajeva dinamièkog optereæenja, kada se

amplituda poremeæajne sile mijenjala po harmonijskoj funkciji sinusa ili kosinusa:F t F t" "( ) sin� 0 ili F t F vtv ( ) cos .� 0

Na slikama 2-1. i 2-2. dinamièko optereæenje oznaèit æe se uopæenom funkci-jom F t( ) i navesti neki najèešæi sluèajevi dinamièkog optereæenja.

Na slici 2-1. prezentirana su dinamièka periodièna djelovanja, èije se vri-jednosti amplitude F0 i perioda T ne mijenjaju u vremenu. Na slici 2-2. prika-zana su aperiodièna djelovanja, èije se amplitude ili periodi ili obje vrijednostis vremenom mijenjaju.

U poglavlju 1.6. veæ je reèeno da se termin oscilacije koristi za efekte pobudeharmonijskog karaktera, a za efekte pobude koja nije harmonijskog karaktera uobi-èajen je termin vibracije.

77

VRSTE DINAMIÈKIH DJELOVANJA I KLASIFICIRANJE TEORIJE OSCILACIJA

Sl. 2-1. Harmonijska i neharmonijska periodièna djelovanja



Na slici 2-2.(b) prikazan je impuls velièineI

2i trajanja 2. Kada 2 3 takva

sila (impuls) postaje beskonaèna, a njen integral po vremenu ima konaènu vrijed-nost I. Ako je I jednako jedinici, odgovarajuæa sila za sluèaj kada 2 3 naziva sejedinièni impuls ili delta (�) funkcija ili Diracova funkcija, koja se obilje�avasimbolom � 4( )t� , gdje je po definiciji:

� 4( ) ,t� � 0 za sve t$ 4 (2.1)

� 4( ) ,t t� �!

� d0

1 za 0� �!4 (2.2)

F t t t F( ) ( ) ( ),� 4 4� �!

� d0

za 0� �!4 (2.3)

78

POGLAVLJE 2.

(a) uopæena funkcija vremena

(b) impuls je sila vrlo visokog intezitetakoja djeluje vrlo kratko vrijeme, ali takoda je vrijednost sljedeæeg integralakonaèna:

I F t t��

� ( )d4

4 2

(c) Heavesideova funkcija H t( ) je sluèajdjelovanja kada sila konstantnogintenziteta nastupi trenutaèno, a zatimostaje stalno istog intenziteta.Matematièko tretiranje djelovanja H t( ):

H tt

H t( )�

0

�

567

0 0

0

za

za

Sl. 2-2. Uopæena funkcija vremena F(t), impuls i Heavesideova funkcija kao aperiodièna djelovanja



Èesto se u praksi impulsi pojavljuju u seriji kao periodièno djelovanje, slika2-3., što se dogaða pri radu nekog stroja, kada utjecaj stroja na temelj mo�e bitipredstavljen serijom impulsa. Zato se ovakav sluèaj djelovanja mo�e shvatiti kaoneharmonijsko periodièno djelovanje (slika 2-1.).

Sluèaj djelovanja kao na slici 2-4. predstavlja spreg sila prikazan dvamaimpulsima razlièitog smjera te se mo�e smatrati aperiodiènim djelovanjem (slika2-2.).

I na kraju treba spomenuti i stohastièka djelovanja. To su takva djelovanjakod kojih se intenzitet poremeæajne sile vremenom mijenja potpuno iregularno,a definiraju se primjenom zakona vjerojatnosti. Takvo je naprimjer optereæenjevjetrom [62, 81] ili djelovanje sila potresa na konstrukciju [6, 12].

79


Sl. 2-3. Serija impulsa

Sl. 2-4. Spreg sila zadan preko dva impulsa razlièitog smjera



2.2. Diskretni i kontinuirani sustavi

Ovdje æe se definirati opseg prouèavanja u ovoj knjizi. Buduæi da su oscilacije(vibracije) karakteristiène pojave koje se javljaju kod veæine dinamièkih problema,osnovu za rješavanje tih problema èini teorija oscilacija. Kako bi se klasificiraloovo opse�no gradiva, polazi se od broja stupnjeva slobode sustava koji se razma-tra [13]. Broj stupnjeva slobode predstavlja broj meðusobno neovisnih parametarapotrebnih za definiranje polo�aja svih masa sustava u odnosu na njegov nedeformi-rani polo�aj. Spomenute mase predstavljaju graðevinu, naprimjer višekatnu zgradu,te se idealizira da su mase zgrade koncentrirane na njenim katovima. Ovakva pret-postavka uobièajena je za zgradarstvo, jer je gotovo sva masa graðevine raspodije-ljena u razinama meðukatnih konstrukcija. Takve su mase dobile naziv diskretnemase (lamped masses).

U tom se smislu cijelokupno gradivo mo�e podijeliti na dva podruèja:

• oscilacije diskretnih sustava koji imaju konaèan broj stupnjeva slobode(Multi-Degree-Of-Freedom-Systems, MDOF),

• oscilacije kontinuiranih sustava s beskonaènim brojem stupnjeva slobodekoji se diskretizacijom svode na diskretne sustave, kao na slici 2-5.

Isti je nosaè na slici 2-5. u sluèaju (b) aproksimiran s više stupnjeva slobode ne-go u sluèaju (a), jer su uzeti u obzir ne samo vertikalni pomaci segmenata grede veæ injihove rotacije, pa æe i rezultat analize u sluèaju (b), uz nešto više numerièkog rada,biti toèniji. Diskretizirani segmenti grede oznaèavaju se kao na slici 2-5(c).

80

POGLAVLJE 2.

Sl. 2-5. Diskretni sustavi



Znaèi, pri prouèavanju oscilacija kontinuiranih sustava oni se promatraju kaoneprekidne sredine (continuum), s beskonaèno mnogo stupnjeva slobode [6, 40,52], slika 2-6. Prema tomu, konstrukcija ima beskonaèno mnogo vlastitih frekven-cija i vlastitih oblika.

U svim narednim poglavljima ove knjige razmatrat æe se samo diskretni susta-vi. Za prouèavanje osciliranja kontinuiranih sustava preporuèuje se literatura [6,40, 52].

Iako se u analizi kontinuiranih sustava kao rezultat dobije beskonaèan brojvlastitih frekvencija i vlastitih oblika, u praksi najveæi doprinos sveukupnom od-zivu statièkog sustava ima prvih nekoliko vlastitih oblika, koji imaju najni�evrijednosti vlastitih frekvencija. Zbog toga aproksimacija statièkog sustava sbeskonaèno mnogo stupnjeva slobode u diskretan sustav ima smisla, jer se i sdiskretnim sustavom dovoljno toèno mogu dobiti one vlastite vrijednosti koje sunajpotrebnije.

Gibanje sustava s kontinuirano raspodijeljenom masom najbolje se mo�e ilu-strirati primjerom grede raspona L i krutosti na savijanje EI, èija masa po jediniciduljine ima vrijednost m, kao na slici 2-7(a). Greda slobodno oscilira uslijed savi-janja, a na nju djeluje samo njezina vlastita te�ina.

Iz dinamièke ravnote�e diferencijalno malog dijela grede dx za vertikalni pra-

vac, slika 2-7(b), proizlazi da se vrijednost8

8

V

xxd uravnote�uje s inercijalnom si-

lom m xy

td8

8

2

2 :

8

8

8

8

V

xx m x

y

td d�

2

2 (2.4)

81


Sl. 2-6. Sustavi kao neprekidne sredine � continuumi



Buduæi da je [69]:

8

8

2

2

y

x

M

EI�

VM

x��

8

8,

8

8

8

8

V

x

M

x��

2

2

jednad�ba (2.4) dobiva oblik:

8

8

8

8

4

4

2

2 0y

x

m

EI

y

t� � (2.5)

Ova diferencijalna jednad�ba rješava se uz odgovarajuæe rubne uvjete. Rje-šenje predstavlja beskonaèan broj vlastitih oblika, a svakom od njih odgovara jed-na prirodna frekvencija fn, pri èemu je n � 1, 2, 3, …!.

82

POGLAVLJE 2.

Sl. 2-7. Gibanje sustava s kontinuirano raspodijeljenom masom (a);polo�aj diferencijalno malog elementa dx (b)



POGLAVLJE 3.

DUHAMELOV INTEGRAL.APERIODIÈNE I PROLAZNE VIBRACIJE SUSTAVA

S JEDNIM STUPNJEM SLOBODE



3.1. Integral superpozicije ili Duhamelov integral

Kao što je spomenuto u prethodnom poglavlju, uobièajeno je da se efekt po-bude koja nije harmonijskog karaktera naziva vibracijom, dok se za efektepobude harmonijskog karaktera rabi termin oscilacije. Buduæi da se u dinamicitoèke govorilo o periodiènoj (harmonijskoj) poremeæajnoj sili, u nastavku æe seanalizirati vibracije sustava uslijed aperiodiène pobude, koja je dana proizvoljnomporemeæajnom silom F(t) kao na slici 3-1. U tom je sluèaju diferencijalna jed-nad�ba sustava s jednim stupnjem slobode:

mx cx kx F t�� ( )� � � (3.1)

Djelovanje ove poremeæajne sile mo�e se prikazati kao superpozicija djelo-vanja beskonaèno mnogo elementarnih impulsa F( )4 4d , pa æe se najprije razma-trati prinudne vibracije koje nastaju kao rezultat djelovanja jednog impulsa, slika3-1.

85

DUHAMELOV INTEGRAL. APERIODIÈNE I PROLAZNE VIBRACIJE SUSTAVA S JEDNIM STUPNJEM SLOBODE

Sl. 3-1. Proizvoljno promjenljiva aperiodièna poremeæajna sila



• Impuls kao poremeæajna sila

Impuls se definira kao umno�ak sile i vremena njenog djelovajna, što je odre-ðeno u poglavlju Opæi zakoni mehanike [61]. Naprimjer, elementarni impuls sileF( )4 u vremenskom intervalu d4 reprezentiran je osjenèenom površinom na slici3-2. i ima vrijednost F(4)d4, a djeluje na tijelo mase m.

U Teoriji sudara [61] pokazano je da je promjena vektora brzine tijela zavrijeme sudara konaèna vrijednost, odreðena osnovnom jednad�bom teorije su-dara:

� � �v v2 1

1� �

mI sud (3.2)

u kojoj je�v1 brzina tijela na poèetku, a

�v 2 na kraju sudara. Posljednja jedna-

d�ba nastala je primjenom zakona o promjeni kolièine gibanja toèke pri sudaru[61]:

m I Fsud( ) ( )� � � �v v2 1� � � 4 4d

odakle je,

m Fd

d

v

44� ( ) (3.3)

86

POGLAVLJE 3.

Sl. 3-2. Elementarni impuls F(4)d4



Ovaj posljednji izraz mo�e se napisati u sljedeæem obliku:

dd

v� �F

m

I

m

sud( )4 4(3.4)

gdje je F(4)d4 elementarni impuls, dok je dv vrijednost za koju se promijenilabrzina toèke uslijed djelovanja elementarnog impulsa F(4)d4 i zove se elementar-na brzina (incremental velocity).

U nastavku æe se promatrati elementarni impuls F(4)d4 koji djeluje na kon-strukciju reprezentiranu oscilatorom na slici 3-3. Nakon prestanka djelovanja im-pulsa F(4)d4, sustav na slici 3-3. nastavlja oscilirati svojim slobodnim nepriguše-nim oscilacijama. Na temelju podataka iznijetih u poglavlju 1.1., mo�e se napisatirezultat tih oscilacija:

dx t C t C t( ) cos sin� �1 2� � (3.5)

Za interval vremena 4 toèka mase m dobiti æe promjenu brzine za vrijednost(3.4), dok æe poveæanje elementarnog pomaka tijela koje slobodno osciliraimati vrijednost (3.5). Integracijske konstante odreðuju se iz sljedeæih poèetnihuvjeta:

za t tx x

x x�

�

�0

0

0

:� �

d d

d d(3.6)

Elementarni pomak oscilatora na slici 3-3., uslijed djelovanja elementarnogimpulsa, za zadane poèetne uvjete, ima vrijednost:

d dd

x t x tx

t( ) cos�

sin� �0

0��

� (3.7)

87


Sl. 3-3. Oscilacije sustava na koji djeluje elementarni impuls



Evo još jednog zakljuèka iz Teorije sudara [61]: Zbog djelovanja impulsa ne-ma vremena za promjenu poèetnog polo�aja toèke (tijela) mase m, veæ dolazisamo do promjene njene poèetne brzine. Zbog toga je u posljednjem izrazu:

dx 0 0� (3.8)

Buduæi da se iz (3.4) mo�e napisati:

dd

�( )

xF

m0 �4 4

(3.9)

u trenutku t odziv oscilatora na djelovanje elementarnog impulsa F(4)d4, koji dje-luje u trenutku 4, slika 3-2., ima sljedeæu vrijednost:

dd

x tF

mt( )

( )sin ( )� �

4 4

�� 4 (3.10)

Kao što je na poèetku ovog poglavlja reèeno, poremeæajna sila (optereæenje)F(t) shvaæa se kao sukcesivna serija impulsa koji djeluju u vremenskom intervalud4, pri èemu svaki impuls rezultira odzivom oblika (3.10), ukupni pomak u trenut-ku t uslijed kontinuiranog djelovanja optereæenja F(t) izra�en je integralom dife-rencijalnih pomaka dx(t). Ovo je moguæe uèiniti i zato što je diferencijalna jed-nad�ba vibracija linearna pa vrijedi princip superpozicije.

x t x tm

F tt t

( ) ( ) ( )[sin ( )]� � �� d d0 0

1

�4 � 4 4 (3.11)

Integral u rješenju (3.11) naziva se integral superpozicije ili Duhamelov in-tegral, što je specijalni oblik integrala konvolucije (the convolution integral), aopisuje se u ud�benicima za diferencijalne jednad�be [10, 64]. Vrijednost x(t) u rje-šenju (3.11) predstavlja ukupan pomak kao rezultat poremeæajne sile F(t) koja dje-luje na neprigušeni oscilator. Kada funkcija F(t) nije dana analitièki, integral u iz-razu (3.11) mo�e se uvijek dovoljno toèno rješavati primjenom nekog odgovaraju-æeg numerièkog postupka.

Ako se ukljuèi efekt poèetnog pomaka x0 i poèetne brzine �x 0 , onda se rješenju(3.11) dodaje prije izvedeno rješenje za sluèaj slobodnih neprigušenih oscilacija(koji se, kako je prije pokazano, vrlo brzo izgubi). Tada izraz za ukupan pomakglasi:

88

POGLAVLJE 3.



x t x tx

tm

F tt

( ) cos�

sin ( )sin ( )� � � ��0

0

0

1�

��

�4 � 4 4d (3.12)

U sluèaju da se u analizu uvede prigušenja, pri èemu se uzima rješenje (1.75)izvedeno za sluèaj prinudnih prigušenih oscilacija u poglavlju 1.4., izrazi (3.10),(3.11) i (3.12) postaju:

dd

x t eF

mtt

dd( )

( )sin ( )( )� �� 4 4 4

�� 4 (3.13)

x tm

F e t td

td

t

( ) ( ) sin ( )( )� � �� 1

0�4 � 4�� 4 d (3.14)

x t e x t tx

ttd

dd

dd( ) cos sin

�sin� �

�

�

�

��

&��

��

��

��0

0

�'

(

�)�

� � �� 1

0mF e t t

d

td

t

�4 � 4�� 4( ) sin ( )( ) d

(3.15)

89




3.2. Primjeri primjene Duhamelovog integrala

Primjer 8.

Nosaè na slici 3-4(a). optereæen je zadanim optereæenjem koje se nanosi tre-nutno u punom iznosu. Kako je reèeno u prošlom poglavlju, takvo je optereæenjeaperiodièno, a izra�eno je Heavesideovom funkcijom, slika 3-4(b).

Za neprigušeni je sustav:

x tm

F t tH

mt

H

m

t t

( ) ( )sin ( ) sin ( ) c� � � � �� 1

0 02�

4 � 4�

� 4 4�

d d os ( )� 4tt

�0

x tH

m t( )

( cos );�

�� 2 1x t

k

Ht( ) cos ;� � �1 � f

H

kst �

xH

m

H

kf stmin .� � �

�2 2 2

90

POGLAVLJE 3.

Sl. 3-4. Zadani nosaè i optereæenje (a); Heavesideova funkcija optereæenja (b)



Glavna je razlika izmeðu ovog rješenja i rješenja za sluèaj slobodnih neprigu-šenih oscilacija u tome što je ovdje os t spuštena za vrijednost fst. Treba zapaziti ito da je maksimalna deformacija nosaèa dva puta veæa od deformacije koju bi pro-izvelo zadano optereæenje na nosaè, slika 3-4(a), ako bi se primijenilo kao statièkooptereæenje.

Zakljuèak: Maksimalni pomak linearnog elastiènog sustava, optereæenog iz-nenada nanijetom silom u punom iznosu njenog inteziteta, dva je puta veæi od mak-simalnog pomaka koji bi sustav imao kada bi se sila primijenila statièki, tj. kada bise sila nanijela postupno, pri èemu se ne bi javili inercijalni efekti u sustavu.

Kada je zadani sustav prigušen, rješenje je prikazano na slici 3-6. i ima sljede-æi oblik [52]:

x tH

me t t

d

td

t

( ) sin ( )( )� ��

� 4�� 4 d0

x tH

k

et

t

d( ) cos( )� ��

�&

�''

(

�))

�

11 2

��

�� 9

9��

arctg�

�1 2

91


Sl. 3-5. Vremenski tijek pomaka neprigušenog sustava s optereæenjemprema Heavesideovoj funkciji



Isto bi se rješenje dobilo rješavajuæi diferencijalnu jednad�bu oblika:

�� x x xH

m� � �2 2��

x t xH

m( )� �0 2�

Primjer 9.

Na neprigušen sustav s jednim stupnjem slobode u poèetnom je trenutku( )t0 0� trenutno nanijeta sila F koja ostaje konstantnog intenziteta. U trenutku “a”dodana je još jedna takva sila F, slika 3-7. Opisati ponašanje sustava i posebno raz-matrati sluèajeve kada je:

a) a T�

b) aT

�2

92

POGLAVLJE 3.

Sl. 3-6. Vremenski tijek pomaka prigušenog sustava s optereæenjemprema Heavesideovoj funkciji

Sl. 3-7. Zadana funkcija optereæenja na sustav



x tm

F tm

F tt

a

t

( ) sin ( ) sin ( )� � � �� 1 1

0�� 4 4

�� 4 4d d

x tF

mt

F

mt

t

a

t( ) cos ( ) cos ( )� � � �

�� 4

�� 42 0 2

x tF

mt

F

mt a( ) ( cos ) [ cos ( )]� � � � �

��

��2 21 1

x tF

m

F

mt t a( ) [cos cos ( )]� � � �

22 2� �

� �

gdje je:

2 2F

mf st��

�

a) a T� �2�

�

cos ( ) cos cos( ) cos� ��

�� t a t t t� � �

��

��

22

x tF

m

F

mt

F

mt( ) cos ( cos )� � � �

2 2 212 2 2� �

��

�

b) aT

� �2

�

�

cos cos( ) cos��

�� t t t�

��

��

x tF

mf st( )� �

222�

Znaèi da u ovom drugom sluèaju, kada je u trenutku a T� /2 dodano još jednooptereæenje (takoðer definirano Heavesideovom funkcijom), ne postoji dinamièkiefekt tog drugog dijela optereæenja na vrijednost progiba.

93




Primjer 10.

Na neprigušen sustav s jednim stupnjem slobode u poèetnom je trenutku( )t0 0� trenutno nanijeta sila F koja se uklanja u trenutku “a”, slika 3-8. Na ovaj jenaèin definirano “pravokutno optereæenje” (rectangular pulse). Opisati ponašanjesustava i posebno razmatrati sluèajeve kada je:

a) a T�

b) aT

�2

x tm

F tm

F tt

a

t

( ) sin ( ) sin ( )� � � �� 1 1

0�� 4 4

�� 4 4d d

x tF

mt

F

mt

t

a

t( ) cos ( ) cos ( )� � � �

�� 4

�� 42 0 2

x tF

mt

F

mt a( ) ( cos ) [ cos ( )]� � � � �

��

��2 21 1

x tF

mt a t( ) [cos ( ) cos )]� � � �

�� 2

� � �F

kt a t[cos ( ) cos ]� �

94

POGLAVLJE 3.

Sl. 3-8. Zadana funkcija “pravokutno optereæenje” (rectangular pulse) na sustav



Vrijednost u srednjoj zagradi posljednjeg izraza naziva se dinamièki faktoroptereæenja DLF (Dynamic Load Factor), a definira se kao koliènik pomaka x uproizvoljnom trenutku t prema statièkom pomaku F/k, što znaèi da DLF definirapomak u bilo kojem trenutku t.

DLFk x t

Ft a t t a�

��

( )[cos ( ) cos ],� �

DLF t t a� � �1 cos ,�

a) a T� �2�

�


�� t a t t t� � �

��

��

22

x t( )� 0

b) aT

� �2

�

�


�� t a t t t� � �

��

��

x tF

mt( ) cos��

22�

�

Vremenska ovisnost pomaka sustava uslijed zadanoga optereæenja Heavesi-

deovom funkcijom, koje se uklanja u trenutku aT

� �2

�

�, prikazana je na slici 3-9.

95


Sl. 3-9. Vremenska ovisnost pomaka sustava uslijed zadanoga optereæenja



Primjer 11.

Na neprigušen sustav s jednim stupnjem slobode, slièno kao u prethodnomprimjeru, u poèetnom je trenutku ( )t0 0� trenutno nanijeta sila F0 , èiji se intenzi-tet sada linearno smanjuje i u trenutku “a” ima nultu vrijednost, slika 3-10. Na ovajnaèin definirano je “trokutno optereæenje” (triangular pulse).

Odziv ovakvog sustava na zadano optereæenje dobit æe se primjenom Duha-melovog integrala u dva intervala.

U prvom intervalu, u kojem je t a� , sila F(t) izra�ena je na sljedeæi naèin:

F t Ft

a( )� �

��

��

0 1

Buduæi da su poèetni uvjeti jednaki nuli,

x 0 0� ; �x 0 0�

iz (3.12) dobije se:

x tm

F t tF

kt

F

ka

tt

( ) ( )sin( ) ( cos )sin

� � � � � ��11

0

0 0

�4 4 �

�

�d t

��

��

Dinamièki faktor optereæenja DLF (Dynamic Load Factor) u ovom sluèajuima vrijednost:

DLFk x t

Ft

t

a

t

a�

��

( )cos

sin

0

1 ��

�(3.16)

96

POGLAVLJE 3.

Sl. 3-10. Zadana funkcija “trokutnog optereæenja” (triangular pulse) na sustav



Za drugi interval, za koji je t a� , najprije se primjenom posljednjeg izrazaodrede pomak i brzina u trenutku t � a:

xF

k

a

aat a� � �

��

��0 sin

cos�

��

� sincos

xF

ka

a

a at a� � � ��

��0 1

� ��

Vrijednosti x t a� i �x t a� shvaæaju se kao poèetni uvjeti u trenutku t a� za drugiinterval. Ako se u rješenju (1.9) umjesto promjenljive t napiše ( ),t a� a umjesto x 0

i �x 0 posljednja dva izraza, pri èemu je F t( ) ,� 0 Duhamelov integral svodi se na:

x tF

k at t a

F

kt( ) [sin sin ( )] cos� � � �0 0

��

DLFk x t

F at t a t�

��

( )[sin sin ( )] cos

0

1

�� (3.17)

Rješenja (3.16) i (3.17) koristit æe se poslije u poglavlju 11.Prethodna dva primjera, kao i sluèajevi funkcija optereæenja F(t) drugaèijih

od ovih prikazanih u posljednja dva primjera, imaju primjenu pri definiranju opte-reæenja na graðevinske konstrukcije nastalih nakon eksplozija (blast loading) [71].

97




POGLAVLJE 4.

SLOBODNE NEPRIGUšENE OSCILACIJEDISKRETNIH SUSTAVA S PROIZVOLJNIM

BROJEM STUPNJEVA SLOBODE



4.1. Diferencijalne jednad�be gibanja dobiveneprimjenom Lagrangeovih jednad�bi druge vrste

Diskretan sustav koji ima s stupnjeva slobode sastoji se od odreðenog broja ndiskretnih masa, èiji se polo�aji odreðuju generaliziranim koordinatama u1, u2, …, us,koje mogu biti duljine ili kutovi, ovisno o prirodi osciliranja (na primjer: linearneoscilacije, torzijske oscilacije ili kombinacija jednih i drugih). Za generaliziranukoordinatu usvojena je oznaka u kako je uvedeno u literaturi [6, 9].

Postoje sluèajevi kada nekom stupnju slobode (rotaciji èvora) nije pridru�enaodgovarajuæa diskretna masa. U takvim se sluèajevima koristi postupak statièkogkondenziranja (the static condensation method) [1,6], kojim se iz dinamièkeanalize eliminiraju oni stupnjevi slobode konstrukcije kojima su pridru�enenulte vrijednosti masa. Takav æe se sluèaj obraditi na kraju dijela 7.3 primjerombroj 16.

Da bi se dobila diferencijalna jednad�ba gibanja diskretnog sustava koristi seili D’Alembertovo naèelo (koje je veæ korišteno pri formiranju diferencijalne jed-nad�be gibanja sustava s jednim stupnjem slobode) ili Lagrangeove jednad�be gi-

banja druge vrste [61]:

d

dt

E

u

E

u

E

uk

i

k

i

p

i

8

8

�

�

�

��8

8�8

8�

�0 i s�12, ,... ,

(4.1)d

dt

L

u

L

ui i

8

8�8

8�

�,0 L E Ek p� �

Dok je postupak primjene D’Alembertovog naèela za dobivanje diferencijal-nih jedna�bi gibanja poznat jer je veæ primjenjivan kod sustava s jednim stupnjemslobode (poglavlje 1.1.), postupak primjene Lagrangeovih jednad�bi druge vrste zaformiranje diferencijalnih jednad�bi gibanja diskretnog sustava koji ima s stupnje-va slobode opisat æe se u nastavku:

� odredi se broj stupnjeva slobode s promatranog sustava;

� odaberu se generalizirane koordinate u1, u2, …, us;

101

SLOBODNE NEPRIGUšENE OSCILACIJE DISKRETNIH SUSTAVA S PROIZVOLJNIM BROJEM STUPNJEVA SLOBODE



� napišu se izrazi za kinetièku i potencijalnu energiju sustava E Ek p, ;

� odrede se derivacijed

dt

E

uk

i

8

8

�

�

�

��,8

8

E

uk

i

,8

8

E

up

i

i uvrste u Lagrangeovu jednad�budruge vrste (4.1);

� riješi se sustav tako dobivenih jednad�bi.

U primjeni Lagrangeovih jednad�bi druge vrste za formiranje diferencijalnihjednad�bi gibanja diskretnog sustava pretpostavlja se da je sustav podvrgnut holo-nomnim vezama [61] i da na njega djeluju konzervativne sile [61]. Nadalje se pret-postavlja da æe sve diskretne mase sustava oscilirati istovremeno jednakomfrekvencijom i jednakom fazom (sinhrone sinfazne oscilacije).

Pretpostavit æe se da je utjecaj prigušenja zanemarljiv. Da bi se mogla izvestijednad�ba gibanja primjenom Lagrangeovih jednad�bi druge vrste, koristit æe seizrazi iz mehanike [61] za potencijalnu i kinetièku energiju, odreðeni kao homoge-ne kvadratne forme svojih argumenata generaliziranih pomaka i generaliziranihbrzina:

E k u up ij i jj

s

i

s

� � ��

��1

2 11

(4.2)

E a u uk ij i jj

s

i

s

� � ��

��1

2 11

� � (4.3)

U sluèaju kada su generalizirane koordinate du�ine vrijednosti aij u izrazu(4.3) moraju imati dimenziju mase ( ),a mij ij� a ako su generalizirane koordinaterotacije, tada vrijednosti aij , kao što je uvedeno u poglavlju 1.5., moraju imati di-menziju momenta tromosti ( ).a Jij �

J r mn�� 2d [kg m2] (4.4)

Koeficijenti mij i k ij su elementi matrice masa i matrice krutosti. Ove æe sematrice definirati poslije, a ovdje samo treba spomenuti da koeficijenti krutosti k ij

predstavljaju vrijednosti koje definiraju krutost odnosno fleksibilnost sustava (veæje govoreno o krutosti opruge k u poglavlju 1.1.), dok se s vrijednostima mij uvodeinercijalne sile na naèin koji æe biti detaljno objašnjen u narednom poglavlju.

102

POGLAVLJE 4.



Uvršæivanjem posljednjih izraza za kinetièku i potencijalnu energiju sustava uLagrangeove jednad�be gibanja druge vrste dolazi se do sljedeæeg sustava jed-nad�bi:

( �� ) ,m u k uij j ij jj

s

� � � ��

� 01

( , , , )i s� :1 2 (4.5)

Znaèi, kada su generalizirane koordinate du�ine, jednad�be (4.5) predstavljajudiferencijalne jednad�be gibanja diskretnog sustava koji ima s stupnjeva slobode.

Treba na kraju spomenuti da postoji i treæi naèin na koji se mogu napisati di-ferencijalne jednad�be gibanja sustava � primjenom Hamiltonovog naèela, kojispada u varijacijska naèela mehanike i jedan je od Opæih naèela mehanike [61].

103

SLOBODNE NEPRIGUšENE OSCILACIJE DISKRETNIH SUSTAVA S PROIZVOLJNIM BROJEM STUPNJEVA SLOBODE



POGLAVLJE 5.

RJEŠENJE PROBLEMA VLASTITIHVRIJEDNOSTI DISKRETNIH SUSTAVA

S VIŠE STUPNJEVA SLOBODE



5.1. Definiranje vlastitih vrijednosti

Za sluèaj kada su sve generalizirane koordinate duljine u prethodnom je po-glavlju dobiven sljedeæi sustav diferencijalnih jednad�bi:

( �� ) ,m u k uij ij ij jj

s

� � � ��

� 01

(i � 1, 2, …, s � n) (5.1)

Zbog poglavlja 7., u kojem je red matrice (koji se u matematici obilje�avasimbolom n) jednak broju stupnjeva slobode sustava, u nastavku se uvodi da jes n� .

Èlanovi jednad�be (5.1) koji sadr�e vrijednosti mij $ 0, kada je i j$ , èlanovisu dinamièkih veza izmeðu generaliziranih koordinata ui. Èlanovi jednad�be(5.1) koji sadr�e koeficijente k ij $ 0, kada je i j$ , èlanovi su statièkih (elastiènih)veza izmeðu generaliziranih koordinata ui.

Zbog ovakvih veza izmeðu generaliziranih koordinata postoje dvije specijalnevrste diferencijalnih jednad�bi gibanja i to :

(a) mij � 0, kada je i j$ , u kom sluèaju jednad�ba gibanja (5.1) dobiva oblik:

m u k uij i ij jj

s n

� � � ��

�

��1

0 (i � 1, 2, …, s � n) (5.2)

Ovo je sluèaj osciliranja sustava sa statièkim vezama (linearne oscilacije tijelavezanog oprugama), kada se ka�e da je sustav statièki spregnut (static coupling).Ovaj sluèaj je lako razumljiv jer se na njemu temelji i graðevinska statika, a vrijed-nosti kij iz statike su dobro poznati utjecajni koeficijenti (the stiffness influence co-efficients).

(b) k ij � 0, kada je i j$ , kada jednad�ba gibanja (5.1) dobiva oblik:

m u k uij j ii ij

n

� � � ��

� �� ,01

(i � 1, 2, …, s � n) (5.3)

107

RJEŠENJE PROBLEMA VLASTITIH VRIJEDNOSTI DISKRETNIH SUSTAVA S VIŠE STUPNJEVA SLOBODE



Ovo je sluèaj osciliranja sustava s dinamièkim vezama te se ka�e da je uovom sluèaju sustav dinamièki spregnut (dynamic coupling). Ta se sprega temeljina sljedeæem: Ako se masi na mjestu j priopæi jedinièno ubrzanje, a istovremeno suubrzanja svih ostalih masa jednaka nuli, stvaraju se fiktivne inercijalne sile na mje-stu svake mase. Sukladno tome, moraju postojati vanjske sile koje æe se uravno-te�iti s tim fiktivnim inercijalnim silama. Tako nastaju vrijednosti mij $ 0, kada jei j$ (the mass influence coefficients) [6]. Vrijednost mij oznaèava vanjsku silu namjestu i (na mjestu na kojem se nalazi masa mi ) uzrokovano jediniènim ubrzanjemna mjestu j (na kojem se nalazi masa m j ). Tako se dobiju, naprimjer, vrijednostimi1 (i � 1, 2, …,n) potrebne da bi se napravila ravnote�a s inercijalnim silamanastalim kada je �� ,u1 1� dok su istovremeno ubrzanja ostalih masa jednaka nuli,��u j � 0 (j � 1, 2, …, n). Kada se u 7. poglavlju rješavanje problema vlastitih vrijed-nosti formulira u matriènom obliku, pojmovi statièke i dinamièke veze bit æe jošjasniji.

U nastavku æe se najprije tra�iti rješenje sljedeæeg potpunog sustava jednad�bigibanja (5.1), koji se u razvijenom obliku mo�e napisati na ovaj naèin:

m u m u k u k u11 1 12 2 11 1 12 2 0� � � �:� � � � �:��

m u m u k u k u21 1 22 2 21 1 22 2 0� � � �:� � � � �:�� (5.4).....................................................................................

m u m u k u k un n n n1 1 2 2 1 1 2 2 0� � � �:� � � � �:��

Rješenje sustava (5.4) ima ovaj oblik:

u a ti i� � � �cos ( )� ; (5.5)

�� cos( ) ,u a t ui i i�� ; �2 2 (i � 1, 2, …, n)

Rješenje mora zadovoljiti uvjet da sve mase istodobno osciliraju istomfrekvencijom i istom fazom. To su sinkrone sinfazne oscilacije (faza ima vrijednost� ;� �t , a ; predstavlja poèetnu fazu) koje imaju kru�ne frekvencije � i amplitudeai . S obzirom na (5.5) sustav jednad�bi (5.4) dobiva ovaj oblik:

( ) ( )k m a k m an n n11 112

1 1 12 0� � � �:� � � � ��

( ) ( )k m a k m an n n21 212

1 2 22 0� � � �:� � � � �� (5.6)

.....................................................................................

( ) ( )k m a k m an n nn nn n1 12

12 0� � � �:� � � � ��

108

POGLAVLJE 5.



U ovih n homogenih jednad�bi su nepoznanice a a an1 2, , ,: i �. Znaèi u nhomogenih jednad�bi (5.6) postoji n�1 nepoznanica.

Po nepoznatim amplitudama ai sustav ovih jednad�bi je linearan i homogen.Uvjet je za egzistenciju netrivijalnog rješenja da determinanta koeficijenata uz ne-poznanice ai bude jednaka nuli:

| |

( ), , ( )

( ), , (D

k m k m

k m k

n n

n�

� � : � �

� � :11 11

21 1

2

21 212

2

� �

� � �

: : :

� � : � �

�m

k m k m

n

n n nn nn

22

1 12 2

0�

� �

)

( ), , ( )

(5.7)

Ovo je Lagrangeova determinanta ili karakteristièna funkcija koeficijena-ta k ij i mij . To je jednad�ba n-tog stupnja u odnosu na nepoznatu kru�nu frekvenci-ju �2 pa se stoga zove i frekvencijska jednad�ba. Ona daje n vrijednosti zakru�ne frekvencije. Za svaku od ovih n kru�nih frekvencija moguæe je ostvariti sin-krone sinfazne oscilacije. Za statièki spregnut sustav otpadaju u izvandijagonalnimèlanovima determinante (5.7) elementi koji sadr�e mase.

U ovoj knjizi razmatranja æe se ogranièiti na statièki spregnute sustave (a), štoodgovara prirodi problema koji æe se rješavati u narednim poglavljima. Detaljanprikaz rješavanja problema s dinamièkom spregom je dan u literaturi [6].

Znaèi da za statièki spregnut sustav koji se najèešæe pojavljuje kod rješa-vanja praktiènih zadataka, Lagrangeova determinanta glasi:

| |

( )

( )D

k m k k

k k m k

k k

n

n

n

�

� � :

� � :

: : : :

11 112

12 1

21 22 222

2

1

�

�

n nn nnk m22

0

: � �

�

( )�

(5.8)

Rješavanjem ove frekvencijske jednad�be dobije se:

� � �( ) ( ) ( )1 2� �:� n

Kru�na frekvencija � ( )1 naziva se prvom ili osnovnom (fundamental fre-quency). Ona je jedan od najva�nijih podataka u dinamièkoj analizi konstrukcija.

Kada su izraèunate vrijednosti � i , nepoznate amplitude ai još se ne mogu do-biti eksplicitno jer je sustav jednad�bi (5.6) homogen, veæ se mogu dobiti samo ko-

109




liènici nepoznatih amplituda (na primjer ako se sve jednad�be u sustavu (5.6) podi-jele sa a1 , kada se ka�e da su vrijednosti ai normirane s vrijednošæu a1 ). Tada seiz sustava jednad�bi (5.6) dobiju ova rješenja:

a

a

a

a

a

aa

a

n2 1

1 1

3 1

1 1

1

1 11

2 2

1 2

( )

( )

( )

( )

( )

( )( )

( )

(

, , , ;: za �

)

( )

( )

( )

( )( )

( )

( )

, , , ;

,

a

a

a

a

a

a

a

n

n

n

3 2

1 2

2

1 22

2

1

3

:

: : : : :

za �

( )

( )

( )

( )( ), , ;

n

n

n n

nna

a

a1 1

: za �

(5.9)

U dinamici konstrukcija ovakvo je rješenje zadovoljavajuæe kada se, znaèi,zna samo oblik osciliranja konstrukcije a ne i apsolutne vrijednosti amplituda po-maka. U narednim æe se poglavljima za apsolutne vrijednosti amplituda pomaka ra-biti termini generalizirane koordinate ili generalizirani pomaci ui . Ovi kolièniciamplituda su ili bezdimenzionalni brojevi (u sluèaju kada pomaci svih masa imajuiste mjerne jedinice, na primjer metar na slici 5-1.) ili imaju dimenziju metar/radako su generalizirani pomaci nekih diskretnih masa duljine, a nekih kutovi rotacije.

Vrijednosti � ( )r , kojih ima n, nazivaju se prirodne ili vlastite kru�ne frek-

vencije, a od koliènikaa

ai r

r

( )

( )1

mogu se nacrtati prirodni ili vlastiti oblici oscilacija

ili tonovi oscilacija (modes).Ovi su vlastiti oblici znaèi samo po obliku jednaki stvarnim generalizira-

nim pomacima ui za neki ton.

110

POGLAVLJE 5.

Sl. 5-1. Prvi vlastiti oblik diskretnog sustava s tri stupnja slobode



Obje ove vrijednosti, dakle i vlastite kru�ne frekvencije i vlastiti oblici oscila-cija, imaju jedinstven naziv: vlastite vrijednosti (eigenvalues). Ovaj je termin pre-uzet iz matematike, gdje je obraðen problem vlastitih vrijednosti kao matematièkiproblem koji nalazi svoju primjenu i u dinamici konstrukcija i u stabilnosti kon-strukcija <10=. Pojmovi kritièna sila i oblik izvijanja u stabilnosti konstrukcija od-govaraju u matematièkom smislu pojmovima vlastita frekvencija (eigen frequency)i vlastiti oblik (eigen mode) u dinamici konstrukcija. To su najèešæe prvi podatciispisa nakon uporabe gotovih paketa programa, a kompjutorski programi kojima seraèunaju samo vlastite vrijednosti poznati su pod nazivom EIGEN ili JACOBI imogu se naæi u literaturi <53=. Prema engleskom nazivu mode za vlastiti oblik u po-glavlje 10. uvest æe se termin modalna analiza (modal analysis).

Poznavanje vlastitih oblika i vlastitih kru�nih frekvencija osnovni je podatakza praæenje dinamièkog ponašanja konstrukcijskih sustava pri djelovanju odreðe-nih dinamièkih utjecaja.

Stvarno gibanje sustava u najopæenitijem sluèaju rezultira kao superpozicijasvih vlastitih oblika, tako da se opæe rješenje mo�e pisati na ovaj naèin:

u a ti i r r rr

n

� � ��

� ( ) ( ) ( )cos[ ]� ;1

i � 1, 2, …, n (5.10)

Da bi se ostvarili vlastiti oblici konstrukcije, ona se najprije nakratko morapobuditi. Meðutim, ta pobuda ne mo�e biti potpuno proizvoljna. Naime, diskretnisustav s više stupnjeva slobode oscilirat æe svojim prirodnim oblicima samo ako tapobuda bude takva da se nosaè deformira toèno u formu nekog od vlastitih oblika(na primjer prvog) pa zatim uzrok te deformacije ukloni. Tada æe oscilacije bitipravilne po vlastitim frekvencijama, a za svaku æe se od tih frekvencija formiratiodgovarajuæi vlastiti oblik.

111




5.2. Ortogonalnost vlastitih oblika osciliranja

Ako sustav oscilira u r-tom tonu, tada njegovoj proizvoljnoj masi mi odgovarasljedeæa inercijalna sila:

[ ]( ) ( )m ai i r r� ��2 (5.11)

Sada se pretpostavlja da je sustav do�ivio takav virtualni pomak ai l( ) (pojam“virtualni pomak” uveden je i objašnjen u mehanici <13, 61, 69=) koji odgovaranjegovom l-tom tonu pa se mo�e napisati izraz za virtualni rad svih inercijalnihsila (5.11) sustava kada on oscilira u r-tom tonu, na virtualnim pomacima koji od-govaraju tonu l :

[ ]( ) ( ) ( )m a ai i r r i li

n

� � ��

� �2

1

(5.12)

Ako se sada navedeni postupak ponovi, ali tako da se naðe vrijednost virtual-nog rada svih inercijalnih sila sustava kada on oscilira u l-tom tonu [ ]( ) ( )m ai i l l� ��2

na virtualnim pomacima ai r( ) koji odgovaraju tonu r, dobije se:

[ ]( ) ( ) ( )m a ai i l l i ri

n

� � ��

� �2

1

(5.13)

Na temelju Bettijevog pouèka o uzajamnosti radova, izjednaèavanjem dvaprethodna izraza dobiva se:

[ ]( ) ( ) ( ) ( )� �r l i i r i li

n

m a a2 2

1

0� � � ��

� (5.14)

112

POGLAVLJE 5.



Buduæi da je za r l$ vrijednost [ ]( ) ( )� �r l2 2� razlièita od nule, to se iz izraza

(5.14) dobiva :

m a ai i r i li

n

� � ��

� ( ) ( ) ,1

0 r l$ (5.15)

što predstavlja uvjet ortogonalnosti vlastitih oblika osciliranja.

Za r l� vrijednost u srednjoj zagradi izraza (5.14) jednaka je nuli, pa se utom sluèaju iz tog izraza dobiva:

m ai i ri

n

� $�

� ( ) ,2

1

0 r l� (5.16)

U poglavlju 5.1. pokazano je da u vlastitim oblicima ne figuriraju prave vri-jednosti pomaka diskretnih masa, veæ je toèan samo oblik svakog tona, jer je svakivlastiti oblik normiran (podijeljen) stvarnim pomakom jedne od masa. Znaèi da suu izrazu (5.16) vrijednosti ai(r) bez dimenzije ako svi generalizirani pomaci imajuistu dimenziju (naprimjer, ako su svi generalizirani pomaci izra�eni u metrima), ka-

da zbroj m ai i ri

n

��

� ( )2

1

ima dimenziju mase.

I izraz (5.16) predstavlja uvjet ortogonalnosti za sluèaj kada je r l� . Takodobivena vrijednost:

m ai i ri

n

��

� ( )2

1

(5.17)

naziva se generalizirana masa za ton r i obilje�ava oznakom m(r) te je:

m a mi i ri

n

r� ��

� ( ) ( )2

1

(5.18)

Ova va�na osobina ortogonalnosti oblika osciliranja i s tim u vezi i pojam ge-neralizirane mase prezentirat æe se i u matriènom obliku u 8. poglavlju.

113




POGLAVLJE 6.

ANALIZA IDEALIZIRANOG SUSTAVAS PROIZVOLJNIM KONAÈNIM BROJEM

STUPNJEVA SLOBODE:“ZGRADA POSMIKA” (SHEAR BUILDING)



6.1. Osnovne pretpostavke i jednad�be gibanjavišekatne “zgrade posmika”

Kao što je reèeno u 2. poglavlju, u opæem su sluèaju konstrukcije kontinuiranisustavi i kao takve imaju beskonaèno mnogo stupnjeva slobode. Postoje analitièkemetode kojima se opisuje dinamièko ponašanje kontinuiranih sustava <9, 52= kojiimaju uniformne karakteristike materijala i relativno jednostavnu geometriju.Ovakve analitièke metode zahtijevaju rješavanje parcijalnih diferencijalnih jed-nad�bi.

Ovdje æe biti izlo�ena analiza jedne diskretno modelirane konstrukcije s nstupnjeva slobode, tj. analiza višekatne “zgrade posmika” (shear building). Ovakvakonstrukcija nazvana “zgrada posmika” mora zadovoljiti uvjet da nema rotacija ho-rizontalnih presjeka katova. U tom smislu deformirana zgrada imat æe mnoge ka-rakteristike konzolnog nosaèa optereæenog samo popreènim silama. Otuda naziv“zgrada posmika”. Da bi se postigla takva deformacija (bez rotacija katova), morase pretpostaviti:

1) Krutost na savijanje meðukatnih konstrukcija kao i uzdu�ne krutosti stu-pova vrlo su velike vrijednosti. Ovom pretpostavkom osigurano je da sje-cišta izmeðu preèki i stupova ne mogu imati rotaciju (inaèe bi rotacije biledodatni stupnjevi slobode sistema).

2) Deformacija konstrukcije neovisna je o vrijednosti uzdu�nih sila u stupo-vima. Ova pretpostavka osigurava horizontalnost meðukatne konstrukcijeza vrijeme gibanja.

3) Ukupna masa konstrukcije koncentrirana je na katovima. Ova pretpostav-ka pretvara problem s beskonaènim brojem stupnjeva slobode u problem sonoliko stupnjeva slobode koliko zgrada ima katova. Naprimjer, trokatnakonstrukcija modelirana kao “zgrada posmika” imat æe tri stupnja slobode,tj. imat æe tri horizontalna pomaka na mjestima katova, slika 6-1. Sve do10. poglavlja analizirat æe se samo vlastite vrijednosti sustava s više stup-njeva slobode, što znaèi da su na slici 6-2. samo privremeno naznaèene ivanjske sile Fi(t).

117

ANALIZA IDEALIZIRANOG SUSTAVA S PROIZVOLJNIM KONAÈNIM BROJEM STUPNJEVA SLOBODE



Treba napomenuti da se ovdje, radi pojednostavljenja, analizira jednobrodnazgrada, makar zgrada u naèelu mo�e biti proizvoljna. Da bi se analiza predstavilašto jasnije, idealizirat æe se “zgrada posmika” kao stup, koji ima koncentrirane ma-se u nivoima katova, slika 6-2. Pritom je moguæe samo horizontalno pomicanjemasa. To je druga moguænost prezentiranja idealizirane “zgrade posmika”.

118

POGLAVLJE 6.

Sl. 6-1. Primjer “zgrade posmika” s tri stupnja slobode

Sl. 6-2. Drugi naèin predstavljanja “zgrade posmika”kao stupa s koncentriranim masama u nivoima katova



Treæa je moguænost predstavljanja idealizirane “zgrade posmika” primjenommatematièkog modela sastavljenog od masa i opruga, slika 6-3.

U sve tri navedene prezentacije “zgrade posmika” koeficijent krutosti, ili kon-stanta opruge kj izmeðu bilo koje dvije susjedne mase, jest sila nastala uslijed jedi-niènog relativnog pomicanja dviju susjednih meðukatnih konstrukcija.

U sluèaju stupova èija su oba kraja upeta (znaèi sprijeèena je rotacija krajevastupa), ukupna krutost kata “j” odreðena je izrazom <11=:

kEI

hj ��12

3 (6.1)

a za stupove kod kojih je jedan kraj upet, a drugi slobodan le�aj, ukupna krutostkata “j” ima vrijednost:

kEI

hj ��3

3 (6.2)

U ovim je izrazima E modul elastiènosti materijala stupa, I moment inercijenjegovog popreènog presjeka, a h katna visina.

Oèito je da sve tri prezentacije za “zgradu posmika” (slike 6-1., 6-2. i 6-3.)daju isti rezultat. Prema tome, primjenom D’Alembertovog naèela mogu se iz bilo

119


Sl. 6-3. Predstavljanje “zgrade posmika” pomoæu matematièkog modela



koje od prikazanih slika ispisati sljedeæe jednad�be gibanja za trokatnu “zgradu po-smika”:

m x k x k x x F t1 1 1 1 2 2 1 1 0� � � � � � � �� ( ) ( )

m x k x x k x x F t2 2 2 2 1 3 3 2 2 0� � � � � � � � �� ( ) ( ) ( ) (6.3)

m x k x x F t3 3 3 3 2 3 0� � � � � �� ( ) ( )

120

POGLAVLJE 6.



6.2. Primjeri

Primjer 12.

Riješiti problem vlastitih vrijednosti horizontalnih oscilacija sustava na slici6-4.

Diferencijalne jednad�be gibanja odredit æe se primjenom D`Alembertovognaèela:

m x k x x1 1 1 1 2 0� � � � �� ( )

m x k x k x x2 2 2 2 1 1 2 0� � � � � � �� ( )

koje se svode na:

m x k x k x1 1 1 1 1 2 0� � � � � ��

m x k x k k x2 2 1 1 1 2 2 0� � � � � � �� ( )

121


Sl. 6-4. Zgrada posmika i njezin dinamièki model



Nepoznate x1 i x2 imaju ovaj oblik:

x a t1 1� � � �cos( )� ;

x a t2 2� � � �cos( )� ;

te je:

� � � � � � � �

� � � � � � � � �

m a k a k a

m a k a k k a

12

1 1 1 1 2

22

2 1 1 1 2 2

0�

� ( ) 0

( )

( )

k m a k a

k a k k m a

1 12

1 1 2

1 1 1 2 22

2

0

0

� � � � � �

� � � � � � � �

�

�(a)

Prema formi posljednjih jednad�bi uoèava se da je analizirani sustav statièkispregnut, jer ne postoje èlanovi m i jij , .$

( )

( )

k m k

k k k m1 1

21

1 1 2 22 0

� � �

� � � ��

�

�

122

POGLAVLJE 6.

Sl. 6-5. Matematièki model graðevine



m m1 2

1

2� ; k k1 2

1

2�

� �4 1

1

2 12

12

5

20� � � � �

k

m

k

m

Rješenja su ove bikvadratne jednad�be:

�1 22 1

1

1

1

2

1

1

2

15

4

5

4

5

4, � � ��

�

�

��

�

�

�

��

k

m

k

m

k

m

k

m

k

m

k

m

1

1

1

1 22 1

11 2

12

3

4

5

4

3

4

1

2

�

� � ��

��

�

� � �

�

, ( ) ( )

( )

;

�

� �

k

m

k

m

1

1

22 1

1

2� ( )

Iz prve jednad�be sustava (a) dobiva se:

a

a

k

k m1

2

1

1 12�

� ��

te se

za � ( )12 1

1

1

2� �

k

mdobiva:

a

a

k

k mk

m

1 1

2 1

1

1 1

1

1

1

2

2( )

( )

��

�

za � ( )22 1

1

2� �k

mdobiva:

a

a

k

k mk

m

1 2

2 2

1

1 1

1

1

2

1( )

( )

��

��

123




Radi pojednostavljenja crtanja na slici 6-6. vlastiti su oblici naznaèeni samokao ilustracija. Vlastiti su oblici pravilno nacrtani na slici 6-2. i slici 6-4., a cilj sli-ke 6-6. je da se poka�u relativni odnosi “pomaka” diskretnih masa, ali se uvijek po-drazumijeva da se radi o zgradi posmika. Ovakav pristup æe se zadr�ati i u sljede-æim poglavljima.

Generalizirane mase:

m a mi i ri

n

r� ��

� ( ) ( )2

1

za prvi ton:

m a m a m1 1 12

2 2 12

1� � � �( ) ( ) ( )

za drugi ton:

m a m a m1 1 22

2 2 22

2� � � �( ) ( ) ( )

124

POGLAVLJE 6.

Sl. 6-6. Vlastite frekvencije i vlastiti oblici zadanoga sustava



Primjer 13.

Riješiti problem vlastitih torzijskih vrijednosti konzolnog sustava sa dva diskana slici 6-7. primjenom Lagrangeovih jednad�bi druge vrste.

Diferencijalne jednad�be gibanja u ovom æe se sluèaju dobiti primjenomLagrangeovih jednad�bi druge vrste, koje su uvedene u 4. poglavlju <61=:

d

dm

Ek E E

i

k

i

p

i

8

8

�

�

�

��8

8�8

8�� ;

> > >0 i�1 2, (a)

Znaèi da treba najprije napisati izraze za kinetièku i potencijalnu energiju sustavapa ih derivirati po generaliziranim brzinama �> i i generaliziranim koordinatama > i .

Broj stupnjeva slobode s � 2.

E a q q a q q a qk ij i jj

s

i

s

� � � � � � � ��

��1

2

1

2

1

21111 1 1 12 1

� � � � � � � � � � � �� q a q q a q q2 21 2 1 22 2 2

1

2

1

2

Prema izrazu za kinetièku energiju prikazanom u 4. poglavlju, koeficijenti aij

predstavljaju polarne momente inercije jer su koordinate rotacije generalizirane.Buduæi je zadani sustav statièki spregnut, za njega je aij � 0 kada je i j$ , te po-sljednji izraz postaje:

125


>1 i >2 su generalizirane koordinate rotacije diskova;

k1 i k2 su torzijske krutosti koje imaju dimenziju momenta sile <kNm/rad=;I1 i I2 su polarni momenti tromosti diskova <I r mi

V

�� 2d = ;

Sl. 6-7. Zadani konzolni sustav s dva diska



E I Ik � � � �1

2

1

21 12

2 22� �> > (b)

E k q q k q q k q qp ij i jj

s

i

s

� � � � � � � � � ��

��1

2

1

2

1

2

1

1111 1 1 12 1 2 2

1

221 2 1 22 2 2k q q k q q� � � � �

Iz konfiguracije konzolnog sustava na slici 6-7. oèito je da ne postoje èlanoviu posljednjoj jednad�bi koji sadr�e vrijednosti k12 i k 21 pa potencijalna energija uovom sluèaju ima vrijednost:

E k kp � � � � �1

2

1

21 12

2 2 12> > >( ) (c)

Elementi Lagrangeove jednad�be druge vrste (a) dobivaju se iz izraza (b) i (c)na sljedeæi naèin:

d

d

d

dt

E

tI Ik8

8

�

�

�

��

��

��

� ��>

> >1

1 1 1 121

2

d

dt

EIk8

8

�

�

�

��

��>

>2

2 2

8

8�

Ek

>1

0

8

8�

Ek

> 2

0

8

8� � � � �

Ek k

p

>> > >

11 1 2 2 1( )

8

8� � �

Ek

p

>> >

22 2 1( )

126

POGLAVLJE 6.



Sada se iz Lagrangeovih jednad�bi druge vrste (za i � 1, 2) i posljednjih deri-vacija dobivaju tra�ene diferencijalne jednad�be gibanja razmatranog sustava:

i I k k

i I k

� � � � � � � �

� � � � �

1 0

2

1 1 1 1 2 2 1

2 2 2 2 1

�� ( )

�� ( )

> > > >

> > > � 0

I k k k

I k k

1 1 1 2 1 2 2

2 2 2 1 2 2

0

0

� � � � � � �

� � � � � �

�� ( )

��

> > >

> > >

| |D � �0 frekvencijska jednad�ba

Oèito je da su ovdje primjenom Lagrangeovih jednad�bi druge vrste dobivenediferencijalne jednad�be gibanja po obliku iste kao diferencijalne jednad�be izprethodnog primjera dobivene primjenom D’Alembertovog naèela.

Zapravo, dva su razloga zbog kojih je za ilustraciju izlo�enog gradiva odabranovaj primjer s torzijskim oscilacijama. Prvo, htjelo se pokazati da se diferencijal-ne jednad�be gibanja sustava s n stupnjeva slobode mogu napisati i primjenomLagrangeovih jednad�bi druge vrste. Drugi je razlog povezan s potresnim in�enjer-stvom, gdje se analizira ponašanje “zgrade posmika” optereæene i torzijom (znaèida se rabe generalizirane koordinate rotacije tlocrta katova >1 , slika P3-2.), ali uuvjetima djelovanja potresa.

127




POGLAVLJE 7.

FORMULIRANJE PROBLEMAVLASTITIH VRIJEDNOSTI U MATRIÈNOM OBLIKU



7.1. Matrica fleksibilnosti i matrica krutosti

Ako su poznate sile i definirani pomaci izazvani tim silama, tada se te sile i tipomaci meðusobno povezuju odreðenom grupom utjecajnih koeficijenata. Ovi suutjecajni koeficijenti odreðeni elastiènim osobinama sustava koji se razmatra, arazlikujemo dvije vrste utjecajnih koeficijenata:

a) Koeficijenti fleksibilnosti ij [Maxwellovi koeficijenti] predstavljajupomak na mjestu “i” od jediniène sile postavljene u pravcu pomakana proizvoljnom mjestu “j”. Dimenzija koeficijenta fleksibilnosti je[m/kN].

b) Koeficijenti krutosti k ij [reciproèni Maxwellovi koeficijenti] predstavlja-ju silu na mjestu “i” kada masa na mjestu “j” ima jedinièni pomak, dok supomaci svih drugih masa istovremeno jednaki nuli. Dimenzija koeficijentakrutosti je [kN/m].

Ako su:

{ }u � vektor generaliziranih pomaka,

{ }Q � vektor generaliziranih sila,

tada se uloga koeficijenata fleksibilnosti i koeficijenata krutosti iskazuje sljedeæimjednad�bama u matriènom obliku:

{ } [ ]{ }u Q�

{ } [ ]{ }Q k u�(7.1)

gdje su:

[ ] �matrica fleksibilnosti, koja je kvadratna n-tog reda, pri èemu je n brojstupnjeva slobode sustava.

[ ]k �matrica krutosti, koja je kvadratna n-tog reda.

131

FORMULIRANJE PROBLEMA VLASTITIH VRIJEDNOSTI U MATRIÈNOM OBLIKU



Ovdje æe se za simbol koji oznaèava broj stupnjeva slobode koristiti oznakaza red matrice n, kako je i uvedeno u poglavlju 5.1, te je:

s n�

[ ]

�

:

:

: : :

:

&

�

''''

(

�

))

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

ij

n n nn

))

; [ ]k

k k k

k k k

k

k k k

n

n

ij

n n nn

�

:

:

: : :

:

&

�

''''

(

�

))

11 12 1

21 22 2

1 2

))

(7.2)

Iz jednad�bi (7.1) slijedi da su matrice [�] i [k] reciproène, tj. da je matrica [k]inverzna matrica matrice [�], te je [10, 64]:

[ ] [ ]k � � 1 ili [ ][ ] [ ][ ] [ ] k k I� � � 1 (7.3)

gdje je [ ]I (ili 1) jedinièna matrica. Od 13. poglavlja æe se matrice obilje�avati jed-nim masno otisnutim simbolom.

Matricu [ ] lakše je naæi ako se radi ruèno, a ako se radi pomoæu programa naraèunalu, on nam najèešæe daje vrijednosti matrice krutosti [ ].k

ij su elementi matrice fleksibilnosti. To su Maxwellovi utjecajni koeficijenti.Zbog osobine da je ij ji� , matrica fleksibilnosti simetrièna je u odnosuna glavnu dijagonalu;

k ij su elementi matrice krutosti. Zbog osobine da je k kij ji� , i ova je matricasimetrièna u odnosu na glavnu dijagonalu.

Sada diferencijalna jednad�ba gibanja u generaliziranim koordinatama i ma-triènom obliku za statièki spregnut sustav ima ovaj oblik:

[ ]{��} [ ]{ } { } { }m u k u Q QD F� � � (7.4)

Ovdje je s { }Q D oznaèen vektor generaliziranih sila otpora, a s { }Q F vektorgeneraliziranih poremeæajnih sila.

Kao što je prije objašnjeno kod dinamièki spregnutih sustava matrica masa jepuna matrica,

132

POGLAVLJE 7.



[ ]m

m m m

m m m

m

m m m

n

n

ij

n n nn

�

:

:

: : :

:

&

�

''''

(

�

))

11 12 1

21 22 2

1 2

))

a njeni èlanovi mij nastali su na naèin objašnjen u poglavlju 5.1.

U nastavku æe se razmatrati samo statièki spregnuti sustavi. Za njih je:

mij � 0, kada je i j$ ;

m mjj j�

m j je vrijednost diskretne mase kada konstrukcija oscilira translacijski. Brojdiskretnih masa je jednak broju stupnjeva slobode a njihove vrijednosti su razlièiteod nule, osim u sluèaju kada postoje i rotacijski stupnjevi slobode, što treba dovestiu vezu s pojmom statièkog kondenziranja, uvedenog u 4. poglavlju, koji je prika-zan i primjerom broj 16. u ovom poglavlju.

133




7.2. Slobodne neprigušene oscilacijeu matriènom obliku

Jednad�ba kojom se opisuju slobodne neprigušene oscilacije diskretnog susta-va s proizvoljnim brojem stupnjeva slobode u matriènom obliku je, zapravo, speci-jalan sluèaj jednad�be (7.4) kada nema sila otpora i poremeæajnih sila.

[ ]{��} [ ]{ } { }m u k u� � 0 (7.5)

Rješenje jednad�be (7.5) tra�i se u obliku harmonijske funkcije,

u a ti i� � �sin ;� ��u ui i�� 2

te je:

{��} { }u u��2 (7.6)

Ovdje je � vlastita kru�na frekvencija sustava u bilo kojem od njegovih vla-stitih oblika. Iz (7.5) i (7.6) je:

[ ]{ } [ ]{��}k u m u��

[ ]{ } [ ]{ }k u m u� �2 pomno�eno s lijeve strane s [ ]

[ ][ ]{ } [ ][ ]{ } � k u m u� 2

[ ]{ } [ ][ ]{ }I u m u� � 2 (7.7)

[ ]{ } [ ]{ }I u D u� �2

Matrica produkta matrice fleksibilnosti i matrice masa:

[ ][ ] [ ] m D�

134

POGLAVLJE 7.



naziva se dinamièka matrica (jer u sebi sadr�i mase), za koju se uvodi oznaka[ ].D Dijeljenjem jednad�be (7.7) s �2 dobije se:

[ ] [ ] { } { }D I u� ��

��

102�

(7.8)

Jednad�ba (7.8) predstavlja sustav od n homogenih linearnih algebarskih jed-

nad�bi s nepoznanicama ui . Nepoznata je i vrijednost1

2�. Ovo je, dakle, ponovno

problem vlastitih vrijednosti.

Ako se uvede obilje�avanje:

��

�1

2

a jednad�ba (7.8) napiše u razvijenom obliku, dobiva se sljedeæi homogeni sustavlinearnih jednad�bi:

( )D u D u D un n11 1 12 2 1 0� � � � �:� � ��

D u D u D un n21 1 22 2 2 0� � � � �:� � �( )� (7.9)

………………………………………………

D u D u D un n nn n1 1 2 2 0� � � �:� � � �( )�

Za egzistenciju netrivijalnog rješenja determinanta ovog sustava jednad�bimora biti jednaka nuli,

|([ ] [ ])|D I� � �� 0 (7.10)

Iz ovog uvjeta dobiva se frekvencijska jednad�ba. I ovime se mo�e objasnitiprije uvedeni pojam vlastitih frekvencija i vlastitih oblika.

Uvjeti ortogonalnosti iz poglavlja 5.2. mogu se takoðer izraziti i u matriènomobliku, što æe biti detaljno izlo�eno u 8. poglavlju.

135




7.3. Primjeri

Primjer 14.

Naæi vlastite frekvencije i vlastite oblike beste�inske grede na slici 7-1. s dvijediskretne mase i to:

a) primjenom matriènog postupkab) korištenjem simetrije nosaèa

a) Primjena matriènog postupka

[ ] [ ] { } { }D I u� ��

��

102�

• Matrica masa:

[ ]mm

mm�

&

�'(

�)� �

&

�'(

�)0

0

1 0

0 1

• Matrica fleksibilnosti:Elementi matrice fleksibilnosti dobiju se na naèin kako je to prezentirano u

statici konstrukcija “mno�enjem” momentnih dijagrama nastalih od jediniènih sila.

136

POGLAVLJE 7.

Sl. 7-1. Zadani nosaè s dva stupnja slobode



Na slici 7-2. prikazan je zadani statièki sustav i polo�aj jediniène sile za nala�enjevrijednosti 11 i 22 :

EI EI M M xl

s

11 22

38

486� � � � �� d

EI EIl

12 21

37

486� �

[ ] ��

�&

�'(

�)l

E I

3

486

8 7

7 8

• Dinamièka matrica:

[D]� [�][m]

[ ]Dm l

E I�

�

� ��&

�'(

�)3

486

8 7

7 8

bm l

E I�

�

� �

3

486

137


Sl. 7-2. Polo�aj jediniène sile za nala�enje vrijednosti 11 i 22



Elementi jednad�be (7.8) u ovom sluèaju imaju sljedeæe vrijednosti:

[ ] { } [ ] { }D u I u� � � � �� 0

bu

u

u

u�&

�'(

�)�567

?@A� �

&

�'(

�)�567

?@A�

8 7

7 8

1 0

0 1

0

01

2

1

2

�567

?@A

u a t1 1� � � �cos( )� ;

u a t2 2� � � �cos( )� ;

Ako se posljednja matrièna jednad�ba napiše “razvijeno”, iz nje se dobivafrekvencijska jednad�ba i vlastite frekvencije.

( ) /:

( )

8 7 0

7 8 01 2 1

1 2

� � � � � � �

� � � � � � �

b a b a a

b a b a

�

�

( )

( )

8 7

7 80

� � �

� � ��

b b

b b

�

�

( ) ,8 49 0 152 21

2

� � � � � � � �

�

b b b

b

� �

�

��

�B�C

1

3

2 1 315486

15 69� �

�

� ��

�

�

m l

E I

E I

m l, ,( )

��

�B�C

2

3

2 2 3486

122 05�

�

� ��

�

�

m l

E I

E I

m l, ,( )

a

a

b

b2

1

8

7��

� �

�

( )�

a

a

b

b

b

b2 1

1 1

18

7

7

71

( )

( )

( )��

� �

��

�

��

�

a

a

b

b

b

b2 2

1 2

28

7

7

71

( )

( )

( )��

� �

��

�

��

�

138

POGLAVLJE 7.



b) Korištenje simetrije nosaèa

Korištenjem simetrije ovog nosaèa rješavat æe se dva sluèaja, a svaki od njihimati æe samo jedan stupanj slobode.

• Simetrija vlastitog oblika:

Po analogiji iz graðevne statike, kada se simetriji zadanog nosaèa pridoda i si-metrija njegovog prvog vlastitog oblika, on se mo�e rješavati kao sustav s jednimstupnjem slobode, slika 7-4.

Ovdje æe se koristiti poznata veza izmeðu statièkoga progiba fst i vlastitefrekvencije sustava s jednim stupnjem slobode.

11 1

3

11 111 1

5

162

1( ) ( )

( )

;��

� ��

�l

E Im g f

m g

fstst

�( )

( )

,111 1

3

1 162

55 68� �

�

��

��

� �

� ��

�g

f

m g

m f m

E I

m l

E

st st

I

m l� 3

139


Sl. 7-3. Vlastiti oblici zadanoga sustava



Znaèi, dobivena je vrijednost prve vlastite kru�ne frekvencije zadanog sustavaidentièna vrijednosti iz prethodnog postupka a), samo s puno manje rada.

• Asimetrija vlastitog oblika:

Toèka u sredini raspona nosaèa je èvor, koji stalno miruje pa se ostvaruju istiuvjeti kao da je na tom mjestu oslonac, slika 7-5.

Sada se za sluèaj simetrije nosaèa i asimetrije njegova drugog vlastitog oblikanosaè ponovno tretira kao sustav s jednim stupnjem slobode.

�( )

( )2

11 2

1�

�m

11 2

3

486( ) � � �

l

E I

� ( ) ,2 322 05� ��

�

E I

m l

140

POGLAVLJE 7.

Sl. 7-4. Zadani nosaè u sluèaju formiranja simetriènog vlastitog oblika



Pojednostavljenje rješavanja problema vlastitih vrijednosti primjenom sime-trije i asimetrije vlastitih oblika osobito je uèinkovito kod sustava s velikim brojemstupnjeva slobode, kada se umjesto rješavanja frekvencijske jednad�be visokogstupnja problem rastavlja na rješavanje više sustava od kojih svaki ima manji brojstupnjeva slobode.

Primjer 15.

Riješiti problem vlastitih vrijednosti horizontalnih oscilacija za zgradu posmi-ka na slici 7-6., koja ima sljedeæe karakteristike:

EI173 10� � kN m2

EI 2715 10� �, kN m2

l1 5� m

l2 7� m

l3 6� m

h1 4� m

h2 5� m

141


Sl. 7-5. Zadani nosaè u sluèaju formiranja asimetriènog vlastitog oblika



m1 70� t/m m m l l l1 1 1 2 3 70 5 7 6 1260� � � � � � � � �( ) ( ) t

m2 50� t/m m m l2 2 2 50 7 350� � � � � t

[ ] { } [ ] { }k u m u� � � ��2

[ ] { } [ ] { } { }k u m u� � � � ��2 0

([ ] [ ]) { } { }k m u� � � ��2 0

[ ]kk k

k k�&

�'(

�)11 12

21 22

[ ]mm

m�&

�'(

�)1

2

0

0

Imajuæi u vidu vrijednosti krutosti stupova (6.1) i (6.2), mo�e se napisati:

kEI

h

EI

h

EI

h

EI

h

EI

h

EI11

2

13

1

13

2

13

2

13

1

23

3 12 12 3 12 3� � � � � � 2

23h

k11

7

3

7

3

7

3

73 15 10

4

12 3 10

4

12 15 10

4

3 15 10

4��

��

��

�� , , ,

3

7

3

7

3

12 3 10

5

3 15 10

5�

� �� ,

k11613 08 10� �, kN/m

142

POGLAVLJE 7.

Sl. 7-6. Zadani statièki sustav



kEI

h

EI

h21

1

23

2

23

12 3��

k 21

7

3

7

3

12 3 10

5

3 15 10

5��

� �� ,

k 2163 24 10�� , kN/m

k k12 2163 24 10� �� , kN/m

kEI

h

EI

h22

1

23

2

23

12 3� �

k 22

7

3

7

3

12 3 10

5

3 15 10

5�

� �� ,

k 2263 24 10� �, kN/m

[ ], ,

,k

k k

k k�&

�'(

�)�

� � �

� �11 12

21 22

6 6

6

13 08 10 3 24 10

3 24 10 3 24 106, �

&

�'

(

�)

[ ]mm

m�&

�'(

�)�&

�'(

�)1

2

0

0

1260 0

0 350

([ ] [ ]) { } { }k m u� � � ��2 0

13 08 10 3 24 10

3 24 10 3 24 10

1260 06 6

6 62, ,

, ,

� � �

� � �

&

�'

(

�)� ��

0 3500

1

2

&

�'(

�)�

�

�

��567

?@A�

x

x{ }

143




|([ ] [ ])|k m� � ��2 0

13 05 10 1260 3 24 10

3 24 10 3 24 10 350

6 2 6

6 6 2

, ,

, ,

� � � � �

� � � � �

�

�� 0

( , ) ( , ) ( , )13 08 10 1260 3 24 10 350 3 24 106 2 6 2 6� � � � � � � � � � �� ( , )� � �3 24 10 06

� �( ) ( ) ,12 2

114908 70 06� �� s s

� �( ) ( ) ,22 2

2114 730 12137� �� s s

u a t1 1� � �cos( )� ;

u a t2 2� � �cos( )� ;

Za prvi ton:

k m k

k k m

a

a11 1 1

212

21 22 2 12

1 1

2 1

� �

� �

&

�'

(

�)�567

�

�( )

( )

( )

( )

?@A� 0

13 08 10 1260 4908 3 24 10

3 24 10 3 24 10 350

6 6

6 6

, ,

, ,

� � � � �

� � � � �49080

1 1

2 1

&

�'

(

�)�567

?@A�

a

a( )

( )

{ }

a

a2 1

1 1

213( )

( )

,� m

144

POGLAVLJE 7.



Za drugi ton:

k m k

k k m

a

a11 1 2

212

21 22 2 22

1 2

2 2

� �

� �

&

�'

(

�)�567

�

�( )

( )

( )

( )

?@A� 0

13 08 10 1260 14 730 3 24 10

3 24 10 3 24 10 350

6 6

6 6

, ,

, ,

� � � � �

� � � � �

&

�'

(

�)�567

?@A�

14 7300

1 2

2 2

a

a( )

( )

{ }

a

a2 2

1 2

169( )

( )

,�� m

145


Sl. 7-7. Prvi vlastiti oblik (za �( ) ,1 70 66� s�1)

Sl. 7-8. Drugi vlastiti oblik (za �( ) ,2 121 37� s�1)



Primjer 16.

Na kraju ovoga poglavlja s numerièkim primjerima kojima se ilustrira izraèunvlastitih vrijednosti diskretnih sustava s n stupnjeva slobode, treba spomenuti da seiz dinamièke analize mogu eliminirati oni stupnjevi slobode konstrukcije kojima supridru�ene nulte vrijednosti masa. Stupnjevi slobode koji se u analizi mogu elimi-nirati su rotacije èvorova. Takav postupak izla�e se u kolegiju Statika konstrukcijai naziva se postupak statièkog kondenziranja (the static condensation method)[6]. Ovdje æe se prikazati numerièki primjer za jedan takav sluèaj.

• Primjer izraèuna vlastitih vrijednosti diskretnog sustava s više stupnjevaslobode primjenom postupka statièkog kondenziranja

Za kontinuiranu okvirnu konstrukciju (most) s tri raspona prikazanu na slici7-8.(a) odrediti vlastite frekvencije i vlastite oblike.

Karakteristike konstrukcije:

� rasponi su 18,3 � 24,5 � 18,3 m,

� duljina stupa je Ls � 9 5, m,

� popreèni presjek kolnièke konstrukcije A� 5 58, m2,

�moment tromosti kolnièke konstrukcije I � 70 77, m4,

�moment inercije stupa I s � 0 218, m4,

�modul elastiènosti E� 20 7, GPa,

� gustoæa materijala ;� 2400 kg/m3.

Kao što je na slici 7-9.(b),(c),(d) pokazano, konstrukcija ima pet stupnjevaslobode. Najprije æe se izraèunati vrijednosti diskretnih masa.

�masa po jedinici duljine kolnièke konstrukcije:;� � � �A 2400 5 58 13 392, kg /m,

� anga�irana masa za prvi ton:13 392 18 3 24 5 18 3 818 251( , , , )� � � kg,

� anga�irana masa za drugi i treæi ton (konzole):

13 39218 3

2

24 5

2286 589

, ,�

�

�

�

�� kg

146

POGLAVLJE 7.



te se mo�e napisati kompletna matrica masa:

[ ]m �

&

�

''''

818 251 0 0 0 0

0 286 589 0 0 0

0 0 286 589 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0'

(

�

)))))

147


Sl. 7-9. Kontinuirana okvirna konstrukcija s tri raspona: (a) izmjeri; (b) stupanj slobodeu uzdu�nom pravcu; (c) stupnji slobode u popreènom pravcu; (d) rotacijski stupnji slobode;

(e) prvi vlastiti oblik; (f) drugi vlastiti oblik; (g) treæi vlastiti oblik



Matrica krutosti dobije se na uobièajen naèin poznat u graðevinskoj statici:

[ ]k �

� �

126318588 0 0 0 0

0 1975642681 1194370500 1520122814 �

�

14643288630

0 119370500 1975642681 14643288630 1520122814

0 1520122814 14643288630 479327648712 11958685714� 3

0 14643288630 1520122814 119586857143 479327648712�

&

�

'''''

(

�

)))))

Postupkom statièkog kondenziranja eliminirati æe se rotacijski stupnjevi slo-bode, jer tim stupnjevima slobode nisu pridru�ene mase, što æe rezultirati takvomjednad�bom kao da sustav ima tri stupnja slobode [2]. Diferencijalna jednad�ba gi-banja u ovom æe sluèaju imati sljedeæi oblik:

818251 0 0

0 286589 0

0 0 286589

1

2

3

&

�

'''

(

�

)))

5

6D

7

��

��

��

u

u

uD

?

@D

AD� �

�

126318588 0 0

0 1975642681 1194370500

0 1194370500 1975642681

0

0

0

1

2

3

&

�

'''

(

�

)))

5

6D

7D

?

@D

AD�

5

6D

7D

?

@D

u

u

u AD

Iz posljednje jednad�be dobiju se, s obzirom na uvjet (7.10), vlastite kru�nefrekvencije i odgovarajuæi vlastiti oblici, slika 7-8.(e)(f)(g):

�1 12 43� , s�1; { } { }F F F11 21 31 1 0 0T T�

�2 32 48� , s�1; { } { }F F F12 22 32 0 1 1T T�

�3 97 63� , s�1; { } { }F F F13 23 33 0 1 1T T� �

148

POGLAVLJE 7.



POGLAVLJE 8.

UVJETI ORTOGONALNOSTI VLASTITIHOBLIKA OSCILIRANJA U MATRIÈNOM OBLIKU



8.1. Ortogonalnost vlastitih oblika.Generalizirana masa i generalizirana krutost

Matrièna diferencijalna jednad�ba slobodnih oscilacija sustava s proizvoljnimbrojem stupnjeva slobode (7.5) mo�e se napisati i na ovaj naèin:

�2 � � � �[ ] { } [ ] { }m u k u (8.1)

Ova jednad�ba vrijedi i za svaki oblik osciliranja posebno. Ako se ona napišeza r-ti oblik:

� ( ) ( ) ( )[ ] { } [ ] { }r r rm u k u2 � � � �

i pomno�i s lijeve strane s transponiranim vektorom s-tog tona { } ,( )u sT dobiva se:

� ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } [ ] { } { } [ ] { }r sT

r sT

ru m u u k u2 � � � � � �

Kada se transponira produkt matrica po sljedeæem pravilu:

([ ] [ ] [ ]) [ ] [ ] [ ]A B C C B AT T T T� � � � �

posljednja jednad�ba dobiva ovaj oblik:

� ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } [ ] { } { } [ ] { }r rT T

s rT T

su m u u k u2 � � � � � �

Buduæi da su matrica masa i matrica krutosti simetriène u odnosu na glavnudijagonalu, to je:

[ ] [ ];m mT � [ ] [ ]k kT �

te se mo�e napisati:

� ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } [ ] { } { } [ ] { }r rT

s rT

su m u u k u2 � � � � � � (8.2)

151

UVJETI ORTOGONALNOSTI VLASTITIH OBLIKA OSCILIRANJA U MATRIÈNOM OBLIKU



Ako se sada jednad�ba (8.1) napiše za s-ti oblik osciliranja:

� ( ) ( ) ( )[ ] { } [ ] { }s s sm u k u2 � � � �

i pomno�i s lijeve strane s transponiranim vektorom za r-ti oblik { } ,( )u rT dobiva se:

� ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } [ ] { } { } [ ] { }s rT

s rT

su m u u k u2 � � � � � � (8.3)

Desne strane izraza (8.2) i (8.3) identiène su te se oduzimanjem jednad�be(8.3) od jednad�be (8.2) dobije:

( ) { } [ ] { } { }( ) ( ) ( ) ( )� �r s rT

su m u2 2 0� � � � �

S obzirom da je za r s$ vrijednost ( )( ) ( )� �r s2 2� uvijek razlièita od nule, da bi

posljednja jednad�ba bila zadovoljena mora biti:

{ } [ ] { } { },( ) ( )u m urT

s� � � 0 r s$ (8.4)

Jednad�ba (8.4) predstavlja uvjet ortogonalnosti oblika osciliranja umatriènom obliku. Imajuæi u vidu ovu jednad�bu, iz (8.2) ili (8.3) mo�e se napi-sati:

{ } [ ] { } { },( ) ( )u k urT

s� � � 0 r s$ (8.5)

što predstavlja drugi naèin prezentiranja uvjeta ortogonalnosti u matriènomobliku, izra�en primjenom matrice krutosti.

Treba uvidjeti terminološku i suštinsku razliku izmeðu r-tog vlastitog oblikaoscilacija (èije vrijednosti nemaju dimenziju) i vektora generaliziranih pomaka{ }( )u r r-tog tona. Toène vrijednosti pomaka diskretnih masa (generalizirane koordi-nate za r-ti ton { }( )u r ) imaju dimenziju, samo te toène vrijednosti pomaka u dinami-ci konstrukcija nisu potrebne za dinamièku analizu pa prije definirani uvjeti orto-gonalnosti vrijede kako za toène vrijednosti pomaka diskretnih masa u r-tom tonu{ }( )u r tako i za vlastiti oblik tog istog tona.

Ako se za vlastiti oblik r-tog tona usvoji oznaka { }( ). r , a to su vrijednostiai iz prethodnih poglavlja, uvjeti ortogonalnosti mogu se napisati i na sljedeæinaèin:

152

POGLAVLJE 8.



{ } [ ] { } { },( ) ( ). .rT

sm� � � 0 r s$ (8.6)

{ } [ ] { } { },( ) ( ). .rT

sk� � � 0 r s$ (8.7)

i nazivaju se uvjetima ortogonalnosti vlastitih oblika.

Za r s� iz izraza (8.6) i (8.7) dobiva se:

{ } [ ] { }( ) ( ) ( ). .rT

r rm M� � � (8.8)

{ } [ ] { }( ) ( ) ( ). .rT

r rk K� � � (8.9)

Vrijednosti M r( ) i K r( ) nazivaju se generalizirana masa i generaliziranakrutost za ton r. Ove vrijednosti nalaze se u sljedeæem odnosu:

K Mr r r( ) ( ) ( )� ��2 (8.10)

Znaèi da su prema (8.6) i (8.7) dva vlastita oblika (r) i (s) ortogonalna u odno-su na matrice [ ]m i [ ].k Zbog toga se ove matrice [ ]m i [ ]k zovu te�inske matrice(weighting matrices) [10].

Jedinièna matrica [ ]I takoðer se mo�e smatrati te�inskom matricom, pa semo�e napisati:

{ } [ ]{ } ,( ) ( )u I urT

s � 0 r s$ (8.11)

Imajuæi u vidu obilje�avanje (8.6) i uvedeni naziv generalizirana masa za tonr, provodi se normiranje vlastitog oblika r tako da bude M r( ) .�1 Znaèi, kada je:

{ } [ ]{ }( ) ( ). .rT

rm �1 (8.12)

dobivaju se normirane apsolutne vrijednosti amplituda, a buduæi da su vlastitioblici ortogonalni, za njih se u ovom sluèaju normiranja ka�e da su ortonor-mirani.

153

UVJETI ORTOGONALNOSTI VLASTITIH OBLIKA OSCILIRANJA U MATRIÈNOM OBLIKU



POGLAVLJE 9.

MODALNE KOORDINATE



9.1. Matrica transformacije.Generalizirane i modalne koordinate

Konfiguracija sustava odreðena je generaliziranim koordinatama u u un1 2, , , ,:tj. vektorom generaliziranih koordinata { }.u Pritom se uzima da su matrice [ ]m i [ ]kpune matrice (znaèi, pretpostavlja se da je sustav spregnut i statièki i dinamièki).

Cilj je izvesti transformiranje generaliziranih koordinata tako da matrice[ ]m i [ ]k budu dijagonalne, kako bi se za dinamièku analizu diskretnih sustava kojiimaju konaèan broj stupnjeva slobode (n) dobio sustav od n diferencijalnih jed-nad�bi, pri èemu svaka od tih jednad�bi ima samo jednu nepoznanicu. Da bi se topostiglo, tra�i se veza izmeðu vektora generaliziranih koordinata { }u i vektoratransformiranih generaliziranih koordinata { },E koji æe se nazvati vektorommodalnih koordinata (modal coordinates). Transformiranje generaliziranih u mo-dalne koordinate izvršiti æe se uvoðenjem matrice transformacije [ ]. te je:

{ } [ ]{ }u � . E (9.1)

Tra�i se matrica transformacije [ ]. pod uvjetom da se dobije takav vektor mo-dalnih koordinata [ ]E za koje æe se problem svesti na rješavanje n diferencijalnihjednad�bi, od kojih je svaka samo s jednom nepoznanicom [6, 7, 38]. To æe se po-stiæi tako što æe se sljedeæa matrièna diferencijalna jednad�ba:

[ ]{��} [ ]{ } { } { }m u k u Q QD F� � � (9.2)

s lijeve strane pomno�iti transponiranom matricom transformacije [ ] .. T Takoðer æese zamjeniti vektor {u} danom relacijom (9.1) te se dobiva:

[ ] [ ][ ]{��} [ ] [ ][ ]{ } [ ] { } [ ] { }. . E . . E . .T T TD

TFm k Q Q� � � (9.3)

U jednad�bama (9.2) i (9.3) samo se formalno oznaèava da postoje i sile otpo-ra { }Q D i poremeæajne sile { }Q F , a one æe se uvesti u razmatranje veæ u narednompoglavlju. Znaèi, za sada æe se analizirati samo sluèaj slobodnih neprigušenih osci-lacija i uvesti sljedeæe zamjene:

157

MODALNE KOORDINATE



[ ] [ ][ ] [ ]. .T m M� (9.4)

[ ] [ ][ ] [ ]. .T k K� (9.5)

Uzimajuæi u obzir da je:

E �i ia t� cos

�� cosE � � � Ei i ia t�� 2 2

jednad�ba (9.3) dobiva ovaj oblik:

� E E2 [ ]{ } [ ]{ }M K� (9.6)

Tra�i se takav oblik transformacije (9.1), tj. tra�i se takva matrica trans-formacije [ ]. da matrice [ ]M i [ ]K u izrazima (9.4) i (9.5) budu dijagonalnematrice. Naime, tra�i se da matrice [M] i [K] imaju ovaj oblik:

[ ] ;M

M

M

M nn

�

:

:

: : : :

:

&

�

''''

(

�

))))

11

22

0 0

0 0

0 0

[ ]K

K

K

K nn

�

:

:

: : : :

:

&

�

''''

(

�

))))

11

22

0 0

0 0

0 0

(9.7)

Znaèi da proizvoljni izvandijagonalni elementi M rs i K rs trebaju imaju nultevrijednosti:

M mrs rT

s� �{ } [ ]{ } ;( ) ( ). . 0 K krs rT

s� �{ } [ ]{ }( ) ( ). . 0 za r $ s (9.8)

Vektori { }( ). r i { }( ). s predstavljaju stupce matrice transformacije [ ..=

Uvjeti (9.8) dobro su poznati uvjeti ortogonalnosti iz prethodnog poglavlja,pod pretpostavkom da su stupci matrice transformacije [.= proporcionalnivektorima vlastitih oblika. Znaèi, kada elementi matrice transformacije imajusljedeæe vrijednosti:

158

POGLAVLJE 9.



[ ].

. . . . .

. . . . .

. .

�

: : :

: : :11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1

r s n

r s n

n n

� � � � �

2 : : :

&

�

''''

(

�

)))). . .nr ns nn

(9.9)

Fprvi ton Fr-ti ton Fs-ti ton

i kada su njeni stupci proporcionalni vektorima generaliziranih pomaka za r-ti ton,tj. kada su ti stupci vektori vlastitih oblika za r-ti ton (na kraju ovog poglavlja æe seu posebnoj napomeni još jednom naglasiti suštinska razlika izmeðu pojma vektorageneraliziranih pomaka { }( )u r i vektora vlastitih oblika { }( ). r za r-ti ton):

{ } { }( ) ( ) ( )u r r r� .

{ } { }( ) ( ) ( )u s s s� .

gdje ( )r i ( )s simbolièki predstavljaju te proporcionalnosti, tada je:

M u m u mrs rT

s r s rT

s� � �{ } [ ]{ } { } [ ]{ }( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . 0

K u k u krs rT

s r s rT

s� � �{ } [ ]{ } { } [ ]{ } ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . 0 ( )r s$

(9.10)

To znaèi da su izvandijagonalni èlanovi matrice masa [ ]M i matrice krutosti[ ]K jednaki nuli:

{ } [ ]{ } ;( ) ( ). .rT

sm � 0 { } [ ]{ }( ) ( ). .rT

sk � 0 ( )r s$

te su matrice [ ]M i [ ]K doista dijagonalne matrice.

Prema tome, da bi matrica [ ]. , koja predstavlja linearnu transformacijuza prijelaz iz generaliziranih u modalne koordinate, proizvela dijagonalizacijumatrica [ ]M i [ ]K , potrebno je i dovoljno da njeni stupci budu proporcijalnigeneraliziranim pomacima { }( )u r , ili da budu vlastiti oblici oscijacija { }( ). r .

Dijagonalni èlanovi matrica [ ]M i [ ]K imaju ove vrijednosti:

M mr rT

r�{ } [ ]{ }( ) ( ). . (9.11)

K kr rT

r�{ } [ ]{ }( ) ( ). . (9.12)

159

MODALNE KOORDINATE



odakle je

K Mr r r� �2 (9.13)

Izrazi (9.11) i (9.12) su generalizirana masa i generalizirana krutost za ton(r), što znaèi da èlanovi dijagonalne matrice masa [ ]M i dijagonalne matrice kruto-sti [ ]K predstavljaju generalizirane mase i generalizirane krutosti.

S obzirom na pokazano da su matrica masa i matrica krutosti dijagonalne ma-trice, napisat æe se njihova povezanost u matriènom obliku:

[ ] [ ]K M�� 2 (9.14)

Napomena: Treba uvidjeti terminološku i suštinsku razliku izmeðu r-tog vla-stitog oblika oscilacija { }( ). r (èije vrijednosti, kako je objašnjeno u poglavlju 5.1.,nemaju dimenziju ili im je dimenzija metar/rad) i vektora generaliziranih pomaka{ }( )u r . Toène vrijednosti pomaka diskretnih masa vektora generaliziranih pomaka{ }( )u r imaju dimenziju, samo te toène vrijednosti u dinamici konstrukcija nisu po-trebne za dinamièku analizu konstrukcije, veæ je dovoljno poznavati samo vlastiteoblike. Prema tome postoji prije uvedena relacija:

{ } { }( ) ( ) ( )u r r r� . (9.15)

u kojoj je ( )r koeficijent proporcionalnosti.Znaèi da se uvjeti ortogonalnosti mogu, kao što je pokazano u 8. poglavlju,

napisati na sljedeæi naèin:

{ } [ ] { } { },( ) ( ). .rT

sm� � � 0 r s$ (9.16)

{ } [ ] { } { },( ) ( ). .rT

sk� � � 0 r s$ (9.17)

160

POGLAVLJE 9.



POGLAVLJE 10.

ANALIZA PRISILNIH PRIGUŠENIH OSCILACIJADISKRETNOG SUSTAVA S n STUPNJEVA SLOBODE

PRIMJENOM POSTUPKA RAZVIJANJAPO VLASTITIM OBLICIMA (MODALNA ANALIZA)



10.1. Modalne jednad�be

Kao što je u prethodnom poglavlju najavljeno, ovdje æe se analizirati prisilneprigušene oscilacije sustava, tj. polazi se od jednad�be (9.2):

[ ]{��} [ ]{ } { } { }m u k u Q QD F� � �

Buduæi da je u ovoj jednad�bi matrica masa dijagonalna, a matrica krutostipuna, znaèi da je diskretni sustav koji se analizira statièki spregnut. Pojam statièkespregnutosti sustava detaljno je objašnjen u 5. poglavlju.

[ ]{��} [ ]{ �} [ ]{ } { } ( )m u c u k u F p f tj� � � 0 (10.1)

U jednad�bi (10.1) poremeæajna sila F t( ) zadana je kao produkt amplitudeoptereæenja F0 , vektora raspodjele poremeæajne sile po masama { }p j , pri èemu je( )j n0 , i vremenske funkcije optereæenja f t( ).

Postupak koji æe se ovdje izlo�iti primjenljiv je ako je vremenska funkcijaf t( ) za sve poremeæajne sile koje djeluju na diskretne mase sustava ista ili razmjer-no ista.

U opæem sluèaju poremeæajna sila ne mora djelovati na svaku diskretnu masu.To znaèi, ako je broj poremeæajnih sila j,

j m� :1 2, , ,

u opæem sluèaju je m 0 n.

n je broj stupnjeva slobode sustava koji se analizira, a to je ujedno i broj di-skretnih masa “zgrade posmika”, kako je uvedeno u 6. poglavlju.

U jednad�bi (10.1) sile otpora viskoznog trenja su linearne funkcije brzinetoèke i imaju vrijednost [c]{ �}u , gdje je c oznaka za koeficijent viskoziteta (prigu-šenje).

Sada æe se provesti dijagonalizacija matrica [c] i [k] uvodeæi uz pomoæ sljede-æe transformacije modalne koordinate { }E .

163

ANALIZA PRISILNIH PRIGUŠENIH OSCILACIJA DISKRETNOG SUSTAVA S n STUPNJEVA SLOBODE



{ } [ ]{ }u � . E (10.2)

{u} je vektor prvobitnih generaliziranih koordinata;

{�} je vektor modalnih koordinata;

[ ]. je matrica transformacije èiji su stupci, kao što je pokazano u prethodnompoglavlju, proporcionalni vektorima vlastitih oblika (ili jednaki tonovimaoscilacija . ( )r ) neprigušenog sustava sa n stupnjeva slobode, tj.

. . . .

. . . .

. . . .

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

: :

: :

: :

&

�

''

j n

j n

n n nj nn

� � � �''

(

�

))))

. ij je normirani pomak (znaèi stvarni pomak podijeljen s pomakom jedne oddiskretnih masa sustava) mase “i” kada sustav oscilira u svojem tonu “j”.Iz (10.2) se mo�e napisati:

{ �} [ ]{ �}u � . E

{��} [ ]{��}u � . E(10.2a)

U jednad�bu (10.1) uvode se transformacije (10.2) i (10.2a) te se tako dobive-na jednad�ba s lijeve strane mno�i transponiranom matricom transformacije [ ] :. T

[ ] [ ] [ ]{��} [ ] [ ] [ ]{ �} [ ] [ ] [ ]{ } [ ]. . E . . E . . E .T T Tm c k F� � � 0T

jp f t{ } ( )

U prethodnom je poglavlju pokazano da sljedeæi izrazi:

[ ] [ ][ ] [ ];. .T m M� [ ] [ ][ ] [ ]. .T k K�

[ ] ;

( )

( )

( )

M

M

M

M n

�

:

:

: : : :

:

&

�

''''

(

�

))))

1

2

0 0

0 0

0 0

[ ]

( )

( )

( )

K

K

K

K n

�

:

:

: : : :

:

&

�

''''

(

�

))))

1

2

0 0

0 0

0 0

164

POGLAVLJE 10.



predstavljaju matricu generaliziranih masa i matricu generaliziranih krutosti. Mo�ese uoèiti da su obje ove matrice dijagonalne, a prije je takoðer pokazano da je nji-hov meðusobni odnos izra�en sljedeæom relacijom:

[ ] [ ][ ]K M� �2

Temeljem posljednje relacije ka�e se da je matrica krutosti “izra�ena” prekomatrice masa ili da se “prevodi” na matricu masa. Ostaje još da se poka�e kako semo�e i matrica prigušenja izraziti uz pomoæ matrice masa. Da bi se našla poveza-nost izmeðu vrijednosti koeficijenta viskoziteta (prigušenja) c i mase m, koja jeuvedena još kod analize slobodnih prigušenih oscilacija sustava s jednim stupnjemslobode u poglavlju 1.2., treba poæi od uvjeta za nala�enje kritiènog prigušenja ckr :

c m k mkr2 24 0� � ; � � c ckr ; c mk ckr

2 2 24� � �

c km k m m m2 2 2 2 2 2 24 4 4� � �� ( )

c m m� �2 2�� ; � ��

Ovdje je � relativno prigušenje, a analizira se samo sluèaj malog priguše-nja (� �1) kada gibanje sustava s jednim stupnjem slobode zadr�ava oscilatornikarakter.

Znaèi da je:

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ]. . � . . �T Tc m M� �2 2

Poslije ovakvog “prevoðenja” dobije se za sustav koji nije spregnut (ni sta-tièki ni dinamièki) sljedeæa jednad�ba:

[ ]{��} [ ]{ �} [ ][ ]{ } [ ] { } ( )M M M F p f tTjE � E � E .� � �2 2

0 (10.3)

Posljednja matrièna jednad�ba predstavlja sustav od n modalnih jednad�bi,a u svakoj se od njih javlja samo jedna nepoznanica. Znaèi da statièki sustav pred-stavljen matriènom jednad�bom (10.3) nije ni statièki ni dinamièki spregnut. U na-stavku æe se analizirati npr. r-ta jednad�ba:

165




M M M F pr r r r r r r rT

j( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )�� { } { }E � E � E .� � �2 2

0 f t M r( ) /: ( )

�� { } { }

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

E �E � E.

r r r r

rT

j

r

Fp

Mf t� � �2 2

0 r n� :1 2, , , (10.4)

{ } { } { }( ). . . . .rT

j r r ri rni

n

p

p

p

p

p

� : :

5

6

DDD

7

DDD

?

@

D

1 2

1

2

�

�

DD

A

DDD

� � ��

�. rj jj

n

rp1

G( )

Vrijednost (r) predstavlja mjeru kojom r-ti ton sudjeluje u prenošenju ukup-nog optereæenja. Zbog toga se vrijednost (r) naziva faktor sudjelovanja (modalparticipation factor).

�� ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

E �E � Er r r r

r

r

FM

f t� � �2 20

Gr n� :1 2, , , (10.5)

Ovakvih jednad�bi (10.5) ukupno ima n i sve su istoga tipa. Slièna se jed-nad�ba dobiva ako se primijeni “prevoðenje” matrice prigušenja na matricu kruto-sti, što æe biti pokazano u nastavku.

c m k mkr2 24 0� � ; � � c ckr ; c mk ckr

2 2 24� � �

c kmkm

kk k� � � �2 2 2� �

�

�� 2

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]. . . . �T Tc k K M� � � 2

�� ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

E � E � Er r r r r

r

r

FM

f t� � �2 20

Gr n� :1 2, , , (10.5a)

166

POGLAVLJE 10.



Kada se iz jednad�bi (10.5) ili jednad�bi (10.5a) pronaðu vrijednosti modal-nih koordinata E ( )r , generalizirane se koordinate kao krajnje rješenje dobiju iz jed-nad�be (9.1):

{ } [ ]{ }u

u

u

un

n

� �

5

6DD

7DD

?

@DD

ADD

�

:

:. E

. . .

. .1

2

11 12 1

21 22

�

.

. . .

E

E

E

2

1 2

1

2n

n n nn n

� � � �

:

&

�

''''

(

�

))))

5

6DD

7DD

?

@DD

ADD

(10.6)

u i ii

n

1 11

��

�. E ; u i ii

n

2 21

��

�. E ; … (10.7)

Na kraju se ponovno istièe da je poznavanje vlastitih oblika sustava od kojihse formira matrica transformacije [ ]. uvjet za primjenu metode razvijanja po vla-stitim oblicima (modalna analiza).

167




10.2. Primjeri

Primjer 17.

Modalnom analizom riješiti prinudne oscilacije okvira na slici 10-1. sa sljede-æim karakteristikama:

m m

m m

k k

k k

F t F p x f t p t

2

1

2

1

1 0 1

2

2

1

�

�

�

�

� � � � �( ) ( ) ( ) sin"

kEI

hc�

243 ; [ ]m

m

m�&

�'(

�)2 0

0

u u t1 10� sin�u u t2 20� sin�

�� sinu u t1 102� � �

�� sinu u t2 202��

168

POGLAVLJE 10.

Sl. 10-1. Zadani sustav s dva stupnja slobode i njegov matematièki model



• Vlastite vrijednosti zadanoga sustava:

Diferencijalne jednad�be gibanja za izraèun vlastitih vrijednosti ovog diskret-nog sustava s dva stupnja slobode napisat æe se primjenom D’Alembertovog na-èela:

m u k u k u u

m u k u u

m u

1 1 1 1 2 2 1

2 2 2 2 1

12

10

0

0

�� ( )

�� ( )

� � � �

� � �

� �� ( )

( )

k k u k u

m u k u u

m u

1 2 10 2 20

22

20 2 20 10

210

0

0

2 3

� � �

� � � �

� �

�

� ku ku

m u ku ku

10 20

220 10 20

0

0

� �

� � � �� ( )A

Vlastite vrijednosti sustava na slici 10-1. dobiju se i iz sljedeæe matriène jed-nad�be:

[ ]{��} [ ]{ }m u k u� � 0

m

m

u

u

k k

k k

u

u1

2

1

2

11 12

21 22

1

2

0

0

&

�'(

�)567

?@A�&

�'(

�)5��

��67

?@A�567

?@A

0

0

2 0

0

31

2

1

2

m

m

u

u

k k

k k

u

u

&

�'(

�)567

?@A�

�

�

&

�'(

�)567

?@A�

��

��

0

0

567

?@A

( )

( )

3 2 0

0

210 20

102

20

k m u ku

ku k m u

� � �

� � � �

�

�

D� 0

3 20

2

2

k m k

k k m

� �

� ��

�

�

( )( )3 2 02 2 2k m k m k� � � ��

3 3 2 2 02 2 2 2 4 2k km km m k� � � � ��

169




( ) ( ) ;2 5 2 02

22 4 2 21 2m km k

k

m

k

m� � � ��

za: kEI

h

EI

mh

EI

mhc c c� � � �

243 464 6 9283 1 3 2 3� �, ; ,

� �1 2�

Iz sustava jednad�bi (A) dobiju se vlastiti oblici na sljedeæi naèin:

• za prvi ton (r � 1)

��

��

��

��

22

3 0

2

10 10 20

20 20

mk

mu ku ku

mk

mu ku ku10

10 2020

10 20 1

11

21

0

2 01

20

�

� �

� � � � �567

?@

ku kuu

kuk

u { }..

. A�567

?@A

F

1 2

1

/

prvi ton

• za drugi ton (r � 2)

��

��

��

��

22

3 0

2

10 10 20

20 20

mk

mu ku ku

mk

mu ku ku10

10 2020

10 20 2

12

22

0

01

0

�

� � �

� � � � �567

?@A

ku kuu

ku ku { }..

.��567

?@A

F

1

1

drugi ton

170

POGLAVLJE 10.



[ ] [{ } { }].. .

. .. .�

&

�'(

�)� �

�&

�'

(

�)

11 12

21 221 2

12 1

1 1

Na temelju dobivenih rezultata na slici 10-2. prikazane su vlastite vrijednosti.

• Generalizirane mase i generalizirane krutosti:

M m m mT1 1 1

12

121

2 0

0 1 1

3

2� �

&

�'(

�)567

?@A�{ } [ ]{ } { }. .

H IM m m mT2 2 2 1 1

2 0

0 1

1

12 1

1

1� � �

&

�'(

�)�567

?@A� �

�5{ } [ ]{ } { }. . 6

7

?@A� 3m

K M mk

mk1 1 1

2 3

2 2

3

4� � ��

K M mk

mk2 2 2

2 32

6� � ��

171


Sl. 10-2. Zadani sustav i njegove vlastite vrijednosti



• Faktori sudjelovanja �(r):

G1 112 1 01

0 2� �

567

?@A� �{ } { } { } ,. T p

p pF

G2 2 2 01 10

� � �567

?@A�� { } { } { } ,. T p

pp F (a)

• Modalne jednad�be:

M K F tr r r r r( ) ( ) ( ) ( ) ( )�� sin ;E E� � 0 " r�1 2, (b)

Jednad�bom istog oblika kao što je jednad�ba (b) prikazane su prisilne oscila-cije sustava s jednim stupnjem slobode u prvom poglavlju.

mu ku p t�� sin� � "

Rješenje ove jednad�be dobiveno je u poglavlju 1.3.:

u tp

kC t( ) sin ;� " C �

��

1

12"

�

Rješenje modalnih jednad�bi:

E ( )

( )

( )( )( ) sinr

r

rrt

F

KC t�

0"

za r�1: E1 1 1

1

23

4

2

3( ) sin sin ;t

p

kC t

p

kC t� �" " C1

1

2

1

1

�

��

�

�

��

"

�

za r� 2: E 2 26( ) sin ;t

p

kC t�

�" C 2

2

2

1

1

�

��

�

�

��

"

�

(c)

172

POGLAVLJE 10.



Rješenje zadatka:

{ } [ ]{ }u � . E

r�1: u ti ii

n

1 11

��

�. E ( )

r� 2: u ti ii

n

2 21

��

�. E ( )

u

u1

2

11 12

21 22

1

2

12 1

1 1

567

?@A�&

�'(

�)567

?@A�

�&

�'

(. .

. .

E

E �)567

?@A

E

E1

2

u tp

kC

p

kC t

p

kC C t1 1 2 1 2

1

2

2

3 6 62( ) sin ( )sin� � �

��

�� " "

u tp

kC

p

kC t

p

kC C t2 1 2 1 2

2

3 6 64( ) sin ( )sin� �

��

�� " "

173




POGLAVLJE 11.

RJEŠENJE MODALNE JEDNAD�BE PRIMJENOMLAPLACEOVIH INTEGRALNIH TRANSFORMACIJA



11.1. Matematièko objašnjenje Laplaceove integralnetransformacije i teorema konvolucije

Laplaceova transformacija jedna je od integralnih transformacija kojom se bi-lo koja funkcija f t( ) mo�e transformirati u funkciju f p( ) pomoæu sljedeæeg inte-grala:

f p f t K p t ta

b

( ) ( ) ( , )�� d

gdje je:

K (p,t) � jezgra transformacije

p � parametar transformacije

U sluèaju Laplaceovih transformacija jezgra transformacije je:

K p t e pt( , )� �

te integral transformacije ima ovaj oblik:

f p f t e tpt( ) ( )� �!

� d0

Svrha transformacije je olakšano rješavanje diferencijalnih jednad�bi uz po-moæ funkcije f p( ). Poslije nala�enja rješenja (koje je u funkciji parametara tran-sformacije p) lako se dolazi do konaènog rješenja primjenom inverzne transfor-macije, koja u sluèaju Laplaceovih transformacija ima ovoj oblik:

f ti

f p e ptp

i

i

( ) ( )��!

� !

�1

2� +

+

d

177

RJEŠENJE MODALNE JEDNAD�BE PRIMJENOM LAPLACEOVIH INTEGRALNIH TRANSFORMACIJA



Rješenje r-te jednad�be (10.5) dobit æe se primjenom Laplaceovih integralnihtransformacija [10, 38, 56, 64].

L t p

L t p p

L

r r

r r r

[ ( )] ( )

[ � ( )] ( ) ( )

[��

( ) ( )

( ) ( ) ( )

E E

E E E

�

� � 0

E E E E( ) ( ) ( ) ( )( )] ( ) � ( ) ( )

( )

r r r rt p p p

L

� � �

?

@DD

ADD2 0 0

U Laplaceovim transformacijama prve i druge derivacije ukljuèeni su i po-èetni uvjeti za ton r. Poslije æe se pokazati da je ukljuèivanje poèetnih uvjeta veli-ka prednost Laplaceovih integralnih transformacija, zbog èega se one ovdje i pri-mjenjuju.

Ovdje su E ( ) ( )r 0 i � ( )( )E r 0 poèetne vrijednosti (za t� 0) modalnog pomaka imodalne brzine. Ako æe se t mjeriti od trenutka djelovanja sustava sila, pomaci u t( )æe se mjeriti od stanja u( )0 0� te je:

E ( ) ( )r 0 0�

� ( )( )E r 0 0�

Uvrštavanjem Laplaceovih integralnih transformacija (L) u jednad�bu (10.5)dobije se:

[ ] ( ) ( )( ) ( )

( )

( )

p p p FM

f pr r

r

r

2 202� � �� EG

odakle je:

E� ��( )

( )

( ) ( )

( ) ( )r

r

r r

p FM

f pp p

�� 0 2

1

2

G(11.1)

Jednad�ba (11.1) predstavlja transformirani oblik tra�ene modalne koordinateE ( ) ( ).r t Definitivni oblik rješenja E ( ) ( )r t dobiva se preko inverzne Laplaceovetransformacije (koja se simbolièki obilje�ava L�1 ). U ovom sluèaju inverzija jed-nad�be (11.1) provest æe se primjenom teorema konvolucije (convolution theo-rem) [10].

178

POGLAVLJE 11.



• Matematièko objašnjenje teorema konvolucije [10, 38]

Ako funkcije f t1 ( ) i f t2 ( ) imaju svoje Laplaceove integralne transformacijef p1( ) i f p2( ), tada vrijedi relacija:

L f f t t f p f pt

1 20

1 2( ) ( ) ( ) ( )4 4�&

�'

(

�)� �� d

u kojoj se integral

f f t tt

1 20

( ) ( )4 4�� d

naziva integralom konvolucije (slièno kao i Duhamelov integral u poglavlju 3.), aèitav ovaj proces naziva se teoremom konvolucije.

Uvoðenjem sljedeæe funkcije:

H pp p p

r

r

r

r

( )( ) ( )

( )

( )

( )

( )

��

��

�

� �

�

� � �

2

2 2

2

2 2 22

izraz (11.1) mo�e se napisati i na ovaj naèin:

E�( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )r

r

r r

p FM

H p f p� �0 2

G

te se primjenom inverzne Laplaceove transformacije i teorema konvolucije dobijetra�ena modalna koordinata:

E�

4 4 4( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )r

r

r r

t

t FM

H t f� � ��0 20

Gd (11.2)

179




11.2. Rješenje modalne jednad�be

U jednad�bi (11.2) sljedeæa vrijednost:

FM

r

r rr stat0 2

G( )

( ) ( )( ),�E�

predstavlja statièki progib koji odgovara tonu r, za koji je upotrijebljena oznakaE ( ),r stat . Prema reèenom u poglavljima 1.3 i 1.4, ova vrijednost pomno�ena s dina-mièkim faktorom i ovdje daje tra�eni rezultat.

Prema tome, integral u jednad�bi (11.2) kao i u poglavljima 1.3. i 1.4. jest di-namièki faktor, a ovdje se on zove dinamièki faktor ili faktor poveæanja za ton r

i obilje�ava oznakom D tr( ) ( ). Tra�eno rješenje sada ima sljedeæi oblik:

E�

E( )

( )

( ) ( )( ) ( ), ( )( ) ( ) ( )r

r

r rr r stat rt F

MD t D t� � �0 2

G(11.3)

Preostalo je još odrediti izraz za dinamièki faktor:

D t H t fr

t

( ) ( ) ( ) ( )� � �� 4 4 4d0

(11.4)

Funkcija f t( ) poznata je i predstavlja vremensku ovisnost poremeæajne sile.Još je ostala nepoznata funkcija H t( )� 4 , koja se dobiva inverznom Laplaceovomtransformacijom izraza H p( ) [10, 64].

H t L H p er

r

tr( ) [ ( )] sin [

( )

( )

( )( )� � �

�� 4

�

� �� 41

2

2 2

2 � 42 ( )]t� (11.5)

180

POGLAVLJE 11.



Dinamièki faktor za ton r ima konaèni oblik:

D t e tr

r

r

tt

r( )

( )

( )

( )( )( ) sin [ (�

��

�

� �� 4� 4

2

2 20

2 2 )] ( )� f 4 4d (11.6)

Krajnje rješenje dobije se iz jednad�bi (10.2) i (11.3) :

u t FM

D ti

r

r rr

n

i r r( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )� � �

�

�0 21

G

�F i � 1, 2, …, n (11.4)

èime je riješen problem prisilnih prigušenih vibracija diskretnih sustava, pri èemuporemeæajna sila ne mora djelovati na svim diskretnim masama sustava.

181




11.3. Primjeri

Primjer 18.

Primjenom metode razvijanja po vlastitim oblicima (modalna analiza) analizi-rati oscilacije trokatnog okvira na slici 11-1., prema zadanim podatcima i vremen-skoj ovisnosti svih poremeæajnih sila zadanih na slici 11-2. Rezultate prikazati tri-ma dijagramima u t1 ( ), u t2 ( ) i u t3 ( ). U analizi zanemariti sile otpora.

k1 � 250 [kN/cm]; m1 � 30000 [kg]; p1 ��1000 [kN]

k2 � 200 [kN/cm]; m2 � 20000 [kg]; p2 ��2000 [kN]

k3 � 150 [kN/cm]; m3 � 10000 [kg]; p3 � 1000 [kN]

182

POGLAVLJE 11.

Sl. 11-1. Zadani sustav i njegov matematièki model

Sl. 11-2. Vremenska ovisnost svih poremeæajnih sila



Diferencijalne jednad�be gibanja prinudnih neprigušenih oscilacija danog di-skretnog sustava s tri stupnja slobode su:

mt

u t k u k u u F t1

2

2 1 1 1 2 2 1 1� � � � � � �d

d( ) ( ) ( )

mt

u t k u u k u u F t2

2

2 2 2 2 1 3 3 2 2� � � � � � � �d

d( ) ( ) ( ) ( )

mt

u t k u u F t3

2

2 3 3 3 2 3� � � � �d

d( ) ( ) ( )

• Vlastite frekvencije i vlastiti oblici osciliranja:

Za sluèaj slobodnih neprigušenih oscilacija gornji sustav diferencijalnih jed-nad�bi dobiva ovaj oblik:

mt

u t k u k u u1

2

2 1 1 1 2 2 1 0� � � � � � �d

d( ) ( )

mt

u t k u u k u u2

2

2 2 2 2 1 3 3 2 0� � � � � � � �d

d( ) ( ) ( )

mt

u t k u u3

2

2 3 3 3 2 0� � � � �d

d( ) ( )

mt

u t k u k u k u1

2

2 1 1 1 2 2 2 1 0� � � � � � � �d

d( )

mt

u t k u k u k u k u2

2

2 2 2 2 2 1 3 3 3 2 0� � � � � � � � � �d

d( )

mt

u t k u k u3

2

2 3 3 3 3 2 0� � � � � �d

d( )

183




mt

u t k k u k u1

2

2 1 1 2 1 2 2 0� � � � � � �d

d( ) ( )

mt

u t k u k k u k u2

2

2 2 2 1 2 3 2 3 3 0� � � � � � � � �d

d( ) ( )

mt

u t k u k u3

2

2 3 3 2 3 3 0� � � � � �d

d( )

Pretpostavljaju se sljedeæe vremenske zakonitosti promjena za nepoznaniceu1 , u2 i u3 :

u t a t1 1( ) cos( )� � � ��

u t a t2 2( ) cos( )� � � ��

u t a t3 3( ) cos( )� � � ��

te je:

d

d

2

2 1 12 2

1tu t a t u t( ) cos( ) ( )��

d

d

2

2 2 22 2

2tu t a t u t( ) cos( ) ( )��

d

d

2

2 3 32 2

3tu t a t u t( ) cos( ) ( )��

� � � � � � � � �m u k k u k u12

1 1 2 1 2 2 0� ( )

� � � � � � � � � ��m u k u k k u k u22

2 2 1 2 3 2 3 3 0� ( )

� � � � � � � �m u k u k u32

3 3 2 3 3 0�

184

POGLAVLJE 11.



� � � � � � � � �m a k k a k a12

1 1 2 1 3 2 0� ( )

� � � � � � � � � ��m a k a k k a k a22

2 2 1 2 3 2 3 3 0� ( )

� � � � � � � �m a k a k a32

3 3 2 3 3 0�

( )� � � � � � � �m k k a k a12

1 2 1 2 2 0�

� � � � � � � � � � �k a m k k a k a2 1 22

2 3 2 3 3 0( )�

� � � � � � � �k a m k a3 2 32

3 3 0( )�

U posljednjem sustavu od “n” jednad�bi ( )n� 3 postoji “n � 1” nepoznanica:a1, a2, a3 i �. Za egzistenciju netrivijalnog rješenja ovog homogenog sustavaLagrangeova determinanta mora biti jednaka nuli:

| |

( )

( )

(

D

m k k k

k m k k k

k m

�

� � � � �

� � � � � �

� �

12

1 2 2

2 22

2 3 3

3 3

0

0

�

�

� ��23k )

Razvijanjem Lagrangeove determinante dobit æe se frekvencijska jednad�bapo nepoznatim kru�nim frekvencijama �. Rješenjem frekvencijske jednad�be dobi-je se “n” vrijednosti za kru�nu frekvenciju �, koje predstavljaju vlastite frekvenci-je, pri èemu se najmanja vrijednost uzima kao osnovna (fundamental) kru�nafrekvencija. Za svaku od “n” kru�nih frekvencija odvijaju se sinkrone sin-fazne oscilacije sustava.

m1m2m3�6 � (m1m2k3 � m1k2m3 � m1k3m3 � k1m2m3 � k2m2m3) �4 �

� (�k1k3m3 k1m2k3 � m1k2k3 � k2k3m3 � k1k2m3 � k2m2k3) �2 � k1k2k3 � 0

� � � � � � � � � � � �6 10 2 85 10 3 425 10 7 5 10 012 6 16 4 19 2 21� � �, , ,

185




Rješenje posljednje jednad�be:

( ) ,�12 280 65� s�2

( )�22 1500� s�2

( )�32 2969� s�2

Rješenje frekvencijske jednad�be dobije se uvijek u sljedeæem poretku:

� � �1 2 3� � .

a

a1 1

1 1

1( )

( )

;�a

a1 2

1 2

1( )

( )

;�a

a1 3

1 3

1( )

( )

;�

a

a

k k m

k2 1

1 1

1 2 1 12

2

1829( )

( )

,��

��

a

a

k k m

k2 2

1 2

1 2 1 22

2

51935 10( )

( )

,��

��

a

a

k k m

k2 3

1 3

1 2 1 32

2

2 204( )

( )

,��

��

a

a

k k k k k m

k k3 1

1 1

2 1 3 1 1 2 12

2 3

( )

( )

��

��

�

��

�

k k k m k m k m m m

k k2 3 2 2 1

22 1 1

23 1 1

21 2 1

4

2

� � � �

3

2 250� ,

186

POGLAVLJE 11.



a

a

k k k k k m

k k3 2

1 2

2 1 3 1 1 2 22

2 3

( )

( )

��

��

�

��

�

k k k m k m k m m m

k k2 3 2 2 2

22 1 2

23 1 2

21 2 2

4

2

� � � �

3

1333�� ,

a

a

k k k k k m

k k3 3

1 3

2 1 3 1 1 2 32

2 3

( )

( )

��

��

�

��

�

k k k m k m k m m m

k k2 3 2 2 3

22 1 3

23 1 3

21 2 3

4

2

� � � �

3

2 248� ,

187


TON(r)

� ( )r2

. r 1 . r 2 . r 3

� ( )rf r

r

( )

( )��

�2T r

r( )

( )

�2�

�a

a

r

r

1

1

( )

( )

a

a

r

r

2

1

( )

( )

a

a

r

r

3

1

( )

( )

(1) 280,645 1,000 1,829 2,250 16,752 2,666 0,375

(2) 1500 1,000 1,935 · 10�5 �1,333� 38,73 6,164 0,162

(3) 2969 1,000 �2,204 2,248 54,489 8,672 0,115

Objašnjenje: . ir predstavlja “pomak” mase “i” kad sistem oscilira u “r”-tom tonu.

Sl. 11-3. Vlastite vrijednosti zadanoga sustava



Znaèi da vektor { }( ). r predstavlja r-ti ton, te se mo�e napisati:

[ ].

. . .

. . .

. . .

�

&

�

'''

(

�

)))

11 12 13

21 22 23

31 32 33

ili u sljedeæem obliku:

[ ] [{ }{ }{ }]( ) ( ) ( ). . . .� 1 2 3

Matrica [ ]. predstavlja matricu transformacije za prijelaz iz generaliziranih umodalne koordinate:

{ } [ ]{ }u � . E

Tra�i se takva matrica transformacije [ ]. da matrice generaliziranih masa [ ]Mi generaliziranih krutosti [ ]K budu dijagonalne. Za zadovoljenje navedenog potreb-no je i dovoljno da stupci matrice [ ]. budu vlastiti oblici oscilacija { }( ). r .

• Izraèun vrijednosti modalnih koordinata:

E�( )

( )

( ) ( )( )( ) ( )r

r

r rrt F

MD t� �

��0 2

G

F0 je amplituda poremeæajne sile, G( ) ( )r r j jj

n

p� ��

�.1

faktor je sudjelovanja

za r-ti ton, a kao što je prije uvedeno, p j predstavlja dio optereæenja koje se distri-buira na masu j. Sljedeæi izraz:

{ } [ ] { }( ) ( ). .rT

sm� � � 0

predstavlja uvjet ortogonalnosti u matriènom obliku za r s$ .

Za r s� generalizirana masa za ton “r” ima ovaj oblik:

M mr rT

r( ) ( ) ( ){ } [ ] { }� � �. .

188

POGLAVLJE 11.



te je:

[ ] [ ] [ ] [ ]. .T m M� � �

D tr( ) ( ) je dinamièki faktor za ton “r” koji se dobiva iz izraza (11.3) za sluèajkada je vrijednost prigušenja jednaka nuli (jer su u ovom primjeru zanemarene sileotpora):

D t t Fr r r

t

( ) ( ) ( )( ) sin [ ( )] ( )� � � � �� 4 4 4d0

D t tr r r

t

( ) ( ) ( )( ) sin [ ( )] ( )� � � � � �� 4 4 41 100

d

Rješenje ovog integrala prema zadanim uvjetima djelovanja poremeæajne sileu ovom primjeru prikazano je u poglavlju 3. (Primjer 11.) izrazima (3.16) i (3.17)za vrijednosti varijable t po intervalima t a0 i t a� :

D t tt

a

t

ar r

r

r( ) ( )

( )

( )

( ) cossin

,� � � �1 ��

�za t a0

D ta

t t a trr

r r r( )( )

( ) ( ) ( )( ) [sin sin ( )] cos ,� � � �1

�� za t a�

FM

r

r rr stat0 2�

��

G( )

( ) ( )( ) .)

�E predstavlja statièki progib koji odgovara tonu “r”.

• Prvi ton (r�1):

M mT( ) ( ) ( ){ } [ ]{ } ,1 1 1

51 475 10� � �. . [kg]

G( ) ,1 11

62 408 10� � ��

�. j jj

n

p [N]

E E( ) ( ), ( ) ( )( ) ( ) , ( )1 1 1 10 058t D t D tstat� � �� [m]

189




• Drugi ton (r� 2):

M ( ) ,244 777 10� � [kg]

G( ) ,262 333 10�� [N]

E ( ) ( )( ) , ( )2 20 033t D t�� [m]

• Treæi ton (r� 3):

M ( ) ,351 777 10� � [kg]

G( ) ,365 656 10� � [N]

E ( ) ( )( ) , ( )3 30 011t D t� � [m]

Vrijednost dinamièkog faktora D tr( ) ( ) treba izraèunati za vrijeme djelovanja inakon prestanka djelovanja poremeæajne sile.

• Izraèun generaliziranih koordinata prema (10.7):

u t ti r iri

( ) ( )� ��

�E .1

3

i � 1, 2, …, n

Konaèno u t1 ( ), u t2 ( ) i u t3 ( ) imaju sljedeæe vrijednosti:

u t t t t u t u t1 1 11 2 12 3 13 11 12( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � � �E . E . E . u t13 ( )

u t D t D t D1 1 20 058 1000 0 033 1000 0 011( ) , ( ) , , ( ) , ,�� 3 1000( ) ,t �

u t t t t u t u t2 1 21 2 22 3 23 21 22( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � � �E . E . E . u t23 ( )

u t D t D t D t2 1 2 30 058 1829 0 033 0 0 011( ) , ( ) , , ( ) , ( )�� ( , )2 204

190

POGLAVLJE 11.



u t D t D t2 1 30106 0 024( ) , ( ) , ( )��

u t t t t u t u t3 1 31 2 32 3 33 31 32( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � � �E . E . E . u t33 ( )

u t D t D t3 1 20 058 2 250 0 033 1333 0( ) , ( ) , ( , ) ( ) ( , )�� , ( ) ,011 2 2503� �D t

u t D t D t D t3 1 2 30131 0 044 0 025( ) , ( ) , ( ) , ( )��

Tra�eni dijagrami utjecaja pojedinog tona na ukupno ponašanje svake maseizraðeni su u MATCAD-u prema posljednjim jednad�bama i prethodno danim izra-zima za dinamièke faktore. Na slikama 11.4, 11.5 i 11.6 prikazani su utjecaji poje-dinih tonova na ukupnu vrijednost pomaka pojedine mase.

191




192

POGLAVLJE 11.

Sl. 11-4. Utjecaj pojedinog tona i na osciliranje mase m1, (i � 1, 2, 3)




Na kraju, na slici 11-7. prikazan je vremenski tijek pomaka svake od masa,nastao zbrajanjem vrijednosti sudjelovanja pojedinih tonova prikazanih na prethod-nim trima slikama. Iz slike 11-7. oèito je da su najveæi pomaci najvišeg kata.

193



Sl. 11-7. Vremenski tijek pomaka masa m1, m2, m3



POGLAVLJE 12.

ODZIV KONSTRUKCIJE USLIJEDGIBANJA PODLOGE U POTRESU



12.1. Spektri odziva

Za sluèaj djelovanja pomicanja podloge kao optereæenja na sustav s jednimstupnjem slobode, slika 12-1., pokazano je u poglavlju 1.8. (primjer 6.) da vrijedisljedeæa diferencijalna jednad�ba:

mu cu kut�� ,� � � 0 u u ut g� �

mu cu ku mu pg eff�� (12.1)

�� u u ut g� �

Varijable u jednad�bi (12.1) imaju sljedeæa znaèenja vidljiva na slici 12-1:

u � relativni pomak mase m u odnosu na pomak podloge

ug � pomak podloge (ground)�u � relativna brzina mase m��ut � apsolutno ili ukupno (total) ubrzanje mase m��ug � ubrzanje podloge

Znaèi da ��ug predstavlja ubrzanje podloge te je optereæenje na prikazani sustavs jednim stupnjem slobode potpuno iregularno. Rješenje diferencijalne jednad�be(12.1) dano je Duhamelovim integralom (3.14), koji u ovom sluèaju ima oblik:

u t u e tD

gt

D

t

( ) �� ( ) sin [ ( )]( )� � � �� 1

0�4 � 4 4�� 4 d (12.2)

Ovaj je integral nastao kao rezultat superpozicije serije impulsa kojima jepredstavljena potpuno proizvoljna funkcija optereæenja potresom.

Kao kod definiranja “zgrade posmika” u 6. poglavlju, masa m stalno ostaje uhorizontalnom polo�aju. To znaèi da je pomak mase uvijek okomit na pravac stu-pova okvira, slika 12-1(a), tijekom i nakon djelovanja ubrzanja podloge ��ug .

197

ODZIV KONSTRUKCIJE USLIJED GIBANJA PODLOGE U POTRESU



Za rješavanje ovoga problema upotrijebit æe se metodologija spektra odziva(response spectrum) ili, kako se još zove, spektralna analiza.

Spektar odziva zasnovan je na relaciji:

r r tmax max | ( )|� (12.3)

i predstavlja dijagram neke za sada proizvoljne vrijednosti rmax u funkciji perioda T(ili frekvencije f ili kru�ne frekvencije �), gdje je T period vlastitih oscilacijasustava s jednim stupnjem slobode kao na slici 12-1. Ako se za r t( ) usvoji rela-tivni pomak u t( ), tada je:

r t u t( ) ( )J (12.4)

pa se mo�e napisati da je:

u S Ddmax ( )� � (12.5)

198

POGLAVLJE 12.

Sl. 12-1. Sustav s jednim stupnjem slobode (a) i njegov matematièki model (b); djelovanje potresajednako je djelovanju sile peff na sustav oslonjen na nepokretnu podlogu (c)



Indeks d oznaèava deformaciju, tj. pomak (displacement) dok je S d oznaka zaspektralni pomak (Spectral displacement). U nekoj literaturi [6] umjesto simbolaS d koristi se simbol D.

Napomena: u 14. poglavlju ista oznaka S d koristit æe se i za pojam pro-jektnog spektra (design spectrum).

Kako se odreðuju i kolike su vrijednosti u max u ovisnosti od T ovdje æe bitipokazano prema dostupnoj literaturi, npr. [7, 9], slika 12-2. Za razumijevanje pro-cedure dobivanja funkcionalne ovisnosti u Tmax ( ) treba poznavati temeljne pojmoveiz potresnog in�enjerstva [50] izlo�ene u Prilogu 1 ove knjige.

Naime, kada bi se zapisanim (registriranim) ubrzanjima tla �� ( )u tg u potresuEl Centro, California, prikazanima na slici 12-2(a)., opteretio zadani okvir na slici12-1. (sustav s jednim stupnjem slobode) i pritom zapisale vrijednosti ubrzanja

199


Sl.12-2. (a) vrijednosti ubrzanje tla u vremenu u potresu EL Centro(b) odziv pomaka za tri sustava s jednim stupnjem slobode i � � 2%

(c) spektar odziva pomaka za � � 2%



mase m uporabom SM (Strong Motion) akcelerometra te provelo dva puta integri-ranje tako dobivenog zapisa i dobile vrijednosti pomaka u t( ), maksimalni pomakmase m okvira (èija je perioda T � 0 5, s) bio bi u max ,� 2 67 in, slika 12-2(b). Pri to-me je SM instrument (akcelerometar) postavljen u razini mase m.

Ista vrijednost u max ,� 2 67 in dobije se i iz diferencijalne jednad�be (12.1) ka-da je p m ueff g�� , pri èemu ��ug predstavlja ubrzanje tla u potresu El Centro, pri-kazano na slici 12-2(a).

Na slici 12-2. prikazana su tri sustava razlièitih krutosti, s jednim stupnjemslobode, što znaèi tri sustava razlièitih vlastitih perioda. Funkcionalna ovisnostizmeðu S d i perioda T naziva se spektar odziva pomaka, a vrijednost S d dobila jeime spektralni pomak. Taj spektar prikazuje maksimalne vrijednosti pomaka su-stava s jednim stupnjem slobode, neovisno kakvi su njihovi stvarni predznaci,slika 12-2(c).

Ovdje je prikazan i koristi se zapis ubrzanja tla u vremenu (time history) u po-tresu El Centro, California, koji se dogodio 18. svibnja 1940. godine, komponentaS00°E, jer je to u svijetu jedan od prvih zapisa ubrzanja potresa velikog intenzitetapa je razumljivo da mjere nisu iz SI sustava mjernih jedinica. Karakteristike suovoga potresa: maksimalno ubrzanje tla 0,348 g (slika 12-2.a.), maksimalna brzina13,15 in · s�1 i maksimalni pomak tla 4,29 in.

Imajuæi u vidu da je razlika izmeðu kru�ne frekvencije prigušenih i nepriguše-nih oscilacija zanemariva, Duhamelov integral (12.2) mo�e se napisati u obliku:

u t U t( ) ( )�1

�(12.6)

gdje je

U t u e tgt

t

( ) �� ( ) sin ( )( )� � � �� 4 � 4 4�� 4 d0

(12.7)

Prema definiciji (12.3) i relaciji (12.6) iz maksimalne vrijednosti posljednjegintegrala U t( ) proizlazi:

S U u e tv gt

t

� � � � �&

�'

(

�)

� ��max( )

max

�� ( ) sin ( )4 � 4 4�� 4 d0

(12.8)

200

POGLAVLJE 12.



Velièina Sv naziva se spektralna pseudobrzina, a funkcionalna ovisnost iz-meðu spektralne pseudobrzine i perioda T naziva se spektar odziva pseudobrzine,slika 12-3(b), ili kraæe spektar pseudobrzine.

U nekoj literaturi [6] umjesto simbola S v koristi se simbol V.

Spektralna pseudobrzina dobila je naziv “pseudo” radi naglašavanja èinjeniceda ovaj spektar nije isto što i spektar odziva relativne brzine � maxu u funkciji od T.Naime, spektar odziva relativne brzine bio bi dijagram � maxu [maksimalne vrijedno-sti �( )u t za sustav s jednim stupnjem slobode, slika 12-1., za vrijeme potresa] ufunkciji od T, dok je u spektru pseudobrzine umjesto � maxu uporabljen izraz (12.8).

S ST

Sv d d� � � ��2

(12.9)

Na slikama 12-2., 12-3(a). i 12-3(b). prikazan je naèin odreðivanja spektral-nog pomaka i spektralne pseudobrzine za jedan stvarni potres.

Slike 12-3(a). i 12-3(b). meðusobno su povezane izrazom (12.9) te se vrijed-nosti spektralne pseudobrzine dobiju na sljedeæi naèin:

za T � 0 5, s: S v � � �2

0 52 67 33 7

�

,, , in · s�1

za T �10, s: S v � � �2

15 97 37 5

�, , in · s�1

za T � 2 0, s: S v � � �2

27 47 23 5

�, , in · s�1

itd.

Analogno izrazu (12.9) mo�e se napisati:

S S Sa v d� � � �� 2

ST

ST

Sa v d� � ��

��

2 2 2� �(12.10)

201




Velièina Sa naziva se spektralno pseudoubrzanje, a funkcionalna ovisnostizmeðu spektralnog pseudoubrzanja i perioda T naziva se spektar odziva pseudo-ubrzanja ili, kraæe, spektar pseudoubrzanja. I ovdje je uporabljen naziv “pseudo”da bi se ovaj spektar razlikovao od spektra odziva apsolutnog ubrzanja. Jer, spek-tar odziva apsolutnog ubrzanja je funkcija �� ( ), maxu Tt , a ta se funkcija rjeðe koristijer se izrazom (12.6) krenulo od relativnog pomaka u(t).

202

POGLAVLJE 12.

Sl. 12-3. Spektri odziva (� � 2 %) za potres EL Centro: (a) spektar odziva pomaka;(b) spektar odziva pseudobrzine; (c) spektar odziva pseudoubrzanja



U nekoj literaturi [6] umjesto simbola S a koristi se simbol A.�� , maxut je, dakle, maksimalna vrijednost funkcije �� ( )u tt sustava s jednim stup-

njem slobode, slika 12-1., u vrijeme potresa.

U literaturi postoje i spektri odziva relativne brzine � ( )maxu T i apsolutnogubrzanja �� ( ), maxu Tt , koji takoðer nalaze svoju primjenu. Jedan takav primjer prika-zan je na slici 12-5.

Na slici 12-3. prikazana su sva tri spektra za isti registrirani potres El Centro,pri èemu se vrijednosti spektra pseudoubrzanja dobiju iz relacije (12.10):

za T � 0 5, s: S a ��

�

�

��

2

0 52 67 42158

2�

,, , in/s�2 � 1,09 g

za T �10, s: S a ��

��

2

15 97 235 45

2�, , in/s�2 � 0,61 g

za T � 2 0, s: S a ��

��

2

27 47 73 72

2�, , in/s�2 � 0,19 g

1 0 0254 1 12 1 0 3048

386 22

2 2in m foot in ft s m s

in

� � � � �� , ; ; ,

, � � � � � � � �

567

?@A� � � �s m s ft s m s2 2 2 29 81 3219 9 81, ; , ,g g

U literaturi se mogu naæi spektri za sve potrese registrirane na SM akcelerome-trima, a za potrese koji su se dogodili prije primjene SI sustava mjernih jedinica pri-kazani su, kao na slici 12-2. i slici 12-3., u anglosaksonskim mjernim jedinicama.

U našem dijelu Europe postoji instalirana relativno gusta mre�a SM instrume-nata za registriranje ubrzanja jakih potresa te postoje gotovi spektri za potrese ve-æih intenziteta koji su se dogodili na ovim prostorima u posljednje vrijeme. Tispektri prikazani su u SI sustavu mjernih jedinica (na primjer, �arišna podruèja:Friuli 1976. u Italiji, Tolmin u Sloveniji, ju�ni Jadran 1979. itd.). Jedan takav spek-tar, za potres koji je 13. kolovoza 1981. godine pogodio Banjaluku, prikazan je naslici 12-4. a za potres koji je pogodio podruèje ju�nog Jadrana 15. travnja 1979.,lokacija Petrovac, prikazan je na slici 12-5. Valja uoèiti razliku izmeðu spektara naslici 12-4. i slici 12-5. jer su na slici 12-4. prikazane pseudobrzine Sv , dok su naslici 12-5. prikazane vrijednosti relativne brzine u funkciji od T.

Korištenje ovih spektara odziva pokazat æe se poslije numerièkim primjerima.

203




204

POGLAVLJE 12.

Sl. 12-4. Spektar pseudobrzine Sv za potres Banjaluka od 13. kolovoza, 1981.,prigušenja � � 0, 2, 5, 10 i 20% od kritiènog

Sl. 12-5. Spektri apsolutnog ubrzanja i relativne brzine za registrirana ubrzanjana SM akcelerometru u Petrovcu, potres ju�ni Jadran od 15. travnja 1979.,

prigušenja � � 0, 2, 5, 10 i 20% od kritiènog



Svi spektri dobiveni nakon obrade zapisa ubrzanja stvarnih potresa imajuizlomljene oblike pa je relativno teško oèitati vrijednosti pseudobrzine na slici12-4. izravno iz prikazanog spektra, jer su za male promjene perioda T èesto vrlovelike razlike u vrijednostima spektralne pseudobrzine S v . Isto se uoèava i na sli-kama 12-3. i 12-5. Objašnjenje zašto je tomu tako treba tra�iti u lokalnim uvjetimatla. Radi jednostavnije primjene predlo�en je “zaglaðeni” spektar [23, 50] na slici12-6., nastao iz prosjeènih vrijednosti pseudobrzina S v dobivenih za više razlièitihpotresa primjenom posebnog postupka.

Spektar odziva pseudobrzine S Tv ( ) prikazan na slici 12-3(b). mo�e se pri-kazati i u logaritamskom mjerilu za S v i T. Imajuæi u vidu jednostavnu povezanostizmeðu vrijednosti S d , S v i S a , kao i povezanost tih vrijednosti preko perioda Tu izrazu (12.10), spektri odziva prezentiraju se i preko tzv. tripartitnog loga-ritamskog dijagrama, iz kojeg se oèitavaju sve tri spektralne vrijednosti, slika12-7.(a). Ovakav èetvorni dijagram ovisnosti izmeðu spektralnih vrijednosti i Tsa�eto je predstavljanje svih triju spektara odziva na jednom mjestu i predstav-lja zamjenu za tri linearna spektra na slici 12-3. Naèin na koji se oèitavaju spektral-ne vrijednosti za odreðeni period T prikazan je na slici 12-7.(b). Na sl. 12-7. zaspektralnu pseudobrzinu uvedena je oznaka V, spektralno pseudoubrzanje je Ai spektralni pomak D, kao što je to danas uvedeno u nekoj literaturi [6]. Osim opi-sanih linearnih spektara postoje i nelinearni spektri. Detaljnije o spektrima vidjetiu [7].

205


Sl. 12-6. Prosjeèan “zaglaðeni” spektar pseudobrzine Sv



206

POGLAVLJE 12.

Sl. 12-7. (a) Tripartitni logaritamski dijagram spektara odziva za potres El Centro,18. svibnja 1940., komponenta S00°E i � � 0, 2, 5, 10 i 20%;

(b) Naèin oèitavanja spektralnih vrijednosti (� � 0,2)



12.2. Koeficijent posmika

Jedno je od glavnih podruèja uporabe spektara odziva pronala�enje vrijedno-sti koeficijenta posmika (Base Shear coefficient) pri proraèunu ukupne vrijednostihorizontalnog optereæenja na konstrukciju od potresa. Kako se dolazi do vrijedno-sti koeficijenata posmika i što ta vrijednost predstavlja pokazat æe se u nastavku.

Na slici 12-8. prikazan je okvir s jednim stupnjem slobode izlo�en potresnimsilama. Uslijed ovih sila masa m okvira do�ivljava pomake u t( ), što je ekvivalentnooptereæenju okvira horizontalnom silom F t( ) koja djeluje u nivou mase m, kada jestatièki sustav oslonjen na nepokretnu podlogu. Znaèi da statièka sila koja uzrokujedeformaciju u t( ) ima vrijednost F t( ). Prema posve statièkoj analizi ovog okviravrijedi:

207


Sl. 12-8. Okvir s jednim stupnjem slobode optereæen potresom



Q t F t k u t m u t02( ) ( ) ( ) ( )� � � � � ��

M t h F t h m u t02( ) ( ) ( )� � � � � ��

(12.11)

Primjenjujuæi u izrazu (12.11) rezultate prethodno provedene spektralne anali-ze, dobiva se:

Q m S m Sd a02

, max � � � � ��

M h Q0 0, max , max� �(12.12)

S a je spektralna vrijednost pseudoubrzanja za odreðeni potres za koji se pro-vodi izraèun okvira na slici 12-8. Taj se potres naziva mjerodavni potres za odre-ðenu lokaciju, a utvrðivanje mjerodavnog potresa za odreðenu lokaciju provodi seu seizmologiji.

Oèito je da Q 0, max predstavlja maksimalnu vrijednost inercijalne sile mase mpri djelovanju ubrzanja Sa. Ako bi se u praksi trebale raèunati rezne sile za ovakavokvir, horizontalna sila u razini mase m (èija je vrijednost Q 0, max ) shvatila bi se kaostatièka sila. Vrijednost takve sile ne mo�e se odrediti bez poznavanja dinamikekonstrukcija.

Uzimajuæi u obzir da je:

mW

g� (12.13)

gdje je g gravitacijsko ubrzanje, a W te�ina konstrukcije, maksimalna vrijednostposmiène sile u razini temelja okvira je:

QS

gWa

0, max ��

�

�

��

B SS

ga. .�

(12.14)

Vrijednosti B. S. predstavljaju koeficijent posmika (Base Shear coefficient).Poznavanjem ovog koeficijenta dobiva se tra�eno maksimalno popreèno optereæe-nje na ovu konstrukciju uslijed djelovanja potresa, izra�eno u postotcima u odnosuna vertikalno optereæenje.

208

POGLAVLJE 12.



• Sa�etak postupka uporabe spektara izgleda ovako:

(a) Izraèunati T (ili f ili �) i usvojiti x za odreðenu konstrukciju;

(b) Odabrati mjerodavan projektni i maksimalni potres (DLR i NCR, prilogP1 i poglavlje 14.);

(c) Prema spektrima odziva za odabrani potres i poznatu vrijednost T oèitavase: S d ili S v ili S a ;

(d) Odreðivanje maksimalnog pomaka:

u SS S

d

v amax � � �

� �2

(e) Maksimalna vrijednost posmiène sile u razini temelja:

Q k S m S m SS

gW B S Wd a v

a

0, max ( . . )� � � � � � � ��

�

�

��

(f) Maksimalni moment u razini temelja:

M h Q0 0, max , max� �

Primjena uporabe spektara prema navedenom postupku prikazana je numeriè-kim primjerima u poglavlju 12.3.

Na kraju treba dati odgovor na pitanje kako se naprijed izlo�eno za sustav sjednim stupnjem slobode primjenjuje na analizu sustava s više stupnjeva slobode,kao na primjer za sustave na slici 12-9., koji imaju n stupnjeva slobode. Na slici12-9. prezentirana je “zgrada posmika” te je broj katova jednak broju stupnjevaslobode tog sustava.

Rješenje ovog problema u nastavku æe se samo naznaèiti, a detaljan prikazovog gradiva bit æe izlo�en u sljedeæem poglavlju.

U 10. poglavlju pokazano je da se diskretan sustav koji ima n stupnjeva slo-bode mo�e rastaviti na n nezavisnih diskretnih sustava od kojih je svaki s jednimstupnjem slobode. Ovakvo rastavljanje poznato je u dinamici konstrukcija pod na-zivom modalna analiza ili analiza razvijanja po vlastitim oblicima ili analizapo tonovima. Na ovaj naèin za proraèun seizmièkih sila diskretnog sustava s nstupnjeva slobode moguæe je uporabiti opisane spektre odziva, koji su dani samoza sustave s jednim stupnjem slobode i zadanu vremensku zavisnost �� ( )u tg .

209




Za svaki i-ti oblik osciliranja sustava s n stupnjeva slobode dobije se maksi-malna posmièna sila:

QS

gWi

a

i0 , max ;��

�

�

�� i n� :1 2, , ,

W Wii

n

��

�1

(12.15)

gdje je Wi sudjelujuæa te�ina za ton i, èija æe vrijednost biti objašnjena u nared-nom poglavlju.

Ukupna maksimalna posmièna sila za sustav koji ima n stupnjeva slobode nijejednaka zbroju modalnih maksimalnih posmiènih sila dobivenih za svaki ton po-sebno, jer se maksimalne vrijednosti za pojedine tonove ne posti�u istodobno. Uliteraturi su poznate sljedeæe tri metode za odreðivanje maksimalne (vršne) vrijed-nosti modalnom superpozicijom:

210

POGLAVLJE 12.

Sl. 12-9. Sustav sa n stupnjeva slobode (zgrada posmika)



a) Metoda SRSS (Square Root of Sum of Squares), kojom se ukupna maksi-malna vrijednost nekog odziva ( ) maxr dobije iz kvadratnog korijena zbroja kvadratamaksimalnih (vršnih) vrijednosti svakog tona,

( ) ( )maxr r r r r rj n N� � �:� �:� �:�12

22 2 2 2

12 (12.16)

Ova SRSS metoda pretpostavlja da su prirodne frekvencije konstrukcije jasnorazdvojene (da nisu gotovo identiène), što je u najveæem broju sluèajeva ispunjeno.U suprotnom dobili bi se nerealni rezultati.

b) Metoda ABS (Absolute Sum), kojom se pretpostavlja da je ukupna maksi-malna vrijednost nekog odziva ( ) maxr jednaka zbroju apsolutnih vrijednosti pojedi-naènih vršnih odziva za svaki ton,

( ) | |maxr rii

N

0�

�1

(12.17)

Ova se metoda rijetko koristi jer daje nerealno velike maksimalne (vršne) vri-jednosti odreðenog odziva.

c) Metoda CQC (Complete Quadratic Combination) izra�ena je kvadratnimkorijenom zbroja umno�aka maksimalnih vrijednosti za i-ti i n-ti doprinos i koefi-cijenta korelacije ; in za ta dva tona

( ) maxr r rin i nn

N

i

N

� � ��

�

�

��

��

�� ;11

12

(12.18)

Ovaj koeficijent ima vrijednosti izmeðu nule i jedinice, a za i n� je jednak je-dinici. Posljednja jednad�ba mo�e se napisati i u sljedeæem obliku:

( ) maxr r r rnn

N

in i nn

N

i

N

� � � ��

�

�

��

� ��

� ��2

1 11

12

; (12.19)

U jednad�bi (12.19) prvi dio predstavlja izdvojen utjecaj prvog tona (SRSSkombinacija) i taj dio uvijek je pozitivan. Zbog toga rezultat dobiven CQC meto-dom mo�e biti manji ili veæi od rezultata dobivenog SRSS kombinacijom.

211




Korekcijski koeficijent prema Der Kiureghianu ima sljedeæu vrijednost:

;� � # � � #

# � � #K/�in

i n in i n in

i n in

��

� � � � �

8

1 4 1

3 2

2

( )

( ) (

/

# � � #in i n in2 2 2 24) ( )� �

(12.20)

U ovoj su jednad�bi:

� � vrijednosti relativnog prigušenja i-tog tona,

# � �in i n� � kvocijent prirodnih kru�nih frekvencija i-tog i n-tog tona.

U sluèaju da je relativno prigušenje jednako za sve tonove, posljednja jed-nad�ba svodi se na:

;� # #

# � # #in

in in

in in in

��

� � � �

8 1

1 4 1

2 3 2

2 2 2 2

( )

( ) ( )

/

(12.21)

Korelacijski se koeficijent naglo smanjuje ako izmeðu dvije prirodne kru�nefrekvencije � i i �n postoji velika razlika. To je osobito izra�eno u sluèaju kon-strukcija s malim relativnim prigušenjima. Za konstrukcije s pravilno odvojenimprirodnim kru�nim frekvencijama korelacijski se koeficijent gubi te kombinacijskopravilo CQC prelazi u pravilo SRSS.

Ako se za primjer na slici 12-9. za izraèun maksimalne vrijednosti posmiènesile primijeni SRSS metoda, dobije se:

Q Q Q Q n0 012

022

02

12

, max , max , max , max( )� � �:� (12.22)

Na slièan naèin odreðuju se i maksimalni pomaci katova. Na primjer, za i-tikat je:

u u u ui i i

ni

max( )

, max

( )

, max

( )

, max( )( )� � �:�1 2

12

2 2 2

(12.23)

gdje u ji

, max predstavlja doprinos j-tog tona na vrijednost maksimalnog pomakakata i.

212

POGLAVLJE 12.



12.3. Primjeri

Primjer 19.

Neka okvir na slici 12-1. ima sljedeæe karakteristike:

m � 2500 kg; k � 140 kN/m; c � 1,87 kNs/m.

Odrediti maksimalno horizontalno optereæenje na okvir te njegov maksimalnipomak, ako se pretpostavi da je mjerodavni potres za ovaj okvir potres Banjaluka od13. kolovoza 1981. godine, registracija na lokaciji seizmološke postaje Banjaluka,komponenta W-E, za koji je spektar odziva pseudobrzine prikazan na slici 12-4.

�2140 000

250056 00� � �

k

m, rad2/s2

N

m kg

kg m

s m kgs� �

�

� ��

&

�'

(

�)

�12

2

�� 7 48, rad/s

f � ��

�2119, s�1

T � 0 84, s

c mkr � � � �2 37 4� , kNs/mkg

s

kg s m

s s m

N s

m�

� �

� ��

�&�'

(�)

�� c

ckr

0 05 5, %

Za izraèunati period T � 0 84, s i relativno prigušenje � � 5% za ovaj okvir,prema slici 12-4. dobije se vrijednost pseudobrzine:

S v � 8 00, cm/s� 0,08 m/s

213




Znajuæi vrijednost pseudobrzine iz (12.10) dobije se vrijednost pseudoubrza-nja te je:

S Sa v� � �� 0 60, m/s2

u SS

d

vmax ,� � �

�107 cm

Q k S d0 1400 107 1498, max ,� � � �N

cmcm N

Ukupna posmièna sila u razini temelja ove graðevine, dobivena primjenom(B. S.) koeficijenta, ima vrijednost:

( . . ) , %B SS

ga� � �0 06 6

W � � ��2500 9 81 24 5252kg ms N,

Q B S W0 0 06 24 525 1472, max ( . . ) ,� � � � � N

Znaèi da maksimalno horizontalno optereæenje na ovaj okvir, koje je rezultatdjelovanja ovog mjerodavnog potresa, iznosi samo 6% vertikalnog optereæenja Wjer se radi o potresu relativno malog intenziteta.

Primjer 20.

Za most na slici 1-34., Primjer 7., izraèunati optereæenje u svakom stupu usli-jed djelovanja potresa El Centro, za uzdu�ni pravac mosta. Pretpostaviti viskoznoprigušenje � � 5%.

Za T � 0,574 s i � � 5% oèitava se iz spektra odziva za potres El Centro, pri-kazanog na slici 12-7(a)., za � � 5%:

• Spektralni pomak S d � 0 0658114, m

• Spektralno pseudoubrzanje S ga � 0 807,

214

POGLAVLJE 12.



(B.S.) koeficijent jednak je za sve stupove i ima vrijednost:

B SS

ga. . ,� � 0 807

Znaèi da maksimalno optereæenje na stupove od ovog potresa ima vrijednost80,7% vertikalnog optereæenja W, što je i razumljivo, jer se radi o potresu velikogintenziteta.

Ukupno ekvivalentno statièko optereæenje na most Q 0, max mo�e se izraèunatina dva naèina:

a) Primjenom izraza (12.14)

Q B S W0 0 807 31346 55 25 296 67, max . . , , ,� � � � � kN

Za jedan stup mosta je:

Q stupa0

25 296 67

6421611, max,

,,� � kN

b) Korištenjem poznate krutosti stupa i njegova spektralnog pomaka za uz-du�ni pravac. Buduæi da svi stupovi imaju jednaku krutost i dobivaju jed-nak pomak S d � 0 0658114, m, na ovaj naèin dobije se:

Q k Sstupa stupa d03

191 72

310 0 0658114 4205, max,

,, ,� � � � � � 79 kN

215




POGLAVLJE 13.

MODALNA SEIZMIÈKA ANALIZAVIŠEKATNIH SUSTAVA SPEKTRALNOM TEORIJOM



13.1. Primjena posebnog naèina matriènogobilje�avanja u modalnoj analizi

U Europskoj normi EN 1998-1:2004 [90] metode izraèuna konstrukcija prika-zane su u dijelu 4.3.3. Ovisno o karakteristikama graðevine, mo�e se primijenitijedna od dviju linearno-elastiènih analiza. To su:

a) analiza graðevina primjenom ekvivalentnog statièkog djelovanja i spektaraodziva (lateral force method), koja se koristi kada je odziv konstrukcije ta-kav da ne postoji znaèajan doprinos viših oblika osciliranja, veæ se uzi-ma utjecaj samo prvog oblika te

b) modalna analiza spektrima odziva (modal response spectrum analysis),koja se primjenjuje bez ogranièenja, znaèi za sve konstrukcije u zgradar-stvu kod kojih postoji utjecaj viših oblika osciliranja na odziv kon-strukcije. Modalna analiza se ubraja u dinamièke metode, jer je za njenuprimjenu potrebno predznanje iz dinamike konstrukcija.

Osim navedenih linearnih metoda, EN 1998-1:2004 navodi za primjenu i slje-deæe nelinearne metode:

c) nelinearna statièka metoda postupnog guranja (pushover), koja se spo-minje u dijelu 4.3.3.4.2 i Dodatku B Eurokoda 8-1, a primjenjuje se zakonstrukcije kod kojih se mogu zanemariti viši oblici osciliranja, te

d) nelinearna dinamièka analiza u vremenu s umjetnim ili realnim zapisimapotresa (non-linear time history analysis).

Linearno-elastièna analiza (a) izlo�ena je u 14. poglavlju ove knjige za zgradeprema Eurokodu 8-1 [90] te za mostove primjenom Eurokoda 8-2 [91] u 15. po-glavlju. U ovom 13. poglavlju prikazat æe se modalna analiza (b) koja se shvaæa ikao linearna dinamièka metoda, jer je za njenu primjenu potrebno predznanje iz di-namike konstrukcija. Nelinearne seizmièke analize zgrada (c) i (d) prema Euro-kodu 8-1 [90] izlo�ene su u 16. poglavlju.

Obièno se u sluèajevima u kojima je propisana modalna linearna analiza kon-strukcija, ili nelinearna analiza, misli na analizu pomoæu raèunala i gotovih pro-

219

MODALNA SEIZMIÈKA ANALIZA VIŠEKATNIH SUSTAVA SPEKTRALNOM TEORIJOM



gramskih paketa, kao što su programi EAVEK [32], TABS, Robot Millennium,STAAD, Tower, za linearnu, ili programi DRAIN 2D [57], SeismoStruct [65] zanelinearnu analizu. Za kompleksne statièke sustave opravdano je i jedino moguæeraditi njihov seizmièki izraèun primjenom navedenih i drugih gotovih programa.Meðutim, nisu sve graðevine za koje se postavlja uvjet njihove neupitne funkcio-nalnosti neposredno nakon potresa kompliciranih statièkih sustava. Propisano je daje i za neke graðevine jednostavnih statièkih sustava i manje katnosti kod kojih po-stoji utjecaj viših oblika osciliranja na odziv konstrukcije potrebno provestimodalnu analizu. Za takve sluèajeve ovdje je dan najprije teorijski dio, a zatim nu-merièki primjer modalne analize konstrukcije primjenom spektralne teorije, pri èe-mu æe za izraèun biti potreban samo kalkulator. Nakon što se savlada ovakav pri-mjer, lako je razumjeti naèin na koji to isto rade veæ spomenuti raèunalni programi.

Linearno-elastièna analiza sustava s N stupnjeva slobode, koja æe se ovdjerazmatrati, zasniva se na metodi razvijanja po vlastitim oblicima ili, kako se još na-ziva, analizi po tonovima ili modalnoj analizi, kako je ona izlo�ena u poglavljima10. i 11. Ova je metoda primjenljiva ako je vremenska ovisnost poremeæajnih silasvih masa ista ili razmjerno ista, što je u sluèaju optereæenja potresom ispunjeno.Rješenje problema svodi se na rješavanje matriène diferencijalne jednad�be iz di-namike konstrukcija, koja vrijedi za zgradu posmika kao na slici 13-1:

[ ] {��} [ ] { �} [ ] { } { ( )}m u c u k u p t� � � � � �

Ista se jednad�ba mo�e kraæe napisati kao u literaturi nastaloj u posljednje vri-jeme, kada se matrica oznaèava jednim masno otisnutim (“bold”) simbolom:

m u c u f p tE� � � � �� ( ) (13.1)

fE je vektor unutarnjih sila, koji u linearnom podruèju ima vrijednostf k uE � � , a u nelinearnom podruèju predstavlja nelinearnu funkciju pomaka, k jematrica poèetne krutosti.

Matrica masa m dijagonalna je dok je matrica krutosti k puna matrica, štoznaèi da je sustav koji se analizira statièki spregnut, dok dinamièki nije spregnut, ato je dovoljno za rješavanje problema koji su najavljeni u 12. poglavlju. Postojegotovi programi kojima se mo�e provesti modalna analiza s punom matricom masa(na primjer, program Robot Millennium), kada je statièki sustav spregnut i statièkii dinamièki. Rješenje svih diferencijalnih jednad�bi koje èine matriènu diferencijal-nu jednad�bu (13.1) tra�i se istovremeno. U jednad�bi (13.1) vektori ��, � ,u u u pred-stavljaju ubrzanje, brzinu i pomak svakog kata, dok je vektor p t( ) optereæenje.

220

POGLAVLJE 13.



Dijagonalizacijom matrice prigušenja i matrice krutosti rastavit æe se diskre-tan sustav s N stupnjeva slobode na N nezavisnih diskretnih sustava, od kojih jesvaki s jednim stupnjem slobode.

Zbog kontinuiteta s poglavljem (13.2), ovdje æe se ukratko iznijeti naèela mo-dalne analize, pri èemu æe se primijeniti novo matrièno obilje�avanje.

Da bi se provela dijagonalizacija matrica c i k uvodi se, kao i u 9. poglavlju,sljedeæa transformacija koordinata:

u Y� �F (13.2)

221


Sl. 13-1. Idealizirana višekatna zgrada posmika, relativna deformacija j-tog katai katna krutost k j za linearnu analizu



Ovdje je u vektor prvobitnih generaliziranih (nepoznatih) koordinata, Yvektor modalnih koordinata (koji je u 9. poglavlju imao oznaku { }E ), a matricaF je matrica transformacije, èiji su stupci proporcionalni vektorima vlastitih obli-ka, tj.:

F�

: :

: :

: :

F F F F

F F F F

F F F F

11 21 1 1

12 22 2 2

1 2

j N

j N

j j jj Nj

� � � � � �

F F F F1 2

1 2

N N jN NN

j N

: :

&

�

''''''

(

�

))))))

� : :{ }F F F F

Vektor F j predstavlja j-ti vlastiti oblik sustava.

u�

5

6

DDD

7

DDD

?

@

DDD

A

DDD

u

u

u

u

j

N

1

2

�

�

Y�

5

6

DDD

7

DDD

?

@

DDD

A

DDD

Y

Y

Y

Y

j

N

1

2

�

�

Uvedena transformacija koordinata (13.2) mo�e se napisati i u sljedeæem obli-ku:

u� ��

�F j jj

N

Y1

(13.3)

Uvršæivanjem transformacije (13.3) u matriènu diferencijalnu jednad�bu(13.1) dobije se:

m c k p� � � � � � � � ��

� � �F F Fj jj

N

j jj

N

j jj

N

Y Y Y t�� ( )1 1 1

(13.4)

Ako se jednad�ba (13.4) pomno�i s lijeve strane s transponiranim vektoromvlastitog oblika za ton n, Fn

T , dobiva se:

222

POGLAVLJE 13.



F F F F F FnT

j jj

N

nT

j jj

N

nT

j jj

Y Y Y� � � � � � � � � � ��

� �m c k��

1 1 1

N

nT t� � �F p( ) (13.5)

U jednad�bu (13.5) uvrstit æe se uvjeti ortogonalnosti izra�eni primjenom ma-trice masa (8.4) i primjenom matrice krutosti (8.5),

F FnT

j� � �m 0; F FnT

j� � �k 0 , n j$

i pretpostavljena osobina ortogonalnosti prigušenja

F FnT

j� � �c 0 , n j$

Da bi se opravdala i objasnila pretpostavljena osobina ortogonalnosti prigu-šenja, treba poæi od pretpostavke koju je postavio Rayleigh [9], da je dio prigu-šenja u konstrukciji proporcionalan trošenju energije deformacijom kon-strukcije. Imajuæi u vidu pretpostavku da se dio energije utroši u deformacijama,dio prigušenja u konstrukciji proporcionalan je krutosti konstrukcije. Drugimehanizam trošenja energije pripisuje se masi konstrukcije te se zbog toga za dioprigušenja u konstrukciji pretpostavlja da je proporcionalan masi. Znaèi da jeprigušenje u konstrukciji proporcionalno i njenoj masi i krutosti te je:

c m k� � � �a a0 1

U nastavku æe se pokazati kako se dolazi do vrijednosti koeficijenata propor-cionalnosti a0 i a1 .

Generalizirano prigušenje za n-ti ton ima vrijednost:

C a M a K a M a Mn n n n n n� � � �0 1 0 12�

S obzirom na pojam kritiènog prigušenja (poglavlje 1.2), mo�e se, kao i u 10.poglavlju za relativno prigušenje u n-tom tonu napisati:

��n

n

n n

C

M�

2

��

�nn

n

a a� �0 1

2

1

2

223




Koeficijenti proporcionalnosti a0 i a1 mogu se odrediti iz posebnih vrijednostirelativnih prigušenja za dva neovisna tona (naprimjer i-ti i j-ti), za koje posljednjarelacija glasi:

��

�ii

i

a a� �0 1

2

1

2

��

�jj

j

a a� �0 1

2

1

2

Ako je za oba tona (i-ti i j-ti) vrijednost relativnog prigušenja jednaka i imavrijednost �, iz dvije posljednje jednad�be dobiju se koeficijenti a0 i a1 :

ai j

i j0

2�

��

� �; a

i j1

2�

��

Lako je pokazati da se za i j� generalizirano prigušenje C n svodi na onu vri-jednost koja je korištena u 10. poglavlju:

C a M a M M M Mn n n n n nn

n n n n� � � � �0 12 21

2� ��

Upotrijebljen je termin “pretpostavljena osobina ortogonalnosti prigušenja”zbog toga što ortogonalnost u sluèaju prigušenja postoji pod uvjetom da prigušenjec zadovoljava relaciju:

c m k� � � �a a0 1

koja predstavlja linearnu kombinaciju vrijednosti m i k, za koje je veæ ispu-njen uvjet ortogonalnosti. Kako je veæ ranije navedeno, veæina realnih konstruk-cija ima male vrijednosti prigušenja, za koje sustav zadr�ava oscilatorni ka-rakter.

Primjenom osobine ortogonalnosti jednad�ba (13.5) postaje:

F F F F F F FnT

n n nT

n n nT

n n nTY Y Y t� � � � � � � � � � � � �m c k p�� ( )

(13.6)n � 1, 2, … , N

224

POGLAVLJE 13.



Uvoðenjem obilje�avanja za generaliziranu masu Mn, generalizirano priguše-nje C n , generaliziranu krutost K n i generaliziranu silu Pn(t) za ton n:

M n nT

n� � �F Fm

C n nT

n� � �F Fc

K n nT

n� � �F Fk (13.7)

P t tn nT( ) ( )� �F p

problem istovremenog rješavanja N diferencijalnih jednad�bi svodi se na rješava-nje N nezavisnih diferencijalnih jednad�bi sljedeæeg oblika:

M Y C Y K Y P tn n n n n n n� � � � � �� ( ) n � 1, 2, … , N (13.8)

Diferencijalna jednad�ba (13.8) identièna je jednad�bi kojom je rješavan pro-blem sustava s jednim stupnjem slobode, slika 12-1., a odnosi se na n-ti oblik osci-liranja diskretnog sustava s N stupnjeva slobode.

U zakljuèku ovog uvodnog dijela navest æe se redoslijed radnji koje treba pro-vesti u cjelokupnoj dinamièkoj analizi linearnih sustava s N stupnjeva slobode,optereæenih potresom:

1. Usvajanje odnosno izraèun karakteristika konstrukcije m; c; k, s procje-nom odnosa prigušenja prema kritiènom prigušenju � n ;

2. Izraèun vlastitih frekvencija �n i vlastitih oblika slobodnih prigušenihoscilacija, tj. nala�enje vektora Fn , (n � 1, 2, …, N) rješavanjem jedna-d�be k m� � � �F F�2 . Na ovaj naèin dobije se matrica transformacije F;

3. Izraèun generaliziranih vrijednosti masa, prigušenja i krutosti (13.7) i for-miranje modalnih jednad�bi (13.8);

4. Modalna analiza sustava;

5. Superpozicija modalnih efekata radi dobivanja vrijednosti stvarnih pomakaprema uvedenoj transformaciji (13.3). Najveæi je modalni doprinos prvogtona, a modalni doprinosi viših tonova progresivno opadaju, što je shemat-ski predstavljeno na slici 13-2. Ova konstatacija za posljedicu ima tvrdnjuda se najveæi dio seizmièke energije unesene u konstrukciju potresom potro-ši (dissipation) u prvom tonu, o èemu æe biti više govora u poglavlju 13.2.

Napomena: Treba imati u vidu da se energija ne mo�e potrošiti, veæ ona prelazi u neki dru-gi oblik, npr. u toplinu, deformaciju konstrukcije, itd.

225




Imajuæi u vidu shematsku prezentaciju na slici 13-2., mo�e se uoèiti va�nostizraèuna konstrukcije modalnom analizom. Naime, ako su karakteristike graðevinetakve da se oèekuje utjecaj viših oblika osciliranja na odziv konstrukcije, modal-nom analizom æe se dobiti toèniji rezultati u odnosu na analizu metodom ekviva-lentnog statièkog djelovanja.

226

POGLAVLJE 13.

Sl. 13-2. Modalno rastavljanje na n nezavisnih sustava s jednim stupnjem slobodes prikazom modalnih doprinosa pojedinog tona



13.2. Postavka i rješenje modalne jednad�beu sluèaju seizmièkog optereæenja

Diferencijalna jednad�ba za sustav s jednim stupnjem slobode na slici 13-3.,optereæen ubrzanjem podloge �� ( )u tg , ima ovaj oblik:

m u c u k u m u tg� � � � � �� ( )

ili

�� ( )u u u u tg� � � � ��2 2��

Rješavanje ove jednad�be provedeno je u prethodnom poglavlju, a rezultat jeizra�en integralom konvolucije ili Duhamelovim integralom (12.2):

u t u e tD

gt

D

t

( ) �� ( ) sin [ ( )]( )� � � � � � �� 1

0�4 � 4 4� � 4 d (13.9)

227


Sl. 13-3. Sustav s jednim stupnjem slobode



Ukupni (total) pomak kata j, obilje�en oznakom u jt , sastoji se od dijela poma-

ka koji se ostvari u tolikoj mjeri kolike su elastiène osobine sustava (u j ) i dijelapomaka uzrokovanog pomakom podloge (ug ), slika 13-4.:

u u ujt

j g� �

Pomaci sustava u cjelini mogu se predstaviti u matriènom obliku:

u u It � � �ug (13.10)

gdje je I jedinièni vektor stupac. U literaturi se za njega rabi i oznaka 1.

Diferencijalna matrièna jednad�ba za sustav na slici 13-4. ima oblik:

m u c u k u m I� � � � � �� ( )u tg (13.11)

Usporeðivanjem jednad�bi (13.1) i (13.11) mo�e se konstatirati da je diferen-cijalna matrièna jednad�ba za sustav optereæen ubrzanjem temeljnog tla �� ( )u tg iden-tièna diferencijalnoj matriènoj jednad�bi za sustav optereæen vanjskim silama in-tenziteta� �m I�� ( )u tg . To znaèi da je odziv u sustava izlo�enog ubrzanju temeljnog

228

POGLAVLJE 13.

Sl. 13-4. Višekatna zgrada optereæena djelovanjem potresa



tla �� ( )u tg identièan odzivu istog sustava koji je umjesto ubrzanjem temeljnog tla opte-reæen vanjskim silama, koje su jednake umnošku katnih masa i ubrzanja podloge. Zaove vanjske sile usvojen je nazi efektivne sile pef (prema literaturi [6]), slika 13-5.

p m Ief �� ( )u tg (13.12)

Modalna diferencijalna jednad�ba za ton n ima i u sluèaju optereæenja sustavapotresom oblik (13.8), gdje je:

P t u tn nT

nT

g( ) �� ( )� � �� F Fp m Ief (13.13)

S obzirom da je matrica masa dijagonalna matrica, mo�e se napisati sljedeæarelacija:

FnT

i nii

N

nm L� � � � ��

�m I F

1

(13.14)

Vrijednost Ln predstavlja iznos kojim n-ti ton sudjeluje u prenošenju seiz-mièkog optereæenja pa se ta vrijednost, kako je veæ reèeno u 10. poglavlju, na-ziva modalni faktor sudjelovanja (modal participation factor). Ovaj se faktor

229


Sl. 13-5. Prikaz efektivnih sila pef



smanjuje s poveæanjem n, jer je doprinos viših tonova u prenošenju seizmièkogoptereæenja osjetno manji, zbog manjih vrijednosti pomaka katova viših vlastitihoblika u jednad�bi (13.14) u odnosu na pomake katova u prvom tonu, slika 13-2. Sdruge strane, samo osnovni vlastiti oblik ima iste predznake za pomake svih kato-va, dok svi ostali vlastiti oblici u pravilu imaju razlièite predznake pomaka poje-dinih katova za razlièite vlastite oblike, što utjeèe na smanjenje doprinosa višihvlastitih oblika u prenošenju seizmièkog optereæenja, jer se vrijednosti mi ni�F usumi (13.14) donekle i meðusobno poništavaju.

U prvom vlastitom obliku potroši se (dissipation) preko 70% energije unijeteu konstrukciju potresom. Zato u nacionalnim propisima veæine dr�ava za izraèunseizmièkog optereæenja na obiène graðevine treba znati samo vrijednost prvog vla-stitog perioda T1. Zbog toga se za izraèun vrijednosti prvog vlastitog perioda T1 unekim nacionalnim propisima daju pribli�ne formule (u Eurokodu 8-1 [90] i u ame-rièkim normama UBC [93]).

Znaèi da u sluèaju optereæenja konstrukcije silama potresa, modalna jed-nad�ba (13.8) ima sljedeæi oblik:

�� ( )Y Y YL

Mu tn n n n n n

n

ng� � � � � � �� 2 2� � � n � 1,2, …,N (13.15)

Rješenje ove diferencijalne jednad�be dano je u poznatoj formi Duhamelovogintegrala, analogno rješenju (13.9). Na taj naèin dobiva se modalni pomak Yn(t):

Y tL

Mu e tn

n

n nDg

tnD

n n( ) �� ( ) sin [ (( )�� 1

�4 � 4� � 4 )]�� d4

0

t

(13.16)

Uvoðenjem sljedeæeg obilje�avanja:

J t u e tn gt

nD

t

n n( ) �� ( ) sin [ ( )]( )� � � � � �� 4 � 4 4� � 4 d0

(13.17)

vektor prvobitnih koordinata prema uvedenoj transformaciji koordinata (13.3)glasi:

u t( )��

�L

MJ

j

j jDj j

j

N 1

1 �F (13.18)

230

POGLAVLJE 13.



pri èemu doprinos n-tog vlastitog oblika na ukupan odziv u(t) ima vrijednost un(t):

u tnn

n nDn n

L

MJ( ) ,��

1

�F n � 1, 2, … , N (13.19)

u tn

n

n

jn

Nn

u t

u t

u t

u t

( )

( )

( )

( )

( )

�

5

6

DDD

7

DDD

?

@

DDD

A

DDD

1

2

�

�

Uèešæe n-tog vlastitog oblika u vrijednosti pomaka j-tog kata ima vrijednostu tjn ( ) i iskazuje se iz jednad�bi (13.3) i (13.19) na sljedeæi naèin:

u t Y tL

MJjn jn n

n

n

jn

nDn( ) ( ) ;� � �� F

F

�n � 1, 2, … , N (13.20)

dok relativna deformacija kata j, slika 13-1., sukladno sudjelovanju n-tog vlastitogoblika, ima sljedeæu vrijednost:

� jn jn j nt u t u t( ) ( ) ( ),� � �1

� jn

n

n

n

nDjn j n

L

M

J��

( );,F F 1 n � 1, 2, … , N (13.21)

Unutrašnje (rezne) sile u konstrukciji, kao što su popreène katne sile i mo-menti savijanja, uzrokovane prethodno dobivenim vrijednostima deformacija kon-strukcije, odredit æe se primjenom koncepta ekvivalentnih boènih sila f. To su onesile, slika 13-6(a), koje kada su primijenjene na konstrukciju uzrokuju pomake(13.18). Prema tome s obzirom na (13.3) i (13.18), mo�e se napisati:

f t k u t k( ) ( ) ( )� � � � ��

� Fj

Y tjj

N

1

f t m( )��

�L

MJ

j

j

j

jDj

j

N �

�

2

1

Fj

(13.22)

231




pri èemu je provedena sljedeæa zamjena:

k m� � � �F Fj j� j

2 (13.23)

Uèešæe n-tog vlastitog oblika u ukupnoj vrijednosti ekvivalentnih boènih silaf t( ) ima vrijednost f tn ( ):

f t k u t kn n( ) ( ) ( ),� � � � �Fn Y tn n � 1, 2, … , N

Uzevši u obzir zamjenu (13.23), gornja relacija postaje:

f t m mn ( ) ( ) ,� � � � �� n n

n

nn

n

nD

Y tL

M

J2 2F Fn n n � 1, 2, … , N (13.24)

odakle se dobiva i vrijednost sudjelovanja n-tog vlastitog oblika u ekvivalentnojboènoj sili za kat j, slika 13-6(a):

f t m Y t mL

MJjn n j jn n j jn

n

n

n

nDn( ) ( ) ,� � � � ��

�

�2

2

F F

232

POGLAVLJE 13.

Sl. 13-6. Ekvivalentne boène sile za n-ti vlastiti oblik (a);Maksimalne vrijednosti ekvivalentnih boènih sila za n-ti vlastiti oblik (b)



n � 1, 2, … , N(13.25)

Sada se jednostavnom statièkom analizom mogu odrediti �eljene unutrašnjesile. Ovdje æe se prikazati kako se dobiva ukupna popreèna sila (Base Shear Force)i ukupni moment u razini temelja zgrade, slika 13-6(a).

V t t0 1 1 1( ) { } ( )� : � f (13.26)

S obzirom da je m mT � (jer je matrica masa simetrièna u odnosu na glavnudijagonalu), mo�e se napisati:

{ }1 1 1: � � � � � � �m m I = m I =F F Fj j

T TjT

jL

Ukupna popreèna sila u razini temelja zgrade, kada se posljednji izraz uvrsti u(13.22) i (13.26), ima vrijednost:

V tL

MJ

j

j

j

jDj

j

N

0

2 2

1

( )��

��

�(13.27)

Ukupni je moment u razini temelja zgrade:

M h h h h tj N0 1 2� : : �{ } ( )f

M tL

Mh h h h J

j

j

j

jDj N j j

j

N

0

2

1 21

( ) { }�� : : � � ��

��

�m F (13.28)

Na kraju æe se napisati izrazi koji predstavljaju sudjelovanje (doprinos) n-togvlastitog oblika na vrijednost popreène sile i momenta u razini temelja.

V tL

MJn

n

n

nDn0

2 2

( )��

�

ML

Mh m Jn

n

n

n

nDj j jn

j

N

n0

2

1

��

�

�

�

��

�

��

�F ; n � 1, 2, …, N (13.29)

233




13.3. Analiza višekatnih sustava spektralnom teorijom

Ova analiza provest æe se primjenom spektara dobivenih za sustav s jednimstupnjem slobode u 12. poglavlju:

u SS S

d

v amax � � �

� �2

gdje su:

S Dd ( )� � spektralni pomak

S Vv ( )� � spektralna pseudobrzina

S Aa ( )� � spektralno pseudoubrzanje

U modalnoj analizi ove æe se spektralne vrijednosti prikazati za svaki vlastitioblik n posebno i oznaèiti na sljedeæi naèin:

S S Tdn d n n� ( , )�

S S Tvn v n n� ( , )� (13.30)

S S Tan a n n� ( , )� n � 1, 2, … , N

Naravno da i u sluèaju modalne analize ostaje relacija:

S S San n vn n dn� � � �� 2 n � 1, 2, … , N (13.31)

Uzevši u obzir uvedena obilje�avanja (13.30) i (13.31), modalni pomak(13.16) ima sljedeæu maksimalnu vrijednost:

YL

MSn

n

ndn� � (13.32)

234

POGLAVLJE 13.



pri èemu je ovdje, kao i u tekstu koji slijedi, maksimalna vrijednost oznaèenacrtom iznad simbola i ne piše se negativni predznak zbog razloga objašnjenog u12. poglavlju uvedenom relacijom (12.3).

Pomaci (13.19) u n-tom tonu imaju sljedeæu maksimalnu vrijednost:

u n � � � � � � � � �L

MS

L

M

S L

M

Sn

ndn

n

n

vn

n

n

n

an

n

F F Fn n n� �2 (13.33)

Iz posljednjeg izraza se sada uoèava praktièna vrijednost spektralne teorijejer se poznavanjem jednog od spektara nekog dogoðenog potresa (ili spektra danogu propisima, npr. [90]) dobiju maksimalne vrijednosti pomaka konstrukcije(13.33) za n-ti ton. Naèin dobivanja vrijednosti S d , S v ili S a opisan je u 12. po-glavlju.

Pomak i relativni pomak j-tog kata, (13.20) i (13.21), imaju za n-ti vlastitioblik sljedeæe maksimalne vrijednosti:

uL

MSjn

n

ndn jn� � �F (13.34)

� jn

n

ndn jn j n

L

MS� � � � �( ),F F 1 n � 1, 2, … , N (13.35)

Algebarski predznak u izrazima (13.32) do (13.35) kao što je uvedeno relaci-jom (12.3) nije bitan. Meðutim, algebarski predznak za vrijednosti F jn va�an je urješenju za relativni katni pomak (13.35) jer smjer pomaka meðukatnih konstrukci-ja iznad ili ispod kata utjeèe na katnu deformaciju, slika 13-1.

Ekvivalentne boène sile (13.24) za n-ti vlastiti oblik imaju sljedeæe maksi-malne vrijednosti:

f m m mn � � � � � � � � � � � � � �L

MS

L

MS

L

MSn

nn dn

n

nn vn

n

nan� �2

F F Fn n n (13.36)

I ovdje valja spomenuti praktiènu vrijednost spektralne teorije jer se po-znavanjem jednog od spektara nekog dogoðenog potresa dobiju maksimalne vri-jednosti ekvivalentnih boènih sila koje djeluju na konstrukciju u tom potresu(13.36) za n-ti vlastiti oblik.

235




Pritom maksimalna vrijednost ekvivalentne boène sile j-tog kata, slika13-6(b), prema izrazu (13.25) za n-ti vlastiti oblik ima vrijednost:

f mL

MSjn j jn

n

nan� � � �F n � 1, 2, … , N (13.37)

a njen smjer ovisi o predznaku vrijednosti F jn . Sada se maksimalne vrijednostiunutrašnjih sila sustava odreðuju statièkom analizom sustava optereæenogmaksimalnim ekvivalentnim boènim silama f jn ; j � 1, 2, … , N.

(Komentar: Iako se izraèun same konstrukcije i ovdje radi metodama statike konstrukcija, po-kazano je da se maksimalne vrijednosti statièkih sila koje djeluju na konstrukciju, u modalnoj analizikonstrukcije ne mogu odrediti bez poznavanja dinamike konstrukcija. Radi toga se modalna analizakonstrukcije ubraja u linearnu dinamièku metodu).

Preostalo je napisati izraz za maksimalne vrijednosti reznih sila (13.29) urazini temelja, slika 13-6(b),

VL

MSn

n

nan0

2

� �

n N� :1 2, , , (13.38)

ML

MS h mn

n

nan j j jn

j

N

01

� � � � ��

� F

Kako je pokazano u poglavlju 12.2., popreèna sila u razini temelja mo�e senapisati i na sljedeæi naèin:

VS

gWn

ann0 �

�

�

�

�� (13.39)

gdje koliènik ( )S gan predstavlja koeficijent posmika (B.S) za ton n, (Base ShearCoefficient), koji je prije uveden za sustav s jednim stupnjem slobode, dok je g gra-vitacijsko ubrzanje. U modalnoj analizi B.S. koeficijent mo�e se obilje�iti na slje-deæi naèin:

( . . )B SS

gnan� (13.40)

236

POGLAVLJE 13.



Wn je sudjelujuæa te�ina za ton n, koja predstavlja onaj dio ukupne te�ine zgradekoji se anga�ira (koji sudjeluje) u n-tom vlastitom obliku i ima sljedeæu vrijednost:

W

w

wn

j jnj

N

j jnj

N�

�&

�'

(

�)

�

�

�

�

�

F

F

1

2

2

1

(13.41)

u kojoj w m gj j� � predstavlja te�inu j-tog kata.

Prije je pokazano da je odziv zgrade r(t) na utjecaje od potresa jednak zbrojupojedinaènih doprinosa rn(t) svakog vlastitog oblika:

r t r t r t r t r tn N( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � �:� �:�1 2

Maksimalni pojedinaèni doprinos za svaki vlastiti oblik odreðuje se primje-nom spektralne teorije. Meðutim, maksimalni pojedinaèni doprinos n-tog vlastitogoblika rn neæe se dogoditi istodobno kad i maksimalni doprinos nekog drugog, npr.j-og vlastitog oblika r j . Znaèi, ako se sa (r)max oznaèi maksimalna vrijednosttra�enog odziva, ona mora biti manja od zbroja maksimalnih doprinosa pojedinihtonova te je:

( ) maxr r r r r rj n N� � �:� �:� �:�1 2

Za procjenu maksimalne vrijednosti tra�enog odziva na kraju poglavlja 12.2.prikazana su tri postupka. Jedan od njih je postupak SRSS, koji se zasniva na na-la�enju kvadratnog korijena iz zbroja kvadrata maksimalnih (vršnih) vrijednostisvakog tona:

( ) ( )maxr r r r r rj n N� � �:� �:� �:�12

22 2 2 2

12 (13.42)

Ovdje je oèito da ni�i tonovi znaèajnije doprinose maksimalnoj vrijednostitra�enog odziva. Praksa je pokazala da se izrazom (13.42) dobiju zadovoljavajuæetoène maksimalne vrijednosti tra�enog odziva za sustave kod kojih vlastite frek-vencije nisu blizu jedna drugoj.

237




238

POGLAVLJE 13.

Sl. 13-7(a). Ukupan pomak krova trokatne zgrade optereæene potresom El Centrodobiven zbrajanjem maksimalnih pojedinaènih doprinosa svakog tona



Za ilustriranje primjene izraza (13.42) na slikama 13-7.(a) i 13-7.(b) prikazanisu vremenski tijek ubrzanja tla u potresu El Centro (time history) i maksimalni po-jedinaèni doprinosi svakog tona za pomak krova u j3 te ukupna popreèna sila u ra-zini temeljaV j0 jedne trokatne zgrade, prema primjeru iz literature [6, 7]. Dane su iukupne vrijednosti ovih velièina dobivene primjenom izraza (13.42). Naprimjer,maksimalna vrijednost posmiène sile u razini temelja zgrade dobivena obiènimzbrajanjem maksimalnih pojedinaènih doprinosa svakog tona ima vrijednost, slika13-7.(b):

V0 346� kips

Ista rezna sila ako se raèuna primjenom izraza (13.42) ima sljedeæu (neštoni�u) vrijednost:

(V0)max� ( )V V V012

022

032 1 2� � � (2642 � 1882 � 452)1/2 � 327,2 kips

239


Sl. 13-7(b). Ukupna posmièna sila V0 trokatne zgrade optereæene potresom El Centrodobivena zbrajanjem maksimalnih pojedinaènih doprinosa V i0 svakog tona



13.4. Primjeri

Primjer 21.

Za konstrukciju na slici 13-8. treba provesti modalnu seizmièku analizu. Na-kon prouèavanja seizmiènosti lokacije na kojoj bi se graðevina gradila, pretpostav-lja se kao projektni onaj potres koji je pogodio Banjaluku 1981. godine. Spektarpseudobrzine za ovaj potres dan je na slici 13-9. (za zapis ubrzanja u vremenudobiven u seizmološkoj stanici Banjaluka, komponenta W-E). Usvojiti relativnoprigušenje � � 2%.

Numerièki podatci za ovu konstrukciju izabrani su tako da se dobiju vla-stite frekvencije koje odgovaraju visokim zgradama. Meðukatne konstrukcije pret-postavljene su kao savršeno krute, što znaèi da se radi o “zgradi posmika” (shearbuilding) obraðenoj u 6. poglavlju, a mase stupova u analizi se zanemaruju.

Za analizu ove konstrukcije se ne ukljuèuje prigušenje, a ono je sadr�ano uspektrima odziva pseudobrzine ovog potresa, slika 13-9.

240

POGLAVLJE 13.

Sl. 13-8. Konstrukcija graðevine èije je funkcioniranje neophodnou uvjetima neposredno nakon potresa



(1) Karakteristike konstrukcije

m�

&

�

'''

(

�

)))

2 0 0

0 15 0

0 0 1

,

k �

� �

� � �

�

&

�

'''

(

�

)))�

�( )

( )

k k k

k k k k

k k

1 2 2

2 2 3 3

3 3

0

0

300 120 0

120 180 60

0 60 60

� �

�

&

�

'''

(

�

)))

241


Sl. 13-9. Spektar pseudobrzine Sv za potres Banjaluka od 13. kolovoza, 1981.,prigušenja � � 0, 2, 5, 10 i 20% od kritiènog



(2) Vlastite vrijednosti. Utjecaj prigušenja na vlastite vrijednosti konstrukcije zane-maruje se. Vlastite vrijednosti prikazane su na slici 13-10.

F� �

�

&1000 1000 1000

2147 0 889 1040

3 333 1 479 0 405

, , ,

, , ,

, , ,�

'''

(

�

)))�{ }F F F1 2 3

w�

5

6D

7D

?

@D

AD�

5

6D

7D

?

@D

AD

�

�

�

1

2

3

4 58

9 82

14 59

,

,

,

T�

5

6D

7D

?

@D

AD�

5

6D

7D

?

@D

AD

T

T

T

1

2

3

137

0 64

0 43

,

,

,

242

POGLAVLJE 13.

Sl. 13-10. Vlastite vrijednosti analizirane konstrukcije



(3) Generalizirane mase i faktori sudjelovanja

M 1 1 1 1000 2147 3 333

2 0 0

0 15 0

0 0 1

� � � � �

&

�

'''

(

�

))F F

T m { , , , } ,)�

5

6D

7D

?

@D

AD�

1000

2147

3 333

20 024

,

,

,

, t

M 2 2 2 1000 0 889 1 479

2 0 0

0 15 0

0 0 1

� � � � � �

&

�

'''

(

�

)F F

T m { , , , } , ))�

�

5

6D

7D

?

@D

AD�

1000

0 889

1 479

5 373

,

,

,

, t

M 3 3 3 1000 1040 0 405

2 0 0

0 15 0

0 0 1

� � � � � �

&

�

'''

(

�

)F F

T m { , , , } , ))� �

5

6D

7D

?

@D

AD�

1000

1040

0 405

3 786

,

,

,

, t

L m m m mi ii

1 11

3

1 11 2 12 3 13� � � � � � � � ��

� F F F F

� � � � � � � � � �2 0 1000 15 2147 10 3 333 2 000 3 221 3 333 8, , , , , , , , , ,554 t

L m m m mi ii

2 21

3

1 21 2 22 3 23� � � � � � � � ��

� F F F F

� � � � � � � � � �2 0 1000 15 0 889 10 1 479 2 000 1334 1 47, , , , , ( , ) , , , 9 1855� , t

L m m m mi ii

3 31

3

1 31 2 32 3 33� � � � � � � � ��

� F F F F

� � � � � � � � � �2 0 1000 15 1040 10 0 405 2 000 1560 0 40, , , ( , ) , , , , , 5 0 845� , t

Kao što se i oèekuje, i generalizirana masa i faktor sudjelovanja smanjuju sekod viših tonova.

243




(4) Izraèun maksimalnih vrijednosti pomaka po tonovima, jednad�ba (13.33)

Vrijednosti spektralne pseudobrzine Svn uzete su iz slike 13-9. za odgovaraju-æe periode Tn i usvojenu vrijednost relativnog prigušenja � � 2%.

u1

1

1

1

11

8 554

20 024

8 21

4 58

1000

2147

3

� � � � � �L

M

S v

�F

,

,

,

,

,

,

,333

5

6D

7D

?

@D

AD

u1

11

21

31

0 766

1645

2 553

�

5

6D

7D

?

@D

AD�

5

6D

7D

?

@D

AD

u

u

u

,

,

,

(cm)

u 2

2

2

2

22

1855

5 373

14 50

9 82

1000

0 889

1

� � � � � �

�

L

M

S v

�F

,

,

,

,

,

,

,479

5

6D

7D

?

@D

AD

u 2

12

22

32

0 510

0 453

0 754

�

5

6D

7D

?

@D

AD�

�

5

6D

7D

?

@D

AD

u

u

u

,

,

,

(cm)

u 3

3

3

3

33

0 845

3 786

616

14 59

1000

1040

0

� � � � � � �L

M

S v

�F

,

,

,

,

,

,

,405

5

6D

7D

?

@D

AD

u 3

13

23

33

0 095

0 098

0 038

�

5

6D

7D

?

@D

AD� �

5

6D

7D

?

@D

AD

u

u

u

,

,

,

(cm)

244

POGLAVLJE 13.



(5) Izraèun maksimalnih vrijednosti boènih sila po tonovima, jednad�ba (13.36)

f m1 � � � � � � � � �L

MS v

1

11 1 1

8 554

20 0244 58 8 21

2 0 0

0 15 0� F,

,, , ,

0 0 1

1000

2147

3 3332

&

�

'''

(

�

)))�

5

6D

7D

?

@D

AD

��

��

,

,

,

t cm

s�

f1 �

5

6D

7D

?

@D

AD�

5

6D

7D

?

@D

A

f

f

f

11

21

31

32126

517 31

535 47

,

,

,D

(N)

f m2 � � � � � � � � �L

MS v

2

22 2 2

1855

5 3739 82 14 50

2 0 0

0 15 0� F,

,, , ,

0 0 1

1000

0 889

1 4792

&

�

'''

(

�

)))�

�

5

6D

7D

?

@D

AD

��

�,

,

,

t cm

s ��

f2 �

5

6D

7D

?

@D

AD�

�

5

6D

7D

?

@D

f

f

f

12

22

32

98319

655 54

727 07

,

,

, AD

(N)

f m3 � � � � � � � � �L

MS v

3

33 3 3

0 845

3 78614 59 616

2 0 0

0 15 0� F,

,, , ,

0 0 1

1000

1040

0 4052

&

�

'''

(

�

)))� �

5

6D

7D

?

@D

AD

��

�,

,

,

t cm

s ��

f3 �

5

6D

7D

?

@D

AD�

5

6D

7D

?

@D

AD

f

f

f

13

23

33

40126

312 92

8121

,

,

,

(N)

Zapa�a se izra�en doprinos drugog i treæeg tona. To je zbog toga što se i drugivlastiti period T2 i treæi vlastiti period T3 podudaraju sa prevladavajuæim periodimaosciliranja temeljnog tla za ovaj potres, slika 13-9.

245




(6) Izraèun ukupnih maksimalnih vrijednosti pomaka i boènih sila. U ovom izra-èunu koristit æe se izraz (13.42), jer su u ovom primjeru vlastite frekvencije jasnoodvojene. Rezultati su prikazani na slici 13-11.

( ) ( )maxu u u u1 112

122

132

12� � �

( ) ( , , , ) ,maxu12 2 2

120 766 0 510 0 095 0 925� � � � cm

( ) ( )maxu u u u2 212

222

232

12� � �

( ) ( , , , ) ,maxu22 2 2

121645 0 453 0 098 1 709� � � � cm

( ) ( )maxu u u u3 312

322

332

12� � �

( ) ( , , , ) ,maxu32 2 2

122 553 0 754 0 038 2 662� � � � cm

Sada se mogu izraèunati i relativni katni pomaci, koji ne mogu biti veæi oddozvoljenih relativnih katnih pomaka za linearno ponašanje konstrukcije.

( ) ( )maxf f f f1 112

122

132

12� � �

( ) ( , , , ) ,maxf 12 2 2

1232126 98319 40126 1109 45� � � � N

( ) ( )maxf f f f2 212

222

232

12� � �

( ) ( , , , ) ,maxf 22 2 2

12517 31 655 54 312 92 891 77� � � � N

( ) ( )maxf f f f3 312

322

332

12� � �

( ) ( , , , ) ,maxf 32 2 2

12535 47 727 07 8121 906 62� � � � N

Na slièan naèin mo�e se provesti analiza za maksimalne vrijednosti reznih silau razini temelja, prema izrazima (13.38). Te se vrijednosti, kao i ostale rezne sile,mogu dobiti statièkom analizom konstrukcije optereæene silama na slici 13-11.

Znaèi da je zahtjev nacionalnog standarda, koji u odreðenom sluèaju propisu-je modalnu analizu odreðene konstrukcije, zadovoljen, ako je linearna dinamièkaanaliza provedena na naèin prikazan u ovom poglavlju.

246

POGLAVLJE 13.



247


Sl. 13-11. Maksimalne vrijednosti pomaka i boènih sila po katovima



POGLAVLJE 14.

LINEARNO-ELASTIÈNA SEIZMIÈKA ANALIZAZGRADA PREMA EUROPSKOJ NORMI

EN 1998-1:2004 (EUROKOD 8-1)



Cilj ovog poglavlja nije preprièavanje odredbi europske norme EN 1998-1:2004. [90], veæ je cilj izlo�iti pojašnjenja i odgovore na pitanje zašto su propisaneodreðene odredbe, a naroèito one odredbe koje uvode naèelo koje se bezuvjetnomora primijeniti (ispred takvih odredbi u konstrukcijskim euronormama stoji ozna-ka P � Principle). U tom smislu æe se ogranièiti obim teksta ovog poglavlja, a èita-lac se za detalje upuæuje na EN 1998-1: 2004. u izvorniku.

14.1. Definiranje uvjeta ponašanja konstrukcijeu potresu i projektna ubrzanja tla

Konstrukcije u potresnim podruèjima projektiraju se i izvode na naèin daadekvatnim stupnjem pouzdanosti (reliability) zadovolje sljedeæe uvjete:

� uvjet neurušavanja konstrukcije (No-Collapse Requirement),

� uvjet ogranièenja ošteæenja (Damage Limitation Requirement).

Za zadovoljenje prvog uvjeta NCR konstrukcija treba biti projektirana i izve-dena na naèin da izdr�i projektna seizmièka djelovanja bez lokalnih i globalnihurušavanja, pri èemu treba zadr�ati cjelovitost konstrukcije, s dostatnim preosta-lim kapacitetom nosivosti nakon potresa.

Projektno seizmièko djelovanje dano je preko: (a) poredbenog (Reference)seizmièkog djelovanja, koje je povezano s vrijednošæu poredbene vjerojatnostiprekoraèenja P PR NCR� u razdoblju od TL � 50 godina (to je vrijeme trajanja gra-ðevine) za vrijednost poredbenog srednjeg povratnog perioda seizmièkog djelo-vanja T TR NCR� (mean return period), i (b) faktora va�nosti graðevine (the Impor-tance factor) + I , kojim se uzima u obzir va�nost graðevine u periodu neposrednonakon potresa, tj. uzima se u obzir razred posljedica sloma konstrukcije i pouzda-nost konstrukcije (Tablice 14-7., 14-8. i 14-9.). Ciljane pouzdanosti za uvjet ne-

251

LINEARNO-ELASTIÈNA SEIZMIÈKA ANALIZA ZGRADA PREMA EUROPSKOJ NORMI EN 1998-1:2004 (EUROKOD 8-1)



urušavanja konstrukcije i uvjet ogranièenja ošteæenja utvrðuju se Nacionalnim do-datkom (National Annex) za razne vrste zgrada i drugih graðevina na temeljuposljedica nastalih zbog urušavanja.

Razlièite pouzdanosti primjenjuju se klasificiranjem konstrukcija u razlièiterazrede va�nosti. Faktor va�nosti + I pridru�en je svakom razredu va�nosti. Za pro-jektna seizmièka djelovanja koja se uzimaju u sluèaju NCR preporuèuje se vjero-jatnost prekoraèenja P PR NCR� �10% za razdoblje trajanja graðevine TL od 50godina, a povratni period seizmièkog djelovanja T TR NCR� � 475 godina. Ove vri-jednosti takoðer treba definirati u Nacionalnom dodatku svake dr�ave.

Napomena: Vrijednost vjerojatnosti prekoraèenja generalno se oznaèava simbolom PR te je zaTL � 50 godina razina seizmièkog djelovanja povezana s srednjim povratnim periodom seizmièkogdjelovanja TR preko sljedeæeg izraza:

TT

PRL

R

��ln ( )1

U sluèaju NCR dobije se:

T TT

PR NCRL

NCR

� ��

��

�ln ( ) ln ( , )1

50

1 0 1475 godina

Drugi uvjet, DLR, podrazumijeva da se konstrukcija projektira i izgradi nanaèin da izdr�i potrese manjeg intenziteta za koje se smatra da postoji veæa vjero-jatnost da æe se dogoditi u odnosu na projektna seizmièka djelovanja. U ovim po-tresima manjeg intenziteta konstrukcija neæe do�ivjeti ošteæenja i ogranièenu upo-rabu nakon potresa te sanacija konstrukcije ne smije premašiti njenu vrijednost ko-ju je imala prije potresa. Vrijednosti seizmièkih djelovanja u sluèaju DLR imajuvjerojatnost prekoraèenja PDLR za razdoblje od 10 godina, i srednji povratni periodT TR DLR� . Za seizmièka djelovanja koja se uzimaju u sluèaju DLR preporuèuje seista vrijednost vjerojatnosti prekoraèenja PDLR �10% kao za NCR uvjet, ali za raz-doblje trajanja graðevine TL od 10 godina, pri èemu je srednji povratni period po-tresa T TR DLR� � 95 godina.

Teritorij dr�ave u kojoj æe se primjenjivati europska norma EN 1998-1: 2004<90= (Eurokod 8-1) treba podijeliti u seizmièka podruèja (seismic zones), ovisno odtektonskih karakteristika tih podruèja u odnosu na njihovu lokalnu seizmièkuaktivnost u prošlosti, što se naziva lokalni hazard (local hazard). Ta podjela te-ritorija svake dr�ave, kao i drugi zadaci koji æe se u nastavku navoditi, obvezatnesu aktivnosti odgovarajuæih nacionalnih institucija svake dr�ave. Tu se ogleda na-

252

POGLAVLJE 14.



èelo harmonizacije konstrukcijskih euronormi meðu europskim zemljama, a neunificiranje propisa. Svaka dr�ava mora za odreðeno podruèje primjene Eurokoda8 propisati svoje specifiènosti posebnim Nacionalnim dodatkom (National Annex)u kojem se toèno definiraju odreðeni parametri karakteristièni za odreðenu dr�avu(Nationally Determined Parameters). Po definiciji seizmièkog hazarda on se pod-razumijeva kao konstanta u okviru svakog navedenog podruèja. Za primjenu Euro-koda 8-1 hazard se opisuje preko samo jednog parametra: agR poredbeno maksi-malno ubrzanje u tlu razreda A (the Reference peak ground acceletarion on typeA ground). O razredima tla govorit æe se u nastavku. Ove vrijednosti agR odnose sena odgovarajuæi poredbeni povratni period (reference return period) seizmièkihdjelovanja na konstrukciju TNCR ili TDLR , tj. na vrijednosti poredbenih vjerojatnostiprekoraèenja PNCR ili PDLR , za koje je ispunjen uvjet da se konstrukcija ne smijeurušiti (No-Collapse Requirement), tj. da konstrukcija ima ogranièena ošteæenja upotresu (Damage Limitation Requirement).

Za potrebe definiranja elastiènih i projektnih spektara, koji æe se prikazati upoglavlju 14.2., koriste se vrijednosti ag projektnih ubrzanja u tlu razreda A(the design ground acceleration on type A ground). Te vrijednosti se dobiju iz:

a ag I gR� �+ (14.1)

gdje + I predstavlja opisani faktor va�nosti graðevine (Importance factor), èije suvrijednosti dane u Eurokodu 8-1 i kreæu se od + I �1 4, za graðevine èije bi funk-cioniranje neposredno nakon potresa bilo od vitalne va�nosti (bolnice, vatrogasnepostaje, energetska postrojenja itd.) do vrijednosti + I � 0 8, za graðevine malogautjecaja na javnu sigurnost (Tablica 14-7.).

U okviru svakog seizmièkog podruèja utvrðuje se u Nacionalnom dodatkukonstantna vrijednost poredbenog maksimalnog (Reference) ubrzanja agR u tlu raz-reda A. Ovakvo naèelo uvedeno je da bi se osiguralo unificiranje razine seizmièkezaštite istih (ili sliènih) konstrukcija unutar svake dr�ave u okviru Europske unije.Za namjene projektiranja graðevinskih konstrukcija uvedena maksimalna vrijed-nost ubrzanja agR predstavlja dovoljan parametar opisa jakosti seizmièkog dogaða-ja, a za Republiku Hrvatsku vrijednosti agR su dane na slici 14-1.

Niti jedna mediteranska dr�ava ne mo�e sama za sebe, neovisno o susjednimdr�avama, propisivati vrijednosti agR , jer uvjete na rubovima (granicama) svakedr�ave treba usuglasiti sa susjednim dr�avama. Radi toga su raðeni posebni istra�i-vaèki projekti, npr. projekt SESAME (Seismotectonics and Seismic Hazard Asses-ment of the Mediterranean Basin) [39], koji su rezultirali zemljovidima cijele me-diteranske regije (slika 14-2.).

253




Povezanost stupnja seizmièkog intenziteta i ubrzanja tla agR prikazana je uPrilogu 1., Tablica P1-4. te se vrijednosti agR mogu dobiti ako su poznati intenzite-ti potresa.

254

POGLAVLJE 14.

Sl. 14-1. Zemljovid Hrvatske s vrijednostima vršnog ubrzanja agR za tlo razreda A,poredbeni povratni period potresa T TR NCR� � 475 godina, poredbenu vjerojatnost

prekoraèenja P PR NCE� �10% i razdoblje trajanja graðevine TL � 50 godina



255


Sl. 14-2. Zemljovid seizmièkog hazarda Mediteranskog podruèja za vršno ubrzanje u krutom tlurazreda A (PGA) u postotku od g (vjerojatnost prekoraèenja 10% za 50 godina)



14.2. Naèini odreðivanja seizmièkih djelovanja

Postoji nekoliko moguænosti definiranja seizmièkih utjecaja na konstrukciju,èiji izbor ovisi o problemu koji se analizira. Ovdje æe se detaljno obraditi najèešæezastupljen naèin definiranja seizmièkog djelovanja primjenom metoda spektra od-ziva (modal response spectrum analysis), jer je ovaj naèin definiranja lako razum-ljiv i dobro poznat, a primijenjen je do sada u mnogim nacionalnim propisima ši-rom svijeta.

Valja napomenuti da se posebnom procedurom, opisanom u 12. poglavlju oveknjige, iz zapisanih ubrzanja na SM (Strong Motion) akcelerografima (zapisanimtijekom nekog potresa) dobije odgovarajuæi spektar, koji vrijedi samo za jedanstvarni potres, a koji je samo po obliku slièan spektrima danim u Eurokodu 8-1.Opæenito se normom (pa i u Eurokodu 8-1) propisuje neki zamišljeni spektar kojivrijedi za sve vrste potresa pri projektiranju odreðene graðevine te je razumljivo daspektri dani propisima ne odgovaraju stvarnom djelovanju nekog potresa na kon-strukciju, veæ pribli�no simuliraju to djelovanje.

Uèinci seizmièkog djelovanja mogu se odrediti na sljedeæe naèine, Tablica14-1.:

a) Primjenom ekvivalentnog statièkog djelovanja, kada je odziv konstrukcijetakav da ne postoji znaèajan doprinos viših oblika osciliranja (uzima seutjecaj samo prvog oblika). Ovaj æe se postupak obraditi u ovom, 14. po-glavlju;

b) Modalnom analizom primjenom spektara odziva, koja se primjenjuje bezogranièenja, znaèi za sve konstrukcije u zgradarstvu kod kojih postojiutjecaj viših oblika osciliranja na odziv konstrukcije. Ovaj postupakobraðen je u 13. poglavlju ove knjige;

c) Nelinearnom statièkom metodom postupnog guranja (pushover) (uzima seutjecaj samo prvog tona). Postupak æe se prikazati u 16. poglavlju oveknjige;

d) Nelinearnom dinamièkom analizom u vremenu (time history).

256

POGLAVLJE 14.



U Eurokodu 8-1 usvojeno je da se gibanje u potresu na odreðenom mjestuZemljine površine predstavlja elastiènim spektrima odziva ubrzanja (elastic gro-und acceleration response spectrum). Uzima se isti oblik ovih spektara za navede-na dva nivoa seizmièkih djelovanja NCR i DLR.

257


Tablica 14-1. Seizmièke analize konstrukcija prema EN 1998-1: 2004

Analizakonstrukcija

Statièka Dinamièka

LinearnaLinearna analiza primjenomekvivalentnog statièkog djelovanja

Modalna analiza spektrima odziva

NelinearnaNelinearna statièka metodapostupnog guranja

Nelinearna dinamièka analiza uvremenu



14.3. Metoda spektara odziva

U okviru Eurokoda 8-1 horizontalna gibanja tla na površini Zemlje u potresumodeliraju se elastiènim spektrima odziva ubrzanja podloge ovisnim o seizmiè-kom podruèju. Horizontalna seizmièka djelovanja predstavljena su s dvije meðu-sobno okomite neovisne komponente koje su dane istim spektrom odziva, a treæa jekomponenta u vertikalnom pravcu i ima svoj poseban elastièni spektar odzivaubrzanja podloge.

A) Horizontalni elastièni spektar odziva ubrzanja podloge

Elastièni spektar odziva ubrzanja podloge ili kraæe elastièni spektar odziva(elastic response spectrum) S Te ( ) definiran je sljedeæim izrazima :

00 0T TB : S T a ST

Te gB

( ) ( , )� � � � �&

�'

(

�)1 2 5 1E (14.2)

T T TB C� 0 : S T a Se g( ) ,� � � �E 2 5 (14.3)

T T TC D� 0 : S T a ST

Te gC( ) ,� � � �

&

�'(

�)E 2 5 (14.4)

T TD � 0 4s: S T a ST T

Te gC D( ) ,� � � ��&

�'(

�)E 2 5 2 (14.5)

gdje su:

Se(T) � vrijednosti elastiènog spektra odziva, slike 14-3. i 14-4.;

T � period vibracija linearnoga sustava s jednim stupnjem slobode;

ag � projektno ubrzanje tla razreda A (a ag I gR� �+ );

agR � poredbena vrijednost maksimalnog ubrzanja tla razreda A;

258

POGLAVLJE 14.



+ I � faktor va�nosti graðevine prema Nacionalnom dodatku (NationalAnnex) za primjenu u Republici Hrvatskoj (Tablica 14-7.);

T T TB C D, i � su karakteristiène vrijednosti perioda koje definiraju poèetakdijelova spektra s konstantnim ubrzanjem, brzinom i pomacimaodziva, slika 14-3. [6];

S � parametar tla;

E � korekcijski faktor prigušenja èija je vrijednost E�1 za prigušenje� � 5%. Za druge vrijednosti � faktor E dobije se iz izraza:

E �� ,10 5 0 55( ) , (14.6)

u kojemu se za, na primjer, � � 7% uvrštava vrijednost 7.

Za razrede temeljnog tla A, B, C, D i E, èije su karakteristike detaljno opisaneu Tablici 14-3., dane su prosjeène brzine prostiranja posmiènih valova v s , 30 za tlodebljine 30 m. Vrijednosti parametara koji definiraju elastièni spektar ubrzanjapodloge na slici 14-3. dane su u Tablici 14-2., a propisane su u nacionalnom dodat-ku za primjenu Eurokoda 8-1 u Hrvatskoj. Tablica 14-2. kao i slike 14-3. i 14-4.predstavljaju spektar Tipa 1, koji se koristi u dr�avama EU u kojima su vrijednostipovršinske magnitude potresa M s veæe od 5,5. U Eurokodu 8-1 dani su i elastiènispektri Tipa 2 za dr�ave EU u kojima je manje izra�ena seizmièka aktivnost (vri-jednosti površinske magnitude manje su od 5,5). Pojam površinske amplitudeobjašnjen je u Prilogu 1. ove knjige.

259


Tablica 14-2. Vrijednosti parametara kojima se opisuje horizontalni elastiènispektar odziva za potres Tipa 1

Razred tla S T sB ( ) T sC ( ) T sD ( )

A 1,0 0,15 0,4 2,0

B 1,2 0,15 0,5 2,0

C 1,15 0,20 0,6 2,0

D 1,35 0,20 0,8 2,0

E 1,4 0,15 0,5 2,0



Utjecaj vrste temeljnog tla na vrijednosti seizmièkog optereæenja objašnjena jeu Prilogu 2., a taj utjecaj se u Eurokodu 8-1 uzima u obzir preko pet razreda tla (A,B, C, D, E), koji su opisno dubinski definirani (stratigraphic profiles) u Tablici 14-3.

260

POGLAVLJE 14.

Tablica 14-3. Razredi temeljnog tla

Razred tla Opis tla vs ,30 (m/s)

AStijena ili druga geološka formacija slièna stijeni, uzimajuæi uobzir najviše 5 metara slabijeg materijala na površini

>800

BDepoziti vrlo zbijenog pijeska, šljunka ili tvrde gline, najmanjedubine nekoliko desetina metara, s postupnim poveæanjemmehanièkih karakteristika tih materijala s dubinom

360-800

CDuboki depoziti zbijenog ili srednje zbijenog pijeska, šljunka ilitvrde gline debljine od nekoliko desetina do više stotina metara

180-360

DDepoziti nekoherentnog tla (sa ili bez mekih koherentnihslojeva) ili prevladavajuæa meka do tvrda koherentna tla

<180

EProfil tla èine površinske aluvijalne naslage sa vrijednostima vs

kao u sluèaju tla C ili D, èije su debljine izmeðu 5 i 20 metara,a nalaze se iznad krutog materijala s vrijednostima vs � 800 m/s

Sl. 14-3. Elastièni spektar odziva



B) Vertikalni elastièni spektar odziva ubrzanja podloge

Vertikalna komponenta seizmièkog djelovanja predstavlja se elastiènim spek-trom odziva S tve ( ) definiranim prema sljedeæim izrazima:

00 0T TB : S T aT

Tve vgB

( ) ( , )� � � � �&

�'

(

�)1 3 0 1E (14.7)

T T TB C� 0 : S T ave vg( ) ,� � �E 3 0 (14.8)

T T TC D� 0 : S T aT

Tve vgC( ) ,� � �

&

�'(

�)E 3 0 (14.9)

T TD � 0 4s: S T aT T

Tve vgC D( ) ,� � ��&

�'(

�)E 3 0 2 (14.10)

Preporuèene vrijednosti T T TB C D, , i avg u izrazima (14.7) � (14.10) dane suu Tablici 14.4. za potres Tipa 1. I ove vrijednosti su obuhvaæene nacionalnim do-

261


Sl. 14-4. Elastièni spektar odziva S te ( ) Tipa 1 za sve razrede temeljnog tla i � � 5% (Ms� 5 5, )



datkom za primjenu Eurokoda 8-1 u Hrvatskoj. U Tablici 14.4. su ag vrijednostimaksimalnog ubrzanja u tlu razreda A za horizontalne komponente potresa.

C) Projektni pomak tla

Ako temeljem posebnih studija nije drukèije odreðeno projektni pomak tla d g

dobije se iz projektnog ubrzanja tla u potresu, kada se to ubrzanje dva puta integri-ra. Ta se vrijednost pribli�no dobije iz sljedeæeg izraza:

d a S T Tg g C D� � � � �0 025, (14.11)

262

POGLAVLJE 14.

Tablica 14.4. Preporuèene vrijednosti parametara kojima se opisuje vertikalni ela-stièni spektar odziva za potres Tipa 1

a avg g T sB ( ) T sC ( ) T sD ( )

0,90 0,05 0,15 1,0

Slika 14-4a. Elastièni spektri odziva za a gg � 0 1, i razred tla Aprema europskoj prednormi ENV i europskoj normi EN



Vrijednosti u (14.11) iste su kao za horizontalni elastièni spektar odzivaubrzanja podloge, Tablica 14-2.

Napomena: Treba spomenuti da se u Hrvatskoj još uvijek koristi i prednorma ENV 1998-1-1[89], koja se razlikuje od europske norme EN 1998-1: 2004 [90]. Na slici 14-4a. prikazani su elastiènispektri odziva prema europskoj prednormi [89] i europskoj normi [90] za tlo razreda A. Njihovomusporedbom uoèavaju se male razlike, koje zavise od osnovnog perioda vibracija T. U prednormi jeTD � 3 s, dok je u europskoj normi TD � 2 s, kao što je dano u Tablici 14-2. Vrijednosti spektra ubrza-nja za periode veæe od TD u oba sluèaja opadaju s kvadratom perioda T. Treba još uoèiti da se razliku-je stupnjevanje razreda tla prema europskoj prednormi [89] i europskoj normi [90].

D) Projektni spektar za elastiènu analizu

Da bi konstrukcija imala kapacitet nošenja sila potresa te da bi se osiguralonjeno nelinearno ponašanje, ona se projektira na djelovanje sila koje su manje odonih kada je odziv konstrukcije linearan. Da bi se izbjegla nelinearna analiza kon-strukcije, kapacitet trošenja energije u konstrukciji uzima se u obzir radeæi linear-nu analizu konstrukcije zasnovanu na reduciranom elastiènom spektru odzivaubrzanja podloge. Takav reducirani elastièni spektar nazvan je projektni spektar(design acceleration response spectrum). Ta je redukcija izvršena uvoðenjem po-sebnog koeficijenta nazvanog faktor ponašanja q (the behaviour factor), èija jevrijednost veæa od jedinice, koji se smatra jednim od najva�nijih pojmova u Euro-kodu 8. Projektni spektar za horizontalne komponente seizmièkog djelovanja defi-niran je na sljedeæi naèin :

00 0T TB : S T a ST

T qd gB

( ),

� � � � ��

�

�

�

��

&

�'

(

�)

2

3

5 2

3(14.12)

T T TB C� 0 : S T a Sqd g( ),

� � �2 5

(14.13)

T T TC D� 0 : S Ta S

q

T

T

ad

gC

g

( )

,� � � �

&

�'(

�)

, �

5

6D

7D

2 5

#(14.14)

T TD � : S Ta S

q

T T

T

ad

gC D

g

( )

,� � � �

�&

�'(

�)

, �

5

6D

7D

2 52

#(14.15)

263




gdje su:

a S T T Tg B C D, , , , � vrijednosti kao za elastièni spektar (Tablica 14-2.);

S td ( ) � vrijednosti odziva projektnog spektra ubrzanja;

q � faktor ponašanja, dan prema vrsti materijala i tipu konstrukcije;

# � donji granièni faktor (the lower bound factor) horizontalnog projekt-nog spektra, èija je preporuèena vrijednost 0,2.

Faktor ponašanja q predstavlja sposobnost konstrukcije da apsorbira i trošienergiju unesenu u konstrukciju u potresu. To se trošenje energije ostvaruje neli-nearnim ponašanjem konstrukcije, odnosno njenim ošteæenjem, na koje se raèunapri radu s projektnim silama. Zapravo, faktor ponašanja q predstavlja kvocijentizmeðu seizmièkih sila koje djeluju na konstrukciju kada je odziv konstrukci-je elastièan i projektnih seizmièkih sila.

To znaèi da je kapacitet konstrukcije za nošenje seizmièkog optereæenjau nelinearnom podruèju osiguran ako se konstrukcija projektira na manje vrijed-nosti seizmièkih utjecaja nego što oni u stvarnosti jesu. Da bi se izbjeglo provo-ðenje komplicirane nelinearne analize konstrukcije prilikom njenog projektira-nja, uveden je parametar q koji uzima u obzir kapacitet trošenja energije duktil-nim ponašanjem konstrukcije. Ovim se parametrom korigiraju rezultati dobi-veni linearnom elastiènom analizom te razmatra nelinearni odziv konstrukcije, prièemu se i dalje radi njena jednostavna linearna analiza zasnovana na projektnomspektru. Vrijednosti faktora ponašanja q dane su za razlièite vrste materijala i kon-strukcija u poglavljima 14.8. i 14.9.

Vertikalna komponenta seizmièkog djelovanja takoðer je definirana izrazi-ma (14.12. � 14.15.) u kojima se ag zamjenjuje vrijednošæu avg , S dobiva jedi-niènu vrijednost, a ostali parametri definirani su kao za horizontalne kompo-nente seizmièkog djelovanja. Za vertikalnu komponentu seizmièkog djelovanjausvaja se vrijednost faktora ponašanja q najviše 1,5 za sve materijale i tipove kon-strukcija.

Na slici 14-5. prikazane su toène vrijednosti projektnog spektra S Td ( )dobivene u MathCad-u primjenom izraza (14.12) � (14.15) za razred temelj-nog tla B, vrijednost projektnog ubrzanja podloge a gg � 0 2, i faktor ponašanjaq� 3 5, .

264

POGLAVLJE 14.



265


Sl. 14-5. Projektni spektar odziva S Td ( ) za tlo razreda B; ag � 0,2 g; q � 3,5



14.4. Izraèun ukupne vrijednosti popreène silekonstrukcije od potresa

Naèin proraèuna koji æe ovdje biti opisan dopušten je za konstrukcije koje se mo-gu analizirati sa dva ravninska modela (ili s trodimenzionalnim modelom) za dva me-ðusobno okomita smjera, u pravcima dviju meðusobno neovisnih horizontalnih kom-ponenti potresa, na èiji odziv znaèajno ne utjeèu tonovi vibracija viši od prvog tona.Ovaj je uvjet ispunjen kod konstrukcija koje zadovoljavaju kriterij (uvjet) regularite-ta (regularity criteria) tlocrta i vertikalnog presjeka obraðen u Prilogu 3. ove knjige (uEurokodu 8-1 taj kriterij detaljno se objašnjava), kao i za konstrukcije manje katnosti,èiji je osnovni period vibracija T1 u oba glavna pravca manji od sljedeæih vrijednosti:

TTC

1

4

2 00567 , s

(14.16)

Vrijednosti TC dane su u Tablici 14-2.

Ukupna je popreèna sila graðevine Fb u razini gornjeg ruba temelja (base shear)za svaki horizontalni pravac djelovanja potresa dana sljedeæim izrazom:

F S T mb d� � �( )1 � (14.17)

gdje su:

Sd (T1) � vrijednosti projektnog spektra za osnovni period vibracija konstruk-cije T1 za translacijska gibanja razmatranog pravca;Treba spomenuti da ukupna posmièna sila Fb predstavlja projektnuvrijednost (iako u indeksu ove oznake nema slova d), jer je dobive-na iz projektnog spektra, kao što je na primjer spektar na slici 14-5.

m � ukupna masa graðevine u trenutku djelovanja potresa, koja se ra-èuna u skladu s odredbom da se stalna djelovanja kombiniraju s pro-mjenljivim djelovanjima na sljedeæi naèin:

� �G Qk i E i k i, , ," "� L (14.18)

266

POGLAVLJE 14.



gdje pojedini simboli predstavljaju:

� � oznaèava (èita se) “kombinacija efekta od”;

Gk i, � karakteristièna vrijednost stalnog djelovanja j;

"�"� oznaèava (èita se) “u kombinaciji s”;

Qk i, � karakteristièna vrijednost promjenljivog djelovanja i;

LE i, � koeficijent kombinacije za promjenljivo djelovanje i ;

Koeficijent kombinacije LE i, dobiva se na sljedeæi naèin:

L �LE i i, ,� 2 (14.19)

� je dano u zavisnosti od razreda graðevine (ti se razredi obilje�avaju oznaka-ma A, B, C, D, E, F, G i H, Tablica 14-10.) i stupnja optereæenosti pojedinog kata,èije su vrijednosti izmeðu �� 0 5, i ��10, (Tablica 14-11.);

L 2, i su koeficijenti koji uvode “prividno stalne vrijednosti” promjenljivogdjelovanja qi (the quasi � permanent values of variable action qi ) u kombinacijistalnih i promjenljivih djelovanja (14.18), slika 14-6., a odreðeni su prema Nacio-nalnom dodatku za primjenu Eurokoda 0 [78] u Republici Hrvatskoj. Na slici 14-6.prikazana su sva reprezentativna promjenljiva djelovanja onako kako su definiranau Eurokodu 0 [78], a u (14.19) koristi se samo koeficijent za prividno stalnu vrijed-

267


Sl. 14-6. Èetiri reprezentativne vrijednosti promjenljivog djelovanja (L L L2 1 0 1� � � )



nost promjenljivog djelovanja L 2, i . Ova prividno stalna vrijednost odreðena je takoda ukupno vrijeme unutar izabranog razdoblja, u kojem je ova vrijednost pre-koraèena, èini znaèajan dio odabranog vremenskog razdoblja trajanja konstrukcije,obièno više od polovine projektiranog vijeka trajanja konstrukcije.

Propisana vrijednost L 2, i za kombinaciju (14-18) s uporabnim djelovanjem zastambene zgrade je 0,3 (Tablica 14-10., razred A: stambene zgrade). To su zapravokoeficijenti kombinacije L 2, i iz Tablice 14-5. i Tablice 14-10., koji se odnose naudesne i seizmièke proraèunske kombinacije, što je detaljno izlo�eno u nared-nom poglavlju 14.5.

Vrijednost � u (14.17) je korekcijski faktor, èija je vrijednost jednaka jedinici,osim ako je T TC1 20 , u kom sluèaju je �� 0 85, .

Za izraèun osnovnih perioda vibracija T1 za oba ravninska modela konstruk-cije mogu se primijeniti i pribli�ni izrazi (na primjer Rayleighjev <3=). U prelimi-narnoj analizi aproksimativna vrijednost za T1 za graðevine èija ukupna visina neprelazi 80 metara dana je na sljedeæi naèin:

T C Ht13 4� /

gdje su:T1 � osnovni period konstrukcije (u sekundama),Ct � koeficijent koji ima sljedeæe vrijednosti: 0,085 za èeliène prostorne

okvirne konstrukcije bez dijagonala (znaèi konstrukcije koje mogu gu-biti seizmièku energiju samo savijanjem); 0,075 za prostorne betonskeokvirne konstrukcije i èeliène konstrukcije s ekscentriènim dijagonala-ma; 0,050 za sve druge konstrukcije,

H � visina graðevine u metrima mjereno od ruba temelja ili krutog podruma.

Napomena: Projektni uèinci (Effects) potresnog djelovanja za uzdu�ni pravac graðevine(pravac x) i popreèni pravac (pravac y) imaju vrijednosti (14.17) i dobivaju respektivno oznake EEdx iEEdy .

268

POGLAVLJE 14.



14.5. Raspodjela ukupne popreène sile potresapo visini graðevine

Potresno djelovanje treba odrediti za uzdu�ni i popreèni pravac (dva ravnin-ska modela), pri èemu su horizontalne sile Fi rasporeðene na sve katove. Ova ras-podjela ukupne projektne horizontalne sile Fb za oba meðusobno ortogonalna prav-ca zasnovana je na pretpostavci da ukupna masa graðevine predstavlja zamje-njujuæu (efektivnu) masu koja pripada samo osnovnom tonu vibracija. Ovo jeaproksimacija, jer prema toènijem pristupu u modalnoj analizi, znaèi u dinamici su-stava s “n” stupnjeva slobode, svakom tonu vibracija odgovara posmièna sila kojaje proporcionalna “efektivnoj te�ini” za taj ton (poglavlje 13., jednad�ba 13.41).Znaèi, horizontalna sila i-tog kata je:

F Fs m

s mi b

i i

j jj

� ��

��(14.20)

Indeks “b” za silu Fb oznaèava ukupnu projektnu posmiènu silu (base shear) urazini gornjeg ruba temelja.

s si j, � “pomaci” masa mi i m j u osnovnom tonu;

m mi j, � su mase katova i,j. Ove mase odreðujemo iz vrijednosti koje se po-javljuju u kombinaciji djelovanja opisanoj izrazom (14.18).

U sluèaju kada se vlastiti oblik prvog tona mo�e aproksimirati pravom crtom,horizontalne sile Fi dane su na sljedeæi naèin:

F Fz m

z mi b

i i

j jj

� ��

��(14.21)

gdje zi, zj predstavljaju visinske polo�aje masa mi, mj respektivno (mjereno od gor-njeg ruba temelja).

269




14.6. Kombinacija djelovanja prema Eurokodu 0 [78]za seizmièku proraèunsku situaciju

U skladu s odredbom Eurokoda 8-1 proraèun horizontalne komponente potre-snog projektnog djelovanja AEd iz seizmièke proraèunske situacije (Tablica 14.5.),odreðuje se prema kombinaciji projektnih horizontalnih komponenti uèinaka po-tresnog djelovanja za dva pravca, i to:

� za uzdu�ni “x” pravac AEdx je:

E EEdx Edy" " ,� 0 30 (14.22)

� za popreèni “y” pravac AEdy je:

0 30, " "E EEdx Edy� (14.23)

gdje je:

EEdx� projektni uèinak djelovanja od primijenjenih seizmièkih sila za odabra-ni horizontalni pravac “x” konstrukcije,

EEdy� projektni uèinak djelovanja od primijenjenih seizmièkih sila za odabra-ni horizontalni pravac “y” konstrukcije.

Ako je a gvg , 0 25, uzimaju se u obzir i vertikalne komponente seizmièkihdjelovanja u sluèajevima kada su horizontalni elementi konstrukcije (grede) raspo-na preko 20 metara tj. kada su konzolni elementi konstrukcije raspona preko 5 me-tara, te ako je primijenjen sustav izoliranja vibracija u temeljima (base-isolation).

U takvim sluèajevima dobivaju se vrijednosti projektnog potresnog djelovanjaAEd prema kombinacijama projektnih uèinaka potresnog djelovanja za tri pravca:

� za uzdu�ni “x” pravac AEdx je:

E E EEdx Edy Edz" " , " " ,� �0 30 0 30 (14.24)

270

POGLAVLJE 14.



� za popreèni “y” pravac AEdy je:

0 30 0 30, " " " " ,E E EEdx Edy Edz� � (14.25)

� za vertikalni “z” pravac AEdz je:

0 30 0 30, " " , " "E E EEdx Edy Edz� � (14.26)

Treba spomenuti da je vrijednost primijenjenog umnoška 0,30 rezultat dogo-vora, a njime se uvodi realna situacija da sile potresa u pravilu djeluju pod nekimkutem u odnosu na uzdu�ni ili popreèni pravac.

Ovdje æe se ukratko objasniti neki pojmovi primijenjeni u Eurokodima, kojise odnose na djelovanja. Djelovanja mogu biti sile, kada se zovu direktna djelo-vanja, ili mogu biti primijenjene deformacije uslijed slijeganja le�aja, temperatur-nih promjena i sl., kada se zovu indirektna djelovanja. Sljedeæi pojam u segmen-tu djelovanja odnosi se na termine stalna, promjenljiva i povremena (izvanred-na) djelovanja. Stalna podrazumijevaju “mrtvo” (dead) optereæenje, pri èemu jeodvojena vlastita te�ina konstrukcije od ostalog stalnog djelovanja. Promjenljivadjelovanja ukljuèuju primijenjena uporabna djelovanja, kao i ona od vjetra, snije-ga i temperature. Povremena (izvanredna) djelovanja odnose se na udesna djelo-vanja i djelovanja potresom.

Karakteristièna vrijednost djelovanja (Fk) odgovara propisanoj vjerojatno-sti da neæe biti prekoraèena tijekom razdoblja trajanja konstrukcije. Postoje ka-rakteristiène vrijednosti stalnih (Gk), promjenljivih (Qk) i povremenih (izvan-rednih) djelovanja (Ak).

Takoðer je uveden i termin karakteristièna vrijednost osobina materijala.

Proraèunska ili projektna vrijednost djelovanja (Fd) dobije se mno�enjemkarakteristiène vrijednosti s parcijalnim koeficijentom za djelovanja �G , ili �Q ili�A , a u zavisnosti mno�i li se tim koeficijentom karakteristièna vrijednost stalnih,promjenljivih ili povremenih djelovanja.

Generalno se, znaèi, proraèunska ili projektna vrijednost dobije na sljedeæinaèin:

F Fd F k� + (14.27)

pri èemu se + F uzima prema vrsti optereæenja:

271




G Gd G k� + (14.28)

Q Qd Q k� + ili + LQ i kQ (14.29)

A Ad A k� + (14.30)

A AEd I Ek� + (14.31)

Parcijalni koeficijenti za djelovanja propisuju se Nacionalnim dodatkom. Onikod nas imaju vrijednosti koje su dane u Tablici 14-6.

Vrijednosti projektnog potresnog djelovanja AEd dobiju se direktno iz(14.22)-(14.26), kako nala�e Eurokod 0 [78].

Eurokod je uveo kombinacije za krajnje granièno stanje (KGS) u kojima seuzimaju u obzir sva relevantna promjenljiva djelovanja, pri èemu se uzima u cjelinisamo glavno (dominantno) promjenljivo djelovanje (znaèi ono promjenljivodjelovanje koje je uzrokom najveæih efekata), dok se sva ostala promjenljiva dje-lovanja mno�e s koeficijentima kombinacije L 0, i , èije su vrijednosti manje od jedi-nice, Tablica 14-10. i slika 14-6.

Uèinci djelovanja (E) (Effects) rezne su sile, naprezanja, deformacije, po-maci itd. Prije je pokazano da su uèinci djelovanja i one sile koje su nastale od po-tresa.

Za neki razmještaj djelovanja proraèunska (projektna) vrijednost uèinakadjelovanja (Ed) je odziv (response) konstrukcije odreðen prema proraèunskim vri-jednostima djelovanja Fd i, , geometriji konstrukcije ad i, te pouzdanosti modela kon-strukcije > d i, [78]:

E E F F a ad d d d d d d� : : :( , , , , , , , , )1 2 1 2 1 2> > (14.32)

Ove proraèunske vrijednosti uèinaka djelovanja moraju biti manje ili jednakeodgovarajuæoj proraèunskoj otpornosti popreènog presjeka i proraèunskojotpornosti cijelog elementa konstrukcije Rd . Ako su vrijednosti X d i, karakte-ristike materijala, mo�e se napisati [78]:

R R X X a ad d d d d d d� : : :( , , , , , , , , )1 2 1 2 1 2> > (14.33)

Bitno je zadovoljiti sljedeæi uvjet:

E Rd d0 (14.34)

272

POGLAVLJE 14.



• Kombinacije djelovanja za krajnje granièno stanje �

KGS prema Eurokodu 0 [78]

Za svaki kritièni sluèaj optereæenja moraju proraèunske vrijednosti uèinakadjelovanja (Ed ) biti odreðene kombinacijom vrijednosti djelovanja koja se do-gaðaju istodobno. Djelovanja koja se dogaðaju istodobno svrstana su u tri moguæesituacije, Tablica 14-5.:

• Trajne i prolazne (onovne) proraèunske situacije;• Udesne proraèunske situacije;• Seizmièke proraèunske situacije.

Trajne i prolazne proraèunske situacije:

U ovu kombinaciju ulaze proraèunske vrijednosti stalnih djelovanja zajedno s do-minantnim promjenljivim djelovanjima i ostalim vrijednostima promjenljivih djelovanja.

+ + + + LG j k jj

P Q k Q i i k ii

G P Q Q, , , , , , ," " " " " ", �

� �� 1

1 1 01

(14.35)

Udesne proraèunske situacije:

U ovoj kombinaciji su proraèunske vrijednosti stalnog djelovanja zajedno sdominantnim promjenljivim djelovanjima i ostalim vrijednostima promjenljivihdjelovanja (za promjenljiva djelovanja parcijalni je faktor + Q jednak jedinici)te proraèunskom vrijednošæu jednog udesnog djelovanja (sudar ili po�ar).

273


Tablica 14-5. Proraèunske vrijednosti djelovanja za uporabu u kombinacijamadjelovanja � KGS

Proraèunskesituacije

Stalnadjelovanja

Gd

Nezavisna promjenljiva djelovanja

Qd

Udesna iliseizmièkadjelovanja

AdDominantna Ostala

Trajne i prolazne + +G k PG P( ) + Q kQ, ,1 1 + LQ i k iQ, , ,1 0

Udesne G Pk ( ) ( ), , ,L L1 1 2 1 1ili Qk L 2, ,i k iQ + A k dA A�

Seizmièke G Pk ( ) L 2, ,i k iQ AEd



G P A Q Qk jj

d k i k ii

, , , , , ," " " " " " ( ) " ", �

� � � � �1

1 1 2 1 1 2L L Lili1

� (14.36)

Seizmièke proraèunske situacije:

G P A Qk jj

Ed i k ii

, , ," " " " " ", ,

� �� 1

21

L (14.37)

U ovu seizmièku proraèunsku situaciju ulaze karakteristiène vrijednostistalnih djelovanja zajedno s vrijednostima promjenljivih djelovanja te proraèun-skom vrijednošæu potresnih djelovanja.

Nacionalnim dodatkom za primjenu eurokoda propisuju se koeficijenti L 2, i , anjihove su vrijednosti za snijeg, vjetar i temperaturna djelovanja jednake nuli za se-izmièku proraèunsku situaciju (Tablica 14-10.). Treba uoèiti da je filozofija Eu-rokoda 8 utemeljena na faktorima ponašanja q, te se radi toga u ovoj posljed-njoj kombinaciji ne spominju parcijalni faktori sigurnosti �.

Oznake u proraèunskim situacijama (14.35), (14.36) i (14.37) imaju sljedeæaznaèenja:

� � oznaèava (èita se) “kombinirani uèinak od”,

“�”� oznaèava (èita se) “u kombinaciji s”,

Gk j, � karakteristiène vrijednosti stalnih djelovanja j,

P � ogovarajuæe reprezentativne vrijednosti djelovanja prednapinjanja,

Qk ,1� karakteristiène vrijednosti dominantnog promjenljivog djelovanja,

Qk i, � karakteristiène vrijednosti ostalih promjenljivih djelovanja,

Ad � proraèunska vrijednost udesnog djelovanja,

AEd � proraèunska vrijednost seizmièkog djelovanja,

+G j, � parcijalni koeficijenti stalnih djelovanja j (Tablica 14-6),

+ P � parcijalni koeficijent za djelovanja od prednapinjanja,

+ A � parcijalni koeficijent udesnog djelovanja udesnog proraèunskog stanja(Tablica 14-6),

+ Q ,1� parcijalni koeficijent dominantnog promjenljivog djelovanja,

+ Q i, � parcijalni koeficijent ostalih promjenljivih djelovanja i,

L � koeficijenti kombinacija definirani u Tablici 14-10.

274

POGLAVLJE 14.



Kao što je veæ spomenuto, Eurokod 8 ne predviða parcijalne koeficijente �F

za poveæanje djelovanja jer se filozofija Eurokoda 8 temelji na faktorima ponašanjaq, ali se s parcijalnim koeficijentom sigurnosti smanjuje nosivost materijala te se nataj naèin smanjuje otpornost popreènog presjeka [78]:

R R X ad k m d Rd� :{ ; }E + + (14.38)

Ovdje je Rd projektna otpornost popreènog presjeka ili elementa konstrukcije,izraèunata prema specifiènim pravilima za odgovarajuæi materijal, X k je karakteri-stièna vrijednost odreðene osobine materijala, + Rd parcijalni faktor primijenjen nacjelokupni model, dok + m predstavlja parcijalni faktor koji uvodi neujednaèenostkvalitete materijala.

275


Tablica 14-6. Parcijalni koeficijenti za granièna stanja nosivosti zgrada

Djelovanje OznakaTrajno i

prolazno stanjeUdesnostanje

Sluèaj A

Gubitak statièke ravnote�e;èvrstoæa graðevinskogmaterijala ili tla neva�na je

Stalna djelovanja:nepovoljnopovoljno

Promjenljiva djel.:nepovoljno

Udesna djelovanja

+G ,sup

+G ,inf

+ Q

+ A

1,100,90

1,50

1,001,00

1,00

1,00

Sluèaj B

Slom konstrukcije ilielementa konstrukcije,ukljuèujuæi temelje, pilote,itd. uvjetovano èvrstoæomgraðevinskog materijala



Udesna djelovanja

+G ,sup

+G ,inf

+ Q

+ A

1,351,00

1,50

1,001,00

1,00

1,00

Sluèaj C

Slom u tlu



Udesna djelovanja

+G ,sup

+G ,inf

+ Q

+ A

1,001,00

1,30

1,001,00

1,00

1,00



276

POGLAVLJE 14.

Tablica 14-7. Faktori va�nosti i razvrstavanje zgrada

Razvrstavanjeva�nosti

graðevineOpis graðevine

Faktorva�nosti+ I

IV

Zgrade èija je cjelovitost neposredno nakon potresa �ivotnova�na za zaštitu ljudi:

• zgrade dr�avnih tijela razine ministarstava, vlade i sabora,

• �upanijske i klinièke bolnice,

• zgrade s kapitalnom opremom za telekomunikacije, radio iteleviziju,

• zgrade s kapitalnim instalacijama za opskrbu plinom,toplinom i vodom,

• zgrade zraènih luka,

• zgrade sa skupocjenom opremom ili sadr�ajem od dr�avneva�nosti,

• zgrade profesionalnih vatrogasnih jedinica,

• zgrade policijskih postaja �upanijske razine,

• zgrade elektrana i energana snage veæe od 100 MW,

• spremnici opasnih tvari èije izlijevanje mo�e izazvationeèišæenje okoliša opasno za �ivot.

1,4

III

Zgrade èija je potresna otpornost va�na zbog posljedicavezanih uz rušenje:

• osnovne i srednje škole,

• zgrade s kinodvoranama,

• zgrade s dvoranama za skupove veæe od 100 osoba,

• mjesne bolnice,

• ðaèki i studentski domovi, domovi za djecu s teškoæamau razvoju,

• domovi umirovljenika,

• djeèji vrtiæi,

• silosi, spremnici i dimnjaci viši od 30 m.

1,2



Razvrstavanje va�nosti graðevine u razrede IV., III, II. i I. iz Tablice 14-7. odgo-vara razredima posljedica sloma konstrukcije CC3, CC2 i CC1 (engl. Consequen-ces Classes), Tablica 14-8., koji su definirani u EN 1990:2002 (Dodatak B) [78].

Nakon što je definiran razred posljedica sloma konstrukcije definira se vjero-jatnost otkazivanja koja je nazvana razred pouzdanosti RC (engl. ReliabilityClasses), iz kojega se dolazi do jednog od najva�nijih pojmova konstrukcijskiheuronormi, a to je indeks pouzdanosti # (engl. reliability index), EN 1990:2002(Dodatak B) [78]. Indeks pouzdanosti dan je za referentna razdoblja od jedne i50 godina, Tablica 14-9.(a), iz koje se uoèava da su za referentno razdoblje od jed-ne godine, za koje je vjerojatnost otkazivanja konstrukcije mala, veæi indeksipouzdanosti u usporedbi s vrijednostima tog indeksa dobivenima za referentno raz-doblje od 50 godina. Nadalje, propisani su veæi indeksi pouzdanosti za izuzetno

277


Razvrstavanjeva�nosti

graðevineOpis graðevine

Faktorva�nosti+ I

II

Obiène zgrade

• stambene zgrade,

• poslovne zgrade,

• proizvodne zgrade,

• trgovaèke zgrade (robne kuæe),

• hoteli i druge zgrade namijenjene turizmu,

• zgrade sveuèilišta, veleuèilišta, fakulteta i visokih škola,

• zgrade istra�ivaèkih instituta,

• hale, skladišta, izlo�beni paviljoni, silosi, spremnici,

• zgrade zdravstva �upanijske i opæinske razine (osim bolnica),

• stadioni, javne i školske sportske dvorane,

• zgrade �upanijske i opæinske uprave,

• javne gara�e.

1,0

IZgrade manje va�nosti za javnu sigurnost:• skladištapoljoprivrednih proizvoda,• staje i peradarnici,• skloništa.

0,8

Tablica 14-7. (nastavak)



va�ne konstrukcije, koje se svrstavaju u razred pouzdanosti RC3, u odnosu nauobièajene konstrukcije èiji su razredi pouzdanosti RC2 i RC1. U Tablici 14-9.(b)su dane vrijednosti preporuèenih indeksa pouzdanosti za razlièite posljedice slomakonstrukcije i vremensko razdoblje od 1 godine.

Pouzdanost se izra�ava probabilistièkim zakonima i pokriva sigurnost, upo-rabljivost i trajnost konstrukcije.

278

POGLAVLJE 14.

Tablica 14-9.(a) Zahtijevane minimalne vrijednosti indeksa pouzdanosti # zakrajnje granièno stanje prema normi EN 1990:2002 [78]

Razred pouzdanosti RCMinimalne vrijednosti indeksa pouzdanosti #

Povratni period 1 godina Povratni period 50 godina

RC3 5,2 4,3

RC2 4,7 3,8

RC1 4,2 3,3

Tablica 14-8. Definiranje razreda posljedica sloma konstrukcije

Razrediposljedica slomakonstrukcije CC

OpisPrimjeri zgrada i

in�enjerskih graðevina

CC3

Velike posljedice u gubicima ljudskih�ivota; ekonomske i društveneposljedice kao i posljedice za okolišvrlo velike

Stadioni i sve javnegraðevine za koje suposljedice rušenja velike(npr. koncertne dvorane)

CC2

Umjerene posljedice na gubitkeljudskih �ivota; ekonomske idruštvene posljedice kao i posljediceza okoliš znaèajne

Stambene i poslovnezgrade, javne zgradekod kojih su posljedicerušenja umjerene

CC1

Male posljedice na gubitke ljudskih�ivota; ekonomske i društveneposljedice kao i posljedice za okolišmale ili zanemarljive

Poljoprivrednegraðevine u koje ljudirjeðe ulaze, skladišta,plastenici



Treba napomenuti da EN 1990:2002 za sve tipove konstrukcija predviða raz-rede pouzdanosti RC2 i vrijeme korištenja od 50 godina. To se odnosi na "uobièa-jene" konstrukcije, jer su za indeks pouzdanosti # � 3,8 (krajnje granièno stanje)u normi preporuèeni parcijalni faktori za otpornost i djelovanja, Tablica 14-6. iTablica 14-10. Kod "izuzetnih" konstrukcija koje su svrstane u RC3 uzima seindeks pouzdanosti # � 4,3 te se postavlja pitanje koje vrijednosti parcijalnihfaktora uzeti kod proraèuna jer oni u normi nisu definirani. Naprijed navedenipojmovi spadaju u podruèje in�enjerstva pouzdanosti, kojim se u ovoj knjizi ne-æemo baviti, veæ se èitalac upuæuje na odgovarajuæu literaturu.

279


Tablica 14-10. Koeficijenti kombinacije L za zgrade

Djelovanje L 0 L 1 L 2

Uporabna optereæenja višekatnih zgrada

razred A: stambene zgrade

razred B: uredi

razred C: prostori za veæe skupove ljudi

razred D: trgovine

razred E: skladišta

0,7

0,7

0,7

0,7

1,0

0,5

0,5

0,7

0,7

0,9

0,3

0,3

0,6

0,6

0,8

Tablica 14-9.(b) Preporuèeni indeksi pouzdanosti za krajnje granièno stanje i vre-mensko razdoblje od 1 godine prema razredu posljedica*

Troškovipouzdanosti

Posljedice sloma konstrukcije

Male (CC1) Srednje (CC2) Velike (CC3)

Veliki 3.1 3.3 3.7

Srednji 3.7 4.2 4.4

Mali 4.2 4.4 4.7

* Ove vrijednosti preporuèene su od Joint Committee of Structural Safety (JCSS), Probabilistic Mo-del Code, Part 1 – Basis of Design, Swiss Federal Institute of Technology, Zurich, 2001.



280

POGLAVLJE 14.

Tablica 14-11. Vrijednosti � za proraèun LE i,

Vrsta promjenljivog djelovanja Kat �

Za razrede graðevine A � C

• krov 1,00

• katovi s povezanom zauzetošæu 0,80

• neovisno zauzeti katovi 0,50

Za razrede graðevine D � F i arhive 1,00

Djelovanje L 0 L 1 L 2

Prometna optereæenja zgrada

razred F: te�ine vozila0 30 kN

razred G: te�ine vozila izmeðu 30 kN i 160 kN

razred H: krovišta

Djelovanje snijega

Djelovanje vjetra

Termièka djelovanja

0,7

0,7

0

0,5

0,6

0,6

0,7

0,5

0

0,2

0,2

0,5

0,6

0,3

0

0

0

0

Napomena: U Tablici 14-10. za zgrade koeficijenti L 2,i za seizmièku proraèunsku kombinacijujednaki su nuli za sluèajeve djelovanje snijega i vjetra te termièka djelovanja.

Tablica 14-10. (nastavak)



14.7. Projektiranje u zgradarstvu

Imajuæi u vidu ono što je u poglavlju 14.2. izlo�eno glede naèina proraèunakonstrukcija u potresnim podruèjima (Tablica 14-1.), europska norma uvodi i utje-caj regularnosti konstrukcije zgrade (regularity) na odabir modela konstrukcije inaèina proraèuna, Tablica 14-12.

U EN 1998-1:2004 [90] dana su posebna pravila koja moraju biti ispunjenada graðevina zadovolji kriterij regularnosti, kako u tlocrtu tako i po visini (regula-rity criteria). Ova pravila su posebno obraðena i prezentirana u Prilogu 3. ove knji-ge. Za pravilnost u tlocrtu u EN 1998-1:2004 daju se posebni uvjeti u dijelu4.2.3.2, gdje se izmeðu ostalog ogranièava vrijednost razmaka izmeðu centra kru-tosti i centra masa e0 svakog kata i svakog pravaca djelovanja (slika P3-2.).

Ako nije ispunjen kriterij regularnosti po visini, prikazan na slici 14-7., jer jeuslijed postojanja su�enja poremeæena simetrija graðevine, potrebno je provjeritijesu li zadovoljene sljedeæe odredbe:

281


Tablica 14-12. Posljedice konstrukcijske pravilnosti na proraèun

Pravilnost (regularnost)konstrukcije

Dopuštena pojednostavljenja Faktorponašanja q

u tlocrtu po visini model metoda proraèuna

da da ravninski ekvivalentno statièko djelovanje* propisan

da ne ravninski modalna analiza smanjen

ne da prostorni** ekvivalentno statièko djelovanje* propisan

ne ne prostorni modalna analiza smanjen

* ako je zadovoljen uvjet da graðevina ima osnovni period vibracija T1 u dva glavna pravca manji odsljedeæih vrijednosti T TC1 40 i T1 2 00 , s** mogu se primijeniti pojednostavljeni ravninski modeli ako su zadovoljeni dodatni uvjeti regularno-sti prema 4.3.3.1(8) [EN 1998-1:2004]



� zbroj su�enja u pojedinom katu ne smije premašiti 30% tlocrtnih izmjeraprvoga kata,

� pojedina su�enja odreðenog kata ne smiju biti veæa od 10% tlocrtnih izmje-ra ni�ega kata.

Ako graðevina ne zadovoljava kriterij regularnosti, to ima kao posljedicusmanjenje faktora ponašanja q. Za konstrukcije koje ne zadovoljavaju uvjet regu-larnosti po visini, vrijednost faktora ponašanja treba smanjiti za 20%. Za takvugraðevinu se znaèi uzima poveæana razina seizmièkog djelovanja u odnosu na gra-ðevinu koja ispunjava kriterije dane na slici 14-7.

282

POGLAVLJE 14.

Sl. 14-7. Kriterij regularnosti nesimetriènih su�enja



14.8. Projektiranje betonskih konstrukcijau zgradarstvu

• Faktori ponašanja za horizontalna seizmièka djelovanja

Gornja granica vrijednosti faktora ponašanja q treba se odrediti za svaki pra-vac djelovanja potresa prema:

q q kw� � ,0 15, (14.39)

q0 � osnovna vrijednost faktora ponašanja, koja ovisi o vrsti konstrukcije injenoj duktilnosti, Tablica 14-13.,

kw � predstavlja faktor u kojemu se ogleda prevladavajuæi oblik sloma kon-strukcijskih sustava s zidovima, Tablica 14-14.

283


Tablica 14-13. Osnovne vrijednosti faktora ponašanja q0 za razlièite vrste kon-strukcija i razrede duktilnosti

Vrsta konstrukcije DCM DCH

okvirni sustavdvojni sustavzidni sustav s povezanim zidovima

3u/1 4,5u/1

zidni sustav (s nepovezanim zidovima) 3,0 4u/1

torzijski fleksibilan sustav 2,0 3,0

sustav obrnutog njihala 1,5 2,0

Napomena: U Tablicama 14.13. i 14.14. rabe se sljedeæi termini:

– okvirni sustav je konstrukcijski sustav koji prenosi i vertikalna i horizontalna djelovanja uglavnomprostornom okvirnom konstrukcijom èija posmièna otpornost u nivou gornjeg ruba temelja prema-šuje 65% ukupne otpornosti cjelokupnog konstrukcijskog sustava.

– dvojni sustav (dual system) je konstrukcijski sustav koji prenosi vertikalna djelovanja uglavnomprostornom okvirnom konstrukcijom, a otpornost takvog sustava na boèna djelovanja je obezbijeðenadjelomièno okvirnom konstrukcijom a djelomièno vertikalnim zidovima, bez obzira da li su takvi zi-dovi meðusobno povezani (spregnuti) ili ne.



Kao što je veæ spomenuto, za graðevine koje nemaju regularnost po visini vri-jednost q0 treba smanjiti za 20%. Vrijednosti 1 i u u Tablici 14-13. definiraju sena sljedeæi naèin:

1 predstavlja parametar kojim treba pomno�iti horizontalne projektne seiz-mièke sile (pri èemu sve ostale projektne sile ostaju nepromjenljive), da one dobijutakve vrijednosti za koje jedan najnepovoljnije optereæen popreèni presjek kon-strukcije dostigne svoje potpuno plastificiranje;

u predstavlja parametar kojim treba pomno�iti horizontalne projektne seiz-mièke sile da one dobiju takve vrijednosti za koje odreðen broj popreènih presjekadostigne svoje potpuno plastificiranje, pri èemu predmetna konstrukcija postaje ne-stabilna (kinematièki labilan mehanizam).

Faktor �u mo�e se dobiti iz nelinearne statièke globalne analize postupnogguranja (pushover), prikazane u 16. poglavlju ove knjige. Najveæa vrijednost kvo-cijenta u 1 mo�e biti 1,6 i predstavlja faktor viška nosivosti konstrukcije(overstrength factor). Ako nije odreðeno spomenutom nelinearnom analizom, zakonstrukcije koje imaju regularnost tlocrta mogu se koristiti sljedeæe pribli�ne vri-jednosti ovog kvocijenta u 1 :

� jednokatne graðevine u 1 11� , ;

� višekatne jednobrodne okvirne konstrukcije u 1 12� , ;

� višekatne višebrodne konstrukcije kao i za dvojne sustave istovjetne okvir-nim u 1 13� , ;

� zidni sustavi s nepovezani zidovima u 1 11� , ;

� dvojni sustavi istovjetni zidnim sustavima ili povezani (spregnuti) sustavi u 1 12� ,

284

POGLAVLJE 14.

– zidni sustav s povezanim (spregnutim) zidovima (coupled wall) su dio konstrukcije kojeg sa-èinjavaju dva ili više pojedinaènih zidova meðusobno spojenih odgovarajuæim duktilnim gredama(coupling beams), koje su u stanju da reduciraju za najmanje 25% vrijednosti ukupnih momenata udnu svakog pojedinaènog zida u odnosu na momente ako se taj zid promatra izdvojeno.– zidni sustav (i dvojni sustav istovjetan zidnom) je konstrukcijski sustav koji prenosi i vertikalna ihorizontalna djelovanja uglavnom vertikalnim noseæim zidovima, koji mogu biti povezani (spregnu-ti) ili ne, èija posmièna otpornost u nivou gornjeg ruba temelja premašuje 65% ukupne otpornosti cje-lokupnog konstrukcijskog sustava.– torzijski fleksibilan sustav je dvojni ili zidni sustav koji ne posjeduje minimalnu torzijsku krutost.– sustav obrnutog njihala je konstrukcijski sustav kod kojega se najmanje 50% njegove mase nalazina gornjoj treæini visine konstrukcije, ili ako se trošenje energije odvija uglavnom u dnu samo jednogelementa konstrukcije.



0 je prevladavajuæi koeficijent oblika zidova konstrukcijskog sustava.

Ako se za svaki od zidova i konstrukcionog sustava koeficijent oblika h lwi wi

znaèajno ne razlikuje, prevladavajuæi koeficijent oblika zidova konstrukcijskog su-stava dobije se na sljedeæi naèin:

0 �� h lwi wi (14.40)

hwi � visina zida “i”

lwi � duljina presjeka zida “i”.

Graðevina treba imati sposobnost trošenja energije koja se u nju unosi potre-som (energy dissipation capacity), odnosno mora pokazivati duktilno ponašanje upotresu. Prema ovoj se odredbi betonske graðevine dijele u dva razreda duktilno-sti: srednji DCM (Ductility Class Medium) i visoki razred duktilnosti DCH(Ductility Class High), ovisno o njihovoj regularnosti (regulatity criteria) i njiho-vom kapacitetu histereznog trošenja seizmièke energije. Oba ova razreda od-nose se na graðevine projektirane tako da su njihove konstrukcije, kao i detalji, di-menzionirane prema posebnim pravilima za betonske konstrukcije u potresnimpodruèjima, koja su propisana u 5. dijelu EN 1998-1:2004 [90]. Tim pravilimastvaraju se uvjeti da se u konstrukciji razviju stabilni mehanizmi koji su povezani svelikim histereznim trošenjem seizmièke energije za dvoznaèno optereæenje po-tresom (vlak – tlak), bez krtih lomova (brittle failures) u konstrukciji. Primjereksperimentalno dobivene histerezne petlje (loop) za jedan armiranobetonski stupprikazan je na slici 14-8. Površina unutar histerezne petlje predstavlja utrošenuenergiju.

285


Tablica 14-14. Vrijednosti faktora kw

Vrsta konstrukcije kw

okvirni sustavi i njima istovrijedni dvojni sustavi 1,0

zidni sustavi

sustavi istovrijedni zidnim sustavima

torzijski fleksibilni sustavi

0,5 0 (1 � 0)/3 0 1,0



Da bi se osigurala odgovarajuæa duktilnost za razrede duktilnosti DCM iDCH, treba primijeniti posebne odredbe za sve elemente konstrukcije. Ove suodredbe uvjet za postizanje svake od navedenih klasa duktilnosti i dane su u dijelo-vima 5.4 – 5.6 EN1998-1: 2004 [90].

286

POGLAVLJE 14.

Sl. 14-8. Eksperimentalno dobiveni odnos sile i deformacije armiranobetonskog stupa [49]



14.9. Projektiranje èeliènih konstrukcija u zgradarstvu

• Tipovi konstrukcija i faktori ponašanja q

U poglavljima 14.1-14.4. obraðeni su elastièni i projektni spektri, dan je naèinizraèuna vrijednosti potresnih optereæenja na konstrukciju te prikazana metodolo-gija seizmièke analize primjenom novog koeficijenta q nazvanog faktor ponašanja,kojim se omoguæuje nelinearno ponašanje konstrukcija u potresu. Ovdje æe seobraditi i komentirati vrijednosti faktora ponašanja q za èeliène konstrukcije premaEurokodu 8-1. Prikazat æe se odabir faktora ponašanja q za odreðene vrste èe-liènih konstrukcija. U [90] su propisana i posebna pravila kojih se treba pridr�a-vati pri projektiranju èeliènih konstrukcija u seizmièkim podruèjima. Naime, propi-sana su posebna pravila pri projektiranju èeliènih okvira bez dijagonala i pri pro-jektiranju èeliènih okvira s centrièno i ekscentrièno postavljenim dijagonalama. Pritome su u [90] posebno tretirani i svi elementi takvih sustava, tj. posebno su obra-ðeni elementi greda, a posebno stupovi i dijagonale.

Faktor ponašanja q predstavlja sposobnost konstrukcije da apsorbira i trošienergiju unesenu u konstrukciju potresom. To se trošenje energije ostvaruje neli-nearnim ponašanjem konstrukcije, odnosno njenim ošteæenjem, na koje se raèunaradeæi s projektnim silama. U stvari, faktor ponašanja q predstavlja kvocijent izme-ðu seizmièkih sila koje djeluju na konstrukciju kada je odziv konstrukcije elastièani projektnih seizmièkih sila.

To znaèi da je kapacitet konstrukcije za prenošenje seizmièkog optereæenja unelinearnom podruèju osiguran ako se konstrukcija projektira na manje vrijednostiseizmièkih utjecaja nego što oni u stvarnosti jesu, što je filozofija projektiranja ko-ja je veæ ranije uvedena u nacionalnim propisima Novog Zelanda i SAD. Ako se�eli izbjeæi nelinearna analiza konstrukcije prilikom njenog projektiranja, uveden jefaktor ponašanja q, iako je u poglavlju 14.2. uvedena i moguænost nelinearne anali-ze, specificirane u Dodatku B Eurokoda 8-1 [90], a koja æe se posebno obraditi u16. poglavlju. Parametar q, znaèi, uzima u obzir kapacitet trošenja energije duk-tilnim ponašanjem konstrukcije, a uveden je da bi se korigirali rezultati dobivenilinearnom elastiènom analizom te procijenio nelinearni odziv konstrukcije, pri

287




èemu se i dalje radi njena jednostavna linearna analiza zasnovana na pro-jektnom spektru. Vrijednosti faktora ponašanja q dane su u Eurokodu 8-1[90] zarazlièite vrste materijala i konstrukcija.

Da bi konstrukcija imala kapacitet nošenja sila potresa te da bi se osiguralonjeno nelinearno ponašanje, poznato je da se ona projektira na djelovanje sila ko-je su manje od onih za koje je odziv konstrukcije elastièan (linearan). Da bi se iz-bjegla nelinearna analiza konstrukcije, uzima se u obzir kapacitet trošenja energijeu konstrukciji radeæi njenu linearnu analizu, zasnovanu na reduciranom elastiènomspektru odziva ubrzanja podloge.

Takav reducirani elastièni spektar nazvan je projektni spektar, a redukcijaje provedena uvoðenjem posebnog faktora ponašanja q. Faktor ponašanja qpredstavlja sposobnost konstrukcije da apsorbira i troši energiju unijetu u kon-strukciju potresom. To se trošenje energije ostvaruje nelinearnim ponašanjem kon-strukcije, odnosno njenim ošteæenjem, na koje se raèuna radeæi s projektnim si-lama.

Faktor ponašanja q najva�niji je podatak i najveæa novost u Eurokodu 8,te je on i za armiranobetonske i za èeliène konstrukcije propisan prema vrstamakonstrukcija i moguænostima njihovog duktilnog ponašanja u potresu (klasi duktil-nosti).

• Koncepti projektiranja èeliènih konstrukcija u seizmièkim podruèjima

Potresno otporne èeliène konstrukcije projektiraju se prema jednom od sljede-æa dva koncepta:

� koncept (a): Ponašanje konstrukcije sa slabim trošenjem energije,

� koncept (b): Ponašanje konstrukcije s trošenjem energije.

U konceptu (a) posljedice djelovanja mogu se izraèunati na temelju elastièneanalize bez razmatranja znaèaja nelinearnog ponašanja. Pri korištenju projektnogspektra, referentna vrijednost faktora ponašanja q kreæe se od 1,5 � 2 (podcrtanaje preporuèena vrijednost). U sluèajevima kada nije ispunjen zahtjev regularitetapo visini faktor ponašanja q treba smanjiti, ali ne smije se uzeti manji od 1,5. Akoje uzeta referentna vrijednost q veæa od 1,5, potresno otporni elementi konstrukcijetrebaju biti u klasama popreènog presjeka 1, 2 ili 3 [85].

288

POGLAVLJE 14.



U konceptu (b) se uzima u proraèun sposobnost dijelova konstrukcije (a to supodruèja u kojima dolazi do trošenja seizmièke energije) da se ponašaju nelinear-no. Pri korištenju projektnog spektra, referentna vrijednost faktora ponašanja q seuzima veæa od vrijednosti uzete u konceptu (a). Kao i kod betonskih konstrukcije iza èeliène konstrukcije vrijednost q zavisi od razreda duktilnosti i tipa kon-strukcije. Konstrukcije projektirane po konceptu (b) trebaju pripadati srednjem(DCM) odnosno visokom (DCH) razredu duktilnosti. Obadva razreda duktilno-sti se odnose na graðevine koje su projektirane na naèin da su njihove konstrukcije,kao i detalji, dimenzionirane prema posebnim pravilima za èeliène konstrukci-je u potresnim podruèjima, koja su propisana u 6. dijelu EN 1998-1:2004 [90].Ovi razredi odgovaraju poveæanoj sposobnosti konstrukcije da potroši energiju uplastiènim mehanizmima. Ovisno o razredu duktilnosti, odreðeni zahtjevi se treba-ju zadovoljiti imajuæi u vidu klasu i rotacijsku sposobnost popreènih presjekaèeliènih konstrukcija [85]. Nacionalnim dodatkom za primjenu ove norme se de-finiraju vrijednosti faktora ponašanja iz Tablice 14-15.

• Materijali

Raspodjela osobina materijala u konstrukciji, kao što su granica popuštanjaf y i èvrstoæa f u , treba biti takva da se podruèja konstrukcije u kojima do-lazi do trošenja seizmièke energije (dissipative zones) stvarno formiraju ondjegdje je predviðeno projektom. Oèekuje se da u podruèjima trošenja seizmi-èke energije tijekom djelovanja potresa nelinearnost poène prije nego u osta-

289


Tablica 14-15. Razredi duktilnosti i podruèje referentnih vrijednosti faktora po-našanja q

Koncept projektiranjaRazred duktilnosti (DC)

konstrukcijePodruèje referentnih vrijednosti

faktora ponašanja q

Koncept (a) DCL (Niska) 0 1,5 � 2

Koncept (b) DCM (Srednja)0 4

Ogranièeno je vrijednostimaiz Tablice 14-16.

DCH (Visoka)Ogranièeno je vrijednostima

iz Tablice 14-16.



lim dijelovima konstrukcije. To se mo�e zadovoljiti ako granica popuštanjaèelika u podruèjima trošenja seizmièke energije odgovara jednom od sljedeæihuvjeta:

a) da je stvarna maksimalna granica popuštanja f y , max èelika u podruèjimatrošenja seizmièke energije f fy ov y, max ,011 + , gdje je:

+ ov � faktor viška nosivosti materijala (overstrength factor), koji se de-finira kao kvocijent stvarne i projektne granice popuštanja èelika;

f y � nominalna granica popuštanja za odreðenu kvalitetu èelika.(na primjer, za èelike S235 i + ov � 1,25 je f y , max � 323 N/mm2)

b) da èelik u podruèjima trošenja seizmièke energije spada u posebnu vrstuèelika za koju su odreðene minimalna f y , min i maksimalna vrijednost gra-nice popuštanja f y , max . Osim toga nominalna vrijednost f y èelika, upo-trijebljena u podruèjima u kojima se ne troši seizmièka energija, mo�e pri-jeæi maksimalnu vrijednost granice popuštanja f y , max za podruèja trošenjaseizmièke energije. Ovaj uvjet obièno se primjenjuje kod upotrebe èelikaS355 za elemente u kojima se ne troši seizmièka energija i èelika S235 zaelemente u kojima se troši seizmièka energija.

• Vrste konstrukcija

Èeliène graðevine projektiraju se primjenom jedne od sljedeæih vrsta kon-strukcija prema njihovoj otpornosti pri seizmièkim djelovanjima:

a) Okviri bez dijagonala (Moment resisting frames), slika 14-9., koji uglav-nom prenose horizontalne sile savijanjem elemenata. Podruèja trošenjaseizmièke energije uglavnom su locirana u plastiènim zglobovima koji seformiraju u gredama blizu njihovih spojeva sa stupovima, tako da se ener-gija troši cikliènim savijanjem. Podruèja trošenja seizmièke energije mo-gu biti locirana i u stupovima i to: blizu spoja stupova i temelja okvi-ra; na vrhu stupova u najvišem katu višekatnih graðevina; na vrhu i dnustupova u prizemnim graðevinama kod kojih uzdu�na sila u stupovimane premašuje 30% raèunske tlaène otpornosti popreènog presjekastupa.

b) Okviri s centriènim dijagonalama (Frames with concentric bracings), slike14-10. i 14-11., koji uglavnom prenose horizontalne sile preko elemenata(dijagonala) optereæenih samo uzdu�nim silama. Trošenje je seizmièkeenergije uglavnom preko vlaènih dijagonala.

290

POGLAVLJE 14.



c) Okviri s ekscentriènim dijagonalama (Frames with eccentric bracings),slika 14-12., koji se projektiraju tako da se seizmièka energija troši u po-sebnim elementima konstrukcije nazvanim seizmièke spone (links). Zaove konstrukcije faktor viška nosivosti ima vrijednost 1,2.

d) Konstrukcije obrnutog klatna (Inverted pendulum structures), slika 14-13.,u kojima se trošenje energije odvija u stupovima.

e) Konstrukcije s betonskim jezgrama ili betonskim zidovima, koje prenosehorizontalne sile uglavnom preko tih jezgri i zidova, slika 14-14.

f) Okviri bez dijagonala u kombinaciji s okvirima centriènih dijagonala, sli-ka 14-15.

g) Okviri bez dijagonala u kombinaciji s ispunom, slika 14-16.

291


Sl. 14-9. Okviri bez dijagonala (podruèja trošenja seizmièke energije suu gredama i spojevima stupova s temeljima)

Sl. 14-10. Okviri s centriènim dijagonalama(trošenje seizmièke energije samo u vlaènim dijagonalama)

Sl. 14-11. Okviri s centriènim V-dijagonalama(trošenje seizmièke energije u vlaènim i tlaènim dijagonalama)



292

POGLAVLJE 14.

Sl. 14-12. Okviri s ekscentriènim dijagonalama (trošenje seizmièke energijeu sponama optereæenim na savijanje ili posmik)

Sl. 14-13. Konstrukcije obrnutog njihala (trošenje seizmièke energije:a) pri dnu stupa; b) u stupovima ako je N NE pl Rd d

� 0 3, . )

Sl. 14-14. Konstrukcije s betonskim jezgrama ili betonskim zidovima

Sl. 14-15. Okvir bez dijagonala u kombinaciji s okvirom s centriènim dijagonalama (trošenjeseizmièke energije: u okviru bez dijagonala i u vlaènim dijagonalama okvira s centriènim dijagonalama)

Sl. 14-16. Okviri bez dijagonala u kombinaciji s ispunom



• Faktori ponašanja

Smisao faktora ponašanja q obrazlo�en je na poèetku ovog poglavlja. Za re-gularne konstrukcijske sustave faktor ponašanja q uzima se s referentnim vrijedno-stima danim u Tablici 14-16. Ako je graðevina neregularna po visini, vrijednosti qiz Tablice 14-16. trebaju se kao i kod betonskih konstrukcija smanjiti za 20%. Zagraðevine koje su regularne u tlocrtu dane su na slikama 14-9. do 14-15. pribli�nevrijednosti kvocijenata u 1 .

293


Tablica 14-16. Referentne vrijednosti faktora ponašanja q za sustave regularne povisini

TIP KONSTRUKCIJERazred duktilnosti

DCM DCH

a) Okviri bez dijagonala 4 5u/1

b) Okviri s centriènim dijagonalama

Centriène dijagonale

V � dijagonale

4

2

4

2,5

c) Okviri s ekscentriènim dijagonalama 4 5u/1

d) Konstrukcije obrnutog klatna 2 2u/1

e) Konstrukcije s betonskim jezgrama i betonskim zidovima Za betonske konstrukcije

f) Okvir bez dijagonala u kombinaciji s okviroms centriènim dijagonalama

4 4u/1

g) Okviri bez dijagonala s ispunom:Betonska ili zidana ispuna koja nije spojena u kontaktus okvirom;

Spojena armiranobetonska ispuna;

Ispuna izolirana od okvira (vidi okvire bez dijagonala)

2 2

Za spregnute konstrukcije

4 5u/1



Napomena: Osim navedenog u poglavljima 18.8. i 18.9. europska norma EN 1998-1:2004 [90]propisuje i posebna pravila za projektiranje spregnitih konstrukcija (sprezanje betona i èelika), kojasu obraðena u 6. dijelu ove norme, te posebna pravila koja se moraju primijeniti kod projektiranjadrvenih konstrukcija i zidanih konstrukcija u seizmièkim podruèjima (8. i 9. dio ove norme). Koncep-cija EN je takva da su sve konstrukcije, neovisno o materijalu od kojeg su saèinjene, izlo�ene istimdjelovanjima uz jednake koeficijente sigurnosti (vidjeti donju prezentaciju koncepcije EN).

294

POGLAVLJE 14.



14.10. Primjeri

Primjer 22.

Na slici 14-17. prikazan je popreèni presjek predgotovljene betonske kon-strukcije gara�e. Gara�a se sastoji od ukupno 12 ovakvih okvira.

Graðevina je temeljena u tlu razreda A. Usvojena je vrijednost brzanja u tlurazreda A je: a gg � 0 2, .

Potrebno je odrediti projektni spektar odziva za zadanu konstrukciju, te napi-sati kombinacije djelovanja za seizmièku proraèunsku situaciju.

Pritom valja imati na umu da je nosiva konstrukcija u potpunosti izvedena odarmiranobetonskih predgotovljenih elemenata. Prometno je optereæenje razreda G,Tablica 14-10. Usvojiti srednji razred duktilnosti (DCM).

(1) Provjera zadovoljava li konstrukcija kriterij pravilnosti po visini.

Prema kriteriju pravilnosti nesimetriènih su�enja u sluèaju ove konstrukcije,slika 14-6., je:

L L

L

��

�� 2 54 0 22 4

54 0

316

54 00 585 0 30

, ,

,

,

,, ,

L L

L1 2

1

54 0 38 2

54 0

15 8

54 00 414 010

��

��

, ,

,

,

,, ,

295


Sl. 14-17. Popreèni presjek konstrukcije � proraèunski model s izmjerama



L L

L1 2

1

38 2 22 4

38 2

15 8

38 20 414 010

��

��

, ,

,

,

,, ,

Buduæi da graðevina ne zadovoljava kriterij pravilnosti po visini, to kao po-sljedicu ima smanjenje faktora ponašanja q danih u Tablici 14-13. za 20%.

(2) Proraèun faktora ponašanja

Gornja vrijednost faktora ponašanja q za horizontalna seizmièka djelovanjaodreðuje se prema izrazu (14.39):

q q kw� � ,0 15, .

Osnovna vrijednost faktora ponašanja q0 prema Tablici 14-13. za okvirne su-stave i za razred duktilnosti DCM iznosi 3 1u a , dok kvocijent u a1 predstavljafaktor viška nosivosti konstrukcije, èija predlo�ena vrijednost za višekatne i više-brodne konstrukcije iznosi 1,3.

Ta bi vrijednost trebala biti manja, buduæi da je u ovom sluèaju konstrukcijamonta�na te cjelokupnu seizmièku silu preuzimaju samo stupovi koji su upeti u èa-šaste temelje (gubljenje seizmièke energije ostvaruje se samo u podno�ju stupova)pa je stoga usvojeno u a1 11� , .

Prema Tablici 14-14. faktor prevladavajuæeg oblika sloma konstrukcijskogsustava zidova kw ima jediniènu vrijednost.

Prema navedenim podatcima, faktor ponašanja za ovu konstrukciju ima vri-jednost:

q� � � � �0 80 3 11 1 2 64, ( , ) ,

Za sluèaj predgotovljene konstrukcije, vrijednost faktora ponašanja q p izraèu-nava se prema sljedeæem izrazu:

q k qp p� � (14.41)

gdje je:

q � izraèunati faktor ponašanja èija je vrijednost 2,64

k p � faktor smanjenja ovisan o kapacitetu trošenja energije predgotovljenekonstrukcije.

296

POGLAVLJE 14.



Predlo�ene su sljedeæe vrijednosti faktora smanjenja k p :

Spojevi predgotovljenih elemenata svrstani su u 3 skupine:[A] spojevi koji se nalaze izvan kritiènih podruèja i ne utjeèu na kapacitet

trošenja energije konstrukcije, slika 14-18.a)[B] spojevi koji se nalaze u kritiènim podruèjima, ali s prikladno poveæanom

nosivošæu u odnosu na ostatak konstrukcije, tako da se u potresu ponaša-ju elastièno, dok je neelastièno ponašanje pomaknuto u podruèja izvanspojeva, slika 14-18.b)

[C] spojevi koji se nalaze u kritiènim podruèjima i mogu ostvariti znatnuduktilnost, slika 14-18.c).

Faktor ponašanja predgotovljene konstrukcije q p , prema izrazu (14.41) imavrijednost:

q p � � �1 2 64 2 64, ,

297


kp

5

6D

7D

1,0 za konstrukcije sa spojevima A, B i C

0,5 za konstrukcije s ostalim spojevima.

Sl. 14-18. Spojevi predgotovljenih elemenataa) spojevi izvan kritiènih podruèjab) spojevi poveæane nosivosti s plastiènim zglobovima pomaknutim izvan spojac) duktilni, posmiku izlo�eni spojevi velikih panela smješteni u kritiènim podruèjima (npr. u prizemlju)d) duktilni, neprekinuti spojevi smješteni u kritiènim podruèjima okvira



(3) Projektni spektar odziva konstrukcije gara�e

Koristeæi izraze (14.12. � 14.15.) dobivaju se sljedeæe vrijednosti projektnogspektra S Td ( ) za horizontalne komponente seizmièkog djelovanja:

00 0T TB : S T gT

d ( ) ,,

,

,� � � � �

��

�

�

�

��

&

�'

(

�)0 2 1

2

3 015

5

2 64

2

3(14.12)

T T TB C� 0 : S T g gd ( ) ,,

,,� � � �0 2 1

2 5

2 640189 (14.13)

T T TC D� 0 : S Tg

T

g gd ( )

,,

,

,

, , ,

� � � �&�'

(�)

, � �

5

6D

7

0 2 12 5

2 64

0 4

0 2 0 2 0 04D(14.14)

T TD � : S Tg

T

g gd ( )

,,

,

,

, , ,

� � � ��&

�'(�)

, � �

50 2 1

2 5

2 64

0 4 2

0 2 0 2 0 04

26D

7D

(14.15)

Na slici 14-19. prikazane su toène vrijednosti projektnog spektra S Td ( ) dobi-vene u Mathcad-u primjenom gornjih izraza.

298

POGLAVLJE 14.

Sl. 14-19. Projektni spektar odziva S Td ( ) za tlo razreda A, a gg � 0 2, i ap � 2 64,



Dobiveni se projektni spektar koristi i za uzdu�ni i za popreèni smjer kon-strukcije.

Vertikalne komponente seizmièkih djelovanja uzimaju se u obzir u sluèaju ka-da je a gvg , 0 25, .

Prema Tablici 14.4. za potres Tipa 1 vrijedi:

a a g gvg g� � � �0 9 018 0 25, , ,

te stoga nije potrebno razmatrati vertikalne komponente seizmièkih djelovanja.

(4) Kombinacije djelovanja za seizmièku proraèunsku situacijuKombinacije djelovanja za seizmièku proraèunsku situaciju dane su izrazom

(14.37):

G P A Qk jj

Ed j k jj

, , ," " " " " " ., ,

� �� 1

21

L

Koeficijent L 2, j prema Tablici 14-10. za razred prometnog optereæenja G imavrijednost 0,3.

Sveukupno se dobije osam seizmièkih proraèunskih kombinacija, uzimajuæi uobzir moguænost djelovanja potresa u pozitivnom i negativnom smjeru promatranogpravca. Za sve su ove kombinacije u sljedeæoj tablici dane vrijednosti koeficijenataumnoška za stalno, potresno (u odreðenom pravcu) i promjenljivo djelovanje.

299


Kombinacije djelovanja Gk EEdx EEdy Qk

Komb. 1 1,00 1,00 0,30 0,30

Komb. 2 1,00 1,00 �0,30� 0,30

Komb. 3 1,00 �1,00� 0,30 0,30

Komb. 4 1,00 �1,00� �0,30� 0,30

Komb. 5 1,00 0,30 1,00 0,30

Komb. 6 1,00 0,30 �1,00� 0,30

Komb. 7 1,00 �0,30� 1,00 0,30

Komb. 8 1,00 �0,30� �1,00� 0,30



300

POGLAVLJE 14.

Sl. 14-20. Monta�a konstrukcije gara�e u Novom Vinodolskom projektiraneprema proraèunskom modelu prikazanom na slici 14-17.

Sl. 14-21. Zgotovljena gara�a u Novom Vinodolskom èija je konstrukcijaprojektirana prema proraèunskom modelu prikazanom na slici 14-17.



POGLAVLJE 15.

SEIZMIÈKA ANALIZA ZA MOSTOVE I VIJADUKTEPREMA EN 1998-2: 2004 (EUROKOD 8-2)



15.1. Temeljne postavke EN 1998-2: 2004

Eurokod 8-2 [91] za mostove temelji se na odredbama Eurokoda 8-1 [90] zazgrade i s njim èini cjelinu. Znaèi, da bi se razumjele odredbe Eurokoda 8-2 trebaovladati svim temeljnim pojmovima izlo�enim u prethodnom, 14. poglavlju (kon-cept temeljen na faktoru ponašanja q, nelinearno ponašanje konstrukcije u potresuitd.).

Most ili vijadukt treba projektirati tako da ponašanje konstrukcije u potresubude duktilno ili ogranièeno duktilno (u biti elastièno), u zavisnosti od seizmiè-nosti lokacije graðevine te je li na konstrukciji pri njenom projektiranju primijenjenkoncept izoliranja vibracija. Duktilno (D) ili ogranièeno duktilno (LD) ponašanjekonstrukcije okarakterizirano je odnosom sila i pomaka konstrukcije. Maksimalnevrijednosti faktora ponašanja q koje se mogu primijeniti za dvije horizontalnekomponente seizmièkog djelovanja dane su na slici 15-1. i Tablici 15-1., a ovise opost-elastiènom ponašanju duktilnih elemenata konstrukcije u kojima se najvišetroši seizmièka energija unesena u konstrukciju tijekom potresa. Ako most ili vija-dukt ima razne vrste duktilnih elemenata, faktor ponašanja q odgovara onoj grupielemenata koji najviše doprinose seizmièkoj otpornosti konstrukcije (napr. stu-povi). Mogu se upotrijebiti razlièiti faktori ponašanja u uzdu�nom pravcu mostai okomito na taj pravac. I ovdje se uvode pojmovi regularnog i neregularnogseizmièkog ponašanja mostova, kao što je to kao pojam (regularity criteria) uvede-no u Eurokodu 8-1.

Osnovni zahtjev Eurokoda 8-2 jest da konstrukcija posjeduje kapacitet duktil-nog ponašanja, što æe omoguæiti pojavu plastiènih zglobova. Pojava plastiènihzglobova bit æe osigurana ako se u fazi projektiranja poštuju posebna pravila za de-talje konstrukcije (detailing rules), dana u 6. dijelu Eurokoda 8-2 [91] te ako se po-stigne koncept projektiranja prema kapacitetu konstrukcije (capacity design) premadijelu 5.3 Eurokoda 8-2. Ovdje se neæe obraditi ta pravila za detalje konstrukcije,niti koncept projektiranja prema kapacitetu konstrukcije, veæ se èitatelj upuæuje naEurokod 8-2 u izvorniku.

U podruèjima koja mogu biti pogoðena potresima umjerenog do jakog inten-ziteta preporuèljivo je, radi ekonomskih i sigurnosnih razloga, most ili vijadukt

303

SEIZMIÈKA ANALIZA ZA MOSTOVE I VIJADUKTE PREMA EN 1998-2: 2004 (EUROKOD 8-2)



projektirati za duktilno ponašanje. Duktilno ponašanje posti�e se tako da se pred-vidi stvaranje plastiènih zglobova od savijanja, koji djeluju kao glavni elementihistereznog trošenja energije. Faktori ponašanja koji odgovaraju duktilnom pona-šanju kreæu se u granicama od q�15, do q� 3 5, , a za ogranièeno je duktilno po-našanje q015, , slika 15-1. i Tablica 15-1.

U odnosu na ekvivalentni sustav s jednim stupnjem slobode koji ima idealizi-rani elastièni � idealno plastièni odnos sile i pomaka, kao na slici 15-2., raèunskavrijednost faktora duktilnosti konstrukcije % d definirana je kao kvocijent kraj-njeg pomaka (ultimate limit state displacement) d u i pomaka na granici elastiènostid y , pri èemu se obje vrijednosti mjere od te�išta mase. Kada se radi linearna anali-za, uzima se da je sila na granici teèenja globalnog elastiènog � idealno plastiènogodnosa izmeðu sile i pomaka jednaka raèunskoj otpornosti FRd .

Krajnji pomak d u definiran je kao maksimalni pomak pod uvjetom da je kon-strukcija sposobna izdr�ati najmanje pet punih ciklusa pomaka, sve do krajnjeg po-maka d u i to:

304

POGLAVLJE 15.

Sl. 15-1. Seizmièko ponašanje konstrukcije i odgovarajuæi faktori ponašanja q(IE-idealno elastièno; E-prevladava elastièno; LD-ogranièeno duktilno i D-duktilno ponašanje)



305


Table 15-1. Maksimalne vrijednosti faktora ponašanja q

Vrsta duktilnog elementa

Seizmièko ponašanje:

Ogranièenoduktilno (LD)

Duktilno

(D)

Armiranobetonski stupovi:Vertikalni stupovi izlo�eni savijanjuNagnuti nosaè izlo�en savijanju

Èelièni stupovi:Vertikalni stupovi izlo�eni savijanjuNagnuti upornjak izlo�en savijanjuStupovi s uobièajenim ojaèanjemStupovi s ekscentriènim ojaèanjem

Upornjaci kruto vezani za kolnik:UopæeLocked-in konstrukcije (vidjeti. 4.1.6(9), (10))

Lukovi:

1,51,2

1,51,21,5–

1,51,0

1,2

3,5 � ( )s

2,1 � ( )s

3,52,02,53,5

1,51,0

2,0

* s sL h�Ls je razmak od plastiènog zgloba do nulte vrijednosti momenta savijanja u stupu;h je širina popreènog presjeka stupa (u smjeru savijanja) na mjestu plastiènog zgloba.Za s, 3 je: � ( ) ,s �1 0Za 3 1� , s je: �

( )s

s�3

Sl. 15-2. Globalni dijagram zavisnosti sile i pomaka za monotono rastuæe djelovanje(A-raèunska; B-elastoplastièna zavisnost)



� bez pojave iscrpljenja nosivosti armature za armiranobetonske popreènepresjeke ili bez lokalnih izboèivanja za èeliène presjeke;

� bez pojave opadanja otpornosti za èeliène duktilne elemente konstrukcijeili bez opadanja više od 20% krajnje vrijednosti otpornosti za armiranobe-tonske duktilne elemente konstrukcije, slika 15-3.

Eurokod 8-2 uvodi i koncept projektiranja mostova i vijadukata u potres-nim podruèjima, što predstavlja dodatak na uvjete dane u Eurokodu 2-2 [84] iEurokodu 3-2 [87]. Ovdje æe se samo spomenuti mostovi ili vijadukti s kolnièkomkonstrukcijom sustava kontinuiranog nosaèa. Cjelokupna konstrukcija ima krutost iu popreènom pravcu, pri èemu su popreène krutosti upornjaka i stupova doupornjaka puno veæe u odnosu na popreène krutosti ostalih stupova. Takavraspored krutosti stupova moguæ je ako su obale koje se premošæuju strme. Ako sene poduzmu odreðene mjere (kao što je moguænost popreènog klizanja kolnika namjestima iznad kratkih stupova, ili primjena elastiènih le�aja na mjestima iznadkratkih stupova), mo�e se dobiti ne�eljena, tj. neujednaèena raspodjela seizmièkihsila meðu stupovima, slika 15-4. Ovakav se moguæi sluèaj spominje jer æe se u nu-merièkom primjeru u nastavku pokazati proraèun upravo na ovakvom tipu vijadukta.

306

POGLAVLJE 15.

Sl. 15-3. Histerezna petlja odnosa sile i pomaka armiranobetonskog elementa(A-monotono optereæenje; B-peti ciklus)



I za projektiranje mostova i vijadukata u seizmièkim podruèjima postoje goto-vi programski paketi kojima se primjenjuju i odredbe Eurokoda 8-2, kao što je naprimjer softverski paket Bentley – RM Bridge, kojim je projektiran ovješeni mostSutong (slika 18-15.) s najveæim svjetskim rasponom za ovješene mostove.

307


15-4. Ne�eljena raspodjela sila na stupove vijadukta za popreèni pravac djelovanja potresa(A-uzdu�ni presjek; B-tlocrt)



15.2. Primjer seizmièke analize vijadukta

Primjer 23.

Koncept ovog 15. poglavlja zasniva se na prikazu primjene Eurokoda 8-2 [79]na primjeru vijadukta. Pokazat æe se da je za izradu ovakvog relativno slo�enogprimjera iz prakse, dovoljno predznanje iz dinamike konstrukcija izlo�eno uprethodnim poglavljima. Izabran je vijadukt Reber izgraðen u Sloveniji na auto-cesti Ljubljana � Zagreb. Analiza je provedena primjenom jednostavnih programaza ravninske okvire, a moguæe je modelirati konstrukciju vijadukta i primjenomtrodimenzionalnog (3D) modela.

U Republici Hrvatskoj, za koju se mo�e reæi da je cijelo njeno podruèje seiz-mièki aktivno, do sada nije niti postojala regulativa koja propisuje naèin izraèunain�enjerskih konstrukcija (mostovi, vijadukti itd.) na djelovanje sila potresa. Zbogtoga je sretna okolnost pojava Eurokoda 8-2 i moguænost njegove primjene i kodnas.

Standardni je postupak proraèuna uporabom Eurokoda 8-2 izraèun pre-ma linearnoj teoriji primjenom projektnog spektra, koji se dobije na naèinda se vrijednosti prosjeènog elastiènog spektra odziva podijele s faktoromponašanja q, èija je vrijednost, kao što je objašnjeno u dijelu 15.1., veæa od jedi-nice.

To znaèi da se konstrukcija proraèunava na potresna djelovanja koja su q-putamanja od djelovanja kada je odziv konstrukcije u elastiènom podruèju. Time seuvodi povoljan utjecaj nelinearnog ponašanja duktilnih konstrukcija u potresu (tro-šenje seizmièke energije).

Faktori ponašanja odra�avaju duktilnost konstrukcije, tj. sposobnost stupo-va mosta ili vijadukta da bez sloma preuzmu potresna djelovanja u poslije-elastiè-nom podruèju. Mjesta svih potencijalnih plastiènih zglobova moraju biti dostup-na za pregled i popravak, u protivnom se vrijednosti faktora ponašanja morajusmanjiti.

308

POGLAVLJE 15.



15.2.1. Opis konstrukcije

Analiziran je vijadukt na djelovanje potresa prema Eurokodu 8-2 [91]. Zaoèekivati je da æe se u buduænosti Eurokod dopunjavati na temelju rezultata znan-stvenih istra�ivanja, jer se struèna povjerenstva koja rade na inovacijama eurokodavrlo èesto sastaju, ali filozofija projektiranja vijadukta ili mosta u svakoj narednojinaèici eurokoda ostat æe ista ili gotovo ista, utemeljena na faktorima ponašanja, sciljem da te konstrukcije budu otporne na djelovanje sila potresa.

Ovdje je odabran primjer vijadukta koji ukljuèuje veæinu moguænosti koje semogu dogoditi u praksi, a to su: vitki te umjereno kruti i kruti stupovi, stupovi te-meljeni na pilotima, vitki stupovi plitko temeljeni te strma (desna) odnosno blagonagnuta (lijeva) kosina popreènog presjeka profila koji se premošæuje. Izvršeno jemodeliranje navedenih tipova stupova i proraèun seizmièkog optereæenja na stupo-ve za uzdu�ni i popreèni pravac vijadukta. Na temelju toga treba dimenzioniratistupove prema Eurokodu 8-2 i Eurokodu 2-1 [83]. U ovom je poglavlju izlo�en sa-mo dio navedene analize, a kompletan prikaz dan je u literaturi [16].

Vijadukt za koji æe se izlo�iti proraèun na djelovanje sila potresa sastoji se odkontinuirane rasponske konstrukcije preko 14 polja. Prvo i zadnje polje su raspona33,8 m, a rasponi ostalih polja su po 45 m, pa je ukupna duljina vijadukta 607,6 m(slika 15-5.).

Rasponska konstrukcija oslanja se na dva krajnja upornjaka i na trinaeststupova. Pet je stupova (6-10) temeljeno na pilotima. Izvedba je le�ajeva kol-nièke konstrukcije takva da se potresno optereæenje u popreènom smjeru pre-nosi preko svih trinaest stupova i oba upornjaka, dok se ukupno potresno opte-reæenje u uzdu�nom smjeru prenosi samo preko tri stupa u sredini vijadukta (6, 7i 8).

309


Sl. 15-5. Uzdu�ni presjek vijadukta Reber na autocesti Ljubljana-Zagreb



• Kolnièka (rasponska) konstrukcija

Presjek kolnièke konstrukcije shematski je prikazan na slici 15-6. Presjek jerazlièit u polju od onog u blizini le�aja, jer je na du�ini 9,5m lijevo i desno od sva-kog stupa kolnièka konstrukcija ojaèana. Karakteristike popreènog presjeka, kojesu bitne pri optereæenju u popreènom smjeru (pri èemu simbol z oznaèava vertikal-nu te�išnu os presjeka, slika 15-6.), jesu:

• u polju

A � 9,37 m2; As � 6,64 m2; Iz � 91,2 m4

• iznad podupora

A � 12,2 m2; As � 6,55 m2; Iz � 107,3 m4

A je površina presjeka, As je posmièni presjek u popreènom smjeru, Iz jemoment inercije za optereæenje u popreènom smjeru. Pri odreðivanju posmiènogpresjeka As uzeti su u obzir samo horizontalni dijelovi sanduèastog presjeka, kojipri optereæenju u popreènom smjeru predstavljaju stijenke. Iznad svakog stupa teoba upornjaka nalaze se popreèni nosaèi (ojaèanja). Njihova je širina 2 m (iznadstupova), te 1,8 m (iznad upornjaka). Te�ište kolnièke konstrukcije nalazi se naudaljenosti 2,19 m od donjeg ruba konstrukcije, slika 15-6. Kvaliteta betona jeC35/45.

310

POGLAVLJE 15.

Sl. 15-6. Popreèni presjeci kolnièke konstrukcije:u polju (1-1) i nad le�ajima (2-2)



• Stupovi

Stupovi su sanduèastog presjeka s debljinom stijenki 35 cm (slika 15-7.), siznimkom gornjih 5,5 m gdje su ojaèani. Stupovi su od betona marke C29/35.Debljina stijenki ojaèanih dijelova u uzdu�nom smjeru vijadukta iznosi 1,3 m nadu�ini 1,35 m od vrha stupa, a u daljnjih 4,15 m linearno se smanjuje na 35 cm. Osx je u uzdu�nom smjeru, a os y u popreènom smjeru mosta, slika 15-7.

Stupovi u osima 6, 7 i 8, koji pre-nose ukupno potresno optereæenje u uz-du�nom smjeru, imaju ojaèane presjeke iu donjem dijelu, na du�ini od 5 m. Deblji-na stijenki u popreènom smjeru vijaduktapoveæana je i na mjestu upetosti stupa utemelj iznosi 45 cm, zatim se postupnosmanjuje do 35 cm. Širina stupa u po-preènom smjeru vijadukta jednaka je zasve stupove i iznosi 5,3 m. Mijenja se sa-mo širina stupova u smjeru paralelno s osivijadukta. Na vrhu je širina svih stupova3,4 m, a dalje se stup širi po visini i to unagibu 1:50.

311


Tablica 15-2. Karakteristike popreènih presjeka stupova na mjestu upetosti stupau temelj

Stup 1 2 3 4 5 6-8 9-10 11 12 13

A [m2] 5,81 5,89 6,03 6,15 6,36 7,47 6,45 6,59 6,13 7,40

As [m2] 3,71 3,71 3,71 3,71 3,71 4,51 3,71 3,71 3,71 3,71

Ix [m4] 21,57 21,87 22,90 23,67 24,92 27,70 25,48 26,38 23,50 28,77

Iy [m4] 12,02 12,57 14,58 16,19 19,01 25,46 20,36 22,65 15,83 11,96

Sl. 15-7. Popreèni presjek stupova



15.2.2. Analiza konstrukcije

15.2.2.1. Vertikalno optereæenje i mase

Vrijednosti uzdu�nih sila od pripadajuæeg dijela vlastite te�ine kolnièke kon-strukcije (uzeti su u obzir i popreèni nosaèi iznad stupova) i od vlastite te�ine stupo-va prikazane su u Tablici 15-3. Prometno je optereæenje izostavljeno, u skladu sodredbom Eurokoda 8-2, prema kojoj se uzima faktor L 21 za mostove s uobièajenimintenzitetom prometa. Znaèenje ovog faktora detaljno æe se objasniti u poglavlju 15.2.3.

U Tablici 15-4. dane su mase gornjih polovica stupova koje æe se poslije zbra-jati s masama kolnièke konstrukcije.

312

POGLAVLJE 15.

Tablica 15-3. Raèunska vertikalna optereæenja na stupove od vlastite te�ine

Stuph

[m]

NEd

[kN]

vrh uklješt.

1 9,3 14180 15900

2 13,0 14520 16800

3 17,4 14520 17400

4 23,8 14520 18400

5 28,7 14520 19200

6 32,8 14520 19900

7 33,3 14520 20000

8 33,9 14520 20100

9 34,6 14520 20100

10 35,2 14520 20200

11 39,0 14520 20900

12 21,3 14520 18000

13 5,5 14180 15300



• Potresno optereæenje

Vijadukt se nalazi u podruèju u kojem je prema zemljovidu Slovenije s vrijed-nostima ubrzanja u tlu razreda A, slika 15-17., vrijednost ubrzanja a gg � 0 2, . Zaovakve znaèajne konstrukcije vrijednosti ag se dobiju posebnim mjerenjima na sa-moj lokaciji graðevine.

Tlo na kojem se graðevina temelji uvršteno je u razred B (to su depoziti vrlozbijenog pijeska, šljunka ili krute gline, èije se mehanièke karakteristike poboljša-vaju s dubinom, a brzina posmiènih valova u tom mediju ima vrijednost izmeðu360 i 800 m/s). Konstrukcija je projektirana kao duktilna, a kako kod veæine stu-pova vijadukta prevladava savijanje, za faktor ponašanja usvojena je vrijednostq � 3,5. Navedenim uvjetima odgovara projektni spektar S Td ( ) na slici 15-8., na-crtan u MatCAD-u prema jednad�bama danim u 14. poglavlju.

313


Tablica 15-4. Mase gornjih polovica stupova

Stup 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Masa

[t]99 130 163 212 249 284 284 284 297 297 329 192 64

Sl. 15-8. Projektni spektar odziva S Td ( ) za tlo razreda B; ag � 0,2g; q � 3,5



Napomena: Ovdje valja uoèiti da se istim simbolom Sd u 12. poglavlju oznaèila vrijednostspektralnog pomaka, jednad�ba (12.5). Uporaba istog simbola u ovom i u 12. poglavlju ima svojeopravdanje, jer u oba sluèaja S oznaèava spektar, samo indeks d u 12. poglavlju oznaèava pomak(displacement), dok u ovom, 14. poglavlju, taj indeks oznaèava projektni spektrar (design spectrum).Zbog toga se u posljednje vrijeme u literaturi za spektralni pomak koristi oznaka D, za spektralnupseudobrzinu V te za spektralno pseudoubrzanje oznaka A.

15.2.2.2. Analiza konstrukcije u uzdu�nom smjeru

Za proraèun u uzdu�nom smjeru pretpostavlja se potpuno kruta kolnièka kon-strukcija i usvaja se model s jednim stupnjem slobode. Le�ajevi su tako izvedeni daje moguæ prijenos horizontalnog optereæenja u uzdu�nom smjeru s kolnièke kon-strukcije na samo tri stupa (u osima 6, 7 i 8).

• Proraèun masa

Masa koja se uzima u obzir u proraèunu ukupna je masa rasponske konstruk-cije (Tablica 15-3.) zbrojeno s masom popreènih nosaèa:

M rk � 19 890 kN s2 m�1

i mase gornjih polovica stupova 6, 7 i 8 (Tablica 15-4.):

M st . , ,6 7 8 3 284 850� � � kN s2 m�1

Ukupna masa koja djeluje na stupove u osima 6, 7 i 8 ima vrijednost:

M � � �19 890 850 20 740 kN s2 m�1

• Proraèun krutosti

Krutost èitave konstrukcije u uzdu�nom smjeru proraèunata je kao zbroj kru-tosti triju stupova, 6, 7 i 8, gdje se za svaki stup uzima model prema slici 15-9.Tlocrtni raspored pilota prikazan je na slici 15-10.

U modelu stupova 6, 7 i 8 na slici 15-9. element 1 predstavlja krutu vezuizmeðu le�ajeva i te�išta popreènog presjeka kolnièke konstrukcije (krutost ovog

314

POGLAVLJE 15.



elementa usvojena je kao desetostruka krutost stupa a njegova je visina 2,19 m,slika 15-6.), element 2 predstavlja dva betonska podupirala visine 0,75 m (slika15-6.) na kojima se nalaze le�ajevi a zglobno je povezan s elementom 1., dokse elementima 3 � 9 modeliraju pojedini odsjeèci stupa. Izmeðu stupa i temeljaumetnut je kruti element 10, èija je krutost takoðer usvojena kao desetostruka kru-tost stupa na tom mjestu. Kruti su elementi 15-17 postavljeni i izmeðu glave teme-lja i pilota, a njihove su krutosti jednake desetostrukim krutostima pilota. Elementi18 i 20, kojima su modelirani piloti, predstavljaju po èetiri pilota, dok element 19predstavlja dva pilota, slika 15-10. Piloti su modelirani kao kruto upeti u dolomitnustijenu.

315


Sl. 15-9. Model stupova 6, 7 i 8



Krutosti stupova su:

k 6 � 44 000 kN m�1; k 7 � 41 650 kN m�1; k 8 � 38 650 kN m�1

Stup 6 ima 35,4% ukupne krutosti sva tri stupa, dok stupovi 7 i 8 imaju 33,5%odnosno 31,1% ukupne krutosti.

Krutost èitave konstrukcije u uzdu�nom smjeru je:

kk � � � �44 000 41650 38 650 124 300 kN m�1

• Osnovni period vibracija i potresna sila

Osnovni period vibracija u uzdu�nom smjeru ima vrijednost:

TM

kk

� � �2 220 740

124 3002 56� � , s (15.1)

Buduæi je T TC� , za tlo razreda B (Tablica 14-2.) spektralno se ubrzanje do-bije prema jednad�bi iz projektnog spektra na slici 15-8.:

316

POGLAVLJE 15.

Sl. 15-10. Raspored pilota u osima 6, 7 i 8



S Td ( ) , ,,

,,� � �

�

�

�

��0172 9 81

0 5

2 560 33 m s�2 (15.2)

te potresna sila u nivou kolnièke konstrukcije koja djeluje u uzdu�nom smjeru mo-sta ima vrijednost:

F M S Td� � � � �( ) , ,20 740 0 33 6 844 20 kN (15.3)

• Unutarnje sile u stupovima

Ukupna potresna sila raspodijeljena je na pojedine stupove s obzirom na nji-hove krutosti. Sila koja pripada pojedinom stupu jednaka je popreènoj sili stupa zauzdu�ni smjer mosta. U skladu s krutosti pojedinog stupa, popreène sile imaju vri-jednosti 2 423 kN, 2 293 kN i 2 128 kN za stupove 6, 7 i 8.

Sada je lako izraèunati i momente savijanja na mjestima upetosti stupova, kojiimaju vrijednosti 81 170 kN m, 76 816 kN m i 71 288 kN m.

15.2.2.3. Analiza konstrukcije u popreènom smjeru

U popreènom smjeru potresno se djelovanje prenosi preko dvaju krajnjihupornjaka i preko svih trinaest stupova. Za proraèun je uporabljen dinamièki modelprema slici 15-11, usvajanjem trinaest diskretnih masa, tj. trinaest stupnjeva slobo-de (pomaci u popreènom smjeru). Ovaj se model mo�e promatrati kao kontinuiraninosaè, nepomièno oslonjen na krajevima, dok su svi unutarnji oslonci elastièni. Nataj se naèin model raèuna kao ravninski okvir.

317


Sl. 15-11. Model konstrukcije za analizu u popreènom smjeru



• Proraèun masa

Za srednje stupove usvaja se da jednom stupu pripada masa jednog polja ras-ponske konstrukcije (Tablica 15-5.):

M rk � 1 473 kN s2 m�1

Masa koja pripada svakom krajnjem stupu nešto je manja:

M rk � 1 438 kN s2 m�1

Ovim masama dodaju se još i mase gornjih polovica stupova iz Tablice 15-4. UTablici 15-5. prikazane su vrijednosti ukupnih koncentriranih masa za svaki stup.

318

POGLAVLJE 15.

Tablica 15-5. Koncentrirane mase iznad stupova

Stup Mrk Ms/2 M

1 1438 99 1537

2 1473 130 1603

3 1473 163 1636

4 1473 212 1685

5 1473 249 1722

6 1473 284 1757

7 1473 284 1757

8 1473 284 1757

9 1473 297 1770

10 1473 297 1770

11 1473 329 1802

12 1473 192 1665

13 1438 64 1502

�M � 21963



• Karakteristike kolnièke konstrukcije

Kolnièka konstrukcija modelirana je kao kontinuirani nosaè na elastiènimosloncima, èije su karakteristike presjeka navedene u dijelu 15.2.2.

• Krutosti stupova

Krutosti su izraèunate za svaki stup posebno. Pri tome je, s obzirom na naèintemeljenja, potrebno odvojiti stupove temeljene na pilotima (slika 15-12., slika15-13.) od plitko temeljenih stupova (slika 15-14.).

Za stupove temeljene na pilotima uzeta su u obzir dva razlièita modela. Jedanmodel predstavlja “prosjeèni” stup grupe stupova 6-8 (slika 15-12.), dok drugi mo-del predstavlja “prosjek” stupova 9 i 10 (slika 15-13.).

U modelu stupova 6-8, element 1 predstavlja betonsku podlogu na kojoj senalaze le�ajevi, elementima 2 � 8 modeliraju se pojedini dijelovi stupa, element 9predstavlja krutu vezu izmeðu stupova i temelja (desetostruke vrijednosti krutostistupova), elementi 16 � 19 predstavljaju krute veze izmeðu glave temelja i pilota(desetostruke vrijednosti krutosti pilota), elementima 20 i 23 modeliraju se tri pilo-ta dok se elementima 21 i 22, slika 15-6., modeliraju dva pilota. Slièno je i za mo-del stupova 9 i 10.

Pri proraèunu krutosti stupova ks deformabilnost temeljnog tla uzimana jeu obzir pomoæu opruga, a krutosti tih opruga izraèunate su prema podatcima izliterature [51]. Dobivene krutosti stupova u popreènom pravcu prikazane su uTablici 15-6.

319


Tablica 15-6. Krutosti stupova

Stup 1 2 3 4 5 6-8 9-10 11 12 13

ks

[kN m�1]302650 249663 154779 77831 50809 51600 41100 27020 100217 628707



• Postupak analize

Za analizu u popreènom smjeru upotrebljava se modalna analiza iz 13. po-glavlja ove knjige, što znaèi da se uzimaju u obzir i viši oblici vibracija. Proraèuna-to je devet vlastitih vrijednosti vibracija primjenom programa EAVEK [32].

Prema Eurokodu 8-2 [91] potrebno je uzeti u obzir onoliko vlastitih oblika vibraci-ja kojih zbroj sudjelujuæih masa prelazi 90% ukupne mase konstrukcije iz Tablice 15-5.

Sudjelujuæa masa mi* za i-ti oblik vibracija odreðena je jednad�bom (13.41) iz

13. poglavlja:

m

m

mi

ij jj

n

ij jj

n* �

�

�

�

�

��

�

�

�

�

M

M

1

2

2

1

(15.4)

320

POGLAVLJE 15.

Sl. 15-12. Model za proraèunkrutosti stupova 6-8

Sl. 15-13. Model za proraèunkrutosti stupova 9 � 10

Sl. 15-14. Model za proraèunkrutosti plitko temeljenih stupova



gdje:i � oznaèava vlastiti oblik vibracija,

m j � predstavlja masu na mjestu j,

M ij � vrijednost i-tog vlastitog oblika na mjestu mase j.

321


Sl. 15-15. Vlastiti oblici vibracija



Vrijednosti sudjelujuæih masa za svaki ton prikazane su u Tablici 15-7. UvjetEurokoda 8-2 u ovom je sluèaju ispunjen ako se uzme u obzir najmanje 7 vlastitihoblika vibracija, a koji su prikazani na slici 15-15., jer je:

mii

* ,�

� � � �1

7

20 897 0 9 21963t

U sluèaju ovdje razmatrane konstrukcije izra�en je utjecaj viših oblika na vrijed-nosti ukupnih pomaka mosta u popreènom pravcu, što je detaljno komentirano u [34].

Proraèunska optereæenja na stupove za popreèni pravac dobiju se na isti naèinkao što je to pokazano u 13. poglavlju. Naime, za svaki i-ti oblik dobije se optere-æenje na svaki stup, a ukupno maksimalno optereæenje na pojedini stup, imajuæi uvidu prvih sedam vlastitih oblika, dobije se iz jednad�be (13.42).

15.2.2.4. Proraèun pomaka konstrukcije

Pomaci konstrukcije odreðeni su na naèin da su ponovljeni proraèuni za uz-du�ni i popreèni smjer, ali ovaj put s reduciranim vrijednostima krutosti presjeka.Vrijednosti krutosti popreènih presjeka moraju se reducirati zbog pojave “raspuca-vanja” (cracking) i degradacije krutosti betonskih presjeka pri potresnom djelova-nju. Proraèun reduciranih krutosti dan je u dodatku C Eurokoda 8-2 [91] (Annex C:Estimation of the effective stiffness of reinforced concrete ductile members).

322

POGLAVLJE 15.

Tablica 15-7. Vlastite periode i sudjelujuæe mase

Vlastiti oblici 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Vlastite periode

T [s]1,23 1,09 0,89 0,70 0,56 0,47 0,40 0,34 0,29

Sudjelujuæe mase

mi*

10627 2363 2714 189 3052 427 1525 4 499

�mi* 10627 12990 15704 15893 18945 19372 20897 20901 21399

�mi* /ukupna masa 0,48 0,59 0,72 0,72 0,86 0,88 0,95 0,95 0,97



Proraèunski pomaci raspucale konstrukcije d E u potresu odreðuju se u veæi-ni sluèajeva na naèin da se pomaci konstrukcije pri pretpostavljenom linearnomponašanju d Ee pomno�e s faktorom ponašanja konstrukcije q. U ovom primjeru jeq � 3,5.

Znaèi da proraèunski potresni pomak raspucale konstrukcije za npr. uzdu�nismjer vijadukta ima vrijednost:

d d qE Ee� � �E (15.5)

Vrijednost E predstavlja korekcijski faktor kojim se uzima u obzir prigušenjeu konstrukciji.

Ovdje treba spomenuti da se prema Eurokodu 8-2 dobivene proraèunske vri-jednosti potresnih pomaka d E trebaju kombinirati s pomacima dG od stalnih i kva-zi stalnih djelovanja, koji se mjere tijekom dugog razdoblja (kada se uzima u obzirskupljanje i teèenje betona), te s pomacima uslijed utjecaja temperature d Ts , nasljedeæi naèin:

d d d dEd E G Ts� � (15.6)

U ovoj kombinaciji je d dTs T� 0 4, , što znaèi da se pomaci zbog potresa kom-biniraju s 40% vrijednosti pomaka od najnepovoljnijeg temperaturnog utjecaja d T .

Na slici 15-16. prikazani su horizontalni pomaci i horizontalne popreène sileza razmatrani vijadukt Reber na autocesti Ljubljana � Zagreb. Oèito je dobivenskladan raspored popreènih sila na stupove te je udovoljeno uvjetu koji je komenti-ran na slici 15-4.

323




324

POGLAVLJE 15.

Sl. 15-16. Horizontalni pomaci i horizontalne popreène sile uslijed djelovanja potresa



15.2.3. Poseban komentar

Dimenzioniranje stupova izvršit æe se prema reznim silama seizmièke prora-èunske situacije, koju nije moguæe ostvariti bez seizmièke analize konstrukcije.Seizmièka analiza provedena je za vrijednost ubrzanja (u tlu razreda A) a gg � 0 2, .Pretpostavlja se da je graðevina od prosjeène va�nosti. Prilikom djelovanja sila po-tresa konstrukcija se ponaša duktilno (q � 3,5).

Proraèunske rezne sile za seizmièku proraèunsku situaciju dobiju se na te-melju kombinacije djelovanja iz EN 1990: 2002 [78]:

G P A Q Qk k Ed k" " " " " " " ", ,� � � � �L 2 1 1 2 (15.7)

gdje je:

Gk � karakteristiène vrijednosti stalnih djelovanja,

Pk � karakteristièna vrijednost sile prednapinjanja nakon svih gubitaka,

AEd � proraèunsko potresno djelovanje prema EN1998-1: 2004 [90],

L 2 1, � koeficijent kombinacije za promjenljiva djelovanja premaEN 1998-2:2005 [91],

Qk ,1� karakteristièna vrijednost prometnog djelovanja,

Q 2 � vrijednost kvazi-stalnog djelovanja za dugo vremensko razdoblje (tlaktla, naplavina, itd).

Treba uoèiti da, kao i u zgradarstvu, posljednji izraz ne sadr�i globalne koefi-cijente sigurnosti �.

Buduæi da Eurokod 8-2 za mostove s normalnim prometom predviða da jekoeficijent L 2 1, jednak nuli, vrijednosti prometnog optereæenja Qk ,1 u prikazanomprimjeru nisu uzete u obzir.

Srednji stupovi 6, 7 i 8 preuzimaju potresnu silu u uzdu�nom i popreènomsmjeru.

U ovom je primjeru vertikalna komponenta potresa zanemarena sukladnoodredbi koju definira Eurokod 8-2, prema kojoj se zanemaruju uèinci vertikalnekomponente potresa na stupove u podruèjima niske i srednje seizmiènosti. Upodruèjima visoke seizmiènosti uèinke vertikalne komponente potresa treba uzeti uobzir samo u iznimnim sluèajevima kada su stupovi izlo�eni velikim naprezanjimazbog savijanja od stalnog djelovanja.

325




Primjena Eurokoda 8-2 u Republici Hrvatskoj mora biti u skladu s odredbamaNacionalnog dodatka za primjenu Eurokoda 8-2.

Kao što je veæ spomenuto, u ovom je poglavlju izlo�en samo dio koji se odno-si na dinamièku analizu konstrukcije vijadukta, a kompletan numerièki prikaz (s di-menzioniranjem i detaljima armiranja) dan je u literaturi [16].

326

POGLAVLJE 15.

Sl. 15-17. Zemljovid Slovenije s vrijednostima agR za tlo razreda A, poredbeni povratni periodpotresa T TR NCR� � 475 godina, poredbenu vjerojatnost prekoraèenja P PR NCR� �10%

i vrijeme trajanja graðevine TL � 50 godina



POGLAVLJE 16.

NELINEARNE SEIZMIÈKE ANALIZE KONSTRUKCIJAPREMA EN 1998-1: 2004



16.1. Uvod

Odavno je uoèena potreba za nelinearnom seizmièkom analizom graðevinskihkonstrukcija te se temeljni pojmovi takve analize u posljednje vrijeme veæ opisujui u knjigama [6]. U svijetu su voðena i u tijeku su obimna znanstvena istra�ivanjana ovu temu. Kao primjeri spomenuti su objavljeni rezultati znanstvenih istra�iva-nja autora iz SAD Chopre i Goela [8, 36, 37], te Fajfara i suradnika [25, 26, 27, 30]iz Europe. Ovdje se neæe izlagati povijesni razvoj istra�ivanja na ovu temu, koji poèi-nje od radova objavljenih prije 25 godina, na primjer [63], veæ æe se izlo�iti neki naj-noviji rezultati istra�ivanja nelinearnog ponašanja konstrukcija koji su poslu�ili kaotemelj onih odredbi Europske norme EN 1998-1: 2004 [90] koje uvode moguænostnelinearnog seizmièkog proraèuna konstrukcija. Naime, u Europskoj normi EN1998-1:2004 u dijelu 4.3.3 uvode se i propisuju nelinearne metode proraèuna kon-strukcija.

Uèinci potresnog djelovanja AEd iz seizmièke proraraèunske situacije,opisane u 14. poglavlju ove knjige, mogu se odrediti na sljedeæe naèine, Tablica16-1.:

a) primjenom ekvivalentnog statièkog djelovanja, kada je odziv konstrukcijetakav da ne postoji znaèajan doprinos viših oblika osciliranja (uzima seutjecaj samo prvog oblika),

329

NELINEARNE SEIZMIÈKE ANALIZE KONSTRUKCIJA PREMA EN 1998-1: 2004

Tablica 16-1. Seizmièke analize konstrukcija prema EN 1998-1: 2004

Analizakonstrukcija

Statièka Dinamièka

LinearnaLinearna analiza primjenomekvivalentnog statièkog djelovanja

Modalna analiza spektrima odziva

NelinearnaNelinearna statièka metodapostupnog guranja

Nelinearna dinamièka analiza uvremenu



b) modalnom analizom spektrima odziva, koja se primjenjuje bez ogranièe-nja, znaèi za sve konstrukcije u zgradarstvu kod kojih postoji utjecaj višihoblika osciliranja na odziv konstrukcije,

c) nelinearnom statièkom metodom postupnog guranja (pushover) (uzima seutjecaj samo prvog tona),

d) nelinearnom dinamièkom analizom u vremenu (time history).

U 13. i 14. poglavlju takoðer su navedene sve èetiri metode seizmièkog pro-raèuna konstrukcija (dvije linearne i dvije nelinearne), a ova tablica dana je i u14. poglavlju (Tablica 14-1.). Znaèi, u 13. i 14. poglavlju obraðene su linearne me-tode seizmièkog proraèuna konstrukcija, a Tablicom 16-1. naglašava se da valjaobjasniti još dvije nelinearne metode (nelinearnu statièku i nelinearnu dinamièkumetodu).

Da bi se radila nelinearna analiza treba prethodno pretpostaviti popreène pre-sjeke i kolièine armature, a kao rezultat æe se dobiti deformacije (pomaci i relativnipomaci), tj. ošteæenja konstrukcije (plastifikacija odreðenih popreènih presjeka),dok se u linearnim metodama proraèuna armatura dobiva kao krajnji rezultat.

330

POGLAVLJE 16.



16.2. Nelinearna statièka metoda postupnog guranja

Iako se linearnom analizom primjenom ekvivalentnog statièkog optereæenjapostiglo nelinearno ponašanje same konstrukcije u potresu (fenomen q faktora, po-glavlje 14.), temeljem te metode radi se i dalje linearna statièka analiza konstrukci-je i osjetila se potreba za uvoðenjem u praksu jedne jednostavne nelinearne statièkemetode, koja nije postojala u europskoj prednormi ENV 1998-1-1:1994 [89]. Uovom, 16. poglavlju najprije æe se obrazlo�iti temeljni pojmovi koji æe doprinijetirazumijevanju onih odredbi Europske norme EN 1998-1: 2004 koje uvode neli-nearnu statièku analizu konstrukcija, za što je dano objašnjenje u Dodatku B(Annex B) ove norme pod nazivom: Proraèun ciljanog pomaka (target displace-ment) za nelinearnu statièku metodu postupnog guranja (pushover). Ovaj postupaku EN 1998-1:2004 temelji se na radovima [25, 26, 27, 30] koji opisuju nelinearnustatièku metodu N2 (slovo N oznaèava da se radi o nelinearnoj analizi, a broj 2 dasu primijenjena dva matematièka modela).

Ovdje æe se znaèi izlo�iti nelinearna statièka metoda N2 za proraèun ciljanogpomaka konstrukcije izlo�ene potresnim djelovanjima. Ona kombinira metodu po-stupnog guranja (pushover) modela s više stupnjeva slobode (multi-degree-of-freedomMDOF) sa spektralnom analizom ekvivalentnog sustava s jednim stupnjem slobo-de (single-degree-of-freedom SDOF). Na taj naèin metoda uporeðuje seizmièki ka-pacitet konstrukcije (capacity) i seizmièki zahtjev (demand) izra�en spektromodreðenog potresa, koji se i inaèe daje za sustave s jednim stupnjem slobode. Takoje uveden in�enjerski koncept utemeljen na ponašanju konstrukcija (performancebased engineering concept), èime se veæa pa�nja �eli posvetiti kontroli ošteæenja(damage control). Metoda je formulirana u ubrzanje � pomak (AD) formatu, štoæe se pokazati u nastavku, koji omoguæuje vizualnu interpretaciju postupka i odno-sa izmeðu osnovnih vrijednosti koje utjeèu na seizmièki odziv konstrukcije.

Opæenito, rezultati metode N2 prihvatljivo su toèni ako konstrukcija oscilirapredominantno u svome prvom tonu. Ovo je dosta znaèajna restrikcija, koja ogra-nièava vrste konstrukcija za koje je metoda N2 primjenljiva. U tijeku su istra�iva-nja nakon kojih æe se metoda N2 proširiti, tj. njom æe se moæi uzeti u obzir i utjeca-ji viših tonova na ponašanje konstrukcija u potresu.

331




U ovom, 16. poglavlju opisana je metoda N2, dani su i neki va�niji zakljuèci,a na kraju je primjena metode N2 prikazana numerièkim primjerima.

Za razumijevanje gradiva koje æe biti izlo�eno u nastavku dovoljno je pred-znanje iz dinamike konstrukcija izlo�eno u ovoj knjizi.

U skladu s temeljnim uvjetom konstrukcijskih euronormi, da su uèinci djelo-vanja manji od otpornosti konstrukcije (E Rd d0 ), mo�e se napisati:

+ dem � seizmièki zahtjev (seismic demand)01

+ cap

� kapacitet (capacity)

Seizmièki zahtjev predstavlja uèinke djelovanja na konstrukciju, što je danospektrom odreðenog potresa ili spektrom propisanim u tehnièkom propisu.

Kapacitet je otpornost konstrukcije, koja se dobije metodom postupnog gu-ranja. Uobièajeno je da se kod nas i u svijetu za metodu postupnog guranja koristiskraæeni naziv “pushover” prema engleskom terminu za ovaj pojam.

U posljednjoj su nejednad�bi koeficijenti sigurnosti za djelovanja na kon-strukciju + dem i otpornost konstrukcije + cap dani provizorno, u skladu s uvedenimobilje�avanjem u svim konstrukcijskim euronormama. Ovi su koeficijenti veæi odjedinice.

I na kraju ovog uvodnog dijela napisat æe se dijelovi spomenutog poglavlja4.3.3. EN 1998-1: 2004 [90] u kojima se spominju navedeni pojmovi:

• 4.3.3.4.2.3. Krivulja kapaciteta (Capacity curve)

Odnos izmeðu ukupne popreène sile u nivou temelja i kontroliranog poma-ka (the capacity curve) treba biti odreðen pushover analizom za vrijednosti kontro-liranih pomaka koje se kreæu izmeðu nule i 150% od vrijednosti ciljanog pomaka(the target displacement), definiranoj u 4.3.3.4.2.6.

• 4.3.3.4.2.6. Ciljani pomak (Target displacement)

Ciljani pomak definira se kao seizmièki zahtjev (the seismic demand) proizi-šao iz elastiènog spektra odziva (the elastic response spectrum) definiranog u3.2.2.2. u ovisnosti od pomaka ekvivalentnog sustava s jednim stupnjem slobode.

Dodatak: Informativni Annex B [90] opisuje proceduru odreðivanja ciljanog pomaka iz elastiè-nog spektra odziva.

332

POGLAVLJE 16.



16.2.1. Opis nelinearne statièke metode N2

Radi boljeg razumijevanja, metoda N2 æe se prikazati u koracima. Utjecajošteæenja konstrukcije neæe se uzimati u obzir. Treba napomenuti da se predlo�enipostupci, korišteni u pojedinim koracima, mogu jednostavno zamijeniti drugim do-stupnim postupcima. Sa�etak cijelog postupka dan je na kraju ovog poglavlja (dio16.2.2., Dodatak A).

1. KORAK: PODATCI

Uporabljen je ravninski model s više stupnjeva slobode. Osim podataka po-trebnih za uobièajenu elastiènu analizu, potreban je i podatak o nelinearnom od-nosu sila � pomak za konstruktivne elemente optereæene monotonim optere-æenjem. Najèešæi je element koji se modelira gredni element s plastifikacijomkoncentriranom na krajevima. Obièno se koristi bilinearni ili trilinearni odnosmoment� rotacija.

Seizmièki se zahtjev obièno definira u obliku elastiènog spektra pseudoubrzanja S ae (ili oznaka A) na naèin kako je to prikazano u 12. poglavlju (prefiks“pseudo” bit æe izostavljen u daljnjem tekstu, a njegovo je znaèenje takoðer objaš-njeno u 12. poglavlju), gdje su spektralna ubrzanja dana kao funkcije osnovnih pri-rodnih perioda konstrukcije T. Spektrom je uzet u obzir odreðeni koeficijent prigu-šenja.

2. KORAK: SEIZMIÈKO OPTEREÆENJE U “AD” ZAPISU

Poèevši od spektralnog ubrzanja, odredit æe se nelinearni spektar u ubrzanje� pomak zapisu, za što se rabi termin “AD format” (Acceleration � Displacement:AD).

Za elastièan sustav s jednim stupnjem slobode primjenjuje se sljedeæa relacijaiz 12. poglavlja:

S ST

Sde ae ae� ��

22

24(16.1)

gdje su Sae i Sde vrijednosti iz elastiènih spektara ubrzanja i pomaka, za odgovara-juæi osnovni period T i odreðeni stupanj viskoznog prigušenja.

333




Uobièajeni uglaèani elastièni spektar ubrzanja s 5%-tnim prigušenjem, norma-liziran s vrijednošæu vršnog ubrzanja podloge 1,0 g, kao i odgovarajuæi elastiènispektar pomaka, prikazani su prema europskoj prednormi ENV 1998-1-1:1994 [89]na slici 16-1(a). Oba su spektra prikazana u AD formatu na slici 16-1(b).

334

POGLAVLJE 16.

Sl. 16-1. Uobièajeni elastièni spektri ubrzanja Sae i pomaka Sde

s 5%-tnim prigušenjem, za ubrzanje podloge a gg � 0 1, i tlo razreda B:(a) tradicionalni format, (b) AD format



Ovdje su prikazani elastièni spektri iz europske prednorme ENV1998-1-1:1994 [89] zbog toga što æe se u razmatranjima koristiti rezultati eksperi-menta provedenog u European Laboratory for Structural Assessment (ELSA),udru�enog istra�ivaèkom centru Europske komisije iz Ispre (u Italiji), slika 16-4., uvrijeme kada su u Europskoj uniji vrijedile navedene europske prednorme. Od11. studenoga 2010. godine kod nas su u uporabi europske norme EN [96].

Za nelinearni sustav s jednim stupnjem slobode s bilinearnim odnosom izme-ðu sile i pomaka, spektralno ubrzanje Sa i spektralni pomak Sd mogu se odrediti nasljedeæi naèin:

SS

Raae�%

(16.2)

SR

SR

TS

TSd de ae a� � �

% %

�%�% %

2

2

2

24 4(16.3)

gdje je % faktor duktilnosti definiran kao omjer izmeðu maksimalnog pomaka ipomaka na granici popuštanja, a R % je faktor redukcije uslijed duktilnosti, tj. usli-jed histereznog trošenja energije kod duktilnih konstrukcija.

U literaturi je poznato nekoliko prijedloga za faktor redukcije R % uslijedduktilnosti. U metodi N2 koristi se bilinearni spektar za odreðivanje faktora reduk-cije R %:

RT

TC% %� � �( ) ,1 1 T TC� (16.4)

R % %� , T TC, (16.5)

gdje je TC karakteristièna perioda gibanja podloge, koja je prema [90] uvedena upoglavlju 14. Obièno se TC definira kao prijelazna perioda za koju segment kon-stantnog ubrzanja spektra odziva (podruèje kratkih perioda) prelazi u segments konstantnom brzinom (podruèje srednjih perioda), jer je za to podruèje, slika16-1(a):

SS

tconstve

de� �d

d.

335




Iz jednad�bi (16.3) i (16.5) uoèava se da u podruèju srednjih i dugih periodavrijedi pravilo jednakih pomaka, tj. pomak neelastiènog sustava jednak je poma-ku odgovarajuæeg elastiènog sustava s istom periodom:

S Sd de�

Posljednja relacija æe se poslije koristiti u 5. koraku, slika 16-3.

Poèevši od elastiènog spektra, prikazanog na slici 16-1(b), i koristeæijednad�be (16.2) do (16.5), dobiva se zahtijevani nelinearni spektar (seizmièkizahtjev) u AD formatu (slika 16-2.) za konstantne faktore duktilnosti %.

Spektar na slici 16-1.(a) je prema prednormi ENV [89] prekinut u toèki s pe-riodom T � 3 s (period T � 3 s u prednormi [89] ima oznaku TD ). Prema prednormi[89] u podruèju dugih perioda T TD� vrijednosti spektra ubrzanja opadaju s kva-dratom perioda T. Znaèi da je za periode veæe od 3 s spektar pomaka konstantan,slika 16-1(a). Ovisno od karakteristika samog potresa i lokacije, podruèje konstant-

336

POGLAVLJE 16.

Sl. 16-2. Zahtijevani nelinearni spektar (seizmièki zahtjev) sa slike 16-1.(b)za razne konstantne vrijednosti faktora duktilnosti % u AD formatu [26]



nog pomaka na spektru mo�e se javiti i pri kraæim periodama, npr. oko 2 s. Raditoga je u EN 1998-1: 2004 [90] propisano da je TD � 2 s. U podruèju izrazito dugihperioda (T TD� ) spektralni pomak postaje jednak vrijednosti vršnog pomaka pod-loge.

3. KORAK: METODA POSTUPNOG GURANJA (PUSHOVER)

Metoda postupnog guranja (pushover) provodi se na naèin da se konstrukcijapodvrgne monotono rastuæem obliku boènih sila, a to su inercijalne sile koje æe seu konstrukciji javiti pri potresu. Postupnim poveæanjem boènih sila pojedini kon-struktivni elementi poèinju redom popuštati. Kao posljedica tih pojava konstrukcijado�ivljava smanjivanje krutosti.

Koristeæi metodu postupnog guranja mo�e se odrediti karakteristièni neli-nearni odnos sila � pomak sustava s više stupnjeva slobode. U naèelu, mo�e seodabrati bilo koja sila i bilo koji pomak. Ovdje æe popreèna sila V u razini temelja(base shear) predstavljati silu, a krovni pomak Dt (top Displacement) predstavljatæe pomak.

Odabir prikladne raspodjele boènog optereæenja va�an je korak unutar push-over analize. Razlièite pretpostavke raspodjele boènog optereæenja (npr. linearna ilikoristeæi oblik prvog tona konstrukcije) daju sliène rezultate. Jedna je od praktiènihmoguænosti korištenje dvaju razlièitih oblika pomaka (raspodjele optereæenja) i za-tim se tra�i anvelopa rješenja.

U metodi N2, vektor boènog optereæenja P koji se koristi u pushover analizi,odreðen je na ovaj naèin:

P m� �p p9 F (16.6)

Intenzitet boènih optereæenja odreðuje se vrijednošæu p. Raspodjela boènihoptereæenja dana je funkcijom 9. Povezana je s pretpostavljenim oblikom pomakaF (ova oznaka F uvedena je u 13. poglavlju). Oznaka m je dijagonalna matricamasa.

Treba naglasiti da jednad�ba (16.6) ne predstavlja nikakvo ogranièenje glederaspodjele boènih optereæenja. Obièno se ova raspodjela pretpostavlja izravno.Ovdje æe se raspodjela optereæenja pretpostaviti neizravno, na naèin da se pretpo-stavi oblik pomaka.

337




Iz jednad�be (16.6) slijedi da je boèna sila na i-tom katu proporcionalna kom-ponenti Fi pretpostavljenog oblika pomaka F, pomno�ena s vrijednošæu masekata mi:

P p mi i i� F (16.7)

Takav pristup za odreðivanje raspodjele boènog optereæenja ima fizikalnu po-dlogu: ako je pretpostavljeni oblik pomaka toèan i nepromjenljiv za vrijeme pomi-canja podloge, tada bi raspodjela boènih sila bila jednaka raspodjeli efektivnih po-tresnih sila pef definiranih u 13. poglavlju. Nadalje, koristeæi boène sile prema jed-nad�bi (16.6), prijelaz iz sustava s više stupnjeva slobode u ekvivalentni sustav sjednim stupnjem slobode i obratno (4. i 6. korak u nastavku) proizlazi èisto mate-matièki.

Na ovaj se naèin odreðuje odnos popreène sile u nivou temelja V prema krov-nom pomaku Dt.

4. KORAK: EKVIVALENTNI MODEL S JEDNIM STUPNJEM SLOBODEI DIJAGRAM KAPACITETA (CAPACITY)

Kod metode N2 potresni zahtjev odreðen je korištenjem spektra odziva, apoznato je (12. poglavlje) da su takvi spektri dobiveni za sustav s jednim stupnjemslobode. Zbog toga bi i konstrukciju trebalo modelirati ekvivalentnim sustavom sjednim stupnjem slobode te uporeðivati takva dva sustava s po jednim stupnjemslobode. Za odreðivanje karakteristika ekvivalentnog sustava s jednim stupnjemslobode korišteni su u literaturi razlièiti postupci. Jedan od njih, koji se koristi umetodi N2, opisuje se u daljnjem tekstu.

Polazište je jednad�ba gibanja ravninskog modela sustava s više stupnjevaslobode, koja eksplicitno uzima u obzir samo boèno translacijske stupnjeve slobo-de (pojam zgrade posmika iz 6. poglavlja):

m u R m1�� a (16.8)

gdje su u i R vektori koji predstavljaju pomake i unutarnje sile, 1 je jedinièni vek-tor, a je ubrzanje podloge kao funkcija vremena. Zbog pojednostavljenja, u ovomizrazu prigušenje nije uzeto u obzir, a ono u svemu odgovara izrazu (13.11) iz 13.poglavlja. Utjecaj prigušenja bit æe ukljuèen poslije.

338

POGLAVLJE 16.



Pretpostavit æe se da je oblik pomaka F nepromjenljiv, tj. da se ne mijenja za vri-jeme odziva konstrukcije uslijed djelovanja potresa. To je osnovna i najkritiènija pret-postavka unutar samog postupka. Vektor pomaka u definiran je sljedeæim izrazom:

u� F Dt (16.9)

gdje je Dt krovni pomak, koji je u ovisnosti od vremena. Vektor F je zbog jedno-stavnosti normaliziran na naèin da je vrijednost na krovu jednaka jedinici.

Buduæi da su unutarnje sile R jednake statièkim vanjskim optereæenjima P ,

P � R (16.10)

uvrštavanjem jednad�bi (16.6), (16.9) i (16.10) u jednad�bu (16.8) i mno�enjem ta-ko dobivenog izraza s transponiranim vektorom F

T (isto kao u modalnoj analizi u10. poglavlju), dobiva se:

F F FT

tT TD p am m m1M M�� (16.11)

Nakon mno�enja i dijeljenja lijeve strane s FT m1, dobije se jednad�ba giba-

nja ekvivalentnog sustava s jednim stupnjem slobode:

m D F m a* * * *�� (16.12)

gdje je m* ekvivalentna masa sustava s jednim stupnjem slobode:

m mTi i

* � �F m1 = F (16.13)

a D * i F * pomaci su i sile ekvivalentnog sustava s jednim stupnjem slobode:

DDt* ��

(16.14)

FV* ��

(16.15)

V je popreèna sila u nivou temelja modela konstrukcije s više stupnjeva slobode:

V P p p m p miT

i i� � � �� F m1 F* (16.16)

339




Konstanta � kontrolira prijelaz sustava s više stupnjeva slobode na sustav sjednim stupnjem slobode i obratno. Ona ima sljedeæu vrijednost:

��

F

F F

T

T

i i

i i i i

m

m

m

m

m1

m

F

F F2 2

*

(16.17)

Konstanta � naziva se faktor transformacije. (Simbol � ovog faktora trans-formacije isti je kao za modalni faktora sudjelovanja koji je uveden i objašnjen u10. poglavlju, kada se sustav s više stupnjeva slobode pretvarao u modalnoj analiziu n neovisnih sustava od kojih je svaki samo s jednim stupnjem slobode). Trebanapomenuti da je pretpostavljeni oblik pomaka F normaliziran: vrijednost nakrovnoj razini jednaka je jedinici. Isto tako, valja napomenuti da se mo�e uporabitibilo koji razumni oblik F. Kao poseban sluèaj, mo�e se pretpostaviti prvi elastiènivlastiti oblik.

Mo�e se primijetiti da se ista konstanta � koristi i za transformaciju pomaka iza transformaciju sila, jednad�be (16.14) i (16.15). Kao posljedica toga, odnos sila� pomak odreðen za sustav s više stupnjeva slobode (V Dt� dijagram) primije-njen je i na ekvivalentni sustav s jednim stupnjem slobode (F D* *� dijagram),pod uvjetom da su i sila i pomak podijeljeni s vrijednošæu �. To se posti�e mije-njanjem mjerila na obje osi sila � pomak dijagrama, slika 16-5. Uzima se da je po-èetna krutost k init

* ekvivalentnog sustava s jednim stupnjem slobode jednaka kru-tosti izvornog (prvobitnog) sustava s više stupnjeva slobode, koja je definiranaV Dt� dijagramom:

kF

Dinit

y

y

*

*

*�

Kako bi se odredila pojednostavljena elastièna � idealno plastièna veza izme-ðu sile i pomaka za ekvivalentni sustav s jednim stupnjem slobode, mora se upo-trijebiti in�enjerska prosudba. U Dodatku B Eurokoda 8-1 [90], koji je dan u cijelo-sti u dijelu 16.2.3. ovog poglavlja, za to postoji odreðena uputa.

Postupak koji se koristi u metodi N2 zahtijeva da krutost nakon postignutegranice popuštanja ima nultu vrijednost.

Elastièni period T * idealiziranog sustava s jednim stupnjem slobode, s bi-linearnim odnosom sile i pomaka, ima vrijednost:

340

POGLAVLJE 16.



Tm

k

m D

Finit

y

y

**

*

*

* *

*� � �2

2 2�

�� (16.18)

gdje su Fy* i D y

* èvrstoæa i pomak na granici popuštanja.Na kraju se dobije ubrzanje na granici popuštanja u dijagramu kapaciteta

(capacity diagram) u AD formatu dijeljenjem sila iz dijagrama F D* *� s ekviva-lentnom masom m* :

SF

may

y�

*

* (16.19)

5. KORAK: POTRESNI ZAHTJEV (DEMAND) ZA EKVIVALENTNISUSTAV S JEDNIM STUPNJEM SLOBODE

Potresni zahtjev (demand) za ekvivalentni sustav s jednim stupnjem slobodemo�e se odrediti korištenjem grafièkog postupka prikazanog na slici 16-3. zakonstrukcije sa srednjim i dugim periodama (za konstrukcije s kratkim periodamavidjeti sliku u dijelu 16.3. Dodatak A, korak 5.). I zahtijevani spektar i dijagramkapaciteta crtani su na istoj slici 16-3. Presjecište radijalnog pravca koji odgovaraelastiènoj periodi T * idealiziranog bilinearnog sustava, s elastiènim zahtijevanimspektrom, odreðuje zahtijevano ubrzanje Sae potrebno za elastièno ponašanje iodgovarajuæi zahtijevani elastièni pomak Sde.

Ubrzanje na granici popuštanja Say predstavlja i zahtijevano ubrzanje i ka-pacitet neelastiènog sustava (16.19). Faktor redukcije R% mo�e se odrediti kaoomjer izmeðu ubrzanja koja odgovaraju elastiènom i neelastiènom sustavu:

RS T

Sae

ay% �

( )*

(16.20)

R % nije isto što i faktor redukcije R ili faktor ponašanja q, koji se koriste u po-tresnim propisima. Faktor redukcije R koji se koristi u amerièkom propisu [93, 94](poglavlje 17.) uzima u obzir duktilno ponašanje konstrukcije u potresu, što seogleda u trošenju energije i oèvršæivanju (histerezisna petlja). Slièno je znaèenje ifaktora ponašanja q, poglavlje 14.

Projektno ubrzanje Sad u pravilu je manje od ubrzanja na granici popuštanjaSay, slika 16-3.

341




Ako je period T * veæi ili jednak TC , zahtijevani neelastièni pomak Sd jednak jezahtijevanom elastiènom pomaku Sde , jednad�be (16.3) i (16.5) i slika 16-3. Iztrokuta na slici 16-3. slijedi da je zahtijevana duktilnost, definirana kao omjer%� S Dd y

* , jednaka R%:

S S Td de� ( )* T TC* , (16.21)

% %� R (16.22)

Ako je elastièna perioda sustava manja od TC , zahtijevana duktilnost mo�e seizraèunati iz preoblikovane jednad�be (16.4):

% %� � �( ) *RT

TC1 1 T TC

* � (16.23)

Zahtijevani pomak mo�e se odrediti ili iz definicije duktilnosti ili iz jednad�bi(16.3) i (16.23):

S DS

RR

T

Td yde C� � � ��

�

�

��%

%%

**( )1 1 (16.24)

U oba sluèaja (T TC* , i T TC

* � ) neelastièni zahtjev, u smislu ubrzanja i po-maka, odgovara toèki presjeka dijagrama kapaciteta sa zahtijevanim spektrom koji

342

POGLAVLJE 16.

Sl. 16-3. Elastièni i neelastièni zahtijevani spektri u odnosu na dijagram kapaciteta



odgovara zahtijevanoj duktilnosti %. U ovoj toèki faktor duktilnosti odreðen iz dija-grama kapaciteta i faktor duktilnosti povezan s presjekom zahtijevanog spektra jed-naki su.

Mo�e se primijetiti kako se svi koraci u ovom postupku mogu izvesti nume-rièki bez upotrebe grafikona. Ipak, vizualizacija postupka mo�e pomoæi boljemshvaæanju odnosa izmeðu osnovnih velièina.

6. i 7. KORAK: GLOBALNI I LOKALNI POTRESNI ZAHTJEVZA MODEL S VIŠE STUPNJEVA SLOBODE

Zahtijevani pomak sustava s jednim stupnjem slobode S d transformira se uglobalni zahtijevani maksimalni krovni pomak Dt sustava s više stupnjeva slobodekorištenjem jednad�be (16.14). Taj maksimalni krovni pomak Dt predstavlja cilja-ni pomak (target displacement) iz Dodatka B Eurokoda 8-1 [90].

Lokalni potresni zahtjevi (npr. relativni pomaci katova, rotacije èvorova)mogu se takoðer odrediti pomoæu pushover analize. Uslijed monotono rastuæihboènih optereæenja s nepromijenjenom funkcijom raspodjele (kao u 3. koraku),konstrukcija se “gura” sve dok ne dostigne ciljani pomak Dt odreðen u 6. koraku.Pretpostavlja se da raspodjela deformacija kroz èitavu konstrukciju kod statièke(pushover) analize pribli�no odgovara onoj koja bi se dobila dinamièkom anali-zom. Treba napomenuti da Dt predstavlja prosjeènu vrijednost za primijenjeno po-tresno optereæenje i da postoji znaèajno rasipanje oko prosjeène vrijednosti. Zbogtoga je prikladno ispitati moguæe ponašanje konstrukcije uslijed ekstremnih sluèa-jeva optereæenja koja prelaze projektne vrijednosti. To se mo�e postiæi poveæanjemvrijednosti ciljanog pomaka, kao što je propisano u èlanku 4.3.3.4.2.3. Eurokoda 8[90].

8. KORAK: PROCJENA PONAŠANJA (ANALIZA OŠTEÆENJA)

U posljednjem koraku, oèekivano ponašanje mo�e se procijeniti usporeði-vanjem potresnih zahtjeva (globalnih i lokalnih), odreðenih u 7. koraku, s kapa-citetima odgovarajuæih razina ponašanja. Globalno ponašanje mo�e se uvidjetiusporeðivanjem kapaciteta pomaka i pomaka prema seizmièkom zahtjevu.

Za ilustriranje primjene nelinearne statièke metode N2 analizirat æe se odzivèetverokatnog armiranobetonskog okvira na slici 16-4., koji je podvrgnut trima ra-zinama pomicanja podloge. Graðevina u prirodnoj velièini ispitana je pseudo dina-

343




mièki u European Laboratory for Structural Assessment (ELSA) udru�enog istra-�ivaèkog centra Europske komisije iz Ispre (u Italiji). Rezultati ispitivanja korištenisu za vrednovanje matematièkog modela te konstrukcije [48].

Da bi se što uèinkovitije ilustrirao postupak primjene metode N2 u navedenihosam koraka, u ovom se primjeru neæe elaborirati naèin dobivanja seizmièkih spek-tara zahtjeva (demand).

Konstrukcija je bila projektirana prema europskoj prednormi [89], s visokimduktilitetom, za vršno ubrzanje podloge (peak ground acceleration) od 0,3g. Masekatova, poèevši od najni�eg kata, imaju vrijednosti: 87, 86, 86 i 83 tone, a rezulti-rajuæi base shear koeficijent ima vrijednost 0,15. Detaljniji opis konstrukcije i ma-tematièkog modela mo�e se naæi u literaturi [49].

m�

&

�

''''

(

�

))))

87 0 0 0

0 86 0 0

0 0 86 0

0 0 0 83

; B. S. � 0,15

Ova æe se analiza provesti za tri razine pomicanja podloge, s namjerom dase provjeri razlièitost ponašanja. Pomicanje podloge definirano je elastiènimspektrom odziva ubrzanja prema slici 16-1(a), koji je normaliziran s vršnimubrzanjima ag koja redom imaju vrijednosti 0,6 g, 0,3 g (projektne vrijednosti)i 0,15 g.

344

POGLAVLJE 16.

Sl. 16-4. Prostorna armiranobetonska konstrukcija



Pretpostavlja se linearni oblik pomaka:

FT � [0,28 0,52 0,76 1,00]

Oblik raspodjele boènih sila dobiva se iz jednad�be (16.6) i normalizira na na-èin da sila na krovu ima jediniènu vrijednost, tako da boène sile po katovima imajusljedeæe vrijednosti:

87 0 28

830 293

��

,, ;

86 0 52

830 539

��

,, ;

86 0 76

830 787

��

,, ;

83 1

831000

�� ,

PT � [0,293 0,539 0,787 1,000]

S ovakvim oblikom raspodjele boènih sila, program DRAIN-2DX [57] dajekao rezultat pushover krivulju koja predstavlja vezu ukupne sile u nivou temelja Vi krovnog pomaka Dt , što je prikazano na slici 16-5. isprekidanom crtom. Ista pu-shover krivulja mo�e se dobiti i primjenom drugog raspolo�ivog softvera, npr.[65], što æe biti pokazano u numerièkom primjeru u poglavlju 16.4.

Sustav s više stupnjeva slobode transformira se u sustav s jednim stupnjemslobode korištenjem jednad�bi (16.14) i 16.15). Prema jednad�bama (16.13) i(16.17) ekvivalentna masa m* i faktor transformacije G imaju sljedeæe vrijednosti:

m* , , , , , ,� � � � � � � � � � � �87 0 28 86 0 52 86 0 87 83 1 24 36 44 72 65 36 83 217� t

��

�217

87 0 28 86 0 52 86 0 76 83 11342 2 2 2( , ) ( , ) ( , ) ( ),

Na slici 16-5. ista krivulja definira oba odnosa: V � Dt za sustav s više stup-njeva slobode i F D* *� odnos ekvivalentnog sustava s jednim stupnjem slobode.Meðutim, mjerila na osima razlièita su za ta dva sustava. Faktor izmeðu ta dvamjerila je prema jednad�bama (16.14) i (16.15): ��134, .

Bilinearna idealizacija pushover krivulje prikazana je na slici 15-5. punomcrtom, odakle se dobiju vrijednosti èvrstoæe i pomaka na granici popuštanja:Fy

* � 830 kN i D y* ,� 61 cm. Elastièni period dobije se iz jednad�be (16.18):

Tm D

F

y

y

*

* *

* ,� �2 0 79� s.

345




Ubrzanje na granici popuštanja (16.19) ima vrijednost, slika 16-5.:

SF

may

y� � �

*

* ,830

2173 82 m s�2 � 0,39 g

Dijagram kapaciteta i zahtijevani spektar usporeðeni su na slici 16-6. Za do-bivanje neelastiènog zahtijevanog spektra korištene su jednad�be od (16.1) do(16.6).

U sluèaju neogranièenog elastiènog ponašanja konstrukcije, potresni jezahtjev predstavljen presjecištem elastiènog zahtijevanog spektra i pravca koji od-govara elastiènoj periodi (T * ,� 0 79 s) ekvivalentnog sustava s jednim stupnjemslobode. Vrijednosti Sae � 1,14 g i Sde � 17,7 cm dobivene su za sluèaj najjaèegpomicanja podloge (a gg � 0 6, ). Faktor redukcije R% ima vrijednost (jednad�ba16.20):

RS

S

g

gae

ay% � � �

114

0 392 9

,

,,

346

POGLAVLJE 16.

Slika 16-5. Pushover krivulja i odgovarajuæi dijagram kapaciteta za armirano-betonski prostorniokvir s èetiri kata. Primijetiti razlièita mjerila. Pomak krova Dt i ukupna sila u nivou temelja Vodnose se na sustav s više stupnjeva slobode, dok se sila F* i pomak D* odnose na ekvivalentni

sustav s jednim stupnjem slobode. Ubrzanje Sa pripada dijagramu kapaciteta



Period ekvivalentnog sustava s jednim stupnjem slobode T * ,� 0 79 s veæi jeod TC � 0 6, s te se stoga za dobivanje ciljanog pomaka ekvivalentnog SDOF susta-va primjenjuje pravilo jednakih pomaka, jednad�be (16.21) i (16.22):

% %� �R 2 9, ; D S Sd de* ,� � �17 7 cm

(% se mo�e dobiti i iz relacije %� � �S

Dd

y*

,

,,

17 7

612 9)

Potresni zahtjev za ekvivalentni sustav s jednim stupnjem slobode grafièki jepredstavljen presjecištem krivulje kapaciteta sa zahtijevanim spektrom za % � 2,9.

U sljedeæem koraku zahtijevani pomak ekvivalentnog sustava s jednim stup-njem slobode transformira se natrag u krovni pomak (target displacement) zadanogsustava s više stupnjeva slobode, jednad�ba (16.14):

D Dt � � � � ��* , , ,117 17 7 23 7 cm

347


Slika 16-6. Zahtijevani spektar za tri razine ubrzanja tla (a gg � 0 60, ; a gg � 0 30, ; a gg � 0 15, )i dijagram kapaciteta za ovaj numerièki primjer



Pushover analiza provedena na sustavu s više stupnjeva slobode, koji je do�iviokrovni pomak u vrijednosti Dt, daje oblik pomaka za cijelu konstrukciju (po visini),lokalne potresne zahtjeve u smislu relativnih pomaka katova i rotacije èvorova, kaošto je prikazano na slici 16-7. Prikazane su anvelope rezultata dobivenih prilikompostupnog guranja (pushover) zadanog sustava s lijeva na desno i obratno. Rezultatidobiveni ispitivanjem u laboratoriju [48] i iz prikazane nelinearne analize su slièni.

U sluèaju kada je a gg � 0 30, postupak je identièan kao za a gg � 0 60, te sedobiva sljedeæi rezultat: Sd � Sde � 8,9 cm; % � 1,5 i Dt � 11,9 cm.

Za a gg � 015, je: Sde � 4,4 cm i Dt � 5,9 cm.

Zakljuèak

Metoda N2 mo�e se smatrati okvirom koji povezuje pushover analizu s anali-zom pomoæu spektra odziva. Ona predstavlja praktièan postupak za procjenu pona-šanja konstrukcija razlièitih karakteristika. Formulacija metode u ubrzanje-pomakformatu omoguæava vizualnu interpretaciju postupka i odnosa izmeðu osnovnihvrijednosti koje utjeèu na potresni odziv. Neelastièni zahtijevani spektar, odreðeniz elastiènog spektra primjenom faktora redukcije R % , koristi se radije nego elasti-èan spektar. Transformacija iz sustava s više stupnjeva slobode zadane konstrukci-je u ekvivalentni sustav s jednim stupnjem slobode transparentna je i zahtijevanevrijednosti mogu se dobiti bez iteracije.

348

POGLAVLJE 16.

Slika 16-7. Lokalni potresni zahtjevi: Pomaci, relativni pomaci katova i rotacije u elementimavanjskog okvira. Rotacije su proporcionalne duljinama oznaka. Maksimalna rotacija

ima vrijednost 2,2%. Naznaèeni su samo elementi koji se plastificiraju.



Za sada je primjena metode N2 ogranièena na analizu okvirnih konstrukcijakod kojih je predominantan prvi ton. Neelastièni zahtijevani spektri, korišteni u pred-lo�enoj jednostavnoj verziji, nisu prikladni za razmatranja kod pomicanja tla u blizi-ni epicentra, za lokacije s mekim tlima, za histerezne petlje sa znaèajnim kri�anjemili znaèajnim gubitkom krutosti i/ili èvrstoæe, i za sustave s niskom èvrstoæom.

Treba spomenuti da osim nelinearne statièke metode N2, koja je propisana zauporabu u EN1998-1:2004, u svijetu se koriste i druge nelinearne statièke metode(napr. u SAD [94]), što je pregledno prikazano u radu [47].

16.2.2. Dodatak A: sa�etak nelinearne statièke metode N2 [26]

1. PODATCI

a) Konstrukcijab) Elastièni spektar ubrzanja S ae

2. ZAHTIJEVANI SPEKTAR U AD FORMATU

a) Odredi se elastièni spektar u AD formatu

ST

Sde ae�2

24�

b) Odredi se neelastièni spektar za konstantnu duktilnost

SS

Raae�%

, SR

Sd de�%

%

349




RT

TC% %� � �( ) ,1 1 T TC�

R % %� , T TC,

3. PUSHOVER ANALIZA

a) Pretpostavi se oblik pomaka { }F

b) Odredi se vertikalna raspodjela boènih sila

{ } [ ]{ }P m� F , P mi i i� F

c) Odredi se odnos popreèna sila u nivou temelja (V)� krovni pomak (Dt )

4. EKVIVALENTNI MODEL S JEDNIM STUPNJEM SLOBODE

a) Odredi se ekvivalentna masa m*

m mi ii

n

* ��

� F

1

Napomena: Fn � 1,0; n oznaèava krovni nivo

b) Transformacija vrijednosti (Q) sustava s više stupnjevaslobode u vrijednosti (Q * ) ekvivalentnog sustava sjednim stupnjem slobode

QQ* ,��

��

�

�

m

mi ii

n

*

F2

1

c) Odredi se pribli�no elasto-plastièna veza si-la � pomak

350

POGLAVLJE 16.



d) Odredi se èvrstoæa Fy* , pomak na granici popuštanja D y

* , i elastièni pe-rioda T*

Tm D

F

y

y

*

* *

*� 2�

e) Odredi se dijagram kapaciteta (ubrzanje u odnosu na pomak)

SF

ma �*

*

5. POTRESNI ZAHTJEV ZA SUSTAVS JEDNIM STUPNJEM SLOBODE

a) Odredi se faktor redukcije R%

RS

Sae

ay% �

b) Odredi se zahtijevani pomak S Dd �*

SS

RR

T

Td

de C� � ��

�

�

��

%%1 1( ) ,* T TC

* �

Sd � Sde , T TC* ,

351




6. GLOBALNI POTRESNI ZAHTJEV ZA ZADANI SUSTAVS VIŠE STUPNJEVA SLOBODE

a) Transformira se zahtijevani pomak ekvivalentnog sustava s jednim stup-njem slobode u krovni pomak zadanog sustava s više stupnjeva slobode(ciljani pomak)

D St d� �

7. LOKALNI POTRESNI ZAHTJEVI

a) Provede se pushover analiza zadanog sustavas više stupnjeva slobode za krovni pomak Dt

(ili za uveæanu vrijednost krovnog pomaka Dt

koja se prema èlanku 4.3.3.4.2.3. Eurokoda 8[90] uzima u vrijednosti 150% ciljanog po-maka)

b) Odrede se lokalne vrijednosti (npr. relativnipomaci katova, rotacije N), za odgovarajuæiDt

8. PROCJENA PONAŠANJA

Usporede se globalni i lokalni potresni zahtjevi s kapacitetima za odgovaraju-æu razinu ponašanja

16.2.3. Dodatak B [90]: Odreðivanje ciljanog pomakaza nelinearnu statièku metodu postupnog guranja*

*Napomena: Za ciljani pomak i ukupnu silu u nivou temelja u ovom Dodatku B europske nor-me [90] primijenjene su oznake dt i Fb, dok su se u poglavlju 16.2. za iste pojmove koristile oznakeDt i V jer su one u skladu s oznakama iz ranijih poglavlja knjige.

352

POGLAVLJE 16.



• Opæenito

Ciljani se pomak odreðuje iz elastiènog spektra odziva (pogledati 3.2.2.2).

Krivulja kapaciteta, koja predstavlja odnos izmeðu posmiène sile u nivou te-melja i pomaka kontrolne toèke, odreðuje se prema 4.3.3.4.2.3.

Pretpostavlja se sljedeæi odnos izmeðu normaliziranih boènih sila Fi i norma-liziranih pomaka Fi :

F mi i i� F (B.1)

gdje je mi masa i-tog kata.

Pomaci su normalizirani na naèin da je Fn � 1, gdje je n kontrolna toèka(obièno n oznaèava nivo krova). Iz toga slijedi da je F mn n� .

• Prijelaz u ekvivalentni sustav s jednim stupnjem slobode

Masa ekvivalentnog sustava s jednim stupnjem slobode m* odreðuje se nasljedeæi naèin:

m m Fi i i* � �� F (B.2)

a faktor transformacije dan je izrazom:

��

�

�

��

��

�

m

m

F

F

mi i

i

i

i

*

F2 2

(B.3)

Sila F * i pomak d * ekvivalentnog sustava s jednim stupnjem slobode izra-èunavaju se na sljedeæi naèin:

FFb* ��

(B.4)

dd n* ��

(B.5)

gdje su Fb i d n posmièna sila u nivou temelja i pomak kontrolne toèke zadanog su-stava s više stupnjeva slobode.

353




• Odreðivanje idealiziranog elastièno � idealno plastiènog odnosa sila � pomak

Sila popuštanja Fy* , koja takoðer predstavlja i krajnju èvrstoæu idealiziranog

sustava, jednaka je posmiènoj sili u nivou temelja pri stvaranju plastiènog meha-nizma. Poèetna krutost idealiziranog sustava k init odreðuje se pod uvjetom jednakepovršine ispod stvarne i idealizirane krivulje sila � pomak na slici B-1.

Prema toj pretpostavci, pomak na granici popuštanja idealiziranog sustava sjednim stupnjem slobode d y

* dan je sljedeæim izrazom:

d dE

Ey mm

y

* **

*� ��

�

�

�

��2 (B.6)

gdje je Em* stvarna energija deformacije do stvaranja plastiènog mehanizma.

• Proraèun perioda idealiziranog ekvivalentnog sustava s jednim stupnjemslobode

Period T * idealiziranog ekvivalentnog sustava s jednim stupnjem slobode iz-raèunava se prema izrazu:

Tm d

F

y

y

*

* *

*� 2� (B.7)

354

POGLAVLJE 16.

Sl. B-1. Odreðivanje idealiziranog elastièno-plastiènog odnosa sile i pomaka(toèka A oznaèava poèetak stvaranja plastiènog mehanizma)



• Proraèun ciljanog pomaka ekvivalentnog sustava s jednim stupnjem slo-bode

Ciljani je pomak vrha graðevine (target displacement) perioda T * i neograni-èenog elastiènog ponašanja dan izrazom:

d S TT

et e* *

*

( )�&

�'

(

�)

2

2

�(B.8)

gdje je S Te ( )* vrijednost iz elastiènog spektra odziva ubrzanja za period T * .

Ciljani pomak d t* vrha graðevine proraèunava se prema izrazima koji su razli-

èiti za graðevine s kratkim periodama i za graðevine sa srednjim i dugim perioda-ma. Granièni je period izmeðu podruèja kratkih i srednjih perioda TC :

a) T TC* � (podruèje kratkih perioda)

Ako jeF

mS T

y

e

*

**( ), , odziv graðevine je elastièan i stoga je

d dt et* *� (B.9)

Ako jeF

mS T

y

e

*

**( )� , odziv graðevine je nelinearan i vrijedi:

dd

qq

T

Tdt

et

uu

Cet

**

**( )� � �

�

�

�

��,1 1 (B.10)

gdje je qu odnos izmeðu ubrzanja konstrukcije s neogranièenim elastiènim

ponašanjem S Te ( )* i ubrzanja konstrukcije s ogranièenom èvrstoæomF

m

y*

* .

qS T m

Fue

y

�( )* *

* (B.11)

b) T TC* , (podruèje srednjih i dugih perioda)

d dt et* *� (B.12)

355




d t* ne treba prelaziti vrijednost 3d y

* .Odnos izmeðu razlièitih vrijednosti mo�e se vizualno interpretirati premaprikazu spektara na slikama B-2. (a) i (b). Spektri su prikazani u ubrza-nje-pomak formatu. Period T * predstavljen je radijalnom linijom iz isho-dišta koordinatnog sustava do toèke elastiènog spektra odziva definiranoj

koordinatama d S TT

et e* *

*

( )�&

�'

(

�)

2

2

�i S Te ( )* .

Iterativni postupak (neobvezatno)

Ako se ciljani pomak d t* znaèajno razlikuje od pomaka d m

* (slika B-1.), ko-rištenog za odreðivanje idealiziranog elasto-idealno plastiènog odnosa sile i poma-ka, mo�e se primijeniti iterativni postupak. Tada se postupci ponavljaju, koristeæivrijednost d t

* (i odgovarajuæi Fy* ) umjesto d m

* .

356

POGLAVLJE 16.

Sl. B-2. Odreðivanje ciljanog pomaka za ekvivalentni sustav s jednim stupnjem slobode



• Proraèun ciljanog pomaka zadanog sustava s više stupnjeva slobode

Ciljani pomak zadanog sustava s više stupnjeva slobode izraèunava se premaizrazu:

d dt t� �* (B.13)

Ciljani pomak odgovara kontrolnom èvoru.

357




16.3. Nelinearna dinamièka metoda u vremenu(time history)

16.3.1. Opæenito

Prema odredbama danim u dijelu 3.2.3. EN 1998-1:2004 [90] u nelinearnojdinamièkoj analizi konstrukcija u vremenu mogu se koristiti umjetni akcelerogramii realni SM akcelerogrami zapisani u nekom stvarnom potresu na lokaciji koja posvojim karakteristikama tla i seizmiènosti pribli�no odgovara lokaciji predmetnekonstrukcije. Pojam vremenskog tijeka ubrzanja (akcelerogram) je uveden i opisanu Prilogu 1.

Umjetni akcelerogrami moraju odgovarati elastiènim spektrima iz poglavlja3.2.2. EN 1998-1:2004 [90], a dobivaju se po posebnoj proceduri [35] i premaodredbama danim u [90] ne smiju biti ni�i od 0,9 amplituda elastiènih spektara izdijela 3.2.2. EN 1998-1:2004, slika 16-9.

Kao rezultat rada s umjetnim akcelerogramima dobiva se vremenski pri-kaz promjene neke odreðene velièine, kao što su na primjer pomaci katova, dokse primjenom elastiènih spektara iz dijela 3.2.2. [90] dobije za pomak samo jedanbroj d s :

d q ds e� �

gdje je

d e elastièna deformacija neke toèke konstrukcije,

d s pomak iste toèke konstrukcije odreðen linearnom analizom uporabom pro-jektnih spektara odgovora prema odredbi èlanka 3.2.2.5 EN 1998-1:2004,

q faktor ponašanja za pomake (uzima se jednak dobivenom faktoru ponaša-nja za odreðenu konstrukciju pri proraèunu vrijednosti djelovanja).

Od svih rasplo�ivih metoda, nelinearni dinamièki proraèun uporabom vre-menskog zapisa najpreciznija je metoda, ali i najkompleksnija i proraèun same

358

POGLAVLJE 16.



konstrukcije uporabom vremenskog zapisa najdulje traje. Ona je takoðer inkremen-talno iterativna metoda kao i pushover proraèun, ali u ovom sluèaju osnovna je va-rijabla vrijeme, a ne sila ili pomak. Pushover proraèun sastoji se od niza statièkihproraèuna koji se provode do dosezanja �eljene deformacije konstrukcije i pri tomse u praksi potreban broj inkremenata za konvergenciju rezultata kreæe oko stotinu.Proraèun uporabom vremenskog zapisa provodi se u vremenskim koracima èijibroj ovisi o duljini trajanja potresa, a u praksi to znaèi više tisuæa inkremenata. Pritom se u svakom koraku izraèunavaju dinamièke karakteristike konstrukcije. Uzev-ši u obzir da je potrebno ponoviti proraèun za minimalno tri zapisa, a preporuèljivoih je uzeti sedam ili više, mo�e se zakljuèiti da je utrošak vremena potreban za ovumetodu neusporedivo veæi od bilo koje druge ranije opisane metode. Treba dodatida je priprema zapisa takoðer vremenski zahtjevan posao, kao i obrada izlaznih po-dataka kojih je iznimno mnogo.

Ovako znaèajno poveæanje utroška vremena posljedica je neprihvaæanjaograniæenja koja su sastavni dio ostalih metoda. Za razliku od klasiène pushovermetode, u ovoj se metodi uzima u obzir duljina trajanja potresa, ciklièka prirodaseizmièkog optereæenja, a s njom i akumulacija ošteæenja, utjecaj degradacije kon-strukcije uslijed njenog nelinearnog ponašanja na njena dinamièka svojstva, itd.

Iako metoda vremenskog zapisa teoretski nema ogranièenja uporabe, u praksise najèešæe primjenjuje za proraèun dvodimenzionalnih modela.

Seizmièko optereæenje u ovoj metodi dano je kao ubrzanje temeljnog tla ufunkciji vremena što se prikazuje umjetnim akcelerogramima ili zapisima stvarnihpotresa.

16.3.2. Izraèun uporabom umjetnih vremenskih zapisa

Djelovanje potresa mo�e se simulirati umjetnim vremenskim zapisima koji semogu generirati na naèin da budu u potpunosti u skladu s propisanim izglaðenimspektrima, a da istovremeno sadr�e i komponente nepravilnosti i sluèajnosti kao štoje sluèaj s realnim potresima.

Ako se koriste umjetni vremenski zapisi onda se treba pridr�avati sljedeæihpravila:

�minimalni broj zapisa je 3,

� trajanje pseudo-stacionarnog dijela vremenskog zapisa minimalno je 10 s,

359




� u podruèjima izmeðu 0 2 1, T i 2 1T , gdje je T1 temeljna perioda konstrukcije usmjeru u kojem se primjenjuje vremenski zapis, ni jedna vrijednost elastiè-nog spektra s 5% prigušenjem, izraèunatog iz svih vremenskih zapisa, nesmije biti manja od 90% odgovarajuæe vrijednosti elastiènog spektra odgo-vora s 5% prigušenjem (slika 16-9.),

� ako se koristi do sedam vremenskih zapisa, usvajaju se najnepovoljniji re-zultati, a za sedam i više zapisa uzima se prosjeèna vrijednost.

Umjetni vremenski zapisi u ovom primjeru generirani su programomSIMQKE_GR (SIMulation of earthQuaKE GRound motions �MassachusettsInstitute of Technology) [35] za razinu vršnog ubrzanja podloge 0,3g i kategorijutla B, te 5% prigušenjem. Pri generiranju vremenskih zapisa poštivana su sva nave-dena pravila, a ukupno trajanje potresa je 20 s. Unutar postavljenih granica simuli-raju se nepravilne i sluèajne vibracije prisutne kod stvarnih potresa. Obrada generi-ranih umjetnih i stvarnih vremenskih zapisa izvršena je programom SeismoSignal[65], a sam proraèun (pushover i time-history) izveden je u programu SeismoStruct[65]. Konstrukcija je proraèunata za sedam generiranih vremenskih zapisa i prika-zana je srednja vrijednost dobivenih rezultata. Na slici 16-8. dan je primjer umjet-nog vremenskog zapisa.

Jedan je od parametara prema kojem se mogu razlikovati vremenski za-pisi, bilo umjetni ili stvarni, omjer maksimalne brzine i maksimalnog ubrzanjav amax max . Manje vrijednosti ovog odnosa odgovaraju srednje jakim potresimamanjih epicentralnih udaljenosti, a veæe vrijednosti jaèim potresima i veæim epi-centralnim udaljenostima.

Ako umjetni vremenski zapis ima vrijednost omjera v amax max izmeðu 83s i125s on odgovara srednje jakim potresima. Za generirani vremenski zapis na slici16-8. je v amax max ,� 98 2 s.

360

POGLAVLJE 16.



361


Sl. 16-8. Primjer umjetnog vremenskog zapisa ubrzanja i iz njega izvedenih vrijednosti brzinai pomaka u tlu (a); Spektar pseudo ubrzanja koji odgovara ovom umjetnom

vremenskom zapisu ubrzanja (b)



Na slici 16-9. prikazani su: spektar odziva ubrzanja prema [90] za a gg � 0 3, injegova 90% vrijednost, te spektar odziva koji odgovara umjetnom zapisu. Mo�ese primijetiti da se vrijednosti umjetnog spektra za sve periode nalazi iznad 90%referentnog spektra odziva.

Na slici 16-10. prikazan je isti umjetni vremenski zapis sa slike 16-8., digitali-ziran za primjenu u proraèunu konstrukcije.

362

POGLAVLJE 16.

Sl. 16-9. Spektar odziva s 5% prigušenjem za a gg � 0 3, i kategoriju tla B (crvena boja),njegova 90% vrijednost (plava boja) i spektar odziva za umjetni vremenski zapis

dan na slici 16-8. (crna boja)

Sl. 16-10. Digitalizirani umjetni vremenski zapis ubrzanja danog na slici 16-8(a)



16.3.3. Izraèun uporabom realnih zapisa potresa

Konstrukciju je moguæe proraèunati na djelovanje realnih potresa temeljemnjihovih vremenskih zapisa, najèešæe dostupnih u formatu ubrzanje � vrijeme. Zavelik broj dogoðenih potresa moguæe je naæi cijeli niz vremenskih zapisa ubrzanja,koji se vrlo èesto meðusobno znaèajno razlikuju. Te su razlike posljedica razlika uintenzitetima potresa, njihovog trajanja, sadr�anih frekvencija itd. Meðusobno serazlikuju i vremenski zapisi jednog istog potresa. Razlozi tome su epicentralneudaljenosti i lokalne karakteristike tla. Odziv konstrukcije tako se mo�e znaèajnorazlikovati od zapisa do zapisa istog potresa. Zbog toga je potrebno pa�ljivo oda-brati odgovarajuæi zapis �eljenog potresa. Izabrani zapisi imaju odgovarajuæe ka-rakteristike, jer treba te�iti da spektri odziva izabranih potresa za periodu jednakutemeljnoj periodi konstrukcije ne odstupaju previše od propisanih spektara. Tako-ðer je potrebno uzeti u obzir zapise nekoliko razlièitih potresa, kako bi se pokriošto širi dijapazon izra�enih ubrzanja tih zapisa, slika 16-11(a). Vrijednost ubrzanjaza nulti period postavljena je na S ag� (S je parametar tla èije su vrijednosti dane u14. poglavlju, Tablica 14-2.).

Vršno ubrzanje najèešæe je korišteni parametar u karakterizaciji potresa, alisamo taj parametar nije dovoljan za stvaranje prave slike o djelovanju potresa. Dabi se provela kvalitativna i kvantitativna procjena stvarnih vremenskih zapisa iomuguæila njihova usporedba, potrebni su dodatni parametri. Ovdje æe se prikazatisedam odabranih vremenskih zapisa ubrzanja znaèajnih dogoðenih potresa, primje-nom kojih se mo�e naèiniti proraèun konstrukcije pomoæu programa SeismoStruct[65]. Za svaki od tih potresa je uz maksimalne vrijednosti ubrzanja, brzine i poma-ka, dan prije uveden i objašnjen odnos maksimalne brzine i maksimalnog ubrzanjav amax max , zatim Arias gustoæa (koja predstavlja potencijalnu destruktivnost potre-sa) te specifièna gustoæa energije (koja predstavlja kolièinu energije prenesenukroz medij Zemljine kore u konstrukciju u jedinici vremena). Odnosom maksimal-ne brzine i maksimalnog ubrzanja uobièajeno se procjenjuje sadr�aj frekvencija uzapisu. Kao što je veæ napomenuto manje vrijednosti ovog odnosa odgovarajusrednje jakim potresima manjih epicentralnih udaljenosti, a veæe vrijednosti jaèimpotresima i veæim epicentralnim udaljenostima.

Odabrani su realni vremenski zapisi za potrese koji imaju srednju vrijednostodnosa v amax max izmeðu 83 s i 125 s. Svi odabrani realni vremenski zapisi dobive-ni su u podruèju tla kategorije A ili B. Oni su preuzeti iz arhive SeismoStruct-a[65], biblioteke National Information Service for Earthquake Engineering, Berke-ley, California i biblioteke CAEE (The Canadian Association for EarthquakeEngineering).

363




1. Imperial Valley, Kalifornija SAD

18.5.1940. mjerno mjesto El Centro

magnituda 6,6; epicentralna udaljenost 8 km

maksimalno ubrzanje: 0,36 g za t � 2,08 s

maksimalna brzina: 39,81cm/s za t � 2,14 s

maksimalni pomak: 306 cm za t � 53,68 s

ukupno trajanje: 54 s

vmax /amax: 110 s

RMS ubrzanje: 0,0486 g

Arias intenzitet: 1,96 m/s

specifièna gustoæa energije: 4058 cm2/s

predominantni period: 0,56 s

srednji period: 0,57 s

2. Ulcinj, Crna Gora

15.4.1979. mjerno mjesto Hotel Albatros, Ulcinj



maksimalna brzina: 42,73 cm/s za t � 2,84 s



vmax /amax: 119 s






364

POGLAVLJE 16.



3. Mexico City, Meksiko

19.9.1985. mjerno mjesto La Villita, Guerrero Array






vmax /amax: 112 s






4. Kocaeli, Turska

17. 8.1999., mjerno mjesto Sakaria

magnituda 7,4





vmax /amax: 123 s






365




5. San Fernando, Kalifornija, SAD

9.2.1971. mjerno mjesto 3838 Lankershim Blvd., L.A.






vmax /amax: 118 s






6. Honshu, blizu istoène obale, Japan

02.08.1971. mjerno mjesto Kushiro Central Wharf






vmax /amax: 87 s






366

POGLAVLJE 16.



7. Kern County, Kalifornija, SAD

21.7.1951., mjerno mjesto Taft Lincoln School Tunnelmagnituda 7,6; epicentralna udaljenost 56 kmmaksimalno ubrzanje: 0,36 g za t � 3,70 smaksimalna brzina: 35,03 cm/s za t � 3,56 smaksimalni pomak: 49 cm za t � 47,53 sukupno trajanje: 54 svmax /amax: 97 sRMS ubrzanje: 0,0533 g

Arias intenzitet: 2,38 m/sspecifièna gustoæa energije: 3576 cm2/spredominantni period: 0,44 ssrednji period: 0,53 s

Na slici 16-11(a). prikazani su spektri odziva ubrzanja odabranih potresa za-jedno s propisanim spektrom odziva [90] za vršno ubrzanje od 0,3g i kategorijutla B s 5%-tnim prigušenjem, te 90% vrijednosti propisanog spektra. Na slici16-11(b). su dane prosjeène vrijednosti (obilje�eno crveno) svih stvarnih spektara.Mo�e se uoèiti da su odstupanja prosjeènih vrijednosti stvarnih spektara od propi-sanog zaglaðenog spektra nešto veæa nego što je to sluèaj s umjetnim vremenskimzapisima, slika 16-9.

Na kraju se s dosta argumenata mo�e zakljuèiti da æe se uskoro pojaviti odgo-varajuæi software koji æe projektantima omoguæiti brzu i lako primjenljivu neline-arnu analizu pri proraèunu mehanièke otpornosti i stabilnosti konstrukcija, te da æeprojektanti uglavnom raditi nelinearnu analizu, naroèito za znaèajne graðevine. Ra-di toga je bitno da se ovlada ovdje izlo�enim gradivom, te uvidi na koji naèin æe ta-kav software “raditi” nelinearni proraèun odreðene konstrukcije.

367




368

POGLAVLJE 16.

Sl. 16-11. Spektri odziva ubrzanja odabranih stvarnih potresa zajedno s propisanim spektromodziva prema Eurokodu 8 i njegovom 90% vrijednošæu (a);

prosjeèna vrijednost svih spektara, crveno (b)



16.4. Primjeri

Primjer 24. NELINEARNI STATIÈKI SEIZMIÈKI IZRAÈUN KONSTRUKCIJEPREMA NORMI EN 1998-1:2004 (metoda N2)

1. KORAK: PODATCI

Za ilustriranje primjene metode N2 u navedenih osam koraka u ovom nu-merièkom primjeru analizirana je osmokatna armiranobetonska graðevina, slike16-12. i 16-43., koja je izlo�ena trima razinama vršnog ubrzanja podloge agR : 0,1g,0,2g i 0,3g. Konstrukcija je projektirana prema europskoj normi EN 1998-1: 2004[90] sa sljedeæim parametrima: razred tla B, faktor va�nosti II (+ I �1), tip spek-tra 1 (površinska magnituda oèekivanog potresa M s , 5 5, ) i viskozno prigušenje� � 5%.

369


Sl. 16-12. Armiranobetonska konstrukcija dijela gara�e Tower centra u Rijeci prikazane na slici 16-43.



Da bi se dobio nelinearni odnos izmeðu ukupne popreène sile u nivou temeljai pomaka vrha graðevine metodom postupnog guranja (pushover), zadane su slje-deæe karakteristike materijala i presjeka: beton je klase C25/30, a armatura B500;stupovi su kvadratnog presjeka duljine stranice 60 cm, armirani s 8.25, što dajekoeficijent armiranja od 1%; grede su pravokutnog presjeka 40/60 cm, modeliranekao “T” presjeci sa sudjelujuæom širinom od 125 cm, armirane s 4.20 u gornjoj idonjoj zoni.

Prema definiranim ulaznim parametrima dobiveni su elastièni spektri odzivaubrzanja i pomaka za projektno ubrzanje podloge a a gg I gR� � �+ 0 3, i prikazanina slici 16-13.


Na temelju spektara ubrzanja i pomaka iz prvog koraka odredit æe se nelinear-ni zahtijevani spektri u formatu ubrzanje-pomak (“AD” zapis). Na sl. 16-14. prika-zan je elastièni zahtijevani spektar i nelinearni zahtijevani spektri za konstantnevrijednosti koeficijenta duktilnosti %.

370

POGLAVLJE 16.

Sl. 16-13. Elastièni spektri ubrzanja Sae i pomaka Sde za tlo razreda Bi 5%-tno prigušenje; poredbeno vršno ubrzanje podloge a ggR � 0 3,




Pushover analiza provedena je programom SeismoStruct [65], èija je osnovnanamjena nelinearna statièka i dinamièka analiza okvirnih konstrukcija. Praæenje ne-linearnosti materijala uzdu� elementa i unutar popreènog presjeka elementa omo-guæeno je primjenom vlaknastog modela (fibre modelling approach). Svaki po-preèni presjek sastoji se od odreðenog broja vlakana (200 do 400) i za svakovlakno definiran je nelinearni odnos O 2� . Diskretizacija tipiènog armiranobeton-skog elementa prikazana je na slici 16-15.

Na slici 16-16. prikazan je trodimenzionalni model konstrukcije, a naslici 16-18. deformacija konstrukcije neposredno prije stvaranja mehanizma(o stvaranju mehanizma zakljuèit æe se na kraju, u 8. koraku). Za provoðenjapushover analize potrebno je odrediti raspodjelu boènih sila po katovima konstruk-cije.

371


Sl. 16-14. Zahtijevani spektri u formatu AD za konstantne vrijednosti koeficijenta duktilnosti,za tlo razreda B i 5%-tno prigušenje; poredbeno vršno ubrzanje podloge a ggR � 0 3,



Mase katova visine 3,10 m iznose 354 t, a mase katova visine 5,00 m iznose381 t. Matrica masa konstrukcije dijagonalna je matrica 8 × 8 èije su vrijednosti di-jagonalnih èlanova mase katova poèevši od najvišeg, a svi izvan dijagonalni èlano-vi jednaki su nuli (sustav je statièki spregnut, vidjeti 5. poglavlje). Sustav ima ono-liko stupnjeva slobode koliki je broj katova (pojam shear building je uveden u6. poglavlju).

Pretpostavlja se linearni oblik pomaka :

FT� [0,17 0,35 0,46 0,57 0,67 0,78 0,89 1,00]

m�

354 0 0 0 0 0 0 0

0 354 0 0 0 0 0 0

0 0 354 0 0 0 0 0

0 0 0 354 0 0 0 0

0 0 0 0 354 0 0 0

0 0 0 0 0 354 0 0

0 0 0 0 0 0 381 0

0 0 0 0 0 0 0 381

&

�

''''''''''

(

�

))))))))))

t

372

POGLAVLJE 16.

Sl. 16-15. Diskretizacija elemenata u programu SeismoStruct



Intenzitet boènih optereæenja odreðuje se vrijednošæu p. Raspodjela boènihoptereæenja dana je s Y i povezana je s pretpostavljenim oblikom pomaka F. Oblikrapodjele boènih sila dobiva se iz sljedeæe jednad�be i nomalizira se tako da sila nakrovu ima jediniènu vrijednost:

P � p Y� p m F

PT� [0,16 0,33 0,43 0,53 0,62 0,72 0,89 1,00]

Ovakvim oblikom raspodjele boènih sila izveden je proraèun programom Sei-smoStruct [65] do pomaka od 60 cm. Rezultat je krivulja kapaciteta koja daje vezuukupne sile u nivou temelja V i pomaka vrha zgrade Dt. Na slici 16-17. prikazanaje krivulja kapaciteta dobivena programom SeismoStruct i njezina bilinearna idea-lizacija. Idealizacija krivulje provodi se tako da površine ispod stvarne i ispod idea-lizirane krivulje budu jednake (kao što je pokazano u dijelu 16.2.3. Dodatak B).

Napomena: Poèetak stvaranja plastiènog mehanizma (prema Dodatku B [90]) dm* treba da se

pribli�no podudari s vrijednošæu ciljanog pomaka dt*. Ako se ciljani pomak dt

* znaèajno razlikuje odpomaka dm

* , mo�e se primijeniti iterativni postupak. Tada se postupci ponavljaju, koristeæi vrijednostdt

* (i odgovarajuæi Fy*) umjesto dm

* u izrazu (B.6).

373


Sl. 16-16. Model konstrukcije iz programa SeismoStruct [65]s prikazanim mjestima unosa boènih sila



374

POGLAVLJE 16.

Sl. 16-17. Krivulja kapaciteta (crtkano je prikazana stvarna krivulja kapaciteta,a punom linijom bilinearna idealizacija)

Sl. 16-18. Deformacija konstrukcije u trenutku prije formiranja mehanizma(vidjeti objašnjenje u 8. koraku)




Originalni sustav s više stupnjeva slobode transformira se u ekvivalentni su-stav s jednim stupnjem slobode. Ekvivalentna masa i faktor transformacije izmeðudva sustava odreðuju se na sljedeæi naèin:

m mi i* � �� F 1 783 t

��

m

mi i

*

,F

2137

Iz bilinearne krivulje kapaciteta prikazane na slici 16-17. mogu se oèitati vri-jednosti otpornosti Fy i pomaka na granici popuštanja Dy. Pomoæu faktora transfor-macije izraèunaju se odgovarajuæe vrijednosti za sustav s jednim stupnjem slobode.

FF

y

y*

,� � �

�

2950

1372153

kNkN

DD

y

y*,

,,� � �

�

15 3

137112 cm

Elastièni period sustava s jednim stupnjem slobode:

Tm D

F

y*

* *

*

,,� �

��2 2

1783 0112

2153191� � s

Ubrzanje na granici popuštanja ima vrijednost:

SF

mgay

y� �

*

* ,0123

375





Zahtijevani spektar odreðuje se za svaku promatranu razinu ubrzanja podloge.Period ekvivalentnog sustava s jednim stupnjem slobode veæi je od TC pa se primje-njuje pravilo jednakih pomaka, što znaèi da je prema jednad�bi (16-5) zahtijevanaduktilnost % jednaka faktoru redukcije R % . Proraèunom su dobivene sljedeæe toènevrijednosti S Tae ( )* za tri razine ubrzanja tla, koje su prikazane i na slici 16-19:

S T gae ( ) ,* � 0 235 za a ggR � 0 3,

S T gae ( ) ,* � 0157 za a ggR � 0 2,

S T gae ( ) ,* � 0 078 za a ggR � 01,

RS T

S

g

gae

ay% � � �

( ) ,

,,

* 0 235

0123191 za a ggR � 0 3,

RS T

S

g

gae

ay% � � �

( ) ,

,,

* 0157

0123127 za a ggR � 0 2,

RS T

S

g

gae

ay% � � �

( ) ,

,,

* 0 078

01230 64 za a ggR � 01,

% %� �R 191, za a ggR � 0 3,

% %� �R 127, za a ggR � 0 2,

% %� �R 0 64, za a ggR � 01,

Na slici 16-19. prikazani su zahtijevani spektri za tri razine pomicanja tla. Po-tresni zahtjev za ekvivalentni sustav s jednim stupnjem slobode grafièki je pred-stavljen presjecištem krivulje kapaciteta sa zahtijevanim spektrom za odgovarajuæeizraèunate koeficijente duktilnosti %. Za vršna ubrzanja tla 0,2g i 0,3g odgovorkonstrukcije je nelinearan, a za ubrzanje tla koje ima vrijednost 0,1g odgovor kon-strukcije je linearan, slika 16-19.

376

POGLAVLJE 16.



6. KORAK: GLOBALNI SEIZMIÈKI ZAHTJEV ZA MODELS VIŠE STUPNJEVA SLOBODE

Zahtijevani pomak ekvivalentnog sustava s jednim stupnjem slobodetransformira se natrag u ciljani pomak vrha zgrade (target displacement) susta-va s više stupnjeva slobode. Ciljani pomak izraèunat je za tri razine ubrzanja tla.

377


Sl. 16-19. Zahtijevani spekar za tri razine ubrzanja tla i dijagram kapaciteta za ovaj primjer



D S Tt d� �� ( )*

Dt � � �137 7 1 9 8, , ,cm cm za a ggR � 01,

Dt � � �137 14 3 19 5, , ,cm cm za a ggR � 0 2,

Dt � � �137 21 4 29 3, , ,cm cm za a ggR � 0 3,

Na prikazani naèin udovoljeno je odredbama dijela 4.3.3.4.2.6. [90] za prora-èunom ciljanog pomaka.

7. KORAK: LOKALNI POTRESNI ZAHTJEVI

U šestom koraku izraèunati su ciljani pomaci za tri razine ubrzanja tla. Proraè-un postupnim guranjem izvodi se do trenutka kada pomak vrha zgrade ne postignete vrijednosti, što daje oblik pomaka za cijelu konstrukciju, odnosno lokalne potre-sne zahtjeve u smislu apsolutnih i relativnih pomaka katova.

Na slici 16-20. prikazani su apsolutni i relativni pomaci katova i to usporednoza sve tri promatrane razine ubrzanja tla.

378

POGLAVLJE 16.

Slika 16-20. Lokalni potresni zahtjevi: Pomaci i relativni pomaci katova




Na slici 16-19. paralelno su pokazani zahtijevani spektri za tri razine ubrzanjatla i dijagram kapaciteta. Na temelju toga i lokalnih potresnih zahtjeva odreðenih u7. koraku prema izraèunatim ciljanim pomacima, mo�e se procijeniti ponašanjekonstrukcije i pojava ošteæenja.

Za ubrzanje temeljnog tla 0,1g (kojem odgovara ciljani pomak 9,8 cm) odgo-vor konstrukcije ostaje linearan i konstrukcija ne trpi ošteæenja. Pri ubrzanju 0,2g(ciljani pomak je 19,5 cm) odgovor konstrukcije prelazi u nelinearno podruèje.Formiraju se plastièni zglobovi i to u gredama prizemlja uz oslonce. Konstrukcijaapsorbira i gubi energiju potresa nelinearnim ponašanjem odnosno ošteæenjem. Priubrzanju 0,3g (ciljani pomak je 29,3 cm) konstrukcija ulazi još više u nelinearnopodruèje formiranjem novih plastiènih zglobova u gredama viših katova, ali jošuvijek saèuvavši svoju stabilnost. Pri ciljanom pomaku od cca. 40 cm formiraju seplastièni zglobovi u krajevima greda i u stupovima prizemlja u razini temelja, štokonstrukciju pretvara u mehanizam i dovodi do rušenja. Radi toga je i propisano udijelu 4.3.3.4.2.3. [90] da kruvulja kapaciteta (odnos izmeðu ukupne popreène sileu nivou temelja i kontroliranog pomaka) treba biti odreðena metodom postupnogguranja (pushover) za vrijednosti kontroliranih pomaka koje se kreæu izmeðu nule i150% od vrijednosti ciljanog pomaka.

Napomena: Prikaz i usporedba rezultata izraèuna iz ovog primjera, dobivenih prema nelinear-noj statièkoj metodi N2 i nelinearnim statièkim metodama NSP i CSM propisanim u amerièkimnormama, dana je u radu [47].

Primjer 25. LINEARNI I NELINEARNI STATIÈKI I DINAMIÈKI SEIZMIÈKIIZRAÈUN KONSTRUKCIJE PREMA NORMI EN 1998-1:2004;USPOREDBA DOBIVENIH REZULTATA

Za graðevinu iz prethodnog primjera prema EN 1998-1:2004. provesti:

a) linearni statièki proraèun primjenom ekvivalentnog statièkog djelovanja,

b) linearni dinamièki modalni proraèun spektrima odziva (modalna analiza),

c) nelinearni proraèun statièkom metodom postupnog guranja (pushover),

d) nelinearni dinamièki proraèun u vremenu (time history),

te usporediti rezultate dobivene na navedena èetiri naèina.

Na primjeru armiranobetonske graðevine prikazane na slici 16-12. provestæe se linearni postupci proraèuna i dobiveni rezultati usporediti s rezultatima

379




dobivenim nelinearnom statièkom metodom postupnog guranja (N2 metodom)i nelinearnim dinamièkim proraèunom u vremenu. Graðevina ima 8 eta�a od ko-jih su prve dvije visine 5,00 m, a ostale imaju visinu 3,10 m. Nakon linearnog sta-tièkog proraèuna primjenom ekvivalentnog statièkog djelovanja provedeno jedimenzioniranje konstrukcije. Svi su stupovi dimenzija 60 × 60 cm a grede40 × 60 cm. Ploèa je debljine 20 cm. Mase katova visine 3,10 m imaju vrijed-nost 241 t, a mase katova visine 5,00 m iznose 269 t što daje ukupnu masu od1984 t.

Konstrukcija je projektirana prema europskoj normi EN 1998-1:2004 sa slje-deæim parametrima: razred tla B, faktor va�nosti graðevine II (+ I �1), tip spektra 1(površinska magnituda M s oèekivanog potresa veæa od 5,5) i viskozno prigušenje� � 5%. Proraèuni æe se provesti za tri razine vršnih ubrzanja podloge agR : 0,1g;0,2g i 0,3g. S obzirom da je konstrukcija simetrièna, provodi se proraèun za samojedan smijer djelovanja potresa.

a) Linearni statièki proraèun primjenom ekvivalentnogstatièkog djelovanja

U toèki 4.3.3.2 norme EN 1998-1:2004 definirana je linearana statièka meto-da proraèuna primjenom ekvivalentnog boènog statièkog djelovanja. Da bi se ovametoda mogla koristiti, odziv konstrukcije mora biti takav da ne postoji znatan do-prinos viših oblika osciliranja jer se uzima utjecaj samo prvog oblika. Ovaj zahtjevsmatra se ispunjenim ako su zadovoljena sljedeæa dva uvjeta:

� osnovni period oscilacija konstrukcije T1 mora biti manji od 4TC odnosnomanji od 2,0 s;

� konstrukcija mora zadovoljavati kriterije regularnosti po visini i tlocrtu(toèka 4.2.3.3).

Konstrukcija iz primjera zadovoljava oba navedena uvjeta.

Linearna analiza konstrukcije zasniva se na reduciranim elastiènim spektrimaodgovora � projektnim spektrima. Redukcija se provodi faktorom ponašanja q kojipredstavlja sposobnost konstrukcije da apsorbira i troši energiju unijetu u konstruk-ciju potresom. To trošenje energije ostvaruje se nelinearnim ponašanjem konstruk-cije, odnosno njenim ošteæenjem. Vrijednost faktora ponašanja odreðena je na slje-deæi naèin (toèka 5.2.2.2):

q q kw� � ,0 15,

380

POGLAVLJE 16.



q0 � osnovna vrijednost faktora ponašanja ovisna o konstrukcijskom su-stavu, njegovoj regularnosti i razredu duktilnosti; za okvirne su-stave koji su regularni i visoke duktilnosti (DCH) q0 ima vrijednost4,5 u 1

kw � faktor koji odra�ava naèin sloma konstrukcije; za okvirne sustaveima vrijednost 1,00

u 1 � faktor viška nosivosti (overstrength factor) koji je moguæe dobitimetodom postupnog guranja (pushover), a za višekatne okvirnekonstrukcije mo�e se usvojiti vrijednost 1,3

q q k kw u w� � � � � � � � �0 14 5 4 5 13 100 5 85, , , , ,

U normi EN 1998-1:2004 je dano da se osnovni period konstrukcije T1 mo�epribli�no odrediti prema sljedeæem izrazu:

T C Ht13 4� � /

u kojem je:

C t � koeficijent koji za prostorne armiranobetonske okvire ima vrijednost0,075

H � visina objekta u metrima mjerena od temelja.

T C Ht13 4 3 40 075 28 60 0 93� � � � �/ /, , , s

Ukupna horizontalna seizmièka sila Fb za svaki promatrani smjer odreðuje seprema:

F S T mb d� � �( )1 �

S Td ( )1 � ordinata projektnog spektra za periodu T1 (slika 16-21.)

T1 � osnovni period oscilacija konstrukcije za promatrani smjer

m � ukupna masa graðevine iznad temelja definirana u toèki 3.2.4(2) nor-me EN 1998-1:2004

� � korekcijski faktor koji ima vrijednost 0,85 ako je T TC1 20 i ako jekonstrukcija višekatna

381




Za svaku razinu ubrzanja tla odredit æe se i base shear koeficijent (B.S.), kojipredstavlja odnos ukupne horizontalne seizmièke sile i te�ine konstrukcije, iz-ra�eno u postotcima.

B SS T

g

F

Wd b. .( )

� � �1 �

g � gravitacijsko ubrzanjeW � ukupna te�ina konstrukcije.

382

POGLAVLJE 16.

Slika 16-21. Elastièni spektri (a) i projektni spektri (b) za 5%-tno prigušenjei vršno ubrzanje podloge od 0,3g



Ukupna horizontalna seizmièka sila za tri razine ubrzanja podloge i odgovara-juæi base shear koeficijenti imaju sljedeæe vrijednosti:

a ggR � 0 3, F S T mb d� � � �( )1 1374� kN B S. . , %� 7 1

a ggR � 0 2, F S T mb d� � � �( )1 915� kN B S. . , %� 4 7

a ggR � 01, F S T mb d� � � �( )1 458� kN B S. . , %� 2 4

Raspodjela ukupne horizontalne seizmièke sile po visini graðevine odreðujese sljedeæim izrazom kojim se osnovni oblik osciliranja aproksimira horizontalnimpomacima, linearno poveæavanim u skladu s visinom graðevine (Tablica 16-2.):

F Fz m

z mi b

i i

j j

� ��

��

Kada se koriste linearni proraèuni, pomaci konstrukcije u potresu odreðuju sena temelju elastiènih deformacija konstrukcije prema sljedeæem pojednostavlje-nom izrazu:

d q ds d e� �

383


Tablica 16-2. Raspodjela ukupne horizontalne sile po visini graðevine za tri razi-ne ubrzanja tla

Fi [kN] a ggR � 0 3, a ggR � 0 2, a ggR � 0 1,

8. kat 276,96 186,64 92,32

7. kat 246,94 164,63 82,31

6. kat 216,92 144,61 72,31

5. kat 186,90 124,60 62,30

4. kat 156,88 104,59 52,29

3. kat 126,86 84,87 42,29

2. kat 108,04 72,02 36,01

1. kat 54,02 36,01 18,01



d s � pomak neke toèke konstrukcije pri projektnom seizmièkom djelovanju

d e � pomak iste toèke konstrukcije odreðen linearnom elastiènom analizomna temelju projektnih spektara odgovora prema odredbi èlanka 3.2.2.5

qd � faktor ponašanja za pomake; uzima se jednak usvojenom faktoru pona-šanja q

Na slici 16-22. prikazani su apsolutni i relativni pomaci katova i to usporednoza sve tri promatrane razine ubrzanja tla.

Ogranièenje relativnog pomaka u normi EN 1998-1:2004 dano je u toèki4.4.3.2. Za konstrukcije èiji nekonstruktivni elementi ne utjeèu na njene deformaci-je, to ogranièenje je dano na sljedeæi naèin:

d v hr � 0 010,

d r � raèunski relativni pomak

v � redukcijski faktor; za faktore va�nosti graðevine I i II je v� 0 5,

h � visina kata

d r 010 cm� ogranièenje za eta�e visine 5,00 m

d r 0 6 cm � ogranièenje za eta�e visine 3,10 m

Propisano ogranièenje relativnog pomaka zadovoljeno je za sve tri razineubrzanja podloge.

384

POGLAVLJE 16.

Slika 16-22. Lokalni potresni zahtjevi: pomaci i relativni pomaci katova



b) Linearni dinamièki modalni izraèun spektrima odziva

Modalni dinamièki proraèun detaljno je opisan u 13. poglavlju, a propisan jeu toèki 4.3.3.3 norme EN 1998-1:2004. Modalni proraèun spektrima odziva, zarazliku od proraèuna primjenom ekvivalentnog statièkog djelovanja, mo�e se pri-mjenjivati bez ogranièenja jer u obzir uzima i više oblike osciliranja. Broj tonovakoje je potrebno uzeti u proraèun odreðuje se zadovoljavajuæi jedan od sljedeæadva kriterija:

� zbroj svih efektivnih modalnih masa tonova koji su uzeti u obzir mora bitinajmanje 90% ukupne mase konstrukcije,

� svi tonovi s efektivnim modalnim masama veæim od 5% moraju se uzeti uobzir.

Modalna analiza konstrukcije provedena je programom Tower. U Tablici16-3. dane su vlastite periode i vlastite frekvencije konstrukcije.

385


Tablica 16-3. Periode i frekvencije osciliranja po tonovima

TonPeriod

T [s]

Frekvencija

f [Hz]

1 0,9537 1,0486

2 0,9537 1,0486

3 0,8497 1,1769

4 0,2744 3,6440

5 0,2744 3,6440

6 0,2443 4,0931

7 0,2017 4,9581

8 0,1624 6,1586

9 0,1493 6,6960

10 0,1493 6,6960



Prvom i drugom tonu pripadaju jednake periode zbog simetrije konstrukcije, stime da prvi ton djeluje u smjeru x, a drugi u smjeru y. Treæi ton je torzijski, slika16-23. Èetvrti i peti ton, opet zbog simetrije konstrukcije, imaju jednake periode iodnose se jedan na x, a drugi na y smjer, slika 16-23.

Udjeli tonova (faktori uèešæa� modal partipation factors, vidjeti 13. po-glavlje, jednad�ba (13.14)) po smjerovima djelovanja su sljedeæi, Tablica16-4.:

Vidljivo je da konstrukcija oscilira dominantno u prvom tonu i uzevši prvihpet tonova u proraèun zadovoljena su oba prethodno navedena kriterija o potreb-nom broju tonova koji se uzimaju u proraèun.

Faktor ponašanja odreðuje se na jednak naèin kao za linearni statièki proraèunprimjenom ekvivalentnog statièkog djelovanja i ima vrijednost q� 5 85, .

386

POGLAVLJE 16.

Tablica 16-4. Uèešæa tonova (faktori uèešæa)

Tonx smjer

[%]

y smjer

[%]

1 88,37 0

2 0 88,37

3 0 0

4 5,2 0

5 0 5,2

6 0 0

7 0 0

8 0 0

9 2,6 0

10 0 2,6



Ukupna horizontalna seizmièka sila za tri razine ubrzanja podloge i odgovara-juæi base shear koeficijenti dobiveni su prema postupku koji je izlo�an u 13. po-glavlju ove knjige i imaju vrijednosti:

a ggR � 0 3, Fb �1984 kN B S. . , %�10 0

a ggR � 0 2, Fb �1323 kN B S. . , %� 6 7

a ggR � 01, Fb � 662 kN B S. . , %� 3 3

S obzirom da je i ovaj modalni dinamièki proraèun spektrima odziva linearniproraèun, pomaci pri seizmièkom djelovanju odreðuju se kao i u prethodnom po-stupku a). Na slici 16-24. prikazani su apsolutni i relativni pomaci katova i to uspo-redno za sve tri promatrane razine ubrzanja tla. Treba uoèiti da su ovdje dobiveniB.S. koeficijenti veæi od B.S. koeficijenata iz linearnog proraèuna, što je logiènaposljedica uzimanja u obzir viših oblika osciliranja.

387


Slika 16-23. Vlastiti oblici konstrukcije



Propisano ogranièenje meðukatnog pomaka, izraèunato u prethodnom postup-ku a), zadovoljeno je za sve tri razine ubrzanja podloge.

c) Nelinearni statièki seizmièki proraèun (metoda N2)

Iako je ovaj postupak za istu konstrukciju veæ proveden u prethodnom primje-ru, ovdje æe se on ponoviti za druge vrijednosti masa i pokazati kako i najmanjarazlika u obliku aproksimiranog dijagrama kapaciteta povlaèi znaèajne promjene udobivenim numerièkim vrijednostima.

Europska norma EN 1998-1:2004 uvodi nelinearni statièki izraèun konstrukcija,a za njeno provoðenje prikazan je postupak u dodatku B (Annex B) pod nazivom:Proraèun ciljanog pomaka (target displacement), kao i u toèki 4.3.3.4.2. ove nor-me. Nelinearne metode uvode in�enjerske koncepte usmjerene na analizi ponašanjakonstrukcije i na kontroli ošteæenja (performance based enguneering concept).

Metoda N2 kombinira metodu postupnog guranja (pushover) modela s višestupnjeva slobode sa spektralnim proraèunom ekvivalentnog sustava s jednim stup-njem slobode. Osnovna je pretpostavka ove metode da oblik pomaka konstrukcijeostaje konstantan pri ubrzanju podloge, što znaèi da æe rezultati dobiveni ovommetodom biti zadovoljavajuæi za konstrukcije koje osciliraju dominantno u prvomtonu. Konstrukcije kod kojih se ne mogu zanemariti viši oblici osciliranja ne moguse analizirati ovom metodom.

Rezultati modalne analize prikazani u dijelu b) pokazuju da prvi ton participi-ra s preko 88%, što znaèi da se konstrukcija mo�e proraèunati metodom N2.

Metoda N2 provodi se u 8 koraka koji æe biti prikazani u nastavku.

388

POGLAVLJE 16.

Slika 16-24. Lokalni potresni zahtjevi: pomaci i relativni pomaci katova



1. KORAK: PODATCI

Po prethodno definiranim parametrima iscrtani su elastièni spektri odzivaubrzanja i pomaka za vršno ubrzanje od 0,3g, slika 16-25.

Za nelinearan proraèun i primjenu postupka postupnog guranja potrebni supodaci o vrsti materijala i kolièini armature. Beton je klase C25/30, a armaturaB500. Stupovi su kvadratnog presjeka duljine stranice 60 cm armirani s 8.20. Gre-de su pravokutnog presjeka 40/60 cm modelirane kao “T” presjeci sa sudjelujuæomširinom od 125 cm, armirane s 4.20 u gornjoj i donjoj zoni.


Na temelju spektara ubrzanja i pomaka iz prvog koraka odredit æe se nelinear-ni spektar u formatu ubrzanje � pomak (“AD” zapis). Na slici 16-26. prikazan jeelastièan zahtijevani spektar i nelinearni zahtijevani spektri za konstantne vrijedno-sti koeficijenta duktilnosti %.

389


Sl. 16-25. Elastièni spektri ubrzanja Sae i pomaka Sde s 5%-tnim prigušenjemza vršno ubrzanje podloge od 0,3g




Pushover analiza provedena je programom SeismoStruct [65]. Na slici 16-27.prikazan je trodimenzionalni model konstrukcije. Za provoðenja pushover analizepotrebno je odrediti raspodjelu boènih sila po katovima konstrukcije.

Mase katova visine 3,10 m iznose 241 t, a mase katova visine 5,00 m iznose 269 t.Matrica masa konstrukcije jest dijagonalna matrica 8x8 èije su vrijednosti dijagonalnihèlanova mase katova poèevši od najvišeg, a svi izvandijagonalni èlanovi jednaki su nuli.

m�

241 0 0 0 0 0 0 0

0 241 0 0 0 0 0 0

0 0 241 0 0 0 0 0

0 0 0 241 0 0 0 0

0 0 0 0 241 0 0 0

0 0 0 0 0 241 0 0

0 0 0 0 0 0 269 0

0 0 0 0 0 0 0 269

&

�

''''''''''

(

�

))))))))))

t

390

POGLAVLJE 16.

Sl. 16-26. Zahtijevani spektar za konstantne vrijednosti koeficijenta duktilnosti u formatu AD,normalizirano s 1,0g za vršno ubrzanje od 0,3g i temeljno tlo razreda B



Pretpostavlja se linearni oblik pomaka :

FT� [0,17 0,35 0,46 0,57 0,67 0,78 0,89 1,00]

Intenzitet boènih optereæenja odreðuje se vrijednošæu p. Raspodjela boènihoptereæenja dana je s Y i povezana je s pretpostavljenim oblikom pomaka F. Oblikraspodjele boènih sila dobiva se iz sljedeæe jednad�be i normalizira se tako da silana krovu ima jediniènu vrijednost:

P � p Y� p m F

PT� [0,15 0,31 0,41 0,51 0,60 0,70 0,89 1,00]

Ovakvim oblikom raspodjele boènih sila uraðen je izraèun u programuSeismoStruct [65] do vrijednosti kontroliranog pomaka od 60 cm, slika 16-28. Vri-jednost kontroliranog pomaka treba biti izmeðu nule i 150% od vrijednosti ciljanogpomaka što æe se pokazati da je zadovoljeno.

Rezultat je krivulja kapaciteta koja daje vezu ukupne sile u nivou temelja V ipomaka vrha zgrade Dt .

Na slici 16-28. prikazana je krivulja kapaciteta dobivena programomSeismoStruct [65] i njezina bilinearna idealizacija. Idealizacija krivulje provodi setako da površine ispod stvarne i ispod idealizirane krivulje budu jednake.

391


Sl. 16-27. Model konstrukcije u SeismoStructu s prikazanim mjestima unosa boènih sila




Originalni sustav s više stupnjeva slobode transformira se u ekvivalentni su-stav s jednim stupnjem slobode. Ekvivalentna masa i faktor transformacije izmeðudva sustava odreðuju se na sljedeæi naèin :

m mi i* � �� F 1233 t

G � ��

m

mi i

*

,F

2136

Iz bilinearne krivulje kapaciteta prikazane na slici 16-28. mogu se oèitati vrijed-nosti otpornosti Fy i pomaka na granici popuštanja D y . Pomoæu faktora transfor-macije izraèunaju se odgovarajuæe vrijednosti za sustav s jednim stupnjem slobode.

392

POGLAVLJE 16.

Sl. 16-28. Krivulja kapaciteta (crtkano je prikazana stvarna krivulja kapaciteta,a punom linijom bilinearna idealizacija)



FF

y

y*

,� � �

�

2700

1371979 kN

DD

y

y*,

,,� � �

�

14 5

13710 7 cm

Elastièni period sustava s jednim stupnjem slobode:

Tm D

F

y*

* *

*

,,� �

��2 2

1233 0112

1979162� �

cms

Ubrzanje na granici popuštanja ima vrijednost:

SF

mgay

y� �

*

* ,0164


Zahtijevani spektar odreðuje se za svaku promatranu razinu ubrzanja podloge.Period ekvivalentnog sustava s jednim stupnjem slobode veæi je od TC pa se prim-jenjuje pravilo jednakih pomaka što znaèi da je zahtijevana duktilnost % jednakafaktoru redukcije R%.

RS T

S

g

gae

ay% � � �

( ) ,

,,

* 0 278

01641 70 za a ggR � 0 3,

RS T

S

g

gae

ay% � � �

( ) ,

,,

* 0185

0164113 za a ggR � 0 2,

RS T

S

g

gae

ay% � � �

( ) ,

,,

* 0 093

01640 57 za a ggR � 01,

393




% %� �R 1 70, za a ggR � 0 3,

% %� �R 113, za a ggR � 0 2,

% %� �R 0 57, za a ggR � 01,

Na slici 16-29. prikazani su zahtijevani spektri za tri razine pomicanja tla. Po-tresni zahtjev za ekvivalentni sustav s jednim stupnjem slobode grafièki je pred-stavljen presjecištem krivulje kapaciteta sa zahtijevanim spektrom za odgovarajuæeizraèunate koeficijente duktilnosti %. Za ubrzanja od 0,2g i 0,3g odgovor konstruk-cije je nelinearan, a za ubrzanja od 0,1g odgovor konstrukcije linearan je.

394

POGLAVLJE 16.

Sl. 16-29. Zahtijevani spekar za tri razine ubrzanja tla i dijagram kapaciteta za ovaj primjer



6. KORAK: GLOBALNI SEIZMIÈKI ZAHTJEV ZA MODELS VIŠE STUPNJEVA SLOBODE

Zahtijevani pomak ekvivalentnog sustava s jednim stupnjem slobode transfor-mira se natrag u pomak vrha zgrade (target displacement) sustava s više stupnjevaslobode. Ciljani pomak izraèunat je za tri razine ubrzanja tla.

Odnos izmeðu ukupne popreène sile u nivou temelja i kontroliranog pomaka tre-ba biti odreðen metodom postupnoga guranja za vrijednosti kontroliranih pomaka kojese kreæu izmeðu nule i 150% od vrijednosti ciljanog pomaka, što je zadovoljeno.

D S Tt d� �� ( )*

Dt � � �136 181 24 7, , ,cm cm za a ggR � 0 3,

Dt � � �136 121 16 5, , ,cm cm za a ggR � 0 2,

Dt � � �136 6 0 8 2, , ,cm cm za a ggR � 01,

7. KORAK: LOKALNI POTRESNI ZAHTJEV

U šestom koraku izraèunati su ciljani pomaci za tri razine ubrzanja tla. Proraè-un postupnim guranjem vrši se do trenutka kada pomak vrha zgrade ne dostigne tevrijednosti, što daje oblik pomaka za cijelu konstrukciju odnosno lokalne potresnezahtjeve u smislu apsolutnih i relativnih pomaka katova.

Na slici 16-30. prikazani su apsolutni i relativni pomaci katova i to usporednoza sve tri promatrane razine pomicanja tla.

395


Sl. 16-30. Lokalni potresni zahtjevi: pomaci i relativni pomaci katova



Propisano ogranièenje meðukatnog pomaka, izraèunato u dijelu a), zadovolje-no je za sve tri razine ubrzanja podloge.


Na slici 16-29. paralelno su pokazani zahtijevani spektri za tri razine pomi-canja tla i dijagram kapaciteta. Na temelju toga i lokalnih potresnih zahtjeva odre-ðenih u 7. koraku prema izraèunatim ciljanim pomacima, mo�e se procijeniti pona-šanje konstrukcije i pojava ošteæenja.

Za ubrzanje temeljnog tla od 0,1g (ciljani pomak je 8,2 cm) odziv konstrukcijeostaje linearan i konstrukcija ne trpi ošteæenja. Pri ubrzanju od 0,2g (ciljani pomak je16,5 cm) odgovor konstrukcije prelazi linearnu granicu i ulazi u nelinearno podruèje.Formiraju se plastièni zglobovi i to u gredama prizemlja uz oslonce. Konstrukcijaapsorbira i troši energiju potresa nelinearnim ponašanjem odnosno ošteæenjem. Priubrzanju od 0,3g (ciljani je pomak 24,7 cm) konstrukcija ulazi još dublje u nelinear-no podruèje formiranjem novih plastiènih zglobova u gredama viših katova, ali jošuvijek saèuvavši svoju stabilnost. Pri ciljanom pomaku od cca 30 cm formiraju seplastièni zglobovi u krajevima greda i u stupovima prizemlja u razini temelja štokonstrukciju pretvara u mehanizam i dovodi do rušenja, slika 16-31.

396

POGLAVLJE 16.

Sl. 16-31. Deformacija konstrukcije u trenutku prije formiranja mehanizma



• USPOREDBA REZULTATA DOBIVENIH PRIMJENOMMETODA IZRAÈUNA a), b) i c)

Sve tri primijenjene metode usporeðene su po lokalnim seizmièkim zahtjevi-ma za tri razine ubrzanja podloge. Prve dvije metode, koje su linearne, moguæe jeusporediti i po dobivenim reznim silama i ukupnoj popreènoj sili u razini temelja.Nelinearnim izraèunom uzima se u obzir moguænost pojave plastiènih zglobova,što dovodi do preraspodjele reznih sila odnosno promjene statièkog sustava, štoonemoguæuje usporedbu s linearnim metodama po ovim kriterijima.

U tablicama 16-5., 16-6. i 16-7. prikazana je usporedba ukupne popreène sileu razini temelja te usporedba apsolutnih i relativnih pomaka katova.

397


Tablica 16-5. Ukupna popreèna sila u razini temelja za tri razine ubrzanja tla

agR

Vmax [kN]

Ekv. statièko djelovanje Modalni proraèun spektrima odziva N2

0,3 1374 1984 2700

0,2 915 1323 2700

0,1 458 662 1523

Tablica 16-6. Pomaci konstrukcije po katovima za vršno ubrzanje podloge od 0,3g

Visinad s [cm]


28,6 13,2 15,6 24,7

25,5 12,8 15,2 24,6

22,4 12,1 14,5 24,0

19,3 11,2 13,5 22,9

16,2 10,1 12,2 21,4

13,1 8,7 10,6 19,3

10,0 7,1 8,7 16,1

5,0 3,0 3,7 7,8



Na slici 16-32. prikazani su apsolutni i relativni pomaci za vršno ubrzanje tlaod 0,3g proraèunati ekvivalentnim statièkim djelovanje, modalnim proraèunomspektrima odziva i metodom N2.

398

POGLAVLJE 16.

Tablica 16-7. Relativni pomaci konstrukcije po katovima (razlika pomaka vrha idna promatrane eta�e) za vršno ubrzanje podloge od 0,3g

Eta�ad r [cm]


8 0,4 0,4 0,1

7 0,7 0,7 0,6

6 0,9 1,0 1,1

5 1,1 1,3 1,5

4 1,4 1,6 2,1

3 1,7 2,0 3,2

2 4,1 5,0 8,3

1 3,0 3,7 7,8

Sl. 16-32. Usporedni prikaz apsolutnih i relativnih pomaka katova proraèunatih:ekvivalentnim statièkim djelovanjem � elastiène deformacije (crveno),

modalnim proraèunom spektrima odziva (zeleno), metodom N2 (plavo),za vršno ubrzanje tla od 0,3g



Modalni proraèun spektrima odziva oèekivano je dao veæe vrijednosti ukupnepopreène sile u nivou temelja od proraèuna ekvivalentnim statièkim optereæenjem,a time i veæe apsolutne i relativne pomake katova. Poveæanje spomenutih vrijedno-sti posljedica je uzimanja viših oblika osciliranja u proraèun, ali s obzirom da pro-matrana konstrukcija oscilira dominantno u prvom tonu, razlike nisu znaèajne.

Vrijednosti pomaka proraèunate nelinearnom statièkom metodom N2 dajuznaèajne razlike u odnosu na one proraèunate linearnim metodama. Ove su vrijed-nosti i realnije s obzirom da metoda N2 obuhvaæa nelinearnost, a s njom i promje-nu statièkog sustava konstrukcije pri djelovanju ubrzanja podloge.

• Zakljuèci

Europska norma EN 1998-1:2004 nudi više razlièitih pristupa seizmièkomproraèunu, svaki s odreðenim prednostima, ali i ogranièenjima.

Najjednostavniji je pristup proraèun ekvivalentnim statièkim djelovanjem. Dabi se mogla koristiti ova metoda, odziv konstrukcije mora biti takav da ne postojiznatan doprinos viših oblika osciliranja jer se uzima u obzir samo utjecaj prvogoblika aproksimiranim horizontalnim pomacima koji se linearno poveæavaju s visi-nom konstrukcije. Ogranièenja i pribli�nost ove metode èine je prikladnom samoza proraèun odreðenog broja graðevina.

Modalni proraèun spektrima odziva uvodi dinamièki proraèun, èime ova me-toda postaje prikladna za proraèun svih vrsta konstrukcija.

Obje se metode zasnivaju na reduciranim elastiènim spektrima odziva ubrza-nja podloge. Redukcija se vrši koeficijentom nazvanim faktor ponašanja q. Faktorponašanja predstavlja sposobnost konstrukcije da apsorbira i troši energiju unesenuu konstrukciju u potresu. To trošenje energije ostvaruje se nelinearnim ponašanjemkonstrukcije, odnosno njenim ošteæenjem. Ovim se parametrom korigiraju rezultatidobiveni linearnom elastiènom analizom te se razmatra nelinearni odziv konstruk-cije, pri èemu se i dalje radi njena jednostavna linearna analiza zasnovana na pro-jektnom spektru.

Meðutim, mane su ovakvog pristupa sljedeæe :

� preporuèene vrijednosti za faktor ponašanja pribli�ne su i ne predstavljajunu�no konkretnu konstrukciju,

� kada ponašanje konstrukcije uðe u nelinearno podruèje, dolazi do pre-raspodjele sila i deformacija što nije obuhvaæeno faktorom ponašanja,

399




�mehanizam koji dovodi do sloma ne mo�e se pretpostaviti elastiènomraspodjelom sila i deformacija,

� raspodjela i vrijednosti deformacija u neelastiènom podruèju u pravilu ne-maju nikakvu sliènost s onima u elastiènom podruèju.

Nove metode proraèuna, kao što je nelinearna statièka metoda N2, razvijenesu s ciljem da se dobije uvid u ponašanje konstrukcije i kontrolu ošteæenja (perfor-mance based concept), što je moguæe jedino uvoðenjem nelinearne analize. MetodaN2 daje podatke o otpornosti i duktilnosti konstrukcije koji se ne mogu dobiti ela-stiènom analizom. Dodatno otkriva slabosti konstrukcije koje mogu ostati skriveneu elastiènoj analizi. Opæenito, rezultati metode N2 prihvatljivo su toèni ako kon-strukcija oscilira predominantno u prvom tonu. Ovo je dosta znaèajna restrikcija,koja ogranièava vrste konstrukcija na koje je metoda N2 primjenljiva. U tijeku suistra�ivanja u Europskoj uniji nakon kojih æe se metoda N2 proširiti na uzimanje uobzir i viših tonova.

Osim spomenutog ogranièenja, metoda N2 ima još neka ogranièenja. Naprimjer, klasièna pushover analiza temelji se na pretpostavci da su pomaci kon-strukcije neovisni o vremenu, što praktièno znaèi da se promjene u vremenu dina-mièkih karakteristika konstrukcije pri njenom nelinearnom ponašanju ne moguuzeti u obzir. U takvim sluèajevima mogu ostati skrivene slabosti konstrukcije, ko-je mogu proizvesti promjene dinamièkih karakteristika konstrukcije nakon formi-ranja prvog plastiènog zgloba.

Poboljšanje je moguæe primjenom adaptivne pushover analize, u kojoj semijenja raspodjela boènog optereæenja u skladu s promjenama dinamièkih karakte-ristika konstrukcije.

d) Nelinearni dinamièki proraèun u vremenu

• Proraèun uporabom umjetnih vremenskih zapisa

Dobiveni rezultati za digitalizirani umjetni vremenski zapis (slika 16-10.) pri-kazani su na slici 16-33. za pomak vrha zgrade u funkciji vremena. Na slici 16-34.prikazana je ukupna sila u razini temelja (base shear) takoðer kao funkcija vreme-na, a na slici 16-35. prikazana je histerezna krivulja ukupne sile u razini temelja(base shear) u odnosu na pomak vrha zgrade (analogno pushover krivulji).

400

POGLAVLJE 16.



401


Sl. 16-33. Pomak vrha zgrade kao funkcija vremena za umjetni vremenski zapis ubrzanjadan na slici 16-10.



402

POGLAVLJE 16.

Sl. 16-34. Ukupna horizontalna sila u razini temelja (Base Shear) kao funkcija vremenaza umjetni vremenski zapis ubrzanja dan na slici 16-10.



Na slici 16-36. prikazani su maksimalni apsolutni pomaci, a na slici 16-37.maksimalni relativni pomaci za svih sedam umjetnih vremenskih zapisa i njihova pro-sjeèna vrijednost (prikazana crnom linijom). Treba napomenuti da se maksimalni rela-tivni pomaci ne dogaðaju nu�no u trenutku najveæih maksimalnih apsolutnih pomaka,kao u metodi postupnog guranja. Isto tako, ni apsolutni pomaci katova ne dose�u svojmaksimum u istom trenutku. Prosjeèna vrijednost pomaka daje kvantitativnu, ali ne ikvalitativnu sliku ponašanja konstrukcije. Va�no je primijetiti da se spektri umjetnihvremenskih zapisa razlikuju od propisanih spektra do maksimalno 10% što ima za po-sljedicu malu varijaciju u rezultatima. Prosjeèna vrijednost, koja je mjerodavna za di-menzioniranje, mo�e se dobiti s relativno malim brojem korištenih zapisa.

403


Sl. 16-35. Histerezna krivulja ukupne sile u razini temelja (Base Shear) u odnosu na pomak vrhazgrade (analogno pushover krivulji) za umjetni vremenski zapis ubrzanja dan na slici 16-10.



404

POGLAVLJE 16.

Sl. 16-36. Maksimalni apsolutni pomaci za sedam neovisnih umjetnihvremenskih zapisa i prosjeèna vrijednost

Sl. 16-37. Maksimalni relativni pomaci za sedam neovisnih umjetnihvremenskih zapisa i prosjeèna vrijednost



• Proraèun uporabom realnih vremenskih zapisa

Maksimalni apsolutni i relativni pomaci za sedam odabranih realnih za-pisa prikazani su na slikama 16-38. i 16-39., a crnom bojom prikazana je pro-sjeèna vrijednost. Mo�e se primijetiti znaèajno veæa varijacija u rezultatima iosjetljivost na ulazne parametre nego što je to bio sluèaj kod primjene umjetnihzapisa.

405


Sl. 16-38. Maksimalni apsolutni pomaci izraèunati nelinearnom dinamièkom metodomuporabom realnih vremenskih zapisa ubrzanja (srednja vrijednost je prikazana crnom linijom)



• Usporedba rezultata dobivenih primjenom metoda izraèunaa), b), c) i d) i zakljuèci [19]

Tradicionalni pristup na bazi sila (force-based approach) u linearnim meto-dama rezultirao je odreðivanjem reznih sila u elementima konstrukcije i njihovodimenzioniranje. Meðutim, suvremeni trendovi u seizmièkoj analizi u prvi planstavljaju ponašanje konstrukcije i kontrolu ošteæenja (performance based enginee-ring) što je omoguæeno novim pristupom na bazi pomaka (displacement-basedapproach). Da bi se dobila vjerna slika o ponašanju konstrukcije za zadano seizmi-èko optereæenje, potrebno je znati apsolutne i relativne pomake katova konstrukci-je. Relativni pomaci katova najbolji su indikator ošteæenja konstruktivnih i nekon-struktivnih elemenata, dok su apsolutni pomaci od iznimne va�nosti u sluèajevimaguste gradnje kada postoji opasnost od sudara susjednih zgrada (odreðivanje širine

406

POGLAVLJE 16.

Sl. 16-39. Maksimalni relativni pomaci izraèunati nelinearnom dinamièkom metodomuporabom realnih vremenskih zapisa ubrzanja (srednja vrijednost je prikazana crnom linijom)



seizmièke dilatacije). Pritom je po�eljno identificirati moguæe mehanizme slomakako bi se otklonile slabosti u konstruktivnom sustavu. Zbog toga je provedenausporedba svih raspolo�ivih metoda seizmièkog proraèuna po izraèunatim maksi-malnim apsolutnim i relativnim pomacima, slike 16-40. i 16-41.

S obzirom da je nelinearni proraèun uporabom vremenskih zapisa (timehistory) najtoènija metoda, njezini æe se rezultati koristiti za ocjenu ostalih metoda.Crnom bojom su na slikama 16-40. i 16-41. prikazane prosjeène vrijednosti rezul-tata dobivenih na temelju 7 realnih vremenskih zapisa, a plavom bojom na temelju7 umjetnih vremenskih zapisa.

Spektri umjetnih zapisa ubrzanja ne odstupaju više od 10% od propisanogspektra kojim je predstavljen seizmièki zahtjev, slika 16-9. Posljedica toga je vrlomala varijacija u rezultatima, što znaèi da je potreban relativno mali broj umjetnihzapisa kako bi se došlo do srednje vrijednosti koja je mjerodavna za dimenzioni-ranje. Razlika izmeðu maksimalne i minimalne dobivene vrijednosti za pomak kro-va u ovom primjeru (slika 16-36.) je 4,4 cm, a prosjeèno odstupanje od srednje vri-jednosti relativnog pomaka (slika 16-37.) je manje od 1 cm.

S realnim zapisima nije moguæe postiæi potpunu kompatibilnost s propisanimspektrima kao što je to sluèaj s umjetnim zapisima, što ima kao posljedicu veæu va-rijaciju rezultata. Razlika izmeðu maksimalne i minimalne dobivene vrijednosti zapomak krova (slika 16-38.) u ovom sluèaju je 15,6 cm, a prosjeèno odstupanje odsrednje vrijednosti relativnog pomaka (slika 16-39.) je 5,7 cm. Ovakva varijacijarezultata odgovara stvarnosti. Zato je potreban veæi broj zapisa kako bi se pouzda-nije mogla odrediti prosjeèna vrijednost odziva.

Odabir izmeðu umjetnih i realnih zapisa ovisit æe o tome koja se karakte-ristika odziva konstrukcije �eli dobiti. Ako se �eli dobiti prosjeèan odziv konstruk-cije za seizmièki zahtjev odreðen propisanim spektrom, onda je logièno koristitiumjetne vremenske zapise. Ako se �eli dobiti varijabilnost odziva onda je to mogu-æe samo uporabom realnih vremenskih zapisa. Prema tome, globalni i lokalni po-maci dobiveni metodom N2 usporedit æe se s onima dobivenim nelinearnim dina-mièkim izraèunom uporabom umjetnih zapisa, a postotak poveæanja ciljanog po-maka odredit æe se na temelju rezultata dobivenih koristeæi realne zapise.

Najjednostavnija meðu svim prikazanim metodama je linearna metoda ekvi-valentnog statièkog djelovanja, a rezultati dobiveni ovom metodom prikazanisu �utom bojom na slikama 16-40. i 16-41. U obzir se uzima samo utjecaj prvogtona.

Modalni proraèun spektrima odziva (svijetlo zelena boja) dinamièki je prora-èun koji, osim prvog, uzima u obzir i više oblike osciliranja. S obzirom da je utje-

407




caj viših tonova zanemariv, nema znaèajne razlike u odnosu na rezultate dobiveneekvivalentnim statièkim djelovanjem, slike 16-40. i 16-41..

Oba prethodna proraèuna provedena su uz pretpostavku neraspucanog presjeka.Kada se oèekuje nelinearni odziv konstrukcije, kao u ovom primjeru, ova pretpostavkamo�e dovesti do znaèajnog podcjenjivanja pomaka. Konstrukcija nelinearnim ponaša-njem, odnosno trošenjem seizmièke energije, gubi krutost, što rezultira veæim apsolutnimi relativnim pomacima. Pri potresima velikih intenziteta i velikim ošteæenjima kon-strukcije efektivna krutost mo�e znaèajno pasti u odnosu na inicijalnu krutost konstruk-cije, što bitno poveæava pomake. Pri tome se razumni rezultati mogu oèekivati jedinopod pretpostavkom jednolike raspodjele nelinearnosti po konstrukciji. Zelenom bojomprikazani su rezultati dobiveni modalnom analizom spektrima odziva za konstrukciju sraspucanim elementima, uzevši da je prema èl. 431 (7) [90] njihova krutost na savija-nje i posmik jednaka polovici krutosti neraspucanog elementa, slike 16-40. i 16-41..Vidljivo je da su ovako izraèunati pomaci znaèajno veæi i bli�i stvarnim pomacima.

Sve linearne metode imaju zajednièke nedostatke: kada ponašanje konstrukci-je uðe u nelinearno podruèje dolazi do preraspodjele sila i deformacija, što nijeobuhvaæeno linearnim proraèunom, mehanizam koji dovodi do sloma ne mo�e sepretpostaviti elastiènom raspodjelom sila i deformacija, raspodjela i vrijednosti de-formacija u neelastiènom podruèju nemaju sliènosti s onima u elastiènom podruèjuitd. Prema tome, vjeran prikaz ponašanja konstrukcije moguæe je dobiti tek upora-bom nelinearnih metoda.

Rezultati nelinearne statièke metode N2 prikazani su crvenom bojom, slike16-40. i 16-41. Razlika u rezultatima u odnosu na nelinearni dinamièki proraèun prika-zana je na slici 16-42. Vidljivo je da metoda N2 daje vrlo dobre rezultate u procjenimaksimalnih apsolutnih pomaka u usporedbi s rezultatima “toènog” nelinearnog dina-mièkog proraèuna (razlike su unutar 10%). Slabiji su rezultati u procjeni maksimalnihrelativnih pomaka, pogotovo viših eta�a (razlike su i preko 50%, ali treba imati u viduda su relativni pomaci viših eta�a generalno ionako mali). Razlog tome su ogranièenjasadr�ana u metodi N2, a koja su ranije opisana. Bitno je primijetiti da metoda postup-nog guranja daje jedan profil pomaka iz kojeg se išèitavaju i globalni i lokalni pomacidok nelinearni dinamièki proraèun daje cijeli niz razlièitih profila pomaka. Pri tom glo-balni pomaci katova ne dosti�u nu�no svoj maksimum u istom trenutku, kao što ni lo-kalni pomaci ne dosti�u nu�no svoj maksimum zajedno s globalnim pomacima.

Postoji znaèajno rasipanje rezultata nelinearne dinamièke analize oko sredine.To se mo�e jasno vidjeti na slikama 16-38. i 16-39., koje prikazuju u kojem se raspo-nu kreæu apsolutni i relativni pomaci izraèunati nelinearnom dinamièkom analizomuporabom razlièitih vremenskih zapisa sukladnih odabranoj razini seizmièkog opte-

408

POGLAVLJE 16.



409


Sl. 16-40. Usporedni prikaz maksimalnih apsolutnih pomaka proraèunatih ekvivalentnim statièkimdjelovanjem (�uto), modalnom analizom spektrima odziva za neraspucane presjeke(svijetlo zeleno) i raspucale presjeke (zeleno), metodom N2 (crveno) i nelinearnim

dinamièkim proraèunom uporabom 7 realnih vremenskih zapisa (crno)i 7 umjetnih vremenskih zapisa (plavo)



reæenja. Zato je uputno ispitati ponašanje konstrukcije i za ekstremne sluèajeve opte-reæenja, što se posti�e poveæanjem ciljanog pomaka. U Eurokodu 8-1 je dana prepo-ruka da to poveæanje iznosi do 150% ciljanog pomaka dobivenog nelinearnom statiè-kom metodom N2. U sluèaju analizirane konstrukcije takva se preporuka èini pretje-ranom iz razloga što maksimalni pomak krova dobiven nelinearnim dinamièkim pro-raèunom ima vrijednost 35,3 cm (slika 16-38., �uta krivulja koja odgovara ubrzanji-ma u vremenu za potres Kocaeli, Turska, 1999.), a 150% vrijednosti ciljanog poma-ka dobivenog metodom N2 iznosi 39,2 cm. Poveæanjem ciljanog pomaka dobivenogmetodom N2 na 135% obuhvatio bi se i maksimalni pomak dobiven nelinearnim di-namièkim analizama, a poveæanjem na 120% dosegla bi se srednja vrijednost uveæa-na za jednu standardnu devijaciju što je i ideja ove preporuke, Tablica 16-8.

Slika 16-43. prikazuje gara�e Tower centra u Rijeci. Shematski prikaz armira-nobetonske konstrukcije dijela ovih gara�a (jedna dilatacijska cjelina) prikazana jena slici 16-12. i analizirana u primjerima 24. i 25.

410

POGLAVLJE 16.

Sl. 16-41. Usporedni prikaz maksimalnih relativnih pomaka proraèunatih ekvivalentnim statièkimdjelovanjem (�uto), modalnom analizom spektrima odziva za neraspucane presjeke

(svijetlo zeleno) i raspucale presjeke (zeleno), metodom N2 (crveno) i nelinearnim dinamièkimproraèunom uporabom 7 realnih vremenskih zapisa (crno) i 7 umjetnih vremenskih zapisa (plavo)



411


Sl. 16-42. Razlike izra�ene u postocima izmeðu apsolutnih i relativnih pomaka izraèunatihmetodom N2 i nelinearnom dinamièkom metodom uporabom 7 umjetnih

vremenskih zapisa (prosjeèna vrijednost)

Tablica 16-8. Karakteristiène vrijednosti pomaka prema nelinearnoj statièkoj me-todi N2 i nelinearnoj dinamièkoj metodi

Nelinearna statièka metoda N2

Ciljani pomak 26,1 cm

150% vrijednosti ciljanog pomaka 39,2 cm

Nelinearna dinamièka metoda Realni zapisi Umjetni zapisi

Minimalna vrijednost (�min) 19,7 cm 25,5 cm

Maksimalna vrijednost (�max) 35,3 cm 29,9 cm

Razlika max� min (�max � �min) 15,6 cm 4,4 cm

Srednja vrijednost (�AV) 25,4 cm 28,0 cm

Standardna devijacija (O) 5,7 cm 0,6 cm

Srednja vrijednost � 1O (�AV� O) 31,1 cm 28,6 cm



Komentari:

– Veæ je ranije reèeno da æe projektanti u buduænosti uglavnom raditi samo toènije nelinearneproraèune konstrukcija na koje djeluju sile potresa, naroèito za znaèajnije graðevine. Primjenomtoènijih metoda proraèuna utroši se više vremena za sam proraèun, ali se u napr. nelinearnoj dina-mièkoj analizi uzimanjem u obzir stvarnog ponašanja konstrukcije u potresu nakon dimenzioniranjadobiva ekonomiènija konstrukcija. Poznato je da se kod betonskih konstrukcija poveæanim utroškomarmature nadomješæuju pojednostavljenja u proraèunu.

– Ukoliko se ne primjenjuje nelinearna analiza konstrukcije s njenim raspucalim elementima,kao što je to raðeno u ovom 16. poglavlju, prema EN 1998-1-1:2005 mogu se u modeliranju i izraèu-nu linearnim metodama uzeti karakteristike presjeka betonskih i zidanih elemenata (njihove po-smièna krutost i krutost na savijanje) u vrijednosti 50% odgovarajuæih krutosti neraspucalih elemenata.

412

POGLAVLJE 16.

Sl. 16-43. Gara�a Tower centra u Rijeci projektirana prema konstrukcijskim euronormamai primjenom principa regularnosti (Prilog 3), unutar koje se nalazi dilatacijska cjelina

prikazana na slici 16-12.



POGLAVLJE 17.

AMERIÈKE NORME UBC ZA KONSTRUKCIJEU POTRESNIM PODRUÈJIMA– PRIMJENA ZA HRVATSKU



17.1. Izraèun ukupnog posmiènog optereæenja

Izdanje ove amerièke norme iz 1997. godine <93= propisuje za proraèun kon-strukcije ekvivalentnim statièkim optereæenjem sljedeæu vrijednost ukupne po-smiène sile u nivou temelja:

VC I

RTWv� (17.1)

Ova vrijednost ne smije biti veæa od:

VC I

RWa�

2 5,(17.2)

niti manja od:

V C I Wa� 011, (17.3)

Oznake u navedenim izrazima imaju ova znaèenja:

W � ukupna vrijednost stalnog djelovanja i dijelova uporabnih djelo-vanja,

I � koeficijent va�nosti graðevine (Importance factor) i dan je u poseb-nim tablicama (kao i u Eurokodu 8-1, gdje se za ovu vrijednost rabioznaka + I ). Za veæinu graðevina je I � 1, dok je za graðevine èijeje funkcioniranje neophodno u uvjetima neposredno nakon potresaI � 1,25.

Cv � seizmièki koeficijent koji se za odreðene razrede tla prema seizmièkimpodruèjima SAD-a odreðuje iz Tablice 17-1. Razredi tla (Soil) odre-ðuju se kao i u Eurokodu 8-1 mjerenjem brzine prostiranja posmiènihvalova v s i imaju oznake S S S S SA B C D E, , , , .

Nv � u Tablici 17-1. predstavlja vrijednost kojom se u proraèunu seizmiè-kog koeficijenta Cv za 4. podruèje uzima u obzir blizina rasjeda.

415

AMERIÈKE NORME UBC ZA KONSTRUKCIJE U POTRESNIM PODRUÈJIMA – PRIMJENA ZA HRVATSKU



SAD su podijeljene u pet podruèja (1, 2A, 2B, 3 i 4) prema zemljovidu na sli-ci 17-1. Svakom podruèju odgovara poseban koeficijent Z, Tablica 17-2.

Norma UBC mo�e se koristiti ne samo na teritoriju SAD, veæ i za sve drugedr�ave izvan SAD. U Tablici 17-3. pokazano je kako je norma UBC specificira-la kojem seizmièkom podruèju u okviru SAD odgovara pojedina dr�ava izvanSAD. Oèigledan je visok stupanj seizmièke aktivnosti u Hrvatskoj, koja odgova-ra 3. amerièkom seizmièkom podruèju. Koeficijent seizmièkog podruèja premaUBC za Hrvatsku ima visoku razinu Z � 0,30. Vrijednost seizmièkog koeficijentaCv� 0,24 pribli�no se podudara s vrijednostima poredbenog (maksimalnog) ubrza-nja agR za tlo razreda A u podruèjima Republike Hrvatske s izra�enim seizmièkimaktivnostima, što je prezentirano u 8. poglavlju.

T � osnovni period graðevine dan u sekundama, a raèuna se na naèin izlo-�en u ovoj knjizi ili jednim od sljedeæa dva empirijska izraza:

T C ht n� ( ) /3 4 (17.4)

416

POGLAVLJE 17.

Tablica 17-1. Seizmièki koeficijent Cv

Razred tla Z � 0,075 Z � 0,15 Z � 0,2 Z � 0,3 Z � 0,4

SA 0,06 0,12 0,16 0,24 0,32 Nv

SB 0,08 0,15 0,20 0,30 0,40 Nv

SC 0,13 0,25 0,32 0,45 0,56 Nv

SD 0,18 0,32 0,40 0,54 0,64 Nv

SE 0,26 0,50 0,64 0,84 0,96 Nv

Tablica 17-2. Koeficijenti seizmièkog podruèja Z

Podruèje 1 2A 2B 3 4

Z 0,075 0,15 0,20 0,30 0,40



T

w u

g F u

i ii

N

i ii

N�

&

�

''''

(

�

))))

�

�

�

�2

2

1

1

1 2

�

/

(17.5)

C t � koeficijent koji ovisi o vrsti statièkog sustava i vrsti gradiva,hn � visina graðevine mjereno od temelja,

wi � predstavlja te�inu i-tog kata,

ui � pomak i-tog kata uslijed boènog statièkog optereæenja Fi (i� 1, 2, …, n),n � ukupan broj katova. Pomaci ui su rezultat djelovanja boènih sila Fi .R � numerièka konstanta koja ovisi o više èimbenika, prije svega o spo-

sobnosti konstrukcije za duktilnim ponašanjem u potresu, zatim ovrsti statièkog sustava konstrukcije te o vrsti gradiva od kojeg jeona napravljena. Vrijednosti ove konstante prikazane su u Tablici17-4. i kreæu se izmeðu 2,8 i 8,5. Najveæe vrijednosti numerièke kon-stante R odnose se na okvirne konstrukcije. Oèigledno da ova nume-rièka konstanta R po svome smislu odgovara faktorima ponašanja q uEurokodu 8-1 i Eurokodu 8-2 danim u Tablici 14-12., Tablici 14-13.,Tablici 14-15., Tablici 14-16. i Tablici 15-1.

417




418

POGLAVLJE 17.

Sl. 17-1. Zemljovid seizmièkih podruèja unutar teritorija SAD



419


Tablica 17-3. Korelacija pripadnosti pojedinih dr�ava izvan SAD odgovarajuæemseizmièkom podruèju unutar SAD



420

POGLAVLJE 17.

Tablica 17-4. Vrijednosti konstante R prema vrsti statièkog sustava i gradiva

Osnovninosivi sustav2 Opis sustava za preuzimanje boènog djelovanja1 R

1. Sustavnosivih zidova

1. Lagani uokvireni zidovi s posmiènim panelimaa. Drveni nosivi paneli za konstrukcije do tri eta�eb. Svi ostali lagani uokvireni zidovi

2. Posmièno otporni zidovia. Betonskib. Zidani

3. Lagani nosivi zidovi uokvireni èeliènom konstrukcijoms vlaènim pridr�anjem

4. Pridr�ani okviri gdje pridr�anje nosi gravitacijsko optereæenjea. Èeliènib. Betonski3c. Masivni drveni

5,54,5

4,54,5

2,8

4,42,82,8

2. Okvirnisustav

1. Èelièni pridr�ani okvir s ekscentriènim dijagonalama (EBF)2. Lagani uokvireni zidovi s posmiènim panelima

a. Drveni nosivi paneli za konstrukcije do tri eta�eb. Svi ostali lagani uokvireni zidovi

3. Posmièno otporni zidovia. Betonskib. Zidani

4. Obièni pridr�ani okviria. Èeliènib. Betonski3c. Masivni drveni

5. Specijalni pridr�ani okviri s centriènim dijagonalamaa. Èelièni

7,0

6,55,0

5,55,5

5,65,65,6

6,4

3. Okvirnisustavi bezdijagonala

1. Specijalni okvirni sustavi bez dijagonala (SMRF)a. Èeliènib. Betonski4

2. Zidane okvirne stijene bez dijagonala (MMRWF)3. Srednji betonski okviri bez dijagonala (IMRF)5

4. Obièni okviri bez dijagonala (OMRF)a. Èelièni6b. Betonski7

5. Specijalni rešetkasti okviri bez dijagonala (STMF)

8,58,56,55,5

4,53,56,5

1 Vidjeti poglavlje 1630.4 UBC97 za kombinacije nosivih sustava2 Osnovni nosivi sustavi definirani su u poglavlju 1692.6 UBC973 Zabranjeni u seizmièkim podruèjima 3 i 4.4 Ukljuèuje monta�ne betonske konstrukcije prema poglavlju 1921.2.7 UBC97.5 Zabranjeni u seizmièkim podruèjima 3 i 4, osim u sluèajevima iz poglavlja 1634.2 UBC97.6 Za okvire bez dijagonala u seizmièkom podruèju 1, koji zadovoljavaju zahtjeve iz poglavlja 2211.6

UBC97, mo�e se primijeniti R � 8.7 Ukupna visina graðevine ukljuèivši konzolne stupove.



C a � seizmièki koeficijent èije su vrijednosti dane u Tablici 17-5.

Na � u Tablici 17-5. predstavlja vrijednost kojom se u proraèunu seizmiè-kog koeficijenta Ca za 4. podruèje uzima u obzir blizina rasjeda.

Spektralno ubrzanje koje odgovara prije danim podacima prema UBC normiprikazano je na slici 17-2. Svi simboli na ovoj slici sada imaju jasno znaèenje.

421


Tablica 17-5. Seizmièki koeficijent Ca

Vrsta tla Z � 0,075 Z � 0,15 Z � 0,2 Z � 0,3 Z � 0,4

SA 0,06 0,12 0,16 0,24 0,32 Na

SB 0,08 0,15 0,20 0,30 0,40 Na

SC 0,09 0,18 0,24 0,33 0,56 Na

SD 0,12 0,22 0,28 0,36 0,64 Na

SE 0,19 0,30 0,34 0,36 0,96 Na

Sl. 17-2. Projektni spektar odziva prema amerièkim propisima UBC [93]



17.2. Raspodjela boènog optereæenjapo visini graðevine i vrijednosti katnih sila

Raspodjela ukupnog boènog optereæenja (17.1) po visini graðevine odreðujese na pojednostavljen naèin kako slijedi:

V F Ft ii

n

� ��

�1

(17.6)

Koncentrirana sila Ft na vrhu graðevine, koja je dodatak pripadajuæoj sili Fn

toga najvišega kata, ima ovu vrijednost:

F T Vt � � �0 07, (17.7)

T je isti period koji se koristio u izrazu (17.1). Sila Ft ne mo�e biti veæa od0,25 V, a za relativno krute konstrukcije s vrijednostima perioda T ispod 0,7 s je si-la Ft jednaka nuli.

Preostali dio ukupnog popreènog optereæenja rasporeðuje se po visini gra-ðevine, ukljuèujuæi i najvišu razinu N na kojoj se nalazi sila Ft, prema sljedeæemizrazu:

FV F w h

w hj

t j j

i ii

N��

�

�

( )

1

(17.8)

Prema tome, projektne vrijednosti posmiènih sila na nivou svakoga kata, kao imomenti savijanja od seizmièkih sila, raèunaju se statièkom analizom konstrukcijeoptereæene boènim silama, èije se vrijednosti nalaze na prije opisani naèin. Primjerjedne takve konstrukcije dan je na slici 17-3.

Znaèi da se za vitkije graðevine jedan dio ukupnog boènog optereæenja od po-tresa primjenjuje kao dodatna koncentrirana sila na najvišem katu.

422

POGLAVLJE 17.



Najnovija inaèica ove amerièke norme ne predviða optereæenje u vrhu kon-strukcije dodatnom silom, veæ je uvedena raspodjela ukupne popreène sile po visi-ni u zavisnosti od krutosti konstukcije i vrši se na sljedeæi naèin:

F Vw h

w hj b

j jk

i ik

i

N�

�

�1

gdje je k koeficijent kojim se uvodi krutost konstrukcije:

k

T

T T

T

�

0

� 0 0

,

5

6D

7D

1 0 5

15 2 0 5 2 5

2 2 5

1

1 1

1

,

( , )/ , ,

,

s

s s

s

Treba spomenuti da izrazito vitke konstrukcije uglavnom ne zadovoljavajuuvjet regularnosti, te se one moraju izraèunati jednom od toènijih metoda koje suobraðene u 16. poglavlju.

423


Sl. 17-3. Boèno optereæenje na konstrukciju prema UBC



Na kraju, treba spomenuti da norma UBC propisuje i naèin analize kon-strukcija u potresnim podruèjima uporabom spektara odziva (response spectrumanalysis) i primjenom registriranih ubrzanja u vremenu (time-history analisis).

Norme UBC uvedene su u neke gotove konstrukcijske programske pakete(npr. u Robot Millenium) te, kao što je reèeno, omoguæeno je da se uporabom ame-rièke norme UBC projektiraju i graðevine u seizmièkim podruèjima Hrvatske. Tosu bili razlozi da se amerièke norme u segmentu potresnog in�enjerstva (jer oneobraðuju i ostala djelovanja na konstrukcije, kao što je djelovanje snijega, vjetraitd.) ukratko prika�u u ovoj knjizi.

Napomena: Koncept donošenja normi u SAD takav je da se norme vrlo èesto mijenjaju, jerodreðena struèna povjerenstva stalno zasjedaju i rezultate znanstvenih istra�ivanja ugraðuju u norme.Zbog toga èesto izlaze nove inaèice odreðene norme, a tako je i s dijelom norme koji obraðuje prora-èun i izvedbu graðevinskih konstrukcija u potresnim podruèjima. U ovom poglavlju obraðena je nor-ma UBC iz 1997. godine [93], a 2000. godine stupila je na snagu nova inaèica ove norme s novim na-zivom: International Building Code [94]. Nova je inaèica norme zadr�ala sva naèela i filozofiju pro-raèuna i graðenja u potresnim podruèjima iz prethodne inaèice. U meðuvremenu je veæ u primjeniinaèica ove amerièke norme iz 2006. godine. Iz promjene naziva norme, koja sada i slu�beno popri-ma meðunarodni karakter, potvrðena je navedena konstatacija da je primjena ove norme moguæa i zaizraèun i graðenje graðevinskih konstrukcija u seizmièkim podruèjima Hrvatske.

424

POGLAVLJE 17.



17.3. Primjeri

Primjer 26.

Za betonsku konstrukciju sa šest stupnjeva slobode na slici 17-3. (shear buil-ding), koja bi se gradila u Hrvatskoj na podruèju u kojemu je a gg � 0 2, , odreditiukupno seizmièko optereæenje prema Eurokodu 8-1 i UBC97 te takva optereæenjarasporediti po visini graðevine.

Za rezultate dobivene prema Eurokodu 8-1 i UBC97 formirati odgovarajuæespektre.

Podatci o konstrukciji:

T1 137� , s

Buduæi da je T , 0 7, s trebat æe izdvojiti dio ukupnog seizmièkog optereæenjakao koncentriranu silu Ft na vrhu graðevine.

Te�ina svakog kata “j” za dio tlocrta graðevine od 200 m2 koji pripada pred-metnom okviru na slici 17-3. ima vrijednost W j � 2000 kN.

Temeljenje u uvjetima stjenovitog tla. To odgovara prema Eurokodu 8-1 raz-redu A temeljnog tla, a prema UBC97 razredu tla SA.

Koeficijent va�nosti graðevine I �1. Katna visina je hi � 3 m, a relativno pri-gušenje ima vrijednost � � 5%.

• Eurokod 8-1

Za razred A temeljnog tla prema <90= je:

a gg � 0 2, ; S �10, ; TB � 015, ; TC � 0 4, ; TD � 2 0,

425




Usvaja se faktor ponašanja q� 5, koji prema Tablici 14-13. odgovara kon-strukciji na slici 17-3.

Vrijednosti projektnog spektra (utemeljene na vrijednostima elastiènog spek-tra Tipa 1) su:

00 0T TB : S T a ST

T qd gB

( ),

� � � � ��

�

�

�

��

&

�'

(

�)

2

3

5 2

3

T T TB C� 0 : S T a Sqd g( ),

� � �2 5

T T TC D� 0 : S T a Sq

T

Td gC( )

,� � � �

&

�'(

�)2 5

T TD � : S T a Sq

T T

Td gC D( )

,� � � �

�&

�'(

�)2 5

2

Za zadanu konstrukciju i dane seizmièke parametre vrijednosti projektnogspektra su:

T � 0: S T a S g gd g( ) , , ,� � � � � � �2

30 2 10

2

3013

015 0 4, , :� 0T s S T a Sq

g gd g( ),

, ,,

,� � � � � � �2 5

0 2 102 5

501

0 4 2, :� 0T s S T a Sq

T

Tg

T Td gC( )

,, ,

, , ,� � � �

&

�'(

�)� � � � �

2 50 2 10

2 5

5

0 4 0 04g

T � 2 s: S T a Sq

T T

Tgd g

C D( ),

, ,, , ,

� � � ��&

�'(

�)� � � �

�2 50 2 10

2 5

5

0 4 22

0 0 082 2T T

g�,

Za T1 137� , s je:

S T a Sq

T

Tgd g

C( ),

, ,, ,

,,� � � �

&

�'(

�)� � � � �

2 50 2 10

2 5

5

0 4

1370 029g

426

POGLAVLJE 17.



Za TD � 2 0, s:

S T a Sq

T

Tg gd g

C( ),

, ,, ,

,� � � �&

�'(

�)� � � � �

2 50 2 10

2 5

5

0 4

20 02

Ukupna vrijednost potresne sile:

F S T mb d� �( )

Prema filozofiji Eurokoda 8 se u seizmièkoj proraèunskoj situaciji ne radi sparcijalnim koeficijentima, Tablica 14-5., a posebnim se koeficjentom sigurnostismanjuje karakteristièna vrijednost nosivosti materijala, koji za armaturu kod armi-ranobetonskih konstrukcija ima vrijednost 1,15. U tom sluèaju ukupna efektivnapotresna sila ima vrijednost:

F S T m g m W Bb eff d, , ( , ) , , , ( .� � � � � � � �115 137 115 0 029 0 0334s S W. )

F S T m g m W B S Wb eff d, , ( ) , , , ( . . )� � � � � � � �115 2 115 0 02 0 023s

Prema zadanim podatcima za konstrukciju na slici 17-3. se dobije:

Fb eff, ,� � � �0 0334 2000 6 400,2 kN

Raspodjela ovog ukupnog horizontalnog djelovanja po visini graðevine ura-ðena je prema izrazu (14.20), a vrijednosti katnih sila su dane u Tablici 17-6.

• UBC97

Prema UBC97, vrijednost ukupne potresne sile izraèunava se prema izrazu(17-1):

VC I

RTWv�

Republici Hrvatskoj ekvivalentno je 3. podruèje u SAD prema UBC97, Tabli-ca 17-3.

427




Za zadane seizmièke parametre dobivaju se seizmièki koeficijenti C/ � 0,24 iCa � 0,24. Konstanta R za zadanu konstrukciju prema Tablici 17-4. ima vrijednostR� 5.

Na osnovi ovako usvojenih parametara ukupna potresna sila za predmetnugraðevinu (T �137, s) ima vrijednost:

VT

WT

W W W B S W��

��

0 24 10

5 0

0 048 0 048

1370 035

, ,

,

, ,

,, ( . . )

V � � � �0 035 2000 6, 420,42 kN

• Raspodjele seizmièkih optereæenja po visini graðevine

Eurokod 8-1 propisuje da se ukupna seizmièka sila za predmetnu graðevinurasporeðuje po njenoj visini, bez posebnog izdvajanja koncentrirane sile na vrhugraðevine, na ovaj naèin:

F Fs m

s mi b

i i

j jj

� ��

��

Prema UBC97 ukupna seizmièka sila rasporeðuje se po visini graðevine takoda na vrhu graðevine djeluje sila:

F T Vt � � �0 07,

dok se preostali dio ukupnog seizmièkog djelovanja na konstrukciju rasporeðuje ponjenoj visini prema izrazu:

FV F w h

w hj

t j j

i i

��

��( )

U Tablici 17-6. dane su vrijednosti raspodjele ukupne seizmièke sile premaEurokodu 8-1 i UBC97, koje se sada mogu meðusobno usporeðivati.

428

POGLAVLJE 17.



• Usporedba spektara seizmièkih optereæanja

Ovisnost efektivne potresne sile (dobivene prema Eurokodu 8-1 i UBC97) oosnovnom periodu T prikazana je u Tablici 17-7. i na slici 17-4.

429


Tablica 17-6. Vrijednost katnih sila prema Eurokodu 8-1 i UBC97.

Kat Fi Eurokod 8-1 UBC97

Vrh Ft 40,32

6 F6 114,34 108,60

5 F5 95,29 90,48

4 F4 76,23 72,42

3 F3 57,17 54,30

2 F2 38,11 36,18

1 F1 19,06 18,12

Ukupno: 400,20 420,42

Tablica 17-7. Numerièke vrijednosti (B. S.) koeficijenata prema Eurokodu 8 �1 iUBC97

T, s Eurokod 8-1 UBC97

0,1 0,110 0,120

0,4 0,100 0,120

0,5 0,080 0,096

1,0 0,040 0,048

1,37 0,029 0,035

1,5 0,027 0,032

2,0 0,020 0,024

2,5 0,013 0,024



Komentari:

� Iz spektara na slici 17-4. uoèava se da je razina zaštite graðevina pro-jektiranih prema UBC97 i prema Eurokodu 8-1 gotovo identièna za konstruk-cije s periodima 15 0 5, ,� �T s. To su periodi koje ima veæina obiènih graðe-vinskih konstrukcija u zgradarstvu.

� Za krute konstrukcije (T � 0 5, s) vrijednosti su efektivnih potresnih silanešto veæe prema UBC97. Za vitke konstrukcije (T �15, s) su takoðer vrijednostipotresnih sila prema UBC97 nešto veæe.

� Na kraju ovog poglavlja treba svi da se slo�imo da se mora malo više in-vestirati u konstrukciju u seizmièkom podruèju za njenu veæu sigurnost i manjuštetu, ako doðe do potresa. Znaèi da treba da se ispune zahtjevi glede potresnogoptereæenja na konstrukciju, dani spektrima Tipa 1 u 14. poglavlju, koji se koristeu dr�avama EU u kojima su vrijednosti površinske magnitude potresa M s veæeod 5,5.

430

POGLAVLJE 17.

Slika 17-4. Spektralni prikaz base shear (B.S.) koeficijenata i usporedna razina seizmièke zaštiteprema EN 1998-1:2004. i UBC97



POGLAVLJE 18.

AERODINAMIKA MOSTOVA I DRUGIH VITKIHKONSTRUKCIJA PREMA EUROPSKIM NORMAMA

EN 1991-1-4: 2005 i EN 1993-3-1: 2006



U ovom je poglavlju obraðena aerodinamika mostova i drugih vitkih kon-strukcija, kao i problem vrtlo�nog odvajanja.

U dijelu 18.1., Aerodinamièke vibracije mostova, najprije je opisano formi-ranje vrtloga oko kru�nog cilindra, a potom su opisani K�rm�novi vrtlozi koji do-vode do pojave vrtlo�nog odvajanja i oscilacija cilindra, tj. konstrukcije. Dalje jekratko opisana havarija viseæeg mosta Tacoma Narrows u SAD-u, s iskustvom po-luèenim iz te havarije, na temelju kojeg se danas projektiraju mostovi velikihraspona, poput viseæeg mosta Akashi Kaikyo u Japanu s rasponom 1991 m ili ovje-šenog mosta Sutong u Kini s rasponom 1088 m. U dijelu koji obraðuje aerodina-mièku stabilnost mosta sanduèastog popreènog presjeka opisane su aerodinamièkesile koje djeluju na popreèni presjek, prikazano na primjeru popreènog presjekamosta Severn u Velikoj Britaniji, a potom je dana analiza utjecaja promjene kutadjelovanja vjetra na koeficijentu uzgona. Na kraju ovog poglavlja dan je i opis ga-lopirajuæih vibracija koje se mogu pojaviti na kablovima mostova.

U dijelu 18.2. na primjeru mosta Storebaelt (Danska) opisano je formiranjeK�rm�novih vrtloga oko trapezoidnog zatvorenog popreènog presjeka, opisana suispitivanja u zraènom tunelu na tri modela te ubla�avanje pojave vrtlo�nog odva-janja pomoæu krilaca za usmjeravanje strujanja. Primjer se u potpunosti temelji naradu danskih znanstvenika [45]. Osim toga u dijelu 18.2. su prezentirani primjeriizraèuna vitkih konstrukcija izlo�enih djelovanju vjetra prema europskim normama.

Da bi se bolje savladalo gradivo u 18. poglavlju, u prilogu P4 prikazani su di-jelovi europskih normi EN 1991-1-4:2005 [81] za djelovanje vjetra na konstrukci-je, i to: pregled osnovnih jednad�bi za odreðivanje brzine vjetra i tlaka izazvanogbrzinom vjetra; sile vjetra (dana su dva pristupa pomoæu kojih je moguæe odreditisile na konstrukciju); objašnjen je koeficijent sile koji daje ukupni efekt vjetra nakonstrukciju ili konstrukcijski element; razmatraju se sile vjetra na mostove (iz-lo�ene su jednad�be za odreðivanje sila u tri ortogonalna smjera). Prilog P4.5. ba-zira se na dodatku E europske norme EN 1991-1-4:2005 [81], u kojem je pobli�eopisano vrtlo�no odvajanje i aerodinamièke nestabilnosti. I na kraju se u PriloguP4.6. daje prijedlog Nacionalnog dodatka (National annex) za primjenu ove normeu Republici Hrvatskoj, zajedno sa zemljovidom podruèja optereæenih vjetrom i te-meljnim vrijednostima brzina vjetra za Republiku Hrvatsku po regijama. Takoðerse u prijedlogu Nacionalnog dodatka daju i vrijednosti koeficijenata prigušenja.

433

AERODINAMIKA MOSTOVA I DRUGIH VITKIH KONSTRUKCIJA PREMA EUROPSKIM NORMAMA



18.1. Aerodinamièke vibracije mostova

Aerodinamièke vibracije i aerodinamièka stabilnost popreènih presjeka valj-kastih tijela najviše su vezani uz aeronautiku, a u graðevinarstvu su ovi pojmoviva�ni pri projektiranju vitkih konstrukcija, tj. izrazito visokih graðevina, te pri iz-boru oblika popreènih presjeka mostova velikog raspona, jer su oni, uz ostale sile,izlo�eni i djelovanju sila od vjetra.

Izbor povoljnog popreènog presjeka mosta obavlja se ispitivanjima u zraènomtunelu, što je u mnogim zemljama zakonski propisano za mostove velikog raspona.Ta je obveza uvedena nakon havarije viseæeg mosta Tacoma Narrows preko rijekePuget Sound, USA, koja se dogodila 1940. godine.

Sva djelovanja na konstrukciju zbog vjetra uglavnom su rezultat ovih aerodi-namièkih pobuda [62]:

1) Pobuda uslijed odvajanja vrtloga, pri kojoj radi naizmjeniènog formiranjai odvajanja vrtloga na zavjetrenom dijelu popreènog presjeka konstrukcijenastaju harmonijske sile koje djeluju na konstrukciju u pravcu okomitomna pravac vjetra, s frekvencijom koja je proporcionalna brzini vjetra.

2) Samopobuðujuæe vibracije koje nastaju zbog nestabilnih karakteristikakonstrukcije. Konstrukcija stvara vlastitu nestabilnost vibriranjem vlasti-tom frekvencijom, a vibracije se zaustavljaju jedino poveæanjem priguše-nja ili ogranièavanjem uzroka koji uzrokuju tu nestabilnost.

3) Stohastièka pobuda uslijed turbulencije ili odvajanja vrtloga, kada stoha-stièka pobudna sila vjetra primorava konstrukciju da vibrira jednom odnjenih vlastitih frekvencija.

18.1.1. Nastanak vrtloga oko kru�nog cilindra

Nastanak vrtloga opisat æe se na primjeru kru�nog cilindra, uz pretpostavkuda je cilindar beskonaène duljine (problem je tada dvodimenzionalan).

434

POGLAVLJE 18.



Bernoullijeva jednad�ba za aerodinamièki tok (zbroj statièkog i dinamièkogtlaka konstantan je) ima oblik:

pv

p consts t� � �;2

2. (18.1)

gdje su p p vs t, , i ; tlak (statièki i ukupni), brzina i gustoæa u toèki fluida.

Iz Bernoullijeve jednad�be vidljivo je da porastom brzine opada statièki tlaki obrnuto. Kako se protoèni dio oko cilindra su�ava brzina se na tom dijelu poveæa-va što rezultira smanjenjem statièkog tlaka. Veza brzine i protoka dana je jed-nad�bom:

Q v A� � (18.2)

gdje su:

Q � protok fluida,

A � površina protoènog presjeka,

v � brzina fluida.

Brzina opada kretanjem fluida prema punom popreènom presjeku, što rezulti-ra poveæanjem statièkog tlaka.

Opstrujavanje fluida oko tijela (cilindra) ovisi o Reynoldsovom broju Re ko-ji je dan jednad�bom:

Rev b

��

P(18.3)

gdje su:

b � karakteristièna dimenzija tijela (promjer cilindra),

P � kinematièka viskoznost fluida, (P % ;� , % � dinamièka viskoznostfluida, ; � gustoæa fluida).

Iz jednad�be (18.3) vidljivo je da na nastanak vrtloga utjeèe jedino brzinafluida (promjer cilindra i kinematièka viskoznost konstantne su vrijednosti).

Poveæanjem brzine strujanja dolazi do pojave vrtlo�enja sitnih djeliæa fluidaunutar graniènog sloja, koji je na slici 18-1. oznaèen plavim strujnicama. Zbogvrtnje djeliæa fluida, njihova kinetièka energija manja je od kinetièke energije djeli-

435




æa izvan graniènog sloja. Vrtnja djeliæa fluida ne ometa njihov prolaz uz prednjidio cilindra, jer tamo postoji porast tlaka u graniènom sloju, ali ometa njihovo kre-tanje na stra�njem dijelu gdje tlak pada. Djeliæi fluida koji se vrtlo�no gibaju nemogu se probiti svojom energijom kroz dio pojaèanog tlaka. Zbog toga oni najprijeizgube na brzini, a zatim se poènu vraæati onamo gdje je tlak najslabiji. Time je za-èet vrtlog, slika 18-2.

Dolaskom novih djeliæa iz prednjeg graniènog sloja vrtlozi iza cilindra pove-æavaju se te zauzimaju sve veæi prostor. Tako se smanjuje protoèni dio te strogogledano, fluid struji oko eliptiènog cilindra (kontura tijela obuhvaæa i stra�nji gra-nièni sloj skupa s vrtlozima). Posljedica toga je sporije opadanje brzine i sporijirast pritiska. U dodirnoj površini struje fluida i vrtloga djeluje trenje te struja te�iodvuæi vrtloge za sobom. Onog trenutka kada gradijent pritiska toliko oslabi da seviše ne mo�e oduprijeti tom djelovanju, vrtlog se odvaja (slika 18-3.) i zapoèinjekretanje niz struju i formira se vrtlo�na staza koja se naziva KarmanovW W vrtlo�nitrag (engl. KarmanW W vortex street) prema Theodoru von K�rm�nu, amerièkomznanstveniku maðarskog podrijetla. Struja se tada ponovno zatvara iza cilindra iproces poèinje iz poèetka.

436

POGLAVLJE 18.

Sl. 18-1. Jednoliko strujanje oko cilindra (Re < 5), laminarno opstrujavanje

Sl. 18-2. Nastanak vrtloga (5 � 15 < Re < 40)



Ovakvim odvajanjem formira se dvostruki red vrtloga (u jednom je reduvrtlo�enje u smjeru kazaljke na satu a u drugom redu u suprotnom smjeru, slika18-3.), zbog kojeg dolazi do pojave instabiliteta cilindra. Vrtlozi se naizmjeniènopravilno odvajaju, a frekvencija pri kojoj se vrtlozi odvajaju dana je jednad�bom:

fv

b Re* � � �

�

�

�

��0 20 1

20, (18.4)

U jednolikom strujanju vrtlozi se pojavljuju tamo gdje tlak raste s pravcem to-ka. To ne znaèi da se oni stvaraju odmah èim se tlak malo poveæa, buduæi da strujafluida zbog trenja vuèe za sobom usporene djeliæe. Ako struja mo�e odvuæi svedjeliæe, vrtlog neæe nastati.

Daljnjim poveæanjem Reynoldsovog broja strujanje prelazi iz laminarnog uturbulentno, slika 18-4.

Kada je Reynoldsov broj unutar granica od 300 3 105� � �Re , vrtlo�ni je tragu potpunosti turbulentan (potpuno turbulentni re�im strujanja).

Ako su vrijednosti Reynoldsovog broja velike, sile trenja postaju zanemarivepa nije moguæe toèno odrediti kako se vrtlozi formiraju i kako se odvajaju.

437


Sl. 18-3. K�rm�nov vrtlo�ni trag (40 < Re < 150)

Sl. 18-4. Prijelaz u turbulentno strujanje (150 < Re < 300)



Na pojavu vrtloga utjeèe debljina graniènog sloja i hrapavost èvrste površine skojom strujanje granièi. Granièni sloj utjeèe na odvajanje vrtloga, u njemu va�nuulogu ima viskoznost fluida, dok hrapavost ima veze s laminarnim i turbulentnimstrujanjem kroz granièni sloj. U turbulentnom strujanju vrtlozi su manjih geo-metrijskih karakteristika zbog br�eg miješanja manjih dijelova fluida koje strujafluida tada br�e odvlaèi. Iz tog je razloga vrtlo�ni trag iza tijela u�i nego kada jetok fluida laminaran.

18.1.2. Kàrmànovi vrtlozi

Kao što je prikazano u prethodnom dijelu, prilikom strujanja fluida kraj nekogvaljkastog tijela (valjkasta tijela mogu biti mostovi, �ice elektriènih dalekovoda, in-dustrijski dimnjaci, èelièni spremnici za naftu itd.), iza tijela nastaju vrtlozi koji senazivaju Kàrmànovi vrtlozi. Vrtlozi se naizmjenice odvajaju od tijela u dva reda.Smjer je vrtloga jednog reda u smjeru kazaljke na satu, dok je smjer vrtloga drugogreda suprotan smjeru kazaljke na satu (slika 18-5).

K�rm�n je izraèunao da je brzina odvajanja vrtloga w jednaka:

wb

��

G

8(18.5)

gdje su:

G � cirkulacija po vrtlogu (linijski integral tangencijalne komponente brzi-ne oko zatvorene krivulje u strujnom polju G ��

� �V s

C

d , C put integracije,�V brzina, d

�s diferencijalni element luka krivulje),

b � karakteristièna dimenzija tijela,

Vrtlozi su postojani i ne miješaju se s fluidom koji teèe izvan vrtlo�nog traga.Formiranje i odvajanje vrtloga izaziva promjenu podtlaka (negativnog manometar-skog tlaka) na mjestu odvajanja, a to se alternativno dogaða na oba ruba gdje sevrtlozi odvajaju te se ta pojava naziva odvajanje vrtloga (engl. vortrex separa-tion). Pritom dolazi do pobuðenja konstrukcije frekvencijom jednakom frekvencijiodvajanja vrtloga.

438

POGLAVLJE 18.



Vrtlozima je pridru�ena boèna harmonijska sila FK (Kàrmànova sila), èija jevrijednost dana jednad�bom:

F F tK K� �0 sin� (18.6)

F0 je amplituda Kàrmànove sile koja æe se definirat kasnije (jednad�ba 18.21).

Ta sila djeluje na valjkasto tijelo i uzrokuje njegove oscilacije, a tijelo oscilirau smjeru okomitom na smjer strujanja fluida. Ovaj je fenomen eksperimentalnoanaliziran i uspostavljen je odnos izmeðu frekvencija oscilacija valjkastog tijela ni ,njegovog promjera b (udaljenosti toèaka odvajanja vrtloga) i brzine fluida v. Tajodnos je bezdimenzionalan i poznat je kao Strouhalov broj St (Prilog P4.5):

Stn b

vi��

(18.7)

Strouhalov se broj odreðuje eksperimentalno u zraènom tunelu. Ispitivanjima jeutvrðeno da on ostaje konstantan za odreðeni popreèni presjek u širokom rasponuvrijednosti Reynoldsovog broja Re, sve do kritiène vrijednosti Reynoldsovog broja:

Reb v

crit

crit��

P(18.8)

Vrijednost kritiènog Reynoldsovog broja karakterizira granicu izmeðu lami-narnog i turbulentnog strujanja, a predstavlja odnos inercijalnih i viskoznih sila.

439


Sl. 18-5. K�rm�nov vrtlo�ni trag



Do kritiène vrijednosti Reynoldsovog broja ostvaruju se harmonijske oscilacije po-preènog presjeka uslijed K�rm�novih vrtloga. U tom je sluèaju kru�na frekvencijaK�rm�nove sile dana jednad�bom:

� �K

St v

b� �

�2 (18.9)

Poznavajuæi vrijednost Strouhalova broja, mo�e se zakljuèiti da je kru�nafrekvencija osciliranja �K odreðenog popreènog presjeka funkcija samo brzinevjetra:

� �K K v� ( ) (18.10)

Izrazi za Reynoldsov broj (Osborne Reynolds � britanski in�enjer, prvi jedemonstrirao da se kombinacija parametara mo�e koristiti prilikom odjeljivanja la-minarnog i turbulentnog strujanja) i Strouhalov broj (Vincenz Strouhal � èeški fi-zièar, odgovarajuæi omjer parametara postavio je prilikom prouèavanja “pjevanja�ica”) dobiveni su postupkom dimenzijske analize pomoæu BuckinghamovogPi teorema. Oba su ova broja, kako je veæ spomenuto, bezdimenzionalna, pa jezbog takvih izraza uvelike olakšano prouèavanje strujanja fluida, jer je smanjenbroj eksperimenata za dobivanje zavisnosti izmeðu razlièitih parametara koji opisu-ju odreðene probleme.

U tablici 18-1. dane su vrijednosti Strouhalovog broja za razne popreène pre-sjeke prema europskoj normi EN 1991-1-4:2005 [81].

440

POGLAVLJE 18.



441


Tablica 18-1. Vrijednosti Strouhalovog broja za razne popreène presjeke



Ovakve oscilacije mogu uèiniti ne�eljene posljedice na tijelo ako se frekven-cija tako stvorene K�rm�nove harmonijske sile podudari s nekom od vlastitihfrekvencija tijela ni . Brzina vjetra pri kojoj se to dogaða naziva se kritièna brzinavjetra v crit i, (Prilog P4.5), a njena vrijednost za i-ti vlastiti oblik dana je jed-nad�bom:

vn b

Stcrit i

i

, ��

(18.11)

Za v v crit i� , tijelo jako oscilira, ali uz vlastitu sposobnost ogranièavanja osci-lacija. Ta se pojava naziva sinkronizacija ili frekvencijsko ukljuèivanje (engl.lock-in phenomenon) [1], a nastaje kada je v v crit i� , .

442

POGLAVLJE 18.

Sl. 18-6. Strouhalov broj za pravokutne popreène presjeke s oštrim rubovima

Sl. 18-7. Frekvencijsko ukljuèivanje



Frekvencijsko ukljuèivanje (slika 18-7.) nastaje u malom podruèju brzine vje-tra, unutar kojeg je narušena Strouhalova relacija, buduæi da poveæanje brzine vje-tra i stalna frekvencija usisavanja rezultiraju smanjenjem Strouhalova broja. Akose brzina vjetra poveæa, pojava frekvencijskog ukljuèivanja nestaje i oscilacije sesmanjuju.

Vrtlo�no odvajanje dogaða se i u laminarnom i u turbulentnom strujanju. Pre-ma nekim istra�ivanjima, turbulencija poma�e razbijanju vrtloga i posljedièno pri-gušuje vrtlo�no odvajanje. Oscilacije pobuðene vrtlo�nim odvajanjem samoograni-èavajuæe su zbog njihove nelinearne pojave. Èesto se uz malo prigušenje te oscila-cije eliminiraju ili smanjuju na prihvatljive granice.

Vrtlo�no odvajanje ne mo�e nastati kada je ispunjen uvjet [77]:

v vcrit i m, ,� �125 (18.12)

v m � prosjeèna brzina vjetra (prilog P4.1)

18.1.3. Most Tacoma Narrows

Most Tacoma Narrows (duljine 1524 m, slobodnog raspona 853 m) sagraðenje na rijeci Puget Sound u SAD, a u promet je pušten 1. srpnja 1940. godine. Nedu-go nakon puštanja u promet, 7. studenog iste godine most se urušio, jer se pri brzi-ni od 68 km/h frekvencija vrtlo�enja poklopila s jednom od vlastitih torzijskihfrekvencija kolnièke konstrukcije mosta. Pri nastaloj rezonanciji krajevi popreènogpresjeka mosta dobili su velike rotacijske pomake, koji su iznosili do 45° premahorizontali, a njihov raspored po duljini mosta bio je u dva sinusna poluvala.

Deformirani oblici mosta Tacoma Narrows prikazani su na slici 18-8.

Nakon rušenja mosta Tacoma Narrows provedena su aerodinamièka ispitiva-nja, cilj kojih je bio objasniti razloge rušenja te dati nove smjernice za izgradnjubuduæih viseæih mostova velikih raspona, koji æe moæi odoljeti udarima vjetra.Izvješæa iz Washingtona proizašla iz tih ispitivanja [72] smatraju se kao znaèajnidoprinos na polju aerodinamike mosta, no u njima nije precizno utvrðen aerodina-mièki mehanizam koji je uzrokovao sna�no torzijsko gibanje kolnika mosta. Nakontih prvih ispitivanja nagoviješteno je kako je stvaranje vrtloga razlog urušavanjamosta. Istra�ivanja u zraènom tunelu pokazala su da je most pobuðen vrtlo�nimtragom na prvom vertikalnom nosaèu.

443




Sluèaj rušenja mosta Tacoma Narrows i nakon prvih ispitivanja u zraènom tu-nelu ostao je predmetom istra�ivanja. Nakon rušenja mosta do danas razvijene sunove metode i moguænosti uvida u stvarni mehanizam koji je doveo do rušenja, pase došlo i do nekih novih zakljuèaka temeljenih na ispitivanjima na modelu u tune-lu s vodom i primjenom kompjutorskih numerièkih simulacija. Pritom se došlo dozakljuèka da K�rm�nova vrtlo�na staza mo�e uzrokovati ogranièene torzijske osci-lacije, ali ne mo�e biti odgovorna za torzijske oscilacije velikih amplituda [75, 45].

Konstrukcija novog mosta Tacoma Narrows projektirana je i izgraðena naiskustvima urušenog mosta, a sastoji se od glavnih rešetkastih nosaèa (urušeni jemost imao pune nosaèe), koji sprjeèavaju stvaranje velikih vrtloga. U kolnièkojploèi novog mosta napravljeni su uzdu�ni prorezi èime je izbjegnuta velika razlikau vrijednostima tlaka izmeðu gornje i donje strane kolnika, a kao dodatak projekti-ran je i rešetkasti element na donjoj strani popreènog presjeka pa je dobiven sandu-èasti popreèni presjek koji je oko stotinu puta kruæi u odnosu na popreèni presjekurušenog mosta, slika 18-9.

444

POGLAVLJE 18.

Sl. 18-8. Tacoma Narrows most u trenucima urušavanja



Tip “prozraènog” presjeka novog Tacoma Narrows mosta opæe je prihvaæen pa ta-ko i najveæi viseæi most na svijetu Akashi Kaikyo (Japan, raspon 1991 m, visina pilona282,8 m), slika 18-10., ima popreèni presjek oblikovan po sliènim naèelima, slika 18-11.Detaljan prikaz mosta s analizom njegovih aerodinamièkih karakteristika dan je u [17].

445


Sl. 18-9. Oblik i dimenzije popreènih presjeka (a) starog i (b) novog mosta Tacoma Narrows(1 ft � 0.3048 m)

Sl. 18-10. Viseæi most Akashy Kaikyo

Sl. 18-11. Elementi popreènog presjeka kolnièke konstrukcije viseæeg mosta Akashy Kaikyo



18.1.4. Aerodinamièka stabilnost popreènog presjeka mosta

Pojam aerodinamièke stabilnosti objasnit æe se na primjeru popreènog presje-ka mosta Severn izgraðenog 1964. godine u Velikoj Britaniji, slika 18-12.

Za vertikalno gibanje mosta tijekom vibracija usvojit æe se oznaka “z” (giba-nje prema “dolje” oznaèit æe se predznakom “�”), pa kut djelovanja vjetra napopreèni presjek ima vrijednost:

� � � �* *

d

d

z

tv

� (18.13)

* � kut djelovanja vjetra na popreèni presjek mosta kada je vertikalna brzi-

nad

d

z

tpopreènog presjeka zanemarivo mala.

Kao rezultat djelovanja vjetra na popreèni presjek mosta djeluju sljedeæeaerodinamièke sile: sila otpora FD , sila uzgona FL i moment torzije FT .

F C q AD D b ref x� � � , (18.14)

F C q AL L b ref z� � � , (18.15)

F C q A bT T b� � � � (18.16)

446

POGLAVLJE 18.

Sl. 18-12. Sile potiska, uzgona i torzije popreènog presjeka mosta Severn



q vb b� � �1

22; (18.17)

Ovdje su:

qb � osnovni vjetrovni tlak (prilog P4.1),

; � gustoæa zraka (;�125, kg/m3),

C C CD L T, , � bezdimenzionalni koeficijenti otpora oblika èije vrijednostiovise o obliku popreènog presjeka i kutu djelovanja vjetra

Aref x, � poredbena površina mosta u smjeru x (prilog P4.4)

Aref z, � poredbena površina mosta u smjeru z (prilog P4.4)

A � površina popreènog presjeka mosta

b � širina popreènog presjeka mosta

• Analiza promjene vrijednosti kuta � na vrijednost sile uzgona

�

�

Fq A

CL

b ref z

L

� � �,

d

d(18.18)

�F v AC

z

tvL b ref z

L

b

� � � � � �1

22;

,

d

d

d

d (18.19)

�F v AC z

tL b ref z

L� � � � � �1

2;

,

d

d

d

d(18.20)

Iz ovih izraza izdvojit æe se tri moguænosti:

1.)d

d

C L

� 0

U ovom sluèaju nastaje poveæanje sile uzgona u istom trenutku u kojemse ostvaruje pozitivan pomak popreènog presjeka (pomak prema dolje). Pro-mjena sile uzgona je u smjeru suprotnom od smjera pomaka popreènog pre-sjeka te se kao posljedica pojavljuju pojaèane vibracije mosta s ogranièenimamplitudama.

447




2.)d

d

C L

� 0

Poveæanje sile uzgona nastaje u istom trenutku u kojem se ostvaruje ne-gativan pomak popreènog presjeka (pomak prema gore). Poveæanje sile uzgo-na u smjeru negativnog pomaka dovodi do vibracija mosta amplitudama kojemogu biti katastrofalnih razmjera. U ovom sluèaju popreèni se presjek defini-ra kao aerodinamièki nestabilan te se pristupa njegovoj promjeni.

3.)d

d

C L

� 0

Ovo je po�eljno stanje, jer promjena sile uzgona ne ovisi o pomaku mo-sta. Takvo se stanje posti�e ispitivanjima u zraènom tunelu i mijenjanjem ele-menata popreènog presjeka sve dok uvjet nije ispunjen.

Za ilustriranje izlo�enih objašnjenja pojma aerodinamièke stabilnosti na slici18-13. pokazana je zavisnost koeficijenata C L i C T od kuta djelovanja vjetra, dobi-vena ispitivanjem popreènih presjeka u zraènom tunelu za tri mosta u SAD: uruše-ni most Tacoma Narrows (1), most Golden Gate (2) i most Mackinack (3). Dobive-ni su sljedeæi rezultati:

Tacoma Narrows:d

d

C L

� 0

d

d

C T

� 0

Golden Gate:d

d

C L

� 0

d

d

C T

� 0

Mackinack:d

d

C L

� 0

d

d

C T

� 0

Prvo opse�no ispitivanje aerodinamièke stabilnosti popreènog presjeka mostas ciljem postizanja idealnog aerodinamièkog oblika za tip popreènog presjeka s pu-nim limovima obavljeno je za most Severn (slika 18-12.). Slièan oblik popreènogpresjeka usvojen je nakon ispitivanja u zraènom tunelu za popreèni presjek ovješe-nog mosta Sutong u Kini (slika 18-14., slika 18-15.), raspona 1088 m, koji pred-stavlja najveæi izvedeni raspon do sada za ovaj tip mosta.

448

POGLAVLJE 18.



449


Sl. 18-13. Rezultati eksperimenta u zraènom tunelu

Sl. 18-14. Popreèni presjek kolnièke konstrukcije ovješenog mosta Sutong u Kini

Sl. 18-15. Ovješeni most Sutong preko rijeke Yangtze u Kini, kablovi su postavljeni u dvije ravnine,piloni mosta visine 300,4 m (most je pušten u promet 2008. godine), raspon mosta 1088 m



Kao rezultat prije opisanih fenomena proizlazi izraz kojim je dana vrijednostK�rm�nove sile:

F C q A tK L b ref z K� � � �( ) sin, � (18.21)

U konstrukcijskom eurokodu EN 1991-1-4:2005 (prilog P4.5) dana je sljede-æa vrijednost amplitude K�rm�nove sile:

F s m s n s yw i y i y F( ) ( ) ( ) ( ), , , max� � � � �2 2� M (18.22)

� �K i yn� �2 , (18.23)

k m s K� �( ) � (18.24)

Ovdje su:

s � koordinata definirana u tablici P4-9,

m s( )�masa konstrukcije po jedinici duljine [kNm],

ni y, � prirodna frekvencija konstrukcije koja oscilira u i-tom vlastitom obli-ku,

M i y s, ( ) � i-ti vlastiti oblik konstrukcije (normaliziran na naèin da je na mjestumaksimalnog pomaka vrijednost vlastitog oblika jednaka jedinici),

y F , max �maksimalni pomak na mjestu na kojem vlastiti oblik ima jediniènuvrijednost,

k � krutost sustava.

18.1.5. Galopiranje

Galopiranje (engl. galloping) samoinducirana je vibracija, uzrokovana pro-mjenom kuta djelovanja vjetra zbog vertikalnog ili torzijskog gibanja konstrukcije[1]. Konstrukcije odreðenih oblika posjeduju karakteristike aerodinamièkih sila ilimomenata koje su po svojoj prirodi nestabilne u smislu da se promjenom upadnogkuta vjetra javlja poveæanje tih sila.

Karakteristike galopirajuæih oscilacija [62]:

1) Jednostavni oblici popreènih presjeka imaju nestabilne karakteristike(osim glatkog kru�nog cilindra).

450

POGLAVLJE 18.



2) Galopirajuæe oscilacije ne mogu zapoèeti iz stanja mirovanja. Obièno tur-bulentni vjetar zapoène kretanje konstrukcije, a nakon toga nastaje galo-piranje.

3) Pobuðujuæa je sila mala prema pobuðujuæoj sili uslijed odvajanja vrtloga.Kod krutih konstrukcija uglavnom ne dolazi do galopiranja, klasièan pri-mjer galopiranja nastaje kod kablova.

4) Pobuda se javlja pri svim brzinama vjetra, a veæina ih se javlja pri niskimdo umjerenim brzinama vjetra.

Ispitivanjima je utvrðeno da galopirajuæe oscilacije nastaju kada je nagib nadijagramu aerodinamièke sile za danu konstrukciju u ovisnosti od upadnog kutavjetra negativan.

Galopiranje se rijetko javlja na cestovnim mostovima, ali su pojave galopira-nja uoèene na pješaèkim mostovima, mostovima za cjevovode, kablovima dale-kovoda.

Galopiranje �ica na dalekovodima nastaje kada se na �icama stvori led (dolazido promjene popreènog presjeka). Tada se javljaju vibracije velikim amplitudama sniskim frekvencijama. Pritom se �ice mogu prekinuti jer s jednim ili dva poluvalavibriraju amplitudama koje u sredini izmeðu dva dalekovoda mogu biti i veæe odmetra, èime se stvara i dodatna dinamièka sila na sam dalekovod.

Jednad�ba gibanja zbog galopiranja je:

my cy ky v bC

Cy

vL

D��

��

�

�

�

��

1

22

0

;

d

d(18.25)

gdje su:

C CD L, � koeficijenti otpora oblika koji djeluju u horizontalnom i odi�uæemsmjeru, jednad�be (18.14) i (18.15),

� kut upada vjetra,

v � brzina vjetra,

b � karakteristièna dimenzija tijela.

Sustav ima tendenciju instabiliteta kada je ispunjen uvjet:

c v bC

CL

D� � � � � ��

�

�

�� 0�

1

202

0

;

d

d(18.26)

451




Kako je mehanièko prigušenje c uvijek veæe od nule preostaje:

d

d

CCL

D

��

�

�

�� 0�0

0 (18.27)

Ovaj se uvjet naziva Den Hartogov uvjet [21].

Brzina kod koje nastaje galopiranje vCG dana je jednad�bom:

vSc

an bCG

Gy� � �

21, (18.28)

Osjetljivost na vibracije ovisi o prigušenju i omjeru mase konstrukcije premamasi fluida, a to je predstavljeno Scrutonovim brojem Sc (prilog P4.5):

Scm

bS i e

��

�

22

�

;,

(18.29)

U jednad�bama (18.28) i (18.29) su:

�S � konstrukcijsko prigušenje izra�eno pomoæu logaritamskog dekrementa,b � karakteristièna dimenzija tijela,

mi e, � ekvivalentna masa po jedinici duljine za i-ti oblik vibracija,

aG � faktor galopirajuæih nestabilnosti,

n y1, � osnovna frekvencija konstrukcije popreèno na smjer vjetra.

Potrebno je osigurati:

v vCG m� �125, (18.30)

452

POGLAVLJE 18.



18.2. Primjeri

Primjer 26. Viseæi mostovi Storebaelt i Osteroy [45, 18]

Suvremeni viseæi i ovješeni mostovi, kao i gredni mostovi velikih raspona, èestose rade s trapezoidnim sanduèastim popreènim presjekom kolnièke konstrukcije, što jeopisano u dijelu 18.1.4. Na odabir oblika popreènog presjeka uglavnom utjeèu eko-nomski razlozi i bolje aerodinamièke karakteristike ovakvih sanduèastih popreènihpresjeka u odnosu na aerodinamièke karakteristike kada je kolnièka konstrukcija gredaotvorenog popreènog presjeka ili kada je to plošni nosaè. Aerodinamièke karakteristi-ke trapezoidnih sanduèastih nosaèa bolje su u smislu postizanja viših vrijednosti kri-tiènih brzina vjetra za pojavu divergentne aerodinamièke nestabilnosti (treperenje,engl. flutter) [1]. Meðutim, ovakvi presjeci mogu biti podlo�ni oscilatornoj pobudipri ni�im brzinama vjetra uslijed ritmièkog nastajanja velikih koherentnihvrtlo�nica u struji neposredno iza mosta. Kada jednom zapoène ovakav proces stva-ranja vrtlo�nica te kada one postanu sinkronizirane s nekom od vlastitih frekvencijakonstrukcije, nastaje pojava rezonancije, pri èemu konstrukcija mo�e dobiti znaèaj-ne (ali ogranièene) pomake pri relativno niskim brzinama vjetra, bez obzira što suu ovom sluèaju aerodinamièke sile relativno male. Ovakvo stanje obièno se opisujekao frekvencijsko ukljuèivanje (engl. lock-in), koje je objašnjeno u dijelu 18.1.2.

• Stvaranje vrtlo�nica i frekvencijsko ukljuèivanje (lock-in)

Promatrat æe se strujanje zraka preko trapezoidnog zatvorenog popreènog pre-sjeka prikazanog na slici 18-16.

453


Sl. 18-16. Trapezoidni zatvoreni popreèni presjek



Strujanjem preko popreènog presjeka zraèna se struja razdvaja prelaskomoštrog ruba spoja nagnutih stranica na prednjoj strani presjeka (toèka 1), kako jeprikazano na slici 18-17.:

Odvojena struja djelomice se ponovno spaja uzdu� horizontalnih odsjeèaka po-preènog presjeka tvoreæi granièni sloj u kojem se razvijaju manji vrtlozi, dok struja po-staje potpuno odvojena kada proðe oštri rub presjeka niz vjetar jer strujanje ne posje-duje dovoljan zamah da bi ostalo vezano uz stranice presjeka niz vjetar. Posljedica jeda dvije popreène struje niz tok iza oštrih rubova presjeka omeðuju podruèje izmeðuneporemeæenog vanjskog strujanja i zavjetrine (podruèja s mirnim zrakom). Djelovanjeovih slobodnih popreènih struja posljedica je stvaranja kovitlanja u podruèju vrtlo�nogtraga, sa smjerom prema unutra, a u pravcu krajnjeg ruba popreènog presjeka.

Trapezoidni popreèni presjeci obièno su oblikovani tako da im je donji dio u�inego gornji dio (kolnièka ploèa), pa je zbog toga podruèje vrtlo�nog traga ispodcrte koja spaja boène rubove presjeka (izmeðu toèaka 1 i 2) veæe od podruèja iznadte crte. Posljedica je stvaranje veæih vrtlo�nica ispod crte koja spaja boène rubovepresjeka, kako je pokazano na slici 18-18.

Kada vrtlo�nica poène s rotacijom u blizini nagnute stranice popreènog pre-sjeka (ispod crte 1-2, slika 18-18.), ona poèinje uvlaèiti fluid iz vanjskog zraènogtoka i tako poveæava svoju velièinu sve dok se ne pretvori u slobodno strujanje, sli-ka 18-19.

454

POGLAVLJE 18.

Sl. 18-17. Prikaz toka zraènih struja preko popreènog presjeka(izrazi ispod slike predstavljaju promjenu tlaka po rubu popreènog presjeka)

Sl. 18-18. Formiranje vrtlo�nice ispod crte koja razdvaja gornji i donji dio presjeka



Konvektivnom kretnjom slobodnog toka vrtlog æe se raširiti i odvojiti od po-preènog presjeka mosta. Vrtlog tako omoguæava prostor za nastanak vrtloga su-protnog smjera vrtnje iznad krajnjih boènih rubova. To je prikazano na slici 18-20.

Gornji æe vrtlog takoðer rasti i odvojiti se od presjeka te æe stvoriti prostor zaponovno nastajanje vrtloga u donjoj zoni. Na ovaj naèin formira se K�rm�novvrtlo�ni trag (K�rm�novo vrtlo�no odvajanje), slika 18-21.

[ Znakovi � i � na slikama 18-19., 18-20. i 18-21. oznaèavaju trenutnu lokalnu vrijednost tla-ka u odnosu prema prosjeènoj vrijednosti, � oznaèava veæi, a � ni�i tlak od prosjeène vrijednosti ]

455


Sl. 18-19. Poveæavanje vrtlo�nice i njeno odvajanje

Sl. 18-20. Formiranje vrtlo�nice u gornjoj zoni popreènog presjeka

Sl. 18-21. Kàrmànov vrtlo�ni trag



Ciklièko formiranje vrtloga i proces vrtlo�nog odvajanja povezani su s oscila-tornom popreènom silom vjetra, koja je postala razumljivom nakon promatranjabrzine toka u podruèju u kojem se vrtlozi spajaju s vanjskim slobodnim strujanjem.U tom podruèju je lokalna brzina vjetra veæa od brzine vanjskog slobodnog stru-janja iz razloga što se brzina slobodnog strujanja i tangencijalna brzina vrtlogazbrajaju, te tako zbog valjanosti Bernoullieve jednad�be (18.1), formiraju podruèjalokalno ni�eg tlaka.

Na slikama 18-19., 18-20. i 18-21. prikazana su podruèja lokalno ni�eg tlaka,a koja dovode do stvaranja sile uzgona i pomaka u oznaèenim smjerovima. Kako jesam proces formiranja vrtlo�nog odvajanja ciklièki, tako æe i rezultirajuæe po-preène sile vrtlo�nog odvajanja biti ciklièke s istim ciklièkim periodom. Ako se pe-riod procesa vrtlo�nog odvajanja poklopi s vertikalnom vlastitom frekvencijom no-saèa mosta, nosaè æe se lagano pobuditi i vertikalno oscilirati okomito na smjer pu-hanja vjetra. Jednom kada nastupi ovo vetrikalno osciliranje, frekvencija ciklièkogformiranja vrtloga i odgovarajuæi proces vrtlo�nog odvajanja se stabiliziraju i po-staju pravilni, što rezultira pojaèanjem oscilatornog gibanja nosaèa mosta okomitona smjer puhanja vjetra. I ovdje se radi o frekvencijskom ukljuèivanju, a njegov jeuzrok prvenstveno vrtlo�ni trag koji nastaje niz vjetar, a ne vrtlozi koji nastajuuzdu� horizontalnih dijelova popreènog presjeka.

Viseæi most Storebaelt

Most Storebaelt nalazi se u Danskoj i premošæuje tjesnac Storebaelt. Mostima tri raspona du�ine 535 m, 1624 m i 535 m, a nosi èetiri prometne trake. Ši-rina je popreènog presjeka nosaèa 31 m, a visina 4 m. Most je pušten u pro-met 1998. godine. Tijekom završne faze izgradnje uoèene su vertikalne osci-lacije rasponske konstrukcije mosta, s vertikalnim amplitudama od 0,3 m do0,5 m pri relativno niskim brzinama vjetra od pribli�no (5-10) m/s. Oscilacije,unatoè suprotnim oèekivanjima, nisu nestajale ni po dovršetku mosta (slika18-22.).

Uzrok je promatranih oscilacija u vrtlo�noj pobudi u podruèju neposredno uznosaè mosta, što je potvrðeno primjenom programa za promatranje i analizu vjetraradi utvrðivanja uzroka i velièine oscilacija.

Za most Storebaelt zanimljivo je da se, uslijed niskih vlastitih frekvencija mo-sta, nekoliko vertikalnih tonova od savijanja mo�e pobuditi vrtlo�nim odvajanjem(3., 5. i 6. ton mosta), što je prikazano na slici 18-23. i u tablici 18-2.

456

POGLAVLJE 18.



Vrijednosti su bezdimenzijskih brzina vjetra v n d( )� za ove tonove bliskejedna drugoj i podudaraju se s vrijednostima frekvencijskog ukljuèivanja utvrðe-nim ispitivanjima u zraènom tunelu (slika 18-26.).

Na slici 18-23. posebno je prikazan dijagram pomaka za 6. ton dobiven u sre-dini raspona mosta za vrijeme od 50 min i 1 min. Na dijagramu je vidljivo da sevrijednost najveæe amplitude kreæe oko 0,2 m.

457


Sl. 18-22. Pogled uzdu� kolnika mosta Storebaelt pri brijegu (gornja slika) idolu (donja slika) vertikalnih oscilacija s velikim amplitudama. Velièinaamplituda doèarana je promatranjem krugom obilje�enog parkiranog vozila,djelomice skrivenog iza obzora pri brijegu oscilirajuæe konstrukcije, a u pot-

punosti vidljivog pri dolu



458

POGLAVLJE 18.

Tablica 18-2. Vlastite vrijednosti, najveæe amplitude i vrijednosti bezdimenzio-nalnih brzina izmjerene na mostu Storebaelt

Sl. 18-23. Dijagrami vertikalnih pomaka u ovisnosti od vremena: (a) vrijeme od 50 min,(b) vrijeme od 1 min za 6. ton, u sredini raspona (odjeljak mosta br. 130)



Objašnjenje pobude vrtlo�nim odvajanjem mo�e se potkrijepiti i simulacijamatoka. Na slici 18-24. prikazana je promjena koeficijenta uzgona C L tijekom vreme-na pri frekvencijskom ukljuèivanju, za trapezoidni popreèni presjek nosaèa pristup-nih raspona mosta, i pripadajuæi oblici strujanja u odreðenim trenucima vremena.Popreèna sila (izra�ena kao bezdimenzijski koeficijent uzgona) pozitivna je u smje-ru prema gore. Ovisnost o vremenu i oblici strujanja simulirani su primjenomdiskretnog modela vrtloga [73]. Primijeæeno je odizanje blisko periodièkom, s bez-dimenzijskom periodom osciliranja oko 2, za danu geometriju presjeka, slika18-24.

459


Sl. 18-24. Vremenska ovisnost koeficijenata uzgona CL i pripadajuæih oblika strujanja pri nazna-èenim vrijednostima bezdimenzionalnog vremena t v d� (t � vrijeme, v � brzina vjetra, d � širina

popreènog presjeka) za trapezoidni popreèni presjek nosaèa pristupnih raspona mosta Storebaelt



Opis slike 18-24.:

t v d� �10 6,

Veliki vrtlog sa smjerom suprotnim od kazaljke na satu prislonjen je na donjunagnutu plohu presjeka. Vrtlog stvara usisavanje i vuèe presjek prema dolje te takostvara negativnu popreènu silu.

t v d� �110,

Vrtlog se odvaja od popreènog presjeka i odmièe niz vjetar djelovanjem vanj-skog glavnog strujanja i u tom procesu usisava dijelove fluida s gornjeg popreènogsloja u podruèju vrtlo�nog traga. Tim djelovanjem poèinje istjecanje vrtloga koji jeu smjeru kazaljke na satu, s gornje strane presjeka.

t v d� �115,

Lokalno odizanje je na svom vrhuncu, gornji je vrtlog potpuno razvijen. Ovajse promjenljivi oblik vrtlo�enja nastavlja s odreðenim promjenama velièine, što seogleda u vremenskoj ovisnosti odizanja.

Analize mosta primjenom metode konaènih elemenata pokazale su da oscila-cije nisu kritiène s konstrukcijskog stajališta, nego zbog sigurnosti prometa i u jav-nosti poimanja mosta kao nesigurnog te se stoga pristupilo ubla�avanju oscilacija.Prva serija ispitivanja u zraènom tunelu utvrdila je postojanje vrtlozima prouzroèe-nih oscilacija, na temelju èega je predlo�eno a potom i ispitano ubla�avanje oscila-cija primjenom usmjeravajuæih krilaca (slika 18-25.).

U cilju prigušenja oscilacija nosaèa izazvanih djelovanjem vrtloga ispod kol-nièke ploèe, u toèki loma donje horizontalne plohe presjeka na strani niz vjetar

460

POGLAVLJE 18.

Sl. 18-25. Usmjeravajuæe krilce, prikaz njegovog djelovanja



montirano je krilce za usmjeravanje strujanja. Svrha je krilca sprjeèavanje odvaja-nja zraènog toka i s tim u svezi spreèavanja ritmièkog formiranja velikih vrtlo�nicau neposrednoj blizini vanjskih stranica nosaèa, tako što se skreæe tok ispod presje-ka prema gore, uz nagnutu plohu rasponskog nosaèa.

• MODEL 1

Mjerilo modela je 1:80, što odgovara Reynoldsovom broju, temeljenom na ši-rini presjeka, reda 45.000. Ispitivanjem nije dokazana uèinkovitost usmjeravajuæihkrilaca. Naknadno je utvrðeno da je razlog tome uèinak mjerila, buduæi da pri ovimReynoldsovim brojevima granièni sloj vrtlo�enja potpuno obavija usmjeravajuæakrilca, prijeèeæi tako strujanje kroz razmak od 0,0075 m (velièina odgovarajuæa ve-lièini modela) izmeðu krilaca i presjeka nosaèa mosta.

• MODEL 2

Mjerilo je modela 1:60, što odgovara Reynoldsovom broju, temeljenom na ši-rini presjeka, reda 150.000. Ovaj model pokazao je uèinkovitost krilaca, s time daje krilce niz vjetar odgovarajuæe djelovalo samo uz prisutnost i krilca uz vjetar, štoproturjeèi teoriji da vrtlozi iz podruèja uz presjek uzrokuju oscilacije pri frekven-cijskom ukljuèivanju. Pripadajuæi dijagram odziva za model popreènog presjeka sai bez ugraðenih krilaca prikazan je na slici 18-26.

461


Sl. 18-26. Odgovor na vrtlo�no usisavanje sa i bez krilaca za usmjeravanje strujanja, model 1:60



• MODEL 3

Mjerilo je modela 1:30, što odgovara Reynoldsovom broju temeljenom na ši-rini presjeka reda 500.000. Ispitivanja na ovom modelu pokazala su da pri mjerilu1:60 granièni sloj strujanja te�i odvajanju na donjoj toèki spoja stranica popreènogpresjeka uz vjetar, zbog nastojanja krilaca uz vjetar da usmjerava strujanje okodonjeg kuta. Kod ispitivanja na modelu 1:30 to se nije dogodilo, a time je potvrðe-no da je potreba postojanja krilaca uz vjetar prouzroèena utjecajem mjerila te da jeu pozadini oscilacija mehanizam vrtlo�nog traga koji djeluje uz popreèni presjek[42].

Oblik krilca za usmjeravanje strujanja sastoji se od zakrivljene èeliène ploèedebljine 6 mm i duljine tetive 2 m, udaljene 0,6 m od trupa nosaèa mosta. Krilca suprièvršæena za trup mosta 8 mm debelim èeliènim profilima na razmacima od 2 muzdu� mosta, s obje donje strane popreènog presjeka mosta (slika 18-27.).

Zahtijevana duljina pokrivanja raspona krilcima za usmjeravanje strujanja bilaje najveæa za 5. ton i iznosila je 2000 m, ali je iz praktiènih razloga samo glavniraspon na duljini od 1400 m pokriven usmjeravajuæim krilcima, što je u potpunostizadovoljavalo i zahtjeve proizašle iz analize 3. i 6. tona.

Od ugradnje usmjeravajuæih krilaca 1998. godine, nisu zabilje�ene vrtlozimapobuðene oscilacije nosaèa viseæeg mosta Storebaelt.

462

POGLAVLJE 18.

Sl. 18-27. Raspored krilaca za usmjeravanje strujanja



Viseæi most Osteroy

Iskustva steèena na mostu Storebaelt poslu�ila su i za eliminiranje oscilacijana mostu Osteroy u Norveškoj raspona 595 m. Most Osteroy ima èelièni trape-zoidni popreèni presjek širok 13,6 m, visok 2,5 m, a nosi dvotraènu cestu i pje-šaèke staze. Nakon što je završena izgradnja mosta, a most pušten u promet, poka-zalo se da se na mostu pojavljuju vertikalne oscilacije sliène oscilacijama na mostuStorebaelt, prilikom brzina vjetra (5-8) m/s. Video monitoringom tokom šestomje-seènog razdoblja ustanovljeno je da je maksimalna amplituda oscilacija 0,5 m i dase osciliranje javlja za prvih pet vertikalnih vlastitih tonova prilikom bezdimenzio-nalnih brzina vjetra v n d� � 1,1 do 1,9.

Simulacije vrtlo�nog toka pokazale su vrtlo�nice sliène onima kod mostaStorebaelt, bez obzira na razlike u obliku popreènog presjeka. Kako je popreènipresjek mosta Osteroy manje aerodinamièkog oblika od mosta Storebaelt, nije od-mah bilo evidentno da bi krilca za usmjeravanje strujanja pomogla u otklanjanjuvertikalnih oscilacija. Zbog toga se pristupilo ispitivanjima u zraènom tunelu. Natemelju ispitivanja krilaca za usmjeravanje strujanja mosta Storebaelt bilo je jasnoda su potrebna ispitivanja s velikim Reynoldsovim brojem da bi se toèno opisalostrujanje zraka izmeðu krilaca i mosta. Fizikalni model mosta izveden je u mjerilu1:10, tako da je Reynoldsov broj bio dovoljno velik (400.000).

Ispitivanja su pokazala da je dovoljno krilcima pokriti treæinu raspona u inter-valima, slika 18-28. Uèinkovitost takvog pokrivanja krilcima za razliku od konti-nuiranog pokrivanja prilikom ubla�avanja vertikalnih oscilacija na mostu Store-baelt le�i u èinjenici da je potrebna odreðena du�ina raspona mosta da bi se formi-rali vrtlozi (tipièno 4 � 6 visina popreènog presjeka). Krilca za usmjeravanje stru-janja postavljena su na razmacima od 4 m, što je bilo dovoljno da se sprijeèi formi-ranje vrtlo�nog traga. Sama krilca izvedena su od zakrivljenih èeliènih ploèa du�i-ne 4 m, du�ine tetive 1 m, udaljena od popreènog presjeka mosta 0,3 m. Nakon štosu postavljena krilca za usmjeravanje strujanja, vertikalne oscilacije više se nisupojavljivale.

463




464

POGLAVLJE 18.

Sl. 18-28. Primjer primjene krilaca za usmjeravanje strujanjana viseæem mostu Osteroy u Norveškoj



Primjer 27. Proraèun djelovanja vjetra na tornjeve (èeliène nosaèe antena)pridr�ane sajlama prema EN 1993-3-1: 2006 [98]

Na temelju gradiva izlo�enog u 18. poglavlju te Priloga 4., lako su razumljiviuvjeti kojih se treba pridr�avati pri proraèunu djelovanja vjetra kod projektiranja iizvedbe visokih èeliènih tornjeva pridr�anih sajlama (guyed masts). Ovakve kon-strukcije posebno su obraðene europskom normom EN 1993-3-1:2006 [98]. Ovdjeæe se prikazati proraèun tipskog meteorološkog tornja amerièkog proizvoðaèaNRG systems, koji treba biti postavljen na Jadranskoj obali, slika 18-29.

Ukupna je visina tornja 60 m. Stup tornja èine èeliène cijevi. Od temelja dokote � 22,14 m profil cijevi je �203x2 mm, od kote � 22,14 m do kote � 50,51 mprofil je �152x2 mm, a od kote � 50,51 m do vrha profil cijevi je �114x2 mm.Stup je pridr�an èeliènim sajlama �5 mm s èetiri strane. Sajle su prièvršæene za kli-nove koji se sidre u tlo. Na 19,50 m od stupa postavlja se prvi klin koji prihvaæaprve tri sajle, na 21,00 m od stupa postavlja se drugi klin koji takoðer prihvaæa slje-deæe tri sajle i na 22,50 m od stupa postavlja se treæi klin koji prihvaæa dvije sajle,slika 18-29. Na taj se naèin pridr�ava stup s 8 sajli s 4 strane.

U programu Tower 6 izraðen je trodimenzionalni model konstrukcije koji jeproraèunat za djelovanje vjetra prema EN 1993-3-1: 2006 [98].

• Kriteriji za proraèun statièkom metodom

Da bi se proraèun konstrukcije mogao izvršiti statièkim metodama, potrebnoje zadovoljiti sljedeæa tri kriterija prema EN 1993-3-1: 2006 [98], Dodatak B.:

1. Duljina konzole iznad hvatišta najviših sajli za stup mora biti manja odpola raspona stupa izmeðu nivoa posljednjeg i pretposljednjeg hvatištasajli. Duljina je konzole promatrane konstrukcije 185 cm, a polovina po-sljednjeg raspona je 378,5 cm, èime je zadovoljen ovaj kriterij.

2. Parametar # s mora biti manji od 1, a raèuna se prema:

#s

m m

S

Gi Gii

N

m m

S

i Gi

Gi

E I

L

NK H

E I

L

NN A

L

� �

�

�

4

1 10 5

2

1

2

2, cosGi

Gii

N

H�

�

�

��

�

�

�1

1

465




466

POGLAVLJE 18.

Sl. 18-29. Meteorološki toranj “NRG Systems” � geometrijske karakteristike



N � broj razina hvatišta sajli i stupa: 8

AGi � površina sajle na razini i: 0,196 cm2

EGi �modul elastiènosti sajle na razini i: 210000 N mm–2

LGi � duljina sajle na razini i, slika 18-29.

N i � broj sajli vezanih na razini i: 4

HGi � visina razine i, slika 18-29.

Gi � kut izmeðu horizontale i sajle razine i, slika 18-29.

Em �modul elastiènosti stupa: 210000 N mm–2

I m � prosjeèni moment inercije stupa: 135,73 cm4

LS � prosjeèni raspon izmeðu nivoa sajli: 727 cm

# s � �0 015 1,

3. Parametar Q mora biti manji od jedinice:

QHV

D

m

HRH� �

1

301

0

30

m0 �masa stupa po metru duljine: 3,55 kg/m

D 0 � prosjeèna širina stupa: 165 mm

VH � prosjeèna brzina vjetra u vrhu stupa; slika 18-30(a).

R � ukupna prosjeèna sila djelovanja na stup, slika 18-33(a).

H � ukupna visina stupa: 60 m

Q� �0 48 1,

• Brzina vjetra

Brzina vjetra sastoji se od dvije komponente: prosjeène komponente i pro-mjenljive komponente. Temeljna vrijednost osnovne brzine vjetra (karakteristièna10-minutna prosjeèna brzina vjetra na visini 10 m iznad terena II. kategorije hrapa-vosti) dana je Nacionalnim dodatkom za primjenu norme [81] u Republici Hrvatskoj,kojim je teritorij dr�ave podijeljen na pet podruèja. Mjesto gradnje ovog tornja šira jeokolica Rijeke, a buduæi da se ne zna toèna mikrolokacija, za izraèun se pretpostavljapodruèje maksimalnog optereæenja vjetrom unutar šire okolice Rijeke, odnosno po-

467




druèje IV., za koje je osnovna brzina vjetra 40 m/s (vidjeti Prilog 4., slika P4-18.).Kategorija terena je I. (podruèja sa zanemarivom vegetacijom i bez prepreka).

Prosjeèna brzina vjetra

Prosjeèna brzina vjetra odreðena je izrazom:

v z c z c z vm r b( ) ( ) ( )� � �0

v zm ( ) � prosjeèna brzina vjetra na visini z

v b � osnovna brzina vjetra

c zr ( ) � koeficijent hrapavosti terena

c z0 ( ) � koeficijent orografije: 1,0

Osnovna je brzina vjetra definirana kao funkcija temeljne vrijednosti osnovnebrzine vjetra, smjera vjetra i godišnjeg doba, a definirana je jednad�bom:

v v c cb b dir season� � �, 0

v b � osnovna brzina vjetra

v b , 0 � temeljna vrijednost osnovne brzine vjetra: 40 m/s

cdir � koeficijent smjera vjetra: 1,0

cseason� koeficijent ovisan o godišnjem dobu: 1,0

v b � 40 m/s · 1,0 · 1,0 � 40 m/s

Koeficijent hrapavosti terena odreðuje se prema sljedeæoj jednad�bi:

c z kz

zr r( ) ln� ��

�

�

��

0

z 0 � visina hrapave površine: za kategoriju terena I. ima vrijednost 0,01 m

z II0, � visina hrapave površine terena II. kategorije: 0,05 m

kr � koeficijent terena ovisan o visini hrapave površine:

k z zr II� �019 0170 00 07, ( ) ,,

,

Prosjeèna brzina vjetra prikazana je na slici 18-30. kao profil brzina po visinitornja do 60 m visine.

468

POGLAVLJE 18.



Intenzitet turbulencije vjetra

Intenzitet turbulencije I zv ( ) definiran je kao standardna devijacija turbu-lencije podijeljena s prosjeènom brzinom vjetra (Prilog 4.) i prikazan na slici18-30(b):

I zv zv

v

m

( )( )

�O

O v � standardna devijacija: O v r b Ik v k� � �kr � koeficijent terena: 0,17v b � osnovna brzina vjetrakI � koeficijent turbulencije: 1,0

v zm ( ) � prosjeèna brzina vjetra na visini z

469


Sl. 18-30. Prosjeèna brzina vjetra (a) i intenzitet turbulencije (b)



• Pritisak vjetra

Da bi se umanjili nedostaci statièkih metoda i izbjegla kompleksnost dina-mièke analize, koristi se pseudo statièka metoda s optereæenjima danim za pojedinedijelove stupa (patch). Toranj se optereæuje serijom statièkih uzoraka optereæenjazasnovanih na prosjeènom djelovanju vjetra uveæanom optereæenjima koji pred-stavljaju nagle udare vjetra.

Prosjeèno optereæenje vjetrom

Djelovanje vjetra na stup (mast) uslijed prosjeènog vjetra u pravcu vjetraFm W, i djelovanje vjetra na sajle (Guy) uslijed prosjeènog vjetra okomito na pravacsajli FGW odreðuje se na sljedeæi naèin:

Fq z

I zc z Am W

p

vw,

( )

( )( ) ;�

��

1 7F

q z

I zc z AGW

p

vg�

�

( )

( )( )

1 7

q zp ( )� vršni tlak izazvan brzinom vjetra

I zv ( ) � intenzitet turbulencije

c zw ( )� koeficijent sile za konstrukciju ( � c f )

c zg ( ) � koeficijent sile za kablove

A � površina na koju djeluje vjetar

Vršni tlak izazvan brzinom vjetra i vršna brzina mogu se odrediti sljedeæimizrazima (slika 18-31.):

q z I z v zp v m( ) [ ( )] ( )� � � � �1 71

22; v z

qe

p( )�

�2

;

I zv ( ) � intenzitet turbulencije

; � gustoæa zraka; 1,25 kg/m3

v zm ( )� prosjeèna brzina vjetra na visini z

v zz ( )� vršna brzina vjetra na visini z

470

POGLAVLJE 18.



Sukladno navedenom, djelovanje vjetra na dio stupa konstantnog popreènogpresjeka uslijed prosjeènog vjetra mo�e se izraziti na sljedeæi naèin:

F v z c Am W m f, ( )� � � � �1

22;

c f � koeficijent sile konstrukcije, c cf f� �, 0 L �

c f , 0 � koeficijent sile za kru�ni presjek bez slobodnog protoka

L � � faktor rubnih efekata za elemente sa slobodnim protokom

A � površina na koju djeluje vjetar

Da bi se dobila vrijednost koeficijenta sile konstrukcije c f , potrebno je odre-diti c f , 0 i L � koji su definirani sljedeæim parametrima:

Širine stupova b1 � 203 mm; b2 � 152 mm; b3 � 114 mm

Visine stupova l1 � 22,21 m; l2 � 28,37 m; l3 � 9,42 m

471


Sl. 18-31. Vršni tlak (a) i vršna brzina (b)



Ukupna visina tornja l� 60 m

Prosjeèna širina stupa bb l b l b l

l�

� � � � ��1 1 2 2 3 3 165 mm

Efektivna vitkost � , �

,

0 7 254

70

, l b �� 254

Koeficijent ispunjenosti ��1

Faktor rubnih efekata l, 60 m, ��1 L � �1

Kinematska viskoznost zraka v� � �15 10 6 m2/s

Ekvivalentna hrapavost površine k� 0,2 mm; (galvanizirani èelik)

Reynoldsov broj Re( )

��b v z

ve

Re ,158 2 10� �

Re ,257 6 10� �

Re ,156 0 10� �

Koeficijent sile za kru�ni presjek bez slobodnog protoka za tri oblika popreè-nog presjeka:

ck b

f , ,, log( )

, log(Re )0 612018 10

1 0 4 10� �

�

� �

�203x2 mm c f , 0 � 0,83

�152x2 mm c f , 0 � 0,85

�114x2 mm c f , 0 � 0,86

Faktor rubnih efekata za elemente sa slobodnim protokom L � odreðuje se izdijagrama koji ga povezuje s efektivnom vitkošæu � i koeficijentom ispunjenosti �,slika 18-32.

472

POGLAVLJE 18.



� � L �� 1 254 1,

Koeficijent sile konstrukcije c cf f� �, 0 L �

�203x2 mm c f � 0,83

�152x2 mm c f � 0,85

�114x2 mm c f � 0,86

Sajle c f �12, (za sve vrste sajli i sve vrijednostiReynoldsovih brojeva, EN 1991-1-4:2004 7.9.2 (2))

Djelovanje vjetra na stup i sajle prikazano je na slici 18-33. kao kontinuiranolinijsko optereæenje.

473


Sl. 18-32. Dijagram za odreðivanje faktora rubnih efekata sa slobodnim protokom



• Patch optereæenja

Prosjeènom optereæenju dodaje se serija suksecivnih patch optereæenja. Ovadodatna optereæenja nanose se:

� na svaki raspon stupa izmeðu susjednih razina sajli i na raspon izmeðu bazestupa i prve tazine sajli (slika 18-35.),

� na konzolu stupa,� od središnje toèke svakog raspona do središnje toèke susjednog raspona

(slika 18-35.).

Patch optereæenje na stup FPW i na sajle FPG izraèunava se sljedeæim izra-zima:

474

POGLAVLJE 18.

Sl. 18-33. Prosjeèno djelovanje vjetra na stup (a) i sajle (b)



F kq z

I z

I z

c zc z APW s

p

v

vw�

��2

1 7 0

( )

( )

( )

( )( )

F kq z

I z

I z

c zc z APG s

p

v

v

G��

21 7 0

( )

( )

( )

( )( )

ks � faktor uveæanja: 3,5

Djelovanje patch optereæenja na stup i sajle prikazano je na slici 18-34. kaokontinuirano linijsko optereæenje, a naèin njegovog nanošenja prikazan je na slika-ma 18-35. i 18-36.

475


Sl.18-34. Patch optereæenje na stup (a) i sajle (b)



476

POGLAVLJE 18.

Sl. 18-35. Sluèajevi patch djelovanja na stup

Sl. 18-36. Sluèajevi patch djelovanja na sajle



• Ukupno djelovanje vjetra i kombinacije djelovanja

Zbroj prosjeènog djelovanja vjetra i jednog patch optereæenja daje jedan slu-èaj optereæenja. Broj sluèajeva optereæenja jednak je broju patch optereæenja i to zasvaki promatrani smjer.

Za toranj koji je sajlama vezan s èetiri strane potrebno je uzeti u obzir dvasmjera djelovanja vjetra: u smjeru sajli i pod kutom od 45°, slika 18-37.

Vrijednosti parcijalnih koeficijenata sigurnosti odreðene su razredom pouzda-nosti graðevine RC (Reliability Class), EN 1993-3-1 [98] (Dodatak A, Tabli-ca A.1.). Meteorološki toranj gradi se na nenastanjenom mjestu i u sluèaju nje-govog rušenja mala je vjerojatnost ozljeðivanja. Prema tome, odabran je prvi raz-red pouzdanosti (RC1). U tom sluèaju parcijalni koeficijenti imaju sljedeæe vrijed-nosti:

nepovoljno djelovanje +G �10, + Q �12,

povoljno djelovanje +G �10, + Q � 0 0,

477


Sl. 18-37. Promatrani smjerovi djelovanja vjetra



• Optereæenje uslijed zaleðivanja

Europska norma EN 1993-3-1:2006 [98], Dodatak C, daje informativno na-putke o optereæenjima uzrokovanim ledom i upuæuje na ISO 12494 i Nacionalnidokument za primjenu.

Led i zaleðivanje konstrukcije utjeèu na konstrukciju na dva osnovna naèina:

1) poveæava se efektivna površina presjeka èime se poveæavaju i sile vjetrana konstrukciju,

2) poveæava se vrijednost vertikalnog optereæenje zbog te�ine leda.

Ovisno o vrsti padaline (mekani snijeg, zaleðeni snijeg, èisti led itd.) gustoæenaslaga leda variraju u širokom rasponu od 200 kg/m3 do 900 kg/m3. Podatke opodruèjima ugro�enim zaleðivanjem, gustoæama leda i intezitetima trebao bi datiNacionalni dokument za primjenu.

Djelovanje leda i zaleðivanje ulaze u kombinacije djelovanja s vjetrom nasljedeæe naèine:

+ + + LG K ice k ice W W k WG Q k Q� �, , za dominantno djelovanje leda

+ + + LG K W k W ice ice k iceG k Q Q� �, , za dominantno djelovanje vjetra

� Predlo�ene vrijednosti za faktore kombinacija L su: L LW ice� � 0 5, .� Pri atmosferskim uvjetima koji dovode do pojave leda, karakteristièni priti-

sak vjetra manji je nego u drugim sluèajevima. Ova pojava uzima se u ob-zir faktorom k. Vrijednost faktora k dana je u ISO 12494.

� Parcijalni koeficijenti sigurnosti za stalna i promjenljiva djelovanja:+G , + ice , +W .

• Prekid sajle kao izvanredno djelovanje

Prekid sajle je udesno optereæenje. Analiza konstrukcije pod djelovanjem di-namièkih sila uzrokovanih iznenadnim otkazivanjem jedne sajle vrlo je slo�ena, avrijednosti ulaznih parametara su nesigurne i mogu varirati u širokom rasponu.Zbog toga se koristi konzervativni statièki pristup opisan u EN 1993-3-1:2006, Do-datak E.

Horizontalna komponenta sile u sajli prije njezina otkazivanja nanosi sekao dodatno djelovanje na stup pridr�an svim sajlama osim one prekinute. Kon-

478

POGLAVLJE 18.



strukcija bez prekinute sajle trebala bi moæi izdr�ati odreðeno kratko vrijeme unu-tar kojeg bi se ta sajla zamijenila. Pritom se oèekuje da konstrukcija bez jedne sajleizdr�i najviše 50% proraèunskog optereæenja vjetra bez dodatnog patch optere-æenja.

Komentar: Pretpostavlja se da je uzrok prekidanja sajle stvarno djelovanje vjetra koje je veæeod onog uzetog u izraèunu. U tom je sluèaju nerealno oèekivati da konstrukcija odr�i mehanièku ot-pornost i stabilnost i nakon prekida sajle, jer djelovanje koje je dovelo do njenog prekida vjerojatnoneæe odmah prestati ili znaèajno oslabiti. Realno je oèekivati znaèajno ošteæenje konstrukcije ili nje-zino urušavanje. Sama zamjena sajle za promatrani tip konstrukcije i nije moguæa bez potpune de-monta�e.

• Dinamièke karakteristike konstrukcije

Izraèunate su vlastite frekvencije sajli i vlastite frekvencije cijele konstrukcije.Prva vlastita frekvencija sajli odreðena je za sluèaj bez djelovanja vjetra (kada jeuzdu�na sila u sajlama izraèunata na temelju zadanog prednapona od 0,7 kN) i zasluèaj maksimalnog djelovanja vjetra (kada sile u sajlama imaju najveæe vrijedno-sti). Vlastite frekvencije stupa dobivene su modalnom analizom.

Vlastita frekvencija sajle:

fl

T

m�

1

2

l � duljina sajle

T � sila u sajli

m �masa sajle po metru duljine (za sajlu promjera 5 mm i te�inu od7800 kg/m3 ova masa ima vrijednost 0,15 kg/m)

Vrijednosti vlastitih frekvencija za sajle prikazane su u tablici 18-3. poèevšiod najviše i najdulje sajle prema najni�oj i najkraæoj. Na slici 18-38. prikazani suvlastiti oblici i vlastite frekvencije cijele konstrukcije.

Izraèunate vrijednosti frekvencija za sajle i stup za prvi ton mogu se usporedi-ti. Osnovne frekvencije sajli ovise o njihovoj napetosti pa su promatrana dva sluèa-ja (tablica 18-3.): bez djelovanja vjetra, kada su sile u kablovima minimalne, i uzdjelovanje vjetra, kada su te sile maksimalne. Osnovna je frekvencija konstrukcije1,49 Hz, slika 18-38. (prvi ton).

479




U sluèaju kada nema djelovanja vjetra ne mo�e doæi do pobude sajli pa takoni do rezonancije sa stupom konstrukcijem. U sluèaju maksimalne vrijednosti dje-lovanja vjetra, vlastite frekvencije sajli veæe su od 1,49 Hz te je izbjegnut problemrezonancije.

S obzirom da se radi o tipskoj konstrukciji koja mora odolijevati najširemrasponu vremenskih prilika, konstrukcija je podvrgnuta nizu dinamièkih eksperi-menata. Utvrðeno je da je dinamièki neosjetljiva za sve realne brzine vjetra sa ilibez zaleðivanja.

480

POGLAVLJE 18.

Tablica 18-3. Vlastite frekvencije sajli

Br. Duljina [m] Sila [kN] Frekvencija f [Hz]

1 62,350,7 0,54

4,8 1,30

2 55,360,7 0,61

5,4 1,55

3 48,360,7 0,72

5,1 1,72

4 42,440,7 0,80

4,5 1,84

5 36,480,7 0,93

4,1 2,05

6 29,540,7 1,14

4,0 2,50

7 24,230,7 1,40

2,7 2,50

8 20,970,7 1,61

1,7 2,29



481




482

POGLAVLJE 18.

Sl. 18-38. Vlastite vrijednosti konstrukcije



• Rezultati proraèuna i dimenzioniranje elemenata konstrukcije

Meteorološki toranj modeliran je u programu Tower i proraèunat za sva izra-èunata djelovanja i kombinacije djelovanja, tablica 18-4. Svi prikazani rezultati od-nose se na anvelope optereæenja, slika 18-39. i slika 18-40. Toranj je modelirankao trodimenzionalna konstrukcija. Sajle su modelirane kao nelinearni elementisposobni za prijenos iskljuèivo vlaènih sila. Svi sluèajevi optereæenja i kombinacijeprikazani su u tablici 18-4. Dimenzioniranje konstrukcije prikazano je u tablici18-5.

Svi elementi konstrukcije zadovoljavaju uvjete mehanièke otpornosti i stabil-nosti. Popreèni presjek �203x2 mm spada u klasu presjeka 4, �152x2 mm u klasu 3i �114x2 mm u klasu 2.

Maksimalni je dozvoljeni pomak za uredan rad instrumenata postavljenih nastup 50 cm, a propisuje ga investitor. Maksimalni je izraèunati pomak 27,0 cm, štoznaèi da su zadovoljeni uvjeti uporabivosti.

483




484

POGLAVLJE 18.

Tablica 18-4. Kombinacije djelovanja



485


Sl. 18-39. Rezne sile



486

POGLAVLJE 18.

Sl. 18-40. Deformacije konstrukcije (maksimalni horizontalni pomak 27,0 cm)



487


Tablica 14-5. Dimenzioniranje elemenata konstrukcije



488

POGLAVLJE 18.



489




490

POGLAVLJE 18.



491




492

POGLAVLJE 18.



Napomena: Buduæi da za kru�ni popreèni presjek ne postoji redukcija površine presjeka,izraèun bi trebalo ponoviti s poveæanim dimenzijama popreènog presjeka dijela stupa od temelja dokote � 22,14m, koji takoðer treba ispuniti uvjet za treæu klasu popreènog presjeka.

493




• Tehnologija monta�e

Proizvoðaè uz proizvod daje i detaljne upute za monta�u, a sav materijal po-treban za konstrukciju dolazi u jednom pakiranju na paleti.

Maksimalni dozvoljeni nagib tla za monta�u je 10°. Prvo se bazna ploèa zastup sastavlja i fiksira ankerima ovisno o vrsti tla. Stup konstrukcije sastavlja se natlu. Stup ne smije biti direktno u kontaktu s tlom nego se oslanja na drvene blokovena svakih 5 do 6 m. Postavljaju se ankeri za sajle i zatim se ve�u za stup. Usprav-ljanje stupa izvodi se pomoænom polugom, slika 18-41a. Usporedno s podizanjem

494

POGLAVLJE 18.

Sl. 18-41(a). Uspravljanje stupa pomoænom polugom



stupa provodi se zatezanje sajli. Poluga se podi�e elektromotorom s vitlom, a sajlese zate�u ruèno pomoæu kljuèa za zatezanje. Sajle na montiranoj konstrukciji mora-ju imati blagi progib vidljiv okom. Nategnutost sajli je oko 0,7 kN.

Nakon dva do tri tjedna od monta�e, treba pregledati montiranu konstrukciju.Provjerava se nategnutost sajli, slijeganje stupa i sidara kao i uspravnost stupa.Izgled takvog gotovog tornja dan je na slici 18-41(b).

495


Sl. 18-41(b). Izgled tipskog meteorološkog tornja visokog 60 m nakon monta�e,proizvoðaè NRG systems



Primjer 28.

Dokazati mehanièku otpornost i stabilnost konstrukcije predgotovljenogèeliènog rasvjetnog stupa nogometnog stadiona prema europskim normamaEN 1991-1-4: 2005 [81], EN 1993-1-1: 2005 [85] i EN 1993-1-5: 2006 [99]. Visi-na stupa je 34 m, a njegov popreèni presjek je promjenljiv, od .� 960 mm u dnustupa do .� 296 mm na njegovom vrhu. Kvaliteta materijala stupa je S275. Stupse isporuèuje u èetiri segmenta, a oni se meðusobno spajaju “teleskopskim” preklo-pom i zavarima. Na visini od 34 m montirat æe se 36 reflektora, svaki promjera590 mm. Konstrukcija se gradi na II. podruèju optereæenja vjetrom te je temeljnavrijednost osnovne brzine vjetra v b , 0 � 30 m s�1 uzeta prema zemljovidu u Pri-logu 4.

• Djelovanje vjetra na stup

Vanjski tlak vjetra we djeluje na vanjske površine konstrukcije, a definiran jeu dijelu 5.2. EN 1991-1-4:2005 [81] sljedeæim izrazom:

w q z ce p e pe� �( )

u kojem je:

a) q zp e( ) vršni vanjski tlak izazvan brzinom vjetra, definiran u dijelu 4.5.EN 1991-1-4:2005. Vršni tlak ukljuèuje prosjeène i kratkotrajne promjene brzinevjetra. Pravila za odreðivanje tlaka vjetra mogu biti zadana nacionalnim dodatkom,a preporuèena je vrijednost odreðena jednad�bom:

q z I z v zp v m( ) [ ( )] ( )� � � � � �1 71

22;

Ova se jednad�ba mo�e napisati i na sljedeæi naèin:

q z c z qp e b( ) ( )� �

q vb b� �1

22;

496

POGLAVLJE 18.



gdje je

I zv ( ) � intenzitet turbulencije,

; � gustoæa zraka (;� 1,25 kg/m3),

v zm ( ) � prosjeèna komponenta brzine vjetra,

c ze ( ) � koeficijent izlo�enosti,

qb � osnovni tlak izazvan brzinom vjetra,

v b � osnovna brzina vjetra.

Osnovna brzina vjetra v b definirana je kao funkcija temeljne vrijednostiosnovne brzine vjetra, smjera vjetra i godišnjeg doba, a predstavljena je u EN1991-1-4:2005 [81] na sljedeæi naèin:

v v c cb b dir season� � �, 0

gdje je

v b , 0 � temeljna vrijednost osnovne brzine vjetra, a to je karakteristièna10-minutna prosjeèna brzina vjetra na visini 10 m iznad terena II.kategorije hrapavosti, èije su vrijednosti dane nacionalnim dodat-kom,

cdir � koeficijent smjera vjetra,

cseason� koeficijent ovisan o godišnjem dobu.

Koeficijenti cdir i cseason dani su Nacionalnim dodatkom. Preporuèene su jedi-niène vrijednosti ovih koeficijenata.

U Nacionalnom dodatku dan je zemljovid podruèja optereæenja vjetrom i te-meljne vrijednosti osnovne brzine vjetra v b , 0 , slika P4-18.

Intenzitet turbulencije I zv ( ) predstavlja promjenjivu komponentu brzine vje-tra, definiranu kao standardna devijacija turbulencije podijeljena s prosjeènombrzinom vjetra. Turbulentna komponenta brzine vjetra ima prosjeènu vrijednostjednaku 0 i standardnu devijaciju O v :

O v r b Ik v k� � �

497




gdje je

v b � osnovna brzina vjetra,

kI � koeficijent turbulencije (preporuèa se uzeti vrijednost 1,0 osim ako na-cionalnim dodatkom nije drugaèije definiran),

kr � koeficijent terena, koji se definira na sljedeæi naèin:

kz

zrII

� ��

�

�

��019 0

0

0 07

,,

,

z 0 � visina hrapave površine (Tablica P4-1.),

z II0, � 0,05 (kategorija terena II, Tablica P4-1.).

Sada se mo�e definirati intenzitet turbulencije I zv ( ) prema sljedeæim jed-nad�bama (dio 4.4., EN 1991-1-4:2005.):

I zv zv

v

m

( )( )

�O

za z z zmin max0 0

I z I zv v( ) ( )min� za z z� min

gdje je

z min � najmanja visina prema Tablica P4-1.,

z max � 200 m,

v zm ( ) � prosjeèna brzina vjetra na visini z, koja se definira prema izrazu:

v z c z c z vm r o b( ) ( ) ( )� � �


c zo ( ) � koeficijent orografije (preporuèa se uzeti vrijednost c zo ( ) ,�10 osimako nacionalnim dokumentom nije drugaèije definirano),

c zr ( ) � koeficijent hrapavosti terena, koji se izraèunava prema sljedeæem iz-razu:

c z kz

zr r( ) ln� ��

�

�

��

0

za z z zmin max0 0

c z c zr r( ) ( )min� za z z� min

498

POGLAVLJE 18.



Koeficijent izlo�enosti c ze ( ) definiran je sljedeæom jednad�bom (dio 4.5.,EN 1991-1-4:2005):

c zq z

qe

p

b

( )( )

�

Za ravne terene gdje je c zo ( )�1 koeficijent izlo�enosti c ze ( ) dan je dijagra-mom prikazanim na slici P4-3., a definiran je kao funkcija terena i visine iznad te-rena.

b) Koeficijent vanjskog tlaka c zpe ( ) za kru�ni popreèni presjek definiran je udijelu 7.9. EN 1991-1-4:2005, slika 18-42. i ovisi o Reynoldsovu broju:

Re( )

��b v z e

/

gdje je

b � promjer,

/ � kinematska viskoznost zraka, / � � �15 10 6 m2/s,

v z e( ) � vršna brzina vjetra, èija je vrijednost:

v zq

e

p( )�

�2

;

q p � vršni vanjski tlak izazvan brzinom vjetra,

; � gustoæa zraka, ;�125, kg/m3.

Konaèno, koeficijent vanjskog tlaka za kru�ni popreèni presjek raèuna se pre-ma sljedeæem izrazu:

c cpe p� �, 0 L �

gdje je:

c p , 0 � koeficijent vanjskog tlaka (kao funkcije kuta ) dan na slici 18-42. zarazlièite vrijednosti Reynoldsovog broja,

L � � faktor rubnog efekta, zadan sljedeæim izrazima:

499




L � � 1 za 0-0 0 min

L L L�

� � ��

�

�

�

�

��

&

�'

(

�)( ) cos min

min

12 A

za min � � A

L L� �� za A � � -180

L � � faktor rubnog efekta koji se odreðuje kao funkcija ispunjenosti i efek-tivne vitkosti � prema slici P4-7.,

� � efektivna vitkost �, definira se ovisno o dimenzijama konstrukcije pre-ma Tablici P4-2.

500

POGLAVLJE 18.

Sl. 18-42. Raspodjela tlaka na valjku pri razlièitim vrijednostima Reynoldsovih brojevai beskonaènoj vitkosti

Tablica 18-4. Tipiène vrijednosti krivulja sa slike 18-42. (meðuvrijednosti sesmiju linearno interpolirati)

Re min cp , ,min0 A cp h, ,0

5 105Q 85 �2,2 135 �0,4

2 106Q 80 �1,9 120 �0,7

107 75 �1,5 105 �0,8

min[ ]- � mjesto najmanjeg tlaka,cp, ,min0 � vrijednost najmanjeg koeficijenta tlaka,A[ ]- � mjesto odvajanja strujanja,cp h, ,0 � koeficijent zatvorenog dijela valjka,



Numerièko odreðivanje vjetrovnog optereæenja

Zadana je konstrukcija stupa kru�nog presjeka promjenljivog promjera(960 mm promjer na spoju s temeljem i 296 mm promjer u vrhu). Stup reflektoraukupne je visine 34 m i nalazi se na terenu II kategorije, slika 18-43.

Prema naprijed danim izrazima dobivaju se sljedeæe vrijednosti osnovne brzi-ne i tlaka za II. podruèje brzina vjetra:

v v c cb b dir season� � � �, 0 30,00 · 1,00 · 1,00 � 30,00 m/s

q vb b� � � � �1

2

1

22; 1,25 · 30,002 � 562,50 N/m2 � 0,563 kN/m2

501


Sl. 18-43. Prikaz zadanog stupa i reflektora



� za kategoriju terena II. z 0 � 0,05 m; z min � 2,00 m

kz

zrII

� ��

�

�

��

�

�

�

��019 019

0 05

0 050

0

0 07 0

, ,,

,,

, ,

,

07

019�

O v r b Ik v k� � � � � � �019 30 00 100, , , 5,70 m/s

� odreðivanje efektivne vitkosti � (pribli�na vrijednost):

l1 50, m �1 0 70 0 7050

0 62855 7� � � � �, ,

,,

l

bsr

bsr � � �( , , )/0 960 0 296 2 0,628 m

l2 150 m � 2

15

0 62823 89� � �

l

bsr ,,

Efektivna vitkost za l� 34 m odreðuje se linearnom interpolacijom:

� ��

� ��

��

�

��2

1 2

1 22 23 89

55 7 23 89

50 1534 1

l ll l( ) ,

( , , )( 5 412) ,�

� odreðivanje faktora rubnih efekata L �:Za stupanj ispunjenosti ��1koji je dobiven prema jednad�bi (P4.22), iz slike

P4-7. oèitava se vrijednost faktora rubnih efekata L � � 0 85, .

Komentari:

�Mo�e se dobiti i toèna vrijednost preènika cijevi b beff� te prema tome i “toèna” vrijednostefektivne vitkosti � na naèin da se prvo odredi vrijednost kritiène sile za konzolni štap promjenljivogpopreènog presjeka. Ima više naèina za odreðivanje kritiène sile konzolnog štapa, npr. primjenom di-ferencijskog postupka [11]. Poznavajuæi vrijednost kritiène sile lako se dobije beff iz:

PE I

lI bcr

eff

eff eff��

� ��2

22( )

� U Prilogu 4. je pokazano kako se odreðuje faktor rubnih efekata L� za elemente sa slobod-nim protokom. Taj faktor rubnih efekata ukljuèuje reducirani otpor konstrukcije zbog toka vjetra okorubova presjeka, a odreðuje se kao funkcija stupnja vitkosti �. Logièno je sljedeæe: što je veæa vitkostkonstrukcije za takvu konstrukciju je manji faktor rubnih efekata, jer se vitka konstrukcija bez obzirana oblik rubova lako prilagoðava vjetru. Radi toga je ogranièeno da vitkost cilindriènih konstrukcije �ima utjecaja na faktor rubnih efekata samo ako je �0 70. Znaèi da je za konstrukcije kod kojih je�� 70 faktor rubnih efekata L� �1.

502

POGLAVLJE 18.



Na slici 18-44. prikazane su po visini stupa sljedeæe vrijednosti: prosjeènebrzine vjetra (a), intenzitet turbulencije (b), vršni vanjski tlaka (c) i koeficijent iz-lo�enosti (d).

U daljnjem izraèunu prikazane su vrijednosti samo za spoj stupa s temeljem iza vrh stupa.

503


Sl. 18-44. Prosjeèna brzina vjetra (a), intenzitet turbulencije (b),vršni vanjski tlak (c) i koeficijent izlo�enosti (d)



• Za spoj stupa s temeljem (z� 0) dobije se:

z z� min

c z kz

zr r( ) ln , ln,

,,min� �

�

�

�

��

0

0192 00

0 050 701

v z c z c z vm r b( ) ( ) ( ) , , , ,� � � � � � �0 0 701 100 30 00 2103 m/s

I z I zv zv v

v

m

( ) ( )( )

,

,,min

min

� � � �O 5 70

21030 271

q zp ( ) [ , ] , , ,� � � � � � �1 7 0 2711

2125 2103 800 682 N/m2

c zq z

qe

p

b

( )( ) ,

,,� � �

800 68

562 501 423

v zq p

( ),

,,�

��

��

2 2 800 68

12535 79

;m/s

Re( ) , ,

,��

��

��

�b v z

/

0 96 35 79

15 102 29 106

6

min ,� -79 82

A � -119 45,

c p o, , min ,��189

c p h, , ,0 0 70��

c pe ( ) ( , ),

02

31

30

3602 0 70

180 119 45

3602 0� � �

-

-� � � �

-� -

-� � , , , ,85 011 0 21 0 31� � �

1 � � �we ( ) , , ,0 800 68 0 31 0 25 kN/m2

w D we e( ) ( ) ( ) , , ,0 0 0 0 96 0 25 0 24� � 1 � � � kN/m

504

POGLAVLJE 18.



• Za vrh stupa (z� 34 m) dobije se:

z z zmin max0 0

c z kz

zr r( ) ln , ln,

,,� �

�

�

�

��

0

01934 00

0 051239

v z c z c z vm r b( ) ( ) ( ) , , , ,� � � � � � �0 1239 100 30 00 37 18 m/s

I zv zv

v

m

( )( )

,

,,� � �

O 5 70

37 180153

q zp ( ) [ , ] , , ,� � � � � � �1 7 01531

2125 37 18 1790 862 N/m2

c zq z

qe

p

b

( )( ) ,

,,� � �

1790 86

562 503184

v zq p

( ),

,,�

��

��

2 2 1790 86

12553 53

;m/s

Re( ) , ,

,��

��

��

�b v z

/

0 296 53 53

15 101056 106

6

min ,� -8315

A � -129 44,

c p o, , min ,��2 09

c p h, , ,0 0 51��

c pe ( ) ( , ),

342

31

30

3602 0 51

180 129 44

3602� � �

-

-� � � �

-� -

-� �0 85 011 012 0 23, , , ,� � �

1 � � �we ( ) , , ,34 1790 86 0 23 0 41 kN/m2

w D we e( ) ( ) ( ) , , ,34 34 34 0 296 0 41 012� � 1 � � � kN/m

505




• Djelovanje vjetra na reflektore

Sila vjetra Fw na reflektore prema slici 18-43. odreðuje se u dijelu 5.3.EN 1991-1-4:2005 [81]:

F c c c q z Aw s d f p e ref� � � �( )

gdje je

c cs d � faktor konstrukcije definiran u 6. dijelu EN 1991-1-4:2005 [81],

c f � koeficijent sile,

q zp e( )� vršni vanjski tlak,

Aref � referentna površina,

c ck I z B R

I zs d

p v e

v e

��

� �

1 2

1 7

2 2( )

( )

z e � referentna visina prema slici 18-45(c).,

k p � vršni faktor definiran kao omjer maksimalne vrijednosti promjenljivogdijela odziva prema standardnoj devijaciji,

I v � intenzitet turbulencije,

B 2 � faktor pozadine kojim se uzima u obzir nemoguænost potpunog djelo-vanja tlaka vjetra na površinu,

R 2 � faktor rezonantnog odziva kojim se uzima u obzir rezonancija turbu-lencije i vlastitog oblika vibracija,

506

POGLAVLJE 18.

Sl. 18-45. Prikaz osnovnih oblika konstrukcija i pripadajuæih referentnih visina ze



Dodatkom B u EN 1991-1-4:2005 [81] dan je postupak za odreðivanje faktorakonstrukcije c cs d . Takoðer je dan i postupak za odreðivanje koeficijenata k p , B iR, èijim se uvrštavanjem u posljednji izraz dobiva vrijednost faktora konstrukcijec cs d . Taj æe se postupak primijeniti u nastavku.

Du�ina turbulencije L z( ) predstavlja prosjeèni udar vjetra za prirodne vje-trove:

L z Lz

ztt

( )��

�

�

��

za z z, min

L z L z( ) ( )min� za z z� min

z t � 200 m, Lt � 300 m, � �0 67 0 05 0, , ln ( )z

Faktor pozadine B 2 :

Bb h

L z e

20 63

1

1 0 9

�

� ��

�

�

��,

( )

,

b, h � oznaèavaju širinu i visinu konstrukcije,

L z s( ) � predstavlja du�inu turbulencije za referentnu visinu z s .

Funkcija spektralne gustoæe S z nL ( , ) predstavlja odnos distribucije vjetra ifrekvencije:

S z nf z n

f z nL

L

L

( , ), ( , )

[ , ( , )]�

�

� �

6 8

1 10 25

3

f z nL ( , ) � bezdimenzionalna frekvencija odreðena prirodnom frekvencijomkonstrukcije danom u Hz, n n x� 1, :

f z nn L z

v zLm

( , )( )

( )�

�

v zm ( ) � prosjeèna brzina vjetra na visini z,

n � prirodna frekvencija konstrukcije u Hz, odreðena u Dodatku F,EN 1991-1-4:2005 [81].

507




n n x� 1,

ng

x11

1

2� ��

g � gravitacijsko ubrzanje (9,81 m/s2),

x1 �maksimalni pomak uslijed vlastite te�ine nanesene u smjeru vibracija (m).

Faktor rezonantng odziva R 2 :

R S z n R RL e x h h b b2

2

12��

�

�E E( , ) ( ) ( ),

� � ukupno logaritamsko opadanja prigušenja,

S L � funkcija spektralne gustoæe,

R Rh b, � funkcije aerodinamièke vodljivosti.

E he

L e x

h

L zf z n�

��

4 61

,

( )( , ),

E be

L e x

b

L zf z n�

��

4 61

,

( )( , ),

R ehh h

h� ��

� �1 1

212

2

E EE( ); Rh �1 za E h � 0

R ebb b

b� ��

� �1 1

212

2

E EE( ); Rb �1 za E b � 0

Ukupno je logaritamsko opadanje prigušenja � prema Dodatku F,EN 1991-1-4:2005 [81]:

� � � �� s d a

� s � logaritamsko opadanje konstrukcijskog prigušenja,

�d � logaritamsko opadanje prigušenja uslijed posebnih ureðaja,

�a � logaritamsko opadanje aerodinamièkog prigušenja za osnovni oblik,

508

POGLAVLJE 18.



�;

a

f m e

e

c b v z

n m�

� � �

� �

( )

2 1

c f � koeficijent sile,

me � ekvivalentna masa po jedinici du�ine:

m

m s s s

s se l�

��

�

( ) ( )

( )

M

M

12

0

12

0

d

d

m �masa po jedinici du�ine,l � visina ili raspon konstrukcije ili konstruktivnog elementa,

i�1 � broj tona,

M 1 ( )s � osnovni vertikalni ton prema slici 18-46.

Vršni faktor k p dobije se prema slici 18-47. ili prema sljedeæem izrazu:

kT

Tp ��

� �

&

�

''max

ln( ),

ln ( )2

0 6

23

//

/ ��

nR

B Rx1

2

2 2, ; / , 0 08, Hz

T � 600 s

509


Sl. 18-46. Osnovni vertikalni ton



Komplet od 36 reflektora (slika 18-43.) u ovom æe se sluèaju aproksimiratikao samostojeæi pano podignut na visinu od 34 m. Koeficijent sile c f za samosto-jeæi pano podignut od tla na visinu z g , kada je ta visina veæa od èetvrtine visine sa-mog panoa, prema èlanku 7.4.3 norme EN 1991-1-4:2005 ima sljedeæu vrijednost(slika 18-48.):

c f �18,

Ista je vrijednost koeficijent sile c f i u sluèaju kada je z hg 0 4 ako jeb h01.

Rezultirajuæa sila djelovanja okomita je na ravninu, a toèka djelovanja te sileu centru je panoa s ekscentricitetom e. Preporuèa se sljedeæa vrijednost ovogekscentriciteta (slika 18-48.):

e�0 25, b

Ako je pano podignut od tla na visinu manju od èetvrtine vlastite visine, teako je b h�1, takav pano treba smatrati vertikalnim samostojeæim zidom, te gaanalizirati u skladu s èlankom 7.4.1, EN 1991-1-4:2005. U ovom sluèaju aproksi-miranja površine 34 reflektora ravnim panoom zanemaruje se utjecaj ekscentrici-teta e.

510

POGLAVLJE 18.

Sl. 18-47. Vrijednosti vršnog faktora k p



Referentna površina reflektora (panoa) Aref :

Areflektora � � � �36 0 295 9 842, ,� m2

Da bi se dobila funkcija spektralne gustoæe potrebno je najprije pronaæiosnovnu prirodnu frekvenciju konstrukcije prema dodatku F, EN 1991-1-4:2005[81]:

ng

x11

1

2

1

2

9 81

0111503� � �

� �

,

,, Hz

x1 � predstavlja maksimalni pomak kompleta reflektora od vlastite te�ine usmjeru vibracija.

Ekvivalentna masa po jedinici du�ine:

stup kg

kg

3.400

reflektori 46008000

..

?@A

kg

511


Sl. 18-48. Samostojeæi pano podignut od tla na visinu zg



Ukupno logaritamsko opadanje prigušenja �:

�;

a

f m e

e

c b v z

n m�

� � �

� ��

� � � �

�

( ) , , ( , ) ,

2

18 125 6 0 59 37 18

2 11 , . ,,

503 8000 000 0123

��

� s � 0 05,

� � �� a s 0 0123 0 05 0 062, , ,

Vrijednosti faktora rezonantnog odziva konstrukcije:

f z nn L z

v zLm

( , )( )

( )

, ,

,,�

��

��

1503 119 39

37 184 825

S z nf z n

f z nL

L

L

( , ), ( , )

[ , ( , )]

, ,

[�

�

� ��

�

�

6 8

1 10 2

6 8 4 825

15

3 10 2 4 8250 0485

3, , ],

��

E he

L e x

h

L zf z n�

��

� ��

4 6 4 6 6 0 59

119 394 8251

,

( )( , )

, ( , )

,,,

E Eh b� � 0 658,

R R e eh bh h

h� � ��

� � ��

�� 1 1

21

1

0 658

1

2 0 65812

22

2 0

E EE( )

, ,( , ) ,658 0 675�

R S z n R RL e x h h b b2

2

1

2

2 2 0 0620 048�

��

��

�

�E E

�( , ) ( ) ( )

,,, � �0 675 1 7402, ,

Faktor pozadine B (dopušta se bez proraèuna uzeti B � 1, kada je vrijednostfaktora konstrukcije c cs d na strani sigurnosti):

Bb h

L z e

20 63

1

1 0 9

1

1 0 92 6 0 59

119

�

� ��

�

�

��

�

� ��

,( )

,,

,

,

39

0 8680 63�

�

�

��

�, ,

512

POGLAVLJE 18.



Frekvencija i vršni faktor:

/ ��

� ��

�nR

B Rx1

2

2 2 15031 74

0 868 1 740 816, ,

,

, ,, Hz

k TTp� � � �

� ��

�2

0 6

22 0 816 600

0 6

2ln( )

,

ln ( )ln ( , )

,

ln (/

/ 0 816 6003 690

, ),

��

Faktor konstrukcije:

c ck I z B R

I zs d

p v e

v e

��

� �� 1 2

1 7

1 2 3 69 01532 2( )

( )

, , 0 868 1 74

1 7 01531363

, ,

,,

�

� ��

Konaèno je moguæe izraèunati vrijednost sile vjetra:

F c c c q z Aw s d f p e ref� � � � � � � � �( ) , , . , ,1363 18 1790 68 9 84 43.229,62 N � 43,23 kN

Na slici 18-49 prikazano je ukupno djelovanje na konstrukciju.

513


Sl. 18-49. Shematski prikaz karakteristiènih vrijednosti djelovanja



• Dimenzioniranje stupa za krajnje granièno stanje prema reznim silama

Materijal stupa èelik je kvalitete S275 za debljinu elementa t0 40 mm. Dimen-zioniranje nosaèa rasvjete provedeno je za osnovnu brzinu vjetra v b � 30 00, m/s.

Raèunske vrijednosti reznih sila prema teoriji II. reda u popreènim presjecima

“1” � “4”

Raèunska vrijednost momenta savijanja u presjeku “1”:

M MEd F kw

, ,1 1� �+gdje je

+ F � parcijalni koeficijent sigurnosti za djelovanje vjetra na konstrukcijuM k

w,1 � karakteristièna vrijednost momenta savijanja u presjeku “1” prema

slici 18-50.

M Ed , ,1 150 1500 2250� � � kNm

514

POGLAVLJE 18.

Sl.18-50. Karakteristiène vrijednosti reznih sila u presjecima 1,2,3,4



Raèunska vrijednost popreène sile u presjeku “1”:

V VEd F kw

, ,1 1� �+

gdje je

+ F � parcijalni koeficijent sigurnosti za djelovanje vjetra na konstruciju

Vkw,1 � karakteristièna vrijednost popreène sile u presjeku “1” prema slici

18-50.

VEd , , , ,1 150 49 70 74 55� � � kN

Raèunska vrijednost uzdu�ne sile u presjeku “1”:

N NEd F G, ,1 1� �+

gdje je

+ F � parcijalni koeficijent sigurnosti za djelovanje vjetra na konstrukciju

NG ,1� karakteristièna vrijednost uzdu�ne sile u presjeku “1” prema slici 18-50.

N Ed , , , ,1 135 90 60 1812� � � kN

Proraèun minimalne debljine stjenke nosaèa

Usvaja se popreèni presjek klase 3. Rezne sile i otpornost popreènog presjekaraèunaju se prema teoriji elastiènosti. Otpornost popreènog presjeka postignuta jekada rub presjeka dosegne granicu popuštanja f y . Popreèni presjek ili neki njegovdio neæe se lokalno izboèiti prije dosezanja graniène nosivosti. Iz uvjeta za treæuklasu popreènog presjeka odreðuje se debljina stijenke:

D

t0 90 22 ,

gdje je

2 2 235 235

2750 85� � �

f y

,

tD

, ��

�90

960

90 0 8512 5422 ,

, mm

515




Iz posljednjih izraza je izvjesno da se postro�uje uvjet za klasu popreènogpresjeka kada se primjenjuju èelici s poveæanom granicom popuštanja f y , u komsluèaju se debljina stjenke za odreðenu klasu popreènog presjeka poveæava s po-rastom granice popuštanja èelika. To je sasvim logièno, jer èelici s poveæanomgranicom popuštanja nemaju izra�enu sposobnost deformiranja. Ta zavisnost izme-ðu granice popuštanja f y i debljine stjenke t je za promjer cijevi u dnu stupaD� 960 mm prikazana na slici 18-51.

Raèunska otpornost popreènog presjeka “1”

A � površina popreènog presjeka “1”

I �moment tromosti popreènog presjeka “1”

Wel � elastièni moment otpora popreènog presjeka “1”

AD D t

��

��

��

�

�

�

��

�

2

2

2

96 0

2

96 0 22 2 2

� � �, , ��

�

�

��

1 4

2416 07

2,,� cm2

ID D t

� ��

��

��

1

4 2

1

4

2

2

1

448 0 46

4 4

4� � � ( , ,6 465539 394 ) . ,� cm4

WIDel � � �

2

465539 39

489698 74

. ,. , cm3

Raèunska otpornost popreènog presjeka “1” na savijanje ima vrijednost:

M Wf

C Rd el

y

M, ,1

0

�+

gdje je

f y � granica popuštanja èelika

+ M 0� parcijalni koeficijent sigurnosti za otpornost popreènog presjeka klasa

1,2 i 3.

M C Rd, , . ,,

,. ,1 9698 74

27 50

102667 15� � � kNm

516

POGLAVLJE 18.



M MEd C Rd, , ,1 10

2.250 kNm � 2.667,15 kNm (zadovoljava)

Raèunska plastièna otpornost popreènog presjeka “1” na posmik iznosi:

V Af

pl Rd V

y

M

, ,1 30

��+

A AV � � � � �2 2 416 07 264 88� �, , cm2

V pl Rd, , ,,

,. ,1 264 88

27 50

3 104205 53�

�� kN

V VEd pl Rd, , ,1 10

74,55 kN � 4.205,53 kN (zadovoljava)

517


Sl. 18-51. Dijagram zavisnosti debljine stjenke od vrste èelika



Raèunska plastièna otpornost popreènog presjeka “1” na djelovanje uzdu�nesile iznosi:

N Af

pl Rd

y

M, ,1

0

� �+

N pl Rd, , ,,

,. ,1 416 07

27 50

101144193� � � kN

N NEd pl Rd, , ,1 10

181,20 kN � 11.441,93 kN (zadovoljava)

Interakcija V-M:

Buduæi je V VEd Rd� 0 5, , ne reduciraju se otpornosti definirane za savijanje iuzdu�nu silu, kao što je dano u dijelu 6.2.9. EN 1993-1-1.

Interakcija N-M:

O x Ed

Ed

el

EdM

W

N

A,

. ,

. ,

,

,� � �

��

2250 0 10

9698 74

1812

416 07

2

23 63, kN/cm2

f y

M+ 0

27 50

10027 50� �

,

,, kN/cm2

O+x

y

M

f0

0

23,63 kN/cm2 � 27,5 kN/cm2 (zadovoljava)

518

POGLAVLJE 18.



• Dimenzioniranje stupa za granièno stanje uporabljivosti

Raèunske vrijednosti horizontalnih pomaka na vrhu stupa

Horizontalni pomaci èeliènog stupa provjereni su programskim paketomSTAAD.Pro za karakteristiène vrijednosti reznih sila na mjestima spajanja segmenatakonstrukcije. Proraèun je uraðen za klasu 3 popreènog presjeka prema teoriji II. reda, au obzir je uzet promjenljivi moment tromosti stupa. Debljina stjenke pretpostavljena jekonstantna. Na slici 18-52. su prikazane dobivene vrijednosti horizontalnih pomaka.

Dopuštene vrijednosti horizontalnog pomaka na vrhu stupa za konzolni nosaè:

�dop

L� �

��

2

300

2 34 000

300226 67, mm

� � �max � ,5 dop

1210,9 mm � 226,67 mm (presjek ne zadovoljava)

519


Sl. 18-52. Horizontalni pomaci stupa dobiveni programskim paketom STAAD.Proprema teoriji II. reda za karakteristiène vrijednosti reznih sila



Buduæi da su horizontalni pomaci èeliènog stupa veæi od dopuštenih pomaka,bilo bi neophodno promijeniti krutosti popreènog presjeka stupa. Na slici 18-53. jepokazano kako na vrijednost progiba vrha stupa za pojedinu klasu presjeka utjeèepoveæanje razreda èvrstoæe èelika i promjena debljine stjenke.

Iz prikazanih dijagrama je oèigledno da se samo poveæanjem debljine stjenke nemo�e zadovoljiti uvjet graniènog stanja uporabivosti ovoga stupa ( , )� dop�226 67 mmniti u sluèaju ako bi se presjek stupa svrstao u klasu 1 ili klasu 2, slika 18-53.

Komentari:

1.)Ako je odnos

D

t� 90 22 , popreèni presjek je klase 4. Buduæi da se za kla-

su 4 u sluèaju kru�nog popreènog presjeka ne mo�e odrediti reduciranapovršina popreènog presjeka Aeff , projektant se u tom sluèaju upuæuje naeuropsku normu EN 1993-1-6: Èvrstoæa i stabilnost ljuskastih konstruk-

520

POGLAVLJE 18.

Sl. 18-53. Dijagram zavisnosti debljine stjenke i horizontalnog pomaka vrha stupa



cija [100], te se stup tretira u proraèunu kao cilindrièna ljuska. Ovakav na-èin uštede materijala se znaèi dopušta samo ako je za konstrukciju zado-voljen uvjet graniènog stanja uporabivosti. Obièno je u praksi, što je poka-zano i ovim numerièkim primjerom, ovaj uvjet graniènog stanja uporabi-vosti mjerodavan za dimenzioniranje.

2.) Pretpostavljeno je da æe se ovaj stup izvesti na II. podruèju optereæenjavjetrom. To znaèi da bi za druga podruèja Hrvatske, u kojima su manjebrzine vjetra, mogli biti zadovoljeni i uvjet krajnjeg graniènog stanja nosi-vosti i uvjet graniènog stanja uporabivosti za cijev kru�nog popreènogpresjeka .� 960 mm prvog segmenta stupa.

3.) Buduæi da se stup iz ovog primjera sastoji iz èetiri segmenta, radi ušte-de materijala preporuèa se konstantna debljina stjenke u pojedinom seg-mentu, s time što se ta debljina smanjuje od najni�eg do najvišeg seg-menta.

4.) U velikom broju sluèajeva se zadovoljenje uvjeta graniènog stanja upo-rabivosti za iznimno visoke stupove ne mo�e postiæi poveæanjem deblji-ne stjenke ili poveæanjem promjera u dnu stupa. U takvim sluèajevima tre-ba primijeniti druga konstrukcijska rješenja. Jedno takvo rješenje je pri-kazano na slikama 18-54. i 18-55., kada je otpornost najni�eg segmen-ta stupa drastièno poveæana uvoðenjem triju kosnika, te je na taj naèinznatno smanjen pomak vrha stupa. Ovim rješenjem nije poveæana vrijed-nost utrošenog materijala, jer je najni�i segment stupa zglobno vezan zatemelj.

5.) Granièna vrijednost deformacije (granièno stanje uporabljivosti) u pro-pisima nije precizno definirana. Nije dovoljno primijeniti samo uvjet zagranièni pomak vrha konzolnog nosaèa, ne vodeæi raèuna o tome što tajnosaè nosi. Nije isto da li je na takvom nosaèu samo antena, ili samorasvjetna tijela, ili pak oboje. Navedena oprema mo�e biti instaliranana više nivoa. Dozvoljene deformacije vrha stupa zavise i od vrsta instala-cija (elektriènih i drugih) koje se na njemu nalaze. Iz svega reèenog pro-

izlazi tvrdnja da je primijenjeni uvjet �dop

L�

2

300prestrog, te da se vrijed-

nost dopuštenog progiba vrha stupa treba odrediti imajuæi u vidu sve na-prijed navedeno kao i uvjet zamora materijala na mjestu upetosti stupa utemelj.

521




522

POGLAVLJE 18.

Sl. 18-54. Èelièni stup visine oko 48 m na stadionu “Kantrida” u Rijeci, pridr�an s trima kosnici-ma. Stup nosi antene, komplete reflektora na dva nivoa i platformu na prvoj treæini visine

(projektant Petar Jušnjevski, Rijekaprojekt, 1976.)



523


Sl. 18-55. Dio èeliènog stupa na stadionu “Kantrida” u Rijeci s trima kosnicima i platformom:glavna cijev izmeðu platforme i temelja je promjenljivog momenta tromosti

(zglobna veza cijevi s temeljom)



I na kraju je uraðena analiza za nekoliko stupova koji se meðusobno razliku-ju samo prema visini stupa, popreèni presjek im je odreðen prema uvjetu za treæuklasu, a naèin proraèuna optereæenja je isti za sve stupove. U tablici 18-5. su danevrijednosti maksimalnog raèunskog i dopuštenog pomaka svakog stupa. Na slici18-56. su prikazani raèunski i dopušteni horizontalni pomaci stupa u zavisnosti odnjegove visine.

Mo�e se zakljuèiti da za stup danog presjeka i djelovanja njegova visina nesmije premašiti vrijednost L � 19 m, u kom sluèaju æe stup zadovoljiti i uvjet gra-niènog stanja nosivosti i uvjet graniènog stanja uporabljivosti. Znaèi, ukoliko je zanavedena djelovanja potrebno izvesti stup veæe visine neophodno je promijenitinjegov statièki sustav.

524

POGLAVLJE 18.

Tablica 18-5. Vrijednosti raèunskih i dopuštenih horizontalnih pomaka vrha stupaza razne visine L stupa

L [m] �raè [cm] �dop [cm]

16 6,09 10,6

20 14,00 13,0

24 27,85 16,0

28 53,27 18,6

34 121,09 22,6



525


Sl. 18-56. Dijagram zavisnosti horizontalnih pomaka i visine stupa



PRILOZI



PRILOG 1.: Fenomenologija potresa (neki pojmovi)

P.1.1. Uvod

Ovdje æe biti izlo�eni samo osnovni pojmovi iz seizmologije i to s aspekta po-treba graðevinara, kako bi se lakše razumjele odredbe konstrukcijskih euronormi.

Ne treba posebno isticati da se potresna djelovanja smatraju najkompleksniji-ma od svih djelovanja kojima su graðevine izlo�ene. Da bi se pri projektiranju gra-ðevine u seizmièkim podruèjima ta djelovanja poznavala, projektant bi trebao una-prijed znati karakteristike gibanja tla na lokaciji graðevine za vrijeme potresa kojiæe se dogoditi u buduænosti, tj. u razdoblju korištenja graðevine. Naravno da takvipodaci nisu poznati, pa je potrebno na osnovi onoga što se dogaðalo u prošlostiprocijeniti što æe se dogoditi u buduænost, tj. u vremenskom razdoblju u kojemu æese graðevina koristiti (na primjer 50 ili 100 godina). Osnovu za takvu procjenuuglavnom predstavljaju seizmološki i geološki podatci. Oni obuhvaæaju povijest ja-èih potresa koji su se dogodili u posljednjih stotinu ili tisuæu godina (termin po-vratni period potresa oznaèava vremensko razdoblje izmeðu dva jaka potresa).Meðutim, tek su od sredine 20. stoljeæa u uporabi posebni instrumenti (akcelero-grafi) za registriranje ubrzanja u tlu ili na samoj graðevini, nastalih od potresa. Zanas graðevinare relevantni podaci o potresima prikupljeni su samo u tom relativnokratkom vremenskom razdoblju.

Stotinu ili nekoliko stotina godina, pa èak i nekoliko tisuæa godina, u geološ-kom je smislu relativno kratko vremensko razdoblje za statistièke studije jakih po-tresa. Zbog toga se seizmièke informacije dopunjuju geološkim podacima kojiobuhvaæaju studije dugotrajnih tektonskih procesa koji su se dogaðali tisuæama ilistotinama tisuæa godina. Na primjer, geolozi daju podatke o mjestima aktivnih ra-sjeda u Zemljinoj kori koji bi u buduænosti mogli prouzroèiti potrese.

Karakteristike “trešnje tla” (ovaj su termin koristili u Dubrovniku nakon kata-strofalnog potresa koji je 1667. godine pogodio taj grad) na odreðenoj lokaciji bit-no ovise i od lokalnih karakteristika tla. Njih treba utvrditi geomehanièkim ispiti-vanjima (vrsta tla na kojemu se temelji graðevina, nosivost tla itd.).

529




Na temelju podataka dobivenih od seizmologa, geologa i geomehanièara te uzuva�avanje karakteristika graðevinske konstrukcije (je li ona statièki odreðena ilistatièki neodreðena, od kakvog je materijala itd.) i va�nosti buduæe graðevine (radili se o graðevini èije funkcioniranje mora biti osigurano baš u uvjetima neposrednonakon potresa, kao što su bolnice i sl.) projektant graðevine odreðuje projektnoseizmièko optereæenje u vidu projektnog spektra ili projektnog akcelero-grama.

U sluèaju obiènih graðevina zgradarstva posao projektanta bitno je olakšan,jer su geološki i seizmološki podaci za podruèje cijele Hrvatske obuhvaæeni pro-jektnim optereæenjima zadanim prema Eurokodu 8-1 (EN 1998-1:2004) [90]. Zasanaciju i ojaèanje graðevina ošteæenih u potresu primjenjuje se Eurokod 8-3(EN 1998-3:2005) [92], a za projektiranje mostova u potresnim podruèjimaEurokod 8-2 (EN 1998-2:2005) [91]. Osim spomenutih postoje još sljedeæe kon-strukcijske euronorme za graðevine u seizmièkim podruèjima:

• Eurokod 8-4 (spremnici, silosi i cjevovodi);• Eurokod 8-5 (temeljenje, potporne konstrukcije i geomehanika);• Eurokod 8-6 (tornjevi, visoki nosaèi antena, dimnjaci).Sve su navedene konstrukcijske euronorme propisane i kao hrvatske norme, a

za svaku od njih je usvojen poseban Nacionalni dodatak (National Annex), u kojemsu obuhvaæeni relevantni podaci koji su specifièni za svaku dr�avu u kojoj se pri-mjenjuju konstrukcijske euronorme.

U ovoj su knjizi obraðene konstrukcijske euronorme Eurokod 8-1 i Eurokod8-2, a njihova je zakonska primjena kod nas propisana u Tehnièkom propisu zabetonske konstrukcije [96] i Tehnièkom propisu za zidane konstrukcije [97]. Uknjizi su obraðeni i amerièki propisi Uniform Building Code UBC [93] jer je pred-viðena njihova primjena pri projektiranju graðevinskih konstrukcija širom svijeta,pa tako i u Republici Hrvatskoj.

U nastavku æe se objasniti neki osnovni pojmovi koje valja poznavati da bi serazumjeli zahtjevi i primjena spomenutih konstrukcijskih euronormi.

530

PRILOZI



P.1.2. Uopæe o potresima

Uzroci potresa

Potresi predstavljaju gibanja tla što se javljaju zbog iznenadnih pomaka uZemljinoj kori ili u gornjem dijelu Zemljinog omotaèa. Za graðevinare su najva�ni-ji potresi tektonskog podrijetla, u koje spadaju i potresi koji su posljedica punjenjaumjetnih jezera. Druge vrste potresa javljaju se uslijed djelovanja vulkana ili kaoposljedica iznenadnog loma i padanja materijala u kraškim jamama te kao posljedi-ca jakih eksplozija.

Od raznih teorija koje objašnjavaju uzroke tektonskih potresa, danas se naj-više spominje teorija tektonskih ploèa. Po ovoj teoriji tvrda Zemljina litosfera,koju èine Zemljina kora i gornji dio vanjskog omotaèa (ukupne debljine 50 do150 km), razlomljena je na ploèe, koje se pomièu kao kruta tijela po relativno me-koj podlozi, astenosferi, slika P1-1. i slika P1-2. Na mjestima koja zovemo ocean-ski grebeni ploèe se odmièu jedna od druge te na tim mjestima iz astenosfere pro-laze u�arene magmatske mase iz dubine prema površini, izlijevaju se na morsko tloi hlade. Takvim se procesom razmièe Ju�noamerièka (6) i Afrièka ploèa (12), kao i

531


Sl. P1-1. Podjela litosfere na ploèe: 1� Pacifièka ploèa, 2 � Sjevernoamerièka ploèa, 3 � Cocos,4�Karipska ploèa, 5 � Ploèa Nazca, 6 � Ju�noamerièka ploèa, 7 � Jadranska, 8 � Egejska, 9 � Tur-ska, 10� Iranska, 11 �Arapska, 12 �Afrièka, 13 �Antarktièka, 14 � Euroazijska, 15 �Kineska,

16� Filipinska, 17 � Indoaustralska, 18 � Bismarkova, 19 � Salomonska, 20 � Fiði ploèa.



Sjevernoamerièka (2) i Euroazijska ploèa (14), slika P1-1. U prosjeku se ploèe raz-mièu oko 7 cm godišnje.

Zbog razmicanja na oceanskim grebenima, ploèe se na drugim mjestimasudaraju. Pri tome mo�e doæi do podvlaèenja jedne ploèe ispod druge, slika P1-2.Na tim se mjestima Zemljina litosfera vraæa u astenosferu i nastaju oceanske jaru-ge. Na primjer, slika P1-1., ploèa Cocos (3) podvlaèi se ispod Sjevernoamerièkeploèe (2), što se smatra glavnim uzrokom jakih potresa u Meksiku.

Na nekim podruèjima na mjestima sudaranja ploèa dolazi do posmika izmeðuploèa. Najpoznatiji je takav primjer rasjed San Andreas u Californiji, koji seuzdu� zapadne obale sjevernoamerièkog kontinenta prote�e na duljini od oko1000 km i uzroènik je poznatih jakih potresa u gusto naseljenim megalopolisima(Los Angeles, San Francisco). Na rasjedu San Andreas relativan pomak Pacifièke(1) i Sjevernoamerièke ploèe (2) ima vrijednost od 5 do 8 cm godišnje, a ova mje-renja su permanentna.

Uzrok potresa u našem podruèju, koje se smatra podruèjem stalne seizmièkeaktivnosti, pritisak je Afrièke ploèe (12), tj. njenog izboèenog dijela, Jadranskemikro ploèe (7), na ju�nu konturu Euroazijske ploèe (14).

Zbog relativnih pomicanja ploèa, u blizini granica izmeðu ploèa gomilaju segoleme kolièine potencijalne energije. U sluèaju kada je iscrpljena posmièna nosi-vost materijala na granici izmeðu tektonskih ploèa (rasjed) dolazi do naglih poma-ka, što se smatra uzrokom potresa. Najveæi broj potresa javlja se upravo u blizinigranica izmeðu pojedinih ploèa.

Treba još reæi da se ne mogu svi dogoðeni potresi objasniti teorijom tekton-skih ploèa.

532

PRILOZI

Sl. P1-2. Tipovi granica ploèa: razmicanje � oceanski grebeni; sabijanje, podvlaèenje(subduction) � oceanske jaruge, posmik



Znaèajni potresi javljaju se i u unutrašnjosti pojedinih ploèa, a ne u blizinirasjeda. Prema nekim autorima ti se potresi javljaju zbog naprezanja u unutrašnjo-sti ploèa, koja nastaju kao posljedica pritisaka na granicama ploèa. Takvo je pod-rijetlo potresa koji su pogodili Kinu jer je podruèje Kine pritisnuto s istoka Paci-fièkom ploèom (1), a s juga Indoaustralskom ploèom (17), slika P1-1.

Rasjedi

Kao što je veæ spomenuto, rasjedi se formiraju na mjestima na kojima dolazido relativnih pomicanja stijenskih masa. Ti pomaci mogu biti u obliku postupnogdugotrajnog klizanja, što ne uzrokuje potrese, ili u obliku iznenadnog pomakazbog kojeg dolazi do vibracija stijenskih masa (potres). Rasjedi koji su vidljivi napovršini Zemlje u nekim se sluèajevima šire do znaèajnih dubina u Zemljinoj kori,ali veæi broj rasjeda uopæe nije vidljiv.

Potresi se mogu dogoditi samo na aktivnim rasjedima.

Na veæem broju rasjeda koji su ucrtani u geološkim kartama posljednja giba-nja dogodila su se prije nekoliko desetina tisuæa godina. Takvi su rasjedi neaktivnii vjerojatno nikada više i neæe biti aktivirani te se takvima i smatraju za potrebe iz-gradnje veæine graðevina. Meðutim, za izgradnju nuklearnih elektrana vrijede dru-gaèiji kriteriji i u takvom se sluèaju rasjed smatra aktivnim ako je do�ivio jedan po-mak u posljednjih 35000 godina ili više od jednog pomaka u posljednjih 500 000godina. Postoji posebno udru�enje u svijetu, IAAE (International Association ofAtomic Energy), koje se izmeðu ostaloga bavi i propisivanjem uvjeta za projekti-ranje nuklearnih elektrana, što obuhvaæa i seizmièke parametre. Puno se raspravlja-lo i oko pitanja je li nuklearna elektrana Krško u Sloveniji izgraðena na aktivnomrasjedu.

Pomaci stijenskih masa na rasjedu mogu biti u vertikalnom smjeru, horizon-talnom ili kombinaciji ova dva smjera.

Opis aktivnog rasjeda prema Reidovoj teoriji elastiène povratne veze

Reidova je teorija nastala na studiji rezultata geodetskih promatranja prije iposlije poznatog potresa što je pogodio San Francisco 1906. godine (potres jepoznat i po tome što su posljedice po�ara kojega je prouzroèio bile veæe od poslje-dica urušavanja graðevina u potresu), a mo�e se najlakše opisati pomoæu slikeP1-3.

533




Na slici P1-3(a). u tlocrtu su nacrtani rasjed i jedna ravna crta A-B koja pred-stavlja, na primjer, cestu okomitu na rasjed. Kao rezultat djelovanja tektonskih silajavljaju se pomicanja tla u razlièitim pravcima na obje strane rasjeda te se prvobit-na linija A-B deformira, što je na slici P1-3(b). predstavljeno linijom A1-B1. Na sli-ci P1-3(b). nacrtana je i nova linija C1-D1 koja predstavlja, na primjer, naknadnoizgraðenu ravnu cestu. Pri daljnjem poveæanju deformacija poveæavaju se posmiè-na naprezanja u podruèju rasjeda. U odreðenom trenutku postaju na nekim mjesti-ma ta posmièna naprezanja veæa od posmiène nosivosti materijala, kada dolazi dosloma materijala uz fenomen podrhtavanja tla. Slom se brzo širi po duljini rasjedabrzinom koja je pribli�no jednaka brzini posmiènih valova o kojima æe se govoritinešto kasnije.

Dio potencijalne energije nakupljene u materijalu u blizini rasjeda pretvara seu kinetièku energiju, koja se u obliku seizmièkih valova širi od rasjeda u okolinu.Situacija poslije sloma prikazana je na slici P1-3(c)., na kojoj se uoèava da linijaA-B koja je bila ravna prije poèetka deformiranja postaje opet ravna (AR-BR), ali sdiskontinuitetom na mjestu rasjeda. Linija C1-D1 koja je bila ravna neposredno pri-je sloma postaje krivulja CR-DR, s diskontinuitetom na mjestu rasjeda. Ovi diskonti-nuiteti poslije potresa mogu imati vrijednosti i preko 6 metara.

Mjesto gdje poèinje slom materijala i odakle poèinje prostiranje seizmièkihvalova zove se �arište, fokus ili hipocentar potresa (F), a vertikalna projekcijahipocentra na površinu Zemlje zove se epicentar potresa (E). Vertikalni razmakizmeðu hipocentra i epicentra naziva se dubina hipocentra (focal depth). Zavisno

534

PRILOZI

Sl. P1-3. Teorija elastiène povratne veze: (a) prije pomicanja tla ; (b) poslije pomicanja tlauz rasjed (prije potresa) ; (c) poslije potresa



od dubine hipocentra potresi se dijele na plitke i duboke. Najveæi broj potresa do-godi se u podruèju Zemljine kore, znaèi na dubinama do 70 km. Ovakvi se potresikategoriziraju kao plitki. Duboki potresi javljaju se na mjestima podvlaèenja jedneploèe ispod druge i dosti�u dubinu hipocentra do 700 km. Duboki potresi nisu za-nimljivi s in�enjerskog gledišta , jer ne uzrokuju štete na graðevinama. Od do sadadogoðenih razornih potresa koji su rušili graðevine, najdublje �arište, od oko 90 km,imao je potres u Rumunjskoj iz 1977. godine.

Horizontalan razmak neke graðevine na Zemljinoj površini od epicentra (E)naziva se epicentralni razmak (epicentral distance), a razmak izmeðu te graðevi-ne i �arišta (F) hipocentralni razmak ili udaljenost �arišta (focal distance).

Na slici P1-4. ovi su pojmovi predstavljeni na naèin kako se oni prikazuju uanglosaksonskoj literaturi. To je uèinjeno da bi se ovladalo ovim terminima i naengleskom jeziku.

Ovdje valja spomenuti jednog od najznamenitijih hrvatskih znanstvenika,Andriju Mohorovièiæa (1857. � 1936.), koji je izmeðu ostaloga na temelju detalj-noga prouèavanja podataka za više potresa znaèajno pridonio postupku odreðivanjaepicentra potresa te se “krivulje hiperbole”, koje se koriste u tom postupku naziva-

535


Sl. P1-4. �arište, fokus ili hipocentar (F) i epicentar (E) potresa s prikazom refrakcije i refleksijeseizmièkih valova u nehomogenom mediju Zemljine kore



ju Mohorovièiæeve epicentrale. Najveæi doprinos znanosti Mohorovièiæ je ostva-rio otkriæem diskontinuiteta u Zemljinoj kori. Temeljitim prouèavanjem Pokup-skoga potresa od 8. listopada 1909. godine, èiji je epicentar bio 39 km jugoistoènood Zagreba, Mohorovièiæ je utvrdio da se na odreðenoj dubini Zemlje skokovitomijenja brzina širenja potresnoga vala i pripisao to promjenama u sastavu Zemljinekore. Utvrdio je da je na mjestu mjerenja u Pokupskom ta promjena u sastavu Zem-ljine kore na dubini od 54 km. Prema Mohorovièiæu, u gornjem dijelu Zemljine ko-re brzina potresnoga vala neprekidno raste s dubinom u skladu s tzv. zakonom po-tencije, koji je ušao u znanost kao Mohorovièiæev zakon. Mnogobrojna kasnijaistra�ivanja potvrdila su opstojnost graniène plohe (plohe diskontinuiteta brzine)gornjega dijela Zemlje i u drugim podruèjima našeg planeta, pa je ploha u njegovuèast nazvana ploha Mohorovièiæeva diskontinuiteta ili kraæe Moho. Pokazalo seda debljina Zemljine kore, odnosno dubina plohe Mohorovièiæeva diskontinuiteta,nije svuda jednaka. Ispod planinskih lanaca dose�e vrijednost i do 70 km, a ispoddubokih oceana nalazi se na dubini od samo 5 km. U prosjeku se Mohorovièiæevdiskontinuitet nalazi 33 km ispod površine Zemlje.

Seizmièki valovi

Kinetièka energija koja se oslobodi slomom materijala u �arištu širi se iz�arišta u okolinu u vidu elastiènih valova jer se medij kroz koji se kinetièka energi-ja širi smatra (idealizirano) elastiènim homogenim i izotropnim materijalom. Ti suvalovi, kako je veæ reèeno, nazvani seizmièkim valovima. Po unutrašnjosti Zemljeprostiru se prostorni, a po njenoj površini površinski seizmièki valovi.

Prema mehanici elastiènih tijela iz toèke poremeæaja (u ovom sluèaju hipo-centra) šire se dvije vrste prostornih valova. Jedni su rezultat uzdu�nih napreza-nja u materijalu (znaèi dilatacija materijala u pravcu prostiranja vala), pri èemu sejavlja “zgušæivanje” i “razrjeðivanje” èestica. Ovakvi se valovi nazivaju primarni,longitudinalni ili uzdu�ni valovi (P), a kod njih èestice materijala osciliraju okoravnote�nog polo�aja u pravcu širenja samih valova.

Brzina prostiranja ovih uzdu�nih (P) valova dana je sljedeæim izrazom:

vE v

v vp ��

� �;

1

1 1 2( )( )(P1.1)

Druga vrsta valova posljedica je posmiènih naprezanja u materijalu, a kodnjih èestice osciliraju okomito na pravac prostiranja valova. Ovakvi se valovi na-

536

PRILOZI



zivaju sekundarni, popreèni ili posmièni valovi (S), a njihova brzina ima vrijed-nost:

vG

s � ;(P2.2)

Buduæi da su sekundarni (S) valovi posljedica posmiènih naprezanja, sekun-darni se valovi, znaèi, prenose samo kroz èestice (a ne i kroz tekuæinu).

U navedenim izrazima za brzine primarnih i sekundarnih seizmièkih valova Eje modul elastiènosti, G modul posmika, ; gustoæa i v Poissonov koeficijent mate-rijala kroz koji se valovi prostiru.

Za bilo koji materijal brzina prostiranja (P) valova je uvijek veæa od brzine(S) valova, pa se zato (P) valovi i nazivaju primarni, a (S) sekundarni. Pribli�no jebrzina (S) valova nešto veæa od polovine brzine (P) valova. Znaèi da zbog razlièi-tih brzina prostiranja valova na pojedina mjesta pristi�u najprije (P) valovi, a izanjih (S) valovi. Iz vremenskog intervala izmeðu dolaska (P) i (S) valova mo�ese izraèunati udaljenost neke lokacije od epicentra. Kombinacijom više mjere-nja (na razlièitim lokacijama) brzina prostiranja (P) i (S) valova istog potresa mo�ese ustanoviti polo�aj epicentra tog potresa, a to se i radi u praksi.

Na površini elastiènog tijela dominantnu ulogu mogu imati razni površinskivalovi (surface waves), koji malo prodiru u unutrašnjost tijela, pa se pribli�no mo-gu smatrati dvodimenzionim. Oni se dijele na (R � Rayleigh) i (L � Love) valove.Kod (L) valova èestice na površini osciliraju u horizontalnoj ravnini okomito napravac prostiranja valova, dok se kod (R) valova dogaðaju eliptiène oscilacije uravnini okomitoj na površinu Zemlje.

(R) valovi su nešto sporiji od (S) valova, a najsporiji su (L) valovi.

Najveæi utjecaj na graðevine imaju sekundarni (S) valovi. Brzina (S) va-lova v s je, u stvari, i najva�nija seizmièka karakteristika tla. Što je ta brzinav s veæa, to je u seizmièkom pogledu takvo tlo pogodnije za graðevinsku aktiv-nost. Zbog toga su u EN 1998-1 zadani spektri (znaèi seizmièko optereæenje nagraðevinu) u direktnoj funkciji kvalitete tla na kojemu se vrši temeljenje graðevine,tj. u direktnoj funkciji brzine prostiranja sekundarnih (S) valova v s na lokaciji nakojoj æe se graditi.

U EN 1998-1 utjecaj vrste temeljnog tla na vrijednosti seizmièkog optereæenjauzima se u obzir na naèin da je temeljno tlo podijeljeno u sedam razreda tla (A, B,C …) koji su opisani na sljedeæi naèin:

537




� Tlo razreda A predstavlja stijena ili druga geološka formacija u kojoj brzinaposmiènih valova u mediju dubokom 30 metara v s , 30 ima vrijednost najman-je 800 m/s, uzimajuæi u obzir najviše 5 metara slabijeg materijala na površi-ni;

� Tlo razreda B èine depoziti zbijenog pijeska, šljunka ili prekonsolidiranegline, debljine najmanje nekoliko desetina metara, kod kojih se mehanièkekarakteristike postupno poboljšavaju s poveæavanjem debljine, pri èemuv s , 30 ima vrijednosti izmeðu 360 i 800 m/s.

Detaljan opis svih sedam razreda tla dan je u poglavlju 14.2. ove knjige.

Niti jedan od navedenih valova ne sti�e u vidu kombinacije pravilnih harmo-nijskih oscilacija do mjesta na kojemu se registriraju na instrumentima (ovi se in-strumenti nazivaju akcelerometri ili akcelerografi jer se njima bilje�e ubrzanja).Razlog tome je nehomogenost materijala kroz koje valovi prolaze (seizmièki su va-lovi pretpostavljeni kao elastièni valovi koji se prostiru kroz idealizirani homogeniizotropni materijal), mnogobrojne refleksije i refrakcije valova, slika P1-4., tako dado mjesta na kojima se valovi registriraju sti�u nepravilne vibracije, znaèi, bez sta-bilne periode i amplitude. Jedan takav zapis ubrzanja prikazan je akcelerogramom

538

PRILOZI

Sl. P1-5. Akcelerogram (seizmogram) potresa koji je pogodio podruèje ju�nog Jadrana15. 04. 1979., lokacija Petrovac



(seizmogramom) na slici P1-5. za potres koji je 15. travnja 1979. godine pogodioju�ni Jadran. Registriraju se u poèetku samo ubrzanja od primarnih valova (P), anakon njih i ubrzanja posmiènih valova (S) te se iz vremenske razlike registri-ranja P i S valova nalazi polo�aj epicentra potresa.

Na odreðenim mjestima u tlu i na konstrukcijama raznih statièkih sustavainstaliraju se spomenuti akcelerografi. Oni su podešeni da se automatski ukljuèe napoèetku djelovanja potresa. Buduæi da se takav proces podesi samo za registriranjeubrzanja jaèih potresa, instrumenti kojima se vrši takva registracija zovu se StrongMotion Akcelerografi (SM). Najpoznatiji je proizvoðaè ovakvih instrumenatatvornica Kinemetrix iz SAD. Prikaz jedne takve SM registracije dan je na sliciP1-5.

P.1.3. Jaèina potresa (magnituda)

Jaèina potresa ovisi o kolièini energije koja se oslobodi u potresu. Kvantita-tivna mjera za jaèinu potresa je magnituda M koju je definirao Richter 1935. godi-ne, a koja indirektno i pribli�no daje vrijednost energije potresa.

Richterov se pristup zasniva na pretpostavci da je jaèina potresa proporcio-nalna maksimalnoj amplitudi vibracija tla te da se amplituda smanjuje s udalje-nošæu od epicentra.

Prema Richteru magnituda je jednaka logaritmu s osnovicom 10maksimalnih amplituda seizmièkih valova (u mikronima) koje su mjerene nastandardnom seizmografu tipa Wood-Anderson na udaljenosti 100 km od epi-centra potresa. Buduæi da su seizmografi instalirani na udaljenostima razlièitim od100 km od epicentra, a nisu svi standardnog propisanog tipa Wood-Anderson, po-trebno je kod izraèunavanja magnitude potresa uzeti u obzir stvarnu udaljenost se-izmografa od epicentra te registrirane amplitude “prevesti” na Richterovu magnitu-du. Zbog pribli�nosti tih proraèuna i razlièitog širenja seizmièkih valova u razlièi-tim smjerovima, magnituda istog potresa, koju daju razlièite seizmološke postaje,redovito je razlièita. Znaèi, iako je magnituda onako kako ju je definirao Richtermjerena instrumentom, ona ipak predstavlja pribli�nu mjeru za jaèinu potresa.

Magnituda se èesto, naroèito u sredstvima javnog informiranja, zove stupanjRichterove ljestvice, što je pogrešno. Ne postoji nikakva ljestvica za magnitudu,pa tako ne postoji ni Richterova ljestvica, jer magnituda predstavlja kvantitativnumjeru osloboðene energije u potresu.

539




Najveæa do sada dobivena magnituda iznosi M � 9 5, u potresu koji je pogo-dio Èile (Valvidia – Santiago) 1960. godine.

Potres u Tangshanu (Kina) iz 1976. godine, koji je prouzroèio najveæi brojljudskih �rtava otkako se mjeri jaèina potresa (oko 250.000 mrtvih), imao jemagnitudu M � 7 8, . Magnituda katastrofalnog potresa koji je pogodio ju�ni Jadran1979. godine bila je oko 7,2. Skopski potres 1963. godine, nakon kojeg su na ovimprostorima doneseni prvi propisi za proraèun graðevinskih konstrukcija na djelo-vanje sila potresa, imao je magnitudu oko 6.

Ovdje treba konstatirati da potresi uzrokuju ljudske �rtve tj. da ljude ne ubi-jaju potresi, veæ slabo projektirane i izvedene graðevine. Zbog toga je velikaodgovornost graðevinara.

Veæi dio energije koja se oslobodi u potresu potroši se na pomake stijen-skih masiva i njihovo rušenje u blizini rasjeda, te na zagrijavanje tih materi-jala. Sreæom, samo se manji dio energije u formi seizmièkih valova širi na svestrane na opisane naèine. Ta energija uzrokuje gibanja tla i štete na graðevinama,te se zove energija seizmièkih valova E. Postoje razlièite empirijske formule ko-jima je izra�ena ovisnost izmeðu energije seizmièkih valova i magnitude M po-tresa, od kojih je u praksi najèešæe u uporabi sljedeæa formula Gutemberga iRichtera:

log , ,E M� �4 8 15 (P1.3)

gdje je energija seizmièkih valova (ili kraæe: seizmièka energija) izra�ena ujoulima. Iz posljednjeg izraza oèigledno je da grubo dobivena vrijednost magnitudeM, pa i greška koja se pri tome èini, ima veliki utjecaj na vrijednost seizmièkeenergije. Ova tvrdnja æe se ilustrirati sljedeæim primjerom: poveæanje magnitude zajedan stupanj odgovara poveæanju seizmièke energije za vrijednost 10 31621 5, ,� J,dok poveæanje magnitude za dva stupnja poveæava energiju za èak 10 10003 J J� .

Seizmièka energija potresa magnitude 5,5 iznosi pribli�no 1013 55, J, dok za po-tres magnitude 8,5 seizmièka energija ima vrijednost èak 1017 55, J.

U prosjeku godišnja potrošnja seizmièke energije za sve potrese koji se usvijetu dogode iznosi izmeðu 1018 J i 1019 J.

Karakteristike seizmièkih valova mijenjaju se na veæim udaljenostima od epi-centra, gdje dolazi do jasnog odvajanja (P), (S) i površinskih valova (R) i (L). Seiz-molozi su nakon Richtera uveli nove mjere za magnitudu koje su zasnovane naamplitudi (P) valova (takva magnituda prostornih primarnih valova ima oznakumb ) i na amplitudi površinskih valova (takva je površinska magnituda oznaèena

540

PRILOZI



M s ). Za razliku od ovih novih magnituda originalna Richterova magnituda nazva-na je lokalna magnituda i dobila oznaku M L . Zbog èega su uvedene ove novemagnitude? Zato što se ustanovilo da je površinska magnituda M s pogodna da bise “izmjerili” jaki plitki potresi na udaljenosti preko 1000 km od epicentra, jer sedugotrajnim promatranjima došlo do zakljuèka da kod seizmograma takvih potresaprevladavaju površinski valovi.

U posljednje vrijeme je sve više u uporabi momentna magnituda s oznakomMW. Ona je definirana 1970. godine da bi se njome osuvremenila Richterova defi-nicija magnitude iz 1935. godine. Magnitudom MW se dovodi u vezu jakost potresai osloboðena energija, pri èemu se uzima u obzir klizanje u rasjedu kao i vrijednostpovršine po kojoj se dogaða klizanje (napr. MW = 8.8 potresa koji je 27.03.2010.pogodio Èile).

Za razumijevanje odredbi danih u EN 1998-1:2004 [90] treba poznavati po-jam površinske magnitude M s jer se u toj normi uvode elastièni spektri Tipa 1 iTipa 2, èija primjena zavisi od vrijednosti površinske magnitude M s na odreðenojlokaciji na kojoj æe se graditi neka graðevina. Naime, tip spektra temeljni je pojamza izraèun razine seizmièkih sila za koje se raèuna otpornost graðevine premaEuropskim normama. Razdvajanje na spektar Tipa 1 i Tipa 2 izvršeno je prema vri-jednosti površinske magnitude M s te se za podruèja u kojima je površinska magni-tuda M s � 5 5, primjenjuju spektri Tipa 1, a kada je M s � 5 5, primijenjuju se spek-tri Tipa 2. Svaka dr�ava koja primjenjuje Eurokod 8 treba posebnim Nacionalnimdodatkom (National annex) propisati zemljovid s prikazom u kojim dijelovimadr�ave vrijede spektri Tipa 1, a u kojima spektri Tipa 2. Primjenom spektara Tipa 1dobiju se veæe vrijednosti seizmièkog optereæenja na graðevine u odnosu na pri-mjenu spektara Tipa 2.

Nacionalni dodatak treba sadr�ati i sve ostale parametre koji se tra�e u odre-ðenoj europskoj normi a kojima se uzimaju u obzir specifiènosti odreðene dr�ave ukojoj se norma primjenjuje. U svakoj europskoj normi na njenom su poèetku na-brojani svi èlanci koje valja dopuniti vrijednostima parametara NDP (NationallyDetermined Parameters) koji vrijede za odreðenu dr�avu.

Kada se spominje Nacionalni dodatak za primjenu EN 1998-1 treba spome-nuti da se u njemu, osim zemljovida s podruèjima vrijednosti površinskih magnitu-da preko i ispod granice 5,5, treba propisati i zemljovid kojim se definira lokalniseizmièki hazard, a to je prikaz lokalnih seizmièkih aktivnosti u prošlosti. Zaprimjenu EN 1998-1 hazard se opisuje preko jednog jedinog parametra agR , a to jeporedbeno maksimalno ubrzanje tla razreda A (the reference peak groundacceletarion on type A ground). Ove vrijednosti agR odnose se na odgovarajuæi

541




poredbeni povratni period (reference return period) seizmièkih djelovanja nakonstrukciju TNCR , tj. na vrijednost poredbene vjerojatnosti prekoraèenja PNCR u pe-riodu od 50 godina, za koje je ispunjen uvjet da se konstrukcija ne smije urušiti(No-Collapse Requirement).

Vrijeme trajanja graðevine ima oznaku TL , a povratni period seizmièkog dje-lovanja je T TR NCR� .

Vrijednost vjerojatnosti prekoraèenja generalno se oznaèava simbolom PR , teje za TL � 50 godina nivo seizmièkog djelovanja povezan s povratnim periodomseizmièkog djelovanja TR preko sljedeæeg izraza:

TT

PR

L

R

��ln ( )1

(P1.4)

U sluèaju kada se konstrukcija ne smije urušiti (uvjet NCR) za vrijednost po-redbene vjerojatnosti prekoraèenja PNCR od 10% se dobije:

T TT

PR NCR

L

NCR

� ��

��

�ln ( ) ln ( , )1

50

1 01475 godina

Seizmogrami dubokih potresa pokazali su da duboki potresi ne generirajuznaèajne površinske valove te je takve potrese pogodnije iskazati magnitudom mb .Navedene nove magnitude ne daju jednake numerièke vrijednosti za isti potres, veæse vrijednosti magnitude dobivene po razlièitim metodama podudaraju samo djelo-mièno. Tako na primjer površinska magnituda M s je podijeljena tako da se podu-dara s lokalnom magnitudom ML za vrijednosti izmeðu 6 i 6,5. Kod jaèih potresa jevrijednost M s uvijek veæa od vrijednosti ML.

Za odnos izmeðu magnituda M s i mb ustanovljena je sljedeæa empirijskaveza:

m Mb s� �2 5 0 63, , (P1.5)

iz koje se mo�e ustanoviti da se M s i mb podudaraju za magnitude èija je vrijed-nost oko 6 te da je za magnitude veæe od 6 vrijednost M s veæa od mb i obratno.

Obièno se magnituda za umjerene potrese (do vrijednosti magnitude 6,5)daje u javnost kao lokalna (Richterova) magnituda M M L� , dok se za jaèepotrese koristi magnituda M M s� .

542

PRILOZI



Intenzitet potresa

Za razliku od magnitude intenzitet potresa nije podatak dobiven mjerenjem nanekom instrumentu, veæ se on procjenjuje na temelju vanjskih uèinaka potresa. Na-ime, za stanovništvo je najznaèajnije kolike je štete potres prouzroèio na graðevi-nama te kakve su promjene nastale u prirodi radi djelovanja potresa. Ako se u jed-nom potresu, gledano hipotetièno, sruši u nekom podruèju više graðevina nego udrugom potresu u istom podruèju, prirodno je zakljuèiti da je prvi potres bio veæegintenziteta. Zbog toga se intenzitet potresa “mjeri” prema njegovim efektima nagraðevinama, prema njegovim efektima u prirodi, te prema efektima na �ivim biæi-ma. Ta “mjera” zove se intenzitet potresa. Znaèi da intenzitet potresa ne ovisi sa-mo o kolièini osloboðene energije, koja se, kako je opisano, odra�ava u magnitudi,veæ i o udaljenosti od hipocentra (od rasjeda), te o lokalnim geomehanièkim,geološkim i topografskim uvjetima, kao i o vrsti gradiva i tipu konstrukcijegraðevine.

Za razliku od magnitude (jednom potresu odgovara jedna magnituda), postojekod istog potresa razlièiti intenziteti u ovisnosti od podruèja potresa. U opæem jesluèaju intenzitet najveæi u blizini epicentra i opada s udaljenošæu.

Danas je u svijetu u uporabi više ljestvica intenziteta koje su zasnovane napromatranju ponašanja graðevina, �ivih biæa i promjena u prirodi za vrijeme potre-sa. Ponegdje je još uvijek u uporabi ljestvica MCS (Mercalli-Cancani-Sieberg), ia-ko je izraðena još 1904. godine (izvorno je to bila ljestvica Mercalli-Cancani, po-slije dopunjena od Sieberga). U SAD je u uporabi MM (modificirana Mercallijeva)ljestvica, dok je u Europi pa i kod nas u uporabi ljestvica MSK-64 (Medve-dev-Sponheuer-Karnik) ustanovljena 1964. godine. Navedene ljestvice vreme-nom su modificirane prema spoznajama i iskustvima steèenim nakon obilazakaepicentralnih podruèja potresa u vezi s uèincima koje potresi imaju na graðevine i�iva biæa.

Danas je veæ u primjeni najnovija Europska makroseizmièka ljestvica(EMS).

Sve navedene ljestvice imaju po 12 stupnjeva. Mo�e se reæi da je šteta na ne-kom podruèju pribli�no jednaka bez obzira koja se od navedene tri ljestvice koristi.

Ovdje æe se opisati kako je definirana ljestvica MSK-64, jer je ona kod nasva�eæa. Za razliku od magnitude, koja je zasnovana na podacima registriranim in-strumentom, intenzitet je odreðen na temelju promatranja posljedica potresa i na te-melju anketiranja stanovništva. Poslije odreðivanja intenziteta za pojedina podruèjanacrtaju se izoseiste. To su linije koje dijele šire podruèje u zone razlièitih intenzi-

543




teta. Po pravilu intenzitet je najveæi u epicentru i smanjuje se s udaljenošæu od epi-centra. Ponekad, iznimno zbog lokacijskih uvjeta, mo�e doæi i do izuzetka od ovogpravila. Primjer je potres u Mexicu 1985. godine, kada je najveæa šteta zbog lokal-nih uvjeta bila u Mexico Cityju, udaljenom od epicentra 360km.

Na slici P1-6. prikazane su izoseiste potresa koji je 1979. godine pogodio po-druèje ju�nog Jadrana. Magnituda toga potresa bila je oko M � 7 2, po Richteru.Zbog rasjeda koji se nalaze uz Jadransku obalu te zbog razlièitog prostiranja valo-va u razlièitim smjerovima, izoseiste na slici P1-6. nemaju oblik koncentriranihkru�nica veæ su izdu�ene u pravcima rasjeda.

Izoseiste su ovdje uvedene da bi se ovladalo terminom i pojmom. Naime, uodreðenim veæ spominjanim normama za graðenje u seizmièkim podruèjima [95]na poseban su naèin uvedene seizmološke karte Hrvatske, u kojima se na odreðe-nim podruèjima dr�ave propisuju potresi odreðenog intenziteta. To ne treba dovo-diti u vezu s izoseistama, koje predstavljaju linije jednakih intenziteta potresa, doksu u seizmološkim kartama prikazana podruèja u okviru kojih se uzima konstantanintenzitet potresa. Veæ je ranije reèeno da europska norma EN 1998-1 lokalniseizmièki hazard propisuje zemljovidom s vrijednostima poredbenog maksimalnogubrzanja tla razreda A, te je korištenje zemljovida s vrijednostima seizmièkih in-tenziteta [95] prevaziðeno.

Intenziteti potresa prema ljestvici MSK-64

1. stupanj. Neosjetan potres.

a. Vibracije tla ljudi ne mogu osjetiti. Potres registriraju samo instru-menti.

2. stupanj. Jedva osjetan potres.

a. Vibracije tla osjeæaju samo poneki ljudi koji se odmaraju u kuæama i toosobito oni na višim katovima.

3. stupanj. Lak potres.

a. Vibracije tla osjeæaju samo poneki ljudi koji miruju u kuæama, a izvan ku-æe ovaj se potres osjeæa samo u vrlo povoljnim uvjetima. Vibracije tlapodsjeæaju na podrhtavanje tla pri prolazu lakog kamiona. Pa�ljivi proma-traè mo�e uoèiti lagano njihanje obješenih predmeta. Njihanje je izra�enijena višim katovima.

544

PRILOZI



4. stupanj. Umjeren potres.

a. Potres osjete mnogi ljudi u kuæama, a na otvorenom prostoru samo pojedi-ni. Ponetko se probudi iz sna, ali još nema panike. Vibracije tla podsjeæajuna podrhtavanje tla pri prolazu teških natovarenih vozila. Prozori zvecka-ju, vrata “kloparaju”, stropne grede škripe i pucketaju. Tekuæina se u otvo-renim posudama pokreæe. Namještaj škripi. Obješeni predmeti se ljuljaju.Potres se mo�e osjetiti u vozilu u pokretu.

5. stupanj. Dosta jak potres.

a. Ovaj potres osjete svi ljudi u kuæama i mnogi na otvorenom prostoru.Mnogi se bude iz sna. �ivotinje su uznemirene. Graðevine se tresu iz te-melja. Obješeni se predmeti jako njišu. Slike na zidovima pomièu se. Uveæini sluèajeva zaustavljaju se satovi s klatnom. Nezatvoreni prozori ivrata se njišu. Tekuæina se iz otvorenih posuda prolijeva.

545


Sl. P1-6. Izoseiste potresa u ju�nom Jadranu 15. travnja 1979. godine, M � 7,2



b. Moguæe su štete prvog stupnja na pojedinim graðevinama tipa A.

c. Moguæa je promjena izdašnosti izvora.

6. stupanj. Jak potres.a. Potres osjeæaju svi ljudi, kako u kuæama, tako i na slobodnom prostoru.

Ljudi istrèavaju iz kuæa na ulicu. Neki gube ravnote�u. Domaæe �ivotinjebje�e iz štala. U mnogim sluèajevima lome se stakleni predmeti. Malacrkvena zvona poèinju zvoniti.

b. Neke graðevine tipa B i mnoge graðevine tipa A trpe ošteæenja prvogastupnja. Pojedine graðevine tipa A trpe ošteæenja drugoga stupnja.

c. U nekim vrstama tla moguæe su pukotine širine do 1 cm. Javljaju se pro-mjene izdašnosti izvora i nivoa vode u bunarima.

7. stupanj. Silan potres.a. Ljudi bje�e iz kuæa u panici, a mnogi teško odr�avaju ravnote�u. Potres se

osjeæa i u vozilima u pokretu. Zvone velika crkvena zvona.

b. Mnoge graðevine tipa C trpe štete prvoga stupnja, a graðevine tipa B štetedrugoga stupnja. Na mnogim graðevinama tipa A javljaju se štete treæegstupnja, a na nekima štete èetvrtog stupnja. Na mjestima na kojima cestezasijecaju padine mogu se javiti klizišta i pukotine na cesti. Javljaju seošteæenja na spojevima cjevovoda. U kamenim ogradama i zidovima jav-ljaju se pukotine.

c. Na vodenim površinama stvaraju se valovi, voda je mutna uslijed podiza-nja mulja s dna. Razina vode u bunarima mijenja se kao i izdašnost izvora.Presušeni izvori mogu se obnoviti, a aktivni presušiti. Rjeðe se javljajuklizišta na šljunkovito-glinovitim obalama.

8. stupanj. Štetan potres.a. Opæi strah i panika. Potres se sna�no osjeæa u vozilima u pokretu. Èesto

se i grane na drveæu mogu slomiti. Te�ak namještaj se pomièe, a djelomi-ce i prevræe. Obješeni predmeti (svjetiljke) djelomice se ošteæuju.

b. Veæina graðevina tipa C trpi štete drugoga stupnja, a pojedine štete treæegastupnja. Mnoge graðevine tipa B imaju štete treæega stupnja, a pojedine ištete èetvrtoga stupnja. Mnoge graðevine tipa A imaju ošteæenja èetvrtogastupnja, pojedine i petoga stupnja. Iznimno dolazi do sloma cjevovoda naspojevima. Statue i kameni spomenici obræu se oko postolja, ponekad se iprevræu. Ruše se kamene ograde i zidovi.

546

PRILOZI



c. Dolazi do klizanja zemljišta na nasipima i usjecima cesta. Pukotine u tlumogu biti široke do nekoliko centimetara. Voda u jezerima se muti. Moguse javiti nova vrela. Usahli bunari pune se vodom, a puni bunari mogupresušiti. Izdašnost i razina vode mijenjaju se.

9. stupanj. Ogranièeno razoran potres.

a. Opæa panika. �ivotinje bje�e na sve strane. Velike štete na namještaju.

b. Mnoge graðevine tipa C trpe ošteæenja treæega stupnja, a pojedine i ošteæe-nja èetvrtog stupnja. Mnoge graðevine tipa B zadobivaju ošteæenja èetvr-tog stupnja, a pojedine ošteæenja petog stupnja. Mnoge graðevine tipa Atrpe štete petog stupnja. Spomenici i stupovi padaju. Na vodospremama sejavljaju ozbiljna ošteæenja. Podzemne se cijevi djelomice lome. U nekimsluèajevima iskrivljuju se �eljeznièke traènice. Dolazi do ošteæenja cesta.

c. Na podvodnim ravnièarskim terenima voda izbija na površinu i izlijeva se.S vodom mo�e biti izbaèen pijesak i mulj. Pijesak i mulj mogu biti izba-èeni na površinu i bez vode. Pukotine u zemljištu mogu dostiæi širinu i do10 cm. Èesti su odroni velikih komada stijena u gorju. Dolazi do akti-viranja mnogih klizišta. Javljaju se velike promjene u re�imu podzemnihvoda.

10. stupanj. Razorni potres.

b. Mnoge graðevine tipa C zadobivaju ošteæenja èetvrtoga stupnja, a po-jedine i ošteæenja petoga stupnja. Mnoge graðevine tipa B trpe ošteæe-nja petoga stupnja. Ošteæenja petoga stupnja trpi i veæina graðevina tipaA. Na nasipima i bunarima dolazi do kritiènih ošteæenja. Javljaju se ošte-æenja mostova. �eljeznièke traènice se iskrivljuju. Cijevi u podzemnim in-stalacijama savijaju se i lome. Javlja se valovitost gornjeg sloja cesta.

c. U tlu se javljaju pukotine širine nekoliko centimetara pa do jednog metra.Slabije povezano tlo na padinama klizi. Na obalama rijeka moguæa je po-java velikih klizišta, kao i na strmim morskim obalama. Voda se izlijeva izkanala, rijeka i jezera. Razina podzemnih voda mijenja se. Mo�e doæi dostvaranja novih jezera.

11. stupanj. Pustošni potresi.

b. Teška ošteæenja na vrlo solidno graðenim graðevinama. Mostovi, brane,�eljeznice i ceste postaju neuporabljivi. Cijevi u podzemnim instalacijamakidaju se.

547




c. U tlu se javlja velik broj pukotina, zjapeæih pukotina, rasjeda i premješta-nja stijenskih masa u horizontalnom i vertikalnom smjeru. Javljaju se veli-ka klizišta i odroni stijena. Odreðivanje ovog intenziteta zahtijeva posebnaizuèavanja.

12. stupanj. Katastrofalni potres.

b. Goleme štete i potpuno rušenje svih graðevina nad i pod zemljom.

c. Bitna izmjena površinskog izgleda Zemlje. Javljaju se velike pukotine utlu te velika horizontalna i vertikalna premještanja stijenskih masa. Odronivelikih razmjera u gorju ili na obalama rijeka i drugih vodotoka. Stvarajuse nova jezera. Rijeke mogu mijenjati svoja korita. Utvrðivanje ovog in-tenziteta zahtijeva posebna izuèavanja.

Oèigledno, da bi se ljestvica MSK-64 mogla uporabiti, moralo je prethodnobiti definirano koje su graðevine tipa A, B i C, te je moralo biti opisano pet stup-njeva ošteæenja graðevina, što æe se u nastavku i prikazati.

Ošteæenja graðevina prema ljestvici MSK-64 (skraæena verzija)

Tipovi graðevina:

A) Graðevine od neobraðenog kamena, seoske graðevine, graðevine od nepe-èene opeke (adobe), kuæe od gline.

B) Obiène graðevine od opeke, graðevine od velikih blokova, graðevine zi-dane prirodnim tesanim kamenom i zidane graðevine s drvenom konstruk-cijom.

C) Graðevine od armiranog betona, graðevine od prefabriciranih elemenata idobro graðene drvene kuæe.

Napomena: Sve naprijed navedene graðevine graðene su bez primjene posebnih aseizmièkihmjera. Graðevine koje su graðene prema propisima za graðenje u seizmièkim podruèjima nisu obu-hvaæene.

Definicija broja ošteæenih graðevina:

pojedine “P” oko 5% ,

mnogi “M” oko 50%,

548

PRILOZI



veæina “V” oko 75%.

Kategorije ošteæenja (PET STUPNJEVA)

1. Laka ošteæenja: sitne pukotine u �buci, osipanje komadiæa i ljuskica �bukei boje sa zidova i stropova.

2. Umjerena: manje pukotine u zidovima, opadanje krupnih komada �buke,padanje crjepova s krova, pojava pukotina na dimnjacima i rušenje dijelo-va dimnjaka.

3. Te�a: veæe i dublje pukotine u zidovima, rušenje dimnjaka.4. Razaranje: pucanje zidova, zjapeæe pukotine, djelomièno rušenje graðevi-

na, razaranje konstrukcijskih veza, rušenje unutrašnjih zidova.5. Potpuno rušenje graðevina.

Broj ošteæenih graðevina (P, M, V) i kategorije štete (1-5) u ovisnostiod intenziteta, Tablica P1-1.

U Prilogu 1. izlo�eni su pojmovi magnitude potresa, njegovog intenziteta teubrzanja kojima su izlo�eni stjenoviti materijali u potresu na naèin da ti pojmovibudu jasni graðevinarima koji projektiraju i grade graðevine izlo�ene utjecajimapotresa. Ova tri navedena pojma imaju i meðusobne odnose.

549


Tablica P1-1. Povezanost intenziteta potresa i ošteæenja na graðevinama

Intenzitet Tip A Tip B Tip C

5

6

7

8

9

10

P1

P2, M1

P4, M3

P5, M4

M5

V5

P1

M2

P4, M3

P5, M4

M5

M1

P3, M2

P4, M3

P5, M4



P.1.4. Odnosi izmeðu magnitude potresa, intenziteta potresai ubrzanja tla

Odnos intenziteta i magnitude potresa navodi se prema redoslijedu kako su ihautori prezentirali javnosti, Tablica P1-2.

Tezcan (1978.):

I M� �156 1 78, , (P1.6)

Ribariè (1982.):

I M� �152 015, , (P1.7)

Sikošek (1986.)

I M� �150 0 5, , (P1.8)

U nastavku æe se prikazati empirijske veze izmeðu ubrzanja u stjenovitom ma-terijalu i magnitude potresa (P1.9) te izmeðu ubrzanja i intenziteta potresa (P1.10).

Esteva (1973.)

a e RM� � �5600 400 8 2, ( ) (P1.9)

a � srednja vrijednost ubrzanja u cm/s2,

R � udaljenost promatrane toèke od �arišta u km,

M �magnituda.

550

PRILOZI

Tablica P1-2. Odnos izmeðu magnitude i intenziteta prema trima autorima i sred-nja vrijednost

I Tezcan, M Ribariè, M Sikošek, M Msr

6 4,99 4,05 4,33 4,46

7 5,63 4,70 5,00 5,11

8 6,27 5,36 5,67 5,77

9 6,91 6,02 6,33 6,42



U Tablici P1-3. prikazane su povezanosti ubrzanja i srednje vrijednostimagnitude iz Tablice P1-2, za udaljenost �arišta 15 km, prema (P1.9).

U konaènici æe se pokazati kako se mo�e empirijskom formulom direktno iz-raèunati ubrzanje prema poznatom intenzitetu potresa.

Murphy (1977.)

log , ,a I� �0 25 0 25 (P1.10)

Jednad�ba (P1.10) prikazana je i Tablicom P1-4.

Ovdje se nije utvrðivalo jesu li neki od predlo�enih empirijskih izraza dovolj-no potvrðeni u praksi ili su prevaziðeni te postoje li novi i bolji prijedlozi, što jepredmet seizmologije. Ovi izrazi za povezanost izmeðu magnitude, intenziteta i

551


Tablica P1-3. Odnos izmeðu magnitude potresa i ubrzanja prema (P1.9)

I Msr a (cm/s2) a g/

6 4,46 65,62 0,07

7 5,11 110,37 0,11

8 5,77 187,14 0,19

9 6,42 314,77 0,32

Tablica P1-4. Odnos izmeðu intenziteta potresa i ubrzanja prema (P1.10)

I a (cm/s2) a g/

6 56 0,06

7 100 0,10

8 178 0,18

9 316 0,32



ubrzanja dani su samo da se poka�e da oni postoje i da imaju praktiènu vrijednost,iako je korištenje ovako dobivenih ubrzanja preko intenziteta potresa samo u sluèa-jevima kada ne postoje stvarne izmjerene vrijednosti ubrzanja. Na temelju njih se,na primjer, iz zemljovida s intenzitetima potresa u Hrvatskoj [95] mogu odreditipribli�ne vrijednosti ubrzanja u tlu razreda A, koje se i tra�e u EN 1998-1:2004.Iz Tablice P1-4. se mo�e zakljuèiti da ubrzanja u tlu razreda A imaju vrijednosti0,1 za podruèja Hrvatske s intenzitetima 7. stupnja prema ljestvici MSK-64 te 0,2 i0,3 za podruèja Hrvatske s intenzitetima 8. i 9. stupnja. S ovim vrijednostimaubtzanja nije ispoštovan princip da se za svaki viši stupanj intenziteta uzima dvo-struko veæe ubrzanje (ako za 8. stupanj intenziteta ubrzanje ima vrijednost 0,1 g,onda bi za podruèje 9. stupnja intenziteta vrijednost ubrzanja trebala biti 0,4 g. Tre-ba imati u vidu da je kod izrade zemljovida s intenzitetima potresa u Hrvatskoj [95]pretpostavljeno tzv. “srednje tlo” (misli se na karakteristike nosivosti tla), dok sevrijednosti ubrzanja prema EN 1998-1:2004. odnose na tlo razreda A (stijena).

P.1.5. Karakteristike vibracija tla na odreðenoj lokaciji

Najva�nije karakteristike vibracija tla koje se mogu dobiti analizom akcelero-grama kao na slici P1-5. jesu:

a) maksimalno ubrzanje tla,

b) maksimalna brzina tla,

c) maksimalni pomaci tla,

d) trajanje izra�enih vibracija,

e) prevladavajuæe periode (frekvencijski sastav vibracija).

Maksimalno ubrzanje tla, maksimalna brzina tla i maksimalni pomaci(peak acceleration, peak velocity, peak displacements) vidljivi su na primjeru regi-stracija potresa koji je pogodio podruèje ju�nog Jadrana 15. travnja 1979. godine,slika P1-5. U sluèaju kada se ne raspola�e registriranim ubrzanjima, seizmolozi sudali empirijske izraze kojima se dolazi do pribli�nih vrijednosti maksimalnih ub-rzanja, brzine i pomaka. Jedan takav empirijski izraz za pomak ima ovaj oblik:

de

Rt

M

��

0 06

20

1 2

1 34

,

( )

,

, (P1.11)

552

PRILOZI



gdje su:

d t maksimalni pomak tla u centimetrima,M magnituda,R udaljenost od hipocentra u kilometrima.

Trajanje izra�enih vibracija je podatak koji izravno utjeèe na velièine štetena graðevinama. Iako se ovo trajanje najbolje vidi na registriranom akcelerogramuako takav postoji, kao na slici P1-7., vrijeme trajanja izra�enih vibracija takoðer semo�e dobiti empirijski. Ovdje se daju primjeri takvih empirijskih izraza premaautorima koji su ih predlo�ili.

Housner (1965.):

t MD � �112 53, ( )M � 5 (P1.12)

Watabe (1976.):

tD

M

��

102 5

3 23

,

,

Vibracije tla za vrijeme potresa kompliciran su proces koji se pojednostavlje-no mo�e zamisliti kao superpozicija harmonijskih oscilacija s razlièitim periodamai razlièitim amplitudama. Pritom su oscilacije s nekim periodama više zastupljeneod drugih te se zbog toga govori o prevladavajuæim (predominant) periodamavibracija tla.

553


Sl. P1-7. Vremenski tijek ubrzanja (time-history) za potres u Meksikuod 19. rujna 1985., zapis Mexico City



S time u vezi, buduæi da su periode T i frekvencije f povezane (T f� �1 ), ifrekvencijski sastav vibracija tla takoðer ovisi prije svega o magnitudi potresa,udaljenosti od rasjeda i lokalnih geomehanièkih karakteristika. Primjer takvog od-nosa prema Seedu dan je dijagramom na slici P1-8.

Ako je potres takvih karakteristika da su u njemu prevladavajuæe male perio-de vibracija tla te ako takav potres djeluje na neku relativno krutu konstrukciju te-meljenu primjerice na stjenovitom tlu, koje samo za sebe kao krut medij ima malevlastite periode, takav bi potres imao katastrofalne uèinke na takvu konstrukciju. Iobrnuto, ako je konstrukcija vitka i još temeljena na “mekom” tlu te optereæena po-tresom èiji su prevladavajuæi periodi veæi nego u prvom sluèaju, uèinak potresa nakonstrukciju je takoðer vrlo velik.

Poznavanjem spomenutih karakteristika moguæe je definirati odgovarajuæepotresno optereæenje u obliku projektnog spektra (nastaloga iz akcelerograma) okojemu se govori u posebnim poglavljima ove knjige.

Karakteristike vibracija tla na odreðenoj lokaciji ovise o nizu faktora, a prijesvega:

554

PRILOZI

Sl. P1-8. Ovisnost podruèja prevladavajuæih perioda vibracija tla na stijenio magnitudi potresa i udaljenosti od rasjeda (Prema Seedu)



a) o magnitudi potresa,b) o udaljenosti od �arišta odnosno rasjeda,c) o geološkim karakteristikama stijenskih masa (od �arišta odnosno rasjeda

do predmetne lokacije) u kojima se prostiru seizmièki (P) i (S) valovi,d) o �arišnom mehanizmu potresa,e) o topografskim karakteristikama lokacije,f) o lokalnim geomehanièkim karakteristikama.

Iako se vibracije tla u potresu registriraju SM akcelerometrima (Strong Mo-tion Accelerographs) u tri meðusobno okomita pravca (od kojih su dva u horizon-talnoj ravnini, a treæi okomit na tu ravninu), uoèeno je da graðevine u najveæembroju sluèajeva dobro podnose vertikalne komponente ubrzanja tla. Iznimka su je-dino graðevine s izrazito velikim konzolama. Radi toga se graðevinske konstrukci-je projektiraju da budu otporne na djelovanje horizontalnih sila od potresa, a vri-jednosti tih sila utvrðene su u EN 1998-1 [90]. Treba spomenuti da se u EN 1998-1propisuje i naèin izraèuna vrijednosti vertikalne komponente ukupnog potresnogoptereæenja.

555




PRILOG 2.: Seizmièki odziv temeljnog tla.Meðusobno djelovanje (interakcija) tlai konstrukcije

Prilog 2. uveden je poglavito radi objašnjenja pojmova koji su potrebni za ra-zumijevanje gradiva izlo�enog u 14. poglavlju knjige. Sadr�aj u Prilogu 2. pred-stavlja posebno znanstveno podruèje seizmièkog odziva temeljnog tla i interakcijetla i konstrukcije, koje je još uvijek nedovoljno istra�eno. U SAD-u, Japanu, No-vom Zelandu i svim drugim dr�avama u kojima se potresnom in�enjerstvu posve-æuje posebna pa�nja provode se opse�na teorijska i eksperimentalna istra�ivanja izpodruèje seizmièkog odziva temeljnog tla i interakcije tla i konstrukcije. U svijetupostoje znanstveni èasopisi èije su teme iskljuèivo posveæene tlu i potresima, i tos graðevinskog gledišta, primjerice International Journal of Soil Dynamics andEarthquake Engineering (nakladnik: Elsivier).

Medij izmeðu osnovne stijene i graðevine vibrira u potresu te na taj naèinutjeèe na dinamièko ponašanja sklopa tlo � konstrukcija. Pritom se javlja me-ðusobno djelovanje (interakcija) izmeðu tla i konstrukcije, o èemu æe se poslijegovoriti detaljnije. Ne uzimajuæi u obzir ove interakcije, projektant æe najèešæe do-biti pogrešne vrijednosti dinamièkih karakteristika konstrukcije i s potpuno korekt-nim njenim dinamièkim proraèunom. Uvijek su stvarni periodi vibracija kon-strukcije, zbog prisutnosti odreðenog medija ispod temelja, veæi od onih perio-da koji se dobiju kada se u izraèunu pretpostavlja temeljenje konstrukcije nastijeni. Razlog je tomu što medij ispod temelja “omekšava” sklop tlo-konstrukcija.S time u vezi treba shvatiti zašto se u 14. poglavlju, na slici 14-4., vrijednosti ela-stiènog spektra odziva mijenjaju s vrstom tla ispod temelja te se za odreðeni periodiz slike 14-4. dobiju poveæane vrijednosti seizmièkih sila za slabija tla ispod teme-lja graðevine. Znaèi da se uzimanjem u obzir vrste i dubine medija ispod temeljadobiju uveæane vrijednosti seizmièkih sila. Ovo uveæanje èesto je vrlo izra�eno.Prema tome, analizom same konstrukcije izdvojeno od medija ispod nje dovela bise u pitanje njena mehanièka otpornost i stabilnost u potresu, tj. poveæala bi se vje-rojatnost urušavanja takve konstrukcije u potresu veæeg intenziteta.

557

PRILOG 2.: Seizmièki odziv temeljnog tla. Meðusobno djelovanje (interakcija) tla i konstrukcije



Zbog toga æe se u nastavku prvo pokazati utjecaj visine tla iznad osnov-ne stijene, a zatim i utjecaj vrste tla ispod temelja, na uveæanje intenzitetaseizmièkog optereæenja na konstrukciju. Na taj æe se naèin generalno prezentira-ti va�nost uvrštavanja u analizu i tla ispod graðevine, te uvidjeti zašto su oba pojmaobuhvaæena u EN 1998-1:2004.

Razlika izmeðu pomaka graðevinske površine i pomaka osnovne stijene u po-tresu rezultat je vibracija tla. Toèna priroda ove razlike pomaka ovisi o dinamièkimkarakteristikama tla iznad osnovne stijene.

Isto kao i kod konstrukcije, osnovne su dinamièke karakteristike tla prvi vlastitiperiod i prigušenje. Ovaj prvi vlastiti period tla ispod graðevinske površine (koji i uovom sluèaju ovisi o masi i krutosti) ima vrijednosti izmeðu 0,1 s i 5,0 s, a veæinomvrijednosti izmeðu 0,25 s i 1,0 s. Najva�niji je parametar za utvrðivanje vlastitogperioda tla njegova visina iznad osnovne stijene. U svijetu su izvršena mnogaistra�ivanja vezana za odnose izmeðu visine tla iznad osnovne stijene, odziva tlai ostvarenih seizmièkih utjecaja na graðevinu u realnim uvjetima djelovanjapotresa. Na slici P2-1. pokazani su rezultati istra�ivanja koje je vodio Seed [12, 41]s podatcima prikupljenim u potresu magnitude M � 5 3, iz 1971. godine, èiji je epi-centar bio u podruèju San Fernando u Californiji. Naime, u ovom su potresu zabi-lje�ena ubrzanja s SM akcelerografom na više lokacija jednog podruèja duljine 6 km.Pritom su zabilje�ena maksimalna horizontalna ubrzanja površine tla izmeðu 0,1g i0,12g za lokacije na stijeni te 0,05g do 1,0g za lokacije na tlu visine od 40 m do300 m izmeðu osnovne stijene i temelja. Takoðer su zabilje�ene znaèajne varijacije uvrijednostima frekvencija. Na osnovi tih podataka analizirana je tipska graðevina sdeset katova ukupne mase oko 6400 t i osnovnog vlastitog perioda T �12, s. Za tugraðevinu izraèunati su odnosi maksimalnih horizontalnih posmiènih sila u razini te-melja H tlo prema posmiènoj sili za graðevinu temeljenu na stijeni H st , u ovisnosti oddebljine slojeva tla od osnovne stijene do temelja. Slièna ovisnost kao na slici P2-1.dobije se i za vrijednost B.S. koeficijenta, koji se takoðer poveæava s porastom visi-ne tla izmeðu osnovne stijene i temelja graðevine, jer je B.S. koeficijent funkcijaspektralnog pseudo ubrzanja Sa, jednad�ba 12-14., te je ovako veliko uveæanje B.S.koeficijenta s poveæanjem visine tla iznad osnovne stijene prikazano na slici P2-2.

Naime, pokazano je da ubrzanja tla na graðevinskoj površini s tlom odreðenedubine, slika P2-2(b), za prete�ite periode izmeðu 1,0s i 1,5s imaju veæe vrijednosti uodnosu na sluèaj kao na slici P2-2.(a), kada je graðevina temeljena na osnovnoj stijeni.

Buduæi da osnovni period graðevine s deset katova na slici P2-1. ima vrijed-nost 1,2 s, na njoj æe biti generirano mnogo veæe ubrzanje ako je ona temeljena natlu veæe dubine, pa æe samim tim biti veæi i B.S. koeficijent.

558

PRILOZI



559


Sl. P2-1. Utjecaj dubine tla na maksimalnu vrijednost ukupne posmiène sile u razini temeljaza graðevinu s deset katova u potresu u San Fernandu, Kalifornija (Seed, [12, 41])

Sl. P2-2. Uveæanje ubrzanja i B.S. koeficijenta poveæanjem visine tla iznad osnovne stijene,za prete�ite periode konstrukcije izmeðu 1,0 s i 1,5 s



Slièna istra�ivanja, samo za potres koji je 29. lipnja 1967. godine pogodio Ca-racas, radili su Seed i Alfonso [12, 41]. Ovaj potres s magnitudom 6,3 i epicentromudaljenim oko 35 milja zapadno od Caracasa, prouzroèio je u samom Caracasu pot-puno urušavanje èetiri stambene graðevine visine od deset do dvanaest katova i gu-bitak preko 200 �ivota. Navedeni su autori ustanovili odnos izmeðu dubine sloja tlaispod graðevine odreðene katnosti i stupnja ošteæenosti njene konstrukcije. Pritomsu uveli indeks moguæe ošteæenosti konstrukcije (Fragility) Fr:

FB S T

W Cr � �

( . . ) max (P2.1)

Ovdje su T osnovni period graðevine, W njezina te�ina, dok je C koeficijentprojektnog boènog optereæenja.

Na slici P2-3. pokazano je da graðevine s pet do devet katova imaju najveæuvrijednost Fr kada su temeljene na tlu visine oko 40 m iznad osnovne stijene. Meðu-tim, visoke graðevine, koje imaju velike vrijednosti prvog vlastitog perioda, imajunajveæu vrijednost Fr ako su temeljene na depozitu velike visine, koji i sam za sebeima relativno velike vrijednosti osnovnog perioda te se u ovom sluèaju dogaðajurezonancijske pojave izmeðu graðevine i tla velike visine iznad osnovne stijene.

560

PRILOZI

Sl. P2-3. Ovisnost izmeðu dubine tla ispod graðevine i stupnja njene ošteæenosti Fr

za potres koji je pogodio Caracas 29. lipnja 1967.



Navedeni su primjeri samo ilustrirali efekt visine tla iznad osnovne stijene nauveæanje seizmièkih djelovanja na graðevinu. Meðutim, ponašanje (odziv) graðevi-ne i tla ispod nje u potresu je i funkcija vrste tla ispod graðevine. To je ilustriranovrijednostima spektralnih ubrzanja (normaliziranih s maksimalnim ubrzanjima tla)na slici P2-4. za razne vrste tla ispod graðevine, prema B. Seedu. Prikazani pro-sjeèni spektri odziva spektralnog ubrzanja za razne vrste tla dobiveni su iz ukupno104 zapisa na SM akcelerografima. Dijagrami na slici P2-4. pokazuju izra�ene raz-like izmeðu spektara odziva za razne vrste tla. Za svaku je oznaèenu vrstu tla vid-ljivo da postoji jedno podruèje vrijednosti njihovih perioda koje za konstrukciju ni-je po�eljno. To je podruèje, na primjer, u sluèaju temeljenja na glinovitom materi-jalu (soft to medium clay) izmeðu 0,25 s i 1,2 s.

Iz do sada reèenog proizlazi da visoke i vitke graðevine treba graditi na lo-kaciji na kojoj prevladava kruto tlo male visine od osnovne stijene. Tada je od-ziv takve graðevine na djelovanje sila od potresa najmanji, što spektri na slici P2-4.upravo potvrðuju i dobro odgovaraju spektrima koji su propisani u EN 1998-1.Naime, u EN 1998-1 za slabije tlo ispod temelja graðevine dan je spektar odzivakojim se dobiju poveæane vrijednosti seizmièkog optereæenja na konstrukciju(vidjeti 14. poglavlje, slika 14-4.), a to se oèituje i na slici P2-4., jer æe na graðevinutemeljenu na glinovitom materijalu, èiji je osnovni period napr. 1,5 s sile potresa bititri puta veæe u odnosu na sile potresa ako je ista graðevina temeljena na stijeni.

Slika P2-4. ujedno pokazuje kako se iz spektralnih vrijednosti za puno dogo-ðenih potresa dolazi do prosjeènog spektra koji se koristi u propisima.

561


Sl. P2-4. Prosjeèni normalizirani spektri odziva za razne vrste tla, � � 5%



Veæ je reèeno da deformabilnost tla ispod graðevine izravno utjeèe na efekteseizmièkog odziva konstrukcije, a ogleda se u poveæanju perioda vibracija i ukupnogprigušenja sklopa tlo-konstrukcija. Prema podatcima iz literature, prigušenje u kon-strukciji u ovakvom sluèaju se (znaèi kao posljedica interakcije tla i konstrukcije) kre-æe od 5% do 13% kritiènog prigušenja. Vrijednost prigušenja u konstrukciji mo�e sepoveæati ugradnjom posebnih mehanièkih ureðaja u konstrukciju ili u njene temelje.

Istra�ivanja utjecaja interakcije tla i konstrukcije na poveæanje osnovnog pe-rioda sklopa tlo-konstrukcija provoðena su na matematièkim modelima, kao što suprimjerice modeli na slici P2-5. Pritom se došlo do zakljuèka da osnovni vlastitiperiod sklopa tlo-konstrukcija ovisi o krutosti tla te masi i geometriji (krutosti)konstrukcije. Odnos izmeðu osnovnog vlastitog perioda vibracija konstrukcije nadeformabilnoj podlozi T1 i osnovnog perioda vlastitih vibracija konstrukcije nakrutoj (Stiff) podlozi TS , dan je sljedeæom relacijom:

T T T T TS R H T12 2 2 2 2� � � � (P2.2)

u kojoj su uvedene sljedeæe vrijednosti karakteristiènih perioda deformabilnosti tla:TR je karakteristièan period deformabilnosti tla u vertikalnoj ravnini (Rocking), TH

je karakteristièan period deformabilnosti tla u horizontalnom pravcu (Horizontal),dok TT predstavlja karakteri-stièan period torzijske defor-mabilnosti tla u horizontal-noj ravnini (Torsional), sli-ka P2-5. Prema vrijednosti-ma TR , TH i TT jasno je zna-èenje uvedenog obilje�ava-nja na slici P2-5. za krutostiopruga kR, kH i kT, sukladnouobièajenom naèinu obilje�a-vanja u reologiji tla.

Kao ilustracija zaklju-èaka danih u svezi utjecajavrste i dubine tla ispod gra-ðevine na ponašanje sklo-pa tlo-konstrukcija na sliciP2-6. prezentirani su spektriodziva ubrzanja tla u ka-tastrofalnom potresu Izmit

562

PRILOZI

Sl. P2-5. Modeli na kojima su istra�ivani utjecaji interakcijetla i konstrukcije na osnovne vlastite periode konstrukcije



563


Sl. P2-6. Spektri odziva ubrzanja tla u potresu Izmit (Kocaeli), Turska, 1999.,dobiveni na stjenovitoj podlozi (a); kvalitetnom krutom tlu (b) i mekom tlu (c)



(Kocaeli), Turska, 1999., dobiveni zapisom na veæem broju lokacija za � � 5%. Ovispektri grupirani su za: (a) stjenovitu podlogu, (b) kvalitetno kruto tlo i (c) meko tlo.

U sluèaju (a) dobivene su niske vrijednosti spektralnog ubrzanja (manje od0,2g), u sluèaju (b) te su vrijednosti najveæe za periode izmeðu 0,2 s i 0,5 s, dok suna mekom tlu (c) dobivene vrijednosti spektralnog ubrzanja izmeðu 0,3g i 0,7g zaperiode izmeðu 0,5 s i 1,5 s. Buduæi da su vrijednosti spektralnog ubrzanja propor-cionalne vrijednostima B.S. koeficijenta, oèigledno su na relativno vitke graðevine,koje imaju prvi vlastiti period izmeðu 0,5 s i 1,5 s a temeljene su na mekom tlu, uovom potresu djelovale sile velikih intenziteta, slika P2-6.(c). Sile velikih intenzi-teta djelovale su i na kruæe graðevine ako su one temeljene na krutom tlu ili stijeni,slika P2-6.(a),(b).

Na slici P2-7. su prikazane posljedice potresa na konstrukciju kao rezultat in-terakcije tla i konstrukcije u sluèaju plitkog temeljenja na nasutom materijalu ispod

564

PRILOZI

Sl. P2-7. Velike deformacije u tlu poveæale su seizmièka djelovanja na konstrukciju hotela Fjordu Kotoru, Crna Gora; potres koji je 15. travnja 1979. pogodio podruèje ju�nog Jadrana, M � 7,2



kojeg je slabo kompaktan pijesak. Velike deformacije u tlu poveæale su seizmièkadjelovanja na konstrukciju.

Geomehanièke karakteristike tla na lokaciji graðevine mogu imati presudanutjecaj na donošenje odluke hoæe li se na nekoj lokaciji graditi ili ne. Propisi za-branjuju graðenje na nestabilnim lokacijama ili na terenima podlo�nim likvefakcijirastresitog pjeskovitog i drugog materijala zasiæenog vodom. Posljedice gradnje naterenima podlo�nim likvefakciji prikazane su na slici P2-8.

Intenzitet ukupnog seizmièkog optereæenja na graðevinu temeljenu na tlu ve-like dubine do osnovne stijene mo�e se smanjiti ugradnjom posebnih naprava(viskoznih prigušivaèa) za apsorpciju seizmièke energije, èime se posti�e djelo-mièno izoliranje konstrukcije od utjecaja vibracija temeljnog tla izazvanih potre-som. Ovakve se naprave ugraðuju ne samo u temeljima (base isolation), veæ i u po-jedinim elementima noseæe konstrukcije graðevine, slika P2-9. Ovdje se navedenametoda izoliranja vibracija samo spominje, ona je predmet mnogih teorijskih ieksperimentalnih istra�ivanja, a primijenjena je na poznatim graðevinama širomsvijeta. Dobar prikaz izoliranja vibracija izlo�en je u [6].

565


Sl. P2-8. Prevrtanje kompletnih graðevina temeljenih na materijalu podlo�nom likvefakciji(potres Niigata, Japan, 1964)



566

PRILOZI

Sl. P2-9. Primjena viskoznih prigušivaèa za smanjenje seizmièkih djelovanja na konstrukciju



PRILOG 3.: Odreðivanje najpovoljnijih oblikagraðevina u seizmièkim podruèjima

Gradivo koje æe se izlo�iti u Prilogu 3. treba pojasniti kriterij regularnostigraðevinskih konstrukcija (regularity criteria). Ovaj pojam regularnosti kon-strukcije je vrlo va�an za razumijevanje odredbi EN 1998-1:2004 (Eurokod 8-1),jer on utjeèe na vrijednosti faktora ponašanja i vrijednosti seizmièkih sila.

Prilog 3. va�an je za arhitekte i in�enjere konstruktore jer se od njih oèekujeda projektiraju takav vanjski oblik graðevine (njenu konstrukciju) koji je povoljanza seizmièka podruèja, buduæi da se ne mo�e oèekivati od slabo oblikovane gra-ðevine njeno dobro ponašanje u potresu, bez obzira koliko toèno izraèunali nje-nu konstrukciju. Kada se ka�e “slabo oblikovana graðevina” misli se na osobinenjene konstrukcije glede ponašanja u potresu, jer takva konstrukcija mo�e biti po-godna za podruèja koja nisu seizmièki aktivna. Teško se posti�e idealan univerza-lan oblik graðevine i idealna konstrukcija za potresna podruèja, ali postoje odreðe-ni koncepti projektiranja i naèela koja moraju biti ispunjena. Ukratko, konstrukcijatreba (slika P3-1.):

• biti jednostavna,

• imati simetriènost,

• ne biti previše izdu�ena u tlocrtu niti previše visoka,

• imati jednoliku i kontinuirano raspodijeljenu krutost u tlocrtu i po vi-sini,

• biti izraèunata tako da u horizontalnim elementima konstrukcije plastiènizglobovi nastanu prije nego u vertikalnim elementima,

• imati odreðenu krutost u odnosu na karakteristike tla ispod temelja (interak-cija tla i konstrukcije, Prilog 2).

Potres æe nesumnjivo otkriti sve slabosti konstrukcije jer æe one biti raz-logom urušavanja graðevine u potresu. Va�no je da se u projektu konstrukcijeprimijene pozitivne spoznaje o projektiranju graðevina u seizmièkim podruèjima.Primjenom nabrojanih pravila projektant pokazuje da razumije ponašanje konstruk-

567

PRILOG 3.: Odreðivanje najpovoljnijih oblika graðevina u seizmièkim podruèjima



cije u potresu. Valja znati da su ovo samo osnovna pravila i da se njihovom primje-nom još uvijek ne mo�e govoriti o idealnom ponašanju konstrukcije u potresu, aliuz dobro projektiranje i izvedbu detalja postoje velike šanse da se konstrukcija neuruši nakon djelovanja potresa velikog intenziteta, te samim tim ispuni uvjet neurušavanja konstrukcije NCR, uveden i objašnjen u poglavlju 14.

568

PRILOZI

Sl. P3-1. Jednostavna pravila za oblikovanje tlocrta graðevine u potresnim podruèjima [23](Ako se ova pravila moraju prekršiti, valja napraviti detaljnu dinamièku analizu

konstrukcije i pa�ljiv odabir detalja)

TLOCRTI

PRAVILNO NEPRAVILNO KOMENTARI



Jednostavnost i simetrija

Ponašanje konstrukcija u stvarnim potresima pokazalo je da najjednostavnijeoblikovane konstrukcije imaju najveæu vjerojatnost da se ne uruše u potresu. Pro-jektantu je lakše shvatiti sveukupno ponašanje konstrukcije u potresu ako je onajednostavna te ako su jednostavni i njeni detalji. Poslije æe se pokazati što to znaèi.

Simetrija je po�eljna zbog istih, navedenih razloga, pri èemu je va�no da kon-strukcija bude simetrièna u tlocrtu u oba pravca, slika P3-1. Ako ovakva simetrija nepostoji, stvaraju se torzijski efekti koji mogu biti nepovoljni za konstrukciju, slikaP3-2. (ako se polo�aj centra masa C. M. konstrukcije ne podudara s centrom njenekrutosti C. R.). Naèin uvrštavanja torzijskog efekta u izraèun obraðen je u literaturi.

569


Sl. P3-2. Konstrukcija èiji su gabariti simetrièni, ali zbog nepovoljnog polo�aja vertikalnih platna centarmasa (C. M) u tlocrtu odstupa od centra krutosti (C. R) pa se u konstrukciji javljaju torzijski efekti



Sveukupni oblik graðevine ne smije biti izdu�en niti u tlocrtu niti po visini

(regularity in plan and elevation).

Što je graðevina dulja u tlocrtu to je veæa vjerojatnost da doðe do razlika upomacima koji se za vrijeme potresa odvijaju istodobno na oba kraja graðevine.Takva situacija donosi katastrofalne efekte na konstrukciju. Ako za odreðeni pro-jekt kvadratni oblik tlocrta (koji je najpovoljniji) iz arhitektonskih razloga ne od-govara, tada treba projektirati više odvojenih graðevina, znaèi izdu�eni tlocrt po-dijeliti na dijelove pribli�no kvadratnog tlocrta. Izmeðu ovakvih dijelova treba uprojektu predvidjeti seizmièke dilatacije koje moraju biti toliko široke da se iz-bjegne meðusobno sudaranje razdijeljenih dijelova za vrijeme potresa.

Va�no je uoèiti (slika P3-1.) da tlocrte oblika “T” i “L” , kao i neke tlocrteoblika “H”, ne bi trebalo projektirati bez seizmièkih dilatacija. Valja uoèiti davanjska stepeništa i dizala predstavljaju loš primjer tlocrta, jer dolazi do koncentri-ranja sila na tim mjestima u potresu, kao i torzijskih sila, koje je teško uzeti u obziru izraèunu bez kompleksne dinamièke analize. Ako veæ treba raditi vanjska stepe-ništa izvan pravokutnog gabarita graðevine, to moraju biti zasebne konstrukcije, te-meljene na zasebnim temeljima, koje imaju svoje dinamièke karakteristike u pravi-lu razlièite od dinamièkih karakteristika graðevine. Pritom valja posvetiti naroèitupozornost na vezu konstrukcije stepeništa s glavnom konstrukcijom.

Za oblik graðevine po visini usvojena su pravila kao na slici P3-3., tj. odnosvisine i širine graðevine ne bi trebao biti veæi od 4. Što je konstrukcija vitkija, to suveæi efekti potresa jer dolazi do koncentracije naprezanja u vanjskim stupovimakonstrukcije. Ovaj je uvjet oèigledno u suprotnosti s praksom buduæi da se danas

570

PRILOZI

Sl. P3-3. Jednostavna pravila koja treba primijeniti za oblik graðevine po visini [23] (Ako se ovimpravilima ne mo�e udovoljiti, valja uraditi dinamièki izraèun konstrukcije i pa�ljiv odabir detalja)



grade iznimno visoke graðevine èija je visina h puno veæa od vrijednosti 4b, slikeP3-13. i P3-14. Za takve atipiène graðevine rade se dinamièki izraèuni i primjenju-ju najnovije spoznaje i tehnologije (primjerice izoliranje vibracija u temeljima).

Pravila izlo�ena u ovom poglavlju odnose se na konstrukcije projektirane pre-ma nacionalnim propisima. Kao što je veæ reèeno, za sve druge konstrukcije trebaraditi dinamièku analizu.

Jednoliko i kontinuirano raspodijeljena krutost u tlocrtu i po visini graðevine

Ovaj koncept projektiranja konstrukcija u seizmièkim podruèjima takoðerunosi jednostavnost i simetriju kao glavne odlike konstrukcije. Konstrukcija æeimati najveæe šanse da ne bude urušena u potresu ako su:

� noseæi elementi konstrukcije jednoliko rasporeðeni u tlocrtu kako bi seizbjegao efekt torzije,

� vertikalna platna (shear walls) kontinuirano izvedena od temelja do krovišta,

� stupovi i grede meðusobno okomiti,

� armiranobetonski stupovi i grede pribli�no iste širine,

te ako:

� glavni elementi konstrukcije ne mijenjaju naglo svoj popreèni presjek,

� konstrukcija je što više statièki neodreðena i monolitna.

Ako se nabrojani zahtjevi za konstrukciju manje poštivaju, konstrukcija po-staje ne samo skuplja veæ i “ranjivija” (ovaj termin je iz potresnog in�enjerstva odengl. vulnerability), znaèi podlo�na ošteæenjima u potresu.

Treba biti svjestan da su iznesena ogranièenja za arhitekta èesto neprihvatlji-va, što predstavlja veliki problem jer se primjenom navedenih naèela doneklesmanjuje sloboda u projektiranju. Mo�da je za arhitekta najneprihvatljiviji zahtjevza neprekidnošæu vertikalnih elemenata konstrukcije, posebno ako se radi o arhi-tektonskom zahtjevu koji se odnosi na konzolna proèelja i stupove koji nose verti-kalna platna, slika P3-4.

Iznenadna promjena boène krutosti po visini graðevine nije po�eljna. Èesto seiz komercijalnih razloga, radi dobivanja što veæeg nepregraðenog prostora u pri-zemlju ono projektira kao “meko”, slika P3-4. U tom sluèaju neki se vertikalni no-seæi zidovi iznad prizemlja prekidaju te je potrebno provesti kompleksnu analizutakve konstrukcije da bi se dokazalo kako se ona neæe urušiti u potresu. U naèelu,graðevine s “mekim katom” (a to je najèešæe meko prizemlje) treba izbjegavati jer

571




se pokazalo da se one redovito jako ošteæuju u potresima. Istra�ivanja u SAD-u iNew Zealandu pokazala su da je projektiranje mekih katova povezano s teorijskimi praktiènim problemima, te se prema današnjim spoznajama u podruèju potresnogin�enjerstva još ne preporuèuje projektiranje graðevina s “mekim” prizemljem.

Primijeæeno je da su vrlo široke grede teško ošteæene u potresu na mjestimana kojima se oslanjaju na stupove uobièajene širine. S druge strane, široke i jakegrede mogu utjecati da grede imaju veæu nosivost od stupova, èime bi se ostvariline�eljeni plastièni zglobovi u stupovima, što nije dobro za sveukupnu sigurnostgraðevine. Projektiranje detalja veze stupa i grede pokazano je na slici P3-5.

572

PRILOZI

Sl. P3-4. Jednostavna pravila za vertikalne okvire u seizmièkim podruèjima [23]

Sl. P3-5. Jednostavno pravilo koje se odnosi na širinu grede i stupaarmiranobetonskih konstrukcija u seizmièkim podruèjima [23]



Horizontalni i vertikalni elementi konstrukcije

Naposljetku je kao naèelo preporuèeno da konstrukcija bude višestrukostatièki neodreðena. To naèelo dovodi se u vezu s èinjenicom da potresno otpor-nu i ekonomski prihvatljivu konstrukciju treba projektirati tako da ona posjedu-je sposobnost razgradnje (trošenja) što veæe kolièine seizmièke energije koja seu konstrukciju unosi potresom. To se posti�e stvaranjem plastiènih zglobova uodreðenim popreènim presjecima. U tim presjecima dolazi (zbog plastiènih de-formacija) do trošenja energije unijete u konstrukciju potresom. Na taj se naèinstupanj statièke neodreðenosti konstrukcije smanjuje sve do trenutka kada onapostaje statièki odreðena, ali ne i kinematièki labilan mehanizam jer bi se utom sluèaju urušila. Progresivan slom materijala i stvaranje armiranobeton-skoga plastiènog zgloba u gredi, uslijed seizmièkih utjecaja, prikazan je na sliciP3-6.

Za okvirne konstrukcije u zgradarstvu temeljni je zahtjev da nosivost njihovihhorizontalnih elemenata u potresu bude iscrpljena prije dostizanja graniène nosivo-sti njihovih vertikalnih elemenata, slika P3-7. i slika P3-8. Na taj se naèin osigura-va da ne doðe do urušavanja konstrukcije u potresu. Uoèeno je da se u potresu kon-strukcija neæe urušiti èak i onda kada su horizontalne grede (i plošni nosaèi kata)teško ošteæene u podruèjima plastiènih zglobova, ali zato se nosivost konstrukcijeu cjelini u potresu rapidno smanjuje ako u stupovima neki od popreènih presjekabude plastificiran. Jedino se dopušta stvaranje plastiènoga zgloba u stupu na mjestunjegove veze s temeljem, slika P3-8.

573


Sl. P3-6. Progresivan slom materijala i stvaranje armiranobetonskoga plastiènog zglobauslijed seizmièkih utjecaja



574

PRILOZI

Sl. P3-7. Pravilo odnosa nosivosti stupova i greda okvirne konstrukcije u seizmièkim podruèjima [23]

Sl. P3-8. Mehanizmi stvaranja plastiènih zglobova za tipièan višekatni okvir:(a) plastièni zglobovi u stupovima (nedopustivo, osim na mjestima veze stupa s temeljem)

(b) plastièni zglobovi u gredama (po�eljno)



Znaèi da kruti vanjski parapeti (spandrels) na balkonima, slika P3-9., što je èestdetalj u zgradarstvu, nikako ne smiju biti sastavni dijelovi greda nosive konstrukcijeu seizmièkim podruèjima, jer se nenamjerno ostvaruje prevelika otpornost greda, paæe se u tom sluèaju otvaranje plastiènih zglobova dogoditi najprije u stupovima. Tajse detalj rješava izvoðenjem dilatacije (gap) izmeðu parapeta i stupa, slika P3-9.

Na slici P3-10. prikazano je kako se samim naèinom armiranja (oblik i po-lo�aj armature) mo�e predvidjeti da se plastièni zglobovi u potresu “otvore” namjestima na kojima su po�eljni, a ta su mjesta u presjecima greda neposredno dostupova (hinge zones). Ovim detaljem pokazano je i to kako se nakon sloma betonazakošenim polo�ajem glavne armature prihvaæaju posmièna naprezanja te sprjeèa-va posmièno skliznuæe u podruèju plastiènoga zgloba [54].

575


Sl. P3-9. Po�eljan detalj vanjskog okvira kojim je odvojen parapet od nosivih stupova,èime grede postaju mjesta stvaranja plastiènih zglobova

(prije stvaranja plastiènih zglobova u stupovima)

Sl. P3-10. Oblik i polo�aj armature kojim se predviðaju mjesta plastiènih zglobova te sprjeèavanjeposmiènog skliznuæa u podruèju plastiènoga zgloba uporabom zakošene glavne noseæe armature



Na slici P3-11. shematski je prikazano ponašanje pregradnih zidova u potresu,koji mogu biti dijelovi noseæe konstrukcije (integrated panels) ili nenoseæi zidoviispune (infill walls-separated panels), èije urušavanje takoðer predstavlja potenci-jalnu opasnost po ljudske �ivote. Ovo je urušavanje posljedica deformabilnosti ske-letne konstrukcije. Na slici P3-12. pokazan je detalj veze nenoseæeg elementa zakonstrukciju koji pokazuje da æe se u potresu oštetiti samo dijelovi tog elementaneposredno do skeletne konstrukcije, ali se pregradni element neæe urušiti. Ovakavse detalj obvezno izvodi u bolnicama.

576

PRILOZI

Sl. P3-11. Prikaz polo�aja nenoseæih (pregradnih) elemenatau odnosu na noseæu skeletnu konstrukciju

Sl. P3-12. Detalj veze nenoseæeg elementa za konstrukciju kojim æe se u potresuoštetiti samo dijelovi nenoseæeg elementa



Sve navedeno u ovom poglavlju odnosi se na projektiranje i izvedbu novih gra-ðevina zgradarstva u potresnim podruèjima, što je propisano u EN 1998-1:2004(Eurokod 8-1). Ako se odstupa od navedenih naèela projektiranja u potresnim po-druèjima, onda za takve graðevine treba raditi detaljnija istra�ivanja lokacije i toènijiproraèun (nelinearne metode proraèuna, poglavlje 16.). Primjeri uspješno izvedenihgraðevina koje odstupaju od navedenih naèela dani su na slikama P3-13. i P3-14.

577


Sl. P3-13. Primjeri seizmièki uspješno projektiranih visokih zgrada u San Franciscu



578

PRILOZI

Sl. P3-14. Primjeri gradnje u Japanu, Kobe, nakon katastrofalnog potresakoji je pogodio Kobe 17. sijeènja 1995. godine



PRILOG 4.: Dijelovi EN 1991-1-4:2005 koji se odnosena aerodinamiku

P4.1. Brzina vjetra i tlak izazvan brzinom vjetra

P4.1.1. Osnove proraèuna

Brzina vjetra i tlak izazvan brzinom vjetra sastoje se od dvije komponen-te � prosjeène komponente i promjenljive komponente.

Prosjeèna brzina vjetra v m odreðuje se iz osnovne brzine vjetra v b koja ovisi ovjetrovnoj klimi i visinskoj promjeni vjetra. Visinska promjena vjetra ovisi o hra-pavosti terena i orografiji terena.

Promjenljiva komponenta vjetra predstavljena je intenzitetom turbulencijeI zv ( ).

P4.1.2. Osnovna vrijednost brzine vjetra

Osnovna brzina vjetra odreðena je jednad�bom:

v c c vb dir season b� � � , 0 (P4.1)

Ovdje su:

v b � osnovna brzina vjetra, definirana kao funkcija smjera vjetra i godišnjegdoba, na visini od 10 metara iznad tla II. kategorije hrapavosti terena,

v b , 0 � temeljna vrijednost osnovne brzine vjetra koja se definira kao karak-teristièna 10 � minutna prosjeèna brzina vjetra neovisna o smjeruvjetra i godišnjem dobu, na visini od 10 metara iznad otvorenogterena s niskom vegetacijom (trava, izdvojene prepreke na razmaci-ma najmanje 20 visina prepreka, što spada u II. kategoriju hrapavostiterena). Ova je vrijednost zadana u Nacionalnom dodatku,

579

PRILOG 4.: Dijelovi EN 1991-1-4:2005 koji se odnose na aerodinamiku



cdir � koeficijent smjera vjetra (definira se u Nacionalnom dodatku, prepo-

ruèa se vrijednost cdir �1),

cseason� koeficijent ovisan o godišnjem dobu (definira se u Nacionalnom do-

datku, preporuèa se vrijednost cseason �1) .

Ondje gdje utjecaj nadmorske visine na osnovnu brzinu vjetra v b nije uzet uobzir u odreðenoj temeljnoj vrijednosti v b , 0 , Nacionalnim se dodatkom mo�e datipostupak za uzimanje iste u obzir.

P4.1.3. Prosjeèna brzina vjetra

Prosjeèna brzina vjetra v zm ( ) na visini z iznad terena ovisi o hrapavosti tere-na, orografiji i osnovnoj brzini vjetra, a odreðuje se izrazom:

v z c z c z vm r o b( ) ( ) ( )� � � (P4.2)

Ovdje su:

v zm ( ) � prosjeèna brzina vjetra na visini z (proraèunske karte za v zm ( )mogu biti dane u Nacionalnom dodatku),

c zr ( ) � koeficijent hrapavosti terena,

c zo ( ) � koeficijent orografije (definira se u Nacionalnom dodatku, prepo-

ruèena je vrijednost c zo ( )�1) .

• Hrapavost terena

Koeficijent hrapavosti c zr ( ) uzima u obzir promjenljivost prosjeène brzinevjetra na mjestu graðevine zbog:

� visine iznad tla,

� hrapavosti terena s privjetrene strane graðevine u promatranom smjeruvjetra.

Vrijednost c zr ( ) propisuje se Nacionalnim dodatkom. Odreðuje se na te-melju logaritamske raspodjele brzina vjetra po visini (profilu). Jednad�be (P4.3),(P4.4) vrijede kada je privjetrena udaljenost s jednolikom hrapavosti terena dovolj-no dugaèka da stabilizira profil brzine vjetra.

580

PRILOZI



c z kz

zr r( ) ln� ��

�

�

��

0

za z z zmin max0 � (P4.3)

c z c zr r( ) ( )min� za z z0 min (P4.4)

Ovdje su:

kr � koeficijent terena ovisan o visini hrapave površine, dan je jednad�bom(P4.5),

kz

zro II

� ��

�

�

��019 0

0 07

,,

,

(P4.5)

z 0 � visina hrapave površine,

z II0, � 0,05 m (visina hrapave površine za teren kategorije II., tablica P4-1.),

z min � najmanja visina prema tablici P4-1,

z max� uzima se 200 m, ako nije drugaèije odreðeno Nacionalnim dodatkom.

Opisi kategorija terena i pripadne vrijednosti z 0 i z min dani su u tablici P4-1.:

581


Tablica P4-1. Kategorije terena i pripadne vrijednosti z0 i zmin

Kategorija terena z0 [m] zmin [m]

0 more ili priobalne površine izlo�ene otvorenom moru 0,003 1

I. jezera ili ravne i vodoravne površine sa zanemarivomvegetacijom i bez prepreka

0,01 1

II. površine s niskom vegetacijom poput trave i izdvojenihprepreka (drveæe, kuæe) s razmacima od najmanje 20 visinaprepreka

0,05 2

III. podruèje s jednolikim pokrovom vegetacije ili zgrada iliizdvojenih prepreka s razmacima od najviše 20 visinaprepreka (sela, predgraða, stalne šume)

0,3 5

IV. gradska podruèja u kojima je najmanje 15% površineizgraðeno i èija prosjeèna visina zgrada prelazi 15 metara

1,0 10



Hrapavost terena koja se koristi za dani smjer vjetra ovisi o hrapavosti tla iudaljenosti s jednolikom hrapavosti terena u kutnom isjeèku oko smjera vjetra. Ma-le površine (manje od 10% promatrane površine) s promjenljivom hrapavosti moguse zanemariti.

Na slici P4-1. prikazan je naèin odreðivanja hrapavosti terena.

U sluèaju moguænosti izbora dvije ili više kategorija terena, uzima se ono po-druèje s najmanjom duljinom hrapavosti.

• Orografija terena

Orografija se (utjecaj bre�uljaka, stijena itd. na poveæanje brzine vjetra) uzi-ma u obzir ondje gdje se zbog nje brzina vjetra poveæava više od 5%. Uèinciorografije mogu se zanemariti kada je prosjeèan nagib privjetrenog terena manji od3° (za privjetreni se teren uzima deseterostruka udaljenost visine izdvojene uzvi-sine).

Najveæi porast brzine vjetra nastaje na vrhu uzvisine. Uzvisina nema znaèajni-jeg utjecaja na standardnu devijaciju turbulencije.

582

PRILOZI

Sl. P4-1. Odreðivanje hrapavosti terena



Jednad�ba za koeficijent orografije dana je kao:

cv

vom

mf

� (P4.6)

gdje su:

co � koeficijent orografije (postupak za odreðivanje co mo�e biti zadan

Nacionalnim dodatkom),

v m � prosjeèna brzina vjetra na visini z od uzvisine,

v mf � prosjeèna brzina vjetra iznad ravnog terena.

P4.1.4. Turbulencija vjetra

Intenzitet turbulencije I zv ( ) definiran je kao standardna devijacija turbulenci-je podijeljena s prosjeènom brzinom vjetra. Turbulentna komponenta brzine vjetraima nultu prosjeènu vrijednost i standardnu devijaciju O v .

Standardna devijacija turbulencije odreðuje se jednad�bom:

O v r b Ik v k� � � (P4.7)

gdje je:

k I � koeficijent turbulencije (vrijednost kI dana je u Nacionalnom dodatku).

583


Sl. P4-2. Poveæanje brzine vjetra zbog orografije



Odreðivanje vrijednosti intenziteta turbulencije definirano je jednad�bama:

I zv z

k

c z zvv

m

I

o

( )( ) ln ( )

� ��

O

0

za z z zmin max0 � (P4.8)

I z I zv v( ) ( )min� za z z0 min (P4.9)

Ovdje su:

z 0 � duljina hrapavosti

co � koeficijent orografije

P4.1.5 Vršni tlak izazvan brzinom vjetra (pritisak vjetra)

Vršni tlak vjetra q zp ( ) na visini z ukljuèuje prosjeène i kratkotrajne promjeneu brzini. Pravila za odreðivanje vršnog vjetrenog tlaka mogu biti dana u Nacio-nalnom dodatku, a preporuèena vrijednost vršnog vjetrovnog tlaka dana je jed-nad�bom:

q z I z v zp v m( ) [ ( )] ( )� � � � � �1 71

22; (P4.10)

q z c z qp e b( ) ( )� � (P4.11)

q vb b� � �1

22; (P4.12)

c zq z

qe

p

b

( )( )

� (P4.13)

Ovdje su:

; � gustoæa zraka ovisna o nadmorskoj visini, temperaturi i barometar-skom tlaku koji se oèekuje u podruèju za vrijeme oluje (definira se

u Nacionalnom dodatku, preporuèena vrijednost ;�125, kg/m3),

c ze ( ) � koeficijent izlo�enosti,

qb � osnovni tlak izazvan brzinom vjetra.

584

PRILOZI



Za ravne terene gdje je c zo ( )�1, koeficijent izlo�enosti c ze ( ) dan je prema sli-ci P4-3 kao funkcija visine terena i kategorije terena definirane prema tablici P4-1.

P4.2. Sile vjetra

P4.2.1. Tlak vjetra na površine

Tlak vjetra koji djeluje na vanjske površine we odreðuje se jednad�bom:

w q z ce p e pe� �( ) (P4.14)

gdje su

q zp e( )� vršni tlak izazvan brzinom vjetra,

z e � poredbena visina za vanjski tlak,

c pe � koeficijent tlaka za vanjski tlak.

585


Sl. P4-3. Ilustriranje koeficijenta izlo�enosti ce(z) za co(z) � 1 , kI � 1prema kategorijama terena



Tlak vjetra koji djeluje na unutrašnje površine wi odreðuje se jednad�bom:

w q z ci p i pi� �( ) (P4.15)

gdje su

q zp i( ) � vršni tlak izazvan brzinom vjetra,

z i � poredbena visina za unutrašnji tlak,

c pi � koeficijent tlaka za unutrašnji tlak.

Rezultantni tlak vjetra na zid, krov ili element jest razlika tlakova na svakupovršinu uzimajuæi u obzir nijhov predznak. Tlak je pozitivan ako djeluje premapovršini, a negativan ako djeluje od površine (usisno djelovanje). Primjeri su danina slici P4-4.

586

PRILOZI

Sl. P4-4. Tlak na površine



P4.2.2. Sile vjetra

Sile vjetra na konstrukciju ili konstrukcijske elemente moraju se odrediti uzi-majuæi u obzir i vanjske i unutrašnje tlakove vjetra.

Odreðivanje sila moguæe je na dva naèina:

(1) Izraèunom pomoæu koeficijenata sila

(2) Izraèunom sila pomoæu tlakova na površine

• Izraèun pomoæu koeficijenata sila

Sila vjetra Fw koja djeluje na konstrukciju ili konstrukcijski element mo�e seodrediti izravno jednad�bom:

F c c c q z Aw s d f p e ref� � � �( ) (P4.16)

ili vektorskim zbrojem svih pojedinaènih konstrukcijskih elemenata pomoæu jed-nad�be:

F c c c q z Aw s d f p e refelementi

� � � �� ( ) (P4.17)

Ovdje su:

c cs d � faktor konstrukcije, uzima u obzir uèinke na sile vjetra od:� nesimultanih uèinaka vršnih tlakova vjetra na površine (cs );� vibracija konstrukcije zbog turbulencija (cd ).(konstrukcioni faktor c cs d je moguæe razdvojiti na faktor velièinecs i dinamièki faktor cd a uputstvo o tome da li se konstrukcionifaktor c cs d treba razdvojiti ili ne mo�e biti dano u Nacionalnomdodatku); vrijednost faktora konstrukcije c cs d je dana u 6. dijelu iDodatku D, EN 1991-1-4:2005 [81],

c f � koeficijent sile za konstrukciju ili konstrukcijski element,

q zp e( ) � vršni tlak izazvan brzinom vjetra,

Aref � poredbena površina konstrukcije ili konstruktivnog elementa.

587




• Izraèun sila pomoæu tlakova vjetra na površine

Sila vjetra Fw koja djeluje na konstrukciju ili konstrukcijski element mo�e seodrediti vektorskim zbrojem sila Fw e, , Fw i, i F fr izraèunatih iz vanjskih i unu-trašnjih tlakova i pomoæu sila trenja uslijed trenja vjetra paralelno s vanjskim po-vršinama, pomoæu jednad�bi:

vanjske sile F c c Aw e s d ref, � � ��wepovrsine

(P4.18)

unutrašnje sile F Aw i ref, � ��wipovrsine

(P4.19)

sile trenja F c q z Afr fr p e fr� � �( ) (P4.20)

Ovdje su:

we � vanjski tlak pojedinaène površine na visini z e ,

wi � unutrašnji tlak pojedine površine na visini z e ,

Aref � poredbena površina pojedinaènih ploha,

c fr � koeficijent trenja,

A fr � površina vanjskih ploha paralelnih smjeru vjetra.

Sile trenja djeluju u smjeru djelovanja vjetra usporedno s vanjskim površina-ma. Uèinci trenja mogu se zanemariti kada je cjelokupna površina svih ploha kon-strukcije usporedna ili pod malim kutom u odnosu na vjetar manja ili jednakaèetverostrukoj cjelokupnoj površini svih vanjskih ploha konstrukcije okomitih nasmjer vjetra (s privjetrine ili zavjetrine).

U zbroju sila vjetra koje djeluju na graðevine neslaganje izmeðu privjetrenih izavjetrenih tlakova mo�e se uzeti u obzir.

588

PRILOZI



P4.3. Tlakovi i koeficijenti sila

P4.3.1. Aerodinamièki koeficijenti

Ovisno o konstrukciji pripadni su aerodinamièki koeficijenti:� unutrašnji i vanjski koeficijent tlaka� rezultantni koeficijenti tlaka� koeficijent trenja� koeficijent sile

P4.3.2. Koeficijent sile za elemente pravokutnog popreènog presjeka

Koeficijent sile daje ukupni efekt vjetra na konstrukciju ili elemente konstruk-cije, a ako nije drugaèije odreðen ukljuèuje i trenje.

Koeficijent sile c f za elemente pravokutnog popreènog presjeka kada vjetarpuše okomito na lice presjeka odreðuje se prema jednad�bi:

c cf f r� � �, 0 L �L (P4.21)Ovdje su:

c f , 0 � koeficijent sile za pravokutni popreèni presjek s oštrim rubovima, bezslobodnog protoka kroz presjek (dan slikom P4-5.),

L r � redukcijski faktor za kvadratne popreène presjeke sa zaobljenim rubo-vima, ovisi o Reynoldsovu broju (prilog P4.5); vrijednosti L r mogu

biti dane u Nacionalnom dodatku, a preporuèene vrijednosti su dane

na slici P4-6.,

L � � faktor rubnih efekata za elemente sa slobodnim protokom, uklju-èuje reducirani otpor konstrukcije zbog toka vjetra oko rubova pre-sjeka. Faktor rubnih efekata L � odreðuje se kao funkcija stupnja vitko-sti �,

� � efektivna vitkost, ovisi o dimenzijama konstrukcije i poziciji konstruk-cije, preporuèene vrijednosti dane su u tablici P4-2.:

589




590

PRILOZI

Sl. P4-5. Koeficijent sile cf.0 za pravokutne popreène presjeke s oštrim rubovima,bez slobodnog protoka

Sl. P4-6. Redukcijski faktor L r za kvadratne popreène presjeke sa zaobljenim rubovima



Vrijednosti faktora rubnih efekata L � kao funkcije stupnja ispunjenosti � da-ne su dijagramom na slici P4-7:

591


Tablica P4-2. Preporuèene vrijednosti efektivne vitkosti � za cilindriène, rešetka-ste i poligonalne presjeke konstrukcija



� � stupanj ispunjenosti, definiran je jednad�bom:

��A

Ac

(P4.22)

gdje su:A � zbroj projiciranih površina elemenata rešetkeAc � ukupna površina

A l bc � � (P4.23)

592

PRILOZI

Sl. P4-7. Indikativne vrijednosti faktora rubnih efekata kao funkcije stupnja ispunjenostii efektivne vitkosti

Sl. P4-8. Definicija stupnja ispunjenosti



U 7. poglavlju EN 1991-1-4:2005 [81] dane su vrijednosti koeficijenata tlakac pe i c pi kao i koeficijenata sila c f za: zatvorene zgrade raznih oblika krovišta,otvorene graðevine (canopy roofs), samostojeæe zidove i parapete, samostojeæe pa-noe (signboards), cilindriène graðevine kru�nih presjeka, kupole, rešetkaste nosa-èe, nosaèe zastava (jarbole), itd. Pri tome su obraðeni pravokutni i poligonalni po-preèni presjeci. U sve detalje ovdje se neæe ulaziti, veæ se èitalac upuæuje na EN1991-1-4:2005 [81] u izvorniku, pri èemu æe odabrati vrijednosti koeficijenta silac f za konkretni sluèaj koji se projektira.

Primjerice, za samostojeæe panoe podignute od tla na visinu z g , koja je veæaod èetvrtine visine samog panoa, koeficijent sile c f prema èlanku 7.4.3 spomenutenorme ima sljedeæu vrijednost:

c f �18,

Ova se vrijednost ovdje posebno spominje jer se koristi u numerièkom pri-mjeru na kraju 18. poglavlja ove knjige.

P4.4. Sile vjetra na mostove

P4.4.1. Opæenito*

Ovo poglavlje odnosi se samo na mostove s konstantnom visinom i po-preènim presjecima prikazanim na slici P4-9, s jednom kolnièkom ploèom i jednimili više raspona.

*NAPOMENA: U prilogu P4.4. za širinu popreènog presjeka mosta koristi se simbol b, a zavisinu popreènog presjeka mosta simbol d, za razliku od ostalih dijelova Priloga P4.

593




594

PRILOZI

Sl. P4-9. Normalni popreèni presjeci mostova



P4.4.2. Sile vjetra na mostove

Sile vjetra na mostove predstavljene su komponentama u smjerovima x, y, zprema slici P4-10.:

x � smjer, usporedan sa širinom kolnika, okomit na raspony � smjer, uzdu� rasponaz � smjer, okomit na kolnikL � duljina u smjeru yb � širina u smjeru xd � visina u smjeru z

Sile u smjeru x i y nastaju uslijed djelovanja vjetra u razlièitim smjerovima iobièno nisu simultane (istovremene). Sile u z-smjeru mogu nastati uslijed strujanjazraka u raznolikim smjerovima te ih, ako su nepovoljne i znaèajne, treba raèunatisimultano sa silama iz bilo kojeg smjera.

Tamo gdje se cestovno optereæenje promatra istovremeno s vjetrom vrijednostsile vjetra u kombinaciji L 0 Fwk na most i vozila mora biti ogranièena na Fw

* , kojaje odreðena sa zamjenskom vrijednosti v b ,

*0 kao temeljnom vrijednosti brzine vjetra

v b , 0 . Vrijednost v b ,*

0 mo�e biti dana Nacionalnim dodatkom, preporuèena je vri-

jednost v b ,*

0 � 23 m/s.Tamo gdje se �eljeznièko optereæenje promatra istovremeno s vjetrom vrijed-

nost sile vjetra u kombinaciji L 0 Fwk na most i vlak mora biti ogranièena na Fw** ,

koja je odreðena sa zamjenskom vrijednosti v b ,**

0 kao temeljnom vrijednosti brzinevjetra v b , 0 . Vrijednost v b ,

**0 mo�e biti dana Nacionalnim dodatkom, preporuèena

je vrijednost v b ,**

0 � 25 m/s.

595


Sl. P4-10. Smjerovi sila vjetra na most



P4.4.3. Koeficijenti sile

Izbor postupka izraèuna ovisi o tome je li potreban dinamièki postupak zamostove (uvjeti mogu biti propisani Nacionalnim dodatkom). Ako dinamièki po-stupak nije potreban, mo�e se uzeti da je c cs d �1.

Za normalne cestovne i �eljeznièke ploèe kolnika raspona manjeg od 40 m,postupak dinamièkog odziva opæenito nije potreban. Normalni mostovi podrazumi-jevaju mostove izvedene od èelika, betona, aluminija ili drva, ukljuèujuæi i spre-gnutu izvedbu, èiji je popreèni presjek dan slikom P4-9.

• Koeficijenti sile u smjeru x (opæa metoda)

Koeficijent sile vjetra na kolnike mostova u smjeru x dan je kao:

c cf x fx, ,� 0 (P4.24)

gdje je:

c fx , 0� koeficijent sile bez slobodnog protoka na krajevima (za normalne mo-stove c fx , ,0 13� , alternativno sa slike P4-12.).

Tamo gdje kut otklona vjetra prelazi 10°, koeficijent trenja mo�e se dobiti poseb-nim istra�ivanjima. Taj se kut mo�e dogoditi zbog nagiba terena na privjetrenoj strani.

Tamo gdje je lice privjetrene strane otklonjeno od vertikale (slika P4-19.) ko-eficijent trenja mo�e se umanjiti 0,5% za svaki stupanj otklona 1 od vertikale(maksimalno smanjenje iznosi 30%).

Tamo gdje je ploha mosta popreèno nagnuta koeficijent trenja potrebno jeuveæati 3% za svaki stupanj otklona (maksimalno poveæanje iznosi 25%).

596

PRILOZI

Sl. P4-11. Popreèni presjek mosta sa zakošenom površinom na koju djeluje vjetar



Poredbene površine Aref x, za kombinacije bez prometnog optereæenja definira-ju se:

(a) za mostove od punostjenih presjeka (hrptovi), kao zbroj:

1) ploha na prednji glavni nosaè

2) dijelova ploha drugih glavnih nosaèa koji se prote�u izvan rubovaprvog

3) prednjih dijelova vijenca ili hodnika koji se prote�u izvan rubova glav-nog nosaèa

4) prednjih dijelova bukobrana, gdje je mjerodavno, preko površine opi-sane u (a3) ili u nedostatku takve opreme 0,3 m za svaki otvoreni para-pet ili pregradu

597


Sl. P4-12. Koeficijenti sile za mostove cfx,0



(b) za mostove s rešetkastim nosaèima kao zbroj:1) prednje plohe jednog vijenca ili hodnika ili optereæenog traka2) dijelova svih glavnih rešetkastih nosaèa u okomitoj projekciji koji strše

iznad plohe opisane u (b1),3) prednjih dijelova bukobrana, gdje je mjerodavno, preko površine opi-

sane u (a3) ili u nedostatku takve opreme 0,3 m za svaki otvoreni para-pet ili ogradu

(c) za mostove s nekoliko glavnih nosaèa tijekom izvedbe, prije postavljanjakolovozne ploèe: frontalna površina dva glavna nosaèa

598

PRILOZI

Sl. P4-13. Visina koju treba uvrstiti za Aref,x

Tablica P4-3. Visina za odreðivanje Aref,x

Oprema cestovnih mostova Na jednoj strani Na obje strane

otvorene ograde ili otvoreni odbojnici d � 0,3 m d � 0,6 m

zatvorene ograde ili zatvoreni odbojnici d � d1 d � 2d1

otvorene ograde i otvoreni odbojnici d � 0,6 m d � 1,2 m



Umjesto površina opisanih u (a3) i (a4) te (b3), sljedeæe treba uzeti u izraèunako je veæe:

a) za cestovne mostove visinu od 2 m iznad kolnièke plohe na najne-povoljnijoj duljini, neovisno o smještaju vertikalnih prometnih optere-æenja

b) za �eljeznièke mostove visinu od 4 m od vrha traènica, na cijeloj duljinimosta

Za poredbenu visinu z e mo�e se uzeti udaljenost od najni�e razine tla do sre-dišta konstrukcije mosta, zanemarujuæi ostale dijelove poredbenih površina (npr.parapete).

• Sila vjetra u x-smjeru (pojednostavljena metoda)

Kada se ustanovi da postupak s dinamièkim odzivom nije potreban, sila vjetrau smjeru x mo�e se dobiti iz jednad�be:

F v C Aw b ref x� � � � �1

22; , (P4.25)

gdje su:


C � faktor optereæenja vjetrom, dan jednad�bom (P4.26):

C c ce f x� � , (P4.26)

ce � koeficijent izlo�enosti (P4.1.5),

Aref x, � popreèna površina uzeta okomito na smjer djelovanja vjetra,

; � gustoæa zraka.

Vrijednosti za faktor optereæenja C vjetrom mogu se definirati Nacionalnim

dodatkom, a preporuèene vrijednosti dane su u tablici P4-4.

599




• Sila vjetra u smjeru z

Koeficijenti sile c f z, moraju se odrediti za djelovanje vjetra na most u smjeruz, i to i odi�uæi i pritiskajuæi (koeficijenti uzgona). Ne smije se c f z, koristiti za izra-èun vertikalnih vibracija mosta.

U nedostatku mjerenja u zraènom tunelu, preporuèena vrijednost c f z, jednakaje ±0,9. Ova vrijednost opæenito uzima u obzir utjecaj popreènog nagiba mosta, na-giba terena i promjenu kuta smjera vjetra konstrukcije mosta uslijed turbulencije.Kao nadomjestak c f z, se mo�e uzeti i prema slici P4-14.

Kod uporabe slike P4-14. visina d tot mo�e biti ogranièena visinom konstruk-cije mosta, zanemarujuæi promet i bilo kakvu opremu. Za ravne horizontalne terenekut s horizontalom mo�e se uzeti kao ±5° zbog turbulencije. To isto vrijedi i zabre�uljkaste terene kada se most nalazi barem 30 m iznad tla.

Sila u smjeru z mo�e imati znaèajne uèinke jedino ako je sila istog reda velièi-ne kao i stalni teret.

Poredbena površina Aref,z jednaka je tlocrtnoj površini:

Aref,z� �b L (P4.27)

Faktor vitkosti ne smije se uvrstiti, poredbena visina jednaka je kao i za c f x, ,ako nema drugih podataka mo�e se uvrstiti ekscentricitet sile u smjeru x ode b� 4.

600

PRILOZI

Tablica P4-4. Preporuèene vrijednosti faktora sile C za mostove

b/dtot ze 0 20 m ze � 50 m

0 0,5 5,7 7,1

, 4,0 3,1 3,8

Ova se tablica temelji na sljedeæim pretpostavkama:� teren je kategorije II prema tablici P4 � 1� koeficijent sile cf,x odreðuje se prema jednad�bi P4.24� co � 1,0� kI � 1,0� za meðuvrijednosti b/dtot i ze koristi se linearna interpolacija



• Sila vjetra u smjeru y

Ako je potrebno, mo�e se raèunati i sa silama vjetra u uzdu�nom smjeru y.Preporuèene vrijednosti sile vjetra su:� za punostjene mostove 25% sile vjetra u smjeru x

� za rešetkaste mostove 50% sile vjetra u smjeru x

601


Sl. P4-14. Koeficijenti sile cf.z za mostove s popreènim nagibom i zakošenim djelovanjem vjetra



P4.5. Dodatak E � Vrtlo�no odvajanje i aerodinamièke nestabilnosti

P4.5.1. Opæenito

Vrtlo�no odvajanje nastupa kada se vrtlozi naizmjenièno odvajaju s nasuprot-nih strana konstrukcije, što je detaljno objašnjeno u 18. poglavlju. To poveæavapromjenjivo optereæenje popreèno na smjer vjetra. Kada se vlastita frekvencijakonstrukcije poklopi s frekvencijom vrtlo�nog odvajanja, mogu nastupiti oscilaci-je. Taj je uvjet ispunjen kada je brzina vjetra jednaka kritiènoj brzini pri kojoj na-stupa vrtlo�no odvajanje. Kritièna se brzina mo�e èesto pojavljivati i tako uzroko-vati zamor, stoga broj ciklusa optereæenja mo�e postati relevantan.

Odziv konstrukcije izazvan vrtlo�nim odvajanjem sastoji se od širokopojas-nog odziva (engl. broad-banded response) koji nastaje neovisno giba li se kon-strukcija i uskopojasnog odziva (engl. narrow-banded response) koji potjeèe od gi-banjem izazvanog optereæenja vjetrom. Širokopojasni odziv va�niji je kod armira-nobetonskih i teških èeliènih konstrukcija, dok je uskopojasni odziv va�niji kod la-kih èeliènih konstrukcija.

Uèinak vrtlo�nog odvajanja potrebno je istra�iti kada omjer najveæe premanajmanjoj dimenziji konstrukcije prelazi 6. Obje te dimenzije uzimaju se u ravniniokomitoj na smjer vjetra.

Vrtlo�no odvajanje ne mo�e nastati ako je ispunjen uvjet:

v vcrit i m, ,� �125 (P4.28)

gdje su:

v crit i,� kritièna brzina vjetra,

v m � prosjeèna brzina vjetra za popreèni presjek pri kojem se javlja vrtlo�noodvajanje.

P4.5.2. Osnovni parametri vrtlo�nog odvajanja

Kritièna brzina vjetra za savijajuæi vlastiti oblik oscilacije i definira se kaobrzina vjetra pri kojoj je frekvencija vrtlo�nog odvajanja jednaka vlastitoj frekven-ciji konstrukcije ili konstrukcijskog elementa i dana je jednad�bom:

vb n

Stcrit i

i y

,

,�

�(P4.29)

602

PRILOZI



Ovdje je:b �mjerodavna širina popreènog presjeka u podruèju rezonantne vrtlo�ne

pobude gdje je modalni progib konstrukcije ili promatranog konstruk-cijskog dijela najveæi,

ni y, � vlastita frekvencija i � tog oblika osciliranja popreèno na smjer vjetra,St � Strouhalov broj, tablica P4-5.

Kritièna brzina za cjelokupni i-ti ton osciliranja valjkastih ljuski definirana jekao brzina vjetra pri kojoj je dvostruka vrijednost vrtlo�ne frekvencije jednaka vla-stitoj frekvencije za cjelokupni i-ti ton valjkaste ljuske i dana je jednad�bom:

vb n

Stcrit i

i

,

,�

�

�0

2(P4.30)

b � promjer vanjske ljuske ,

ni , 0 � vlastita frekvencija ljuske i � tog tona .

• Strouhalov broj

603


Sl. P4-15. Strouhalov broj za oštrobridne pravokutne popreène presjeke



604

PRILOZI

Tablica P4-5. Strouhalov broj za razlièite oblike popreènog presjeka



• Scrutonov broj

Osjetljivost na oscilacije ovisi o konstruktivnom prigušenju i omjeru masekonstrukcije prema masi fluida. To je predstavljeno Scrutonovim brojem Sc koji jedan jednad�bom:

Scm

bS i e

��

�

22

�

;,

(P4.31)

Ovdje su:�S � konstrukcijsko prigušenje izra�eno pomoæu logaritamskog dekrementa,b �mjerodavna širina popreènog presjeka uslijed vrtlo�ne rezonancije,mi e, � ekvivalentna masa po jedinici duljine za i-ti oblik oscilacija,; � gustoæa zraka uslijed vrtlo�nog odvajanja (;�125, kg/m3).

• Reynoldsov broj

Djelovanje vrtlo�nog odvajanja na valjkasta tijela ovisi o Reynoldsovom bro-ju Re pri kritiènoj brzini vjetra v crit i, . Reynoldsov broj dan je jednad�bom:

Reb v

crit i

crit i

,

,�

�

P(P4.32)

Ovdje su:b � vanjski promjer valjka,P � kinematièka viskoznost zraka (P� � �15 10 6 m2/s),v crit i,� kritièna brzina vjetra.

P4.5.3 Djelovanje vrtlo�nog odvajanja

Djelovanje izazvano vrtlo�nim odvajanjem proizlazi iz inercijalnih sila po je-dinici duljine Fw(s), a isto je popreèno na smjer vjetra na mjestu s konstrukcije idano je jednad�bom:

F s m s n s yw i y i y F( ) ( ) ( ) ( ), , , max� � � � �2 2� M (P4.33)

m s( ) � oscilirajuæa masa konstrukcije po jedinici duljine [kg/m]ni y, � vlastita frekvencija konstrukcijeM i y s, ( ) � vlastiti oblik konstrukcije normaliziran na jediniènu vrijednost na

mjestu najveæeg pomakay F , max � najveæi pomak toèke u kojoj je M i y s, ( )�1

605




P4.5.4 Proraèun amplitude popreènih titraja

Ovaj pristup mo�e se koristiti za razlièite tipove konstrukcija i oblike oscili-ranja. U sebi ukljuèuje turbulenciju i uèinke hrapavosti i mo�e se koristiti za uobi-èajene klimatske prilike.

Najveæi pomak mo�e se izraèunati pomoæu jednad�be:

y

b St ScK K c

F

W lat

, max� � � � �

1 12 (P4.34)

St � Strouhalov broj (tablica P4-5.)

Sc � Scrutonov broj (jednad�ba P4.31)

KW � faktor efektivne duljine utjecaja

K � faktor oblika oscilacija

clat � aerodinamièki koeficijent pobudne sile

b �mjerodavna širina popreènog presjeka

• Aerodinamièki koeficijent pobudne sile clat,0

Osnovna vrijednost koeficijenta aerodinamièke pobudne sile clat , 0 uzima se iztablice P4-6:

606

PRILOZI

Sl. P4-16. Osnovna vrijednost aerodinamièkog koeficijenta pobudne sileza kru�ni valjak u ovisnosti o Reynoldsovom broju Recrit,i



607


Tablica P4-6. Osnovne vrijednosti koeficijenata aerodinamièke pobudne sile



Koeficijent aerodinamièke pobudne sile uzima se iz tablice P4-7.:

U tablici P4-7. izra�ene su:

clat , 0� osnovna vrijednost clat (dana u tablici P4-6. i na slici P4-16.),

v m Lj, � prosjeèna brzina vjetra u centru efektivne duljine djelovanja L j (slikaP4- 17.),

v crit i,� kritièna brzina vjetra.

• Duljina djelovanja Lj

Duljinu djelovanja Lj valja postaviti u podruèje najveæeg pomaka pri oscili-ranju. Primjeri su dani na slici P4-17. Za pridr�ane stupove i mostove preko višepolja potrebna su posebna promišljanja.

608

PRILOZI

Tablica P4-7. Koeficijent aerodinamièke pobudne sile clat

Stupanj kritiène brzine vjetra clat

v

vcrit i

m Lj

,

,

,0 0 83 c clat lat� ,0

0 83 1 25, ,,

,

0 0v

vcrit i

m Lj

cv

vclat

crit i

m Ljlat� � �

�

�

�

��3 2 4 0,

,

,,

1 25,,

,

0v

vcrit i

m Lj

clat � 0

Tablica P4-8. Duljina djelovanja Lj u ovisnosti o amplitudi oscilacija yF,j

y s bF j( ) L bj

< 0,1 6

0,1 do 0,6 4,8 � 12 y s bF j( )

> 0,6 12



U sluèaju veæeg broja duljina na strani sigurnosti simultano je uzimanje dulji-na, a potrebno je raèunati s najveæom vrijednosti clat .

• Koeficijent duljine djelovanja KW

Koeficijent duljine djelovanja odreðen je jednad�bom:

K

s s

s sW

i yLj

n

i ylj

m

j

j

�

�

�

0

��

��

�

�

| ( ) |

| ( ) |

,

,

,

M

M

d

d

1

1

0 6 (P4.35)

Ovdje su:

M i y, � normirani i-ti oblik oscilacija,

L j � duljina djelovanja,

609


Sl. P4-17. Primjeri za mjesto na kojem se uzima duljina djelovanja



l j � duljina graðevine ili njenih elemenata izmeðu dviju nul-toèaka oblikaosciliranja,

n � broj podruèja u kojem vrtlo�no odvajanje nastupa istodobno,m � broj “trbuha oscilacija” graðevine za promatrani oblik oscilacija M i y, ,s � koordinata definirana u tablici P4-9.

Za pojedine jednostavne konstrukcije koje osciliraju u osnovnom obliku i kodkojih pobudne sile nastupaju kao u tablici P4-9., mo�e se koeficijent duljine djelo-vanja KW odrediti pribli�no pomoæu izraza u tablici P4-9.

• Koeficijent oblika oscilacija K

Koeficijent oblika oscilacija K odreðen je jednad�bom:

K

s s

s s

i ylj

m

i,ylj

m

j

j

�

�

� �

��

��

�

�

| ( ) |

| ( )|

,M

M �

d

d

1

1

4�

(P4.36)

m li y j, ,,M � definirani kao za koeficijent duljine djelovanja KW

Za pojedine jednostavne konstrukcije koje titraju u osnovnom obliku, koefici-jent oblika titranja K dan je u tablici P4-9.

610

PRILOZI



611


Tablica P4-9. Koeficijent duljine djelovanja KW i koeficijent oblika oscilacija Kjednostavnih sustava



P4.5.5 Broj opetovanih optereæenja N

Broj N opetovanih optereæenja izazvanih vrtlo�nim popreènim osciliranjemmo�e se odrediti jednad�bom:

N T nv

vey

crit

v

vcrit

� � � � ��

�

�

��

��

�

�

��

2 00

0

2

2 (P4.37)

Ovdje su:

n y � vlastita frekvencija popreènog osciliranja u [Hz],

v crit � kritièna brzina vjetra [m/s],

v 0 � 2-struka modalna vrijednost Weibullove vjerojatnosti nastupanjabrzine vjetra [m/s] , mo�e se uzeti v 0 20� % karakteristiène prosjeènebrzine vjetra na visini popreènog presjeka gdje se dogaða vrtlo�enje,

T � �ivotni vijek u sekundama, jednak je 3 2 107, � umno�eno s predviðenim�ivotnim vijekom konstrukcije,

2 0 � faktor širine traka vrtlo�ne rezonancije (u granicama od 0,1 do 0,3mo�e se uzeti 2 0 0 3� , ).

Najmanja vrijednost N mo�e biti odreðena Nacionalnim dodatkom, prepo-

ruèena je vrijednost N ,104 .

P4.5.6 Protumjere pri vrtlo�nim oscilacijama

Amplitude vrtlo�enja mogu se umanjiti aerodinamièkim ureðajima (samo podposebnim uvjetima, npr. Scrutonov broj veæi od 8) ili ureðajima za prigušenje po-stavljenim na konstrukciju.

P4.6. Nacionalni dodatak za primjenu u Republici Hrvatskoj

Nacionalni dodatak za primjenu EN 1991-1-4:2004 u Republici Hrvatskoj te-meljit æe se na veæ danom prijedlogu za primjenu prednorme ENV 1991-2-4:1995,samo æe se prihvatiti promjena odreðenih simbola, i to:

612

PRILOZI



v vref b, ,0 0

v vref b

c ctem season

Sve brojèane vrijednosti koeficijenata, faktora i varijabla koje su u ENV1991-2-4:1995 dane kao okvirne vrijednosti utvrðuju se kao vrijednosti koje seprimjenjuju u Republici Hrvatskoj, osim ako ovim nacionalnim dokumentom nijedrukèije odreðeno.

1) Optereæenje vjetrom za podruèje Republike Hrvatske odreðeno je po po-druèjima, na temelju osnovnih poredbenih brzina vjetra èije su vrijednostidane na zemljovidu (slika P4-18.; tablica P4-9.) .

2 ) Osnovna poredbena brzina vjetra definirana je kao 10-minutna srednjabrzina na visini od 10 metara iznad ravnog terena kategorije hrapavosti IIkoja se mo�e oèekivati za povratni period od 50 godina. U tablici P4-9. ta-koðer je dana i trenutna v ref x, brzina vjetra na visini od 10 metara iznadravnog tla kategorije hrapavosti II za povratni period od 50 godina.

3) Vrijednosti osnovnih poredbenih brzina vjetra dodatno se korigiraju s ob-zirom na smjer vjetra, godišnje doba i nadmorsku visinu te se tako dobivaporedbena (referentna) brzina vjetra prema jednad�bi:

v v c c cb b dir season alt� � � �, 0 (P4.38)

4) Koeficijent smjera vjetra cdir proizlazi iz odnosa brzine vjetra za razlièitismjer vjetra i uzima se za sve regije Hrvatske (P1 do P10) cdir �1.

5) Koeficijent godišnjeg doba cseason uzima se za sve regije Hrvatske (P1 doP10) cseason �1.

6) Koeficijent nadmorske visine calt koji obuhvaæa poveæanje brzine vjetra snadmorskom visinom zbog ogranièenog broja mjernih mjesta na planin-skom podruèju Republike Hrvatske nije moguæe egzaktno odrediti te sekoristi izraz:

c aalt s� � �1 0 001, (P4.39)

as � nadmorska visina izra�ena u metrima

Napomena: Buduæi da su kod nas u tijeku terenska istra�ivanja re�ima strujanja vjetra [55], zaoèekivati je da æe biti modificirani: koeficijent izlo�enosti vjetru c ze ( ), koeficijent nadmorske visinecalt , te vjerojatno i neki drugi koeficijenti iz ovog Nacionalnog dodatka.

613




614

PRILOZI

Tablica P4-9. Podruèja optereæenja vjetrom u odnosu na osnovnu poredbenu brzi-nu vjetra vb,0 i trenutnu brzinu vjetra vb,x

Podruèja vb,0 (m/s) vb,x (m/s)

I 22 35

II 30 45

III 35 55

IV 40 65

V 50 75

Sl. P4-18. Zemljovid podruèja optereæenja vjetrom i temeljne vrijednostiosnovne brzine vjetra (vb,0) za Republiku Hrvatsku



7) Radi lakšeg korištenja zemljovida, Republika Hrvatska podijeljena je na 10regija, a svakoj pripada odreðeno podruèje ili podruèja optereæenja vjetrom.

P1 zapadna unutrašnjost (od Po�eške kotline do zapadne granice Hrvatske)I. podruèje optereæenja vjetrom

P2 istoèna unutrašnjost (od Po�eške kotline do istoène granice Hrvatske)I. podruèje optereæenja vjetrom

P3 Gorski kotar i unutrašnjost IstreI. ili II. podruèje optereæenja vjetrom

P4 LikaI. ili II. podruèje optereæenja vjetrom

P5 Velebit i planinsko zaleðe ju�nojadranskog priobaljaII., III., IV. ili V. podruèje optereæenja vjetrom

P6 obala IstreII. podruèje optereæenja vjetrom

P7 sjevernojadransko priobalje (od Opatije do Zadra)II., III. ili IV. podruèje optereæenja vjetrom

P8 sjevernojadranski otoci (od Krka do Paga)II. ili III. podruèje optereæenja vjetrom

P9 ju�nojadransko priobalje (ju�no od Zadra)II. ili III. podruèje optereæenja vjetrom

P10 ju�nojadranski otoci (ju�no od Paga)II. ili III. podruèje optereæenja vjetrom

8) Mijenja se okvirna vrijednost u toèki 10.11.2 (1) od 6 kN/m2 na 0,6kN/m2, pa stavak glasi: “Pri provjeri djelovanja vjetra na mostove pod obi-ènim uvjetima uzima se tlak vjetra 0,6 kN/m2 na vertikalno projiciranuplohu mosta ili promatranog elementa, pri èemu se ne uzima tlak vjetra naplohe koje djeluju povoljno”.

9) Koeficijent izlo�enosti c ze ( ) uzima u obzir uèinke hrapavosti terena, topo-grafije i visine iznad tla kod srednje brzine vjetra i intenziteta turbulencije.Odreðuje se izrazom:

c z c z c z g I ze r t v( ) ( ) ( ) [ ( )]� � � � � �2 2 1 2 (P4.40)

gdje su

g � vršni koeficijent (peak factor),

I zv ( )� intenzitet turbulencije koji se razlikuje za pojedine regije.

615




Za regije P1 do P4 intenzitet turbulencije raèuna se prema izrazu:

I zk

c z c zvT

r t

( )( ) ( )

��

(P4.41)

gdje su

kT � koeficijent terena,

c zr ( ) � koeficijent hrapavosti,

c zt ( ) � topografski koeficijent.

Za regije P5 do P10 intenzitet turbulencije se raèuna prema izrazu:

I zv tv

v

m

( )( )

�O

(P4.42)

O 1v � standardna devijacija turbulentne komponente brzine vjetra[ 1 � �v t v t v tm( ) ( ) ( )],

1v t( ) � turbulentna komponenta brzine vjetra,

v tm ( ) � prosjeèna brzina vjetra,

v t( ) � ukupna, trenutna brzina vjetra koja na visini od 10 m iznad ravnogtla kategorije hrapavosti II u povratnom periodu od 50 godina odgo-vara vrijednostima v ref x, danim u tablici P4-9.

Koeficijent izlo�enosti c ze ( ) u ovisnosti z iznad terena i kategorije terena I doIV za ct �1, regije P5 do P10 dan je na slici P4-19.

616

PRILOZI

Sl. P4-19. Koeficijent izlo�enosti ce(z) u ovisnosti od visine z iznad terenai kategorija terena I. do IV. za ct � 1 za regije P5 do P10



LITERATURA

1. Androiæ, B., Èauševiæ, M., Dujmoviæ, D., D�eba, I., Markulak, D., Peroš, B., Èelièni ispregnuti mostovi, I. A. PROJEKTIRANJE, Zagreb, 2006.

2. Androiæ, B., Buliæ, M., Èauševiæ, M., Pouzdanost seizmièkih spona kod èeliènih okvi-ra s ekscentriènim dijagonalama, GRAÐEVINAR 59 (2007), 8, 675-683.

3. Biggs, J. M., Introduction to Structural Dynamics, McGraw – Hill, New York, 1964.4. Billah, K. Y. and Scanlan, R. H., Resonance, Tacoma Narrows Bridge failure, and under-

graduate textbooks, American Journal of Phisics, Vol. 59, February 1991, pp. 118-124.5. Buliæ, M., Èauševiæ, M., Ponašanje i konstruiranje èeliènih okvira s ekscentriènim di-

jagonalama, GRAÐEVINAR 57 (2005), 9, 687-697.6. Chopra, A. K., Dynamics of structures – Theory and Applications to Earthquake Engi-

neering, Second edition, Prentice Hall, New Jersey, 2001.7. Chopra, A. K., Dynamics of structures: A Primer, Second Edition, Earthquake Engi-

neering Research Institute, Berkeley, California, 2005.8. Chopra, A. K.; Goel, R. K.: A modal pushover analysis procedure for estimating sei-

smic demands for buildings, Earthquake Engineering & Structural Dynamics 2002; 31,pp. 561-582.

9. Clough, R., Penzien, J., Dynamics of structures, McGraw-Hill, New York, 1975.10. Collatz, L. Differential Equations: An Introduction with Applications, John Wiley &

Sons, Chichester, New, York, 1981.11. Èauševiæ, M., Statika i Stabilnost konstrukcija – Geometrijska nelinearnost, Školska

knjiga, Zagreb, 2003.12. Èauševiæ, M., Potresno in�enjerstvo, Školska knjiga, Zagreb, 2001.13. Èauševiæ, M., Tehnièka mehanika – kinematika, Školska knjiga, Zagreb, 2000.14. Èauševiæ, M. Dinamika konstrukcija – Diskretni sustavi, Školska knjiga, Zagreb, 2005.15. Èauševiæ, M., Zehentner, E., Nelinearna seizmièka analiza konstrukcija prema europ-

skoj normi EN 1998-1:2004, GRAÐEVINAR 59 (2007), 9, 767-778.16. Èauševiæ, M., Fajfar, P., Fischinger, M., Isakoviæ, T., Proraèun vijadukta na djelovan-

je sila potresa prema Eurokodu 8-2, GRAÐEVINAR 55 (2003) 3, 143-153.17. Èauševiæ, M., State-of-the-art on aerodynamics of steel long-span bridges at the end

of the second millenium,//INFORMATOLOGIA, 34 (2001) 3-4, Zagreb, 252-258.18. Èauševiæ, M., Špalj, I., �ic, E., Djelovanje vjetra na mostove prema europskoj normi,

GRAÐEVINAR 60 (2008), 1, 21-35.19. Èauševiæ M., Mitroviæ, S., Comparison between non-linear dynamic and static seismic

analyses of structures according to European and American provisions, Proceedings

617



of the Joint IABSE-fib Conference: CODES IN STRUCTURAL ENGINEERING,DEVELOPMENTS AND NEEDS FOR INTERNATIONAL PRACTICE, Editor: J.Radiæ, Dubrovnik, 2010.

20. Èauševiæ, M., Buliæ, M., Seismic Retrofitting of Short-to-Medium-Span Hyghway Con-crete Bridges, Proceedings of the International Symposium: DURABILITY ANDMAINTENANCE OF CONCRETE STRUCTURES, Croatian Society of StructuralEngineers (CSSE) and Austrian Society for Concrete and Construction Technology(ASCCT), Editor: J. Radiæ, Dubrovnik, 2004. pp. 651-659.

21. Den Hartog, J. P., Mechanical Vibrations, McGraw-Hill, New York, 1956.22. Dimarogonas, A., Vibrations for Engineers, Prentice Hall, New Jersey, 1996.23. Dowrick, D. J., Earthquake resistant design: For Engineers and Architects, 2nd Edi-

tion, John Wiley, New York, 1987.24. Dujmoviæ, D., Androiæ, B., D�eba, I., Modeliranje konstrukcija prema Eurocode 3, IA

projektiranje, Zagreb, 2004.25. Fajfar, P., Structural Analysis in Earthquake Engineering – A Breakthrough of Simpli-

fied Non-linear Methods, 12th European Conference on Earthquake Engineering, Lon-don, Peper Reference 843, Elsevier Science, 2002.

26. Fajfar, P., A Nonlinear Analysis Method for Performance Based Seismic Design, EARTH-QUAKE SPECTRA, Vol. 16, No. 3, pp 573-592, 2000.

27. Fajfar, P., Capacity spectrum method based on inelastic demand spectra, EARTH-QUAKE ENGINEERING AND STRUCTURAL DYNAMICS 28, 979-993, 1999.

28. Fajfar, P., Krawinkler, H. (editors), Seismic Design Methodologies for the Next Gene-ration of Codes, A. A. Balkema, Rotterdam, 1997.

29. Fajfar, P. (editor), Towards a new seismic design methodology for buildings: Researchat the University of Ljubljana, Faculty of Civil Engineering and Geodesy, Institute ofStructural and Earthquake Engineering, Ljubljana, 1996.

30. Fajfar, P., Gašperšiæ, P., The N2 method for the seismic damage analysis of RC buildings,EARTHQUAKE ENGINEERING AND STRUCTURAL DYNAMICS 25, 31-46, 1996.

31. Fajfar, P. Dinamika gradbenih konstrukcij, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo,Ljubljana, 1984.

32. Fajfar, P. EAVEK, Program za elastièno analizo višeta�nih konstrukcij, II. izdanje, Pu-blikacija IKPIR št. 13, Univetza v Ljubljani, 1981.

33. Fertis, D. G., Dynamics and vibration of structures, John Wiley, New York, 1973.34. Fischinger, M., Isakoviæ, T., Inelastic Seismic Analysis of Reinforced Concrete Via-

ducts, STRUCTURAL ENGINEERING INTERNATIONAL, Volume 13, Number 2,May 2003.

35. Gelfi, P., Programma per la generazione di accelerogrammi artificiali spettrocompa-tibili: SIMQKE_GR (SIMulation earthQuaKE GRound motion – Massachusetts Insti-tute of Technology), University of Brescia, Italy.

36. Goel, R. K. and Chopra, A. K., Evaluation of Modal and FEMA Pushover Analyses –SAC Buildings, Earthquake Spectra, Volume 20, No. 1, 2004, pp. 225-254.

37. Goel, R. K., Evaluation of Modal and FEMA Pushover Procedures Using Strong-Mo-tion Records of Buildings, Earthquake Spectra, Volume 21, No. 3, 2005, pp. 653-684.

618



38. Hurty, W. C., Rubinstein, M. F., Dynamics of Structures, Prentice-Hall, EnglewoodsCliffs, New Jersey, 1964.

39. Jiménez, M.J., et. al., Unified seismic hazard modelling throughout the Mediterraneanregion, BOLLETTINO DI GEOFISICA TEORICA ED APPLICATA, Vol. 42, No.1-2, pp. 3-18, 2001.

40. Joviæ, V., Osnove hidromehanike, ELEMENT, Zagreb, 2006.41. Kramer, L. S., Geotechnical Earthquake Engineering, Prentice Hall, New Jersey,

1996.42. Larsen, A.; Esdahl, S.; Andersen, J.E.; Vejrum, T.; Storebaelt suspension bridge –

vortex shedding excitation and mitigation by guide vanes, J. Wind Eng. Ind. Aerodyn.88 (2000), pp. 283-296.

43. Larsen, A., Aerodynamics of the Tacoma Narrows Bridge – 60 years later, StructuralEngineering International, Vol. 10, No. 4, pp. 243-248, November 2000.

44. Larsen, S.V., Koss, H.K., Smitt, L.W.; Larsen, A. Vortex-induced motion of bridgedecks investigated at high Reynolds numbers using large scale section model, Procee-dings of the 5th international conference on bluff body aerodynamics, BBAA, Ottawa,Canada, 2003.

45. Larsen, A., Poulin, S., Vortex-Shedding Excitation of Box-Girder Bridges and Mitiga-tion, Structural Engineering International, Vol. 15, No. 4, pp. 258-263, November 2005.

46. Levy, S. and Wilkinson, J. P. D., The Component Element Method in Dynamics-Appli-cation to Earthquake and Vehikle Engineering, McGraw-Hill, New York, 1976.

47. Mitroviæ, S., Èauševiæ, M., Nelinearni statièki seizmièki proraèun konstrukcija, GRA-ÐEVINAR 61 (2009), 6, 521-531.

48. Moriæ, D., Proraèun seizmièkog odziva zgrada bez krutih stropova, GRAÐEVINAR52 (2000), 11, 673-681.

49. Negro, P., Tests on a four-story full scale R/C frame designed according to Earocodes 8and 2, Prelim. Rep. EUR 15879EN, JRC, Safety Technology Institute, Ispra, Italy, 1994.

50. Newmark, N. M., Rosenblueth, E., Fundamentals of Earthquake Engineering, Prenti-ce-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1971.

51. Nonveiller, E., Mehanika tla i temeljenje graðevina, Školska knjiga, Zagreb, 1981.52. Nowacki, W., Dynamics of elastic systems, Chapman & Hall ltd., London, 1963.53. Paz, M., Structural Dynamics – Theory & Computation, Van Nostrand Reinhold Com-

pany, New York, 1980.54. Paulay, T. and Priestley, M. J. N., Seismic Design of Reinforced Concrete and Ma-

sonry Buildings, John Wiley, New York, 1992.55. Peroš, B., Boko, I., Šimunoviæ, T., Kuzmaniæ, D., Podloge za nove hrvatske norme za

optereæenje vjetrom, GRAÐEVINAR 60 (2008), 4, 309-316.56. Pipes, A. L., Matrix Methods for Engineering, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1963.57. Prakash, V., Powel, G. H., and Campbell, S., DRAIN-2DX Base program description

and user guide,Version 1.10, Report No. UCB/SEMM-93/17&18, University of Cali-fornia, Berkeley, CA., 1993.

58. Pristley, N., Masonry, in Design of Earthquake Resistant Design (ed. E. Rosenblueth),Pentech Press, U. K., 1980.

619



59. Prokofjev, I., P., Teorija konstrukcija, dio III: Stabilnost i dinamika konstrukcija, (pri-jevod s ruskog), Graðevinska knjiga, Beograd, 1961.

60. Rosman, R., Statik und Dynamik der Scheibensysteme des Hochbaues, Springer – Ver-lag, Berlin-New York, 1968.

61. Rusov, L., Mehanika III: dinamila, Nauèna knjiga, Beograd, 1984.62. Sachs, P., Wind Forces in Engineering, Pergamon Press, Oxford, 1972.63. Saiidi, M and Sozen, M. A., Simple nonlinear seismic analysis of R/C structures, Jour-

nal of Structural Division, ASCE, 107, pp. 937-952, 1981.64. Selby, S., Standard Mathematical Tables, CRC Press, Cleveland, Ohio, USA,65. SeismoStruct and SeismoSignal software packages, (author R. Pinho, Italy),

http://www.seismosoft.com/index.htm,66. Sigmund, V., Guljaš, I., Staniæ, A., Nelinearni odgovor konstrukcija dimenzioniranih

hrvatskim i europskim normama, GRAÐEVINAR 54 (2002), 1, 1-13.67. Soriæ, Z., Zidane konstrukcije I, Graðevinski fakultet, Zagreb, 2004.68. Stoker, J. J., Nonlinear Vibrations, Interscience Publishers, John Wiley, New York,

1950.69. Šimiæ, V. Otpornost materijala, Školska knjiga, Zagreb, 2002.70. Thomson, W. T.,Theory of vibration with applications, Prentice-Hall, Inc., New Jer-

sey, 1972.71. U.S. Army Corps of Engineers, Design of Structures to Resist the Effect of Atomic We-

apons, Manuals 415 and 416, March 15., 1957; Manuals 417 and 419, January 15.,1958; Manuals 418, 420 and 421, January 15., 1960.

72. University of Washington, Engineering Experimental Station, Bulletin No. 116, PartsIII to V.

73. Walther, J.H.; Larsen, A. Two dimensional discrete vortex method for application tobluff body aerodynamics, Journal of Wind Engineering Industrial Aerodynamics 67 &68 (1997), pp. 183-193.

74. Wiegel, R. L., Earthquake engineering, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1970.75. Wyatt, T. A. and Walshe, D. E., Bridge aerodynamics 50 years after the Tacoma Nar-

rows : The Tacoma failure and after, Journal of Wind Engineering and Industrial Ae-rodynamics, Elsivier, Amsterdam, Vol. 40, 1992, pp. 317-326.

76. Yashinski, M. And Karshenas, M. J., Fundamentals of seismic protection for bridges,Earthquake Engineering Research Institute, Oakland, California, 2003.

77. Young, D. F., Munson, B. R., Okiishi, T. H., Fundamentals Of Fluid Dynamics, JohnWiley & Sons, Inc., 1990.

78. Eurocode 0, Basis of structural design, CEN European Committee for Standardization,Brussels, EN 1990: 2002.

79. Eurocode 1 – Actions on structures, Part 1-1: Deneral actions-Densities, self-weight,imposed loads for buildings, CEN European Committee for Standardization, Brussels,EN 1991-1-1:2002.

80. Eurocode 1 – Basis of design and actions on structures, Part 1-3: Actionson structures –Snow loads, CEN European Committee for Standardization, Brussels,EN 1991-1-3: 2003.

620



81. Eurocode 1 – Actions on structures – General actions, Part 1-4: Wind actions, CENEuropean Committee for Standardization, Brussels, EN 1991-1-4: 2005.

82. Eurocode 1 – Basis of design and actions on structures, Part 1-5: Actions on structu-res – Thermal actions, CEN European Committee for Standardization, Brussels, EN1991-1-5: 2003.

83. Eurocode 2 – Design of concrete structures, Part 1-1: General rules and rules for bu-ildings, European Committee for Standardization, EN 1992-1-1: 2004.

84. Eurocode 2 – Design of concrete structures, Part 2: Bridges, European Committee forStandardization, EN 1992-2: 2005.

85. Eurocode 3 – Design of steel structures, Part 1-1: General rules and rules for buil-dings, European Committee for Standardization, EN 1993-1-1:2005.

86. Eurocode 3 – Design of steel structures, Part 1-8: Design of Joints, European Com-mittee for Standardization, EN 1993-1-8:2005.

87. Eurocode 3 – Design of steel structures, Part 2: Steel Bridges, European Committeefor Standardization, EN 1993-2:2006.

88. Eurocode 6 – Design of masonry structures, Part 1: General rules, seismic actionsand rules for buildings, European Committee for Standardization, CEN, Brussels, EN1996-1: 2004

89. Eurocode 8 – Design provisions for earthquake resistance of structures – Part 1-1:General rules – Seismic actions and general requirements for structures, EuropeanCommittee for Standardization, CEN, Brussels, ENV 1998-1-1, May 1994.

90. Eurocode 8 – Design of structures for earthquake resistance – Part 1: General rules,seismic actions and rules for buildings, European Committee for Standardization,CEN, Brussels, EN 1998-1: 2004.

91. Eurocode 8 – Design of structures for earthquake resistance – Part 2: Bridges, Euro-pean Committee for Standardization, CEN, Brussels, EN 1998-2:2005.

92. Eurocode 8 – Design of structures for earthquake resistance – Part 3: Assesment andretrofitting of buildings, European Committee for Standardization, CEN, Brussels, EN1998-3:2005.

93. Uniform building code UBC, Chapter 16: STRUCTURAL DESIGN REQUIRE-MENTS, United States, 1997.

94. International building code IBC, Chapter 16: STRUCTURAL DESIGNREQUIREMENTS, United States, 2000.

95. Pravilnik o tehnièkim normativima za izgradnju objekata visokogradnje u seizmièkimpodruèjima, Sl. list br. 31/81, 49/82, 29/83, 21/88 i 52/90.

96. Tehnièki propis za betonske konstrukcije, Narodne novine br. 139/09, 14/10, 125/10.97. Tehnièki propis za zidane konstrukcije, Narodne novine br. 1, 2007.98. Eurocode 3 – Design of steel structures, Part 3-1: Towers, masts and chimneys – To-

wers and masts, European Committee for Standardization, EN 1993-3-1:2006.99. Eurocode 3 – Design of steel structures, Part 1-5: Plated structural elements, Europe-

an Committee for Standardization, EN 1993-1-5: 2006.100. Eurocode 3 – Design of steel structures, Part 1-6: Strength and Stability of Shell

Structures, European Committee for Standardization, EN 1993-1-6: 2007.

621



KAZALO POJMOVA

A

aerodinamièka stabilnost 446, 602aerodinamièke sile 446aerodinamièke vibracije 434akcelerometar (akcelerograf) 200, 256, 538akcelerogram 538, 554Amerièke norme UBC (IBC) 413, 426aperiodièna djelovanja 77, 78aperiodièno gibanje 21, 24, 25aperiodiène vibracije 83apsolutno ubrzanje 197, 204apsorpcija seizmièke energije 565Arias gustoæaastenosfera 531

B

Bernoullijeva jednad�ba 435Bettijev pouèak 112brzina prostiranja posmiènih valova 259

C

centrifugalna sila 55ciljani pomak (target displacement) 331,

332, 352, 355, 357

D

D’Alembertovo naèelo 4, 17, 29, 30, 101,119, 121, 127, 169

Den Hartogov uvjet 452

dijagram kapaciteta 347, 351dinamièka matrica 135dinamièki faktor 33, 43, 44, 180, 181, 189dinamièki faktor optereæenja 95, 96dinamièki spregnut sustav 108dinamièke veze izmeðu generaliziranih

koordinata 107Diracova funkcija 78diskretna masa 10diskretni sustavi 80, 99, 161DLR – uvjet ogranièenja ošteæenja 252, 257Duhamelov integral 85, 88, 197, 227duktilno ponašanje 264, 303, 417

E

efektivna sila 229ekvivalentno statièko djelovanje 256, 257,

415ekvivalentna opruga 12elastièna sila opruge 3elastièni spektar odziva ubrzanja podloge

– horizontalni 258– vertikalni 261

epicentar 534, 537, 539epicentralni razmak 535Eulerov obrazac 20

F

faktor– duktilnosti konstrukcije 304, 335, 336

622



– ponašanja 263, 264, 282, 283, 287,288, 293, 303, 305

– poveæanja 180– redukcije 335– sudjelovanja 166, 229– transformacije 340, 345– va�nosti graðevine 251, 252, 253,

276– viška nosivosti konstrukcije 284,

290

faza oscilacija 7

fazno kašnjenje 39

flater (treperenje) 453

fokus 534

frekvencija– kru�na 4, 20, 110– torzijska 11

frekvencijska jednad�ba 109, 135

frekvencijsko ukljuèivanje 442, 453

G

galopiranje 450

generalizirana krutost 151, 153, 160, 171,225

generalizirana masa 113, 151, 153, 160,171, 225

generalizirana sila 131, 225

generalizirane koordinate 4, 107, 110, 157,222

generalizirani pomak 110

H

half – power metoda 26

Hamiltonovo naèelo 103

hazard 252, 253

Heavesideova funkcija 78

hipocentar 534

histerezna sila otpora 16

histerezno gubljenje energije 285, 306

I

indeks moguæe ošteæenosti konstrukcije560

indeks pouzdanosti 277, 279

impuls 78, 86

integral konvolucije 88, 179, 227

interakcija tla i konstrukcije 557

intenzitet potresa 254, 544

inverzna Laplaceova transformacija 177,180

in�enjerstvo pouzdanosti 279

izoseiste 543, 545

K

Kàrmànova vrtlo�na staza 436, 438, 455

Kàrmànova sila 439

kapacitet konstrukcije 303

kinetièka energija 102

koeficijent– fleksibilnosti 131– kombinacije 267, 279– korelacije 211– krutosti 131– poremeæaja 33, 44– posmika 207, 208, 236– prigušenja 18– va�nosti graðevine 415– viskoziteta 17, 165

kombinacije djelovanja 270, 272, 273

kontinuirani sustavi 80

kontrolirani pomak 332, 379, 391, 395

kriterij regulariteta 266

kritièno prigušenje 18

krivulja kapaciteta 332

kru�na frekvencija– slobodnih neprigušenih oscilacija 4– slobodnih prigušenih oscilacija 20

kompleksna amplituda 51

623



L

Lagrangeova determinanta 109Lagrangeove jednad�be druge vrste 101,

102, 103, 125Lagrangeova determinanta 109Laplaceove integralne transformacije 177,

179logaritamsko opadanje 23lokalni hazard 252, 541

LJ

ljestvica– MSK-64 543, 544, 548– europska makroseizmièka 543

M

magnituda (jaèina)– lokalna 540– potresa 539– površinska 259, 541– momentna 541

matrica fleksibilnosti 131matrica krutosti 131matrica transformacije 157, 222Maxwellovi koeficijenti 132metoda postupnog guranja (pushover) 330metoda

– ABS 211– CQC 211– postupnog guranja 256, 257, 331,

337, 369, 371, 390– razvijanja po vlastitim oblicima 161– spektara odziva 256, 258– SRSS 211

meðusobno djelovanje (interakcija) tla ikonstrukcije 557

Mohorovièiæev diskontinuitet 536modalna analiza 161, 217, 219, 257modalne jednad�be 163, 172

modalne koordinate 157, 164, 167, 188,222

most Akashy Kaikyo 445– Golden Gate 448– Mackinack 448– Osteroy 453, 463, 464– Severn 446, 448– Storebaelt 453, 456, 457, 458, 463– Sutong 448, 449– Tacoma Narrows 443, 444, 445, 448

N

NCR – uvjet neurušavanja konstrukcije251, 252, 257, 568

nelinearna dinamièka analiza u vremenu(time-history) 256, 257, 329, 358, 379,400

nelinearna statièka metoda postupnogguranja (pushover) 256, 257, 331, 337,369, 371, 379

normiranje vlastitih oblika 153

Newtonov zakon 4, 17

O

oceanski grebeni 531, 532

oceanske jaruge 532

ortogonalnost vlastitih oblika 112, 151

ortogonalnost prigušenja 224

ortonormiranje vlastitih oblika 153

oscilacije– harmonijske 6, 7– izoliranje 57– prisilne neprigušene 29, 34– prisilne prigušene 38, 161– slobodne neprigušene 3, 133– slobodne prigušene 22– ustaljene 32, 42

otpornost– popreènog presjeka 272, 275– elementa konstrukcije 272, 275

624



P

period slobodnih neprigušenih oscilacija 7period slobodnih prigušenih oscilacija 22periodièna djelovanja 77plastièni zglob 573, 575podrhtavanje 35podruèje rezonancije 47poredbeno

– seizmièko djelovanje 251– ubrzanje tla 253, 258, 541

poredbeni povratni period 253, 541poremeæajna sila 29, 34, 132, 163postupak statièkog kondenziranja 146potencijalna energija 102potres

– Banjaluka 203, 204– el Centro 199, 200, 206, 238, 239– Friuli 203– Honshu, Japan 366, 405– Imperial Valley, Kalifornija SAD

364, 405– ju�ni Jadran, Petrovac 204, 538– ju�ni Jadran, Ulcinj 364, 405– ju�ni Jadran, Kotor 564,– Kern County, Kalifornija, SAD 367,

405– Kobe, Japan 578– Kocaeli, Turska 365, 405, 563– Mexico City, Meksiko 365, 405,

553– Niigata, Japan 565– San Fernando, Kalifornija, SAD

367, 405povratni period seizmièkog djelovanja 251,

252, 529, 541površinska magnituda 259pouzdanost konstrukcija 251, 252projektni spektar 263, 266, 288, 313, 421,

554projektno seizmièko djelovanje 251, 252, 530projektno ubrzanje tla 253, 258, 264

proraèunske kombinacije– trajna i prolazna 273– udesna 268, 273– seizmièka 268, 270, 273, 274, 325

prividno stalne vrijednosti 267

R

rasjed 529, 532, 533razred

– duktilnosti 283, 285, 289– posljedica sloma konstrukcije 277,

278– pouzdanosti 277, 279– temeljnog tla 259, 415– va�nosti graðevine 252

realni vremenski zapisi potresa 363regularnost konstrukcije 281, 282, 288,

303, 567Reiderova teorija 533relativno prigušenje 19, 25, 165relativna deformacija 221, 404, 406, 410reologija 13, 562reprezentativna promjenljiva djelovanja 267Reynoldsov broj 435, 439, 462, 605rezonancija 33, 47Richter 539, 542

S

Scrutonov broj 452, 605seizmièka

– dilatacija 570– energija 540, 565– proraèunska situacija 268, 270, 273,

274, 325– spona 291

seizmièki– intenzitet 254– hazard 252, 541– zahtjev 333, 338, 377

seizmogram 538sila otpora 446

625



sila otpora– suhog trenja 16– viskoznog trenja 16, 17– zraka 16

sila uzgona 446, 447, 459SM akcelerometar 200, 539, 555specifièna gustoæa energije 363spektralna pseudobrzina 201spektralno pseudoubrzanje 202spektralni pomak 199, 200spektri odziva relativne brzine 201, 204srednji povratni period 251, 252statièke veze izmeðu generaliziranih

koordinata 107statièki spregnut sustav 107, 133statièko kondenziranje 101, 146stohastièka djelovanja 79Strouhalov broj 439, 603stup

– antenski toranj 465– nosaè rasvjete 496

stupanj prenosivosti 58, 71stupanj seizmièkog intenziteta 254sudar 88sudjelujuæa te�ina (masa) 210, 237, 320, 322

T

teorem konvolucije 178, 179teorija tektonskih ploèa 531te�inska matrica 153torzijske oscilacije 11, 125, 127torzijski efekti 569treperenje (flater) 453tripartitni logaritamski spektar 205, 206

U

ubrzanje tla u vremenu 199, 239uèinci djelovanja 272ukupna masa graðevine 266

ukupna popreèna sila graðevine 266umjetni vremenski zapisi potresa 359, 361uvjet

– neurušavanja konstrukcije 251– ogranièenja ošteæenja 251– ortogonalnosti 113, 152– regulariteta 266

V

valovi– posmièni 259, 534– površinski 536, 537, 540– primarni 536– prostorni 536– seizmièki 534– sekundarni 537

varijacijska naèela 103vektor generaliziranih koordinata 157, 222vektor modalnih koordinata 157vibracije 77, 85virtualni pomak 112virtualni rad 112viskozni prigušivaè 566vlastite vrijednosti 111, 113vremenski tijek ubrzanja tla 199, 239, 553vrtlo�nice 543, 544, 545, 455vrtlo�no odvajanje 602, 605

W

Wood-Andersonov seizmograf 539

Z

zaglaðeni spektar 205zahtijevani spektar 351zgrada posmika 117, 118, 119, 197Zemljina litosfera 531

�

�arište 534

626



Prof. dr. sc. Mehmed ÈauševiæDINAMIKA KONSTRUKCIJA

Nakladnik

Golden marketing – Tehnièka knjigaJurišiæeva 10, Zagreb

tel.: 01/4810-819, 01/4810-820;faks: 01/4810-821

e-mail: [email protected]; www.gmtk.net

Grafièki urednik

Vladimir Pavliæ, dipl. ing. el.

Lektorica

Biserka Petroviæ, prof

Priprema za tisak

Grapa, Zagreb

Tisak

Denona, Zagreb



dinamika konstrukcija mehmed causevic cropped

Documents