dinamika - luhome.lu.lv/~drikis/fizi3021/0505-dinamika.pdfdinamika pieredze rāda, ka kada ķermeņa...

Dinamika

Ivars Driķis

2014. g. 8. septembrī

– Typeset by FoilTEX –

Ivars Driķis 2014. g. 8. septembrī

– Typeset by FoilTEX – 1


Dinamika

• Pieredze rāda, ka kada ķermeņa kustības parametri var mainīties tikai mijiedarbības rezultātā ar citemķermeņiem. Pie tam ķermeņa kustības raksturs ir atkarīgs gan no citem ķermeņiem, gan no to iedarbībasrakstura uz doto ķermeni, gan no paša ķermeņa spējas reģēt uz citu ķermeņu iedarbību.

• Ķermeņu mijiedarbību raksturo fizikals lielums, ko sauc par spēku, ko raksturo ne tikai tā skaitliskāvērtība (modulis), bet arī darbības virziens un pielikšanas punkts.

• Spēks ir vektors, jo to raksturo gan tā lielums gan arī pielikšanas virziens

F = (Fx, Fy, Fz)

• Mehanikas nodaļa dinamika konstatē sakaru starp ķermeņu kustības raksturu un ķermeņu mijiedar-bība kā kustības celoni un noteicošo faktoru.



Fundamentālās mijiedarbības

Gravitācijas: saules sistēma, galaktikas.Relatīvi vāji spēki, dominē lielos attālumos

Elektriskās: saista elektronus ar kodolu atomā, nodrošina ķī-miskās saites. Nosaka ne tikai elektrostatiskās parādības bet arīar magnētismu un elektrisko strāvu saistās.Ievērojami spēcīgaka par gravitācijas mijiedarbību, taču kosmis-kos mērogos “izzūd”, jo makroskopiskie ķermeņi ir elektronetirāli.

Stiprās un Vājās: satur kopā protonus un neitronus atomakodolā.Ārkārtīgi spēcīga un tajā paša laikā ļoti tuvdarbīga mijiedarbība



Spēki dabā

Vispasaules gravitācijas F = Gm1m2

R3R

Kulona F = Cq1q2

R3R

Elektriskais F = qE

Lorenca F = qv × B

Ampēra F = i × B

Elastības F = −kx

Slīdes berzes F = kN

Viskozās berzes F = −αv

Gaisa pretestības F =1

2ρv

2SCD



Dinamikas pamatlikumi: Ņūtona likumi

1. Katrs ķermenis atrodas miera stavoklī vai viemerīgatasnvirziena kustībā tik ilgi, kamēr kads ārējs spēks ne-izkustina to no miera stāvokļa vai neizmaina tā kustību.

2. Inerciālā atskaites sistēmā ķermeņa pieliktais spēks radaķermeņa paātrinajumu. Paātrinajums ir proporcionālspieliktajam spēkam un apgriezti proporcionāls ķermeņamasai.

a =1

mF vai vispārīgāk

d(mv)

d t= F

3. Divu ķermeņu mijiedarbības spēki vienmēr ir vienādipēc moduļa, bet pretēji vērsti.

F 12 = −F 21



Inerciālas atskaites sistēmas ir

Galileja relativitātes princips:

• Visās inerciālās atskaites sistemās ķer-meņa kustības likumsakarības ir vienasun tās pašas.

• Par inerciālām atskaites sistemām sa-uc sistemas, kas saistītas ar ķermeņiem,kuri atrodas relatīvā miera stavoklī vaivienmērīgā taisnvirziena kustībā.

Realās atskaites sistēmas par inerciālāmvar tiks uzskatītas tikai tuvināti.



Gravitējošā un inertā masas

Masa ir kvantitatīvs mērs ķermeņa inercei -to spejai iegūt paātrinajumu spēka darbībasrezultātā. Masa raksturo ķermeņa dinamikasīpašības, kas izpaužas ķermeņa kustībā, kuruizraisa spēku darbība.

ma = F

Gravitācijas mijiedarbības spēks ir proporcio-nāls mijiedarbojošos ķermeņu masai

F = Gm1m2

R2

Arī šo likumu atrada Ņūtons!

• Eksperimenti rāda gravitējošās un inertās masas ekvivalenci• Vispārīgā relativitātes teorija uzbūvēta izmantojot gravitējošās un inertās masas ekvivalenci



Darbības un pretdarbības ekvivalence

Ņūtona trešais likums nodrošina kustības daudzuma saglabāšanas likumus noslēgtām sistēmam



Uzdevumu risināšanas algoritms

1. Konstruē skicē visus spēkus, kas darbojas uz ķermeni2. Izvēlās koordinātu asis tā, lai vieglāk būtu rakstīt vienādojumus3. Projecē spēkus uz asīm4. Raksta Ņūtona 2 vienādojumu katrai koordinātei5. Atrisina



Apskatīsim šādus uzdevumus

• Kustība pa horizontālu plakni ar slīdes berzi• Kustība pa slīpo plakni ar slīdes berzi• Lidojums zemes tuvumā bez gaisa pretestības• Lidojums zemes tuvumā ieverojot gaisa pretestību



Slīdes berze

x

y

T

N

mg

FB

• Slīdes berzes FB spēks vērsts pretēji kustības virzienam• Kamēr ķermenim pieliktais spēks T nav pietiekoši liels lai pārvarētu

berzi, ķermenis paliek nekustīgsFB = µN



Slīdes berze: Demo

Disk 3: Chapter 7: Demo 02: Static vs.Sliding Friction

Disk 3: Chapter 7: Demo 03: Area Depen-dence of Friction

Disk 3: Chapter 7: Demo 04: Weight De-pendence of Friction

Disk 3: Chapter 7: Demo 05: Surface De-pendence of Friction



Gaisa spilvens: Demo

Disk 3: Chapter 7: Demo 01: Air Track Friction



Slīdes berze atkarībā no ātruma



Uzdevumi: plakne

x

y

T

N

mg

ma = T

0 = N −mg



Uzdevumi: plakne

x

y

T

N

mg

FB

ma = T − Fb

0 = N −mg



Uzdevumi: plakne

x

y

TN

mg

FB f

ma = T cosφ− Fb

0 = N + T sinφ−mg



Uzdevumi: plakne

x

y

T

N

mg

FB

f

ma = T cosφ− Fb

0 = N − T sinφ−mg



Uzdevumi: slīpā plakne

N

mg




x

y

ff

N

mg

ma = −mg sinφ

0 = N −mg cosφ




x

y

ff

N

mg

FB

ma = −mg sinφ+ Fb

0 = N −mg cosφ




x

y

ff

T

T

N

mg

FB

ma = −mg sinφ+ Fb + T

0 = N −mg cosφ




x

y

ff

T

T

N

mg

FB

ma = −mg sinφ− Fb + T

0 = N −mg cosφ




x

y

ff

T

T

N

mg m g2

FB

ma = −mg sinφ− Fb + T

0 = N −mg cosφ

m2a = m2g − T



Lidojums zemes tuvumā bez pretestības

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.180.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

max = 0 x(0) = 0 vx(0) = V0 cosφ

may = −mg y(0) = h vy(0) = V0 sinφ



Lidojums zemes tuvumā bez pretestības

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.180.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

x(t) = V0 cosφt vx(t) = V0 cosφ

y(t) = h+ V0 sinφt−gt2

2vy(t) = V0 sinφ− gt



Maksimālais lidojuma augstums

• Jāatrod, laiks t1 kad objekts sasniegs lidojuma augstāko punktu. Tas ir tad, kad vy = 0

0 = V0 sinφ− gt1 t1 =V0 sinφ

g

• Jāatrod kur objekts sasniegs lidojuma augstāko punktu. Tātad kur tas atradīsies laika momentā t1

x(t1) = V0 cosφt1 =V 20 sinφ cosφ

g=V 20 sin 2φ

2g

y(t1) = h+ V0 sinφt1 −gt212

= h+V 20 sin2 φ

g−gV 2

0 sin2 φ

2g2= h+

V 20 sin2 φ

2g



Lidojuma attālums, ja h = 0

• Jāatrod, lidojuma ilgums t2 kad. Tas ir tad, kad y = 0

0 = V0 sinφt2 −gt222

= t2

(V0 sinφ−

gt22

)t2 = 0, t2 =

2V0 sinφ

g

Vajadzīgais ir otrais atrisinājums• Jāatrod, kur piezemējās

x(t2) = V0 cosφt2 =2V 2

0 sinφ cosφ

g=V 20 sin 2φ

g



Tālākais lidojums pie V0 = 1 mainot φ

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.120.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

0.035

0.040

300

450

600

Vistālākais lidojums ja sin 2φ = 1, tātad φ = 45O.



Pretestība maziem kustības ātrumiem

F = −αv α = 6πηR

ηūdens = 1.002 × 10−3

Pa · s ηgaiss = 17.2 × 10−6

Pa · s



Pretestība lieliem kustības ātrumiem

F =1

2ρv

2CdS

ρūdens = 1000kg

m3ρgaiss = 1.29

kg

m3



Dicke Bertha

V0 = 400ms

m = 820 kg

d = 419mm

xmax = 12.5 km



Dicke Bertha

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 180000

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500br vs, t=57.67 ssts, t=53.97 s

Pretestības koeficients Cd atrasts no maksimālā lidojuma attāluma

Cd = 0.2

Salīdzinājumam sfērai Cd = 0.47, īsam cilindram Cd = 1.15 bet pludlīnijas formai Cd = 0.04.



Paris Gun

V0 = 1600ms

φ = 55O

m = 94 kg

d = 211mm

xmax = 130 km

ymax = 40 km



Paris Gun, ymax = 40km !!!

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

5

10

15

20

25

30

35SpiediensBl vums

Šāviņš lido stratosfērā, kur gaisa pretestība ievērojami mazāka

F =1

2ρv

2CdS

p(40 km) = 0.002694p(0 km)

ρ(40 km) = 0.004355ρ(0 km)



Programma

1 from scipy.integrate import odeint2 import numpy as np34 class lido:5 def y0(self, V0, phi, H):6 return [0, V0*np.cos(np.pi*phi/180.), H, V0*np.sin(np.pi*phi/180.)]78 def virs(self, r, t):9 mt = np.greater_equal(r[:,2],0)

10 x = np.compress(mt,r[:,0])11 y = np.compress(mt,r[:,2])12 t = np.compress(mt,t)13 return x, y, t1415 def run(self, r0, t):16 return self.virs(odeint(self.dv,r0,t),t)1718 def dv(self,y, t):19 return [0,0,0,0]2021 class lidobrivs(lido):22 g = 9.82324 def dv(self,y, t):25 x, vx, y, vy = y[0], y[1], y[2], y[3]26 return [vx,0,vy,-self.g]2728 def exact(self,y0,t):29 x0, vx0, y0, vy0 = y0[0], y0[1], y0[2], y0[3]30 return [x0+vx0*t,y0+vx0*t+0.5*self.g*t*t]31



32 class lidostokss(lido):33 g = 9.83435 def __init__(self, m=1., alfa=1.):36 self.al = alfa/m3738 def dv(self, y, t):39 x, vx, y, vy = y[0], y[1], y[2], y[3]40 return [vx,-self.al*vx,vy,-self.g-self.al*vy]4142 class lidoists(lido):43 g = 9.84445 def __init__(self, m=1., C=1.):46 self.c = C/m4748 def dv(self, y, t):49 x, vx, y, vy = y[0], y[1], y[2], y[3]50 v = np.sqrt(vx*vx+vy*vy)51 return [vx,-self.c*v*vx,vy,-self.g-self.c*v*vy]5253 # ======================================================================5455 def testall():56 t = np.arange(0, 1, 0.001)5758 l1 = lidobrivs()59 r0 = l1.y0(1., 45., 0.)60 x1, y1, t1 = l1.run(r0,t)6162 l2 = lidostokss()63 x2, y2, t2 = l2.run(r0,t)6465 l3 = lidoists()66 x3, y3, t3 = l3.run(r0,t)6768 plt.figure(figsize=(10,4))69 plt.plot(x1,y1, label="brivs, t=%.2f s" % t1[-1])70 plt.plot(x2,y2, label="stokss, t=%.2f s" % t2[-1])



71 plt.plot(x3,y3, label="ists, t=%.2f s" % t3[-1])72 plt.legend(loc=1)73 plt.savefig("visi.pdf")7475 # ======================================================================7677 if __name__ == "__main__":78 import matplotlib.pyplot as plt79 testall()

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.120.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030br vs, t=0.14 sstokss, t=0.14 ssts, t=0.14 s


dinamika - luhome.lu.lv/~drikis/fizi3021/0505-dinamika.pdfdinamika pieredze rāda, ka kada ķermeņa...

Documents