dinamika balau ayunan bandul - komputasi fisika- rachmad resmiyanto

Dinamika Balau Ayunan Bandul

(Tugas Akhir Praktikum Fisika Komputasi)

Rachmad Resmiyanto

09/291449/PPA/2933

S2 Ilmu Fisika Universitas Gadjah Mada

http://rachmadresmi.blogspot.com

19 Januari 2010

Ringkasan

Sistem balau dari pengayun bandul dengan kakas dorong/pemacu

yang hidup dalam lingkungan redaman diselesaikan dengan metode

numerik. Dengan manipulasi peubah, persamaan analitik diubah dalam

bentuk persamaan diferensial orde pertama. Alih bentuk menjadi per-

samaan numerik dilakukan dengan metode Runge-Kutta orde keem-

pat.

Kata kunci: bandul, balau, runge-kutta

1 Pendahuluan

Ramalan keadaan suatu sistem fisis di masa depan amat penting bagi fisikawan.

Kemampuan semacam ini begitu mempesona sebab fisikawan dapat den-

gan mudah memperkirakan apa yang akan terjadi kemudian. Bahkan, ke-

mampuan ini dapat diperluas, bukan hanya masa depan saja yang bisa di

ramal, akan tetapi juga masa silam. Jika syarat-syarat awal yang sesuai

diberikan/diketahui, maka keadaan masa depan dapat diramalkan dengan

Rachmad Resmiyanto (291449) Prakt. Fisika Komputasi

mudah. Apabila keadaan awal dari suatu sistem fisis diketahui, maka sese-

orang dapat menghitung lintasan ayunan sebuah bandul, gerak bola golf

dan bahkan orbit suatu satelit di angkasa. Hal ini memang menjadi ciri

khas mekanika klasik. Dalam ungkapan Pierre Simon de Laplace, sahabat

karib sang kaisar Perancis Napoleon Bonaparte, berikan aku keadaan aw-

al alam semesta ini, maka aku akan mengatakan bagaimana alam semes-

ta ini di masa depan. Namun, ternyata ”sesumbar” ini terpaksa berhenti

ketika fisikawan sampai pada kajian-kajian mikroskopis, mekanika kuantum.

Bahkan sejatinya, sebelum sampai mekanika kuantum pun, ada halangan

yang sangat mendasar dalam peramalan masa depan, yakni balau (chaos1).

Setidaknya ada 2 aspek penting dalam balau. Aspek pertama, keadaan

yang sepenuhnya tidak teratur alias kacau. Dalam situasi yang demikian,

tentu saja masa depan akan menjadi kabur. Oleh karena itu, dalam sistem

balau tidak dikenal adanya perulangan, tetapi sistem akan terus menampilkan

keadaan yang terus berbeda. Dengan demikian, gerak akan tampak seolah

sepenuhnya acak dan tak teratur. Akan tetapi, gerak balau jauh dari keka-

cauan total dan acapkali justru menampilkan suatu struktur tertentu yang

segera terlihat dengan mudah.

Aspek kedua, sensitifitas ekstrim terhadap syarat-syarat awal. Ini dapat

diibaratkan seperti upaya untuk menegakkan sebatang jarum jahit. Ketika

jarum sudah benar-benar tegak, maka jarum akan sangat sensitif terhadap

gangguan kecil keadaan-keadaan yang melingkupinya. Hembusan angin yang

ringan saja akan sangat mengganggu kesetimbangan jarum dan ia akan sulit

diramal akan jatuh ke mana. Oleh karenanya, dalam balau, perbedaan kecil

dalam keadaan awal akan memberikan perbedaan yang luar biasa besar pada

masa berikutnya.

Sifat-sifat dasar sistem balau, yakni keteraturan dalam ketidakteratu-

ran dan sensitifitas terhadap syarat-syarat awal, dapat dilihat secara gam-

blang meskipun dalam sebuah sistem fisis yang sederhana. Misalnya saja

adalah ayunan pegas selaras teredam yang dipaksa atau ayunan bandul den-

1Dalam Tipler (1998), chaos diterjemahkan sebagai kaos. Sedangkan dalam KamusGloasarium yang dikeluarkan oleh Pusat Bahasa Depdiknas, kata ini diterjemahkan dengan”balau”. Makalah ini sepenuhnya taat dengan Pusat Bahasa Depdiknas.

S2 Ilmu Fisika UGM 2


gan kakas dorong/pemacu (driven force) yang hidup dalam lingkungan yang

memiliki kakas penghambat (resistive force).

2 Kasus Fisis

Tinjau sebuah bandul yang terdiri dari batang pengayun ` dan titik massa m

pada salah satu ujungnya. Diasumsikan bahwa bandul bergerak bebas dalam

bidang vertikal, yang digerakkan oleh kakas dorong fd dan kakas penghambat

seperti ditunjukkan dalam gambar 1. Gerakan bandul dapat dipaparkan

Gambar 1: Sketsa bandul dengan kakas dorong (driven pendulum) yang hidupdalam sistem redaman, fd merupakan kakas dorong dan fr merupakan kakaspenghambat(resistive force)

.

dalam persamaan Newton sepanjang arah tangensial gerakan melingkar yang

dilakukan titik massa,

mat = fg + fd + fr, (1)

dengan fg = −mg sin θ merupakan sumbangan gravitasi sepanjang arah ger-

akan, dan θ merupakan sudut yang dibentuk oleh batang pengayun dengan

sumbu vertikal, dan at = `d2θdt2

merupakan percepatan sepanjang arah tangen-

sial. Diasumsikan pula bahwa kakas dorong memiliki ketergantungan waktu



yang bersifat periodik yang diungkapkan oleh kaitan

fd(t) = f0 cos ω0t, (2)

dan kakas penghambat

fr = −κν (3)

dengan ν = `dθdt

merupakan kecepatan titik massa dan κ merupakan param-

eter redaman positif. Asumsi yang demikian ini merupakan asumsi yang

masuk akal untuk bandul yang hidup dalam suatu medium dibawah kakas

dorong selaras. Jika persamaan (1) ditulis ulang dalam bentuk persamaan

nirdimensi (dimensionless) dengan√

`g

yang dipilih sebagai satuan waktu,

maka akan didapat persamaan

d2θ

dt2+ q

dθ

dt+ sin θ = b cos ω0t, (4)

dengan nilai koefisien q = κm

dan b = f0

m`.

Suku-suku yang berbentuk turunan dapat dianggap sebagai peubah (vari-

able). Oleh karena itu, dapat dilakukan transformasi persamaan diferensial

orde tinggi menjadi sebuah set persamaan diferensial orde pertama. Jika

dipilih y1 = θ dan y2 = ω = dθdt

, maka akan didapat

dy1

dt= y2, (5)

dy2

dt= −qy2 − sin y1 + b cos ω0t. (6)

3 Metode Komputasi Runge-Kutta

Sebagaimana yang akan ditunjukkan berdasarkan persamaan (5) dan (6),

dalam wilayah yang berbeda dari ruang parameter (q, b, ω0) sistem memiliki

dinamika yang cukup berbeda. Khususnya, dalam beberapa wilayah param-

eter gerakan bandul akan nampak sebagai gerakan yang sepenuhnya balau.



Metode Runge-Kutta orde keempat dapat dinyatakan sebagai

y(x0 + h) = y(x0) +h

6(f0 + 2f1 + 2f2 + f3) (7)

dengan

f0 = f(x0, y0) (8)

f1 = f(x0 +h

2, y0 +

h

2f0)

f2 = f(x0 +h

2, y0 +

h

2f1)

f3 = f(x0 + h, y0 + hf2)

Pada prinsipnya, persoalan bandul memiliki 3 peubah dinamis yakni

sudut antara batang pengayun dengan garis vertikal sebesar θ, kecepatan

sudut ω yang merupakan turunan pertama θ (ω = dθdt

), dan sudut fase kakas

dorong sebesar φ = ω0t. Hal ini menjadi penting sebab sebuah sistem yang

dinamis tidak dapat mengalami keadaan balau kecuali sistem tersebut memi-

liki peubah dinamis sebanyak 3 macam atau lebih. Dalam perhitungan ini,

hanya 2 peubah yang akan dihitung yakni θ dan ω, sebab φ = ω0t sudah

merupakan solusi dari nilai φ. Maksudnya, nilai peubah φ sudah ditentukan

sejak awal.

Setiap besaran fisis yang merupakan fungsi θ merupakan besaran yang

memiliki nilai periodik, misalnya ω(θ) = ω(θ ± 2nπ) dengan nilai n meru-

pakan bilangan bulat. Oleh karena itu, nilai θ perlu dibatasi dalam se-

lang [−π, π]. Jika dalam perhitungan didapatkan nilai θ yang berada di

luar wilayah tersebut maka perlu dilakukan transformasi pengembalian yang

diatur dengan θ′ = θ ± 2nπ.

4 Listing Program

ccccccc Program Dinamika Balau Bandul cccccccc

c Rachmad Resmiyanto 291449

c http://rachmadresmi.blogspot.com



c

program bandul

c

c Metode yang digunakan Runge-Kutta

c Parameter: q, b ,w0 (omega_0 )

c

parameter (n=1000, l=100, m=1)

dimension y(2,n)

common /const/ q,b,w0

pi = 4.0*atan(1.0)

h = 3.0*pi/l

c parameter ini (q,b,w0) yang diubah-ubah

c q=kappa/m, b=f0/(ml), w0

c nilai awal q=0.5 b=0.9 w0=2.0/3.0

q = 0.5

b = 0.9

w0 = 2.0/3.0

c

y(1,1) = 0.0

y(2,1) = 2.0

c

c algoritma runge-kutta

c

do 100 i=1, n-1

t = h*i

y1 = y(1,i)

y2 = y(2,i)

c

dk11 = h*g1(y1,y2,t)

dk21 = h*g2(y1,y2,t)

dk12 = h*g1((y1+dk11/2.0),(y2+dk21/2.0),(t+h/2.0))

dk22 = h*g2((y1+dk11/2.0),(y2+dk21/2.0),(t+h/2.0))

dk13 = h*g1((y1+dk12/2.0),(y2+dk22/2.0),(t+h/2.0))



dk23 = h*g2((y1+dk12/2.0),(y2+dk22/2.0),(t+h/2.0))

dk14 = h*g1((y1+dk13),(y2+dk23),(t+h))

dk24 = h*g2((y1+dk13),(y2+dk23),(t+h))

y(1,i+1) = y(1,i)+(dk11+2.0*(dk12+dk13)+dk14)/6.0

y(2,i+1) = y(2,i)+(dk21+2.0*(dk22+dk23)+dk24)/6.0

c

c

c Sudut theta dibawa ke wilayah dalam selang [-pi,pi]

c

y(1,+i+1) = y(1,i+1)-2.0*pi*nint(y(1,i+1)/(2.0*pi))

c

100 continue

write (6,999)(y(1,i),y(2,i),i=1,n,m)

stop

999 format (2f16.8)

end

c

function g1(y1,y2,t)

common /const/q,b,w0

g1=y2

return

end

c

function g2(y1,y2,t)

common /const/q,b,w0

g2=-q*y2-sin(y1)+b*cos(w0*t)

return

end

5 Pembahasan

Sekali suatu sistem menjadi balau, maka sistem tersebut akan menampilkan

profil ketidakteraturan total. Namun, selain struktur yang sangat rumit,



Gambar 2: Plot ω vs θ dengan parameter q = 0.5, b = 0.9 dan ω0 = 2.0/3.0.

gerak balau juga menampilkan sensitivitas ekstrim terhadap keadaan aw-

al. Hal ini berkebalikan dengan gerak selaras (periodik) sederhana yang

semua syarat awalnya berkembang ke arah gerak akhir yang sama. Jika be-

berapa pengayun selaras mulai digerakkan, masing-masing dengan berbeda

sedikit, gerak pengayun-pengayun itu dengan cepat berkumpul, dan seterus-

nya bergerak dalam kesatuan yang sempurna. Namun, keadaan awal yang

berbeda untuk sistem balau seperti pengayun dalam makalah ini, pengayun

dengan kakas pemacu yang hidup dalam lingkungan redaman, menyimpang

ke dalam gerak yang sangat berbeda. Tiap titik dalam gerak balau sama

sensitifnya terhadap keadaan awal, sehingga sekumpulan titik-titik permu-

laan yang berkelompok bersama akan tersebar dalam suatu rentang sudut

pengayun.

Contoh sensitivitas ini dapat dilihat dalam gambar (2), (3), (4), (5),

(6), (7) dan (8). Gambar yang menunjukkan keadaan awal adalah gambar

(2). Gambar ini dapat diandaikan sebagai gambar default untuk sekedar

menjelaskan keadaan balau yang dimaksud.

Ada 3 parameter yang dapat digunakan untuk melihat bagaimana tingkat




kebalauan atau sebaliknya, tingkat keteraturan, dari sistem ini. Parameter

ini adalah q, b dan ω0. Tujuh gambar, yakni gambar (2), (3), (4), (5), (6),

(7) dan (8), masing-masing memberikan tayangan hasil dari sedikit peruba-

han pada salah satu parameter tersebut. Tayangan tersebut menunjukkan

bahwa perubahan sedikit saja dalam salah satu parameter tersebut ternya-

ta akan menunjukkan profil yang sama sekali berbeda. Dalam profil-profil

tersebut juga nampak bahwa ayunan setiap saat selalu berbeda dan tidak

menunjukkan keadaan yang berkala.

Perilaku yang kacau sebagaimana ditunjukkan pada gambar-gambar terse-

but tampaknya memang benar-benar tidak teratur. Namun demikian, anal-

isis yang jauh lebih rinci akan menunjukkan bahwa diagram ruang fase (plot

ω-θ) memiliki kesamaan diri dalam rentangan skala yang lebih panjang,

seperti ditunjukkan oleh struktur fraktal dalam kekacauan.




6 Kesimpulan

Dari uraian di atas telah ditunjukkan bagaimana metode Runge-Kutta da-

pat digunakan untuk menjelaskan secara numerik dari persoalan dinamika

balau dari ayunan bandul dengan kakas dorong/pemacu yang hidup dalam

lingkungan redaman. Untuk mempermudah penafsiran hasil numerik metode

Runge-Kutta, maka hasil yang ada perlu diplot dalam grafik ω vs θ. Dengan

mengubah keadaan awal dari parameter q, bω0 dan kemudian mengeplotnya

dalam grafik maka dinamika balau dari sistem akan jelas terlihat.

Pustaka

DeVries, Paul L., 1994, A First Course in Computational Physics, John Wi-

ley & Sons, USA

Tipler, Paul A., 1998, Fisika: untuk sains dan teknik, alih bahasa Lea Prase-




tio dan Rahmad W. Adi, editor Joko Sutrisno, Ed.3, Cet.1, Erlangga,

Jakarta

T. Pang, 2006, An Introduction to Computational Physics, Ed.2nd, Cam-

bridge University Press, UK




Gambar 7: Plot ω vs θ dengan parameter q = 0.5, b = 0.9 dan ω0 = 0.0.



Gambar 8: Plot ω vs θ dengan parameter q = 0.5, b = 1.15 dan ω0 = 1.0.


dinamika balau ayunan bandul - komputasi fisika- rachmad resmiyanto

Documents