4

UNIDAD 1

CINEMATICA DE PARTICULAS.

INTRODUCCION

5

La dinámica forma parte de la mecánica que es una de las ramas en que se divide la física para su estudio.

Podemos representar con el siguiente diagrama las subdivisiones de la mecánica.

La estática estudia el equilibrio de los cuerpos en reposo. La dinámica estudia los cuerpos en movimiento.

La cinemática es la parte de la dinámica que estudia la geometría del movimiento de los cuerpos sin ocuparse de las causas que generan dicho movimiento.

La cinética es la parte de la dinámica que estudia el movimiento de los cuerpos, considerando lo que causa dicho movimiento, o sea hay que tomar en cuenta las fuerzas que actúan sobre los cuerpos.

Tanto la cinemática como la cinética se rigen primordialmente por las leyes de Newton:

1a Ley: Todo cuerpo conservará su estado de reposo o movimiento mientras no actúe sobre él una fuerza que altere dicho estado.

2a Ley. La fuerza aplicada sobre un cuerpo es directamente proporcional al producto de la masa del cuerpo por su aceleración.

3a Ley: A toda acción (fuerza) que actúa sobre un cuerpo se opone una reacción igual y de sentido contrario

UNIDADES UTILIZADAS

.

En dinámica se utiliza tanto el sistema internacional de medidas como el sistema ingles.

6

LONGITUD METRO (m) PIE (ft)

TIEMPO SEGUNDO SEGUNDO

FUERZA NEWTON LIBRA

MASA KILOGRAMO SLUG

EN TODAS ESTAS UNIDADES PUEDEN UTILIZARSE SUS MULTIPLOS Y SUBMULTIPLOS. CONFORME SE AVANCE EN EL ESTUDIO SE DARAN LAS EQUIVALENCIAS DE CONVERSION.

MOVIMIENTO RECTILINEO

Comenzaremos estudiando cinemática, considerando el movimiento de los cuerpos en línea recta, este se denomina movimiento rectilíneo y es el movimiento más simple de un cuerpo o partícula.

Una partícula se define como una porción pequeña de materia tal que su dimensión o tamaño no tiene consecuencias en el análisis de un problema físico.

En la mayor parte de los problemas que se presenten consideraremos como partículas a cuerpos de tamaño finito, como cohetes, proyectiles, y vehículos.

En general la cinemática de una partícula se caracteriza especificando la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula.

La posición, es el lugar en donde se encuentra la partícula, la velocidad es la rapidez con que se mueve y si la velocidad de la partícula aumenta o disminuye entonces tiene aceleración.

Para comenzar consideraremos el movimiento absoluto de una partícula, esto es el movimiento medido con respecto a un sistema coordenado fijo.

POSICION (x).

Consideraremos la posición de una partícula con respecto al origen de un sistema de ejes coordenado.

7

En un instante t la partícula se encuentra en el punto P, situado a una distancia x del origen (la posición de la partícula es x); un instante t+Δt después la partícula se movió hasta alcanzar la posición P’ (x+Δx).

Podemos hacerlas siguientes consideraciones:

1º.- La posición de una partícula queda determinada por su distancia al punto de referencia, en este caso el origen del sistema coordenado.

2º.- Cuando la partícula P se desplaza lo hace con una velocidad v que es una cantidad vectorial.

3º.- Si x es positiva la partícula está a la derecha del origen y si es negativa la partícula está a la izquierda del origen.

DESPLAZAMIENTO (Δx)

Se define como el cambio de posición de la partícula. Cuando la posición final P’ de la partícula está a la derecha de P, Δx es positivo. Cuando P’ queda a la izquierda de P, Δx es negativo.

LA DISTANCIA RECORRIDA POR LA PARTÍCULA ES DIFERENTE DEL DESPLAZAMIENTO.

La distancia recorrida por la partícula es la longitud total de la trayectoria de la partícula y siempre es positiva.

Todas estas consideraciones se hacen cuando la partícula se mueve a lo largo de una trayectoria recta, por lo que a este tipo de movimiento se le designa como MOVIMIENTO RECTILINEO.

VELOCIDAD (v).

Si consideramos que la partícula se mueve con un desplazamiento positivo Δx desde P hasta P’ durante un intervalo Δt, entonces la velocidad media de la partícula se define como:

8

v=∆ x∆ t

Si tomamos valores mas y mas pequeños de Δt y por consecuencia de Δx, obtendremos la velocidad instantánea, definida como:

v= lim∆t→ 0

∆ x∆ t

Esto es: v= dxdt

Tanto la velocidad media como la velocidad instantánea pueden tener valores positivos o negativos.

Sus unidades son: [ v ]=ms ó

fts

ACELERACION. (a)

Se define aceleración media como:

am =∆ v∆ t

Y la aceleración instantánea será:

a= lim∆ t →0

∆ v∆ t

a=dvdt

La aceleración también podemos expresarla considerando:

Si v = dxdt

entonces a =

d (dxdt )

dt ∴ a =

d2 xdt 2

También sabemos que: v = dxdt

despejando dt tenemos:

9

dt = dxv

Sustituyendo en la expresión de aceleración

a = dvdt

=dvdxv

=vdvdx

Si a es positiva; indica que la velocidad aumenta.

Si a es negativa; indica que la velocidad disminuye.

Generalmente la posición de una partícula se puede representar en función del tiempo

x = f(t)

Ejemplo:

x = t 3−4 t 2+5

como v = dxdt

entonces v = 3 t2−8 t

y a = 6t – 8

a las expresiones anteriores se les llama: ecuaciones del movimiento de una partícula.

Si tenemos a la posición x, la velocidad v, y la aceleración a como funciones del tiempo se dice que el movimiento de la partícula está caracterizado, o sea que es posible conocer su posición x, velocidad v, y aceleración a en cualquier instante.

Ejemplo:

Una partícula se mueve en línea recta y su posición está dada por x = 2t3 – 4t2 + 3, donde x está en metros y t en segundos.

Calcular: a) Los tiempos en los cuales v = 0 y a = 0

b) El desplazamiento neto entre t = 0 y t = 2s

c) La distancia total recorrida en el mismo intervalo del inciso anterior.

10

SOLUCION:

x = 2t3 – 4t2 + 3

v = dvdt

= 6t2- 8t y a = dvdt

= 12t – 8

a) Si v = 0 tenemos 6t2 – 8t = 0

factorizando 2t( 3t – 4) = 0 t1 = 0 t2 = 4/3Si a = 0 12t – 8 = 0 t = 8/12 = 2/3 s

b) Si t = 0 x = 2(0)3 – 4(0)2 +3 ∴ x = 3

Si t = 2s x = 2(2)3- 4(2)2 + 3 x = 3m

el desplazamiento neto en el intervalo t = 0, t = 2 será:

∆ x = 3 – 3 = 0

O sea la partícula está en el mismo lugar en donde se empezó a estudiar su movimiento.

c) La distancia total depende del sentido de los movimientos y éste cambia cuando v = 0, lo que sucede en t1 = 0 y t2 = 4/3 s

Ya sabemos que si t = 0, x = 3Ahora si t = 4/3 s, tenemos:

x = 2(4/3)3 – 4(4/3)2 + 3 ∴ x = 0.63 m

La distancia total recorrida será entonces:

D = |x t=4/3 – x t=0| + |x t=2 −x t=4/3|

D = |0.63 – 0| + |3−0.63|

D = 4.74 m

11

PROBLEMAS:

1.- La relación que define el movimiento de una partícula es x = 2t3- 8t2 + 5t + 15 con x expresada en pulgadas y t en segundos. Determínense la posición, velocidad y aceleración en t = 3 seg.

Resp. x = 12 pulg. V = 11 pulg./seg. A = 20 pulg./seg.2

2.- El movimiento de una particular está definido por la relación x = 2t3 – 6t2 + 10, donde x esta expresada en pies y t en seg. Determínense el tiempo, la posición y la aceleración cuando v = 0.

Resp. T1 = 0 x = 10 pies a = - 12 pies/seg.2

t2 = 2 seg. X = 2 pies a = 12 pies/seg.2

3.- El movimiento de una partícula está definido por la relación x = 2t3

-15t2 + 24t + 4, con x expresada en metros y t en seg. Determínense a) t para que la velocidad sea cero y b) la posición y la distancia total recorrida cuando la aceleración es cero

Resp. t1 = 1 seg. T2 = 4 seg. X = 1.5 mts. D = 24.5 mts.

12

DETERMINACION DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA.

En algunas ocasiones la aceleración de una partícula se expresa como función de una de las variables: tiempo, posición o velocidad:

a = f(t) a = f(x) a = (v)

si tenemos las ecuaciones correspondientes, estas pueden integrarse para obtener expresiones que relacionan al tiempo la posición y la velocidad.

En estos casos a ≠ k y se tienen como variables independientes, el tiempo (t), la posición (x) y la velocidad (v).

Si a = f (t) usamos la expresión a = dvdt

De ahí tenemos dv = a dt

∫vo

t

dv = ∫0

t

a dt

Si a = f (x) usamos la expresión a = vdvdx

De ahí v dv = a dx

∫vo

v

v dv = ∫xo

x

a dx

Si a = f (v) podemos utilizar a=dvdt

13

Utilizando a = v dvdx

tenemos dx = vdva

integrando, se

obtiene una relación entre v y x.

Utilizando cualquiera de las anteriores con v=dxdt

se obtiene una

relación entre x y t, que caracteriza el movimiento de la partícula.

EJEMPLOS:

1.- La aceleración de una partícula se define mediante la relación a = kt2. Si sabemos que la velocidad de la partícula es v = -32 ft/s cuando t = 0 y v = +32 cuando t = 4s. Determinar el valor de la constante k y escribir las ecuaciones del movimiento, sabiendo que x = 0 cuando t = 4s.

SOLUCION:

a = f (t)

∫−32

32

dv = ∫0

4

a dt = ∫0

4

k t2 dt

[ v ]−32= k32 [ t3

3 ]0

4

32 – (-32) = k ( 43

3 )64 = ( 64

3 )∴k = 3

Determinación de las ecuaciones del movimiento.

∫−32

v

dv = 3∫0

t

t2 dt

v – (-32) = 3[ t 3

3 ]0

t

14

v + 32 = t3

v = t3 – 32

v = dxdt

∴dx = v dt

∫0

x

dx = ∫4

t

dt = ∫4

t

( t3−32 ) dt

x – 0 = [ t 4

4 ]4

t

−[ 32 t ]4t

x = ( t4

4−44

4 )−[32 t – 32 (4 ) ]

x = t4

4– 64−32 t + 128

x= t4

4−32 t + 64

Y por supuesto la última ecuación del movimiento es: a = 3t2

2.- La aceleración de una partícula se define por a = - kx-2. La partícula está inicialmente en x = 800 mm, sin velocidad inicial y se observa que su velocidad es 6 m/s cuando x = 500 mm.

Determinar: a) el valor de k y b) la velocidad de la partícula cuando x = 250 mm

SOLUCION:

a) a = vdvdx

= -kx-2

∫0

v

v dv = -k∫0.8

x

x -2dx

12

v2=−k [ x−1

−1 ]0.8

x

=k ( 1x

−1

0.8 )v2=2k ( 1

x− 1

0 .8 )

15

Se sabe que x = 0.5 cuando v = 6 m/s

Sustituyendo y despejando, encontramos que k = 24

b) Sustituyendo en la ecuación para v2 los valores de k = 24 y x = 0.25

Encontramos que v = 11.49 m/s

3.- La relación que define la aceleración de una partícula es a = - 0.4v, en donde a está en in/s2 y v en in/s. si sabemos que para t = 0 la v = 30 in/s. Determinar:

a) La distancia que la partícula viajará antes de detenerse. b) El tiempo necesario para que la partícula se detenga. c) El tiempo necesario para que la partícula reduzca su velocidad al 1% de su valor inicial.

SOLUCION.

a) a = vdvdx

=−0.4 v

Eliminando v y considerando que x = 0 cuando v = 30 in/s

∫30

v

dv = -0.4∫0

x

dx

V – 30 = -0.4 x

Cuando la partícula se detiene v = 0, entonces

0 – 30 = -0.4 x

∴x= 300.4

=75 in.

b) a = dvdt

=−0.4 v

∫30

vdvv

=−0.4∫0

t

dt

ln v – ln 30 = -0.4 t

ln 30 – ln v = 0.4 t

Despejando t; t = 1

0.4ln

30v

=2.5 ln 30v

16

cuando v = 0 t = ∞

c) para que v = 0.01(30) = 0.3 in/s

t = 2.5 ln 300 .3

∴ t = 11.51 s

PROBLEMAS

1.- La relación que define a la aceleración de una partícula es a = 9 – 3t2. las condiciones iniciales de la partícula son: t = 0, con v = 0 y x = 5 mts. Determínense a) el tiempo para el cual la velocidad es otra vez cero, b) la posición y la velocidad cuando t = 4 seg. y c) la distancia total recorrida por la partícula desde t = 0 hasta t = 4 seg.

Resp. t = 3 seg. v = -28 mts./seg. x = 13 mts. D = 32.5 mts.

2.- La aceleración de una partícula está definida por la relación a = -k / x. Se ha encontrado experimentalmente que v = 5 mts./seg. Cuando x = 200 mm. Y que v = 3 mts./seg. Cuando x = 400 mm. Determinar a) la velocidad de la partícula cuando x = 500 mm., b) la posición de la partícula cuando su velocidad es cero.

Resp. v = 1.962 mts./seg. x = 0.591 mts.

3.- La relación que define la aceleración de una partícula es a = 25 -3x2, donde a se expresa en pulg./seg.2 y x en pulgadas. La partícula parte de la posición x = 0 desde el reposo. Determinar a) la velocidad cuando x = 2 pulg. b) la posición donde la velocidad es de nuevo cero y c) la posición donde la velocidad es máxima.

Resp. v = -+ 9.17 mts./seg. x = 5 mts. x = 2.89 mts.

4.-La aceleración de una partícula está definida por la relación a = -kv2, donde a se expresa en pies/seg.2 y v en pies/seg..La partícula parte de x = 0 con una velocidad de 25 pies/seg. y cuando x = 40 pies se encuentra que su velocidad es de 20 pies/seg.

Determinar la distancia que la partícula viajará: a) antes que su velocidad disminuya a 10 pies/seg. y b) antes de detenerse.

17

Resp. x = 164.3 pies. x =∞

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO

MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA CON ACELERACION CONSTANTE.

Cuando la aceleración de una partícula no varía con respecto al tiempo se dice que tiene aceleración constante, es decir su aceleración no varía durante el movimiento.

Cuando esto sucede es posible obtener expresiones matemáticas para aplicar directamente para resolver el problema sin necesidad de estar recurriendo al cálculo.

A partir de la expresión a = dvdt

podemos deducir:

dv = a dt

∫vo

v

dv = a∫0

t

dt ya que a = constante.

v – vo = at

v = vo + at

También de a = vdvdx

v dv = a dx

∫vo

v

v dv=a ∫vo

v

dx

v2

2−

vo2

2=a (x- xo )

v2−vo2=2a ( x - xo )

v2=vo2+2a (x −x0 )

18

A partir de v = dxdt

podemos obtener una expresión para la posición de

la partícula:

dx = v dt

∫xo

x

dx = ∫0

t

v dt

Sabemos que v = vo + at ; sustituyendo en la ecuación anterior

∫xo

x

dx = ∫0

t

( v + at ) dt

x - xo =vo t + at2

2

x -xo=vo t + 12

at 2

ESTAS ECUACIONES SE UTILIZAN CUANDO a = CONSTANTE Y CUANDO a = 0

EJEMPLOS.

1.- La aceleración de una partícula es a = - 4 ft/s2. Si sabemos que vo = 24 ft/s cuando x = 0 y t = 0.Calcular la velocidad, posición y distancia recorrida por la partícula cuando t = 8s.

SOLUCION: v = vo + at

v = 24 + (-4)(8)

v = -8 ft/s

x-xo = vot + ½ at2

x – 0 = 24(8) – ½ (4) (8)2

x = 64 ft Esta es la posición de la partícula a los 8s.

Para calcular la distancia recorrida necesitamos saber cuándo (tiempo) y donde (posición) se detiene. Se detiene cuando la velocidad se hace cero.

v = 0 = 24 – 4t

19

∴ t=244

=6s

Si t = 6s x - xo =24 (6 )−12(4 )(6)2

x = 72 ft.

D = |x t=6−x t=0| + |x t=8−x t=6|

D = |72−0| +|64−72|

D = 80 ft. 2.- Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba desde un puente

situado 40 m sobre el agua. Si la piedra golpea el agua 4s después de soltarse, determinar: a) La velocidad con la cual se lanzó hacia arriba

y b) La velocidad con que golpeó el agua.

40m

SOLUCION:

En este problema la aceleración es constante igual a – 9.81 m/s2 (aceleración de la gravedad)

20

Utilizando la fórmula para diferencia de posiciones:

y - yo ¿ vo t + 12

a t2

y considerando que y final es cero cuando t = 4s

0=40+vo (4 )+12

(−9.81 )(4)2

∴vo=9.62m/s

Para calcular la velocidad con que golpea el agua ( un instante antes de hacerlo)

v = vo + at

v = 9.62 + (- 9.81)(4)

v = - 29.62 m/s

3.- Un autobús tiene una aceleración de 0.75 m/s2 al moverse de A hasta B. Sabiendo que su velocidad inicial era de 27 km/h al pasar por el punto A. Determinar a) El tiempo requerido por el autobús para llegar al punto B y b) La velocidad con la que pasa por B.

Vo = 27 km/h

x – xo = vot + ½ at2

x = xo + vot + ½ at2

150 = 0 + 7.5t + ½(0.75)t2

Resolviendo para t

t = 12.36s.

v = vo + at

v = 7.5 + 0.75 (12.36)

AB

150 m

a = 0.75 m/s2

21

v = 16.77 m/s

PROBLEMAS

1.-Un automovilista recorre 1200 pies en 30 seg. con aceleración constante de 1.8 pies/s2. Determinar a) su velocidad inicial, b) su velocidad final y c) la distancia recorrida durante los primeros 10 seg.

Respuestas: vo = 13 pies/s v = 67 pies/s D = 220 pies.

2.- Una piedra se deja caer desde un ascensor que se mueve hacia arriba con una velocidad de 15 pies/s, y alcanza el fondo del pozo en 3 s. a) ¿a qué altura se encontraba el ascensor cuando se dejó caer la piedra? b) ¿con qué velocidad cae la piedra al fondo del pozo?

Respuestas yo = 99.9 pies. v = 81.6 pies/s

22

3.- Dos automóviles A y B viajan en la misma dirección en líneas contiguas de la carretera. El automóvil B se para cuando es rebasado por A, el cual va a una velocidad constante de 15 mi./h. Si 2 s. después el automóvil B inicia su movimiento con una aceleración de 3 pies/s2, determinar a) cuando y donde B rebasará a A, y b) la velocidad de B en ese momento.

Respuestas: t = 18.45 s. xA = xB = 406 pies vB = 33.6 mi./h.

4.- Los automóviles A y B circulan en carriles adyacentes en una carretera, y es t = 0 están separados una distancia de 75 pies y sus velocidades son (vA)o = 24 mi./h y

(vb) = 36 mi./h. Sabiendo que el automóvil A tiene una aceleración constante de 1.8 pies/s2 y que el B tiene una desaceleración constante de 1.2 pies/s2. Determinar a) cuando y donde A rebasará a B, y b) la velocidad de cada automóvil en ese instante.

Respuestas: t = 15.05 s xA = 734 pies vA = 42.5 mi./h vB

= 23.7 mi./h.

MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTICULAS.

Sean A y B dos partículas que se mueven sobre la misma línea recta.

xA es la coordenada de posición de A xB es la coordenada de posición de B La coordenada de posición relativa de B con respecto a A se define como la diferencia de xB con xA :

xB/A = xB - xA

ó xB = xB/A + xA

XA XB/A

XB

23

Si xB/A es positivo, indica que B está a la derecha de A.

Si xB/A es negativo, indica que B está a la izquierda de A.

Esto es independiente de las posiciones de A y B con respecto al origen O.

La velocidad relativa de B con respecto a A se designa vB/A y se obtiene derivando la fórmula anterior. vB = vB/A + vA

Si vB/A es positivo indica que B visto desde A se mueve en sentido positivo.

Si vB/A es negativo entonces B visto desde A se mueve en sentido negativo.

La aceleración relativa de B con respecto a A se obtiene derivando la expresión anterior. a B/A = aB – aA

ó aB = aB/A + aA

Para todas las consideraciones anteriores hay que tomar en cuenta que:

xB/A = - xA/B

vB/A = - vA/B

aB/A = - aA/B

EJEMPLO: Dos autos A y B se aproximan uno al otro habiendo entre ellos una distancia de 2 km cuando t = 0. El auto A acelera hacia la derecha a una razón a = 0.2 m/s2 y en t =0 su v = 15 m/s. E l auto B acelera hacia la izquierda a una razón a = 0.5 m/s2 y en t = 0 su v = 20 m/s. Calcular: a) la posición xm sobre la autopista donde se cruzan los vehículos. b) la velocidad relativa de A con respecto a B en ese instante.

A B

O 2 km.

Para el auto A: aplicando la ecuación: x -xo =vo t + 12

a t2

24

xA−0=15 t + 12(0 .2) t2

Para el auto B: xB – 2000 = -20t – ½(0.5)t2

15 t + (0 .2 ) t2=−20 t -12

(0 .5 ) t2+2000

0.35t2 + 35t – 2000 = 0

Resolviendo para t, encontramos: t1 = 40.63 s t2 = -140.6 s

el valor negativo se desecha, sustituyendo t1 en cualquier ecuación encontramos que xm = 774.53 m

Calculando las velocidades de cada auto con v = vo + at

vA = (vA)o + (0.2)(40.63)

vA = 23.13 m/s

vB = -20 – (0.5)(40.63)

vB = -40.32 m/s

entonces tenemos:

vA/B = vA – vB = 23.13 – (-40.32)

vA/B = 63.44 m/s .

MOVIMIENTOS DEPENDIENTES

En algunos casos, la posición de una partícula dependerá de la posición de otra u otras partículas, se dice entonces que los movimientos son dependientes. Observemos la siguiente figura:

25

Si el bloque B sube, entonces necesariamente el bloque A tiene que bajar. Para analizar el movimiento de ambos bloques hay que escoger un sistema de referencia y considerar la longitud de la cuerda que une a los bloques, constante.

Expresando la longitud de la cuerda en términos de las posiciones de los bloques:

XA + 2XB = L

Derivando esta expresión (Si X fuera función de t)

VA + 2VB = 0 y derivando de nuevo AA + 2 AB = 0

26

27