DINÁMICA NO LINEAL EN EL TIPO DE CAMBIO REAL

Leovardo Mata y Juan D. Salcedo Maestría En Economía

Profesores De El Colegio De México Lmata@Colmex.mx

A00964830@Itesm.mx

DINÁMICA NO LINEAL EN EL TIPO DE CAMBIO REAL

Resumen. Este estudio analiza el comportamiento del tipo de cambio real en México a la luz de

dinámica no lineal, se usan las series anual y trimestral del Tipo de Cambio Real bilateral

México-Estados Unidos entre 1980 y 2004. En particular, existe evidencia de dinámica caótica no

lineal mediante el cálculo del exponente dominante de Lyapunov, lo que sugiere que los

movimientos en el tipo de cambio real no son aleatorios.

Palabras clave. Exponente de Lyapunov, tipo de cambio real, no linealidad, caos, bootstrap,

algoritmo de Wolf.

1. INTRODUCCIÓN La experiencia nos enseña que existen fenómenos naturales que son impredecibles, para ello

basta considerar el pronóstico del clima. Es indudable que el desorden y la irregularidad son los

actores principales de muchos fenómenos naturales y sociales. Por ello en años recientes se ha

comenzado a hablar incesantemente de la aperiodicidad de ciertos sistemas físicos y económicos.

Los científicos de antaño sabían que la naturaleza está gobernada por leyes cuyas estructuras no

son lineales. Sin embargo, la solución de los correspondientes sistemas de ecuaciones no lineales

requería cálculos numéricos imposibles y eso condujo a un “mundo linealizado''. Es aquí donde la

computadora se vuelve una herramienta fundamental, recordemos simplemente que las nociones

de sensibilidad a las condiciones iniciales y dinámica no lineal son fruto empírico directo del uso

de este instrumento.

En el campo de la Economía, particularmente en Econometría se ha suscitado un renovado interés

por modelos y análisis no lineales, ya que ofrecen una rica estructura para interpretar y explicar

diversas situaciones económicas. En este sentido, la Economía no ha sido ajena a la llamada

Teoría de la Complejidad, que se traduce básicamente en no linealidad y “caos” en diversos

modelos económicos.

En este trabajo nos centramos en el comportamiento del tipo de cambio real (TCR) bajo este

nuevo enfoque. Si bien es cierto que existe una amplia gama de estudios y literatura sobre el TCR

en México, poco se ha dicho de la “dinámica caótica” que pudiese presentar, consideramos que

realizar este tipo de estudio es relevante porque el tipo de cambio real influye de manera decisiva

en el desempeño económico.

El tipo de cambio es una variable que refleja el funcionamiento global de la economía. En la

experiencia mexicana ha sido un instrumento central de política económica, tanto en los casos en

los que se le ha empleado como ancla nominal para estabilizar el crecimiento de los precios,

como cuando se le ha utilizado como instrumento promotor de las exportaciones, por ello

mantener competitivo el tipo de cambio ha sido un aspecto central de política económica.

Un aspecto relevante es si los movimientos en los precios se reflejan en el tipo de cambio, y

viceversa, y en qué medida. Esta idea puede capturarse mediante la hipótesis de la Paridad del

Poder de Compra (Purchasing Power Parity). Si bien es cierto que esta hipótesis no ofrece una

descripción adecuada de la relación tipo de cambio-precios en el corto plazo, queda la posibilidad

de que si lo haga en un periodo mayor.

Aunque la Paridad del Poder de Compra (PPC) se ha estudiado extensivamente, los estudios

empíricos no sugieren evidencia para la PPC a largo plazo [1]. Algunos estudios han aplicado

pruebas de cointegración a tipos de cambio y niveles de precios relativos [13]. La metodología

aplicada por Edison (1987) [3] acepta la hipótesis de proporcionalidad entre tipo de cambio

nominal y relación de precios, pero no puede excluir las desviaciones permanentes de la PPC.

Una forma muy popular es la evaluación de la existencia de raíces unitarias en la serie tipo de

cambio real. Por ejemplo, Kim (1990) [8] utiliza los estadísticos de Phillips y Perron y en la

mayoría de los casos que analiza puede rechazar la hipótesis de raíz unitaria.

En este estudio, se analiza el comportamiento del TCR desde el punto de vista de dinámica no

lineal, esto tiene su motivación intuitiva en que el TCR sigue un proceso dinámico caótico no

lineal, el cual “imita” conductas estocásticas. Cuando decimos “caótico” hablamos de

sensibilidad a condiciones iniciales [12], de esta forma la presencia de “caos” se prueba

calculando el estimador del exponente dominante de Lyapunov [10,14].

La idea de “caos” representa un cambio radical para explicar las fluctuaciones observadas en las

series de tiempo económicas, ya que las irregularidades observadas que surgen de la interacción

entre diversas variables, reciben una explicación endógena y determínistica.

2. TIPO DE CAMBIO REAL 2.1 Tipo de cambio real El tipo de cambio nominal y el tipo de cambio real [9] son dos precios relativos asociados a la

existencia de economías abiertas con diferentes monedas. El tipo de cambio nominal es el precio

relativo de una moneda con respecto a otra. Se define como el número de unidades de moneda

doméstica por unidad de moneda extranjera o, alternativamente, como el precio de una unidad de

moneda extranjera en términos de moneda doméstica.

El tipo de cambio real es el precio de los bienes extranjeros en términos de los bienes domésticos.

Si el índice de precios del país extranjero en el tiempo t es y el de los bienes domésticos es

, el tipo de cambio real es igual a

*tP

tP

*t

ttt P

PETCR =

donde son las unidades de moneda nacional que hay que pagar para obtener una unidad de

moneda extranjera (tipo de cambio nominal)tE

1 . Un concepto relacionado al TCR es la Paridad del Poder de Compra, el cual fue desarrollado en

1914 por Gustav Cassel. Básicamente, la PPC no es otra cosa que una reformulación de la “ley de

un solo precio”, según la cual un producto homogéneo debe tener un mismo precio a nivel

internacional. Si es el precio doméstico cotizado en moneda nacional y es el precio

externo para el mismo bien, pero cotizado en moneda extranjera, entonces la PPC, establece que

.

tP *tP

*ttt PEP =

La teoría de la PPC es un enfoque de determinación del tipo de cambio de equilibrio cuyas

proposiciones son básicamente dos: (1) el TCR de equilibrio de largo plazo es constante y es

aquél que deja la cuentas externas balanceadas, y (2) el TCR observado en el corto plazo es

función del de largo plazo, en el sentido en que el primero presenta una tendencia a aproximarse

al segundo. La forma particular que asumirá la PPC depende del régimen cambiario en que se le

ubique. Cuando el tipo de cambio es flexible, el teorema de la PPC en su versión absoluta se

presenta como una teoría que permite determinar la tasa cambiaria spot, en tanto que cuando es

fijo, se convierte en una teoría que intenta explicar la transmisión internacional de la inflación.

En este contexto, el tipo de cambio es entendido como un fenómeno puramente monetario. En

otras palabras, la PPC busca determinar en que medida el TCR observado está en desequilibrio

debido a que el tipo de cambio nominal no se ha ajustado a las variaciones en el nivel de precios

doméstico respecto al externo (con tipo de cambio flexible), o bien los precios internos no se han

1 Ambos índices deben encontrarse en la misma base.

ajustado para igualarse con los externos, valuados en la misma moneda, de modo que se

mantenga el TCR de equilibrio (con tipo de cambio fijo).

2.1. Tipo de cambio flexible El tipo de cambio nominal spot ( ), medido como el número de unidades de moneda doméstica

por unidad de moneda extranjera, es proporcional a la relación entre el nivel interno de precios

( ) y el nivel de los precios externos ( ); es decir

tE

tP *tP

)/( *ttt PPSE = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

donde S es el tipo de cambio real de equilibrio de largo plazo, el cual se mantiene constante, de

hecho, si se cumple la PPC en su versión absoluta, S será igual a uno. En este esquema, la tasa

spot es considerada como la variable endógena y los precios como exógenos. De acuerdo con la

PPC, la tasa spot debe moverse de tal modo que cualquier diferencia en los precios sea

compensada. Más aun, si el cambio es instantáneo, no existe posibilidad para una modificación

del tipo de cambio real. Sin embargo, en general, se acepta que cuando la reacción no es lo

suficientemente rápida, las variaciones fluctuarán en torno a una media constante definida por S.

2.2. Tipo de cambio fijo En este caso, los precios internos son la variable endógena. La expresión (1) podría escribirse

como:

*1ttt PE

SP = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)

Esto quiere decir que los precios internos se mueven en respuesta a los cambios en los precios

externos con el fin de que se mantenga constante la tasa de equilibrio de largo plazo implícita en

el régimen de tipo de cambio fijo. Así, con un régimen cambiario de esta naturaleza, la tasa de

crecimiento de los precios internos de una economía pequeña y abierta está determinada e iguala

el aumento en los precios externos. Si el movimiento no fuera instantáneo, se modificarían los

términos de intercambio, pero en todo caso, la PPC implica que tales modificaciones fluctuarán

en torno a la media constante definida por la inversa del TCR de equilibrio.

2.3. La PPC como condición de equilibrio de largo plazo

El que las relaciones (1) y (2) sean válidas en todo momento o sólo en el largo plazo es una

cuestión que depende del contexto donde se les ponga. Cuando el arbitraje es perfecto, se

eliminan todas las diferencias de precios (excepto las relativas a costos de transporte y

restricciones comerciales) de modo que la PPC es válida en todo momento y para todos los

bienes. Sin embargo, en el marco de mercados no altamente organizados donde el arbitraje no es

perfecto, puede haber diferencias temporales entre los precios internos y los precios externos del

mismo tipo de bienes.

La versión más estricta de la PPC, según la cual el precio en diferentes lugares del mismo tipo de

bienes se iguala cuando se les mide en la misma moneda, no se cumple por la existencia de

obstáculos permanentes y constantes al comercio, tales como aranceles, costos de transporte y/o

de transacción. Por ese motivo, el tipo de cambio real no es permanentemente igual a uno. Por

otro lado, el no cumplimiento en todo momento de la PPC puede relacionarse con desviaciones

transitorias o con cambios estructurales. Las primeras son resultado de perturbaciones a las que la

economía se ajusta a diferentes velocidades en los mercados de bienes, de factores y de activos, y

están vinculadas a rezagos en las decisiones de los agentes, movilidad de capitales, retraso en la

disponibilidad de información, efecto amortiguador de inventarios o pérdidas, existencia de

volúmenes importantes de bienes no comerciables y flexibilidad no perfecta de precios y salarios.

Por su parte, los cambios estructurales involucran variaciones permanentes en los precios

relativos de equilibrio, y pueden ser consecuencia de cambios en los gustos y/o en los patrones de

comercio, choques tecnológicos, variaciones en la productividad y en el crecimiento económico,

etc.

En resumen, las razones para que la PPC no explique los movimientos de corto plazo del tipo de

cambio son múltiples y reflejan simplemente el hecho de que, en general, la economía no está

permanentemente en equilibrio. Sin embargo, se espera todavía que sí sea válida en el largo plazo

como condición de equilibrio.

En cualquier caso, si tomamos logaritmo natural en ( )*/ ttt PPSE = tenemos:

)ln()ln()ln()ln( *

ttt PPSE −+= *ttt ppse −+=

Una prueba natural para la PPC es estimar la ecuación

tttt uppse +−+= **ββ .. . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . (3)

donde sabemos que, si el enfoque PPC se cumple, entonces debe cumplirse que , de

modo que cualquier cambio en los niveles de precios de los países se compensa con movimientos

en el tipo de cambio nominal, a excepción de choques estocásticos , errores que pueden evitar

que se cumpla PPC en el corto plazo (incluso con ), pero si sus efectos sobre el tipo de

cambio nominal (e

1* == ββ

tu

1* == ββ

t) tienden a desaparecer con el tiempo, el enfoque se cumpliría en el largo

plazo.

Si rescribimos (3) bajo el supuesto de que PPC es válida, entonces tenemos

......................................................... ( ) ttttt usTCRPPE +== )ln(/ln * ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. (4)

Es decir, PPC se puede considerar válida para México en el corto plazo si el logaritmo del tipo de

cambio real se comporta como un ruido blanco (white noise).

Respecto al largo plazo se debe estudiar si existe evidencia o no sobre la permanencia de los

choques. Es decir, si ut en (4) es una perturbación transitoria, las desviaciones de corto plazo

desaparecen con el paso del tiempo. En caso contrario, si el efecto de ut sobre el tipo de cambio

real es permanente, la PPC no se valida tampoco en el largo plazo, dado que las perturbaciones

permanecen en el tiempo, invalidando la hipótesis de una tendencia a un nivel predeterminado.

En este sentido, si existe al menos una raíz unitaria en el proceso de la serie del tipo de cambio

real, entonces las perturbaciones deben entenderse como permanentes; es decir, cualquier choque

que afecte el tipo de cambio real lo alejará para siempre de su valor inicial, hasta que un nuevo

choque lo afecte de nuevo. En este sentido, una condición suficiente para la violación de la PPC

es que la serie de tipo de cambio real este caracterizada por una raíz unitaria.

3. NO LINEALIDAD Y CAOS

Las diversas pruebas empíricas sobre PPC se han basado en modelos lineales, se ha dejado a un

lado la posibilidad de que la dinámica de las fluctuaciones económicas pueda ser no lineal. Si

este es el caso, el comportamiento aleatorio de los choques o de las propias variables económicas

sería “aparente”, ya que en realidad estaríamos hablando de “caos determínistico”.

Formalmente, es decir en términos matemáticos, no existe un consenso ni una definición única de

lo que significa “caos” [7,12]. En este trabajo, decimos que un sistema dinámico o que una

función es “caótica” si presenta sensibilidad a las condiciones iniciales [12].

3.1 Sistemas dinámicos La iteración de una función es uno de los modelos más sencillos y ricos en estructura para

estudiar un sistema dinámico no lineal [2]. Esto se debe a que es conveniente estudiar el sistema

en incrementos de tiempo de la forma t=0,1,2,...

Definición 1. Sean X un conjunto y una función. A la pareja se le llamará un

sistema dinámico y a la función f una dinámica sobre X. Si la función f es una función no lineal

decimos que es un sistema dinámico no lineal.

XXf →: ),( fX

),( fX

Definición 2. Sean X un conjunto y una función. Para cada XXf →: Xx∈ definimos

,:)(0 xxf = ),(:)(1 xfxf = )),...((:)(2 xffxf = en general para ))((:)( 1 xffxf tt −= { },...3,2,1∈t . Entonces para ∈t N, s la

función definida por , para toda

XXf t →: e

))((:)( 1 xffxf tt −= Xx∈ .

Definición 3. Sean X un conjunto, una función y XXf →: Xx∈ . La sucesión { } Nt

t xf ∈)( se

llama la órbita de x y al punto x la semilla de la órbita.

Nótese que la semilla de una órbita es el estado inicial del sistema en t=0, en este sentido

definimos para cada y )(: xfx tt = Nt∈ Xx∈ . De esta forma la sucesión es una serie

de tiempo.

{ } Nttx ∈

3.2 Sensibilidad a condiciones iniciales La sensibilidad a las condiciones iniciales [12] se entiende fácilmente si observamos que

cualquier sistema dinámico que evoluciona a lo largo del tiempo puede presentar dos situaciones,

a) Condiciones iniciales muy parecidas producen resultados finales semejantes.

b) Condiciones iniciales muy parecidas producen resultados finales completamente diferentes. En otras palabras, en la mayoría de los fenómenos naturales y sociales solamente podemos

conocer la situación inicial en forma aproximada y puede ocurrir que un pequeño error en las

condiciones iniciales produzca resultados muy diferentes a los esperados, así la predicción se

vuelve imposible y tenemos un hecho fortuito.

Definición 4. Sean (M,d) un espacio métrico, una función y . Decimos que f

posee sensibilidad a condiciones iniciales en el punto , si existe

MMf →: Mx ∈0

0x 0>δ tal que para cada

0>ε existen ),( 0 εxBy∈ y tal que ,...}2,1,0{∈t .))(),(( 0 δ≥yfxfd tt

En términos coloquiales, la idea es que pequeñas variaciones en las causas pueden llevar a

grandes diferencias en los efectos. En este sentido, nos interesa “medir'' que tan sensible es un

sistema dinámico a las condiciones iniciales, para ello vamos a emplear los llamados exponentes

de Lyapunov.

3.3 Exponentes de Lyapunov Un exponente de Lyapunov es aproximadamente igual a la diferencia de las series de tiempo

conforme evolucionan desde condiciones iniciales ligeramente distintas.

Supongamos que tenemos una serie de tiempo producida por el sistema dinámico definido por

, si consideramos que existe una perturbación )(1 tt xfx =+ 0ε en t=0, entonces el error en el

tiempo t es . )()( 000 xfxf ttt −+= εε

El crecimiento promedio del error puede medirse mediante una constanteλ de forma que

λεε t

t e0≈ ,

de donde

0

ln1εε

λ t

t≈

0

000 )()(ln1

εε

λxfxf

t

tt −+≈

)()'(ln10xf

tt≈λ

pero

∏−

=

=1

00 )(')()'(

t

ii

t xfxf , ).( 0xfx ii =

Entonces

∑−

=∞→

=1

0)('ln1lim

t

iit

xft

λ .

Definición 5. Sean , una función diferenciable y RA ⊆ AAf →: Ax ∈0 . Si existe el límite

∑−

=∞→

=1

0)('ln1lim

t

iit

xft

λ , )( 0xfx ii =

entonces λ se llama el exponente de Lyapunov de f para la órbita de y se denomina el

número de Lyapunov de .

0x λe

0x

Si el exponente de Lyapunov es positivo2, entonces f posee sensibilidad a las condiciones

iniciales y decimos que f es caótica [12]. Ahora bien, notemos que el caso mencionado

corresponde a una función de una sola variable, si f es una función de varias variables tendremos

un exponente de Lyapunov por cada variable de la función, y esto se corresponde con la

dimensionalidad del sistema dinámico.

2 Si 0>λ el error crece y tenemos sensibilidad a las condiciones iniciales, en cambio, si 0≤λ no tenemos este comportamiento.

Consideremos , una función diferenciable y mRA ⊆ AAf →: Ax ∈0 , entonces deseamos

estudiar el comportamiento de la t-ésima iteración de f cuando se ha elegido un punto en una

vecindad de , es decir debemos analizar que sucede con

'0x

0x )()( '00 xfxf tt − cuando '

00 xx −

tiende a cero.

Recordemos que existe una matriz T de tamaño mm× tal que

0)()()(

lim0

'0

0'0

'00

0'0

=−

−−−→ xx

xxTxfxf tt

xx

Llamamos a la derivada de en , que es la matriz jacobiana de evaluada en

y multiplicada por el vector , a la matriz T la denotamos por

)( 0'0 xxT − tf 0x tf

0x 0'0 xx − ).( 0xJ t

Lo anterior nos dice que debemos estudiar el comportamiento de cuando t tiende a

infinito, es decir hemos reducido nuestro problema a estudiar la matriz jacobiana de la t-ésima

iteración de f. Si suponemos que es diagonalizable, entonces existe una matriz invertible

de tamaño tal que

)( 0xJ t

)( 0xJ t

tS mm×

,)( 10

−= tttt SDSxJ

donde es una matriz diagonal en la que aparecen los valores propios de , de esa forma tD )( 0xJ t

tm

tm

tttttt uwuwxxSDSxxxJ ++=−=− − ...)())(( 110

'0

10

'00

donde son los valores propios de , t

iw )( 0xJ t .,...,2,1 mi = La naturaleza de la matriz jacobiana de

la t-ésima iteración de f depende de los valores propios que aparecen en , luego podemos

suponer que existen constantes

tD

si 'λ tales que

.iti ew λ≈

ii wt

ln1≈λ

iti wt

ln1lim∞→

=λ

Una forma de facilitar estos cálculos es aplicar la regla de la cadena a , así )( 0xJ t

),(...)()()( 010 xjxjxjxJ ttt ⋅⋅= −

donde para y j es la matriz jacobiana de f. )( 0xfx pp = tp ,..,2,1=

Definición 6. Sean ∈m R, mRA ⊂ , una función diferenciable, y j la matriz

jacobiana de f. Para cada N definimos la matriz de la siguiente forma:

AAf →: Ax ∈0

∈t )( 0xJ t

),(...)()()( 010 xjxjxjxJ ttt ⋅⋅= −

donde para Sea )( 0xfx pp = .,...,1 tp = },,...,2,1{ mk∈ si es una matriz diagonalizable con

valores propios , y existe el límite

)( 0xJ t

mwww ,...,, 21

,ln1ktk w

tlim

∞→=λ

entonces kλ se llama el k-ésimo exponente de Lyapunov de f. Si existe

, entonces f posee sensibilidad a las condiciones iniciales y 0},...,,máx{ 21 >= md λλλλ dλ se

denomina exponente dominante de Lyapunov. Asimismo, el conjunto { }mλλ ,...,1 se denomina

espectro de Lyapunov.

3.4 Estimación del exponente dominante de Lyapunov

Cuando tenemos datos experimentales o empíricos no conocemos a la función f y no sabemos si

depende de una o más variables o si depende de variables adicionales, las cuales no están

consideradas dentro del marco teórico existente. En este punto se deben estimar los exponentes

de Lyapunov mediante un algoritmo numérico.

Wolf desarrolló un método en 1985 para calcular el exponente de Lyapunov más grande

solamente a partir de una serie de datos [14]. Este método mide la constante de divergencia

entre puntos arbitrariamente cercanos. El primer paso consiste en seleccionar arbitrariamente dos

puntos muy cercanos entre sí. La dificultad consiste en descartar aquellos puntos que se

encuentran dentro del mismo periodo orbital. Una vez que se tienen los dos puntos de inicio

pertenecientes a diferentes órbitas, se deja que la dinámica del sistema los transporte hacia su

estado final, esto requiere de extensos ajustes mediante prueba y error, y se mide la distancia

entre los puntos resultantes, lo cual da la divergencia de las trayectorias en el espacio.

El algoritmo de Wolf fue de los primeros métodos numéricos para calcular los exponentes de

Lyapunov y aunque es muy sensible al ruido que puedan presentar los datos de la serie de tiempo,

ofrece una gran ventaja porque son pocos los supuestos que se deben hacer sobre la función f.

Algunos autores como Nychka hacen supuestos adicionales sobre esta función para

construir algoritmos que remuevan el ruido mediante una red neuronal y estimaciones no

paramétricas [10].

En este trabajo empleamos el algoritmo de Wolf conjuntamente con el método bootstrap para

realizar los menores supuestos sobre la función f y al mismo tiempo calcular el valor esperado del

exponente dominante de Lyapunov.

3. RESULTADOS

Antes de calcular el exponente de Lyapunov para verificar dinámica no lineal caótica en el TCR

debemos probar para el caso mexicano que el TCR no es un random walk, y que la PPC no se

cumple en el largo plazo, esto nos diría que la función que se supone para el sistema dinámico no

converge a un equilibrio y sugeriría fuertemente la idea de perturbaciones endogénas irregulares.

Asimismo, mediante una prueba de hipótesis de no linealidad, presentamos evidencia de

dinámica no lineal [4] en el TCR, lo que aunado a todo lo anterior abriría la posibilidad a la

presencia de “caos”.

La manera de probar si el logaritmo del tipo de cambio real3 es o no un ruido blanco es con la

función de autocorrelación. Esto significa que, si existe autocorrelación significativa en el

proceso de tipo de cambio real, la serie no es un ruido blanco, con lo que PPC no se estaría

cumpliendo en el corto plazo. Para probar esto, se utilizó el estadístico Q introducido por Box y

Pierce [5], que prueba la hipótesis nula de que el es un ruido blanco. )ln( tTCR

Los resultados para el logaritmo del TCR se presentan en la tabla 1.

Tabla 1.

La hipótesis de que la serie es un ruido blanco estricto se rechaza, y tiende a confirmar la

existencia de autocorrelación, lo anterior invalida la proposición del PPC al menos en el corto

plazo.

3 Se emplea la serie trimestral del Tipo de Cambio Real bilateral México-Estados Unidos entre 1980 y 2004.

Para el largo plazo debemos estudiar si hay o no evidencia sobre la permanencia de los choques.

Es decir, si ut en la expresión 4 es una perturbación transitoria, el método a seguir aquí es probar

la presencia de raíces unitarias en la expresión 4. Si existe al menos una raíz unitaria en el

proceso de la serie TCR, entonces las perturbaciones deben entenderse como permanentes; es

decir, cualquier choque que afecte el tipo de cambio real lo alejará para siempre de su valor

inicial hasta que un nuevo choque lo afecte de nuevo. Si por el contrario se prueba la ausencia de

raíces unitarias las desviaciones del TCR, se consideraran transitorias y cualquier perturbación

provocará un efecto que se anula con el paso del tiempo.

Los resultados de aplicar la prueba bajo la siguiente especificación [4]

tttt TCRTCRaaTCR εβ ++∆++=∆ −− ...21110 ,

es que no se puede rechazar la hipótesis nula de que existe una raíz unitaria en el proceso TCR, es

decir las perturbaciones son permanentes.

ADF Test Statistic -2.187598 1% Critical Value* -3.5000 5% Critical Value -2.8918 10% Critical Value -2.5827

Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test

Tabla 1.

Hasta aquí, el punto relevante fue probar si existía o no, en el tipo de cambio real, la tendencia a

volver a algún nivel predeterminado, es decir, si las desviaciones que presenta son transitorias o

permanentes.

Ahora bien, si nos enfocamos en la “variabilidad” del TCR, consideramos un modelo AR(p) en

conjunto de un ARCH(q), los cuales se encuentran dentro de la literatura estándar sobre el tipo de

cambio real.

La especificación de un modelo consiste en determinar la mejor especificación para la serie TCR,

es decir que modelo AR(p) vamos a usar para aplicarle la prueba de efectos ARCH.

Para probar si un modelo ha sido bien especificado comparamos la función de autocorrelación de

la simulación de la serie y la función de autocorrelación. En este caso, se optó por un AR(1),

luego se aplicó la prueba LM a un proceso ARCH(q). La hipótesis nula es que el modelo no

sigue un comportamiento ARCH y la hipótesis alternativa es que se trata de un proceso

ARCH(q).

Dependent Variable: TCRMethod: Least SquaresSample(adjusted): 1980:2 2004:2Included observations: 97 after adjusting endpointsVariable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. TCR(-1) 0.996973 0.008739 114.0893 0.0000R-squared 0.788912

Tabla 2.

Tomamos entonces los residuales del modelo AR(1) y aplicamos entonces la prueba LM para los

procesos ARCH(1), ARCH(2), ARCH(3) y ARCH(4) para verificar si se trata verdaderamente

de procesos ARCH o no.

Dependent Variable: RESID^2 Method: Least Squares Sample(adjusted): 1980:3 2004:2 Included observations: 96 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.101576 0.049015 2.072344 0.041RESID^2(-1) 0.173462 0.101571 1.707779 0.091

Tabla 3.

La tabla 3 nos permite realizar la prueba de hipótesis de no linealidad de McLeod-Li [4] para

el coeficiente estimado asociado a es significativamente diferente de cero a un nivel de 10%,

ar la

s decir, con base en las tablas 2 y 3 tenemos que el “mejor” modelo lineal a considerar es

determinar si existen autocorrelaciones significativas en los residuales al cuadrado 2ε̂ . Dado que

2

entonces existe evidencia para afirm presencia de no linealidades en el TCR.

t

1ˆ −tε

E

12

10

12

10212

12

10

1

,...],[

][

),0(.~

−

−−−

−

−

+=

+=

+==

+=

ttt

tttt

ttt

tt

ttt

E

Vh

hNTCRTCR

εββνε

εββεεε

εββε

εεβ

............................................... (5)

s razonable suponer que los datos observados traen consigo errores intrínsecos, tales

le c

E tTCR

como errores de medición, en este sentido es factib onsiderar que el tipo de cambio real

verdadero X (no observado) es

t

)( 1−= tt ZfX ................................................................(6)

onde es una función no lineal determínistica y es un vector4 de dimensión p que reúne

inan el tipo

d f 1−tZ

todas aquellas variables en t-1 que afectan y determ de cambio real en el tiempo t , es

decir

ttt XTCR ν+=

ttt ZfTCR ν+= − )( 1 ......................................................(7)

4 Nótese que incorpora a los rezagos de y otras variables adicionales que pueden o no ser observadas.

1−tZ

tX

donde tν es una variable aleatoria i.i.d. tal que

.][

0][2 ∞<=

=

σν

ν

t

t

V

E

Tomando el valor esperado en (5) y (7) tenemos que

[ ] [ ] [ ]11111 )( −−−−− +=+= tttttttt ZETCRZEZfZTCRE εβν ,

así una estimación de es )( 1−tZf

11ˆ)(ˆ

−− = tt TCRZf β ........................................................... (8)

Empleando el algoritmo de Wolf para nuestra serie de datos del tipo de cambio real podemos

calcular , un estimador del exponente dominante de Lyapunov dλ̂ dλ y utilizando el método de

bootstrap en conjunto con el algoritmo de Wolf podemos generar una muestra empírica de

tamaño T de valores estimados . Finalmente, usando este conjunto de valores podemos

estimar no paramétricamente [11] la distribución de y calcular el valor esperado de 5

Tdd λλ ˆ,...,1̂

dλ̂ dλ̂ para

concluir si la función f es o no caótica [6].

Notemos que aún cuando no conocemos por completo las variables que afectan al tipo de cambio

real ni tampoco a la función f, podemos estimar mediante el algoritmo de Wolf el exponente

dominante de Lyapunov. No obstante, para realizar ese cálculo tenemos que suponer una

dimensionalidad del sistema, en este caso se realizó el cálculo con el valor de 2, ya que conforme

la dimensionalidad del sistema aumenta es más factible concluir comportamiento caótico 6 .

5 La estimación no paramétrica de elimina los errores que pudiesen acarrearse de la expresión (8). ][ ˆ

dE λ6 El cálculo del Exponente Dominante de Lyapunov se realizó con base en una aplicación (free software) ubicada en http://www.mpipksdresden.mpg.de/~tisean/TISEAN_2.1/index.html y la estimación no para-métrica mediante un programa elaborado en la versión demo de Gauss Light 6.0.

El exponente dominante de Lyapunov estimado después de realizar la estimación no paramétrica

es , el cual es mayor que cero. Esto nos indica que aun cuando no conocemos a la

función f, existe evidencia para afirmar que esta función presenta sensibilidad a las condiciones

iniciales y por tanto se puede afirmar que es una función no lineal caótica quien gobierna la

dinámica del tipo de cambio real.

[ ] 0.6280ˆ =dE λ

4. CONCLUSIONES La idea de caos representa un cambio radical para explicar las fluctuaciones observadas en las

series de tiempo económicas. Bajo el enfoque caótico, las fluctuaciones e irregularidades

observadas reciben una explicación endógena y determínistica, la cual surge de la dinámica no

lineal de diversas variables. En particular, se ha encontrado evidencia de caos en el tipo de

cambio real mexicano, esto nos indica que los movimientos en el TCR no son aleatorios.

Esta conclusión se basa en que existe evidencia para afirmar que la PPC no se cumple ni en el

corto ni el largo plazo, es decir no existe un equilibrio, ni se tiende a un valor en el futuro.

Existen fluctuaciones endogénas contemporáneas y no contemporáneas que alejan al TCR de un

posible equilibrio en cada instante del tiempo. Más aún, se encontró evidencia de que las

variables que influyen sobre el TCR en el tiempo t siguen una dinámica no lineal y que dicha

función determínistica no lineal es una función caótica, en el sentido de que presenta sensibilidad

a las condiciones iniciales.

La predicción en el corto plazo es posible y se presenta una propuesta de un modelo para el TCR,

pero en el largo plazo no tiene sentido, pues la sensibilidad a las condiciones iniciales produciría

pronósticos no acertados. Esto nos dice que pequeños cambios en los niveles de precios tanto de

México como de Estados Unidos tienen efectos muy grandes a la largo plazo tanto en el

intercambio comercial entre estos países como en el tipo de cambio nominal.

5. REFERENCIAS

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