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11
Dinâmica de Fluidos
Computacional• Computational Fluid Dynamics• CFD
J. Carlos TeixeiraNelson Rodrigues
2016
22
Perspectiva histórica
* Desde cedo o homem tem procurado compreender os fenómenos ligados aos fluídos
# Arquimedes entre 287 e 212 AC realizou estudos que englobavam a área da hidrostática
# Princípio de Arquimedes e parafuso de água
33
Isaac Newton - Inglaterra (1643-1727)
* Uma das figuras mais importantes na ciência
* As suas contribuições para a mecânica dos fluídos englobam:
# A 2ª lei de Newton F=m x a# Relação entre a velocidade das ondas numa
superfície livre com o seu comprimento.
44
Século XVIII e XIX
* Período de trabalho significativo para tentar descrever matematicamente o movimento dos fluidos.# Daniel Bernoulli (1700-1782) derivou a equação
de Bernoulli# Leonhard Euler (1707- 1783) propôs as
equações de Euler que descrevem a conservação do momento para um fluido invíscido.
* Osborne Reynolds (1842-1912)# Regimes de escoamento
* Claude Louis Marie Henry Navier (1785-1836) e George Gabriel Stokes (1819-1903) introduziram o transporte viscoso nas equações de Euler, resultando nas equações de Navier Stokes que são a base dos modelos CFD modernos.
55
Século XX
* Ludwig Prandtl (turbulência; comprimento de mistura)
* von Kármann (turbulência)
* Nikuradse (rugosidade)
* Schlichting (camada limite; boundary layer) – (Stanford)
66
Anos 60 e 70
* Durante os anos 60 a divisão teórica de Los Alamos contribuiu com vários métodos numéricos que ainda estão em uso actualmente, tais como:# Particle-In-Cell (PIC).# Marker-and-Cell (MAC)# Vorticity-Streamfunction Methods# Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE)# k-ε turbulence model
* Durante os anos 70 um grupo liderado por Dr. Brian Spalding no Imperial Collegede Londres desenvolveu:# Parabolic flow codes (GENMIX).# Vorticity-Streamfunction based codes# The SIMPLE algorithm and the TEACH code# The form of the k-e equations that are used today# Upwind differencing# ‘Eddy break-up’ and ‘presumed pdf’ combustion models
77
Anos 80 e 90
* Antigamente, o CFD foi elaborado utilizando códigos académicos e caseiros. Sempre que alguém queria fazer um cálculo CFD tinha de escrever um programa.
* Foi durante este período que a maioria dos códigos CFD comerciais hoje disponíveis originou:# Fluent (UK and US)# Flow3D/CFX (UK and Canada)# Fidap (US)# Polyflow (Belgium)# Phoenix (UK)# Star CD (UK)# SCRYU (Japan)
88
O que é?
* Computational Fluid Dynamics ou CFD é a análise de sistemas que englobam escoamento de fluidos, transferência de calor e massa, e fenómenos associados tais como reacções químicas através de simulação baseada em computação.
1010
Importância
* Hidrodinâmica de navios.* Centrais eléctricas: motores de combustão interna e turbinas a gás
1111
Importância
* Turbo-maquinaria: escoamentos em rotores, difusores, etc.* Engenharia electrónica e de eléctrica: arrefecimento de equipamento incluindo
microcircuitos.
1212
Importância
* Engenharia de processos químicos: chamas, mistura e separação, moldes de polímeros
* Ambientes externos e internos de edifícios: carga do vento, aquecimento e ventilação.
1313
Importância
* Engenharia marítima: cargas em estruturas marítimas* Engenharia ambiental: distribuição de poluentes e efluentes.
1414
Importância
* Engenharia biomédica: escoamento de sangue pelas artérias e veias; e do ar pelas vias respiratórias
1515
Vantagens
* Baixo custo na fase de projecto# Não é necessária a construção de modelos físicos# O custo em relação ao anterior provém sobretudo da obtenção de poder
computacional e das licenças
* Baixo custo na fase de projecto# As simulações podem ser realizadas num espaço de tempo relativamente
curto# Facilidade de mudar a situação de teste
* Capacidade de estudar situações perigosas na vida real
* Capacidade de simular condições ideais (adiabáticas, fluxos constantes…)
1616
Limitações
* Modelos computacionais# O CFD só pode ser tão preciso quanto os modelos em que este é baseado
* Erros numéricos# Erros por aproximação# Erros por truncatura
* Está dependente da precisão na definição do problema que muitas vezes é aproximado
1717
Equações de conservação (eq Navier-Stokes)
Massa
Momentum x, y, z
Energia
0 ut
xxxx Su
xpuu
tu
grad
yyyy Su
ypuu
tu
grad
iSTkupuiti
grad
zzzz Su
zpuu
tu
grad
2222222
2 uλyu
zu
xu
zu
xu
yu
zu
yu
xuμΦ zyzxyxzyx
1818
a 2 dimensões:
0
yu
xu yx
xx
yxx
xx SxP
dyuuu
ydxuuu
x
yy
yyy
yx SyP
dyu
uuydx
uuu
x
0
yu
xu yx
Problemas convectivos ou difusivos! Interpolação
1919
Equações de conservação (Simplificações)
Escoamento invíscido (Euler)
Momentum xx
xxx S
xpuu
tu
0 ut
2020
Equações de conservação (Simplificações)
creeping flow (Stokes)(Re<<1)
Momentum xx
ex: meios porosos, micro fluidos
0 ut
0grad
xx Suxp
2121
Equações de conservação (Simplificações)
Aproximação de Boussinesq (cont)
se não constante (g cte)
Tratar a parte variável apenas no termo de fonte (massa)
iii ggg 00
000 TTgg ii
2323
Equações de conservação
Formulação diferencial
Formulação integral
Teorema de Gauss
Sut
grad
CVCVCVCV
dVSdVdVudVt grad
ACV
dAdV ana
2424
Equações de conservação
(significado)
Em estado estacionário:
CVAACV
dVSdAdAudVt grad nn
CVAA
dVSdAdAu grad nn
2525
Volumes finitos; difusão
Formulação diferencial
Formulação integral
Aplicando o Teorema de Gauss:
Sut
grad
CVCVCVCV
dVSdVdVudVt grad
CVAACV
dVSdAdAudVt grad nn
2626
Volumes finitos; difusão
Só difusão:
a 1D:
0grad CVA
dVSdA n
0ˆˆ
dVSdAix
iA
0
dVSx
Ax
Awe
0
dVSdAxk Ak
2929
Volumes finitos; difusão
PPu SSdVS
0
PPu
WP
WPww
PE
PEee SS
xA
xA
uEePE
eWw
WP
wPPw
WP
we
PE
e SAx
Ax
SAx
Ax
Agrupando:
Linear
Expandindo em séries de Taylor
3232
Interpolação
ePEee 1
PE
PEee
e xA
xA
PE
Pee xx
xx
.....2
1 2
2
x
xxxx eEPeePEee
Up-wind
Expandindo em séries de Taylor
3333
Interpolação
0. se ,0. se ,
eE
ePe nu
nu
.....2 2
22
x
xxx
xx PePePe
QUICK (quadratic upwind interpolation)
Erro de 3ª ordem!!
3434
Interpolação
UUUUDUe gg 21
UUDUD
UUeUe
xxxxxxxxg
1
UUDUUU
eDUe
xxxxxxxxg
2
Derivada temporal
3535
Integração no tempo
SxTk
xtTcp
Δtt
t
Δtt
t
Δtt
tp SdVdtdVdt
xTk
xdVdt
tTc
CVCVCV
Δtt
t
tt
t we
e
w
tt
tp VdtSdt
xTkA
xTkAdVdt
tTc
VTTcdVdttTc PPp
e
w
tt
tp
0
Onde calcular temperatura?
3636
Integração no tempo
Δtt
t
tt
t WP
WPw
PE
PEePPp VdtSdt
xTTAk
xTTAkVTTc
0
tTTdtT PP
tt
tP
01
explicito
3737
Integração no tempo
xSxTTk
xTTk
xTTk
xTTkx
tTTc
WP
WPw
PE
PEe
WP
WPw
PE
PEe
PPp
0000
0
1
0
xSxTTk
xTTkx
tTTc
WP
WPw
PE
PEe
PPp
00000
1
xk
txcp
2
Convecção-difusão (estacionário)
Exemplo (1D; s/ termo fonte)
3939
Convecção
CVAA
dVSdAdAu gradnn
Su grad
dxd
dxdu
dxd
0dxud
4646
Malhas (estrutura)
x
y
ij xi-1 xi xi+1
x
yyj-1
yj
P
nw ne
sw se
w e
n
s
WW W E
SSW SE
yj+1
EE
NENNW
ne
Sttagered/Colocated grid
4747
Solução (forma)
=* QP
w
SPN
E
APANAS AEAW
Ps
SPs
n
PNn
w
WPw
e
PEe
SPs
PNn
WPw
PEe
Qx
xx
x
xy
xyxv
xvyuyu
2
222
PSSNNEEWWPP QAAAAA
4848
Solução (procedimento): SIMPLE
* A pressão, (incógnita!) faz parte do termo de fonte.
A solução destas equações permite ter uma estimativa do campo de velocidades!
y
x
Sypvuv
tv
Sxpuuu
tu
11
11
ypASvava
xpASuaua
yyl
llPP
xxl
llPP
yPP
yp
xPP
xp
sn
we
4949
Solução (procedimento): SIMPLE
* A solução satisfaz a conservação da massa?
Necessidade de correcções para o campo de velocidades e pressão!
0 ssnnwwee uAuAuAuA
'ppp'vvv'uuu
0'''' sssnnnwwweee uuAuuAuuAuuA
nnsseewwssnnwwee uAuAuAuAuAuAuAuA ''''
y'p
aA
v
x'p
aA
u
P
y'P
P
x'P
cPbPbPbPbPb SSNNWWEEPP '''''
n
PN
Pn
ynn
e
PE
Pe
xee
yPP
aA
v
xPP
aA
u
''
'
'''
5050
Solução (Algoritmo): SIMPLE
1 Iniciar campo de pressão (arbitrado), p*
2 Resolver as equações de Momentum e determinar, u*, v*
3 Resolver equação de correcção de pressão, p’
4 Corrigir pressão p**=p*+p’
5 Corrigir velocidades, u**=u*+u’
6 Calcular outras variáveis de interesse
7 Com a nova pressão repetir os passos 2 e seguintes até convergir
5151
Solução (procedimento): SIMPLE
* Actualização de variáveis. (factor de relaxação)
* Convergência da soluçãoresíduos
* Solução no tempo ou estacionária
'
'
'
ppp
vvv
uuu
P
u
u
N
uuR
N
igii
1
2
N
ii
N
igii
N
ii
N
igii
u
uuN
u
NN
uuR
1
1
2
1
1
2
5252
FRONTEIRA (condições de)
* ParedesDirichlet
Neumann
* Entradas/saídasfixar valorlivre
* Simetria
b
'bn
0n
5353
MALHA
* O CFD usa a subdivisão do domínio para efectuar a discretização em Volumes Finitos
* Dá-se o nome de malha ao conjuntos de todas as células que constituem o domínio.
* A resolução da malha está ligada à precisão do cálculo.
* Esta deve ser tão pequena de forma a que, idealmente, seja possível dizer que não há variações de propriedades dentro de um volume
5454
MALHA
* EstruturadasFácil de referenciarDifícil de aplicar a geometrias “reais”
* Não estruturadasMuito flexíveis em função da geometriaDifícil de referenciar
* Axi-simétricas
* Compostas (por blocos)
5656
MALHA
* QualidadeO que é?Importância da malha
* IndicadoresCGI Celik IB et al (2008), “Procedure for Estimation and Reporting of Uncertainty Due to Discretization in CFD Applications” Journal of Fluids Engineering, 130(7)
Ortogonalidade; skewness (índices)
* Refinamentos locais
* Compostas (por blocos)
* Sliding meshes
5757
TURBULÊNCIA
* Características
´´´
wwwvvvuuu
T
dtuT
u0
2___
2 '1'
_____________
2 ''''' wuzu
zvu
yu
yu
xu
xg
xp
tu
x
Termos adicionais! Modelos de Turbulência
5858
TURBULÊNCIA
* ConceitosEnergia cinética turbulenta
Viscosidade turbulenta
____2
____2
____2 '''
21 wvuk
xu
T
iji
j
j
iTji k
xu
xuuu
32''
________
5959
TURBULÊNCIA (zero equações)
* Prandtl
* Smagorinsky
* Baldvin-Lomaz
kyldydulT
;2
i
j
j
iijijijT x
uxuSSSl
21;2
_________2
i
j
j
iiiiT x
uxul
_________2 ;
6060
TURBULÊNCIA (uma equação)
* Equação de transporte para k
k é uma escala de velocidade para os eddies de grande escala
* Kolomogorov-Prandtl
LkCT '
6161
TURBULÊNCIA (duas equações)
* Distinção entre eddies (conceito de dissipação de energia)
* Equações de transporte
* k-ε; k-ω; lowRe k- ε…..* Outros
____________''
j
i
j
i
xu
xu
2kCT
k
Cxu
kCC
DtDk
xukC
DtDk
j
iijT
j
iijT
2
543
2
'
'
6262
TURBULÊNCIA (parede)
* Wall function
* Near wall treatment
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1
y (m)
u (m
/s)
.
sub camadazona intermediaperfil v Karman
6464
2 FASES
* Euleriano-EulerianoVolume Of Fluid (VOF)
Fluido 1Fluido 1
Fluido 2
Fluido 1
Fluido 2 Fluido 2
0 ut
0.09 0.22 0.00 0.00
0.96 1.00 0.64 0.68
1.00 1.00 1.001.00
21
21
1
1
interface de zona na , ponto um para 10fluido2 de zona na , ponto um para 0fluido1 de zona na , ponto um para 1
,txtxtx
tx
6565
2 FASES
* Euleriano-Lagrangeanofase dispersa; sprays
* eddy-particle interaction (Hewitt, 1980)particle motion
trajectória
turbulência; tempo de cálculo
xD
DxDD
D FguuFdtdu
)(
24Re18
2D
DDD
Cd
F
uud DD
Re232
1 ReReaaaCD
DD uudtdu
ttDDD etuututtu 1
Dudtdx
2'' uu kTLe 3.02
6666
VALIDAÇÃO
* Soluções teóricas
* Dados experimentaisPróprios Laufer (1954) – pipe flowDriven cavityback step e forward step