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DINÂMICA DE ESTRUTURAS E
AEROELASTICIDADE
Prof. GIL
Aeroelasticidade - Introdução
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Um Modelo Dinâmico Diferente...
� Equações de movimento de um sistema dinâmico:
onde é um vetor de deslocamentos físicos
estruturais. M e K matrizes de massa e rigidez, respectivamente
e L representa um carregamento de natureza aerodinâmica.
� As matrizes de massa e rigidez são usualmente obtidas de
modelos de elementos finitos da estrutura sob análise.
� Note que as cargas aplicadas são de natureza aerodinâmica, e
neste caso particular dependem dos graus de liberdade da
estrutura.
[ ] ( ){ } [ ] ( ){ }
( ) ( )( ){ }, , , ,
, , ,
,
,
, ,
, ,s s s s
s s s s
s
s s
sM u x y z t K u x y z t
L u x y z t u x y z t
+ =��
�
( ){ }s s su x , y , z ,t
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Carregamento Aerodinâmico
� O carregamento aerodinâmico pode ser subdividido em uma
parcela devido a forças externas (Le(t)) e outra incremental,
dependente dos deslocamento estruturais (La (u(t),…))
� As cargas externas podem ser devido a rajadas, ação de sistemas
de controle, por exemplo. São consideradas em estudos de
resposta aeroelástica.
� As cargas incrementais, dependentes dos deformações da
estrutura, são obtidas de uma teoria aerodinâmica adequada.
� A modelagem destas cargas em conjunto coma modelagem da
estrutura definem um modelo que ocorre a interação fluido-
estrutura representada na equação:
[ ] ( ){ } [ ] ( ){ } ( ) ( )( ){ } ( ){ }, eaM u t K u t L u t u t L t+ − =�� �
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Estabilidade do sistema
� A versão homogênea da equação do sistema dinâmico sobre
análise é dada por:
� Pode-se estudar a estabilidade do sistema, para se identificar
condições onde se pode encontrar uma instabilidade, por
exemplo, variando um parâmetro de interesse do sistema, tal
como a velocidade do escoamento que passa sobre a estrutura.
� Quando se estuda a estabilidade, é desejável transformar a
formulação no domínio do tempo (acima), para o domínio da
frequência (Laplace).
� Entretanto, para tal deveremos transformar as cargas
aerodinâmicas para este novo domínio.
[ ] ( ){ } [ ] ( ){ } ( ) ( )( ){ } { }, 0aM u t K u t L u t u t+ − =�� �
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Cargas Aerodinâmicas
� A transformação das cargas aerodinâmicas do domínio do
tempo para o domínio a frequência (Laplace) pode ser realizada
aplicando a definição de transformada de Laplace
� Imagina-se que a força aerodinâmica é uma saída devido à
estrada associada aos estados, o vetor u(t) e suas derivadas
temporais.
� Ou seja um carregamento qualquer pode ser representado por
uma integral de Duhamel onde a função de resposta indicial do
sistema é a função de transferência aerodinâmica H , ou seja,
uma integral de convolução resultando em:
( ) ( )( ) ( ) ( ){ }0
,
t
a
UL u t u t q H t u d
bτ τ τ∞
∞
= −
∫�
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Cargas Aerodinâmicas Complexas
� Cuja transformada de Laplace é:
onde é a função de transferência aerodinâmica,
transformada de Laplace de , com sendo a
variável de Laplace adimensional.
( )( ){ } ( ) { }( )a
sb
UL u s q H u s∞
∞
=
( )sb
UH
∞
( )U t
bH ∞
sb U ∞
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Problema de Autovalor
� O problema de autovalor associado ao sistema aeroelástico no
domínio da frequência fica:
� Esta é uma solução geral, onde pode-se pressupor
carregamentos aerodinâmicos quaisquer, desde que se conheça a
função de transferência aerodinâmica.
� Este sistema pode ser particularizado para movimentos
harmônicos simples, uma vez que temos soluções matemáticas
que considera movimentos associados aos corpos de natureza
hamônica, por exemplo
[ ] [ ] ( ) { }2 ( ) 0sb
Us M K q H u s∞
∞
+ − =
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Transformação Modal
� Normalmente modelos dinâmicos representado por elementos
finitos implicam em um número muito elevado de graus de
liberdade.
� O que implica também em matrizes de massa e rigidez de
dimensões elevadas.
� A aproximação mais adequada para a redução da dimensão, ou
da ordem do sistema é transformar o modelo dinâmico estrutural
para uma base modal.
� Esta transformação é realizada através da solução do problema
de autovalor associado,de onde se pode obter autovalores e
autovetores. Estes autovetores são conhecidos também como
modos naturais, ou modos de vibração, e representam um
operador que transforma coordenadas de uma base física (ex.
Sistema cartesiano) para uma base modal.
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Representação modal
� Desta forma, a representação dos deslocamento físicos
estruturais na base modal é feita através da seguinte
transformação:
� O que representa fisicamente que um deslocamento físico
pode ser escrito como uma combinação linear de coordenadas
generalizadas, isto é, coordenadas que representam uma
participação modal em um movimento qualquer da estrutura.
� A matriz [ΦΦΦΦ] é conhecida como matriz modal e é composta
por vetores modais {φφφφ}I , que são os autovetores associados
ao sistema dinâmico representado pelas equações de
movimento sob análise.
( ){ } [ ] ( ){ }u t q t= Φ
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Modelo na Base Modal
� Aplicando a transformação modal ao sistema dinâmico temos:
onde:
( ) { }2 ( ) 0sb
Us M K q Q q s∞
∞
+ − =
[ ] [ ][ ]T
M M = Φ Φ [ ] [ ][ ]T
K K = Φ Φ
( ) [ ] ( ) [ ]Tsb sb
U UQ H
∞ ∞
= Φ Φ
( ){ } [ ] ( ){ } ( ){ } [ ] ( ){ }u t q t u s q s= Φ ⇒ = Φ
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Movimentos Harmônicos Simples
� Assumindo Movimento Harmônico Simples:
� Pode-se estudar o problema de estabilidade resolvendo o
problema do autovalor associado a este sistema.
( ) { }2 ( ) 0M K q Q ik q iω ω∞ − + − =
( ){ } [ ] ( ){ }u i q iω ω= Φ
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Uma Aplicação da Dinâmica das Estruturas
� Mas afinal, que tipo de sistema é este, onde temos uma
interação fluido-estrutura de forma explícita, e que tem
muita relação com problemas aeronáuticos, tal como o
vôo atmosféricos de veículos aeroespaciais?
� Este tipo de modelo tem algum nome, é definido por
algum conceito?
� Filme da NASA, apresentado por I. E. Garrick
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Introdução a um novo conceito
� AEROELASTICIDADE é a ciência que estuda as consequências da
interação de forças de inércia, elásticas e aerodinâmicas, agindo
simultaneamente na estrutura de um corpo.
� Forças de inércia – decorrentes das acelerações às quais a massa do
corpo está sujeita;
� Forças elásticas – decorrentes das reações elásticas do corpo que se
desloca (deforma);
� Forças aerodinâmicas – decorrentes do escoamento de fluido ao qual o
corpo está sujeito;
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Introdução
� AEROELASTICIDADEESTÁTICA:
� Quando o movimento varia
pouco com o tempo; sem
aceleração e/ou velocidade
significativas.
Deflexão das asas de aeronaves em vôo em função do carregamento aerodinâmico.
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Introdução
Note que asas podem ser bastante flexíveis !
(teste estrutural daasa do Boeing 747)
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Introdução
� AEROELASTICIDADEDINÂMICA:
� Quando o movimento varia
significativamente com o
tempo;
� Acelerações e velocidades
significativas o que implica
no surgimento das
componentes de inércia que
interagem com as
componentes elásticas e
aerodinâmicas
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Introdução
� Ou seja, uma aeronave é um corpo flexível, portanto pode ser deformada, sua aerodinâmica será alterada;
� Estas alterações aerodinâmicas em função das deformações da estrutura, caracterizam o comportamento aeroelástico;
� O sistema dinâmico que caracteriza o corpo e o meio que o envolve (escoamento de fluido), passa a ser chamado de sistema aeroelástico, e pode ser representado matematicamente através de modelos adequados, fundamentados nas teoria a serem apresentadas neste curso.
� Obs: O termo AEROELASTICIDADE foi formalmente introduzido por Roxbee Cox e Pugsley – em 1932.
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Aeroelasticidade
� A interação mútua entre as forças elásticas, de inércia e aerodinâmicas pode ser representada graficamente através de um diagrama conhecido como diagrama dos três anéis ����
� Obs: Collar em 1946, inicialmente definiu aeroelasticidade em termos de um triângulo de forças análogo ao diagrama ao lado.
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Fenômenos Aeroelásticos
� Os fenômenos físicos associados aos dois tipos de comportamento de um sistema, estático ou dinâmico, podem ser subdivididos como:
�Associados a estabilidade do sistema aeroelástico:
� Divergência (estático)
� Flutter (dinâmico)
�Associados à resposta (aeroelástica) no tempo:
� Redistribuição de Cargas (estático)
� reversão de comandos (estático)
� cargas de rajadas (dinâmico)
� Buffeting (dinâmico)
� Cada um dos fenômenos físicos serão apresentados ao longo do curso, bem como a forma de modela-los matematicamente.
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Divergência
� Conforme apresentou-se anteriormente, o aumento de sustentação ocorre devido ao aumento do ângulo de ataque.
� Se a pressão dinâmica do escoamento for suficientemente alta, este processo realimentado pode levar ao colapso da estrutura devido a “divergência” do movimento da asa;
� Caso contrário, a asa permanece estaticamente deformada.
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Flutter
� Flutter é uma auto-excitação de dois ou mais modos de vibração de um sistema, devidamente alterada e realimentada pelo escoamento de um fluido. Pode vir a causar oscilações de amplitude que crescem exponencialmente levando a estrutura a uma falha dinâmica.
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Redistribuição de Cargas
� Quando a asa é flexível, o
carregamento aerodinâmico
ao longo da envergadura
pode ser alterado devido a
deformação da asa em
ângulo de ataque.
1.0
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Reversão (eficiência) de comandos
• Pode causar
ineficiência, perda
ou até a reversão de
uma ação de
comando de uma
superfície de
controle
Reversão do Aileron
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Cargas de rajada
� Cargas dinâmicas:
�Devido rajadas de vento, pouso, disparo de armamentos,
alijamento, choques e etc.;
�O aumento do carregamento aerodinâmico devido uma
rajada de vento ocorre devido ao aumento do ângulo de
ataque instantâneo, podendo elevar o fator de carga a limites
além dos autorizados para a aeronave;
�Modela-se o sistema aeroelástico considerando a presença da
rajada também para o projeto de sistemas de alívio de cargas
desta natureza.
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Buffeting
� Fenômeno típico de aeronaves de alta manobrabilidade;
� Vibrações causadas pela esteira gerada por outras partes da aeronave, por exemplo interferência da esteira da asa na empenagem;
� Fenômeno altamente não linear, difícil de modelar matematicamente, sendo necessária investigação em túnel de vento
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Bibliografia e referências
� Textos básicos do curso:
�Bismarck-Nasr, M. N. Structural Dynamics in Aeronautical Engineering. Reston, VA: AIAA, 1999. (AIAA Education Series).
�Bisplinghoff, R.L. Ashley, H. and Halfman, R. Aeroelasticity. Addison Wesley, 1955.
�Dowell, E. H. et al. A Modern Course in Aeroelasticity. 4. ed. Kluwer Academic, 2005.
�Fung, Y. C. An Introduction to the Theory ofAeroelasticity, Wiley, 1955
� Mais um conjunto de referências a serem passadas durante o curso, de acordo com o assunto.