Stephen T. Thornton e
O 2004, Brooks/Cole
de
problemas com números
de algumas
seçóes
(ou
material de cálcrrlo de
comunidade
assunto,
em um ano acadêmico
pelo
O
ser
variados
e
Antes da
método a
a serem
uma importante
Vários
usuários
o aluno
Materiais
para
professor
livro,
em
www.cengage.com.br
O
final
de
capítulo.
e esrá disponível
aos professores que
da 4a
ArnoldJ. Dahm,
sem a assistência de muitas
pessoas
de problemas,
1.14
Exemplos
rígidos 410
Problemas 413
Introdução 457
Velocidade de
meio da utiliza-
das
a afirmaçáo de
leitor
esteja
familiarizado
o vetor.
tensores, apesar
cálculo
vetorial.
1.2
Conceito
em
gramas.
Os
eixos
de
coordenadas
são
(x,1).
-\massaM
da
partículaem
(x,1)pode
serexpressacomoM(x,1).
vetorial em torno de
Olivel Heaviside
aproximadamente.
I
um
certo
sistema
de
coordena-
\r
como
(x\,
entre o eixo xj e o eixo
x,
À,,
Figura 1.3, utili-
1.4
Propriedades
nométricos.
Considere,
como
clireção no
contre
duas
B,
cos
7
leitor poderá
(1.13)
,ttcle
ô;l
Se
\.
e
1.15
náo
são
real-
nrente
diferentes.
Na realidade, a validade de qualquer uma dessas equaçóes implica a vali-
clade
bases físicas
cle
às propriedades de
fixo
eiros
ponto
considere
os
x,sáo
eixos
de
foram obtidos
veja
P'serão
sáo girados
por um
P
sofrem
rotaçáo
matriz náo precisa ser
Essas regras
ser consistentes com as
Equações 1.7 e 1.8 ao optarmos por expressâr os.r; e os
xf em
forma matricial.
de forma abrangente por A. Cayley em 1855, porém muitas
dessas ideias resultaram do trabalho de Sir
Wiliiam Rorvan Hamilton
luna.
se x e x/ forem
matrizes
se a quanti-
dade de cllu,nas
B são ambas
por
rij)
Multiplicamos
na
l-ésima
individuais
na
i-ésima
linha de A, um a um da esquerda para a direita,
pelos
elementos
A
por
x corn a matriz
matriz
matriz 3
multiplicaçáo de
as somas
2:, r,
A
e
comutativa.
ll
colunas. Indicamos
a transposta
de uma
linhas e
mostra a
chamada
AB,
temos
A'B-tl'I
.tB
1.tn
um ângrrlo
{t)\,6
Considere
agora
ârea
do
paralelogramo
definido
pelos
vetores
A
e
os
direito
produto
vetorial
seja
e,
x
er
O
cálculo
dessas
quantidades
em
coordenadas
e,
(veja
a
Fi-
gura
1.16).
As
mais
fáceis
mag-
12
Consulte
sistema
de
coordenadas
cilíndricas
interualo
de
tempo
infinitesimal
move no
locidade
a
gular
1 .106
(c)
ângulo
ao
ponto
(x1,
ls(Vx
A).ila
definidapeloparaboloide
r:
I
-.r:
da
origem.
(a)
ff
:1 :
1,
(c)
descrevendo
matematica-
mente
os
Náo estamos
dei-
1l-13.
I
Tiuesdell
('li68)
nervtonrarlos.
Euler
"transflormou
R. H. Dicke,
FIGURA
2.1
Optamos
círculo. Este
linear
l',
quando
no
=
colocado no
posterior,
quando
estiver em
D, a
se
decidir
o
movimeuto
de
o movimento
Porém,
atenção
alternativa
como
ddv
F:
(,/tv)
é conhecida.
de
r
entáo
o
movimento
função de
5.
Finalmente,
determinar a quantidade
direção
mover
o plano. Vamos
do projétil,
transversal
no mínimo
força de
Número de
Mach NI
Velocidade
(m/s)
(d)
FIGURA
2.3
(a)
(força
resistiva
pode estar em
prgetil, tambem existirá um torque em torno do centro de
massa.
(b)
O
número de Mach M. Obsene a grande mudança próximo à
velocidade do som, onde
próximo
à
inicial u(Í
o deslocamento
x como
=
dependem
do
tempo.
A
Figura
2.10
pela
resistência
do
ar.
Na
Figura
2.
o
fato
altitude, obtemos
a terceira
se torna
cada vez
de
Sem resistência
se a
movimento
magnético
ttttifot-me
B
coordenadas cartesianas
plo, a partícula
exemplo.
pelos quais o campo
trrróes de Van Allen.
Essas implicaçóes
deverão ser
conser-vação têm sido realmente
é lii,re.
mor imellto
vetor
colrstante,
a
força
A
N:rx rnü:rxp
necessário para
ponto
exemplo,
os métodos
ficou claro
energia
C.oncle cle
Durante todo o século
formulou a lei geral de conservaçáo da energia em 1847.
Ele baseou
como um refu-
sua renomada carreira militar e, a segrrir, científica, ele super-
visionou
(2.96)
(2.e7)
como mostra
8,,
elas deverão
na
Figura
2.
16.
com os
cujo
na aceleração
para cima em um campo gravitacional
consranre corn ve-
Mostre que para qualquer
entra em repouso sornenre
colina com inclinaçáo
de
inclinaçáo
ringulo
ct
com
a
horizontal.
0,7
m
a cerca?
poderia ter sido lan-
para
o
2.3
se
do
de distância?
2.21.
mudança
do campo
adentra o campo magnético
é fornecida
i
(f)
e
j
(f).
Demonstre
:
sobre o bloco na
sobre o bloco no
pista?
(d)
A
o bloco aterrissará no
l-*t
e sistemas
de
massa
é
propor-
2,49.
massa em órbitas
proporcionalidade.
2.50.
massa tko
movimento
dpldt
(b)
necessário para que a partícula
alcance metade da velocidade da luz e 99Vo da velocidade da
luz?
2.51.
Qual
Considere m
dimensáo
positivas.
(a)
Determine
a
ins-
tável.
(c)
Qual
(d)
Qual
será
inÍinito?
(e)
à
velocidade
do
item
(d).
Determine,t(l)
\o
a
-kmu.
(a)
Determine
a
batata se ela tem
de 120 m/s.
de um
caiu
 
-\prenderemos
fonte
externa
em
Adiscussáo
abrangente
utilizar
métodos
analíticos.
Quando
observamos
cuidado,
percebemos
que
(
ouÍra. Pode
ser prudente
equaçáo
de
movimento
harmônico
simples.
Com
frequência,
de
uma
esfera
a
Vamos considerar o
de
liberdade.
Considerarnos
a
força
de
as oscilaçóes tendo a
mesma frequência, porém possivelmente
diferindo em termos de
eliminando
o
:
ter'
Fi$rra:i.11.
fase das
de
fase
ao
longo
caminhos
na
Finrra
3.11.
Todos
os
zero. \esse
oscilatório.
Os
na Figura
fase
diminuindo
tecimento
Figura 3.10b.
>
que puxa
o prumo
0.
A
segunda
Lei
de
Newton
resistiva
mt.i;
está correto, dependendo
para trás
que
retorna
à
D
decresce
u.rrr,
ai-ai,-§
OscilaçÕes
impelidas,
do
"fator
for
curvas de
da
frequência
ciente de
Q
tão
Q
frequências entre
valor. Os osciladores
de elétrons
dentro dos
Àr.r
aproximadamente 5
com esses dispositivos
fator de qualidade
o ângulo de
fase ô, que é o ângulo de fase entre a força de impulsão
imento
resultante.
@tt
2p
lru
Âa.r
(a)
ro
tornam-se
t.ii
nos
permite
escrever
*/t
f
E9 sen roÍ
da
comente.
dl
Obser-ve
e
aquelas
que,
se
representada
por
periódica,
com
todos os coeficientes
rrc,-rl'-]
I-
uma função
(do
r,
mantemos
x
3.1
10,
é
Ja(1)r
*(t)
Í'orça
de
forma
análoga.
O
método
de
iniciais.
fio cuja constante
do
as
transversal uniforme,4
massa
p
rígido
(Figura
pêndulo
é
sáo extamente
propriedades
valores
fornecidos
no
Exemplo
3.2,
porém
con-
um grá-
[e-&
um
ll9, ll3,
Por que isto
xr(l), x,(l) e
Para a
soluçáo criticamente
plitudes
isto
ocorre?
Para
alan
A
de
um fio de constante de força À e desliza sobre uma
se-
entre
nx
r
parâmetro de amortecimento
aquela de
verticalmente
como
um
oscilador
harmônico
impelido
e
náo
são as
oscilaçóes
de
até agora para sistemas
lineares podem não ser
oscilador amortecido
movendo-se
ao
sistema
Laplace deÍêndeu
a visão
divulgada da
natureza. Nos
natureza náo
terminista,
em
oposição
onde o sistema
em um modo bem determinado por meio das
leis físicas. Não
sui
conexão
nem mesmo pouco adiante,
O caos determinista
modo
como uma
tal modo que o
pequena.
quando
que
ela
representa
f 39
planodafaseéacessadacaoticamenteparaF:0,6e0,7,masparaF:0,S,omovimentose
para
l'
período (isto
mostrado na coluna
diagra-
fase.
de espaço de
uma função
de velocidade
no espaço de fase.
a regularidade
completa
do
movimento
do
movimento em espaço de fase necessitaria de diagramas de fase tridimensionais
ao
invés
de
na
Figura
:2nr
(n
igual
na
coluna
direita
da
Figura
4.
do
Portanto,
esperamos que a Seçáo de Poincaré mostre somente um ponto, e isto
é o que encontramos
na Figura superior da coluna direita da Figura 4.19. O movimento
para
F
:
por
causa
na
Seção
e m
Os movimentoscaóticosparaF:0,6,0,7
para movimento
ricas
diagramas de
e 1,0.
dependente
do
modelo.
§,rrr
ou
infinita.
Os
resultados
da
Equaçáo
losística
são
obsenados
mais
facilmente
por
meios
gráficos
logística
para
valores
a
de
2,9
30. Por
O efeito da dependência sensível
das condiçóes iniciais
extremamente pequeno
padróes do tempo para
térmicos
irão
náo
podemos
possível para
vários passos.
condiçóes
iniciais
para
o
comporta-
sistema
um sistema com
os estados iniciais
iteraçÕes dos dois
por unidade
de tempo
entre os
eventualmente
n
iteraçóes,
a
diferença d,, entre os dois estados inicialmente próximos é dada por
rl
para obter
Equaçáo da logística.
FIGURA
4.26
esperou quase
a
matemática
formulada
no
cálculo
(que
Nervton
in-
ventou
af,rrma que cada
o
qu,adrado
tr )'l
(consulte
a Figura 5.1). O vetor de unidade aponta de M param,
e o sinal de menos assegura que a força é atrativa,
isto é,
determinação
(1731-1810).
uma balança de
leve. As duas esferas foram atraídas a duas outras
grandes esferas que poderiam ser colocadas
em um dos lados das esferas pequenas. O valor
oficialparaG
é6,673
-f
0,010
x
l0
llN'm2/kg2.Éinteressantenotarque,emboraG
sejatalvez
a
constante
fundamental
constantes
it. Hâ
Na forma da
Em
líquida
em
um
forças individuais.
soma se torna uma integral
(FigLrra
5.2):
I
é a densidade de massa e du' é o elemento
de
centro.
:
de campo, entretanto,
podem ser resumidos na
mais
próxima
ao
seu
.âi:,fl
l,1i:',7
FIGURA
5.5
Soluçao. Podemos
-R
velocidade
orbital
u:
é
instár,el.
(da
Equação
2.100)
por
as duas integrações
Gauss
para
carga.
Inserimos
S:
-Vrll
da
Equação
5.5
de Poisson
e é
útil em
Quando
o
sistemas de coordenadas.
Vamos
considerar
uma
mesma que a direção
forma,
as
linhas
FIGURA 5.9 Exemplo
gravitacional
p.q.r.ru mais semelhante a
Do mesmo
entre
o
empuxo
gravitacional
da
Lua
no
Í2,
Lua. Ambos os vetores de unidade ei? e eD estáo
apontando
>
:0,02.
(Figura
mas
as
componentes
do
)
0. Note
ples
eixo
eml
mair
part
Ort
àLr
forç
Parr
representação das
ples,
em torno
hzemos
à Lua, um efeito dimensionável.
Apesar da
muito maior
terrestre,
a Têrra, a
retos
completamente
Têrra
causa
por dia, porque
Têrra. Isso faz com
fricçáo
das
,
e linhas de campo se aplica?
(Note
da
você
fixada
de uma
RL,
aTerraeM
éamassadoSol
5.19,
27,3
por seu centro.
das
para
a
diferentes que
l(x)
1(ct,
x)
6.4, executamos a diferencia-
(xr,)r)
FIGURA
6.3
Exemplo
6.2.
forma
,t
dÍ
o resultado, temos
variaçóes
e 2 é, portanto,
 
;n
 
variaçoes 197
FIGURÂ 6.8
itf
af
ât
círculo
pontos
(x,
:{ea:llr.
forem
limitada no movimento
da
projeção
o
leitor
que
já
trabalhou
ser bastante
problemas específicos, procedimentos
está
contido
físicos
(particularmente
aqueles
do
Princípio
é
menos
geral
que
discussão
deta-lhada
aqui."
de Hamilton:
sua menção
HamiltonT
na
verdade,
(cottsistente
as energias
discutia
se
move
ser
identificada
com
variação
(consulte
Além
de quantidades que
consiste das derivadas
de tempo de
Ç,
é dado pore
para um ponto material
está na origem.
dos ângulos
entre os
,,:l. u.,:]. ,.,:
uma
e
no sistema
Hamilton)
por
Lagrange
e
em trll)a
fato de
na
superfície
interna
somente
duas
coordenadas
ge-
neralizadas
movimento,
de restrição
na Equaçâo
iVIg sen a
ser
imediatamente
integradas.
fricção
pu., do
respectivamente,
e que são forças generalizadas
 
em r€pouso no
qual
a
hemisfério
fixo
?i,
de coordenadas. De fato, tais transfc,rnra,,i,c.
não
estáo
(no
qual
pode até
em
Princípio
de
baseados
definido
com
uma
re-
na
mecânica
consideraçóes
pode consultar
o excelente
das
e
7
.122,
temos
d7'
das velocidades
sistema de
ro
de
modo
entáo
rXp:constante
do sistema, e a
aquele eixo é conservada.
A importância da conexáo entre propriedades de shwtrin e a inuariâncin
das quantidades
A
Derivamos
um
dos
matemáticos
alemães
no
início
de
quantidades
de
movimento
generalizadas
são
dL
14,:
respeito ao
ao enunciar
o Princípio
do
O
Princípio
de
Hamilton
sáo
estabelecidos
pontos finais)
fo,?
Tàlvez
uma
resposta
na
somar
esta
torna
(7.re7)
Mas
esta
tempo total
afirma que a densidade
a um sistema de partículas
permanece constante durante o movimento. Deve ser enfatizado
que conseguimos estabelecer
somente para
agregados de
U do campo
por
exemplo,
.41. Explique
por que
.12 sáo os
oscilaçóes.
Escolha as
roda sem deslizar
inclinado
de
com
movimentos
restritos
com a
uniforme,
raio,R. O círculo gira
pelo centro do cír-
plano em
inclina-
çáo0aumataxaconstantea(0:0emr:0),fazendocomqueapartículasemovaparabaixodo
sem
massa
movendo-se
plano horizortal por
que são conectados simetricamente ao aro e
aos pontos fixos
Ilm equilíbrio, cada fio é vertical. f)emonstre que a
frequência
mesrna
que
para
movimento rcstrito
angular constante
partícula e
calcule a
sua posiçáo. Encontre
tos.
clois
influência
ao-rr.,,"tm
de energia
um ciilrrpo cle for'ça consen,aclor'
cuja
função
de uma massa
taxa constante
a conserlaçáo de energ-ia
loneo
da
hélice
:: h0,r:
constante, onde À é uma constante e z é vertical. Obtenha as
equações
de
movimento
para
(a)
r-rm
(polia
simples).
7.27.
lJrna
conectzr duas partículas de massas
ntt e
girar.
(a)Determine
cle Hzrmiltot-t.
com força de magnitude
ponto
7.30. Considere duas funçóes contínuas quaisquer de coordenadas e qnantidades
de rnovimento
generalizadas g(qh,
Verifique as seguintes
com a
dos parênteses de
extremidade da barra oposta ao peso faz o pir,ô livremente
(em
o
p.,
incluindo
P
a:
para
seja quadridimensional
de Hamilton
circular
de
m
força
(isto
problema
muito
diferentes
e
similares
de partículas
descreviam o átomo
abordagem
da
para se
obter uma
descriçáo detalhada.
8.2
formado por
duas partículas
r, e r, das
concentramos
não
de
coordenadas
como
sendo
o
não
seja
(olt
sãcr
partículas
pontuais).
(8.1)
253
coordenadas
e
(b)
a
r
um problema
de força central
Soluçao.
2cr. e
angular
I
necessárias
para
as
Equaçóes
@
é a energia total da órbita nos dois exemplos precedentes?
Soluçao,
A
energia
é
em termos
P' sáo os focos.
da elipse é
as primeiras integrais
é
mostrada
12
Publicada
TABELA
maior da órbita da
e, algumas
interessado
após
observar
perguntou a Newton
em 1684 sobre
uma
força
inversamente
Newton
respondeu
"Elipses,
cuidadoso,
Halley
foi
o seu
de v, na l'igura
da
equaçáo
corpo
de
massa
M.
Le Verrier
de que o período pode ser
extr€mamente longo. Este é o caso de Mertúrio.
A precessáo cle por século é periódica,
porém o período é tão
longo
que
a
alteração
pequena
tempo finito de
propagaçáo das itrteraçóes
cia entre
2z
do Sol
,l
clo
periélio
1 r
'1(;'
r'
l-L
<
oscilaçáo em
i,* rà2:
uma órbita
em
torno
g(p
8.83
produz
t,2
(8.86)
e F(r) estarem relacionados
os
í
blindado
é
graficamente
pla >
1,62
na posição que seria
8.90
e
com
angular
sobre
o
se encontra em órbita circular em torno da Terra,
com um
dando ao foguete
gráfico
de
T(r),
sendo circular e que
valor.
Qual
será
a nova órbita da Terra? A Terra escapará para o sistema
solar?
sob
órbita da partícula é circular e passa através do centro
de força, demonstre
parabólica no
Sol
é
Bro,
da
(suposta)
órbita
órbita
a
i
t
Íbrça,
por
r
8.15. Uma
do
infinito
ao
longo_de
uma
linha
reta,
conforme
k,/r-,
(porém
quase
resultante nos
em órbita elíptica
que a excentricidade da órbita é
fr,-t
t:
f;t+
kk,
1l(r):*;_/
f)emonstre
que,
se
p2h)
h',
289
ao potencial de
partícula
em
órbita
limitada
do
potencial
de
uma
magnitude
constante
se mova em uma órbita circular de raio
rn.
(b)
Determine
a
m e
6 anos-luz.
ladas. Mesmo
capazes
de
tivemos de
extenso.
Mais adiante, quando tratarmos a dinâmica de corpos rígidos, deveremos
descrever os
Essas
partículas
podem
formar
um
agregado
frouxo
de
o movimento de foguetes.
internas:
B
liga
válida para partículas
eletromagnéticas
são
as forças magnéticas, exercidas sobre uma caÍga q em movimento
em
um
campo
magnético
B
(F
da
Têrceira
Lei.
291
por uma integral,
o
posiçáo
Soluçao, Considere
a densidade
raio
cuidado
(Figura
9.3)
para
simplificar
o
sáo
(X,
Y,
na
limites
simétricos.
I/.
(b)
A
área
los
B-ésima
terno.Ilrrra
(veja
a
o qual podemos
deô:
ltnli(ny
toda
Pelo
deslocando com a velocidade
301
como
Configuração 1,
na qual
2.84,
escrevemos
itr1:
'dr.,
(e.34)
àquele usado
dr,,p
àc,,
partículas constituintes
caso, a
do
sistema.
Ela
essa
potencial é fisi-
fragmentos
(Figura
desloca
no
sen-
no momento da explosão.
:
E
preciso
conhecer
a
simplesmente
como
Íbrça,
a
ser considerada
na especificaçáo
dos estados
Desse moclo, 21
ta"
i
?i
ú
(
:
0
A Figura
tado final nos sistemas LAB e CM para a partícula
espalhada
m,
de uma
Isso
se
encontram
no
círculo
de
raio
zi
cujo
em
LAB
ú
ponto de origem de V com a extremidade de
v{.
Se
V, v,, v{
ângulos de espalhamento e
drras velocidades de laboratório
dois
valores diferentes de 0. Entretanto, obserr/e que uma especificação dos vetores
V e
da direçã,0 de
(Equaçáo
9.3),
temos
Trrur
deve estar
velocidade
y
lll
as velocidades são
opostos em direção
massa
duas partículas para
 
ru, é pouco
ser obtido
partículas 321
da colisáo:
do repouso
partículas 325
Centro de
e é espalhada em
entre
o
parâmetro
de
de espalhamento
b
o
espalhamento
diferenciais de espalhamento
e sistemas
seção transversal
a Equação
total para
o espalhamento
área
máxima
sinal
da seçáo trans-
(0/2).
modo
que
a
forma
da
distribuição
notável
que
poderia
ter
atrasado
quantidade
resultante
1l
25,
605
(1913).
12
N. Bohr
demonstrou que a iclentidade dos resultados é uma consequência da natureza 1/12 da força; ela não pode
ser esperada para nenhum
dnt
com
"aparece"
positivo.
(9.156)
(e.157)
(e.158)
gravidade
O movimento real de um foguete tentando deixar o campo gravitacional
da Têrra é muito
fazendo
várias
Desprezamos
a
resistência
do ar e supomos que a aceleração da gravidade é constante
com a altura. Tàmbém
partimos
da premissa de que a taxa de queima do combustível é constante. Todos
esses fatores
do
foguete
no
espaço
Iivre,
porém,
à
espaçonave.
de queima
de
37
x
106
N.
A
velocidade
massa M em um
o mar.
Para simplificar,
suponha que
derz:3.
9.f
2.
a explosão
declina rapidamente.
Suponha que
com uma partícula
de massa rle,
e
em um
é 0,8, em qual
ele tenha
um motor
diâmetro
(11
g),
velocidade
fato
do
foguete.
9.66.
omita
9.1ô7
e
9.168
de referência náo
2
as equações do
referência não
inercial. Porém,
existem alguns
tipos
de problemas para os quais essas equaçóes serão extremamente complexas e será mais fácil
tratar o
superffcie da
Têrra ou
prova esse método,
ignorando-se
importantes resultam da natureza náo inercial do sistema de coordenadas
da Têrra.
Na realidade,
Soljlêrra sáo obser-
permite o
estudo desse
eixos
de
e
H.
347
Solução.
Começaremos
pela
i,.
componentes
de
ro.
-e,
direção de
temporal
do
o sistema em torno
r. Na
realidade, para
ponto
\
O
primeiro
termo,
F,
centrfuga
normal
e
que a
nova
é denominado força
apresentamos
a
força
físico
sentido normal
de escrever uma equaçáo que lembre a
equação de Ner,vton
em um
referência
inercial.
Em
um
sistema
rzar
como
F",1
um centro de
não
cai
na
direçáo
do
-
inercial
35f
Para
movi-
dos
O
desafio
refe-
rência
F
à superfície
relerência mór,el
raio
Têrra
em
optamos
por
não
F"r':
S
'Ibrra
7,3
X
10-5
racl/s,
o
terceiro
aceleração efetiva g
a
esquerda.
Pelo
fato
mais
complexo
o
ar
uma direçáo leste,
referência nào inerrial 357
tanto complexa para descrever
um sistema náo
(l-e)(Ii+à)
1
,d0
t
inercial 361
pêndulo
de
Fou,cault.s
Solução.
com origem
longo
da
força de tensão T na suspensão do pêndulo
(Fi-
Foucault,
pronuncia-se
Fixi-cii
(1819-1868).
desvio
angular e de uma linha de prumo em relação à r,ertical ver-
dadeira
(isto
é,
da Terra) em um ponto na superfície da Terra em
uma
máximo?
Obser-ve
que
g,,
que
em
queda
utilize
o
queda,
l'=
çáo
componentes
(Cr),
(b)
nesse
caso.
não
existe
decorrência da
na
movendo em um potencial LI(r). Reescreva a lagrangiana em ter-
mos
inercial.
Calcule
náo
energia
potencial
cen,trífnga.
10.16. Considere o
Problema 9-63, porém
inclua os efeitos da força de Coriolis sobre o projétil. O pro-
jétil
é
lançado,em
horizontal
Lago
Superior
força centrífuga.
du-
rante
a
Primeira
Guerra
elevaçáo
sendo
conduzido
que
fornecem
6.7).
Vários
exemplos
como
revisão
d
r
do
cilindro
(MR2/2\.
Consideremos
y
teremos
_r
e
11.2
i
FIGURA
corpo gira
por causa
da força
nesse
caso)
é
fornecido
por
I
potencial sáo
de ângulo
movimento
e
estudo anterior sobre
isso,
partículas
de
massas
3,...,n. Se o corpo gira com velocidade vetorial angular instantânea
ar
em
torno
de
ao sistema de coordenadas do corpo e, se este ponto
se
move
com
excluído da
a-ésima
de massa
do objeto,
obteremos uma
que, no
segundo termo
uma característica
da a-ésima
pois os
7.o, agora
utilizando as componentes «,ll e ro,, dos vetores o) e rd.
Obser-vamos
(11.8)
(11.9)
(1
r.10)
(11.u)
(1
1.12)
que
é
menr
causa
de
str
Os
eler
eixos
,Í,,
x,
por
diante.
simétrico,
o
e,
portanto.
de
inércia
r
consideradc
considerarn
massa
P
(escalar)
(momento
de
inércia)
em
torno
em seu
comportamento sob
uma transformação
Somente duas opçóes
(como
giro, Seçáo
fixo, será
movimento linear do
L:
(l
1.17)
L
inércia tem
longo da
direção x\, @
geral, componentes
em
geral,
o
(Deve-se
*
aqui.
Porém,
movimento angular é um vetor, de modo que, para a
e-ésima
componente,
escrevemos
,.,\Ç\
r.
tensor de
inércia. Portanto,
colineares,
considere
m, e
ao
a 1,.
angular:
ú.)r.'@2.'ú)q.
ortogonais
de
dos eixos
angular
do
corpo
não
pode
ser
magnitude
de
Por exemplo, qualquer
corpo que seja
eixos se
encontram em
fato
escolha da colocação angular desses
outros dois eixos é arbitrária. Se o
momento
de
inércia
ao
I'
entao
revolução,
e os eixos
Soluçao.
elementos
fora
escolhidos
para
aquele
x,
mento
angular
L
(veja
a
,-,
:
-
(ou
linha
(ou
coluna).
A
Equação
ção
a manipulação de tensores é, em muitos aspectos,
igual
à
manipulação
pode
modo
clue
podemos
expressar
é
denominada
inércia
da oriéntação
(11.66)
ser
de coordenadas de modo que o vetor
de
a quantidade 1,j na Equaçáo
11.59
Desse modo,
três valores
momentos
serão
os
momentos
de
inércia
Isso
é
particularmente
verdadeiro
se
que somente
desse eixo,
corresponde
uma
velocidade
vetorial
 
são todos reais, de modo que
I,u: IX,. Portanto,
0r,.0i,,:
Io,,,l2
{,,
apropriada
determinante
do corpo com
de rotaçáo
que, no caso do tensor
de
inércia,
esses termos na
homogênea.
de inércia
movimento
na
primeira:
(út+
iô2)
são
idênticos
de
ol
também
teremos que
a
eixo de simetria
do corpo, de
modo que determinamos
no
sistema
do corpo
se encontrar
em torno
torno
das
cone de espaço.
O cone de
Os dois casos sáo mostrados
na
determinamos
têm sinais opostos se1,
caso
do
entre os
corpo
(N.R.T,)
I-.te
problq
(xu)
e
«o
e, e ú)
de tempo considerado
,.
do corpo para
ponta estacionária pode entáo
mostra
escolhemos o eixo
do piáo.
principais
energia cinética
é então
. 102,
temos
r,r
radical.
os valores
0r>rr/2,
a ponta fixa do pião se encontra em uma posição acima do
centro de massa.
em uma xícara fixa no
topo de um pedestal.
movimento oscilatório
concluímos
e a
jogarmos
o
À na
iL
pode,
portanto,
instável.
existe somente
de
tentar conexáo
sem sucesso,
estável de giro
no
compartimento
do foguete
em
órbita
com
uma
esfera
homogênea
de
raio
raio ,R. Escolha o eixo x., ao longo
do eixo de simetria do cone. Escolha
a origem do
se torne a
Calcr.rle o
estivesse concentrada,
inércia real. A distância desse ponto ao pivô é denominada
raio de giraçáo.
Determine a altura na qual uma bola de bilhar deveria
bater de modo a rolar
sem nenhum
escorregamento inicial.
borda
de
uma
11.6.
é sólidae
a outraéumacasca
para determinar qual
sem escorregar sobre
massa
do
disco
a
frequência
fina
chapa
homogênea
ao ser liberada,
s. Suponha
que as dobradiças náo tenham atrito e demonstre que a linha
de dobradiças deverá fazer um ângulo
de aproximadamente 3o com a direçáo vertical.
11.9.
Uma
cilindro
fixo
de
raio
escorregamento, é
angular
0.
Demonstre
<
partícula
rotaçáo
partículas
de inér'cia
principais de
um hemisfério
isto
de
ocorre
excitado. Se o
qualquer um dos
modos normais fornecidos
cada um
do método
por l,agrange durante
o per'íodo r1e
1762 a 1765, mas o tlabalho pioneiro foi leito em 1753
por Daniel
no
por
forças elásticas entre si e oscilam em torno de suas posiçóes de equilíbrio. Molas entre
os
átomos
por
simples.
Começamos
descrevemos diversos casos de
de
apenas dois graus de
medida a partir de sua posição de equilíbrio.
FIGURA
12.1
Duas
massas
posiçóes fixas. F-ste é um sistema de mo'r.imento acoplado em
uma dimensáo.
por
Substituindo os deslocamentos por
em
vez
símbolo Â
diferente
(corneçando
rro
Capítulo
13).
:r
Como uma amplitude complexa possui uma magnilude e umay'zse, temos as duas
constantes
isto
:
veniente para distinguil arnplitudes
rzais e os fatores qtre lariam com o tempo exp(itol)
e
equivalentes.
frequências
Figura 12.3b. Novamente,
cias características, com uma menor e outra
maior
cada
caso,
campo magnético e em
quando o acoplamento
força
da
mola
força
das
Kt'r
o valor
a
r-ésima
encontrar
uma
df.*t]
uma combinação
de q/(r) é
de movimentos
A energia
12.44 nâo
utilizamos o mesmo
se todas as velocidades
7-
do r-ésimo autovetor, representamos
fornecido
pela
Equação
12.55
e
foram
nonnalizados
colo-
Toda
semelhança marcante
inércia
e
os
eixos
principais
para
matematicamente
idênticos,
exceto
que
agora
1
para a energia cinética,
ortogonalidade
(Equaçáo
12.58).
Portanto,
I5.
i7
n,
De maneira similar, das Equaçóes 12.34 para a energia potencial temos,
1
§. ,§
 
pequenas
oscilaçóes
discutidas
neste
capítulo.
Um
Eliminamos
os
através de transformaçóes
 
-
para uma molécula linear,
mutuamente
apenas metade
tudinais
x2:
para
as
Então
Çt:x:t*",
corresponde
Por
fora
representa
um
pêndulo
estacionário
já
fornecidos
elástico
(ou
uma
mola)
no
qual
um
número
é
aproximadamente
constante
e
igual
par de partículas forma
os senos
gentes, a expressáo para a força que tende a restaurar
a7-ésima partícula
A fbrça
Fi é, de acordo com a lei de Newton, igual a
mÇ
O sistema é
acoplado porque a
força sobre a7-ésima
interaçáo
necessário
que
a
interação
seja
confinada
fosse eletrostática,
por exem-
plo, então
todas as outras
para
a
força
e seu filho
ponto
Esses
valores
(Equaçáo
alrsáo agora
mudança
no
fisicamente sisnificantes
seno:
fatores
cle
identidades trigono-
acoplados
as duas
fraco:
Í(rr
mas que o processo de transferência de energia está completo.
12.3.
Dois
osciladores
harmônicos
idênticos
(com
discutido na
os termos das
energias potencial e
cinética que têm K1r Conlo coeficiente dependem de C1 e @l
mas náo
na
de atrito proporciona um
rígido
x. Em equilíbrio,
a
mola se pendura verticalmente para baixo. A esta combinação massa-mola é
ligado
Calcule as frequências características para
oscilaçóes verticais
frequências
as
m suspensa por um íio inextensír,el
(e
sem
massa)
(para
descrito
pelo
oscilador simples
oscilações.
fixo. Ligada ao aro está uma
pequena massa
normais. Descreva a situaçáo
descreva os modos
na
mas
molas
(todas
com o
fixo nas
longo de um
massa ??,
em
dos exigindo
tal que
é
for-
necida
por
I
1':;
lxr(.yi
+.r'i) +
secular.
Qual
origem.
em 2-B
fixo por quatro
x
nos
quatro
livre
para
uú
bastante
impor-
O exemplo
ser
transversais
de uma onda se
importância
para
diversas
razões.
Um
dimensão de tais vibrações do fio propicia uma
soluçáo
matemática
são similares. Em especial,
a aplicação de condiçóes
As condições de
ou
Lagrange.
carregado apresentada
passamos ao
obtidos por esse processo de
limitação, incluindo a derivação da importante equaçáo de onda,
uma das equaçóes verdadeiramente
fundamentais da física matemática.
As soluçóes da equaçáo de onda são em geral submetidas a limitaçóes impostas por certas
restrições
forma
que
uma vibração harmônica
de um
F(x, /),
de
Í,(t)
não determinamos
ser comparada
13.52 representa várias
causa
um
fio
dependente tlo tcntpo e
 
restrição real
verdadeira
naturalmente
de
um
método
po-
Primeiro,
expressamos
assumimos que as variáveis sáo separáueis e, portanto, a funçáo
de onda completa
Resumidamente,
a
justificativa
do
método
o
lado
à
mesma
constante.
Para
contínuo é
satisleita por
de um fio
em 1807
(13.78)
Tàl
onda
não
fase
nesse
caso.
Descobrimos
previamente
(Equaçáo
12.152)
r-ésimo
modo
cente x. Concluímos, portanto,
B
e nal
são quantidades
é real
a
frequência
pode entáo ser complexa
e o número de onda real. Em tal caso, a onda é amortecida no
tempo
ondas viajantes,
para ondas estacionárias.
nenhuma energia
P
assumimos
tacitamente
<
a
perda,
entáo,
na
verdade,
há
de uma equação diferen-
(veja
I I
A ocorrência de uma frequência de corte foi descoberta por Lord Kelvin
em
1
88
1 .
r2Arazão
em direção a
concepção histórico)
em todos
galileana é inconsistente
como
ii
O uso original
uma
lâmpada
de
sistemas
(
de
fênômenos
oscilatórios
(ou
Lorentz-Einstein)
H. A. Lorentz,
equaçóes
leis de eletromagnetismo tenham a mesma forma em
todos
os
reduzem
para
à velocidade
fato
nâmico
(equaçôes
fator principal na
As velocidades medidas
por
tradicional (que
e um
batimento cardíaco.
O problema
podem
intimamente
entrelaçados.
Voltaremos
A Equaçáo 14.20
e o
o experimento
nos
laboratórios
do
acelerador
esca-
ir.rteragem
que decaem para outras
instár,eis
e
de-
deslocam
a
uma
velocidade
(sistema
K).
de 0,98c percorrem
2.000
m
ao
nível
do
de luz
gêmeo
Esta
distinção
deve
ser
lembrada,
dem com dxldt, eles concordam
com dxdr, onde o tempo adequado dr é medido
pelo próprio
objeto em
movimento. A relaçáo dtfu é obtida da Equação 14.21, onde a velocidade
escalar
z,
foi
objeto que
r(
\/f
-LrW
(14.43)
(14.44\
quantidadedemovimentorelatir,ístico
(14.45)
r
.xl
(b)
invariante
embora
os
Observador B,
a direita corn
baixo de
(a)
A no sistema K.
colisáo de acordo com
o observador B no sistema Kl Cada obsenador mede a velocidade
escalar de sua bola
ser
espaciais
da
velocidade
distingui-la da velocidade
v.)
A
vetorial
nado
os três componentes espaciais da quantidade de movimento. Assim, na
teoria
da
relatividade,
quatro-escalar também é um
está
muito
fonte
(0
(0
princípio
da
uma
única
(náo
relativística)
da quantidade
de movimento
da quantidade de movimento fornecidos
pela
Y:?
das ondas de luz
de FitzGerald-Lorentz
o
resultado
por
u.
14.5.
Qual
com uma velocidade vetorial
14.6.
(lonsidere
dois
eventos
sistema K no mesmo instante
L
Se
esses
^lx,
mostre
na
rclógio
(consulte
devagar, por
a uma
de'r,ista de um
que aparece para
Quais
14,13. Um
em
em
repouso
é
r'álida
quando
um
receptor
14,15. E
sabido que uma estrela se afasta da Têrra a uma velocidade escalar
cle
4
x
linha
11"?
14.16.
(sistema
K).
uma
r,elocidade
que
um
desvio
para
o
vermelho
(azul)
ocorre
quando
escalar
deslocamento para o vermelho
a 4 anos-luz
de força. Demonstre
decai
em
fr.rnçãoflr,
chamada
nas
Equaçóes
A.6
e
4.7
ordem é apenas exp
série que é
integral
litrO
@
0 + sen2
*
funçáo
tr
Têndo
em
da equação
srau,
su-
pomos
uma
ordem:
(a)
desigualdade zr
E.1
t
ar-
mente
(e)
Encontre
:
para
f
com uma
velocidade u.
referência
outro sistema de
de fato que em geral s2
=
linear
x e
ser
foi salientado
a um sistema de
referência inercial sáo homogêneos,
permitida
de
fator
onde
-u
ocorre
rc não poderá saltar
K e K' se
e obtemos, finalmente,
referência inercial.
Rasband
(Ra90),
i'
World. Macmillan,
Nerv York,
Mass,
Length,
Qruntu.m
Mechanics
Norton, Nerv York,
Prentice-Hall,
Englervood
Cliffs,
New.fersey,
-
Plrysics,
Ka84
l{euttonian
University of Toronto Press, Toronto,
Canadá, 1949.
Wiley, Ner'v York, 1936
por Ox Bon,
Nostrand, Princeton,
Nostrand, Princeton,
NewJersey, E.U.A.,
Lo23
H.
A.
tos originais.
E.U.A., 1952.
Academic Press,
Methods of
McGraw-Hill,
Nuclear Physics
Pi57 B.
Al)plied
Mathematics
for
Engineers
and
Physicists.
McGraw-Hill,
and
par 569
A
T:--;
20. ar:[-. .
4,57
aproximada)
Capítulo
13
,NE
4.
o,,:
Tln
f
o.
,i
par
A
amplitude
13,3 dB
328-330
Foucault,J. L.,
467n
467n
degrau,115-117
delta.
l17n
t--:
.39-:
{9 :
Geodésica,
192
Gibbs,J.
W.,
1n,
80,
473ln
Laplace,
Pierre
de
sizígia,
179
Oscilações, 87-
em sistemas
descontínuas,
115-122
simétricas, 422
forçadas, 165-467
frequências características
o
129
for-ça
de
frequência
l5
ressonância
amortecidas
simples,
8B-91
para,
253-285
problema
quantidade
de
força
de
Coriolis
ortogonais,
7
para
Tempo
na mecânica
par-a
massa-energia,
506
contraçáo do
comprimento e,
513
de
movimento
em,5l6-519
Índice
remissivo
I-13
verificaçáo