Dimensionieren 1Formelsammlung

Stand: 9. Mai 2016

Jonas Wildeisen & Tobias Zumstegjonasw@ethz.ch tzumsteg@ethz.ch

Keine Gewähr auf Richtigkeit.

Kommentar- zum Teil gab es Differenzen zwischen dem Skript und der Vorlesung.

Prüfung:- die Schrauben sind gewaltig viel Stoff, wahrscheinlich aber nur eine Prüfungsfrage- zwei oder drei grosse Aufgaben werden 50%-70% der Prüfung ausmachen - restliche Aufgabensind nur Beigemüse- eine grosse Aufgabe ist∼Wellendimensionierung- die andere grosse Aufgabe ist∼ eine Schraube auslegen- kleinere Aufgaben bringen sehr wenig Punkte im Vergleich zum Rechenaufwand- Zuerst die grossen Aufgaben versuchen - FORMELN AUFSCHREIBEN für Teilpunkte

Literatur[1] Roloff/Matek, Maschinenelemente

SpringerISBN: 978-3-658-02327-0

[2] R. C. Hibbeler, Mechanics of MaterialsPearsonISBN: 978-981-06-8509-6

[3] FKM - Richtlinie:Rechnerischer Festikeitsnachweis für Maschinenbauteile4.Auflage, VDMA, 2002.

[4] DIN 743:Tragfähigkeit von Wellen und AchsenBeuth Verlag, Berlin, 2000

[5] Vorlesung von Prof. Dr. Pavel HoraSkript und Mitschriften HS 15

[6] Vorlesung von Prof. Dr. Konrad WegenerSkript und Mitschriften HS 15

[7] ZusammenfassungSamuel Zimmermann & Maurin Widmer

i

Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen der Mechanik 11.1 Sicherheitsfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Beanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2.1 Zug & Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2 Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.3 Querkraft / Schub . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.4 Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Beanspruchung unter Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Grafische Bestimmung der Lagerkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6 Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.6.1 Verschiebungsfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.7 Hauptspannungen, Hauptdehnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.8 Hydrostatischer Spannungszustand (S:3.15) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.9 Mohrscher Spannungskreis (S:3.6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.10 Elastische Stoffgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.10.1 Technisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.10.2 Wahr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.10.3 Volumenkonstanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.10.4 Weiteres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.10.5 Dehnungsmessstreifen (S:3.18) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.11 Thermisch induzierte Dehnung und Spannung (S:2.9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.12 Satz von Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.12.1 Statisch unbestimmte Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.13 Biegelinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.14 Knickung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.15 Dünnwandige Behälter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Grundlagen Dimensionieren 32.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Festigkeitshypothesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2.1 Wahl der richtigen Hypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2.2 Einsatzgebiet der Hypothesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2.3 Gestaltänderungshypothese/ v.Mises (GEH), duktil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2.4 Schubspannungshypothese/Tresca (SH), duktil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.5 Normalspannungshypothese/Rankine (NH), spröde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Anstrengungsverhältnis KARL VON BACH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Verhalten unter dynamischer Beanspruchung 43.1 Kenngrössen von dynamischer Beanspruchung (S:5.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2 Wöhler-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2.1 Der Wöhlerexponent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.3 Smith Diagramm (S:5.12) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.4 Haigh Diagramm (S:5.14) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.5 Betriebsfestigkeit/Zeitfestigkeit (S:5.9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.6 Miner Modifikationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.7 Lastkollektive im Zeit und Dauerfestigkeitsbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Auslegung von Achsen und Wellen 74.1 Geometrische Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.1.1 Nennspannungen σn (S:8.7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.1.2 Formzahl αk (S:8.7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.1.3 Kerbwirkungszahl βk (S:8.15) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.1.4 Technologischer GrösseneinflussfaktorK1(deff ) (S:8.24) . . . . . . . . . . . . . . . . 84.1.5 Geometrischer GrösseneinflussfaktorK2(d) (S:8.27) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.1.6 Geometrischer GrösseneinflussfaktorK3(d) (S:8.29) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.1.7 Einflussfaktor der OberflächenrauheitKFσ,τ (S:8.30) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.1.8 Einflussfaktor der OberflächenverfestigungKV (S:8.33) . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.1.9 Statische StützwirkungK2F (S:9.8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.1.10 Erhöhungsfaktor γF (S:9.8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.1.11 AnwendungsfaktorKA (S:8.34) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.2 Kerbspannungskonzept (S:11.10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.2.1 Berechnung der Vergleichsspannungsanteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.2.2 Sicherheit gegen Dauerbruch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.3 Nennspannungskonzept DIN 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.3.1 Sicherheit gegen Verformen (Fliessen) (S:9.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.3.2 Sicherheit gegen Gewaltbruch (S:9.9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.3.3 Dauerfestigkeitsnachweis / (Dauerbruch) (S:9.10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5 Schweissverbindungen 115.1 Stumpfnaht (S:9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.2 Kehlnaht (S:12) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5.2.1 Spannungskomponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.3 Statischer Festigkeitsnachweis (S:21) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.3.1 GEH für plastisches Materialverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.3.2 NH für sprödes Materialverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.3.3 Festigkeitsnachweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.4 Dynamischer Festigkeitsnachweis (S:27) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.5 Konstruktionshinweise (S:29) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.6 Punktschweisung (S:30) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6 Löten 136.1 Lötverbindungen vs Schweissverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136.2 Nachteile des Lötens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136.3 Einteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136.4 Zug/Druck-Beanspruchung einer Lötverbindung (S:3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136.5 Scherbeanspruchung einer Lötverbindung (S:4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146.6 Schubbeanspruchung einer Welle-Nabe Lötverbindung (S:5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

7 Schraubenverbindungen 147.1 Allgemeines zur Schraube (S:3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

7.1.1 Grössen und Formen von Schrauben & Gewinde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147.1.2 Festigkeitsklasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147.1.3 Kräfte im Gewinde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147.1.4 Wirkungsgrad und Selbsthemmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

7.2 Schraubendimensionierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157.2.1 Überschlägige Prüfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157.2.2 Nachgibigkeit δS , Federsteifigkeit cS der Schraube (S:13) . . . . . . . . . . . . . . . . . 157.2.3 Nachgiebigkeit δH , Federsteifigkeit cH der Hülse (S:14) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167.2.4 Φ Steifigkeitsverhältnis [Idealisiert] (S:17) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167.2.5 Φn Krafteinleitung Innerhalb der Hülse [Genauer] (S:18) . . . . . . . . . . . . . . . . . 167.2.6 Konstruktion des Rötscher-Diagramms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177.2.7 Setzen nach Montage (S:22) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177.2.8 Vorspannkraft und Anzugsmoment (S:25) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177.2.9 Statische Beanspruchung beiMontage (S:32) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187.2.10 Statischer Festigkeitsnachweis nachMontage (S:39) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187.2.11 Festigkeit bei erstmaliger Belastung (S:43) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187.2.12 Nachweis Dauerfestigkeit [Dynamisch] (S:44) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187.2.13 Festlegung des Anzugsmomentes (S:42) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

ii

1 Grundlagen der Mechanik

1.1 Sicherheitsfaktor

SF =σzulσ

=Re, Rp0.2, ...

σ

SF =τzulτ, mit τzul =

σzul√3

1.2 Beanspruchung

1.2.1 Zug & Druck

σn =F

A

Zug: σ > 0Druck: σ < 0

1.2.2 Biegung

σb_max =Mb

I· c =

Mb

Wb

W = Ic

c : Abstand von NeutralfaserI allgemein : Iy =

∫∫z2dA

Maximal bei z = c (Aussenfaser)

Wb für verschiedene Querschnitte:Grossbuchstaben stehen für Aussenmasse

Rechteck Wb = b·h2

6

Kreis Wb = πd3

32= πr3

4

Kreisring Wb = π(D4−d4)32D

= π(R4−r4)4R

Dreieck Wb = b·h3

24

Schiefe Biegung: Überlagerung der Einzelbelastungen

σb(y, z) =MbyIy

z − MbzIzy

1.2.3 Querkraft / Schub

τQ(z) =Q ·HzIy · b(z)

Konstantes τ liefert: τ = QA

Maximal bei z = 0 (Mitte des Querschnitts)

τmax für Rechteck: 3Q2A

τmax für Kreis: 4Q3A

I für verschiedene Querschnitte:Grossbuchstaben stehen für Aussenmasse

Rechteck I = b·h3

12

Kreis I = πd4

64= πr4

4

Kreisring I = π(D4−d4)64

= π(R4−r4)4

Dreieck I = b·h3

36

Berechnung Schwerpunkt: zs =∑i ziAi∑i Ai

= 1A

∫z dA

Satz von Steiner: I = Is +Ad2

Berechnung vonH :Hz =

∑i

Ai · zi z : Koordinate des Schwerpunkts

Hz =∫z dA

1.2.4 Torsion

τt_max =Mt

Jp· rmax =

Mt

Wp

Jp =∫∫

r2dA

Wp =Ipra

Maximal bei r (Aussenfaser)

Wp, Jp für verschiedene Querschnitte:Grossbuchstaben stehen für Aussenmasse

Kreis Wp = πd3

16= πr3

2Jp = πd4

32= πr4

2

Kreisring Wp = π(D4−d4)16D

Jp = πR3

2(1− ( r

R)4)

Quadrat Wp = 0.208a3 Jp = 0.141a4

Falls Querschnitt dünnwandig:Wp = Amtmin Am : Eingeschlossene Fläche

Verdrehung:

D =dϑ(x)

dxθ[rad] =

∫ L

0

Mt(x)

Jp(x)Gdx

1.3 Beanspruchung unter Winkel

σ = σ0 · cos2 ϕτ = σ0 · cosϕ sinϕ

f = σ0 · cosϕ =√σ2 + τ2

σ0 ist die Horizontale Normal-Spannung

1.4 Grafische Bestimmung der Lagerkräfte1. Bekannte Kräfte von Links nach rechts zu einem Seileck

verbinden2. Beliebigen Pol wählen3. Polstrahlen vom Pol zu Anfang/Ende der Kräfte zeichnen4. Polstrahlen vom Schnittpunkt der Wirklinie der Kraft bis

zum Schnittpunkt mit der Wirklinie der nächsten Kraft par-allel in Lageplan verschieben

5. Schlussgerade von letzter Kraft zur Ersten ziehen6. Schlussgerade in Kräfteplan übertragen

1.5 Leistung

Translation

P = F · v

mit den Einheiten

[W ] = J · s−1 = kg ·m2 · s−3

Rotation

P = M · ω = M · 2π · n

für Welle mit Drehzahl n = ω2π

P = [W ] = [Js

]ω = [ rad

s]

n = [ 1s] = [Hz]

1.6 Tensoren

Spannungstensor

σij =

σxx σxy σxzσyx σyy σyzσzx σzy σzz

Dehnungstensor

εij =

εxx εxy εxzεyx εyy εyzεzx εzy εzz

Berechnung des Spannungsvektors einer Fläche:t = σ · n n : Flächennormalenvektor

Spannungstensor Polar

σij =

σrr σrϕ σrxσϕr σϕϕ σϕxσxr σxϕ σxx

rϕx

Dehnungstensor Polar

εij =

εrr εrϕ εrxεϕr εϕϕ εϕxεxr εxϕ εxx

rϕx

So zu verwenden:

σij =

0 0 τq(ϕ = 0)0 0 τt(r)

τq(ϕ = 0) τt(r) σzd + σb(r)

rϕx

1.6.1 Verschiebungsfelder

xi = Xi + ui u : Verschiebung

εxx =∂u

∂xεyy =

∂v

∂yεzz =

∂w

∂z

εxy =1

2

(∂u

∂y+∂v

∂x

)εxz =

1

2

(∂u

∂z+∂w

∂x

)εyz =

1

2

(∂v

∂z+∂w

∂y

)

1

1.7 Hauptspannungen, Hauptdehnungen

Durch Lösen des Eigenwertproblems:

EW(λ) = Hauptspannungen

λi → det(A− λI) = 0

EV(u) = Hauptrichtungen

ui → (A− λiI)u = 0

1.8 Hydrostatischer Spannungszustand (S:3.15)

σH =σ1 + σ2 + σ3

3

1.9 Mohrscher Spannungskreis (S:3.6)

σx′ =σx + σy

2+σx − σy

2cos(2θ) + τxy sin(2θ)

σy′ =σx + σy

2− σx − σy

2cos(2θ)− τxy sin(2θ)

τx′y′ = −σx − σy2

sin(2θ) + τxy cos(2θ)

Ebener Zustand:

σ1 = σmax =σx + σy

2+

√(σx − σy2

)2

+ τxy2

σ2 = σmin =σx + σy

2−√(σx − σy

2

)2

+ τxy2

τmax,min = ±1

2·√

(σx − σy)2 + 4 · τxy2

tan(2θn) =2τxy

σx − σytan(2θs) = −σx − σy

2τxy

3D Zustand:

1.10 Elastische Stoffgesetze

1.10.1 Technisch

Tech. Spannung: Tech. Dehnung:

σ = FA0

ε = ∆LL0

= L1−L0L0

= σE

1.10.2 Wahr

Wahre Spannung: Logarithmische Dehnung: Wahre Fläche:

σ = FAeff

ϕ = ln(LL0

)= ln(1 + ε) A = A0 · e−ϕ

1.10.3 Volumenkonstanz

A0 · L0 = Aeff · L

1.10.4 Weiteres

Schubmodul:G = E2(1+ν)

Querkontraktionszahl: ν = − εquerεlaengs

= E2· − 1

Hooke’s Law: σ = ε · E

σ = 2G

(ε+

ν

1− 2ν· Spur(ε)I

)MitSpur(ε): Summe der Diagonalelementen und I der Einheits-matrix.

εx =1

E[σx − ν(σy + σz)] γxy =

1

Gτxy

εy =1

E[σy − ν(σx + σz)] γyz =

1

Gτyz

εz =1

E[σz − ν(σx + σy)] γxz =

1

Gτxz

σx =E

1 + ν[εx +

ν

1− 2ν(εx + εy + εz)]

σy =E

1 + ν[εy +

ν

1− 2ν(εx + εy + εz)]

σz =E

1 + ν[εz +

ν

1− 2ν(εx + εy + εz)]

Variante: Für Ebenen Spannungszustand mittels Werkstoffma-trix D (Skript Seite 3.19 (Wahrscheinlich falsch))

1.10.5 Dehnungsmessstreifen (S:3.18)

εa/b/c = εxx · cos2(θa/b/c)

+ 2εxy · cos(θa/b/c) sin(θa/b/c) + εyy · sin2(θa/b/c)

ϕ 0° 30° 45° 60° 90°

sin(ϕ) 0 1/2√

2/2√

3/2 1

cos(ϕ) 1√

3/2√

2/2 1/2 0

In der Regel werden die Messungen mit Winkel von 0°, 120°, 240° durch-geführt:

ε0 = εxx

ε120 =1

4· εxx −

√3

2· εxy +

3

4· εyy

ε240 =1

4· εxx +

√3

2· εxy +

3

4· εyy

1.11 Thermisch induzierte Dehnung und Spannung (S:2.9)

∆LT = αL∆T α : Wärmeausdehnungskoeffizient

Kombination aus mechanischer Beanspruchung und langsamerTemperaturänderung:

εx =1

E· [σx − ν(σy + σz)] + α ·∆ϑ

εy =1

E· [σy − ν(σz + σx)] + α ·∆ϑ

εz =1

E· [σz − ν(σx + σy)] + α ·∆ϑ

E-Modul ( Nmm2 ) α[ 10−6

K]

Stahl 210′000 13.0

Grauguss 90′000− 145′000 9.0

Aluminium 70′000 23.1

Titan 110′000 10.8

Wärmespannungen durch Unterschiedliche Verformungsbehinderungenim Skript Seite: 2.10

Bei Temperaturänderungen treten keine Winkeländerungenauf. (γxy = γyz = γzx = 0)Tipp: Bei∞ langer Schiene ist: εx = 0 und σy = σz = 0

1.12 Satz von Castigliano

Formänderungsenergie:W =∫ L

0

(F2N

2EA+

M2b

2EI+

M2t

2GIp

)dx

u =∂W

∂F=

∫ L

0

(FNEA

∂FN∂F

+Mb

EI

∂Mb

∂F+

Mt

GIp

∂Mt

∂F

)dx

φ =∂W

∂M=

∫ L

0

(FNEA

∂FN∂M

+Mb

EI

∂Mb

∂M+

Mt

GIp

∂Mt

∂M

)dx

2

Anwendung Satz von Castigliano

1. Kraft/Moment an Stelle wo die Verschiebung/Verdrehungberechnet werden soll identifizieren. Falls nicht vorhandeneinführen. Mit F benennen.

2. Lagerkräfte berechnen.3. Satz von Castigliano anwenden und F den korrekten Wert

zuordnen. Falls F eingeführt wurde F = 0 setzen.Wichtig: Zuerst ableiten und dann einsetzen.

1.12.1 Statisch unbestimmte Probleme

Satz von Castigliano für Lagerkräfte formulieren:Einspannung: u = 0 φ = 0Lager: u = 0

1.13 Biegelinie

−w′′ =Mb

EI

w : Verschiebungw′ : Verdrehung

Randbedingungen:Einspannung: w = w′ = 0Lager: w = 0

Übergangsbedingung: w1 = w2 w′1 = w′2

1.14 Knickung

Schlanke Strukturen können durch Knicken versagen. Dies ge-schieht plötzlich und ist Geometrieabhängig.

λ =lk√IA

λ : SchlankheitsgradI : Kleinstes I

lk für verschiedene LagerEinspannung-Frei lk = 2LEinspannung-Lager lk = 0.7LEinspannung-Einspannung lk = L/2Lager-Lager lk = L

Werkstoff λ0 σK (nach Tetmajer)StE 255 (St37) 104 310− 1.14λ

StE 355 (St50) 89 310− 1.14λ

Federstahl 60 355− 0.62λ

Grauguss 80 716− 12λ+ 0.053λ2

Nadelholz 100 29.3− 0.194λ

Falls λ > λ0 (Elastisches Knicken)

Fkritisch =π2 · E · I

l2k, σkritisch =

π2 · E · IA · l2k

Falls λ < λ0 (Plastisches Knicken)σK nach Tetmajer

1.15 Dünnwandige Behälter

σθ =ris

(pi − pa)

σz =ri(pi − pa)

2s

σz =σθ2

σKugel =pRi2s

s = Wanddicke

Die Maximale Mantelspan-nung bei Kugelbehältern isthalb so gross wie die Spannungbei zylindrischen Behältern.

2 Grundlagen Dimensionieren

2.1 Grundlagen

Versagen: Sowohl Plastische Verformung als auch Bruchdes Teils.

1D Belastung durch direktvergleiche mit den Mess-wertenRe, Rm, A80.

3D Mehrachsige Spannungen müssen zuerst inden 1-achsigen Spannungszustand umgerech-net werden.

SprödesMaterial

Gefährlich, weil schlagartiges versagen.

DuktilesMaterial

Besitzt Sicherheitsreserve: RmRp0.2

.

2.2 Festigkeitshypothesen

2.2.1 Wahl der richtigen Hypothese

Also sind Sicherheiten im 1D Fall:Fliessen: SF = Re

|σzd|; Bruch: SB = Rm

|σzd|

2.2.2 Einsatzgebiet der Hypothesen

Hypothesen GEH SH NHFliessbeginn ja ja neinBruch ungeeignet Scherbruch

unter DruckNH-Bruchunter Zug

In der Prüfung wird angegeben ob GEH oder SH, andernfalls freiWählbar.

2.2.3 Gestaltänderungshypothese/ v.Mises (GEH), duktil

Die in einem verformten Körperelement gespeicherte Gestaltän-derungsenergie

• Kontrolle des plastischen Fliessens

• Ungeeignet wo Sprödrisse oder hohe hydrostatischeSpannungszustände zu erwarten sind, weil wenn: σ1 =σ2 = σ3 ⇒ σvGEH = 0

• Weniger konservativ als Schubspannungshypothese

• Wird in FEM Programmen verwendet

3

Stäbe:(Wurde auch bei Doppel-T-Träger verwendet)

σv =√

(σzd + σb)2 + 3τ2q

τzul = τF,GEH =Re√

3

Zweiachsiger Spannungszustand:

σv =√σ2

1 + σ22 − σ1σ2

σv =√σ2x + σ2

y − σxσy + 3τ2xy

Dreiachsiger Spannungszustand:

σv =

√0.5[(σ1 − σ2)2 + (σ2 − σ3)2 + (σ3 − σ1)2]

σv =√

0.5[(σx − σy)2 + (σy − σz)2 + (σz − σx)2] + 3(τ2xy + τ2yz + τ2xz)

2.2.4 Schubspannungshypothese/Tresca (SH), duktil

Wird sowohl bei Verformungsfähigen, als auch bei sprödenWerkstoffen verwendet, wenn das Fliessen durch grösste wirken-de Schubspannung τmax erfolgt⇒es kommt zur Überschreitungder Gleitfestigkeit.

• Zähes Materialverhalten (ausgeprägte Streckgrenze)• Sprödes Material unter allseitiger, dreiachsiger Druckbelas-

tung• Schubspannung ist massgebend für Versagen

Zulässiger Schub nach SH:

τzul = τF,SH =Re2

Zweiachsiger Spannungszustand:

σv = σ1 − σ3 = 2τmax

[σv =√

(σx − σy)2 + 4τ2xy ]∗

∗ nur bedingt nutzbar, weil τmax−ip

Dreiachsiger Spannungszustand:

σv = σ1 − σ3 = 2τmax

2.2.5 Normalspannungshypothese/Rankine (NH), spröde

Die grösste wirkende Normalspannung sei die Hauptspannungσ1. Solange diese kleiner ist als die Bruchfestigkeit/Festigkeits-grenze K des Werkstoffes, ist das Versagen ausgeschlossen.

• Sprödes Bauteilverhalten (Glas, Keramik, Grauguss)

• Dreiachsiger Zustand, bei dem alle Hauptspannungen Zug-spannungen ähnlicher Grössenordnnung sind (auch bei zä-hen Werkstoffen!)

• Kerben, Einachsige Belastung, nur Normalspannung, keinSchub

Zweiachsiger Spannungszustand:

σv = σ1

σv = 0.5[(σx + σy) +

√(σx − σy)2 + 4τ2

xy

]Dreiachsiger Spannungszustand:

σv = σ1

2.3 Anstrengungsverhältnis KARL VON BACH

Bei Einbezug des Anstrengungsverhältnisses in den Festig-keitshypothesen wird τ durch α0τ ersetzt.

Das Anstrengungsverhältnis ist eine einfache Art, die statischenund dynamischen Lastkomponenten zu einem gemeinsamenVergleichswert zu koppeln. (Anders als die Festigkeitsnachweisewie DIN 743 oder FKM Richtlinie 183, die dynamische und stati-sche Lastfälle getrennt behandeln)

Lastfallabhängiger Einflussfaktor:

α0 =σGrenzη · τGrenz

mit Anstrengungsverhältnis α0

GEH SH NSη

√3 =1.78 2 1

α0 bei τruhend τschwellend τwechselndσruhend 1 1.5 2σschwellend 0.7 1 1.35σwechselnd 0.5 0.75 1

Anwendung KARL VON BACH

Vereinfachte Beurteilung für kombinierte statische und dynami-sche Beanspruchung.

1. Wirkende Spannungen bestimmen2. Anstrengungsverhältnis α0 aus Tabelle bestimmen

• Bei Wellen: Torsion als schwellend betrachtet wird, könnte die Bie-

gespannung als wechselnd gelten.

3. Dem Material entsprechende Festigkeitshypothese wäh-len

4. τ durch τ ∗ α0 ersetzen und Vergleichsspannung σv be-rechnen

• Für einachsige Spannungszustände siehe Tabelle unten.

5. Sicherheit gegen Dauerbruch mit zum Beispiel SD = σbWσv

wobei Dynamische Festigkeiten wie σbW einer Tabelle zuentnehmen sind

Festigkeits Hypothese VergleichsspannungGestaltänderungsenergieHypothese

σv = [√σ2 + 3(α0τ)2]

SchubspannungsHypothese

σv = [√σ2 + 4(α0τ)2]

NormalspannungsHypothese

σv = 12

[σ +√σ2 + 4(α0τ)2]

3 Verhalten unter dynamischer Beanspruchung

3.1 Kenngrössen von dynamischer Beanspruchung (S:5.4)

Mittelspannung: σm = σo+σu2

Ausschlagsspannung: σa = σo−σu2

Oberspannung: σo = σmax = σm + σaUnterspannung: σu = σmin = σm − σa

Spannungsverhältnis: R = σuσo

{ [R=0 Rein schwellend]

[R=-1 Rein wechselnd]

Spannungsausschlag: σ(t) = σm + σa sin(ωt)

Spezielle BelastungsfälleRuhend: σ = σu = σo = σmRein schwellend: σu = 0 σo = 2σm σa = σmRein wechselnd: σm = 0 σo = σa σu = −σa

4

Ruhend Rein schwellend Rein wechselnd

3.2 Wöhler-Diagramm

Bei einer konstanten Mittelspannung und wechselnder Aus-schlagsspannung.

3.2.1 Der Wöhlerexponent

Steigung der Zeitfestigkeitsgeraden

q = −∆(logN)

∆(logσa)= − logN1 − logN2

logσa1 − logσa2= −

log(N1N2

)

log(σa1σa2

)

DIN 743 empfiehlt- wenn nichts anderes angegeben - bei Stahl-werkstoffen und gekerbten RundstäbenBei Zug/Druck und Biegung qσ = 5Bei Torsion qτ = 8

statische Festigkeit: entspricht der ruhenden BelastungZeitfestigkeit: Bauteile halten abhängig von der

Amplitude eine gewisse Zykluszahlb1 = LCF und b2 = HCF

Dauerfestigkeit: Bauteil versagt nicht durch Ermüden

3.3 Smith Diagramm (S:5.12)

Vereinfachte Konstruktion:

1. ±σW , Rp0.2 , Rm auf Ordinate abtragen (oder σWK , σBK )2. σW

2vom Schnittpunkt 45◦ Linie undRm nach links abtragen

3. Gerade zu σW , Punkt 3 bei Schnittpunkt Gerade undRp0.24. Punkt 2 bei Schnittpunkt 45◦ Linie mitRp0.25. Spiegeln von 3 nach unten an 45◦ Linie6. Verbinden von 4 mit−σW und 2

Der Einfluss der Oberflächenrauheit und der Grösseneinfluss-faktor müssen bereits in die Konstruktion des Smith Dia-gramm einfliessen

Näherungen für σw ,τw und Fliessgrenzen

σbw ≈ 0.5σB

σzdw ≈ 0.4σB

τtw ≈ 0.3σB

mit σB alsRm bei 25°C.

σzd,F ≈ 1.2 ·Rp0.2σb,F ≈ Rp0.2

τt,F ≈Rp0.2√

3

SituativRe anstelleRp0.2

Bestimmen der Ausschlagsspannung:Bestimmtes σm: σo ist die obere Begrenzung von 1 bis 2

.

.σA = σo − σm (Grün)

σD = σm + σA (Orange)

3.4 Haigh Diagramm (S:5.14)

Vereinfachte Konstruktion:1. Abtragen vonRp0.2 auf beiden Achsen, verbinden2. σW auf Ordinate abtragen (Punkt A)3.X ∗ σSch auf Abszisse abtragen, Tabelle beachten:a) σSch = 2σA → 0.5σSchb) σSch = 1σA → 1σSch4. Vertikale Linie nach oben ziehen Schnittpunkt mit 45◦ Linie(Punkt B)5. Gerade durch A und B ziehen

Bestimmen der Ausschlagsspannung undErweiterung zum Zeitfestigkeits-Schaubild:Kann für bestimmts σm direkt abgelesen werden

5

3.5 Betriebsfestigkeit/Zeitfestigkeit (S:5.9)

Die Zeitfestigkeit kann aus der Dauerfestigkeit mittels folgenderBeziehung berechnet werden:

σzd,bZ = qσ

√NDNL· σzd,bD

τtZ = qτ

√NDNL· τtD

ND Schwingspielzahl DauerfestigkeitNL auftretende Schwingspielzahlσzd,bD, τtD Dauerfestigkeit für

Zug/Druck, Biegung und Torsionσzd,bZ , τtZ Zeitfestigkeit für

Zug/Druck, Biegung und Torsionqσ, qτ Wöhlerlinienexponenten. Für gekerbte Rund-

stäbe, Stahlwerkstoffe: qσ = 5 ,qτ = 8 (Wertberechnen siehe Kap.3.2.1)

Dieselbe Beziehung gilt auch zum Gestaltausschlagsfestgkeit inGestaltzeitfestigkeit umrechnen

σzd,bGZ = qσ

√NDNL· σzd,bADK

τtGZ = qτ

√NDNL· τtADK

σzd,bADK , τtADK Gestaltausschlagfestigkeit fürZug/Druck, Biegung und Torsion

σzd,bGZ , τtGZ Gestaltzeitfestigkeit fürZug/Druck, Biegung und Torsion

σzd,bADK = σzd,bGAτtADK = τtGA

3.6 Miner Modifikationen

Alternativ gibt es Folgende Miner-Variationen:Miner elementar: Annahme, dass keine Dauerfestigkeit exisiertMiner-Original: Stufen unterhalb σADK vernachlässigtMiner-Erweitert: Genau bisND berücksichtigtMiner-Konsequent: Beachtet, dass σADk mit Schädigung sinkt

3.7 Lastkollektive im Zeit und Dauerfestigkeitsbereich

Als Mindestsicherheit sollte 1.2 gewählt werden1. Berechnen der Bezugsschwingzahl (N∗)

Nach Miner Erweitert

N∗ =

j∑i=1

ni

Falls <ND (Fall 1)→ weiterrechnen mitN∗

Falls >ND (Fall 2)→N∗ = ND

ni : Anzahl der Schwingspiele für Lastkollektivstufei : Anzahl Schwingspiele

2. Berechnen der Völligkeit (vσ,τ )

vσ = qσ

√√√√ k∑i=1

([ niN∗

]·[σzd,baiσzd,ba1

]qσ )

vτ = qτ

√√√√ k∑i=1

([ niN∗

]·[σtaiσta1

]qτ )

qσ = 5 ,qτ = 8σzd,bai, τtai Spannungsausschlag der i-ten Lastkollek-

tivstufeσzd,ba1, τta1 grösster Spannungsausschlag des Lastkollek-

tivsk letzte zu berücksichtigende Kollektivstufen-

zahlFall 1: k = jFall 2: k ist Kollektiv, welches Dauerfestigkeit er-

reicht. nk = ND −∑k−1i−1 ni (ND− (die bis-

her gemachten Schwingspiele)) der Rest wirdvernachlässigt.

3. Bestimmen des Kollektivfaktors (KKσ,τ )

KKσ,τ = qσ,τ

√[1

vqσ,τσ,τ

− 1

]·DM + 1

Achtung Völligkeit hat Potenz!DM Minersumme (DM = 0.3)

4. Bestimmen der schäd. äquivalenten Ausschlagsspannung

σzd,ba =σzd,ba1

KKσbzw. τta =

τta1

KKτ

σzd,ba1, τta1 grösster Spannungsausschlag des Lastkollek-tivs

5. Bestimmen der Gestaltzeitfestigkeit und Sicherheit (Fall 1)Möglichkeit 1: Ablesen am Haigh-Diagramm, konstruiert für N∗,auf der höhe von der vorliegenden Mittelspannung σm, (fallsDiagramm zur Zeitfestigkeit erweitert wurde).

Möglichkeit 2: Berechnen

σzd,bGZ =qσ

√NDN∗· σzd,bADK

τtGZ =qτ

√NDN∗· τtADK

ND Schwingspielzahl DauerfestigkeitNL auftretende Schwingspielzahlσzd,bADK , τtADK Gestaltausschlagfestigkeit für

Zug/Druck, Biegung und Torsionσzd,bGZ , τtGZ Gestaltzeitfestigkeit für

Zug/Druck, Biegung und Torsionqσ , qτ Wöhlerlinienexponenten, qσ = 5 ,qτ = 8

Sicherheit Zeitfestigkeit:

SZ =1√[

σzdaσzdGZ

+ σbaσbGZ

]2+[τtaτtGZ

]2 ≥ SZmin6

oder für einzelne Beanspruchungen:

SZ =σzd,bGZσzd,ba

≥ SZmin bzw. SZ =τtGZτta

≥ SZmin

5. Bestimmen der Sicherheit (Fall 2)

SD =1√[

σzdaσzdADK

+ σbaσbADK

]2+[

τtaτtADK

]2 ≥ SDminSicherheit Dauerfestigkeit

4 Auslegung von Achsen und Wellen

4.1 Geometrische Bezeichnungen

d Bauteildurchmesser im KerbquerschnittdB Bezugsdurchmesser (meist irgendwo gegeben)dBK Bezugsdurchmesser gekerbte Probedeff Für die Wärmebehandlung massgebender

Durchmesser (K1(deff ))αk Formzahl (statischer Lastfall)βk Kerbwirkungszahl (dynamischer Lastfall)K1(deff ) Technologischer GrösseneinflussfaktorK2(d) Geometrischer GrösseneinflussfaktorK3(d) Geometrischer GrösseneinflussfaktorKFσ,τ Einflussfaktor der OberflächenrauheitKV Einflussfaktor der OberflächenverfestigungK2F Statische StützwirkungγF ErhöhungsfaktorσS Streckgrenze (Re, Rp0.2) —- Theoretisch wäre

der Unterschied Re bzw ReH und ReL: Streck-grenze (ReH gerad vor Lüdersdehnung, ReLtiefster Punkt in Lüdersdehnung) und Rp Dehn-grenze vor dem plastischen Bereich

σB Zugfestigkeit (Rm)

Umlaufende Nut Abgesetzte Welle

4.1.1 Nennspannungen σn (S:8.7)

Können prinzipiell nur für einfache geometrische Formen be-rechnet werden.(Zweite Reihe: Bsp.für eine Welle mit Durchmesser d)

Zug oder Druck: σz,d =F

Aσz,d =

4 · Fπ · d2

Biegung: σb =Mb

Wbσb =

32 ·Mb

π · d3

Torsion: τt =Mt

Wpτt =

16 ·Mt

π · d3

Schub aus Querkraft: τQ =QH

Ib≈ Q

A

τQ = 0 an Aussenflächen

4.1.2 Formzahl αk (S:8.7)

Ist das Verhältnis zwischen der durch die Kerbe induzierten Maxi-malspannung und der ohne Kerbe gerechneten Nennspannung.

αk =σKerbgrund

σNennspannung

σmax,zd = αk,zd · σzdσmax,b = αk,b · σbτmax,t = τk,t · τt

Die Formzahlen sind wegen den unterschiedlichen Lastfällen un-terschiedlich. Für die meisten Kerbformen gilt folgende Unglei-chung:

ασ,Zug > ασ,Biegung > ατ,Torsion

Die Formzahl ασ,Zug kann also als konservative Abschätzungbenutzt werden.αk ist unabhängig vom Werkstoff

Bestimmen von αk an Rundstäben:

oder mittels der Universalformel:

ασ,τ = 1 +1√

A · rt

+ 2 ·B · rd·(1 + 2 · r

d

)2+ C ·

(rt

)Z · dD

r

t≥ 0.03;

d

D≤ 0.98; ασ,τ ≤ 6

7

und an Flachmaterial (Rechteck-Querschnitt):

4.1.3 Kerbwirkungszahl βk (S:8.15)

Die DauerwechselfestigkeitσW resp. τW reduziert sich infolge ei-ner Kerbwirkung um den Fakor βk .

βσ =σzd,bW (d)

σzd,bWKund βτ =

τtW (d)

τtWK

Achtung: Nicht zum verwenden, Vereinfachte Formel!σzd,bW (d) Wechselfestigkeit der ungekertbten Rundprobe

mit Durchmesser dσzd,bWK Wechselfestigkeit des gekerbten Bauteils

Berechnung Kerbwirkungszahl:Methode 1: (S.8.16)Mit Formzahl αk , Stützziffer n und Spannungsgefälle G’.

βk =αkn

Dynamische Stützziffer n:Weiche Randschicht (z.B durch Abdrehen)

n = 1 +√G′ · 1mm · 10

−(

0.33+σS(deff )

712MPa

)

Streckgrenze σS(deff ) wird mittels der Streckgrenze vom Bezugs-system (Re,Rp0.2) und dem Technologischen GröseneinflussfaktorK1 berechnet.

σS(deff ) = K1(deff ) · σS(dB)

Harte Randschicht

n = 1 +√G′ · 1mm · 10−0.7

Spannungsgefälle G’:

Umlaufende Nut Belastung Abgesetzte Welle

G′ =2 · (1 + φ)

rZug −Druck G′ =

2.3 · (1 + φ)

r

G′ =2 · (1 + φ)

rBiegung G′ =

2.3 · (1 + φ)

r

G′ =1

rTorsion G′ =

1.15

r

fürd

D> 0.67; r > 0 : φ =

1

4 ·√

tr

+ 2sonst φ = 0

Methode 2: (S.8.19)nach Geometrie von Seiten 8.20 und 8.21.Methode 3: (S.8.22)Mittels Messungen an Testprobe.

βk = βk(dBK) · K3(dBK)

K3(d)

mittels βk(dBK) von Skript Seite: 8.32Bezugsdurchmesser dBK = 40mm.K3(dBK) = 0.8882

Bsp: Passfeder:

βk(dBK) = 3 ·

(σB(deff )

1000 Nmm2

)0.38

Zugfestigkeit σB(deff ) wird mittels der Zugfestigkeit vom Bezugs-system (Rm) und dem Technologischen GröseneinflussfaktorK1 be-rechnet.

σB(deff ) = K1(deff ) · σB(dB)

4.1.4 Technologischer GrösseneinflussfaktorK1(deff ) (S:8.24)

Der technologische GrösseneinflussfaktorK1(deff ) berücksich-tigt näherungsweise, dass die erreichbare Härte (damit auchStreckgrenze und Ermüdungsfestigkeit) beim Vergüten bwz. dieKernhärte beim Einsatzhärten mit steigendem Durchmesser ab-nimmt.

Nitrierstähle (σS , σB ), nicht vergütete Baustähle (σB ):

deff ≤ 100mm : K1(deff ) = 1

100mm <deff < 300mm : K1(deff ) = 1 − 0.23 · log(

deff

100mm

)300mm ≤deff ≤ 500mm : K1(deff ) = 0.89

Nicht vergütete Baustähle (σS ): ZBsp: Normalgeglühter Vergütungsstahldeff ≤ 32mm : K1(deff ) = 1

32mm <deff < 300mm : K1(deff ) = 1 − 0.26 · log(deff

2 · dB

)dB = 16mm

300mm ≤deff ≤ 500mm : K1(deff ) = 0.75

Cr-Ni-Mo-Einsatzstähle (blind- oder einsatzgehärtet) (σS , σB ),vergütete Stähle (σB ):

deff ≤ 16mm : K1(deff ) = 1

16mm <deff < 300mm : K1(deff ) = 1 − 0.26 · log(deff

dB

)dB = 16mm

300mm ≤deff ≤ 500mm : K1(deff ) = 0.67

Einsatzstähle (ausser Cr-Ni-Mo Einsatzstähle)(blind- oder einsatzgehärtet) (σS , σB ):

deff ≤ 16mm : K1(deff ) = 1

16mm <deff < 150mm : K1(deff ) = 1 − 0.41 · log(deff

dB

)dB = 16mm

150mm ≤deff ≤ 500mm : K1(deff ) = 0.60

Vergütete Stähle (σS ):Achtung: Keine Normalgeglühte Werkstoffe

deff ≤ 16mm : K1(deff ) = 1

16mm <deff < 300mm : K1(deff ) = 1 − 0.34 · log(deff

dB

)dB = 16mm

300mm ≤deff ≤ 500mm : K1(deff ) = 0.57

4.1.5 Geometrischer GrösseneinflussfaktorK2(d) (S:8.27)

Der geometrische Grösseneinflussfaktor K2(d) berücksichtigt,dass bei grösser werdendem Durchmesser oder Dicken die Bie-gewechselfestigkeit in die Zug/Druckwechselfestigkeit übergehtund analog auch die Torsionswechselfestigkeit sinkt.Zug / Druck:

K2(d) = 1

d beliebig

Biegung und Torsion:

7.5mm ≤d < 150mm : K2(d) = 1− 0.2 ·log(

d7.5mm

)log 20

150mm ≤d : K2(d) = 0.8

8

Bei Kreisringquerschnitten ist für d der Aussendurchmesser ein-zusetzen.

4.1.6 Geometrischer GrösseneinflussfaktorK3(d) (S:8.29)

Der geometrische Grösseneinflussfaktor K3(d) berücksichtigtdie Änderung der Kerbwirkung, wenn die Bauteilabmessungenvon den Probenabmessungen abweichen und sämtliche Abmes-sungen im gleichen Massstab geändert wurden.Er wird nur berücksichtigt die Kerbwirkungszahlen βσ(dBK) oderβτ (dBK) experimentell bestimmt wurden und dBK von d ab-weicht.

7.5mm ≤d < 150mm : K3(d) = 1− 0.2 ·log(

d7.5mm

)log 20

150mm ≤d : K3(d) = 1− 0.2 · αk

4.1.7 Einflussfaktor der OberflächenrauheitKFσ,τ (S:8.30)

KFσ = 1− 0.22 · log

(RZµm

)·(

log

(σB(deff )

20N/mm2

)− 1

)KFτ = 0.575 ·KFσ + 0.425

MitRZ in µm, σB(d) < 2000 MPa und

σB(deff ) = K1(deff ) · σB(dB)

4.1.8 Einflussfaktor der OberflächenverfestigungKV (S:8.33)

Falls normalgeglüht oder nicht kalterverfestigt/gehärtetKV = 1

4.1.9 Statische StützwirkungK2F (S:9.8)

Die statische Stützwirkung hängt davon ab, ob eine Voll- odereine Hohlwelle verwendet wird und ob die Randschicht gehärtetist.

4.1.10 Erhöhungsfaktor γF (S:9.8)

Der Erhöhungsfaktor ist von der Form- und Kerbwirkungszahl ab-hängig.

4.1.11 AnwendungsfaktorKA (S:8.34)

Berücksichtigung von Belastungsänderungen. Hier als Beispiel fürBiegegung:Der Anwendungsfaktor bei Ermüdungsbeanspruchung:

KA = σbaσba,nenn

= σba1KKσ·σba,nenn

Der Anwendungsfaktor für Maximalbeanspruchung(Anriss, Ver-formung):

KASt = σba1σba,nenn

Mit:σba schädigungsäquivalente Amplitude (aus Lastkollektiv)σba,nenn Nennsp. aus Nennbelastung, z.B Nennleistung und Normdrehzahlσba1 Kollektivhöchstwert

4.2 Kerbspannungskonzept (S:11.10)

4.2.1 Berechnung der Vergleichsspannungsanteile

Vergleichsmittelspannung:

σVm =√

(αkz,d · σz,dm + αkb · σbm)2 + 3(αkt · τtm)2

Vergleichsausschlagsspannung:

σV a =√

(βkz,d · σz,da + βkb · σba)2 + 3(βkt · τta)2

Obere Vergleichspannung:

σV o = σVm + σV a

4.2.2 Sicherheit gegen Dauerbruch

1. Möglichkeit:

σV o ≤ σDzul =σD · b1 · b2

S=

(σm + σA) · b1 · b2S

2. Möglichkeit:Mit σVm im Schmid’schen Diagramm σA ablesen, dann berech-nen:

σV a ≤σA · b1 · b2

S

Oberflächenbeiwert b1:

oder: b1 = 1− 0.22 log(Rz)0.64 · log(Rm) + 0.45 log(Rz)

0.53

Grössenbeiwert b2:

9

Sicherheiten

statische Beanspruchung:

gegen zu grosse Verformungen S=1,2 ... 2gegen Bruch S=2 ... 4gegen Instabilität S=3 ... 5

dynamische Beanspruchung:

gegen zu grosse Verformungen S=1,2 ... 2gegen Bruch S=2 ... 4gegen Instabilität S=3 ... 5gegen Dauerbruch S=2 ... 3

4.3 Nennspannungskonzept DIN 743Zuerst immer prüfen welche Belastungen vorkommen, vielleichtlassen sich Terme wegstreichen!Reminder:

Ruhend / Statisch: σm = σ σa = 0

Rein schwellend: σm =1

2σo σa = σm

Rein wechselnd: σm = 0 σa = σo

4.3.1 Sicherheit gegen Verformen (Fliessen) (S:9.4)

S =1√(

σzd,maxσzdFK

+σb,maxσb,FK

)2

+(τt,maxτtFK

)2≥ Smin

Mit Smin ≥ 1.2 bei Unsicherheiten auch grösser.

Anwendung Nennspannungskonzept

σzd,max = σzdm + σzda

σb,max = σbm + σba

τt,max = τtm + τta

σzdFK = K1(deff ) ·K2F · γF · σS(dB)

σbFK = K1(deff ) ·K2F · γF · σS(dB)

τtFK =K1(deff ) ·K2F · γF · σS(dB)√

3

K1 bei Streckgrenze (σS )

Mit: K1 (Kap. 4.1.4), K2F (Kap. 4.1.9), γF (Kap. 4.1.10) und σS =Bauteilfliessgrenze (Rp0.2, Re).

4.3.2 Sicherheit gegen Gewaltbruch (S:9.9)

Gefahr von Rissen wegen Spannungsspitzen an harter, SpröderOberflächen.

S =

2[σzdmaxσzdBR

+σbmaxσbBR

+

√(σzdmaxσzdBR

+σbmaxσbBR

)2+(2·τtmaxτtBR

)2]≥ Smin ≥ 1.2

Mit:σzdmax = αk,zd · σzd,nennσbmax = αk,b · σb,nennτtmax = αk,b · σb,nennσnenn = σm + σa bzw. τnenn = τm + τaσBR bzw. τBR ist die Bruchgrenze in der Harten Randschicht.

4.3.3 Dauerfestigkeitsnachweis / (Dauerbruch) (S:9.10)

S =1√(

σzdaσzdADK

+ σbaσbADK

)2

+(

τtaτtADK

)2≥ Smin

Mit Smin ≥ 1.2 bei Unsicherheiten auch grösser.Druckspannung mit negativem Vorzeichen einsetzen.

Anwendung Dauerfestigkeitsnachweis0. Kerbwirkungszahl βKSiehe Kap 4.1.3.Mit: αk (Kap. 4.1.2)

1. Bestimmung der Gesamteinflussfaktoren

Kσ =

(βσ

K2(d)+

1

KFσ− 1

)· 1

KV

Kτ =

(βτ

K2(d)+

1

KFτ− 1

)· 1

KV

Mit:βk von Punkt 0,KV (Kap. 4.1.8),K2(d) (Kap. 4.1.5) undKFσ,τ

(Kap. 4.1.7)

2. Wechselfestigkeit am gekerbten Körper

σzdWK =σzdW (dB) ·K1(deff )

Kσ

σbWK =σbW (dB) ·K1(deff )

Kσ

τtWK =τtW (dB) ·K1(deff )

Kτ

K1 bei Zugfestigkeit (σB )

Mit: K1 (Kap. 4.1.4), σW (dB) aus Tabelle oder NäherungswerteundKσ,τ von Punkt 1.Näherungswerte:σzdW = 0.4Rm, σbW = 0.5Rm, τtW = 0.3RmσzdW (dB), σbW (dB), τtW (dB): Wechselfestigkeiten der glattenungekerbten Probe mit Bezugsdurchmesser dB .

3. Einflussfaktor der Mittelspannungsempfindlichkeit

ΨzdσK =σzdWK

2 ·K1(deff ) · σB(dB)− σzdWK

ΨbσK =σbWK

2 ·K1(deff ) · σB(dB)− σbWK

ΨτK =τtWK

2 ·K1(deff ) · σB(dB)− τtWK

K1 bei Zugfestigkeit (σB )Mit: σB = Rm,K1 (Kap. 4.1.4) und σWK von Punkt 2.

4. Bauteilfliessgrenzen bestimmen

σzdFK = K1(deff ) ·K2F · γF · σS(dB)

σbFK = K1(deff ) ·K2F · γF · σS(dB)

τtFK =K1(deff ) ·K2F · γF · σS(dB)√

3

K1 bei Streckgrenze (σS )Mit: K1 (Kap. 4.1.4), K2F (Kap. 4.1.9), γF (Kap. 4.1.10) und σS =Bauteilfliessgrenze (Rp0.2, Re).

5. Vergleichsmittelspannungen berechnenFalls σzdm + σbm≥0 ist:

σmv =√

(σzdm + σbm)2 + 3 · τ2tm

τmv =σmv√

3

Falls σzdm + σbm<0 ist:

σmv =H

|H| ·√|H|

H =(σzdm + σbm)3

|(σzdm + σbm)| + 3 · τ2tm

τmv =σmv√

3

σzdm , σbm , τtm Mittelspannungen auf zd, b, t

10

6.1 Spannungsamplituden der Bauteilfestigkeit

Fall 1 σmv = konstant

Fall 2σmvσa

= konstant

Mit σmv, τmv von Punkt 5, σFK von Punkt 4, σWK von Punkt 2und ΨK von Punkt 3.6.1 FALL 1Wenn diese Gleichungen gelten:

σmv ≤σzdFK − σzdWK

1−ΨzdσK

σmv ≤σbFK − σbWK

1−ΨbσK

τmv ≤τtFK − τtWK

1−ΨτK

dann gilt:

σzdADK = σzdWK −ΨzdσK · σmvσbADK = σbWK −ΨbσK · σmvτtADK = τtWK −ΨτK · τmv

andernfalls:

σzdADK = σzdWK − σmvσbADK = σbWK − σmvτtADK = τtWK − τmv

6.2 FALL 2Wenn diese Gleichungen gelten:

σmvσzda

≤ σzdFK − σzdWK

σzdWK − σzdFK ·ΨzdσK

σmvσba≤ σbFK − σbWK

σbWK − σbFK ·ΨbσK

τmvτta≤ τtFK − τtWK

τtWK − τtFK ·ΨτK

dann gilt:

σzdADK =σzdWK

1 + ΨzdσK · σmvσzda

σbdADK =σbWK

1 + ΨbσK · σmvσba

τtADK =τtWK

1 + ΨτK · τmvτta

andernfalls:

σzdADK =σzdFK

1 + σmvσzda

σbADK =σbFK

1 + σmvσba

τtADK =τtFK

1 + τmvτta

5 SchweissverbindungenLässt sich hinsichtlich Stossart, Nahtart und Nahtform unter-scheiden. Die Stossart beschreibt die Lage der zu verbindendenTeile zueinander. Als Nahtart kommen entweder Stumpfnähteoder Kehlnähte zum Einsatz. Die Nahtform beschreibt die Geo-metrie der Fuge und wie diese vorzubereiten ist.

5.1 Stumpfnaht (S:9)

Schweissnahtdicke a = s (Blechdicke)Wobei bei unterschiedlich dicken Blechen die kleinere Blechdickezählt.

Beim Anschweissen und am Nahtende entstehen Stellen mitverminderter Anbindungsfestigkeit.→ EndkraterabzügeWirksame Nahtlänge:

l = L− 2a

Wobei L die Gesamtlänge und 2a der Endkraterabzug ist (je eina pro Seite).

keine Abzüge bei:• geschlossenen Schweissnähten• Schweissen mit Auslaufblechen

5.2 Kehlnaht (S:12)

Die rechnerische Dicke einer Kehlnaht ist die Höhe eines vomtheoretischen Wurzelpunkt ausgehenden in den Querschnitt

einbeschriebenen Dreiecks

Min bwz. Maximale Nahtdicke:

amin ≥[√

smax1mm

− 0.5

]· 1mm amin ≥ 3mm

2mm < amax < 0.7 · smin

Schweissnahtdicke amaximale Schweissnahtdicke amax = 0.7 · sminNahtlänge l = L− 2a

smin : Dicke des dünnsten geschweissten Stück [mm]l : geschweisste Länge [mm]

Kehlnähte bleiben für die Berechnung ausser Betracht, wenn ihreLängen einen Mindestwert von 30mm oder das Sechsfache derNahtdicke unterstreiten.

Endkraterabzug:• keine Abzüge bei geschlossenen Schweissnähten• Der Endkraterabzug soll für die Flächenberechnung und für

die Trägheits- und Widerstandsmomentberechnung vor-genommen werden.

5.2.1 Spannungskomponenten

Zug oder Druckspannung: σz,d =F

A

Biegespannungen: σb =Mb

Iyz

Torsionsspannung: τt =Mt

Ipr

Schub aus Querkraft: τQ =Q ·HzIy · b(z)

≈ Q

A

11

• τQ = 0 an Aussenflächen• Quernähte nehmen keine Schubkräfte auf• σb = 0 bei Neutralachse

Bei schlanken Trägern (Länge grösser als 5fache Dicke) kann dieSchubbeanspruchung vernachlässigt werden.

5.3 Statischer Festigkeitsnachweis (S:21)

5.3.1 GEH für plastisches Materialverhalten

Ebener Spannungszustand mit σy = 0

σv =√σ2x + 3τ2

xy

Gleichgerichtete Spannungskomponenten sind zu summie-ren, bevor sie in die Hypothesengleichung eingebunden wer-den.

Beispiel:

σv =√

(σx,Zug + σx,Biegung)2 + 3(τzx,Quer + τzx,Torsion)2

5.3.2 NH für sprödes Materialverhalten

Ebener Spannungszustand mit σy = 0

σv =1

2σx +

1

2

√σ2x + 4τ2

xy

5.3.3 Festigkeitsnachweis

Der Festigkeitsnachweis wird an der Stelle mit der maximalenVergleichsspannung durchgeführt. Werden Werkstoffe unter-schiedlicher Festigkeiten verschweisst, so nimmt man die niedri-gere Elastizitätsgrenze Rp0.2. Zudem müssen Festigkeitsminde-rungen, wie Einbrandkerben, Lunker, Blasen... berücksichtigt wer-den.Festigkeitsbedingung:

σv ≤ σzul =σF · v2 · v3 ·KdP

SF

Nahtgütebeiwert: (v2)

Beanspruchungsbeiwert: (v3)

Grössenfaktor: (KdP )

Effektiver Sicherheitsfaktor Fliessen:

SF,eff =σF · v2 · v3 ·KdP

σv

Mögliche Massnahmen zur Verbesserung:

• Nahtdicke bis max 0.7 · S• beidseitig Schweissen• längere Schweissnähte

12

5.4 Dynamischer Festigkeitsnachweis (S:27)

Funktioniert wie statischer Festigkeitsnachweis, nur wird der Be-anspruchungswert v3 durch den von v1 ersetzt.

σv ≤ σzul =σF · v2 · v1 ·KdP

SF

Beanspruchungswert: (v1)

5.5 Konstruktionshinweise (S:29)

5.6 Punktschweisung (S:30)

Sollen nur auf Scherrung beansprucht werdenDer Schweisspunktdurchmesser ist abhängig von der kleinstenBlechstärke smin und beträgt:

d =√

25mm · smin

6 LötenLöten ist ein thermisches Verfahren zum stoffschlüssigen Fügenund Beschichten von Werkstoffen. Bei der Auslegung von Lötver-bindungen ist rechnerisch die gleiche Werkstoffausnutzung imLot wie im Bauteil anzustreben. Zudem nimmt die Tragfähigkeitder Lötverbindung mit der Dauer der Belastung ab (Kriechen desLotes). Man versucht Lötverbindungen meist mit überlappendenVerbindungen anstelle von Stupfstössen herzustellen.

6.1 Lötverbindungen vs Schweissverbindungen

• Lot hat geringeren Schmelzpunkt als beteiligte Werkstoffe• Löten hat nicht die Festigkeit einer Schweissverbindung• Mit Löten lassen sich fast beliebige Werkstoffe verbinden• Beim Löten werden die Fügepartner nicht angeschmolzen• Geringere Gefügebeeinflussung mit Löten• Keine Kerbwirkung beim Löten

6.2 Nachteile des Lötens

• niedrige Betriebstemperaturen bei Weichloten• Lote sind teuer• Bei Biege-, Schäl- und Zugbeanspruchung nur niedrig be-

lastbar

6.3 Einteilung

Die Einteilung erfolt nach der Liquidustemperatur des Lotes:• Weichlöten: T < 450◦C• Hartlöten: T > 450◦C• Hochtemperaturlöten T > 900◦C

Eine Lötverbindung ist nur bedingt lösbar

6.4 Zug/Druck-Beanspruchung einer Lötverbindung (S:3)

Zugbeanspruchung sollte vermieden werden.

σz,d =Fz,db · h ≤ σzul =

v · σBSB

σB Zugfestigkeit des Lotes nach Tabelleσz,d Zug-/DruckspannungFz,d Zug-/Druckkrafth Höhe des Lötquerschnittsb Breite des LötquerschnittsSB Sicherheit gegen Bruch

Lastfaktor v:Wechselnd: v = 0.5Schwellend: v = 0.75Ruhend: v = 1

13

6.5 Scherbeanspruchung einer Lötverbindung (S:4)

Bevorzugte Beanspruchung einer Lötverbindung

τ =F

b · lue≤ τzul =

v · τBSB

τB Abscherfestigkeit des Lotes nach Tabelleτ ScherspannungF Scherkraftlue Überlapplänge

6.6 Schubbeanspruchung einer Welle-Nabe Lötverbindung (S:5)

τ =MT

A · d2

=2MT

d2 · π · l ≤ τzul =v · τBSB

d WellendurchmesserA Umfangsfläche der Lötverbindung (A = dπl)MT Torsionsmomentl Lotlänge

Tabelle für σB und τB :

7 Schraubenverbindungen

7.1 Allgemeines zur Schraube (S:3)

7.1.1 Grössen und Formen von Schrauben & Gewinde

• Bei Schraubenverbindungen hängt alles vom Nenndurchmesser d ab.

Nenndurchmesser d [M20×2.5→d = 20mm]Flankendurchmesser d2 = d− 0.64953 · PKerndurchmesser d3 = d− 1.22687 · PDurchmesser des

dS = d2+d32Spannungsquerschnittes

Flankenwinkel β

Steigung [P ] = mm P [M20×2.5→P = 2.5mm]

Gewindearten:• Metrisches-ISO-Gewinde (Regelgewinde)

Ist das häufigste eingesetzte Gewinde mit60° Flankenwinkel. Für allgemene

Befestigungen. Beispiel Bezeichnung: M 20 (mit steigung 2.5mm)

• Metrisches ISO-FeingewindeFür allgemeine Befestigungen dünner Teile, grösserer Beanspruchung, grös-

sere Gewinde, Einstellschrauben, Gewinde an Wellen. Bsp: M20× 1.5

• Trapezgewinde (DIN 103)Für Bewegungsspindeln, beidseitig belastbar

• Sägegewinde (DIN 513)Für Bewegungsspindeln, einseitig stark belastbar, einseitig wenig Reibung

• Rundgewinde (DIN 405)Für robuste Anwendungen (Waggonkupplungen), Fittinge, verschmutzte

Bereiche

• Whitworth - Rohrgewinde (DIN ISO 228)Zur Verschraubung von Rohren und Rohrverbindern

Weitere Gewindeformen:

a)Flachgängig b)Scharfgängig c)Eingängig d)Mehrgängig

Weiter unterscheidet man Gewinderichtung:rechtsgängig (ist dieRegel); linksgängig.

Gewindeabwicklung:Steigungswinkel:tanα = P

d2·πEinschraubweg:z = P

2πϕ

ϕ als Drehwinkel, d2 Flankendurchmesser

7.1.2 Festigkeitsklasse

7.1.3 Kräfte im Gewinde

Flachgängige und scharfgängige Gewinde:

Fu = F · tan(α± ρ) (1)Fu = F · tanα±tan ρ

1∓tanα·tan ρ(2)

Fu ≈ F · tan(α± ρ) (3)Fu ≈ F · tan(α± µ) (4)

Aus UmfangskraftFu → MT bestimmen

MT = Fu·d22

(5)MT = F ·d2

2tan(α± ρ) (6)

MT ≈ F ·d22

tan(α± µ) (7)

Umfangskraft Fu ; Gewindedrehmoment MT ; Axiale Schraubenkraft F ; Gleitreibung µ; Reibwinkel ρ mit

tan ρ = µ; Für Scharfgängiges Gewinde: ρ′ statt ρ undµ′ stattµ einsetzen.

• Liegt Fu in den von (1) gegebenen Werten, verzögert sich Bewe-gung und kommt zum erliegen. Liegt Fu ausserhalb, so tritt Be-schleunigung von Heben bzw. Senken auf.

• Aus Ruhe muss zuerst µ0, ρ0 überwunden werden.• Wenn ρ > α liegt Selbsthemmung beim Senken vor (Bild e).

14

7.1.4 Wirkungsgrad und Selbsthemmung

Wirkungsgrad einer Schraube interessant für Bewegungs-schrauben

Nutzarbeit einer Schraubenumdrehung beim Heben:

WNutz = F · P

Aufgewendete Arbeit beim Heben:

Waufgewendet = Fu · d2 · π

Wirkungsgrad:

η = WNutzWaufgewendet

= F ·PFu·d2·π

Daraus folgt:

η ≈ tanαµ′+tanα

Die Abbildung Zeigt: für hohe Wirkungsgrade sind mittlere Stei-gungswinkel vorteilhaft. Wenn Reibung ρ→Null strebt, geht derWirkungsgrad gegen 1.

7.2 Schraubendimensionierung

Vorgehen Schraubendimensionierung1. Überschlägige Prüfung SF =

Rp0.2σx

2. Steifigkeitsverhältnis Schraube Hülse3. Ort der Krafteinleitung berücksichtigen4. Notwendige Vorspannkraft berechnen5. Montagevorspannkraft berechnen (Setzen)6. Festigkeitsnachweis

• Montage und erstmalige Belastung• Dauerfestigkeit (bei dynamischer Beanspruchung)

7. Anzugsdrehmoment berechnen

7.2.1 Überschlägige Prüfung

Statisches Prüfen der Schraubenfestigkeit gegen Fliessen.

SF =Rp0.2σx

≥ 1.2

σx =FSgesA

Welches FSges:FSges = FRest + FB Siehe RötscherdiagrammFRest als gegebenerr Anteil von FBFB = Fmax

#Schrauben

Mit Überhöhung cB : Fmax = cB · FnennBeispiel: 20% Überhöhung: cB = 1.2

WelchesA [Fläche]:

A(dSchaft,min) = π · d2Schaft,min

4

WelchesRp0.2 [Streckgrenze]:Aus Festigkeitsklasse Kapitel 7.1.2Beispiel: Festigkeitsklasse 10.9⇒ Rm = 10 · 100MPa = 1000Mpa;⇒ Rp0.2 = 0.9 ·Rm = 900MPa

7.2.2 Nachgibigkeit δS , Federsteifigkeit cS der Schraube (S:13)

δS =1

cS=∑

δi =∑ 1

ci=∑ li

Ai · Ei

cS = (∑ 1

ci)−1

mit d: Nenndurchmessermit Schaftdurchmesser und Schaftlänge aus Zeichnung abgele-sen undmit Kerndurchmesser: d3 = d− 1.22687 · P

Jeder dieser Bereiche der Modellierten Schraube muss miteinbe-zogen werden zur Berechnung der Nachgiebigkeit bzw. Feder-steifigkeit. Die Anzahl der Schäfte muss angepasst werden.

Achtung, bei der Nachgiebigkeit des Muttergewindes ist der E-Modul der Mutter zu Wählen.

Federweg: fi = εi · l0i =σiEi· l0i =

FV · l0iAi · Ei

Steifigkeit: ci =FVfi

=Ai · Eil0i

Nachgibigkeit: δi =1

ci=

fiFV

=l0i

Ai · Ei

15

7.2.3 Nachgiebigkeit δH , Federsteifigkeit cH der Hülse (S:14)

δH =1

cH=

lKAers · EH

und cH =Aers · EH

lK

MitAers:Die Verspannten Platten werden als Ersatzhülse mit gleicher Län-ge lk modelliert. Dafür muss ein Ersatzquerschnitt Aers berech-net werden.Es gibt 3 Klassen Ersatzhülsen: (a),(b),(c)

Mit dw Auflagendurchmesser aus Zeichnung und DA Aussen-durchmesser der Hülse aus ZeichnungdH ist der Innendurchmesser der Hülse

Formeln zur Berechnung des ErsatzquerschnittesAers,verwendbar bisDa = 1.3 · dw . ≈Vorlesungsnotitz

lk die Klemmlänge, muss evtl abgeschätzt werden.Falls es einen Kraftübergang im Gewinde gibt, wird pro Ge-winde 0.25 · d zur Hülsenlänge dazu addiert.

7.2.4 Φ Steifigkeitsverhältnis [Idealisiert] (S:17)

Idealisiert→Ort der Krafteinleitung nicht berücksichtigt

Φ =cS

cS + cH=

δHδH + δS

FBS = Φ · FBFBH = (1− Φ) · FB

Bei einer eingeleiteten Kraft (Betriebslast) verspürt die Schraubenur FBS und die Hülse nur FBH .

Je weicher die Schraube und je Steifer die Hülse ist, desto we-niger wird die Schraube belastet. Spannend für DynamischeBelastung.

Nebenbei:Spannung σzS aus FSges darf Belastungsgrenze der Schraubenicht überschreiten. Sonst Verformung der SchraubeRestklemmkraft FRest sollte eine festzulegende Grenze nichtunterschreiten. Sonst Verschluss undicht.FRest = 0 bedeuted: Vollständige Entlastung der Hülse.

σzS =FSgesAs

= FV +FBSAS

≤ σzulFRest = FSges −FB = FV +FBS −FB = FV −FBH ≥ Fmin

7.2.5 Φn Krafteinleitung Innerhalb der Hülse [Genauer] (S:18)

In der Praxis wird die Kraft im Bereich der Klemmlänge in dieHülse eingeracht. Bestimmung des Ortes ist ingenieurmässige

Abschätzung.

Folge: Ein entlasteter Hülsenteil H1 , ein zusätzlich belasteterHülsenteil H2, zusätzliche Dehnung der Schraube.Betrachtet wird also eine neue Verschraubung mit Federsteifig-keit der Schraube: cS+H2 und Federsteifigkeit der Hülse: cH1

Φn = n · Φ =cS+H2

cS+H2 + cH1=

δH1

δS+H2δH1

FBS = nΦ · FBFBH = (1− nΦ) · FBFV = FRest + FBH

FBS : Erhöhung Zugkraft in Schraube durch Betriebskraft

FBH : Betriebskraftanteil durch Entlastung der Hülse.

FV : Vorspannkraft (direkt nach Setzen)

Krafteinleitungsfaktor n, bei gegebenen Hülsenlängen:lk Klemmlänge [siehe Kapitel: 7.2.3]

n = lH1lH1+lH2

= lH1lk

Bestimmung von n durch Abschätzung:

Nachgibigkeiten bzw. Steifigkeiten werden zu:

δH1 = n · δH cH1 = cHn

δH2 = (1− n) · δH cH2 = cH1−n

δS+H2 = δS + (1− n) · δHcS+H2 = ( 1

cS+ 1

cH2)−1 = ( 1

cS+ 1−n

cH)−1 = cH1 · Φn

1−Φn

cH1,2 = (Aers · EHlH1,2

)

Aers der Ersatzhülse entspricht dem der Gesamthülse. [Annahme! ]

16

7.2.6 Konstruktion des Rötscher-Diagramms

Wozu das Rötscherdiagramm konstruieren?• Zur Bestimmung der Vorspannkraft FV• Konstruieren von FBS und FBH

Was wird benötigt?• cH1, cS+H2, FRest, FSges = FRest + FB

cH1 =cHn

cS+H2 = cH1 ·Φn

1− Φn

Vorgehen für Konstruktion (direkt mit cH1 und cS+H2 )1. Achsen in sinnvollem Masstab zeichnen2. Erwünschte Restklemmkraft FRest und GesamtkraftFSges = FB + FRest als horizontale Linien einzeichnen

3. An Beliebiger Stelle eine Senkrechte einzeichnen⇒Punkte A und B

4. Steigung cH1 konstruieren, Parallele durch A eintragen.5. Steigung cS+H2 konstruieren, Parallele durch B ziehen.⇒ C (Schnittpunkt)⇒ FV , FBS , FBH

6. Steigung cS+H2 der Schraube ab Nullpunkt einzeichnen.⇒ Z (Schnittpunkt mit FV )

7. Paralelle zu cH1 durch Z zeichnen

Tipp Steigung: Durch Eintragen von Achsabschnitten.Beispiel:cH1 = cH

n= 4.058 · 106 N

mm= 0.02·4085kN

0.02mm= 81.16kN

0.02mm

cS+H2 = cH1 · Φn1−Φn

= 55.6kN0.2mm

Mit dem Bruch geeignet zum Eintragen. c = KraftLänge

FBS ist für Beurteilung der Dauerfestigkeit relevant.

7.2.7 Setzen nach Montage (S:22)

Setzen bedeutet: Oberflächen der kleinen Auflagen werden ge-glättet (plastische, lokal begränzte Deformationen)

Führt zu: Entspannung der Verschraubung, Teilverlust der Vor-spannkraft FV um Setzkraftverlust FZ , Klemmkraft FRest sinkt.⇒ Nachziehen empfohlen.

1.Setzbetrag bestimmen:fz ist der Setzbetrag. Er wird durch Versuche oder mittels Tabelleermittelt.Es tritt in allen Druckbelasteten Flächen auf:

• Verschraubte Gewinde(Mutter, Verschraubung)• Auflageflächen (Mutter, Schraubenkopf)• innere Trennfugen in verspannten Teilen

Setzbetrag anhand RautiefeRzSetzbeträge in µm

GemittelteRautiefeRz [µm]

im Gewinde Kopf/MutterAuflage je

innereTrennfuge

<10 3 2.5 1.510. . .40 3 3 240. . . 160 3 4 3

[Damit Setzbeträge der Tabelle stimmen, dürfen Flächenpressungennach Tabelle 1.6 (Skript S. 23) nicht überschritten werden.] einfügen?

Setzbetrag anhand Klemmlängenverhältnis lk/d#Fugen Setzbetrag pro Fuge in µm für lk/d =(inkl Gewinde) 2.5 5 102 bis 3 1.5 2 2.54 bis 5 1.0 1.25 1.56 bis 7 0.7 0.9 1.1

[Für Klemmlängenverhältnisse zwischen den Werten→ Interpolieren]

fz = (Setzbetrag) · (#Fugen) = [µm]

2. Setzkraftverlust FZ berechnen:Faktor 10−3[mm/µm] wegen Einheiten:fz = [µm], ck = [N/mm] und Φ = [ ]

FZ = Φ · cH · fz · 10−3mm

µm

Weitere Formeln für FZ [Einheiten beachten! ]:FZ = fz

δS+δH= Φ

δH· fz

Nebenbei - Massnahmen zur Verminderung Setzkraftverlust:Schraube hoch vorspannen bei Montage, verwenden von Dehnschrau-ben, weniger Fugen (keine Unterlagsscheiben in Maschinenbau), geringeRauheiten, keine Farbe auf Berührfläche.Verringerung Vorspannkraft kann zur vollen Entlastung der Flansche undgrösserem anteil FBS führen.

7.2.8 Vorspannkraft und Anzugsmoment (S:25)

Die Minimale Montagevorspannkraft wir so gewählt, dass nach Set-zen und unter Betriebslast die geforderte Restkraft FRest erhaltenbleibt. Wegen Streuung im Anziehverfahren kann die Vorspannung auchFMmax annehmen

FMmin = FRest + FBH + FZ = FV + FZ

FMmax = αA · FMmin

mit Anziehfaktor αA aus der Tabelle (Skript Tab 1.7)

Anzugsmoment (Für Dimensionierung siehe Kapitel 7.2.13)Gewindemoment MG : (Überwindet Axialkraft(P-Term) und Reibung imGewinde(µTerm))

MG = FM · d22 ( Pπ·d2

+ 1.155 · µG)

Gesamtes erforderliches Anziehmoment MA (Annahmen und Herlei-tung im Skript Kap 1.3.2 Seite 25)

MA = FM · (0.16 · P + µG · 0.58 · d2 +dmk

2· µK)

mit µG als Reibwert zwischen Gewindeflanken Schraube/Mutter.mit µK als Reibwert zwischen Kopf und Unterlagemit d2 als Flankendurchmesser d2 = d− 0.64953 · Pmit dmk als mittlerer Kopfdurchmesser dmk = dinnen−daussen

2für dmk siehe letztes Kap. 7.2.13

Tabelle mit Reibwerten µk und µG (µ = µG):

17

Tabelle mit Reibwert µk

7.2.9 Statische Beanspruchung bei Montage (S:32)

Vergleichsspannung nach GEH ist Massgebend für Beanspruchung inder Schraube.

1. Vergleichsspannung für Dehnschrauben:

σvM = σzM ·√

1 + 3 · [ 2·d2d0· ( Pπ·d2

+ 1.155 · µG)]2

2.Vergleichsspannung für Regelschrauben:

σvM = σzM ·√

1 + 3 · [ 4

1+d3d2

· ( Pπ·d2

+ 1.155 · µG)]2

Unterschied: kleinster Durchmesser d0 hängt von Schraube ab.Verwirrend, unklar was σvM , σvZ ist

7.2.10 Statischer Festigkeitsnachweis nach Montage (S:39)

Nachweis ohne Betriebskraft

Bedingung für Statische Festigkeit:

FMmax ≤ FSp

→ stellt sicher dass Schraube bei Montage nicht überlastet wird.→ Keine Gewährleistung, dass FMmin vorhanden ist.

Berechnung der zulässigen Spannkraft FSp:

FSp = A0 · ν ·Rp0.2 · k =A0 · ν ·Rp0.2√

1 + 3 · [ 2·d2d0· ( Pπ·d2

+ 1.155 · µG)]2

A0 = Kleinster Querschnitt der Schraube*d0 = Kleinster Durchmesser der Schraube*

*Normale Schrauben:A0 = AS = ( d2+d32

)2 · π4

*Dehnschrauben: Kleinster Querschnitt (Taillenbereich)d2 = Flankendurchmesser = d− 0.64953 · Pd3 = Kerndurchmesser = d− 1.22687 · Pν = Ausnutzungsgrad (Tabelle unten)[Rein Statisch: ν = 0.9]µG = Gewinde-Reibwert (Tabelle Kap.7.2.8)k = Abminderungsfaktor, (k = 1, Falls Torsionsfrei)

Bestimmung von Ausnutzungsgrad ν :

Spezialfall:Bei ausschliesslich Statischer Beanspruchung kann Montagevorspann-kraft FM und Anziehdrehmoment in Tabelle 1.13 im Skript S.42 nach-geschlagen werden. (Voraussetzung für Dehnschrauben: d0 = 0.9 · d3)

7.2.11 Festigkeit bei erstmaliger Belastung (S:43)

Erste Belastung kritisch, weil Trennfugen noch nicht gesetzt.

Statischer Festigkeitsnachweis für Betrieb:

σvmax ≤ ν ·Rp0.2

Für ν siehe Tabelle oben (Kap7.2.10)

Maximale Vergleichsspannung σvmax:

σvmax ≈ σvM + σzS

Vorspannung ohne Setzbetrag:

σvM =FMmax

k ·A0

Mit FMmax aus Kap. 7.2.8

Zusätzliche Belastung:

σzS =FBS

A0

FBS = Betriebslast Schraube([Genauer] Kapitel 7.2.5, [Idealisiert] Kapitel 7.2.4)

A0 = kleinster Querschnitt der Schraubek = Abminderungsfaktor k = 1√

1+3·[ 2·d2d0·( Pπ·d2

+1.155·µG)]2

7.2.12 Nachweis Dauerfestigkeit [Dynamisch] (S:44)

Kritischer Querschnitt für Dauerfestigkeit ist der mit dem Kerndurch-messer (grösste Kerbwirkung).

Bedingung Dauerfestigkeit:

SD ≤σA

σa

Mittelspannung:σm = 1

A3(FV ∗ + Φn · FBo+FBu

2)

Rein Schwellend→ σm = 1A3

(FV ∗ + Φn · FB2 )

Ausschlagsspannung:σa = Φn · FBo−FBu2·A3

Rein Schwellend→ σa = Φn · FB2·A3

FV ∗ = Vorspannkraft,Falls steht "Betriebskraft überlagert sich"FV = FMmax − FZWobei FZ den Setzkraftverlust darstellt (Kapitel 7.2.7)

A3 = d23 ·

π4

mit Kerndurchmesser: d3 = d− 1.22687 · PσA → Aus Abb. Herauslesen mit σm

Rp0.2· 1

100%

Richt-werte Gestaltfestigkeit σA schlussvergüteter Schrauben. Für schlussgerollteSchrauben kann etwa mit dem doppelten Werten gerechnet werden.

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7.2.13 Festlegung des Anzugsmomentes (S:42)

Mit dem Anzugsmoment muss die GEwindesteigung, die Gewinde-reibung und die Reibung in der Kopfauflage überwunden werden.

Maximal zulässiges Anzuggsdrehmoment: Für die maximal zulässigeMontagevorspannkraft FSp wird das maximal zulässige Anzugsdrehmo-mentMSp

MSp =FSp

2· (P

π+

d2 · µGcos(β/2)

+ µK · dmk)

Vorgeschriebenes Anzugsmoment:

MM = MsP ·1

1 + uA

Achtung,MM ist verschieden in übung und SkriptP Steigung des Gewindesβ Flankenwinkel (Regelschraube: 60°)µG Reibzahl Gewinde (Tabellen Kapitel 7.2.8)µK Reibzahl Kopf-Auflage (Tabellen Kapitel 7.2.8)uA Ableseungenauigkeitdmk

di−da2

(siehe Bild)

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