dimensi tiga-proyeksi-sudut
TRANSCRIPT
![Page 1: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/1.jpg)
1
Dimensi Tiga(Proyeksi & Sudut)
![Page 2: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat
Menentukan
proyeksi dan besar sudut dalam
ruang dimensi tiga
![Page 3: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/3.jpg)
3
Proyeksi Pada Bangun Ruang:
proyeksi titik pada garis
proyeksi titik pada bidang
proyeksi garis pada bidang
![Page 4: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Proyeksi titik pada garis
Dari titik P
ditarik garis m garis k
garis m memotong k di Q,
titik Q adalah
hasil proyeksi
titik P pada k
P
Q
k
m
![Page 5: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Contoh
Diketahuikubus ABCD.EFGHTentukan proyeksititik A pada garisa. BC b.BDc. ET
(T perpotonganAC dan BD).
A B
CD
H
E F
G
T
![Page 6: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/6.jpg)
6
PembahasanProyeksi titik A pada
a. BC adalah titik
b. BD adalah titik
c. ET adalah titik
A B
CD
H
E F
G
T
B
T
A’
A’(AC ET)
(AB BC)
(AC BD)
![Page 7: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/7.jpg)
7
Proyeksi Titik pada Bidang
Dari titik Pdi luar bidang Hditarik garis g H. Garis g menembusbidang H di titik P’.Titik P’ adalahproyeksi titik P di bidang H
P
P’
g
![Page 8: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/8.jpg)
8
Contoh
Diketahui kubusABCD.EFGH
a. Proyeksi titik Epada bidang ABCDadalah….
b. Proyeksi titik Cpada bidang BDGadalah….
A B
CD
H
E F
G
![Page 9: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/9.jpg)
9
Pembahasana. Proyeksi titik E
pada bidang ABCDadalah
b. Proyeksi titik Cpada bidang BDGadalahCE BDG
A B
CD
H
E F
G
(EA ABCD)
AP
P
![Page 10: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Proyeksi garis pada bidangProyeksi sebuah gariske sebuah bidangdapat diperoleh dengan memproyek-sikan titik-titik yangterletak pada garis ituke bidang.
A
A’
g
Jadi proyeksi garis g pada bidang H
adalah g’
B
B’g’
![Page 11: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Fakta-fakta1. Proyeksi garis pada bidang
umumnya berupa garis
2. Jika garis h maka
proyeksi garis h pada bidang
berupa titik.
3. Jika garis g // bidang maka
g’ yaitu proyeksi garis g pada
dan sejajar garis g
![Page 12: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Contoh 1
Diketahui kubusABCD.EFGH
a. Proyeksi garis EFpada bidang ABCDadalah….A B
CD
H
E F
G
b. Jika panjang rusuk kubus 6 cm,Panjang proyeksi garis CGpada bidang BDG adalah….
![Page 13: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/13.jpg)
13
Pembahasan
a. Proyeksi garis EFpada bidang ABCDberarti menentukanproyeksi titik E dan Fpada bidang ABCD,yaitu titik A dan B
A B
CD
H
E F
G
Jadi proyeksi EF pada ABCD adalah garis AB
![Page 14: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Pembahasanb. Proyeksi garis CG
pada bidang BDGberarti menentukanproyeksi titik Cdan titik Gpada bidang BDG,yaitu titik P dan G
A B
CD
H
E F
G
Jadi proyeksi CG pada BDG adalah garis PG dan panjangnya?
P
6 cm
![Page 15: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/15.jpg)
15
A B
CD
H
E F
G •Panjang proyeksi CG pada BDG adalah
panjang garis PG.
•PG = ⅔.GR = ⅔.½a√6 = ⅓a√6 = ⅓.6√6
P
R
•Jadi panjang proyeksi garis CGpada bidang BDG adalah 2√6 cm
6 cm
![Page 16: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/16.jpg)
16
Contoh 2Diketahui limasberaturanT.ABCDdengan panjang AB= 16 cm, TA = 18 cmPanjang proyeksi TApada bidang ABCDadalah….
T
A
D C
B16 cm
![Page 17: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/17.jpg)
17
PembahasanProyeksi TApada bidang ABCDadalah AT’.Panjang AT’= ½AC
= ½.16√2= 8√2
T
A
D C
B16 cmT’
Jadi panjang proyeksi TA pada
bidang ABCD adalah 8√2 cm
![Page 18: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/18.jpg)
18
Sudut Pada Bangun Ruang:
Sudut antara dua garis
Sudut antara garis dan bidang
Sudut antara bidang dan bidang
![Page 19: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Sudut antara Dua GarisYang dimaksud dengan
besar sudut antara
dua garis adalah
besar sudut terkecil
yang dibentuk
oleh kedua
garis tersebut
k
m
![Page 20: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/20.jpg)
20
ContohDiketahui
kubus ABCD.EFGH
Besar sudut antara
garis-garis:
a. AB dengan BG
b. AH dengan AF
c. BE dengan DFA B
CD
H
E F
G
![Page 21: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/21.jpg)
21
PembahasanBesar sudut antara
garis-garis:
a. AB dengan BG
= 900
b. AH dengan AF
= 600 (∆ AFH smss)
c. BE dengan DF
= 900 (BE DF)
A B
CD
H
E F
G
![Page 22: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/22.jpg)
22
P
Q
Sudut antara Garis dan Bidang
Sudut antara garis a dan bidang
dilambangkan (a, )
adalah sudut antaragaris a dan
proyeksinya pada .Sudut antara garis PQ dengan V = sudut antara PQ dengan P’Q= PQP’
P’
![Page 23: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Contoh 1Diketahui
kubus ABCD.EFGH
panjang rusuk 6 cm.
Gambarlah sudut
antara garis BG
dengan ACGE,
A B
CD
H
E F
G
6 cm
Kemudian hitunglah besar sudutnya!
![Page 24: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/24.jpg)
24
PembahasanProyeksi garis BG
pada bidang ACGE
adalah garis KG(K = titik potong
AC dan BD)A B
C D
H
E F
G
6 cm
Jadi (BG,ACGE) = (BG,KG)
= BGK
K
![Page 25: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/25.jpg)
25
PembahasanBG = 6√2 cmBK = ½BD
= ½.6√2= 3√2 cm
∆BKG siku-siku di KA B
C D
H
E F
G
6 cm
sin BGK =
Jadi, besar BGK = 300
K
BG
BK
2
1
26
23
![Page 26: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/26.jpg)
26
Contoh 2Diketahui
kubus ABCD.EFGH
panjang rusuk 8 cm.
A B
CD
H
E F
G
8 cm
Nilai tangens sudut antara garis CG
dan bidang AFH adalah….
![Page 27: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/27.jpg)
27
Pembahasantan (CG,AFH)
= tan (PQ,AP)= tan APQ
=
=
A B
CD
H
E F
G
8 cm
P
Q
PQ
AQ
8
24
8
28.21
GC
AC21
Nilai tangens sudut antara garis CG
dan bidang AFH adalah ½√2
![Page 28: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/28.jpg)
28
Contoh 3Pada limas
segiempat beraturan
T.ABCD yang semua
rusuknya sama panjang,
sudut antara TA dan bidang ABCD
adalah….
T
A B
CD
a cm
a cm
![Page 29: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/29.jpg)
29
Pembahasan• TA = TB = a cm• AC = a√2 (diagonal
persegi)
• ∆TAC = ∆ siku-sikusamakaki
T
A B
CD
a cm
a cm
sudut antara TA dan bidang ABCD
adalah sudut antara TA dan AC
yang besarnya 450
![Page 30: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/30.jpg)
30
Sudut antara Bidang dan Bidang
Sudut antara
bidang dan bidang
adalah sudut antara
garis g dan h, dimana
g ( , ) dan h ( , ).( , ) garis potong bidang dan
( , )
g
h
![Page 31: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/31.jpg)
31
Contoh 1
Diketahui kubusABCD.EFGH
a. Gambarlah sudutantara bidang BDGdengan ABCD
b. Tentukan nilai sinussudut antara BDGdan ABCD!
A B
CD
H
E F
G
![Page 32: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/32.jpg)
32
Pembahasana. (BDG,ABCD)
• garis potong BDGdan ABCD BD
• garis pada ABCDyang BD AC
• garis pada BDGyang BD GP
A B
CD
H
E F
G
Jadi (BDG,ABCD) = (GP,PC)
= GPC
P
![Page 33: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/33.jpg)
33
Pembahasanb. sin (BDG,ABCD)
= sin GPC
=
=
= ⅓√6A B
CD
H
E F
G
Jadi, sin (BDG,ABCD) = ⅓√6
P
GP
GC
x 6a
a
21 .6
6
6
6
21
![Page 34: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/34.jpg)
34
Contoh 2
Limas beraturanT.ABC, panjangrusuk alas 6 cm danpanjang rusuk tegak9 cm. Nilai sinus sudutantara bidang TABdengan bidang ABCadalah….
A
B
C
T
![Page 35: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/35.jpg)
35
Pembahasan
•sin (TAB,ABC)= sin (TP,PC)= sin TPC•TC = 9 cm, BP = 3 cm•PC =
=•PT =
=
A
B
C
T
P 2236
cm 332722
39
cm 3672
![Page 36: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/36.jpg)
36
• Lihat ∆ TPCPT = 6√2, PC = 3√3
Aturan cosinusTC2 = TP2 + PC2 – 2TP.TC.cos TPC
81 = 72 + 27 – 2.6√2.3√3.cos TPC
36√6.cos TPC = 99 – 81
36√6.cos TPC = 18
cos TPC =
=
A
B
C
T
P2 1
62
1
6
6x
12
6
![Page 37: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/37.jpg)
37
• Lihat ∆ TPC
cos P =
Maka diperoleh
Sin P =
Jadi sinus (TAB,ABC)
=
12
6
12
√6
6 144 -
P 138
12
138
12
138
![Page 38: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/38.jpg)
38
Contoh 3Diketahui kubusABCD.EFGH, pan-jang rusuk 4 cmTitik P dan Qberturut-turutdi tengah-tengahAB dan AD.
A B
CD
H
E F
G
Sudut antara bidang FHQP dan bi-
dang AFH adalah . Nilai cos =…
4 cm
P
Q
![Page 39: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/39.jpg)
39
Pembahasan• (FHQP,AFH)
= (KL,KA)= AKL =
• AK = ½a√6 = 2√6• AL = LM = ¼ AC
= ¼a√2 = √2• KL =
==3√2
A B
CD
H
E F
G4 cm
P
Q
K
L M22
MLKM
18242
![Page 40: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/40.jpg)
40
Pembahasan• AK = 2√6 , AL = √2KL = 3√2
Aturan Cosinus:AL2 = AK2 + KL2 – 2AK.KLcos
2 = 24 + 18 – 2.2√6.3√2.cos24√3.cos = 42 – 2
24√3.cos = 40cos =
K
L MA
Jadi nilai cos = 39
5
39
5
![Page 41: Dimensi tiga-proyeksi-sudut](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042506/55ade44b1a28abcc6e8b462e/html5/thumbnails/41.jpg)
41
SELAMAT BELAJAR