JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2012) 1-4

1

Abstrak— Graf merupakan pasangan (V,E) dimana V himpunan simpul tak kosong dan E himpunan sisi, yaitu pasangan simpul dari V. Jika graf G adalah graf terhubung, jarak antara dua simpul u dan v di graf G, d(u,v), adalah panjang lintasan terpendek diantara keduanya. Untuk himpunan terurut W= {w1, w2,...., wk} dari simpul-simpul dalam graf terhubung G dan simpul v pada V(G), representasi dari v terhadap W adalah k-vektor, dengan r(v|W) = (d(v,w1), d(v,w2),....., d(v,wk)) untuk setiap simpul v pada V(G) berbeda, maka W disebut himpunan pembeda dari G. Kardinalitas minimum dari suatu himpunan pembeda disebut dimensi metrik dari G dinotasikan dengan dim(G). Pada Tugas Akhir ini dilakukan analisis dimensi metrik terhadap pohon dengan subkelas graf ulat teratur, graf kembang api teratur dan graf pohon pisang teratur. Dari analisis yang telah dilakukan diperoleh dimensi metrik graf ulat teratur, dim( Cm,n ), adalah m ( n – 1 ) untuk 1m dan 2n , untuk dimensi metrik graf kembang api teratur, dim( Fm,n ), adalah n untuk m = 1 dan 2n , dim( Fm,n ) adalah m ( n - 1 ) untuk 2, nm dan dimensi metrik graf pohon pisang teratur, dim( Bm,n ), adalah ( n – 1 ) untuk m = 1 dan 3n , dim( Bm,n ), adalah m ( n – 2 ) untuk 2m dan 3n .

Kata Kunci— himpunan pembeda, dimensi metrik, graf ulat,

graf kembang api, graf pohon pisang.

I. PENDAHULUAN EORI GRAF merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang sangat bermanfaat untuk

membantu menyelesaiakan suatu permasalahan dalam kehidupan nyata. Dengan merepresentasikan permasalahan dalam kehidupan nyata ke dalam bentuk graf, suatu permasalahan akan lebih mudah dimengerti dan lebih sederhana sehingga lebih mudah mencari solusi dari setiap permasalahan tersebut. Beberapa contoh permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang dapat direpresentasikan sebagai masalah yang berkaitan dengan teori graf, misalnya masalah penjadwalan dengan pewarnaan simpul graf, penggambaran struktur organisasi, penggambaran struktur kimia.

Graf merupakan pasangan (V;E) dengan V himpunan simpul tak kosong dan E himpunan sisi, yaitu pasangan simpul dari V . Graf biasa dinotasikan dengan G. Setiap sisi menghubungkan tepat dua simpul, dan setiap simpul dapat memiliki banyak sisi yang menghubungkan dengan simpul

yang lainnya. Salah satu kajian dalam teori graf adalah dimensi metric [2].

Dimensi metrik pertama kali dikenalkan oleh Harary dan Melter pada tahun 1966, kajian tentang dimensi metrik menjadi sebuah complate problem artinya tidak mudah untuk mendapatkan dimensi metrik dari suatu graf bentuk tertentu. Oleh karenanya untuk mendapatkan dimensi metrik bentuk graf tertentu ataupun kelas tertentu dilakukan analisis dari subkelas terlebih dahulu agar lebih mudah mencari dimensi metrik dari graf secara umum. Untuk simpul u dan v dalam graf terhubung G, jarak d (u,v) adalah panjang dari lintasan terpendek antara u dan v pada G. Untuk himpunan terurut W = ( w1, w2,..., wk ) dari simpul-simpul dalam graf terhubung G dan simpul v pada G, adalah vektor-k (pasangan k-tuple), r(v|W) = ( d (v;w1), d (v;w2),..., d (v;wk ) ) menunjukkan representasi dari v pada W. Himpunan W dinamakan himpunan pembeda (resolving set) G jika simpul-simpul G mempunyai representasi berbeda. Kardinalitas minimum dari himpunan pembeda disebut dimensi metrik dari G. Dan dinotasikan dengan dim (G) [1].

Pada tahun 2009, Johanes melakukan penelitian tentang dimensi metrik dari pengembangan graf kincir dengan pola K1 + mKn dengan n ≥3 dan m ≥ 2. Dari analisis yang telah dilakukan diperoleh dimensi metrik G, dim(G) adalah m ( n – 1 ) untuk n ≥3 dan m ≥ 2 bilangan positif [2].

Sejauh ini dimensi metrik pada graf ulat Cm,n dan graf kembang api Fm,n serta graf pohon pisang Bm,n belum ditemukan, oleh karena itu pada Tugas Akhir ini akan dilakukan analisa dimensi metrik pohon khususnya graf ulat Cm,n dan graf kembang api Fm,n serta graf pohon pisang Bm,n..

II. TINJAUAN PUSTAKA A. Graf Bintang

Graf bintang adalah graf dengan satu simpul pusat c yang terhubung dengan n simpul anting. Derajat dari simpul c adalah n, sedangkan derajat simpul anting adalah 1. Graf bintang dinotasikan dengan K1,n. Pada Gambar 1 adalah contoh graf bintang [4].

Gambar 1: Graf Bintang K1,10

DIMENSI METRIK GRAF POHON BENTUK TERTENTU

Angga Budi Permana, Darmaji Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111

E-mail : darmaji@matematika.its.ac.id

T

JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2012) 1-4

2

B. Graf Ulat Graf ulat didapatkan dengan menghubungkan simpul

pusat c dari graf bintang secara berurutan. Lintasan yang menghubungkan simpul-simpul anting dari barisan graf bintang disebut simpul backbone dari graf ulat. Jika banyaknya simpul anting sama maka graf tersebut merupakan graf ulat teratur. Dinotasikan dengan Cm,n dengan m adalah jumlah simpul backbone dan n adalah jumlah simpul anting [4]. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar 2.

Gambar 2: Graf Ulat Teratur C2,5

C. Graf Kembang Api

Graf kembang api merupakan salah satu pohon yang mirip dengan graf ulat, perbedaannya terletak pada simpul backbone m yang terhubung dengan simpul anting n dari graf ulat. Sebelum simpul backbone m yang terhubung dengan simpul anting n terdapat satu buah simpul yang menghubungkan simpul backbone dengan simpul anting dari graf ulat. Graf kembang api dapat diperoleh dengan menambahkan sebuah sisi dan sebuah simpul pada setiap simpul backbone yang akan menghubungkan antara simpul backbone dengan simpul daun dari sebuah graf ulat. Dinotasikan dengan Fm,n dengan m adalah jumlah simpul backbone dan n adalah jumlah anting [4]. Pada Gambar 3 adalah contoh graf kembang api teratur.

Gambar 3: Graf Kembang Api F2,4

D. Graf Pohon Pisang Graf pohon pisang Bm,n adalah sebuah graf yang

diperoleh dengan menghubungkan satu simpul anting dari setiap m buah salinan graf bintang K1,n ke sebuah simpul baru yang disebut simpul akar r [3]. Contoh graf pohon pisang dapat dilihat pada Gambar 4.

Gambar 4: Graf Pohon Pisang

E. Jarak Jarak (distance) antara simpul u dan v pada graf G,

dinotasikan dengan d (u,v) adalah panjang lintasan terpendek antara u dan v pada graf G [1]. F. Dimensi Metrik

Untuk simpul u dan v dalam graf terhubung G, jarak d (u,v) adalah panjang dari lintasan terpendek antara u dan v pada G. Untuk himpunan terurut W = ( w1, w2,..., wk ) dari simpul-simpul dalam graf terhubung G dan simpul v pada G, adalah vektor-k (pasangan k-tuple), r(v|W) = ( d (v;w1), d (v;w2),..., d (v;wk ) ) menunjukkan representasi dari v pada W. Himpunan W dinamakan himpunan pembeda (resolving set) G jika simpul-simpul G mempunyai representasi berbeda. Kardinalitas minimum dari himpunan pembeda disebut dimensi metrik dari G. Dan dinotasikan dengan dim (G) [1].

III. PEMBAHASAN DAN HASIL

A. Dimensi Metrik Graf Ulat Cm,n dengan 1m dan 2n Lemma 4.2 Untuk setiap graf ulat teratur Cm,n

sedikitnya ( n -1 ) dengan 1m dan 2n simpul anting pada setiap simpul backbone ke-m pasti merupakan himpunan pembeda W.

Gambar 5: Graf Ulat Teratur Cm,n

Untuk menentukan dimensi metrik graf ulat teratur Cm,n dilakukan pencarian batas bawah dan batas atas. Dengan Lemma 4.2 diperoleh batas bawah sedikitnya ( n – 1) simpul anting anggota himpunan pembeda, oleh karena graf ulat teratur memiliki m simpul backbone maka jelas bahwa batas bawah dim ( Cm,n) = m ( n – 1 ). Untuk menemukan batas atas dimensi metrik graf ulat teratur dilakukan konstruksi, misalkan diambil himpunan pembeda W = {a11, a12,..., a1n-1, a21, a22,..., a2n-1,..., amn-1}, maka diperoleh representasi terhadap W:

r ( a1n | W ) = (2,2,2,...,3,3,3,...,4,4,4...), r ( a2n | W ) = (3,3,3,...,2,2,2,...,3,3,3...), r ( a1n | W ) = (4,4,4,...,3,3,3,...,2,2,2...),

.

.

. r ( amnn| W ) = (...,...,...,...,3,3,3,...,2,2,2,...),

r ( c1 | W ) = (1,1,1,...,2,2,2,...,3,3,3,...), r ( c2 | W ) = (2,2,2,...,1,1,1,...,2,2,2,...), r ( c3 | W ) = (3,3,3,...,2,2,2,...,1,1,1,...),

.

.

. r ( cm | W ) = (...,...,...,...,...,...,...,...,1,1,1),

Dapat dilihat bahwa setiap simpul memiliki representasi yang berbeda terhadap W, dengan demikian batas atas dim ( Cm,n) = m ( n – 1 ).

Teorema 4.1 Jika Cm,n dengan 1m dan 2n merupakan graf ulat teratur maka dim ( Cm,n) = m ( n – 1 ).

Bukti: Dengan menggunakan Lemma 4.2 yaitu sedikitnya ( n – 1 ) simpul anting merupakan himpunan pembeda, karena graf ulat teratur Cm,n mempunyai simpul backbone sebanyak m, maka jelas bahwa batas bawah dim ( Cm,n) = m ( n – 1 ). Sedangkan pada konstruksi sebelumya diperoleh representasi yang berbeda pada setiap himpunan simpul terhadap himpunan pembeda, dengan demikian batas

JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2012) 1-4

3

atas dim ( Cm,n) = m ( n – 1 ). Oleh karena batas atas sama dengan batas bawah, maka dim ( Cm,n) = m ( n – 1 ). B. Dimensi Metrik Graf Kembang Api Fm,n dengan m = 1,

dan 2n Lemma 4.3 Untuk setiap graf kembang api teratur

Fm,n sedikitnya ( n ) dengan m =1 dan 2n simpul anting pada setiap simpul backbone ke-m pasti merupakan himpunan pembeda W.

Gambar 6: Graf Kembang Api Teratur Fm,n

Untuk menentukan dimensi metrik graf kembang api teratur Fm,n dilakukan pencarian batas bawah dan batas atas. Dengan Lemma 4.3 diperoleh batas bawah sedikitnya (n) simpul anting anggota himpunan pembeda, oleh karena graf kembang api teratur memiliki 1 simpul backbone maka jelas bahwa batas bawah dim ( Fm,n) = n. Untuk menemukan batas atas dimensi metrik graf kembang api teratur dilakukan konstruksi, misalkan diambil himpunan pembeda W = { a11, a12,..., a1n }, maka diperoleh representasi terhadap W:

r ( c1 | W ) = (1,1,1,1,...), r ( x1 | W ) = (2,2,2,2,...),

Dapat dilihat bahwa setiap simpul memiliki representasi yang berbeda terhadap W, dengan demikian batas atas dim ( Fm,n) = n.

Teorema 4.2 Jika Fm,n dengan m =1 dan 2n merupakan graf ulat teratur maka dim ( Fm,n) = n. Bukti: Dengan menggunakan Lemma 4.3 yaitu

sedikitnya (n) simpul anting merupakan himpunan pembeda, karena graf kembang api teratur Fm,n mempunyai simpul backbone sebanyak 1, maka jelas bahwa batas bawah dim ( Fm,n) = n. Sedangkan pada konstruksi sebelumya diperoleh representasi yang berbeda pada setiap himpunan simpul terhadap himpunan pembeda, dengan demikian batas atas dim ( Fm,n ) = n. Oleh karena batas atas sama dengan batas bawah, maka dim ( Fm,n) = n. C. Dimensi Metrik Graf kembang Api Teratur Fm,n dengan

m, n ≥ 2 Lemma 4.4 Untuk setiap graf kembang api teratur

Fm,n sedikitnya ( n -1 ) dengan 2, nm simpul anting pada setiap simpul backbone ke-m pasti merupakan himpunan pembeda W.

Gambar 7: Graf Kembang Api Teratur Fm,n

Untuk menentukan dimensi metrik graf kembang api teratur Fm,n dilakukan pencarian batas bawah dan batas atas. Dengan Lemma 4.4 diperoleh batas bawah sedikitnya ( n – 1) simpul anting anggota himpunan pembeda, oleh karena graf kembang api teratur memiliki m simpul backbone maka jelas bahwa batas bawah dim (Fm,n) = m ( n – 1 ). Untuk

menemukan batas atas dimensi metrik graf kembang api teratur dilakukan konstruksi, misalkan diambil himpunan pembeda W = {a11, a12,..., a1n-1, a21, a22,..., a2n-1,..., amn-1}, maka diperoleh representasi terhadap W:

r ( a1n | W ) = (2,2,2,...,5,5,5,...,6,6,6...), r ( a2n | W ) = (5,5,5,...,2,2,2,...,5,5,5...),

.

.

. r ( amn| W ) = (...,...,...,...,5,5,5,...,2,2,2), r ( c1 | W ) = (1,1,1,...,4,4,4,...,5,5,5,...), r ( c2 | W ) = (4,4,4,...,1,1,1,...,4,4,4,...),

.

.

. r ( cm| W ) = (....,....,4,4,4,....,....,1,1,1), r ( x1 | W ) = (2,2,2,...,3,3,3,...,4,4,4,...), r ( x2 | W ) = (3,3,3,...,2,2,2,...,3,3,3,...),

.

.

. r ( xm | W ) = (...,...,...,...,...,...,2,2,2,...),

Dapat dilihat bahwa setiap simpul memiliki representasi yang berbeda terhadap W, dengan demikian batas atas dim ( Fm,n ) = m ( n – 1 ).

Teorema 4.4 Jika Fm,n dengan 2, nm merupakan graf kembang api teratur maka dim ( Fm,n ) = m ( n – 1 ).

Bukti: Dengan menggunakan Lemma 4.4 yaitu sedikitnya ( n – 1 ) simpul anting merupakan himpunan pembeda, karena graf kembang api teratur Fm,n mempunyai simpul backbone sebanyak m, maka jelas bahwa batas bawah dim ( Fm,n ) = m ( n – 1 ). Sedangkan pada konstruksi sebelumya diperoleh representasi yang berbeda pada setiap himpunan simpul terhadap himpunan pembeda, dengan demikian batas atas dim ( Fm,n ) = m ( n – 1 ). Oleh karena batas atas sama dengan batas bawah, maka dim ( Fm,n ) = m ( n – 1 ). D. Dimensi Metrik Graf Pohon Pisang Teratur Bm,n dengan

m = 1 dan 3n . Lemma 4.5 Untuk setiap graf pohon pisang teratur

Bm,n sedikitnya ( n - 1 ) dengan m =1 dan 3n simpul anting pada setiap simpul backbone ke-m pasti merupakan himpunan pembeda W.

Gambar 8: Graf Pohon Pisang Teratur Bm,n

Untuk menentukan dimensi metrik graf pohon pisang teratur Bm,n dilakukan pencarian batas bawah dan batas atas. Dengan Lemma 4.5 diperoleh batas bawah sedikitnya (n - 1) simpul anting anggota himpunan pembeda, oleh karena graf pohon pisang teratur memiliki 1 simpul backbone maka jelas bahwa batas bawah dim ( Bm,n) = ( n – 1). Untuk menemukan batas atas dimensi metrik graf pohon pisang teratur dilakukan konstruksi, misalkan diambil himpunan pembeda W = { a11, a12,..., a1n-1 }, maka diperoleh representasi terhadap W:

r ( c1 | W ) = (1,1,1,1,...), r ( x1 | W ) = (2,2,2,2,...),

JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2012) 1-4

4

r ( x1 | W ) = (3,3,3,3,...), Dapat dilihat bahwa setiap simpul memiliki representasi yang berbeda terhadap W, dengan demikian batas atas dim ( Bm,n ) = ( n – 1).

Teorema 4.4 Jika Bm,n dengan m =1 dan 3n merupakan graf kembang api teratur maka dim ( Bm,n

) = ( n – 1 ). Bukti: Dengan menggunakan Lemma 4.5 yaitu

sedikitnya (n - 1) simpul anting merupakan himpunan pembeda, karena graf pohon pisang teratur Bm,n mempunyai simpul backbone sebanyak 1, maka jelas bahwa batas bawah dim ( Bm,n) = ( n – 1 ). Sedangkan pada konstruksi sebelumya diperoleh representasi yang berbeda pada setiap himpunan simpul terhadap himpunan pembeda, dengan demikian batas atas dim ( Bm,n ) = ( n - 1). Oleh karena batas atas sama dengan batas bawah, maka dim ( Bm,n) = ( n - 1). E. Dimensi Metrik Graf Pohon Pisang Teratur Bm,n dengan

m ≥ 2 dan n ≥ 3. Lemma 4.6 Untuk setiap graf pohon pisang teratur

Bm,n sedikitnya ( n - 2 ) dengan 2m dan 3n simpul anting pada setiap simpul backbone ke-m pasti merupakan himpunan pembeda W.

Gambar 9: Graf Pohon Pisang Teratur Bm,n Untuk menentukan dimensi metrik graf pohon pisang teratur Bm,n dilakukan pencarian batas bawah dan batas atas. Dengan Lemma 4.6 diperoleh batas bawah sedikitnya ( n – 2) simpul anting anggota himpunan pembeda, oleh karena graf pohon pisang teratur memiliki m simpul backbone, maka jelas bahwa batas bawah dim (Bm,n) = m ( n – 2 ). Untuk menemukan batas atas dimensi metrik graf kembang api teratur dilakukan konstruksi, misalkan diambil himpunan pembeda W = {a11, a12,..., a1n-2, a21, a22,..., a2n-2,..., amn-2}, maka diperoleh representasi terhadap W:

r ( a1n-1 | W ) = (2,2,2,...,6,6,6,...,6,6,6,...), r ( a2n-1 | W ) = (6,6,6,...,2,2,2,...,6,6,6,...),

.

.

. r ( amn-1| W ) = (...,....,....,....,....,...,2,2,2), r ( c1 | W ) = (1,1,1,...,5,5,5,...,5,5,5,...), r ( c2 | W ) = (5,5,5,...,2,2,2,...,5,5,5,...),

.

.

. r ( cm| W ) = (...,...,...,...,...,...,...,...,2,2,2), r ( x1 | W ) = (2,2,2,...,4,4,4,...,4,4,4,...), r ( x2 | W ) = (4,4,4,...,2,2,2,...,4,4,4,...),

.

.

. r ( xm | W ) = (...,...,....,....,...,...,...,...,2,2,2),

Dapat dilihat bahwa setiap simpul memiliki representasi yang berbeda terhadap W, dengan demikian batas atas dim ( Bm,n ) = m ( n – 2).

Teorema 4.4 Jika Bm,n dengan 2m dan 3n merupakan graf kembang api teratur maka dim ( Bm,n ) = m ( n – 2 ).

Bukti: Dengan menggunakan Lemma 4.6 yaitu sedikitnya (n - 2) simpul anting merupakan himpunan pembeda, karena graf pohon pisang teratur Bm,n mempunyai simpul backbone sebanyak m, maka jelas bahwa batas bawah dim ( Bm,n) = m ( n –2 ). Sedangkan pada konstruksi sebelumya diperoleh representasi yang berbeda pada setiap himpunan simpul terhadap himpunan pembeda, dengan demikian batas atas dim ( Bm,n ) = m ( n –2 ). Oleh karena batas atas sama dengan batas bawah, maka dim ( Bm,n) = m ( n –2 ).

IV. SIMPULAN Berdasarkan keseluruhan hasil analisa dapat

diperoleh kesimpulan sebagai berikut : a. Dimensi metrik graf ulat teratur Cm,n adalah m ( n – 1)

dengan 1m dan 2n . b. Dimensi metrik graf kembang api teratur Fm,n adalah n

dengan m=1 dan 2n . c. Dimensi metrik graf kembang api teratur Fm,n adalah m ( n

– 1) dengan 2, nm . d. Dimensi metrik graf pohon pisang teratur Bm,n adalah ( n –

1) dengan m = 1 dan 3n . e. Dimensi metrik graf pohon pisang teratur Bm,n adalah m (

n – 2) dengan 2m dan 3n .

DAFTAR PUSTAKA [1] Harary dan Melter. (1976). ―On the Metric Dimension of Graph‖ .

Combinatoria. Volume 2 Pages 1991-1995, Wesley Publishing, Inc. [2] Johanes, P. (2009). ―Dimensi Metrik Pada Pengembangan Graph

Kincir Dengan Pola K1+mKn‖. Tugas Akhir, Jurusan Matematika ITS: Surabaya.

[3] Weisstein, Eric, W. (2011). Banana Tree. From Math Word A Wolfram Web Resource. Http://mathword.wolfram.com/BananaTree.html.

[4] Wimardian, P. (2010). ―Pelabelan Harmonis Pada Kombinasi Gabungan Graph Caterpillar dan Graph Firecracker Teratur. Thesis, Jurusan Matematika Universitas Indonesia: Jakarta