011000010010000001000000010011110101001100100000010010000111001001110110011011110110101001100101001000000100001001100001011000100110100111100110001000000100001001110010011000010110111001101011

011010011110011000100000010000100111001001100001011011100110101101101111001000000100101001100101011100100110010101101110000000000100010001101001011001110110100101110100011000010110110001101110

011000010010000001101111011000100111001001100001011001000110001001100001001000000111001101101001011001110110111001100001011011000110000100100000010000000100111101010011001000000100100001110010

010001000110100101100111011010010111010001100001011011000110111001100001001000000110111101100010011100100110000101100100011000100110000100100000011100110110100101100111011011100110000101101100

011011110010000001001010011001010111001001100101011011100000000001000100011010010110011101101001011101000110000101101100011011100110000100100000011011110110001001110010011000010110010001100010

011000010010000001110011011010010110011101101110011000010110110001100001001000000100000001001111010100110010000001001000011100100111011001101111011010100110010100100000010000100110000101100010

011101100110111101101010011001010010000001000010011000010110001001101001111001100010000001000010011100100110000101101110011010110110111100100000010010100110010101110010011001010110111000000000

Digitalna obradba signala

DOS

Branko JerenBranko Jeren

Digitalna obradba signala - DOS

• Počeci digitalne obradbe signala sežu u sedamnaesto stoljeće– Numeričke metode integriranja– Numeričke metode interpolacije

• Šezdesetih godina, razvojem digitalnih računala, digitalna obradba signala postaje samostalna disciplina i počinje pravi razvoj– Tada uglavnom vezana uz simulaciju metoda

analogne obradbe signala

Obradba analognih signala

• Obradba analognih signala– pasivnim mrežama– aktivnim analognim mrežama

– digitalnim sustavima

Analogniprocesor

Analogni

izlaz

Analogni

ulaz

Sampleand Hold A/D Digitalni

procesor D/ARekonstruk-

cijskifiltar

Analogni

ulaz

Analogni

izlaz

Anti-Aliasing

filtar

Prednosti DOS (DSP)

• Nepostojanje pomaka (drift-a) karakteristika realiziranog sustava– parametri sustava su fiksirani tj. definirani su

u binarnim koeficijentima pohranjenim u memoriju

– zato su oni nezavisni od okoliša i parametara kao što su to temperatura, vlažnost itd.

– starenje elemenata nema utjecaj

Prednosti DOS (DSP)

• Poboljšana razina kvalitete– kvaliteta obradbe limitirana samo

ekonomskim parametrima– željena kvaliteta postiže se povećanjem

broja bita u prikazu podataka/koeficijenata– povećanje za 1 bit u prikazu rezultata

pokazuje 6 dB poboljšanje SNR

Prednosti DOS (DSP)

• Reproducibilnost– tolerancije komponenti ne utječu na

karakteristike sustava– nepotrebna podešavanja prigodom

proizvodnje– nepotrebna podešavanja za vrijeme života

sustava

Prednosti DOS (DSP)

• jednostavna implementacija novih i složenih algoritama

• jednostavni razvoj i implementacija adaptivnih, programabilnih filtara, itd.

• realizacija jednim chip-om korištenjem VLSI tehnologije

Prednosti DOS (DSP)

• Multipleksiranje– ista oprema može biti istovremeno korištena

od više signala s očiglednim financijskim prednostima za svaku funkciju

• Modularnost– koriste se standardni digitalni sklopovi za

realizaciju

Ograničenja DOS (DSP)

• Niža pouzdanost– digitalni sustavi su aktivni uređaji i time koriste

više energije i manje su pouzdani– moguća kompenzacija pouzdanosti

primjenom automatskog nadzora digitalnog sustava

Ograničenja DOS (DSP)

• Ograničeno frekvencijsko područje– tehnološki ograničeno na vrijednosti koje

odgovaraju vrijednosti određenoj maksimalnim numeričkim mogućnostima rada u stvarnom vremenu procesora

• Dodatna kompleksnost u obradbi analognih signala– A/D and D/A pretvornici povećavaju

kompleksnost ukupnog sustava za obradbu

Uvod u digitalne filtre

H zz z

z z( )

, , ,, ,

=+ ⋅ + ⋅

− ⋅ + ⋅

− −

− −

0 22 0 43 0 221 0 35 0 33

1 2

1 2

Primjer diskretnog sustava drugog Primjer diskretnog sustava drugog redareda

+–

Sum

-K-

a1

-K-

b11/z

-K-

b2

-K-

b0-K-

1/a01/z

-K-

a2

+++Sum

IzlazUlaz –

PRIMJER 1. – MATLABfilt.m

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

AmplitudnoAmplitudno--frekvencijska karakteristika frekvencijska karakteristika sustavasustava

Amplitudno-frekvencijska karakteristika sustava ...

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Fazno-frekvencijska karakteristika sustava

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

Impulsni odziv sustava ...

0 5 10 15 20 25 30-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Idealni filtriIdealni filtar propušta komponente signala

određenih frekvencija bez distorzije, a komponente na ostalim frekvencijama idealno prigušuje.

Prema tome, frekvencijska karakteristika ima vrijednost jednaku jedan ili nula.

Područje frekvencija u kojima frekvencijska karakteristika ima vrijednost jedan naziva se propusni pojas, a područje frekvencija gdje je frekvencijska karakteristika jednaka nuli je pojas gušenja.

Idealni filtri4 osnovna tipa filtra:

niski propustω

π

HNP(ω)

−π ωg−ωg

visoki propust

ωπ

HVP(ω)

−π ωg−ωg

pojasni propust

ωπ

HPP(ω)

−π ωg1−ωg1−ωg2 ωg2

pojasna brana

ωπ

HPB(ω)

−π ωg1−ωg1−ωg2 ωg2

Idealni niskopropusni filtarHNP(ω)

ωπ−π ωg−ωg

frekvencijska karakteristika

HNP

g

g

( )ωω ω

ω ω=

≤

>

⎧⎨⎪

⎩⎪

1

0

impulsni odziv

[ ]sing g

NPg

nh n

nω ωπ ω

= ⋅

hNP(n)

n

Realni digitalni filtri

Idealni filtri imaju nekauzalan odziv i prema tome su neostvarivi.

Važan korak pri razvoju digitalnog filtra je određivanje ostvarive prijenosne karakteristike H(z)koja aproksimira željenu frekvencijsku karakteristiku.

Specifikacija karakteristika digitalnog filtra

π ωωsωp

δs

1+δp

1- δp

|H(ejω)|

propusni pojas pojas gušenja

prijelaznipojas

valovitost u propusnom pojasu

valovitost u pojasu gušenja

granična frekvencija propusnog pojasa granična frekvencija pojasa gušenja

propusni pojas: ( ) p1 1 za jp pH e ωδ δ ω ω− ≤ ≤ + ≤

pojas gušenja: ( ) za js sH e ω δ ω ω π≤ ≤ ≤

Specifikacija karakteristika digitalnog filtra

Često se prijenosna karakteristika filtra zadaje u logaritamskom mjerilu:

10( ) 20log ( )jH H e ωω =−Tada jevalovitost u propusnom pojasu α δp p=− −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟20 110log dB

minimalno gušenje u pojasu gušenja α δs s=− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟20 10log dB

Granične frekvencije područja propuštanja i područja gušenja se računaju na slijedeći način:

ωss

T

ff=2πiωp

p

T

ff=

2π

gdje je fT frekvencija otipkavanja, a fp i fs su granične frekvencije pojasa propuštanja i pojasa gušenja u Hz.

Specifikacija digitalnog filtra -alternativno označavanje

π ωωsωp

1

|H(ejω)|

1A

11 2+ε

Maksimalna vrijednost amplitudne karakteristike je jedan.

Maksimalna devijacija u propusnom pojasu je , te maksimalno gušenje upropusnom pojasu iznosi .

1 1 2/ +ε

αmax log= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟20 110 ε2 dB

Maksimum amplitudne karakteristike u pojasu gušenja je 1/A.

Kako izračunati prijenosnu funkciju?

%primjer projektiranja eliptickog filtran=input('Upiši red filtra N=');Rp=input('Upiši valovitost u pojasu propustanja Rp=');Rs=input('Upiši valovitost u pojasu gusenja Rs=');Wg=input('Upiši granicnu frekvenciju Wg=');

[b,a] = ellip(n,Rp,Rs,Wg);[q w] = freqz(b,a,1024);

plot(w/pi, 20*log10(abs(q)));grid;pauseplot(w/pi, abs(q));grid;

H zz z

z z( )

, , ,, ,

=+ ⋅ + ⋅

− ⋅ + ⋅

− −

− −

0 22 0 43 0 221 0 35 0 33

1 2

1 2

a = 1.0000 -0.3507 0.3307b = 0.2197 0.4341 0.2197za n=2; Rp=1; Rs=50; Wg=.4

PRIMJER 2. – MATLABelipticki_primjer.m

PRIMJER 3. – MATLABfiltdemo

Prijenosna funkcija (IIR)

H zz z z z z z z z

z z z z z z z z( )

, , , , , , , , ,, , , , , , , ,

=+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

− ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

− − − − − − − −

− − − − − − − −

0 06 0 30 0 78 1 30 1 53 1 30 0 78 0 30 0 061 0 95 1 74 1 20 0 92 0 41 0 15 0 03 0 004

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8

Prijenosna funkcija (FIR)

H z b zii

i( ) = ⋅ −∑

1. 0.00042. -0.00073. -0.00044. 0.00155. 0.00026. -0.00247. 0.00078. 0.00349. -0.002310 -0.004011 0.004712 0.003813 -0.007814 -0.002315 0.011416 -0.001017 -0.014818 0.006719 0.017220 -0.0152

21 -0.017622 0.027023 0.014224 -0.043225 -0.004226 0.067327 -0.020628 -0.116029 0.110330 0.483931 0.483932 0.110333 -0.116034 -0.020635 0.067336 -0.004237 -0.043238 0.014239 0.027040 -0.0176

41 -0.015242 0.017243 0.006744 -0.014845 -0.001046 0.011447 -0.002348 -0.007849 0.003850 0.004751 -0.004052 -0.002353 0.003454 0.000755 -0.002456 0.000257 0.001558 -0.000459 -0.000760 0.0004

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Usporedba IIR / FIR

Nerekurzivni digitalni filtri

Primjer - aritmetička sredina

1 2 Ms

u u uuM

+ + +=

…

Fu us

Interesantan je sustav koji služi za “glačanje”(usrednjavanje) slučajnih varijacija u signalu.

M-point moving average system

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 1u n u n u n u n My n

M+ − + − + + − +

=…

ili

[ ] [ ]1

0

1M

iy n u n i

M

−

=

= ⋅ −∑

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

1 1

0 0

1M M

i iy n u n i h i u n i

M

h i

− −

= =

= − = ⋅ −∑ ∑

Sustav ima konačan impulsni odziv - FIR sustav

Primjer - MATLAB

0 10 20 30 40 5001234567

vremenski indeks n

ampl

ituda

orginalni signal

0 10 20 30 40 50-0.4

-0.20

0.20.4

vremenski indeks n

ampl

ituda

šum

Primjer - nastavak

orginalni signalšumsignal + šum

0 10 20 30 40 50

0

2

4

6

8

vremenski indeks n

ampl

ituda

y[n] - izlaz iz movingaverage filtra

orginalni signal

0 10 20 30 40 5001234567

vremenski indeks n

ampl

ituda

FIR sustav za M=2

Pogledajmo o kojem se sustavu radi:

Uzmimo M=2

[ ] [ ] [ ]1

0iy n h i u n i

=

= ⋅ − =∑ [ ] 1 12

h iM

= = =

[ ]1

0

12i

u n i=

= ⋅ − =∑ [ ]1

0

12 i

u n i=

⋅ − =∑

FIR sustav za M=2 ...

[ ] [ ]1

0

12 i

y n u n i=

= ⋅ − =∑ [ ] j nu n en

ω=−∞ ≤ ≤ ∞

( )( )112

j nj ne e ωω −= + = ( )1 12

j n je eω ω−+ =

( )1 12

j j ne eω ω−= + ⋅

( )H e jω

FIR sustav za M=2 ...

Isto pomoću Z-transformacije

( )Y z z U z( ) ( )= + ⋅−12

1 1

( )H z z e j= ω ( )H e jω

FIR sustav za M=2 ...

( ) ( )H e ej jω ω= + =−12

1

= ⋅ + ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

− − −12

2 2 2 2e e e ej j j jω ω ω ω

= ⋅ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

− −e e e

j j jω ω ω2 2 21

2

cos ω2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

cos ω ω

22⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ ⋅

−e

j

Niskopropusni filtar

FIR sustav za M=2 ...

0 0.2π 0.4π 0.6π 0.8π π0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

frekvencija

Am

plitu

da

Amplitudna karakteristika, M=2

( )H e ej jωωω= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ ⋅

−cos

22

-80

-60

-40

-20

0

Faza

u s

tupn

jevi

ma

Fazna karakteristika, M=2

0 0.2π 0.4π 0.6π 0.8π π

frekvencija

FIR sustav za proizvoljni M

Za proizvoljni M vrijedi:

( ) [ ]0

j j n

nH e h n eω ω

∞−

=

= ⋅ =∑ [ ]1 , 0 1

0, inače

n Mh n M

⎧ ≤ ≤ −⎪= ⎨⎪⎩

=

1

0

1 Mj n

n

eM

ω−

−

=

= =∑ ........

( )= ⋅

⋅− ⋅ − ⋅1 2

2

12

M

M

ej Msin

sin

ω

ω

ω

( ) ( )H e

M

M

ej j Mωω

ω

ω= ⋅

⋅− ⋅ − ⋅1 2

2

12

sin

sin

FIR sustav za proizvoljni M ...

Amplitudnakarakteristika

( )H eM

Mjω

ω

ω= ⋅

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 2

2

sin

sin

Faznakarakteristika

( ) ( ) ∑⎥⎦⎥

⎢⎣⎢

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−ωμ⋅π+ω⋅−

−=ωθ2

0

221

M

i MiM

step ugdje je ( )μ ω ω

Amplitudno-faznakarakteristika

FIR sustav za proizvoljni M ...

0 0.2π 0.4π 0.6π 0.8π π0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Am

plitu

da

frekvencija

Amplitudna karakteristika

M=5

M=14

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Faza

u s

tupn

jevi

ma

Fazna karakteristika

M=5

M=14

0 0.2π 0.4π 0.6π 0.8π π

frekvencija

Grupno kašnjenje

Daljnji parametar za karakterizaciju filtara je grupno kašnjenje.

mjera linearnosti fazne funkcije

( ) ( )τ ωθ ωω

= −d

dc , gdje je ( )θ ωc faza

za prije navedeni primjer:

( )τ ω =−M 1

2

Projektiranje FIR filtra

Pretpostavimo signal koji je suma kosinusnih signala[ ] [ ] [ ] ( ) ( ){ } ( )1 2 co s 0 ,1 co s 0, 4u n u n u n n n nμ= + = ⋅ + ⋅

Pretpostavimo da želimo sustav (filtar) koji će:- gušiti signal u1[n] (kosinus kutne frekv. 0,1 rad/sec)- propuštati signal u2[n] (kosinus kutne frekv. 0,4rad/sec)

Radi jednostavnosti uzmimo:- red filtra N=2 (tri uzorka impulsnog odziva)- impulsni odziv filtra [ ] [ ] [ ]0 2 1h h hα β= = ∧ =

Projektiranje FIR filtra ...

Jednadžba diferencija ovog sustava je:[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0 1 1 2 2y n h u n h u n h u n= ⋅ + ⋅ − + ⋅ − =

[ ] [ ] [ ]1 2u n u n u nα β α= ⋅ + ⋅ − + ⋅ −

a pripadna frekvencijska karakteristika( ) [ ] [ ] [ ]H e h h e h ej j jω ω ω= + ⋅ + ⋅ =− −0 1 2 2

( )= ⋅ + + ⋅ =− −α βω ω1 2e ej j

= ⋅+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟⋅ + ⋅ =

−− −2

2α β

ω ωω ωe e e e

j jj j

( )( )= ⋅ + ⋅ −2α ω β ωcos e j

Projektiranje FIR filtra ...

Amplitudna i fazna karakteristika filtra su( ) ( )H e jω α ω β= ⋅ +2 cos

( )θ ω ω= −

Iz zahtjeva na filtar određujemo α i β( ) ( )H e j⋅ = ⋅ + =0 1 2 0 1 0, cos ,α β

( ) ( )H e j⋅ = ⋅ + =0 4 2 0 4 1, cos ,α β } α = −6 76195,β = 13 456335,

što daje[ ] [ ] [ ]( ) [ ]6, 76195 2 13, 456335 1y n u n u n u n= − ⋅ + − + ⋅ −

Projektiranje FIR filtra ...Uz pobudu: [ ] ( ) ( ){ } ( )cos 0,1 cos 0, 4u n n n nμ= ⋅ + ⋅

0 20 40 60 80 100-2

-1

0

1

2

3

4

Am

plitu

da

Vremenski indeks n

Ulazni signali

Ulaz u1[n]Ulaz u2[n]Ulaz u[n]=u1[n]+u2[n]

-2

-1

0

1

2

3

4

Am

plitu

da

Ulazni signal / filtrirani signal

Ulaz u[n]=u1[n]+u2[n]

Izlaz y[n]

0 20 40 60 80 100Vremenski indeks n