DiagramasdefaseDanielRicardoCasasHernandez*GonzaloCombitaMora**ResumenEstedocumentobuscaservircomosoportedeestudioalaacade-mia en general, con especial enfasis en los estudiantes, sobre el estudiode la din amica en economa por medio de una herramienta matem aticacomolosonlosdiagramasdefase.Paraellosehaceunapresentaci onsobreelsistemadeecuacionesdiferencialeslinealesynolinealesjun-toasuspropiedades. Finalmente, seabordaunaaplicacionpracticadesdelamacroeconomadondesepresentaelprocesodeacumulacioncapitalistadesdeelenfoquedeQdeTobinenlaBolsadevalores.Palabras clave: Inversi on, macroeconoma, metodos matem aticos en economaJEL:C60,E20,E22Introducci onAtravesdelosdiagramasdefaseserepresentanecuacionesdiferencialesysistemasdeecuacionesdiferenciales, as comoecuacionesendiferenciaysistemasdeecuacionesendiferencia. Enestedocumentosepresentaranlosdiagramasdefasedesistemasdeecuacionesdiferencialesyalgunasaplica-ciones macroecon omicas; de manera especial, los sistemas de ecuaciones dife-renciales que no se pueden resolver por medio de metodos analticos usuales;en estos diagramas, adem as de determinar los puntos de equilibrio se analizalaestabilidadatravesdeltiempoodelargoplazo.*Profesor del programa de economa en la Universidad de La Salle y Escuela ColombianadeIngenieraJulioGaravito**ProfesordelprogramadeeconomaenlaUniversidaddeLaSalle1Unodelosobjetivosdelarepresentacionatravesdediagramasdefasees determinar el tipodeequilibriodel sistema, por mediodetrayectorias(x(t), y(t))alrededordelpuntodeequilibrio.Deestamaneralosdiagramasreejanloscomportamientoscualitativosdecadapuntodeequilibrio.Los sistemas de ecuaciones representables coneste tipode diagramassonlosaut onomos,esdecirlosquenodependendirectamentedelavariableindependiente; en estos sistemas no aparece la variable independiente explci-tamenteenlasecuacionesqueformanelsistema.Porejemplo x = 3x + 2esaut onomo,mientrasque x = 3x + 2tnoesaut onomo.SistemasdeecuacionesdiferencialeslinealesSeiniciaestasecci onconunsistemadedosecuacionesdiferenciales, li-nealesdeprimerordenaut onomas:.x = f(x, y) = a1x + a2y + a3.y= g(x, y) = b1x + b2y + b3.Dondex, ysonvariablesdependientes,yteslavariableindependiente.Una soluci on del sistema es una pareja

xy

=

x(t)y(t)

(una matriz colum-na)quesatisfaceelsistema.Denici on1. Lospuntosdeequilibrioest andonde x = y= 0.Paraelsistemalinealendesarrollosonlasparejasordenadas(x, y)talesque:0 = f(x, y) = a1x + a2y + a30 = g(x, y) = b1x + b2y + b3.Esdecir,sonlasparejasordenadas(x, y)quesatisfacen:a1x + a2y + a3= 0b1x + b2y + b3= 0.2Estesistematienesoluci onsi

a1a2b1b2

= 0.Porque?Sisuponemosque:b1 0,b2 0,a1 0,a2 0,enelanteriorsistema,entonces(xo, yo)eselpuntodeequilibriodelsistema.xo=b3a2a3b2a1b2a2b1yo=a1b3 + b1a3a1b2a2b1yx x = 0 y= 0xoyoDenici on2.Las lneas en donde x = y= 0 son conjuntos de puntos en losquelasvariablesx(t), y(t)nocambianconrespectoalavariableindepen-dientet(enalgunoslibroslasllamanisoclinasdelsistema).Ycorrespondenconlospuntosdeequilibriodecadaunadelasecuacionesdel sistema.Si x = 0, entonces f(x, y) = 0 contiene todos los puntos de equilibrio parax.Adem as,sisobrelalnea x = 0,entoncesaunladoespositivo( x > 0)ydelotronegativo( x < 0).Recprocamenteparalalneadefase y= 0.Enelpresenteejemplosesupondr alasiguientedistribuci on:3yx x = 0 y= 0++++xoyoEnlaregiondel planoenlaque x>0, xaumentaal incrementarset; si y 0),entonceselpuntodeequilibrioesinestable.7Mientras que si la parte real de los valores propio es cero (a=0), entonces lastrayectoriassoncircunferenciasoelipsesquenoconvergennidivergenhaciaelpuntodeequilibrio.SistemasdeecuacionesdiferencialesnolinealesSi el sistema de ecuaciones no es lineal, el procedimiento es similar, salvoque las lneas de fase dejan de ser rectas y se convierten en curvas; eso depen-dedelarelaci onqueresultedehacer x=0y y=0.Tambien,eldiagramadeja de tener relaci on con valores propios, ya que el sistema no lineal no tienerepresentacionmatricial.Adem as de la tabulaci on, hay otro procedimiento para determinar el signoa cada lado de las lneas x = 0 o y= 0. Calculando el signo ded xdxse determinalarelaci onenel crucedelalnea xconel ejex. Sid xdx>0, entonces x=0pasade a+alaumentarx.Ejemplo2. x = y x2+ 3 y= y x + 1.Laslneasdefase(isoclinas)seobtienen,nuevamentehaciendo x = y=0. Portanto, si x=0, entoncesy=x2 3. Si y=0, entoncesy=x 1.As, lospuntosdeequilibrioest anen(1, 2)y(2, 1). Tabulandoen(0, 0)setieneque x = 3 > 0y y= 1 > 0.Portantoen(0,0) x, ysonpositivos.8yx y= 0 x = 0+ +++Lospuntoscrticosseobtienendel sistema:y= x23y= x 1x23 = x 1x2x 2 = 0x =1 1 + 82=1 32As, x=42yx= 1. Portantolospuntosdeequilibrioest anen(x, y)=(1, 2)y(x, y) = (2, 1).Ambospuntosdeequilibriosoninestables.Tabulando en (0, 0) se tiene que x = 3 > 0 y y= 1 > 0. As, donde est a (0, 0),entonces x, ysonpositivos.9Problemas1. Hallartodoslospuntosdeequilibrioyclasicarlosparalossistemas x = (x + xy), y= x2y y. y= y(x 1), x = y + x. x = 2 + y x,xy 1 y= 0.AplicacionespracticasLosdiagramasdefaseseempleanenlamacroeconomademanerarecu-rrentepararecogerladin amicadedosvariables,susinteraccionesyajustesatravesdel tiempo. Losdiagramassonherramientasanalticassumamente utilesquelogranformalizaralgunasintuicionesdelateoraaclarandolaex-plicaci ondelosmodelosysupertinencia.Unejemplodeloanterioreslarelaci onentreelnanciamientodelain-versi on en la Bolsa de Valores y la acumulacion de capital productivo. Se creequeexisteunarelaci onestrechaentreestasdosvariablespueslaacumula-cion de capital promete a los accionistas retornos futuros adicionales sobre suinversi on nanciera pero a su vez estos fondos entregados por ellos permitenalaempresaampliarsucapacidadproductivaloquesereejaenunnivelmayor de capitalpara los periodos siguientes, lo que prometera retornos fu-turosadicionalesyassucesivamente.Otro ejemplo puede ser c omo bajo el esquema de oferta y demanda agre-gadaconexpectativasracionalespropiodelosmodelosdeNuevaMacroeco-nomaClasicadeLucasySargent, dondesepuedeobservarqueunincre-mentoenlademandanoesperadoporlosagentesecon omicos, empresariosytrabajadores, provocaunadesviaciondesuspron osticosrespectodel va-lorobservadoenel nivel general deprecios(P). Si el incrementoen(P)esinferioral pron osticohechosobreel porpartedelosagenteslaproduccioncaer a,loquesetraduceenunexcesodeofertaqueprovocaunacadaenlos10preciosypromueveunasubsecuentecadaenlaproduccion.Losejemplosexpuestosmuestranquelosdiagramasdefaserecogenlainteracci onentrevariablespropiadeladin amicaecon omicaloquesuponeunavancesobrelosejerciciosdeestaticadondeloscambiossonapenasex-puestospormediodelaestaticacomparativaqueobviaestasinteraccionespues el ajuste es instant aneo aunque algunos ejercicios pedagogicos traten deotorgarle cierta secuencialidad a los procesos de ajuste. Esto se puede eviden-ciaenel casodelosmovimientosquelapolticamonetariaoscal provocaenelesquemaIS-LMbajolosdenominadosmecanismosdetransmision.Adicionalmente, se debe advertir que la nocion de tiempo manejada en losdiagramasdefaseesunacercanaaloqueJoanRobinsondenominotiempol ogico en contra del tiempo hist orico. El primero se caracteriza por establecerunasecuenciaotrayectoriadenidaparalasvariablesdesuertequelospro-cesospuedenserreversados. Lareversibilidadpuedesercapturadacuandose ejemplican cambios transitorios en las curvas que componen el diagramade fase dado que el desplazamiento de la curva implica un movimiento de idayvueltaloquedejainalteradoel sistemaalargoplazo. Porel contrario, eltiempo calendario es el que se observa en la realidad y su caracterstica es lanoreversibilidad,esdecir,queluegodeuncambiolaeconomanotieneporquevolvernecesariamentealamismaposiciona unsi loscambiosdeidayvueltafuerandelamismamagnitud(Henry,2003).Acontinuaci onsepresentar analgunosejemplosdelaaplicaci ondelosdiagramasdefaseenmacroeconoma.El nanciamientodelainversi onylaacumulaci ondecapital: LaQdeTobinLaQdeTobinesunateoradel nanciamientodelainversi onatravesdelaBolsadeValoresquefuepublicadaen(1969)porJamesTobinenelJournal of Money Credit and Banking. Como mencionaba Keynes en 1936, elrasgo fundamental de la Bolsa de valores es hacer lquido al individuo lo queesjoparalasociedad.Portalraz onelroldelaBolsaescapturarrecursosdeahorrodelasfamilias,quebuscannanciarlosproyectosdeinversi onenmaquinaria y equipo de las rmas sin comprometer la liquidez de los hogares11pues estos pueden transformar en un plazo no muy largo el valor de las accio-nesenrecursoscompletamentesinqueestoacarreunareducciondelcapitalyaacumuladoporlarma.Enprincipiolaideade laQde Tobines mostrarque lamaximizaciondela riqueza de los hogares expresado en el valor de las acciones que tienen en supoder es equivalente a la maximizacion del benecio de la rma. No obstante,laQesunindicadordeBolsaqueseobtieneadiarioenelcualrelacionaelvalordecapitalinstaladoenlaBolsarespectodelvalordereposiciondeesemismocapitalenmercadodebienes.1. q=ValordemercadodelcapitalinstaladoCostedereposiciondelcapitalinstalado.Cuandoq >1es cuandoel mercadodevalores animaalas empresasainvertir, ycuandoq 1, It, Kt+1)yqt> 1, It, Kt+1.LaQdeTobinpuedeserllevadaaunarepresentacionmediantediagra-mas defase. Enprimer lugar, reconocemos quelos incrementos del stockdecapital vienendeterminadosporloscambiosdeqtatravesdel tiempo,K(t)=f(q(t)). Sesabeapartirde4quelainversi onolaacumulaciondecapital cambiarandependiendodel valordeqtrespectode1, locual puedeobtenerse obteniendo la condicion de primer orden del Hamiltoniano respectodelainversi on,queeslavariabledecontrol:5. H(k(t), I(t)) = (K(t)k(t) I(t) C(I(t)) + q(t)I(t).6. HI(k(t), I(t)) = 1 C(t) + q= 0.7. I(t) = N(C)1(q(t) 1).Lacondicion7eslamismaexpresionde4sabiendoqueNeseln umerodermas enlaeconomay(a) estaexpresadacomoel costomarginal deinstalaci onde unaunidadadicional de capital. Conloanterior se puedeestablecer la evolucion de la acumulacion o desacumulacion de capital a travesdeltiempo:13qKK= 0K< 0K> 0Derivando5respectodelavariabledeestadokseobtiene:8. (K(t)) = rq(t) q(t).9. q(t) = rq(t) (K(t)).De8sepuedededucirqueel benecioquereportaalarmael capitaldebecubrirel costodeoportunidadodenanciamientorq(t), peroesteasuvezesaliviadoenlamedidaqueel capital sevaloriceenlaBolsa q(t).De9sepuedeencontrarlaisoclinacorrespondientea q=0, queresultaenq(t)=(K(t)) 1/r, dondelapendientees(K(t)) 1/r 0Luego si combinamos las dos isoclinas tenemos el diagrama de fases com-pletodelaQdeTobin.Elgr aco3muestranquesolamentelastrayectoriasdelasregiones1y3soncompatiblesconel equilibrioestableopuntodesillaenE,loqueaseguraraunniveldeKoptimo.Estandoenelcampo3sesabequeconformeeltiempoavanceelcapitalretrocederaincrementandolos benecios. No obstante, en el campo 3 el stock de capital es muy elevadopor loquesenecesitananciamientoexternoyqdeberaestar creciendo.Entonces, losdosefectosanterioresseretroalimentan, porunladolacadadel capital reduce la dependencia de nanciamiento externo y a su vez q crececonformeseacercaaE,cadavezm asdespacioporloquesedetienenenelpuntodeequilibrio.qKE q= 01234qKK= 0115BibliografaCasasD.(2012)Elementosdeecuacionesdiferencialesyendiferencia.Ed.Unisalle.Pecha A (2007) Optimizacion estatica y din amica en economa. Ed. U.NacionaldeColombia.EscobarD.(2005)Economamatem atica.2aEdici on.Ed.Uniandes.Romer, D. (2011). Macroeconoma avanzada 3ra ed. Mac Graw Hill. Madrid:Espa na.p.704Tobin, J. (1969): .Ageneral equilibrium approach to monetary theory,JournalofMoneyCreditandBanking.16