BAB IIISI

1. Difraksi ElektronPada tahun 1927, Davisson dan Germer di Amerika Serikat dan G.P. di Inggris secara bebas meyakinkan hipotesis de Broglie dengan menunjukkan berkas elektron terdifraksi bila berkas itu dihamburkan oleh kisi atom yang teratur dari suatu kristal. Eksperimen Davisson dan Germen :

Seberkas elektron dari suatu kawat pijar panas dipercepat melalui suatu beda potensial V. Setelah melewati suatu celah kecil, berkas elektron ini menumpuk Kristal nikel tunggal. Elektronnya lalu dihamburkan ke segala arah oleh atom Kristal, beberapa menumpuk suatu detector, yang dapat digerakkan ke sebarang sudut relative terhadap arah berkas datang, yang mengukur intensitas berkas electron yang dihamburkan pada sudut itu. Berikut gambar terperinci mengenai hamburan dari bidang Kristal gambar 2Jika kita menganggap setiap atom Kristal dapat bertindak sebagai satu penghambur, maka gelombang electron yang terhambur dapat berinterferensi, sehingga kita memperoleh semacam kisi difraksi Kristal bagi gelombang electron. Sebarang bidang khayal yang memuat sejumlah atom dalam Kristal memiliki pusat-pusat hambur yang tersusun secara teratur sehingga dapat menghasilkan suatu pola interferens: hamburan dari salah satu himpunan bidang seperti pada gambar 2 . sudut hamburan adalah 90- /2. Berkas yang terpantul dengan intensitas maksimum akan teramati pada sudut apabila syarat Bragg ( bagi interferensi maksimum dipenuhi. Jarak atom a berhubungan dengan jarak d menurut persamaan:

Grafik polar yang biasa digambarkan untuk intensitas elektron setelah itu ditunjukkan dalam gambar 3; metode platnya dilakukan sedemikian sehingga intensitas pada setiap sudut berbanding dengan jarak kurva pada sudut itu dari titik hambatannya. Jika intensitasnya sama untuk semua sudut hamburnya, kurvanya akan berbentuk lingkaran dengan titik hambur sebagai pusat.Hipotesis de Broglie mendorong tafsiran bahwa gelombang elektron didifraksikan oleh target sama seperti sinar X didifraksikan oleh bidang-bidang atom dalam kristal. Tafsiran ini mendapat dukungan setelah disadari bahwa efek pemanasan sebuah blok nikel pada temperatur tinggi menyebabkan banyak kristal individual kecil yang membangun blok tersebut bergabung menjadi kristal tunggal yang besar yang atom-atomnya tersusun dalam kisi yang teratur.Pembuktian panjang gelombang de Broglie :

Marilah kita tinjau apakah kita dapat membuktikan bahwa gelombang de Broglie merupakan penyebab dari hasil percobaan Davisson dan Germer. Pada suatu percobaan tertentu berkas elektron 54eV diarahkan tegak lurus pada target nikel, dan maksimum yang tajam dalam distribusi lektron terjadi pada sudut 50 dari berkas semula. Sudut datang dan sudut hambur relative terhadap suatu keluarga bidang Bragg digambarkan dalam gambar, keduanya bersudut . Jarak antara bidang dalam keluarga itu yang bias diukur melalui difraksi sinar X ialah 0,91. Persamaan Bragg untuk maksimum dalam pola difraksi ialah

Di sini d = 0,91 dan ; dengan menganggap n = 1, panjang gelombang de Broglie dari electron yang terdifraksi ialah

Gunakan rumus de Broglie :

Untuk menghitung panjang gelombang yang diharapkan. Energi kinetik 54 eV kecil dibandingkan dengan energi diam yaitu sebesar 5,1x10 eV, sehingga kita dapat mengabaikan efek relativistic. Karena

Maka momentum electron itu mv ialah

Jadi panjang gelombang electron itu ialah

Yang besarnya sesuai dengan panjang gelombang yang diamati. Jadi eksperimen Davisson dan Germer menunjukkan bukti langsung dari hipotesis de Broglie mengenai sifat gelombang benda bergerak..Analisis eksperimen Davisson-Germer sebenarnya tidak langsung seperti yang ditunjukkan di atas, karena energi electron bertambah ketika electron itu masuk ke dalam kristal dengan besar yang sama dengan besar fungsi kerja (work function) permukaan itu. Jadi kelajuan electron dalam eksperimen lebih besar di dalam kristal dan panjang gelombang de broglie yang bersangkutan menjadi lebih kecil daripada harga diluar kristal. Komplikasi lainnya timbul dari interferensi antara gelombang yang didifraksi oleh keluarga lain dari bidang Bragg yang membatasi terjadinya maksimum dan minimum menjadi hanya kombinasi tertentu dari energi electron dan sudut datang sebagai pengganti dari setiap kombinasi yang memenuhi persamaan Bragg.

2. Teori Ketidak pastian Heisenberg

Werner HeisenbergPada tahun 1927, saat Einstein sedang ngetop-ngetopnya, Werner Heisenberg (1901-19760) seorang ilmuan Jerman, mengembangkan suatu teori yang ditentang Einstein habis-habisan yaitu teori ketidakpastian. Menurut teori ini makin akurat kita menentukan posisi suatu benda, makin tidak akurat momentumnya (atau kecepatannya) dan sebaliknya. Jadi kita tidak bisa menentukan letak benda secara akurat. Dengan kata lain benda mempunyai kemungkinan berada di mana saja. Einstein berkata teori ini tidak masuk akal. Ia menentang teori ini hingga akhir hayatnya. Mana mungkin kita bisa percaya pada teori yang mengatakan bahwa posisi bulan tidak menentu, kata Einstein. Einstein lebih suka melihat bulan mengorbit secara teratur, I like to believe that the moon is still there even if we don't look at it." Einstein juga berargumen bahwa tidak mungkin Tuhan bermain dadu God doesnt play dice dalam mengatur alam semesta ini. Walau ditentang oleh fisikawan sekaliber Einstein, rupanya Heisenberg tidak kapok, ia maju terus mengembangkan teorinya. Usahanya ini tidak sia-sia, akhirnya teori Heisenberg ini menjadi salah satu fondasi dari mekanika kuantum. Kini mekanika kuantum menjadi primadonanya fisika. Oleh Feynman, Elektrodinamika kuantum (mekanika kuantum yang digabung dengan teori relativistik Einstein) dijuluki the jewel of physics. Berkat mekanika kuantum inilah orang dapat mengembangkan berbagai teknologi mutakhir yang ada sekarang ini, mulai dari TV, kulkas, mainan elektronika, laser, bom atom yang dahsyat, hingga pembuatan-pembuatan chip-chip komputer super cepat. Sayang Einstein tidak melihat ini semua. (Yohanes Surya Ph.D).Dengan menggunakan hubungan mendasar de Broglie bersama dengan pernyataan kita dapati yang mengaitkan momentum sebuag partikel dengan bilangan gelombang dari gelombang de Broglie. Mengingat gabungan h/2 sering sekali muncul dalam mekanika gelombang, maka untuknya memberikan lambang khusus (h coret). == 1,05 x 10-34 J.s=6,58x10-16 e V.sdengan menggunakan , maka(a)sehingga. dengan demikian, dari hubungan ketidakpastian () kita peroleh..(b)Penulisan tikalas x pada momentum adalah untuk mengingatkan kita bahwa persamaan tersebut berlaku bagi gerak sepanjang suatu arah tertentu, yang menyatakan ketidakpastian dalam kedudukan dan momentum hanya pada arah tersebut. Hubungan serupa yang tidak bergantungan dapat diterapkan pula pada arah-arah lainnya: jadi berlaku pula atau Hubungan de Broglie dapat dituliskan sebagai , jadi , sehingga hubungan ketidakpastian (menjadi:.(c)Persamaan (b) dan (c) dikenal sebagai hubungan ketidakpastian Heisenberg. Asas ini mengatakan bahwa tidak ada satu percobaan pun yang dapat dilakukan sedemikian rupa sehingga memberikan ketidakpastian di bawah batas-batas yang diungkapkan dalam persamaan (b) dan (c).

3. Fungsi gelombangMakna Fungsi GelombangSecara umum, fungsi gelombang (notasi: ) adalah elemen paling dasar yang menyusun seluruh dunia mekanika kuantum. Fungsi ini bisa dibilang sebagai fungsi yang paling ultimate partikel apapun, seperti apa keadaannya dan propertinya, dapat diwakili oleh sebuah fungsi gelombang . Sebenarnya kegunaannya bukan cuma di mekanika kuantum. Fisika Newton pun bisa dijelaskan dengan fungsi gelombang; sehingga fungsi ini aslinya bernilai universal. Meskipun begitu kita tak akan membahas hal itu.Adapun persamaan matematisnya adalah sebagai berikut.

Keterangan:= fungsi gelombang Schrdinger= konstanta Planck (h) / 2= operator diferensial parsial terhadap waktu= operator del= energi potensial benda (fungsi dari x, y, z, dan t)

Persamaan ini ditemukan oleh Erwin Schrdinger di tahun 1925. Schrdinger mengajukan persamaan yang kemudian dikenal dengan nama persamaan gelombang Schrdinger. Fungsi gelombang yang spesisfik dari penyelesaian persamaan gelombang Schrdinger disebut sebagai orbital.

Erwin SchrdingerWerner Heisenberg menjelaskan secara gamblang tentang sifat alami dari orbital, analisis matematika yang dihasilkannya menyatakan bahwa kita tidak bisa secara pasti menentukan posisi serta momentum suatu partikel pada kisaran waktu tertentu. Pembatasan ini sangat penting bila kita mempelajari partikel yang sangat kecil seperti elektron, oleh sebab itulah kita tidak bisa menentukan secara pasti posisi elektron yang sedang mengelilingi inti atom seperti yang ditunjukan oleh model atom Bohr, dimana elektron bergerak dalam orbit yang berbentuk lingkaran. Disinilah mulai diterimanya model atom mekanika kuantum yang diajukan oleh Schrdinger. Ketika pertama kali menemukan persamaan di atas, Schrdinger baru berhasil meramu sebuah fungsi energi universal, dengan fungsi gelombang sebagai solusi persamaannya. Meskipun begitu, ada yang belum jelas: Sebenarnya, fungsi gelombang itu melambangkan apa?Jawaban untuk ini ditemukan oleh fisikawan Max Born di tahun 1926. Menurut Born,Fungsi gelombang menunjukkan amplitudo probabilitas. Ia melambangkan sebaran kemungkinan perubahan elektron dari sebuah kondisi awal menuju kondisi baru. Di sini tidak memiliki konsep fisik. Jika kita mengambil nilai mutlak dan menguadratkannya ( ||2), barulah kita mendapatkan probabilitas fisik dari partikel yang dimaksud.Dengan kata lain, fungsi gelombang melambangkan elemen probabilitas. Tidak ada yang pasti di dunia kuantum , yang ada hanyalah the most likely condition that may occur.Tak bisa tidak, penemuan ini mengubah wajah ilmu alam secara drastis. Ternyata alam yang kita diami bersifat probabilistik.Probabilitas dan NormalisasiFungsi gelombang () merupakan dasar teori kuantitas di dalam mekanika kuantum. Pengertian dari fungsi gelombang itu sendiri adalah kuantitas variabel yang memberi karakteristik gelombang de Broglie. Harga fungsi gelombang yang berkaitan dengan sebuah benda bergerak pada satu titik tertentu x,y,z, dalam ruang pada saat t berpautan dengan peluang untuk mendapatkan benda tersebut di tempat tersebut pada saat tlam z atau dapat dikatakan fungsi gelombang merupakan suatu deskripsi yang mungkin.Fungsi (x) menyatakan suatu gelombang dalam pengertian yang lumrah bagi kita artinya, ia memiliki panjang gelombang dan bergerak dengan kecepatan fase yang jelas. Dilemanya muncul ketika kita hendak menafsirkan amplitudonya. Apakah yang dinyatakan oleh amplitudo (x) dan variabel fisika apakah yang bergetar? Sudah tentu bukanlah perpindahan, seperti pada gelombang air atau senar piano, juga bukan gelombang tekanan seperti pada gelombang bunyi. Jelas, ia merupakan suatu jenis gelombang yang berbeda, yang nilai mutlaknya memberikan probabilitas untuk menemukan partikelnya pada suatu titik tertentu secara lebih tepat, dx memberikan probabilitas untuk menemukan partikel dalam selang infinitesimal dx di x (yakni, antara x + dx). Dalam satu dimensi, perbedaan antara menemukan partikel di x dan menemmukan partikel dalam selang dx di x mungkin tidak begitu penting tetapi bila kita meninjau persoalan dua dan tiga dimensi, maka perbedaannya menjadi menonjol. Untuk sekarang, anda mungkin dapat menerima aturan ini dalam pengertian bahwa sebuah partikel tunggal dalam ruang tidak memiliki dimensi fisika karena dimensi sebuah titik dalam ruang adalah nol, maka probabilitas untuk menemukan sebuah partikel di sebuah titik adalah nol. Pada tahun 1926, Born memperluas ide ini dengan mengusulkan bahwa kuadrat dari nilai absolut dari fungsi gelombang adalah sebanding dengan probabilitas untuk mendapatkan partikel tersebut. Nilai absolut harus digunakan untuk persamaan gelombang karena gelombang dapat berupa sebuah fungsi kompleks dan bukan hanya sebuah fungsi yang riil. Kuadrat dari nilai absolut sebuah fungsi gelombang kompleks diperoleh dengan persamaan berikut.

Dengan * sebagai konjugat kompleks dari dan ini diberikan melalui penggantian yang sederhana dari setiap unit imajiner i yang terdapat pada ekspresi matematik dengan i.

Jika kita mendefinisikan P(x) sebagai rapat probabilitas, maka tafsiran menurut Schrdinger adalahP (x) dx = | (x) |2 dxProbabilitas untuk menemukan sebuah partikel yang bergerak sepanjang sumbu x pada suatu daerah tertentu antara x dan x + dx dinyatakan sebagai |(x,t)|2dx dengan menggunakan fungsi gelombang (x,t). Karena probabilitas untuk menemukan partikel pada daerah antara x = - hingga x = + adalah sama dengan 1, maka integral berikut harus sama dengan 1.

Ini disebut sebagai kondisi renormalisasi dari sebuah fungsi gelombang. Jika kondisi ini dipenuhi, maka fungsi gelombang tersebut dikatakan ternormalisasi.

Untuk kejadian dengan fungsi gelombang kompleks dengan bagian nyata (real) dan khayal (imajiner) tidak nol, | |2 dinyatakan dengan perkalian * dari dengan konjugate kompleks *. Konjugate kompleks suatu fungsi diperoleh dengan mengganti i = dengan i bilamana huruf itu muncul dalam fungsi gelombang (seperti yang telah dituliskan di atas).Setiap fungsi kompleks dapat ditulis = A + iB , dengan A dan B fungsi real. Konjugate kompleks * dari ialah * = A iB, sehingga : * = A2 - i2B2 = A2 + B2Karena i2 = -1, jadi * selalu merupakan kuantitas real positif. Manfaat normalisasi gelombang itu alasan mengapa harus dinormalisasikan :a. Magnitude/amplitudo kuadrat fungsi gelombang itu menunjukkan rapat probabilitas/peluang. Sekarang, berapa total peluang, 1, 100, 1000,102, 578902 dan lain sebagainya?Catatan: peluang jumlah seluruh (integral atau sumasi) peluangPaling tidak normalisasi perlu untuk menentukan satu patokan yakni total peluang yang kemudian dipakai secara konsisten (tidak ganti-ganti) dalam seluruh perhitungan/formulasi.Normalisasi tidak unik, untuk formulasi kasus yang sama orang lain bisa pakai normalisasi lain. Hanya saja, wajar jika orang pilih normalisasi yang memudahkan perhitungan/formulasi.Ada kasus yang di situ peluang maksimum merupakan bilangan tak berhingga contohnya untuk fungsi gelombang plane wave 1 dimensi exp(ikx). Normalisasi diperlukan agar peluang itu merupakan bilangan berhingga.Info penting untuk menormalisasi fungsi gelombang yaitu perilaku fungsi gelombang tersebut pada batas/boundary ruang tempat dia direpresentasikan.Tambahan: Walaupun tidak unik tidak berarti hasil akhir formulasi berbeda-beda sehingga fisika menjadi berlain-lainan. Konstanta normalisasi itu sedemikian akan hilang (cancel out) sehingga hasil akhir formulasi sama walaupun menggunakan konstanta normalisasi berbeda.b. Fungsi gelombang suatu partikel dapat ditafsirkan sebagai amplitudo kebolehjadian menemukan partikel tersebut di titik tertentu dalam ruang pada waktu tertentu. Jadi kuadrat nilai mutlak fungsi gelombang, | (r,t) |2, memberikan ukuran rapat kebolehjadian (per satuan volume) beradanya partikel di titik (r,t). Normalisasi berhubungan dg asumsi bhw kebolehjadian total meliputi seluruh ruang adalah 1 (unity). Maka fungsi gelombang perlu dikalikan (mengandung) suatu faktor konstanta yang dibuat sedemikian rupa sehingga integral | (r,t) |2 meliputi seluruh ruang adalah = 1. Konstanta ini disebut konstanta normalisasi. Jadi jelasnya normalisasi itu perlu agar menghasilkan/memenuhi kebolehjadian total =1. Kasus sederhana fungsi gelombang sebuah partikel titik-massa bisa diperluas lagi ke sistem banyak-benda (many-body system), di mana keseluruhan sistem lah yang ditinjau, untuk itu kita perlu teori banyak-benda (many-body theory) untuk menghitung fungsi gelombang sistem banyak-benda tersebut.

Syarat Fungsi Gelombang

Fungsi gelombang harus merupakan fungsi yang kuadratnya dapat diintegralkan dan bernilai hingga Karena integral dilakukan terhadap seluruh ruang, syarat berakibat

(,t) 0 untuk r Selain itu juga harus terpenuhi 1. (,t) berhingga, agar | |2 dv berharga antara 0 dan 1. 2.

dan turunan pertamanya kontinu di setiap Syarat kontinuitas turunan pertama dari dapat dipahami sebagai berikut. Perhatikan persamaan schrodinger satu dimensi yang berbentuk :

Jika fungsi kontinu dari x untuk semua waktu t maka juga fungsi kontinu dari x. Karena itu, ruas kanan persamaan di atas juga harus kontinu dan diskontinuitas dari salah satu suku ruas kanan ini dilenyapkan oleh prilaku berlawanan dari suku lainnya. Namun, persamaan schrodinger satu dimensi tidak akan dibahas disini.Sebelum mengakhiri bagian ini, adalah penting untuk mencatat bahwa pentingnya persamaan gelombang pada mekanika kuantum.Keadaan dari sebuah sistem dinyatakan dengan fungsi gelombang. Probabilitas sebuah partikel akan ditemukan pada sebuah posisi adalah sebanding dengan kuadrat dari nilai absolut persamaan gelombang.Fungsi gelombang akan memiliki perubahan terhadap waktu mengikuti persamaan.

4.Persamaan Schrodinger untuk Partikel dalam Potensial satu dimensiSumur potensial adalah daerah yang tidak mendapat pengaruh potensial sedangkan daerah sekitarnya mendapat pengaruh potensial. Hal ini berarti bahwa elektron, selama ia berada dalam sumur potensial, merupakan elektron-bebas. Kita katakan bahwa elektron terjebak di sumur potensial, dan kita anggap bahwa dinding potensial sangat tinggi menuju , atau kita katakan sumur potensial sangat dalam. Gb.4. menggambarkan keadaan ini secara dua dimensi.Daerah I dan daerah III adalah daerah-daerah dengan V = , sedangkan di daerah II, yaitu antara 0 dan L, V = 0. Kita katakan bahwa lebar sumur potensial ini adalah L.

Pada sumur potensial yang dalam, daerah I dan III adalah daerah dimana kemungkinan keberadaan elektron bisa dianggap nol, dan . Persamaan Schrodinger untuk daerah II adalah, dengan V(x) = 0, menjadi :

Solusi persamaan Schrodinger satu dimensi ini bisa kita duga berbentuk . Jika kita masukkan solusi dugaan ini ke persamaan di atas, akan kita dapatkan ;

Yang memberikan dua nilai s :

, dengan

Yang berarti ada dua solusi: jumlah kedua solusi juga merupakan solusi. tidak lain adalah bilangan gelombang, , dengan nilai

Sehingga jumlah dua solusi dapat kita tuliskan sebagai

Persyaratan kekontinyuan di x=0, mengharuskan,

dan persyaratan kekontinyuan di L mengharuskan

, sehingga

BAB IIIPENUTUP

KESIMPULAN : Asas ketidakpastian Heisenberg mengatakan bahwa tidak ada satu percobaan pun yang dapat dilakukan sedemikian rupa sehingga memberikan ketidakpastian di bawah batas-batas yang diungkapkan dalam persamaan (b) dan (c) di atas.

Fungsi gelombang () merupakan dasar teori kuantitas di dalam mekanika kuantum. Pengertian dari fungsi gelombang itu sendiri adalah kuantitas variabel yang memberi karakteristik gelombang de Broglie

DAFTAR PUSTAKA

Beiser, Arthur. 1992. Konsep Fisika Modern. Jakarta : ErlanggaKrane. Kenneth S.2011. Fisika Modern. Jakarta: Universitas Indonesia Presswww.yohannesurya.com (diakses pada tanggal 20 Oktober 2012)http//:Blogs.phys.unpad.ac.id (diakses pada tanggal 20 Oktober 2012)

17