difracción láser por un cd
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Difracción Láser por un CD
Con la medición de la difracción producida de un haz láser del que conocemos su longitud de onda,
calcularemos la distancia entre surcos de un CD de 700 MB – 80 min., así como la distancia total del surco
enrollado en el CD. Para el montaje disponemos de un láser de verde 532 nm, un CD al que se le ha
desprovisto de la capa metalizada que lo recubre y una cinta métrica. En el siguiente gráfico podemos
apreciar como quedan dispuestos el montaje de los distintos elementos.
Incorporando ya en el gráfico las medidas de las distancias L y d.
Conociendo la longitud de onda del haz incidente la distancia 𝝆 entre surcos de la red de difracción es igual a:
𝜌 =𝜆
𝑠𝑒𝑛(arctan 𝑑 𝐿 )=
532 ∙ 10−9
𝑠𝑒𝑛(arctan 6551672 )
= 1,4585 ∙ 10−6 𝑚 = 𝟏, 𝟒𝟓𝟖𝟓 𝝁𝒎
Lo que nos da una densidad de surcos de 685,6 surcos/milímetro.
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En un CD la superficie en la que se escriben los datos ocupan la porción azul del disco como se ve
representada en el gráfico siguiente.
De manera que los surcos comienzan a escribirse con un
radio interior 𝑅𝑜 = 20 𝑚𝑚 , y formando una espiral llegan
hasta el borde del disco con una radio 𝑅𝑛 = 58 𝑚𝑚. Según
los cálculos anteriores la distancia entre surcos es de 1,4585
µm, con lo cual entre el radio exterior y el interior tenemos
38 mm. En esta distancia tendremos
0,038
1,4585 ∙ 10−6= 26054 𝑠𝑢𝑟𝑐𝑜𝑠
Para calcular la distancia total del surco que recorre todo el disco desde 𝑅𝑜 a 𝑅𝑛 incrementando
constantemente el radio de giro se puede hacer de distintas formas cada una de ellas con una precisión
diferente.
Método 1.
Pongamos el radio en función del ángulo.
Siendo ρ la distancia entre surcos y θ el ángulo de
giro. Cuando demos una vuelta completa el radio
valdrá
𝑅1 = 𝑅𝑜 + 𝜌
Pero como R va cambiando constantemente
tendremos que
𝑅(𝜃) = 𝑅𝑜 +𝜌
2𝜋𝜃
Es decir cuando 𝜃 = 2𝜋, el radio se habrá
incrementado una distancia igual a 𝜌.
El arco subtendido para un radio determinado en
función del ángulo es
𝑆 = 𝑅𝜃 → 𝑑𝑆 = 𝑅𝑑𝜃 → 𝑑𝑆 = 𝑅𝑜 +𝜌
2𝜋𝜃 𝑑𝜃
Con lo cual el arco total S será igual a la integral de la ecuación anterior entre 0 𝑦 2𝜋𝑛, siendo n igual al
número total de surcos.
𝑆 = 𝑅𝑜 +𝜌
2𝜋𝜃 𝑑𝜃
2𝜋𝑛
0
= 𝑅𝑜𝜃 +𝜌
4𝜋𝜃2
0
2𝜋𝑛
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𝑺 = 0,02 ∙ 2𝜋 ∙ 26054 +1,4585 ∙ 10−6 ∙ (26054 ∙ 2𝜋)2
4𝜋= 𝟔𝟑𝟖𝟒, 𝟑𝟔 𝒎
Método 2.
Dada la simetría del disco también podíamos calcular la distancia total del surco haciendo el cálculo para un
radio medio 𝑅𝑚 , que para nuestros propósitos no entrañaría mucho error. Sería
𝑅𝑚 =𝑅0 + 𝑅𝑛
2=
20 + 58
2= 39 𝑚𝑚
Y S sería igual a la circunferencia para el radio medio multiplicado por el número total de surcos:
𝑆 = 2𝜋 ∙ 0,039 ∙ 26054 = 𝟔𝟑𝟖𝟒, 𝟑𝟖 𝒎
Como podemos comprobar el resultado es prácticamente el mismo.
Método 3.
Otra forma de calcular S es imaginando una serie de circunferencias concéntricas de radio creciente. Esto es
𝑆 = 2𝜋𝑅0 + 2𝜋(𝑅0 + 𝜌) + 2𝜋(𝑅0 + 2𝜌) +∙∙∙∙∙∙ +2𝜋(𝑅0 + 𝑛𝜌)
𝑆 = 2𝜋(𝑅0 + 𝑅0 + 𝜌 + 𝑅0 + 2𝜌 +∙∙∙∙∙∙ +𝑅0 + 𝑛𝜌)
𝑆 = 2𝜋(𝑅0(𝑛 + 1) + 𝜌 + 2𝜌 +∙∙∙∙∙∙ +𝑛𝜌) = 2𝜋(𝑅0(𝑛 + 1) + 𝜌(1 + 2 + 3 +∙∙∙∙∙∙ +𝑛))
𝑆 = 2𝜋 𝑅0(𝑛 + 1) + 𝜌(𝑛2 + 𝑛
2) = 𝟔𝟑𝟖𝟒, 𝟔 𝒎
Solución también aceptable.
Método 4.
Este método es el más exacto, seguido del método 1. Partimos de la ecuación del radio en función del ángulo
igual que en el método primero.
𝑅(𝜃) = 𝑅𝑜 +𝜌
2𝜋𝜃
El diferencial de longitud para un arco de la espiral será
𝑑𝑙 = 𝑑𝑅𝑢 𝜌 + 𝑅𝑑𝜃𝑢 𝜃 → 𝑑𝑙 = (𝑑𝑅)2 + 𝑅2(𝑑𝜃)2 1/2
𝑑𝑙 = (𝑑𝑅
𝑑𝜃)2 + 𝑅2
1/2
∙ 𝑑𝜃
𝑆 = 𝑑𝑙 = (𝜌
2𝜋)2 + (𝑅𝑜 +
𝜌
2𝜋𝜃)2
1/2
𝑑𝜃2𝜋𝑛
𝑜
𝑆 =2𝜋
𝜌 𝑅𝑜 +
𝜌2𝜋 𝜃
2 (𝑅𝑜 +
𝜌
2𝜋𝜃)2 + (
𝜌
2𝜋)2 +
(𝜌
2𝜋)2
2𝑙𝑜𝑔 𝑅𝑜 +
𝜌
2𝜋𝜃 + (𝑅𝑜 +
𝜌
2𝜋𝜃)2 + (
𝜌
2𝜋)2
0
2𝜋𝑛
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Y como (𝝆
𝟐𝝅)𝟐 → 𝟎, el segundo término de la integral podemos prescindir de él, a no ser queramos una
precisión muy grande en nuestros cálculos. Así mismo este término también aparece dentro del radicando
del primer miembro de la integral, si también prescindimos de él, la integral nos queda
𝑆 =𝜋
𝜌 (𝑅𝑜 +
𝜌
2𝜋𝜃) (𝑅𝑜 +
𝜌
2𝜋𝜃)2
0
2𝜋𝑛
=𝜋
𝜌 (𝑅𝑜 +
𝜌
2𝜋𝜃)2
0
2𝜋𝑛
Operando
𝑆 =𝜋
𝜌 𝑅0
2 + (𝜌
2𝜋𝜃)2 +
𝑅𝑜𝜌𝜃
𝜋)2
0
2𝜋𝑛
= 𝜋𝑅0
2
𝜌+
𝜌
4𝜋𝜃2 + 𝑅𝑜𝜃
0
2𝜋𝑛
= 𝑅𝑜𝜃 +𝜌
4𝜋𝜃2
0
2𝜋𝑛
Con lo que S nos queda como en el método 1
𝑆 = 𝑅𝑜𝜃 +𝜌
4𝜋𝜃2
0
2𝜋𝑛
Podemos seguir calculando cosas. Por ejemplo podemos ver qué espacio del disco ocupa un bit de datos.
Como sabemos que el disco es de 700 Mb tenemos
700 𝑀𝑏 = 7,34 ∙ 108 𝑏𝑦𝑡𝑒𝑠 = 5,872 ∙ 109 𝑏𝑖𝑡𝑠
Y cada bit ocupará
6384,36 𝑚
5,872 ∙ 109 𝑏𝑖𝑡𝑠= 1,087 ∙ 10−6 𝑚 = 𝟏𝟎𝟖𝟕 𝒏𝒎
Si tenemos en cuenta que el láser utilizado es un láser rojo de aproximadamente 650 nm (la longitud exacta
depende del fabricante y pueden oscilar entre los 625-740 nm), podemos decir que cada bit de datos ocupa
aproximadamente 1,67 longitudes de onda del láser utilizado para leerlo. Siendo el surco 2,24 veces la
longitud de onda.