VGLAVA

5. DIFERENCIJALNE JEDNACINE PRVOG 1* DRUGOG REDA

5.1. Diferencijalne jednacine sa razdvojenim promenljivima

Primedba L U diferencijalnoj jednaCini (1) y'=.f(x) 9 (x)

promenljive se mogu razdvojiti.

Primedba 2. Za resavanje difereneijalne jednaCine (1) potrcbno je najpre razdvojiti promenljivc na sledeCi naein:

dy (2) 9 (y) = .f(x) dx.

Primedba 3. Opste resenje diferencijalne jednaCine (1) dobija se integracijom leve i desne strane jednaCine (2):

(3) f gd~) = ff(X) dx + C.

Odrediti opsti integral sledeeih difercncijalnih jednaCina (848-853):

848. a) x (l + y2) = yy';

849. a) ~ dy=JY dx;

850. a) (1+y) dx=(x-l) dy;

851. a) y 2dx+(x-2) dy=O;

852. a) (1 + y2) dx-'/-; dy=O;

dy 3dx b) ~-;= ~.

b) xydx=(1+x2) dy.

b) (x 2_ yxZ)dy+(yz +xy2)dx =0.

b) ~-2 dy-x,/l=? dx=O.

b) y'tgx-y=a.

96 • Ova tema nije prcdviden:l na~tJ.lYnilll pJanom i programom za gimnazije.

Odrediti partikll,,,m,, resenja koja zadovoljavaju date pocetne uslove za sledeee diferencijalne jednacine (854-859):

854. ydy=xdx, ),=4 " •. X= -2.

1t 855. s tg t dt+ds=O, s=4 za t=}.

856. s'=3t2 -2t, s=4 za t=2.

dy dx 857, -._._=---, y=4 za x=O.

x-I y-2

858. (l+x)ydx+(I-y)xdy=O, y=1 za x=l.

859. dx . d n

2 ctgxsmy y, y=nzax=-3-' cos xcosy

860. Odrediti zakon kretanja tela duz ose Ox koje poCinje iz tacke M brzinom v:

a) M(4, 0). v=2t+ 3t2; b) M(O, 6), v=4t-6t2 •

861. Odrediti jednaCinu krive elJl grafik saddi tacku M ako je dat koeficijent pravca tangente: a) M(2,-3), k=4x-3;

1 b) M(2,-I), k=

2y

862. Odrediti diferencijalnu jednacinu datog skupa krivih x

In y=Ctg 2'

* 863. Odrediti diferencijalnn jednacinu datog skupa krivih (1 + x 2 ) (1 + y2) = Cy2.

864~ Odrediti ortogonalne trajektorije skupa parabola y = ax2

865~ Dokazati da su ortogonalne trajektorije kruznice XZ + y2 = 2ax

takode kruinice.

* 866. Dokazati da su ortogonalne trajektorije krivih y = ax" elipse .

97

867~ Odrediti ortogonalne trajektorije skupa krivih x2 - y2 = a2.

* 868. Eksperimentalno je utvrdeno da je brzina raspadanja radioaktiv-ne materije u svakom trenutku vremena proporcionalna poeetnoj kolicini urana. U poeetnom trenutku vremena (t = 0) bilo je Ro grama urana. Odrediti formulu za izracunavanje kolicine urana u rna kom trenutku vremena t.

5.2. Homogene diferencijalne jednacine prvog reda

Primedba 1. JednaCina oblika

(I) f(x.y)dx =g(x,y) dy.

gde su f(x,y) i g(x,y) homo gene funkcije istih izloZilaca, naziva se homogena diferencijalna jednacina prvog reda.

Primedba 2. JednaCina (I) se uvek moZe transformisati u oblik

(2) Y'='PG)'

Primedba 3. Homogena jednaCina, smenom y = ux. svodi se na jednacinu koja razdvaja promenljive.

Odrediti opsti integral sledeeih diferencijalnih jednaCina (867-876):

869. a) (x+y) dx-xdy=O; b) x+y+(y-x)y'=O.

b) (x- y)+ xy' = O. 870. a) (x-y) tx+(x+y) dy=O;

871. a) (2.jxy-x) dy+ydx=O; b) y,-,l'=tg i. x x

872. a) (t-s) dt+tds=O; b) xy2dY=(X3+y3)dx.

873. a) xdy = (2x + y) dx; b) (x-2y) dy=(x-y) dx.

874. x(x+2y) dX+(X2- y2) dy=O.

875. (x 2 - 2y2) dx+ 2xydy= O.

98

Odrediti partikularna rcsenja sledecih diferencijalnih jednaCina (877--880):

, 2x+ Y k . I 877. y =2:;;--:-' a 0 Je y,=O za X= .

, xy+ y2 k' 1 I 878. Y = --2 --- ,a 0 Je y = za x = . x

879. (Y+P-+yz) dx-xdy=O, ako je y=O za x= 1.

880. y' =}' In ,l' , ako je y = 1 za x = 1. x x

881.

882.

883.

884.

885.

88G.

5.3. Linearna diferencijalna jednacina

Primedba 1. Jednacina oblika

(I) y'+yp(x)+q(x)=O, gde su p (x) i q (x) funkcije argumenta x, naziva se linearna diferencijalna jednaCina prvog reda.

Primedba 2. Ako se u jednaCini (1) uvede smena y=uv (u i v funkcije promenljive x) dalazi so do apstcg resenja difercneijalne jednacine (I) u obliku

(2) y=eJpdX(C-SqeJpdXdx).

Odrediti opste integrale datih diferencijalnih jednaCina (881-890):

a) y'-2y-3=0; b) Y=y+1.

a) xy'-x2+2y=0; b) y'+xy=x.

' 2y ( 3 Y ----- x+l) =0. x+1

2xy 4x y'+-------=O.

l-x2 l-x2

y'-y etg x- sin x=O.

s' cas t+s sin t-I=O.

99

* ,1+2x 1+2x 887. y -;'-:;:-:;:2 y= x+xz .

* 888. y' + 2xy= 2x e- x ' .

* 889. y' -2xy=(x-x3 ) eX'.

* 890. y'+ycm x=O,5 sin2x.

Odrediti partikularna resenja koja zadovoljavaju postavljene po­cetne uslove u sledecim zadacima (891-896):

, 1 891. y' + Y tgx=-- ako je y= I za x=O,

cosx

893. y,_3Y=x3 e< akojey=ezax=l, x

894. y,+2:=:;:~ akojey=lzax=2_

895. y' coszx=tgx-y ako je y=O za x=O.

,3 2 k - 1 896. y +- y=-2 a oJe y=1 za x= . x x_

5.4, Nepotpune diferencijalne jednaCine drugog reda

Primedba 1. lednaCina koja sadrZi drugi izvod iii diferencijal drugog reda naziva se diferencijalna jednaCina drugog reda,

Primedba 2. Naiiednostavnija diferencijalna jednacina drugog re­da ima oblik

y" =/(x), a njeno opste resenje se odreduje dvostrukom integracijom.

897. Odrediti opste rescnje jednacine y" = 1-2x.

100

898. Odrediti opsti integral jednacine: a) y"=O; b) y"=4; c) y" =cos x,

Odrediti partikularna resenja koja zadovoljavaju postavljene po­cetne uslove (899-904):

899. y"=5 aka je y=5 za x=2 i y=l1 za x=4,

900. y"=x akojey=Ozax=liy=2zax=2.

d's • d, 901. --=12t akoJ'es=2i~=20zat=O

dtZ dt'

dze dO Z k ' eo' 902. dmz=m a a Je = 1 dm =12 za m=O,

903. y"=2y' ako je y=I,5 i y'=1 za x=l.

904. y"= -12xz +8, ako je y=O za x=O i y=1 za x=2.

Ispitati preeizno promene i konstruisati graflk: partikularnog resenja (905-907):

905. y"=12xz-4 ako je y=O za x=O i y=8 za x=2.

906. y"=12xz-8 ako je y=3 za x=O i y=O za x=1.

907. y"= -12x2 +4 ako je y=3 za x=O i y=4 za X= 1.

Ispitati promene i skicirati graflk: partikularnog resenja,

908. Odrediti opsti integral jednacine y" +aZy=O,

Odrediti opsti integral jednacine (909-916):

909. a) y"+4y=0; b) y"+9y=O,

910. a) y"+5y=0; b) y"-9y'=0.

911. a) y"+3y'=O; b) y"-y'=O.

* 912. a) y"-9y=O; b) y"+16y=O; c) y"-y=O.

* 913. a) y"-6y'+9y=0; b) y"-3y'+2y=0,

b) y"+4y'+7y=0, * 914. a) y"-2y'+5y=0;

* 915. a) y"-6y'+13y=0; b) y"-y'-6y=0.

* 916. a) y"-4y'+3y=0; b) y"-2y'+2y=0.