Fundamentos de Filosofa de laCiencia

Jos A. DezC. Ulises Moulines

Editorial Ariel, S.A.

Barcelona, 1997

Este material se utiliza con finesexclusivamente didcticos

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NDICE

Prlogo .........................................................................................................................................9

CAPTULO 1. Introduccin: Naturaleza y funcin de la filosofa de la ciencia..........................15

1. La ciencia como objeto. Los estudios sobre la ciencia .......................................................152. La ciencia como objeto de estudio filosfico. La filosofa de la ciencia ..............................193. Nuestro tema: Filosofa general de la ciencia emprica ......................................................254. Panorama sucinto de la historia de la filosofa de la ciencia ...............................................27

CAPTULO 2. Argumentos deductivos y argumentos inductivos...............................................35

1. Argumentos, validez y verdad..........................................................................................352. Argumentos deductivos...................................................................................................413. Argumentos inductivos ...................................................................................................50

CAPTULO 3. Contrastacin de hiptesis .................................................................................61

1. Algunos episodios histricos ...........................................................................................632. Elementos de la contrastacin..........................................................................................713. Condiciones para la contrastacin ....................................................................................754. Resultado de la contrastacin...........................................................................................795. Consideraciones finales...................................................................................................88

CAPTULO 4. Los conceptos cientficos ....................................................................................91

1. Qu es un concepto?......................................................................................................912. Conceptos clasificatorios...............................................................................................1013. Conceptos comparativos................................................................................................1084. Conceptos mtricos: estudio preliminar ..........................................................................112

CAPTULO 5. Las leyes cientficas ..........................................................................................125

1. T ipos de generalizaciones y de leyes..............................................................................1262. Leyes y regularidades accidentales.................................................................................1363. Acaecimientos, causalidad y leyes causales.....................................................................1444. Clusulas ceteris paribus y leyes no estrictas..................................................................1495. Probabilidad y leyes probabilistas ..................................................................................1566. La naturaleza de las leyes..............................................................................................166

CAPTULO 6. La medicin en la ciencia .................................................................................173

1. Magnitudes. Medicin y metrizacin .............................................................................1732. Funcin de la medicin .................................................................................................1803. Metrizacin fundamental (*)..........................................................................................1844. Metrizacin derivada (*) ...............................................................................................1995. Procedimientos de medicin directa (*) ..........................................................................2056. Procedimientos de medicin indirecta (*) .......................................................................2117. Consideraciones finales.................................................................................................215

CAPTULO 7. La explicacin cientfica ...................................................................................219

1. Explicacin y explicacin cientfica...............................................................................2192. Cobertura legal inferencial ............................................................................................224

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3. Relevancia estadstica ...................................................................................................2434. Pragmtica de la explicacin .........................................................................................2475. Explicacin y causalidad................................................................................................2516. Unificacin terica .......................................................................................................2567. Apndice: Explicacin teleolgica y funcional (*) ..........................................................261

CAPTULO 8. Anlisis sincrnico de teoras I. La concepcin axiomtica:las teoras como clculos interpretados ....................................................................................267

1. Teoras axiomticas ......................................................................................................2672. Teoras y modelos.........................................................................................................2833. Caracterizacin general de las teoras empricas como clculos interpretados....................2864. Las reglas de correspondencia y la cuestin de la eliminabilidad de los trminos tericos..2935. La distincin terico/observacional, y la naturaleza de la base emprica............................2996. Consideraciones finales.................................................................................................307

CAPTULO 9. Anlisis sincrnico de teoras II. Las concepciones historicistas:las teoras como proyectos de investigacin..............................................................................309

1. La revuelta historicista y la naturaleza sincrnica de las teoras........................................3092. Los paradigmas-matrices disciplinares de Kuhn..............................................................3113. Los programas de investigacin de Lakatos....................................................................3184. Las tradiciones de investigacin de Laudan ....................................................................3205. Consideraciones finales.................................................................................................325

CAPTULO 10. Anlisis sincrnico de teoras III. Las concepciones semnticas:las teoras como entidades modelotericas ...............................................................................327

1. Teoras, enunciados y modelos ......................................................................................3282. La nocin de teora de Suppes........................................................................................3333. Adams y las aplicaciones intencionales ..........................................................................3374. La familia semanticista .................................................................................................3415. La concepcin estructuralista de las teoras.....................................................................3516. Consideraciones finales.................................................................................................365

CAPTULO 11. Relaciones intertericas..................................................................................367

1. Concepto general de relacin interterica .......................................................................3672. Teorizacin ..................................................................................................................3693. Reduccin ....................................................................................................................3734. Equivalencia.................................................................................................................3775. Apndice: Ciencia especial y ciencia bsica; reduccin, mltiple realizabilidad ysuperveniencia (*) ............................................................................................................380

CAPTULO 12. La evaluacin de teoras y el problema de la induccin ..................................393

1. Evaluacin epistmica. El problema de la induccin .......................................................3942. Aproximaciones al problema de la induccin..................................................................4023. Justificaciones, grado de confirmacin y lgica inductiva................................................4084. Falsacionismo, grado de corroboracin y verosimilitud (*) ..............................................4185. Complejidad de las teoras, anomalas y falsacin ...........................................................4306. Consideraciones finales.................................................................................................435

CAPTULO 13. Anlisis diacrnico de teoras: El cambio terico ...........................................439

1. La perspectiva diacrnica en filosofa de la ciencia .........................................................4392. Cambio intraterico ......................................................................................................442

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3. Cambio interterico en general ......................................................................................4494. Cambio interterico como incorporacin ........................................................................4515. Cambio interterico como suplantacin..........................................................................4566. Consideraciones finales: Las formas del progreso cientfico.............................................460

APNDICE. Recordatorio de teora de conjuntos ...................................................................463

1. Conjuntos.....................................................................................................................4632. Relaciones....................................................................................................................4653. Funciones.....................................................................................................................4704. Sistemas y morfismos ...................................................................................................472

Referencias bibliogrficas ........................................................................................................475

ndice onomstico ..........................................................................................................................

ndice temtico expandido .......................................................................................................489

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CAPTULO 4LOS CONCEPTOS CIENTFICOS

Los conceptos son las unidades ms bsicas, y por ello mismo imprescindibles, de toda forma deconocimiento humano, y en especial del conocimiento cientfico. Podemos concordar con Kant en que laexperiencia humana, si no pasara a travs del tamiz de un sistema conceptual, seda "ciega", es decir, no nospermitira comprender lo que experimentamos. Cuanto ms articulado y complejo sea l sistema deconceptos que utilicemos para dar cuenta de una parcela determinada de nuestra experiencia, tanto msarticulado y eficaz ser tambin nuestro conocimiento de la realidad derivado de esa parcela. Estacorrelacin es especialmente vlida para la forma de conocimiento que calificamos de "cientfica", y es porello que el estudio de las formas en que se presentan los conceptos cientficos tiene una importancia deprimer orden para la filosofa de la ciencia.

En este captulo trataremos primero someramente de la cuestin de la naturaleza de los conceptos engeneral, para luego analizar los tres tipos principales de conceptos que pueden distinguirse en la articulacindel conocimiento cientfico: conceptos clasificatorios, conceptos comparativos y conceptos mtricos. Estosltimos, los conceptos mtricos, caractersticos de las teoras cuantitativas, son sin duda los ms tiles para laarticulacin y desarrollo del conocimiento cientfico. En este captulo, sin embargo, nos limitaremos a unaprimera aproximacin muy general a los mismos. En el captulo dedicado especficamente a la medicin(cap. 6) se tratarn con ms detalle tanto su estructura como su funcin.

1. Qu es un concepto?

La naturaleza de los conceptos en general es una de las cuestiones ms difciles de la filosofa y dems amplia tradicin, que se remonta por lo menos a Platn. Es una cuestin ntimamente ligada al llamadoproblema de los universales, y sobre la que ha habido, y contina habiendo, un sinfn de controversias. Estacuestin atae a aspectos centrales tanto de la ontologa como de la teora general del conocimiento, estandoinvolucrados prcticamente todos los grandes temas de la filosofa terica. Puesto que en este libro nopodemos entrar en los temas especficos de dichas ramas de la filosofa, soslayaremos en la medida de loposible los aspectos estrictamente metafsicos y epistemolgicos, y nos centraremos fundamentalmente enaspectos estructurales y metodolgicos; en filosofa de la ciencia no interesa tanto la temtica de losconceptos en general, cuanto el carcter especfico de los conceptos cientficos y sus diferentes formas. Poresta razn, tampoco pretenderemos aqu defender alguna posicin determinada en la ontologa y laepistemologa de los conceptos, sino que nos limitaremos en este apartado a formular algunos supuestos, amodo de "hiptesis de trabajo", de los que partimos para nuestra tarea de analizar los diversos tipos deconceptos cientficos. Las nicas posiciones filosficas que rechazamos explcitamente son a) unnominalismo extremo segn el cual sencillamente no existen los conceptos o stos no son sino expresionesverbales de los seres humanos, y b) la idea de que hay conocimiento "no conceptual"; esta ltima posicin,incluso si fuese defendible de algn tipo de conocimiento, es claramente inadmisible en relacin con elconocimiento cientfico.

Primer supuesto: Los conceptos son entidades, en principio identificables, a las que tienen acceso losseres humanos en tanto sujetos epistmicos. y que les permiten estos conocer el mundo real y orientarse enl. La presencia de conceptos es condicin necesaria de todo conocimiento, y en especial del conocimientocientfico. Un sistema conceptual es uno de los dos constituyentes esenciales de todo sujeto epistmico, ymuy en especial del sujeto de conocimiento cientfico (el otro es un sistema de rganos o instrumentossensoriales que canalizan la experiencia).

Aunque ya hemos dicho que aqu no podemos entrar en la discusin de qu son exactamente losconceptos como entidades, s podemos decir que partimos del supuesto de que no son objetos empricos, almodo por ejemplo de los objetos fsicos o de los fenmenos psquicos. Tentativamente, podramosadscribirlos al "reino" de los sentidos" del que habla Frege o al "tercer mundo" (junto al mundo fsico y alpsquico) del que habla Popper, y que es caracterstico del conocimiento objetivo del ser humano. Sinembargo estas caracterizaciones deben quedar aqu al nivel de vagas metforas. Baste sealar que asumimosque los conceptos no son entidades localizadas espacio temporalmente como son los objetos fsicos, ni

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tampoco acotadas temporalmente como lo son las entidades del mundo psquico. En este sentido, podemosdecir que los conceptos son entidades abstractas. Por el momento, no necesitamos mayor precisin para loque sigue.

Segundo supuesto: Los sujetos epistmicos contraponemos en cierto modo un sistema de conceptosal "mundo real" que es su objeto.

Naturalmente, ste no es el lugar para determinar lo que entendemos por "mundI reaF', cuestin queexcede los presentes lmites. Podemos contentamos con asumir que e mundo real ("externo") es todo aquelloque no se identifica con el sujeto epistmico, y que este mundo est compuesto de diversas clases de objetos.La naturaleza exacta de esto objetos no es, en este contexto, una cuestin relevante. Nos limitamos aobservar que pe "mundo real" no ha de entenderse necesariamente slo la totalidad de los objetos fsicos rmucho menos slo la totalidad de los objetos detectables por nuestros sentidos. Cules sean los "objetosreales" considerados depender, entre otras cosas, de convicciones ontolgicas fundamentales que tampocopodemos discutir aqu. Si creemos que los puntos espaciales son reales, entonces el mundo real constar noslo de cosas tales como astros, gatos y molculas, sino tambin de puntos espaciales; si creemos que losnmeros son reales, entonces contendr tambin nmeros; si creemos que las formas geomtricas, lasestructuras formales, las propiedades de los objetos fsicos y las relaciones entre ellos son reales, entonces elmundo real tambin contendr todas estas cosas, y as sucesivamente. Lo nico que importa constatar aqu esque, sean cuales sean los objetos reales, si logramos conocerlos y reconocerlos es gracias, entre otras cosas, alos conceptos de que disponemos. Los conceptos nos permiten identificar, diferenciar, comparar, etc., losobjetos de los que consta el mundo real. Ello ocurre fundamentalmente a travs de una operacin intelectualque llamamos subsuncin. Por ella, diversos objetos quedan subsumidos bajo un mismo concepto; unconcepto subsume uno o varios objetos (en general muchos). Otro modo equivalente de decir que unconcepto subsume un objeto es decir que el objeto cae bajo el concepto, o que el concepto se aplica alobjeto.

Por ejemplo, subsumimos diversos objetos de observacin nocturna bajo el concepto astro, diversosobjetos de nuestra indagacin matemtica bajo el concepto nmero primo, o diversas relacionesidentificables bajo el concepto simetra. Podemos decir entonces, ante un objeto particular, que ese objetocae bajo el concepto correspondiente: por ejemplo, que la Luna cae bajo el concepto de ' astro, que el 3 caebajo el concepto de nmero primo y que la fraternidad cae bajo el concepto de relacin simtrica. Tambinpodemos decir que el concepto de astro se aplica a la Luna, el Sol, Mercurio, Venus, etc.; que el concepto denmero primo se aplica a los nmeros 1, 2, 3, 5, 7, 11, etc.; que el concepto de simetra se aplica a lasrelaciones de fraternidad, igualdad, semejanza, etc.

Todo objeto cae bajo algn concepto. Incluso si admitimos la posibilidad de objetos por principioinaccesibles al sujeto epistmico -y que por tanto no caen bajo ningn concepto usual, ellos sernsubsumibles bajo el concepto objeto inaccesible al conocimiento humano. En cambio, hay muchos conceptosbien constituidos bajo los cuales es dudoso o probablemente falso que caiga algn objeto; por ejemplo, elconcepto habitante del sol t iene perfecto sentido pero no subsume ningn objeto. A estos conceptos que nose aplican a ningn objeto se les suele denominar 'conceptos vacos'. Los conceptos vacos, cuando sonusados con la pretensin de aplicarse de hecho a objetos, como el concepto flogisto, suponen un "actoepistmico falfido". Pero tambin pueden usarse para otros fines no epistmicos, como los artsticos, porejemplo en la ficcin literaria; en estos casos el concepto no tiene valor epistmico pero s artstico. Otambin pueden usarse para fines estrictamente filosficos, como cuando decimos que el concepto habitantedel sol es vaco.

Desde un punto de vista cientfico, en cualquier caso, los conceptos que interesan son aquellos que seusan con la pretensin de subsumir objetos realmente existentes, como los conceptos flogisto y oxgeno,aunque el primero es vaco y el segundo no (o eso creemos hoy). Debe quedar claro que si en su da seconsider interesante cientficamente el concepto de flogisto fue porque se consideraba (errneamente) quese aplicaba a algo. Una vez se demuestra que no es se el caso, el concepto deja de interesar a finescientficos. Por tanto, supondremos que los conceptos con los que nos las tenemos que haber aqu, losconceptos cientficos, son conceptos (pretendidamente) no vacos.

Esquemticamente podemos representar la correlacin entre los dos "mundos", el real y elconceptual, como se muestra en la figura 4.1.

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Figura 4.1.

Tercer supuesto: En el primer supuesto hemos establecido que los conceptos son, en cierto modo,entidades abstractas, no localizables espaciotemporalmente y por tanto no identificables con objetos fsicos.De ello se sigue, entre otras cosas, que los conceptos no deben, identificarse con palabras o en generalexpresiones de un lenguaje dado, las cuales son, a fin de cuentas, entidades fsicas. Por ello tampocodebemos identificar la tarea del anlisis conceptual con la de un anlisis puramente lingstico (como hanquerido algunos filsofos).

Dicho esto, no obstante, tambin debemos advertir que hay una ntima conexin entre un sistema deconceptos y un sistema lingstico, entre conceptos y palabras. La relacin que existe entre ambos tipos deentidades es una relacin semnticamente muy importante: la expresin. Las palabras, o en general lostrminos de un lenguaje, expresan conceptos. Y como no tenemos un acceso sensorial directo a losconceptos, pero s a las palabras, es por ello que el anlisis lingstico a fin de cuentas si puede resultarrelevante para el anlisis conceptual, en el sentido de que nos puede dar indicaciones acerca de la estructuraconceptual subyacente al lenguaje. Las palabras nos remiten a los conceptos, nos permiten apresarlos ycomunicarlos en la mayora de los casos, aunque quiz no en todos, pues debemos admitir la posibilidad deconceptos inexpresables (o no bien expresables) mediante el repertorio de palabras existente en una lenguadada. Conviene notar que la relacin de expresin es (idealmente) una funcin, esto es, un mismo trminolingstico (idealmente) slo expresa un nico concepto; en caso contrario estamos ante un fenmeno deambigedad lingstica en el que la misma entidad fsico-lingstica encubre, por as decir, dos significantesdiferentes (como 'banco' o 'gato' en castellano). Por otro lado, la conversa no es cierta: la expresin no es unafuncin biunvoca, pues puede haber palabras diferentes que expresen el mismo concepto; esto es lo queocurre con las expresiones sinnimas, tanto de diferentes lenguas como de una misma lengua (como 'burro' y'asno' en castellano).

Las expresiones lingsticas de una lengua, sus trminos, palabras o frases, son objetos reales enprincipio comparables a otros objetos empricos como astros o gatos. Pertenecen tambin al mundo real. Perola relacin entre los trminos del lenguaje y los conceptos que ellos expresan es muy distinta de la relacinentre un objeto real y el concepto que lo subsume. Por ello conviene enriquecer el esquema anterior delsiguiente modo. (La fig. 4.2 recoge el hecho de que diferentes trminos pueden expresar un mismo concepto.

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Por otro lado, en tanto que objetos del mundo real, los trminos mismos pueden ser subsumidos a su vez porotros conceptos, por ejemplo conceptos como trmino predicativo, trmino singular, adjetivo, etc. Noincluimos este hecho en el grfico para no dificultar la visualizacin de los otros hechos que ahora queremosdestacar.)

Figura 4.2.

Naturalmente, no todos los componentes de una lengua dada son aptos para expresar conceptos. Porejemplo, es muy dudoso que lo sean la mayora de los llamados "trminos sincategoremticos" (artculos,preposiciones, etc.). Tambin puede ocurrir que, aun cuando dos o ms palabras expresen conceptos, sucombinacin (aunque sea gramaticalmente correcta) no exprese ningn concepto. As, las palabrascastellanas redondo y tringulo expresan ciertamente cada una un concepto, pero su combinacingramaticalmente correcta tringulo redondo seguramente no expres ninguno (de expresarlo sera unconcepto necesariamente vaco). Tambin se suele admitir (aunque esto es ms discutible) que los nombrespropios o trminos singulares, como 'Marilyn Monroe' o 'la capital de Espaa' no expresan conceptos.

En el contexto de los lenguajes cientficos, que es el que a nosotros nos interesa aqu, podemos partirde la observacin de que prcticamente todos los trminos no-sincategoremticos introducidos expresan unconcepto. Y estos trminos tienen casi unnimemente una determinada forma lgica: son predicados. Conello pasamos a nuestro siguiente supuesto.

Cuarto supuesto: En los lenguajes cientficos, los trminos que expresan conceptos tienen (casi)siempre la forma lgica de predicados n-dicos, con n 1.

Los conceptos ms simples sern aquellos expresables mediante predicados mondicos (como luegoveremos, ste es el caso de los conceptos clasificatorios); los conceptos ms complejos se expresarnmediante relatores didicos, tridicos, o incluso ms complicados. En cualquier caso, dado que, en uncontexto cientfico, las expresiones que ms interesan son las predicativas, podemos aplicar todo el arsenalsimblico de la lgica de predicados para formalizar las conexiones entre conceptos en nuestro sistemaconceptual. Por ejemplo, la relacin entre los conceptos humano y mortal quedar fijada en la frmulapredicativa

x (Hx Mx),

donde 'H' es la abreviacin del predicado 'es humano' y 'M' la de es mortal. O bien podremos expresar la"verdad conceptual" de que, si una persona es progenitora de otra, la segunda no lo ser de la primera,mediante la frmula

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x, y (x Py y Px),

donde P es la abreviacin del predicado relacional 'es progenitor de'.Ahora bien, de las disciplinas formales no es slo la lgica de predicados la que contribuye

decisivamente al anlisis conceptual; otra rama de las ciencias formales muy til a nuestros fines, sobre todoen un contexto cientfico, es la teora de conjuntos. La razn de ello es que, para muchos fines del anlisisconceptual, aunque no para todos, conviene sustituir el tratamiento de los' conceptos mismos (o de lospredicados que los expresan) por el de las extensiones de los mismos, esto es, por el de los conjuntos deobjetos que caen bajo cada concepto. Con eso llegamos a nuestro ltimo supuesto, que es, el que fundamentaeste recurso a las extensiones en el anlisis conceptual.

Quinto supuesto: Existen conjuntos (en el sentido de la teora estndar de conjuntos) y la extensinde un concepto cualquiera es un conjunto en ese sentido, el conjunto de los objetos que caen bajo l (o de lospares de objetos, si es binario; o de los tros, etc.).

Por supuesto, no todo conjunto es la extensin de un concepto; por ejemplo, el conjunto formado porMarilyn Monroe, el nmero 3 y el planeta Neptuno no es la extensin de ningn concepto, aunque, desde elpunto de vista de la teora de conjuntos, es un conjunto tan bien formado como cualquier otro. Quiz serams cauteloso decir slo que conjuntos como se no son la extensin de ningn concepto "razonable", puesen cierto sentido se podra defender que si hay un concepto correspondiente, a saber, el concepto ser MarilynMonroe o ser el nmero 3 o ser el planeta Neptuno. Es seguro que este no es un concepto "razonable", y esms que dudoso que se pueda considerar siquiera un concepto legtimo, ms bien es algo as como "unconjunto disfrazado de concepto", o incluso "un mero predicado". Aclarar esta cuestin a fondo requiere unanlisis del concepto de concepto en el que no podemos entrar aqu. En cualquier caso, consideraremos engeneral que tales supuestos conceptos son, cuando menos, "perversos".

Cuando disponemos de conjuntos que si son extensiones de conceptos dados, les podemos aplicar aellos los principios y las operaciones de la teora de conjuntos, y establecer o revelar as indirectamentedeterminadas conexiones entre los conceptos que tienen tales extensiones. Denotaremos en general laextensin de un concepto C mediante el signo . As, por ejemplo, podemos reformular conjuntistamentela relacin entre el concepto de humano y el de mortal mediante sus extensiones:

.MH

Y el enunciado sobre la asimetra de la relacin de progenie se convierte en:

PP 1 =

Ahora bien, no siempre es adecuado sustituir la consideracin directa de los conceptos por laconsideracin sobre sus extensiones. En general, si vale MH , entonces una afirmacin que incluye elpredicado 'H' implica otra consistente en sustituir en la primera el predicado 'H' por el predicado M. Porejemplo, si es cierto que Luisa tropez con un hombre, entonces tambin es cierto que Luisa tropez con unmortal. Pero no siempre ocurre as. Por ejemplo, si Judas cree que Jess es hombre entonces, por mucho quesiga valiendo de hecho MH , puede no ser cierto que Judas crea que Jess es mortal (el motivo,obviamente, es que Judas puede no creer que de hecho ocurra MH , o incluso creer que de hecho noocurre). Los contextos o formas de discurso en los que no es legtima la sustitucin de las relaciones entreextensiones por las relaciones entre los correspondientes conceptos, son los denominados contextos odiscursos intensionales, por oposicin a los contextos extensionales, en los que s vale tal sustitucin; as,t picamente los contextos que incluyen operadores epistmicos (como 'creer') o modales (como 'posible' o'necesario') son intensionales. Aunque muchas de las cuestiones metacientficas son susceptibles de unanlisis puramente extensional, en algunos casos especialmente importantes, como en el anlisis de laexplicacin o de las leyes, intervienen esencialmente fenmenos intensionales. ste no es el caso, sinembargo, de nuestra actual finalidad, el anlisis de la estructura lgica de los diversos tipos de conceptoscientficos. Por tanto, en el resto de este captulo adoptaremos una perspectiva puramente extensionalista, esdecir, consideraremos siempre legtimo sustituir los conceptos por sus extensiones, con lo cual tendremossiempre a nuestra disposicin todo el instrumental de la teora de conjuntos para llevar a cabo un anlisisconceptual lo ms sistemtico y preciso posible.

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Desde esta perspectiva extensionalista, denominaremos 'representacin' a la relacin que se da entreun conjunto y el concepto del cual es extensin: si la extensin del concepto C es el conjunto , diremos que representa a C. Ntese que esta relacin no es una funcin, esto es, un mismo conjunto puede representarconceptos diferentes. El motivo es que puede haber diferentes conceptos con la misma extensin, que seaplican a los mismos objetos, por ejemplo los conceptos animal racional y bpedo implume. Pues bien, siadmitimos la hiptesis ontolgica de que los conjuntos son entidades reales (al menos tan reales como losnmeros y las formas geomtricas), entonces convendr enriquecer nuestro esquema de la relacin entre losconceptos y el mundo del siguiente modo. (La fig. 4.3 recoge el hecho de que diferentes conjuntos puedenrepresentar un mismo concepto. Por otro, lado, en tanto que objetos del mundo real, los conjuntos pueden asu vez ser subsumidos por otros conceptos, por ejemplo conceptos como conjunto finito, conjunto con masde ocho elementos, conjunto infinito, etc. No incluimos este hecho en el grfico para no dificultar lavisualizacin de los otros hechos que ahora queremos destacar.)

Figura 4.3.

En los apartados que siguen estableceremos una distincin tripartita entre tres grandes clases deconceptos cientficos (y los correspondientes trminos que los expresan), atendiendo a su estructura lgico-matemtica caracterstica, la cual, a su vez, refleja el diverso carcter y valor metodolgico de cada una deestas clases de conceptos. La distincin en cuestin est conectada con el tradicional problema de distinguirentre un sistema conceptual cualitativo y uno cuantitativo para las ciencias, si bien, como veremos, permitereformular esta cuestin de manera ms exacta y matizada que la formulacin tradicional. Estos tres grandestipos de conceptos son: los clasificatorios, los comparativos (o topolgicos) y los mtricos.

A los conceptos de los dos primeros tipos se les puede considerar "cualitativos", mientras que los delltimo, los mtricos, son "cuantitativos". Se ha discutido mucho sobre sus respectivas ventajas y desventajas,sobre si determinadas disciplinas deberan tender al uso de conceptos cualitativos o bien cuantitativos, etc.Sin pretender negar que en esta discusin se han sealado algunos aspectos que constituyen problemasgenuinos de metodologa, como veremos ms adelante, antes de entrar a fondo en ella es conveniente hacerlas siguientes aclaraciones.

a) La distincin entre lo cualitativo y lo cuantitativo se ha tomado con frecuencia como unadistincin fundamentalmente ontolgica, cuando debera en realidad tomarse como una distincinepistemolgica, basada ante todo en la estructura conceptual con la que nosotros conceptualizamos la

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realidad. A veces se afirma que hay propiedades o fenmenos del mundo real que son en s mismoscualitativos y otros que son en s mismos cuantitativos; es decir, se supone que la realidad es en ciertas partescualitativa y en otras cuantitativa, y que nuestro uso de conceptos cualitativos o cuantitativos depende deltipo de realidad que estemos investigando, por lo que no podemos o no debemos aplicar conceptoscuantitativos a una parte cualitativa de la realidad, o a la inversa. Tambin es frecuente que se haga unadivisin entre disciplinas cientficas segn que estudien aspectos cuantitativos o bien cualitativos de larealidad; por ejemplo, se suele decir que la fsica es una ciencia que estudia los aspectos cuantitativos,mientras que las ciencias sociales estudiaran aspectos puramente cualitativos, que por su misma naturalezano pueden ser tratados cuantitativamente. Todo esto son confusiones derivadas de la confusin bsica entreel plan ontolgico y el epistemolgico. Ni el mundo globalmente considerado, ni ninguna parcela del mismoes en s misma cualitativa o cuantitativa. Carece de sentido decir que, un, fenmeno o proceso real es en smismo cualitativo o cuantitativo. No es la realidad misma o un fenmeno particular lo que es cualitativo ocuantitativo, sino el modo como lo describimos, es decir, el aparato conceptual que utilizamos paraaprehenderlo. Depende esencialmente del sujeto epistmico, y no de la realidad misma, sea sta lo que sea, elque usemos conceptos de una u otra clase para subsumirla bajo ellos. A veces es ms provechoso, o mssencillo, usar un tipo de conceptos que otro tipo. El dominio de experiencia de que se trate no es lo quedecide por s solo esta cuestin, aunque es cierto que hay aspectos de la realidad que, al menos de momento,"no se dejan" conceptualizar cuantitativamente de modo interesante (sobre esto volveremos en la seccinfinal del captulo 6 dedicado a la medicin).

b) A veces se otorga una prioridad absoluta a los conceptos cuantitativos frente a los cualitativos, eincluso se piensa que una disciplina cualquiera no es realmente cientfica mientras no use conceptoscuantitativos. Y en este contexto se suele seguir, consciente o inconscientemente, la idea kantiana de que enuna disciplina hay tanta ciencia como matemticas hay, con lo cual, adems, se suele identificar el nivel dematematizacin de una disciplina con su nivel de cuantificacin. Y, en consecuencia, muchos investigadoresde reas aun poco desarrolladas, especialmente en las ciencias sociales, tratan de introducir conceptoscuantitativos aun cuando ello sea a veces muy forzado. Hay, en esta tendencia o actitud, por lo menos dosconfusiones que conviene aclarar. En primer lugar, es cierto que una disciplina cientfica se desarrollar tantoms rpida y eficientemente cuanto ms claros y exactos sean sus conceptos y ms rigurosa su construccin,y ello implica en muchos casos la necesidad o la conveniencia de utilizar un lenguaje matemtico. Peromatematizar no es equivalente a usar conceptos cuantitativos. Hay muchas ramas de las matemticas, desdela topologa hasta la teora de grafos pasando por la teora de grupos, que pueden ser tiles a las cienciasempricas (y que de hecho ya han sido aplicadas con xito en algunas reas) y que sin embargo nopresuponen conceptos cuantitativos. Estos ltimos son, como veremos, una forma muy especial deconstrucciones matemticas. En segundo lugar, la introduccin de conceptos cuantitativos no es la panaceaque promueve automticamente el desarrollo de una teora. Ni siquiera son siempre necesarios. Hay muchosejemplos de uso de conceptos cuantitativos en las ciencias sociales que no han aportado el desarrolloesperado. Y hay casos, como el de la taxonoma clsica en biologa, que han significado grandes avances enel conocimiento cientfico sin que en ellos se haya hecho uso de conceptos cuantitativos. En conclusin, sibien es cierto que los conceptos cuantitativos son los ms tiles para el desarrollo rpido de la ciencia (porrazones que veremos ms adelante), hay que juzgar con cautela y de modo pragmtico en esta cuestin, y norechazar dogmticamente una disciplina como no-cientfica por el simple hecho de que no aparezcanconceptos cuantitativos en ella.

Tras estas consideraciones podemos iniciar ya el estudio de cada uno de los diferentes tipos deconceptos. Como se ver, hay relaciones de correspondencia muy estrechas entre ellos. Aunque en sentidoestricto no podemos decir que un concepto mtrico es tambin un concepto comparativo, o que unocomparativo es tambin clasificatorio, s hay un sentido ms lato en que ello es cierto: cada concepto mtricose corresponde con un concepto comparativo, y cada concepto comparativo con uno clasificatorio. As, unmismo concepto en trminos intuitivos, como por ejemplo masa, se puede reconstruir metatericamentecomo un concepto clasificatorio, como uno comparativo o como uno mtrico. En este sentido el concepto, demasa es a la vez de los tres tipos. Veremos que ello no siempre es posible: aunque a todo concepto mtrico lecorresponde otro comparativo y a todo comparativo uno clasificatorio, las conversas no son ciertas, hayconceptos comparativos a los que no corresponde ninguno mtrico, y conceptos clasificatorios a los que noles corresponde ninguno comparativo. As pues, los conceptos mtricos son los ms fuertes, despus vienenlos comparativos y por ltimo los clasificatorios. Empezaremos nuestro anlisis por estos ltimos, los msdbiles, y despus iremos progresando en fuerza expresiva (como fuente histrica, el trabajo clsico esHempel, 1952).

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2. Conceptos clasificatorios

Los conceptos clasificatorios son los usados ms comnmente en la vida cotidiana. Son los primerosque se aprenden. La gran mayora de conceptos que emplea un nio son herramientas para subsumir losobjetos que lo rodean de acuerdo a ciertos criterios vagamente especificados, generalmente basados enejemplos y relaciones de analoga. As es corno el nio aprende a usar conceptos clasificatorios de color(rojo, azul, etc.), conceptos clasificatorios de forma (redondo, cuadrado, etc.), conceptos clasificatorios detemperatura (caliente, tibio, fro), de animales y plantas (perro, guila, pjaro, rbol), de sustancias (oro,agua), de objetos de uso (mesa, plato, martillo) y muchos otros. Este enorme acervo de conceptos siguesiendo usado por el adulto en las situaciones normales de su vida cotidiana, y slo es en contextos especiales,particularmente los cientficos, cuando se nota la insuficiencia de los conceptos clasificatorios y hay quepasar a otro tipo de, conceptos. Clasificar es la manera ms simple y directa de subsumir mltiples y diversosobjetos bajo un mismo concepto y aprehender rasgos interesantes del mundo que nos rodea, y en una ampliavariedad de situaciones nos basta con ello para dar cuenta de las cosas y transmitir informacin.

Desde el punto de vista de su forma lgica, los trminos que expresan conceptos clasificatorios sonmuy simples: son predicados mondicos. Desde el punto de vista conjuntista, la extensin de un conceptoclasificatorio es un conjunto simple, sin estructura interna. La idea bsica que se halla tras estos conceptos esla de clasificacin. Clasificar cierto dominio de objetos no es ms que agruparlos en grupos disjuntos,ninguno de ellos vaco, y tales que entre todos los grupos estn todos los objetos del dominio en cuestin.Una clasificacin de un dominio es simplemente, en trminos conjuntistas, una particin del mismo. Puesbien, si dicha particin se realiza mediante criterios sistemticos, entonces es preciso recurrir a ciertosconceptos, a una coleccin de conceptos que den los criterios de agrupacin. Estos son los conceptosclasificatorios, elementos de un sistema conceptual que conjuntamente generan una particin del dominio deaplicacin. La siguiente definicin semiformal expresa esta idea.

Definicin 4.1:

Un concepto C es un concepto clasificatorio para el dominio (no-vaco) de objetos D si y slo sipertenece a un sistema de conceptos {C1, ..., Cn}, con n 2, que cumple las dos siguientes condiciones:

(1) Los objetos de D se subsumen bajo cada Ci (1 i n) de acuerdo a criterios sistemticos.(2) Las extensiones de cada Ci (1 i n) constituyen, tomadas en su conjunto, una particin de D.

Muchas pretendidas clasificaciones violan claramente los dos requisitos mencionados. Un casoextremo y divertido, pero adems interesante porque revela de manera insuperable el modo como no debehacerse una clasificacin, es la supuesta "enciclopedia china" que Jorge Luis Borges nos presenta en surelato El idioma analtico de John Wilkins, segn la cual los animales se dividen en: a) pertenecientes alEmperador, b) embalsamados, c) amaestrados, d) lechones, e) sirenas, f) fabulosos, g) perros sueltos, h)incluidos en esta clasificacin, i) que se agitan como locos, j) innumerables, k) dibujados con un pincelfinsimo de pelo de camello, l) etctera, m) que acaban de romper el jarrn, n) que de lejos parecen moscas".1Es obvio que esta pretendida clasificacin no cumple con los dos requisitos arriba mencionados ni siquierade manera aproximada. En efecto, no se puede detectar en absoluto ningn criterio siguiendo el cual se hayaconstruido esta clasificacin de los animales de modo sistemtico, sino que es patente la absolutaarbitrariedad de la caracterizacin de los diversos grupos; por otro lado, las condiciones formales de unaparticin tampoco se cumplen, ya que hay clases vacas (como las categoras e) y f)), animales que puedenpertenecer a dos clases distintas (por ejemplo, que pertenezcan a a) y b) a la vez) o a ninguna de lasmencionadas (en realidad, la mayora de los animales).

Naturalmente, ningn cientfico en su sano juicio propondra en serio una clasificacin como la de la"enciclopedia china" de Borges. Sin embargo, en muchas clasificaciones que se proponen en contextoscientficos, si las analizamos con cuidado, encontraremos disonancias como las ejemplificadas jocosamentepor Borges, aunque naturalmente mucho menos obvias. As, es frecuente que haya disputas entre los propioscientficos sobre el criterio o los criterios que haya que seguir para construir la clasificacinsistemticamente; y en cuanto a su carcter de particin, suelen admitirse ms o menos veladamente y demala gana algunas "excepciones". No se trata de negar, por supuesto, el valor que puedan tener en un

1 CL J. L. Borges: Obras completas, Emec, Buenos Aires, 1974, p. 708.

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momento dado del desarrollo de una disciplina clasificaciones que no cumplan exactamente con losrequisitos mencionados; pero la comunidad cientfica debe ser consciente del carcter provisional de unaclasificacin no plenamente satisfactoria y ello debe servir de estmulo para buscar mejores mtodos deconstruccin de clasificaciones.

Dado que fijar una particin sobre un dominio es lo mismo que determinar cierta relacin deequivalencia que "induzca" la particin, en vez de proceder directamente a definir cada una de las clases quesupuestamente van a constituir la clasificacin, en muchos casos lo ms expedito y controlable es determinarprimero en general una relacin' emprica (atendiendo a criterios empricamente controlables y sistemticos)entre los objetos del dominio que queremos clasificar, de la cual suponemos o comprobamos que es unarelacin de equivalencia. Si logramos identificar una relacin con tales caractersticas, ya habremos dado elpaso esencial, puesto que una relacin as nos inducir automticamente una particin perfecta sobre eldominio estudiado. Y, adems, no slo obtendremos la particin deseada, sino que sta habr sidoestablecida a travs de un criterio sistemtico, universal, que es el determinado por las condiciones empricasexpresadas por la misma relacin de equivalencia. Veamos algunos ejemplos.

Despus de una larga historia de intentos de clasificar los cuerpos en sustancias por sus diversaspropiedades qumicas, actualmente disponemos de una relacin de equivalencia, apoyada en condicionesempricamente controlables, que determina la particin de cierto dominio de cuerpos en verdaderas clases deequivalencia que son lo que llamamos "elementos qumicos". La relacin de equivalencia en cuestin es lade igualdad en el nmero de protones en los tomos respectivos; ms precisamente, la relacin RE quebuscamos entre cuerpos puede definirse as:

"Dados dos cuerpos, x, y: x RE y syss los tomos de x t ienen el mismo nmero de protones que lostomos de y."

Obviamente, sta es una relacin de equivalencia. Las condiciones empricas para establecer estarelacin las proporciona la fsica atmica. Est claro que esta clasificacin no agota todos los cuerposexistentes en la Naturaleza; pero dentro del mbito relativamente restringido de los cuerpos que sonsustancias puras no ulteriormente disociables en sustancias qumicamente distintas, la divisin en elementoses una buena particin.

Otro ejemplo es el siguiente. Desde los principios de la rama de la lingstica que conocemos como'fonologa', hubo inters en segmentar el discurso hablado en unidades mnimas de significacin, es decirsonidos constituyentes de una palabra que no pudieran modificarse sin que un hablante normal de la lenguaen cuestin sintiera que se ha cambiado, de palabra. De tales sonidos se dice que poseen un "valordistintivo". As, el sonido castellano "ll" t iene el mismo valor distintivo que "y", porque en el discursohablado no se distingue la palabra "halla" de "haya" (a pesar de que puede haber ciertas diferenciasdialectales o hasta individuales en la forma como se pronuncian dichos sonidos). En cambio, "ll" t ienediferente valor distintivo que 'l', pues si en la palabra "olla" sustituimos la "ll" por "l", obtenemos "ola", quetodo hispanohablante reconocer como una palabra de significado distinto. A las clases de equivalenciadesonidos que tienen el mismo valor distintivo se las llama "fonemas". Y la relacin de equivalencia RF queda lugar a la. particin en, fonemas podramos definirla as:

Para dos sonidos cualesquiera x, y: x RF y syss el valor distintivo de x es el mismo que el de y paraun hablante normal.

sta es una relacin que se puede determinar y controlar por mtodos empricos de carcter general(fonticos, estadsticos), y el hecho de que sea o no efectivamente una relacin de equivalencia (enparticular, de que sea transitiva) es una cuestin emprica, pero que parece bastante bien confirmada.

La historia que est detrs de estos dos ejemplos, y de muchos otros que podramos mencionar, ascomo los problemas empricos y tericos que suscita el establecimiento y control de las relaciones deequivalencia en cuestin, muestran que no es fcil fijar de una vez por todas cul de varias relaciones deequivalencia que se presentan como posibles en un dominio dado es efectivamente el candidato msadecuado para obtener la clasificacin que tenemos en mente. El proceso de seleccin de la relacin deequivalencia adecuada es a veces un proceso muy largo y costoso, para el que ni siquiera est claro que sehaya llegado a una conclusin satisfactoria. Este proceso puede incluso llegar a formar parte de los esfuerzoscentrales de una disciplina. Un buen ejemplo de ello es el caso de la taxonoma biolgica, en particular de laclasificacin de los organismos en especies. En un principio, el criterio bsico de clasificacin de losorganismos fueron sus diversas caractersticas morfolgicas. Sin embargo, con el progreso de los estudios

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comparativos y los anlisis de detalle, pronto se vio que en muchas ocasiones es difcil decidir cules de lascaractersticas morfolgicas deben ser consideradas como las esenciales a una especie, o bien la decisin setomaba de manera arbitraria (es decir, no sistemtica). Por ello se busc un mejor mtodo de clasificacin,basado en el criterio universal de la capacidad reproductiva. As, en los Principios de zoologa sistemtica deErnst Mayr encontramos que una especie se define como "un grupo de [organismos de] una poblacinnatural que se aparean actual o potencialmente, y que estn reproductivamente aislados de otros grupossemejantes". Tratemos de fijar ms precisamente la relacin de equivalencia que subyace a esta particin delos organismos en especies. La relacin podra definirse as en primera instancia:

"Dados dos organismos cualesquiera x, y: x pertenece a la misma especie que y syss x puedeaparearse reproductivamente con y bajo condiciones normales."

En una elucidacin ms rigurosa hay que tomar en cuenta el hecho banal de que x e y pueden tener elmismo sexo o incluso ser el mismo organismo. Si usamos 'S' como abreviatura notacional de 'pertenece a lamisma especie que', y 'A' como abreviatura de es apareable reproductivamente con, entonces podremosdefinir la relacin que buscamos de la siguiente manera:

x,y: xSy def z ((xAz x = z) (yAz y = z))

Admitiendo que el aparearse reproductivamente es una relacin simtrica, es fcil ver que la relacinas definida es una relacin de equivalencia (dejamos la prueba de ello al lector como ejercicio).

Ahora bien, si pretendemos aplicar esta relacin universalmente nos enfrentaremos a problemasdifciles de resolver en algunos casos concretos. A veces ser difcil decidir cules son las "condicionesnormales" que deben darse para que se posibilite un apareamiento reproductivo; asimismo, est claro que elcriterio no es aplicable a los organismos asexuados, y sin embargo, tambin queremos clasificar stos enespecies; finalmente, la existencia de hbridos tambin nos puede provocar algn problema. Enconsecuencia, si bien la propuesta de una relacin de equivalencia para los organismos basada en el criteriode apareamiento reproductivo es muy til en una gran mayora de casos, todava no es perfecta, dado quehabr casos en que su aplicacin ser dudosa cuando no imposible. En particular, el requisito de particin nosiempre quedar satisfecho, ya sea porque no se agota el dominio entero de los organismos (los asexuadosquedan fuera), o bien porque algunos organismos (los que son capaces de engendrar hbridos) pertenecern ados clases distintas. En el primer caso se viola la condicin de exhaustividad y en el segundo la de mutuaexclusin. Por todo ello, los bilogos han tratado de desarrollar un criterio de especie que sea ms general yconfiable que el criterio reproductivo y que no d lugar a excepciones y traslapes; ello se ha intentado atravs de nociones genticas. Sin embargo, tambin aqu han surgido problemas en los ltimos aos, sobretodo con el auge de la ingeniera gentica, que parece haber afectado seriamente la idea misma de especie, almenos a nivel de los microorganismos.

Hemos considerado este ejemplo con cierto detenimiento porque es bastante tpico de la clase deproblemas que puede enfrentar el intento de una clasificacin cientfica, y al mismo tiempo del papel quejuega el esfuerzo por aproximarse a las condiciones ideales de una clasificacin para el progreso de unadisciplina. Ambos requisitos estipulados, y especialmente el de particin, constituyen un ideal hacia el cualtienden o se aproximan las clasificaciones cientficas. Su papel es estimular la investigacin, a veces a unnivel muy profundo, para dar con clasificaciones mejores que las presentes, cuando stas no cumplenexactamente los requisitos mencionados. Los principales problemas metodolgicos que pueden surgir alintentar una clasificacin cientfica de cierto dominio son los siguientes. En primer lugar, los criteriossistemticos que haya que seguir para establecer la relacin de equivalencia necesaria pueden no estarclaramente formulados o ser muy difciles de aplicar en la prctica; adems, puede no haber consenso entrelos especialistas acerca de cul de entre varios criterios posibles es el ms adecuado. En segundo lugar, lasdos condiciones necesarias para obtener una verdadera particin pueden encontrar "excepciones", es decir, larelacin que subyace a la particin puede no ser exactamente una relacin de equivalencia, sino slo serlo demanera. aproximada: pueden encontrarse objetos del dominio que no han sido "cubiertos" por ninguna clasede la particin, o bien otros objetos que pertenecen a la vez a dos clases distintas. Hay, naturalmente, uncierto margen de tolerancia para tales excepciones. Si no son muy numerosas, o sistemticas, puede que laclasificacin se acepte tal como est ... hasta nuevo aviso.

Adems de los dos requisitos postulados para toda buena clasificacin (el de sistematicidad y el degenerar una particin), pueden tomarse en consideracin otras caractersticas posibles de las clasificacionesque, si bien no son necesarias, pueden resultar convenientes en un rea dada. Entre estas condiciones

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adicionales que se pueden requerir de una clasificacin est, en primer lugar, la de que el nmero de clasesde equivalencia de que conste la particin no sea demasiado reducido para nuestros propsitos. En general,cuanto mayor sea el nmero de clases de equivalencia obtenida en la particin, tanto mejor, pues tanto mayorser la capacidad de discriminacin de la clasificacin propuesta; aunque, claro est, este nmero tampocodebe ser tan grande que haga que la clasificacin resulte impracticable. Las clasificaciones ms pobres desdeel punto de vista de su poder discriminatorio son las dicotmicas, qu e constan slo de dos clases deequivalencia. Y, dentro de las dicotomas, las menos tiles son las que resultan simplemente de afirmar onegar una determinada propiedad de los objetos de un dominio. Por ejemplo, si dividimos los habitantes deun pas entre los que poseen un ttulo universitario y los que no lo poseen, aunque sta es una clasificacinque satisface perfectamente los dos requisitos fundamentales, sin embargo no es un tipo de clasificacin quenos sirva de gran cosa desde un punto de vista cientfico. Ms interesantes son las dicotomas basadas en dospropiedades lgicamente independientes, pero que empricamente resulta que agotan entre ambas el dominioque se considera. Pinsese, por ejemplo, en el valor que tiene para la biologa la divisin de los organismossexuados entre machos y hembras (que no hay que confundir con una posible divisin, mucho menosinteresante, que se hiciera entre hembras y no-hembras, pongamos por caso). Como regla general, sinembargo, las dicotomas son poco interesantes desde un punto de vista cientfico (si bien son muy frecuentesen nuestra vida cotidiana como un modo "rpido" de enfrentarnos al mundo que nos rodea: divisiones comolas que se establecen entre "buenos" y "malos", "amigos" y "enemigos", "ricos" y "pobres", etc.).

Cuando sobre un mismo dominio se han establecido dos diferentes clasificaciones, cuyas particionescorrespondientes P1 y P2 cumplen lo siguiente:

A P1 B P2 A B,

es decir, intuitivamente, que las clases de equivalencia de que consta la particin P1 son "subdivisiones" delas de P2 (y por tanto P1 t iene un mayor nmero de clases que P2), entonces diremos que la clasificacincorrespondiente a P1 es ms fina que la clasificacin correspondiente a P2. Est claro que, dadas dosclasificaciones del mismo dominio, tales que una sea ms fina que la otra, preferiremos adoptar la ms fina,pues nos proporciona mayor poder de discriminacin.

Las clasificaciones ms tiles son las que forman parte de jerarquas taxonmicas o, como tambinse las llama, rboles clasificatorios. Se trata de rboles, o "pirmides" resultantes de la sucesivasuperposicin de clasificaciones de tal manera que en cada nivel de la pirmide tenemos una clasificacinms fina que en el nivel anterior. Un ejemplo sencillo de una pirmide taxonmica lo encontramos en laclasificacin de los cuerpos desde el punto de vista qumico:

Figura 4.4.

sta es una clasificacin muy simple porque procede por sucesivas dicotomas (aunque esto no lequita su valor). Jerarquas taxonmicas mucho ms complicadas las encontramos en biologa, donde hanjugado un enorme papel en la investigacin. Un segmento de una de esas jerarquas es el siguiente:

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Figura 4.5.

Otra jerarqua zoolgica mucho ms refinada consiste en la siguiente pirmide:

Figura 4.6.

Cada uno de los rtulos representa una clase de equivalencia de una particin de los animales a ciertonivel. Las clasificaciones son cada vez ms finas de arriba abajo. Naturalmente que estos esquemas

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representan slo una pequea parte de la pirmide total de la clasificacin de los animales. Cuando las clasesde equivalencia de una particin forman parte de una pirmide o jerarqua taxonmica se las suele denominar'taxones'. En estos ejemplos, cordado, vertebrado y mamfero son tres distintos taxones de clasificacionessucesivamente ms finas en las jerarquas respectivas.

3. Conceptos comparativos

Desde un punto de vista metodolgico, los conceptos comparativos constituyen una categoraintermedia entre los conceptos clasificatorios y los mtricos o cuantitativos. Histricamente, ha ocurrido confrecuencia que los conceptos comparativos han sido la antesala de los conceptos cuantitativos que se hanintroducido posteriormente. Ello sugiere que, cuando una rama de la ciencia an no ha alcanzado una fase desu desarrollo que le permita la introduccin sistemtica y adecuada de conceptos mtricos, no por ello hayque creer que est limitada al uso de conceptos clasificatorios, sino que posiblemente se halle en capacidadde hacer uso de conceptos comparativos. Los conceptos comparativos, si se definen adecuadamente, sonmucho ms potentes que los conceptos clasificatorios que les corresponden, puesto que no slo nos permitenclasificar un dominio dado, sino que adems permiten ordenarlo. A cada concepto comparativo genuino se leasocia invariablemente un conjunto de conceptos clasificatorios, de modo que puede decirse que el primeroimplica los segundos; pero implica algo ms: un ordenamiento de los objetos subsumidos bajo l.

Los conceptos comparativos fueron muy usuales en los estadios iniciales de la fsica, por ejemplo,los conceptos de peso y calor se usaron sistemticamente, como conceptos comparativos antes de que sepudieran manejar apropiadamente como conceptos cuantitativos en sentido genuino. Asimismo, losconceptos comparativos son todava muy tiles en otras reas de la ciencia: en psicologa (por ejemplo, losconceptos de inteligencia, introversin, neuroticidad), en biologa (el concepto de adaptacin y otrasnociones de la teora de la evolucin), en geologa (el concepto de dureza, por ejemplo), en qumica clsica(el concepto de acidez).

Desde un punto de vista lgico, los conceptos comparativos son de carcter rela-cional; o, dicho msrigurosamente, los trminos que expresan conceptos comparativos estn constituidos lgicamente hablandopor dos predicados didicos estrechamente interconectados: uno K que denota una relacin de coincidenciao equivalencia en cierto respecto, y otro 'P' que denota una relacin de precedencia. Ambas relaciones debenestar definidas, naturalmente, sobre el mismo dominio de objetos empricos. La primera relacin es la quenos permite clasificar ese dominio y la segunda Gunto con la primera) ordenarlo. La idea es que 'xKy'significa "x es tan ... como y", o "x es equivalente en ... a y" (p.ej., x es tan duro como y, o x es equivalente endureza a y); y 'xPy' significa "x es ms ... que y", o "x precede en ... a y" (p.ej., x es ms duro que y, o xprecede en dureza a y). Se pueden presentar las cosas de modo equivalente mediante una nica relacin deorden R, cuya interpretacin pretendida es que 'xRy' significa "x es tan o ms ... que y" (p.ej. x es tan o msduro que y). Ambas presentaciones son equivalentes: si utilizamos la primera, podemos definir 'xRy' como'xKy o xPy' (R es "la unin" de K y P); si utilizamos la segunda, podemos definir 'xKy' como 'xRy y yRx' y'xPy' como 'xRy y no yRx'. Aqu vamos a seguir la primera versin pues es ms intuitiva, y notacionalmentems cmoda, para introducir los conceptos comparativos; en otros lugares, donde interese especialmente laconexin entre conceptos comparativos y conceptos mtricos, ser ms conveniente utilizar la segunda (cf.prxima seccin y el captulo 6).

Para que el concepto que lleva asociadas las relaciones K y P sea un concepto comparativo, estasrelaciones deben satisfacer ciertas condiciones especficas, tanto cada una por separado como conjuntamente.La idea es entonces que C es un concepto comparativo si su extensin es la unin de dichas relaciones. Lascondiciones en cuestin son, utilizando de nuevo el instrumental de la teora de conjuntos, las que establecela siguiente definicin.

Definicin 4.2:

Un concepto relacional C es un concepto comparativo para el dominio (no-vaco) de objetos D si yslo si existen dos relaciones K y P sobre dicho dominio tales que la extensin de C es K P y se cumplenadems las siguientes condiciones:

(1) Dom K = Rec K = Dom P = Rec P = D.(2) K es reflexiva, simtrica y transitiva, e.e., una relacin de equivalencia.

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(3) P es transitiva.(4) K y P son mutuamente excluyentes: x, y D (xKy xPy).(5) K y P son conjuntamente conexas: x, y D (xKy xPy yPx).

Est claro que, por el carcter que tiene K de relacin de equivalencia, induce una particin en clasesde equivalencia del dominio D y por lo tanto una clasificacin de dicho dominio. Por su parte, la relacin Pcumple la funcin de ordenar el dominio, puesto que es una relacin de orden, esto es, es al menos asimtricay transitiva. Que es transitiva es inmediato por (3). Para ver que es asimtrica supongamos, por reduccin alabsurdo, que no lo es, e.e., que hay x, y tales que xPy y yPx. Puesto que es transitiva, obtenemos xPx. Porotro lado sabemos que xKx pues K es reflexiva. Pero las dos cosas, xPx y xKx, no pueden ocurrir, pues por(4) K y P son excluyentes. Por tanto, si xPy entonces no yPx (QED).

Adems de las condiciones formales generales establecidas en la definicin, el concepto comparativodebe satisfacer determinadas condiciones materiales u operacionales; su extensin no se puede determinar demodo puramente formal, se debe determinar de modo sistemtico pero "operacional": las relaciones K y P nopueden ser escogidas de una manera puramente formal, sino que deben ir asociadas a ciertas operaciones osituaciones empricamente controlables, las cuales permitan decidir si se dan o no dichas relaciones en undominio de objetos. A veces, esto se determina a partir de alguna teora emprica general ya aceptada, peroen otras ocasiones, especialmente en reas relativamente elementales o en fases iniciales de una disciplina, lavalidez emprica de tales relaciones puede establecerse a partir de operaciones sencillas de laboratorio juntocon ciertas hiptesis bastante elementales, de bajo nivel terico. Veamos un ejemplo de esta ltima situacin.

Consideremos el concepto peso antes de que fuera metrizado, o incluso en situaciones actuales en lasque no es necesario presuponer que disponemos del concepto mtrico de peso, sino slo de su correlatocomparativo. En realidad, desde el punto de vista de la fsica terica, lo que vamos a considerar acontinuacin es el concepto masa, pero a efectos de la discusin presente podemos asumir que estamostratando del concepto ms cotidiano de peso, tal como se aplica, por ejemplo, en los mercados. Pues bien,para determinar operacionalmente este concepto debemos asociar a operaciones empricamente controlablesla nocin comparativa de peso; esto es, debemos dar un sentido operacional a la relacin K, de coincidenciade pesos y a la relacin P, de precedencia de pesos. Esto se puede hacer mediante el uso de una balanza debrazos iguales. Compararemos el peso de dos objetos x, y del dominio considerado (objetos macroscpicosno demasiado grandes ni demasiado pequeos) colocndolos cada uno en uno de los dos platillos de labalanza. Entonces, determinaremos operacionalmente las relaciones Kp y Pp de la siguiente manera: a) si losplatillos de la balanza permanecen ambos a la misma altura, diremos que x pesa igual que y, xKy; b) si labalanza desciende del lado del platillo con x, diremos que x pesa ms que y, xPy (por otro lado, cuando x = y,convenimos en que en tal caso tambin xKy).

Es fcil comprobar que las relaciones Kp y Pp as determinadas operacionalmente medianteoperaciones con una balanza cumplen las condiciones de un concepto comparativo. En efecto, la relacin"ser tan pesado como", determinada del modo indicado (nivelacin de platillos de la balanza) cumple con losrequisitos de reflexividad (por convencin), simetra (da igual si cambiamos de platillo los objetos, stosseguirn estando al mismo nivel si lo estaban antes) y transitividad (si el objeto x permanece al mismo nivelque el objeto y y luego vemos que el objeto y permanece al mismo nivel que el objeto z, podemos comprobarque el objeto x tambin permanecer al mismo nivel que el objeto z). Con ello queda garantizado que larelacin Kp, al menos dentro de los lmites de este modo de aplicarla empricamente, es una relacin deequivalencia. Anlogamente es fcil comprobar que la relacin "ser ms pesado que.", as determinada(diferencia de nivel de los platillos), es transitiva (si el platillo con y est ms bajo que el platillo con x, yluego el platillo con z est ms bajo que el platillo con y, tambin el platillo con z estar ms bajo que elplatillo con x). Igualmente fcil es comprobar que ambas relaciones son mutuamente excluyentes yconjuntamente conexas (dejamos la constatacin de estos dos ltimos casos al lector).

Es importante sealar que el hecho de que podamos asociar (no "definir") las nociones decoincidencia y precedencia de peso a operaciones empricas con una balanza de la manera indicada,garantizando que se cumplan las condiciones de definicin de los conceptos comparativos, es un resultadoemprico, apoyado en ciertas hiptesis empricas acerca del comportamiento de una balanza, y no un asuntode mera convencin. Solamente la reflexividad de Kp y la mutua exclusin de Kp y Pp se derivananalticamente de convenciones o del uso normal de nuestro lenguaje. La satisfaccin de los dems requisitoses, en cambio, un asunto emprico, lo cual se constata en el hecho de que podramos imaginarnos situacionesen que no se satisficieran. Por ejemplo, consideremos la transitividad de Kp en la determinacin del pesomediante la balanza: podra ocurrir que cuando estn sobre los platillos los objetos x e y, permanecieran aigual nivel, y lo mismo cuando estuvieran y y z; pero que, en cambio, al colocar sobre los platillos x y z, se

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notara una diferencia de nivel. Que esto no ocurra no es una necesidad lgica, sino una hiptesis empricaacerca de las balanzas (de hecho, en balanzas algo "defectuosas" se viola a veces la transitividad). La mismaconstatacin podemos hacer con respecto a la simetra de Kp y a la transitividad de Pp. Incluso la conexinconjunta de Kp y Pp es una hiptesis emprica, pues podra ocurrir que, en ocasiones, al colocar sobre losplatillos dos determinados objetos, la balanza se pusiera a oscilar permanentemente sin alcanzar nunca unequilibrio, por lo que no podramos determinar si se da coincidencia o precedencia de pesos en algn sentidou otro. En resumen, el hecho de que podamos aseverar que un determinado concepto comparativo vaasociado a ciertas operaciones u observaciones empricas es una cuestin hipottico-emprica (y a vecesincluso fuertemente terica) y no un asunto de mera definicin. En general, no podemos decir que losconceptos comparativos vienen definidos por las operaciones u observaciones empricas asociadas a ellos(como tampoco lo podemos decir en el caso de los criterios empricos asociados a los conceptosclasificatorios).

Con frecuencia, las relaciones empricamente determinadas que van asociadas a un conceptocomparativo que queremos introducir de nueva cuenta en una disciplina cientfica no cumplen exactamentelas condiciones formales de la definicin de conceptos comparativos, sino slo de modo aproximado.Anlogamente al caso de los conceptos clasificatorios, las condiciones formales representan un ideal al quehay que tender pero que no siempre se alcanza plenamente. Un buen ejemplo de ello es el conceptocomparativo dureza, que se introduce en mineraloga asocindolo a la prueba emprica de la "raya". Lasrelaciones de precedencia y coincidencia en este cas se determinan operacionalmente del siguiente modo: xes, ms duro que y si y slo si x raya a y; x es tan duro como y si y slo si x no raya a y ni y a x. Tambin eneste caso, las condiciones de reflexividad de la coincidencia y de mutua exclusin de coincidencia yprecedencia se desprenden analticamente de nuestro uso lingstico, pero no as el resto de condiciones,cuya satisfacibilidad depende de hiptesis empricas acerca de los minerales. Pero, adems, en este casodichas hiptesis no siempre se cumplen, por lo que algunas de las condiciones postuladas para los conceptoscomparativos (especialmente la transitividad) slo se cumplen de manera aproximada. No obstante estasdificultades, la "prueba de la raya" se conserva en la mayora de los casos como determinacin operacionaldel concepto de dureza hasta tanto no se encuentren mejores determinaciones operacionales o hasta tanto lasdeterminaciones alternativas sean demasiado difciles de aplicar en la prctica.

Hemos indicado ya que todo concepto comparativo, a travs de la relacin P de precedencia, implicaun ordenamiento de los objetos del dominio considerado de "ms a menos" (o de "menos a ms", segn sequiera considerar), adems de la clasificacin de dichos objetos en clases de objetos coincidentes. Esteordenamiento de los objetos se expresa en ocasiones mediante nmeros, mediante lo que se llama una"escala ordinal". El orden de los nmeros refleja as el orden de los objetos a los que se adscriben dichosnmeros. Por ejemplo, en el caso del concepto de dureza introducido en mineraloga, Friedrich Mohsestipul una escala numrica del 1 al 10, segn la cual, al mineral ms blando, el talco, se le asigna elnmero 1 y al ms duro, el diamante, se le asigna el 10, siendo los dems minerales ordenados entre estosdos extremos segn su mayor o menor grado de dureza por comparacin con los dems. Asimismo, enpsicologa, al concepto de inteligencia (que es un concepto comparativo) se le asignan nmeros, llamados'cocientes de inteligencia', que representan el nivel de inteligencia de manera fcilmente comparable ymemorizable. Todos estos ejemplos de conceptos comparativos a los que se asignan nmeros, sin embargo,no nos deberan confundir y hacer creer que estamos tratando con conceptos realmente cuantitativos,mtricos. Las escalas numricas introducidas en estos casos son slo escalas ordinales, no escalas mtricas,en un sentido genuino, sobre cuya naturaleza hablaremos en el prximo apartado. La diferencia esencialentre ambos tipos de asignaciones numricas se comprueba por el hecho de que con los nmeros asignados alos conceptos comparativos no tiene sentido efectuar las consabidas operaciones aritmticas y algebraicas,como sumar, multiplicar, sacar races, etc., y mucho menos aplicar las operaciones de clculo superior (qusentido tendra sumar cocientes de inteligencia o sacar la raz cuadrada de un grado de dureza?, sobre esto,cf. ms adelante cap. 6). Los nmeros que se utilizan en el caso de los conceptos comparativos no expresanrealmente la medida de ninguna magnitud, sino que son slo un modo simple y conveniente de expresar unorden; en vez de nmeros, tambin podramos usar las letras del alfabeto y estipular, por ejemplo, que en unaescala de, dureza, al talco le corresponde la letra 'a' y al diamante la letra 'j'. Los nmeros asignados a losconceptos comparativos son en realidad nicamente numerales, no expresan cantidades o magnitudes; nopresuponen una mtrica definida de manera "natural" sobre el dominio en cuestin, es decir, una mtricaasociada a operaciones matemticas que reflejan operaciones o relaciones empricas.

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4. Conceptos mtricos: estudio preliminar

Los conceptos mtrico s o cuantitativos son caractersticos de las ramas ms avanzadas de la ciencia.Casi todos los conceptos fundamentales de la fsica son mtricos, pero ellos tambin aparecen en otrasdisciplinas de naturaleza bastante distinta a la de la fsica, como pueden ser la gentica de poblaciones, lateora del aprendizaje o la microeconoma. El uso sistemtico y generalizado de conceptos mtricos en unadisciplina implica, entre otras cosas, que est a nuestra disposicin para esa rea de estudios empricos todoel potencial de la matemtica. Al proceso que conduce a tal uso se le llama a veces "matematizacin" de unadisciplina dada, proceso que, como sabemos, fue el elemento probablemente ms decisivo de la revolucincientfica del siglo XVII y el que dio lugar a la fsica moderna. Ahora bien, la frase 'matematizar unadisciplina' debe tomarse con un poco de cuidado, ya que, a fin de cuentas, no slo el uso de conceptosmtricos, sino la introduccin adecuada de conceptos clasificatorios y comparativos implica ya ciertossupuestos de carcter matemtico (conjuntista), si bien de nivel elemental. Si la idea de "matematizar" seasocia generalmente con la introduccin sistemtica de conceptos mtricos es porque slo estos ltimospermiten un uso generalizado de las porciones ms "potentes" de la matemtica (y al mismo tiempo las msclsicas), como son la aritmtica, la geometra, el lgebra y el clculo. Es slo a travs del puente queconstituyen los conceptos mtricos entre la realidad emprica y dichas porciones de las matemticas que unamplio espectro de procesos empricos puede tratarse como si fueran operaciones matemticas, y esto a suvez es lo que permite un alto grado de precisin en la explicacin y prediccin de dichos procesos.

Los conceptos mtricos estn ntimamente conectados, como indica su nombre, con la idea de medircosas y procesos. Ahora bien, medir no consiste simplemente en asignar nmeros a las cosas, puesto que ellotambin puede realizarse de manera trivial en el caso de los conceptos clasificatorios y comparativos. Medires asignar nmeros a objetos empricos para representar determinadas propiedades especficas de los objetosdenominadas magnitudes, representacin que permite utilizar de modo empricamente significativooperaciones matemticas interesantes (adicin, multiplicacin, potenciacin, derivacin e integracin, etc.)entre los valores numricos asignados. En otras palabras, la medicin permite hacer clculos con relevanciaemprica, y en particular permite hacer predicciones muy precisas.

Podemos resumir las ventajas de los conceptos mtricos sobre los clasificatorios y comparativos enlos siguientes puntos.

a) Las divisiones y diferenciaciones que pueden hacerse empleando conceptos mtricos son muchoms finas y precisas que las que pueden hacerse mediante los' ' otros tipos de conceptos. Es decir, losconceptos mtricos tambin permiten clasificar y comparar los objetos de un dominio dado, pero lo hacen demanera mucho ms precisa que sus contrapartidas no-mtricas. Por ejemplo, en vez de clasificar las diversasvelocidades de los cuerpos de acuerdo a los conceptos de 'muy lento', 'lento', 'rpido' y 'muy rpido', o decompararlas segn una "mayor o menor rapidez", introducimos el concepto mtrico de 'velocidad y podemoshacer las clasificaciones y comparaciones de manera mucho ms fina.

b) Los conceptos mtricos permiten enunciar leyes empricas que son ms generales y precisas, y porende mejor controlables, que las leyes formuladas con conceptos no-mtricos.

c) Como consecuencia de las caractersticas a) y b), los conceptos mtricos permiten explicaciones ypredicciones mucho ms exactas y controlables.

Desde un punto de vista formal, la extensin de un concepto mtrico es una funcin numrica, omejor, como en seguida veremos, un conjunto de tales funciones. Lo esencial de los conceptos clasificatorioses que ellos nos permiten realizar clasificaciones de los objetos del dominio, por eso se caracterizan porquesu extensin es (un elemento de) una particin. Lo esencial de los conceptos comparativos es que nospermiten realizar comparaciones cualitativas entre los objetos del dominio, por eso se caracterizan porque suextensin es una relacin de orden (KP). Pues bien, lo esencial de los conceptos mtricos es que nospermiten realizar asignaciones numricas a los objetos del dominio de modo empricamente significativo, ypor eso se van a caracterizar porque sus extensiones son (determinados tipos de) funciones numricas sobredicho dominio.

As pues, el problema bsico en el intento de metrizar un rea de conocimiento consiste en encontrarla funcin o conjunto de funciones mtricas apropiadas. Una vez encontrado ello, podemos decir que, encierto sentido, hemos "identificado" los objetos del dominio estudiado con nmeros reales (o entidadesmatemticas derivadas, como vectores, matrices, tensores, etc.). Entonces, en vez de considerar directamentelas relaciones y operaciones empricas que se dan entre los objetos estudiados, podemos concentrar nuestra

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atencin sobre las relaciones y operaciones entre los nmeros que representan las propiedades de los objetosempricos, y a travs de ello, indirectamente, ganamos informacin sobre los mismos objetos y suspropiedades representadas. Este modo de proceder nos permite un grado mucho ms alto de exactitud ypotencia predictiva del que obtendramos operando directamente con los objetos empricos, puesto que lasteoras matemticas existentes nos informan detallada y exactamente sobre cmo operar con nmeros y sobrelas propiedades generales que tienen tales operaciones. Adems, los limites prcticos que suelen darse en lamanipulacin de objetos empricos no se dan en la manipulacin de nmeros, para lo cual lo nico quenecesitamos es papel y lpiz, o a lo sumo una computadora. Este proceso de identificar los objetos empricoscon nmeros y las operaciones empricas con operaciones matemticas, manejando luego estas ltimas paraobtener informacin indirecta sobre los primeros, es a lo que puede denominarse ms genuinamente"matematizacin de la realidad". Al contrario del caso de los conceptos comparativos, la asignacin denmeros a objetos empricos en este proceso no es arbitraria y no-operacional, sino que con ella se expresanimportantes y reales conexiones empricas entre los mismos objetos. Operamos con los nmeros "como si"opersemos con los objetos.

En la primera seccin dijimos que los conceptos comparativos suponen un refinamiento oreforzamiento respecto de los clasificatorios, y que lo mismo ocurre con los mtricos respecto de loscomparativos. En la seccin anterior hemos visto en qu sentido es as en el primer caso: a todo conceptocomparativo "subyace" uno clasificatorio (expresado mediante la relacin de coincidencia K). Pues bien, enese mismo sentido es as en el segundo caso. A cualquier concepto mtrico subyace explcita oimplcitamente un concepto comparativo correspondiente (y por tanto otro clasificatorio); medir determinadamagnitud en un dominio de objetos implica, entre otras cosas, la. posibilidad de (clasificarlos y) compararlosen relacin con dicha magnitud. La recproca, naturalmente, no es cierta, pues no siempre la introduccin deun concepto comparativo permite construir ipso facto un concepto mtrico correspondiente (como tampocola introduccin de un concepto clasificatorio permite siempre la introduccin de otro comparativo).

Entre muchos filsofos y cientficos prevalece la idea de que un concepto mtrico, para seradecuado, debe ser "construido" a partir de un concepto comparativo previo. A veces se llega incluso msall en este requerimiento y se exige que el concepto mtrico sea definible en trminos de un conceptocomparativo. Y se afirma que, aun cuando en muchos casos ello no se ha llevado a cabo efectivamente, esose debe al estado conceptualmente defectuoso de los fundamentos de la disciplina, y que la misin delfilsofo de la ciencia o del investigador de fundamentos debera consistir justamente en proporcionar taldefinicin en los casos en que no se ha hecho. Esta visin de la relacin entre los conceptos mtricos ycomparativos es caracterstica del operacionalismo y otras corrientes metodolgicas afines, segn las cualestodo concepto cientfico, mtrico o no, debe estar completamente determinado por observaciones uoperaciones de laboratorio (cf. Bridgman, 1927, 1951a y 1951b). La idea bsica es que un concepto mtricono es empricamente adecuado hasta que no se muestre que, "en principio", es reducible a uno comparativopreviamente introducido.

Esta visin tan restrictiva de los conceptos mtricos descansa en el prejuicio de que slo es posibleintroducir un concepto mtrico a travs de su definicin o construccin a partir de un concepto comparativopreviamente disponible. El hecho de que a todo concepto mtrico subyace otro comparativo no quiere decirque la introduccin de un concepto mtrico sea siempre "posterior" a la introduccin de uno comparativo"previo". En muchos casos as es, y los conceptos mtricos introducidos de manera independientecorresponden de modo bastante natural a conceptos comparativos previos, en un sentido o bien histrico(porque ya se aplicaban en la disciplina en cuestin antes de que sta fuera metrizada), o bien epistemolgico(porque nuestro conocimiento del modo de aplicarlo o controlarlo es ms directo en el caso del conceptocomparativo que en el de su asociado mtrico). As ocurre por ejemplo con los conceptos mtricos de masa,longitud o temperatura (termomtrica). Pero esta prioridad (histrica o epistemolgica) de los conceptoscomparativos frente a los mtricos no tiene por qu darse siempre. Con frecuencia le introduce un conceptomtrico directamente, ya sea a partir de una teora establecida o como simple recurso de clculo, sin que sehaya pensado previamente en un concepto comparativo correspondiente y sin que ste tenga ningn inters.Esto suele ocurrir en ramas particularmente, avanzadas y abstractas de la ciencia. Conceptos mtricos comoel de intensidad de campo en el electromagnetismo, entropa en termodinmica, lagrangiano en mecnicaclsica o funcin de onda en cuntica, fueron introducidos en su momento, y se manejan en la actualidad, sintomar en cuenta el concepto comparativo subyacente. En estos, y muchos otros casos, lo que confieresignificado emprico a la mayora de conceptos mtricos es su insercin en una teora emprica determinada ala cual podemos atribuir un significado emprico en su totalidad. De qu manera ocurre esto, lo veremos encaptulos posteriores de este libro (cL caps. 8, 9 y 10). De momento, baste sealar que en muchos casos (dehecho en la mayora), la introduccin de un concepto mtrico, con su significado emprico propio, se realiza

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en el contexto de una teora, es decir, en conexin con otros mltiples conceptos (mtricos o no), y no por elexpediente de reducirlo a un concepto comparativo. Para la mayora de conceptos mtricos no hay razn,pues, para exigir que sean introducidos a partir de conceptos comparativos previos, eso slo es as de algunosconceptos mtricos, como los mencionados ms arriba. Volveremos sobre estos dos modos de introducirconceptos mtricos en el captulo 6.

Estas consideraciones no suponen negar que en muchos casos sea interesante y fructfero identificarel concepto comparativo implcito en un concepto mtrico dado, y averiguar cul es la relacin formal entreambos. Ello tiene un doble inters: emprico-cientfico, por contribuir a un mejor control emprico delconcepto mtrico en casos de duda; y metacientfico o filosfico, porque permite establecer ciertasdistinciones entre subtipos de conceptos mtricos y su modo de ser aplicados. Esta cuestin, a la que se hadedicado mucha atencin en la literatura de filosofa de la ciencia, tanto en sus primeros tiempos como enpoca reciente, se estudiar en detalle en el captulo 6. Por el momento, bastarn para esta introduccinpreliminar las observaciones siguientes.

Cuando el concepto mtrico es introducido a partir de uno comparativo previo, se debe dar ciertacondicin de dependencia entre ambos, consistente fundamentalmente en que la funcin correspondiente alConcepto mtrico preserva el orden de la relacin correspondiente al concepto comparativo. Si K P es laextensin del concepto comparativo y f es una de las funciones de la extensin del concepto mtrico,entonces:

(M1) Dom (K P) = Dom f.(M2) Rec f Re.(M3) x, y (xKy f(x) = f(y)).(M4) x, y (xPy f(x) > f(y)).

Para que, dado un concepto comparativo, exista una funcin con estas caractersticas, y que podamospor tanto decir que existe un concepto mtrico que corresponde al comparativo, es necesario que la relacincualitativa de comparacin K P satisfaga ciertas condiciones. Por lo general hay varias posibilidades,varios grupos de condiciones suficientes que garantizan la existencia de una funcin tal. En casi todos loscasos, tales condiciones involucran elementos adicionales a K P, por ejemplo una operacin decombinacin, o una relacin de comparacin entre pares de objetos, u otros ms complicados. Cuando esas, hay que aadir a M1-M4 otras clusulas adicionales que expliciten el modo en que la funcin numricadebe preservar esos elementos empricos cualitativos adicionales. No vamos a ver aqu las diversasposibilidades y los diversos grupos de condiciones para cada una. De ello se ocupa la llamada Teora de laMetrizacin Fundamental, que veremos en el captulo 6 (3).

Concluiremos esta presentacin preliminar de los conceptos mtricos presentando la nocin deescala y, en relacin con ello, aclarando el sentido en el que conviene identificar la extensin de un conceptomtrico, no con una nica funcin mtrica, sino con una clase de tales funciones, equivalentes en cuanto a sucapacidad representacional.

Las funciones f especficas que asignan nmeros reales a cada objeto del dominio son lo quetradicionalmente se denomina escalas. Por ejemplo, una funcin especfica asigna a determinado objeto quehay en un museo de Pars, representando su masa, el nmero 1 y al objeto que el lector est leyendo elnmero 0,4; otra funcin para la masa asigna a los mismos objetos, respectivamente, el 1.000 y el 400; otraasigna al primero el nmero 0,001 y al segundo 0,0004; otra 2,2 y 0,88; etc. Estas funciones numricasmiden la misma propiedad, la masa, pero asignan nmeros diferentes a los mismos objetos. Cada una deestas funciones es una diferente escala para la masa: la primera es la "escala Kilogramo" (sistema MKS),cuyo uso hacemos explcito posponiendo al numeral el signo 'kg.'; la segunda es la "escala gramo" (sistemacegesimal), cuyo uso hacemos explcito posponiendo al numeral el signo gr; la tercera la "escala Toneladamtrica", que denotamos posponiendo Tm; la cuarta es la "escala libra" (sistema anglosajn) quedenotamos posponiendo 'lb'; etc. Todas estas escalas, y muchas otras, son igualmente vlidas para medir lamasa, son de hecho escalas equivalentes en un sentido del que diremos algo a continuacin y que quedarplenamente clarificado en el captulo 6.

ste es el motivo por el que no es correcto identificar la extensin de un concepto mtrico con unanica de las funciones numricas, con una escala particular. Lo correcto es identificarlo con el conjunto detodas las posibles escalas para la magnitud que corresponde, al concepto, esto es, con la clase de todas lasposibles funciones numricas que representan dicha magnitud. La extensin del concepto masa es pues elconjunto {fkg, fgr, ftm, flb, ...}. Y lo mismo en el caso, por ejemplo, de la longitud: tenemos las escalas"centmetro", "metro", "kilmetro", "milla", "yarda'' pulgada", etc., por lo que la extensin del concepto

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longitud se debe identificar con la clase de todas ellas: {fcm, fm, fkm, fmi, fy,..}. Igualmente, con algunasdiferencias que en seguida comentaremos, en el caso de la temperatura. Una funcin mtrica especficaasigna al agua en ebullicin el 100 y al agua en congelacin el 0; otra les asigna, respectivamente, 32 y 212;otra el 273,15 y- el 373,15; etc. La primera es la escala Celsius, la segunda es la escala Falrenheit, la tercerala escala Kelvin, y todava hay otras, como la escala Rankine o la escala Raumur. La extensin del conceptotemperatura es pues el conjunto {fC, fF, fK,...}

Podemos dar ahora una definicin provisional de los conceptos mtricos que metrizan un conceptocomparativo previo, en la que se haga patente que la extensin del concepto comparativo no es una nicafuncin numrica sino u