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Aula 10 | DIEGO SANTOS CAMPOS KARINE GOMES DOS ANJOS GAGNO SARAH DE OLIVEIRA FREDERICO ALAN DE OLIVEIRA CRUZ
PET FÍSICA NÚMEROS COMPLEXOS
Números complexos 2017
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AGRADECIMENTOS
Esse material foi produzido com apoio do Fundo Nacional de Desenvolvimento da
Educação e do Programa de Educação Tutorial – PET, do MEC - Ministério da
Educação – Brasil.
Números complexos 2017
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DOS AUTORES
Essa apostila foi construída para ser um material de apoio às atividades de tutoria,
realizadas pelos bolsistas do Programa de Educação Tutorial – Física/UFRRJ, e não
tem como pretensão a substituição de materiais tradicionais e mais completos.
O conteúdo aqui poderá ser compartilhado e reproduzido, desde que sejam dados os
devidos créditos as pessoas responsáveis por compilar os temas aqui presentes.
Uma boa leitura!
Números complexos 2017
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SUMÁRIO
1. Introdução............................................................................................................ 04
2. Operações de adição, subtração, multiplicação e divisão................................ 05
3. Potenciação e radiciação..................................................................................... 09
3.1 Potenciação..................................................................................................... 09
3.2 Radiciação...................................................................................................... 11
4. Exercícios de fixação........................................................................................... 12
5. Referências........................................................................................................... 14
6. Respostas dos exercícios de fixação................................................................... 14
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1. Introdução
Quando resolvemos uma equação do segundo grau sempre buscamos uma
solução, na qual as raízes encontradas poderão pertencer ao conjunto dos números reais.
Entretanto na resolução de equações quadráticas existem soluções na qual
não pertencem ao conjunto descrito, reais, e se diz que a equação não possui uma
solução real.
Para a resolução de uma equação do segundo grau podemos obter através da
expressão (AVILA, 2008):
onde o termo é denominado de discriminante e representado pela letra grega
delta maiúsculo (∆), tal que (IEZZI, 2009):
Se o discriminante for maior que zero (∆ > 0) obteremos duas raízes reais;
Se o discriminante for igual a zero (∆ = 0) obtemos apenas uma única raiz real;
Se o discriminante for menor que zero (∆ < 0) não haverá raízes reais.
Essas raízes que não são reais pertencem a um conjunto denominado de números
complexos, representado por z, onde temos que:
(2)
tal que .
Apesar da simplificação apresentada anteriormente, temos um número complexo
pode ser representado da forma:
(3)
onde a é denominada como a parte real e é a parte imaginária de .
A representação de um número complexo no plano cartesiano é tal que a fica
localizado no eixo das abscissas (x) e b no eixo das ordenadas (y), sendo que o módulo
de |Z| é dado por:
(4)
Podendo ser representado na forma de um par ordenado:
(5)
ou na forma trigonométrica:
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1. (6)
Figura 1: Representação geométrica de um número imaginário Z (TOFFOLI, 2004).
2. Operações de adição, subtração, multiplicação e divisão
Podemos fazer todas as operações elementares da matemática nos números
complexos e para exemplificar cada uma delas vamos considerar que:
(6)
e
(7)
onde a,b,c,d ϵ IR (AVILA, 2008).
Na adição e subtração o resultado será pela operação matemática entre da parte
real com real e imaginária com imaginária, tal que somando (6) com (7) obtemos:
(8)
Enquanto na subtração de (6 com (7) teremos:
1
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(9)
EXEMPLO 1. Considere os seguintes números complexos:
e
Determine:
a)
Solução:
b)
Solução:
Em relação às operações de multiplicação e divisão, estão possuem regras
próprias e um pouco distintas das anteriores. Tal que quando realizamos o produto entre
os dois números complexos (2) e (3), temos que realizar o seguinte procedimento:
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Realizando a operação distributiva, temos:
Para podermos continuar o procedimento algébrico, é importante lembrar que
quando o número imaginário i é elevando a um número n ( ), sendo um número
natural, temos dois resultados possíveis se for par, será um número real e se for
impar este será um imaginário puro (IEZZI, 2009).
Dessa forma teremos:
Onde obtemos finalmente:
No caso da divisão, para que possamos efetuá-la é necessário multiplicar o
divisor e o dividendo pelo conjugado do divisor, onde o conjugado de um número
complexo é – . Sendo assim, teremos (IEZZI et al, 2010):
Tal que:
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onde:
Evoluindo algebricamente, temos no dividendo e no divisor podemos usar a regra do
produto e reescrever a expressão como:
E assim escrever:
(11)
EXEMPLO 2. Considere os seguintes números complexos:
e
Determine:
a)
Solução:
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b)
Solução:
3. Potenciação e radiciação
3.1 Potenciação
No caso dos números complexos, para expressarmos o resultado da
potencializarão é necessário apresentar o conceito da fórmula de Euler. Nela temos que
as funções trigonométricas podem ser escritas com o uso da base neper (e), tal que
(NUSSENZVEIG, 2009):
(12)
e
(13)
Vamos considerar então o número:
Se elevarmos esse número a n, teremos:
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A solução não é simples, mas com a ajuda da fórmula de Euler podemos reescrever
acima como:
Simplificando:
Como podemos reescrever a função exponencial como a soma de cosseno e seno, então
teremos:
(15)
EXEMPLO 3. Considere o seguinte número complexo:
Qual o valor obtido, quando este é elevado a 6?
Solução:
Usando a relação 15, onde n = 6, teremos:
Onde temos que:
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3.3 Radiciação
A operação de radiciação é uma forma a potenciação com expoente fracionário, que
permite obter as raízes de uma função. No caso dos números complexos, temos que está
é ela será escrita a partir da fórmula de Moivre (MORGADO & WAGNER, 2011):
onde é o fator de radiciação, tal que:
EXEMPLO 4. Considere o seguinte número complexo:
Quais são as raízes quando este é elevado a 1/3?
Solução:
O número complexo admite raízes quando k = 0, 1 e 2. Assim, teremos:
k = 0
k = 1
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k = 2
4. Exercícios de fixação
1. Represente os números complexos na forma trigonométrica e determine a raiz
quadrática em cada caso.
a)
b)
c)
2. Calcule os números complexos. Seja:
; ;
a)
b)
c)
d)
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5. Referências
ÁVILA. G. Variáveis complexas e suas aplicações. 3ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
IEZZI. G. Fundamentos da Matemática Elementar, v. 6. 7ª ed. São Paulo: Atual, 2009.
IEZZI. G.; DOLCE, O.; ALMEIDA, N.; DEGENSZAJN, D. Matemática: ciência e
aplicações. 5ª ed. São Paulo: Atual, 2010.
MORGADO. A.; WAGNER. E. Números complexos e trigonometria: coleção do
professore de matemática. SBM e IMPA, 2011
NUSSENZVEIG. M. Curso de física básica, v. 2. 4ª ed. São Paulo: Edgard Blucher,
2009.
TOFFOLI, F. L. Ensino Superior - Variáveis Complexas: Números complexos, 2004.
Disponível em: https://goo.gl/26U0vt, Acesso em: 16 jan. 2017.
6. Respostas dos exercícios de fixação
1.
a
b)
c)
2.
a)
b)
c)
d)