diego santiago lÓpez lÓpez. junio/2020. universidad eafit
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ANÁLISIS DE LA RESPUESTA DINÁMICA ESTRUCTURAL
CONSIDERANDO LOS EFECTOS DE LA INTERACCIÓN SUELO
ESTRUCTURA LIMITADA A LOS REQUISITOS DE LA NEC-SE-DS-2015
DIEGO SANTIAGO LÓPEZ LÓPEZ.
Junio/2020.
Universidad EAFIT
Escuela de Ingeniería.
Maestría en Ingeniería
Asesor: PhD. Juan Carlos Botero P.
ii RESUMEN
El análisis sísmico y la modelación de estructuras con programas de cómputo
comúnmente utilizados en el diseño de edificios, generalmente considera estructuras con base
empotrada.
Cuando se consideran las propiedades y el tipo de suelo, en el caso de un estrato blando,
éste influye en la atenuación o en la amplificación de la onda, la cual produce variaciones sobre
los efectos dinámicos.
Se evalúan los efectos en la respuesta dinámica de un edificio considerando efectos de
interacción suelo estructura (ISE) examinando los cambios en el período y el amortiguamiento
del sistema, realizando un símil entre la estructura empotrada y la que incluye ISE, de esta
manera se pueden comparar las deformaciones y derivas obtenidas en ambos casos.
Este análisis se realiza con el fin de establecer las derivas de piso al tener en cuenta los
efectos inerciales, los cuales se considera en las estructuras analizadas con base empotrada.
Se propone además la aplicación de los lineamientos establecidos por la Norma
Ecuatoriana de Construcción como apoyo al diseño de proyectos a construirse en el Ecuador
sobre esta base normativa.
Se realizó un análisis en varios edificios utilizando relaciones paramétricas y cuyo
cálculo se basa en la geometría de la edificación, esto a priori, nos permite conocer si la
incidencia de los efectos ISE es significativa.
Se seleccionaron dos edificios con cimentación tipo cajón, en cuyo caso se evalúa paso
a paso los efectos sobre el amortiguamiento y el período, producto de la ISE.
iii Tabla de Contenidos
1.INTRODUCCIÓN ................................................................................................................... 1
2.OBJETIVOS ............................................................................................................................ 3 2.1 General.............................................................................................................................. 3 2.2 Específicos ........................................................................................................................ 3
3.MARCO TEÓRICO ................................................................................................................ 4 3.1 Interacción Suelo Estructura ............................................................................................. 4
3.2 Efectos de la Interacción Suelo Estructura ....................................................................... 4 3.3 Efectos cinemáticos .......................................................................................................... 4 3.4 Efectos inerciales .............................................................................................................. 5 3.5 Interacción total ................................................................................................................ 5 3.6 Suelo Rígido y Suelo Blando ........................................................................................... 5
3.7 Módulo de cortante G ....................................................................................................... 6 3.8 Coeficiente de Poisson υ .................................................................................................. 7
3.9 Densidad del suelo ρs ........................................................................................................ 8 3.10 Velocidad de onda de corte Vs ....................................................................................... 8 3.11 Estratos ........................................................................................................................... 8 3.12 Propiedades de respuesta sísmica del suelo .................................................................... 8
3.13 Amortiguamiento ............................................................................................................ 9 3.14 Deriva ............................................................................................................................. 9
3.14.1 Límites permisibles de las derivas de los pisos según NEC-SE-DS -2015 ................. 9 3.14.2 Límites de la deriva según NSR (2010) ..................................................................... 10 3.14.3 Control de la deriva de piso (derivas inelásticas máximas de piso ∆M) en la NEC-
SE-DS-2015 .......................................................................................................................... 10
3.15 Desplazamiento de diseño ............................................................................................ 11 3.16 Desplazamientos horizontales totales ........................................................................... 11 3.17 Deformaciones .............................................................................................................. 12 3.18 Masa ............................................................................................................................. 12 3.19 Rigidez .......................................................................................................................... 12 3.20 Periodo fundamental de la estructura ........................................................................... 13
3.21 Altura equivalente......................................................................................................... 13 4. METODOLOGÍA. ................................................................................................................ 14
4.1 Cálculo de las propiedades del suelo .............................................................................. 14 4.1.1 Cálculo de Vs y G a partir de N spt ............................................................................. 14 4.1.2 Pesos específicos y proporción de Poisson. ................................................................. 14
4.1.3 Período del sitio a través de un estrato equivalente ..................................................... 15
4.1.3.1 Método de formas modales ....................................................................................... 15 4.1.3.2 Método de Rayleigh .................................................................................................. 17 4.1.3.3 Método del recíproco de las lentitudes ..................................................................... 17
4.2 Propiedades de la estructura con base empotrada (sin ISE), utilizando el programa
ETABS 2016 ® .................................................................................................................... 19 4.2.1 Propiedades de los Materiales ..................................................................................... 19 4.2.1.1 Hormigón .................................................................................................................. 19 4.2.1.1.1 Masa por unidad de volumen del hormigón .......................................................... 19
4.2.1.1.2 Módulo de elasticidad del hormigón ..................................................................... 19 4.2.1.2 Acero ......................................................................................................................... 20 4.2.1.2.1 Límite de fluencia y otras propiedades .................................................................. 20 4.2.2 Cálculo de masa de la estructura considerando la sobrecarga por acabados y
mampostería. ......................................................................................................................... 21 4.2.3 Periodo fundamental y porcentajes de masa participante. ........................................... 21
iv 4.2.3.1 Cálculo aproximado del período fundamental de vibración aproximado Ta ........... 21
4.2.3.2 Cálculo del período fundamental y frecuencia circular de vibración usando Etabs . 22 a) Período fundamental ......................................................................................................... 22
b) Frecuencia circular de la estructura .................................................................................. 22 c) Porcentaje de masa participante y masa equivalente me ................................................... 22 4.2.3.3 Rigidez equivalente de la estructura ......................................................................... 23 4.2.3.4 Amortiguamiento ...................................................................................................... 23 a) Amortiguamiento de la estructura .................................................................................... 23
4.3 Propiedades de la cimentación ....................................................................................... 23 4.3.1 Profundidad y base ...................................................................................................... 24 4.3.2 Desplante ..................................................................................................................... 24 4.3.3 Radio horizontal ........................................................................................................... 24 4.3.4 Radio de cabeceo ......................................................................................................... 24
4.4 Interacción suelo estructura ............................................................................................ 24 4.4.1 Valores Paramétricos ................................................................................................ 25
a) Relación de masas ............................................................................................................ 25 b) Relación de inercias .......................................................................................................... 25 c) Densidad relativa .............................................................................................................. 25 d) Profundidad relativa ......................................................................................................... 25
e) Profundidad de desplante .................................................................................................. 26 f) Relación de esbeltez .......................................................................................................... 26
g) Rigidez relativa ................................................................................................................. 26 4.4.2 Cálculo del período y amortiguamiento de la estructura con efectos ISE por el método
función de transferencia ........................................................................................................ 27
4.4.2.1. Rigideces Estáticas .................................................................................................. 27
a) Rigidez estática horizontal ................................................................................................ 27 b) Rigidez estática de cabeceo .............................................................................................. 27 c) Rigidez estática de acoplamiento ..................................................................................... 27 4.4.2.2 Factores de rigidez y amortiguamiento ..................................................................... 28 a) Frecuencia adimensional del estrato de vibración lateral, as: ........................................... 28 b) Frecuencia adimensional del estrato de vibración vertical, ap:......................................... 28
4.4.2.3 Parámetros variables ................................................................................................. 28 a) Cálculo de la frecuencia de excitación ............................................................................. 28
b) Cálculo de frecuencia adimensional horizontal aoh y frecuencia adimensional de cabeceo
aoc .......................................................................................................................................... 29 a) Relación aoh/as y aoc/ap: ..................................................................................................... 29
4.4.2.4 Factores adimensionales de rigidez (kh, kc) ............................................................. 29
a) Rigidez horizontal ............................................................................................................. 29 b) Rigidez de cabeceo ........................................................................................................... 30 4.4.2.5 Factores de amortiguamiento. ................................................................................... 30
a) Factores de amortiguamiento horizontal, Ch .................................................................... 30 b) Factores de amortiguamiento de cabeceo Cc .................................................................... 31 4.4.2.6 Rigideces dinámicas. ................................................................................................ 31 a) Rigidez dinámica horizontal ............................................................................................. 31 b) Rigidez dinámica de cabeceo. .......................................................................................... 31
4.4.2.7 Constantes dinámicas de amortiguamiento. ............................................................. 32 a) Amortiguamiento dinámico horizontal ............................................................................. 32 b) Amortiguamiento dinámico de cabeceo ........................................................................... 32 4.4.2.8 Dinámica de estructuras. ........................................................................................... 32
a) Ecuación matricial dinámica de estructuras ..................................................................... 32 b) Solución de una matriz compleja ..................................................................................... 33
v 5. CASO PRÁCTICO. .............................................................................................................. 36
5.1.1 Descripción, geometría y ubicación del proyecto ........................................................ 36 5.1.2 Cálculo de las propiedades del suelo edificio A .......................................................... 38
5.1.2.1 Ensayo SPT en terreno a implantar edificio A ......................................................... 38 5.1.2.2 Cálculo de Vs y G a partir de N spt .......................................................................... 38 5.1.2.3 Cálculo del período para estrato equivalente de edificio A ...................................... 40 a) Aplicación del método de las formas modales. ................................................................ 40 b) Aplicación del método de Rayleigh ................................................................................. 41
c) Aplicación del método del recíproco de las lentitudes. .................................................... 42 5.1.3 Cálculo de las propiedades de la estructura con base empotrada del edificio A ......... 42 5.1.3.1 Modelación del edificio ............................................................................................ 42 5.1.3.2 Periodo fundamental y porcentajes de masa participante. ........................................ 43 a) Cálculo aproximado del período fundamental de vibración aproximado Te .................... 43
b) Período fundamental de vibración aproximado Te generado del modelo en ETABS. ..... 44 5.1.3.3 Cálculo de masa equivalente considerando la sobrecarga por acabados y
mampostería. ......................................................................................................................... 44 5.1.3.4 Resultados de las propiedades de la estructura con base empotrada edificio A ....... 45 5.1.4 Propiedades de la cimentación ..................................................................................... 46 a) Radio horizontal Rh y Radio de cabeceo Rc .................................................................... 47
5.1.5 Cálculo del período y amortiguamiento de la estructura con efectos ISE ................... 47 5.1.5.1 Método función de transferencia .............................................................................. 47
a) Rigideces Estáticas y factores de Rigidez y amortiguamiento ......................................... 48 b) Parámetros variables ......................................................................................................... 48 c) Rigidez horizontal Kh y Rigidez de cabeceo Kc .............................................................. 48
d) Factores de amortiguamiento horizontal y de cabeceo..................................................... 49
e) Matrices de rigidez, masa y amortiguamiento .................................................................. 49 f) Vector componente del vector F ....................................................................................... 50 g) Solución de la ecuación matricial dinámica de estructuras .............................................. 50 h) Resultados por el método función de transferencia. ......................................................... 53
6. CRITERIOS DE DISEÑO.................................................................................................... 56 6.1 Procedimiento de cálculo del Diseño Basado en Fuerzas (DBF) de acuerdo a la NEC-
SE-DS-2015, sección 6.3 (2015): ......................................................................................... 56 6.1.1 Pasos del método ......................................................................................................... 56
6.1.1.1 Determinación del espectro de diseño Sa(T) ............................................................ 56 6.1.1.2 Período fundamental Ta, T o Te y respuesta elástica de aceleración Sa (Ta) .......... 57 6.1.1.3 Determinación del cortante de base V con los resultados de los pasos anteriores. .. 57
6.1.1.4 Representación y determinación de la carga sísmica horizontal: ............................. 57
6.1.1.5 Cálculo de las fuerzas horizontales aplicando la NEC-SE-DS-2015 ....................... 58 6.1.1.6 Cálculo del cortante basal por medio de la herramienta Etabs® de la estructura
empotrada: ............................................................................................................................ 58
6.2 Dirección de aplicación de las fuerzas sísmicas y verificación de que los índices de
deriva no sobrepasen el valor permitido. .............................................................................. 60 6.3 Aplicación de los criterios de diseño para el edificio A (empotrado) sentido X ............ 61 6.3.1 Espectro de diseño ....................................................................................................... 61 6.3.2 Respuesta elástica de aceleración Sa ............................................................................ 63
6.3.3 Cortante Basal .............................................................................................................. 63 6.3.4 Cálculo de las fuerzas horizontales .............................................................................. 63 a) Aplicando las expresiones de la NEC-SE-DS-2015 ......................................................... 63 b) Cálculo con Etabs ® ......................................................................................................... 64
6.3.5 Dirección de aplicación de las fuerzas sísmicas y verificación de que los índices de
deriva no sobrepasen el valor permitido. .............................................................................. 65
vi 6.4 Distribución de fuerzas horizontales y derivas calculadas con ISE. .............................. 66
6.4.1 Sa para un TISE en sentido X ......................................................................................... 66 6.4.2 Patrón de carga sísmica (Load Pattern) incluyendo efectos ISE ................................. 67
6.4.3 Cortante Basal con ISE ................................................................................................ 68 6.4.4 Desplazamientos máximos y derivas ........................................................................... 68 6.4.5 Reducción de los desplazamientos horizontales máximos por efectos ISE en el sentido
X ........................................................................................................................................... 69 6.5 Aplicación de los criterios de diseño para el edificio A (empotrado) sentido Y ............ 70
6.5.1 Sa para un TISE en sentido Y ......................................................................................... 70 6.5.2 Patrón de Cargas sentido Y .......................................................................................... 70 6.5.3 Cortante Basal y distribución de fuerzas horizontales en el sentido Y ........................ 70 6.5.3 Desplazamientos máximos y derivas sentido Y, estructura empotrada. ...................... 71
7. Efectos ISE en estructura A con características de suelo blando, caso hipotético ............... 74
7.1 Parámetros para estructura A, tipo de suelo D con Vs=180 m /s (hipotético) ................ 74 7.2 Análisis de efectos ISE ................................................................................................... 74
7.3 Desplazamientos máximos y derivas .............................................................................. 75 7.3.1 Reducción de los desplazamientos horizontales máximos por efectos ISE en el sentido
X suelo hipotético. ................................................................................................................ 76 8. Ejemplo de edificación B ..................................................................................................... 77
8.1.1 Descripción, geometría y ubicación del proyecto ........................................................ 77 8.1.2 Cálculo de las propiedades del suelo edificio B .......................................................... 79
8.1.3 Cálculo de las propiedades de la estructura con base empotrada del edificio B ......... 80 8.1.3.1 Modelación del edificio ............................................................................................ 80 8.1.3.2 Resultados del análisis modal de la estructura B empotrada. ................................... 81
8.1.4 Parámetros de la fundación .......................................................................................... 81
8.1.4.1 Geometría de la fundación tipo cajón edificio B ...................................................... 81 8.1.4.2 Radio Horizontal y Radio de cabeceo en el sentido X ............................................. 81 8.1.5 Criterios de diseño para edificación B. ........................................................................ 82 8.1.5.1 Espectro elástico de diseño para la ciudad de Guayaquil para suelo tipo E. ............ 82 8.1.5.2 Cortante Basal calculado para estructura empotrada sentido X ............................... 83 8.1.5.3 Derivas y desplazamientos máximos para estructura B con base empotrada en el
sentido X. .............................................................................................................................. 83 8.1.6 Análisis de efectos ISE en el sentido X para edificación B ......................................... 84
8.1.7 Cortante Basal calculado para estructura con efectos ISE sentido X. ......................... 86 8.1.8 Derivas y desplazamientos máximos para edificio B con efectos ISE en el sentido X.
.............................................................................................................................................. 86
8.2 Reducción de los desplazamientos horizontales máximos por efectos ISE en el sentido
X edificio B .......................................................................................................................... 87 9. Valores paramétricos ............................................................................................................ 88
a) Relación de masas ............................................................................................................ 88
b) Relación de inercias .......................................................................................................... 88 c) Densidad relativa .............................................................................................................. 88 d) Profundidad relativa ......................................................................................................... 88 e) Profundidad de desplante .................................................................................................. 88 f) Relación de esbeltez .......................................................................................................... 88
g) Rigidez relativa ................................................................................................................. 88 a) Profundidad relativa ......................................................................................................... 88 b) Profundidad de desplante ................................................................................................. 89 c) Relación de esbeltez ......................................................................................................... 89
d) Rigidez relativa ................................................................................................................. 89 9.3 Relación entre Rigidez relativa y variación del TISE ...................................................... 89
vii 9.3 Número de pisos de estructuras que se ubicarían en la curva descendiente del espectro
elástico de diseño. ................................................................................................................. 91 10. Conclusiones y Recomendaciones...................................................................................... 93
10.1 Conclusiones ................................................................................................................. 93 10.2 Recomendaciones ......................................................................................................... 94
Lista de referencias ................................................................................................................... 95
viii Lista de tablas
Tabla 1. Clasificación de los perfiles de suelo (NEC-SE-DS, 2015) ......................................... 6 Tabla 2. Valores típicos de velocidad de onda de corte y módulo de cortante .......................... 7
Tabla 3. Valores de ∆M máximos, expresados como fracción de la altura de piso ................. 10
Tabla 4. Derivas máximas como porcentaje de 𝒉𝒑𝒊 ................................................................ 10 Tabla 5. Correlaciones entre valores de N y Vs ....................................................................... 14 Tabla 6. Valores de pesos específicos típicos........................................................................... 14
Tabla 7. Valores o rangos para la proporción de Poisson. ....................................................... 14 Tabla 8. Valores calculados de Ec para algunos f’c ................................................................. 19 Tabla 9. Mass Summary by Group ........................................................................................... 21
Tabla 10. Valores de Ct y α ........................................................................................................ 21
Tabla 11. Períodos y porcentaje de Participación modal.......................................................... 22 Tabla 12. Distribución de plantas en altura edificio A ............................................................. 36
Tabla 13. Secciones de columnas y muros edificio A .............................................................. 36 Tabla 14. Ensayo de penetración estándar (SPT). .................................................................... 38 Tabla 15. Valores de Vs y G para P-33 .................................................................................... 39 Tabla 16. Valores de Vs y G para P-34 .................................................................................... 39 Tabla 17. Valores de G a partir de Vs en el método de las formas modales. ........................... 40
Tabla 18. Matrices de masa y rigidez por estrato ..................................................................... 40 Tabla 19. Matriz de masa del sistema....................................................................................... 40
Tabla 20. Matriz de rigidez del sistema .................................................................................... 41 Tabla 21. Cálculo del período del estrato equivalente (edificio A) .......................................... 41
Tabla 22. Método de Rayleigh ................................................................................................. 41 Tabla 23. Valores de G y Vs en el método del recíproco de las lentitudes. ............................. 42 Tabla 24. Cálculo del período aproximado de edificio A......................................................... 43
Tabla 25. Períodos y porcentaje de Participación modal.......................................................... 44
Tabla 26. Masa equivalente ...................................................................................................... 44 Tabla 27. Resultados de las propiedades de la estructura........................................................ 45 Tabla 28. Resumen de parámetros de la fundación .................................................................. 47
Tabla 29. Resumen de parámetros de edificio A ...................................................................... 47 Tabla 30. Valores de Rigideces Estáticas, Factores de Rigidez y amortiguamiento. ............... 48
Tabla 31. Valores de los Parámetros variables para algunos Ti. .............................................. 48 Tabla 32. Factores adimensionales de rigidez .......................................................................... 49 Tabla 33. Factores adimensionales de amortiguamiento .......................................................... 49
Tabla 34. Matrices K, M y C para un Ti = 0.3 s. ...................................................................... 49 Tabla 35. Matrices K, M y C para un Ti = 2.873 s. .................................................................. 49
Tabla 36. Matrices K, M y C para un Ti = 4.0 s. ...................................................................... 49
Tabla 37. Vector f componente de {F} .................................................................................... 50
Tabla 38. Matrices A y B para un Ti = 0.3 s ............................................................................. 50 Tabla 39. Matrices A y B para un Ti = 2.873 s ......................................................................... 50 Tabla 40. Matrices A y B para un Ti = 4.0 s ............................................................................. 50 Tabla 41. Cálculo de Matriz C para un Ti = 0.3 s ..................................................................... 51 Tabla 42. Cálculo de Matriz C para un Ti = 2.873 s ................................................................. 51
Tabla 43. Cálculo de Matriz C para un Ti = 4.0 s ..................................................................... 51 Tabla 44. Matriz D para un Ti = 0.3 s ....................................................................................... 51 Tabla 45. Matriz D para un Ti = 2.873 s ................................................................................... 52 Tabla 46. Matriz D para un Ti = 4.0 s ....................................................................................... 52 Tabla 47. Matriz Z-1 para un Ti = 0.3 s ..................................................................................... 52 Tabla 48. Matriz Z-1 para un Ti = 2.873 s ................................................................................. 52
Tabla 49. Matriz Z-1 para un Ti = 4.0 s ..................................................................................... 52 Tabla 50. Vector de desplazamientos para un Ti = 0.3 s .......................................................... 53
ix Tabla 51. Vector de desplazamientos para un Ti = 2.873 s ...................................................... 53
Tabla 52. Vector de desplazamientos para un Ti = 4.0 s .......................................................... 53
Tabla 53. Valores de 𝑇𝑖𝑇𝑒 vs. 𝜔𝑒2. 𝑈ẍ𝑔 para estructura A. .................................................... 54 Tabla 54. Factor K .................................................................................................................... 59 Tabla 55. Tipo de perfil de suelo .............................................................................................. 61 Tabla 56. Valores paramétricos para determinar el espectro de diseño ................................... 61 Tabla 57. Valores del espectro generado por Etabs ® ............................................................. 62
Tabla 58. Fuerzas cortantes por piso cálculo manual ............................................................... 64 Tabla 59. Fuerzas horizontales obtenidas en Etabs® ............................................................... 64 Tabla 60. Control de derivas, aplicando las fuerzas horizontales en el sentido X estructura
empotrada, parámetros de suelo reales. ............................................................................ 66 Tabla 61. Control de derivas, aplicando las fuerzas horizontales en el sentido X considerando
efectos ISE, parámetros de suelo reales............................................................................ 68
Tabla 62. Reducción de desplazamientos por efecto ISE en estructura A, parámetros de suelo
reales ................................................................................................................................. 69 Tabla 63. Coeficientes para cálculo de Cortante Basal y FHEY .............................................. 70 Tabla 64. Control de derivas, aplicando las fuerzas horizontales en el sentido Y sin considerar
efectos ISE ........................................................................................................................ 71
Tabla 65. Parámetros para cálculo de período ISE en el sentido Y, estructura A .................... 72 Tabla 66. Función de transferencia, sentido Y, edificio A ....................................................... 72
Tabla 67. Parámetros estructura A, caso hipotético ................................................................. 74 Tabla 68. Función de transferencia edificio A, suelo con Vs=180m/s ..................................... 74 Tabla 69. Coeficientes para cálculo de Cortante Basal y FHEX, suelo Vs=180 m/s ............... 75
Tabla 70. Control de derivas, aplicando las fuerzas horizontales en el sentido X con efectos
ISE, para suelo hipotético Vs=180m/s, edificio A ........................................................... 75
Tabla 71. Reducción de desplazamientos por efecto ISE en estructura A, parámetros de suelo
más blando ........................................................................................................................ 76
Tabla 72. Distribución de plantas en altura edificio A ............................................................. 78 Tabla 73. Secciones edificio tipo B .......................................................................................... 78 Tabla 74. Parámetros del suelo edificio B ................................................................................ 80
Tabla 75. Masa de la estructura B ............................................................................................ 81 Tabla 76. Período y participación modal de estructura B......................................................... 81
Tabla 77. Radio horizontal y radio de cabeceo fundación edificio B....................................... 81 Tabla 78. Espectro elástico de diseño suelo tipo E, zona 5 ...................................................... 82 Tabla 79. Coeficientes para cálculo de cortante basal y FHEX estructura B ........................... 83 Tabla 80. Control de derivas, aplicando las fuerzas horizontales en el sentido X sin considerar
efectos ISE, edificio B ...................................................................................................... 84
Tabla 81. Parámetros para cálculo de efectos ISE estructura B, sentido X .............................. 84
Tabla 82. Función de transferencia edificio B, sentido X ........................................................ 85 Tabla 83. Coeficientes para cálculo de cortante basal y FHEX con ISE estructura B ............. 86 Tabla 84. Control de derivas, aplicando las fuerzas horizontales en el sentido X con efectos
ISE, edificio B .................................................................................................................. 87 Tabla 85. Reducción de desplazamientos por efecto ISE en edificio B sentido X................... 87
Tabla 86. Relación de Rigidez vs % aumento Te. .................................................................... 89 Tabla 87. Número de pisos mínimo aproximado que se ubican en la zona descendente del
espectro, en suelos blandos, ciudades importantes. .......................................................... 91 Tabla 88. Coeficientes según tipo de edificio........................................................................... 92
x Lista de figuras
Figura 1. Modificación del movimiento del campo libre ........................................................... 4
Figura 2. Sistema equivalente de n grados de libertad para n estratos. .................................... 15 Figura 3. Esquema de superposición de matrices ..................................................................... 16 Figura 4. Sistema de n grados de libertad a sistema de un grado de libertad ........................... 17 Figura 5. Propagación de ondas en n estratos. .......................................................................... 18 Figura 6. Estrato equivalente, período para el primer modo .................................................... 18
Figura 7. Imagen de ETABS 2016, propiedades para concreto de 35 MPa ............................. 20 Figura 8. Imagen de ETABS 2016, propiedades acero de refuerzo fy=4200 kg/cm2 .............. 20 Figura 9. Vista en planta de cimentación tipo cajón................................................................. 23 Figura 10. Desplante en cimentación tipo cajón....................................................................... 24 Figura 11. Rigidez horizontal ................................................................................................... 29
Figura12. Rigidez de cabeceo ................................................................................................... 30 Figura13. Amortiguamiento horizontal .................................................................................... 30
Figura 14. Función de transferencia. ........................................................................................ 35 Figura 15. Mapa de la ubicación del Resort Playa Azul. ......................................................... 36 Figura 16. Arquitectura de Torre, vista lateral. ........................................................................ 36 Figura 17. Planta tipo A ............................................................................................................ 37
Figura 18. Planta tipo B ............................................................................................................ 37 Figura19. Perfil del suelo según los sondeos P-33. .................................................................. 39
Figura 20. Propiedades asignadas para losa de edificio A ....................................................... 42 Figura 21. Modelación del edificio A en ETABS 2016. .......................................................... 43 Figura 22. Planta de cimentación ............................................................................................. 46
Figura 23. Cimentación sentido X-X ........................................................................................ 46
Figura 24. Cimentación sentido Y-Y ........................................................................................ 46 Figura 25. Función de transferencia edificio A. ....................................................................... 54 Figura 26. Espectro de diseño................................................................................................... 56 Figura 27. Ventanas de patrón de carga sísmica en Etabs ® .................................................... 59 Figura 28. Fuerzas horizontales y cortante Basal ..................................................................... 59 Figura 29. Máximos desplazamientos por piso ........................................................................ 60
Figura 30. Espectro elástico de diseño ..................................................................................... 62 Figura 31. Espectro elástico de diseño en Etabs® .................................................................... 62
Figura 32. Espectro elástico de diseño ..................................................................................... 63 Figura 33. Cortantes por piso sentido X-X ............................................................................... 65 Figura 34. Desplazamientos máximos para FHEX, estructura A, empotrada .......................... 65
Figura 35. Sa para TISE sentido x ............................................................................................... 67
Figura 36. Distribución de fuerzas horizontales Estructura A con efectos ISE ....................... 68 Figura 37. Sa para TISE en sentido Y, estructura A ................................................................... 70 Figura 38. Patrón de carga sísmica estructura A sentido Y, empotrada ................................... 70
Figura 39. Distribución de fuerzas horizontales en sentido Y, estructura A, empotrada. ........ 70 Figura 40. Desplazamiento máximo aplicando las fuerzas horizontales en el sentido Y sin
considerar efectos ISE ...................................................................................................... 71 Figura 41. Función de transferencia, sentido Y, edificio A ...................................................... 72 Figura 42. Función de transferencia edificio A, suelo con Vs=180m/s ................................... 74
Figura 43. Sa para TISE en sentido X, estructura A suelo Vs=180m/s ..................................... 75 Figura 44. Edificio Malena, Edificio B .................................................................................... 77 Figura 45. Plantas tipo de edificio B ........................................................................................ 77 Figura 46. Planta Tipo C .......................................................................................................... 78
Figura 47. Secciones de vigas planta tipo A, edificio B ........................................................... 79 Figura 48. Secciones de vigas, planta tipo B, edificio B .......................................................... 79
xi Figura 49. Secciones de vigas planta tipo C, edificio B ........................................................... 79
Figura 50. Modelo de edificio B ............................................................................................... 80 Figura 51. Cimentación edificio B ........................................................................................... 81
Figura 52. Espectro elástico de diseño para suelo tipo E zona V ............................................. 82 Figura 53. Sa para Te estructura B sentido X ........................................................................... 83 Figura 54. Distribución de cortante para sentido X, estructura B ............................................ 83 Figura 55. Desplazamientos máximos para FHEX, estructura B ............................................. 83 Figura 56. Función de transferencia, edificio B, sentido X ...................................................... 85
Figura 57. Sa para Tise estructura B, sentido X ....................................................................... 86 Figura 58. Distribución de cortante para sentido X, estructura B con ISE............................... 86 Figura 59. Desplazamientos máximos para FHEX con ISE, estructura B ............................... 86 Figura 60. Rigidez relativa vs. % Aumento Te (relación de esbeltez RE= 5.40)...................... 90 Figura 61. Rigidez relativa vs. % disminución ξe (relación de esbeltez RE= 5.40) .................. 90
Figura 62. Tc, Período que limita la zona plana del espectro. .................................................. 91
1 1.INTRODUCCIÓN
Los diseñadores generalmente han considerado para el análisis de una estructura el
supuesto que las fuerzas estáticas horizontales equivalentes o el movimiento que se aplica en
su base son independientes de su cimentación. Usualmente, se analizan las estructuras
considerando modelos con base empotrada; sin embargo, la influencia que tiene un estrato
blando resulta importante en la variación producida sobre los efectos dinámicos.
A través de este documento se busca evaluar los efectos en la respuesta dinámica de
varios edificios considerando los efectos de interacción suelo estructura (ISE) enfocándose en
las variaciones del período del sistema y el amortiguamiento del mismo, haciendo una
comparación entre el modelo de la estructura empotrada y la que incluye ISE, con el fin de
evaluar las diferencias en deformaciones y en derivas.
Se propone además la aplicación de los límites establecidos por la Norma Ecuatoriana
de Construcción con respecto a las derivas de piso, aportando a los diseños estructurales de
proyectos a construirse en el Ecuador.
El presente trabajo se basa en las publicaciones de: Avilés J y Pérez-Rocha L E (1996);
Avilés J y Pérez-Rocha L E (2002).
Por lo extenso del tema y por el enfoque dado a la investigación, no se profundiza en
el desarrollo del cálculo de las propiedades dinámicas de la estructura sin ISE, el marco teórico
detrás de los cálculos de período fundamental, amortiguamiento, formas modales etc., el cual
se podrá encontrar en la bibliografía de referencia.
La determinación de las propiedades del suelo tales como el módulo de cortante,
velocidad de onda de corte y densidad del material se deben realizar a través de ensayos de
laboratorio señalados por la mecánica de suelos. El presente trabajo no incluye la literatura
detrás de la obtención de estas propiedades; sin embargo, ciertas ecuaciones se irán incluyendo
a medida que se requieran.
El objetivo es hacer un análisis que determine si aumentan o disminuyen las derivas
de piso cuando se toma en cuenta los efectos inerciales producidos por la ISE con referencia
a cuando estos no son considerados y se buscará hacer una comparación entre estas dos
condiciones.
Según la NEC-SE-DS-2015 (Norma Ecuatoriana de Construcción) se debe incluir en
el cálculo de las derivas de piso los efectos de segundo orden de efectos P-delta por lo que los
resultados finales de esta comparación aún no se podrán usar en un diseño final.
2 Se pretende aplicar esta secuencia del análisis dentro del marco de la Norma
Ecuatoriana de Construcción vigente, la aplicación práctica se enfocará en las ciudades de
Quito y Atacames; pero se señalarán los factores que varíen de acuerdo a las NEC-SE-DS-
2015 y poder aplicarlos en diferentes zonas, tipo de suelo distinto o variables dependientes
del tipo de estructura o su uso, a fin de poder emplearla en distintas ciudades y para estructuras
que por materiales y por metodología constructiva han ido creando un diseño típico
ecuatoriano.
3 2.OBJETIVOS
2.1 General
Analizar la respuesta dinámica estructural incluyendo los efectos de interacción suelo
estructura compararla con una estructura empotrada y limitar los resultados con requisitos de
la NEC-SE-DS-2015 para su aplicabilidad.
2.2 Específicos
• Determinar las estructuras en las que los efectos de ISE son relevantes.
• Realizar análisis dinámico sin considerar efectos de Interacción Suelo Estructura (base
empotrada).
• Calcular las propiedades del suelo tomando Atacames como ciudad específica para el
estudio.
• Establecer las propiedades de la cimentación.
• Establecer las propiedades de la estructura con ISE.
• Definir el concepto de deriva según la NEC-SE-DS-2015
• Encontrar las derivas por el método Fuerza Horizontal Equivalente regido por la
Norma Ecuatoriana de la Construcción (NEC-SE-DS-2015) y NSR-10 sin ISE y con
ISE.
• Encontrar las derivas por el método Análisis Modal Espectral regido por la Norma
Ecuatoriana de la Construcción (NEC-SE-DS-2015) y NSR-10 sin ISE y con ISE.
• Valorar los resultados basándonos en las derivas y en la relación de rigidez.
4 3.MARCO TEÓRICO
3.1 Interacción Suelo Estructura
La respuesta de una estructura frente a terremotos depende además de la estructura,
del suelo adyacente y del terreno en movimiento.
El efecto de interacción suelo-estructura (ISE) es “el mecanismo por el cual la
presencia de la estructura influye en el movimiento del terreno” (Soriano, 1989) y consiste en
la diferencia entre la respuesta de un punto donde está situada una estructura y la respuesta
que debería experimentar ese punto si la estructura no estuviera (Espinoza, 1999), tal como se
ilustra en la Figura 1 donde sí difieren los movimientos en el punto A, debido a interacción
suelo-estructura (Rosenblueth, 1992).
Figura 1. Modificación del movimiento del campo libre1
La interacción modifica las propiedades dinámicas relevantes que tendría la estructura
supuesta con base indeformable, así como las características del movimiento del terreno
alrededor de la cimentación (Avilés y Pérez-Rocha, 2004).
3.2 Efectos de la Interacción Suelo Estructura
El efecto de interacción dinámica suelo-estructura consiste en un conjunto de efectos
cinemáticos e inerciales producidos en la estructura y el suelo, como resultado de la
flexibilidad de este ante solicitaciones dinámicas. (Kausel et al., 1978)
3.3 Efectos cinemáticos
La excitación efectiva de la cimentación está compuesta tanto de traslaciones como de
rotaciones. Debido al efecto promediador de la cimentación, las traslaciones sufren
reducciones y las rotaciones aparecen.
1 Considerando un cambio de aceleración (=a) mostrada en la gráfica de a vs. t, y (b) una aceleración
a* que cambia debido a la presencia de estructuras (Soriano, 1989)
5 Si la amplificación del sitio es considerada para determinar el movimiento sísmico en
la superficie del terreno y esta se asigna como la excitación de diseño aplicada a nivel de la
cimentación, en general esta excitación resulta ser más desfavorable que el movimiento
efectivo que se obtiene de un análisis de interacción cinemática. Una excitación que no
considera efectos de interacción cinemática suelo-cimentación es un efecto conservador.
Se puede decir que hay interacción cinemática cuando la base experimenta algún
desplazamiento horizontal promedio y un cabeceo, llamado movimiento de entrada efectiva a
la cimentación (Espinoza, 1999).
3.4 Efectos inerciales
Si consideramos el período fundamental de un sistema suelo-estructura, este se ve
incrementado con respecto a un hipotético empotramiento sobre un medio indeformable, esto
debido a que el conjunto tiene una flexibilidad mayor que la de una estructura desplantada
sobre este medio.
Si hablamos del amortiguamiento generalmente aumenta debido a una disipación
adicional de energía producto de los amortiguamientos material y geométrico del suelo. Sin
embargo, como la interacción disminuye la efectividad del amortiguamiento estructural, se
puede presentar una reducción del sistema cuando la disipación adicional de energía brindada
por el suelo no compense dicha disminución. (Avilés)
La modificación por interacción del período fundamental, el amortiguamiento y la
ductilidad pueden dar lugar a respuestas estructurales mayores o menores, dependiendo de la
posición de los periodos resonantes del espectro de respuesta y de los niveles de
amortiguamiento y ductilidad.
3.5 Interacción total
La suma de la interacción producida por efectos cinemáticos e inerciales nos da como
resultado la Interacción total.
3.6 Suelo Rígido y Suelo Blando
La Norma Ecuatoriana de Construcción NEC-SE-DS-2015, señala los siguientes
perfiles de suelo para el diseño sísmico:
Se definen seis tipos de perfil de suelo los cuales se presentan en la Tabla 1.
Los parámetros utilizados en la clasificación son los correspondientes a los 30 m superiores
del perfil para los perfiles tipo A, B, C, D y E. Aquellos perfiles que tengan estratos claramente
diferenciables deben subdividirse, asignándoles un subíndice i que va desde 1 en la superficie,
hasta n en la parte inferior de los 30 m superiores del perfil.
6 Para el perfil tipo F se aplican otros criterios, como los expuestos en la sección 10.5.4
y la respuesta no debe limitarse a los 30 m superiores del perfil en los casos de perfiles con
espesor de suelo significativo.
Tabla 1. Clasificación de los perfiles de suelo (NEC-SE-DS, 2015)
TIPO DE PERFIL
DESCRIPCIÓN DEFINICIÓN
A Perfil de roca competente Vs ≥ 1500 m/s
B Perfil de roca de rigidez media 1500 m/s >Vs ≥ 760 m/s
C
Perfiles de suelos muy densos o roca blanda, que cumplan con el criterio de velocidad de la onda de cortante, o perfiles de suelos muy densos o roca blanda, que cumplan con cualquiera de los dos criterios
760 m/s > Vs ≥ 360 m/s
D
Perfiles de suelos rígidos que cumplan con el criterio de velocidad de la onda de cortante, o
360 m/s > Vs ≥ 180 m/s
Perfiles de suelos rígidos que cumplan cualquiera de las dos condiciones
50 > N ≥ 15.0 100 kPa > Su ≥ 50 kPa
E
Perfil que cumpla el criterio de velocidad de la onda de cortante, o
Vs < 180 m/s
Perfil que contiene un espesor total H mayor de 3 m de arcillas blandas
IP > 20 w ≥ 40% Su < 50 kPa
F
Los perfiles de suelo tipo F requieren una evaluación realizada explícitamente en el sitio por un ingeniero geotecnista. Se contemplan las siguientes subclases:
F1—Suelos susceptibles a la falla o colapso causado por la excitación sísmica, tales como; suelos licuables, arcillas sensitivas, suelos dispersivos o débilmente cementados, etc.
F2—Turba y arcillas orgánicas y muy orgánicas (H > 3m para turba o arcillas orgánicas y muy orgánicas).
F3—Arcillas de muy alta plasticidad (H > 7.5 m con índice de Plasticidad IP > 75)
F4—Perfiles de gran espesor de arcillas de rigidez mediana a blanda (H > 30m)
F5—Suelos con contrastes de impedancia α ocurriendo dentro de los primeros 30 m superiores del perfil de subsuelo, incluyendo contactos entre suelos blandos y roca, con variaciones bruscas de velocidades de ondas de corte
F6—Rellenos colocados sin control ingenieril
3.7 Módulo de cortante G
Se define como la pendiente de la línea que une los extremos de la curva cíclica de
esfuerzo cortante y deformación angular.
Para tener una relación entre el módulo G y la velocidad de onda de corte se tiene la
siguiente ecuación:
7
Vs = √G
ρ
(1)
Donde:
G Módulo de cortante del suelo
ρ Peso unitario del suelo
Para estimar el valor de G existen una gran cantidad de correlaciones con base en otras
propiedades de los suelos o resultados de ensayos de campo.
Se indican algunos valores de G. Como vemos en la Tabla 2 el rango es muy amplio
para cada tipo de suelo lo que limita el uso de esta, pero servirá para tener una idea del valor
de lo que los estudios de suelo deberían mostrar.
Tabla 2. Valores típicos de velocidad de onda de corte y módulo de cortante
Tipo de suelo
Densidad ρ
Peso Unitario ρ
Velocidad de onda de corte Vs
Módulo de cortante G
kg/m3 pcf* m/s ft/s kPa psi
Arcilla suave 1.600 100 40 - 90 130 - 300 2.600 - 1300 400 - 2000
Arcilla dura 1.680 105 65 - 140 210-500 7.000 – 3.300 1.000 - 5.700
Arena suelta 1.680 105 130 - 280 420-920 28.400 - 131.700 4.000 - 19.200
Arena densa y grava
1.760 110 200 - 410 650 – 1.350 70.400 – 300.000 10.000 – 43.300
Suelos residuales (PWR, IGM)
2.000
125
300 - 600
1.000 – 2.000 180.000 – 720.000 27.000 – 108.000
Rocas metamórficas e Igneas de piedemonte (alta y moderadamente desgastadas)
2.500
155
760 – 3.000
2.500 – 10.000
1.400.000 – 22.500.000
209.000 – 3.400.000
0 < RQD < 50 RQD** = 65(1)
RQD = 80(1)
RQD = 90(1)
RQD = 100(1)
600 760 1.500 2.500 3.400
2.000 2.500 5.000 8.000 11.000
Rocas sedimentarias (moderadamente desgastadas a intactas)
2.600
165
> 3.400
> 11.000
> 30.000
> 4.300.000
(1) Valores típicos, interpolación lineal entre valores de RQD. *Libras por pie cúbico, **Rock Quality Designation.
(Hunt, 1984 y Kavazanjian, 1998).
3.8 Coeficiente de Poisson υ
Es la relación entre la deformación lateral y la axial. El coeficiente de Poisson se puede
medir como: la razón entre el acortamiento de una longitud situada en un plano perpendicular
8 a la dirección de la carga aplicada, dividido en el alargamiento longitudinal producido. Este
valor coincide igualmente con el cociente de deformaciones, de hecho, la fórmula usual para
el coeficiente de Poisson es (Ortiz, 1998):
υ = −Ɛtrans
Ɛlong
(2)
Donde:
Ɛ𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 Deformación transversal
Ɛ𝑙𝑜𝑛𝑔 Deformación longitudinal
3.9 Densidad del suelo ρs
Se define como la relación entre la masa del suelo y el volumen ocupado.
3.10 Velocidad de onda de corte Vs
Velocidad con que se propagan las ondas S, las cuales están controladas por el módulo
de corte y la densidad del suelo.
3.11 Estratos
Son franjas de suelo que presentan propiedades similares. Estos modifican las ondas
sísmicas en sus límites de contacto, generando efectos de difracción múltiple, produciendo
amplificaciones y atenuaciones. Lo anterior dado según las características del estrato, las
cuales determinan el período del sitio y el amortiguamiento del suelo.
3.12 Propiedades de respuesta sísmica del suelo
Determinación de las propiedades de respuesta sísmica del suelo en laboratorio según
NEC-SE-GC-2015:
Las propiedades dinámicas del suelo, y en particular el módulo de rigidez al cortante,
G, y el porcentaje de amortiguamiento con respecto al crítico, ξ, a diferentes niveles de
deformación, se determinan en el laboratorio mediante ensayos de columna resonante, ensayo
triaxial cíclico, corte simple cíclico u otro similar técnicamente sustentado (NEC-SE-GC-
2015) / técnicamente reconocido (NSR-10). Los resultados de estos ensayos se interpretarán
siguiendo métodos y criterios reconocidos, de acuerdo con el principio de operación de cada
uno de los aparatos.
En todos los casos, se deberá tener presente que los valores de G y ξ obtenidos están
asociados a los niveles de deformación impuestos en cada aparato y pueden diferir de los
prevalecientes en el campo. Si es que no se cuenta con los equipos mencionados, se podría
utilizar modelos de estimación (correlación) de las curvas de degradación de rigidez y
9 amortiguamiento con el nivel de deformación por cortante unitaria que cumplan con las
características geotécnicas de los suelos analizados, considerando la incertidumbre en la
aplicación de los modelos de estimación.
NOTA: En todo caso se debería de averiguar las propiedades de respuesta sísmica de
suelo de acuerdo con la Sección 10.6 de la NEC-SE-DS.
Revisando en paralelo las NEC-SE-GC-2015 con la NSR 10, el procedimiento para la
caracterización geomecánica se detallada de manera igual, cambiando únicamente la frase
señalada en negrita.
3.13 Amortiguamiento
Es la propiedad del material que permite disipar energía, produciendo que la amplitud
de la vibración disminuya de manera constante. Con el amortiguamiento, la energía del
sistema de vibración se disipa por diversos mecanismos y, con frecuencia, más de un
mecanismo puede estar presente al mismo tiempo. La mayor parte de la disipación de la
energía puede ser asociada al efecto térmico del esfuerzo elástico repetido del material y de la
fricción interna que se produce en un sólido cuando se deforma. Sin embargo, en las
estructuras reales existen muchos otros mecanismos que también contribuyen a la disipación
de la energía. (Chopra,2014)
3.14 Deriva
Norma ecuatoriana:
“Diferencia relativa del desplazamiento de diseño entre la parte superior e inferior de un piso,
dividido por la altura del piso” (NEC-SE–HM, 2010).
Norma colombiana:
“Se entiende por deriva el desplazamiento horizontal relativo entre dos puntos colocados en
la misma línea vertical, en dos pisos o niveles consecutivos de la edificación” (NSR-10, 2010).
3.14.1 Límites permisibles de las derivas de los pisos según NEC-SE-DS -2015
La deriva máxima para cualquier piso no excederá los límites de deriva inelástica
establecidos en la tabla 3, en la cual la deriva máxima se expresa como un porcentaje de la
altura de piso: Valores de ∆M máximos, expresados como fracción de la altura de piso:
10 Tabla 3. Valores de ∆M máximos, expresados como fracción de la altura de piso
Estructuras de: 𝚫𝐌 máxima (sin unidad)
Hormigón armado, estructuras metálicas y de madera 0.02
De mampostería 0.01
3.14.2 Límites de la deriva según NSR (2010)
La deriva máxima para cualquier piso determinada de acuerdo con el procedimiento
de A.6.3.1, no puede exceder los límites establecidos en la tabla A.6.4-1, en la cual la deriva
máxima se expresa como un porcentaje de la altura de piso 𝒉𝒑𝒊:
Tabla 4. Derivas máximas como porcentaje de 𝒉𝒑𝒊
Estructuras de: Deriva máxima
Concreto reforzado, metálicas, de madera, y de
mampostería que cumplen los requisitos de A.6.4.2.2
1.0%(∆maxi ≤ 0.010 𝐡𝐩𝐢 )
(3)
De mampostería que cumplen los requisitos de
A.6.4.2.3
0.5%(∆maxi ≤ 0.005 𝐡𝐩𝐢 )
(4)
3.14.3 Control de la deriva de piso (derivas inelásticas máximas de piso ∆M) en la NEC-
SE-DS-2015
Para este apartado se trasladó exactamente el contenido del control de la deriva y su
respectivo cálculo de la NEC-SE-DS-2015, con el fin de aclarar nomenclatura, pasos, reglas
y demás.
Se hará un control de deformaciones, a través del cálculo de las derivas inelásticas
máximas de piso. El diseñador deberá comprobar que la estructura presentará deformaciones
inelásticas controlables, mejorando substancialmente el diseño conceptual.
Los valores máximos se han establecido considerando que el calculista utilizará
secciones agrietadas, véase la (sección 6.1.6-b NEC-SE-DS-2015) sobre agrietamiento e
inercia Ig).
11 Para la revisión de las derivas de piso se utilizará el valor de la respuesta máxima
inelástica en desplazamientos ∆M de la estructura, causada por el sismo de diseño.
Las derivas obtenidas como consecuencia de la aplicación de las fuerzas laterales de
diseño reducidas por el método DBF (Diseño Basado en Fuerzas) sean estáticas o dinámicas,
para cada dirección de aplicación de las fuerzas laterales, se calcularán, para cada piso,
realizando un análisis elástico de la estructura sometida a las fuerzas laterales calculadas.
El cálculo de las derivas de piso incluirá:
• Las deflexiones debidas a efectos traslacionales y torsionales (véase en la sección 6.3.7 de
NEC-SE-HM,2015)
• Los efectos de segundo orden P-∆ (véase en la sección 6.3.8 de NEC-SE-HM,2015)
Adicionalmente, en el caso de pórticos con estructura metálica, debe considerarse la
contribución de las deformaciones de las zonas de conexiones a la deriva total de piso.
Límites de la deriva: la deriva máxima inelástica ∆M de cada piso debe calcularse
mediante:
∆M = 0.75R∆E (5)
Dónde:
∆M Deriva máxima inelástica.
R Factor de reducción de resistencia (véase la sección 6.3.4 NEC-SE-HM,2015)
∆E Desplazamiento obtenido en aplicación de las fuerzas laterales de diseño
reducidas.
Regla: ∆M no puede superar los valores establecidos en la Tabla 3, los cuales deben
satisfacerse en todas las columnas del edificio.
Se verificará que:
∆M <∆Μ máxima (6) Dónde:
∆Μ Máxima se determina conforme a la sección 3.14.1
3.15 Desplazamiento de diseño
Desplazamiento lateral total esperado para el sismo de diseño, según lo requerido por
la NEC-SE-HM,2015
3.16 Desplazamientos horizontales totales
Los desplazamientos horizontales, se determinan por medio del análisis estructural
realizado utilizando el método de análisis definido en A.3.4 (NSR,2010) y con las rigideces
indicadas según el criterio del ingeniero diseñador. Los desplazamientos totales horizontales,
12 𝛅𝐭𝟎𝐭,𝐣 ,en cualquiera de las direcciones principales en planta, j, y para cualquier grado de
libertad de la estructura, se obtienen de la siguiente suma de valores absolutos:
𝛅𝐭𝟎𝐭,𝐣 = |δ𝒄𝒎,𝒋| + |δ𝒕,𝒋| + |δ𝒑𝒅,𝒋| (7)
Donde:
δ𝒄𝒎,𝒋 corresponde al desplazamiento horizontal del centro de masa en la dirección bajo
estudio, j.
δ𝒕,𝒋 el desplazamiento adicional causado por los efectos torsionales en la dirección bajo
estudio cuando el diafragma sea rígido,j.
δ𝒑𝒅,𝒋 al desplazamiento adicional causado por el efecto P-Delta en la dirección bajo estudio,
j.
Cuando se utilicen los procedimientos de interacción suelo-estructura, o cuando el método de
análisis a utilizar así lo requiera porque se realizó el análisis de la estructura suponiéndola
empotrada en su base, deben incluirse dentro de los desplazamientos totales, los
desplazamientos adicionales obtenidos de acuerdo con el procedimiento del Capítulo A.7.
(NSR, 2010)
3.17 Deformaciones
Limitación de daños como lo define la NEC-SE-DS-2015:
La estructura presentará las derivas de piso, ante las fuerzas especificadas por esta norma,
inferiores a los admisibles definidos en la sección 4.2.2. (Límites permisibles de las derivas
de los pisos).
∆M <∆M máxima (8)
Dónde:
∆M Deriva de piso máxima horizontal inelástico
3.18 Masa
Es la propiedad de un sistema estructural que permite cuantificar la cantidad de materia
del sistema físico en estudio.
3.19 Rigidez
Propiedad de un sistema estructural que mide la fuerza necesaria para generar un
desplazamiento unitario.
13 3.20 Periodo fundamental de la estructura
Todas las estructuras poseen diferentes modos de vibración. El modo principal es el
"fundamental". Se puede definir como el período de la oscilación que domina la respuesta.
El periodo fundamental es el periodo del modo que tiene mayor porcentaje de participación
de la masa. Es el mayor período de vibración de la estructura en la dirección horizontal de
interés. (NEC-SE-DS,2015)
3.21 Altura equivalente
De acuerdo a NSR-10, puede estimarse simplificadamente como:
he= 0.75ℎ𝑛 (9)
Donde:
hn es la altura de la edificación
La norma ecuatoriana denomina la altura efectiva como 𝐻𝑒𝑓𝑓 y esta define el centroide
de las fuerzas inerciales generadas por el primer modo de vibración (NEC-SE-DS, 2015):
Heff= ∑(mi∆iHi)/∑(mi∆i)
n
i=1
n
i=1
(10)
Donde:
Hi Altura del nivel i del edificio
𝐻𝑒𝑓𝑓 Altura efectiva
∆𝑖 Desplazamiento de diseño para el piso i
𝑚𝑖 Masa del piso i
14 4. METODOLOGÍA.
4.1 Cálculo de las propiedades del suelo
Preliminarmente se calculan en base a correlaciones la velocidad de onda, módulo de
cortante, peso específico y módulo de Poisson, necesarias en la aplicación de las metodologías
para obtener los períodos del sitio a través de un estrato equivalente compuesto por n estratos,
discretizados en la dirección vertical.
4.1.1 Cálculo de Vs y G a partir de N spt
Tabla 5. Correlaciones entre valores de N y Vs
INVESTIGADORES ECUACIÓN
IMAI Y YOSHIMURA (1990) Vs=76 N0.33 (11)
OHBA Y TORIUMI (1970) Vs=84 N0.31 (12)
Fuente: A Correlation of Shear Wave Velocity and Standard Penetration Resistance, Aminaton Marto et. Al.
(1993)
4.1.2 Pesos específicos y proporción de Poisson.
Tabla 6. Valores de pesos específicos típicos
PESOS ESPECÍFICOS TÍPICOS
Tipo de suelo Clasificación
SUCS (ASTM
D2487)
Sobre el nivel freático
(KN/m3)
Bajo el nivel freático
(KN/m3)
Gravas mal gradadas GP 17.5-20.5 19.5-22.0
Gravas bien gradadas GW 17.5-22.0 19.5-23.5
Gravas limosas GM 16.0-20.5 19.5-22.0
Gravas arcillosas GC 16.0-20.5 19.5-22.0
Arenas mal gradadas SP 15.0-19.5 19.0-21.0
Arenas bien gradadas SW 15.0-21.0 19.0-23.0
Arenas limosas SM 12.5-21.0 17.5-22.0
Arenas arcillosas SC 13.5-20.5 17.5-21.0
Limos de baja plasticidad ML 11.5-17.5 12.5-20.5
Limos de alta plasticidad MH 11.5-17.5 11.5-20.5
Arcillas de baja plasticidad CL 12.5-17.5 11.5-20.5
Arcillas de alta plasticidad CH 12.5-17.5 11.0-19.5
Fuente: Principios de ingeniería de cimentaciones, Braja Das, (2001)
Tabla 7. Valores o rangos para la proporción de Poisson.
TYPE OF SOIL μ
Clay, saturated 0.4-0.5
Clay, unsaturated 0.1-0.3
Sandy clay 0.2-0.3
Silt 0.3-0.35
15 Sand, gravelly sand
Commonly used
rock 0.1-0.4(depends somewhat on type of rock)
loess 0.1-0.3
ice 0.36
concrete 0.15
steel 0.33
μ SOIL TYPE
0.4-0.5 Most clay soils
0.45-0.50 Saturated clay soils
0.3-0.4 Cohesionless-medium and dense
0.2-0.35 Cohesionless-loose to medium
4.1.3 Período del sitio a través de un estrato equivalente
4.1.3.1 Método de formas modales
Esta metodología sigue el mismo principio de la dinámica estructural de un sistema de
varios grados de libertad en el cual se concentran las masas de cada piso en un solo punto, de
esta manera se generan n grados de libertad para n pisos, solo que en este caso no se tienen
pisos sino estratos de suelo (figura 2), los cuales tienen propiedades como peso específico,
módulo de cortante, altura del estrato, entre otros.
Figura 2. Sistema equivalente de n grados de libertad para n estratos.
El método consiste en obtener las sub matrices de masa [M] y rigidez [K] como se
muestra a continuación:
[Mi] =γiHi
g[
1 3⁄ 16⁄
16⁄ 1
3⁄ ]
(13)
[Ki] =Gi
Hi[ 1 −1−1 1
] (14)
Donde:
γ Peso específico de cada estrato
H Altura del cada estrato
g Constante de la gravedad
Gi Módulo de cortante de cada estrato
16
A partir de las sub matrices podemos elaborar la matriz de masa y rigidez del depósito
de suelo [M], [K]:
Figura 3. Esquema de superposición de matrices
Una vez realizada la superposición se eliminan la última fila y columna para considerar
que el sistema está fijo en el contacto del depósito con el basamento rocoso, quedando:
(15)
(16)
Una vez construidas las matrices se soluciona como un problema de vibración libre no
amortiguada, variando la frecuencia angular hasta que se cumpla la siguiente ecuación:
𝑑𝑒𝑡|[K] − ω2[M]| = 0
(17)
Resuelto el problema de valores y vectores propios, se puede calcular el período del
sitio a partir de la frecuencia circular de vibración del primer modo.
[𝑀] =
𝑀311 𝑀312 0
𝑀321 𝑀322 + 𝑚211 𝑀212
0 𝑀221 𝑀222 + 𝑀111
[𝐾] =
𝐾311 𝐾312 0
𝐾321 𝐾322 + 𝐾211 𝐾212
0 𝐾221 𝐾222 + 𝐾111
17
(18)
Figura 4. Sistema de n grados de libertad a sistema de un grado de libertad
4.1.3.2 Método de Rayleigh
El método de Rayleigh puede utilizarse para estimar la frecuencia de vibración natural
más baja o fundamental de un sistema, se basa en el principio de la conservación de la energía.
Para usar este método se numerarán los estratos empezando desde el más superficial
hasta el más profundo.
Ts =4
√g√(∑
Hi
Gi
n
i=1
)(∑γiHi(Wi2 + WiWi−1 + Wi−1
2 )
n
i=1
)
(19)
Wi =∑ Hj Gj⁄i
j=1
∑Hj
Gj⁄n
j=1
(20)
Donde:
i número de estrato.
n total de estratos.
Hi Altura del estrato i.
Gi Modulo de cortante del estrato i.
Wi Término para cada estrato de acuerdo con ecuación 20.
4.1.3.3 Método del recíproco de las lentitudes
El método consiste en calcular la velocidad de propagación de onda de un estrato
equivalente basándose en las velocidades de onda y altura correspondientes a cada estrato
individual.
Vsi = √G
ρsi
(21)
18
(22)
Figura 5. Propagación de ondas en n estratos.
Donde:
Vsi Velocidad de propagación de onda de cada estrato
Hi Altura de cada estrato
n Número de estratos
Hs Altura total
Vs Velocidad de propagación de onda para estrato equivalente
Una vez obtenida la velocidad de onda del estrato equivalente, es posible evaluar el
período del sitio, con base en la teoría de propagación de ondas unidimensionales.
Figura 6. Estrato equivalente, período para el primer modo
Tn =1
(2n − 1)
4Hs
Vs
(23)
Para n=1 T1 =4Hs
Vs
(24)
Vs =4Hs
Ts
(25)
19
Donde:
Tn Período para un modo n
Hs profundidad de los depósitos firmes profundos en el sitio de interés
Vs Velocidad de propagación de onda para estrato equivalente
Ts Período del estrato equivalente
4.2 Propiedades de la estructura con base empotrada (sin ISE), utilizando el programa
ETABS 2016 ®
4.2.1 Propiedades de los Materiales
4.2.1.1 Hormigón
4.2.1.1.1 Masa por unidad de volumen del hormigón
Según la región en la que se elabore el proyecto, la densidad del hormigón depende de
la composición química, las densidades y granulometría de los agregados finos y gruesos que
ahí se encuentren. Se puede estimar mientras tanto una densidad que oscile entre 2400 kg/m3.
En proyectos de importancia es necesario el diseño de hormigón para conocer sus
propiedades mecánicas.
4.2.1.1.2 Módulo de elasticidad del hormigón
En los modelos elásticos de estructuras que se diseñan para acciones sísmicas, de
acuerdo con los métodos de la NEC-SE-DS-2015, el módulo de elasticidad de hormigón Ec
(GPa), será calculado para hormigones de densidad normal como:
Ec = 4.7 ∗ √f′c (26)
Dónde:
Ec Módulo de elasticidad para el hormigón (GPa)
f ’c Resistencia a la compresión del hormigón (MPa)
Tabla 8. Valores calculados de Ec para algunos f’c
f'c (Mpa) Ec (Mpa)
21 21538.10
24 23025.20
28 24870.06
30 25742.96
35 27805.58
4.2.1.1.3 Módulo de Poisson y Coeficiente de expansión térmica
Del mismo modo que la densidad del concreto, estos valores dependen del diseño de
hormigón, en este trabajo no se profundiza la obtención de estos. Se usan valores estimados.
20 En la parte correspondiente se define el material llenando los campos como se muestra en la
figura 7.
Figura 7. Imagen de ETABS 2016, propiedades para concreto de 35 MPa
4.2.1.2 Acero
4.2.1.2.1 Límite de fluencia y otras propiedades
En cuanto a las propiedades del acero para análisis: peso, módulo de elasticidad,
coeficiente térmico de expansión, se ingresan las proporcionadas por los distribuidores de
varilla corrugada en Ecuador, cuyas especificaciones corresponden a aceros comerciales con
límite de fluencia fy = 4200 kg/cm2
Figura 8. Imagen de ETABS 2016, propiedades acero de refuerzo fy=4200 kg/cm2
21 4.2.2 Cálculo de masa de la estructura considerando la sobrecarga por acabados y
mampostería.
El diseñador calculará los valores de sobrecarga de acuerdo con la arquitectura de cada
proyecto, no se pretende profundizar en el tema de modelación de la estructura, para los casos
a ser presentados estimaremos las siguientes cargas.
Carga Viva = 2 KN/m2 (La mínima sobrecarga según NEC-SE-CG apéndice 4.2)
Carga muerta (sobrecarga, elementos no estructurales y acabados) = 3KN/m2 (Según
NSR-10 Tabla B.3.4.3-1, valores mínimos alternativos de elementos no estructurales cuando
no se efectúe un análisis más detallado)
Para obtener la masa equivalente se genera la tabla Mass Summary by Group
Tabla 9. Mass Summary by Group
TABLE: Mass Summary by Group
Group Self Mass Self Weight Mass X Mass Y Mass Z
kg kN kg kg kg
All 5041921.96 0 6588973.97 6588973.97 0
Masa= (Mass X / 9810) [t-s2/m] (27)
4.2.3 Periodo fundamental y porcentajes de masa participante.
4.2.3.1 Cálculo aproximado del período fundamental de vibración aproximado Ta
Se puede definir el período de la edificación previamente con el siguiente cálculo:
Para estructuras de edificación, el valor de T puede determinarse de manera
aproximada mediante la expresión:
T = Cthnα (28)
Dónde:
Ct y α Coeficiente que depende del tipo de edificio
hn Altura máxima de la edificación de n pisos, medida desde la base de la estructura, en
metros.
La tabla 10 muestra los valores para determinar el período de vibración T
Tabla 10. Valores de Ct y α
Tipo de estructura Ct α
Estructuras de acero
Sin arriostramientos 0.072 0.8
22
Nota: por el método 1, Norma Ecuatoriana de la Construcción (NEC-SE-DS,6.3.3, 2015)
4.2.3.2 Cálculo del período fundamental y frecuencia circular de vibración usando Etabs
a) Período fundamental
Para este punto el modelo debe estar elaborado con las secciones de elementos que
generen un porcentaje de participación de masa alto en las direcciones X e Y según la norma,
hay que verificar que el modelo no se encuentre acoplado o que el Modo 1 no sea el rotacional.
Se genera la tabla Modal Participating Mass Ratios, el periodo en el modo 1 es el
período fundamental en la dirección correspondiente.
De esta manera se consigue un período fundamental para la dirección X y otro para la
dirección Y; a diferencia del valor único calculado con la ecuación 28.
Tabla 11. Períodos y porcentaje de Participación modal2
TABLE: Modal Participating Mass Ratios
Case Mode Period UX UY UZ Sum UX Sum UY Sum UZ RX RY RZ Sum RX
Sum RY
Sum RZ
sec
Modal 1 2.873 0.7683 0.0004 0 0.7683 0.0004 0 0.00004 0.2379 0.0009 0.00004 0.2379 0.0009
Modal 2 2.243 0.0002 0.7169 0 0.7684 0.7173 0 0.2938 0.0004 0.0008 0.2938 0.2383 0.0017
Modal 3 2.08 0.0024 0.0009 0 0.7708 0.7182 0 0.0003 0.0001 0.7528 0.2941 0.2384 0.7546
Modal 4 0.887 0.1136 0.0002 0 0.8844 0.7184 0 0.002 0.4718 0.0001 0.2961 0.7102 0.7546
b) Frecuencia circular de la estructura
A partir del período, se calcula:
ωe =2π
Te
(29)
Donde:
Te Período fundamental en el sentido de análisis
c) Porcentaje de masa participante y masa equivalente me
Los valores UX, UY y RZ para los diferentes modos de la tabla 11 señalan el porcentaje
de masa participante, multiplicando el valor correspondiente al porcentaje de masa
participante del modo 1 por la masa de la estructura tenemos la masa equivalente me.
2 Los valores mostrados en la tabla son solo explicativos.
Con arriostramientos 0.073 0.75
Pórticos especiales de hormigón armado
Sin muros estructurales ni diagonales rigidizadoras 0.055 0.9
Con muros estructurales o diagonales rigidizadoras y para otras estructuras basadas en muros
estructurales y mampostería estructural
0.055 0.75
23 4.2.3.3 Rigidez equivalente de la estructura
Una vez calculado el período fundamental de la estructura se puede calcular su rigidez
equivalente.
Ke =4.me. π
2
Te2
(30)
Donde:
me Masa equivalente de la estructura
Te Período fundamental en el sentido de análisis
4.2.3.4 Amortiguamiento
a) Amortiguamiento de la estructura
Se calcula como:
Ce=me.𝜉. ωe (31)
Donde:
𝑚𝑒 Masa de la estructura
ξ Factor de amortiguamiento crítico de la estructura.
𝜔𝑒 Frecuencia circular de la estructura
4.3 Propiedades de la cimentación
La cimentación enlaza a la superestructura con el suelo, es la encargada de transmitir
la excitación del suelo a la misma. A partir de las dimensiones según se muestra en las figuras
9 y 10 se determinan las siguientes propiedades:
Figura 9. Vista en planta de cimentación tipo cajón
24 4.3.1 Profundidad y base
La profundidad a es la dimensión paralela al sentido en el que se realiza el análisis, en tanto
que la base b es perpendicular a dicho sentido.
4.3.2 Desplante
El desplante D es la altura medida desde la superficie del terreno hasta el nivel de
fundación.
Figura 10. Desplante en cimentación tipo cajón
4.3.3 Radio horizontal
Es el radio con el cual se consigue una cimentación circular de área equivalente a la
original.
Rh = (A
π)
12
(32)
A = a x b (cajón de cimentación) (33)
4.3.4 Radio de cabeceo
Es el radio de la cimentación circular equivalente con el que se produce una inercia
igual a la de la cimentación original.
Rc = (4I
π)
14
(34)
I =bxa3
12 (a sentido del análisis)
(35)
4.4 Interacción suelo estructura
Los efectos de interacción se tendrán en cuenta sólo en el modo fundamental de
vibración; la contribución de los modos superiores se determinará como se establece para
estructuras sin interacción. La respuesta del sistema a la excitación con ISE se determina en
25 base a una variación de sus propiedades dinámicas como estructura empotrada, interactuando
con las propiedades dinámicas del terreno enlazadas por el tipo de cimentación.
4.4.1 Valores Paramétricos
Las siguientes relaciones permiten identificar la importancia que los efectos ISE
tendrán sobre determinada estructura, siendo relevantes las que consideran: sitio –
cimentación; profundidad – cimentación y estructura – cimentación.
a) Relación de masas
Generalmente varía entre 0.1 y 0.3. Este parámetro no influye en la respuesta, por lo
que se puede despreciar.
RM =mc
me (36)
Donde:
mc masa de la cimentación.
me masa equivalente de la estructura.
b) Relación de inercias
Habitualmente son menores que 0.1. Este parámetro tampoco influye en la respuesta,
por lo que se puede despreciar.
RI =JcJe
(37)
Donde:
Jc inercia de la cimentación.
Je inercia de la estructura.
c) Densidad relativa
Generalmente varía entre 0.1 y 0.2. Este parámetro tiene poca influencia en la
respuesta.
DR =ρe
ρs (38)
Donde:
ρe densidad de la estructura.
ρs densidad del suelo.
d) Profundidad relativa
Los efectos de sitio en la interacción inercial son parcialmente función de este
parámetro. Su variación puede estar entre 2 y 10.
26
PR =Hs
Rh
(39)
Donde:
Hs profundidad de los depósitos firmes profundos en el sitio de interés
Rh radio equivalente horizontal de la cimentación. Ver ecuación 32
e) Profundidad de desplante
El alargamiento del período y el aumento del amortiguamiento son función decreciente
de este parámetro. Su variación puede estar entre 0 y 0.5.
PD =D
Rh
(40)
Donde:
D Profundidad de desplante de la cimentación.
Rh Radio horizontal equivalente. Ver ecuación 32.
f) Relación de esbeltez
Sus valores típicos varían entre 2 y 5. Su influencia en la respuesta es fundamental.
(Botero,2004). El período es función creciente de este parámetro, mientras que el
amortiguamiento es decreciente.
RE =He
Rh
(41)
Donde:
He Altura equivalente de la estructura.
Rh Radio horizontal equivalente. Ver ecuación 32.
g) Rigidez relativa
En el caso de la rigidez relativa, se considera que es el parámetro que marca si es o no
relevante realizar un análisis ISE, así lo indica el profesor Avilés (2003) y el reglamento
mexicano de normas técnicas complementarias para diseño por sismo (2004); en donde se
encuentra que cuando la rigidez relativa es mayor o igual a 0,4 el análisis de efectos ISE
adquiere importancia práctica.
Por lo general varía entre 0 y 2. Su influencia en la respuesta es tal, que con ella se
mide la importancia de la interacción inercial suelo estructura.
RR =
HeTe
⁄
HsTs
⁄
(42)
Donde:
He Altura equivalente de la estructura.
27 Te Periodo fundamental de la estructura.
Hs Profundidad de los depósitos firmes profundos en el sitio de interés.
Ts Periodo fundamental del suelo.
4.4.2 Cálculo del período y amortiguamiento de la estructura con efectos ISE por el
método función de transferencia
A continuación, el método propuesto por (Avilés López, 2003), consta en el Reglamento
mexicano de normas técnicas complementarias de diseño por sismo (2004).
4.4.2.1. Rigideces Estáticas
a) Rigidez estática horizontal
Es la rigidez horizontal correspondiente al sistema suelo - cimentación.
Khe =
8GRh
2 − υ[1 +
Rh
2Hs] [1 +
2D
3Rh] [1 +
5D
4Hs]
(43)
Donde:
G Módulo de cortante del estrato equivalente
Rh Radio horizontal equivalente. Ver ecuación 32.
𝜈 Módulo de Poisson del estrato equivalente
Hs Profundidad de los depósitos firmes profundos en el sitio de interés.
D Profundidad del cajón de cimentación.
b) Rigidez estática de cabeceo
Se calcula de tal manera que la relación entre la rotación de la base y el movimiento
de cuerpo rígido de la estructura sea proporcional.
Kce =
8GRC3
3(1 − υ)[1 +
Rc
2Hs] [1 +
2D
Rc] [1 +
0.71D
Hs]
(44)
Donde:
G Módulo de cortante del estrato equivalente
Rc Radio de cabeceo de cimentación circular con inercia equivalente
𝜈 Módulo de Poisson del estrato equivalente
Hs Profundidad de los depósitos firmes profundos en el sitio de interés.
D Profundidad del cajón de cimentación
c) Rigidez estática de acoplamiento
Representa el acoplamiento de los movimientos horizontal y de cabeceo de la
estructura y de la cimentación.
28
Khce = Kh
eRh [2D
5Rh− 0.03]
(45)
Donde:
Rh Radio Horizontal de cimentación circular equivalente
Khe Rigidez estática horizontal
Rh Radio Horizontal de cimentación circular equivalente
D Profundidad del cajón de cimentación
4.4.2.2 Factores de rigidez y amortiguamiento
a) Frecuencia adimensional del estrato de vibración lateral, as:
as =πRh
2Hs
(46)
Donde:
Rh Radio horizontal de cimentación circular equivalente
Hs Profundidad de los depósitos firmes profundos en el sitio de interés.
b) Frecuencia adimensional del estrato de vibración vertical, ap:
ap = √2(1 − υ)
(1 − 2υ).πRc
2Hs
(47)
Donde:
Rc Radio de cabeceo de cimentación circular con inercia equivalente
Hs Profundidad de los depósitos firmes profundos en el sitio de interés.
𝜈 Módulo de Poisson del estrato equivalente
4.4.2.3 Parámetros variables
Se calculan los diferentes parámetros para diferentes valores de Ti (período de
excitación); con esto se tabula para cada Ti sus parámetros y factores respectivos.
a) Cálculo de la frecuencia de excitación
ωi =2π
Ti
(48)
Donde:
𝜔𝑖 Es la frecuencia i correspondiente a cada período Ti
Ti Período de excitación. Variable independiente para el cálculo de los parámetros
29 b) Cálculo de frecuencia adimensional horizontal aoh y frecuencia adimensional de
cabeceo aoc
aoh = ωiRh
Vs
(49)
aoc = ωiRc
Vs
(50)
Donde:
𝜔𝑖 Frecuencia i correspondiente a cada período Ti
Rh Radio horizontal de cimentación circular equivalente, ver ecuación
Rc Radio de cabeceo de cimentación circular con inercia equivalente
Vs Velocidad de onda del suelo del estrato equivalente
a) Relación aoh/as y aoc/ap:
aoh
as
(51)
aoc
ap
(52)
Donde:
𝑎𝑜ℎ Frecuencia adimensional horizontal, ver ecuación 49.
𝑎𝑠 Frecuencia adimensional del estrato de vibración lateral, ver ecuación 46.
𝑎𝑜𝑐 Frecuencia adimensional de cabeceo, ver ecuación 50.
𝑎𝑝 Frecuencia adimensional del estrato de vibración vertical, ver ecuación 47.
4.4.2.4 Factores adimensionales de rigidez (kh, kc)
Se calculan los factores que nos permiten determinar la rigidez dinámica y las constantes
de amortiguamiento dinámico:
a) Rigidez horizontal
Coeficiente de rigidez para los modos de
traslación horizontal para una
cimentación superficial (D/R= 0) en un
estrato con = Rs/H=2 (línea verde), 3
(morada) y 5 (azul).
η= aoh
Figura 11. Rigidez horizontal
30 b) Rigidez de cabeceo
Dependiendo del valor de 𝑎𝑜𝑐 tenemos:
kc = {
1 − 0.2aoc si aoc ≤ 2.5 0.5 si aoc > 2.5ν ≤ 1/3 1 − 0.2aoc si aoc > 2.5ν ≥ 0.45
} (53)
(54)
(55)
Coeficiente de rigidez para los modos de
cabeceo para una cimentación superficial
(D/R= 0) en un estrato con = Rs/H=2
(línea verde), 3 (morada) y 5 (azul).
η= aoc
Figura12. Rigidez de cabeceo
Donde:
𝑎𝑜𝑐 Frecuencia adimensional de cabeceo, ver ecuación 50.
4.4.2.5 Factores de amortiguamiento.
a) Factores de amortiguamiento horizontal, Ch
Se muestran a continuación los factores de amortiguamiento según Gazetas G.
(1991).
Si aoh
as≤ 1 ch =
0.65ξs(aoh
as⁄ )
1−(1−2ξs)(aoh
as⁄ )
2
(56)
Si aoh
as> 1 ch = 0.576 (57)
Coeficiente de amortiguamiento para los
modos de traslación horizontal para una
cimentación superficial (D/R= 0) en un
estrato con = Rs/H=2 (línea verde), 3
(morada) y 5 (azul).
η= aoh
Figura13. Amortiguamiento horizontal
31 Donde:
𝜉𝑠 Factor de amortiguamiento crítico del suelo.
𝑎𝑜ℎ Frecuencia adimensional horizontal, ver ecuación 49.
𝑎𝑠 parámetro constante, ver ecuación 46.
b) Factores de amortiguamiento de cabeceo Cc
Si aoc
ap≤ 1 cc =
0.5ξs(aoc
ap⁄ )
1−(1−2ξs)(aoc
ap⁄ )2
(58)
Si aoc
ap> 1 cc =
0.3aoc2
1+aoc2
(59)
Donde:
𝑎𝑜𝑐 Frecuencia adimensional de cabeceo, ver ecuación 50.
𝑎𝑝 Parámetro constante, ver ecuación 47.
𝜉𝑠 Factor de amortiguamiento crítico del suelo.
4.4.2.6 Rigideces dinámicas.
a) Rigidez dinámica horizontal
Khd = Kh
e[Kh − 2ξsaohch] (60)
Donde:
𝐾ℎ𝑒 Rigidez estática horizontal, ver ecuación 43.
𝐾ℎ Factor adimensional de rigidez horizontal igual a 1.
𝜉𝑠 Factor de amortiguamiento crítico del suelo.
𝑎𝑜ℎ Frecuencia adimensional horizontal, ver ecuación 49.
𝑐ℎ Factor adimensional de amortiguamiento horizontal, ver ecuaciones 56 o 57.
b) Rigidez dinámica de cabeceo.
Kcd = Kc
e[Kc − 2ξsaoccc] (61)
Donde:
𝐾𝑐𝑒 Rigidez estática de cabeceo, ver ecuación 44.
𝐾𝑐 Factor adimensional de rigidez de cabeceo ver ecuación 53 o 54 o 55.
32 𝜉𝑠 Factor de amortiguamiento crítico del suelo.
𝑎𝑜𝑐 Frecuencia adimensional de cabeceo, ver ecuación 50.
𝑐𝑐 Factor de amortiguamiento de cabeceo, ver ecuaciones 58 o 59.
4.4.2.7 Constantes dinámicas de amortiguamiento.
a) Amortiguamiento dinámico horizontal
Chd = kh
e [ch +2ξskh
aoh]Rh
Vs
(62)
Donde:
𝐾ℎ𝑒 Rigidez estática horizontal, ver ecuación 43.
𝑐ℎ Factor adimensional de amortiguamiento horizontal, ver ecuaciones 56 o 57.
𝜉𝑠 Factor de amortiguamiento crítico del suelo.
𝑘ℎ Factor adimensional de rigidez horizontal igual a 1.
𝑎𝑜ℎ Frecuencia adimensional horizontal, ver ecuación 49.
Rh Radio horizontal de cimentación equivalente, ver ecuación 32.
Vs Velocidad de onda de estrato equivalente.
b) Amortiguamiento dinámico de cabeceo
Ccd = kc
e [cc +2ξskc
aoc]Rc
Vs
(63)
Donde:
𝑘𝑐𝑒 Rigidez estática de cabeceo, ver ecuación 44.
𝑐𝑐 Factor adimensional de amortiguamiento de cabeceo, ver ecuaciones 58 o 59.
𝜉𝑠 Factor de amortiguamiento crítico del suelo.
𝑘𝑐 Factor adimensional de rigidez de cabeceo. Ver ecuación 53 o 54 o 55.
𝑎𝑜𝑐 Frecuencia adimensional de cabeceo, ver ecuación 50.
Rc Radio de cabeceo de cimentación equivalente, ver ecuación 34.
Vs Velocidad de onda de estrato equivalente.
4.4.2.8 Dinámica de estructuras.
a) Ecuación matricial dinámica de estructuras
Despreciando la masa y la inercia de la cimentación, dado que, en los análisis paramétricos
se demuestra que estos valores no influyen en la respuesta se caracteriza la siguiente
ecuación: (Fernández y Avilés, 2008)
33
[[
𝐾𝑒 0 0
0 𝐾ℎ𝑑 0
0 0 𝐾𝑐𝑑
] − 𝜔𝑖2 [
𝑀𝑒 𝑀𝑒 𝑀𝑒𝐻𝑡
𝑀𝑒 𝑀𝑒 𝑀𝑒𝐻𝑡
𝑀𝑒𝐻𝑡 𝑀𝑒𝐻𝑡 𝑀𝑒𝐻𝑡2] + 𝑖𝜔𝑖 [
𝐶𝑒 0 0
0 𝐶ℎ𝑑 0
0 0 𝐶𝑐𝑑
]] {𝑈𝐻𝜃} = 𝜔𝑖
2𝑋𝑔 {𝑀𝑒
𝑀𝑒
𝑀𝑒𝐻𝑇
} (64)
Donde:
𝐾𝑒 Rigidez equivalente de la estructura, constante, ver ecuación 30.
𝐾ℎ𝑑 Rigidez dinámica horizontal, variable, ver ecuación 60.
𝐾𝑐𝑑 Rigidez dinámica de cabeceo, ver ecuación 61.
𝜔𝑖 Frecuencia circular de excitación.
𝑀𝑒 Masa equivalente de la estructura.
𝐻𝑡 Altura total, es la suma del desplante D más la altura equivalente He.
𝐶𝑒 Amortiguamiento de la estructura, ver ecuación 31.
𝐶ℎ𝑑 Constante de amortiguamiento dinámico horizontal, ver ecuación 62.
𝐶𝑐𝑑 Constante de amortiguamiento dinámico de cabeceo, ver ecuación 63.
U Deformación estructural
H Desplazamiento horizontal de cimentación
Rotación de cimentación
b) Solución de una matriz compleja
Se caracteriza la ecuación 64 de la forma:
[𝑍]{𝑋} = {𝐹} (65)
[[
𝐾𝑒 0 00 𝐾ℎ 00 0 𝐾𝑐
] − 𝜔𝑖2 [
𝑀𝑒 𝑀𝑒 𝑀𝑒𝐻𝑡
𝑀𝑒 𝑀𝑒 𝑀𝑒𝐻𝑡
𝑀𝑒𝐻𝑡 𝑀𝑒𝐻𝑡 𝑀𝑒𝐻𝑇2] + 𝑖𝜔𝑖 [
𝐶𝑒 0 00 𝐶ℎ 00 0 𝐶𝑐
]] {𝑈𝐻𝜃} = 𝜔𝑖
2𝑋𝑔 {
𝑀𝑒
𝑀𝑒
𝑀𝑒𝐻𝑇
}
Para obtener el vector de desplazamientos {X}= {U, H, } se pre-multiplica [Z] por
su inversa:
[Z]{X} = {F} [Z]−1[Z]{X} = [Z]−1{F}
[I]{X} = [Z]−1{F} {X} = [Z]−1{F}
(66)
(67)
(68)
(69)
Para obtener el vector de desplazamientos {X}, se requiere entonces obtener la
inversa3 de la matriz compleja [Z], por lo cual se recurre al siguiente procedimiento:
3 Por definición de inversa de una matriz se tiene que, la matriz inversa de “Z” es la única matriz que al
multiplicarla por ella obtenemos la matriz identidad del orden correspondiente.
34 Entonces:
[I] = [Z]−1[Z] (70)
[Z] y [Z]-1 se pueden escribir de la siguiente forma:
[Z] = [A] + i[B] [Z]−1 = [C] + i[D]
(71)
(72)
Cabe destacar que la matriz C en la ecuación 72 no es la matriz de amortiguamiento,
sino que se usa por cuestión de nomenclatura la secuencia A, B, C, D.
Desarrollado la identidad 70 se tiene:
[I] = [[C] + i[D]]. [[A] + i[B]]
[I] = [[C][A] − [D][B]] + i[[C][B] + [D][A]]
(73)
(74)
Por definición, la matriz de identidad [I] solo tiene parte real, entonces:
[I] = [C][A] − [D][B] [0] = [C][B] + [D][A]
(75)
(76)
Resolviendo la ecuación 76 se obtiene [D]:
[D][A] = −[C][B] [D][A][A]−1 = −[C][B][A]−1
[D] = −[C][B][A]−1
(77)
(78)
(79)
Sustituyendo [D] en la ecuación 75 se tiene:
[I] = [C][A] + [C][B][A]−1[B] [I] = [C]. [[A] + [B][A]−1[B]]
[C] = [[A] + [B][A]−1[B]]−1
(80)
(81)
(82)
Teniendo definidas A y B en la ecuación 71 podemos calcular la matriz C:
[[
𝐾𝑒 0 00 𝐾ℎ 00 0 𝐾𝑐
] − 𝜔𝑖2 [
𝑀𝑒 𝑀𝑒 𝑀𝑒𝐻𝑡
𝑀𝑒 𝑀𝑒 𝑀𝑒𝐻𝑡
𝑀𝑒𝐻𝑡 𝑀𝑒𝐻𝑡 𝑀𝑒𝐻𝑇2] + 𝑖𝜔𝑖 [
𝐶𝑒 0 00 𝐶ℎ 00 0 𝐶𝑐
]] {𝑈𝐻𝜃} =𝜔𝑖
2𝑋𝑔 {𝑀𝑒
𝑀𝑒
𝑀𝑒𝐻𝑇
}
Finalmente se obtiene D reemplazando las matrices A, B y C en la ecuación 79.
Para obtener el vector de desplazamientos {X} volvemos a la ecuación 69 y
reemplazamos [Z]-1 de la ecuación 72 teniendo así una ecuación con un término real y uno
imaginario.
{X} = [[C] + i[D]]{F} (83)
{X} = [C]{F} = {UR
HR
θR
} Término real
{X} = [D]{F} = {UI
HI
θI
} Término imaginario
(84)
(85)
Expandiendo el vector X tenemos una parte real
[𝐶] {
Me
Me
MeHT
}ωi2Xg = {
UR
HR
θR
}
(86)
35 Y una parte imaginaria
[𝐷] {Me
Me
MeHT
}ωi2Xg = {
UI
HI
θI
}
(87)
Finalmente, obtenemos un UR y UI para cada período iterado Ti
Para cada relación Ti/Te nos genera un valor 𝝎𝒆
𝟐.𝑼
Ẍ𝒈 según la siguiente ecuación:
Ü
Ẍs
= ωe
2. U
Ẍg
= √UR2 + UI
2. ωe2
(88)
El valor máximo de la gráfica nos permite encontrar la relación Ti/Te en donde se halla
el período de interacción suelo-estructura Tise.
Figura 14. Función de transferencia.
Los valores de la curva corresponden a la relación 𝑇𝑖
𝑇𝑒 vs.
Ü
Ẍ𝑠
En donde se encuentra Ü
Ẍ𝑠 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 podemos calcular el 𝑇𝑖𝑠𝑒 como:
Tise = (Ti
Te)
máx
. Te (89)
Para encontrar el amortiguamiento se calcula con el valor máximo de la función:
ξise =1
2(𝑾𝐞𝟐. 𝑼/Ẍ𝒈)
𝐦á𝐱
(90)
máx
0
2
4
6
8
10
12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2
ωe2
U/Ẍ
g
Ti / Te (s)
Función de transferencia
36
5. CASO PRÁCTICO.
5.1 EDIFICIO A
5.1.1 Descripción, geometría y ubicación del proyecto
El proyecto “EDIFICIO A” consiste en el análisis y diseño de un edificio para
huéspedes, consta de dos torres, A y B de igual arquitectura, comprenden 22 pisos y un
subsuelo que se formará del diseño de la cimentación tipo cajón.
Está ubicado en Ecuador, en la provincia de Esmeraldas, Cantón Atacames, en la
Parroquia Tonsupa.
Figura 15. Mapa de la ubicación del Resort Playa Azul. Figura 16. Arquitectura de Torre, vista lateral.
Tabla 12. Distribución de plantas en altura edificio A
Distribución de plantas en altura
Piso Altura de entrepiso
(m)
Planta Tipo
1 4.50 A
2 al 19 3.06 A
20 al 22 3.06 B
TOTAL 68.76
Tabla 13. Secciones de columnas y muros edificio A Secciones de columnas y muros
Eje Sección (cm)
1A, 2A, 1D, 2D 40 x 120
1B, 2B, 3B, 1C, 2C, 3C 60 x 120
3D 40 x 80
3A Muro L 100 x 300 x 40
Ascensor T intermedia Muro T 110x200x150
Ascensor muros externos Muro C 200x 395x100
37
Figura 17. Planta tipo A
Figura 18. Planta tipo B
El edificio se considera como una super estructura y cimentación de hormigón armado,
con losas bidireccionales apoyadas sobre vigas, cimentación tipo cajón y elementos verticales
del tipo columnas y muros.
38 5.1.2 Cálculo de las propiedades del suelo edificio A
5.1.2.1 Ensayo SPT en terreno a implantar edificio A
Los resultados de SPT mostrados en la tabla 14, corresponden al estudio de suelos
realizados en el sitio de implantación del proyecto. El punto p-33 se encuentra situado por
debajo de la implantación de la torre en estudio.
La información con la que se cuenta tiene un estudio hasta los 10 mts de profundidad.
Tabla 14. Ensayo de penetración estándar (SPT).
Tonsupa p-33 Tonsupa p-34
# Profundidad Nspt campo Nspt campo
0 0.45 8 8
1 1.45 17 11
2 2.45 16 16
3 3.45 21 20
4 4.45 24 21
5 5.45 22 27
6 6.45 23 30
7 7.45 30 31
8 8.45 28 27
9 9.45 25 31
10 10 29 36
5.1.2.2 Cálculo de Vs y G a partir de N spt
La tabla 14 se puede reducir a 5 estratos, asignando a cada uno el promedio de dos
sondeos que se ubiquen dentro de los intervalos de profundidad planteados en la tabla 15.
Utilizando las ecuaciones 11 y 12 se calculan los valores de velocidad de propagación
de onda y promediamos estos resultados para tener un solo valor correspondiente a cada
intervalo de profundidad.
Los valores de peso específico se encuentran en la tabla 6 considerando que no hay
nivel freático y se promedió el valor mínimo con el máximo para un suelo de clasificación
CH. Finalmente se divide en tres estratos para resumir el perfil de suelo del sitio de
implantación.
Se puede correlacionar también el N(spt) con la propiedad G del suelo según lo ha
propuesto Yorhito Ohsaki y Ryoji Iwasaki (1973)
G=1281N0.78 (91)
Donde:
G Módulo de Cortante del suelo
N Número de golpes considerando el 67% de la energía teórica máxima.
39 Tabla 15. Valores de Vs y G para P-33
Tonsupa P-33
Profundidad (m) SUCS SPT
Vs(4) (m/s)
Vs(5) (m/s)
Vs Prom (m/s)
G(6) (ton/m2)
Vs prom (m/s)
Vs prom (m/s)
γ7 (KN/m3) γ(ton/m3)
0 2 CH 13 174.90 183.79 179.35 6403.31 174.90 184 15.00 1.5
2 4 CH 19 199.06 207.54 203.30 8693.78 206.47 215 15.00 1.5
4 6 CH 23 213.89 222.03 217.96 10302.97
6 8 CH 27 224.12 232.00 228.06 11506.59 225.27 233 15.00 1.5
8 10 CH 27 226.42 234.24 230.33 11787.86
Tabla 16. Valores de Vs y G para P-34
Tonsupa P-34
Profundidad (m) SUCS SPT
Vs (m/s)
Vs (m/s)
Vs Prom (m/s)
G (ton/m2)
Vs prom (m/s)
Vs prom (m/s) γ(KN/m3) γ(ton/m3)
0 2 CH 10 159.76 168.80 164.28 5169.39 159.76 168.80 15.00 1.5
2 4 CH 18 197.27 205.79 201.53 8509.95 207.09 215.38 15.00 1.5
4 6 CH 24 216.91 224.98 220.95 10650.73
6 8 CH 31 234.76 242.33 238.55 12840.11 235.81 243.35 15.00 1.5
8 10 CH 31 236.86 244.37 240.61 13112.93
Tenemos así la estratificación de P-33 con relación a la tabla 15:
Figura19. Perfil del suelo según los sondeos P-33.
4 Velocidad de propagación de ondas de corte Imai y Yoshimura (1990) 5 Velocidad de propagación de ondas de corte (Ohba y Toriumi, 1970). 6 Módulo de cortante (Yorhito Ohsaki y Ryoji Iwasaki; 1973) 7 Tabla 6 pesos específicos típicos
40 El estudio señala que el estrato 1 continúa hasta los 30 m. Siendo así, el estrato
equivalente sería rígido debido a la ponderación que se realiza y que aproximaría el valor de
cortante de suelo y velocidad de onda al del estrato de espesor más grande.
5.1.2.3 Cálculo del período para estrato equivalente de edificio A
a) Aplicación del método de las formas modales.
Se calcula ρS dividiendo γs por la gravedad y G mediante la ecuación 1
Tabla 17. Valores de G a partir de Vs en el método de las formas modales.
G a partir de Vs
Estrato Vs (m/s) γs (t/m3) ρS (t.s2/m4) G(t/m2)
1 233 1.5 0.15 8309
2 215 1.5 0.15 7075
3 184 1.5 0.15 5182
Aplicando las ecuaciones 13 y 14 se construyen las matrices de masa y rigidez
correspondientes a cada estrato.
Tabla 18. Matrices de masa y rigidez por estrato
Se ensambla la matriz de masa y rigidez total de acuerdo con las ecuaciones 15 y 16 y
se eliminan la última fila y columna para considerar que el depósito está fijo en el contacto
con el basamento rocoso.
Tabla 19. Matriz de masa del sistema
[M]
0.10 0.05 0 0
0.05 0.30 0.10 0.00
0 0.10 1.42 0.61
0 0 0.61 1.22
Estrato1 [m1]
1.22 0.61
G(t/m2) 8309 0.61 1.22
ϒ(t/m3) 1.5 [k1]
346.23 -346.23
H(m) 24 -346.23 346.23
Estrato2 [m2]
0.20 0.10
G(t/m2) 7075 0.10 0.20
ϒ(t/m3) 1.5 [k2]
1768.81 -1768.81
H(m) 4 -1768.81 1768.81
Estrato3 [m3]
0.10 0.05
G(t/m2) 5182 0.05 0.10
ϒ(t/m3) 1.5 [k3]
2591.02 -2591.02
H(m) 2 -2591.02 2591.02
41
Tabla 20. Matriz de rigidez del sistema
[K]
2591.02 -2591.02 0 0.00
-2591.02 4359.83 -1768.81 0.00
0 -1768.81 2115.04 -346.23
0 0 -20 20.00
Se varía la frecuencia angular hasta conseguir que el determinante según la ecuación
17 sea 0, esta frecuencia es la que corresponde a la del estrato equivalente, el período se
calcula con la ecuación 18.
Tabla 21. Cálculo del período del estrato equivalente (edificio A)
[[k]-ω2[m]] 2574.812 -2599.124 0.000
-2599.124 4311.210 -1785.022
0.000 -1785.022 1888.131
ω(rad/s) 12.61
Ts(s) 0.50
det(k-w2.m) -2.1098E-06
b) Aplicación del método de Rayleigh
Se han numerado los estratos del 1 al 3 siendo n=3 y para cado estrato i se tiene su
relación Hi/Gi.
Mediante la ecuación 20 se obtiene Wi para cada estrato
La columna ϒi*Hi*W# corresponde a los valores para el segundo paréntesis de la
ecuación 19.
Tabla 22. Método de Rayleigh
Estrato1
G(t/m2) 8309
ϒ(t/m3) 1.5
H(m) 24
Estrato2 Estrato Hi/Gi Wi ϒi*Hi*W#
G(t/m2) 7075 1 0.003 0.752 20.37
ϒ(t/m3) 1.5 2 0.001 0.899 12.30
H(m) 4 3 0.000 1.000 8.13
∑ 2.651 40.80
Estrato3 Ts(s) 0.51
G(t/m2) 5182
ϒ(t/m3) 1.5
H(m) 2
42 c) Aplicación del método del recíproco de las lentitudes.
Aplicando lo señalado en el numeral 4.1.3.3
Tabla 23. Valores de G y Vs en el método del recíproco de las lentitudes.
Estrato1
G(t/m2) 8309
ϒ(t/m3) 1.5
H(m) 24
Estrato2 Estrato 𝞺 (t.s2/m4) Vsi (m/s) Vs(m/s) Gs(t/m2)
G(t/m2) 7075 1 0.153 233.00
226.45 7841.04 ϒ(t/m3) 1.5 2 0.153 215.00
H(m) 4 3 0.153 184.00
Estrato3 Hs (m) 30.00
G(t/m2) 5182 Ts(s) 0.53
ϒ(t/m3) 1.5
H(m) 2
Los valores de período obtenidos son 0.50, 0.51 y 0.53 segundos con los diferentes
métodos, tomaremos de aquí en adelante el valor del recíproco de las lentitudes porque es el
más alto y representaría el período de un estrato equivalente menos rígido con relación a los
otros valores, aunque como vemos la diferencia es mínima.
5.1.3 Cálculo de las propiedades de la estructura con base empotrada del edificio A
5.1.3.1 Modelación del edificio
Se modelan elementos frame para columnas y vigas de las secciones que se han
definido en el numeral 5.1.1, elementos shell para muros y las losas se han modelado como
tipo membrana para un sistema constructivo de tipo losa bidireccional, asignando las
propiedades mostradas en la figura 20.
Figura 20. Propiedades asignadas para losa de edificio A
43 Los materiales se definen según se muestra en las figuras 7 y 8 para un hormigón de
f¨c=35 Mpa y acero con fy= 4200 kg/cm2
Figura 21. Modelación del edificio A en ETABS 2016.
5.1.3.2 Periodo fundamental y porcentajes de masa participante.
a) Cálculo aproximado del período fundamental de vibración aproximado Te
Se puede definir el período de la edificación aproximado con el siguiente cálculo:
T = Cthnα (28)
Tabla 24. Cálculo del período aproximado de edificio A
Te= 2.477 s Período equivalente NEC-SE-DS-2015 6.3.3.a
Ct= 0.055 Coeficiente que depende del tipo de edificio
hn= 68.76 m
Altura máxima de la edificación de n pisos, medida desde la base de la estructura, en metros.
α= 0.9 Coeficiente que depende del tipo de edificio
44 b) Período fundamental de vibración aproximado Te generado del modelo en ETABS.
Una vez terminado el modelo, se obtienen los resultados y se genera la tabla 25, el modo
1 señala el período fundamental y la dirección correspondiente.
Tabla 25. Períodos y porcentaje de Participación modal
TABLE: Modal Participating Mass Ratios
Case Mode Period UX UY UZ Sum UX Sum UY
Sum UZ RX RY RZ Sum RX
Sum RY
Sum RZ
sec
Modal 1 2.873 0.7683 0.0004 0 0.7683 0.0004 0 0.00004 0.2379 0.0009 0.00004 0.2379 0.0009
Modal 2 2.243 0.0002 0.7169 0 0.7684 0.7173 0 0.2938 0.0004 0.0008 0.2938 0.2383 0.0017
Modal 3 2.08 0.0024 0.0009 0 0.7708 0.7182 0 0.0003 0.0001 0.7528 0.2941 0.2384 0.7546
Modal 4 0.887 0.1136 0.0002 0 0.8844 0.7184 0 0.002 0.4718 0.0001 0.2961 0.7102 0.7546
Modal 5 0.623 0.0001 0.0307 0 0.8846 0.7491 0 0.0765 0.0007 0.1006 0.3726 0.7109 0.8553
Modal 6 0.612 0.0005 0.1245 0 0.885 0.8736 0 0.3112 0.0006 0.0188 0.6837 0.7115 0.8741
Modal 7 0.475 0.0417 0.0001 0 0.9267 0.8737 0 0.0001 0.0711 0.0001 0.6838 0.7826 0.8742
Modal 8 0.322 0.0027 0.0035 0 0.9294 0.8773 0 0.0079 0.0109 0.0368 0.6917 0.7935 0.9109
Modal 9 0.306 0.0189 0.0043 0 0.9483 0.8815 0 0.01 0.0612 0.0045 0.7017 0.8547 0.9154
Modal 10 0.293 0.0017 0.0438 0 0.95 0.9253 0 0.0863 0.0041 0.0062 0.788 0.8588 0.9216
Modal 11 0.22 0.0122 0.00002 0 0.9622 0.9253 0 0.0002 0.0293 0.0025 0.7881 0.8881 0.9241
Modal 12 0.202 0.0016 0.0071 0 0.9637 0.9324 0 0.0213 0.0037 0.0156 0.8095 0.8918 0.9396
5.1.3.3 Cálculo de masa equivalente considerando la sobrecarga por acabados y
mampostería.
Se aplicaron cargas distribuidas: muertas de 3KN/m2 y vivas de 2KN/m2, según lo
expuesto en la metodología, se genera la tabla mostrada a continuación:
Tabla 26. Masa equivalente
TABLE: Mass Summary by Group
Group Self Mass Self
Weight Mass X Mass Y Mass Z
kg kN kg kg kg
All 5041921.96 0 6588973.97 6588973.97 0 Fuente: Modelo Edificación A
Masa (m)= (Mass X / 9810) [t-s2/m] (27)
m= 671.659 t-s2/m
me= 76.83% m = 516.036 t-s2/m
45 5.1.3.4 Resultados de las propiedades de la estructura con base empotrada edificio A
Se utilizará los resultados calculados por ETABS® como parte de las propiedades de
la estructura con base empotrada, el cálculo del período de manera aproximada señala un
rango en el cual debe estar comprendido el período fundamental de un modelo refinado, el
cual considera valores de masa y rigidez más rigurosamente calculados.
Al usar la ecuación 28 planteada por la norma para el cálculo del período por su
simplicidad no se considera la configuración que tienen los 3 últimos pisos del edificio en
estudio, la distribución y secciones de columnas y muros, por lo tanto, se empleará el período
calculado en Etabs®.
Tabla 27. Resultados de las propiedades de la estructura
% masa participante= 76.83% Porcentaje de participación de la masa en el modo 1
me= 516.036 t-s2/m Masa equivalente
Te= 2.873 s Periodo según Etabs ®
Te= 2.477 s Período equivalente NEC-SE-DS-2015 6.3.3.a
Ct= 0.055 Coeficiente que depende del tipo de edificio
hn= 68.76 m
Altura máxima de la edificación de n pisos, medida desde la base de la estructura, en metros.
α= 0.9 Coeficiente que depende del tipo de edificio
H= 68.76 m Altura del edificio
He= 51.57 m Altura equivalente, 75% de la altura total del edificio (NSR-10, Pte. A-84)
Ke= 2468.130 (t/m) Rigidez equivalente
ξ% = 5.00%
Fracción de amortiguamiento de la estructura (NEC-SE-DS-2015) (NSR-10, A.2.6.1, 2010)
ωe= 2.187 (rad/s) Frecuencia circular
Ce = 112.856 (t-s/m) Amortiguamiento de la estructura
Ht= 54.97 m Altura total
D= 3.4 m Desplante
𝑇 = 𝐶𝑡ℎ𝑛𝛼
𝐾𝑒 =4.𝑚𝑒 . 𝜋
2
𝑇𝑒2
𝜔𝑒 =2𝜋
𝑇𝑒
𝐶𝑒=𝑚𝑒.ξ.𝜔𝑒
𝐻𝑇 = 𝐻𝑒 + D
46 5.1.4 Propiedades de la cimentación
La cimentación del edificio A es de tipo cajón, el diseño de la cimentación no es tema
de estudio, las dimensiones una vez realizado el diseño se muestran a continuación:
Figura 22. Planta de cimentación
Figura 23. Cimentación sentido X-X
Figura 24. Cimentación sentido Y-Y
47 a) Radio horizontal Rh y Radio de cabeceo Rc
Para el problema en estudio se calculó en base a las ecuaciones 32, 33, 34 y 35:
Tabla 28. Resumen de parámetros de la fundación
Parámetros de la fundación
Sentido X-X
Base(m) 20.40
Profundidad(m) 14.05
Desplante D(m) 3.40
Radio horizontal Rh(m) 9.55
Radio de cabeceo Rc(m) 8.80
Para el sentido Y-Y
Base(m) 14.05
Profundidad(m) 20.4
Desplante D(m) 3.40
Radio horizontal Rh(m) 9.55
Radio de cabeceo Rc(m) 10.61
5.1.5 Cálculo del período y amortiguamiento de la estructura con efectos ISE
5.1.5.1 Método función de transferencia
A continuación, se realizará el cálculo de las propiedades de la estructura con efectos
ISE, se toman los valores de las propiedades de estructura, cimentación y suelo calculados en
los capítulos anteriores.
Se resumen los datos calculados previamente para el sentido X-X:
Tabla 29. Resumen de parámetros de edificio A
Parámetros de la estructura
Masa equivalente me(t-s2/m) 516.03
% masa participante 76.83%
Período equivalente Te(s) 2.87
Altura equivalente He(m) 51.57
Rigidez equivalente Ke(t/m) 2468.13
Fracción de amortiguamiento de la estructura ξ% 5%
Amortiguamiento de la estructura Ce(t-s/m) 112.85
Frecuencia circular ωe(rad/s) 2.18
Altura total Ht=He+D(m) 54.97
Parámetros de la fundación
Base(m) 20.40
Profundidad(m) 14.05
Desplante D(m) 3.40
Radio horizontal Rh(m) 9.55
Radio de cabeceo Rc(m) 8.80
48 Parámetros del suelo
Módulo de cortante G (t/m2) 7841.04
Velocidad equivalente del suelo Vs(m/s) 226.45
Coeficiente de poisson ν 0.45
Amortiguamiento del suelo ξs% 5%
Profundidad del suelo Hs(m) 30.00
Periodo del estrato Ts(s) 0.53
a) Rigideces Estáticas y factores de Rigidez y amortiguamiento
Sobre la metodología indicada, se aplican las ecuaciones 43, 44, 46, 47
Tabla 30. Valores de Rigideces Estáticas, Factores de Rigidez y amortiguamiento.
Parámetros calculados para el ejemplo
Rigidez estática horizontal Khe (t/m)
632970.2
Rigidez estática de cabeceo Kce (t-m/rad)
52084588.4
Frecuencia adimensional lateral as 0.5
Frecuencia adimensional vertical ap 1.5
b) Parámetros variables
Se calculan para diferentes valores de Ti (período de excitación) desde 0.3 s hasta 4.0s
aproximadamente; con un incremento del período de 0.1 s con esto se tiene para cada Ti su
respectiva frecuencia ωi; se muestra como ejemplo los cálculos para un Ti= 0.3 s, Ti= 2.873 s
y Ti= 4 s con la finalidad de que se pueda comparar los resultados si el lector desarrolla el
método, esto es de manera didáctica, al final se tiene tantos parámetros como períodos se
discreticen. Sobre las ecuaciones mostradas en el numeral 4.4.2.3
Tabla 31. Valores de los Parámetros variables para algunos Ti.
Parámetros variables
Ti(s) 0.30 2.873 4.00
ωi(Rad/s) 20.94 2.19 1.57
aoh 0.88 0.09 0.07
aoc 0.81 0.09 0.06
aoh/as 1.77 0.18 0.13
aoc/ap 0.53 0.06 0.04
c) Rigidez horizontal Kh y Rigidez de cabeceo Kc
Se muestran los valores para diferentes períodos, a amanera de ejemplo se incluye el
cálculo cuando Ti=0.3s, Ti = Te y Ti=4.0 s
49 Tabla 32. Factores adimensionales de rigidez
Factores adimensionales de rigidez
Ti (s) 0.3 2.873 4.0
Kh 1 1 1
Kc 0.84 0.98 0.99
d) Factores de amortiguamiento horizontal y de cabeceo
Tabla 33. Factores adimensionales de amortiguamiento
Factores adimensionales de amortiguamiento
Ti (s) 0.3 2.873 4.0
𝐜𝐡 0.576 0.006 0.004
𝐜𝐜 0.018 0.001 0.001
e) Matrices de rigidez, masa y amortiguamiento
Con los valores obtenidos se ensamblan las matrices según la ecuación 64. Los
resultados de estas matrices se han obtenido de tal manera q el lector pueda corroborar que las
iteraciones son correctas.
Tabla 34. Matrices K, M y C para un Ti = 0.3 s.
K M C (amortiguamiento)
2468.13 0.0 0.0 516.04 516.04 28366.47 112.86 0.00 0.00
0.0 600761.9 0.0 516.04 516.04 28366.47 0.00 18400.49 0.00
0.0 0.0 43528331.8 28366.47 28366.47 1559305.07 0.00 0.00 244390.79
Tabla 35. Matrices K, M y C para un Ti = 2.873 s.
K M C (amortiguamiento)
2468.13 0.0 0.0 516.04 516.04 28366.47 112.86 0.00 0.00
0.0 632934.1 0.0 516.04 516.04 28366.47 0.00 29107.80 0.00
0.0 0.0 51198438.3 28366.47 28366.47 1559305.07 0.00 0.00 2343910.46
Tabla 36. Matrices K, M y C para un Ti = 4.0 s.
K M C (amortiguamiento)
2468.13 0.0 0.0 516.04 516.04 28366.47 112.86 0.00 0.00
0.0 632951.8 0.0 516.04 516.04 28366.47 0.00 40412.93 0.00
0.0 0.0 51448235.5 28366.47 28366.47 1559305.07 0.00 0.00 3277341.26
50 f) Vector componente del vector F
Si consideramos {F}= 𝜔𝑖2𝑋𝑔 {
𝑀𝑒
𝑀𝑒
𝑀𝑒𝐻𝑇
} el vector f llamaremos a lo inscrito entre llaves.
Tabla 37. Vector f componente de {F}
Vector {f}
516.04
516.04
28366.47
g) Solución de la ecuación matricial dinámica de estructuras
Una vez se tienen las matrices K y M se puede determinar Z como una suma de
matrices A más iB, en la metodología encontramos la equivalencia de A y B en el numeral
4.4.2.7 literal b.
Tabla 38. Matrices A y B para un Ti = 0.3 s
Z
A B
-223890.3892 -226358.5196 -12442927.82 2363.646219 0 0
-226358.5196 374403.4216 -12442927.82 +i 0 385379.0261 0
-12442927.82 -12442927.82 -640459410.6 0 0 5118508.716
Tabla 39. Matrices A y B para un Ti = 2.873 s
Z
A B
0 -2468.130406 -135673.1284 246.8130406 0 0
-2468.130406 630465.9227 -135673.1284 +i 0 63658.08343 0
-135673.1284 -135673.1284 43740486.38 0 0 5126078.59
Tabla 40. Matrices A y B para un Ti = 4.0 s
Z
A B
1194.863734 -1273.266673 -69991.469 177.2734664 0 0
-1273.266673 631678.5294 -69991.469 +i 0 63480.47717 0
-69991.469 -69991.469 47600804.41 0 0 5148035.61
Habiendo obtenido A y B podemos calcular C:
51 Tabla 41. Cálculo de Matriz C para un Ti = 0.3 s
B.A-1 B.A-1.B
0.135310682 -0.003378513 -0.002563195 319.8265814 -1302.007911 -13119.73674
-0.550847204 0.639220691 -0.001716931 -1302.007911 246342.2475 -8788.12878
-5.550634708 -0.022803858 0.100289548 -13119.73674 -8788.12878 513332.9278
A+B.A-1.B
C [[𝐴] + [𝐵][𝐴]−1[𝐵]]
−1
-223570.5626 -227660.5275 -12456047.56 5.3688E-05 -9.14619E-07 -1.0272E-06
-227660.5275 620745.6691 -12451715.95 -9.14619E-07 1.1743E-06 -5.04648E-09
-12456047.56 -12451715.95 -639946077.6 -1.0272E-06 -5.04648E-09 1.85292E-08
Tabla 42. Cálculo de Matriz C para un Ti = 2.873 s
B.A-1 B.A-1.B
-0.56859636 -0.002607196 -0.001771745 -140.3369965 -165.9690878 -9082.10239
-0.672448617 0.097953953 -0.001781953 -165.9690878 6235.560919 -9134.430812
-36.79749809 -0.14349208 0.002610371 -9082.10239 -9134.430812 13380.96562
A+B.A-1.B
C [[𝐴] + [𝐵][𝐴]−1[𝐵]]
−1
-140.3369965 -2634.099494 -144755.2308 -0.001576098 -7.71221E-06 -5.23988E-06
-2634.099494 636701.4836 -144807.5593 -7.71221E-06 1.53404E-06 -2.0438E-08
-144755.2308 -144807.5593 43753867.35 -5.23988E-06 -2.0438E-08 5.45186E-09
Tabla 43. Cálculo de Matriz C para un Ti = 4.0 s
B.A-1 B.A-1.B
0.162792917 0.00035472 0.00023989 28.85886465 22.51779687 1234.960725
0.12702294 0.100788064 0.00033497 22.51779687 6398.074419 1724.435908
6.966416069 0.027164823 0.118433432 1234.960725 1724.435908 609699.523
A+B.A-1.B
C [[𝐴] + [𝐵][𝐴]−1[𝐵]]
−1
1223.722598 -1250.748876 -68756.50827 0.000890618 1.88196E-06 1.27284E-06
-1250.748876 638076.6038 -68267.03309 1.88196E-06 1.57142E-06 4.90916E-09
-68756.50827 -68267.03309 48210503.94 1.27284E-06 4.90916E-09 2.25646E-08
Teniendo la matriz C podemos calcular la matriz D señalada anteriormente:
Tabla 44. Matriz D para un Ti = 0.3 s
[𝐷] = −[𝐶][𝐵][𝐴]−1
-1.347E-05 7.42605E-07 2.3906E-07
7.42605E-07 -7.5384E-07 1.77949E-10
2.3906E-07 1.77949E-10 -4.49985E-09
52 Tabla 45. Matriz D para un Ti = 2.873 s
[𝐷] = −[𝐶][𝐵][𝐴]−1
-0.001094164 -4.10564E-06 -2.79251E-06
-4.10564E-06 -1.73305E-07 -1.08771E-08
-2.79251E-06 -1.08771E-08 -9.33439E-09
Tabla 46. Matriz D para un Ti = 4.0 s
[𝐷] = −[𝐶][𝐵][𝐴]−1
-0.000154093 -5.40176E-07 -3.65027E-07
-5.40176E-07 -1.59182E-07 -1.55925E-09
-3.65027E-07 -1.55925E-09 -2.97939E-09
Obtenidos C y D podemos ensamblar Z-1
Tabla 47. Matriz Z-1 para un Ti = 0.3 s
[𝑍]−1 = [𝐶] + 𝑖[𝐷]
C D
5.3688E-05 -9.14619E-07 -1.0272E-06 +i -1.347E-05 7.42605E-07 2.3906E-07
-9.14619E-07 1.1743E-06 -5.04648E-09 7.42605E-07 -7.5384E-07 1.77949E-10
-1.0272E-06 -5.04648E-09 1.85292E-08 2.3906E-07 1.77949E-10 -4.49985E-09
Tabla 48. Matriz Z-1 para un Ti = 2.873 s
[𝑍]−1 = [𝐶] + 𝑖[𝐷]
C D
-0.001576098 -7.71221E-06 -5.23988E-06 +i -0.001094164 -4.10564E-06 -2.79251E-06
-7.71221E-06 1.53404E-06 -2.0438E-08 -4.10564E-06 -1.73305E-07 -1.08771E-08
-5.23988E-06 -2.0438E-08 5.45186E-09 -2.79251E-06 -1.08771E-08 -9.33439E-09
Tabla 49. Matriz Z-1 para un Ti = 4.0 s
[𝑍]−1 = [𝐶] + 𝑖[𝐷]
C D
0.000890618 1.88196E-06 1.27284E-06 +i -0.000154093 -5.40176E-07 -3.65027E-07
1.88196E-06 1.57142E-06 4.90916E-09 -5.40176E-07 -1.59182E-07 -1.55925E-09
1.27284E-06 4.90916E-09 2.25646E-08 -3.65027E-07 -1.55925E-09 -2.97939E-09
53 Y se obtiene el vector de desplazamientos {x}, multiplicando [C] por{f}para la parte
real y [D] por{f} para la parte imaginaria.
Tabla 50. Vector de desplazamientos para un Ti = 0.3 s
Término real
Término
imaginario
U -0.00190506 0.000213505
H -9.14776E-06 -7.50009E-07
θ -7.06786E-06 -4.18991E-06
Tabla 51. Vector de desplazamientos para un Ti = 2.873 s
Término real
Término
imaginario
U -0.965939138 -0.645959742
H -0.003767907 -0.002516631
θ -0.002559863 -0.00171143
Tabla 52. Vector de desplazamientos para un Ti = 4.0 s
Término real
Término
imaginario
U 0.496667943 -0.090150534
H 0.001921323 -0.000405124
θ 0.001299443 -0.000273687
h) Resultados por el método función de transferencia.
Se calcula para cada período Ti con la ecuación 88.
Finalmente se divide el período iterado para el período de la estructura con base
empotrada para graficar la curva: 𝑇𝑖
𝑇𝑒 vs.
𝜔𝑒2.𝑈
ẍ𝑔 que se genera con cada iteración; el punto
máximo corresponde al período con efectos de interacción suelo-estructura Tise.
54
Tabla 53. Valores de 𝑇𝑖
𝑇𝑒 vs.
𝜔𝑒2.𝑈
ẍ𝑔 para estructura A.
Ti(s) We2.U/Ẍg Ti/Te
0.30 0.009 0.104
0.60 0.039 0.209
0.90 0.093 0.313
1.20 0.178 0.418
1.80 0.516 0.627
2.10 0.861 0.731
2.70 3.127 0.940
2.873 5.495 1.00
3.085 10.629 1.074
3.24 7.580 1.128
3.60 3.565 1.253
3.70 3.15 1.29
3.90 2.602 1.357
4.00 2.414 1.392
Figura 25. Función de transferencia edificio A.
Los valores de la curva corresponden a la relación 𝑇𝑖
𝑇𝑒 vs.
Ü
Ẍ𝑠
El punto máximo corresponde a:
Ü
Ẍs
máx = 10.629
1.074; 10.629
0
2
4
6
8
10
12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2
ωe
2U
/Ẍg
Ti / Te (s)
Función de transferencia
55 Ti
Te= 1.074
Por lo tanto:
Tise = 1.074 ∗ 2.873 s
Tise = 3.085 s
Se calcula el amortiguamiento con el valor máximo de la función:
ξise =1
2(𝑾𝐞𝟐. 𝑼/Ẍ𝒈)
(90)
ξise =1
2(𝟏𝟎. 𝟔𝟐𝟗)
𝛏𝐢𝐬𝐞 = 𝟒. 𝟕𝟎 %
56 6. CRITERIOS DE DISEÑO.
Para el diseño estructural de la cimentación según NEC-SE-GC-2015 tenemos:
El fenómeno de la interacción dinámica suelo-estructura se compone por la interacción
inercial y la interacción cinemática. Los efectos inerciales afectan directamente al
comportamiento de la estructura; aumentan el periodo fundamental de vibración, modifican
el amortiguamiento y, hasta donde se tiene conocimiento, reducen la ductilidad. Estos
fenómenos ocurren por el aumento de flexibilidad que sufre la estructura al encontrarse sin
empotramiento fijo en su base. La interacción cinemática se refiere al comportamiento de la
cimentación, la que por su geometría y rigidez filtra las altas frecuencias de la excitación. La
cimentación, al incorporarse al sistema, experimenta efectos de torsión y cabeceo, lo que
origina, generalmente, reducción en su movimiento.
6.1 Procedimiento de cálculo del Diseño Basado en Fuerzas (DBF) de acuerdo a la NEC-
SE-DS-2015, sección 6.3 (2015):
6.1.1 Pasos del método
Los pasos a seguir son los siguientes:
6.1.1.1 Determinación del espectro de diseño Sa(T)
De acuerdo con las características geotectónicas del lugar de emplazamiento de la
estructura (véase en la sección 3.3 NEC-SE-DS-2015)
Figura 26. Espectro de diseño
Donde:
η Razón entre la aceleración espectral Sa a período estructural T = 0.1 s y el PGA para
el período de retorno seleccionado. Su valor depende de la región del Ecuador.
z Aceleración máxima en roca esperada para el sismo de diseño, expresada como
fracción de la aceleración de la gravedad g.
57 Fa Coeficiente de amplificación de suelo en la zona de período corto.
Fd Amplificación de las ordenadas del espectro elástico de respuesta de desplazamientos
para diseño en roca
Fs Comportamiento no lineal de los suelos.
r Factor usado en el espectro de diseño elástico, cuyos valores dependen de la ubicación
geográfica del proyecto.
6.1.1.2 Período fundamental Ta, T o Te y respuesta elástica de aceleración Sa (Ta)
Se aplica la metodología según el numeral 4.2.3.2
6.1.1.3 Determinación del cortante de base V con los resultados de los pasos anteriores.
Cortante basal de diseño V, según la sección 6.3.2 (NEC-SE-DS-2015)
El cortante basal total de diseño V, a nivel de cargas últimas, aplicado a una estructura
en una dirección especificada, se determinará mediante las expresiones:
V =ISa(Ta)
RØPØE.W
(92)
Dónde:
Sa (Ta) Espectro de diseño en aceleración; véase 6.1.1.1
ØP y ØE Coeficientes de configuración en planta y elevación; sección 5.3 (NEC-SE-
HM,2015)
I Coeficiente de importancia; sección 4.1 (NEC-SE-HM,2015)
R Factor de reducción de resistencia sísmica; sección 6.3.4 (NEC-SE-HM,2015)
V Cortante basal total de diseño.
W Carga sísmica reactiva8; véase en la sección 6.1.7 (NEC-SE-HM,2015)
Ta Período de vibración; véase 4.2.3
6.1.1.4 Representación y determinación de la carga sísmica horizontal:
La base del análisis constituirá una representación apropiada de la acción sísmica, de
conformidad con los principios de la dinámica estructural. La acción sísmica determinada
mediante un procedimiento dinámico debe representar, como mínimo, al sismo de diseño
(período de retorno de 475 años), sin la aplicación del factor de reducción de respuesta R, y
puede ser, el espectro de respuesta elástico de aceleraciones, expresado como fracción de la
aceleración de la gravedad, es proporcionado en la sección 3.3.1(NEC-SE-DS-2015).
8 Para casos generales, W es la carga muerta total de la estructura, para el caso de bodegas y almacenaje, W es
la carga muerta total más el 25% de la carga viva por piso.
58 6.1.1.5 Cálculo de las fuerzas horizontales aplicando la NEC-SE-DS-2015
Distribución vertical de fuerzas sísmicas laterales (sección 6.3.5, NEC-SE-DS-2015)
La distribución de fuerzas verticales se asemeja a una distribución lineal (triangular),
similar al modo fundamental de vibración, pero dependiente del período fundamental de
vibración Ta.
En ausencia de un procedimiento más riguroso, basado en los principios de la
dinámica, las fuerzas laterales totales de cálculo deben ser distribuidas en la altura de la
estructura, utilizando las siguientes expresiones:
V = ∑ Fi
n
i=1 ; Vx = ∑ Fi ;
n
i=x Fx =
wxhxk
∑ wihikn
i=1
V
(93) ; (94) ; (95)
Dónde:
V Cortante total en la base de la estructura (determinado con ecuación 92)
Vx Cortante total en el piso x de la estructura
Fi Fuerza lateral aplicada en el piso i de la estructura
Fx Fuerza lateral aplicada en el piso x de la estructura
n Número de pisos de la estructura
wx Peso asignado al piso o nivel x de la estructura, siendo una fracción de la carga reactiva
wi Peso asignado al piso o nivel i de la estructura, siendo una fracción de la carga reactiva
hx Altura del piso x de la estructura
hi Altura del piso i de la estructura
k Coeficiente relacionado con el período de vibración de la estructura T
6.1.1.6 Cálculo del cortante basal por medio de la herramienta Etabs® de la estructura
empotrada:
a) Patrón de carga sísmica (Load Pattern) para estructura empotrada.
Para determinar las fuerzas horizontales se ha creado un caso llamado FHEX (fuerza
horizontal equivalente en el sentido X) de tipo sismo y coeficientes de usuario.
El coeficiente C “Base Shear Coefficient” en la ventana Seismic Load Pattern
corresponde a los factores y coeficientes usados para el cálculo del cortante basal sin
considerar la carga sísmica reactiva W.
V =ISa(Ta)
RØPØE.W
(92)
El valor K se determina según la tabla, dependiendo del período fundamental, este
valor se coloca en la casilla Building Height Exp., K
59 Tabla 54. Factor K
Valores de T(s) K
≤ 0.5 1
0.5 < T ≤ 2.5 0.75 + 0.50 T
> 2.5 2
Se muestra a continuación las ventanas del patrón de carga sísmica en donde se
colocan los valores de C y K:
Figura 27. Ventanas de patrón de carga sísmica en Etabs ®
El valor de cortante basal y la distribución de fuerzas horizontales se encuentran en la
ventana Story Response activando Story shears para el caso FHEX creado anteriormente.
Figura 28. Fuerzas horizontales y cortante Basal
60 6.2 Dirección de aplicación de las fuerzas sísmicas y verificación de que los índices de
deriva no sobrepasen el valor permitido.
Para el caso FHEX, fuerza horizontal equivalente en el sentido X obtenemos los
valores máximos de desplazamiento horizontal tanto en el sentido X como en Y en la ventana
Story Response activando Max story displ.
Figura 29. Máximos desplazamientos por piso
La tabla de desplazamientos máximos por piso se obtiene para calcular las derivas y
verificar según la norma que se cumpla lo siguiente:
6.2.1 Límites de la deriva:
La deriva máxima inelástica ∆M de cada piso debe calcularse mediante:
∆M = 0.75R∆E (96)
Dónde:
∆M Deriva máxima inelástica
∆E Desplazamiento obtenido en aplicación de las fuerzas laterales de diseño reducidas
R Factor de reducción de resistencia (véase la sección 6.3.4 NEC-SE-HM,2015)
Regla: ∆M no puede superar los valores establecidos en la Tabla 7, los cuales deben
satisfacerse en todas las columnas del edificio.
Se verificará que:
∆M <∆Μ máxima (97)
Dónde:
∆Μ Máxima se determina conforme a la sección 4.2.2 de la NEC-SE-DS-2015
Δ = √δx2 + δy2
ΔE = Δn − Δn−1
ΔM = 0.75 ∗ R ∗ ΔE
ΔM máx = 0.02 ∗ hi (NEC-SE-DS-2015 4.2.2)
(98)
(99)
(100)
(101)
61 6.3 Aplicación de los criterios de diseño para el edificio A (empotrado) sentido X
El proyecto se encuentra ubicado en la provincia de Esmeraldas, y de acuerdo con la
velocidad de onda Vs= 226.45 m/s calculada en capítulos anteriores sabemos que corresponde
a un perfil de suelo tipo D.
Tabla 55. Tipo de perfil de suelo
Tipo de Perfil Descripción Definición
D
Perfiles de suelos rígidos que cumplan con el
criterio de velocidad de la onda de cortante, o
360 m/s > Vs ≥ 180 m/s
Perfiles de suelos rígidos que cumplan cualquiera
de las dos condiciones
50 > N ≥ 15.0 100 kPa > Su ≥ 50 kPa
Fuente: Norma Ecuatoriana de la Construcción (NEC-SE-DS-2015, tabla 2)
6.3.1 Espectro de diseño
Conocida la ubicación y el tipo de perfil de suelo tenemos:
Tabla 56. Valores paramétricos para determinar el espectro de diseño
η: Razón entre la aceleración espectral Sa a período estructural T = 0.1 s y el PGA para el período de retorno seleccionado. Su valor depende de la región del Ecuador. Región del Ecuador η Provincias de la Sierra, Esmeraldas y Galápagos 2.48
Z: Aceleración máxima en roca esperada para
el sismo de diseño, expresada como fracción de la aceleración de la gravedad g
Factor de Zona sísmica Z VI 0.5
Fa: Coeficiente de amplificación de suelo en la zona de período corto. Fd: Amplificación de las ordenadas del espectro elástico de respuesta de desplazamientos para diseño en roca Fs: Comportamiento no lineal de los suelos r: Factor usado en el espectro de diseño elástico, cuyos valores dependen de la ubicación geográfica del proyecto r = 1 para todos los suelos, con excepción del suelo tipo E r = 1.5 para tipo de suelo E.
Tipo de perfil del subsuelo Fa Fd Fs r
D 1.12 1.11 1.4 1
To 0.1388 Tc 0.763
62 T (s) Sa (g)
0.000 1.389
0.763 1.389
0.800 1.325
1.000 1.060
1.500 0.707
2.000 0.530
2.500 0.424
3.000 0.353
3.500 0.303
4.000 0.265
Figura 30. Espectro elástico de diseño
Al utilizar los parámetros dentro de los espectros de respuesta predeterminados de
Etabs, para NEC-SE-DS 2015 tenemos:
Figura 31. Espectro elástico de diseño en Etabs®
Tabla 57. Valores del espectro generado por Etabs ®
Period Acceleration Damping
Zone Coefficient
η Coefficient
Fa Fd Soil
Type Behavior
Factor Importance
Factor R
sec
0 1.3888 5 0.5 2.48 1.12 1.11 D 1.4 1 1
0.7 1.3888
0.8 1.293893
0.9 1.08435
1 0.925834
1.5 0.50396
2 0.327332
2.5 0.23422
3 0.178177
3.5 0.141394
4 0.115729
00.20.40.60.8
11.21.41.6
0 1.5 3 4.5
Sa (
g)
T (s)
ESPECTRO ELÁSTICO DE DISEÑO
Sa
63 Se pudo verificar que, en el espectro que produce Etabs® a pesar de haberse
introducido los valores del ejercicio que llevamos a cabo, calcula valores distintos a los
calculados de forma manual; por lo que se usará el espectro elaborado manualmente.
Para la estructura tenemos los períodos fundamentales en el sentido X e Y obtenidos
en la tabla 25:
Periodo Modo 1 (sentido X-X)= 2.873 s
Periodo Modo 2 (sentido Y-Y)= 2.243 s
6.3.2 Respuesta elástica de aceleración Sa
La respuesta elástica de aceleración Sa correspondiente al período Ta o Te del ejemplo
se muestra a continuación.
Figura 32. Espectro elástico de diseño
6.3.3 Cortante Basal
Para el ejercicio en desarrollo tenemos:
𝑉 =1𝑥0.369
8𝑥1𝑥1x (6588973.97𝑔 x 9.81
𝑚
𝑠2)
𝑽 = 𝟐𝟗𝟖𝟏. 𝟒𝟐 𝑲𝑵 = 303.92 t
6.3.4 Cálculo de las fuerzas horizontales
a) Aplicando las expresiones de la NEC-SE-DS-2015
Aplicando las ecuaciones 93,94,95 podemos calcular las fuerzas horizontales para
cada piso.
2.873; 0.369
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
0 1 2 3 4
Sa (
g)
T (s)
ESPECTRO ELÁSTICO DE DISEÑO
Sa
Sa(Ta)
64 Tabla 58. Fuerzas cortantes por piso cálculo manual
TABLE: Mass Summary by Story
Story UX UY UZ hi hx wx=m*g wxhxk
%= wxhx
k Fi= V*% Vx
kg kg kg m m kN . ∑wihik kN kN
Story22 169900.49 169900.49 0 3.06 68.76 1666.7238 7880166.155 0.078 233.430266 233.4303
Story21 204730.78 204730.78 0 3.06 65.7 2008.4090 8669277.156 0.086 256.805712 490.2360
Story20 204730.78 204730.78 0 3.06 62.64 2008.4090 7880533.989 0.078 233.441163 723.6771
Story19 312737.48 312737.48 0 3.06 59.58 3067.9547 10890553.12 0.108 322.605471 1046.2826
Story18 312737.48 312737.48 0 3.06 56.52 3067.9547 9800613.128 0.097 290.318718 1336.6013
Story17 312737.48 312737.48 0 3.06 53.46 3067.9547 8768127.342 0.087 259.733902 1596.3352
Story16 312737.48 312737.48 0 3.06 50.4 3067.9547 7793095.757 0.077 230.851023 1827.1863
Story15 312737.48 312737.48 0 3.06 47.34 3067.9547 6875518.373 0.068 203.670082 2030.8563
Story14 312737.48 312737.48 0 3.06 44.28 3067.9547 6015395.189 0.060 178.191078 2209.0474
Story13 312737.48 312737.48 0 3.06 41.22 3067.9547 5212726.206 0.052 154.414012 2363.4614
Story12 312737.48 312737.48 0 3.06 38.16 3067.9547 4467511.425 0.044 132.338882 2495.8003
Story11 312737.48 312737.48 0 3.06 35.1 3067.9547 3779750.844 0.038 111.965691 2607.7660
Story10 312737.48 312737.48 0 3.06 32.04 3067.9547 3149444.464 0.031 93.2944364 2701.0604
Story9 312737.48 312737.48 0 3.06 28.98 3067.9547 2576592.285 0.026 76.3251195 2777.3856
Story8 312737.48 312737.48 0 3.06 25.92 3067.9547 2061194.306 0.020 61.05774 2838.4433
Story7 312737.48 312737.48 0 3.06 22.86 3067.9547 1603250.529 0.016 47.4922979 2885.9356
Story6 312737.48 312737.48 0 3.06 19.8 3067.9547 1202760.952 0.012 35.6287931 2921.5644
Story5 312737.48 312737.48 0 3.06 16.74 3067.9547 859725.5765 0.009 25.4672258 2947.0316
Story4 312737.48 312737.48 0 3.06 13.68 3067.9547 574144.4017 0.006 17.0075958 2964.0392
Story3 312737.48 312737.48 0 3.06 10.62 3067.9547 346017.4277 0.003 10.2499032 2974.2891
Story2 312737.48 312737.48 0 3.06 7.56 3067.9547 175344.6545 0.002 5.19414802 2979.4833
Story1 329138.95 329138.95 0 4.5 4.5 3228.8531 65384.27526 0.001 1.93684606 2981.4201
Base 51198.29 51198.29 0 0 0 502.2552 0 0.000 0 2981.4201
m= 6588973.93 ∑wihik 100647127.6 1 2981.420
V= 2981420.105 N V= 303.92 t
b) Cálculo con Etabs ®
Una vez se haya definido el patrón de cargas FHEX con los valores:
𝐶 =1𝑥0.369
8𝑥1𝑥1= 0.046 calculado como componente del cortante basal según ecuación 92.
K= 2 Te >2.5
Se genera la tabla 59 en donde se muestran las fuerzas por piso:
Tabla 59. Fuerzas horizontales obtenidas en Etabs®
TABLE: Story Forces
Story Load
Case/Combo Location P VX VY T MX MY
kN kN kN kN-m kN-m kN-m
Story22 FHEX 1 Top 0 -230.5424 0 1413.4904 0 0
Story21 FHEX 1 Top 0 -484.6073 0 3017.9649 0 -706.0219
Story20 FHEX 1 Top 0 -715.5585 0 4476.4793 0 -2189.4336
Story19 FHEX 1 Top 0 -1034.7098 0 6333.659 0 -4379.5092
Story18 FHEX 1 Top 0 -1321.9215 0 8004.9872 0 -7546.1433
Story17 FHEX 1 Top 0 -1578.8772 0 9500.2595 0 -11591.6031
Story16 FHEX 1 Top 0 -1807.2604 0 10829.2721 0 -16423.3073
Story15 FHEX 1 Top 0 -2008.7547 0 12001.8208 0 -21953.8262
Story14 FHEX 1 Top 0 -2185.0436 0 13027.7015 0 -28100.882
65 Story13 FHEX 1 Top 0 -2337.8107 0 13916.7102 0 -34787.3486
Story12 FHEX 1 Top 0 -2468.7396 0 14678.6428 0 -41941.2515
Story11 FHEX 1 Top 0 -2579.5138 0 15323.2952 0 -49495.7679
Story10 FHEX 1 Top 0 -2671.8169 0 15860.4634 0 -57389.2266
Story9 FHEX 1 Top 0 -2747.3324 0 16299.9432 0 -65565.1085
Story8 FHEX 1 Top 0 -2807.744 0 16651.5306 0 -73972.0456
Story7 FHEX 1 Top 0 -2854.7351 0 16925.0215 0 -82563.8222
Story6 FHEX 1 Top 0 -2889.9894 0 17130.2118 0 -91299.3738
Story5 FHEX 1 Top 0 -2915.1903 0 17276.8975 0 -100142.7879
Story4 FHEX 1 Top 0 -2932.0215 0 17374.8745 0 -109063.3036
Story3 FHEX 1 Top 0 -2942.1665 0 17433.9387 0 -118035.3117
Story2 FHEX 1 Top 0 -2947.3089 0 17463.886 0 -127038.3547
Story1 FHEX 1 Top 0 -2949.2276 0 17475.1949 0 -136057.1268
Figura 33. Cortantes por piso sentido X-X
El cortante basal calculado en Etabs ® es: V= 2949.23 kN = 300.64 t
6.3.5 Dirección de aplicación de las fuerzas sísmicas y verificación de que los índices de
deriva no sobrepasen el valor permitido.
Figura 34. Desplazamientos máximos para FHEX, estructura A, empotrada
66 Aplicando el procedimiento según se muestra en el numeral 6.2 se calculan los índices
de deriva a partir de los desplazamientos máximos:
Tabla 60. Control de derivas, aplicando las fuerzas horizontales en el sentido X
estructura empotrada, parámetros de suelo reales.
TABLE: Story Response
Story Elevation Location X-Dir Y-Dir Δ ΔE ΔM % ΔM máx
ΔM-ΔM máx
ΔM<ΔM máx
m mm mm mm mm mm mm mm
Story22 68.76 Top 198.554 9.96 198.80 4.72 28.33 0.93% 61.2 32.87 ok
Story21 65.7 Top 193.884 8.759 194.08 5.19 31.16 1.02% 61.2 30.04 ok
Story20 62.64 Top 188.723 7.884 188.89 4.86 29.15 0.95% 61.2 32.05 ok
Story19 59.58 Top 183.879 7.418 184.03 6.68 40.09 1.31% 61.2 21.11 ok
Story18 56.52 Top 177.21 6.96 177.35 7.48 44.86 1.47% 61.2 16.34 ok
Story17 53.46 Top 169.745 6.496 169.87 8.25 49.52 1.62% 61.2 11.68 ok
Story16 50.4 Top 161.504 6.017 161.62 8.98 53.88 1.76% 61.2 7.32 ok
Story15 47.34 Top 152.536 5.519 152.64 9.64 57.84 1.89% 61.2 3.36 ok
Story14 44.28 Top 142.909 4.999 143.00 10.22 61.31 2.00% 61.2 -0.11 no cumple
Story13 41.22 Top 132.704 4.457 132.78 10.71 64.26 2.10% 61.2 -3.06 no cumple
Story12 38.16 Top 122.007 3.897 122.07 11.11 66.64 2.18% 61.2 -5.44 no cumple
Story11 35.1 Top 110.912 3.322 110.96 11.41 68.47 2.24% 61.2 -7.27 no cumple
Story10 32.04 Top 99.513 2.738 99.55 11.61 69.67 2.28% 61.2 -8.47 no cumple
Story9 28.98 Top 87.913 2.152 87.94 11.71 70.24 2.30% 61.2 -9.04 no cumple
Story8 25.92 Top 76.217 1.579 76.23 10.98 65.88 2.15% 61.2 -4.68 no cumple
Story7 22.86 Top 65.229 1.798 65.25 10.86 65.16 2.13% 61.2 -3.96 no cumple
Story6 19.8 Top 54.357 2.019 54.39 10.74 64.42 2.11% 61.2 -3.22 no cumple
Story5 16.74 Top 43.607 2.091 43.66 10.47 62.82 2.05% 61.2 -1.62 no cumple
Story4 13.68 Top 33.127 1.993 33.19 10.00 60.02 1.96% 61.2 1.18 ok
Story3 10.62 Top 23.12 1.707 23.18 9.20 55.18 1.80% 61.2 6.02 ok
Story2 7.56 Top 13.931 1.243 13.99 7.86 47.19 1.54% 61.2 14.01 ok
Story1 4.5 Top 6.08 0.712 6.12 6.12 36.73 1.20% 90 53.27 ok
Base 0 Top 0 0 0.00 0.00 0.00 0.00% 61.2 61.20 ok
Los valores de derivas de los pisos quinto al catorceavo exceden el valor máximo
permitido, esto sin haber considerado los efectos de interacción suelo estructura, de esta
manera se debe modificar las secciones o resistencia del hormigón. Ahora se realiza un análisis
usando el nuevo período calculado con ISE.
6.4 Distribución de fuerzas horizontales y derivas calculadas con ISE.
6.4.1 Sa para un TISE en sentido X
Buscamos en el espectro el valor de Sa correspondiente al período de la estructura con efectos
ISE
67
Figura 35. Sa para TISE sentido x
Este valor corresponde a un espectro que obedece a una fracción de amortiguamiento respecto
al crítico de 5%, esta aceleración se modifica cuando consideramos el amortiguamiento crítico
del sistema estructural con efectos ISE. Para ello tenemos que:
𝑆𝑎(𝑇𝐼𝑆𝐸)∗ = 𝑆𝑎(𝑇𝐼𝑆𝐸) (0.05
ξise)0.4
(102)
Donde:
ξise Amortiguamiento crítico del sistema estructural con efectos ISE
𝑆𝑎𝑇(𝐼𝑆𝐸) Aceleración espectral correspondiente al período del sistema estructural con
efectos ISE sobre un espectro que obedece a una fracción de amortiguamiento
respecto al crítico de 5%
𝑆𝑎𝑇(𝐼𝑆𝐸)∗ Aceleración espectral correspondiente al período del sistema estructural con
efectos ISE calculada sobre un espectro con una fracción de amortiguamiento
respecto al crítico con efectos ISE
Para el ejemplo:
𝑆𝑎(𝑇𝐼𝑆𝐸)∗ = 0.344 (0.05
0.047)0.4
𝑆𝑎(𝑇𝐼𝑆𝐸)∗ = 0.35
6.4.2 Patrón de carga sísmica (Load Pattern) incluyendo efectos ISE
Para determinar las fuerzas horizontales se ha creado un caso llamado FHEXISE (fuerza
horizontal equivalente en el sentido X con ISE), el coeficiente C corresponde a los factores y
coeficientes usados para el cálculo del cortante basal sin la carga sísmica reactiva y esta vez
se usa el valor de aceleración modificada por el aumento del período debido a los efectos ISE.
3.08; 0.344
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
0 1 2 3 4 5
Sa (
g)
T (s)
ESPECTRO ELÁSTICO DE DISEÑO
Sa
SaT (ISE)
68
𝑉 =𝐼𝑆𝑎(𝑇𝐼𝑆𝐸)∗
𝑅Ø𝑃Ø𝐸.𝑊
𝐶 =1𝑥0.35
8𝑥1𝑥1= 0.043
K=2
6.4.3 Cortante Basal con ISE
𝑉 = 0.043x (6588973.97𝑔 x 9.81𝑚
𝑠2) = 2779.43 KN= 283.33 t
V= 2756.89 KN = 281.03 t ETABS®
Figura 36. Distribución de fuerzas horizontales Estructura A con efectos ISE
6.4.4 Desplazamientos máximos y derivas
Tabla 61. Control de derivas, aplicando las fuerzas horizontales en el sentido X
considerando efectos ISE, parámetros de suelo reales.
TABLE: Story Response
Story Elevation Location X-Dir Y-Dir Δ ΔE ΔM % ΔM máx
ΔM-ΔM máx
ΔM<ΔM máx
m mm mm mm mm mm mm mm
Story22 68.76 Top 185.605 9.311 185.84 4.41 26.49 0.87% 61.2 34.71 ok
Story21 65.7 Top 181.239 8.187 181.42 4.85 29.13 0.95% 61.2 32.07 ok
Story20 62.64 Top 176.415 7.37 176.57 4.54 27.25 0.89% 61.2 33.95 ok
Story19 59.58 Top 171.887 6.935 172.03 6.25 37.48 1.22% 61.2 23.72 ok
Story18 56.52 Top 165.653 6.506 165.78 6.99 41.94 1.37% 61.2 19.26 ok
Story17 53.46 Top 158.675 6.072 158.79 7.72 46.29 1.51% 61.2 14.91 ok
Story16 50.4 Top 150.971 5.625 151.08 8.39 50.37 1.65% 61.2 10.83 ok
Story15 47.34 Top 142.588 5.159 142.68 9.01 54.06 1.77% 61.2 7.14 ok
Story14 44.28 Top 133.589 4.673 133.67 9.55 57.31 1.87% 61.2 3.89 ok
Story13 41.22 Top 124.049 4.167 124.12 10.01 60.06 1.96% 61.2 1.14 ok
Story12 38.16 Top 114.05 3.643 114.11 10.38 62.30 2.04% 61.2 -1.10 no cumple
Story11 35.1 Top 103.678 3.106 103.72 10.67 64.00 2.09% 61.2 -2.80 no cumple
Story10 32.04 Top 93.023 2.56 93.06 10.85 65.12 2.13% 61.2 -3.92 no cumple
Story9 28.98 Top 82.18 2.012 82.20 10.94 65.66 2.15% 61.2 -4.46 no cumple
Story8 25.92 Top 71.246 1.476 71.26 10.26 61.58 2.01% 61.2 -0.38 no cumple
Story7 22.86 Top 60.975 1.681 61.00 10.15 60.91 1.99% 61.2 0.29 ok
Story6 19.8 Top 50.812 1.887 50.85 10.04 60.22 1.97% 61.2 0.98 ok
69 Story5 16.74 Top 40.763 1.955 40.81 9.79 58.73 1.92% 61.2 2.47 ok
Story4 13.68 Top 30.966 1.863 31.02 9.35 56.11 1.83% 61.2 5.09 ok
Story3 10.62 Top 21.612 1.596 21.67 8.60 51.58 1.69% 61.2 9.62 ok
Story2 7.56 Top 13.022 1.162 13.07 7.35 44.11 1.44% 61.2 17.09 ok
Story1 4.5 Top 5.684 0.666 5.72 5.72 34.34 0.76% 90 55.66 ok
Base 0 Top 0 0 0.00 0.00 0.00 0.00% 61.2 61.20 ok
En este caso se aprecia que redujeron las derivas, pero no se consiguieron valores
dentro del máximo permitido.
Con el fin de mostrar los beneficios de incluir efectos de ISE se modelará para un suelo
hipotético más blando.
6.4.5 Reducción de los desplazamientos horizontales máximos por efectos ISE en el
sentido X
Tabla 62. Reducción de desplazamientos por efecto ISE en estructura A, parámetros de
suelo reales
ΔM ΔM (ISE) % de reducción
de desplazamiento mm mm
28.33 26.49 6.95%
31.16 29.13 6.97%
29.15 27.25 6.97%
40.09 37.48 6.96%
44.86 41.94 6.96%
49.52 46.29 6.98%
53.88 50.37 6.97%
57.84 54.06 6.99%
61.31 57.31 6.98%
64.26 60.06 6.99%
66.64 62.3 6.97%
68.47 64 6.98%
69.67 65.12 6.99%
70.24 65.66 6.98%
65.88 61.58 6.98%
65.16 60.91 6.98%
64.42 60.22 6.97%
62.82 58.73 6.96%
60.02 56.11 6.97%
55.18 51.58 6.98%
47.19 44.11 6.98%
36.73 34.34 6.96%
0 0 0.0%
70 6.5 Aplicación de los criterios de diseño para el edificio A (empotrado) sentido Y
6.5.1 Sa para un TISE en sentido Y
Utilizando los valores de la tabla 25, calculamos los factores C y K:
Tabla 63. Coeficientes para
cálculo de Cortante Basal y FHEY
Coeficientes para cálculo de Cortante Basal y FHEY
Ta Y= 2.243 s
I= 1.00
SaTa(Y)= 0.473 g
R= 8.00
Øp= 1.00
ØE= 1.00
C= 0.059
K= 1.872
V= 385.6 t
Figura 37. Sa para TISE en sentido Y, estructura A
6.5.2 Patrón de Cargas sentido Y
Creamos un patrón de cargas sísmicas en el sentido Y al cual llamaremos FHEY:
Figura 38. Patrón de carga sísmica estructura A sentido Y, empotrada
6.5.3 Cortante Basal y distribución de fuerzas horizontales en el sentido Y
Para el patrón de carga definido como FHEY, se tiene la siguiente distribución:
Figura 39. Distribución de fuerzas horizontales en sentido Y, estructura A, empotrada.
2.243; 0.473
0
0.5
1
1.5
0 1 2 3 4 5
Sa (
g)
T (s)
ESPECTRO ELÁSTICO DE DISEÑO
Sa
SaTa (Y)
71 6.5.3 Desplazamientos máximos y derivas sentido Y, estructura empotrada.
Se obtienen los desplazamientos máximos para las fuerzas aplicadas en el sentido Y:
Figura 40. Desplazamiento máximo aplicando las fuerzas horizontales en el sentido Y sin
considerar efectos ISE
Tabla 64. Control de derivas, aplicando las fuerzas horizontales en el sentido Y sin
considerar efectos ISE
TABLE: Story Response
Story Elevation Location X-Dir Y-Dir Δ ΔE ΔM %
ΔM máx
ΔM-ΔM máx
ΔM<ΔM máx
m mm mm mm mm mm mm mm
Story22 68.76 Top 1.11 167.4 167.38 6.62 39.74 1.30% 61.2 21.46 ok
Story21 65.7 Top 0.53 160.8 160.76 6.79 40.74 1.33% 61.2 20.46 ok
Story20 62.64 Top 0.14 154 153.97 6.83 40.95 1.34% 61.2 20.25 ok
Story19 59.58 Top 0.71 147.1 147.14 7.19 43.13 1.41% 61.2 18.07 ok
Story18 56.52 Top 1.25 139.9 139.95 7.58 45.49 1.49% 61.2 15.71 ok
Story17 53.46 Top 1.72 132.4 132.37 7.97 47.82 1.56% 61.2 13.38 ok
Story16 50.4 Top 2.11 124.4 124.40 8.33 50.00 1.63% 61.2 11.20 ok
Story15 47.34 Top 2.42 116 116.07 8.65 51.93 1.70% 61.2 9.27 ok
Story14 44.28 Top 2.64 107.4 107.42 8.92 53.55 1.75% 61.2 7.65 ok
Story13 41.22 Top 2.77 98.45 98.49 9.13 54.79 1.79% 61.2 6.41 ok
Story12 38.16 Top 2.82 89.32 89.36 9.27 55.61 1.82% 61.2 5.59 ok
Story11 35.1 Top 2.78 80.04 80.09 9.32 55.94 1.83% 61.2 5.26 ok
Story10 32.04 Top 2.67 70.72 70.77 9.30 55.78 1.82% 61.2 5.42 ok
Story9 28.98 Top 2.48 61.42 61.47 9.17 55.04 1.80% 61.2 6.16 ok
Story8 25.92 Top 2.2 52.25 52.30 8.95 53.67 1.75% 61.2 7.53 ok
Story7 22.86 Top 1.86 43.31 43.35 8.19 49.13 1.61% 61.2 12.07 ok
Story6 19.8 Top 1.8 35.12 35.16 7.65 45.90 1.50% 61.2 15.30 ok
Story5 16.74 Top 1.75 27.46 27.51 7.09 42.56 1.39% 61.2 18.64 ok
Story4 13.68 Top 1.6 20.36 20.42 6.43 38.58 1.26% 61.2 22.62 ok
Story3 10.62 Top 1.34 13.93 13.99 5.61 33.69 1.10% 61.2 27.51 ok
Story2 7.56 Top 0.97 8.321 8.38 4.65 27.89 0.91% 61.2 33.31 ok
Story1 4.5 Top 0.5 3.695 3.73 3.73 22.37 0.50% 90.00 67.63 ok
Base 0 Top 0 0 0.00 0.00 0.00 0.00% 61.2 61.20 ok
En el sentido Y las derivas producto de fuerzas horizontales no exceden los límites
permitidos.
72 6.6 Cálculo de efectos ISE en el sentido Y
Tabla 65. Parámetros para cálculo de período ISE en el sentido Y, estructura A
Parámetros de la estructura
Masa equivalente me(t-s2/m) 481.5123
% masa participante 71.690%
Período equivalente Te(s) 2.243
Altura equivalente He(m) 51.57
Rigidez equivalente Ke(t/m) 3778.405
Fracción de amortiguamiento de la estructura ξ% 5%
Amortiguamiento de la estructura Ce(t-s/m) 134.883
Frecuencia circular ωe(rad/s) 2.801
Altura total Ht=He+D(m) 54.97
Parámetros de la fundación
Base(m) 14.05
Profundidad(m) 20.4
Desplante D(m) 3.40
Radio horizontal Rh(m) 9.55
Radio de cabeceo Rc(m) 10.61
Parámetros del suelo
Módulo de cortante G (t/m2) 7841.04
Velocidad equivalente del suelo Vs(m/s) 226.452
Coeficiente de poisson ν 0.45
Amortiguamiento del suelo ξs% 5%
Profundidad del suelo Hs(m) 30
Periodo del estrato Ts(s) 0.53
Tabla 66. Función de transferencia,
sentido Y, edificio A
Ti(s) We2.U/Ẍg Ti/Te
0 0.000 0.000
0.30 0.015 0.134
0.60 0.066 0.267
0.90 0.162 0.401
1.20 0.332 0.535
1.50 0.637 0.669
1.80 1.271 0.802
2.10 3.097 0.936
2.243 5.630 1.00 2.40 10.603 1.07
2.405 10.606 1.072 2.70 4.392 1.204
3.00 2.706 1.337
3.30 2.094 1.471
3.60 1.784 1.605
4.00 1.553 1.783
Figura 41. Función de transferencia, sentido Y,
edificio A
1.072; 10.606
0
2
4
6
8
10
12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8
ωe2
U /
Ẍg
Ti / Te (s)
Función de transferencia
73
El punto máximo corresponde a:
Ü
Ẍ𝑠
𝑚á𝑥 = 10.606 𝑇𝑖
𝑇𝑒= 1.072
Por lo tanto:
𝑇𝑖𝑠𝑒𝑌 = 1.072 ∗ 2.243 𝑠 𝑇𝑖𝑠𝑒𝑌 = 2.405 𝑠
Se calcula el amortiguamiento con el valor máximo de la función:
𝜉𝑖𝑠𝑒𝑌 =1
2(𝐖𝒆𝟐. 𝐔/Ẍ𝐠)
𝜉𝑖𝑠𝑒𝑌 =1
2(𝟏𝟎. 𝟔𝟎𝟔) 𝝃𝒊𝒔𝒆𝒀 = 𝟒. 𝟕𝟏𝟒 %
74 7. Efectos ISE en estructura A con características de suelo blando, caso hipotético
Se varía la velocidad de onda de corte del estrato equivalente a Vs= 180 m/s, esto con
el fin de permanecer dentro del espectro para suelos tipo D y poder hacer referencia a los
resultados de la estructura empotrada y además es muy posible encontrase con suelo de estas
características en la ciudad de Atacames, zona en estudio.
7.1 Parámetros para estructura A, tipo de suelo D con Vs=180 m /s (hipotético)
Tabla 67. Parámetros estructura A, caso hipotético
Parámetros de la estructura
Masa equivalente me(t-s2/m) 516.036
% masa participante 76.83%
Período equivalente Te(s) 2.873
Altura equivalente He(m) 51.57
Rigidez equivalente Ke(t/m) 2468.13
Fracción de amortiguamiento de la estructura ξ% 5%
Amortiguamiento de la estructura Ce(t-s/m) 112.856
Frecuencia circular ωe(rad/s) 2.187
Altura total Ht=He+D(m) 54.97
Parámetros de la fundación
Base(m) 20.40
Profundidad(m) 14.05
Desplante D(m) 3.40
Radio horizontal Rh(m) 9.55
Radio de cabeceo Rc(m) 8.80
Parámetros del suelo
Módulo de cortante G (t/m2) 4957.20
Velocidad equivalente del suelo Vs(m/s) 180
Coeficiente de poisson ν 0.45
Amortiguamiento del suelo ξs% 5%
Profundidad del suelo Hs(m) 30.00
Periodo del estrato Ts(s) 0.67
7.2 Análisis de efectos ISE
Tabla 68. Función de transferencia
edificio A, suelo con Vs=180m/s
Ti(s) We2.U/Ẍg Ti/Te
0 0.000 0.000
0.30 0.008 0.104
0.60 0.036 0.209
0.90 0.085 0.313
1.20 0.162 0.418
1.80 0.461 0.627
2.10 0.754 0.731
2.70 2.408 0.940
2.873 3.843 1.00
3.200 10.894 1.114 3.24 10.540 1.128
3.60 4.380 1.253
3.70 3.74 1.29
3.90 2.956 1.357
Figura 42. Función de transferencia edificio A,
suelo con Vs=180m/s
1.114; 10.894
0
2
4
6
8
10
12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2
ωe
2U
/Ẍg
Ti / Te (s)
Función de transferencia
75 Tabla 69. Coeficientes para cálculo
de Cortante Basal y FHEX, suelo
Vs=180 m/s Coeficientes para cálculo de
Cortante Basal y FHEX
T ise= 3.200
ξise= 4.6%
I= 1.00
Sa(Tise)= 0.331 g
Sa(Tise)*= 0.34 g
R= 8.00
Øp= 1.00
ØE= 1.00
C= 0.04
K= 2
V= 2564.547 KN
*Sa considerando amortiguamiento
ISE
Figura 43. Sa para TISE en sentido X,
estructura A suelo Vs=180m/s
7.3 Desplazamientos máximos y derivas
Tabla 70. Control de derivas, aplicando las fuerzas horizontales en el sentido X con
efectos ISE, para suelo hipotético Vs=180m/s, edificio A
TABLE: Story Response
Story Elevation Location X-Dir Y-Dir Δ ΔE ΔM %
ΔM máx
ΔM-ΔM máx
ΔM<ΔM máx
m mm mm mm mm mm mm mm
Story22 68.76 Top 172.7 8.7 172.87 4.11 24.64 0.81% 61.2 36.56 ok
Story21 65.7 Top 168.6 7.6 168.77 4.52 27.10 0.89% 61.2 34.10 ok
Story20 62.64 Top 164.1 6.9 164.25 4.23 25.35 0.83% 61.2 35.85 ok
Story19 59.58 Top 159.9 6.5 160.03 5.81 34.87 1.14% 61.2 26.33 ok
Story18 56.52 Top 154.1 6.1 154.21 6.50 39.00 1.27% 61.2 22.20 ok
Story17 53.46 Top 147.6 5.6 147.71 7.18 43.06 1.41% 61.2 18.14 ok
Story16 50.4 Top 140.4 5.2 140.54 7.81 46.86 1.53% 61.2 14.34 ok
Story15 47.34 Top 132.6 4.8 132.73 8.38 50.29 1.64% 61.2 10.91 ok
Story14 44.28 Top 124.3 4.3 124.35 8.88 53.31 1.74% 61.2 7.89 ok
Story13 41.22 Top 115.4 3.9 115.46 9.31 55.88 1.83% 61.2 5.32 ok
Story12 38.16 Top 106.1 3.4 106.15 9.66 57.95 1.89% 61.2 3.25 ok
Story11 35.1 Top 96.45 2.9 96.49 9.92 59.54 1.95% 61.2 1.66 ok
Story10 32.04 Top 86.53 2.4 86.57 10.10 60.58 1.98% 61.2 0.62 ok
Story9 28.98 Top 76.45 1.9 76.47 10.18 61.07 2.00% 61.2 0.13 ok
Story8 25.92 Top 66.28 1.4 66.29 9.55 57.29 1.87% 61.2 3.91 ok
Story7 22.86 Top 56.72 1.6 56.74 9.44 56.66 1.85% 61.2 4.54 ok
Story6 19.8 Top 47.27 1.8 47.30 9.34 56.02 1.83% 61.2 5.18 ok
Story5 16.74 Top 37.92 1.8 37.96 9.10 54.63 1.79% 61.2 6.57 ok
Story4 13.68 Top 28.81 1.7 28.86 8.70 52.20 1.71% 61.2 9.00 ok
Story3 10.62 Top 20.1 1.5 20.16 8.00 47.98 1.57% 61.2 13.22 ok
Story2 7.56 Top 12.11 1.1 12.16 6.84 41.03 1.34% 61.2 20.17 ok
Story1 4.5 Top 5.287 0.6 5.32 5.32 31.94 0.71% 90.00 58.06 ok
Base 0 Top 0 0 0.00 0.00 0.00 0.00% 61.2 61.20 ok
Esta vez, con un suelo más blando de tipo D, los efectos sobre el período de la
estructura debido a la interacción suelo estructura, han conseguido disminuir los
desplazamientos horizontales y con esto se cumple los requisitos de la norma.
3.2; 0.331
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
0 1 2 3 4 5
Sa (
g)
T (s)
ESPECTRO ELÁSTICO DE DISEÑO
Sa
SaT (ISE)
76 7.3.1 Reducción de los desplazamientos horizontales máximos por efectos ISE en el
sentido X suelo hipotético.
Tabla 71. Reducción de desplazamientos por efecto ISE en estructura A, parámetros de
suelo más blando
ΔM ΔM (ISE) % de reducción de
desplazamiento mm mm
28.33 24.64 14.98%
31.16 27.1 14.98%
29.15 25.35 14.99%
40.09 34.87 14.97%
44.86 39 15.03%
49.52 43.06 15.00%
53.88 46.86 14.98%
57.84 50.29 15.01%
61.31 53.31 15.01%
64.26 55.88 15.00%
66.64 57.95 15.00%
68.47 59.54 15.00%
69.67 60.58 15.00%
70.24 61.07 15.02%
65.88 57.29 14.99%
65.16 56.66 15.00%
64.42 56.02 14.99%
62.82 54.63 14.99%
60.02 52.2 14.98%
55.18 47.98 15.01%
47.19 41.03 15.01%
36.73 31.94 15.00%
0 0 0.0%
77 8. Ejemplo de edificación B
8.1 EDIFICIO B
8.1.1 Descripción, geometría y ubicación del proyecto
El proyecto “Edificio B” consiste en el análisis y diseño de un edificio para huéspedes,
consta de una torre, comprenden 13 pisos y un subsuelo que se formará del diseño de la
cimentación tipo cajón.
Está ubicado en Ecuador, en la provincia de Guayas, Ciudad de Guayaquil, la
implantación es sobre un suelo de tipo E, con Vs=120 m/s
Figura 44. Edificio Malena, Edificio B
Figura 45. Plantas tipo de edificio B
78
Figura 46. Planta Tipo C
La planta tipo A únicamente corresponde al nivel 3.24m las plantas superiores son
similares y del tipo B, son 12 pisos de 3.24m y la cubierta de escaleras y ascensor de tipo C.
Tabla 72. Distribución de plantas en altura edificio A
Distribución de plantas en altura
Piso Altura de entrepiso
(m)
Planta Tipo
1 3.24 A
2 al 12 3.24 B
13 3.24 C
TOTAL 42.12
Tabla 73. Secciones edificio tipo B
SECCIONES COLUMNAS Y MUROS EJE TIPO DIMENSIONES
D1, D2, A2 Muro L 1.00x0.40 e=0.30
A1, B1, B2, C1; C2 Columna 0.40 x 0.80
Ascensor Muro G 2.00 x 1.95 x 0.57
79
Figura 47. Secciones de vigas planta tipo A,
edificio B
Figura 48. Secciones de vigas,
planta tipo B, edificio B
Figura 49. Secciones de vigas planta tipo C, edificio B
8.1.2 Cálculo de las propiedades del suelo edificio B
Teniendo como dato preliminar un suelo de tipo E con Vs= 120 m/s que va desde el nivel
0 hasta una profundidad de 30m. se puede calcular el módulo de cortante G con la ecuación 1
y el período del estrato con la ecuación 25, sabiendo que el peso específico es de 1.5 t/m3
80 Tabla 74. Parámetros del suelo edificio B
Parámetros del suelo
γ(t/m3) 1.5
ρ (t.s2/m4) 0.153
Módulo de cortante G (t/m2) 2203.20
Velocidad equivalente del suelo Vs(m/s) 120
Coeficiente de poisson ν 0.4
Amortiguamiento del suelo ξs% 5%
Profundidad del suelo Hs(m) 30.00
Periodo del estrato Ts(s) 1.00
8.1.3 Cálculo de las propiedades de la estructura con base empotrada del edificio B
8.1.3.1 Modelación del edificio
Figura 50. Modelo de edificio B
81
8.1.3.2 Resultados del análisis modal de la estructura B empotrada.
Tabla 75. Masa de la estructura B
TABLE: Mass Summary by Group
Group Self Mass Self Weight Mass X Mass Y Mass Z
kg kN kg kg kg
All 2058622.3 0 2861414.06 2861414.06 0
Tabla 76. Período y participación modal de estructura B
TABLE: Modal Participating Mass Ratios
Case Mode Period UX UY UZ Sum UX
Sum UY
Sum UZ RX RY RZ
Sum RX
Sum RY
Sum RZ
sec
Modal 1 1.735 0.709 0.006 0.000 0.709 0.006 0.000 0.002 0.288 0.003 0.002 0.288 0.003
Modal 2 1.560 0.006 0.730 0.000 0.715 0.735 0.000 0.271 0.002 0.001 0.272 0.290 0.004
Modal 3 1.379 0.005 0.000 0.000 0.720 0.736 0.000 0.001 0.000 0.758 0.273 0.290 0.762
Modal 4 0.483 0.128 0.002 0.000 0.848 0.738 0.000 0.007 0.353 0.000 0.280 0.643 0.762
8.1.4 Parámetros de la fundación
8.1.4.1 Geometría de la fundación tipo cajón edificio B
Figura 51. Cimentación edificio B
8.1.4.2 Radio Horizontal y Radio de cabeceo en el sentido X
Tabla 77. Radio horizontal y radio de cabeceo fundación edificio B
Parámetros de la fundación
Base(m) 21.95
Profundidad(m) 9.05
Desplante D(m) 4.86
Radio horizontal Rh(m) 7.95
Radio de cabeceo Rc(m) 6.45
82 8.1.5 Criterios de diseño para edificación B.
8.1.5.1 Espectro elástico de diseño para la ciudad de Guayaquil para suelo tipo E.
η: Razón entre la aceleración espectral Sa a período estructural T = 0.1 s y el PGA para el período de retorno seleccionado. Su valor depende de la
región del Ecuador.
Región del Ecuador η
Provincias de la costa excepto Esmeraldas 1.80
Z: Aceleración máxima en roca esperada para el sismo de diseño, expresada como fracción de la aceleración de la gravedad g
Factor de Zona sísmica Z
V 0.4 Fa: Coeficiente de amplificación de suelo en la zona de período corto. Fd: Amplificación de las ordenadas del espectro elástico de respuesta de desplazamientos para diseño en roca Fs: Comportamiento no lineal de los suelos r: Factor usado en el espectro de diseño elástico, cuyos valores dependen de la ubicación geográfica del proyecto r = 1 para todos los suelos, con excepción del suelo tipo E r = 1.5 para tipo de suelo E.
Tipo de perfil del subsuelo Fa Fd Fs r
E 1 1.6 1.9 1.5
To 0.304
Tc 1.672
Tabla 78. Espectro elástico de
diseño suelo tipo E, zona 5
T (s) Sa (g)
0.000 0.720
1.672 0.720
0.800 0.720
1.000 0.720
1.500 0.720
2.000 0.550
2.500 0.394
3.000 0.300
3.500 0.238
4.000 0.195
Figura 52. Espectro elástico de diseño para suelo tipo E
zona V
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
Sa (
g)
T (s)
ESPECTRO ELASTICO DE DISEÑO
Sa
83 8.1.5.2 Cortante Basal calculado para estructura empotrada sentido X
Tabla 79. Coeficientes para cálculo de
cortante basal y FHEX estructura B
Coeficientes para cálculo de Cortante
Basal y FHE
Ta = 1.735 s
I= 1.00
SaTa(x)= 0.681 g
R= 8.00
Øp= 1.00
ØE= 1.00
C= 0.085
K= 1.618
V= 241.55 t
Figura 53. Sa para Te estructura B sentido X
Figura 54. Distribución de cortante para sentido X, estructura B
8.1.5.3 Derivas y desplazamientos máximos para estructura B con base empotrada en el
sentido X.
Figura 55. Desplazamientos máximos para FHEX, estructura B
1.735; 0.681
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0 1 2 3 4 5
Sa (
g)
T (s)
ESPECTRO ELÁSTICO DE DISEÑO
Sa
SaT
84 Tabla 80. Control de derivas, aplicando las fuerzas horizontales en el sentido X sin
considerar efectos ISE, edificio B
TABLE: Story Response
Story Elevation Location X-Dir Y-Dir Δ ΔE ΔM % ΔM máx
ΔM-ΔM máx
ΔM<ΔM máx
m mm mm mm mm mm mm mm
Story13 42.12 Top 139.463 5.109 139.56 3.68 22.08 0.68% 64.8 42.72 ok
Story12 38.88 Top 135.771 5.336 135.88 9.80 58.78 1.81% 64.8 6.02 ok
Story11 35.64 Top 125.992 4.691 126.08 10.94 65.62 2.03% 64.8 -0.82 no cumple
Story10 32.4 Top 115.067 4.171 115.14 11.99 71.97 2.22% 64.8 -7.17 no cumple
Story9 29.16 Top 103.069 4.042 103.15 12.98 77.87 2.40% 64.8 -13.07 no cumple
Story8 25.92 Top 90.088 3.847 90.17 13.83 82.97 2.56% 64.8 -18.17 no cumple
Story7 22.68 Top 76.256 3.629 76.34 14.37 86.23 2.66% 64.8 -21.43 no cumple
Story6 19.44 Top 61.888 3.212 61.97 14.42 86.55 2.67% 64.8 -21.75 no cumple
Story5 16.2 Top 47.464 2.803 47.55 13.39 80.36 2.48% 64.8 -15.56 no cumple
Story4 12.96 Top 34.074 2.328 34.15 11.91 71.46 2.21% 64.8 -6.66 no cumple
Story3 9.72 Top 22.172 1.787 22.24 10.53 63.19 1.95% 64.8 1.61 ok
Story2 6.48 Top 11.656 1.146 11.71 8.17 48.99 1.51% 64.8 15.81 ok
Story1 3.24 Top 3.533 0.309 3.55 3.55 21.28 0.66% 64.8 43.52 ok
Base 0 Top 0 0 0.00 0.00 0.00 0.00% 64.8 64.80 ok
8.1.6 Análisis de efectos ISE en el sentido X para edificación B
Tabla 81. Parámetros para cálculo de efectos ISE estructura B, sentido X
Parámetros de la estructura
Masa equivalente me(t-s2/m) 206.8619
% masa participante 70.920%
Período equivalente Te(s) 1.735
Altura equivalente He(m) 31.59
Rigidez equivalente Ke(t/m) 2712.946
Fracción de amortiguamiento de la estructura ξ% 5%
Amortiguamiento de la estructura Ce(t-s/m) 74.914
Frecuencia circular ωe(rad/s) 3.621
Altura total Ht=He+D(m) 36.45
Parámetros de la fundación
Base(m) 21.95
Profundidad(m) 9.05
Desplante D(m) 4.86
Radio horizontal Rh(m) 7.95
Radio de cabeceo Rc(m) 6.45
Parámetros del suelo
Módulo de cortante G (t/m2) 2203.20
Velocidad equivalente del suelo Vs(m/s) 120
Coeficiente de poisson ν 0.4
Amortiguamiento del suelo ξs% 5%
Profundidad del suelo Hs(m) 30.00
Periodo del estrato Ts(s) 1.00
85 Tabla 82. Función de transferencia edificio B, sentido X
Ti(s) We2.U/Ẍg Ti/Te
0 0.000 0.000
0.30 0.018 0.173
0.60 0.083 0.346
0.90 0.213 0.519
1.20 0.458 0.692
1.735 1.924 1.000 2.00 6.156 1.153
2.130 11.372 1.228
2.30 6.014 1.33
2.60 2.945 1.499
2.90 2.137 1.671
3.20 1.777 1.844
3.50 1.576 2.02
3.80 1.449 2.190
4.00 1.389 2.305
Figura 56. Función de transferencia, edificio B, sentido X
El punto máximo corresponde a:
Ü
Ẍ𝑠
𝑚á𝑥 = 11.372 𝑇𝑖
𝑇𝑒= 1.228
Por lo tanto:
𝑇𝑖𝑠𝑒𝑋 = 1.228 ∗ 1.735 𝑠 𝑇𝑖𝑠𝑒𝑋 = 2.130 𝑠
Se calcula el amortiguamiento con el valor máximo de la función:
𝜉𝑖𝑠𝑒𝑋 =1
2(𝐖𝒆𝟐. 𝐔/Ẍ𝐠)
𝜉𝑖𝑠𝑒𝑋 =1
2(𝟏𝟏. 𝟑𝟕𝟐) 𝝃𝒊𝒔𝒆𝑿 = 𝟒. 𝟒𝟎 %
1.228; 11.372
0
2
4
6
8
10
12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6
ωe2 U
/ẍg
T/Te (s)
Función de transferencia
86 8.1.7 Cortante Basal calculado para estructura con efectos ISE sentido X.
Tabla 83. Coeficientes para
cálculo de cortante basal y
FHEX con ISE estructura B
Coeficientes para cálculo de
Cortante Basal y FHE
Ta ISE = 2.130 s
ξise= 4.4%
I= 1.00
SaTa(ISE)= 0.501 g
SaTa(ISE)*= 0.527g
R= 8.00
Øp= 1.00
ØE= 1.00
C= 0.066
K= 1.815
V= 179.03 t
Figura 57. Sa para Tise estructura B, sentido X
Figura 58. Distribución de cortante para sentido X, estructura B con ISE
8.1.8 Derivas y desplazamientos máximos para edificio B con efectos ISE en el sentido X.
Figura 59. Desplazamientos máximos para FHEX con ISE, estructura B
2.13; 0.501
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0 1 2 3 4 5
Sa (
g)
T (s)
ESPECTRO ELÁSTICO DE DISEÑO
Sa
SaT (ISE)
87 Tabla 84. Control de derivas, aplicando las fuerzas horizontales en el sentido X con
efectos ISE, edificio B
TABLE: Story Response
Story Elevation Location X-Dir Y-Dir Δ ΔE ΔM % ΔM máx ΔM-ΔM máx ΔM<ΔM máx
m mm mm mm mm mm mm mm
Story13 42.12 Top 106.086 3.918 106.16 2.84 17.02 0.53% 64.8 47.78 ok
Story12 38.88 Top 103.241 4.096 103.32 7.55 45.30 1.40% 64.8 19.50 ok
Story11 35.64 Top 95.704 3.6 95.77 8.42 50.52 1.56% 64.8 14.28 ok
Story10 32.4 Top 87.293 3.19 87.35 9.21 55.27 1.71% 64.8 9.53 ok
Story9 29.16 Top 78.078 3.086 78.14 9.94 59.63 1.84% 64.8 5.17 ok
Story8 25.92 Top 68.137 2.931 68.20 10.75 64.48 1.99% 64.8 0.32 ok
Story7 22.68 Top 57.39 2.7 57.45 10.74 64.43 1.99% 64.8 0.37 ok
Story6 19.44 Top 46.651 2.434 46.71 10.79 64.75 2.00% 64.8 0.05 ok
Story5 16.2 Top 35.86 2.118 35.92 10.38 62.26 1.92% 64.8 2.54 ok
Story4 12.96 Top 25.486 1.754 25.55 8.94 53.63 1.66% 64.8 11.17 ok
Story3 9.72 Top 16.554 1.343 16.61 7.88 47.27 1.46% 64.8 17.53 ok
Story2 6.48 Top 8.688 0.859 8.73 6.09 36.54 1.13% 64.8 28.26 ok
Story1 3.24 Top 2.63 0.226 2.64 2.64 15.84 0.49% 64.8 48.96 ok
Base 0 Top 0 0 0.00 0.00 0.00 0.00% 64.8 64.80 ok
En este caso y para el sentido X se consigue una reducción de los desplazamientos
máximos y los valores resultan dentro de lo señalado por la norma.
El ejemplo practicado con la edificación B, en un suelo de tipo E, suelo muy blando,
supuso un aumento del 22% en el período cuando se consideran los efectos ISE
8.2 Reducción de los desplazamientos horizontales máximos por efectos ISE en el
sentido X edificio B
Tabla 85. Reducción de desplazamientos por efecto ISE en edificio B sentido X
ΔM ΔM (ISE) % de reducción de
desplazamiento mm mm
22.08 17.02 29.7%
58.78 45.3 29.8%
65.62 50.52 29.9%
71.97 55.27 30.2%
77.87 59.63 30.6%
82.97 64.48 28.7%
86.23 64.43 33.8%
86.55 64.75 33.7%
80.36 62.26 29.1%
71.46 53.63 33.2%
63.19 47.27 33.7%
48.99 36.54 34.1%
21.28 15.84 34.3%
0 0
88 9. Valores paramétricos
9.1 Valores paramétricos edificio A
a) Relación de masas
𝑅𝑀 =𝑚𝑐
𝑚𝑒=
36.47
291.683= 0.054 (36)
b) Relación de inercias
𝑅𝐼 =𝐽𝑐𝐽𝑒
=3.403
68.763= 0.00012
(37)
c) Densidad relativa
𝐷𝑅 =𝜌𝑒
𝜌𝑠=
0.22𝑇𝑚3
1.53𝑇𝑚3
= 0.14
(38)
d) Profundidad relativa
𝑃𝑅 =𝐻𝑠
𝑅ℎ=
30.00 𝑚
9.55 𝑚= 3.14
(39)
e) Profundidad de desplante
𝑃𝐷 =𝐷
𝑅ℎ=
3.40 𝑚
9.55 𝑚= 0.36
(40)
f) Relación de esbeltez
𝑅𝐸 =𝐻𝑒
𝑅ℎ=
51.57 𝑚
9.55 𝑚= 5.40
(41)
g) Rigidez relativa
𝑅𝑅 =𝐻𝑒
𝑇𝑒⁄
𝐻𝑠𝑇𝑠
⁄=
51.57𝑚2.873𝑠⁄
30.00𝑚0.53𝑠⁄
= 0.317 Tomando el caso práctico según 5.1.2
𝑅𝑅 =
𝐻𝑒𝑇𝑒
⁄
𝐻𝑠𝑇𝑠
⁄=
51.57𝑚2.873𝑠⁄
30.00𝑚0.67𝑠⁄
= 0.40
(42) Para caso hipotético según 7.1
9.2 Valores paramétricos edificio B (relevantes)
a) Profundidad relativa
𝑃𝑅 =𝐻𝑠
𝑅ℎ=
30.00 𝑚
7.95 𝑚= 3.77
(39)
89 b) Profundidad de desplante
𝑃𝐷 =𝐷
𝑅ℎ=
4.86 𝑚
7.95 𝑚= 0.61
(40)
c) Relación de esbeltez
𝑅𝐸 =𝐻𝑒
𝑅ℎ=
31.59 𝑚
7.95 𝑚= 3.973
(41)
d) Rigidez relativa
𝑅𝑅 =
𝐻𝑒𝑇𝑒
⁄
𝐻𝑠𝑇𝑠
⁄=
31.59𝑚1.735𝑠⁄
30.00𝑚1.00𝑠⁄
= 0.607
(42)
9.3 Relación entre Rigidez relativa y variación del TISE
Se calculan los valores de incremento del período en base a una disminución de la
rigidez del suelo para ejemplificar la importancia que adquiere incluir efectos ISE en sitios de
suelos más blandos (con relación a la del ejemplo real.)
El cálculo del TISE y ξISE de la tabla a continuación se lo realizó paso a paso en el
capítulo 5.1.5, se prioriza el cálculo de la rigidez relativa por que de aquí se sabrá si tiene
alguna ventaja para el diseñador incluir los efectos ISE o si resultan despreciables.
Tabla 86. Relación de Rigidez vs % aumento Te.
Relación de Rigidez vs. % Aumento Te (variando Vs)
Altura equiv.
He (m)
Período equivalente estructura
Te(s)
Profundidad del suelo
Hs(m)
ρ (t.s2/m4)
Velocidad equiv.
Del suelo Vs(m/s)
Módulo de
cortante G (t/m2)
Periodo del
estrato Ts(s)
Rigidez relativa
Tise Tise/Te %
aumento Te
ξISE ξISE/ξ (ξ=5%)
% disminu
ξ
51.57 2.873 30.00 0.153 226.452 7841.044 0.53 0.317 3.085 1.074 7.38% 4.70% 94.00% 6.0%
51.57 2.873 30.00 0.153 200.00 6120.00 0.60 0.359 3.140 1.093 9.29% 4.65% 93.00% 7.0%
51.57 2.873 30.00 0.153 190.00 5523.30 0.63 0.378 3.170 1.103 10.34% 4.62% 92.40% 7.6%
51.57 2.873 30.00 0.153 180.00 4957.20 0.67 0.399 3.200 1.114 11.38% 4.59% 91.80% 8.2%
51.57 2.873 30.00 0.153 170.00 4421.70 0.71 0.422 3.240 1.128 12.77% 4.56% 91.20% 8.8%
51.57 2.873 30.00 0.153 160.00 3916.80 0.75 0.449 3.280 1.142 14.17% 4.53% 90.60% 9.4%
51.57 2.873 30.00 0.153 150.00 3442.50 0.80 0.479 3.335 1.161 16.08% 4.49% 89.80% 10.2%
51.57 2.873 30.00 0.153 140.00 2998.80 0.86 0.513 3.395 1.182 18.17% 4.45% 89.00% 11.0%
51.57 2.873 30.00 0.153 130.00 2585.70 0.92 0.552 3.470 1.208 20.78% 4.41% 88.20% 11.8%
51.57 2.873 30.00 0.153 120.00 2203.20 1.00 0.598 3.565 1.241 24.09% 4.37% 87.40% 12.6%
51.57 2.873 30.00 0.153 110.00 1851.30 1.09 0.653 3.685 1.283 28.26% 4.33% 86.60% 13.4%
90
Figura 60. Rigidez relativa vs. % Aumento Te (relación de esbeltez RE= 5.40)
*Señala la rigidez relativa del problema planteado y el porcentaje de incremento del periodo de la estructura cuando
se incluyen efectos ISE.
Para diferentes valores de rigidez relativa, producidos por la disminución de la
velocidad de onda de corte del suelo, se puede observar que, en suelos menos rígidos es mayor
el aumento del período, a la vez que se incrementa el valor de rigidez relativa.
Figura 61. Rigidez relativa vs. % disminución ξe (relación de esbeltez RE= 5.40)
0.40; 11.38%
*0.317; 7.38%
0.00%
5.00%
10.00%
15.00%
20.00%
25.00%
30.00%
0.30 0.40 0.50 0.60 0.70
%A
um
ento
Te
RR
0.0%
2.0%
4.0%
6.0%
8.0%
10.0%
12.0%
14.0%
16.0%
0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60
% d
e d
ism
inu
ció
n d
e ξ
RR
91 9.3 Número de pisos de estructuras que se ubicarían en la curva descendiente del
espectro elástico de diseño.
El período Tc en el espectro elástico de diseño señala el punto de inflexión de
la curva, es desde ahí que un aumento de período debido a los efectos ISE derivaría en una
disminución en la aceleración, generando un valor de cortante basal menor y posteriormente
la disminución en los desplazamientos máximos; es por esto que a continuación, utilizando
los valores de Tc para suelos tipo D y E para las principales ciudades del país se ha
determinado un número aproximado de pisos a partir de los cuales se podría lograr una
reducción de la aceleración y posterior reducción de las fuerzas horizontales a aplicarse para
el análisis.
Figura 62. Tc, Período que limita la zona plana del espectro.
Tabla 87. Número de pisos mínimo aproximado que se ubican en la zona descendente
del espectro, en suelos blandos, ciudades importantes.
Principales Ciudades del Ecuador
Región del Ecuador Zona
Sísmica Tipo de perfil de subsuelo
Tc s
Hn m
Número de pisos aproximado
para entrepisos de (h=2.70m)
Guayaquil Provincias de la costa excepto Esmeraldas
V D 0.698 16.83 6
E 1.672 44.43 16
Quito Provincias de la Sierra,
Esmeraldas y Galápagos
V D 0.698 16.83 6
E 1.672 44.43 16
Cuenca Provincias de la Sierra,
Esmeraldas y Galápagos
II D 0.604 14.33 5
E 1.100 27.90 10
Manta Provincias de la costa excepto Esmeraldas
VI D 0.763 18.58 7
E 1.941 52.44 19
Ambato Provincias de la Sierra,
Esmeraldas y Galápagos
V D 0.698 16.83 6
E 1.672 44.43 16
Esmeraldas Provincias de la Sierra,
Esmeraldas y Galápagos
VI D 0.763 18.58 7
E 1.941 52.44 19
92
Estructuras de menor número de pisos estarían en la zona plana del espectro y a partir
de esta consideración los efectos ISE producirían la variación del período, mas no de la
aceleración espectral correspondiente. Hn se ha calculado a partir de la ecuación 28
considerando estructuras tipo pórticos especiales de hormigón armado, sin muros estructurales
ni diagonales rigidizadoras. Para el cálculo se utilizan los coeficientes de la tabla 88
Tabla 88. Coeficientes según tipo de edificio
Ct= 0.055
α= 0.9
93 10. Conclusiones y Recomendaciones
10.1 Conclusiones
Se realizaron análisis para comparar el comportamiento con ISE y sin ISE en dos
edificios reales, el primer edificio se estudió sobre un suelo tipo D con dos velocidades de
onda de corte diferentes y el segundo en un suelo tipo E.
El edificio A, caso 1, lo ubicamos inicialmente en un suelo tipo D con Vs= 226.45 m/s
con una RR = 0.317.
Para el caso 2, sobre el edificio A utilizamos una Vs=180m/s, suelo tipo D (el mismo
espectro elástico de respuesta que el caso 1), presentó una RR= 0.40.
En el tercer caso tenemos al edificio B, implantado sobre un suelo tipo E con Vs=180
m/s y con una RR= 0.607
Luego del análisis ISE se pudo verificar que:
Para el Edificio A, caso 1:
- Se consiguió un aumento del periodo del 7.38%
- El amortiguamiento disminuyó en 6%
- En términos porcentuales; la variación de desplazamientos máximos y derivas
producto de los efectos ISE, con relación al sistema empotrado, redujeron
aproximadamente 7%
Para el Edificio A, caso 2:
- El periodo aumentó 11.38%
- El amortiguamiento disminuyó en 8%
- Los desplazamientos máximos y derivas redujeron aproximadamente 15%
Para el Edificio B:
- El periodo aumentó 22.80%
- El amortiguamiento disminuyó en 12%
- Los desplazamientos máximos y derivas redujeron entre 30% y 34%
Se puede observar la relación directa que hay entre la Rigidez Relativa y el período
ISE en los casos estudiados, mientras mayor es el valor de RR también hay un mayor
porcentaje de incremento del periodo por efectos ISE.
En el caso 1 no bastó para cumplir con la Norma, mientras que en el caso 2 y en el
Edificio B la aplicación de este análisis sirvió para cumplir las exigencias vigentes.
94 Los efectos ISE incrementan el período fundamental de las estructuras y si estas se
sitúan en la parte descendente del espectro de diseño se puede aprovechar este efecto para
optimizar diseños.
Los suelos blandos incrementan el porcentaje de aumento del período más que los
suelos rígidos.
Los efectos ISE en estructuras ubicadas en suelos tipo E serían mayores con relación
a las ubicadas en suelos tipo D, sin embargo, el límite de la parte plana del espectro se ve
desplazado hacía períodos de estructuras menos rígidas, que en términos prácticos hace que
se aplique una reducción de cortante basal a estructuras más altas.
Se observa como la relación de rigidez es un parámetro que nos señala el mayor o
menor efecto de interacción suelo estructura.
10.2 Recomendaciones
Teniendo en cuenta que: el análisis de la estructura empotrada nos brinda los
parámetros de la estructura y que, para tener el espectro elástico de diseño son necesarios los
parámetros del suelo y además que la concepción arquitectónica y a su vez la del diseño de
cimentación son preexistentes, realizar el análisis ISE resultaría en la práctica el ingreso en
una hoja de cálculo de todos estos parámetros y así el diseñador puede determinar si incluye
o no dichos efectos, lo que se recomienda es observar en que porcentaje se logra disminuir Sa
para poder usar esto en favor de reducir secciones, resistencias del concreto o a su vez cumplir
requisitos de derivas máximas señaladas en la Norma.
La velocidad de propagación a los 30 m. es todavía baja y puede ser que haya un
contraste más alto a mayor profundidad. Esto cambiaría de manera importante el periodo de
vibración fundamental del depósito, que posteriormente afectarían los parámetros con los que
se modela la rigidez y el amortiguamiento del suelo, sin embargo, se consideraron los datos
que nos aportan los sondeos realizados para mostrar la metodología de cálculo.
95 Lista de referencias
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https://www.airbnb.com.co/rooms/8224939
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