Literatm'berichte. 7

fSrdcrlich war. Es is~: natiirlich unmSglich, in dieser Besprechung irgendwic auf den lnhalt des Werkes niiher einzugehen. Es sei deshalb nut angegeben, dab ver- schiedene Stichproben auf den Gebicten, die dem Referenten besonders nahestehen, ergeben haben, dal3 die Referate sachlich korrekt s ind und die Literatur vollst~indig angefiihrt. Um dem Leser einen Uberblick fiber Inhalt und Anordnung des Werkes zu geben, seien zum Schlul~ noch die Kapiteliiberschriften angeftihrt: Voh 1. I) Perfect, multiply perfect and amicable numbers. 2) Formulas for the number and sum of divisors, problems of Fermat and Waliis. 3) Fermat's and Wilson's theorems, generalisations and converses; symmetric functions of 1, 2, �9 �9 - p ~ l mbd. p. 4) Residue of (up- t - -1 ) /p rood. p. 5) Euler's q>function, generalisations; Farey series. 6) Periodic decimal fi'aetions; periodic fractions factors of l0 n -b 1. 7) Primitive roots, exponents, indices, binomial congruences. 8)Higher congruences. 9) Divisibility of factorials and multinomial coefficients. 10) Sum and number of divisors, t l) Miscellaneous theorems on divisibility, greatest common divisor, least common multiple, 12) Criteria for divisibility'by a given number. 13) Factor tables, lists of primes. 14) Methods of factoring. I5) Fermat numbers Fn = 22~z-I-I. 16) Factors of an ~ bn. 17) Recurring series; Lucas' un, vn. 18) Theory of prime numbers. 19) Inversion of functions; M/3bius function Ix(n); numerical integrals and derivatives. 20) Properties of the digits of numbers. Vol. II. l) Polygonal, pyra- midal and figurate numbers. 2) Linear Diophantine equations and congruences. 3) Partitions. 4)Rat ional right triangles. 5)Triangles, quadrilaterals, tetrahedra. 6 ~ 9 ) Sum of 2, 3, 4, # squares. 10) Number of solutions of quadratic con- gruences in ~ unknowns. 11) Liouville's Series of 18 articles. 12) Pell equatior~ a x-" - I -b x %-c made a square. I3) Furtiler single equations of the second degree. 14) Squares in arithmetical and geometrical progression. 15) Two or more linear functions made squares. 16) Two quadratic functions of one or two unknowns made squares. 17) Systems of two equations of degree two. 18) Three or more quadratic functions of one or two unknowns made squares. 19) Systems of three or more equations of degree two in three or more unknowns. 20) Quadratic form made an nth power. 21) Equations of degree three. 2 2 ) Equations of degree fore. 23) Equations of degree n. 24) Sets of integers with ~equal sums of like powers. 25) Waring's l~roblem and related results. 26) Fermat's last theorem, a xr -t- b ys = c zt , and the congruence xn -4- yn ~___ zn (rood. p.),

Ply. Fuctwiingler.

L e h r b u e h d e r A l g e b r a . I. Te l l . V o n A. L o e w y . VI u n d 3 9 8 S e i t e n . V e i t & C o m p . , L e i p z i g 1915 .

Es ist eia neuer Versuch, die Orundlagen der Arithmetik in diesel" Breite in ein Lehrbuch der Algebra aufzunehmen und es ist vielleicht diesem Umstand zuzuschreiben, daft diese ausgezeichneten Darstellungen nieht den verdienten An- klang gefunden haben. Dem Referenten erscheinen abet such die meisten der behandelten Probleme ebeu nicht dem Ideenkreis der Algebra, sondern der Analysis anzugehSren, da es sich haupts~ichlich um Grenzwertbetrachtungen haudelt. Sehr begr[it3enswert erseheint dagegen die Idee, die allgemeinen Begriffsbildungen: KSrper, Gruppe, ~quivalenz usw. schon in ein Einleitungskapitel aufzunehmeu, in dem yon den rationalen Zahlen gehandelt wird, damit der Leser mSglichst bald mit diesen fiir die ganze Algebra fundamentalen Begriffsbildungen vertraut werde und die Probleme tier AlgeN'a gleich yon diesem hSheren Gesichtspunkt auffassen lerne. Behandelt werden in diesem Buch die rationalen Zahlen (1. Kapitel), die Gesamtheit de1" reellen Zahlen (2. Kapitel), die abstrakte Theorie der reellert Zahlen (3. Kapitel), Potenz und Logarithmus (4. Kapitel). Grenze und unendliehe Reihe (5. Kapitel). T. Rella.

D i e T h e 0 r i e d e r G r u p p e n y o n e n d l i e h e r O r d n u n g . V o n A. S p e i s e r . D ie G r u n d I e h r e n d e r m a t h e m a t i s c h e n \ V i s s e n s c h a f t e n . B a n d V, J. S p r i n g e r , B e r l i n 1923 . P r e i s 7 M. G. Z.

g Literaturberiehte.

Es ist aul~erordentlich zu begrtiflen, daft nunmehl: mit diesem Werk eine Darstellung der Theorie der endlichen Gruppen auch in deutscher Sprache vorliegt, die fiber den Stoff hinausgeht, tier in Lehrbtichern der Algebra und kleineren Darstellungen der Gruppentheorie gewShnlich behandelt wird; vor allem wird hier eine systematische Darstellung der wichtigen Untersuchungen yon Fro b e n iu s und J. S c h u r fiber die Darstellung yon Gruppen durch lineare homogene Substitutionen gegeben. Der St{l des Werkes ist auflerordentlich knapp gehalten u n d e s diirfte aus diesem Grunde das Bueh ftir einen Anf~nger schwer zu lesen sein. Eine eavas breitere Darstellung sc.hiene dem Referenten f/Jr die weitere Verbreitung des Buehes yon Vorteit.

Von dem reichen [nhalt. der auf 191 Seiten dargestellt wird, gibt wohl am besten eine Besprechung an Hand des Inhaltsverzeichnisses Aufschlul~. 1. Kapitel: Die Grundlagen /Seiten 1--14). 2. Kapitel: Normalteiler und Faktorgruppen (Seiten 14--30). In diesem Kapitel werden schon schwierigere Fragen behandelt, wie der Jordan-HSldersche Satz tiber Kompositionsreihen. ferner die Hauptreihen. die Kommutatorgruppen und das Theorem yon F r o b e n i u s . dafI die Anzahl der Gruppenelemente, deren n~e Potenz tn ein Teller der Ordnung g der Gruppe) gleich dem Einheitselement ist. stets dutch n teilbar ist. Das 3. Kapitel: Abelsche Gruppen (Seiten 30--38) ist wieder einfacher, behandelt aber immerhin auf diesen wemgen Seiten schon die Theorie der Galoisschen Imaginiiren und der Restklassen nach Primzahlpotenzen. 4. Kapitel: Konjugierte Untergruppen (Seiten 38 41J. gibt die Zerlegung einer Gruppe nach 2 Untergruppen. 5. Kapitel: Sylow-Gruppen und p-Gruppen Seiten 41 52). Unter einer p-Gruppe wird dabei eine Gruppe verstanden. deren Ordnung eine Primzahlpotenz ist. Sehr knapp ist das 6. I{apitel gehalten: Kristallographische Gruppen (Seite 52 60), wo ebene Gitter, Raumgitter und K#istallklassen behandelt werden. Das 7. Kapitel: Perumtationsgruppen ~Seitei1 60--74"J geh6rt tier Natur der Saehe nach zu den einfaehsren. Im letzten Paragraphen werden sehon die Charaktere einer Gruppe erSrtert. Das 8. Kapitel: Automol:phismen ~,Seiten 74 90) erledigt under anderem die Frage naeh den Antomorphismen yon Abelsehen Gruppen und den Satz yon Maelagan-Wedderburn ~zuerst vollst[indig bewiesen yon Remak) fiber zerlegbare Gruppen. Es ist dies wieder eines von den sehwierigeren Kapiteln. Das 9. Kapitel: Monomiale Gruppen /Seiten 90--977 bildet den Obergang yon den Perumtationsgruppen zu den Gruppen linearer homogener Substitutionen. Mit dem 10. Kapitel: Darstellung der Gruppert dutch lineare Sub- stitutionen (Seiten 97 115) beginnt eine-zusammenfassende Darstellung der fundamentalen Arbeiten yon Frobenius, Burnside und 'd. Sehur, welche im 11. Kapitel: Gruppericharaktere (Seiten 115 135), 12. Kapitel: Anwendungen der Theorie der Gruppenehar~.ktere (Seiten 135--146), 13. Kapitel: Arithmetische Unter- suchungen tiber Substitutionsgruppen (Seiten 147 157) und ~14. Kapitel: Gruppen yon gegebenem Grad (Seiten 157~173)fortgesetzt werden. Es wird wohl in weiten Kreisen freudig aufgenommen werden, daft damit die M6gliehkeit geboten ist, diese schbnen Untersuehungen in knapper Form zusammcngestellt zu finden, wiihrend man bisher auf die englisehen Darstellungen oder auf die Originalarbeiten ange- wiesen war. MSgen diese Kapitel beitragen, die Resultate yon Frobenius, in dener,- ein grotler Tell seiner Lebensarbeit steckt, weiteren Kreisen bekanrft zu machen und das Interesse fiir diesen Kreis yon Problemen zu f6rdern. Es liegt in der Natur der Saehe, dafl diese Kapitel nicht leicht zu lesen sind. Etwas sehr kn~pp werden wohl speziell die Raumgruppen behandelt (w 59, Seiten 169--173). Ver- hiiltnism~il3ig einfach ist das 15. Kapitel: Gleichungstheorie (w 173 189), in dem die Theorien yon Lagrange und Galois behandelt und auch schon kurz die Unter- suchnngen yon Hilbert tiber Zerlegungs-, Triigheit s- und Verzweigungsgruppe gestreift werden. Der Sehlul3 (Seiten 190 191) deutet noeh kurz Probleme ,aus der Theorie der hyperkomplexen Zahlen an. Ein Namen- und Saehverzeichl~is er- leichtert das Nachschlagen. T. Rella.

D i e B u n t o r d n u n g . V o n A. K o w a l e w s k i . H e f t 1, 53 S e i t e n . W . E n g e l m a n n ~ L e i p z i g 1922.

Das Grundproblem des yon Kowalewski als Buntordnungslehre bezeiehneten Zweiges der Kombinatorik ist das folgende.: es sollen n Elemente nach eine~n