KoG-1/1996 Ana Sliepcevic: Die Brennpunktskurven...Wissenschaftlicher OriginalbeitragAngenomen 06.06.1996 ANA SLIEPCEVIC

Die Brennpunktskurven der vierfachenBrennpunkte in Buscheln zirkularerKurven dritter OrdnungThe Focal Curve of Fourfold Foci in the Pencil of3rd Order Circular CurvesABSTRACTIn this paper it is proved that the curve of four-fold foci in the pencil of circular and rational cu-bics, which is deduced by ordinary inversion, is acircle, and its construction is shown. An analogusfoci circle f is constructed in one pencil (it.3) ofcircular cubics of ist genus. It is shown that bymeans of this circle focus of any cubics belongingto (it3) can be obtained.Key Wordscirculare curve, fourfold focus, focal curve

Fokalna krivulja cetverostrukih fokusa u pramenucirkularnih krivulja trecega redaSAZETAKDokazuje se da je zarisna krivulja cetverostrukihfokusa f u pramenu cirkularnih racionalnih krivul-ja 3. reda, izvedenom obicnom kvadratnom in-verzijom, kruznica, te se ona i konstruira. Analo-gna se zarisna kruznica f konstruira i u jednompramenu (fc.3) cikularnih krivulja 3. reda roda pr-voga. Pokazuje se kako se pomocu ove zarisnekruznice odreduje zariste bilo koje kubike iz takvogpramena (&.3).Kljucne rijecicirkularna krivulja, cetverostruki fokus, fokalna kri-vulja

Der vierfache Brennpunkt einer zirkularen ebenenKurve ist, wie bekannt, der Schnittpunkt ihrerisotropen Tangenten. Das Problem der Kon-

struktion eines solchen Punktes ist fur einzelne Kurvendritter und vierter Ordnung vom Geschlecht Null schongelost [1]. Es ist aber nicht bekannt, wie man den vier-fache Brennpunkt einer allgemeinen zirkularen Kurvekonstruieren kann. Um ein solches Problem zu losen,ist es niitzlich, die Kurvenbiischel wie auch ihre Bren-npunktskurven zu betrachten.Die Brennpunktskurve im Biischel zirkularer Kurvendritter Ordnung vom Geschlecht Null ist ein Kreis. Die-ser Brennpunktskreis wurde konstruiert in den Fallen,wenn das Biischel durch verallgemeinerte Quadratinver-sion erzeugt wird [4] und wenn ein solches Biischel alsdas Biischel der FuBpunktskurven der Parabeln einesParabelbiischels erzeugt wird [5].Da ein Biischel zirkularer Kurven dritter Ordnung mit-

tels gewohnlicher Quadratinversion aus einem Kegels-chnittbiischel ausfiihrbar ist, soil folgendes Theorembeweisen.

Theorem 1.Die Brennpunktskurve in einem mittels gewohnlicherQuadratinversion erzeugten Biischel zirkularer Kurvendritter Ordnung ist ein Kreis.

Beweis. Es sei eine gewohnliche Quadratinversioni:P2 —> P2 mit dem Grundkreis c und dem Pol im Mit-telpunkt D des Kreises c gegeben. Sei ein Kegelschnitt-biischel (k2) mit vier Grundpunkten A, B, C und D gege-ben, wobei beliebige drei von vier Punkten nicht kolin-ear sind(Abb.l).

Abb.l.

Mittels Quadratinversion i in Bezug auf den Kreis c undden Pol D bildet sich dieses Kegelschnittbiischel in dasBiischel (fc.3) zirkularer Kurven dritter Ordnung vomGeschlecht Null ab. Die Grundpunkte des Biischels (fc.3)sind: i(A), i(B), i(C) der Doppellpunkt D, wie auch dieabsoluten Punkte der Ebene. Jede der Kurven dritterOrdnung des Biischels (fc.3) besitzt zwei isotrope Tan-genten, die sich in ihrem vierfachen Brennpunkt schnei-den. Um das Theorem zu beweisen, soil man folgendeLemmes nutzen.Lemma 1. Ordnen wir in einem mit vier Grundpunkten

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gegebenen Kegelschnittbuschel der Tangente eines Ke-gelschnittes in einem Grundpunkt die Tangente dessel-ben Kegelschnittes in einem anderen Grundpunkt zu, sosind die entstehende Tangentenbiischeln projektiv zu-geordnet [2].Lemma 2. Die gewohnliche Quadratinversion ist eineKonformabbildung [3].

Aus der Lemmen geht hervor, daBdurch zwei beliebigeGrundpunkte gelegten Tangenten der zirkularen Kurvendritter Ordnung eines solchen Kurvenbiischels projek-tiv zugeordnete Geradenbiischel bilden. Wie bekannt,ist das Erzeugnis der projektiv zugeordneten Geraden-biischel ein durch die Grundpunkte der Tangentenbiischelverlaufender Kegelschnitt [1].Nehmen wir die absoluten Punkte als Grundpunkte derTangentenbiischel, so wird ihr Erzeugnis ein Kreis /.Dieser Kreis ist die gesuchte Brennpunktskurve im gege-benen Biischel zirkularer Kurven dritter Ordnung.Zur Konstruktion des Brennpunktskreises bemerken wir,daB es im gegebenen Biischel zirkularer Kurven dritterOrdnung drei entartete Kurven gibt. Es sind jene Kur-ven, die als Quadratinversionsbilder der drei entartetenKegelschnitte des Kegelschnittbiischels entstehen. Dieentarteten Kegelschnitte sind die Geradenpaare AB, CD,BC, DA; und AC, BD, wobei sich jedes Paar in einenKreis und eine Gerade abbildet. Die drei MittelpunkteF,, F2 und F3 dieser Kreise bestimmen den gesuchtenBrennpunktskreis / (Abb. 1).Das Theorem 1. ermoglicht die Konstruktion des vier-fachen Brennpunkts jeder beliebigen zirkularen Kurvedritter Ordnung &3 vom Geschlecht Null, im Fall dassdiese Kurve durch vier auf einer Geraden nichtliegen-der einfacher Punkte M, N, P und Q, und einen Dop-pelpunkt D gegeben ist. Man soil nur einen beliebigenKreis c mit dem Mittelpunkt im Doppelpunkt D als ein-en Grundkreis einer gewohnlichen Quadratinversionauswahlen, und die obige Kurve dritter Ordnung als dieKurve der zwei Kurvenbiischel (fc.3) und (73) betrachten.Seien die Biischel (it3) und (/3), zum Beispiel mit Grund-punkten M, N, P, bzw. M, N, Q und mit dem DoppelpunktD gegeben. Die vier Punkte i(M), i(N), i(P) und D, bzw.i(M), i(N), i(Q) und D sind dann die Grundpunkte derzwei Kegelschnittbuschel (it.2) und (/2). Mittels Quad-ratinversion dieser Biischel entstehen die Biischel (it,3)und(/,3).Die zwei Brennpunktskreise/j und/, der Biischel (fc,3)und (/,3) schneiden sich in zwei reelen Punkten. Einervon zwei Schnittpunkten ist der vierfache Brennpunktder gegebenen Kurve it3. Der andere Schnittpunkt ist derMittelpunkt des gemeinsamen Kreises einer entartetenKurve im Biischel (it,3) und einer im Biischel (/,3).Man beachte, dass jetzt die Moglichkeit besteht, eineKonstruktion des vierfachen Brennpunktes aller mogli-cher zirkularen Kurven dritter Ordnung vom GeschlechtNull zu machen. Es bleibt noch die Frage, diese Kon-struktion fiir die allgemeine zirkulare Kurve dritter Ord-nung durchzufiihren. Um ein solches Problem zu losen,

sollte man zuerst die Brennpunktskurve im Biischelallgemeiner zirkularen Kurven dritter Ordnung konstruk-tiv bestimmen.Da ein allgemeines Biischel zirkularer Kurven dritterOrdnung die absoluten Punkte als Grundpunkte besitzt,ist es nicht schwer zu schlieBen, daB auch im solchenBiischel die Brennpunktskurve ein Kreis ist.Man wird jetzt den Brennpunktskreis in einem speziel-len Biischel zirkularer Kurven dritter Ordnung vomGeschlecht Bins konstruieren.Gegeben sei ein solches Biischel durch zwei entartetezirkulare Kurven dritter Ordnung k* und it23. Die Kurvek.3 wird in den Kreis k und die Gerade a, und die Kurveak23 in den Kres kb und die Gerade b zerfallt (Abb.2). DieSchnittpunkte A, 5, C, D, E, F und G der Kurven it,3 undk23 sind die Grundpunkte eines Biischels zirkularer Kur-ven dritter Ordnung, die im allgemeinen ohne Dop-pellpunkt sind. Die Kurven k* und it23 haben wir so aus-gewahlt, daB die Punkte A, B, C, D, E und F die Eck-punkte eines Vierecks a,b,c,d sind. Der Punkt G istdeswegen der Brennpunkt derjeniger Parabel, welche dieGeraden a, b, c, d als Beriihrungsgeraden besitzt [5].Die Kreise ka und kb sind die Brennpunktskreise derzweiten, mit den Grundtangenten b, c, d, bzw. a, c, dbestimmten, Parabelscharen [5].

Abb. 2.

Betrachten wir jetzt ein Kreisbiischel (it.2) mit den Grund-punkten D und G, sowie ein Geradenbiischel (A) mitdem Grundpunkt A. Ordnen wir dem Kreis itfl e (it.2) dieGerade be(A), dem Kreis kbe.(kf) die Gerade ae(A),,sowie dem entarteten Kreis k eine beliebige Geradep€(A), zu. Damit wird eine Projektivitat zwischen denBiischeln (kf) und (A) gegeben (Abb. 2). Das Erzeugnisdieser projektiv zugeordneten Biischel ist bekanntlicheine zirkulare Kurve dritter Ordnung, die durch diePunkte A, B, C, D, E, F und G verlauft.Jeder Gerade p. e (A)wird auf dieser Weise eine durchdie Punkte A, B, C, D, E, F, G bestimmte Kurve k3 drit-ter Ordnung zugeordnet. Im allgemeinen, haben allesolchen Kurven keinen Doppellpunkt. Der unendlichferae Punkt fiir jede Kurve ist P°° e/?.. Eine solche ist

KoG* 1/1996 Ana Sliepcevic: Die Brennpunktskurven...auch die Kurve k3, deren Asimptote mit der Gerade pparallel ist (Abb.2).Wir mochten den vierfachen Brennpunkt der Kurve k 3

konstruieren. Dieser Brennpunkt wird auf dem Bren-npunktkreis des Biischels (kf) liegen und deswegenmiissen wir zuerst den Brennpunktskreis bestimmen.Man soil bemerken, daB sich im Biischel (kf) auBer denKurven (Jtj3) und (fc23) noch zwei entartete Kurven (£33)und (Jk43) finden. Die Kurve (&33) besteht aus dem durchdie Punkte A, B, F, G bestimmten Kreis kc und der Geradec, und (fc43) aus dem durch die Punkte A, C, E, G bestim-mten Kreis kd und der Gerade d. Die Mittelpunkte Fa,F., F und F.der Kreise k , k., k und k. bestimmen deni' c d o' »' c dgersuchten Brennpunktskreis/(Abb. 2).Es ist moglich, fur jede zirkulare Kurve dritter Ordnungdes Biischels (Jt3) ihren vierfachen Brennpunkt zu kon-struieren. Da eine zirkulare Kurve dritter Ordnung ein-en einzigen unendlich fernen Punkt wie auch einen ein-zigen vierfachen Brennpunkt besitzt, ist es moglich, eineProjektivitat zwischen unendlich ferner Punktreihe (g.~)und der Reihe der vierfachen Brennpunkte auf dem Kreis/in Bezug auf das Biischel (fc.3) herzustellen. Mittels die-ser Projektivitat wurde der vierfache Brennpunkt F derKurve (k 3) konstruiert. Damit ist das Problem der Kon-struktion des vierfachen Brennpunktes fur alle mogli-chen zirkularen Kurven dritter Ordnung gelb'st.

LITERATUR

[1] NICE, V.: Konstrukcija cetverostrukog fokusacirkularnih krivulja 3. reda i nekih 4. reda rodanultoga,Nast.Vjesnik (Zagreb) 51(1943), 271-280;

[2] PALMAN, D.: Projektivna geometrija, Skolskaknjiga, Zagreb, 1984;

[3] SAVELOV, A. A.: Ploskie krivie, Gasudarstvenoeizdateljstvo fiziko-matematiceskoj literaturi,Moskva, 1960;

[4] SLIEPCEVIC, A.: Das Brennpunktgebilde imBiischel zirkularer Kurven dritter Ordnung, RADJAZU [444] 8 (1989), 93-96;

[5] SLIEPCEVIC, A.: Zarisna krivulja u pramenubicirkularnih krivulja 4. reda, Zbornik radova XVIIJug. savjetovanja za nacrtnu geometriju, Zagreb,1990.

* Die Abbildungen wurden mittels einem PC486 und dem ProgrammAutodesk AutoCAD for MS Windows Release 12 gezeichnet.

Mr. sc. Ana Sliepcevic,Gradevinski fakultet Sveucilista u Zagreb u,10000 Zagreb, Kaciceva 26tel: 677-191fax: 45-61-206