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Didaktik der Geometrie

Lektion 4: Ebene Figuren, Kongruenzgeometrie

Andreas Vohns

Zugehoriges interaktives Video unter: https://goo.gl/BXPk1H

Wintersemester 2017/8

Ubersicht

UbersichtInhalte des Lehrplans

WiederholungStrukturierungshilfen

ObjekteEbene Figuren

Eigenschaften / BeziehungenSymmetrie & Kongruenz

OperationenMessen & Berechnen

1

Ubersicht: Inhalte des Lehrplans

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Wiederholung Strukturierungshilfen Wintersemester 2017/8 4

Inhaltseinteilung (“bottom up”) (Lektion 1)

É Wissen, Kennen, Erkennen, Begrunden vonEigenschaften von und Beziehungen zwischenEigenschaften von und Beziehungen zwischengeometrischen Figuren und Korperngeometrischen Figuren und Korpern

É Herstellen von geometrischen ModellenHerstellen von geometrischen Modellen(Skizzen, (Maßstabs-)Zeichnungen, Risse, Konstruktionen)

É Ermitteln geometrischer GroßenErmitteln geometrischer Großen(Lange, Winkel, Flacheninhalt, Volumen, Gewicht)

(Jurkowitsch, 2008)


2


Allgemeine Ziele des Geometrieunterrichts (Lektion 1)

É Mit Hilfe der Geometrie die (Um-)Welt erschließen

É Geometrie und die Grundlagen wissenschaftlichen Denkensund Arbeitens kennen lernen

É Mit Geometrie Problemlosen lernen

(Weigand, 2014)



Globale Ideen der Elementargeometrie (Lektion 1)

É Form (Dangl)É Lage (Dangl)É Messen (Baireuther, Dangl)

É Realitat abbilden (Baireuther)É Entwerfen und Planen (Baireuther)É Asthetik (Baireuther)

É Erstaunliche Phanomene erkunden (Baireuther)É Zahlbereiche & Rechnen in ihnen motivieren (Baireuther)É Auf Grundgedanken aufbauen (Baireuther)

(Baireuther, 1990; Dangl, 2008)


3


Grundformen mathematischen Arbeitens (Lektion 2, 3)

Didaktik der GeometrieDidaktik der Geometrie Grundfragen des MU

É Konstruieren Verfahren erarbeiten

É Begrunden & Beweisen Sachverhalte erarbeiten

É Begriffe bilden Begriffe bilden

É Problemlosen Problemlosen

É Mathematisch modellieren

(Weigand et al., 2014; Vollrath und Roth, 2012)


Objekte Ebene Figuren Wintersemester 2017/8 8

Ebene Figuren

Abfolge nach Klassen:

1. Klasse:Grundobjekte (Punkt, Strecke, Gerade)Quadrat, Rechteck, Kreis (Propadeutik)

2. Klasse:Dreiecke, (besondere) Vierecke, regelmaßige VieleckeFlacheninhalte von ebenen Figuren (Propadeutik)

3. Klasse:Flacheninhalte von Dreieck/Vierecken (mit Formeln)Pythagoras, Ahnlichkeit

1. Klasse:PythagorasKreismessung


4


Ebene Figuren: Herausforderungen

Epistemologische Hurde(n)Epistemologische Hurde(n)

Ubergang von ganzheitlicher Figurwahrnehmung zurBeschreibung durch Eigenschaften und Beziehungen

É Innere vs. außere Bezuge

É Wahrnehmung von Unterschieden dominiertWahrnehmung von Gemeinsamkeiten

É”partitionale Klassifizierung“ (Heinze, 2002, S. 52f.)

Roth und Wittmann (2014, S. 123–125)




Innere vs. außere BezugeInnere vs. außere Bezuge

Roth und Wittmann (2014, S. 124)


5



Partitionale Klassifizierung vs. Hierarchische KlassifizierungPartitionale Klassifizierung vs. Hierarchische Klassifizierung




Beispiel: Welche Vierecke sind Quadrate?Beispiel: Welche Vierecke sind Quadrate?

Vierecke, in denen ... Anzahl Prozenta) vier Seiten gleich lang sind und alle

Winkel 90° groß sind.88 83,0 %

b) jeder Winkel 90° groß ist. 48 45,3 %c) drei Winkel 90° groß sind und zwei

benachbarte Seiten gleich lang sind.6 5,7 %

d) alle Seiten gleich lang sind. 34 32,1 %e) die gegenüberliegenden Seiten

parallel sind.63 59,4 %

f) vier Seiten gleich lang sind und einWinkel 90° groß ist.

19 17,1 %

(Jeweils korrekte Antworten)

Heinze (2002, S. 53)


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Ebene Figuren: Dreiecke

Expedition Mathematik 2 (Kraker, Plattner & Preis, 2008)



Ebene Figuren: Dreiecke

Operieren mit GrundformenOperieren mit Grundformen (→ Dangl, 2008)

Expedition Mathematik 2 (Kraker et al., 2008)


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Ebene Figuren: ViereckeVom Speziellen zum AllgemeinenVom Speziellen zum AllgemeinenVom Quadrat ausgehend Bedingungen weglassen



Ebene Figuren: ViereckeVom Speziellen zum AllgemeinenVom Speziellen zum AllgemeinenSymmetrien fallenlassen


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Eigenschaften / Beziehungen Symmetrie & Kongruenz Wintersemester 2017/8 17

Symmetrie & Kongruenz

Symmetrie ist eine Eigenschaft von Figuren.

Kongruenz ist [. . . ] eine Relation zwischen Figuren.

(Schmidt-Thieme & Weigand, 2014, S. 186)



Kongruenz

SchulbucherklarungenSchulbucherklarungen

Abbildungsgeometrisch orientiert

Zwei Figuren heißen kongruent zueinander oder deckungsgleich,wenn man eine der Figuren so bewegen kann, dass sie mit deranderen zur Deckung kommt.

Figurlich orientiert

Zwei Figuren A und B sind kongruent (deckungsgleich) zueinander,wenn sie in der Form und in den Maßen ubereinstimmen.Zueinander kongruente Figuren passen genau aufeinander.Man schreibt A ∼= B, gelesen: A kongruent B.

Zitiert nach: Schmidt-Thieme und Weigand (2014, S. 204).


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Symmetrie

Gemaß Lehrplan nur Achsensymmetrie derzeit in zwei Stufen:1. Klasse1. Klasse 2. Klasse2. Klasse

Expedition Mathematik 1/2 (Kraker, Plattner und Preis, 2007;Kraker et al., 2008)



Symmetrie & Kongruenz

”Hauptsatz“

Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn man sie durch eine Geradeg in zwei zueinander ungleichsinnig kongruente Teilfiguren zerlegenkann.


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Kongruenzsatze. . . als Satze uber Konstruierbarkeit motiviert & begrundet:

Expedition Mathematik 2 (Kraker et al., 2008)



Symmetrie & Kongruenz: Problemlosen

Auffinden bzw. Hineinsehen von symmetrischen und kongruentenTeilfiguren als entscheidende heuristische Strategieheuristische Strategie fur. . .

É Beweisprobleme(Beziehungen zwischen Eigenschaften aus Dreieckenzusammengesetzter Figuren)

É Berechnungsprobleme zum Flacheninhalt(kongruente Figuren sind flacheninhaltsgleich)


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Symmetrie & Kongruenz: ProblemlosenZum Beispiel: Satz des ThalesZum Beispiel: Satz des Thales


Operationen Messen & Berechnen Wintersemester 2017/8 24

MessenWas ist ein Zentimeter?Was ist ein Zentimeter?


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Was bedeutet Messen?

DIN 1319-1, Nr. 1.1

Messen ist das Ausfuhren von geplanten Tatigkeiten zu einer quantitativenAussage uber eine Messgroße durch Vergleich mit der Einheit.

Gutjahr (1972)

Messen ist das Zuordnen von Zahlen zu Objekten, wobei die Relationen zwischenden Objekten durch die Relationen zwischen den Zahlen reflektiert werden soll.

Baireuther (1990)

Geometrisches Messen ist die Zuordnung einer Maßzahl zu einer Figur. Eine Figurhat in der Regel verschiedene messbare Eigenschaften [. . . ]. Man misst also nichteine Figur, sondern eine ihrer Eigenschaften, eine Große. Fur jedenGroßenbereich wird eine Einheitsgroße (durch eine

”Standardfigur“) festgelegt.

.Didaktik der Geometrie



GrundprinzipienGrundprinzipien (Geometrie, Großenbereiche)

É Gemessen wird eine Messgroße(Eigenschaften <> Objekte)

É Gemessen wird durch (multiplikativen) Vergleich(mit einer Einheit)

É Zweck der Messung ist das Treffen von quantitativen Aussagen(Kuntze, 2014, S.161f):

É Ausmessen bzw. Abmessen (Datenbeschaffung, Beschreibung)

É Aufmessen, nach Maßen erstellen, produzieren (Vorschreiben)

É Zumessen, normieren, regeln (Grenzwerte, Vorschreiben)


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MessverfahrenMessverfahren (Geometrie)

É durch direkten Vergleich mit der Einheitsgroße(”Fullen“ mit der Standardfigur),

É durch Umformen in bequemere Figuren, von denen manaber weiß, dass sie die gesuchte Großeneigenschaft eben-so besitzen,

É durch Zerlegen in elementare Teile, bei denen das Messeneinfach ist,

É durch Anwendung von Berechnungsverfahren (Formeln).

(Baireuther, 1990, S. 85)



Messen: Direkter Vergleich

Quelle: Baireuther (1990, S. 85)


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Messen: Lange

Quelle: Mißfeldt (2014).



Messen: Einheit und Skala

Losungsquoten USA: 19 % (9-Jahrige), 59 % (13-Jahrige)(Harrison, 1987).


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Flacheninhalte messen: Kastchen zahlen

Quelle: Vohns (2000, S. 79)






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Quelle: Schwengeler (1998, S. 15)



Flacheninhalte messen: Streifen bilden

Quelle: Baireuther (1990, S. 88)


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Flacheninhalte messen: Streifen bilden

12 E

14 E

12Halbkreis 14

2 2 2312 24Kreis 14 7 7

F "mittlerer" Streifen Höhe d r

F 2 d r r 3 r 3,43r

= ⋅ = ⋅

= ⋅ ⋅ = = ≈




Flacheninhalte messen: Zerlegen und Erganzen

Nach einer Idee von Vollrath bzw. Baireuther (1990, S. 93)


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Flacheninhalte: Spielregeln

Axiome der FlachenmessungAxiome der Flachenmessung (Kratz, 1993, S. 120f.)

1. Die Maßzahl A des Flacheninhalts ist stets nichtnegativ.

2. Ein Quadrat mit der Seitenlange 1 LE hat den FlacheninhaltA = 1 FE, falls Langen- und Flacheneinheit einanderentsprechen.

3. Kongruente Figuren haben den gleichen Flacheninhalt.

4. Der Flacheninhalt A einer Figur ist gleich der Summe derInhalte der Teilflachen, in die die Figur zerlegt werden kann.



Flacheninhalte messen: Zerlegungsgleichheit

Zerlegungsgleichheit

Zwei ebene Figuren heißen zerlegungsgleich, wenn man sie inendlich viele, paarweise kongruente ebene Figuren zerlegen kann.

Beispiel:

��⏐⏐⏐⏐��

4. Die Methode ist für alle rationalen Zahlen anwendbar. Im Fall von Dezimalbrü-chen kann man u. U. zu kleineren Einheiten übergehen, um Ganzzahligkeit derMaßzahlen zu erzeugen. So kann z. B. 3,14 m als 314 cm angegeben werden.

Methode 2: Anwendung von StreckoperatorenMan geht aus vom Einheits-Messquadrat und verändert dieses durch zwei aufeinan-der folgende „Streckoperationen“ zum Rechteck mit den gegebenen Seitenlängen.Dabei verändert sich der Flächeninhalt mit jedem der beiden Streckoperatoren.

*2/3 *5/71m² 2/3 m² 2/3 * 5/7 m²

Im Ergebnis stellt man fest, dass die Flächeninhaltsberechnung von Rechteckenauch mit rationalen Seitenlängen x und y gemäß der Vorschrift F(R) = x · y verläuft.Wir verzichten auf die Darstellung des Übergangs zu beliebigen reellen Seitenlän-gen. Man geht dazu wie üblich vor, indem man die reellen Zahlen durch rationaleZahlen einschachtelt und eine Intervallschachtelung erzeugt. Die obige Berech-nungsvorschrift gilt daher auch für beliebige reelle Seitenlängen.

Nachtrag 1:Wir haben das Auszählen der Messquadrate zur Ermittlung des Rechtecksinhalts er-setzt durch die Multiplikation „Länge mal Breite“. Formal korrekt müsste zu diesemZweck eine abstrakte Multiplikation von Längen eingeführt werden, deren Ergebnisein Flächeninhalt ist. Wir thematisieren diese Formalfrage hier ausdrücklich nicht.

Nachtrag 2:Zur Teilung einer Strecke in n gleichlange Teile trägtman von einem Endpunkt der Strecke n gleichlangeStrecken AP1 = P1P2 = P2P3 = ... = Pn–1Pn auf einer Ge-rade ab. Nun verbindet man Pn mit dem Endpunkt Bder Strecke und zieht zu BPn Parallelen durch diePunkte Pi. Diese Parallelen teilen die Strecke AB in ngleichlange Stücke.

b) Parallelogramme

Der Übergang vom Rechteck zum Parallelogramm kann auf zwei Weisen erfolgen:

Methode 1: Durch Umformen mittels Zerlegen oder ErgänzenIn der nebenstehenden Skizze sind dasRechteck in der linken und das Parallelo-gramm in der rechten Figur, beide mitgleichlangen Grundseiten und gleichgroßenHöhen, jeweils in drei paarweise zueinander

A B

P1P2

P3

P4

P5

Q1 Q2 Q3 Q4

[email protected]


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Flacheninhalte messen: Erganzungsgleichheit

Erganzungsgleichheit

Zwei Figuren heißen erganzungsgleich, wenn sie sich durchHinzufugung je endlich vieler, paarweise kongruenter ebenerFiguren zu zerlegungsgleichen Figuren bzw. zu einer kongruentenGesamtfigur erganzen lassen.

Beispiel:

�� ⏐⏐⏐⏐��

kongruente Teilflächen zerlegt worden. Die beiden Flächenstücke sind also zerle-gungsgleich. Aufgrund der Axiome M2 und M3 sind sie daher inhaltsgleich.In der nebenstehenden Skizze sind das helleRechteck in der linken und das helle Paral-lelogramm in der rechten Figur durch zweientsprechende paarweise zueinander kongru-ente Flächenstücke zu zwei zueinander kon-gruenten Rechtecken ergänzt worden. Diebeiden hellen Flächen sind also ergänzungs-gleich. Auch diese sind daher gemäß den Axiomen M2 und M3 inhaltsgleich.

Nach einem Satz von Gerwien (1833) gilt für diese Aussagen auch die Umkeh-rung:

<�� #�� $��#��4� #�� $#��4��=�� &��77� ��%� $��#�� #�� $#��7�� 1#��

Methode 2: Durch Anwendung des Scherungsprinzips (Cavalieri) in der Ebene

Obenstehende Beispielpaare erläutern die Methode, die mithilfe der Integralrech-nung exakt nachgewiesen werden kann. Die einzelnen Streifen sind jeweils zuein-ander kongruent. Lässt man die Streifenbreite gegen 0 gehen (Grenzprozess), soentstehen zueinander inhaltsgleiche „Rechtecke“ bzw. „Parallelogramme“ (alsSumme paarweise kongruenter Streifen).Wir erhalten mit beiden Methoden das folgende Ergebnis:Parallelogramme mit gleicher Grundseite und gleicher Höhe sind inhalts-gleich.Damit kann man den Flächeninhalt von Parallelogrammen berechnen:

��!!��(�2�#��·�$#��+��3+��(��·��(�*�·��

c) Dreiecke

Da man jedes Dreieck durch Punktspiegelung aneiner Seitenmitte zu einem Parallelogramm mitgleicher Höhe und gleicher Grundseite wie dasDreieck ergänzen kann, folgt sofort:

[email protected]



Flacheninhalte: Zerlegen und Erganzen


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Flacheninhalte messen: Berechnen

Ebene Figuren (A: Flächeninhalt u: Umfang)

Quadrat

A = a2

u = 4 · a

Rechteck

A = a · b

u = 2 · a + 2 · b

Dreieck

2g hA ⋅

=

u = a + b + c

Parallelogramm

A = g · h

u = 2 · a + 2 · b

Trapez

2a cA h+

= ⋅

u = a + b + c + d

Kreis d = 2 · r

A = 224drπ⋅ = π⋅

u = 2 r d⋅ π ⋅ = π⋅

a

a

a

b

c

a

h b d

g = a

b h

ab h

g=c

r d

Prinzip: Zuruckfuhrung auf prinzipiell einfachere LangenmessungLangenmessungDidaktik der Geometrie

Literatur

Baireuther, P. (1990). Konkreter Mathematikunterricht. Bad Salzdetfurth: Franzbecker.Dangl, M. (2008). Globale Ideen der Elementaren Geometrie: Manuskript eines Vortrags gehalten im

ULG „Fachbezogenes Bildungsmanagement“. Universität Klagenfurt (unveröffentlicht).Gutjahr, W. (1972). Die Messung psychischer Eigenschaften (2. Aufl.). Berlin: Dt. Verl. der Wiss.Harrison, W. R. (1987). What Lies Behind Measurement? The Arithmetic Teacher, 34(7), 19–21.Heinze, A. (2002). „... aber ein Quadrat ist kein Rechteck“ – Schülerschwierigkeiten beim Verwenden

einfacher geometrischer Begriffe in Jahrgang 8. ZDM, 34(2), 51–55. Zugriff unter https://goo.gl/7YcghQ

Jurkowitsch, G. (2008). Inhalte der Elementaren Geometrie: Manuskript eines Vortrags gehalten im ULG„Fachbezogenes Bildungsmanagement“. Universität Klagenfurt (unveröffentlicht).

Kraker, M., Plattner, G. & Preis, C. (2007). Expedition Mathematik 1: Schulbuch. Wien: Verlag E. Dorner.Kraker, M., Plattner, G. & Preis, C. (2008). Expedition Mathematik 2: Schulbuch. Wien: Verlag E. Dorner.Kratz, J. (1993). Zentrale Themen des Geometrieunterrichts aus didaktischer Sicht. München: Bayerischer

Schulbuch-Verl.Kuntze, S. (2014). Flächeninhalt und Volumen. In H.-G. Weigand, A. Filler, R. Hölzl, S. Kuntze, M. Lud-

wig, J. Roth, . . . G. Wittmann (Hrsg.), Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I (S. 157–185).Berlin, Heidelberg: Springer.

Mißfeldt, M. (2014). Urmeter von 1791 aus Marmor (Paris) (Foto). https://goo.gl/3DWhXt.Roth, J. & Wittmann, G. (2014). Ebene Figuren und Körper. In H.-G. Weigand, A. Filler, R. Hölzl, S.

Kuntze, M. Ludwig, J. Roth, . . . G. Wittmann (Hrsg.), Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I(S. 123–156). Berlin, Heidelberg: Springer.

Schmidt-Thieme, B. & Weigand, H.-G. (2014). Symmetrie und Kongruenz. In H.-G. Weigand, A. Filler,R. Hölzl, S. Kuntze, M. Ludwig, J. Roth, . . . G. Wittmann (Hrsg.), Didaktik der Geometrie für dieSekundarstufe I (S. 186–213). Berlin, Heidelberg: Springer.

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Schwengeler, C. A. (1998). Geometrie experimentell: Ideen und Anregungen zu einem handlungsorientiertenMathematikunterricht (1. Aufl.). Zürich: Orell Füssli.

Vohns, A. (2000). Das Messen als fundamentale Idee im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I: (Staatsex-amensarbeit). Siegen. Zugriff unter https://goo.gl/8dfSzG

Vollrath, H.-J. & Roth, J. (2012). Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe (2. Aufl.). Hei-delberg: Spektrum Akademischer Verlag.

Weigand, H.-G. (2014). Ziele des Geometrieunterrichts. In H.-G. Weigand, A. Filler, R. Hölzl, S. Kuntze,M. Ludwig, J. Roth, . . . G. Wittmann (Hrsg.), Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I (S. 13–33).Berlin, Heidelberg: Springer.

Weigand, H.-G., Filler, A., Hölzl, R., Kuntze, S., Ludwig, M., Roth, J., . . . Wittmann, G. (Hrsg.). (2014).Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I. Berlin, Heidelberg: Springer.

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