diapositiva chamorro automatizacion

AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIAL

UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLÓGICA DEL CONO SUR DE LIMA

Ing. Omar Chamorro Atalaya

ANALISIS EN EL DOMINIO TEMPORAL

RESPUESTA ANTE ENTRADAS IMPULSO, ESCALON Y SINUSIODAL

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN: SOBREAMORTIGUADO Y SUB AMORTIGUADO

FUNDAMENTOS DE CONTROL AUTOMÀTICO

ANÁLISIS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO


INTRODUCCIÓN

Para analizar el comportamiento de un sistema setoma como punto de partida la representaciónmatemática del mismo. Esta modelización, Figura essu función de transferencia G(s).

El sistema puede ser excitado con distintas señales de entrada r(t). Las más utilizadasson las funciones impulso unitario, escalón unitario, rampa unitaria y entradasinusoidal de amplitud uno.




SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

POR LO GENERAL, LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA G(S) DE UN SISTEMA ES UNA EXPRESIÓNRACIONAL DE POLINOMIOS EN S. LAS RAÍCES DEL DENOMINADOR SE LLAMAN POLOS Y LASRAÍCES DEL NUMERADOR SE LLAMAN CEROS. UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN SE DEFINECOMO AQUEL QUE POSEE UN ÚNICO POLO.

En la Figura anterior se muestra la representación general de un sistema de primerorden. A la constante K se le llamará ganancia estática del sistema y a T constante detiempo del sistema.




SISTEMAS DE PRIMER ORDEN – Respuesta ante una entrada Impulso

LA SALIDA TEMPORAL C(t) DEL SISTEMA DE PRIMER ORDEN ANTE UNA ENTRADA IMPULSOUNITARIO ES:




SISTEMAS DE PRIMER ORDEN – Respuesta ante una entrada Impulso

En la Figura se muestra un ejemplo de respuesta ante entrada impulso. Aparecetambién la recta que comienza en K/T con pendiente − K/T². Se observa que dicharecta pasa por cero para t = T.

Respuesta de un sistema de primer orden con entrada Impulso unitario




SISTEMAS DE PRIMER ORDEN – Respuesta ante una entrada Escalón

La salida temporal del sistema de primer orden ante una entrada escalón unidad es:

Donde se han calculado los valores inicial y final de dicha salida. La pendiente inicialde la curva es:




SISTEMAS DE PRIMER ORDEN – Respuesta ante una entrada Escalón

Respuesta de un sistema de primer orden ante una entrada escalón




SISTEMAS DE PRIMER ORDEN – Respuesta ante una entrada Sinusoidal

LA SALIDA TEMPORAL C(t) DEL SISTEMA DE PRIMER ORDEN ANTE UNA ENTRADA SINUSOIDALDE AMPLITUD UNITARIA Y FRECUENCIA Ω ES:

Se observa que la salida c(t) posee dos sumandos: el primero es transitorio,desaparece prácticamente después de T segundos, y el segundo es una sinusoidal defrecuencia igual a la de la señal de entrada, pero con una amplitud y un retraso quedependen tanto de la frecuencia ω de entrada como de las características del sistemade primer orden.





Si la frecuencia ω de la sinusoidal de entrada aumenta, la sinusoidal de salida poseeuna amplitud cada vez menor y un retraso cada vez mayor (cualitativamente en laFigura). En definitiva, un sistema de primer orden actúa en el dominio de lasfrecuencias como un filtro pasa-baja, es decir, atenúa las frecuencias elevadas.





UNA FORMA DE OBTENER LA AMPLITUD DE LA SALIDA Y SU RETRASO EN FUNCIÓN DE LA PLANTA YLA FRECUENCIA DE ENTRADA CONSISTE EN TOMAR LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE LA PLANTA YSUSTITUIR LA VARIABLE S POR jΩ. EL RESULTADO ES UN NÚMERO COMPLEJO CUYO MÓDULO ES LAAMPLITUD DE SALIDA Y CUYA FASE ES EL RETRASO DE LA SALIDA RESPECTO DE LA ENTRADA.




SISTEMAS DE PRIMER ORDEN – EJEMPLOS

SISTEMA ELÉCTRICO DE PRIMER ORDEN SISTEMA MECÁNICO DE PRIMER ORDEN




SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

Un sistema de segundo orden es aquel que posee dos polos. Este tipo se sistemas sesuele representar de la siguiente forma:

La constante K es la ganancia estática del sistema, ζ es el amortiguamiento y ωn es lafrecuencia natural. Dependiendo del carácter de los polos, el sistema de segundoorden puede ser:





Sistema subamortiguado. El amortiguamiento posee un valor entre 0 y 1 y los polosdel sistema de segundo orden son complejo-conjugados. Su posición aparece en lasiguiente ecuación:

La constante σ es la atenuación del sistema y ωd la frecuencia natural amortiguada.





Sistema sobreamortiguado. El amortiguamiento es mayor que la unidad y los polos delsistema de segundo orden son reales localizados en:

Sistema críticamente amortiguado. El amortiguamiento es igual a la unidad y los polosson reales e iguales:





Representación de polos y ceros:

Cualquiera que sea el amortiguamiento del sistema,existen tres puntos clave de la respuesta temporal quesiempre cumplen los sistemas de segundo orden anteuna entrada escalón unidad:





Es decir, la respuesta temporal de todos los sistemas de segundo orden comienzan en elorigen con pendiente nula, y alcanzan en redimen permanente el valor de la gananciaestática K.

Sistema oscilatorio. El amortiguamiento es cero y los polos del sistema de segundoorden son complejo conjugados imaginarios puros localizados en:

En este ultimo caso no existe ningún valor de régimen permanente ante entradaescalón unidad.




RESPUESTA SUB- AMORTIGUADA ANTE UNA ENTRADA ESCALON

La respuesta de un sistemasubamortiguado ante una entradaescalón unidad es:

En la Figura se muestra un ejemplode respuesta temporal de un sistemasubamortiguado. Se trata de unaseñal sinusoidal cuya amplitud se vaatenuando según un patrónexponencial.





El tiempo de tipo tp es el instante en el que la salida temporal alcanza su primermáximo. A la diferencia entre el valor del máximo y el valor en régimenpermanente, expresada en por unidad respecto del valor en régimenpermanente, se le llama sobreimpulso máximo Mp.

Existen varios puntos clave en la respuesta temporal. El primero es el tiempo delevantamiento tr, y es el instante en el que la salida pasa por primera vez por elvalor de su régimen permanente.





En los sistemas de control no esdeseable que exista una respuesta conmucho sobreimpulso ni muy oscilatoria.Se suele buscar que el sistemacontrolado posea un sobreimpulsoentre el 0% y el 20% con el menortiempo de establecimiento posible.

El tiempo de establecimiento se definecomo el instante a partir del cual larespuesta temporal queda circunscrita enuna banda del 2% ó del 5% en torno alvalor en régimen permanente.




RESPUESTA SOBROAMORTIGUADA ANTE UNA ENTRADA ESCALON

La respuesta de un sistema sobreamortiguado ante una entrada escalón unitario es:




RESPUESTA CRITICAMENTE AMORTIGUADA ANTE UNA ENTRADA ESCALON

La respuesta de un sistemacrıticamente amortiguado ante unaentrada escalón unidad es:




SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR

El comportamiento de los sistemas de orden superior, es decir, de aquellos que poseentres o mas polos, depende fundamentalmente del carácter de los polos mas lentos delsistema. Como se ha visto en el apartado anterior, el polo mas lento es el que posee laconstante de tiempo mas grande, es decir, aquel polo se encuentran mas cerca delorigen en el plano complejo S.

SISTEMAS DE TERCER ORDEN





El sistema de tercer orden, presentaun polo real y dos complejo-conjugados. La respuesta temporal,depende de la posición relativa de lostres polos del sistema.

La respuesta se asemeja a la delsistema de segundo ordensubamortiguado, pero está un pocoretrasada en el tiempo y tiene unmenor sobre impulso. Ese retraso enel tiempo es aproximadamente iguala la constante de tiempo del poloreal.





Por tanto, la inclusión de polos adicionales a un determinado sistema noinfluye en la respuesta temporal del mismo mientras los nuevos polos seencuentren suficientemente alejados del origen del plano complejo Srespecto a los que ya tenía el sistema.

Por norma general se puede admitir que los polos que se encuentren más alejados quecinco veces la distancia de los polos más lentos al origen, tienen una influencia en larespuesta temporal del sistema prácticamente despreciable. Por esta razón, los poloslentos se llaman también polos dominantes del sistema.





En la Figura se muestra un caso particular en el que el polo real es el más lento. Larespuesta se asemeja a la del sistema de primer orden, con un retraso adicional ypendiente inicial nula.




EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicio 1: Hallar la respuesta temporal del sistema de la Figura para una entrada escalónunidad para los valores de la ganancia K =1, 2 y 5.

Ejercicio 2: Dibujar la respuesta temporal del sistema de la Fig. 4.25 para una entradaescalón unidad y valores de K = 10, 50 y 100. Calcular el valor de K que consigue que elsistema sea críticamente amortiguado.




EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicio 3: La respuesta temporal de un sistema cuya función de transferencia sedesconoce presenta un sobre impulso del 20% a los 413 ms. En régimen estacionario sealcanza el valor exacto de la señal de referencia. Se pide deducir la función detransferencia del sistema, la frecuencia de las oscilaciones, el tiempo de establecimientodel sistema y la posición de las raíces en el plano S.Soluciones: G(s) = 73.1/( s2+7.8s+73.1) , ωd = 7.6 rad/s, ts = 0.77 s y p1,2 = −3.9 7.6j (ζ =0.456)

Ejercicio 4: Dibujar la respuesta temporal del sistema de la Figura para una entrada escalónunidad y K = 1. Calcular los valores de K que consiguen una respuesta temporal bienamortiguada.

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