diagrammes de ferrers d´ecor´es - irifcorteel/hdrcorteel.pdf · a curriculum vitae 65 b...

Ecole Doctorale Sciences mathematiques de Paris Centre

Universite Paris-Diderot 7

Habilitation a diriger les recherches

Memoire presente par

Sylvie Corteel

Diagrammes de Ferrers decores

Soutenance le 28 Mai 2010 devant le jury compose de :

Mme Helene Barcelo (Professeure)

Mme Frederique Bassino (Professeure)

Mme Valerie Berthe (Directrice de Recherche)

Mme Mireille Bousquet-Melou (Directrice de Recherche)

Mme Ilse Fischer (Universitatsassistentin)

Mme Alice Guionnet (Directrice de Recherche)

Mme Brigitte Vallee (Directrice de Recherche)

Mme Michele Vergne (Membre de l’Institut)

Au vu des rapports de :

Mesdames Helene Barcelo, Valerie Berthe et Mireille Bousquet-Melou

Dedicace

A Carla Savage et Dominique Gouyou-Beauchamps, les deux personnes qui m’ontformee. Je les remercie pour leur intelligence, leur honnetete, leurs conseils constructifset leur soutien.

A Helene Barcelo, Valerie Berthe et Mireille Bousquet-Melou. Je les remercie pour leurlecture attentionnee et constructive. Je remercie principalement Mireille pour ses conseilsprecieux qui m’ont permis d’ameliorer la redaction.

A Helene Barcelo, Frederique Bassino, Valerie Berthe, Mireille Bousquet-Melou. Ilse Fi-scher, Alice Guionnet, Brigitte Vallee et Michele Vergne. Huit scientifiques exceptionnelles.Quel jury !

A George Andrews, Sandrine Dasse-Hartaut, Dominique Gouyou-Beauchamps, Mat-thieu Josuat-Verges, Jang Soo Kim, Jeremy Lovejoy, Olivier Mallet, Philippe Nadeau, CarlaSavage, Cyrille Savelief, Dennis Stanton, Mirjana Vuletic, et Lauren Williams. Je remerciecette equipe sans qui ces travaux n’auraient pas vu le jour.

A tous les collegues et les scientifiques sympathiques.

A Marie, Sophie, Jerome, ma mere et mon pere qui preparent le pot.

A Jeremy, Viggo et Sisseline.

iii

Table des matieres

Chapitre I Introduction 1

Chapitre II Partitions amphitheatre 9

II.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

II.2 Objets tronques et identites de q-Chu Vandermonde . . . . . . . . . . . . . 13

II.3 Amphitheatre, planetarium et deuxieme identite de Gauss . . . . . . . . . . 14

II.4 Interpretations combinatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Chapitre III Surpartitions 19

III.1 Preuves bijectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

III.2 Partitions de Frobenius generalisees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

III.3 Surpartitions et identites de Rogers-Ramanujan . . . . . . . . . . . . . . . . 24

III.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Chapitre IV Surpartitions planes 31

IV.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

IV.2 Surpartitions planes, chemins et RSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

IV.3 (Sur)partitions planes et fonctions de Hall Littlewood . . . . . . . . . . . . 36

IV.4 Partitions cylindriques et renversees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

IV.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

v

Chapitre V Tableaux de permutation et alternatifs 41

V.1 Definition et combinatoire des tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

V.2 Lien avec le PASEP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

V.2.1 Definition du PASEP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

V.2.2 Distribution stationnaire et tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Chapitre VI Tableaux escalier 51

VI.1 Tableaux escaliers et PASEP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

VI.2 Moments des polynomes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

VI.3 Enumeration des tableaux escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

VI.3.1 Le cas q = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

VI.3.2 Le cas y = q = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

VI.3.3 Le cas δ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

VI.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

A Curriculum Vitae 65

B Activites d’encadrement 71

C Resume sur l’originalite des recherches 73

D Expose synthetique des recherches 75

E Perspectives 77

F Publications 83

Bibliographie 92

Chapitre I

Introduction

Dans ce memoire, je vais parler de combinatoire enumerative et bijective et des in-teractions de la combinatoire avec les q-series, les fonctions symetriques et la physiquestatistique. Je vais seulement raconter une partie des travaux que j’ai effectues depuis mathese. J’essaierai le plus souvent possible de donner une intuition ou une idee des preuves.J’ai fait le choix de presenter mes travaux les plus recents et/ou ceux que j’affectionneparticulierement. Presque tout ce que je presente ici et les preuves correspondantes a eteou est en train d’etre publie. Je donnerai des references dans les chapitres et donnerai ala fin une liste complete de mes publications. Tout est ne de discussions et de rencontresscientifiques. En particulier, je tiens a remercier les personnes qui avec qui j’ai collaboredans les travaux presentes, c’est a dire George Andrews, Dominique Gouyou-Beauchamps,Matthieu Josuat-Verges, Jang Soo Kim, Jeremy Lovejoy, Olivier Mallet, Philippe Nadeau,Carla Savage, Cyrille Savelief, Dennis Stanton, Mirjana Vuletic, et Lauren Williams.

Soit λ = (λ1, λ2, . . . , λk) une suite d’entiers positifs ou nuls. On definit le poids de λpar |λ| = λ1 + · · ·+λk et l’on appelle chaque λi une part de λ. Si |λ| = n, on appelle λ unecomposition de n et si c’est une suite decroissante au sens large, on l’appelle une partitionde n. Par exemple, les partitions de poids 5 sont (5), (4,1), (3,2), (3,1,1), (2,2,1), ((2,1,1,1)et (1,1,1,1,1).

Chaque partition π a une representation graphique appele diagramme de Ferrers. Cediagramme est l’ensemble des points de coordonnees (i, j) tels que 0 ≤ i ≤ πi+1 − 1 et0 ≥ j ≥ −k + 1. Plus simplement la jieme ligne contient πj points et les lignes sontjustifiees a gauche. Un exemple des representation de π = (8, 8, 6, 4, 2) est donne sur laFigure I.1.

Le nombre de compositions de n est 2n−1. Par contre le nombre de partitions de n,p(n), est beaucoup plus dur a calculer, car

∑

n≥0

p(n)qn =∏

i≥1

1

1 − qi=

1

(q)∞.

1

2 CHAPITRE I. INTRODUCTION

Fig. I.1 – Diagramme de Ferrers de (8,8,6,4,2)

J’utiliserai dans tout le memoire des notations classiques des q-series [61] :

(a)∞ = (a; q)∞ :=∞∏

n=0

(1 − aqn);

(a)n = (a; q)n =(a; q)∞

(aqn; q)∞;

et

(a1, . . . , ak)n = (a1, . . . , ak; q)n =

k∏

i=1

(ai; q)n.

Les partitions d’entiers sont un sujet classique de l’analyse combinatoire. Elles ont eteetudiees, par exemple, par Euler. George Andrews est le grand investigateur de la theoriedes partitions. Son livre [6] recense la plupart des resultats classiques sur ces objets.

Du cote combinatoire, il existe de nombreux resultats elegants du type le nombre departitions de n de type A est egal au nombre de partitions de n de type B.

Par exemple si A =parts impaires et B = parts distinctes, on obtient un resultat clas-sique connu d’Euler. La serie generatrice des partitions en parts impaires est :

∏∞i=1 1/(1−

q2i−1). La serie pour les partitions en parts distinctes (i.e repetees au plus une fois) est∏i≥1(1 + qi). Un calcul rapide montre que

∞∏

i=1

1

1 − q2i−1=

∏

i≥1

(1 + qi).

Il existe aussi de nombreuses bijections pour montrer cela. La plus fameuse est due aSylvester [88].

Dans le chapitre II, je parlerai de partitions amphitheatre et de compositions planetarium.Les partitions amphitheatre, definies par M. Bousquet Melou et K. Eriksson, sont l’ensembleLn des partitions, λ en n parts positives ou nulles et telles que

λ1

n≥ λ2

n − 1≥ · · · ≥ λn−1

2≥ λn

1≥ 0.

Par exemple, λ = (9, 6, 3, 1) est une partition de L4. On represente en general le dia-gramme de Ferrers ou l’on lit la partition en colonne. Puis on peut decorer chaque colonne

2

3

avec un petit bonhomme qui se trouve dans un amphitheatre et regarde le professeur situea droite du diagramme. Sur la figure I.2, on donne une version rapidement decoree.

¶

♥

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♥

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Fig. I.2 – Partition amphitheatre (9, 6, 3, 1)

Leur serie generatrice s’ecrit sous la forme d’un joli produit.

Le theoreme amphitheatre [15] :

Ln(q) ,∑

λ∈Ln

q|λ| =1

(q; q2)n.

On peut interpreter combinatoirement ce resultat. Le nombre de partitions amphitheatre deN dans Ln est egal au nombre de partitions de N en parts impaires inferieures a 2n. Ainsice theoreme est une version finie du theoeme d’Euler ci-dessus. On retrouve le theoremed’Euler en prenant n → ∞.

Dans le chapitre II, j’expliquerai comment les series generatrices d’objets de ce typepeuvent etre facilement calculees en utilisant des identites classiques des q-series. En par-ticulier, je donnerai quelques resultats des articles [9, 41].

Un autre objet qui m’est cher depuis quelques annees est la notion de surpartition.Sa definition est venue naturellement quand J. Lovejoy et moi avons cherche a elucider lacombinatoire de la somme 1ψ1 de Ramanujan [33] :

∞∑

n=−∞

(a; q)n

(b; q)nzn =

(b/a; q)∞(q; q)∞(q/az; q)∞(az; q)∞(b; q)∞(b/az; q)∞(q/a; q)∞(z; q)∞

.

Une surpartition est une suite d’entiers decroissante au sens large ou la premiere occur-rence d’un entier peut etre surlignee. Par exemple, les surpartitions de 5 en 3 parts sontdonc (3, 1, 1), (3, 1, 1), (3, 1, 1), (3, 1, 1), (2, 2, 1), (2, 2, 1), (2, 2, 1), (2, 2, 1).

Le diagramme de Ferrers d’une surpartition est donc le diagramme de Ferrers d’unepartition ou les coins peuvent etre colores. Les coins colores correspondent aux parts sur-lignees.

Par exemple, le diagramme de Ferrers de (7, 6, 5, 4, 3, 2, 1) est represente sur la figureI.3.

3


Fig. I.3 – Diagramme de Ferrers de (7, 6, 5, 4, 3, 2, 1)

On peut aussi voir les surpartitions comme un couple fait d’une partition (les partsnon-surlignees) et d’une partition en parts distinctes (les parts surlignees). Ainsi si p(n) estle nombre de surpartitions de n, on a

∑

n≥0

p(n)qn =(−q; q)∞(q; q)∞

.

Dans l’article [34], nous avons montre comment les surpartitions sont un objet naturelpour comprendre de nombreuses identites sur les q-series. Dans ce memoire, je choisiraiquelques exemples issus des articles [33] et [37]. En particulier, je donnerai la bijectionoriginelle qui permet de comprendre l’identite q-Gauss et la somme 1ψ1 de Ramanujan[33]. Puis je montrerai que les surpartitions sont le bon objet pour obtenir de jolies seriesgeneratrices pour les partitions de Frobenius generalisees. Enfin je montrerai comment lessurpartitions trouvent naturellement leur place dans le monde des identites de Rogers-Ramanujan :

∑

n≥0

qn2

(q; q)n=

(q5, q2, q3; q5)∞(q; q)∞

∑

n≥0

qn2+n

(q; q)n=

(q5, q1, q4; q5)∞(q; q)∞

Ainsi dans le chapitre III, je parlerai rapidement des liens entre la combinatoire dessurpartitions et des q-series. Ces objets ont aussi des tres belles connexions avec la theoriedes nombres. Par exemple les series generatrices de rangs des surpartitions sont lies auxnombres de classe [22]. Les surpartitions sont aussi liees a la physique mathematique [59,68, 70] et la combinatoire algebrique. Je parlerai un peu de combinatoire algebrique dansle chapitre IV en definissant les surpartitions planes [26].

Une partition plane est un tableau Π = (Πi,j) tel que chaque ligne et chaque colonneest une partition. C’est une partition plane de n si |Π| =

∑i,j Πi,j = n. La serie generatrice

de ces objets a ete calculee par Mac Mahon :

∑

Π

q|Π| =∏

i≥1

1

(1 − qi)i.

4

5

Une surpartition plane est une partition plane ou dans chaque ligne la derniere oc-currence d’un entier peut etre surlignee et dans chaque colonne la premiere occurrenced’un entier peut etre surlignee ou non et toutes les autres occurences sont surlignees. Parexemple,

4 4 4 3

4 3 3 3

4 3

3

Leur serie generatrice est :∑

Π

q|Π| =∏

i≥1

(1 + qi

1 − qi

)i

.

De facon inattendue, les surpartitions planes ne sont pas une generalisation des partitionsplanes. Elles sont en bijection avec des supertableaux lies aux representations des superalgebres de Lie [13] et aux super fonctions de Schur [75]. Dans le chapitre IV, on etudieraet on enumerera ces objets et on montrera grace aux fonctions de Hall-Littlewood pourquoiles surpartitions planes et partitions planes sont liees.

Ensuite, je quitterai le monde des partitions pour aller vers le monde des permutations.Mais je serai toujours dans le monde des diagrammes de Ferrers decores. Plutot que deprendre des diagrammes d’une forme amphitheatre ou avec des coins colores, je vais main-tenant remplir ces diagrammes avec des chiffres, des fleches ou des lettres. Encore dans cemonde, il y aura des q-analogues et des q-series. Mais je ne mettrai pas trop cet aspect enavant. Je ferai plutot le lien avec la combinatoire bijective, la physique statistique et lespolynomes orthogonaux. Je definis maintenant les objets que j’etudierai dans les chapitresV et VI. Comme les resultats presentes dans le chapitre VI datent de l’ete et de l’automne2009 (ce qui a legerement retarde la redaction de cette habilitation), il reste de nombreusesquestions ouvertes dont certaines seront presentees dans le chapitre VI et l’annexe E.

Un tableau de permutation est le diagramme de Ferrers d’une partition (qui peut avoirdes lignes vides) rempli de 0 et de 1 avec les conditions suivantes :

– Il existe au moins un 1 dans chaque colonnne– Il n’existe pas de 0 qui ont un 1 au dessus dans la meme colonne et de 1 a gauche

dans la meme ligne.

Si la premiere condition est retiree et si le diagramme peut aussi avoir des colonnes vides,alors on retrouve les “Le”-diagrammes de Postnikov [85]. Un exemple est donne sur lagauche de la figure I.4.

Un tableau alternatif est un diagramme de Ferrers d’une partition (qui peut avoirdes lignes ET des colonnes vides) partiellement rempli de ← et de ↑ avec les conditionssuivantes :

– Il n’y a rien a gauche de ←– Il n’y a rien au dessus de ↑

5


1 1

1

1

1

00

0

0

0

0

0

00 0

1 1

↑ ↑←

↑

↑

↑←

Fig. I.4 – Tableaux de permutation et alternatif

Un exemple est donne sur la droite de la figure I.4.

La taille d’un tableau est egale a la longueur du chemin du bord du tableau, c’est adire au nombre de lignes plus le nombre de colonnes. Le type d’un tableau est le mot dans{0, 1}∗ qui lit le bord du tableau en allant du haut vers le bas et de la droite vers la gaucheet qui inscrit 0 si le pas est horizontal ou 1 si le pas est vertical. Par exemple, le type destableaux de la Figure I.4 est (1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1).

Il existe une bijection entre les tableaux alternatifs de type (τ1, . . . τN ) et les tableauxde permutation de type (1, τ1, . . . τN ).

Nous montrerons dans le chapitre V, une bijection entre tableaux alternatifs et permu-tation [39] et une chaine de Markov sur les tableaux alternatifs qui est en lien un modelede physique statistique (le PASEP) [48].

Dans le chapitre VI, on generalisera la notion de tableau alternatif, pour etudier lemodele physique general. Un tableau escalier de taille n est un diagramme de Ferrers deforme (n, n − 1, . . . , 2, 1) tel que les cases sont vides ou remplies par α, β, γ, ou δ, avec lesconditions suivantes :

– les cases de la diagonale ne sont pas vides ;– toutes les cases a gauche et dans la meme ligne qu’un β ou un δ sont vides ;– toutes les cases au dessus et dans la meme colonne qu’un α ou un γ sont vides.

γβ

δ

αδ

γ

γ

δ

α

αβ

Fig. I.5 – Un tableau escalier

Un exemple est donne sur la figure I.5. Il existe 4nn! tableaux escalier de taille n. Achacun de ces tableaux, on associe wt(T ) un monome de degre

(n+1

2

)en α, β, γ, δ, u et q

et l’on montre que ces tableaux sont lies a la distribution stationnaire du PASEP general[46, 47]. On definit aussi p(T ) le nombre de α et de δ sur la diagonale. Soit

Zn(α, β, γ, δ; q) =∑

T de taille nyp(T )wt(T ).

6

7

On peut aussi enumerer ces tableaux [45].

Zn(α, β, γ, δ; q, y) = (abcd; q)n

(αβ

1 − q

)n 1

2n

n∑

k=0

(ab, ac/y, ad; q)k

(abcs; q)kqk

×k∑

j=0

q−(k−j)2a2j−2k/y(1 + y + (qk−ja + qj−k/a/y))n

(q, yq2j−2k+1/a2; q)k−j(q, a2q1−2j+2k/y; q)j.

avec

α =1 − q

1 + a + c + ac; β =

1 − q

1 + b + d + bd;

γ =ac(1 − q)

1 + a + c + ac; δ =

(1 − q)bd

1 + b + d + bd.

Les parametres On peut qualifier cette formule d’elegante. Mais, on ne voit pas pourquoiZn est un polynome a coefficients positifs en α, β, γ, δ et q. Dans le chapitre V, on essaierade donner quelques jolis resultats enumeratifs pour des cas particuliers.

Last but not least, nous ferons le lien avec les moments de la fonction de poids despolynomes d’Askey-Wilson :

Pn(x; a, b, c, d|q) = a−n(ab, ac, ad; q)n

∑

k≥0

(q−n, qn−1abcd, aeiθ, ae−iθ; q)k

(ab, ac, ad, q; q)kqk

avec x = cos θ.Ce sont les polynomes orthogonaux tout en haut de la hierarchie des polynomes ortho-

gonaux a une variable. Comme ils sont orthogonaux, il existe une fonction de poids w quel’on definit dans le chapitre VI. Grace aux tableaux escaliers, on peut obtenir une formule”combinatoire” des moments des polynomes d’Askey-Wilson

µn =(1 − q)n

2nin∏n−1

j=0 (αβ − γδqj)Zn(α, β, γ, δ; q,−1);

ou i2 = −1 et

α =1 − q

1 + ai + ci − ac; β =

1 − q

1 + bi + di − bd;

γ =−ac(1 − q)

1 + ai + ci − ac; δ =

−(1 − q)bd

1 + bi + di − bd.

Je detaillerai ces notions tout au long du memoire. L’Universite Paris-Diderot demandeun certain format pour l’habilitation. En particulier le format des annexes A-F est imposepar l’Universite. En particulier, meme si j’esquisse parfois certaines perspectives dans lecortps du texte, la plupart de mes perspectives et projets en cours se situent dans l’annexeE. Bonne lecture !

7


8

Chapitre II

Partitions amphitheatre

Les partitions amphitheatre sont apparues a la fin des annees 90 et ont ete introduitespar M. Bousquet-Melou et K. Eriksson [15, 16, 17]. Elles sont apparues naturellement dansdes travaux d’Eriksson et Eriksson [54] sur les groupes de Coxeter. Elles ont donne lieu ade jolis travaux de A.J. Yee lors de sa these [102, 103]. Mais aussi a de multiples travaux deC.D. Savage avec d’autres auteurs [42, 41, 31, 32, 88, 9, 44]. J’ai participe a plusieurs de cestravaux. Dans ce manuscrit, je presente une petite partie de ces travaux en me concentrantsur les aspects lies aux q-series [41, 31, 9].

II.1 Definitions

Pour λ = (λ1, λ2, . . . , λn) une suite d’entiers positifs ou nuls, on definit le poids de λ par|λ| = λ1 + · · · + λn et l’on appelle chaque λi une part de λ. On appelle λ une compositionet si c’est une suite decroissante au sens large, on l’appelle une partition.

Les partitions amphitheatre definies dans [15] sont l’ensemble Ln des partitions, λ en nparts positives ou nulles et telles que

λ1

n≥ λ2

n − 1≥ · · · ≥ λn−1

2≥ λn

1≥ 0.

Par exemple, λ = (9, 6, 3, 1) est une partition de L4 de poids 19. On represente en generalle diagramme de Ferrers ou l’on lit la partition en colonne. Puis on peut decorer chaquecolonne avec un petit bonhomme qui se trouve dans un amphitheatre et regarde le professeursitue a droite du diagramme. Sur la figure II.1, on donne une version rapidement decoree.

Leur serie generatrice s’ecrit sous la forme d’un joli produit.Le theoreme amphitheatre [15] :

Ln(q) ,∑

λ∈Ln

q|λ| =1

(q; q2)n(II.1)

avec (a; q)n =∏n−1

i=0 (1 − aqi).Dans [15], Bousquet-Melou et Eriksson ont donne deux preuves de ce resultat : une

algebrique et une combinatoire. Puis Andrews a demontre ce resultat en utilisant une

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10 CHAPITRE II. PARTITIONS AMPHITHEATRE

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Fig. II.1 – Partition amphitheatre (9, 6, 3, 1)

methode developpee par Mac Mahon : l’analyse des partitions [5]. Un raffinement et desgeneralisations du resultat de (II.1) ont ete donnes dans [16]. La premiere preuve bijectiveest due a Yee [102, 103].

Expliquons maintenant les raffinements donnes dans [15] et [17]. Etant donnee λ =(λ1, λ2, . . .), soit λo = (λ1, λ3, . . .) et λe = (λ2, λ4, . . .). Soit ⌈λ⌉ la partition (⌈λ1/n⌉, ⌈λ2/(n−1)⌉, . . . , ⌈λn−1/2⌉, ⌈λn/1⌉) et soit o(λ) le nombre de parts impaires de λ.

Le theoreme amphitheatre pair/impair [15] :

Ln(x, y) ,∑

λ∈Ln

x|λo|y|λe| =n∏

i=1

1

1 − xiyi−1. (II.2)

Le theoreme amphitheatre raffine [17] :

Ln(u, v, q) ,∑

λ∈Ln

q|λ|u|⌈λ⌉|vo(⌈λ⌉) =(−uvq; q)n

(u2qn+1; q)n. (II.3)

Quand x = y = q dans (II.2) ou u = v = 1 dans (II.3), on retrouve (II.1).

Dans [40], nous avons etudie des objets tres proches. Soit l’ensemble An des compositionsen au plus n parts qui satisfont

λ1

1≥ λ2

2≥ . . . ≥ λn

n≥ 0.

Nous les avons appelees les “anti-lecture hall compositions”, mais puisqu’ici j’ecris enfrancais, je vais adopter la proposition de X. Viennot et je les appellerai les compositionsplanetarium. Par exemple, λ = (3, 5, 3, 1) est une composition de A4. Son diagramme estsur la figure II.2.

Nous avons montre :

Le theoreme planetarium raffine [40] :

An(u, v, q) ,∑

λ∈An

q|λ|u|⌊λ⌋|vo(⌊λ⌋) =(−uvq; q)n

(u2q2; q)n, (II.4)

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II.1. DEFINITIONS 11

⋆⋆⋆⋆

⋆⋆ ⋆

⋆⋆⋆

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Fig. II.2 – Composition Planetarium (3, 5, 3, 1)

avec ⌊λ⌋ = (⌊λ1/1⌋, ⌊λ2/2⌋, . . . , ⌊λn/n⌋).Quand u = v = 1 dans (II.4), on obtient l’equivalent de (II.1) :

Le theoreme planetarium [40] :

An(q) ,∑

λ∈An

q|λ| =(−q; q)n

(q2; q)n. (II.5)

Les preuves donnees dans [40] sont bijectives et utilisent des adaptations des constructionsde Yee [103]. Je donnerai ici un point de vue q-series.

Dans les prochains paragraphes, nous allons etudier des objets tronques, que je definismaintenant. Ils permettront de montrer comment on peut demontrer et generaliser lesresultats cites precedemment en utilisant des identites classiques des fonctions hypergeometriquesbasiques.

Definissons maintenant les partitions amphitheatre tronquees. Pour n ≥ k, soit Ln,k

l’ensemble des partitions λ = (λ1, λ2, . . . , λk) telles que

λ1

n≥ λ2

n − 1≥ . . . ≥ λk

n − k + 1≥ 0.

Pour n ≥ k, soit Ln,k l’ensemble des partitions λ = (λ1, λ2, . . . , λk) telles que

λ1

n≥ λ2

n − 1≥ . . . ≥ λk

n − k + 1>0.

De meme, les compositions planetarium tronquees sont l’ensemble An,k des compositionsλ = (λ1, λ2, . . . , λk) telles que

λ1

n − k + 1≥ λ2

n − k + 2≥ . . . ≥ λk

n≥ 0.

Nous allons montrer que les raffinements qui existent pour les partitions amphitheatres’etendent aux objets tronques et aux compositions planetarium. Soit

Ln,k(u, v, q) ,∑

λ∈Ln,k

q|λ|u|⌈λ⌉|vo(⌈λ⌉)

11


avec ⌈λ⌉ = (⌈λ1/n⌉, ⌈λ2/(n − 1)⌉, . . . , ⌈λk−1/(n − k + 2)⌉, ⌈λk/(n − k + 1)⌉). Soit

n

m

q

=

(qn−m+1; q)m/(q; q)m.Le theoreme amphitheatre raffine tronque

Ln,k(u, v, q) =k∑

m=0

(uv)mq(m+1

2 )

n

m

q

(−(u/v)qn−m+1; q)m

(u2q2n−m+1; q)m. (II.6)

Ln,k(u, v, q) = (uv)kq(k+12 )

n

k

q

(−(u/v)qn−k+1; q)k

(u2q2n−k+1; q)k. (II.7)

Comme

Ln(u, v, q) =vnLn,n(u, 1/v, q)

unq(n+1

2 );

on retrouve le theoreme amphitheatre raffine en prenant k = n dans (II.7).Soit ⌊λ⌋ la suite d’entiers (⌊λ1/(n−k+1)⌋, ⌊λ2/(n−k+2)⌋, . . . , ⌊λk−1/(n−1)⌋, ⌊λn/n⌋).

Pour n ≥ k :Le theoreme planetarium raffine tronque

An,k(u, v, q) ,∑

λ∈An,k

q|λ|u|⌊λ⌋|vo(⌊λ⌋) =

n

k

q

(−uvqn−k+1; q)k

(u2q2(n−k+1); q)k. (II.8)

De meme, on retrouve le theoreme planetarium raffine en prenant k = n dans (II.8).Le theoreme amphitheatre pair/impair tronque

Ln,k(x, y) ,∑

λ∈Ln,k

x|λo|y|λe| =k∑

m=0

(x⌊m/2⌋+1y⌊m/2⌋)⌈m/2⌉

n − ⌈m/2⌉

⌊m/2⌋

xy

(x; xy)⌈m/2⌉(xnyn−1; (xy)−1)⌊m/2⌋. (II.9)

Soit n ≥ k − 1. Le theoreme planetarium pair/impair tronque

An,k(x, y) ,∑

λ∈An,k

x|λo|y|λe| =

n

⌊k/2⌋

xy

(x; xy)⌈k/2⌉(xn−k+1yn−k+2; xy)⌊k/2⌋. (II.10)

En particulier pour n = k dans (II.10), on obtient un nouveau resultat pour les compo-sitions planetarium.

An(x, y) = An,n(x, y) =

n

⌊n/2⌋

xy

(x; xy)⌈n/2⌉(xy2; xy)⌊n/2⌋. (II.11)

12

II.2. OBJETS TRONQUES ET IDENTITES DE Q-CHU VANDERMONDE13

II.2 Objets tronques et identites de q-Chu Vandermonde

Dans cette partie, nous allons utiliser les identites de q-Chu Vandermonde I et II [61].Je les presente dans les deux equations suivantes :

(−c/a; q)k

(c; q)k=

k∑

t=0

(c/a)tq(t

2)

k

t

q

(−a; q)t

(c; q)t, (II.12)

(−aq; q)k

(cq; q)k=

k∑

t=0

atq(t+12 )

k

t

q

(−(c/a)q−t+1; q)t

(cqk−t+1; q)t. (II.13)

Nous donnons une demonstration nouvelle de (II.8) en utilisant les idees de [31]. Lapreuve pour les partitions amphitheatre est assez similaire [41, 31]. Les theoremes pair/impairsont demontres dans [41] en generalisant les idees de [15].

Soit Pn,k l’ensemble des partitions en k parts positives ou nulles et inferieures ou egalesa n. Ainsi

∑

λ

∈ Pn,kq|λ| =

n + k

k

q

.

Commencons par une decomposition des compositions planetarium.

Lemme 1. Pour tout n ≥ k,

An,k(u, v, q) =k∑

t=0

utvtq(n−k)t+(t+12 )

n

k − t

q

An−k+t,t(u, 1/v, q).

Preuve. Etant donnee une composition planetarium tronquee λ dans An,k, soit t l’entierle plus grand tel que λt ≥ n − k + t. Alors (λt+1, . . . , λk) est dans Pn−k+t,k−t. De plus,(λ1 − (n − k + 1), . . . , λt − (n − k + t)) est une composition dans An−k+t,t. Ainsi on a unebijection, entre An,k et ∪tPn−k+t,k−t×An−k+t,t. Si l’image de λ par cette bijection est (α, β)alors

– |λ| = |α| + |β| + (n − k)t +(t+12

)

– o(⌊λ⌋) = t − o(⌊β⌋)– |⌊λ⌋| = t + |⌊β⌋|

On obtient ainsi une preuve simple du resultat :

Theoreme 1. [41]

An,k(u, v, q) =

n

k

q

(−uvqn−k+1; q)k

(u2q2(n−k+1); q)k.

13


Preuve. Soit

An,k(u, v, q) =An,k(q) n

k

q

.

En utilisant le Lemme 1,

An,k(u, v, q) =k∑

t=0


k

t

q

An−k+t,t(u, 1/v, q), (II.14)

puisque n

k

q

k

k − t

q

=

n − k + t

t

q

n

k − t

q

.

Quand c = −u2q2(n−k+1) et a = u/vqn−k+1 dans (II.12), on obtient

(−uvqn−k+1; q)k

(u2q2(n−k+1); q)k=

k∑

t=0


k

t

q

(−u/vqn−k+1; q)k

(u2q2(n−k+1); q)k.

Ainsi An,k(q) = (−uvqn−k+1;q)k

(q2(n−k+1);q)ksatisfait la recurrence (II.14).

Pour les partitions amphitheatre, on peut obtenir le meme genre de decomposition :

Ln,k(q) = q(k+12 )

k∑

t=0

q(n−k)tutvt

n − t

k − t

q

Ln,t(u, 1/v, q),

avec k ≥ 1 et Ln,0(u, v, q) = 1. On utilise l’autre identite q-Chu Vandermonde (II.13) et

l’on obtient (II.7). Le resultat (II.6) est une consequence directe car Ln,k =∑k

m=0 Ln,m.

II.3 Amphitheatre, planetarium et deuxieme identite de Gauss

Les resultats cites ici proviennent de [9]. Je commence par definir la deuxieme identitede Gauss [6], p. 526, eq. (1.8) (cf. [61], p. 355, eq. (II.11)) :

∞∑

n=0

(a)n(b)nq(n+1

2 )

(q)n(qab; q2)n=

(−q)∞(aq; q2)∞(bq; q2)∞(qab; q2)∞

. (II.15)

On obtient alors deux corollaires :

Corollaire 1.

N∑

n=0

(q−N )n(b)nq(n+1

2 )

(q)n(q1−Nb; q2)n=

0 si N est impair

b−ν(q;q2)ν

(q/b;q2)νsi N = 2ν.

14

II.3. AMPHITHEATRE, PLANETARIUM ET DEUXIEME IDENTITE DEGAUSS 15

Preuve. On fixe a = q−N dans (II.15) et on utilise l’identite d’Euler (−q)∞ = 1/(q; q2)∞.2

Corollaire 2.

N∑

n=0

(q−N )n(b)nqn

(q)n(q1−Nb; q2)n=

0 si N est impair

(q;q2)ν

(q/b;q2)νsi N = 2ν.

Preuve. Il suffit de remplacer q par 1/q et b par 1/b dans le corollaire 1 et de simplifier. 2

Soient Ln,k = Ln,k(1, 1, q) et An,k = An,k(1, 1, q). Dans cette partie, on montre les liensentre partitions amphitheatres et deuxieme identite de Gauss en utilisant une recurrenceLn,k et An,k.

Ln,k =∑

j≥1

(−1)j−1 qj

(q)j· 1 − qk(n−k+j)+(k−j+1

2 )

1 − q(n+1

2 )−(n−k+12 )

Ln,k−j . (II.16)

An,k =∑

j≥1

(−1)j−1

(q; q)j

q(j

2) − q(n+1

2 )−(n−k+12 )

1 − q(n+1

2 )−(n−k+12 )

An−j,k−j . (II.17)

Il n’est pas difficile de montrer combinatoirement ces recurrences. Par exemple, pourl’equation (II.16), il suffit de definir une involution qui change le signe sur ∪jBj avec

Bj = {(µ, λ) ∈ Pj × Ln,k−j | s(µ) < n − k + j + 1 or s(λ) ≤ n − k + j + 1},

ou s(λ) est la plus petite part de λ, Pj est l’ensemble des partitions avec j parts positiveset le signe d’un element de Bj est (−1)j . Les details sont donnes dans [9].

Dans [9], nous utilisons les deux corollaires precedents pour redemontrer les expressionsde Ln,k et An,k :

Ln,k = q(k+12 )

n

k

q

(−qn−k+1; q)k

(q2n−k+1; q)k=

q(k+12 )(q)2n−k

(q)k(q2; q2)n−k(q; q2)n,

et

An,k =

n

k

(−qn−k+1; q)k

(q2(n−k+1); q)k.

Nous donnons la preuve pour An,k(q). On sait que An,0(q) = 1 et que An,k(q) = 0 sin < 0 ou k < 0 ou k > n. Nous reecrivons tout d’abord la recurrence (II.17) sous la forme :

∑

j≥0

(−1)j

(q; q)j

q(j

2) − q(n+1

2 )−(n−k+12 )

1 − q(n+1

2 )−(n−k+12 )

An−j,k−j = 0.

15


Ainsi, n ≥ k ≥ 0,

∑

j≥0

(−1)jq(j

2)

(q; q)jAn−j,k−j = q(

n+12 )−(n−k+1

2 )∑

j≥0

(−1)jAn−j,k−j

(q; q)j. (II.18)

Par recurrence on montre que chaque cote est egal a :

0 si k est impair

qν(2n−2ν+1)

(q2;q2)ν(q2n−4ν+3;q2)νsi k = 2ν.

Commencons par le cote gauche :

∑

j≥0

(−1)jq(j

2)

(q; q)jAn−j,k−j

=k∑

j=0

(−1)jq(j

2)(q2; q2)n−j(q; q)2n−2k+1

(q; q)j(q; q)k−j(q2; q2)n−k(q; q)2n−k+1−j

=(q; q)2n−2k+1

(q; q)2n−k+1

n

k

q2

(−q; q)k

k∑

j=0

(q−k; q)j(q−2n+k−1; q)jq

(j+12 )

(q; q)j(q−2n; q2)j

=(q; q)2n−2k+1

(q; q)2n−k+1

n

k

q2

(−q; q)k

0 si k est impair

q(−ν)(−2n+2ν−1)(q;q2)ν

(q2n−2ν+2;q2)νsi k = 2ν

(par le corollaire 1)

=

0 si k est impair

qν(2n−2ν+1)

(q2;q2)ν(q2n−4ν+3;q2)νsi k = 2ν,

16

II.4. INTERPRETATIONS COMBINATOIRES 17

Pour le cote droit :

q(n+1

2 )−(n−k+12 )

∑

j≥0

(−1)jAn−j,k−j

(q; q)j

= qk(2n−k+1)/2k∑

j=0

(−1)j(q2; q2)n−j(q; q)2n−2k+1

(q; q)j(q; q)k−j(q2; q2)n−k(q; q)2n−k+1−j

=qk(2n−k+1)/2(q; q)2n−2k+1

(q; q)2n−k+1

n

k

q2

(−q; q)k

k∑

j=0

(q−k; q)j(q−2n+k−1; q)jq

j

(q; q)j(q−2n; q2)j

=qk(2n−k+1)/2(q; q)2n−2k+1

(q; q)2n−k+1

n

k

q2

(−q; q)k

0 si k esy impair

(q;q2)ν

(q2n−2ν+2;q2)νsi k = 2ν

(par le corollaire 2)

=

0 si k est impair

qν(2n−2ν+1)

(q2;q2)ν(q2n−4ν+3;q2)νsi k = 2ν,

Par contre, ce qui est plus difficile a comprendre et ce qui reste un probleme combinatoireouvert, c’est pourquoi quand k est impair,

Ln,k =∑

j≥1

(−1)j+1qj

(q; q)jLn−j,k−j ,

An,k =∑

j≥1

(−1)j+1q(j

2)

(q; q)jAn−j,k−j ,

et quand k est pair, k = 2ν,

Ln,k =∑

j≥1

(−1)j+1qj

(q; q)jLn−j,n−j +

(−1)νqν(2n−2ν+2)

(q2; q2)ν(q2n−2ν+1; q2)ν

et

An,k =∑

j≥1

(−1)j+1q(j

2)

(q; q)jAn−j,n−j +

qν(2n−2ν+1)

(q2; q2)ν(q2n−4ν+3; q2)ν.

II.4 Interpretations combinatoires

Une des choses interessantes sur les partitions amphitheatre est le fait que leur in-terpretation combinatoire est une version finie d’un des plus vieux resultats de la theorie

17


des partitions. Rappelons que le theoreme d’Euler dit que le nombre de partitions de N enparts distinctes est egal au nombre de partitions de N en parts impaires. Tous les resultatsde cette partie se demontrent par calcul de serie generatrice. Nous ne connaissons pas depreuve bijective.

Le theoreme amphitheatre implique le nombre de partitions de N dans Ln est egal aunombre de partitions de N en parts impaires inferieures a 2n. Quand n tend vers l’infini,les partitions dans Ln sont bien les partitions en parts distinctes. Donnons maintenantl’interpretation des partitions amphitheatres tronquees.

Caracterisation des partitions amphitheatres tronquees :

Proposition 1. [41] Pour n ≥ k ≥ 1, le nombre de partitions amphitheatres tronquees deN dans Ln,k est egal au nombre de partitions de N en parts impaires inferieures a 2n tellesque, au plus ⌊k/2⌋ parts peuvent etre choisies dans l’ensemble

{2⌈k/2⌉ + 1, 2⌈k/2⌉ + 3, . . . , 2(n − ⌊k/2⌋) − 1}.

Cette caracterisation peut-etre vue comme une version finie d’un raffinement du Theoremed’Euler qui dit que :

Raffinement 1. Le nombre de partitions de N en au plus k parts distinctes est egalau nombre de partitions de N en parts impaires telles que au plus ⌊k/2⌋ des parts sontsuperieures ou egales a 2⌈k/2⌉ + 1.

Rappelons que Ln,k est l’ensemble des partitions λ telles que :

λ1

n≥ . . . ≥ λk

n − k + 1> 0.

Proposition 2. [41] Le nombre de partitions amphitheatres tronquees N dans Ln,k estegal au nombre de partitions de N −⌈k/2⌉+ ⌊k/2⌋ en parts impaires inferieures a 2n tellesque au moins ⌊k/2⌋ parts viennent de l’ensemble

{2⌈k/2⌉ + 1, 2⌈k/2⌉ + 3, . . . , 2(n − ⌊k/2⌋) − 1}

et au plus ⌊k/2⌋ parts sont inferieures ou egales a 2(n − ⌊k/2⌋) − 1.

Cette caracterisation peut-etre vue comme une version finie d’un autre raffinement duTheoreme d’Euler qui dit que :

Raffinement 2. Le nombre de partitions de N en k parts distinctes est egal au nombre departitions de N−⌈k/2⌉+⌊k/2⌋ en parts impaires telles que ⌊k/2⌋ des parts sont superieuresou egales a 2⌈k/2⌉ + 1.

Ceci peut etre demontre facilement avec la bijection classique de Sylvester [88].

On peut obtenir le meme genre de resultats pour les compositions planetarium tronquees[41].

18

Chapitre III

Surpartitions

Dans ce chapitre, on va s’attaquer a une partie de mes travaux sur la combinatoiredes identites des series hypergeometriques basiques (ou q-series). J’utiliserai des notationsclassiques des q-series :

(a)∞ = (a; q)∞ :=∞∏

n=0

(1 − aqn);

(a)n = (a; q)n =(a; q)∞

(aqn; q)∞;

and

(a1, . . . , ak)n = (a1, . . . , ak; q)n =k∏

i=1

(ai; q)n.

Ces travaux ont commence a la fin de ma these quand en collaboration avec J. Lovejoy,nous avons cherche a extraire la combinatoire de la somme 1ψ1 de Ramanujan [33] :

∞∑

n=−∞

(a; q)n

(b; q)nzn =

(b/a; q)∞(q; q)∞(q/az; q)∞(az; q)∞(b; q)∞(b/az; q)∞(q/a; q)∞(z; q)∞

. (III.1)

Cela nous a conduit a definir les surpartitions [34].

Definition 1. Une surpartition est une suite d’entiers decroissante au sens large ou lapremiere occurrence d’un entier peut etre surlignee.

Comme pour les partitions, une surpartition λ = (λ1, . . . , λk) est dite surpartition de nsi |λ| =

∑ki=1 λi = n et on definit ℓ(λ) = k, le nombre de parts de λ et o(λ) le nombre de

parts surlignees de λ.Les surpartitions de 5 en 3 parts sont donc (3, 1, 1), (3, 1, 1), (3, 1, 1), (3, 1, 1), (2, 2, 1),

(2, 2, 1), (2, 2, 1), (2, 2, 1).

Parfois, on choisira de surligner la derniere occurrence d’une part, par exemple quandon choisit de colorer les coins du diagramme de Ferrers. Ces objets se sont averes tresinteressants a la fois pour leur combinatoire mais aussi pour leurs liens pour les q-series, la

19

20 CHAPITRE III. SURPARTITIONS

theorie des nombres, la physique mathematique et la combinatoire algebrique. Je parleraidans ce chapitre de l’aspect combinatoire et q-series et dans le suivant, de combinatoirealgebrique en definissant les surpartitions planes.

Dans les trois parties de ce chapitre, on utilisera la notion de partition de Frobeniusgeneralisee. Soit pA,B(n) le nombre de partitions de Frobenius generalisees, c’est a dire, lenombre de tableaux

a1 a2 ... am

b1 b2 ... bm

ou (a1, a2, . . . , am) est une partition de type A, (b1, b2, . . . , bm) est une partition de type Bet n =

∑(ai + bi + 1). Si D est l’ensemble des partitions en parts distinctes positives ou

nulles, Frobenius a observe quepD,D(n) = p(n) (III.2)

ou p(n) est le nombre de partitions de n. Dans la premiere partie, on verra que l’identiteq-Gauss correspond au cas pO,O(n) ou O est l’ensemble des surpartitions en parts positivesou nulles. Puis on verra d’autres cas dans la seconde partie.

III.1 Preuves bijectives

Dans cette partie, je donne une idee de la premiere preuve combinatoire [33] de l’identiteq-Gauss :

∑

n≥0

(−1/a,−1/b; q)n(abcq)n

(q, cq; q)n=

(−acq,−bcq; q)∞(cq, abcq; q)∞

. (III.3)

Depuis plusieurs preuves ont ete donnees (entre autres par Yee) et j’expliquerai ensuiterapidement comment cette interpretation combinatoire permet de donner une preuve tressimple par recurrence.

Le rang d’une surpartition est le nombre d’entiers x inferieurs a la plus grande partde la surpartition et qui n’apparaissent pas dans la surpartition. Soit O l’ensemble dessurpartitions en parts positives ou nulles. Soit fr,s(n, k) le nombre de partitions de Frobeniusgeneralisees qui sont comptees par pO,O(n) telles que k est le rang plus le nombre de partsde la surpartition de la premiere ligne, r est le nombre de parts non-surlignees dans lapremiere ligne et s le nombre de parts non-surlignees dans la deuxieme ligne. Quand on amanipule les surpartitions [34], on sait que :

∑

k,r,s,n

fr,s(n, k)ckarbsqn =∑

n≥0

(−1/a,−1/b; q)n(cabq)n

(q, cq; q)n.

Soit ℓ(α) le nombre de parts de α. Soit gr,s(n, k) le nombre de paires de surpartitions(α, β) telles que |α| + |β| = n, ℓ(β) + ℓ(α) = k, r = ℓ(β) et s = ℓ(β) − o(β) + o(α). Dememe,

∑

n,k,r,s

gr,s(n, k)ckarbs =(−acq,−bcq)∞

(cq, abcq)∞.

Pour montrer l’identite q-Gauss, il suffit alors montrer que :

20

III.1. PREUVES BIJECTIVES 21

Theoreme 2. Pour tout n, k, r, s ≥ 0, fr,s(n, k) = gr,s(n, k)

Demonstration. Etant donnee une partition de Frobenius generalisee qui est dans l’en-semble compte par fr,s(n, k) :

F =

a1 a2 ... am

b1 b2 ... bm

,

transformons F en c1 c2 ... cp

d1 d2 ... dp

en ajoutant un a chacun des bi, puis en ajoutant dans la premiere ligne tous les entierssurlignes x (inferieurs a a1) qui n’apparaissait pas dans cette ligne. On ajoute en memetemps −x dans la deuxieme ligne. Ensuite on trie la deuxieme ligne en mettant d’abord lesentiers surlignes en ordre croissant et les entiers non surlignes en ordre decroissant.Par exemple, si

F =

5 3 3 3 1 0

3 3 0 0 0 0

,

on obtient 5 4 3 3 3 2 1 1 0

−4 −2 −1 4 4 1 1 1 1

.

Ensuite, on cree α et β en inserant la part ci + di pour tout i dans α si di est surligneeet dans β sinon. De plus, ci + di est inseree surlignee si elle est inseree dans α et que ci estsurlignee ou elle est inseree dans β et que ci n’est pas surlignee.

Ainsi, l’exemple developpe precedemment donne α = (7, 2, 2, 1) et β = (7, 3, 2, 2, 1).Par construction, il est facile de voir que α et β sont des surpartitions, que |α|+ |β| = n,

r = ℓ(π2) et s = ℓ(π2) − o(π2) + o(π1). L’image est donc bien dans l’ensemble compte pargr,s(n, k). La bijection inverse est donnee dans [33].

On peut aussi donner une preuve combinatoire directe de (III.3) en interpretant com-binatoirement le membre droit et le membre gauche. Comme precedemment, le membredroit est la fonction generatrice des paires de surpartitions (λ, µ), ou l’exposant de c estℓ(λ) + ℓ(µ), l’exposant de a est le nombre de parts surlignees de λ plus le nombre de partsnon surlignees de µ, et l’exposant de b est le nombre de parts de µ.

On interprete le membre de gauche de la meme facon avec une restriction supplementairesur la variable de sommation. L’entier n est l’entier le plus grand tel que ℓ(µ) plus lenombre de parts surlignees de λ plus le nombre de parts superieures ou egales a n et nonsurlignees dans λ est au moins n. Alors on peut montrer par recurrence sur n que la fonctiongeneratrice de ces paires se met sous la forme :

Gn(a, b)cn

(cq; q)n,

21


avec si n > 0

Gn(a, b) =abq

1 − qn(1 + qn−1/a)(1 + qn−1/b)Gn−1(a, b);

et G0(a, b) = 1. On retrouve bien le terme dans la somme, c’est a dire :

Gn(a, b) =(−1/a,−1/b; q)n

(q; q)n(abq)n.

Voir [35] pour les details de la preuve.

Avec le meme genre d’arguments, on peut aussi donner une preuve combinatoire del’identite de q-Bailey [3] :

∑

n≥0

(−a,−q/a; q)nbnqn(n+1)/2

(bq; q)n(q2; q2)n=

(−abq,−bq2/a; q2)∞(bq; q)∞

. (III.4)

Cette preuve est donnee dans [35].Enfin dans [33, 27], on presente des manipulations analytiques ou combinatoires sur les

partitions de Frobenius generalisees, pour demontrer la somme 1ψ1 (III.1). Une preuve unpeu plus directe a ete donnee par A. J. Yee [104]. De nombreuses autres identites peuventetre montrees grace aux surpartitions. L’article [34] donne quelques exemples.

III.2 Partitions de Frobenius generalisees

Dans cette partie, j’explique quelques idees de l’article ecrit en collaboration avec J.Lovejoy et A. J. Yee [37] sur les partitions de Frobenius generalisees. En 1984, G. Andrewsa ecrit un memoire [4] sur les partitions de Frobenius generalisees ou la ligne du haut et dubas est une partition dans Dk ou Ck, l’ensemble des partitions ou les parts sont repeteesau plus k fois ou l’ensemble des partitions en parts distinctes avec k couleurs. Par exempleC1 = D1 = D et le resultat de Frobenius est que

∑

n≥0

PD,D(n)qn =1

(q)∞. (III.5)

Andrews a seulement trouve trois autres familles qui donnent une serie generatrice sousforme de produit infini :

∞∑

n≥0

PD2,D2(n)qn =(q2; q2)∞(−q3; q6)∞

(q)2∞(−q; q2)∞

∑

n≥0

PD3,D3(n)qn =(q6; q6)∞(q6; q12)∞(q2; q2)∞(q; q2)2∞

(q)3∞(q3; q6)∞

∞∑

n≥0

PC2,C2(n)qn =(−q; q2)2∞

(q)∞(q; q2)∞

22

III.2. PARTITIONS DE FROBENIUS GENERALISEES 23

Bien que plusieurs etudiants d’Andrews aient fait leur these sur ce sujet, il a falluattendre les surpartitions pour obtenir une infinite de familles dont la serie generatrice estun produit infini.

Par exemple, les resultats de la partie precedente donnent que :

∑

m,n≥0

PD,O(m, n)bmqn =(−bq; q)∞(q; q)∞

; (III.6)

et ∑

ℓ,m,n≥0

PO,O(ℓ, m, n)aℓbmqn =(−aq,−bq; q)∞

(q, abq; q)∞(III.7)

avec PD,O(m, n) le nombre d’objets comptes par PD,O(n) avec m parts non-surlignees dansla deuxieme ligne ; et PO,O(ℓ, m, n) le nombre d’objets comptes par PO,O(n) qui ont ℓ(resp. m) parts non-surlignees dans la premiere (resp. deuxieme) ligne. Remarquons quePD,O(m, n) = PO,O(0, m, n) et donc l’equation (III.7) implique l’equation (III.6).

Dans [37], on veut generaliser cela a des familles infinies. Soit Ok l’ensemble des sur-partitions ou les parts non surlignees sont repetees au plus k fois. Soit POk,Ok

(m, n) (resp.POk,O(m, n)) le nombre d’objets comptes par POk,Ok

(n) (resp. POk,O(n)) ou le nombre departs surlignees dans la premiere ligne moins le nombre de parts surlignees dans la deuxiemeligne est m. Alors

Theoreme 3. [37]

∑

m,n≥0

POk,Ok(m, n)bmqn =

(−bq,−q/b)∞(qk; qk)∞(q)2∞

(−bqk,−qk/b; qk)∞, (III.8)

∑

m,n≥0

POk,O(m, n)bmqn =(−bq,−q/b)∞(qk; qk)∞

(q)2∞(−qk/b; qk)∞, (III.9)

∑

n≥0

POk,O2k(n)qn =

(−q)2∞(qk; qk)∞(qk; q2k)2

(q)2∞(qk, q4k; q5k)∞. (III.10)

Notons que les trois familles d’Andrews sont des cas particuliers de ce theoreme. Dans[37], nous proposons quelques preuves bijectives pour des cas particuliers. La preuve ana-lytique repose sur un lemme simple, qui se demontre grace a la somme 1ψ1 de Ramanujan.Soit G(z, q) et H(q) deux series generatrices telles que

[z0](−bzq,−1/(bz); q)∞

(zq, 1/z; q)∞G(z, q) =

(−bq,−q/b; q)∞(q; q)2∞

H(q).

Lemme 2. Pour tout k ≥ 1,

[z0](−bzq,−1/(bz))∞

(zq, 1/z)∞G(zk, qk) =

(−bq,−q/b)∞(q)2∞

H(qk),

23


Demonstration. On substitue a = 1/b et z = bz dans la somme 1ψ1 de Ramanujan :

∞∑

n=−∞

(−1/a)n(azq)n

(−bq)n=

(q, abq,−zq,−1/z)∞(−bq,−aq, azq, b/z)∞

;

et l’on obtient : ∞∑

n=−∞

(1 + b)(zq)n

1 + bqn=

(q, q,−bzq,−1/(bz))∞(−bq,−q/b, zq, 1/z)∞

.

Ainsi H(q) = [z0]F (z, q)G(z, q) avec

F (z, q) =∞∑

n=−∞

(1 + b)qn

1 + bqnzn.

Soit An(q) = (1+b)qn

1+bqn zn. Comme Ank(q) = An(qk),

[z0]F (z, q)G(zk, qk) = H(qk)

et le resultat du lemme est demontre.

Soit A est un ensemble de partitions, soit PA(n, j) le nombre de partitions de l’ensembleA avec j parts. La serie generatrice des partitions de Frobenius comptees par PA,B(n) est

∑

n≥0

PA,B(n)qn = [z0]∑

n,j≥0

PA(n, j)qn+jzj ×∑

n,j≥0

PB(n, j)qnz−j .

Dans [37], on utilise le lemme precedent pour montrer que si le theoreme 3 est vrai pourk = 1 alors il est vrai pour tout k. Le cas k = 1 pour l’equation (III.8) est le resultat deFrobenius (III.5). Le cas k = 1 pour l’equation (III.9) est l’equation (III.6). Le cas k = 1pour l’equation (III.10) peut se demontrer facilement en prenant G(z, q) = (1/z, zq)∞ eten utilisant la premiere identite de Rogers Ramanujan presentee ci-dessous.

III.3 Surpartitions et identites de Rogers-Ramanujan

Les identites de Rogers Ramanujan s’ecrivent sous la forme

∑

n≥0

qn2

(q)n=

(q5, q2, q3; q5)∞(q)∞

∑

n≥0

qn2+n

(q)n=

(q5, q1, q4; q5)∞(q)∞

Elles ont ete demontrees par Rogers a la fin du XIXeme siecle et interpretees combinatoire-ment par MacMahon au debut du XXeme siecle. En 1961 Gordon a generalise ces identiteset a demontre le resultat suivant.

24

III.3. SURPARTITIONS ET IDENTITES DE ROGERS-RAMANUJAN 25

Theoreme 4. [64] Soit Bk,i(n) le nombre de partitions λ = (λ1, λ2, . . . , λs) de n, telles queλℓ − λℓ+k−1 ≥ 2 et au plus i− 1 parts sont egales a 1. Soit Ak,i(n) le nombre de partitionspartitions de n en parts non congrues a 0,±i modulo 2k + 1. Alors Ak,i(n) = Bk,i(n).

Les identites de Rogers Ramanujan correspondent aux cas k = 2 et i = 1 ou 2. Ceciest appele le cas impair car les parts ne sont pas congrues a 0,±i modulo 2k + 1. Nousparlerons dans la fin de cette partie du cas pair (parts non congrues a 0,±i modulo 2k)[19].

Dans cette partie, je vais presenter brievement des resultats obtenus avec Olivier Malletet Jeremy Lovejoy pour generaliser le resultat de Gordon et de nombreux resultats sur lespartitions. Le “cas impair” a ete elabore pendant le Master d’Olivier [38] et le “cas pair”pendant sa these [36]. Ces resultats ont apres ete generalises pour les paires de surpartitionspar Lovejoy et Mallet [80].

Nous definissons tout d’abord toutes les notions et statistiques en terme de surpartitions.Quand la surpartition n’a pas de parts surlignees, elle est une partition et l’on retrouve lesdefinitions des statistiques pour les partitions.

La multiplicite de la part j, notee fj , est le nombre d’occurrences de la part. Noussurlignons la multiplicite si la part apparait surlignee. Par exemple, la multiplicite de 4dans (6, 6, 5, 4, 4, 4, 3, 1) est f4 = 3. La suite des multiplicites est la suite (f1, f2, . . .). Enutilisant l’exemple precedent, on trouve (1, 0, 1, 3, 1, 2).

Comme dans la partie precedente, la representation de Frobenius pour les surpartitions[34, 79] de n est un tableau

a1 a2 · · · aN

b1 b2 · · · bN

ou (a1, . . . , aN ) est une partition en parts distinctes positives ou nulles et (b1, . . . , bN ) estune surpartition en parts positives ou nulles et N +

∑(ai + bi) = n. Dans [34], nous avons

propose une bijection entre les representation de Frobenius de n et les surpartitions den. Comme pour les partitions, la notion de rang se definit naturellement a partir de larepresentation de Frobenius.

Definition 2. Les rangs successifs de

a1 a2 · · · aN

b1 b2 · · · bN

sont la suite (r1, . . . , rN ), ou ri est ai − bi moins le nombre de parts non surlignees dans{bi+1, . . . , bN}.

Par exemple, les rangs successifs de

7 4 2 0

3 3 1 0

sont (2, 0, 1, 0).

25


Le carre de Durfee generalise d’une surpartition λ a pour taille N si N est l’entier leplus grand tel que le nombre de parts surlignees plus le nombre de parts non-surligneessuperieures ou egales a N est superieur ou egal a N . Voir la Figure III.1 pour un carre deDurfee generalise de taille 4.

Fig. III.1 – Le carre de Durfee generalise de λ = (7, 4, 3, 3, 2, 1) = (7, 3, 1, 4, 3, 2)

La taille du carre de Durfee generalise et le nombre de colonnes de la representation deFrobenius sont lies. Ainsi

Proposition 3. [38] Il existe une bijection entre les surpartitions de n dont la representationde Frobenius a N colonnes et dont la ligne du bas a j parts surlignees et les surpartitionsde n avec N − j parts surlignees et dont le carre de Durfee generalise a pour taille N .

Definition 3. Les carres de Durfee successifs d’une surpartition sont le carre de Durfeegeneralise suivi des carres de Durfee successifs de la partition situee sous le carre de Durfeegeneralise, si on represente le diagramme de la surpartition comme sur la Figure III.1,avec les parts surlignees au dessus des parts non surlignees. Nous pouvons definir de faconsimilaire les rectangles de Durfee en utilisant des rectangles d×(d+1) plutot que des carres.

Fig. III.2 – Carre et rectangle de Durfee successifs pour (6, 5, 5, 4, 4, 3, 2, 2, 2, 1).

Ainsi la serie des surpartitions avec i − 1 carres de Durfee suivis de k − i rectangles deDurfee est

∑

n1≥...≥nk−1≥0

q(n1+1

2 )+ni+...+nk−1 (−1/a)n1an1

(q)n1

×

qn2

2

n1

n2

q

qn2

3

n2

n3

q

· · ·

qn2

k−1

nk−2

nk−1

q

(III.11)

26


avec n

k

q

=(q)n

(q)k(q)n−k

Nous aurons aussi besoin de chemins du quart de plan. Ces chemins sont l’objet combi-natoire essentiel, car on sait calculer par recurrence leur serie generatrice et l’on sait faireune bijection entre ces chemins et les diverses familles de surpartitions [38]. L’idee d’utiliserdes chemins et de les relier aux identites de Rogers-Ramanujan est due a Burge [23, 24]. Ceschemins commencent sur l’axe des ordonnees, finissent sur l’axe des abscisses et utilisentquatre types de pas :

– Nord-Est NE : (x, y) → (x + 1, y + 1),– Sud-Est SE : (x, y) → (x + 1, y − 1), avec la condition y > 0 ;– Sud S : (x, y) → (x, y − 1), avec la condition y > 0 ;– Est E : (x, 0) → (x + 1, 0).

Les chemins restent positifs. La hauteur est l’ordonnee. Un pas Sud, ne peut apparaıtrequ’apres un pas Nord-Est et un pas Est ne peut apparaıtre qu’a la hauteur 0. Les cheminssont vides ou finissent par un pas Sud ou Sud-Est. Un pic est un pas Nord-Est suivi d’unpas Sud ou d’un pas Sud-Est. L’index majeur est la somme des abscisses des pics. Unexemple est donne sur la Figure III.3. L’indice majeur de ce chemin est 2 + 4 + 6 + 7 = 19.

Fig. III.3 – Un chemin de hauteur deux avec quatre pics

Avec ces nouvelles statistiques et ces chemins, nous pouvons etendre les resultats surles partitions d’entiers [8, 19, 23, 24].

Theoreme 5 (Theoreme impair). [38]– Soit Bk,i(n, j) le nombre de surpartitions λ = (λ1, λ2, . . . , λs) de n avec j parts sur-

lignees, et telles que λℓ − λℓ+k−1 ≥ 1 si λℓ+k−1 est surligne et λℓ − λℓ+k−1 ≥ 2 sinonet au plus i − 1 parts egales a 1

– Soit Ck,i(n, j) le nombre de representation de Frobenius des surpartitions de n avec jparts surlignees et dont les rangs successfis sont dans l’intervalle [−i + 2, 2k − i− 1].

– Soit Dk,i(n, j) le nombre de surpartitions avec i−1 carres de Durfee successifs suivisde k−i rectangles de Durfee successifs (le premier etant un carre/rectangle generalise)et j parts surlignees.

– Soit Ek,i(n, j) le nombre de chemins d’index majeur n avec j pas Sud qui commencenta hauteur k − i, dont la hauteur est inferieure a k.

27


Alors pour X = B, C, D, ou E,

X k,i(a, q) =∑

n,j≥0

Xk,i(n, j)ajqn =(−aq)∞(q)∞

∞∑

n=−∞(−1)nanqkn2+(k−i+1)n (−1/a)n

(−aq)n. (III.12)

Pour montrer que la serie generatrice est dans certains cas un produit infini, on doitutiliser l’identite du produit triple de Jacobi [61] :

(−1/z,−zq, q; q)∞ =

∞∑

n=−∞znq(

n+12 ) (III.13)

On obtient

Corollaire 3.

X k,i(0, q) =(qi, q2k+1−i, q2k+1; q2k+1)∞

(q)∞(III.14)

X k,i(1/q, q2) =(q2; q4)∞(q2i−1, q4k+1−2i, q4k; q4k)∞

(q)∞(III.15)

X k,i(1, q) =(−q)∞(q)∞

2(k−i)∑

j=0

(−1)j(qi+j , q2k−i−j , q2k; q2k)∞ (III.16)

X k,i(1/q, q) =(−q)∞(q)∞

((qi, q2k−i, q2k; q2k)∞

+(qi−1, q2k+1−i, q2k; q2k)∞) (III.17)

Dans ce resultat, nous englobons les resultats suivants sur les partitions et surpartitions :

– L’equation (III.14) correspond aux identites d’Andrews-Gordon [2].– L’equation (III.15) correspond a la generalisation due a Andrews des identites de

Gordon-Gollnitz [1, 8].– L’equation (III.16) avec i = k et (III.17) avec i = 1 sont les theoremes de Gordon

pour les surpartitions de Lovejoy [77].

Pour montrer les resultats lies a la multiplicite (c’est a dire calculer Bk,i(a, q)), nousutilisons les fonctions Jk,i(a; x; q) definies par Andrews [6, Ch. 7] :

Jk,i(a; x; q) = Hk,i(a; xq; q) + axqHk,i−1(a; xq; q), (III.18)

avec

Hk,i(a; x; q) =∑

n≥0

(−a)nqkn2+n−inxkn(1 − xiq2ni)(−1/a)n(−axqn+1)∞(q)n(xqn)∞

. (III.19)

28


Pour le cas pair, nous avons du introduire une nouvelle famille de fonctions [36], quenous avons appelees Jk,i(a; x; q). Elles sont definies par

Jk,i(a; x; q) = Hk,i(a; xq; q) + axqHk,i−1(a; xq; q), (III.20)

avec

Hk,i(a; x; q) =∑

n≥0

(−a)nqkn2−(n

2)+n−inx(k−1)n(1 − xiq2ni)(−x,−1/a)n(−axqn+1)∞(q2; q2)n(xqn)∞

.

(III.21)Etant donnee une surpartition λ, soit fℓ(λ) (resp.fℓ(λ)) le nombre d’occurrences (resp.

surlignees) non surlignees de ℓ dans λ. Soit Vλ(ℓ) le nombre de parts surlignees de λinferieures ou egales a ℓ. Ces notions permettent de comprendre la combinatoire des fonc-tions Jk,i(a; x; q) :

Theoreme 6. Pour 1 ≤ i ≤ k, soit ck,i(n, j, m) le nombre de surpartitions de n avec mparts et j parts surlignees telles que :

– f1(λ) ≤ i − 1– fℓ(λ) + fℓ+1(λ) − fℓ(λ) ≤ k − 1,– si fℓ(λ) + fℓ+1(λ) − fℓ(λ) = k − 1 alors ℓ(fℓ(λ) − fℓ(λ)) + (ℓ + 1)fℓ+1(λ) ≡ Vλ(ℓ)

(mod 2).Alors

Jk,i(a; x; q) =∑

j,m,n≥0

ck,i(n, j, m)qnajxm. (III.22)

Les fonctions Jk,i(a; 1; q) sont des produits infinis pour (a, q) = (0, q) et (1/q, q2), etpour (a, q) = (1/q, q) quand i = 1. Dans ces cas, ceci donne des identites sur les partitions.Par exemple, pour (a, q) = (0, q), le produit est

Jk,i(0; 1; q) =(qi, q2k−i, q2k; q2k)∞

(q)∞,

et nous retrouvons le resultat de Bressoud [19].Nous demontrons dans [36] des resultats dans la meme veine que pour le cas impair.

Soit ck,i(n, j) =∑

m ck,i(n, j, m).

Theoreme 7. [36]

– Soit Bk,i(n, j) le nombre de surpartitions λ de n comptes ck,i(j, n).

– Soit Ck,i(n, j) le nombre de surpartitions de n avec j parts surlignees et dont les rangssuccessfis sont dans l’intervalle [−i + 2, 2k − i − 2].

– Soit Dk,i(n, j) le nombre de surpartitions (k, i)-auto-conjuguees de n avec j partssurlignees.

29


– Soit Ek,i(n, j) le nombre de chemins d’index majeur n avec j pas Sud qui commencenta hauteur k − i, dont la hauteur est inferieure a k et dont les pics de coordonnees(x, k − 1) sont tels que x − u est congru a i − 1 modulo 2 (u est nombre de pas Suda gauche du pic).

Alors pour X = B, C, D, ou E,

∑

n,j≥0

Xk,i(n, j)ajqn =(−aq)∞(q)∞

∑

n∈Z

(−1/a)n(−1)nanq(2k−1)(n+12 )−in+n

(−aq)n. (III.23)

La notion de surpartitions (k, i)-auto-conjuguees etant un peu technique, je renvoie lelecteur vers [36]. Cette notion permet d’interpreter la serie :

q(n1+1

2 )+n22+···+n2

k−1+ni+···+nk−1(−1/a)n1an1

(q)n1−n2 . . . (q)nk−2−nk−1(q2; q2)nk−1

;

pour n1 ≥ n2 ≥ . . . ≥ nk−1 ≥ 0. Quand la partie droite de (III.23) est un produit infini, onobtient de jolis resultats combinatoires [36]. Comme pour le cas impair, en prenant j = 0,nous retrouvons les resultats sur les partitions [19, 23, 24].

III.4 Conclusion

Il reste de nombreuses questions ouvertes sur cette thematique : le lien avec les identitesde Rogers-Ramanujan finies, le lien avec les partitions dentelees et d’autres questions plusproche de la theorie des nombres. Je les presente dans l’Annexe E.

30

Chapitre IV

Surpartitions planes

IV.1 Introduction

Ce sujet est un sujet auquel j’ai commence a travailler en 2005 suite a une question deB. Gordon lors d’une conference a Gainesville. Cette question etait “Y a t il une definitionnaturelle pour les surpartitions planes ?”

Une partition plane est un tableau Π = (πi,j) tel que chaque ligne et chaque colonneest une partition. C’est une partition plane de n si |Π| =

∑i,j πi,j = n. La serie generatrice

de ces objets a ete calculee par Mac Mahon :

∑

Π

q|Π| =∏

i≥1

1

(1 − qi)i.

De nombreux raffinements existent et ont ete demontres au cours des annees. En particulier,la preuve due a Bender et Knuth [12] permet de donner une preuve combinatoire qui utilisel’algorithme de type Robinson-Schensted-Knuth et une bijection entre parts de tableauxstandards de meme forme et partitions planes.

Trouver un analogue naturel, c’etait pour moi trouver un objet qui generalise les par-titions planes et dont la serie est :

∏

i≥1

(1 + qi

1 − qi

)i

.

De facon inattendue, on trouve bien un objet naturel qui a cette serie generatrice, maisce n’est pas une generalisation des partitions planes. Cet objet est en bijection avec dessupertableaux lies aux representations des super algebres de Lie [13] et aux super fonctionsde Schur [75]. Nous avons etudie cet objet pendant le stage de Master de C. Savelief en 2007[89]. Nous avons rassemble nos resultats dans un article en collaboration avec M. Vuletic[26]. C’est en utilisant les fonctions de Hall-Littlewood, que l’on comprend pourquoi lessurpartitions planes sont bien le bon objet que l’on cherchait.

Une surpartition plane est une partition plane ou dans chaque ligne la derniere occur-rence d’un entier peut etre surlignee et dans chaque colonne la premiere occurrence d’un

31

32 CHAPITRE IV. SURPARTITIONS PLANES

entier peut etre surlignee ou non et toutes les autres sont surlignees. Par exemple,

4 4 4 3

4 3 3 3

4 3

3

est une surpartition plane de 38 avec 6 parts surlignees. La forme d’une (sur)partition planeΠ est une partition λ ou λi est le nombre d’entiers de la ligne i. Par exemple, la forme dela surpartition plane donnee precedemment est (4, 4, 2, 1).

Dans [26], nous donnons des raffinements de la serie generatrice des surpartitions planes.

Resultat 1. Une serie generatrice pour les surpartitions planes de forme fixee (Theoreme9)

Resultat 2. Une serie generatrice pour les surpartitions planes renversees inclues dans uneforme fixee (Theoreme 10)

Resultat 3. Une serie generatrice bivariee pour les surpartitions planes dont la plus grandeentree est bornee (Theoreme 11).

A la fin de ce chapitre, nous definirons les partitions planes cylindriques introduites parGessel et Krattenthaler [63]. Nous donnerons aussi une generalisation de la serie generatricedes partitions cylindriques de Borodin dans le meme esprit que la generalisation de laformule de MacMahon due a Vuletic [99] :

∑

Π est unepartition plane

AΠ(t)q|Π| =∞∏

n=1

(1 − tqn

1 − qn

)n

, (IV.1)

ou AΠ(t) est un polynome en t que je decris ci-dessous.

Soit une partition plane Π, on la decompose en composants (un ensemble connexe decases qui contiennent le meme nombre). Chaque composant est decompose en ruban etchaque ruban a un niveau, qui est la distance diagonale au bord du composant. On associea chaque ruban de niveau i le poids (1 − ti). Le poids de la partition plane est AΠ(t), leproduit des poids de ses rubans. Par exemple, la partition sur la figure IV.1 a pour poids(1 − t)t10(1 − t2)3(1 − t3)2.

Rappelons qu’une surpartition plane est une partition plane ou l’on peut surligner laderniere occurrence d’un entier dans chaque ligne et l’on surligne toutes les entrees dechaque colonne sauf peut etre la premiere occurrence d’un entier. Cette definition impliqueque les entrees decroissent strictement en diagonale. Ainsi une surpartition plane est telleque tous les composants sont tous des rubans de niveau 1. De plus, on peut facilement voirque pour chacun des rubans, on a le choix de surligner ou pas une seule des entrees (cellela plus au nord et la plus a l’est). Les surpartitions planes sont donc en bijection avec les

32

IV.2. SURPARTITIONS PLANES, CHEMINS ET RSK 33

levels

1

2

3

Fig. IV.1 – Poids d’une partition plane

partitions planes faites de rubans et ou chaque ruban peut etre colore par deux couleurs.Ceci revient a prendre t = −1 dans AΠ(t), car tous les rubans de niveau 1 recoivent le poids2 et tous les rubans de niveau 2 le poids zero. Par consequent, toutes les partitions planesΠ qui ont des rubans de niveau i > 1 sont telles que AΠ(−1) = 0. Ces partitions planes derubans colores ont ete etudies dans [57, 55, 99, 98].

Theoreme 8. [57, 99] La serie generatrice des surpartitions planes avec au plus r ligneset c colonnes est

r∏

i=1

c∏

j=1

1 + qi+j−1

1 − qi+j−1.

Ce resultat peut etre demontre en utilisant les fonctions de Schur P et Q [57, 99] ouun algorithme de type RSK du a Sagan [87]. Voir [99] pour une preuve complete. Dansce chapitre, nous commencons par enumerer les surpartitions planes par des techniquescombinatoires : chemins et algorithme RSK puis nous etudierons le lien entre partitions etsurpartitions planes grace aux fonctions de Hall Littlewood.

IV.2 Surpartitions planes, chemins et RSK

Nous utilisons la technique maintenant classique des chemins qui ne se coupent pas [62]pour obtenir les series generatices sous forme d’un determinant. Ensuite, nous evaluons cedeterminant par recurrence. Dans ce cas, on utilise des chemins qui utilisent trois types depas : Est, Nord-Est et Nord. Brenti [18] avait deja utilise cette technique pour avoir unedefinition combinatoire des fonctions super Schur. Par exemple, le chemin qui corresponda la surpartition (5, 5, 3, 3, 2) est sur la figure IV.2.

Les surpartitions de forme λ = (λ1, . . . , λk) dont les parts sont inferieures a n sont enbijection avec (p1, . . . , pk) les k-uplets de chemins qui ne se coupent pas tels que pi est unchemin de (0, i − 1) a (n, λi + i − 1). La Figure IV.3 montre l’ensemble des chemins qui

33


Fig. IV.2 – Chemins et surpartitions

correspondent a la surpartition plane de forme (5, 4, 3, 1) avec n = 8 :

7 4 3 2 2

3 3 3 2

3 2 2

2

.

Fig. IV.3 – Chemins qui ne se coupent pas

Soit S(λ) l’ensemble des surpartitions planes de forme λ. Soit o(Π) le nombre de partssurlignees de Π.

Theoreme 9. (Formule equerre-contenu)

∑

Π∈S(λ)

ao(Π)q|Π| = qP

i iλi

∏

(i,j)∈λ

1 + aqci,j

1 − qhi,j. (IV.2)

avec hi,j = λi − i+1+λ′j − j l’equerre de la case (i, j) et ci,j = j− i le contenu de la cellule

(i, j).

On peut aussi demontrer ce resultat en utilisant le jeu de Taquin. Ceci donne une bi-jection entre surpartitions planes et super tableaux semi-standards [75] de meme forme.Ceci se trouve dans le memoire de master de C. Savelief [89]. Notons aussi que si a = −qn,

34

IV.2. SURPARTITIONS PLANES, CHEMINS ET RSK 35

on retrouve la serie generatrice des tableaux semi-standards de forme donnee et dont lesentrees sont inferieures ou egales a n due a Stanley. Le jeu de taquin permet de definir uneinvolution sur les surpartitions planes ou les parts surlignees sont augmentees de n et ontun signe negatif. Les points fixes de l’involution sont les tableaux semi-standards.

Maintenant, on regarde des objets ”renverses”. On a maintenant des conditions decroissance en ligne et colonne. Les entiers strictement positifs peuvent etre surlignes ounon. Dans chaque ligne la derniere occurrence d’une part peut etre surlignee. Dans chaquecolonne toutes les occurrences d’un entier sont surlignees sauf peut etre la premiere. Ainsi

0 0 3 4 4 4

0 0 4 4

1 3

3 3

est une surpartition plane renversee de forme (6, 4, 2, 2). Gansner [60] a montre que lespartitions planes renversees de forme λ ont pour serie generatrice

∏

(i,j)∈λ

1

1 − qhi,j. (IV.3)

Comme precedemment, la forme λ = (λ1, . . . , λk) est telle que λi est le nombre d’entreesde la ligne i de la partition plane. Soit SR(λ) l’ensemble des surpartitions planes renverseesde forme λ. On peut calculer la serie generatrice de ces objets en utilisant de nouveau leschemins qui ne se coupent pas. Dans ce cas la les points de depart sont fixes par la forme λmais les points d’arrivee ne sont pas fixes. En utilisant les techniques de [93], il faut alorsevaluer un Pfaffien pour obtenir le resultat [26]. On obtient alors :

Theoreme 10. ∑

Π∈SR(λ)

q|Π| =∏

(i,j)∈λ

1 + qhi,j

1 − qhi,j.

Si λ est la partition a r lignes de taille c, on retrouve le Theoreme 8. Grace a cetteinterpretation des surpartitions planes par des chemins qui ne se coupent pas a trois typesde pas, on peut etablir une bijection avec des pavages de dominos du plan. Cette bijectionest proposee dans [26].

Nous donnons aussi une bijection entre certaines matrices et des paires de surpartitionsplanes de meme forme. Ceci demande une adaptation d’un algorithme de type Robinson-Schensted du a Berele et Remmel [13]. Nous montrons que la matrice est symetrique si etseulement si les surpartitions planes sont identiques [26]. Ceci nous permet de demontrerun resultat sur les surpartitions planes que l’on peut aussi montrer avec les fonctionssymetriques. Soit L(n) l’ensemble des surpartitions planes ou la plus grande entree estinferieure ou egale a n.

35


Theoreme 11.

∑

Π∈L(n)

ao(Π)q|Π| =

∏ni,j=1(1 + aqi+j)

∏ni=1

∏i−1j=0(1 − qi+j)(1 − aqi+j)

;

ou o(Π) est le nombre d’entrees surlignees de Π.

Ainsi si a = 0, on retrouve la serie generatrice des partitions planes strictes en colonnedont les entrees sont inferieures ou egales a n.

IV.3 (Sur)partitions planes et fonctions de Hall Littlewood

Dans [26], nous donnons une preuve presque combinatoire de la serie generatrice selonle poids des (sur)partitions planes P(r, c) avec au plus r lignes et c colonnes :

Theoreme 12. [99]∑

Π∈P(r,c)

AΠ(t)q|Π| =r∏

i=1

c∏

j=1

1 − tqi+j−1

1 − qi+j−1. (IV.4)

Rappelons que pour t = 0, on obtient la serie generatrice des partitions planes et quepour t = −1, on obtient la serie generatrice des surpartitions planes. J’essaye dans cememoire de donner les ingredients de la preuve.

Demonstration. Toute partition plane Π est en bijection avec une suite de partitions (π(1), π(2), . . .).Cette suite est telle que π(i) est la forme des entrees superieures ou egales a i dans Π.

Par exemple, la suite correspondant a Π =

4433

3332

1

, est ((4, 4, 1), (4, 4), (4, 3), (2)).

Une partition plane Π est stricte en colonne si Πi,j > Πi,j+1 pour tout i, j. Pour toutespartitions λ, µ, on dit que µ ⊆ λ si et seulement si µi ≤ λi pour tout i. Si µ ⊆ λ, ondefinit λ/µ comme etant les cases du diagramme de λ qui ne sont pas du diagramme de µ.Remarquons que Λ est une partitions plane stricte en colonne si et seulement si λ(i)/λ(i+1)

est une bande horizontale. Par bande horizontale, nous pensons a un diagramme qui a auplus une case par colonne.

Nous utilisons maintenant une bijection entre partitions planes Π et paires de partitionsplanes strictes en colonne et de meme forme (Σ, Λ) due a Bender et Knuth [12]. Soit(Σ, Λ) sont de meme forme λ. Les suites qui leur correspondent sont (σ(1), σ(2), . . .) et(λ(1), λ(2), . . .) avec σ(1) = λ(1) = λ.

Nous construisons Π diagonale par diagonale. Les entrees de la diagonale x sont Πi,j

avec i − j = x. Si x ≥ 0, alors les entrees de la diagonale x sont σ(x+1) et sinon λ(−x−1).Comme Λ et Σ sont de meme forme λ, les entrees de la diagonale principale (x = 0) sont

36

IV.3. (SUR)PARTITIONS PLANES ET FONCTIONS DE HALLLITTLEWOOD 37

σ(1) = λ(1) = λ.

Par exemple, si Σ =

4444

2221

111

dont la suite est ((4, 4, 3), (4, 3), (4), (4)) ; et Λ =

4433

3322

111

,

dont la suite est ((4, 4, 3), (4, 4), (4, 2), (2)), alors Π =

4444

443

443

22

.

Cette construction a les proprietes suivantes :

|Π| = |Σ| + |Λ| − |λ| ;

AΠ(t) =ϕΣ(t)ϕΛ(t)

bλ(t);

avec

bλ(t) =∏

i≥1

φmi(λ)(t); φr(t) =r∏

j=1

(1 − tj);

etφΛ(t) =

∏

i≥1

φλ(i)/λ(i+1)(t);

en sachant si θ = λ/µ est une bande horizontale,

φθ(t) =∏

i∈I

(1 − tmi(λ)),

ou mi(λ) est la multiplicite de i dans λ et I est l’ensemble des entiers tels que la iemecolonne de τ contient une case et la (i + 1)eme colonne de τ est vide. Ces notions sontdefinies (aussi de maniere aride) dans le livre de MacDonald [81], Chapitre III Paragraphes2 et 5.

L’exemple utilise ci-dessus donne :

φΣ(t) = (1 − t)2(1 − t2); φΛ(t) = (1 − t)3(1 − t2); bλ(t) = (1 − t)2(1 − t2);

et

AΠ(t) = (1 − t)3(1 − t2) =(1 − t)2(1 − t2)(1 − t)3(1 − t2)

(1 − t)2(1 − t2).

Nous rappelons maintenant la definition combinatoire des fonctions de Hall-LittlewoodQλ(x; t) (equation (5.11) du chapitre III de [81]) :

Qλ(x; t) =∑

Λ

φΛ(t)xΛ;

37


ou la somme est prise sur les partitions planes strictes en colonne de forme λ et xΛ =xα1

1 xα22 . . . avec αi le nombre d’entrees egales a i dans Λ.

La bijection precedente est telle que si les entrees de Λ sont inferieures ou egales a r etcelles de Σ inferieures ou egales a c, alors Π est dans P(r, c). Par consequent :

∑

Π∈P(r,c)

AΠ(t)q|Π| =∑

λ

Qλ(q, . . . , qr, 0, . . . ; t)Qλ(q0, . . . , qc−1, 0, . . . ; t)

bλ(t).

Il nous suffit maintenant l’equation (4.4) du Chapitre III de [81] :

∑

λ

Qλ(x; t)Qλ(y; t)

bλ(t)=

∏

i,j

1 − txiyj

1 − xiyj; (IV.5)

On obtient le resultat en specialisant xi = qi pour 1 ≤ i ≤ r et 0 sinon et yj = qj−1

pour 1 ≤ j ≤ c et 0 sinon.

IV.4 Partitions cylindriques et renversees

On peut aussi generaliser le resultat sur les surpartitions planes renversees (Theoreme10) au cas “Hall-Littlewood”. Pour cela, on utilise la version russe des diagrammes deFerrers (on fait une rotation du diagramme de 135 degres) et les suites entrelacees.

Une suite de partitions Λ = (λ1, . . . , λT ) est entrelacee si λi/λi+1 ou λi+1/λi est unebande horizontale. Soit A = (A1, . . . , AT−1) une suite de 0’s et de 1’s. Nous disons queΛ = (λ1, . . . , λT ) est une suite entrelacee de profil A si Ai = 1 (resp. Ai = 0) implique queλi/λi+1, (resp. λi+1/λi) est une bande horizontale.

Soit une partition λ, on definit son profil A(λ) comme le mot dans {0, 1}∗ obtenu quandon lit le le bord du diagramme de λ du Nord-Est vers le Sud-Est et l’on ecrit 0 si on faitun pas horizontal et 1 un pas vertical. On ajoute ensuite un 0 au debut et un 1 a la fin.Une partition plane renversee de forme λ est une suite Λ = (∅, λ1, . . . , λT , ∅) de profil A(λ)ou λis sont les diagonales de la partition plane.

Par exemple, si l’on choisit la forme (4, 3, 2, 2), son profil est (0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1). Lapartition plane renversee

0 1 4 4

1 2 4

2 2

2 2

On obtient son diagramme ”russe” en faisant une rotation de 135 degres et en oubliant les

38

IV.4. PARTITIONS CYLINDRIQUES ET RENVERSEES 39

entrees egales a zero :

2

4 4 2 2

4 2 2

1 1

La suite entrelacee correspondante est (∅, (4), (4), (4, 1), (2), (2, 1), (2, 2), (2), ∅). On l’obtienten lisant les colonnes du haut vers le bas et de la gauche vers la droite.

La notion de composant, de ruban et de niveau se generalise naturellement (on ne prenden compte que les entrees positives). On donne le poids (1− ti) a chaque ruban de niveau i.Le poids de la partition plane renversee est le produit des poids des rubans. Sur l’exemple,on obtient le polynome AΛ(t) = (1 − t)4(1 − t2).

Soit Skew(T, A) l’ensemble des partitions Λ = (∅, λ1, . . . , λT , ∅) de profil A = (A0, A1, . . . , AT−1, AT ),avec A0 = 0 et AT = 1.

Theoreme 13. ∑

Π∈Skew(T,A)

AΠ(t)q|Π| =∏

0≤i<j≤TAi=0, Aj=1

1 − tqj−i

1 − qj−i.

On peut facilement voir que pour toute partition λ dont le profil est A, on a

∏

0≤i<j≤TAi=0, Aj=1

1 − tqj−i

1 − qj−i=

∏

(i,j)∈λ

1 − tqhi,j

1 − qhi,j.

Le theoreme de Gansner (equation (IV.3)) est donc le cas t = 0 et le theoreme 10 est le cast = −1. Si on prend le profil A = (0, . . . , 0, 1, . . . , 1), on obtient le resultat de (IV.1).

Une partition cylindrique est une suite entrelacee Λ = (λ0, λ1, . . . , λT ), ou λ0 = λT , etT est la periode de Λ. Pour une partition cylindrique Π on etend la notion de composantsen placant la partition sur un cylindre. Ainsi on definit

AcylΠ (t) =

∏

i≥1

(1 − ti)ncyli ,

ou ncyli est le nombre de composants de bord cylindriques de niveau i. Soit Cyl(T, A)l’ensemble des partitions cylindriques de periode T de profil A. Nous montrons dans [26]que

Theoreme 14.

∑

Π∈Cyl(T,A)

AcylΠ (t)q|Π| =

∞∏

n=1

1

1 − qnT

∏

1≤i,j≤TAi=0, Aj=1

1 − tq(j−i)(T )+(n−1)T

1 − q(j−i)(T )+(n−1)T,

avec i(T ) le plus petit entier tel que i ≡ i(T ) mod T .

39


Le cas t = 0 est le resultat de Borodin [14] pour les partitions cylindriques. Ces objetsont ete introduits par Gessel et Krattenthaler [63]. D’apres C. Krattenthaler, le resultat deBorodin pourrait etre demontre en utilisant le theoreme 5 de [63] et l’extension SU(r) dela somme 6ψ6 de Bailey due a Gustafson (equation (7.9) de [63])). En utilisant les memestechniques, on pourrait aussi generaliser ces resultats en utilisant les polynomes de MacDonald plutot que les fonctions de Hall-Littlewood. Ceci a ete fait par Vuletic pour lespartitions planes et par Okada [84] pour les partitions planes renversees inclues dans uneforme. On pourrait aussi obtenir la serie generatrice de “traces” comme Gansner et Okada.Dans cette serie, on utilise une variable differente pour chaque diagonale. Le fait que cesseries generatrices de trace soient elegantes montrent qu’il doit exister de jolies preuvesconstructives de ces resultats.

IV.5 Conclusion

On obtient donc plusieurs resultats sur les surpartitions planes en utilisant a la fois desmethodes d’enumeration de chemins, des algorithmes RSK et les fonctions symetriques.Grace a toutes ces techniques, on peut obtenir la serie generatrice des surpartitions planesavec au plus r lignes et c colonnes. Neanmoins les fonctions symetriques (Hall Littlewood)donnent beaucoup plus d’informations car elles permettent d’obtenir un resultat generalqui englobe partitions planes et surpartitions planes. Par contre l’algorithme RSK permetd’obtenir la serie des surpartitions planes dont les entrees sont inferieures ou egales a n. Denombreuses questions sont encore a explorer. Par exemple, peut on faire une theorie deschemins qui ne se coupent pas en ajoutant une interaction avec les chemins pour obtenircombinatoirement les resultats provenant de Hall Littlewood ? Peut on calculer la seriedes surpartitions planes contenues dans une boite, meme si l’on sait que ce n’est pas unproduit ? D’autres questions se trouvent dans l’Annexe E.

40

Chapitre V

Tableaux de permutation etalternatifs

Dans ce chapitre, je vais parler de la combinatoire des tableaux de permutation etdes tableaux alternatifs. Les premiers sont issus du doctorat de L. Williams [101] a partirdes travaux de A. Postnikov [85] sur la decomposition en cellules de la partie positive ounulle de la Grassmanienne Gr+n,k. Je ne parlerai pas de ces aspects geometriques. L’articlefleuve d’A. Postnikov sur arxiv [85] et les articles de K. Talaska [94] sont particulierementinteressants.

Ce qui est plus etonnant, c’est que ces memes tableaux sont lies a un modele de physiquestatistique : le processus d’exclusion partiel asymetrique ou PASEP [51]. Ce modele dephysique statistique regorge de jolie combinatoire et a donne lieu a differents travaux deShapiro et Zeilberger [90], Duchi et Schaeffer [52], Josuat-Verges [72], Viennot [97] et ausside L. Williams et moi-meme [49, 48, 46, 47].

V.1 Definition et combinatoire des tableaux

Definition 4. [101] Un tableau de permutation est un diagramme de Ferrers d’une partition(qui peut avoir des lignes vides) rempli de 0 et de 1 avec les conditions suivantes :

– Il existe au moins un 1 dans chaque colonne– Il n’existe pas de 0 qui ont un 1 au dessus dans la meme colonne et un 1 a gauche

dans la meme ligne.

Si le diagramme peut aussi avoir des colonnes vides et l’on enleve la premiere condition,alors on retrouve les ”Le”-diagrammes de Postnikov [85].

Sur la figure V.1 le tableau de gauche est un tableau de permutation. Mais celui dedroite n’en est pas un. Un autre exemple est donne sur la gauche de la figure V.2.

Definition 5. [83, 97] Un tableau alternatif est un diagramme de Ferrers d’une partition(avec la possibilite de lignes ET de colonnes vides) partiellement rempli de ← et de ↑ avecles conditions suivantes :

– Il n’y a rien a gauche de ←

41

42 CHAPITRE V. TABLEAUX DE PERMUTATION ET ALTERNATIFS

1

0 0 0

0 1 1 1 1

0 0 1 0 1

0 0 1 0 0 1 1

1

0 0 0

0 1 0 1 1

0 0 0 0 1

0 0 1 0 0 1 1

Fig. V.1 – Exemples de tableaux remplis de zeros et de uns

– Il n’y a rien au dessus de ↑

Un exemple est donne sur la droite de la figure V.2.

1 1

1

1

1

00

0

0

0

0

0

00 0

1 1

↑ ↑←

↑

↑

↑←

Fig. V.2 – Tableaux de permutation et alternatif

La taille d’un tableau est egale a la taille du chemin du bord du tableau, c’est a dire aunombre de lignes plus le nombre de colonnes. Le type d’un tableau T est type(T ) le motdans {0, 1}∗ qui lit le bord du tableau en allant du haut vers le bas et de la droite vers lagauche et qui inscrit 0 si le pas est horizontal ou 1 si le pas est vertical. Ainsi les types destableaux de taille n avec k lignes sont les mots dans {0.1}n avec k uns.

La definition des tableaux alternatifs a quelque chose de plus elegant car elle estsymetrique. Par exemple, si on echange les lignes et les colonnes les ← deviennent des↑ et inversement. Ainsi, on demontre que les tableaux alternatifs de type (τ1, . . . , τn) sonten bijection avec tableaux alternatifs de type (1 − τn, . . . , 1 − τ1).

On va maintenant montrer que ces deux familles d’objets sont en bijection.

Lemme 3. Il existe une bijection entre les tableaux alternatifs de taille n et les tableauxalternatifs de taille n + 1 avec exactement une fleche ↑ dans chaque colonne.

Preuve. Etant donne un tableau alternatif de taille n avec k colonnes, on lui rajoute uneligne de taille k que l’on insere le plus au nord possible. On rajoute dans la jeme case decette ligne une ↑ s’il n’existe pas de ↑ dans la jeme colonne. Un exemple est illustre sur lapartie gauche de la figure V.3.

Lemme 4. Il existe une bijection entre les tableaux alternatifs de taille n et les tableauxde permutation de taille n + 1.

Preuve. Etant donne un tableau alternatif de taille n, on le transforme tout d’abord entableau alternatifs de taille n+1 avec exactement une fleche ↑ dans chaque colonne. Ensuite,on remplit toutes les cases vides par des zeros si elles sont au dessus de ↑ OU a gauche de

42

V.1. DEFINITION ET COMBINATOIRE DES TABLEAUX 43

↑

←↑

←↔

↑ ↑←

↑

↑

↑←

↔

1 1

1

1

1

00

0

0

0

0

0

00 0

1 1

Fig. V.3 – Bijection entre tableaux alternatifs et tableaux de permutation

← et par des uns sinon. Enfin, on change les ↑ en 1 et les ← en zero. L’inverse est aussisimple. Voir la figure V.3 pour un exemple.

Nous presentons maintenant une bijection entre tableaux de permutation et permuta-tions. Cette bijection est due a Philippe Nadeau et moi [39]. Nous l’avons definie en termesde tableaux de permutation, mais finalement elle est plus simple sur les tableaux alterna-tifs. Elle est equivalente a la bijection de Viennot [97] (par equivalente, je veux dire a destransformations elementaires pres). Il existe d’autres bijections entre tableaux et permuta-tion dues a Steingrımsson et Williams [92], Burstein [25], Corteel et Nadeau [39], Nadeau[83]. . .

↑ ↑←

↑

↑

↑←

1

234

56789

10

Fig. V.4 – Tableau alternatif etiquete

Je vais expliquer rapidement la bijection entre tableaux alternatifs de taille n et permu-tations de {1, . . . , n+1}. On peut aussi etendre cette bijection aux tableaux de permutationde type B [30].

Etant donne un tableau alternatif de taille n, on le transforme tout d’abord en tableaualternatif de taille n + 1 avec une fleche ↑ dans chaque colonne.

On etiquette le bord du tableau de 1 a n + 1 en allant du haut en bas et de la droitevers la gauche. Voir l’exemple sur la figure V.4. On initialise la permutation comme etant lapermutation vide. On lit alors les lignes de haut en bas. Si la ligne etiquetee par i contientune fleche ← dans la colonne etiquetee par j, on insere i juste a gauche de j dans lapermutation, sinon on insere i a droite des entrees de la permutation. Si la ligne i contientdes fleches ↑ dans les colonnes etiquetees par i1, . . . ik alors on insere {i1, . . . , ik} en ordredecroissant juste a gauche de i.

On obtient alors une permutation σ de {1, . . . , n + 1} telle que σi > σi+1 avec σi = k siet seulement si k est l’etiquette d’une colonne. On remarque aussi que les DG-min (minimade droite a gauche i.e. {j | σi > σj ∀j > i}) sont en correspondance avec les lignes qui necontiennent pas de ←. Enfin on remarque que les DR-max (maxima de droite a gauche) agauche de 1 (i.e. {j | σi < σj ∀j > i > k, σk = 1}) sont en correspondance avec les colonnes

43


qui ont une ↑ dans la premiere ligne. On sait que ces deux statistiques sont comptees par lesnombres de Stirling de premiere espece. On peut montrer facilement que c’est une bijection[39].

Par exemple, pour le tableau sur la figure V.4, on obtient σ = (), σ = (9, 8, 3, 1), σ =(9, 8, 2, 3, 1), σ = (9, 8, 2, 3, 1, 5, 4), σ = (9, 7, 6, 8, 2, 3, 1, 5, 4), σ = (9, 7, 6, 8, 2, 3, 1, 5, 4, 10).On voit que les entiers k tels que σi = k et σi > σi+1 sont bien {3, 5, 7, 8, 9}.

Soit T un tableau alternatif de taille n. Soit r(T ) le nombre de lignes qui n’ont pas de← et c(T ) le nombre de colonnes qui n’ont pas de ↑. On peut montrer par recurrence oupar un argument bijectif que

∑

Txr(T )yc(T ) =

n−1∏

i=0

(x + y + i)

Voir [39, 83]. On trouve ainsi le lien avec les nombres de Stirling de premiere espece. Denombreuses autres statistiques peuvent etre suivies par l’une ou l’autre de ces bijections.Par exemple, la bijection ci-dessus envoie les colonnes du tableau vers les descentes de lapermutation. La bijection la plus satisfaisante est celle de [92] car elle permet de comprendrea quoi correspondent les 1 des tableaux. On savait que cette statistique est importante cardans le monde des Grassmanniennes, elle correspond a la dimension de la cellule et on verradans la partie suivante que cette statistique est liee au modele du PASEP.

V.2 Lien avec le PASEP

V.2.1 Definition du PASEP

Nous utilisons la definition du PASEP comme une chaine de Markov sur les mots de{◦, •}n [51].

Definition 6. Soit Bn l’ensemble des mots de taille n dans {◦, •}∗. Les transitions de lachaıne PASEP sont :

– Si X = A • ◦B et Y = A ◦ •B alors PX,Y = 1n+1 et PY,X = q

n+1 (saut vers la droiteou la gauche).

– Si X = ◦B et Y = •B alors PX,Y = αn+1 (entree d’une particule).

– Si X = B• et Y = B◦ alors PX,Y = βn+1 (sortie d’une particule).

– Sinon PX,Y = 0 pour Y 6= X et PX,X = 1 − ∑X 6=Y PX,Y .

Sur la Figure V.5, on peut voir la chaine pour n = 2.

La distribution stationnaire de cette chaine est unique et l’on peut calculer la probabilitePn(τ) d’etre dans un etat τ = (τ1, τ2, . . . , τn) [51].

On note gn(τ1, . . . , τn) le (plus petit) polynome a coefficients positifs ou nuls en α, β, qtel que

Pn(τ1, . . . , τn) = gn(τ1, . . . , τn)/Zn,

avec Zn la fonction de partition egale a∑

τ∈{0,1}n gn(τ).

44

V.2. LIEN AVEC LE PASEP 45

1/3q/3

α/3 β/3

α/3β/3

Fig. V.5 – La chaine PASEP pour n = 2

Theoreme 15 (Matrix Ansatz [51]).

gn(τ1, . . . , τn) = 〈W |n∏

i=1

(τiD + (1 − τi)E)|V 〉

Zn = 〈W |(D + E)n|V 〉

avec D, E matrices infinies, 〈W | et |V 〉 vecteurs ligne et colonne infinis tels que

DE = qED + D + E

α〈W |E = 〈W |βD|V 〉 = |V 〉

Remarque. Il existe une symetrie naturelle sur le PASEP qui s’appelle la symetrie particule-trou [51]. Puisque les particules noires entrent par la gauche et sortent par la droite, ceciest equivalent au fait que les particules blanches sortent par la gauche et entrent par ladroite. Soit (τ1, . . . , τn) = (1 − τn, 1 − τn−1, . . . , 1 − τ1), alors

gq,α,βn (τ) = gq,β,α

n (τ).

V.2.2 Distribution stationnaire et tableaux

Dans la suite on va associer un monome wt(T ) a chaque tableau de permutation outableau alternatif. Ce monome est tel que si U est l’image de T par la bijection entretableaux alternatifs et tableaux de permutation alors wt(U) = wt(T ).

Pour un tableau alternatif T , soit

– r(T ) le nombre de lignes qui n’ont pas de ←,– c(T ) le nombre de colonnes qui n’ont pas de ↑, et– w(T ) le nombre de cases qui n’ont pas de ← a leur droite et de ↑ en dessous.

Pour un tableau de permutation T , soit

– r(T ) + 1 le nombre de lignes qui n’ont pas de zeros qui ont un un au dessus,– c(T ) le nombre de colonnes qui ont un 1 dans la premiere ligne, et– w(T ) le nombre de 1 moins le nombre de colonnes.

45


On definit wt(T ) = β−r(T )α−c(T )qw(T ).

Par exemple les tableaux de la figure V.2 ont pour poids α−2β−3q2.

Il y a plusieurs facons de montrer le lien avec la distribution stationnaire du PASEPet les tableaux de permutation et/ou tableaux alternatifs. La premiere facon a ete dedonner des matrices D, E et vecteurs 〈W | et |V 〉 qui satisfont le matrix Ansatz et aussi ladecomposition recursive des tableaux. Ceci a ete propose par Lauren et moi dans [49]. Uneautre facon plus simple reprend des idees de Postnikov [85] et la these de Lauren [101]. Oncode le bord du tableau de type τ = (τ1, . . . , taun) par un mot de {D, E}n tel que la iemelettre du mot est D si τi = 1 et E sinon. On ecrit une recurrence pour les tableaux d’uneforme donnee en regardant ce qu’il y a dans un coin du tableau (code par DE)

– Un 1 qui a un 1 au dessus et l’on peut retirer le coin correspondant (qED) ;– Un 1 avec que des zeros au dessus et l’on peut retirer la colonne correspondante (D) ;

et obtenir un tableau avec une colonne en moins.– Un 0 et l’on peut enlever la ligne correspondante et obtenir un tableau avec une ligne

en moins (E).

On obtient alors

DE = qED + D + E.

Cette idee est illustree sur la figure V.6. Comme on peut retirer la colonne la plus a droitesi elle est de taille 1 et la ligne la plus en bas, si elle est de taille 0, cela donne

α〈W |E =< W ; βD|V 〉 = |V 〉.

Comme toutes les formes de tableau sont possibles, on obtient que la serie generatrice destableaux de permutation de taille n est 〈W |(D+E)n−1|V 〉. On peut lier differents tableauxet Matrix Ansatz. Ceci est developpe dans la these de M. Josuat-Verges [72] et dans l’article[29].

DE = qED +D +E

Fig. V.6 – Tableaux et Matrix Ansatz

Cette idee a ete vulgarisee par X. Viennot [97] et a donne lieu a la definition des ta-bleaux alternatifs.

Une autre facon de montrer cela est de definir une chaine de Markov directement surles tableaux. Nous definissons la chaine de Markov TA(n) sur les tableaux alternatifs detaille n. Cette chaine est definie dans l’article [48] sur les tableaux de permutation de taillen + 1. J’utilise ici la bijection entre tableaux alternatifs et tableaux de permutation pourproposer une version plus naturelle.

46


Il existe quatre types de transition dans la chaine TA(n) qui correspondent aux quatretypes de transition dans le PASEP. Les transitions dans la chaine TA(n) sont definies detelle maniere que s’il existe une transition de S a T dans TA(n) alors probTA(n)(S → T ) :=probPASEP (type(S) → type(T )).

Premier type : une particule entre par la gauche. Si une particule peut entrer, lacolonne la plus a droite est de taille 0. On supprime alors cette colonne. Si le tableau a jcolonnes, on rajoute une ligne de j cases avec une fleche ← dans la jieme case et on inserecette ligne le plus au sud possible. On definit prob(S → T ) = α

n+1 . Un exemple est presentesur la figure V.7.

←

←←

↑→

←

←

←

←

↑

Fig. V.7 – Entree d’une particule

Deuxieme type : une particule saute vers la droite.

Soit une ligne du tableau telle que

– la ligne est la derniere ligne du tableau ou– la ligne suivante a moins de cases.

Supposons que cette ligne a j cases : On a alors trois cas :

– Si la ligne contient une fleche ← dans la jieme case, on la supprime et on rajouteune ligne de j − 1 cases avec une fleche ← dans la (j − 1)ieme case et on insere cetteligne le plus au sud possible. (Si j = 1, on insere une ligne vide).

– Si la ligne contient une fleche ↑ dans la jieme case, alors on supprime la colonne quicontient cette fleche et si la colonne a k cases, on rajoute une colonne de taille k − 1et on l’insere le plus a l’est possible. Si k > 1, on insere une fleche ↑ en bas de cettecolonne.

– Si la ligne ne contient rien dans la jieme case, on supprime cette case.

On definit prob(S → T ) = 1n+1 . Un exemple pour chacun des cas est presente sur la figure

V.8.

Troisieme type : une particule sort par la droite. Si une particule peut sortir par ladroite, la ligne la plus au Sud est de taille 0. On supprime alors cette ligne. Si le tableau aj lignes, on rajoute une colonne de j cases avec une fleche ↑ dans la jeme case et on inserecette colonne le plus a droite possible. On definit prob(S → T ) = β

n+1 . Voir l’exemple surla Figure V.9.

Quatrieme type : une particule saute vers la gauche. Dans ce cas, il existe une lignetelle que la ligne precedente a moins de cases qu’elle meme. Alors on ajoute une case a

47


←

←

←

←

↑ →←

←←

←↑

←

←←

↑→

←

←←

↑

←

←←

↑

→

←

←←

↑

Fig. V.8 – Saut vers la droite

←

←

←

←

↑

→

←

←

←

←

↑↑

Fig. V.9 – Sortie d’une particule

48


cette ligne. On definit prob(S → T ) = qn+1 . Voir l’exemple sur la Figure V.10.

←

←←

↑

→

←

←←

↑

Fig. V.10 – Saut vers la gauche

Le resultat demontre dans [48] est que

Theoreme 16. Soit TA(n) la chaine sur les tableaux alternatifs de taille n et T un tableaualternatif de cette chaine. Alors la probabilite que la chaine soit dans le tableau T est

wt(T )

Zn,

avec Zn =∑

S wt(S) ou la somme est sur tous les tableaux alternatifs de taille n.

SoitZτ =

∑

T de type τ

wt(T ).

On obtient ainsi directement le corollaire suivant :

Corollaire 4. La fonction de partition du PASEP avec n sites est Zn =∑

S wt(S) oula somme est sur tous les tableaux alternatifs de taille n ; et la probabilite que la chainePASEP soit dans la configuration τ est

Pn(τ) =Zτ

Zn.

Remarque. La conjugaison des tableaux alternatifs donne une preuve directe de la symetrieparticule-trou.

Nous verrons dans le chapitre suivant une generalisation de ces tableaux : les tableauxescaliers et leur lien avec le PASEP et les moments de la fonction de poids des polynomesd’Askey-Wilson.

49


50

Chapitre VI

Tableaux escalier

Dans ce chapitre, nous allons definir des nouveaux objets [46, 47] et qui sont unegeneralisation des tableaux alternatifs du chapitre precedent. Nous allons montrer le lienavec le PASEP generalise et les moments de la fonction de poids des polynomes d’AskeyWilson [10]. Ceci est un travail en collaboration avec Lauren Williams et Dennis Stanton[45].

Dans tout ce chapitre, on considere des diagrammes de Ferrers de forme (n, n−1, . . . , 2, 1)et on appelle ieme case de la diagonale, la case la plus a droite de la ligne i.

Definition 7. [46] Un tableau escalier de taille n est un diagramme de Ferrers de forme(n, n−1, . . . , 2, 1) tel que les cases sont vides ou remplies par α, β, γ, ou δ, avec les conditionssuivantes :

– les cases de la diagonale ne sont pas vides ;– toutes les cases a gauche et dans la meme ligne qu’un β ou un δ sont vides ;– toutes les cases au dessus et dans la meme colonne qu’un α ou un γ sont vides.

Le type d’un tableau escalier est un mot de {◦, •}n obtenu en lisant les cases de la diagonaleen allant du nord-est vers le sud-ouest et en ecrivant • pour tout α ou δ et ◦ pour tout βou γ.

γβ

δα

δ

γγ

δ

ααβ

◦◦

••

•◦

◦

Fig. VI.1 – Un tableau escalier de taille 7 et son type

Un exemple est donne sur la figure VI.1. Le type de ce tableau est ◦ ◦ • • • ◦ ◦. Nousassocions a chaque tableau un poids qui est un monome en α, β, γ, δ, u et q de degre total(n+1

2

). Par consequent, on peut choisir u = 1 sans perdre de generalite.

51

52 CHAPITRE VI. TABLEAUX ESCALIER

γβ

δα

δ

γγ

δ

ααβu u u q

q u u uq q q qq uq qu

Fig. VI.2 – Poids d’un tableau escalier

Definition 8. Le poids wt(T ) d’un tableau escalier T est obtenu en remplissant toutes lescases vides du diagramme par un q ou un u et en multipliant toutes les etiquettes. Chaquecase vide de T est etiquetee par q u et le choix depend de l’etiquette de la case (α, β, γ ouδ) la plus proche a sa droite dans la meme ligne et en dessous dans la meme colonne.

– Toute case vide qui voit un β a sa droite recoit u ;– Toute case vide qui voit un δ a sa droite recoit q ;– Toute case vide qui voit un α ou γ a sa droite et un α ou δ en dessous recoit u ;– Toute case vide qui voit un α ou γ a sa droite et un β ou γ en dessous recoit q.

Le poids du tableau T de la figure VI.2 est donc est wt(T ) = α3β2γ3δ3q9u8.

α

αu δ

α

q

δ

δq

δ

αu

δ

αδ

δ

αγ

δ

αβ

δ

αα

Fig. VI.3 – Tableaux de type ••

Les tableaux escaliers de type •• sont sur la figure VI.3.

Remarque. Les tableaux escaliers de taille n sans γ et δ sont en bijection avec les tableauxalternatifs de taille n (definis dans le chapitre precedent). Pour trouver le tableau alternatifcorrespondant, on lit la diagonale du nord-est vers le sud-ouest. Quand on lit un α, onsupprime la colonne qui contient α et quand on lit un β, on supprime la ligne qui contientβ. On change les α qui restent en ↑ et les β en ←. Voir la figure VI.4.

α

β

β

α

β

α

α

β

α

αβ

↔

←

←↑

↑

Fig. VI.4 – Tableaux escalier sans γ ou δ et tableaux alternatifs

52

VI.1. TABLEAUX ESCALIERS ET PASEP 53

VI.1 Tableaux escaliers et PASEP

On va maintenant lier ces tableaux avec la distribution stationnaire du PASEP generalise.On utilise la meme chaine de Markov que dans le chapitre precedent avec la possibilite pourles particules de sortir par la gauche avec la probabilite γ et d’entrer par la droite avec laprobabilite δ.

Definition 9. Soit α, β, γ, δ, q, et u des constantes comprises entre 0 et 1. La chainePASEP generale est une chaine sur les mots de taille n sur l’alphabet {◦, •} avec les tran-sitions

– Si X = A • ◦B et Y = A ◦ •B alors PX,Y = un+1 et PY,X = q

n+1 .– Si X = ◦B et Y = •B alors PX,Y = α

n+1 et PY,X = γn+1 .

– Si X = B• et Y = B◦ alors PX,Y = βn+1 et PY,X = δ

n+1– Sinon PX,Y = 0 pour tout Y 6= X et PX,X = 1 − ∑

X 6=Y PX,Y .

La distribution stationnaire de cette chaine est unique et l’on peut calculer la probabilitePn(τ) d’etre dans un etat τ = (τ1, τ2, . . . , τn).

Theoreme 17. (Matrix Ansatz) [51] Soit D et E des matrices, |V 〉 un vecteur colonne et〈W | un vecteur ligne, tels que :

DE = qED + D + E, βD|V 〉 = δE|V 〉 + V, α〈W |E = γ〈W |D + W. (VI.1)

Pour toute configuration τ = (τ1, . . . , τn),

Pn(τ) =〈W |(∏n

i=1(τiD + (1 − τi)E))|V 〉Zn

,

avec Zn = 〈W |(D + E)n|V 〉.

Une solution de ce matrix ansatz a ete donne par Uchimuya, Sasamoto et Wadati dans[96]. Dans cet article, les auteurs donnent explicitement des matrices et vecteurs d, e, 〈W |,et |V 〉 telles que

– D = (1 + d)/(1 − q), E = (1 + e)/(1 − q), 〈W | et |V 〉 satisfont les relations del’equation (VI.1).

– 〈W |(d + e)n|V 〉 est le nieme moment de la fonction de poids des polynomes d’AskeyWilson que l’on definira dans la partie suivante.

Le modele a plusieurs symetries :

– La symetrie “gauche-droite” : si on fait une reflexion avec l’axe des y alors on retrouvele meme modele ou l’on a echange α et δ, γ et β, u et q.Ainsi Pn(τ1, . . . , τn) =Pn(τn, . . . , τ1)|α↔δ,β↔γ,u↔q,

– La symetrie “changer le sens des fleches” ou “echanger les particules noires et blanches”.Ceci se traduit par Pn(τ1, . . . , τn) = Pn(1 − τ1, . . . , 1 − τn)|α↔γ,β↔δ,u↔q.

– La symetrie “trou-particule” definie dans [51] est la composee des deux precedentes.Pn(τ1, . . . , τn) = Pn(1 − τn, . . . , 1 − τ1)|α↔β,γ↔δ.

53


Nous utilisons la notation |α↔δ pour indiquer que les parametres α et δ sont echanges.Dans ce qui suit, on suppose que u = 1. Soit

Zn(α, β, γ, δ, q) =∑

T de taille n

wt(T )

et

Zτ (α, β, γ, δ, q) =∑

T de type τ

wt(T ).

Le but de cette partie est de donner les grandes lignes du resultat suivant.

Theoreme 18. [46] Pour toute configuration τ du PASEP avec n sites, probabilite que lachaine soit dans τ est

Pn(τ) =Zτ (α, β, γ, δ, q)

Zn(α, β, γ, δ, q),

ou la somme est sur tous les tableaux escalier de type τ .

Ceci est une generalisation des resultats du chapitre precedent qui traitait le cas γ =δ = 0. Par contre, comme on le verra dans la suite, on est loin de comprendre de faconcombinatoire le lien entre tableaux escalier et PASEP. Nous montrerons simplement que laserie generatrice des tableaux escalier suit un matrix ansatz generalise. Cette preuve quietait toute simple dans le cas γ = δ = 0 (on regarde ce qu’il y a dans un coin du tableaude permutation), s’avere compliquee dans le cas general. Nous ne sommes capables que dele faire par une recurrence compliquee.

Notre Ansatz est une generalisation simple du theoreme 17. Pour tout mot X de l’al-

phabet {D, E}, on multiple 〈W |X|V 〉 par∏|X|

i=1 λi, ou {λn}n≥0 est une famille de constanteset |X| est la taille du mot X. Ainsi

Theoreme 19. Soient {λn}n≥0, 〈W | et |V 〉 des vecteurs ligne et colonne, D et E desmatrices tels que pour tout mot X et Y de l’alphabet {D, E}, nous obtenons :

1. 〈W |XDEY |V 〉 = q〈W |XEDY |V 〉 + λ|X|+|Y |+2〈W |X(D + E)Y |V 〉 ;2. β〈W |XD|V 〉 = δ〈W |XE|V 〉 + λ|X|+1〈W |X|V 〉 ;3. α〈W |EY |V 〉 = γ〈W |DY |V 〉 + λ|Y |+1〈W |Y |V 〉.

Pour toute configuration τ = (τ1, . . . , τn),

Pn(τ) =〈W |(∏n

i=1(τiD + (1 − τi)E))|V 〉Zn

.

avec Zn = 〈W |(D + E)n|V 〉.

Pour montrer le theoreme 18, nous definissons 〈W |, |V 〉, D et E des operateurs lineairesqui permettent de construire les tableaux escalier. Nous montrons aussi qu’ils satisfont lesrelations du theoreme 19, avec λ0 = 1 et λn = αβ − γδqn−1 pour n ≥ 1.

54

VI.1. TABLEAUX ESCALIERS ET PASEP 55

Definition 10. Les operateurs 〈W | = (Wik)i,k, |V 〉 = (Vjℓ)j,ℓ, D = (Di,j,k,ℓ)i,j,k,ℓ et E =(Ei,j,k,ℓ)i,j,k,ℓ (avec i, j, k, ℓ ≥ 0) sont definis par :

Wik =

1 if i = k = 0,

0 sinon,

Vjℓ = 1 toujours.

Dijkℓ =

0 si j < i ou ℓ > k + 1,

δqi si i = j − 1 et k = ℓ = 0,

αqi si i = j, k = 0 et ℓ = 1,

δ(Di,j−1,k−1,ℓ + Ei,j−1,k−1,ℓ) + Di,j,k−1,ℓ−1 sinon.

Eijkℓ =

0 if j < i or ℓ > k + 1,

βqi si i = j et k = ℓ = 0,

γqi si i = j, k = 0 et ℓ = 1,

β(Di,j,k−1,ℓ + Ei,j,k−1,ℓ) + qEi,j,k−1,ℓ−1 sinon.

Une ligne d’un tableau escalier est dite etiquetee par α (ou β ou γ ou δ) si la case laplus a gauche qui n’est pas un q ou un u dans cette ligne est un α (ou β ou γ ou δ). Nouspouvons donner une interpretation combinatoire des produits de matrices et de vecteurs.Soit X un mot sur l’alphabet {D, E}. Son type est le mot correspondant sur l’alphabet{•, ◦}.

Theoreme 20. Soit X un mot de {D, E}∗, alors :– (〈W |X)jℓ =

∑T wt(T ), est la somme sur tous les tableaux escaliers de type X qui

ont j lignes etiquetees par δ et ℓ lignes etiquetees par α ou γ (donc |X| − j − ℓ lignesetiquetees par β.)

– 〈W |X|V 〉 =∑

T wt(T ), ou la somme est sur tous les tableaux de type X.

Nous voulons maintenant montrer que nos matrices et vecteurs D, E, W, V satisfontles relations du theoreme 19. Il est facile de montrer combinatoirement qu’ils satisfont larelation (3) du theoreme 19. Nous n’avons pas de preuve combinatoire des relations (1) ou(2). Nous avons cherche une telle preuve pendant longtemps. Par contre, nous avons reussia montrer les deux identites suivantes par recurrence sur la longueur de X, sur j et sur ℓ :

Proposition 4. Pour tous entiers j et ℓ positifs ou nuls, nous avons :

1. (〈W |XDE)jℓ = q(WXED)jℓ + αβ(〈W |X(D + E))jℓ − γδq|X|+1(〈W |X(D + E))j−1,ℓ.

2. β(〈W |XD)jℓ = δ(〈W |XE)j−1,ℓ + αβ(〈W |X)j,ℓ−1 − γδq|X|(〈W |X)j−1,ℓ−1.

55


Il n’est pas difficile de voir que ces identites suffisent pour montrer les relations (1) et(2). Les details sont donnes dans [46].

Il reste donc de nombreux problemes combinatoires ouverts sur ce lien entre tableauxescalier et PASEP [46]. J’en cite quelques uns ici.

– Peut-on trouver une preuve combinatoire des relations (1) et (2) du theoreme 19 ?(Quand q = t, ou un des α, β, γ, δ est 0, ce probleme est facile.)

– Peut on trouver une involution sur les tableaux escalier qui correspond a la symetrie”gauche-droite” du PASEP ?

– Peut on definir une chaine de Markov sur les tableaux escaliers qui se projette surla chaine du PASEP ? Quand γ et δ sont 0, la chaine est presentee dans la chapitreprecedent et dans [48], et si en plus q = 0 on peut definir une chaine sur des configura-tions completes [52]. Une bijection simple entre configurations completes et tableauxde permutation sans uns superflus montrent que les deux chaines sont les ”memes”pour q = 0.

– Peut-on definir une chaine plus raffinee que celle du PASEP sur 4n etats qui se projettesur la chaine du PASEP et qui garde en memoire si les particules noires sont entreespar la gauche (α) ou par la droite (δ) et si les particules blanches sont entrees par lagauche (γ) ou par la droite (β) ?

VI.2 Moments des polynomes orthogonaux

Ces travaux sont presentes dans [45]. Les polynomes d’Askey-Wilson sont des polynomesq-orthogonaux avec quatre parametres en plus de q. Ils sont tout en haut de la hierarchiedes polynomes q-orthogonaux a une variable dans le schema d’Askey [10].

Rappelons que

(a1, a2, · · · , as; q)n =s∏

r=1

n−1∏

k=0

(1 − arqk),

Les polynomes d’Askey-Wilson Pn(x) = Pn(x; a, b, c, d|q) sont exactement :

Pn(x) = a−n(ab, ac, ad; q)n

n∑

k=0

(q−n, qn−1abcd, aeiθ, ae−iθ; q)k

(ab, ac, ad, q; q)kqk;

avec x = cos θ. Ils satisfont La recurrence a trois termes pour n > 0 :

AnPn+1(x) + BnPn(x) + CnPn−1(x) = 2xPn(x), (VI.2)

56

VI.2. MOMENTS DES POLYNOMES ORTHOGONAUX 57

avec P0(x) = 1, P−1(x) = 0, et

An =1 − qn−1abcd

(1 − q2n−1abcd)(1 − q2nabcd),

Bn =qn−1

(1 − q2n−2abcd)(1 − q2nabcd)[(1 + q2n−1abcd)(qs + abcds′) − qn−1(1 + q)abcd(s + qs′)],

Cn =(1 − qn)(1 − qn−1ab)(1 − qn−1ac)(1 − qn−1ad)(1 − qn−1bc)(1 − qn−1bd)(1 − qn−1cd)

(1 − q2n−2abcd)(1 − q2n−1abcd),

et

and s = a + b + c + d, s′ = a−1 + b−1 + c−1 + d−1.

pour n ∈ N = {0, 1, 2, · · · }.Pour |a|, |b|, |c|, |d| < 1, z = eiθ, l’orthogonalite s’exprime

∮

C

dz

4πizw

(z + z−1

2

)Pm

(z + z−1

2

)Pn

(z + z−1

2

)=

hn

h0δmn,

ou le contour de l’integrale C est un chemin ferme qui evite les poles z = aqk, bqk, cqk, dqk

(k ∈ Z+) et z = (aqk)−1, (bqk)−1, (cqk)−1, (dqk)−1 (k ∈ Z+), et ou

w(cos θ) =(e2iθ, e−2iθ; q)∞

(aeiθ, ae−iθ, beiθ, be−iθ, ceiθ, ce−iθ, deiθ, de−iθ; q)∞,

hn

h0=

(1 − qn−1abcd)(q, ab, ac, ad, bc, bd, cd; q)n

(1 − q2n−1abcd)(abcd; q)n,

h0 =(abcd; q)∞

(q, ab, ac, ad, bc, bd, cd; q)∞.

Quand m = n = 0, on obtient l’integrale d’Askey Wilson∮

C

dz

4πiz

(z2, z−2; q)∞(az, a/z, bz, b/z, cz, c/z, dz, d/z; q)∞

=(abcd; q)∞

(q, ab, ac, ad, bc, bd, cd; q)∞. (VI.3)

Une preuve combinatoire de cette integrale a ete donnee par Ismail, Stanton et Viennot[67].

Les moments de la fonction de poids w des polynomes d’Askey Wilson (que nousabregerons par moments des polynomes) sont definis par :

µn =

∮

C

dz

4πizw

(z + z−1

2

) (z + z−1

2

)n

.

Dans [46], en utilisant les tableaux escaliers et les liens entre le PASEP et les polynomesd’Askey Wilson donnes dans [96], nous avons donne une formule combinatoire pour cesmoments. Rappelons que

Zn(α,β,γ,δ,q) =∑

T de taille n

wt(T ).

57


Theoreme 21. [46] Le nieme moment des polynomes d’Askey Wilson est :

µn =

n∑

ℓ=0

(−1)n−ℓ

(n

ℓ

) (1 − q

2

)ℓ Zℓ(α, β, γ, δ, q)∏ℓ−1

i=0(αβ − γδqi).

avec

α =1 − q

1 + ac + a + c, β =

1 − q

1 + bd + b + d,

γ =−(1 − q)ac

1 + ac + a + c, δ =

−(1 − q)bd

1 + bd + b + d.

Ici, nous allons donner une formule ”on the nose” (comme dit Dennis). Pour cela, onrajoute une variable dans Zn. Etant donne un tableau escalier T , soit p(T ) le nombre departicules noires de son type. Soit

Zn(α, β, γ, δ, q, y) =∑

T de taille n

wt(T )yp(T ).

Theoreme 22. Le nieme moment des polynomes Askey-Wilson

(1 − q)n

2nin∏n−1

i=0 (αβ − γδqi)Zn(α, β, γ, δ, q,−1);

ou i2 = −1 et

α =1 − q

1 − ac + ai + ci, β =

1 − q

1 − bd + bi + di,

γ =(1 − q)ac

1 − ac + ai + ci, δ =

(1 − q)bd

1 − bd + bi + di.

Demonstration. Pour montrer ce theoreme, on utilise les matrices d et e donnees dans [96]et telles que 〈W |(yd+e)n|V 〉 correspond au nieme moment des polynomes d’Askey Wilson.Les entrees de ces matrices dependent de a, b, c, d et q avec

a =1 − q − α + γ +

√(1 − q − α + γ)2 + 4αγ

2α

b =1 − q − β + δ +

√(1 − q − β + δ)2 + 4βδ

2β

c =1 − q − α + γ −

√(1 − q − α + γ)2 + 4αγ

2α

d =1 − q − β + δ −

√(1 − q − β + δ)2 + 4βδ

2β

Elles ont la jolie propriete suivante :

〈W |(yd + e)n|V 〉 =√

yn〈W |(d + e)n|V 〉∣∣∣a→a/

√y, b→b

√y, c→c/

√y, d→d

√y.

58

VI.2. MOMENTS DES POLYNOMES ORTHOGONAUX 59

De plus, en utilisant le matrix Ansatz et les liens entre PASEP et tableaux escalier, on saitque

Zn(α, β, γ, δ, q, y) =

∏n−1i=0 (αβ − γδqi)

(1 − q)n2n〈W |(1 + y + yd + e)n|V 〉.

Il suffit alors de combiner les deux arguments precedents en posant y = −1.

Maintenant, nous voulons donner des formules denumeration pour les moments et lestableaux escalier.

Proposition 5. Soit f(x) un polynome en x. Soit x = (z + z−1)/2. Alors

∮

Cf(x)w(x)

dz

4πiz=

n∑

k=0

(ab, ac, ad; q)k

(abcd; q)kqk

k∑

j=0

q−(k−j)2a2j−2kf( qk−ja+qj−k/a2 )

(q, q2j−2k+1/a2; q)k−j(q, a2q1−2j+2k; q)j.

Pour demontrer la proposition 5, on ecrit f(x) dans la base φn(x; a). On remarque quew(x, a)φn(x; a) = w(x, aqn) et donc que

∮

Cφn(x; a)w(x)

dz

4πiz=

h0(aqn)

h0(a).

Ensuite, on utilise un resultat d’Ismail et Stanton [66] :

Theoreme 23. [66, Theorem 1.1] Pour tout polynome f(x) de degre n avec∑n

k=0 fkφk(x; a)alors

fk =(q − 1)k

(2a)k(q; q)kq−

k(k−1)4 (Dk

q f)(xk),

et

(Dkq f)(x) =

2kqk(1−k)

4

(q1/2 − q−1/2)k

k∑

j=0

k

j

q

qj(k−j)z2j−kf(q(k−2j)/2z)

(q1+k−2jz2; q)j(q1−k+2jz−2; q)k−j,

xk = (aqk/2+a−1q−k/2)/2, x = cos θ, z = eiθ,

k

j

q

= (q;q)k

(q;q)j(q;q)k−j, and f(x) = f(x+x−1

2 ).

Ainsi, on obtient une formule pour les moments en prenant f(x) = xn.

Proposition 6. Les moments µn(a, b, c, d) des polynomes d’Askey-Wilson sont

µn(a, b, c, d) =1

2n

n∑

k=0

(ab, ac, ad; q)k

(abcd; q)kqk

×k∑

j=0

q−(k−j)2a2j−2k (qk−ja + qj−k/a)n

(q, q2j−2k+1/a2; q)k−j(q, a2q1−2j+2k; q)j

(VI.4)

59


Puis on prend f(x) = (1 + y + x)n.

Proposition 7. La formule d’enum’eration pour les tableaux escalier de taille n est

Zn(α, β, γ, δ, q, y) = (abcd; q)n

(αβ

1 − q

)n 1

2n

n∑

k=0

(ab, ac/y, ad; q)k

(abcs; q)kqk

×k∑

j=0

q−(k−j)2a2j−2k/y(1 + y + (qk−ja + qj−k/a/y))n

(q, yq2j−2k+1/a2; q)k−j(q, a2q1−2j+2k/y; q)j.

(VI.5)

α =1 − q

1 − ac + ai + ci, β =

1 − q

1 − bd + bi + di,

γ =(1 − q)ac

1 − ac + ai + ci, δ =

(1 − q)bd

1 − bd + bi + di.

Bien que cette formule soit “relativement simple”, on ne voit pas au premier coup d’oeilpourquoi c’est un polynome en α, β, γ, δ et q a coefficients entiers et positifs. Dans la partiesuivante, nous allons essayer de comprendre la combinatoire pour des cas particuliers deα, β, γ, δ ou q. Les details des preuves sont dans [45].

VI.3 Enumeration des tableaux escalier

VI.3.1 Le cas q = 0

Si q = 0, les moments peuvent etre calcules par une methode directe : une integraleet un calcul de residu. Les details sont donnes dans [45]. Ils pourraient aussi etre calculesde facon assez simple en utilisant le fait que les polynomes d’Askey Wilson avec q = 0peuvent etre ecrits comme une somme de polynomes de Chebyshev (equation (4.29) dansle memoire d’Askey et Wilson [10]).

On obtient

Proposition 8. La serie generatrice pour la fonction de partition Zn(α, β, γ, δ, 0, y) avec

60

VI.3. ENUMERATION DES TABLEAUX ESCALIER 61

q = 0 est

−2(1 − ABCD) − 2∞∑

n=1

Zn

(t

αβ

)n

=

(A − 1/A)2(1 − BC)(1 − BD)(1 − CD)

(1 − A2)(1 − B/A)(1 − C/A)(1 − D/A)(1 − (1 +√

yA)(1 +√

y/A)t)

+(B − 1/B)2(1 − AC)(1 − AD)(1 − CD)

(1 − B2)(1 − A/B)(1 − C/B)(1 − D/B)(1 − (1 +√

yB)(1 +√

y/B)t)

+(C − 1/C)2(1 − AB)(1 − AD)(1 − BD)

(1 − C2)(1 − A/C)(1 − B/C)(1 − D/C)(1 − (1 +√

yC)(1 +√

y/C)t)

+(D − 1/D)2(1 − AB)(1 − AC)(1 − BC)

(1 − D2)(1 − A/D)(1 − B/D)(1 − C/D)(1 − (1 +√

yD)(1 +√

y/D)t)

+z2(1 − z2)(1 + z/

√y)(1 + z

√y)

ABCDf(z, A, B, C, D)

avec

z =1 − t(1 + y) −

√1 + t2(y − 1)2 − 2t(1 + y)

2t√

y,

A = a√

y, B = b/√

y, C = c√

y, D = d/√

y et

a =1 − q − α + γ +

√(1 − q − α + γ)2 + 4αγ

2α

b =1 − q − β + δ +

√(1 − q − β + δ)2 + 4βδ

2β

c =1 − q − α + γ −

√(1 − q − α + γ)2 + 4αγ

2α

d =1 − q − β + δ −

√(1 − q − β + δ)2 + 4βδ

2β

Remarque. Quand α = β = 1 et γ = δ = 0, on retrouve la serie generatrice bivariee desnombres de Narayana.

VI.3.2 Le cas y = q = 1

Rappellons que Zn est la serie generatrice des tableaux escaliers de taille n.

Theoreme 24. Quand q = 1,

Zn(α, β, γ, δ, 1, 1) =n−1∏

i=0

(α + β + γ + δ + i(α + γ)(β + δ)).

61


Preuve. Soit t = α + γ et v = β + δ. Soit tn,k,e,f le nombre de tableaux escaliers de taillen avec k lignes etiquetees par α/γ, e entrees qui sont α ou γ, et f entrees qui sont β ou δ.Soit Tn(x, t, v) =

∑tn,k,e,fxktevf .

Nous allons montrer que Tn(x, t, v) = (xt+v)Tn−1(x+v, t, v) avec la meme technique quepour les tableaux de permutation[39]. Comme T0 = 1, ceci suffit a montrer que Tn(x, t, v) =∏n−1

i=0 (tx+ v + itv). Quand on fait la substitution u = α+ γ et v = β + δ et que l’on choisitx = 1, on obtient alors le resultat. Pour demontrer la recurrence, on part d’un tableau Tde taille n − 1 avec k lignes etiquetees par α ou γ et on ajoute une nouvelle colonne avecn cases a gauche du tableau.

Si on ajoute un α ou un γ en bas de cette colonne, alors on augmente de un le nombred’entrees egales a α ou γ et le nombre de lignes etiquetees par α ou γ.

Maintenant si l’on ajoute un β ou un δ. Il existe k lignes disponibles ou l’on peut mettreun α, β, γ ou δ. Si l’on met un α ou γ dans la ieme ligne disponible (si on n’en met pas,on suppose que i = 0), alors tous les β ou delta sont dans les lignes disponibles i+1, . . . , k.Chaque β ou δ decroit de un le nombre de lignes etiquetees par un α ou un γ. Quand onsomme sur tous les cas possibles, Tn(x, u, v) = (xu + v)Tn−1(x + v, u, v).

Le corollaire suivant demontre dans [96], est une consequence directe des theoremes 24et 18.

Corollaire 5. [96] La fonction de partition du PASEP sur n sites avec α, β, γ, δ generauxet q = u = 1 est :

n−1∏

i=0

(α + β + γ + δ + i(α + γ)(β + δ)).

Ainsi on voit bien que Zn a 4nn! termes. On donne dans les paragraphes suivants unebijection entre tableaux escalier de taille n et permutations doublement signees [45]. Labijection est une variante de la bijection de Steingrımsson et Williams decrite dans [92].

On numerote les diagonales, lignes et colonnes de 1 a n en allant du nord-est vers lesud-ouest. On ne garde que les entrees α, β, γ et δ. On considere que ces entrees sont dessommets du tableau. Un exemple est donne sur la gauche de la Figure VI.5. Pour chaquesommet, on dessine une arete vers le sommet le plus proche a droite dans la meme ligneet le sommet le plus proche en dessous dans la meme colonne. On obtient le diagrammeD(T ).

γβ

δα

δγ

γ

δ

ααβ

76

54

32

1

γβ

δα

δγ

γ

δ

ααβ

76

54

32

1

γβ

δα

δγ

γ

δ

ααβ

76

54

32

1

Fig. VI.5 – Un tableau escalier, son diagramme et les chemins de 1 et 5

On definit tout d’abord la permutation correspondante π = Φ(T ). Puis on assigneraun double signe a chacune des entrees de la permutation. Pour chaque i ∈ {1, . . . , n}, si

62

VI.3. ENUMERATION DES TABLEAUX ESCALIER 63

le sommet sur la diagonale i n’est incident a aucune arete de D(T ) alors π(i) = i. Sinon,si le sommet sur la diagonale i est β ou δ, on choisit le sommet le plus au nord possibledans la colonne i, puis on voyage vers l’est et le sud en changeant de direction des que l’onrencontre un nouveau sommet. Quand ce chemin se termine dans la diagonale j < i, alorsπ(i) = j. De meme, si le sommet sur la diagonale i est α ou γ, on choisit le sommet leplus a l’ouest possible dans la ligne i, puis on voyage vers le sud et l’est en changeant dedirection des que l’on rencontre un nouveau sommet. Quand ce chemin se termine dans ladiagonale j > i, alors π(i) = j.

Un exemple est donne sur la droite de la figure VI.5 pour i = 1 et i = 5. On obtientπ(1) = 4 et π(5) = 2. La permutation Φ(T ) correspondant au tableau de la figure VI.5 est(4,5,1,6,2,3,7).

Remarque. La permutation π peut aussi etre ecrite comme le produit de cycles croissantsC1C2 . . . Cn ou Ci est la liste des lignes qui ont un sommet dans la colonne i. Par exemple,en utilisant le tableau de la figure VI.5, on a π = (1)(2)(1, 3)(4)(2, 5)(1, 4, 6)(7).

Il est facile de voir que Φ(T ) est permutation de Sn. Maintenant nous definissons Φ(T )la permutation doublement signee qui est Φ(T ) quand on retire les signes. Le premier signedepend du sommet de la diagonale. On choisit + si la diagonale contient α ou δ ; et −sinon.

Le deuxieme signe associe a la position i depend du sommet dans la diagonale i et dusommet le plus en haut dans la colonne i ou du sommet le plus a gauche dans la ligne i.Definissons maintenant la regle. Ce signe est + si

– le sommet dans la diagonale i est α ou γ et le sommet le plus a gauche dans la lignei est α ou δ, ou

– le sommet dans la diagonale i est β ou δ et le sommet le plus en haut dans la colonnei est α ou β.

Le signe est − dans les deux autres cas. Remarquons que le deuxieme signe associe a unpoint fixe est + si la diagonale contient α ou β, et − sinon. Ainsi pour le tableau T sur lafigure VI.5, on obtient Φ(T ) = (−− 4,− + 5, + − 1, + + 6, + + 2,− + 3,− − 7).

Theoreme 25. Φ est une bijection entre les tableaux escalier de taille n et les permutationsdoublement signees de {1, . . . , n}.

Remarque. Cette bijection permet aussi de montrer le theoreme 24. Par ailleurs, quandles tableaux escalier ne contiennent que des αs ou βs (c’est a dire pas de γs ou δ), ilssont en bijection avec les tableaux alternatifs ou les tableaux de permutation. Ils sontdonc en bijection avec les permutations de {1, 2, . . . , n} avec des cycles signes ou de faconequivalente a des permutations de [n + 1] [25, 39, 92]. Dans ce cas, on peut interpreter leparametre q comme comptant le nombre de croisements ou le nombre de motifs 31-2 dansla permutation [27, 39, 92].

VI.3.3 Le cas δ = 0

Proposition 9. Il existe une bijection entre tableaux escalier de taille n sans δ et involu-tions sans points fixes de {1, 2, . . . , 2n + 2}.

63


Demonstration. Si δ = 0 et q = 1

Zn =

n−1∏

i=0

(α + β + γ + iβ(α + γ)).

Maintenant on choisit α = β = γ = 1 et δ = 0. On peut aussi donner une interpetationcombinatoire en termes de croisements dans certaines permutations signees, en utilisantdes resultats de [29] obtenus en collaboration avec M. Josuat-Verges et L.K. Williams surles tableaux de permutation de type B. Une permutation signee π = (π1, . . . , πn) est ditespeciale si aucun des LR-max de |π| = (|π1|, . . . , |πn|) a un signe − dans π. Rappelonsqu’un LR-max est un maximum de gauche a droite.

Definition 11. [29] Un croisement dans une permutation signee π est un couple (i, j) aveci, j > 0 tel que

– i < j ≤ π(i) < π(j) ou– −i < j ≤ −π(i) < π(j) ou– i > j > π(i) > π(j).

En utilisant le matrix ansatz, qui est dans ce cas,

DE = qED + D + E

〈W |E = 〈W |D + 〈W |D|V 〉 = |V 〉,

une interpretation en termes de chemins de Motzkin, des manipulations classiques entrechemins de Motzkin de taille n−1 ou n et chemins de Dyck de longueur 2n dus a de Mediciset Viennot [50], on obtient :

Theoreme 26. [45] Il existe une bijection entre– les tableaux escalier de taille n sans δ et j cases remplies avec q– les permutations signees speciales π de {1, . . . , n + 1} ou j est le nombre de croise-

ments moins le nombre de − de π.– les involutions sans points fixes de {1, . . . , 2n + 2} ou j est le nombre de croisements

moins la moitie superieure du nombre de croisements des RL-min de l’involution.

Bien que la preuve de ce theoreme soit combinatoire, nous ne connaissons pas de preuvebijective de ce resultat.

VI.4 Conclusion

De nombreuses questions sur ces objets se posent. En effet, ils contiennent a peu prestous les nombres classiques et statistiques classiques de la combinatoire et englobent toute lacombinatoire des moments des polynomes orthogonaux. Je parlerai de plusieurs problemesqui m’interessent dans l’annexe E.

64

Annexe A

Curriculum Vitae

Date de naissance : 04/02/1974 Nationalite : FrancaiseMariee, 2 enfants Anglais courant

Parcours universitaire

– Jan 2000 : Doctorat en Informatique, Universite Paris-Sud, France. Directeur : D.Gouyou-Beauchamps.

– Mai 1997 : Master of Science in Computer Science, North Carolina State University,USA. Directrice : C. D. Savage.

– Juin 1997 : Diplome d’ingenieur, Informatique, Universite de Technologie de Compiegne,France.

Themes de recherche

– Combinatoire enumerative et bijective– Partitions et q-series– Combinatoire et physique statistique– Combinatoire analytique– Combinatoire algebrique

Emplois

– Oct 09- : Chargee de recherche CNRS, Premiere classe, LIAFA, Universite Paris-Diderot, Paris, France.

– Jan 06-Sep 09 : Chargee de recherche CNRS, Premiere classe, LRI, Universite Paris-Sud, Orsay, France.

– Oct 2001-Dec 2005 : Chargee de recherche CNRS, Deuxieme classe, PRISM, Univer-site de Versailles, France.

– Sept 2000-Sept 2001 : Maıtre de Conferences, Informatique, Universite de Versailles,France.

65

66 ANNEXE A. CURRICULUM VITAE

Points forts

– Plus de 35 publications dans des journaux internationaux avec une trentaine de col-laborateurs.

– Membre du comite editorial d’Annals of Combinatorics– Porteur du projet IComb 2008-2013, 340k Euros, ANR Jeune chercheur (recommende

par l’European Research Council, classe 399 sur 9157 propositions pour le premierappel “ERC starting grants”).

Conges de maternite

– Avril-Aout 2008 (Sisseline, nee le 23 Mai 2008)– Mars-Aout 2006 (Viggo, ne le 10 Avril 2006)

Activites

– 2013 : Co-organisatrice de FPSAC 2013.– 2010 : Comite de programme FPSAC10, San Francisco, USA.– 2010 : Membre de deux comites de selection (Universites Bordeaux I et Paris 13).– 2009-2013 : Membre du conseil scientifique de l’UFR d’Informatique, Universite Paris-

Diderot.– 2007- : Membre du comite editorial d’Annals of Combinatorics.– 2006-2009 : Membre Conseil de Laboratoire et de la commission locaux du LRI.– 2006-2009 : Arbitre pour des subventions NSERC (Canadian Science Foundation),

FONDECYT (Chili), ECOS(France-Argentine), Austrian Science Fund.– 2004 : Comite de programme FPSAC04, Vancouver, Canada.– 2003 : Comite de programme ALICE (satellite conference of SODA), Baltimore, USA.– 2002 : Comite d’organisation, conference Maths-Infos, Versailles.– 2002 : Comite de programme SMC02, Quebec, Canada.– 2001-2002 : Membre de la commission de specialistes, Informatique, Versailles.– Arbitre : Journal of Combinatorial Theory Series A, Integers, Random Structures

and Algorithms, Discrete Maths, Theoretical Computer Science, Contemporary Ma-thematics, Advances in Applied Maths, Annals of Combinatorics, Electronic Journalof Combinatorics, Proceedings of the AMS, Transactions of the AMS, InternationalJournal of Number Theory, FPSAC.

– Critique (reviewer) MathSciNet.

Subventions

– 2008-2013 : ANR Jeune Chercheur IComb (340k Euros, PI).– 2006-2009 : ANR blanc Gamma (300k Euros, 20 participants LIAFA, LIPN et LIP6)– 2004-2007 : ACI Jeunes Chercheurs (40000 euros, 4 participants).– 2003-2005 : subvention NSF-CNRS avec la North Carolina State University et Drexel

University (12000 euros pour la partie francaise).– 2003-2004 : Bioinformatique PRISM-INRA (6000 euros).

66

67

– 2002-2003 : ATIP-Jeune chercheur CNRS (6000 euros).

Encadrement

– Automne 2010- : Doctorat Sandrine Dasse-Hartaut, Paris 13 (co-direction avec F.Bassino).

– Printemps 2009 : Master 2, Sandrine Dasse-Hartaut, MPRI.– Mars 2009-2011 : Postdoctorat de Jang-Soo Kim (projet IComb).– Sept 2007-2010 : These de Matthieu Josuat-Verges, Universite Paris-Sud.– Printemps 2007 : Master 2, Cyrille Savelief, MPRI, Universite Paris 7.– Printemps 2005 : Master 2, Olivier Mallet, Master Paris 6.– Printemps 2003 : Licence, Alexis Lamiable, Universite de Versailles.– Printemps 2002 : Master 2, Antoine Joulie, Universite de Versailles (co-encadrante).

Enseignements

– Automne 2010, 2008 et 2007 : Combinatoire (master 2, 15 h), Master Parisien deRecherche en Informatique (MPRI).

– Automne 2006 et 2009 Combinatoire (master 2, 3 h), MPRI.– Printemps 2007 : Algorithmique, Ecole Polytechnique (TD, 22h)– Automne 2004 et 2005 : Combinatoire et Complexite, Universite de Versailles (master

2, 12 h).– Automne 2004 : Combinatoire (licence, 15 h).– Printemps 2004 : Combinatoire et Bioinformatique, Universite de Versailles (master

2, 12 h).– Automne 2000 et 2001 : Architecture, Universite de Versailles (TD, licence, 56 h).– Automne 2000 : Maths pour l’informatique (TD, licence, 32 h).– Printemps 2000, 1999 et 1998 : Algorithmique et ADA, Universite Paris Sud (TD,

FIIFO, 64 h).– Printemps 1997 : Algorithms, North Carolina State University (teaching assistant).– Automne 1995 : Data Structures, North Carolina State University (teaching assis-

tant).

Conferences invitees

– Mai 2009 : CanaDAM2009, Montreal, Canada (conferenciere pleniere).– Decembre 2008 : Combinatory Analysis 2008, Penn State, USA.– Fev 2007 : Combinatoire et Physique, CRM. Montreal, Canada.– Jan 2006 : Journees Partitions et q-series, Lyon, France.– Nov 2004 : Additive Number Theory, University of Florida, USA.– Fev 2004 : Permutations, Paths and Trees 2004, Nankai University, China.

Seminaires et ateliers pendant les douze derniers mois

– Juin 2010 : Seminaire combinatoire, Lyon I.

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– Mars 2010 : Seminaire proba, Nancy.– Fev 2010 : Seminaire physique theorique, CEA Saclay.– Jan 2010 : Journees de combinatoire de Bordeaux.– Jan 2010 : Seminaire ALGO, INRIA Rocquencourt.– Oct 2009 : Etats de la recherche de la SMF, IHP Paris.– Juin 2009 : Journees Robert Cori, Bordeaux.– Mai 2009 : Groupe de travail ”Processus stochastiques, Matrices aleatoires”, Paris.

Participation a la vie scientifique locale

– Organisation de la conference ”Dominique Gouyou-Beauchamps”, Mai 2010.– Organisation d’un groupe de travail en combinatoire au LIAFA a partir de Mars 2010.– Membre du GDR-IM groupe de travail ALEA et combinatoire algebrique.– Participation aux activites de l’ANR Gamma (seminaires et journees speciales).– Organisation d’un groupe de travail en combinatoire bijective au LRI avec D. Gouyou-

Beauchamps, F. Fiorenzi, M. Josuat-Verges et J.S. Kim au Printemps 2009.– Enseignement au MPRI et propositions de stage en 2005, 2007, 2009 et 2010.

Collaborations en cours

– Theorie des surpartitions (J. Lovejoy - CR CNRS LIAFA)– Surpartitions planes (M. Vuletic - assis. prof. Brown U. (USA) et O. Mallet - MdC

Rouen)– Combinatoire des partitions amphitheatre (C.D. Savage - prof NCSU et A. Sills -

assoc. prof Georgia Southern)– Combinatoire des tableaux de permutations (P. Nadeau - postdoctorant Wien U., M.

Josuat-Verges - doctorant Paris-Sud, J.S. Kim - postdoc CNRS)– Combinatoire des processus asymetriques (L. Williams - assist. prof. Berkeley (USA),

E. Duchi (Paris 7))– Combinatoire des moments des polynomes orthogonaux (M. Josuat-Verges - docto-

rant Paris-Sud, L. Williams, D. Stanton - Pr. U. Minnesota)– Generation aleatoire (ANR Gamma LIP6, LIAFA, LIPN - Porteuse : F. Bassino,

Professeure Paris 13).– Arbres NBC et regions d’hyperplans (D. Forge et V. Ventos LRI)

Collaborations internationales

Mon travail a toujours ete axe sur l’international. J’ai commence la recherche auxEtats-Unis et ai garde de nombreux contacts dans ce pays. Je collabore avec C.D. Savage(NCSU) depuis 1996 et j’ai obtenu une subvention NSF-CNRS en 2003. Plus recemment,j’ai commence a collaborer avec deux jeunes femmes qui travaillent aux Etats-Unis L.K.Williams (Harvard) et M. Vuletic (Caltech). J’ai passe de longs sejours dans d’autres pays(Irlande, Canada, Suede, Chine, Australie et Chili) et lors de chacun de ces sejours j’aidemarre des collaborations et des discussions qui m’ont permis d’enrichir ma thematique derecherche. Par exemple, je suis membre collaborateur du LACIM, laboratoire de l’UQAM,

68

69

Montreal Canada. Une bonne partie de mon ANR Jeunes Chercheurs est destinee a inviterdes chercheurs etrangers. K. Bringamnn (Koln) et L.K. Williams sont deja venues cetAutomne. P. Nadeau et C. Stump sont venus au printemps. L.K. Williams a ete inviteepour un mois pendant l’ete sur l’ANR Gamma.

69


70

Annexe B

Activites d’encadrement

J’ai commence a encadrer des etudiants au PRISM, Universite de Versailles. Mon pre-mier etudiant etait Alexis Lamiable. J’ai encadre son stage de L3. Ce stage lui a donneenvie de continuer et Alexis prepare un doctorat a l’Universite de Versailles. J’ai ensuiteco-encadre le stage de Master 2 d’Antoine Joulie avec Dominique Barth sur le theme del’algorithmique des reseaux de regulation. J’ai ensuite propose un sujet de Master 2 auMPRI et j’ai encadre en 2005, le stage de Master 2 d’Olivier Mallet sur la combinatoiredes surpartitions. Ce stage a donne lieu a une publication commune dans Journal of Com-binatorial Theory A. Olivier a ensuite effectue son doctorat a l’Universite Paris Diderotsous la direction de J. Lovejoy. Sa these etait une generalisation de ses travaux de Master.Nous avons ecrit un autre article ensemble et continue a collaborer pendant sa these. Ilest Maıtre de Conferences a l’Universite de Rouen depuis Septembre 2009. Quand je suisarrivee au LRI, Philippe Nadeau faisait sa these avec Dominique Gouyou-Beauchamps. J’aidiscute regulierement avec lui. Je lui ai propose de travailler sur divers sujets et plusieursde ses publications de sa these sont dues a mes propositions. Nous avons aussi ecrit unarticle ensemble. Il est en postdoctorat a l’Universite de Vienne depuis Septembre 2007.En 2007, j’ai encadre le stage de Master 2 de Cyrille Savelief et nous avons ecrit un articleensemble avec Mirjana Vuletic. A partir de Septembre 2007, j’ai encadre la these de M.Josuat-Verges. Son doctorat s’est tres bien passe. Matthieu a soutenu le 25 Janvier 2010 etpart a l’universite de Vienne en Septembre 2010. Nous avons deux articles en collaborationet Matthieu a ecrit plusieurs articles seul. En 2009, j’ai encadre le stage de Master 2 de San-drine Dasse-Hartaut. Sandrine commencera son doctorat en Septembre 2010 (codirige parF. Bassino). Depuis Mars 2009, j’encadre le postdoctorat de Jang Soo Kim, qui a fait sondoctorat a KAIST (Coree). Jang Soo prendra un poste d’Assistant Professor a l’Universitedu Minnesota en Septembre 2010.

71

72 ANNEXE B. ACTIVITES D’ENCADREMENT

72

Annexe C

Resume sur l’originalite desrecherches

J’ai commence ma carriere de chercheuse en 1996 lors d’un Master of Science a la NorthCarolina State University sous la direction de Carla Savage. Ce stage de Master a ete unegrande reussite et m’a permis de publier plusieurs articles et de demarrer une collabora-tion qui continue toujours avec Carla Savage. J’ai tout de suite ete charmee par le travailde recherche et a mon retour en France, j’ai commence une these sous la direction deDominique Gouyou-Beauchamps. Pendant ce travail de doctorat, j’ai acquis une certaineindependance et ai commence a collaborer avec differents chercheurs internationaux. J’aisoutenu ma these au bout de deux ans et trois mois et ai obtenu trois postes de maıtre deconferences dans la foulee. J’ai choisi de rejoindre l’universite de Versailles, de faire toutmon enseignement en un semestre puis de partir pour un stage postdoctoral a l’UQAM(Canada) sous la direction de Pierre Leroux et Alain Goupil. J’ai alors obtenu un postede CR2 au CNRS et ai ete affectee au PRiSM pendant un peu plus de trois ans puis aimute au LRI en Janvier 2006. Mon travail de recherche me conduit a collaborer avec denombreux scientifiques du monde entier et en particulier de nombreux experts internatio-naux. La nature interdisciplinaire de mon travail me permet de collaborer avec a la fois desinformaticiens et des mathematiciens de differents domaines : combinatoire, probabilites,algebre. Je suis regulierement invitee a donner des conferences et des seminaires et j’en-seigne presque chaque annee dans des Masters 2. Je participe activement a l’evaluation dela recherche tant par l’arbitrage d’articles, le comite editorial d’Annals of Combinatorics,les resumes de Mathscinet et les arbitrages de subventions de recherche internationales(Canada, Chili). J’ai encadre trois eleves en Master 2 (O. Mallet, C. Savelief et S. Dasse-Hartaut). Leurs stages ont donne lieu a des publications de qualite. J’encadre le doctoratde M. Josuat-Verges depuis Septembre 2007 et le postdoctorat de J.S. Kim pour deux ansdepuis Mars 2009. Au printemps 2009, j’ai anime avec D. Gouyou-Beauchamps (Pr), F.Fiorenzi (MdC), M. Josuat-Verges, J.S.Kim et S. Dasse-Hartaut (M2) un groupe de travailhebdomadaire de combinatoire enumerative. Au LIAFA depuis Octobre 2010, j’ai mis enplace depuis le printemps un groupe de travail/seminaire hebdomadaire.

73

74 ANNEXE C. RESUME SUR L’ORIGINALITE DES RECHERCHES

74

Annexe D

Expose synthetique des recherches

Mon domaine de recherche de predilection est la theorie des partitions d’entiers. C’est ledomaine dans lequel j’ai demarre lors de mon Master of Science. Ce domaine est principa-lement developpe aux Etats-Unis. Je participe regulierement aux conferences du domaineaux Etats-Unis mais en Janvier 2006, nous avons pour la premiere fois organise un atelierde 2 jours a Lyon sur cette thematique. Plusieurs jeunes chercheurs et chercheuses ontchoisi recemment de s’installer en Europe ou de visiter regulierement l’Europe et un vivierimportant de chercheurs brillants est en train de se constituer. Pour ma part, j’etudie a lafois les partitions mais aussi leur generalisation. En particulier, je developpe avec J. Love-joy la theorie des surpartitions qui permet de generaliser et d’unifier de nombreux resultatsclassiques. Un bon exemple est la these d’O. Mallet soutenue recemment sur les liens entreidentites de Rogers-Ramanujan et surpartitions. J’ai encadre son stage de Master et initieles travaux de cette these. Dans ce domaine je developpe aussi la theorie des surpartitionsplanes. J’ai aussi travaille sur les proprietes asymptotiques et probabilistes de ces objets.Une autre generalisation des partitions vient de la geometrie et s’appelle les tableaux depermutation. Ces tableaux sont des objets combinatoires interessants en soi mais sont aussien relation avec des polytopes, des modeles de physique statistique. La these de M. Josuat-Verges, que j’encadre, se situe dans cette thematique. Recemment Lauren et moi avonsdefini une generalisation de ces objets : les tableaux escaliers. Ces tableaux nous ont per-mis de donner une formule combinatoire pour les moments des polynomes d’Askey-Wilson.Tous mes resultats sont regulierement publies dans des journaux internationaux

75

76 ANNEXE D. EXPOSE SYNTHETIQUE DES RECHERCHES

76

Annexe E

Perspectives

La plupart de mes perspectives se situent dans le projet IComb : Interaction of Combi-natorics, soumis au premier appel ERC starting grants en 2007. Ce projet a ete classe dansles 400 premiers sur plus de 9000 et a ete finance par l’ANR.

Le but de mon projet est de creer un groupe fort qui etudie les interactions de la combi-natoire avec d’autres domaines comme la theorie des nombres, les series hypergeometriquesbasiques, la theorie des representations, la geometrie et la physique statistique. Nous propo-sons d’etudier ces interactions grace a des objets qui sont des generalisations des partitionsd’entiers : les surpartitions et les tableaux de permutation.

Combinatoire des partitions et surpartitions

Les identites hypergeometriques basiques peuvent etre interpretees comme des fonctionsgeneratrices pour les partitions d’entiers. Mais la plupart de ces identites sont plus com-pliquees. Quand nous avons voulu comprendre la combinatoire provenant de la some 1ψ1 deRamanujan [27, 33], nous avons decouvert que les objets combinatoires necessaires etaientles surpartitions et les paires de surpartitions. Une surpartition [34] est une partition oula derniere occurrence d’une part peut etre surlignee. Le but de la theorie des surparti-tions est de montrer que les resultats classiques sur les partitions ont des analogues ou desgeneralisations naturelles aux surpartitions. De nombreux resultats ont deja ete etablis. Jeliste ci-dessous quelques problemes lesquels je souhaite travailler.

Surpartitions et identites de Rogers-Ramanujan.

Les identites de Rogers-Ramanujan sont deux identites celebres qui etablissent le faitque certaines series peuvent etre exprimees comme des produits infinis. Elles datent de lafin du XIXeme siecle, mais ont ete generalisees de facon signicative par Andrews dans lesannees 60. En particulier, Andrews a montre comment construire des familles d’identiteset a developpe un cadre pour les interpreter comme des identites sur les partitions. Love-joy [77, 78] a decouvert que les surpartitions apparaissent naturellement dans la theorie

77

78 ANNEXE E. PERSPECTIVES

d’Andrews. Mallet a generalise cela pendant son DEA et sa these [38, 36, 80] et a montreque les identites classiques font partie d’un cadre plus large. Ces travaux ont donne lieu ade nombreuses questions ouvertes. En particulier, le probleme de definir des identites deRogers-Ramanujan finies [56] et la notion de rang en dehors de la diagonale [7] pour lessurpartitions et les paires de surpartitions n’a pas encore ete attaque.

Surpartitions et partitions amphitheatre.

Les partitions amphitheatre ont ete introduites par Bousquet-Melou et Eriksson [15] etviennent de l’etude combinatoire des groupes de Coxeter. Nous avons montre [9, 41] que lesfonctions generatrices de ces objets viennent d’identites sur les series hypergeometriquesbasiques. Ces memes identites permettent de demontrer des resultats sur les surpartitions[35]. Il serait interessant de comprendre les relations combinatoires entre ces familles d’ob-jets.

Surpartitions et partitions dentelees.

De nombreux problemes sur les surpartitions sont lies a la physique mathematique, carles surpartitions sont en bijection avec les partitions dentelees developpees par les physi-sicens Matthieu et Jacob [59, 68, 70]. Par exemple, la fonction generatrice de certainespartitions dentelees donnent de nouvelles formes fermioniques pour certains caracteres. Deplus, ces partitions dentelees ont aussi des identites de type Rogers-Ramanujan [68] et desinterpretations en terme de chemins [70, 69]. Il serait interessant de lier ces travaux dephysiciens aux travaux de la combinatoire des surpartitions.

Surpartitions planes et cristaux.

De nombreux travaux de mathematiciens [26, 84, 99, 98] et de physiciens [57, 58, 55] ontrecemment generalise les resultats classiques liant fonctions de Schur et partitions planesau cas des fonctions de Hall-Littlewood et de MacDonald [81]. Le cas particulier t = −1dans les fonctions de Hall-Littlewood fait apparaitre naturellement les surpartitions planes[26]. Ce qui est plus etonnant c’est que certaines partitions planes sont en bijection avecdes cristaux [95]. Nous chercherons a generaliser ces resultats sur les cristaux. Les surparti-tions planes apparaissent naturellement dans les representations des supers algebres [13, 75].Peut-on obtenir aussi des super-cristaux ? Ceci est un travail en collaboration avec J.S. Kim.

(Sur)partitions cylindriques

Les partitions cylindriques ont ete introduites par Krattenthaler et Gessel [63] a la fin desannees 90. Recemment Borodin [14] a donne des jolies fonctions generatrices pour ces objetsquand le bord est fixe. Les preuves ne sont ni combinatoires ni constructives. On ne peut

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alors engendrer ces objets aleatoirement. Nous voudrions donc donner une preuve construc-tive de ces resultats et des generalisations donnees dans [26, 98]. En particulier, nous vou-drions donner une preuve de la serie generatrice des surpartitions cylindriques. L’idee estde generaliser l’algorithme d’Hillmann-Grassl pour enumerer et engendrer aleatoirementces objets. Ceci permettrait aussi de donner des raffinements des resultats. Ce projet esten collaboration avec O. Mallet (U. Rouen).

Surpartitions et nombres de classe.

Il a ete decouvert recemment que de nombreuses q-series qui ne sont pas des formesmodulaires ont quand meme une jolie structure. On les appelle les formes de Maass har-moniques. Les exemples standards sont les series generatrices de rang de Dyson et sontliees aux fonctions Mock theta de Ramanujan. Dans [20, 21] les auteurs ont etudie les fonc-tions de rang des surpartitions et des paires de surpartitions. Ces resultats ont beaucoupd’applications. En particulier ils permettent de donner des congruences pour la fonctiondes surpartitions et des nouvelles fonctions Mock theta. Recemment, des formules pour lesdifferences de rang ont ete donnees en terme de formes modulaires et des series de Lambertgeneralisees. Dans [22], Lovejoy et Bringamnn ont utilise des proprietes sur les nombresde classe pour deduire des resultats sur la fonction de difference de rang. Dans ce projet,nous attaquerons la question inverse : peut on apprendre des proprietes sur les nombres declasse en utilisant la combinatoire des surpartitions ? Ce projet est en collaboration avec J.Lovejoy.

Tableaux de permutation

Les tableaux de permutation sont des nouveaux objets qui viennent de la decompositionen celulle de la partie positive ou nulle de la Grassmanienne [85, 101]. Ils sont aussi connectesa un modele de physique statistique le Processus d’exclusion partiellement asymetrique(PASEP) [51]. Ce lien a ete etabli dans [49, 48]. La these de M. Josuat-Verges est aussi danscette thematique [72, 71]. Recemment nous avons generalise ces tableaux en definissant lestableaux escaliers [46, 47]. Ces tableaux sont relies au PASEP general et permettent ausside comprendre la combinatoire des moments de la fonction de poids des polynomes d’AskeyWilson [10]. De nombreuses questions autour de ces tableaux sont en cours d’investigationou seront attaquees dans les annees a venir. Je cite quelques exemples.

Bijections pour les tableaux escaliers et les tableaux de permutation.

Les tableaux de permutation ont ete appeles ainsi car ils sont en bijection avec les per-mutations. En effet il existe n! tableaux de longueur n. Plusieurs bijections entre permu-tations et tableaux de permutation sont connues [25, 39, 85, 92]. La bijection [92] permetde relier beaucoup de statistiques sur les permutations (excedances faibles, croisements[28], alignements [101], minimum de droite a gauche. . . ) a des statistiques sur les tableaux.

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Maintenant que nous avons defini une generalisation de ces tableaux : les tableaux esca-liers [46, 47], de nombreux problemes bijectifs sont ouverts. Dans [45], nous proposons unebijection entre ces tableaux et des permutations doublement signees. Cette bijection estune generalisation de la premiere bijection de [39]. Mais elle ne permet pas de comprendreles statistiques naturelles. Ce projet est en collaboration avec S. Dasse-Hartaut (futuredoctorante).

Combinatoire des tableaux de type B.

Lam et Williams [76] ont defini des tableaux de permutation de type B et D en etudiantla partie totalement non negative de la Grassmanienne affine. Les tableaux de type B ontde tres jolies proprietes enumeratives. Dans [29], nous avons defini la notion de croisementpour les permutations signees et montre que la q-enumeration des tableaux de type Brevient a l’enumeration des permutations signees selon les croisements. En particulier quandq = 0, on retrouve les coefficients binomiaux centraux. En utilisant la combinatoire despartitions sans croisement de type B, on espere definir la bonne statistique sur les tableauxqui permettraient de compter les tableaux selon le nombre de blocs de la partition. Onvoudrait ensuite etendre ces resultats pour retrouver des nombres euleriens de type Bquand q = 1. L’espoir d’introduire cette nouvelle statistique est de pouvoir trouver unejolie formule d’enumeration pour ces tableaux, comme celles qui ont ete trouvees pour letype A [73, 71, 101]. De plus, cette formule d’enumeration pourrait donne rune formulepour les Le-diagrammes de type B. Ceci est un projet en cours avec M. Josuat-Verges, J.S.Kim et L. Williams.

Tableaux escaliers et Grassmaniennes.

Les Le-diagrammes [85] viennent de la decomposition en cellules de la partie totalementpositive ou nulle de la Grassmanienne Grnk. Les tableaux de permutation sont en sous-ensemble de ces tableaux. Quand Postnikov a defini ces tableaux [85], il leur a associe unordre lie aux croisements. Cet ordre est facile a definir sur les permutations mais difficile surles tableaux de permutation (Kelli Talaska (doctorante U. Michigan) a travaille plusieursmois sur la question). Maintenant que l’on peut voir les tableaux de permutation commeun sous-ensemble des tableaux escaliers, peut on definir cet ordre de facon simple sur lestableaux escaliers ? Si oui, peut on generaliser cela aux Le-diagrammes ? Peut on aussigeneraliser cela aux tableaux escaliers generaux ? Deuxiemement, y a t il un lien entre lestableaux escaliers et la Grassmanienne double ? Des travaux sur la grassmanienne double[100] font penser qu’il y a de l’espoir pour avoir de nouveau une decomposition en celluleselegante. Neanmoins il faudrait d’abord generaliser les resultats de Postnikov [85] et ceciest un travail de longue haleine. Ceci est un projet avec K. Talaska et L. Williams.

Quels tableaux pour les polynomes de Koornwinder ?

Dans [47] et [45], nous avons montre le lien entre tableaux escaliers et polynomesd’Askey-Wilson [10]. Maintenant que nous avons compris grace a ces tableaux, la combina-toire derriere les polynomes orthogonaux a une variable les plus generaux, nous comptons

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comprendre les polynomes a plusieurs variables. En particulier, les polynomes de Koorn-winder [74] generalisent les polynomes d’Askey Wilson et tous les polynomes de MacDonald[65, 82]. La question naturelle est de comprendre si la combinatoire des tableaux escalierspeut etre generalisee. Ceci est un projet avec M. Haiman et L. Williams.

Projets exploratoires

Ces projets sont issus de rencontres et de discussions scientifiques.

Arrangements d’hyperplans et arbres NBC.

Nous considerons les arrangements d’hyperplans definis dans [86]. Soient a et b deuxentiers tels que a ≥ 0, b ≥ 0 et a + b ≥ 2. Considerons l’arrangement Aab

n−1 dans Vn−1 ={(x1, . . . , xn) ∈ R

n |x1 + . . . + xn = 0} defini par

xi − xj = −a + 1,−a + 2, . . . , b − 1, 1 ≤ i < j < n.

Soit fabn le nombre de regions de l’arrangement Aab

n−1. Postnikov et Stanley ont donne desformules d’enumeration pour pour fab

n . Nous voulons retrouver ces formules d’enumerationen utilisant les arbres sans circuits brises (NBC = No Broken Circuits). Ce projet est encollaboration avec D. Forge et V. Ventos (LRI).

Physique statistique et combinatoire.

J’ai commence a m’interesser aux liens entre combinatoire et processus d’exclusion lorsd’un sejour a l’Universite de Melbourne. Ce travail m’a ouvert de nombreux horizons, carc’est comme cela que je me suis interessee aux tableaux de permutation. Recemment desphysiciens [11] ont obtenu de jolis resultats sur un autre type de processus : un processusd’annihilation. Dans ce cas, les particules se deplacent vers la droite mais peuvent aussis’annihiler. Les nombres qui apparaissent cette fois sont ceux des pavages du diamantazteque. Nous travaillons avec A. Ayyer (CEA Saclay), E. Duchi (LIAFA) et J. Mairesse(LIAFA) pour comprendre la combinatoire derriere ce processus.

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Annexe F

Publications

– S. Corteel and L.K. Williams, Staircase tableaux, the asymmetric exclusion process,and Askey-Wilson polynomials, to appear in Proc. Natl. Acad. Sci. USA.

– S. Corteel, C.D. Savage and D. Sills, Lecture hall sequences, q-series, and asymmetricpartition identities, Developments in Mathematics, Springer, to appear.

– S. Corteel and J. Lovejoy, Overpartitions and the q-Bailey identity, Proc. EdinburghMath. Soc., (2) 52 (2009), no. 2, 297–306.

– G.E. Andrews, S. Corteel, and C.D. Savage, On q-series identities arising from LectureHall partition, Int. J. Number Theory, 5 (2009), no. 2, 327–337.

– S. Corteel and P. Nadeau, Bijections for permutation tableaux, Eur. J. Comb., Vol.30 1, (2009), 295-310.

– S. Corteel, J. Lovejoy and O. Mallet, An extension to overpartitions of the Rogers-Ramanujan identities for even moduli, Journal of Number Theory 128 (2008), 1602-1621.

– S. Corteel, I. M. Gessel, C. D. Savage, and H. S. Wilf, The joint distribution of descentand major index over restricted sets of permutations. Ann. Comb., 11 (2007), no. 3-4,375–386.

– S. Corteel and O. Mallet, Overpartitions, lattice paths, and the Rogers-Ramanujanidentities. J. Comb. Theory, Ser. A 114 (2007), 1407–1437.

– S. Corteel and L.K Williams, A Markov chain on permutations which projects to thePASEP, Int. Math. Res. Not., No. 17 (2007), article ID rnm055, 27p.

– S. Corteel, S. Lee, and C.D. Savage, Five Guidelines for Partition Analysis withApplications to Lecture Hall-type Theorems, in Combinatorial Number Theory, deGruyter, Berlin (2007), 131–155. and Integers 7, No. 2, Paper A9 (2007).

– S. Corteel and L.K. Williams, Tableaux combinatorics for the asymmetric exclusionprocess, Adv. Appl. Math, 39, No. 3, (2007), 293–310.

– R. Brak, S. Corteel, J. Essam, R. Parviainen and A. Rechnitzer, A CombinatorialDerivation of the PASEP Stationary State, Electronic Journal of Combinatorics, 13 :R108, (2006).

– S. Corteel, W. Goh and P. Hitczenko, A local limit theorem in the theory of overpar-titions, Algorithmica, 46, No. 3-4, 329-343 (2006).

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84 ANNEXE F. PUBLICATIONS

– S. Corteel, Crossings and alignments of permutations, Adv. Appl. Math, 38, No. 2,149-163 (2007).

– S. Corteel, G. Louchard and R. Pemantle, Common Intervals in Permutations, Dis-crete Math. Theor. Comput. Sci. 8, No. 1, 189-216, (2006).

– S. Corteel and J. Lovejoy, An iterative-bijective approach to generalizations of Schur’stheorem, Europ. J. Combin. 27 (2006), 496-512.

– S. Corteel, C.D. Savage and H.S. Wilf, A note on partitions and compositions definedby inequalities, Integers 5 (2005), no 1, A24, 11pp.

– S. Corteel, S. Lee and C.D. Savage, Enumeration of sequences constrained by theratio of consecutive parts, Sem. Lothar. Combin. 54A (2005) Art. B54Aa, 12pp.

– S. Corteel, M. Valencia-Pabon and J. Vera, Approximating the b-chromatic number,Discrete Appl. Math., 146 (2005) no 1, 106-110.

– S. Corteel and P. Hitczenko, Multiplicity and number of parts in overpartitions, Ann.Combin., 8 (2004) 287-301.

– S. Corteel and C.D. Savage, Lecture Hall, q-series and truncated objects, J. Comb.Theory, Ser. A, 108 (2004) 217-245.

– S. Corteel, J. Lovejoy and A.J. Yee, Overpartitions and generating functions forgeneralized Frobenius partitions. Proceedings of the international colloquium of ma-thematics and computer sciences, Vienna, September 13-17, 2004. Basel : Birkhauser.Trends in Mathematics, 15-24 (2004).

– S. Corteel and C.D. Savage, Partitions and compositions defined by inequalities,Ramanujan J., (2004) 8, 357-381.

– S. Corteel and J. Lovejoy, Overpartitions, Trans. Am. Math. Soc., 356 (2004), 1623-1635.

– S. Corteel, A. Goupil and G. Schaeffer, Content evaluation and class symmetric func-tions , Adv. Math., 188 (2004) 315-336.

– M.P. Beal, A. Bergeron, S. Corteel and M. Raffinot, An algorithmic view of geneteams. Theoret. Comput. Sci 320 (2004), no. 2-3, 395–418.

– S. Corteel, Particle seas and basic hypergeometric series, Adv. Appl. Math, 31 (2003),no 1, 199-214.

– S. Corteel and C. D. Savage, Plane Partition Diamonds and Generalizations, Integers,Vol. 3, A9 (2003).

– S. Corteel and C.D. Savage, The anti-lecture hall compositions, Discrete Math., Vol.263, Nos. 1-3 (2003) 275-280 (Editor’s choice).

– S. Corteel, M. Valencia-Pabon, D. Gardy, D. Barth and A. Denise, The Permutation-Path Coloring Problem on Trees, Theor. Comput. Sci., 297 Nos 1-3 (2003) , 119-143.

– S. Corteel and D. Gouyou-Beauchamps, Enumerations of Sand Piles, Discrete Math.,256 (2002) 3, 625-643.

– S. Corteel and J. Lovejoy, Frobenius Partitions and the combinatorics of Ramanujan’s

1ψ1 summation, J. Comb. Theory, Ser. A, 97 (2002), no 1, 177-183.– A. Burnstein, S. Corteel, A. Postnikov and C.D. Savage, A note on a lattice path

approach to counting partitions with minimum rank , Discrete Math., Vol. 249, Nos.1-3 (2002) 31-39.

– E. Canfield, S. Corteel, P. Hitczenko, Random Partitions with non negative rth dif-

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85

ference, Adv. Appl. Math 27 (2001) 298-317.– S. Corteel, A. Denise and D. Gouyou-Beauchamps, Bijections for directed animals on

infinite families of lattices. Ann. Combin 4 (2000) 269-284.– S. Corteel, G. Remond, G. Schaeffer and H. Thomas, The number of plane corner

cuts. Adv. Appl. Math. 23 (1999), no. 1, 49-53.– S. Corteel, B. Pittel, C.D. Savage and H.S. Wilf, On the multiplicity of parts in a

random partition. Random Struct. Algorithms 14 (1999), no. 2, 185-197.– E.R. Canfield, S. Corteel, C.D. Savage, Durfee polynomials. Electron. J. Comb. 5

(1998), no. 1, R32, 21 pp.– S. Corteel, C.D. Savage and R. Venkatraman, A bijection for partitions with all ranks

at least t. J. Combin. Theory, Ser. A 83 (1998), no. 2, 202-220.– S. Corteel, C.D. Savage, H.S. Wilf and D. Zeilberger, A pentagonal number sieve. J.

Combin. Theory Ser. A 82 (1998), no. 2, 186-192.

Papiers soumis– S. Corteel and L.K. Williams, Tableaux combinatorics for the asymmetric exclusion

process and Askey-Wilson polynomials.– S. Corteel, M. Josuat-Verges and L.K. Williams, Matrix Ansatz, Orthogonal Polyno-

mials and Permutation tableaux.– S. Corteel, D. Stanton and L.K. Williams, Enumeration of staircase tableaux.– S. Corteel, C. Savelief and M. Vuletic, Plane overpartitions and cylindric partitions.

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86 ANNEXE F. PUBLICATIONS

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