dft : direct fourier transform · transformada discreta de fourier dft periódica = dfs el término...

DFT : Direct Fourier Transform

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Objetivo

Explicar las características de la Transformada Directa de Fourier «DFT» mediante el análisis de algunos ejemplos.

Interpretar el significado de los ejes de la transformación y analizar los resultados de la Síntesis de la Transformada de Fourier Directa.

Describir las periodicidades relacionadas con la transformación, así como dar una introducción a las Series Directas de Fourier «FDS».

Al final de la unidad el alumno deberá tener una comprensión de las bases de la Transformada Directa de Fourier «DFT» y las Series Directas de Fourier «FDS».

Análisis de Señales con la DFT ● Señal adquirida con N=1024 muestras.

Introducción

Transformada Discreta de Fourier

Re

Im

Análisis de Señales con la DFT x[n] ∈ ℂ1024

64 960N/2

Picos sólo en la parte realreal del espectro

cos(ωn)

Análisis de Señales con la DFT ● Señal

con:


x [n ] = cos(ωn+φ)+η[n ]

φ = 0

ω =2π

102464

Análisis de Señales con la DFT ● Actividad Solar

● Galileo detecta manchas en el sol y comienza a registrar su número y evolución.

● Número de las manchas solares y la cantidad de grupos que se forman son indicativos de la actividad solar.


Análisis de Señales con la DFT ● Actividad Solar : Registro de actividad solar mensual desde mayo 1874-Presente indicando el área de manchas solares:

http://solarscience.msfc.nasa.gov/greenwch.shtml


Análisis de Señales con la DFT ● Actividad Solar (1929 – 2014) N=1024




|x[k]|

8


● El pico principal de la DFT está en k = 8.

● 8 ciclos sobre la muestra de 1024 meses.

● Frecuencia : 1024 / 8 ≈ 11 años


Análisis de Señales con la DFT ● Si el periodo de muestreo Ts es conocido:

● La frecuencia (positiva) más rápida será: ω = π

● Una senoidal con frecuencia ω = π requerirá 2 muestras para completar una revolución completa.

● El tiempo entre muestras Ts = 1 / Fs

● El período para la senoidal más rápida será entonces = 2 Ts segundos

● La frecuencia para la senoidal más rápida resulta en: Fs / 2 Hz


Análisis de Señales con la DFT ● Señal de Audio N=1024


Análisis de Señales con la DFT ● Señal de Audio FFs s = 8ksps (kHz)= 8ksps (kHz) N=1024


204

378

266

|x[k]|

Análisis de Señales con la DFT ● Señal de Audio FFs s = 8ksps (kHz)= 8ksps (kHz) N=1024

● El pico principal de la DFT está en k = 266.

● Picos secundarios en k = 204 y 378.

● Componentes de Frecuencia :


FFs s /2 = 4kHz/2 = 4kHz

N/2=512

4kHz512

k

1593.75

2078.12

2953.12

Análisis de Señales con la DFT ● Huracanes por año N=151

http://www.aoml.noaa.gov/hrd/hurdat/easyhurdat_5103.html


Análisis de Señales con la DFT ● Huracanes por año N=151


|x[k]|

Síntesis de Señales con la DFT


Síntesis de Señales con la DFT ● Generador de sinusoidales


wn(k)= e

j( 2πN

nk+φk )

Im

Re

-1

-1 1

2πk/Nw

k [0]

wk [1]

wk [2]

ϕk

Síntesis de Señales con la DFT ● Generador de sinusoidales


Ak ej( 2π

Nnk+φk )A k

φk~

k

Síntesis de Señales con la DFT


x [n]

A0

φ0~ 0

A1

φ1~ 1

~N-2

A N−1

φN −1~

A N−2

φN −2

N-1

+...

Síntesis de Señales con la DFT ● Como inicializar el generador de sinusoidales

● Amplitud del k-esimo elemento:

● Fase del k-esimo elemento:


Ak

φk~ k

Ak =∣X [k ]∣/N

φk = ∠ X [k ]

Síntesis de Señales con la DFT ● Ejemplo:


x [n] = [1,2,3, 4,3,2,1]

Síntesis de Señales con la DFT ● Ejemplo:


x [n] = [1,2,3, 4,3,2,1]

|x[k]|

∠x[k]

k Ak ϕk

0 2.285714 0

1 0.721274 -2.69279

2 0.043997 0.8976

3 0.091872 -1.7952

4 0.091872 1.7952

5 0.043997 -0.8976

6 0.721274 2.69279


x [n]

A0

φ0 ~ 0

A1

φ1 ~ 1

~N-2

A N−1

φN −1 ~

A N−2

φN −2

+...

Síntesis de Señales con la DFT ● Ejemplo: Inicializar Ak y ϕk con los valores obtenidos

N-1

Ak ej(2πN nk+ φk )

x [n ] =∑ Ak ej(2πN nk+ φk )


Síntesis de Señales con la DFT ● k=0


∑ Ak ej(2πN nk +φ k)

Real Imaginaria





Real Imaginaria


Síntesis de Señales con la DFT ● ¿Que ocurre si se procesa la señal usando más pasos que los contenidos en el intervalo de k = 0:N-1 ?

x [n+N ] = x [n ]

¡ La salida de laseñal resulta ser periódica !


Síntesis de Señales con la DFT ● Para los casos donde k > N-1

Fórmula de la Síntesis:

Produce una señal de N puntos en el dominio del tiempo

Produce una señal N-periódica en el dominio del tiempo

x [n ] =1N ∑k=0

N−1

X [k ] ej2 πN

nk

, n=0,1,. .. , N−1

x [n ] =1N ∑k=0

N−1

X [k ] ej2 πN

nk

, n ∈ℤ


DFT periódica = DFS● El término « DFS : Discrete Fourier Series» se emplea para referir explícitamente los casos donde las señales discretas de Fourier son de naturaleza periódica.

● Las DFS traduce una señal N-periódica en una secuencia periódica de Fourier de sólo N-elementos.

● La inversa de una DFS mapea una secuencia de coeficientes de Fourier de periodicidad N en una señal N-periódica.

● Matemáticamente la DFS de una señal no periódica es igual a una DFT de un sólo período.


DFT periódica = DFS● Las DFS nos ayudan a entender el mecanismo para definir los corrimientos en el tiempo de señales de longitud finita.

● Para una secuencia N-periódica x̃ [n ]:

x̃ [n−M ] está bien definida para toda M∈ℕ

DFS {x̃ [n−M ]}= e− j

2 πN

Mk

X̃ [ k ]

IDFS { X̃ [k ]}= x̃ [n−M ]

X̃ [ k ]= DFS {x̃ [n]}

Corrimiento de fase


DFT periódica = DFS● En cuanto a la inversa

IDFS {~X [k ](defasada en M)}=~x [n−M ]

IDFS {ej2 πN

Mk

X̃ [k ]}= x̃ [n−M ]

Corrimiento o Retraso en el dominio de la frecuencia


DFT periódica = DFS● Para una señal x[n] de N-puntos :

x [n−M ] No está definida / Fuera del intervalo

x̃ [n ] se construye mediante :

x [n mod N ]→ X̃ [ k ] = X [ k ]

IDFS {ej2 πN

Mk

X̃ [k ]}= IDFS {ej

2 πN

Mk

X [ k ]}

IDFS {ej2 πN

Mk

X [k ]}= x̃ [n−M ] = x [(n−M ) mod N ]Corrimiento = operación circular

Una herramienta para cada clase de señal

● DFT :

● Empleada en Señales de Longitud Finita

● DFS :

● Señales Periódicas

● Extensión natural de la DFT para señales periódicas

● DTFT :

● Señales de longitud infinita



DFS (Señales Periódicas)● Versión para señales periódicas del la DFT

● Para una señal x[n] de N-puntos :

● N-grados de libertad (DOF)

● Toda la información de frecuencia está capturada en tan sólo N coeficientes α

k (N-grados de libertad )

DFS {x̃ [n−M ]} = e− j 2π

NMk

X̃ [k ]


DFS (Señales Periódicas)

x [n] + y [n ]

z−Mα

y [n ]= α y [n−M ]+x [n]



x [n] = (2n /(N−1))−1



X [k ] = DFT {x [n ]}

Componente DC = 0



x [n] + y [n ]

z−Mα

x̃ [n] ≠ 0 para 0⩽n<M y α = 1

y [n] = x̃ [0 ], x̃ [1] , ... , x̃ [M−1] ,x̃ [0] , x̃ [1 ], ... , x̃ [M−1] , ...x̃ [0] , x̃ [1 ], ... , x̃ [M−1] , ...

1er período

2do período

3er período



N = 64

y [n ]= α y [n−M ]+x [n]



N = 64

Y [k ] = DFT {y [n ]}: DFT de 2 períodos



N = 64


k = 0



N = 64


k = 1



N = 64


k = 2



N = 64


k = 3



N = 64




N = 96

y [n ]= α y [n−M ]+x [n]



N = 96


k = 0



N = 96


k = 1



N = 96


k = 2



N = 96


k = 3



N = 96



DFS (Señales Periódicas)● Conclusiones:

● La información espectral contenida en la DFT también está contenida en la DFS .

● El término DFS se utiliza para recalcar que se trabaja con una señal periódica de N-puntos.

● Los componentes espectrales que se encuentran en las diferentes proyecciones de la DFS se les encuentra también en la DFT (de un sólo período) pero en cada caso con coeficientes escaladoscoeficientes escalados.


DFS (Señales Periódicas)● Conclusiones:

X L[k ] = L X̄ [k /L] si k=0, L ,2L , 3L , ...

X L[k ] = 0 si k≠0, L ,2L ,3L , ...


DTFT (Señales de longitud Infinita)● DTFT : Discrete Time Fourier Transform

● Se usa para señales infinitas pero variables

● Considere una señal formada por elementos pero que estos no se repiten.

● Por ejemplo podemos tener señales aleatorias

● Podemos también tener señales periódicas PERO cuya magnitud cambia conforme avanza la secuencia:


DTFT (Señales de longitud Infinita)● Ejemplo de una señal periódica cuya magnitud cambia conforme avanza la secuencia:

e.g.: para un α < 1

y [n] = x̃ [0] , x̃ [1], ..., x̃ [M−1] ,

α x̃ [0] ,α x̃ [1] , ... ,α x̃ [M−1 ], ...

α2 x̃ [0 ] ,α2 x̃ [1] , ... ,α2 x̃ [M−1 ], ...

1er período

2do período

3er período


DTFT (Señales de longitud Infinita)● En primer lugar consideremos que es lo que pasa en una DFT cuya N → ∞.

● Como las frecuencias de las señales fundamentales están definidas en términos de N :

● Conforme N → ∞ la frecuencia ω disminuye.

● Por lo tanto el conjunto de frecuencias en el intervalo [0, 2π] se incrementa e incrementa en proporción al factor (2π/N)k .

ℂN ω= 2 π/N


DTFT (Señales de longitud Infinita)● En el límite con N → ∞ : (2π/N)k → ω

● Lo que hace cambiar a ω de valor discreto a una variable en el dominio de los reales.

● La frecuencia ω ya no es un múltiplo de la frecuencia fundamental.

● La sumatoria extrae los valores resultantes del intervalo.

∑n

x [n ]e− jωn ω∈ℝ


DTFT (Señales de longitud Infinita)● Definición «Discrete Time Fourier Transform»:

● La función se define para ω ∈ ℝ :

● Si dicha función existe, entonces la inversa se define como:

x [n ] ∈ l 2(ℤ)

F (ω) = ∑n=−∞

∞

x [n ] e− jω n

x [n ] =1

2 π∫−π

π

F(ω)e jω n dω , n ∈ ℤ

Secuencia de energía finita


DTFT (Señales de longitud Infinita)● Periodicidad de la DTFT:

● F(ω) es periódica en 2π

● Por convención se representa dentro del intervalo de [ -π, π ].

X (e jω)= ∑

n=−∞

∞

x[n] e− jω n

Resalta el hecho de ser periódica en 2π

X (e jω)


DTFT (Señales de longitud Infinita)● Ejemplo: x [n] =∣a∣n u [n ] ∣a∣<1

Secuencia de energía finita

a = 0.88


DTFT (Señales de longitud Infinita)

X (e jω)= ∑n=−∞

∞

x[n ] e− jω n

x [n] =∣a∣n u [n ] ∣a∣<1

=∑n=0

∞

an e−j ω n

=∑n=0

∞

(ae− jω)

n =1

1−a e− jω



● Magnitud de la señal

x [n] =∣a∣n u [n ] ∣a∣<1

∣X (e jω )∣2 =1

1+α2−2α cosω



x [n] =∣a∣n u [n ] ∣a∣<1

-π -π/2 0 π/2 π



x [n] =∣a∣n u [n ] ∣a∣<1 -1π a 1π

∣X (e j ω)∣



x [n] =∣a∣n u [n ] ∣a∣<1 -3π a 3π



x [n] =∣a∣n u [n ] ∣a∣<1 -5π a 5π


DTFT (Señales de longitud Infinita)x [n] = (2 n /(N−1))−1 n=0,1,… ,N−1



y [m] = α(m/N ) x̃ [m mod N ]u [m ] M=800

N=32

α=0.88



Y (e jω) = ∑

m=−∞

∞

y [m ]e−j ωm

= ∑p=0

∞

∑m=0

M−1

αp x̃ [m] e− jω ( pM +m )

= ∑p=0

∞

αp e− jωMp ∑

m=0

M−1

x̃ [m] e− jωm

= A (e− jωM) X̃ (e− jω

)

Suma externa: Repetición (escala)

Suma interna: Figura básica

~ DTFT Exponencial

Escala en frecuencia

~ DTFT Señal acotada en M



A (e jω)= DTFT {α n u [n ]}=

11−αe− jω

∣A (e j ω)∣



A (e jωM) rescala el eje de la frecuencia: periodicidad

∣A (e j ω)∣M = 1

-π -π/2 0 -π/2 π




∣A (e j ω)∣M = 2

-π -π/2 0 -π/2 π




∣A (e j ω)∣M = 3

-π -π/2 0 -π/2 π




∣A (e j ω)∣M = 4

-π -π/2 0 -π/2 π




∣A (e j ω)∣M = 5

-π -π/2 0 -π/2 π




M = 12



X̄ (e jω)= e− jω(M+1

M−1)1−e−j (M−1 )ω

(1−e− jω )2−

1−e− j (M+1)ω

(1−e− jω )2



Y (e jω) = Ae jωM X̄ e jω



Condiciones

● Existencia:∣X (e jω)∣= ∣ ∑n=−∞

∞

x [n ]e−j ω n∣

Secuencia absolutamente sumable, por lo tanto:

= ∑n=−∞

∞

∣x[n ]∣

< ∞

El resultado debe ser acotado

⩽ ∑n=−∞

∞

∣x[n ]e− jω n∣



Condiciones

● Inversa:

12 π ∫−π

π

X ( e j ω )e jω n dω =1

2 π ∫−π

π

( ∑k=−∞∞

x [k ] e− jω k)e jω n dω

Si n≠k = ∑

k=−∞

∞

x [k ]∫−π

π

e− jω(n− k )

2 πdω

Se generan un número entero de ciclos entre -π y π= 0



Condiciones

● Inversa:

12 π ∫−π

π

X ( e j ω )e jω n dω =1

2 π ∫−π

π

( ∑k=−∞∞

x [k ] e− jω k)e jω n dω

Si n=k

= ∑k=−∞

∞

x [k ]∫−π

π

e− jω(n− k )

2 πdω

= x [n]



Formalmente la DTFT es un producto punto en ℂ∞

● Pero como nuestra «base» es infinita y no puede ser cuantificada:

● Se debe notar que comienza con secuencias pero el resultado de la transformación es una funciónfunción

● DTFT existe para todas las secuencias de suma cuadrada acotada

∑n=−∞

∞

x [n ]e jω n = ⟨ e jω n , x [n ]⟩

{e jω n }ω ∈ ℝ



Propiedades

● Linealidad:

● Corrimiento en el tiempo:

● Modulación de señal (dual)

DTFT {α x [n ]+β y [n ]} = α X (e jω)+βY (e jω

)

DTFT {x [n−M ]}= e−j ωM X (e jω)

DTFT {e jω0 n x [n ]}= X ( e j (ω−ω0 ))

Rotación plano complejo

Desplazamiento en la frecuencia



Propiedades

● Inversión del tiempo:

● Conjugado

DTFT {x [−n ]} = X (e− jω)

DTFT {x * [n ]}= X *(e− jω)

Inversión de la frecuencia

Conjugado e Inversión de la frecuencia


DTFT (Señales de longitud Infinita)● Si x[n] es simétricasimétrica, la DTFT resultará simétricasimétrica

● Si x[n] es realreal, la DTFT será Hermitiana y simétricaHermitiana y simétrica

● Si x[n] es realreal, la magnitud de la DTFT será simétricasimétrica

● Si x[n] es real y simétricareal y simétrica, la X(ejω) será real y simétricareal y simétrica

x [n ] = x [−n ] ⟺ X (e jω)= X (e− jω

)

x [n ] = x * [n ] ⟺ X (e jω)= X *(e− jω

)

x [n ] ∈ℝ ⟺ X (e jω) = X (e−j ω

)


DTFT (Señales de longitud Infinita)● Para algunas funciones no hay problema :

● Sin embargo en otros casos existen dificultades:

DFT {δ[n ]}= 1

DTFT {δ[n ]} = ⟨ e jω n , δ[n ]⟩ = 1

DFT {1}= N δ[k ]

DTFT {1}= ∑n=−∞

∞

e− jω n = ?

Problema: Muchas otras funciones tampoco son acotadas


DTFT (Señales de longitud Infinita)● Para las funciones no acotadas usamos :

La delta de Diracdelta de Dirac

∫−∞

∞

δ( t−s) f ( t)dt = f (s)

para todas las funciones de t ∈ℝ

donde s ∈ ℝ



La delta de Diracdelta de Dirac

limk→∞ r k(t)=δ(t )

rect ( t ) = 1 for ∣t∣<12

0 en cualquier otro caso

Area = 1



La delta de Diracdelta de Diracf(t)

δ(t− s)

f(s)∫−∞

∞

δ(t−s) f (t )dt

limk→∞ r k ( t )=δ(t )


DTFT (Señales de longitud Infinita)● Tren de pulsos en el dominio de la frecuencia :

δ̃(ω)= ∑k=−∞

∞

δ (ω−2π k )

−3π −2π −1π 0 1π 2π 3π

● El teorema de muestreo sirve de puente entre las señales analógicas y las digitales, al relacionar ambos tipos de señales bajo la siguiente fórmula:

Muestreo continuo : Nyquist & Shannon

x ( t )=∑n=-∞

∞

x [n]sin (π(t−nT S)/T S)

π( t−nT S)/T S



DTFT (Señales de longitud Infinita)● Con la fórmula anterior entonces podemos definir :

DTFT {1}= δ̃(ω)

DTFT {ejω0 n}= δ̃(ω−ω0)

DTFT {cosω0 n} =[δ̃(ω−ω0 )+δ̃(ω+ω0 )]

2

DTFT {sinω0 n} =− j[ δ̃ (ω−ω0)−δ̃(ω+ω0)]

2


DTFT (Señales de longitud Infinita)● Transformación de soporte finito «finite support»

X̄ (e jω)= ∑

k=0

N−1

X [ k ]ᐱ (ω−2 πN) k

conᐱ (ω)= (1 /N) R̄ (e jω): Interpolación de la DTFT


DTFT (Señales de longitud Infinita)● DFT Diente de sierra de 32 «Taps»

N=32


DTFT (Señales de longitud Infinita)● Diente de sierra: extensión de soporte finito

N=96


DTFT (Señales de longitud Infinita)● DTFT Diente de sierra: extensión de soporte finito

N=96


DTFT (Señales de longitud Infinita)● Diente de sierra: extensión de soporte finito

N=640



N=640


DTFT (Señales de longitud Infinita)● Conclusiones:

● Zero Padding no añade nueva información a la señal

● Una transformada discreta de Fourier (DFT) con «zero padding» es simplemente una DTFT con una extensión de soporte finito muestreada


Resumen DFT

x [n ] = 1 /N∑ X [k ] ej2 πN

nk

X [ k ]= ⟨e− j2 πN

nk

, x [n ] ⟩

base : {e j2 πN

nk }k

ℂN

ℂN


Resumen DFS

x̃ [n ] = 1 /N∑ X̃ [k ] ej2 πN

nk

X̃ [ k ]= ⟨e− j2 πN

nk

, x̃ [n ] ⟩

base : {e j2 πN

nk }k

ℂ̃N

ℂN


Resumen DTFT

x [n ] =1

2 π∫ X ( e jω ) e jω n dω

X (e jω)= ⟨e−j ω n , x [n ]⟩

«base» : {e jω n }ωl2 (ℤ) L 2 [−π ,π]

Aplicaciones

Modulación Sinusoidal

● Pasa-bajos, Pasa-altos y Pasa-banda

● Modulación

Short-Time Fourier Transform (STFT)

● Representaciones Tiempo vs Frecuencia

● STFT y los Espectrogramas

● Ajustes Tiempo-Frecuencia

Aplicaciones


● Las Señales las podemos subdividir en tres categorías básicas en cuanto a su distribución de frecuencias.

● Pasa-bajos, Banda base o «baseband»

● Pasa-altos

● Pasa-banda

Aplicaciones


● Señales Pasa-bajos «baseband»

Aplicaciones


● Señales Pasa-altos

Aplicaciones


● Señales Pasa-banda

Aplicaciones


● Multiplicación por coseno

● x[n] : Banda base

● ωc es la frecuencia portadora «carrier frequency»

DTFT {x [n ]cos(ωc n)} = DTFT {12 ejωc n

x [n ]+12

e− jωc n

x [n ]}

=12{X ( e j (ω−ω c))+X (e j (ω+ω c)) }

Aplicaciones



Señal Banda base

Aplicaciones



Señal Modulada

Aplicaciones


● Multiplicación por coseno (con Periodicidad)

Señal Banda base

Aplicaciones



Señal Modulada

Aplicaciones



Aplicaciones


● Señales de Voz y Música se clasifican como señales Pasa-bajas «baseband»

● Transmisiones radiales son señales Pasa Banda, frecuencias mucho mayores

● Modulación desplaza la señal Pasa-Bajas a una banda de transmisión.

● La Demodulación en el receptor regresa al señal a la banda base

Aplicaciones

Demodulación Sinusoidal

DTFT {y [n ]⋅2cos (ωc n)} = Y (e j (ω−ωc ) )+ (Y e j (ω+ω c) )

Y (e jω) =12[X (e j (ω−ω c))+ (X e

j (ω+ω c)) ]y [n ] = x[n ] cos(ωc n)

=12[X (e j (ω− 2ωc ) )+X (e j(ω) )+X (e j (ω) )+ ( X e j(ω+2ω c) ) ]

= X (e j(ω) )+ 12[ X (e j(ω−2ω c) )+( X e j (ω+ 2ωc )) ]

Aplicaciones



Aplicaciones



DTFT {y [n ]2cos (ωc n)}

Aplicaciones


● Resumen

● Se recupera íntegramente la señal en banda base

● Pero se conservan algunas componentes espurias de alta frecuencia.

● Componentes de alta frecuencia que habrá que eliminar.

Aplicaciones

Afinación de Instrumentos

● Problema

● Se tiene una señal de referencia sinusoidal a una frecuencia ω

0

● Se tiene una señal variable ω se la cual se desea ajustar (afinar).

● El objetivo es hacer ω = ω0 empleando

únicamente el oído

Aplicaciones


● Procedimiento

1) Acercar ω a la frecuencia de ω0

2) Cuando ambas frecuencias son cercanas ω ≈ ω

0 se reproducen ambas

señales al mismo tiempo.

3) Se emplea explora la relación entre señales

Aplicaciones


● Relación entre frecuencias

x [n ] = cos(ω0 n)+cos(ω n)

x [n ] = 2cos(ω0+ω

2n)+cos(

ω0−ω

2n)

≈ 2 cos (Δω n )+cos (ω0 n )

Aplicaciones


● Relación entre frecuencias

● Cuando ω ≈ ω0 , la componente de error casi no

se percibe, sin embargo al ser modulada por la señal portadora ω

0 permite que sea escuchada.

x [n ]≈ 2 cos (Δω n )+cos (ω0 n )

Error Señal de modulación ω

0

Aplicaciones


Short-Time Fourier Transform

Dual-Tone Multi Frecuency Dialing : DTMF



Frecuencias seleccionadas para NO coincidir en caso de suma o resta (modulación)

Relación tiempo - frecuencia● La representación en el tiempo NO proporciona información clara de las frecuencias

● La representación en la frecuencia NO proporciona información clara sobre los eventos en el tiempo


Concepto● Tomar pequeños tozos, de longitud L , de la señal original

● Transformar dichas secciones usando la DFT y analizar en conjunto la información:


X [m ;k ] =∑n=0

L−1

x [m∗L+n ] e− j 2 π

Lnk

Muestreo con L = 256


Definición● Es una representación visual del espectro de frecuencias en una señal (e.g. Sonido, vibración, etc) donde la intensidad de la señal varían con el tiempo o con alguna otra variable. Los espectrogramas a veces se llaman cataratas espectrales, huellas vocales, o voicegrams.

● Los espectrogramas se utilizan ampliamente en los campos de la música, sonar, de radar, el procesamiento del habla, la sismología, etc.

● Spectral waterfalls, voiceprints, or voicegrams

Espectrograma

Definición

Espectrograma

Implementación● Codificar la magnitud en escala de colores

● e.g. : En escala de grises (hot, jet, bone, copper, ...)

● Oscuro = Magnitud pequeña

● Claro = Magnitud grande

● Emplear escalas logarítmicas (potencia en dBs)

● 10 log10( | X [ m; k ] | )

● Conjuntar cada resultado espectral, una tras otra, hasta construir una matriz.

Espectrograma

Muestreo con L = 256

Espectrograma de la DTMF

Dimensionamiento● Si se conoce la frecuencia de muestreo: Fs=1/T entonces será posible dimensionar los ejes.

● Fs/2 Hz representa la máxima frecuencia positiva

● La resolución en frecuencia se obtiene mediante : Fs/L Hz● El ancho de las rebanadas en tiempo estará determinado por: L Ts segundos

Espectrograma

Fs = 8000 Hz


Dimensionamiento

● ¿Como determinar el ancho óptimo de la ventana de análisis ?

● ¿Cual es la posición óptima de las ventanas de transformación?

● ¿Se pueden traslapar? ¿Por cuanto?

● La forma óptima de la ventana

● Ponderación de las muestras

Espectrograma

Tempering

Espectrograma

L10

L10 2L1

Wideband vs Narrowband

● Ventana Larga : Narrowband● Más puntos para la DFT : Mayor resolución en frecuencia

● Pueden ocurrir más cosas : Menor resolución espacial

● Ventana corta : Wideband ● Muchos intervalos de tiempo : mejor localización de las transiciones temporales

● Menos puntos para la DFT : pobre resolución de frecuencias

Espectrograma

Wideband


Original (entre Wideband y Narrowband)


Narrowband


Análisis de Voz


Subdivisión del espectrograma

Espectrograma

L=20

2 π / L


Espectrograma

L=10

2 π / L


Espectrograma

L= 4

2 π / L


● Resolución en el tiempo:

● Δt = L

● Resolución en la Frecuencia:

● Δf = 2 π / L

● Relación tiempo-frecuencia:

● Δt Δf = 2 π

Espectrograma

dft : direct fourier transform · transformada discreta de fourier dft periódica = dfs el término...

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