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Curso: Disciplina: lgebra e Geometria Analtica Turma:

Turno: Perodo: Professor: Zeca Dutra

DETERMINANTES

Determinante o nmero real associado a uma

matriz quadrada, obtido por meio de operaes

que envolvem todos os elementos da matriz.

Determinante de uma matriz quadrada de

ordem 1

Seja a matriz quadrada de ordem 1, indicada por

A = [aij].

Por definio, o determinante de A igual ao

nmero aij.

Determinante de uma matriz quadrada de

ordem 2

Se A uma matriz quadrada de ordem 2,

calculamos seu determinante fazendo o produto

dos elementos da diagonal principal menos o

produtos dos elementos da diagonal secundria.

Dada a matriz A = [11 1221 22

], indicamos seu

determinante por:

Determinante de uma matriz quadrada de

ordem 3 Consideremos a matriz genrica de ordem 3:

A = (

11 12 1321 22 2331 32 33

)

Exemplos:

01. Calcule o determinante da Matriz

A = (3 1 52 0 2

1 4 3)

02. Dadas as matrizes A = [2 x3 9

] e B = [3 16 1

],

determine x para que se tenha det A = det B.

Teorema de Laplace

O determinante de uma matriz quadrada de

ordem n 2. igual soma dos produtos dos elementos de uma linha ou coluna qualquer pelos

seus respectivos cofatores.

Para resolver o determinante pelo teorema de

Laplace fixamos uma linha ou coluna. Qualquer

que seja a linha ou coluna o resultado ser o

mesmo.

Exemplo: Calcular o determinante da matriz

A = [2 1 30 4 56 2 1

],utilizando o teorema de

Laplace.

Determinante de uma matriz de ordem maior

que 3.

Para calcular um determinante de ordem maior

que 3, aplicaremos o teorema de Laplace, tantas

vezes quantas forem necessrias, at chegar a um

determinante de ordem 3. Da, podemos aplicar a

regra de Sarrus.

Exemplo: Calcular o determinante da matriz

M = [

1 2 12 3 40 0 1

035

2 2 4 1

].

Propriedades dos determinantes

1 propriedade:

Se todos os elementos de uma linha ou coluna de

uma matriz quadrada forem nulos, o seu

determinante zero.

Exemplo:

A = (2 30 0

)

2 propriedade:

Se duas linhas ou colunas de uma matriz

quadrada forem iguais ou proporcionais, seu

determinante nulo.

Exemplo:

B = (2 56 15

)

N = [7 6 71 3 12 9 2

]

3 propriedade:

Se uma linha (ou coluna) de uma matriz

quadrada for combinao linear de outras duas

linhas (ou colunas), seu determinante nulo.

Exemplo:

A = [2 1 4

2 3 10 4 3

]

4 propriedade:

O determinante de uma matriz quadrada A

igual ao determinante de sua transposta At, ou

seja, det A = det At.

Exemplo: Dada a matriz A = (1 23 4

).

5 propriedade:

Se trocarmos de posio entre si duas linhas (ou

duas colunas) de uma matriz quadrada, o

determinante da nova matriz o oposto do

determinante da primeira matriz.

Exemplo:

A = (2 64 15

)

6 propriedade:

Se multiplicarmos todos os elementos de uma

linha (ou de uma coluna) por um nmero real k,

o determinante da nova matriz o produto de k

pelo determinante da primeira matriz.

Exemplo:

A = (3 52 4

)

7 propriedade:

Se todos os elementos de uma matriz quadrada

situados acima ou abaixo da diagonal principal

forem nulos, o determinante da matriz ser igual

ao produto dos elementos da diagonal principal.

A = [1 0 02 5 03 9 4

]

Teorema de Jacobi

Se adicionarmos a uma linha (ou coluna) de uma

matriz quadrada A uma outra linha (ou coluna)

multiplicada por nmero k qualquer, o

determinante da matriz B obtida ser igual ao da

matriz A.

Exemplo:

A = (1 23 4

)

Substituindo a 2 linha de A pela soma dessa

linha com o produto da 1 linha por 3, temos:

B = (1 20 2

)

SISTEMAS DE EQUAES LINEARES Denomina-se sistema linear m x n o conjunto S e

m equaes em n incgnitas que pode ser

representado da seguinte forma:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1

a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1

. . .

. . .

. . .

am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn = bm

Exemplo:

Dizemos que (1, 2, 3, ..., n) soluo de um sistema linear quando (1, 2, 3, ..., n) colocados no lugar das incgnitas satisfaz todas

as equaes simultaneamente.

Exemplo:

1) O par (5, 10) soluo do sistema

2x + 3y = 13 3x 5y = 10

2) A sequncia (1, 3, - 2) soluo do sistema

x + 2y + 3z = 1

4x y z = 3

x + y z = 6

SISTEMAS LINEARES 2 X 2

Resolver um sistema linear significa descobrir o

seu conjunto soluo s, formado por todas as

solues do sistema.

Exemplo: Ache a soluo de cada sistema a

seguir:

1) 3x y = 10 2x + 5y = 1

2) x 2y = 5 2x - 4y = 2

3) 2x 6y = 8 3x - 9y = 12

SISTEMA LINEAR EQUIVALENTE

Dois sistemas so ditos equivalentes quando

admitem o mesmo conjunto soluo.

x 2y = -3 3x 4y = -5 2x + y = 4 x + 2y = 5

S

s

s e

CLASSIFICAO DE UM SISTEMA LINEAR

Os sistemas lineares so classificados quanto ao

nmero de solues em da seguinte forma:

MATRIZES ASSOCIADAS A UM SISTEMA

LINEAR

Seja o sistema linear de m equaes e n

incgnitas:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1

a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1

. . .

. . .

. . .

am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn = bm

Matriz completa

A = (

11 12 1 121 22 2 2 .

1 2

)

Matriz incompleta

A = (

11 12 1 21 22 2 .

1 2

)

Resoluo de sistema pela regra de Cramer

Seja o sistema: {a11x + a12y + a13z = b1a21x + a22y + a23z = b2a31x + a32y + a33z = b3

Para resolver o sistema pela regra de Cramer

necessitamos dos determinantes:

D = |

11 12 1321 22 2331 32 33

|, Dx = |1 12 132 22 233 32 33

|

Dy = |11 1 1321 2 2331 3 33

| e Dz = |11 12 21 22 231 32 3

|

A soluo do sistema ser dada pelos valores de

x, y e z, calculados da seguinte forma:

x =

, y =

e z =

Exemplo: Resolver os sistemas:

a) {x + 2y + z = 7

2x + 7y + z = 213x 5y + 2z = 8

b) {x + y + z = 6

2x y z = 03x + 3y + 3z = 9

c) {2a + 4b = 64 + 8 = 4

Sistema linear

Possvel: Quando admite soluo

Impossvel: Quando no admite

soluo

Determinado: Admite uma nica soluo

Indeterminado: Admite infinitas

solues

RESOLUO DE UM SISTEMA LINEAR

POR ESCALONAMENTO

Um sistema dito escalonado quando est

disposto nas seguintes formas:

x + 3y = 4

0x 5y = 1

x + 2y - z = 2

0x +5y + z = 1

0x + 0y z = 7 Observe que, nestes exemplos, na primeira

equao aparecem todas as incgnitas, na 2

desaparece a incgnita x, 3 equao, quando h

desaparece a incgnita y, assim sucessivamente.

Mtodo do escalonamento

o processo usado para resoluo de um sistema

linear que envolve eliminao de incgnitas.

Este mtodo procura transformar o sistema dado

em sistemas equivalentes, at chegar a um

sistema escalonado, usando as seguintes

transformaes elementares sobre as equaes do

sistema dado:

Trocar as posies de duas equaes. Multiplicar uma das equaes por um

nmero real diferente de zero.

Multiplicar uma equao por um nmero real e adicionar o resultado a

outra equao.

Exemplos:

1. Resolver os sistemas:

a) 4x 3y = - 2 2x + 4y = 10

b) x + 2y + 4z = 5

2x y - 2z = 8 3x - 3y z = 7

c) x + y + z = 12

3x y + 2z = 14 2x - 2y + z = -3

d) 4x - 4y + z = 3

3x + y + 4z = - 1

5x - 2y + 3z = 2