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INDICE

INTRODUCCIÓN .............................................................................................................................. 2

DEFINCION DETERMINANTE ...................................................................................................... 3

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES ............................................................................ 4

INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA ATRAVES DE LA ADJUNTA ............................. 8

DETERMINANTES DE UNA MATRIZ ........................................................................................ 11

INVERSA DE UNA MATRIZ ........................................................................................................ 12

CONCLUSIÓN ................................................................................................................................ 14

RESUMEN ....................................................................................................................................... 15

BIBLIOGRAFIA .............................................................................................................................. 16

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INTRODUCCIÓN

El presente trabajo pretende que el determinante de una matriz es un número real,

que permite calcular el determinante de una matriz cuadrada de cualquier orden. El

conocimiento de las propiedades de los determinantes contribuirá a simplificar los

cálculos, así mismo otros procedimientos para calcular el rango de una matriz y la

matriz inversa, usando determinantes.

El concepto de determinante de una matriz cuadrada tiene una gran relevancia

dentro de la teoría de matrices. Los determinantes resultan de gran utilidad a la hora

de resolver determinados sistemas de ecuaciones lineales (los llamados sistemas

de Cramer), discutir la existencia de solución de sistemas de ecuaciones lineales

generales

El conocimiento de los determinantes es fundamental para afrontar con éxito otros

temas de este curso, que los utilizan como herramienta. Las matrices se encuentran

en aquellos ámbitos en los que se trabaja con datos regularmente ordenados y

aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales, Económicas y Biológicas.

La utilización de matrices constituye actualmente una parte esencial de los

lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los

ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas

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DEFINCION DETERMINANTE

El determinante de una matriz n x n. Esto se puede hacer de muchas formas, la

definición que daremos nos permite obtener un procedimiento relativamente fácil

para el cálculo de determinantes, parte de la teoría de determinantes envuelve

procesos engorrosos y difíciles que no serán expuestos. Asi que asumiremos sin

prueba aquellos resultados que caen dentro de esta categoría. Si alguien desea

conocer las pruebas de dichos teoremas pueden ser consultadas en el libro

Matemáticas Superiores para Ingenieros 4a Edición. C RAY WYLIE. Mc. Graw Hill.

El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único

número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n, el

determinante de la matriz A lo denotaremos por det(A) o también por (las barras

no significan valor absoluto).

DEFINICIÓN 2.1 (Determinante de una matriz de orden 1)

Si es una matriz de orden uno, entonces det(A)=a.

DEFINICIÓN 2.2 (Menores y cofactores de una matriz de orden n)

Sea A una matriz de orden , definimos el menor asociado al

elemento de A como el determinante de la matriz que se obtiene al eliminar la

fila i y la columna j de la matriz A. El cofactor asociado al elemento de A esta

dado por .

DEFINICIÓN 2.3 (Determinante de una matriz de orden superior)

Si A es una matriz de orden , entonces el determinante de la matriz A es la

suma de los elementos de la primera fila de A multiplicados por sus respectivos

cofactores.

REGLA DE SARRUS

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Paso 1 Escriba la matriz A y enseguida las primeras dos columnas de A como se muestra a

continuación

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES Las propiedades de los determinantes, que enunciaremos a continuación, son

válidas cualquiera que sea su orden. No obstante, para facilitar su comprensión,

utilizaremos determinantes de orden 2 y 3. Las comprobaciones de las mismas se

pueden hacer fácilmente desarrollando los determinantes.

1ª El determinante de una matriz cuadrada coincide con el determinante de su

traspuesta, es decir: Det ( A ) = Det ( At )

2ª Si intercambiamos dos filas o dos columnas de una matriz cuadrada, su

determinante cambia de signo aunque son iguales en valor absoluto.

3ª Si multiplicamos todos los elementos de una fila o columna de una matriz

cuadrada por un número k, su determinante queda multiplicado por dicho número.

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Como generalización de esta propiedad, si multiplicamos todos los elementos de

una matriz cuadrada de orden n por un número k, su determinante queda

multiplicado por kn, es decir: Det (k . A) = kn . Det ( A ).

4ª El determinante del producto de dos matrices cuadradas del mismo orden es

igual al producto de los determinantes de dichas matrices: Det ( A . B ) = Det ( A ) .

Det ( B ).

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5ª Si una matriz cuadrada tiene todos los elementos de una fila o columna nulos, su

determinante es cero.

6ª Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas iguales su determinante

es cero.

7ª Si una matriz cuadrada tiene dos filas o columnas proporcionales su determinante

es cero.

8ª Si todos los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada se

descomponen en dos sumandos, entonces su determinante es igual a la suma de

dos determinantes que tienen en dicha fila o columna el primero y el segundo

sumando respectivamente, siendo los restantes elementos iguales a los del

determinante inicial.

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9ª Si una fila o columna de una matriz cuadrada es combinación lineal de dos o más

de las restantes filas o columnas, su determinante es cero.

10ª Si a una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma otra paralela a ella,

su determinante no varía.

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11ª Si a una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma otra paralela a ella

multiplicada por un número, su determinante no varía.

El conocimiento de las propiedades de los determinantes nos permiten, por ejemplo,

simplificar el cálculo de determinantes de orden mayor que 3, a los que no se puede

aplicar directamente la regla de Sarrus. "para calcular el determinante de una matriz

de orden 4 es necesario calcular 4 determinantes de orden 3. Y si la matriz fuera

de orden 5, habría que calcular 20 determinantes de orden 3 (puesto que al

desarrollarlo por los adjuntos de una fila o columna cualquiera se obtendrían 5

determinantes de orden 4 y, cada uno de éstos, a su vez, se puede descomponer

en 4 determinantes de orden 3)".

INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA ATRAVES DE LA

ADJUNTA Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular; en caso

contrario recibe el nombre de singular.

Propiedades de la inversión de matrices

La matriz inversa, si existe, es única

A-1A=A·A-1=I

(A·B) -1=B-1A-1

(A-1) -1=A

(kA) -1=(1/k·A-1

(At) –1=(A-1) t

Observación

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Podemos encontrar matrices que cumplen A·B = I, pero que B·A¹ I, en tal caso,

podemos decir que A es la inversa de B "por la izquierda" o que B es la inversa de

A "por la derecha".

Hay varios métodos para calcular la matriz inversa de una matriz dada:

Directamente (Ejemplo)

Usando determinantes

Por el método de Gauss-Jordan

Dada la matriz buscamos una matriz que cumpla A·A-1 = I, es decir

Para ello planteamos el sistema de ecuaciones:

La matriz que se ha calculado realmente sería la inversa por la "derecha", pero es

fácil comprobar que también cumple A-1 ·A = I, con lo cual es realmente la inversa

de A

Consideremos una matriz n-cuadrada A = (ai j ) sobre un cuerpo K. El adjunto de A,

denotado por adj A, es la traspuesta de la matriz de cofactores de A:

Ejemplo:

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Los cofactores de los nueve elementos de A son:

La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:

· Aplicación del adjunto para hallar la matriz inversa

Para toda matriz cuadrada A,

A·(adj A) = (adj A) · A = |A|I

De este modo, si |A| ¹ 0,

Observemos que esta propiedad nos permite hallar por otro método la inversa de

una matriz.

Ejemplo:

Consideremos la matriz

y el det A:

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Así pues, aplicando la propiedad anterior:

DETERMINANTES DE UNA MATRIZ

Toda matriz A cuadrada de orden n lleva asociado un valor numérico

llamado determinante de A y que denotaremos indistintamente por:

Este número puede tener múltiples significados, y por resaltar alguno, es muy útil

en el estudio de aspectos geométricos, como puede ser el cálculo de la ecuación

de una recta que pasa por dos puntos.

Existen distintas formas de definir el determinante de una matriz A, si bien para

algunos tamaños de la matriz es muy fácil. Así, para una matriz de tamaño 1 o 2, el

determinante se obtiene:

Matriz de orden 1:

Matriz de orden 2:

Para una matriz de orden tres la expresión se complica un poco, pudiendo utilizar la

conocida como regla de Sarrus:

Matriz de orden 3:

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Para matrices de orden superior a 3 (aunque lo que vamos a exponer es también

válido para las anteriores) para la obtención de su determinante desarrollamos por

los elementos de una fila o columna, sabiendo que el resultado es independiente de

la línea considerada. Así, dada una matriz cuadrada A, si desarrollamos por la fila

k, el determinante resulta:

Donde Akj es el adjunto del elemento akj, (concepto que definiremos a continuación)

siendo este método aplicable a cualquier matriz cuadrada.

Veamos las definiciones de menor y menor complementario, a partir de las cuales

se obtiene la definición de adjunto que acabamos de mencionar.

INVERSA DE UNA MATRIZ Este concepto sólo tiene sentido para matrices cuadradas con determinante distinto

de cero, como expondremos a continuación. El cálculo de la inversa de una matriz

lo utilizaremos en diversos campos, por ejemplo, para encontrar bases en un

determinado espacio, o en otro tema totalmente distinto, para calcular la suma de

una serie (mediante el cálculo de la inversa de Leontief).

Dada una matriz A de orden n, si existe una matriz, que notaremos A-1, que verifica:

A ×A-1 = A-1×A = I

se dice que A es inversible y que A-1 es la matriz inversa de A. Recordamos que

con I notamos la matriz identidad de orden n.

Una matriz A cuadrada diremos que es singular si su determinante es cero; en caso

contrario se dice que dicha matriz es regular (esto es, cuando el determinante es

distinto de cero). Las matrices singulares no son inversibles, mientras que las

regulares si lo son, por lo que hablar de matriz regular es lo mismo que hablar de

matriz inversible.

Para obtener la matriz inversa de una matriz A inversible, existen varias formas entre

ellas, destacamos la que utiliza la siguiente expresión:

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si bien, esta expresión, para matrices de ordenes elevados y valores pequeños,

lleva asociada bastante errores y por ello hay que utilizar otro tipo de métodos.

Nota: Existen otros métodos para calcular la inversa de una matriz, como puede ser,

por ejemplo, mediante el método de Gauss.

Ejemplo

Calcular, si es posible, la inversa de la siguiente matriz:

Solución:

Veamos primero si la matriz es inversible, es decir, su determinante es distinto de

cero:

Det(A) = 3, luego es inversible.

Calculemos todos los adjuntos:

, , ,

, , ,

, ,

Por lo que la inversa resulta:

Cuando nos piden una inversa el resultado siempre se puede comprobar, sin más

que multiplicarla (por la derecha y por la izquierda) por la matriz dada en el ejercicio

y comprobar que el resultado es la matriz identidad. En nuestro caso:

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CONCLUSIÓN

El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos de una

fila o columna cualquiera, multiplicados por sus adjuntos, las diferentes formas de

resolución lleva a un enfoque mucho más amplio de la resolución del determinante

de una matriz.

Lo importante de estos temas es saber que es una matriz y para qué sirve y su

utilidad en las matemáticas así como sus definiciones. En la operaciones de los

determinantes puedo llegar a la conclusión que se puede trabajar sobre la matriz a

obtener el determinante para que la resolución sea mucho más rápida y haciendo

que el resultado de la misma no sea alterado de ninguna manera.

En las propiedades del determinante es igual a la suma de otras paralelas

multiplicadas por números, lo que equivale a decir que esa primera línea es

linealmente dependiente de las restantes, a veces es fácil verlo a simple vista, pero

otras no. El determinante nos lo fija directamente, ya que si es cero entonces es

claro que hay algún tipo de dependencia entre las líneas de esa matriz. Sólo cuando

no es igual a cero podemos estar seguros de que las líneas son independientes

entre sí

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RESUMEN

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BIBLIOGRAFIA

ESCRITA

Computarizado Digital http://docencia.udea.edu.co/GeometriaVectorial/uni2/seccion21.html http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/determinantes_api/propiedades_de_los_determinantes_2.htm http://sureyma.blogspot.com/2009/10/37-inversa-de-una-matriz-cuadrada.html http://www.gayatlacomulco.com/tutorials/matematicas4/t37.htm http://www.sectormatematica.cl/contenidos/matadj.htm http://eco-mat.ccee.uma.es/Libro/MATRICES/Matrices4.htm