determinante i inverzna matrica
DESCRIPTION
DeterminanteTRANSCRIPT
DETERMINANTE
DETERMINANTE
• Svakoj kvadratnoj matrici pridružujemo realni broj koji zovemo determinanta.
• Determinanata je broj, napisan u obliku kvadratne šeme brojeva, od elemenata raspoređenih u vrsta i kolona.
n nnn
11 12 1
21 22 2
1 2
det
n
n
n n nn
a a aa a a
D A
a a a
Napomena: Determinanta je broj, za razliku od matrice koja je samo šema proizvoljnih elemenata
• Broj naziva se determinanta prvog reda.
2 2
11 11a a
• Broj naziva se determinanta drugog reda.
11 1211 22 12 21
21 22
a aa a a a
a a
• Broj naziva se determinanta trećeg reda.
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a aa a aa a a
1 21 2 2 2 2 4 2
2 2
IZRAČUNAVANJE DETERMINANTI
• SARUSOVO PRAVILO ( SARUS 1798-1861)Pravilo se odnosi na determinante trećeg reda i glasi:
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
11 22 33 12 23 31 13 21 32 12 21 33 11 23 32 13 22 31
a a a a aa a a a aa a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a
Primer Izračunati vrednost determinante Sarusovim pravilom
Rešenje:
1 2 34 5 67 8 9
1 2 3 1 24 5 6 4 5 1 5 9 2 6 7 3 4 8 2 4 9 1 6 8 3 5 7 07 8 9 7 8
• LAPLASOVO PRAVILO (P.Laplace 1749-1827 )
Za razliku od Sarusovog pravila koje se koristi samo za izračunavanje determinanti trećeg reda, Laplasovo pravilo važi za determinante bilo kog reda.
Osnovna ideja ovog pravila je da se izračunavanje determinante n-tog reda svodi na izračunavanje determinante n-1 reda, determinanta n-1 reda svodi se na izračunavanje determinante n-2 reda i taj postupak se ponavlja sve dok se ne dođe do determinante prvog reda.
• Da bismo objasnili ovu metodu potrebno je da definišemo pojam minora i pojam kofaktora.
• Neka je D determinanta n-tog reda
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
a a aa a a
D
a a a
• Determinanta koja se dobija iz determinante D odbacivanjem i-te vrste i j-te kolone naziva se minor elementa i obeležava se sa
Napomena: Detreminanta trećeg reda ima onoliko minora koliko i elemenata, tj.9 . Na primer, elementima , i odgovaraju minori
Kofaktor elementa je broj
ijaijM
11 12 13, ,a a a
22 23 21 23 21 2211 12 13
32 33 31 33 31 32
, ,a a a a a a
M M Ma a a a a a
ija 1 i jij ijA M
Laplasovo pravilo: Determinanta je jednaka zbiru proizvoda elemenata ma koje vrste (odnosno kolone) i odgovarajućih kofaktora
(razvoj po elementima i-te vrste)
(razvoj po elementima j-te kolone)
1 1 2 21
, 1, 2, ,n
i i i i in in ik ikk
D a A a A a A a A i n
1 1 2 21
, 1, 2, ,n
j j j j nj nj kj kjk
D a A a A a A a A j n
Primer Izračunati vrednost determinante Laplasovim pravilom Rešenje:Determinanta se može izračunati razvojem po bilo kojoj vrsti ili koloni.Razvojem po prvoj vrsti dobićemo.
1 2 34 5 67 8 9
1 2 35 6 4 6 4 5
4 5 6 1 2 38 9 7 9 7 8
7 8 9
1 5 9 6 8 2 4 9 6 7 3 4 8 5 7 0
OSOBINE DETERMINANTI
• Determinanta ne menja vrednost ako vrste zamene mesta sa odgovarajućim kolonama.
1 1 2 2
2 2 1 2
a b a aD D
a b b b
• Ako dve susedne vrste ( kolone ) uzajamno promene mesta determinanata menja znak.
1 1 2 2
2 2 1 1
a b a bD D
a b a b
• Determinanta se množi brojem ako se svi elementi vrste ( kolone) pomnože tim brojem.
1 1 2 2
2 2 1 1
ka kb a kbk D
a b a kb
• Ako su svi elementi jedne vrste ( kolone ) jednake nuli, vrednost determinanta je jednaka nuli.
• Ako su dve vrste ( kolone ) jednake ili proporcionalne, tada je vrednost determinante jednaka nuli.
1 1 1 11 1 1 1
1 1 1 1
0 0a b a b
k k a b a b kka kb a b
• Vrednost determinante se ne menja ako se svakom elementu jedne vrste ( kolone) dodaju odgovarajući elementi druge vrste ( kolone ), pomnoženi jednim istim brojem.
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3
a b c a b c maa b c a b c maa b c a b c ma
Primer Izračunati vrednost determinante
Rešenje: .Koristeći osobine determinanti, možemo prvu kolonu da pomnožimo sa 3 i dodamo trećoj koloni. Determinantu sada razvijamo po prvoj vrsti koja sadrži dve nule.
1 0 33 2 11 3 5
1 0 3 1 0 02 10
3 2 1 3 2 10 1 343 2
1 3 5 1 3 2
INVERZNA MATRICA
• Inverzna matrica date kvadratne matrice A je matrica koja ima osobinu da je , gde je I jedinična matrica.
1A
1 1A A A A I
Za kvadratnu matricu A kažemo da je je regularna ako je , a singularna ako je detA=0 .
det 0A
• Adjungovana matrica matrice A ,u oznaci adjA je transponovana matrica, matrice kofaktora, matrice A .
11 21 1
12 22 2
1 2
adj
n
n
n n nn
A A AA A A
A
A A A
1 adjAdetA
A
• Za regularne matrice i istog reda važe pravila:
• Inverzna matrica kvadratne regularne matrice je matrica
1 1 1A B B A
11A A
1 1detdet
AA
Primer Naći inverznu matricu date matrice
Rešenje:
Kako je , znači da postoji matrica .
Kofaktori matrice A su .
Pa je inverzna matrica: .
2 13 5
A
11 211
12 22
1det
A AA
A AA
2 1det 7 0
3 5A 1A
11 12 21 225 , 3 , 1 , 2A A A A
1 5 113 27
A
Primer 6
Naći inverznu matricu date matrice
Rešenje: .
114131211
A
1 1 2det 1 3 1 17 0
4 1 1A
Kofaktori matrice A su:
23111
11121
51321
31411
71421
11121
111431
31411
21113
333231
232221
131211
AAA
AAA
AAA
2311173512
1711A
Primer 7Rešiti matričnu jednačinu XA=B, gde je
Rešenje:
Kako je detA različita od nule, znači da postoji iverzna matrica
2 2 31 1 01 2 1
A
1 0 20 1 3
B
2 2 32 3 2 3
det 1 1 0 4 5 1 02 1 1 1
1 2 1A
1
1 4 3 1 4 31 1 5 3 1 5 3
1 6 4 1 6 4A
Na osnovu predhodnih zaključaka dobijamo
1
1 4 31 0 2 3 16 11
1 5 3 .0 1 3 4 23 15
1 6 4
XA B
X BA
X
Primer 8Rešiti matričnu jednačinu AX+X-B=0 , gde je
Rešenje:
113120241
A
030212101
B
10
1 4 2 1 0 0 2 4 20 2 1 0 1 0 0 3 13 1 1 0 0 1 3 1 2
AX X B A I X B X A I B
A I A
15 6 2
1 3 2 24
9 10 6
7 12 71 1 8 14
11 28 11
A I
X
1
2 4 2det 0 3 1 4 0
3 1 2A I
X A I B
Zadaci za vežbu
1. Izračunati sledeće determinante
2. Naći inverznu matricu matrica
3. Zašto inverzna matrica matrice A ne postoji
1 34 1
2 1 35 3 21 4 3
2 1,
3 1
2 1 22 3 10 2 2
2 0 4
1 2 33 2 1
A
5. Rešiti matričnu jednačinu
6. Rešiti matričnu jednačinu , ako je
1 2 0 1 21 1 1 0 20 1 3 1 0
X
3 ,X A I A I
1 3 21 2 10 0 1
A
Teorijska pitanja
1. Šta su determinante?2. Šta je minor, a šta kofaktor?3. Kako glasi Sarusovo pravilo za izračunavanje determinanti?4. Kako glasi Laplasovo pravilo za izračunavanje determinanti?5. Nabrojati najvažnije osobine determinanti.6. Pojam i osobine inverzne matrice.7. Šta je adjungovana matrica ?