determinante como una forma polilineal...

Determinante como una forma polilineal alternante

Egor Maximenko

ESFM del IPN

4 de enero de 2013

Egor Maximenko (ESFM del IPN) Det como una forma n-lineal alternante 4 de enero de 2013 1 / 29

Contenido

1 Definicion del determinante (repaso)

2 Formas polilineales y alternas

3 Determinante es una forma n-lineal alternante

4 Expresion de formas n-lineales alternantes a traves del determinante


Plan

Repasar la definicion del determinante y propiedades basicas.

Definir formas n-lineales alternantes sobre un espacio vectorial V .Mostrar que la funcion determinante de la matrizes una forma n-lineal alternante de sus renglones(tambien de sus columnas).Demostrar que cada forma n-lineal alternante se puede expresara traves de la funcion determinante.Demostrar que la funcion determinante de la matrizes la unica forma n-lineal alternante de los renglonesque toma el valor 1 en la matriz identidad.


Plan

Repasar la definicion del determinante y propiedades basicas.Definir formas n-lineales alternantes sobre un espacio vectorial V .

Mostrar que la funcion determinante de la matrizes una forma n-lineal alternante de sus renglones(tambien de sus columnas).Demostrar que cada forma n-lineal alternante se puede expresara traves de la funcion determinante.Demostrar que la funcion determinante de la matrizes la unica forma n-lineal alternante de los renglonesque toma el valor 1 en la matriz identidad.


Plan

Repasar la definicion del determinante y propiedades basicas.Definir formas n-lineales alternantes sobre un espacio vectorial V .Mostrar que la funcion determinante de la matrizes una forma n-lineal alternante de sus renglones(tambien de sus columnas).

Demostrar que cada forma n-lineal alternante se puede expresara traves de la funcion determinante.Demostrar que la funcion determinante de la matrizes la unica forma n-lineal alternante de los renglonesque toma el valor 1 en la matriz identidad.


Plan

Repasar la definicion del determinante y propiedades basicas.Definir formas n-lineales alternantes sobre un espacio vectorial V .Mostrar que la funcion determinante de la matrizes una forma n-lineal alternante de sus renglones(tambien de sus columnas).Demostrar que cada forma n-lineal alternante se puede expresara traves de la funcion determinante.

Demostrar que la funcion determinante de la matrizes la unica forma n-lineal alternante de los renglonesque toma el valor 1 en la matriz identidad.


Plan

Repasar la definicion del determinante y propiedades basicas.Definir formas n-lineales alternantes sobre un espacio vectorial V .Mostrar que la funcion determinante de la matrizes una forma n-lineal alternante de sus renglones(tambien de sus columnas).Demostrar que cada forma n-lineal alternante se puede expresara traves de la funcion determinante.Demostrar que la funcion determinante de la matrizes la unica forma n-lineal alternante de los renglonesque toma el valor 1 en la matriz identidad.


Requisitos

Permutaciones.Signo de una permutacion.Funciones antisimetricas.Definicion del determinante a traves de permutaciones.


Contenido






Definicion del determinante (repaso)

DefinicionSea F un campo y sea A =

[ai ,j]ni ,j=1 ∈Mn(F),

es decir, A es una matriz n × n con entradas en F.

El determinante de A se define mediante la siguiente formula:

det(A) =∑ϕ∈Sn

sgn(ϕ)n∏

i=1ai ,ϕ(i)

=∑ϕ∈Sn

sgn(ϕ) a1,ϕ(1) · · · an,ϕ(n).

Aquı la suma es sobre todas las permutaciones del conjunto {1, . . . , n}y por consecuencia contiene n! sumandos.


Propiedades basicas del determinante (repaso)

Usando la definicion es facil demostrar las siguientes propiedades:

Determinante de la matriz transpuestadet(A>) = det(A).

Determinante de una matriz triangular superiorSea A ∈Mn(F), ai ,j = 0 siempre que i > j . Entonces

det(A) =n∏

i=1Ai ,i .

Determinante de la matriz identidaddet(In) = 1.


Contenido






Formas lineales o funcionales lineales

Definicion (forma lineal o funcional lineal)Sea V un espacio vectorial sobre un campo F.Una funcion f : V → F se llama forma lineal sobre Vsi esta funcion es lineal, es decir, aditiva y homogenea:

f (λb + µc) = λ f (b) + µ f (c).


Formas bilineales

Definicion (forma bilineal)Sea V un espacio vectorial sobre un campo F.Una funcion f : V 2 → F se llama forma bilineal sobre Vsi esta funcion es lineal respecto a cada uno de sus dos argumentos,es decir, si para todos a1, a2, b, c ∈ V y todos λ, µ ∈ Fse cumplen las igualdades:

f (λb + µc, a2) = λ f (b, a2) + µ f (c, a2);

f (a1, λb + µc) = λ f (a1, b) + µ f (a1, c).


Formas trelineales

Definicion (forma trilineal)Sea V un espacio vectorial sobre un campo F.Una funcion f : V 3 → F se llama forma trilineal sobre Vsi esta funcion es lineal respecto a cada uno de sus tres argumentos,es decir, para todos a1, a2, a3, b, c ∈ V y todos λ, µ ∈ Fse cumplen las igualdades:

f (λb + µc, a2, a3) = λ f (b, a2, a3) + µ f (c, a2, a3);

f (a1, λb + µc, a3) = λ f (a1, b, a3) + µ f (a1, c, a3);

f (a1, a2, λb + µc) = λ f (a1, a2, b) + µ f (a1, a2, c).


Formas polilineales (multilineales)

Definicion (forma k-lineal)Sea V un espacio vectorial sobre un campo F.Una funcion f : V k → F se llama forma k-lineal sobre V ,si esta funcion es lineal respecto a cada uno de sus k argumentos,es decir, si para todo ındice i ∈ {1, . . . , k},todos vectores a1, . . . , ai−1, b, c, ai+1, . . . , an ∈ Vy todos escalares λ, µ ∈ F se cumple la igualdad:

f (a1, . . . , ai−1, λb + µc︸︷︷︸i-esimo

argumento

, ai+1, . . . , an) = λ f (a1, . . . , ai−1, b, ai+1, . . . , an)

+ µ f (a1, . . . , ai−1, c, ai+1, . . . , an).


Ejemplo de una forma 4-lineal sobre F

EjemploConsideremos F como espacio vectorial de dimension 1.La siguiente funcion f es una forma 4-lineal sobre F:

f (α1, α2, α3, α4) = α1α2α3α4.


Funciones alternantes

Definicion (funcion alternantes)Una funcion f : V n → F se llama alternantesi se anula siempre que algunos de sus n argumentos coinciden:

si ai = aj para algunos i y j con 1 ≤ i < j ≤ n,entonces f (a1, . . . , an) = 0.

Ejemplo (producto de todas las diferencias posibles)La siguiente funcion f : F3 → F es alternante:

f (α1, α2, α3) = (α2 − α1)(α3 − α1)(α3 − α2).


Funciones antisimetricas (repaso)

Definicion (funcion antisimetrica)Una funcion f : V n → F se llama antisimetricasi para todo par de ındices (i , j), donde 1 ≤ i < j ≤ n,y para todos a1, . . . , an ∈ V se cumple la siguiente propiedad:

f (a1, . . . , ai−1, ai , ai+1, . . . , aj−1, aj , aj+1, . . . , an) =

= −f (a1, . . . , ai−1, aj , ai+1, . . . , aj−1, ai , aj+1, . . . , an).

Estudiando permutaciones hemos demostrado el siguiente teorema:

Teorema (permutaciones y funciones antisimetricas)Sea f : V n → F una funcion antisimetrica y sea ϕ ∈ Sn. Entonces

f (aϕ(1), . . . , aϕ(n)) = sgn(ϕ) f (a1, . . . , an).


Formas n-lineales alternantes son antisimetricasTeoremaSea f : V n → F una forma n-lineal alternante sobre V .Entonces f es antisimetrica.

Demostracion.Sean i , j ∈ {1, . . . , n}, i < j . Fijamos los argumentes ak ∈ V , k 6= i , k 6= j ,y consideremos la funcion g : V 2 → F:

g(b, c) := f (a1, . . . , ai−1, b , ai+1, . . . , aj−1, c , aj+1, . . . , an).

Sabemos que g es 2-lineal y alternante.Demostremos que g es antisimetrica.

g(b + c, b + c) = g(b, b) + g(b, c) + g(c, b) + g(c, c).

Como g es alternante, g(b + c, b + c) = 0, g(b, b) = 0, g(c, c) = 0.Obtenemos que 0 = g(b, c) + g(c, b), i.e. g(c, b) = −g(b, c).






g(b + c, b + c) =

g(b, b) + g(b, c) + g(c, b) + g(c, c).








Como g es alternante,

g(b + c, b + c) = 0, g(b, b) = 0, g(c, c) = 0.Obtenemos que 0 = g(b, c) + g(c, b), i.e. g(c, b) = −g(b, c).







Como g es alternante, g(b + c, b + c) = 0, g(b, b) = 0, g(c, c) = 0.

Obtenemos que 0 = g(b, c) + g(c, b), i.e. g(c, b) = −g(b, c).


Contenido






Determinante es una forma n-lineal de los renglonesNotacion (determinante como funcion de los renglones)A veces es comodo considerar la funcion determinantecomo una funcion de n argumentos vectoriales:para a1, . . . , an ∈ Fn, donde ai =

[ai ,j]nj=1,

Det(a1, . . . , an) := det

a1. . .an

= det

a1,1 . . . a1,n... . . . ...

an,1 . . . an,n

.

Teorema (determinante es una forma n-lineal de los renglones)

Det(a1, . . . , ak−1, λb + µc, ak+1, . . . , an) =

= λ Det(a1, . . . , ak−1, b, ak+1, . . . , an)

+ µ Det(a1, . . . , ak−1, c, ak+1, . . . , an).


Determinante es una funcion n-lineal de los renglonesDemostracion.Dada una permutacion ϕ ∈ Sn, el sumando correspondiente es

sgn(ϕ) ·k−1∏i=1

ai ,ϕ(i) · (λbϕ(k) + µcϕ(k)) ·n∏

i=k+1ai ,ϕ(i).

Usando las propiedades de las operaciones en el campo F,podemos escribir esta expresion en la forma:

λ sgn(ϕ) ·k−1∏i=1

ai ,ϕ(i) · bϕ(k) ·n∏

i=k+1ai ,ϕ(i)

+µ sgn(ϕ) ·k−1∏i=1

ai ,ϕ(i) · cϕ(k) ·n∏

i=k+1ai ,ϕ(i).

Sumando sobre todas ϕ ∈ Sn obtenemos el resultado del teorema.


Determinante es una funcion alternante de los renglones

Teorema (determinante es una funcion alternante de los renglones)Si dos renglones de una matriz son iguales,entonces su determinante es igual a cero.

De manera mas formal:

Sea n ≥ 2, sea A =[ai ,j]ni ,j=1 ∈Mn(F) y sean p, q ∈ {1, . . . , n}, p < q.

Supongamos que el p-esimo renglon de A coincide con el q-esimo:

ap,j = aq,j ∀j ∈ {1, . . . , n}.

Entonces det(A) = 0.


Determinante es una funcion alterna de los renglones

Demostracion para un caso particular (n = 3, p = 1, q = 3)

A3 :

(1 2 31 2 3

) (1 2 32 3 1

) (1 2 33 1 2

)

A3τ1,3 :

(1 2 33 2 1

) (1 2 31 3 2

) (1 2 32 1 3

)

+a1,1a2,2a3,3 +a1,2a2,3a3,1 +a1,3a2,1a3,2

−a1,3a2,2a3,1 −a1,1a2,3a3,2 −a1,2a2,1a3,3




A3 :

(1 2 31 2 3

) (1 2 32 3 1

) (1 2 33 1 2

)

A3τ1,3 :

(1 2 33 2 1

) (1 2 31 3 2

) (1 2 32 1 3

)

+a1,1a2,2a3,3 +a1,2a2,3a3,1 +a1,3a2,1a3,2

−a1,3a2,2a3,1 −a1,1a2,3a3,2 −a1,2a2,1a3,3

1. Escribamos todas permutaciones pares .




A3 :

(1 2 31 2 3

) (1 2 32 3 1

) (1 2 33 1 2

)

A3τ1,3 :

(1 2 33 2 1

) (1 2 31 3 2

) (1 2 32 1 3

)

+a1,1a2,2a3,3 +a1,2a2,3a3,1 +a1,3a2,1a3,2

−a1,3a2,2a3,1 −a1,1a2,3a3,2 −a1,2a2,1a3,3

2. Cada permutacion par ϕ confrontamos con la permutacion impar ϕτ1,3que se obtiene de ϕ al transponer ϕ(1) y ϕ(3).




A3 :

(1 2 31 2 3

) (1 2 32 3 1

) (1 2 33 1 2

)

A3τ1,3 :

(1 2 33 2 1

) (1 2 31 3 2

) (1 2 32 1 3

)

+a1,1a2,2a3,3 +a1,2a2,3a3,1 +a1,3a2,1a3,2

−a1,3a2,2a3,1 −a1,1a2,3a3,2 −a1,2a2,1a3,3

3. De esta manera obtenemos todas permutaciones impares.




A3 :

(1 2 31 2 3

) (1 2 32 3 1

) (1 2 33 1 2

)

A3τ1,3 :

(1 2 33 2 1

) (1 2 31 3 2

) (1 2 32 1 3

)

+a1,1a2,2a3,3 +a1,2a2,3a3,1 +a1,3a2,1a3,2

−a1,3a2,2a3,1 −a1,1a2,3a3,2 −a1,2a2,1a3,3

4. A cada permutacion corresponde un sumando del determinante.




A3 :

(1 2 31 2 3

) (1 2 32 3 1

) (1 2 33 1 2

)

A3τ1,3 :

(1 2 33 2 1

) (1 2 31 3 2

) (1 2 32 1 3

)

+a1,1a2,2a3,3 +a1,2a2,3a3,1 +a1,3a2,1a3,2

−a1,3a2,2a3,1 −a1,1a2,3a3,2 −a1,2a2,1a3,3

5. Usamos la condicion que el primer renglon de A es igual al segundo:a1,1 = a3,1, a3,3 = a1,3 etc.




A3 :

(1 2 31 2 3

) (1 2 32 3 1

) (1 2 33 1 2

)

A3τ1,3 :

(1 2 33 2 1

) (1 2 31 3 2

) (1 2 32 1 3

)

+a1,1a2,2a3,3 +a1,2a2,3a3,1 +a1,3a2,1a3,2

−a1,3a2,2a3,1 −a1,1a2,3a3,2 −a1,2a2,1a3,3

6. Vemos que los sumandos del determinante se eliminan por pares,ası que el determinante es igual a cero.


Determinante es una funcion alternante de los renglonesLema para la demostracion general

Para demostrar este teorema usaremos la siguiente afirmacionque hemos probado estudiando permutaciones.Recordemos que An := {ϕ ∈ Sn : sgn(ϕ) = 1}.

LemaSea n ≥ 2 y sea ψ ∈ Sn \ An una permutacion impar fija.Entonces el mapeo Λ: An → Sn \ An, definido medianta la regla

Λ(ϕ) = ϕψ,

es una biyeccion del conjunto An sobre Sn \ An.


Determinante es una funcion alternante de sus filasDemostracion del teorema.En la definicion del determinante dividamos la suma en dos partes:

det(A) =∑ϕ∈An

n∏i=1

ai ,ϕ(i) −∑

χ∈Sn\An

n∏i=1

ai ,χ(i).

Usando el lema, en la segunda suma hagamos el cambio χ = ϕτp,q.Apartemos el p-esimo y q-esimo factor, saquemos multiplos comunes:

det(A) =∑ϕ∈An

ap,ϕ(p)aq,ϕ(q)∏

1≤i≤ni 6=p,i 6=q

ai ,ϕ(i) −∑ϕ∈An

ap,ϕ(q)aq,ϕ(p)∏

1≤i≤ni 6=p,i 6=q

ai ,ϕ(i)

=∑ϕ∈An

(ap,ϕ(p)aq,ϕ(q) − ap,ϕ(q)aq,ϕ(p)

) ∏1≤i≤n

i 6=p,i 6=q

ai ,ϕ(i) = 0.

En el ultimo paso se usa que ap,j = aq,j para todo j .


Contenido






Expresion de una forma n-lineal alternante arbitrariaa traves del determinante

TeoremaSea V un espacio vectorial sobre F con una base B = (b1, . . . , bn)y sea f : V n → F una forma n-lineal alternante.Entonces para todos a1, . . . , an ∈ V se cumple la igualdad

f (a1, . . . , an) = det(C) f (b1, . . . , bn),

donde C es la matriz formada de las columnas de coordenadas de losvectores a1, . . . , an respecto la base B:

C =[(a1)B, . . . , (an)B

].


Demostracion para n = 2

Supongamos que

a1 = c1,1b1 + c2,1b2; a1 = c1,2b1 + c2,2b2.

Entonces

f (a1, a2) = f (c1,1b1 + c2,1b2, c1,2b1 + c2,2b2)

= c1,1c1,2 f (b1, b1) + c1,1c2,2 f (b1, b2)

+ c2,1c1,2 f (b2, b1) + c2,1c2,2 f (b2, b2)

= (c1,1c2,2 − c2,1c1,2) f (b1, b2)

=

∣∣∣∣∣ c1,1 c1,2c2,1 c2,2

∣∣∣∣∣ f (b1, b2).


Expresion de una forma n-lineal alternante arbitrariaa traves del determinanteDemostracion (inicio)Paso I. Primero aplicamos la hipotesis que f es polilineal:

f (a1, . . . , an) =∑

(i1,...,in)∈{1,...,n}n

ci1,1 · · · cin,nf (bi1 , . . . , bin ).

Paso II. Como f es alternante, f (bi1 , bi2 , . . . , bin ) = 0 siempre y cuandoalgunos de los ındices i1, . . . , in coinciden.

Por eso solo se queda la suma sobre todas las tuplas (i1, . . . , in) tales quelos ındices i1, . . . , in son distintos por pares, es decir, forman unapermutacion:

f (a1, . . . , an) =∑ϕ∈Sn

cϕ(1),1 · · · cϕ(n),n f (bϕ(1), . . . , bϕ(n)).

. . .


Expresion de una forma n-lineal alternante arbitrariaa traves del determinanteDemostracion (inicio)Paso I. Primero aplicamos la hipotesis que f es polilineal:

f (a1, . . . , an) =∑

(i1,...,in)∈{1,...,n}n

ci1,1 · · · cin,nf (bi1 , . . . , bin ).

Paso II. Como f es alternante, f (bi1 , bi2 , . . . , bin ) = 0 siempre y cuandoalgunos de los ındices i1, . . . , in coinciden.

Por eso solo se queda la suma sobre todas las tuplas (i1, . . . , in) tales quelos ındices i1, . . . , in son distintos por pares, es decir, forman unapermutacion:

f (a1, . . . , an) =∑ϕ∈Sn

cϕ(1),1 · · · cϕ(n),n f (bϕ(1), . . . , bϕ(n)).

. . .Egor Maximenko (ESFM del IPN) Det como una forma n-lineal alternante 4 de enero de 2013 27 / 29


Demostracion (fin).

f (a1, . . . , an) =∑ϕ∈Sn

cϕ(1),1 · · · cϕ(n),n f (bϕ(1), . . . , bϕ(n)).

Paso III. Como f es alternante, f es antisimetrica, y

f (bϕ(1), . . . , bϕ(n)) = sgn(ϕ)f (b1, . . . , bn).

Por eso

f (a1, . . . , an) = f (b1, . . . , bn)∑ϕ∈Sn

sgn(ϕ) cϕ(1),1 · · · cϕ(n),n

= det(C>)f (b1, . . . , bn) = det(C)f (b1, . . . , bn).



CorolarioSea D : Mn(F)→ F una funcion polilineal por renglonesy alternante por renglones. Entonces

D(A) = det(A)D(In) ∀A ∈Mn(F).

CorolarioLa funcion determinante es la unica funcion Mn(F)→ F que cumple lassiguientes tres propiedades al mismo tiempo:

1 es polilineal por renglones;2 es alternante por renglones;3 toma valor 1 en la matriz identidad In.


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