determinan dan invers matriks
TRANSCRIPT
myblog4famouser.com
Determinan MatriksDeterminan matriks 𝐴𝐴 di definisikan sebagai selisih
antara perkalian elemen - elemen pada diagonal utama
dengan perkalian elemen - elemen pada diagonal
sekunder. Determinan dari matriks 𝐴𝐴 dinotasikan dengan
det𝐴𝐴 atau |𝐴𝐴|. Nilai dari determinan suatu matriks
berupa bilangan real.
myblog4famouser.com
Determinan Matriks Ordo 2×2Jika matriks 𝐴𝐴 = �𝑎𝑎 𝑏𝑏
𝑐𝑐 𝑑𝑑� maka det (𝐴𝐴) = |𝐴𝐴| = �𝑎𝑎 𝑏𝑏𝑐𝑐 𝑑𝑑� = 𝑎𝑎𝑑𝑑 – 𝑏𝑏𝑐𝑐
Contoh :
1. 𝑃𝑃 = � 2 1−6 3� maka,
det (𝑃𝑃) = |𝑃𝑃| = � 2 1−6 3� = (2.3) − �1. (−6)� = 6 + 6 = 12
2. Tentukan nilai 𝑥𝑥 jika �𝑥𝑥 −6𝑥𝑥 −3𝑥𝑥� = 0.
Jawab : �𝑥𝑥 −6𝑥𝑥 −3𝑥𝑥� = 0 ⟹ −3𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥 = 0
𝑥𝑥(−3𝑥𝑥 + 6) = 0
𝑥𝑥 = 0 atau −3𝑥𝑥 + 6 = 0
𝑥𝑥 = 2
Jadi nilai 𝑥𝑥 = 0 atau 𝑥𝑥 = 2. myblog4famouser.com
Determinan Matriks Ordo 3×3Untuk mencari determinan matriks berordodapat digunakan dua metode, sebagai berikut :
1. Metode Sarrus2. Metode Ekspansi Kofaktor
myblog4famouser.com
Metode SarrusCara ini paling tepat digunakan untuk menentukan determinan
matriks ordo 3 × 3.
Cara sarrus :
i. Tuliskan kolom pertama dan kedua dari determinan awal di sebelah
kanan setelah kolom ketiga.
ii. Kalikan unsur – unsur pada keenam diagonal, yaitu tiga kolom
diagonal utama (dari kiri ke kanan) dan tiga kolom diagonal
pendamping (dari kanan ke kiri). Hasil kali diagonal utama
dijumlahkan dan hasil kali pada diagonal pendamping dikurangkan. myblog4famouser.com
Jika matrik 𝐵𝐵 = �𝑝𝑝 𝑞𝑞 𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑡𝑡 𝑢𝑢𝑣𝑣 𝑤𝑤 𝑥𝑥
�
Maka 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡(𝐵𝐵) = |𝐵𝐵| = �𝑝𝑝 𝑞𝑞 𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑡𝑡 𝑢𝑢𝑣𝑣 𝑤𝑤 𝑥𝑥
�𝑝𝑝 𝑞𝑞𝑠𝑠 𝑡𝑡𝑣𝑣 𝑤𝑤
= 𝑝𝑝𝑡𝑡𝑥𝑥 + 𝑞𝑞𝑢𝑢𝑣𝑣 + 𝑟𝑟𝑠𝑠𝑤𝑤 − 𝑣𝑣𝑡𝑡𝑟𝑟 − 𝑤𝑤𝑢𝑢𝑝𝑝 − 𝑥𝑥𝑠𝑠𝑞𝑞
myblog4famouser.com
Perlu diperhatikan bahwa Metode Sarrus tidak berlaku bila
matriks berordo 4x4 dan yang lebih tinggi lagi.
Contoh:
Misal 𝑄𝑄 = �3 2 41 7 57 2 3
�
Maka det(𝑄𝑄) = |𝑄𝑄|
= �3 2 41 7 57 2 3
�3 21 77 2
= (3.7.3) + (2.5.7) + (4.1.2) − (4.7.7) − (3.5.2) − (2.1.3)
= 63 + 70 + 8 – 196 – 30 – 6
= − 91 myblog4famouser.com
Metode Ekspansi Kofaktora. Pengertian Minor
Minor suatu matriks 𝐴𝐴 dilambangkan dengan 𝑀𝑀𝑖𝑖𝑖𝑖 adalah matriks bagian dari 𝐴𝐴 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen - elemennya pada baris ke-𝑖𝑖 dan elemen elemen pada kolom ke-𝑖𝑖. Contoh:
Q =�3 2 41 7 57 2 3
�
Maka M11=�7 52 3�
M12=�1 57 3�
M13=�1 77 2�
𝑀𝑀11,𝑀𝑀12 dan 𝑀𝑀13 merupakan submatriks hasil ekspansi baris ke-1 dari matriks Q.
myblog4famouser.com
b. Pengertian Kofaktor
Kofaktor suatu elemen baris ke-𝑖𝑖 dan kolom ke-𝑖𝑖 dari matriks 𝐴𝐴
dilambangkan dengan
𝐾𝐾𝑖𝑖𝑖𝑖 = (−1)𝑖𝑖+𝑖𝑖 . �𝑀𝑀𝑖𝑖𝑖𝑖� = (−1)𝑖𝑖+𝑖𝑖 . det�𝑀𝑀𝑖𝑖,𝑖𝑖 �
Penentuan tanda dari determinan matriks persegi berordo 3 × 3:
�+ − +− + −+ − +
�
Untuk mencari det(𝐴𝐴) dengan metode ekspansi kofaktor
cukup mengambil satu ekspansi saja misal ekspansi baris ke-1
myblog4famouser.com
c. Menentukan determinan dengan ekspansi kofaktor
Contoh:
𝑄𝑄 = �3 2 41 7 57 2 3
�
Untuk mendapatkan det(𝑄𝑄) dengan metode kofaktor adalah mencari terlebih dahulu
determinan – determinan minornya yang diperoleh dari ekspansi baris ke-1 diatas, yaitu :
M11=�7 52 3�, det(𝑀𝑀11) = 11
M12=�1 57 3�, det(𝑀𝑀12) = − 32
M13=�1 77 2�, det(𝑀𝑀13) = − 47
det(𝑄𝑄) = 𝑘𝑘11. 𝑞𝑞11 + 𝑘𝑘12. 𝑞𝑞12 + 𝑘𝑘13. 𝑞𝑞13
= (−1)1+1. |𝑀𝑀11|. 𝑞𝑞11 + (−1)1+2. |𝑀𝑀12|.𝑞𝑞12 + (−1)1+3. |𝑀𝑀13|. 𝑞𝑞13
= 11.3 − (−32). 2 + (−47). 4
= 33 + 64 − 188 = −91 myblog4famouser.com
Adjoin MatriksAdjoin matriks A adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut,
dilambangkan dengan adj A = (kij)T
Contoh
Q =�3 2 41 7 57 2 3
�
k11= (-1)1+1�7 52 3� = 11
k12= (-1)1+2�1 57 3� = 32
k13= (-1)1+3�1 77 2� = −47
k21= (-1)2+1�2 42 3� = 2
k22= (-1)2+2�3 47 3� = −19
k23= (-1)2+3�3 27 2� = 8
k31= (-1)3+1�2 47 5� = −18
k32= (-1)3+2�3 41 5� = −11
k33= (-1)3+3�2 47 5� = −18
adj Q = �𝑘𝑘11 𝑘𝑘21 𝑘𝑘31𝑘𝑘12 𝑘𝑘22 𝑘𝑘32𝑘𝑘13 𝑘𝑘23 𝑘𝑘33
� = �11 2 −1832 −19 −11−47 8 −18
�
myblog4famouser.com
Jika A= �𝑎𝑎 𝑏𝑏𝑐𝑐 𝑑𝑑� maka kofaktor-kofaktornya adalah k11= d, k12 = −
c, k 21= − b dan k 22 = a. Kemudian Adj A=�𝑘𝑘11 𝑘𝑘21𝑘𝑘12 𝑘𝑘22
� = � 𝑑𝑑 −𝑏𝑏−𝑐𝑐 𝑎𝑎 �
Hal ini sama artinya dengan menukarkan elemen-elemen pada
diagonal utamanya dan mengubah tanda pada elemen-elemen
pada diagonal lainnya.
myblog4famouser.com
Invers MatriksInvers matriks adalah lawan atau kebalikan suatu matriks
dalam perkalian yang dilambangkan dengan A-1.
Definisi:
Jika matriks A dan B sedemikian sehingga A x B = B x A = I , dimana I
matriks identitas maka B disebut invers dari A dan A invers dari B.
Karena invers matriks A dilambangkan dengan A-1 maka berlaku:
A x A-1 = A-1 x A= I
Dimana I adalah matrik identitas.
myblog4famouser.com
Invers matriks ordo 2×2Jika A = �𝑎𝑎 𝑏𝑏
𝑐𝑐 𝑑𝑑� maka A-1 = 1det (𝐴𝐴)
.𝐴𝐴𝑑𝑑𝑖𝑖 (𝐴𝐴)
A-1 = 1𝑎𝑎𝑑𝑑−𝑏𝑏𝑐𝑐
. � 𝑑𝑑 −𝑏𝑏−𝑐𝑐 𝑎𝑎 �, syarat det(A) ≠ 0
Contoh: A =�5 33 2�, tentukan A-1!
Jawab:
A-1= 15.2−3.3
. � 2 −3−3 5 � = 1
1� 2 −3−3 5 � = � 2 −3
−3 5 �
myblog4famouser.com
Invers matriks berordo 3x3Jika B3 x 3 maka B-1 = 1
det (𝐵𝐵).𝐴𝐴𝑑𝑑𝑖𝑖 (𝐵𝐵) ,syarat det(A) ≠ 0
Contoh: B =�1 2 30 4 50 0 6
�, tentukan B-1!
Jawab:
Untuk mencari determinan matriks B, cara paling praktis adalah dengan metode
kofaktor dengan mengekspansi baris yang memuat nol terbanyak yaitu baris ke-3, maka :
Det(B) = |B| = k31 . b31 + k32 . b32 + k33 . b33
= (-1)3+1�2 34 5� . 0+(-1)3+2�1 3
0 5� . 0 +(-1)3+3�1 20 4� . 6
= 0 + 0 + 24 = 24
myblog4famouser.com
Adj (B) = �𝑘𝑘11 𝑘𝑘21 𝑘𝑘31𝑘𝑘12 𝑘𝑘22 𝑘𝑘32𝑘𝑘13 𝑘𝑘23 𝑘𝑘33
� =
⎣⎢⎢⎢⎢⎡+ �4 5
0 6� − �2 30 6� + �2 3
4 5�
− �0 50 6� + �1 3
0 6� − �1 30 5�
+ �0 40 0� − �1 2
0 0� + �1 20 4�⎦
⎥⎥⎥⎥⎤
= �24 −12 −20 6 −50 0 4
�
B-1 = 124�24 −12 −20 6 −50 0 4
� =
⎣⎢⎢⎢⎡1 − 1
2− 1
12
0 14
− 524
0 0 16 ⎦⎥⎥⎥⎤
myblog4famouser.com
Sifat-sifat invers matriks :
1. (AB)-1= B – 1 A – 1
2. Jika AB = BA = I, maka A dan B dikatakan sebagai matriks yang
saling invers karena A = B- 1 dan B = A- 1.
Bila suatu matriks A mempunyai determinan nol atau det(A) = 0
maka matriks A tidak mempunyai invers. Suatu matriks yang
tidak mempunyai invers disebut matriks singular. Bila det(A) ≠0,
maka matriks A pasti mempunyai invers. Suatu matriks persegi
yang mempunyai invers disebut matriks non singular.
myblog4famouser.com
LKS1. Tentukan nilai determinan dari
matriks-matriks berikut : a. 𝐴𝐴 = �3 −7
5 1 �
b. 𝐵𝐵 = � 6 2−5 7�
c. 𝐶𝐶 = � 5 −2−3 4 �
2. Tentukan nilai determinan dari matriks-matriks berikut :
a. 𝐴𝐴 = �2 −6 13 −7 −45 1 5
� dengan Metode
Sarrus
b. M=
−
−
120452531
dengan Kofaktor
3. Tentukan invers matriks berikut : a. 𝐴𝐴 = � 4 5
−2 3�
b. 𝐾𝐾 = �1 2 3−2 1 3−1 1 2
�
4. Diketahui matriks A=
1032 dan
B=
3152
Hitunglah.
a. AB-1
b. A-1 B
5. Tentukan adjoin matriks berikut :
𝑁𝑁 = �4 2 1
10 6 33 2 2
�
myblog4famouser.com
Author: PPL UMP 2010
education
myblog4famouser.com