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GUIA DIDACTICA

Despeje de variables en Números

Reales

Autor: Prof. Dennar Oropeza

San Felipe, Octubre 2010

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-- MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA--

Matemática – Despeje de variables en Números Reales - 2

GUIA DIDACTICA

Despeje de variables en Números

Reales

Datos de Identificación Elaborado por: Dennar Oropeza

e-mail: [email protected]

Fecha Elaboración: Octubre de 2010

Fecha de Última Actualización: Febrero de 2011

UUNNIIVVEERRSSIIDDAADD NNAACCIIOONNAALL EEXXPPEERRIIMMEENNTTAALL DDEELL YYAARRAACCUUYY PPRROOGGRRAAMMAA DDEE EEDDUUCCAACCIIOONN SSEEMMIIPPRREESSEENNCCIIAALL

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-- MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA--

mailto:[email protected]

◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π


Tabla de Contenidos

Objetivos Específicos. ................................................................................................................ 3

Contenidos…………………………………………………………………………………………….4

Desarrollo del Aprendizaje ........................................................................................................ 4

1.- El problema de la mitad de x de la vida ....................................................................... 4

2.- La Ecuación ........................................................................................................................ 4

2.1. Ecuaciones lineales o de Primer Grado de una incógnita ................................... 6

3.- El epitafio de Diofanto .................................................................................................... 13

4.- Ecuaciones Cuadráticas o de Segundo Grado. ....................................................... 13

4.1. Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas ............................. 14

4.2.- Propiedades de las soluciones ............................................................................... 17

4.3.- Ecuación de 2º grado a partir de sus soluciones ............................................... 17

4.3.1.- La ecuación de tipo: ; .......................................................... 17

4.3.2.- Factorización de un trinomio de segundo grado ........................................ 17

5.- Ecuaciones racionales .................................................................................................... 18

6.- Ecuaciones bicuadradas ............................................................................................... 18

LECTURA ................................................................................................................................. 19

Referencias Bibliográficas ....................................................................................................... 21

Introducción

Ya habiendo revisado las operaciones básicas en los diferentes conjuntos de

números, se puede repasar lo referido al despeje de una variable en una ecuación,

la cual surge de En esta parte del curso, te invitamos a repasar acerca de los

Números Naturales y Enteros, sus operaciones básicas de adición, sustracción,

producto y cociente, en las que ahondaremos en la Ley de los Signos. En ti está el

lograr el aprendizaje, si con entusiasmo estudias esta guía. Cualquier duda o interés

en particular, puedes escribir un correo electrónico a tu facilitador. Entonces, a

trabajar!!!!

Objetivos Específicos.

Luego de culminar esta unidad de estudio, amigo estudiantes serás capaz de:

Identificar los elementos de una ecuación lineal y cuadrática

Resolver las operaciones básicas para el despeje de las variables en ecuaciones

lineales y cuadráticas.



Contenidos

Despeje de variables en Números Reales

1.- El problema de la mitad de x de la vida

2.- La Ecuación

2.1. Ecuaciones lineales o de Primer Grado de una incógnita

3.- El epitafio de Diofanto

4.- Ecuaciones Cuadráticas o de Segundo Grado.

4.1. Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas

4.2.- Propiedades de las soluciones

4.3.- Ecuación de 2º grado a partir de sus soluciones

4.3.1.- La ecuación de tipo: ;

4.3.2.- Factorización de un trinomio de segundo grado

5.- Ecuaciones racionales

6.- Ecuaciones bicuadradas

LECTURA

Desarrollo del Aprendizaje

1.- El problema de la mitad de x de la vida

El matemático diría que la vida del condenado debería ser dividida en una

infinidad de períodos de tiempo iguales y, por tanto, infinitamente pequeños.

Según tal razonamiento, veríamos que cada periodo de tiempo dt, ¡Podría ser

mucho menor que la diezmillonésima parte de un segundo! Desde el punto de

vista del Análisis Matemático este problema no tiene solución. La única fórmula,

la más humana y más de acuerdo con el espíritu de Justicia y de Bondad, fue la

sugerida por Beremiz (famoso matemático Persa, que tenía notables aptitudes

para la ciencia de los números, conocido como el Hombre que calculaba).

(Tomado de El Hombre que Calculaba, de Malba Tahan. Capitulo XXIV)

Sin nos ponemos a ver con calma, pudiésemos plantearnos una expresión

matemática que agrupe toda la información mencionada, pero tranquilo! Lo

haremos al final de la lección.

2.- La Ecuación

Para comenzar, veamos primero si recuerdas o que tan claros tienes algunos

conceptos importantes de este tema:

¿Qué significan los términos: variable, constante, exponente, radical?



¿Qué entiendes por ecuación o fórmula?

¿A que se llama despejar una variable de una ecuación o fórmula?

Una ecuación es una igualdad que contiene una o más incógnitas. En una ecuación

existen cantidades desconocidas (incógnitas), que en general se designan por letras

minúsculas de la parte final del alfabeto: x, y, z y cantidades conocidas

(coeficientes), que pueden designarse por letras minúsculas iniciales del alfabeto: a,

b, c. Entonces, una ecuación está conformada por dos miembros: el primero, una

suma algebraica de términos antes de una igualdad y luego de ella, el segundo

miembro, que también consta de otra suma algebraica de términos. En dicha suma,

pueden existir términos que contengan a la incógnita acompañada de un

coeficiente y de términos independientes (Valores constantes que no contienen a la

incógnita). Acá lo puedes ver:

En el caso de las ecuaciones con una incógnita, se

catalogan según el exponente más alto de la

incógnita.

1er Miembro 2do miembro

Términos

Igualdad

Ecuación

Variable o Incógnita

Coeficiente

3 X –4. X

-2 y 2

5 son Términos Independientes

Donde:

4X 2

5 2 3X



2x + 4 = 10 es una ecuación lineal o de primer grado

2x2 + x + 5 = 9 es una ecuación cuadrática o de segundo grado

3x3 + 5x2 – 2x + 1 = 8 es una ecuación de tercer grado.

En esta guía trabajaremos las ecuaciones de primer y segundo grado.

2.1. Ecuaciones lineales o de Primer Grado de una incógnita

Por definición, Sean a, b y c constantes reales con a≠ 0, Se llama

ecuación lineal o de primer grado con una incógnita a toda ecuación

de la forma a.x +b = c; cuyo valor de x es el conjunto solución de dicha

ecuación.

2.1.1. Procedimiento para resolver estas ecuaciones.

Una forma general para resolver las ecuaciones lineales de una incógnita es el

siguiente:

1. Elimine todas las fracciones multiplicando cada lado por el mínimo común

denominador.

2. Quite paréntesis.

3. Simplifique los términos semejantes, usando la propiedad aditiva de la igualdad

para lograr que la ecuación tenga la forma: ax = b

4. Despeje la variable mediante la propiedad multiplicativa de la igualdad

5. Verifique el resultado con la ecuación original

Para ello veremos algunos ejemplos:

a.- Resolver la siguiente ecuación: 2x + 3 = 5

Solución

Primero se simplifican los términos semejantes usando la propiedad aditiva. El

objetivo es eliminar todo término que acompañe a la incógnita o variable, que en

este caso es X, y para ello se le resta a ambos miembros el valor de 3 , o se le suma

el valor de -3:



2x + 3 - 3 = 5 - 3 2x = 2

Seguidamente, se usa la propiedad multiplicativa, en otras palabras,

2x ( 1/2 ) = 2 ( 1/2 ) x = 1

De otra forma se puede resolver esta sencilla ecuación lineal. Se dice que se puede

trasladar del primer al segundo miembro el término independiente +3, que está

sumando, hacerlo restando:

2x + 3 = 5

2x = 5 - 3

2x = 2

Posteriormente, pasar al segundo miembro el coeficiente 2 que multiplica a la

variable X, dividiendo:

x = 2/2

x = 1

SOLO ESCOGES LA FORMA QUE MEJOR ENTIENDAS…

Comprobación. En esta parte se sustituye el valor de x resultante en la

ecuación para revisar la igualdad:

2( 1 ) + 3 = 5 5 = 5 ✔

b.- Resolver la siguiente ecuación: 10x/2 = x + 6

Solución

Multiplicas a cada lado por el mínimo común denominador (el 2)

10. x . 2 = (x + 6). 2

2

Simplificas los términos semejantes usando la propiedad aditiva

10x - 2x = 2x + 12 - 2x 8x = 12 8x ( 1/8 ) = 12 ( 1/8 ) x = 12 / 8

x = 3/2

Otra forma de hacerlo es: 10. x (x + 6)

2

=

El denominador del coeficiente del primer término del

primer miembro que está dividiendo, pasa multiplicando

a todo el segundo miembro



10. x = (x + 6). 2

10. x = 2.x + 12 (Aplicando propiedad distributiva)

10. x - 2.x = 12

8. x = 12

x = 12 / 8

x = 6 / 4

x = 3 / 2

En la Comprobación, se tiene:

✔

c.- Resolver la siguiente ecuación: 12 = - 2 (2.x - 6 )

Solución

Ahora lo verás más directo. Primero, pasa el -2 que divide al otro miembro

multiplicando y se quitan los paréntesis en el segundo miembro:

12 = - 2 (2.x - 6 )

12. ( -1/2 ) = ( 2x - 6 )

(Agrupamos términos semejantes: los términos que contienen

a la variable X, por lo tanto el 2X que está sumando en el

segundo miembro pasa al primero, restando (operación

opuesta), valor 12 se queda intacto en el segundo miembro)

(El coeficiente de la variable (8) que está multiplicando

pasa al segundo miembro dividendo)

(Se reduce el racional buscando mitad, hasta que sea

irreducible)

10 . 3 3 + 6

2 2 2

=

30 3 + 12

4 2

=

(En el primer miembro se realiza un producto

de racionales o fracciones, donde se

multiplican directamente numerador con

numerador y denominador con denominador.

En el segundo miembro se opera una suma de

racionales o fracciones cuyo m.c.m es 2)

15 15

2 2

= (En el primer miembro se realiza se reduce a

la mitad la fracción. En el segundo miembro se

suman los términos de la fracción y se observa

que son iguales lo resultados)



-6 = 2x - 6

Mediante la propiedad aditiva: -6 +6= 2x -6 + 6 0 = 2x

O Mediante la propiedad multiplicativa: 0 (1/2) = 2x ( 1/2 ) 0 = x

y Mediante la propiedad reflexiva: x = 0 ✔

En l a Comprobación:

12 = - 2 (2. (0) - 6 ) 12 = - 2 ( - 6 ) 12 = 12 ✔

d. Resolver la siguiente ecuación: 3.( 2x - 4 ) + 3.( x + 1 ) = 9

Solución:

Se quitan paréntesis en cada término del primer término, aplicando propiedad

distributiva:

6.x - 12 + 3.x + 3 = 9

(6.x + 3.x) + (– 12+3) = 9

9.x - 9 = 9

9.x = 9 +9

x = 18 /9

x = 2 ✔

En la comprobación:

Se agrupan y suman términos semejantes

El término independiente que resta en el

primer miembro pasa sumando al

segundo miembro. Finalmente, el

coeficiente de la variable que multiplica

pasa al dividiendo segundo miembro



3.( 2.2 - 4 ) + 3.( 2 + 1 ) = 9

3.( 4 – 4 ) + 3 .( 3 ) = 9

(3. 0) + 9 = 9

9 = 9 ✔

e.- Resolver la siguiente ecuación:

Solución

Acá observamos dos términos en el primer miembro y uno en el segundo.

Comprobación:

x - 8 x 8

5 3 5

= +

15. (x – 8) 15.x 15. 8

5 3 5

= +

Todos ellos poseen denominadores diferentes y para

eliminarlos y dejar la ecuación completamente lineal,

procedemos a determinar el m.c.m. entre 3 y 5, y que

resulta ser 15. Entonces se multiplica todos los términos

de la ecuación por 15:

15. (x – 8) 15.x 15. 8

5 3 5

= + Se resuelve las fracciones de cada término

3. (x – 8) 5.x 3. 8 = + Se quitan los paréntesis aplicando propiedad

distributiva. Se agrupan términos semejantes.

3.x – 24 + 5.x = 24

3.x + 5.x = 24 + 24

8.x = 48

x = 48 / 8

x = 6 ✔

6 - 8 6 8

5 3 5

= + -2 6 8

5 3 5

= +

- 2 30 8

15 5

= + 28 8

15 5

=

8 8

5 5

= ✔



Actividad de Control :

Identifica los términos de estas ecuaciones y los coeficientes de aquellos

que posean a la incógnita o variable:

i) 7/6.w +6.(w+1) = 1 ii) z + 5. (5 – z) – 5 = 5

Las ecuaciones pueden ser redactadas completamente por letras que son a

su vez términos independientes que poseen valores arbitrarios, según la

necesidad. Acá se te muestran unos casos:

i. Determine A en la ecuación (A+B)/C = B + D

Solución

Estas expresiones se tratan iguales que las anteriores: (A+B)/C = B + D (

� (

�

(

��

( ✔

ii. Determine B en la misma ecuación (A+B)/C = B + D

Solución

Estas expresiones se tratan iguales que las anteriores:

(A+B)/C = B + D

✔

(A+B) B + D

C =

(A+B) C. (B + D)

=

A + B C. (B + D) =

A = C. (B + D) - B

Al observar la ecuación, la letra A es la variable y las

restantes son términos independientes. La letra C

que divide al primer término pasa multiplicando a

todo el segundo miembro.

La letra B que suma en el primer

miembro pasa restando al

segundo

(A+B) B + D

C =

(A+B) C. (B + D)

=

A + B C.B + C.D =

Al observar la ecuación, la letra B es la variable y las restantes son términos independientes. La letra C que divide al primer término pasa multiplicando a todo el segundo miembro.

La letra B en el segundo miembro debe salir del distributiva) para luego ser agrupado

B – C.B C.D - A = Se agrupan términos semejantes: El término que contiene a B en el 2do miembro pasa restando al primero. La letra A pasa restando al 2do miembro.

B. (1– C) C.D - A = En el primer miembro se obtiene como factor común a B para agrupar los coeficientes que lo acompañan. Recuerda que B tiene como coeficiente a 1.

B (C.D - A) (1– C)

= Finalmente el coeficiente que multiplica a B pasa dividiendo a todo al 2do miembro. Y listo!!!!



Los valores de cada letra que representa variables y constantes se asignan según el

problema planteado. Por ahora y a maneja de ejemplificación, imagínate que B =3;

C = 2 y D = 1 y sustituimos en los despejes ya realizados, entonces el valor de A es:

Así :

Hagamos el mismo procedimiento para darle valor a B, suponga que A = 5; C = -2 y

D = 4 y sustituimos en el despeje respectivo, entonces el valor de B es:

En resumidas cuentas:

No debes abrumarte por tener que despejar una variable y que los demás

términos sean letras. Trátalos como números, y sigue el procedimiento, luego

se les sustituyen por valores reales.

Actividad de Control:

Resuelve estas ecuaciones. Recuerda algo: los términos se separan en

sumas y restas, las multiplicaciones y/o divisiones forman parte de un término

a. Resp. x = 21

b. - 3/5 .( 15 - 2x ) = - 3 ; Resp. x = 5.

c. 4x - 5 ( x + 3 ) = 2x – 3; Rep. X = 4

d. ; Resp: x = -12

e. ; Resp: x = -6

Actividad de Control :

Revisa este video, tiene información importante y entretenida para ti

A = 1. (3 + 2) - 3

A = 1. (5) - 3 = 5 – 3

A = 2 ✔

B (C.D - A) (1– C)

=

B (-2. 4 - 5) (1– (-2)) =

(-8 - 5) (1 + 2)

=

B -13 ✔

3

=

x + 3 6 4 =

2.(x + 2) x 5 3 =

x + 1 x -4 2.x - 3 4 2 4 = -



Fibonacci. La Magia de los Números

3.- El epitafio de Diofanto

Diofanto, fue un Matemático (Geómetra) griego nacido en Alejandría (325-409) que

tenía un dilema existencial:

“He aquí el túmulo de Diofanto –maravilla para quien lo contempla-; con

artificio aritmético la piedra enseña su edad”. “Dios le concedió pasar la sexta

parte de su vida en la juventud; un duodécimo en la adolescencia; un

séptimo en un estéril matrimonio. Pasaron cinco años más y le nació un hijo.

Pero apenas este hijo había alcanzado la mitad de la edad del padre,

cuando murió. Durante cuatro años más, mitigando su dolor con el estudio de

la ciencia de los números, vivió Diofanto, antes de llegar al fin de su

existencia”.

Es posible que Diofanto, preocupado en resolver los problemas

indeterminados de la Aritmética, no hubiera pensado en obtener la solución

perfecta del problema el rey Hierón, que no aparece en su obra.

Tomado de El Hombre que Calculaba, de Malba Tahan. Capitulo XXIV

El problema de Diofanto

El llamado problema de Diofanto o epitafio de Diofanto, puede ser resuelto

fácilmente con auxilio de una ecuación de primer grado con una incógnita.

Designando con X la edad de Diofanto, podemos escribir:

XXXXX

42

57126

Resuelta esa ecuación encontramos que: X = 84

Es decir, la edad de Diofanto es 84 años. Esta es la solución del problema

4.- Ecuaciones Cuadráticas o de Segundo Grado.

Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma: a.x2 + b.x +c = 0 con a ≠ 0, b y c valores reales. Se resuelve según sea el caso:

Fibonacci.%20%20La%20Magia%20de%20los%20Numeros.avi



4.1. Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas

1er caso: si b = 0 y c = 0, entonces: ax2 = 0, por tanto la solución es x = 0.

Ejemplo: Obtenga las raíces del conjunto solución de: 4.x2 = 0

Solución

Como a = 4, b = c = 0, entonces x = 0 ✔

2do caso: Si c = 0, entonces: ax2 + bx = 0

Extraemos factor común x.

Igualamos cada factor a 0 y resolvemos las ecuaciones de 1er grado.

Así : ax2 + bx = 0 x.(a.x + b) = 0

x = 0 y

Ejemplo: Obtenga las raíces del conjunto solución de: 4x2 + 7x= 0

Solución

Como a = 4, b = 7 y c = 0, entonces

x . (4x + 7) = 0

x = 0 y 4x + 7 = 0

x = 0 y x = -7/4

Así, las raíces del consunto solución es x1 = 0 y x2 = -7/4 ✔

3er caso: b = 0, entonces: ax2 + c = 0

Despejamos:

Es sencillo, todo número multiplicado por

cero resulta cero

Cuando el término independiente c vale cero, queda

una ecuación cuadrática donde x es el factor común

De esta forma queda un producto y el resultado es

cero, quiere decir que cada expresión se iguala a

cero y se despeja el valor. Estos resultados representan

las raíces buscadas



Ejemplo: Obtenga las raíces del conjunto solución de: 3Y2 - 27= 0

Solución

Como a = 3, b = 0 y c = -27, se tiene que:

3Y2 - 27= 0

Y2 = 27/3

Por lo tanto: Y = + 3 y Y = -3

Así, las raíces del consunto solución es Y1= 3 y Y2 = -3 ✔

4to Caso: b y c ≠ 0, entonces: ax2 +bx +c = 0, considerada ecuación cuadrática

completa.

En este caso, se hacen estudio de las soluciones

b2 − 4ac se llama discriminante de la ecuación y permite averiguar en cada

ecuación el número de soluciones. Podemos distinguir tres casos:

i. b2 − 4ac > 0

La ecuación tiene dos soluciones, que son números reales distintos.

ii. b2 − 4ac = 0

La ecuación tiene una solución doble.

iii. b2 − 4ac < 0

La ecuación no tiene soluciones reales.

Al tener este tipo de ecuaciones donde el término con variable lineal (b.x), lo que queda es despejar la variable (que puede ser cualquier letra)

Y2 = (27 / 3)

Y = 9

Y = 3

Se extrae la raíz cuadrada como operación contraria a la potencia cuadrada en ambos miembros. Es de hacer notar que al despejar y aplicar este procedimiento se obtienen dos raíces: una positiva y otra negativa



Ejemplo: Obtenga las raíces del conjunto solución de: 5Y2 - 14Y - 3 = 0

Solución

Como a = 5, b = -14 y c = -3, se tiene que plantear el valor discriminante:

Por lo tanto: Y = + 3 y Y = -1/5

Así, las raíces del consunto solución es: Y1= 3 y Y2 = -1/5 ✔

Cuando realices correctamente las operaciones dentro de la raíz y resulte

un número negativo, por ejemplo:

Detengámonos en esto: , hay que recordar que las cantidades subradicales

de una raíz par (raíz cuadrada: 2) deben ser positivas (mayores o iguales que cero), y

como -9 <0 por tanto no hay soluciones en conjunto de los números reales y se

aplica el caso iii.

Se sustituyen los valores de a, b y c en la fórmula del discriminante manteniendo y respetado los signos

Y - (-14) (-14)2 – (4.5.(-3))]

2 . 5 =

Y +14 196 + 60]

10 =

Y +14 256

10 =

Y +14 + 16

10 = Y +14 - 16

10 =

Y 30

10 = Y -2

10 =

Se realizan los cálculos correspondientes

Observe que la cantidad subradical (valor dentro de la raíz) es mayor que cero (256>0) y la solución está en el conjunto de los números reales: Caso i. Por otro lado, existe el doble signo, lo que significa que hay dos soluciones: una solución positiva y una negativa

Resolvemos la raíz cuadrada y culminamos operando con la suma algebraica y la división

Y +2 96 - 105]

6 = Y + 2 -9

6 =

-9



Otra forma de decirlo, es que no es no mismo:

(-3)2 = 9 y (+3)2 = 9,

es decir, ningún valor real que eleves al cuadrado dará dará como potencia un

valor negativo.

Ahora, si se te presenta un ejemplo como éste:

El valor de Y1 = Y2 = 1/ 3, y se aplica el caso ii que es mismo caso 2 de las ecuaciones

cuadráticas incompletas.

5to caso: Si en cualquiera de los casos anteriores a<0, entonces multiplicamos los

dos miembros por (−1).

4.2.- Propiedades de las soluciones

La suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a:

El producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a:

4.3.- Ecuación de 2º grado a partir de sus soluciones

Si conocemos las raíces de una ecuación, podemos escribir ésta como:

4.3.1.- La ecuación de tipo: ; Siendo S = x1 + x2 y P = x1 · x2

4.3.2.- Factorización de un trinomio de segundo grado

Si a.x2 + bx +c = 0, entonces: a· (x -x1 ) · (x -x2 ) = 0; donde x1 y x2 son las raíces

solución de la ecuación.

Y +2 96 - 96]

6 = Y + 2 0

6 =



5.- Ecuaciones racionales

La ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecen fracciones

polinómicas. Para resolverlas se multiplican ambos miembros de la ecuación por el

mínimo común múltiplo de los denominadores. Debemos comprobar las soluciones,

para rechazar posibles soluciones extrañas provenientes de la ecuación

transformada (la resultante de multiplicar por el mínimo común múltiplo), pero que

no lo son de la ecuación original.

6.- Ecuaciones bicuadradas

Son ecuaciones de cuarto grado sin términos de grado impar:

ax4 + bx2 + c = 0

Para resolverlas, efectuamos el cambio x2 = t, x4 = t2; con lo que genera una

ecuación de segundo grado con la incógnita t: at2 + bt + c = 0

Por cada valor positivo de t habrá dos valores de x:


Encuentra las raíces del conjunto solución de las ecuaciones cuadráticas

siguientes:

x2 = 81

14x2 - 28 = 0

(2x - 5)(2x + 5) - 119 = 0

(x + 6)(x - 6) = 13

(x + 11)(x - 11) = 23

x2 = 7x

21x2 + 100 = - 5

2x2 - 6x = 6x2 - 8x

(x - 3)2 - (2x + 5)2 = - 16

(4x - 1)(2x + 3) = (x + 3)(x – 1)

x2 + 12x + 35 = 0

x2 - 3x + 2 = 0

x2 + 4x =285


Revisa estos enlaces: http://www.geocities.com/ferman30/Lenguaje-Matematico.html

http://www.dma.fi.upm.es/gies/informates/Temas_Basicos/basicos_0_1.pdf

http://didactica-y-

matematica.idoneos.com/index.php/El_lenguaje_y_la_Matem%C3%A1tica

x = t

http://www.geocities.com/ferman30/Lenguaje-Matematico.html

http://www.dma.fi.upm.es/gies/informates/Temas_Basicos/basicos_0_1.pdf

http://didactica-y-matematica.idoneos.com/index.php/El_lenguaje_y_la_Matem%C3%A1tica

http://didactica-y-matematica.idoneos.com/index.php/El_lenguaje_y_la_Matem%C3%A1tica



http://www.monografias.com/trabajos76/lenguaje-matematico-

aplicaciones/lenguaje-matematico-aplicaciones2.shtml


Plantea estas expresiones en forma de ecuaciones y resuelve, son sencillas!!!

a. La suma de dos números consecutivos es 175. ¿Cuáles son esos números? (Resp. :

87 y 88)

b. En el partido de fútbol de ayer se realizó el siguiente cambio: El número

del jugador que salió es igual al número del que entra aumentado en

tres. Si nos informan que el jugador que sale es el 20. ¿Cuál es el número

del jugador que entró? (Resp.: 17)

c. La edad de Pablo es el triple de la edad de su hija., pero la suma de ambas

edades es 40 años. Halla mediante la resolución de una ecuación la edad que

tiene cada uno. (Resp.: Hija de Pablo: 10 años, Pablo: 30 años)

Resuélvelos todos!!, son cortos y SENCILLOS de analizar, que así te espero con gusto

en la próxima guía!!!!

LECTURA

Modelo Cósmico Ferman Lenguaje Matemático. ¿Real o Imaginario?

LENGUAJE MANTEMÁTICO ¿Real o Imaginario?

Las matemáticas fueron primeramente utilizadas como método de medida de las

circunstancias y acontecimiento físico. Y quizás esa debería ser su principal función.

Sin embargo, con el desarrollo de operaciones y sistemas matemáticos se cree

haber sobrepasado el simple método de medida para convertir las matemáticas en

un leguaje de expresión y demostración con el cual podemos averiguar toda la

realidad física.

Y la pregunta sería, ¿Puede las matemáticas ser realmente un método de expresión?

Parece claro que sí. Las matemáticas pueden tener unas dimensiones tan extensas

que pueden convertirse en método de expresión y demostración de cualquier

acontecimiento. Pero aquí surge el problema: Como método de expresión las

http://www.monografias.com/trabajos76/lenguaje-matematico-aplicaciones/lenguaje-matematico-aplicaciones2.shtml

http://www.monografias.com/trabajos76/lenguaje-matematico-aplicaciones/lenguaje-matematico-aplicaciones2.shtml



matemáticas pueden abarcar cualquier acontecimiento real, pero también

cualquier acontecimiento inventado o imaginario. Por tanto al utilizar el lenguaje

matemático podemos tomar dos opciones:

---Podemos hacer formulaciones, mediciones y demostraciones sobre hecho físicos

reales, para lo cual es necesario comprobar que los parámetros matemáticos y sus

resultantes coinciden con los parámetros y acontecimientos físicos y también con sus

resultantes.

---Y podemos crear a partir de formulaciones matemáticas arbitrarias y

preconcebidas una creatividad y una física imaginaria, la cual podríamos manejar a

nuestro antojo.

---Y en eso parece que estamos en la actualidad, en inventarnos fórmulas con las

que intentamos explicar un universo a nuestro modo, y si las layes físicas y por tanto

el universo real no coincide con nuestras ideas preconcebidas decimos que es el

mundo físico el que resulta incomprensible, inestable, virtual o simplemente

equivocado.

Pero como es lógico siempre procuramos que este mundo inestable o virtual se sitúe

lejos de nuestro alcance (como en el mico-espacio o espacio quántico, a la

velocidad de la luz, etc.) y de esta forma podemos aceptar mejor nuestro engaño.

Así, la física que nosotros podemos observar es diferente de la que no podemos

observar. Aquí se cumplen unas leyes físicas claras lógicas y comprensibles. Allí

donde no llegamos, las leyes son diferentes, ilógicas e incomprensibles.

Creo por tanto que antes de explicar complicadas fórmulas matemáticas

deberíamos saber que son en realidad las matemáticas y cuál es su alcance real y

alcance ficticio.

Puede ser maravilloso inventarnos un universo a nuestro gusto, pero es triste estar

engañado con tantas alegorías matemáticas como lo estamos en la actualidad.

Como ejemplo de estos errores podemos reseñar:

---El invento de su fórmula por Lorentz para justificar un posible aumento de masa

propuesto por Einstein en las partículas que se acercan a la velocidad de la luz, todo

ello debido al desconocimiento que estos tenían de una propiedad de toda energía

de tener una velocidad máxima de desarrollo.

---El tremendo error de escoger las coordenadas cartesianas en vez de las radiales

en la composición de las órbitas de los electrones en mecánica cuántica.

---La de escoger la constante de Planck como número cuántico real cuando solo es

una cantidad arbitraria para poder relacionar la frecuencia con la energía.

---La de crear un principio de incertidumbre o de probabilidades para después



decirnos que realmente la física es incierta y que solo se cumplen sus leyes donde

nosotros estamos mirando, etc.

Referencias Bibliográficas

Para el estudio del despeje de incógnitas en una ecuación, te muestro algunas

referencias que sugiero buscar para fortalecer lo que has aprendido acá; son textos

de Matemática usados en Educación Básica. Además, algunas direcciones

electrónicas:

Baldor, A. 2000. Algebra. Edit. Cultura Venezolana, S.A.

Baldor, A. 2000. Aritmética. Edit. Cultura Venezolana, S.A.

Grupo Editorial Girasol. 2007. Guía- Teórica-Práctica Matemática 7. Terra editores.

http://politecnica.sems.udg.mx/objetos_de_aprendizaje/despejedeecuaciones.html

http://personal.cablemas.com/~mclementex/m_capac/mat_25.htm

http://www.monografias.com/trabajos32/ecuaciones-fisica/ecuaciones-fisica.shtml

http://politecnica.sems.udg.mx/objetos_de_aprendizaje/despejedeecuaciones.html

http://personal.cablemas.com/~mclementex/m_capac/mat_25.htm

http://www.monografias.com/trabajos32/ecuaciones-fisica/ecuaciones-fisica.shtml

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