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Desigualdad matemáticaNo debe confundirse con inecuación.

Se utiliza para indicar la cantidad de su valencia.

En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valorescuando éstos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).

Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o

los reales, entonces pueden ser comparados.

• La notación a < b signiica a es menor que b!

• La notación a " b signiica a es mayor que b

estas relaciones se conocen como #desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser iguala b! tam$ién puede leerse como %estrictamente menor que% o %estrictamente ma&or que%.

• La notación a ' b signiica a es menor o igual que b!

• La notación a  b signiica a es mayor o igual que b!

estos tipos de desigualdades reci$en el nom$re de desigualdades amplias (o no estrictas).

• La notación a ≪ b signiica a es mucho menor que b!

• La notación a ≫ b signiica a es mucho mayor que b!

esta relación indica por lo general una dierencia de varios órdenes de magnitud.

• La notación a  b signiica que a no es igual a b. *al e+presión no indica si uno es

ma&or que el otro, o siquiera si son compara$les.

Índice

  ocultar -

• /ropiedades

o .0unción monótona

o .12alor a$soluto

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• 13uerpo ordenado

• 45otación encadenada

• 67esigualdades entre medias

• 82éase tam$ién

• 9:i$liogra;a

• Enlaces e+ternos

Propiedadeseditar -

Las desigualdades están go$ernadas por las siguientes propiedades. 5otar que, para laspropiedades transitividad, adición, sustracción, multiplicación & división, la propiedad tam$iénse mantiene si los s;m$olos de desigualdad estricta (< & ") son reemplazados por suscorrespondientes s;m$olos de desigualdad no estricta (' & ).

Transitividad

• /ara n=meros reales ar$itrarios a,b & c >

• Si a > b & b > c  entonces a > c .

• Si a < b & b < c  entonces a < c .

• Si a > b & b = c  entonces a > c .

•

Si a < b & b = c  entonces a < c .Adición y sustracción

• /ara n=meros reales ar$itrarios a,b & c >

• Si a < b entonces a + c < b + c  & a − c < b − c .

• Si a > b entonces a + c > b + c  & a − c > b − c .

Multiplicación y división

• /ara n=meros reales ar$itrarios a & b, & c  dierente de cero>

• Si c  es positivo & a < b entonces ac < bc  & a/c < b/c .

• Si c  es negativo & a < b entonces ac > bc  & a/c > b/c .

Opuesto

• /ara n=meros reales ar$itrarios a & b>

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• Si a < b entonces −a " −b.

• Si a > b entonces −a < −b.

Recíproco

• /ara n=meros reales a & b distintos de cero, am$os positivos o negativos

a la vez>

• Si a < b entonces 1/a " 1/b.

• Si a > b entonces 1/a < 1/b.

• Si a & $ son de distinto signo>

• Si a < b entonces 1/a < 1/b.

• Si a > b entonces 1/a " 1/b.

Función monótonaeditar -

 ?l aplicar una unción monótona creciente a am$os lados, ladesigualdad se mantiene. Si se aplica una unción monótonadecreciente, la desigualdad se invierte.

Ejemplo

al aplicar la unción e+ponencial a am$os miem$ros de ladesigualdad, esta se mantiene.

alor a!solutoeditar -

Se puede deinir el valor a$soluto por medio de desigualdades>

•

•

Cuerpo ordenadoeditar -

Si (F , @, A) es un cuerpo & ' es un orden total so$re F ,entonces (F , @, A, ') es un cuerpo ordenado si & solo si>

• a ' b implica a @ c  ' b @ c !

• B ' a & B ' b implica B ' a A b.

Los cuerpos (", @, A, ') & (R, @, A, ') son ejemplos comunesde cuerpo ordenado, pero ' no puede deinirse enlos complejos para Cacer de (#, @, A, ') un cuerpo ordenado.

Las desigualdades en sentido amplio ' & so$re los n=merosreales son relaciones de orden total, mientras que las

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desigualdades estrictas < & " so$re los n=meros reales sonrelaciones de orden estricto.

Notación encadenadaeditar -

La notación a $ ! $ c esta$lece que a < $ (a menor que $) &

que $ < c ($ menor que c) & aplicando la propiedad transitivaanteriormente citada, puede deducirse que a < c (a menorque c). D$viamente, aplicando las le&es anteriores, puedesumarse o restarse el mismo n=mero real a los tres términos,as; como multiplicarlos o dividirlos todos por el mismon=mero (distinto de cero) invirtiendo las inecuaciones seg=nsu signo. ?s;, a < b + e < c  es equivalente a a - e < b < c - e.

Esta notación se puede e+tender a cualquier n=mero detérminos> por ejemplo, a% & a' & ((( & an esta$lece que ai 'ai@ para i , 1, ..., nF. Seg=n la propiedad transitiva, estacondición es equivalente a ai  ≤ a j  para cualesquiera 1 ≤ i ≤ j ≤n.

Dcasionalmente, la notación encadenada se usa coninecuaciones en dierentes direcciones. En ese caso elsigniicado es la conjunción lógica de las desigualdades entrelos términos ad&acentes. /or ejemplo>

a < $ c ' d

signiica que a < $, $ c, & c ' d (& por transitividad> a <d). Esta notación es utilizada en algunos lenguajes deprogramación tales como /&tCon.

Desigualdades entre mediaseditar -

!ase ta"bi!n# 7esigualdad de las medias aritmética &geométrica

Las distintas medias pueden relacionarse utilizandodesigualdades. /or ejemplo, para n=merospositivos a, a1, G, an, si

 (Media armónica),

(Media geométrica),

(Media aritmética),

(Media cuadrática),

entonces> .

a relación es un vínculo o una correspondencia. En el caso de la relación matemática,se trata de la correspondencia que existe entre dos conjuntos: a cada elemento delprimer conjunto le corresponde al menos un elemento del segundo conjunto.

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Cuando a cada elemento de un conjunto le corresponde solo uno del otro, se habla de función.Esto quiere decir que las funciones matemáticas siempre son, a su e!, relaciones matemáticas,pero que las relaciones no siempre son funciones.En una relación matemática, al primer conjunto se lo conocecomo dominio, mientras que el segundo conjunto recibe el nombrede rango o recorrido. "as relaciones matemáticas e#istentes entre

ellos se pueden graficar en el esquema llamado plano cartesiano.$upongamos que el dominio se llama M % el rango, N. &na relaciónmatemática de M en N será un subconjunto del productocartesiano M x N. "as relaciones, en otras palabras, serán paresordenados que inculen elementos de M con elementos de N.$i M = {5, 7 ! N = {", #, $, el producto cartesiano de M x N serán los siguientes paresordenados:

 M x N = {(5, 3), (5, 6), (5, 8), (7, 3), (7, 6), (7, 8)}Con este producto cartesiano, se pueden definir diferentes relaciones. "a relación matemáticadel conjunto de pares cu%o segundo elemento es menor a 7 es R = {(5, 3), (5, 6), (7, 3), (7, 6)}'tra relación matemática que puede definirse es aquella del conjunto de pares cu%o segundoelemento es par: R = {(5, 6), (5, 8), (7, 6), (7, 8)}"as aplicaciones de las relaciones matemáticas trascienden los l(mites de la ciencia, %a que en

nuestra ida cotidiana solemos hacer uso de sus principios, muchas eces de manerainconsciente. Seres humanos, edificios, elecrodom!sicos, "el#culas $ ami%os, entre otrosmuchos, son algunos de los con&unos más comunes de inter)s para nuestra especie, % a diarioestablecemos relaciones entre ellos para organi!arnos % participar de nuestras actiidades.De acuerdo con el n*mero de conjuntos que participen del producto cartesiano, es posiblereconocer diersos tipos de relación matemática, algunos de los cuales se definen breemente acontinuación.%elación unaria

&na relación unaria se da cuando se obsera un soloconjunto, % la misma puede definirse como el subconjunto de los elementos que pertenecen almismo % cumplen una condición determinada, e#presada en la relación. Por ejemplo, dentrodel conjunto de n*meros naturales, podemos definir una relación unaria +a la cualllamaremos & de los n*meros pares, de manera que de todos los elementos de este conjunto,tomaremos aqu)llos que respondan a dicha condición % formaremos un subconjunto, el cual

comien!a de la siguiente manera: ' = {,,6,8,*}%elación 'inariaComo su nombre lo indica, esta relación matemática parte de dos conjuntos, % por lo tanto lacomplejidad aumenta considerablemente. "os elementos de ambos pueden relacionarse de másformas, % los subconjuntos resultantes se e#presan como pares ordenados, tal como sedemuestra en párrafos anteriores. En las matemáticas, esto suele estar de fondo en muchas delas funciones más comunes, que tienen como ariables !  % x, %a que se busca un par de alores+uno de cada eje que permitan resoler una ecuación +que cumplan la condición.%elación ternaria

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Cuando definimos una condición que deben cumplir elementos de tres conjuntos diferentes,hablamos de relación ternaria, % el resultado es una o más ternas +el equialente a los paresordenados pero con tres elementos. -etomando el conjunto de n*meros naturales, que nospermite hacer cálculos sencillos, un ejemplo de relación matemática de este tipo es aqu)lla enla cual a + = c, de manera que podr(amos obtener un subconjunto que comien!a as(: R ={(3,,-), (,3,-), (5,3,), *}

"ee todo en: Definición de relación matemática /u) es, $ignificado % 

Concepto http:00definicion.de0relacionmatematica01i#!!234u5D4s! DEFINICIÓN

DE RELATIVO

%elativo es un adjetivo que procede del ocablo latino relai.us. El

t)rmino permite hacer mención a aquello que mantiene un vínculo conalgo o alguien. Por ejemplo: /No .o$ a comenar nada relai.o a mi .ida

 "ersonal0 s1lo halar! de mi raa&o2 , /Res"eco a lo relai.o a las

reformas, omaremos una decisi1n en los "r1ximos d#as2 , /l economisa

rindar4 una charla "ara ex"licar odo lo relai.o a la nue.a norma

im"osii.a2 .

 Tipos de funciones

29 de enero de 2013 Publicado por Laura

Ya hemos visto en anteriores ocasiones, algunas de las funciones que hay;

incluso, hemos estudiado las características de algunas de ellas, como las rectas,

 paráolas o hipérolas, entre otras!

"n esta ocasión daremos una clasificación propiamente dicha de los distintos

tipos de funciones que nos podemos encontrar en las matemáticas!

CLASIFICACIÓN SEGÚN LA VARIABLE X:"n primer lugar clasificaremos las funciones dependiendo del carácter de la

variale independiente # en dos tipos$ algeraicas y trascendentes!

*Funciones algebraicas: "ste tipo de funciones corresponden a ecuaciones

 polinómicas , donde se pueden efectuar operaciones en las que interviene la

variale independiente, como la suma, la resta, la multiplicación, la división, la

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 potencia y la raí%!

&entro de las funciones algeraicas nos encontramos$

 – Funciones consanes: donde la función viene definida por una constante y no

interviene la variale independiente$ y=f(x)=k 

!Funciones lineal: 'a representación de este tipo de funciones es una recta que pasa por el origen de coordenadas$ y=mx+n!

!Funci"n a#$n: "sta función se trata de un caso general de la anterior, ya que se

trata de una recta cualquiera del plano$ y= mx

!Funci"n cua%r&ica: iene e#presada por una función polinómica de segundo

grado, como era de esperar, y su representación es una paráola!

!Funciones racionales: e e#presan mediante el cociente de polinomios!

!Funciones ra%icales: ienen dadas por la raí% de una e#presión polinómica!

!Funciones a ro'os: on funciones definidas por una función distinta en cada

intervalo (o tro%o) que se considere!

*Funciones rascen%enes: *uando la variale independiente, #, forma parte del

e#ponente o da la ase de un logaritmo; o simplemente se ve afectada por una

función, como puede ser en la trigonometría, entonces halamos de funciones

trascendentes!

&entro de las funciones trascendentes están$

!Funci"n e()onencial: *omo su nomre indica es una función en la que la

variale independiente se encuentra en el e#ponente y cuya ase es un n+mero

real! or tanto, recie el nomre de función e#ponencial de ase a y e#ponente #!

!Funci"n logar$ica: 'a inversa de la función e#ponencial recie el nomre de

función logarítmica, por tanto, devuelve el n+mero al que tendríamos que elevar

la ase a, para otener nuestra variale independiente! ("n este caso la variale

independiente nos da el valor de la función e#ponencial)

!Funciones rigono+ricas:'as funciones trigonométricas se otienen cuando

ampliamos el concepto de ra%ones trigonométricas a los n+meros reales! or lo

que hay el mismo n+mero de funciones trigonométricas que de ra%ones

trigonométricas$ y=senx, y=cosx, y=sec x, etc!

"n la siguiente imagen, tenemos una clasificación de lo que acaamos de

estudiar!

CLASIFICACIÓN SEGÚN LA ,EFINICIÓNeg+n nos venga dada la definición de la función tamién podemos estalecer

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una clasificación$

!Funci"n e()l$cia: *uando podemos otener los valores de y directamente

dando valores a nuestra variale independiente, es decir, cuando la variale y está

despe-ada!

!Funci"n i)l$cia: *uando, al contrario que en el caso anterior, tenemos que

reali%ar operaciones para halla el valor de la y una ve% que le hemos dado un

valor a la #$ 3x+2y=1

Relacionados

Lee odo en! Tipos de funciones " La

#u$a de%ae&'ica (p!))&ae&aica*la+uia2000*co&)+eneral)ipos,de,funciones-i.//0TupCn3P

Clasificación de funciones

Clasicacin de funciones

Funciones al+ebraicas

"n las   #unciones algebraicas   las operaciones que hay que

efectuar con la var iale independiente son$ la adición,

sus t racción, mul t ipl icación, divis ión, potenciación y radicación!

'as #unciones algebraicas  pueden ser $

Funciones explícitas

"n las #unciones e()l $ci as  se pueden otener las imágenes

de # por s imple sus t i tución!

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f (#) . /# 0 1

Funciones implícitas

"n las #unciones i)l $ci as  no se pueden otener lasimágenes de # por s imple sus t i tución, s ino que es preciso

efectuar operaciones !

/# 0 y 0 1 . 2

Funciones polin&icas

'as #unciones )ol in"icas  vienen def inidas por un

 polinomio!

f(#) . a 2 3 a 4 # 3 a 4 #5 3 a 4 #6 37 7 7 3 a n # n

u dominio es , es deci r , cualquier n+mero real t iene

imagen!

Funciones constantes

El cri erio -iene %a%o )or un n.ero real /

#0(12 3 

'a gráf ica es una recta hor i%ontal paralela a al e-e de

ascisas !

Funciones polinómica de primer grado

#0(1 2 ( 4n

u gráf ica es una recta ol icua, que queda def inida por dos

 puntos de la función!

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Funci"n a#$n !

Funci"n l ineal !

Funci"n i%eni%a% !

Funciones cuadráticas

#0(1 2 a(5 4 b( 4c

on funciones pol inómicas es de segundo grado, s iendo su

gráf ica una paráola!

Funciones a trozos

on funciones def inidas por dis t intos cr i ter ios , seg+n los

intervalos que se consideren!

Funciones en -alor absoluo !

Funci"n )are enera %e ( !

Funci"n anisa !

Funci"n signo !

Funciones racionales

"l cr i ter io viene dado por un cociente ent re pol inomio$

"l dominio lo forman todos los n+meros reales e#cepto los

valores de # que anulan el denominador !

Funciones radicales

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"l cr i ter io viene dado por la var iale # a-o el s igno radical !

"l dominio de una función i r racional de índice impar es 8!

"l dominio de una función i r racional de índice par es tá

formado por todos los valores que hacen que el radicando sea

mayor o igual que cero!

Funciones rascendenes

"n las #unciones rascen%enes  la var iale independiente

f igura como e#ponente, o como índice de la raí% , o se hal la

afectada del s igno logar i tmo o de cualquiera de los s ignos que

emplea la t r igonometr ía!

Funcin e.ponencial

Sea a un n.ero real )osi i-o/ La #unci"n 6ue a ca%a

n.ero real ( le 7ace corres)on%er la )oencia a ( se

l laa  función exponencia l de base a y exponente x !

Funciones lo+ar$&icas

'a función logar í tmica en ase a es la función inversa de la

e#ponencial en ase a!

Funciones ri+ono&ricas

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'a #unciones rigono+ricas  asocian a cada n+mero real ,

#, el valor de la ra%ón t r igonométr ica del ángulo cuya medida en

radianes es #!

Función seno

#0(1 2 sen (

Función coseno

#0(1 2 cosen (

Función tangente

#0(1 2 g (

Función cosecante

#0(1 2 cosec (

Función secante

#0(1 2 sec (

Función cotangente

#0(1 2 cog (

Dominio, codominio y rango

En su forma más simple el dominio

son todos los valores a los que

aplicar una función, y el rango son

los valores que resultan.

Pero de hecho son conceptos

importantes cuando sedefine una

función. ¡Sigue leyendo

Por favor, primero lee " ¿Qué es una función? "...

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Funciones

!na función relaciona una entrada con una salida.

E"emplo# este ár$ol crece %& cm cada a'o, as( quela altura del ár$ol está relacionada con la edad por

la función a#

a(edad) = edad × 20

)s( que si la edad es *& a'os, la altura es a+*& -

%&& cm

Decir que a(10) = 200 es como relacionar *& con %&&. / $ien *& H %&&

Entrada y salida

Pero muchas veces es importante decir qu0 valores pueden entrar y pueden salir de

una función.

)qu( tienes algunas ra1ones#

• 2a función no funciona si das valores equivocados +como una edad negativa

• 2imitar los valores de entrada te puede permitir hacer despu0s cosas especialescon la función

• Sa$er el tipo de valores de salida +por e"emplo siempre positivos tam$i0n

ayuda

Entonces, 3cómo se dice lo que entra o sale en una función4 respuesta: seusan conjuntos...

!n con"unto es una colección de cosas, por

e"emplo n5meros.

9quí tienes unos e-emplos$

*on-unto de n+meros pares$ :!!!, 0, 01, 2, 1, , !!!<

*on-unto de n+meros impares$ :!!!, 0=, 04, 4, =, !!!<

*on-unto de n+meros primos$ :1, =, /, >, 44, 4=, 4>, !!!<

M+ltiplos positivos de = que son menores que 42$ :=, ?, @<

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De hecho, las funciones se definen so$re con"untos#

Definición formal de una función

!na función relaciona cada elemento deun con"unto

con e6actamente un elemento de otrocon"unto

+puede ser el mismo con"unto.

Dominio y rango

7ay nom$res especiales para lo que puede entrar, y tam$i0n lo que puede salir de

una función#

2o que puede entrar en una función se llama el dominio

2o que es posible que salga de una función se llamael codominio

2o que en realidad sale de una función sellama rango o imagen

Entonces, en el diagrama de arri$a el con"unto 8 es el dominio, el con"unto 9 es el

codominio, y los elementos de 9 a los que llegan flechas +los valores producidos

realmente por la función son el rango.

Parte de la función

2o que sale (el rango) depende de lo que pones (el dominio), pero TÚ defines el

dominio.

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De hecho el dominio es una parte esencial de la función. !n dominio diferente da una

función diferente.

E"emplo# una simple función como f+6 - 6% puede tener dominio +lo que entra los

n5meros de contar :*,%,;,...<, y el rango será entonces el con"unto :*,=,>,...<

9 otra función g+6 - 6% puede tener como dominio los enteros :...,?;,?%,?

*,&,*,%,;,...<, entonces el rango será el con"unto :&,*,=,>,...<

)unque las dos funciones toman la entrada y la elevan al cuadrado,operan enconjuntos diferentes de entradas, y por eso dan salidas

diferentes.

 

@am$i0n tienen diferentes propiedades.

Por e"emplo f+6 siempre da resultados distintos, pero g+6 puede dar

la misma respuesta para dos entradas +como g(2)=! y g(2)=!

)s( que el dominio es una parte muy importante de la función.

Entonces, 3todas las funciones tienen su dominio4

S(, pero en matemáticas sencillas no lo notas, porque el dominio se supone#

• Aormalmente se supone que es algo as( como todos los n5meros que hacen

que funcione.

• / si estás estudiando n5meros enteros, el dominio será los enteros.

• etc.

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¡Pero en matemáticas más avan1adas tienes que tener cuidado

Codominio y rango

El codominio y el rango tienen que ver con la salida, pero no son e6actamente lomismo.

El codominio es el con"unto de valores que podr"an salir.

El rango es el con"unto de valores que realmente salen.

E"emplo# puedes definir una función f(x)=2x  con dominio y codominio los

enteros +porque t5 lo eliges as(.

Pero si lo piensas, verás que el rango +los valores que salen de verdad son sólo

los enteros pares.

)s( que el codominio son los enteros +lo has elegido t5 pero el rango son losenteros pares.

)s( que rango es un su$con"unto del codominio.

#$or qu% los dos& Bueno, a veces no conoces exactamente el rango +porque la

función es complicada o no es conocida del todo, pero sa$es el con"unto en el que

está +como los enteros o los reales. )s( que defines el codominio y sigues tra$a"ando.

La importancia del codominio

D0"ame que te haga una pregunta# 3la raíz cuadrada es una función4

Si t5 dices que el codominio +las salidas posi$les es el conjunto de los n'merosreales, ¡entonces la ra(1 cuadrada no es una funcin ... 3te sorprende4

2a ra1ón es que podr(a ha$er dos respuestas para una entrada, por e"emplo f(9) =

3 o -3

!na función de$e ser univaluada. Ao puede dar % resultados para el mismo valor de

entrada. ¡Por e"emplo f+% - o > no está $ien

Pero se puede arreglar simplemente limitando el codominio a los n5meros reales no

negativos.

 De hecho, el s(m$olo radical +como en * siempre significa la ra(1 cuadrada

positiva +la principal, as( que * es una función porque su codominio es correcto.

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