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Enseanza de la Qumica

Relato de los alumnosNuestro profesor de Qumica-Fsica se presenta en clase

con el espectro de una estrella lejana que le ha enviado un astrnomo, amigo suyo, en el que aparecen una serie de lneas que pertenecen, sospechosamente, a un tomo hidrogenoide diferente del tomo de hidrgeno. Las lneas espectrales del tomo de hidrgeno las conocemos perfectamente; son las que forman las series de Lyman, Balmer, Paschen, etc que nos han enseado repetidamente al explicarnos los elementos bsicos de la teora atmica y de la espectroscopa. As que las lneas desconocidas en cuestin proceden de alguno de los tomos monoelectrnicos que se forman cuando los tomos polielectrnicos pierden todos sus electrones menos uno, es decir, del He+, del Li2+, del Be3+, del B4+, y as sucesiva-mente. No es de extraar que haya tomos de este tipo en las estrellas nos dice el profesor, teniendo en cuenta las elevadas temperaturas que se alcanzan en ellas.

Las lneas espectrales del tomo hidrogenoide desco-nocido que nos pasa el profesor aparecen a las siguientes longitudes de onda: 516.85, 415.42, 366.16 y 337.53 nm, o sea que las dos primeras caen en el visible (entre 390 y 780 nm) y las dos ltimas en el ultravioleta (por debajo de los 390 nm). Nuestro profesor de Qumica-Fsica, que confa plenamente en nuestra dedicacin, nos encarga que averi-gemos de qu tomo hidrogenoide se trata, y que desen-mascaremos las lneas o, como dicen los espectroscopistas, que las asignemos, que no es otra cosa que identificar las

transiciones entre los niveles que las producen (a estas alturas del grado ya sabemos que los tomos y molculas tienen niveles de energa discretos o cuantizados, entre los cuales pueden saltar absorbiendo o emitiendo radiacin). Fcil! Porque las posiciones de las lneas espectrales de los tomos hidrogenoides vienen dadas por la famosa frmula de Rydberg, que no tiene una forma, digamos, muy com-plicada. La podemos encontrar incluso en nuestro libro de Qumica General. Aqu esta:

R Zn n

n n1 1 1X 2

12

22 1 2

1m = -c m

(1)

Esta frmula se obtiene al hacer la diferencia entre los niveles de energa de los tomos hidrigenoides, cuya expre-sin matemtica dedujo por primera vez Bohr, mira por donde hace ahora justo 100 aos, cuando propuso su modelo atmico planetario con rbitas cuantizadas. De acuerdo con la frmula de Rydberg (1), la longitud de onda m a la que apare-ce una lnea espectral de un tomo hidrogenoide desconocido, llammosle X, se puede calcular conociendo su nmero at-mico Z, su constante de Rydberg RX, y los nmeros cunticos n1 y n2 de los niveles entre los cuales se produce la transicin, que toman valores enteros a partir de la unidad.

En las estrellas, lo normal es que los tomos hidroge-noides estn en niveles excitados debido, de nuevo, a las elevadas temperaturas, y que caigan a niveles ms bajos emitiendo la radiacin que se recoge en el espectro que, en nuestro caso, tenemos que analizar. Si las lneas aparecen ms o menos cercanas entre s, acercndose cada vez ms unas a otras, entonces lo ms probable es que procedan de transiciones que parten de niveles cada vez mas excitados, que identificamos con el nmero cuntico n2, y que acaban todas ellas en un nivel comn ms bajo de nmero cuntico n1. Se dice entonces que las lneas pertenecen a una misma serie espectral caracterizada por el nmero cuntico n1. Pero bueno, esto tambin lo sabemos ya. En el tomo de hidr-geno la serie correspondiente a n1 = 1 es la de Lyman y sus lneas (n2 = 2, 3, 4,) aparecen todas en el ultravioleta, la serie con n1 = 2 es la de Balmer, y sus lneas (n2 = 3, 4, 5,) aparecen en el visible, y las series siguientes con n1 = 3 (Paschen), n1 = 4 (Bracket), etcaparecen en el infrarrojo. Para adornar un poco nuestro trabajo hemos representado

J. Ziga A. Bastida A. Requena

Departamento de Qumica Fsica. Universidad de Murcia.Campus de Espinardo, 30100 Murcia, Espaa.C-e: zuniga@um.es

Recibido: 26/06/2013. Aceptado: 03/09/2013.

Desenmascarando lneas espectrales de tomos hidrogenoidesJos Ziga, Adolfo Bastida, Alberto Requena

Resumen: En este artculo unos alumnos de Qumica cuentan como han logrado identificar y asignar las lneas espectrales de un tomo hidro-genoide procedentes del espectro de una estrella lejana.

Palabras clave: Alumnos de qumica, tomos hidrogenoides, lneas espectrales, frmula de Rydberg, actividades educativas.

Abstract: In this paper a group of undergraduate students of Chemistry tell how they have managed to identify and assign the spectral lines of a hydrogen-like atom coming from the spectrum of a far away star.

Keywords: Chemistry students, hydrogen-like atoms, spectral lines, Rydberg formula, learning activities.

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grficamente las transiciones que dan lugar a las primeras lneas de estas series en la Figura 1.

Parece, pues, que lo nico que tenemos que hacer es identificar la serie a la que pertenecen las lneas espectrales de nuestro tomo hidrogenoide desconocido utilizando la frmula de Rydberg. Para empezar, seamos prcticos. Como en esta frmula lo que aparece es la inversa de la longitud de onda, vamos a trabajar directamente dicha inversa, que es el llamado nmero de ondas 1o m=u . La frmula de Rydberg queda entonces como sigue:

R Zn n

n n1 1X 2

12

22 1 2

1o = -u c m (2)

y los nmeros de ondas de las lneas de nuestro espectro misterioso, en sus unidades habituales de cm1, valen respec-tivamente 19348, 24072, 27310 y 29627 cm1.

Ya estamos listos. Y ahora qu? La frmula de Rydberg nos dice que cuanto mayor sea n2, para un valor fijo de n1, ms pequea ser la cantidad n1 22 que resta entre parnte-sis y, por tanto, mayor ser el nmero de ondas ou . As pues, los nmeros de onda crecientes de nuestras lneas deben estar asociados a una serie de valores tambin crecientes de n2. Si usamos precisamente n2 para identificar la primera de nuestras lneas, cuyo nmero de ondas es 19348n2o =u cm1, entonces las siguientes lneas correspondern a los valores n2 + 1 ( 24072n 12o =+u cm1), n2 + 2 ( 27310n 22o =+u cm1) y n2 + 3 ( 29627n 32o =+u cm1). Nuestras incgnitas son entonces el propio valor de n2, que nos dice cual es la primera lnea y a partir de ella las siguientes, el valor de n1, que nos dice cual es la serie a la que pertenecen las lneas, la constante de Rydberg RX, y finalmente el nmero atmico Z, que es el que nos va a permitir realmente identificar el tomo hidrogenoide del que se trata. Son cuatro incgnitas que pueden resolverse usando las cuatro ecuaciones siguientes que nos da la frmula de Rydberg para los nmeros de ondas experimentales:

R Zn n1 1

n X2

12

222

o = -u ; E (3)

R Zn n

1

1

1n X1

2

12

222

o = -+

+u_ i> H (4)

R Zn n

1

2

1n X2

2

12

222

o = -+

+u_ i> H (5)

R Zn n

1

3

1n X3

2

12

222

o = -+

+u_ i> H (6)

En realidad, podemos escribir estas cuatro ecuaciones de forma ms compacta como sigue:

R Zn n i

1 1n i X

2

12

222

o = -+

+u_ i> H (7)

donde i = 0, 1, 2 y 3, y donde n i2o +u son los valores de los nmeros de ondas de las lneas, y esto suena sospechosa-mente a ajuste por mnimos cuadrados. Si representsemos grficamente los nmeros de ondas n i2o +u frente a n i1 2

2+_ i ,

entonces deberamos obtener una serie de puntos prctica-mente alineados en una recta y y mx0= + de pendiente nega-tiva m R ZX 2=- y de ordenada en el origen y R Z nX0 2 12= . Fantstico! Esto est hecho. Representamos los puntos, los ajustamos por mnimos cuadrados a una lnea recta, y comenzamos a despejar incgnitas. Los valores de y son directamente los nmeros de ondas n i2o +u y los valores de x vienen dados por la cantidad n i1 2 2+_ i . Un momento! Aqu necesitamos el valor de n2 que todava no conocemos. Parece que tenemos un problema. Desde luego, podemos probar diferentes valores de n2 hasta que encontremos justamente el que coloca los nmeros de ondas en la recta que buscamos. Pero esto no es muy cientfico. Adems, supongamos que n2 tiene un valor muy elevado. Tendramos que hacer un montn de pruebas y ajustes. Olvidmoslo y que no se entere nues-tro profesor.

Alguien a nuestro lado, que es un poco friki de las mate-mticas, nos dice que si identificamos la variable x con el ndice i = 0, 1, 2 y 3, entonces la ecuacin (7) puede escribirse de la forma:

y ac x

b2= -

+_ i(8)

donde a R Z nX 2 12= , b R ZX 2= y c n2= . Si representamos la cantidad y n i2o= +u frente a x i= y ajustamos los puntos a una funcin como la (8), entonces podremos determinar n1, n2 y R ZX 2 a partir de los valores que obtengamos para los parme-tros a, b y c. Vale, pero esto no es un ajuste por mnimos cuadra-dos a una lnea recta, que podramos hacer incluso con nuestra calculadora de bolsillo. Necesitamos un programa de ordenador, ms o menos sofisticado, que nos permita hacer el ajuste, se dice no lineal, que hace falta. Esto se lo encargamos al friki de las matemticas, y suponemos que tambin de los ordenadores, y nosotros mientras tanto pensamos en algo ms sencillo.

Volvemos a mirar entonces las cuatro ecuaciones que hemos escrito para los nmeros de ondas, las que van de la (3) a la (6), y pensamos que, al fin y al cabo, siguen siendo cuatro ecuaciones con cuatro incgnitas, as que veamos si podemos despejar directamente las incgnitas, sin ms. Para empezar caemos en que si restamos dos de ellas, las que sean, nos qui-

Ener

ga

n

..43

2

1Lyman

Balmer

Paschen

Figura 1. Transiciones descendentes entre niveles de energa del to-mo de hidrgeno pertenecientes a las tres primeras series espectrales.

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tamos de en medio una de las incgnitas, la n1. Restando, por ejemplo, la ecuacin (4) a la (3) obtenemos:

R Zn n

1

1

1n n n X1

2

22

222 2 2

o o oD = - = -+

+u u u_ i> H (9)

Esta expresin nos da, como vemos, la diferencia entre las posiciones de las lneas primera y segunda. Seguimos calcu-lando entonces diferencias entre las posiciones de las lneas espectrales consecutivas. Restando la ecuacin (5) a la (4) y la (6) a la (5) nos queda:

(10)

R Zn n1

1

2

1n n n X1 2 1

2

22

222 2 2

o o oD = - =+

-+

+ + +u u u_ _i i> H

y

(11)

R Zn n2

1

3

1n n n X2 3 2

2

22

222 2 2

o o oD = - =+

-+

+ + +u u u_ _i i> H

Ahora tenemos tres ecuaciones con tres incgnitas, n2, RX y Z, y desarrollando las diferencias que aparecen en ellas entre corchetes, podemos escribirlas como sigue:

R Zn n

n

1

2 1n X

2

22

22

22oD =

+

+u_ i

(12)

R Zn n

n

1 2

2 3n X1

2

22

22

22oD =

+ +

++u

_ _i i(13)

R Zn n

n

2 3

2 5n X2

2

22

22

22oD =

+ +

++u

_ _i i(14)

Para ir ordenando nuestros datos, construimos una peque-a tabla, que llamamos Tabla 1, donde incluimos los valores de los nmeros de ondas de las lneas y los valores de sus diferencias consecutivas.

Tabla 1. Nmeros de ondas (en cm1) de las lneas espectrales del tomo hidrogenoide

i iou ioD u i i1o oD D+u u

0 19349 4722 0,68591 24071 3239 0,71502 27310 23163 29626

Sigamos despejando incgnitas. Si ahora dividimos entre s dos de las ecuaciones anteriores, las que sean, entonces nos quitamos de encima R ZX 2 , es decir, de golpe dos de las incgnitas, RX y Z. Ya vamos sospechando a estas alturas que estas dos incgnitas actan como una sola, el producto R ZX 2 , pero seguimos fervientemente en nuestro empeo de eliminar

incgnitas hasta quedarnos con una sola de ellas que podamos despejar, y luego ya veremos. Dividimos entonces, por ejem-plo, la ecuacin (12) por la (13) y obtenemos:

n n

n n

2 3

2 1 2

n

n

1 2 22

2 22

2

2

oo

DD

=+

+ +

+uu

__ _

ii i (15)

Pero mira, ya lo tenemos. En esta ecuacin aparece ni-camente n2. El valor de n n 12 2o oD D +u u lo podemos calcular, y de hecho lo hemos incluido tambin en la Tabla 1. Solo nos falta despejar n2 de la ecuacin (15) y obtener su valor. Una vez que lo tengamos, daremos marcha atrs en nuestras ecua-ciones para calcular el resto de las incgnitas.

Para despejar n2 de la ecuacin (18) comenzamos renom-brando el cociente n n 12 2o oD D +u u de la forma:

cn

n

12

2

oo

DD

=+u

u (16)

Podemos escribir entonces la ecuacin (15) como sigue:

c n n n n2 3 2 1 22 22

2 22

+ = + +_ _ _i i i (17)

y si desarrollamos esta ecuacin multiplicando los parnte-sis y agrupando los trminos que acompaan a las mismas potencias de n2 (esto lo hacemos en sucio para mostrar que nuestras deducciones son elegantes) obtenemos

c n c n n2 1 3 3 12 4 023

22

2- + - - - =_ _i i (18)

Vaya, es una ecuacin cbica o de tercer grado en n2. Parece que no podemos librarnos de las matemticas. Si fuese una ecuacin de segundo grado, sera coser y cantar, ms o menos, porque todava nos acordamos de como se calculan las races de una ecuacin de segundo grado. Pero de tercer grado... Y el friki de las matemticas se ha ido a hacer el ajus-te no lineal. Espera, y si buscamos en Internet? En Internet est todo no? Tecleamos en el buscador races cbicas y bien!, aparecen varias pginas que calculan las races de una ecuacin cbica simplemente tecleando sus coeficientes. Vamos all. El valor de c es 1,4579, y los valores de 2(c 1) y 3(c 3) que acompaan a las potencias n23 y n22 en la ecuacin (18) son 0,9157 y 4,6264. La ecuacin cbica que tenemos que resolver es, por tanto, la siguiente:

, ,n n n0 9157 4 6264 12 4 023 22 2+ - - = (19)

Introduciendo los coeficientes en una de las pginas web que hemos encontrado para resolver races cbicas, obtenemos los valores 7,01, 1,56 y 0,40. Cul de ellas es la correcta? Bueno, es muy fcil porque n2 tiene que ser un nmero entero positivo, as que la nica posibilidad vlida es la primera. No nos ha salido un nmero entero, pero casi, debido seguramente a que las posiciones medidas de las lneas llevan algn tipo de error experimental, o a los posibles redondeos numricos de nuestros clculos. Nos frotamos las manos porque hemos conseguido averiguar que el valor de n2 es 7. Lo escribimos bien claro, con satisfaccin poco contenida:

n 72 = (20)

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Vamos ahora hacia atrs. Sabiendo n2, podemos calcular R ZX 2 usando cualquiera de las ecuaciones (12), (13) o (14). Si usamos la (12), por ejemplo, obtenemos:

(21)

,R Zn

n ncm

2 1

14722

1549 64 987212 8X n2

2

22

22

12 # #oD=

+

+= = -u

__

ii

y, como sospechbamos, no vemos la manera de separar las incgnitas RX y Z. Tenemos que pensar un poco ms. Lo que queremos saber realmente es a qu tomo hidrogenoide per-tenecen las lneas espectrales, y esto nos lo dice directamente el valor del nmero atmico, o nmero de protones, Z. Si Z vale 2 se trata de He+, si vale 3 es Li2+, si vale 4 es Be3+, y as sucesivamente. Qu ocurre con la constante de Rydberg RX del tomo hidrogenoide? Sus valores cambian de un tomo hidro-genoide a otro, pero no cambian mucho en realidad. Hicimos un problema en clase en el que vimos que eran muy parecidos, y que al aumentar la masa del ncleo se acercaban rpidamente hacia la constante de Rydberg propiamente dicha,R3 , que es la que tendra un tomo hidrogenoide con una masa nuclear infi-nita, y cuyo valor es R3 = 109737 cm1. Si usamos este valor para RX en la ecuacin (21) y despejamos Z obtenemos:

,,Z

109737987212 8

2 991 2

= =c m (22)

Genial! No nos ha salido exactamente 3 pero, dadas las circunstancias, como si nos hubiese salido. Escribimos con satisfaccin menos contenida aun:

Z 3= (23)

As que nuestro tomo hidrogenoide desconocido que emite radiacin procedente de una estrella lejana es Li2+. Y todava no ha vuelto el friki de las matemticas con sus clculos.

Solo nos queda obtener el valor de n1. Pero para eso tene-mos nuestras ecuaciones originales, de la (3) a la (6), en las que ya sabemos cuales son los valores de n2 y de R ZX

2 . Si tomamos, por ejemplo, la ecuacin (3) y despejamos de ella n1, nos queda:

nn R ZR Z

n X

X1

22 2

2 1 2

2o=

+uf p (24)

y sustituyendo aqu los valores de R ZX 2 = 987212,8 cm1, n2ou = 19349 cm1 y n 72 = obtenemos:

(25)

,,

, ,n19349 40 987212 8

987212 824 995 4 9991

1 2 1 2

#= + = =c _m i

o sea, directamente

n 51 = (26)

Problema resuelto! Las lneas espectrales proceden del tomo hidrogenoide Li2+, pertenecen a la serie correspondien-te a n 51 = y corresponden a las transiciones 7 5" , 8 5" , 9 5" y 10 5" , tal como mostramos en la Tabla 2.

Para cuando vuelve el friki de las matemticas, y de los ordenadores, con su ajuste no lineal, ya sabemos la solucin, pero como somos amigos suyos, y a veces nos saca realmente de apuros matemticos ms comprometidos, incluimos sus clculos en el trabajo (vase Figura 2) para que el profesor vea que tenemos recursos y marcarnos, de paso, un puntito de versatilidad, o como se diga.

Tabla 2. Asignaciones de las lneas espectrales del tomo hidroge-noide Li2+.

n n2 1" iou

7 " 5 19349

8 " 5 24071

9 " 5 27310

10 " 5 29626

nm

ero

de o

ndas

(cm

1)

32000

28000

24000

20000

160000 1 2 3

i

Figura 2. Ajuste no lineal de los nmeros de ondas a la funcin y a b c x

2= - +_ i donde y n i2o= +u , x = i, a R Z nX 2 12= , b= RXZ2 y

c = n2. Los valores obtenidos para los parmetros del ajuste son a = 39587 cm1, b = 1003562 cm1 y c = 7,04, de los cuales se obtiene, redondeando a nmeros enteros, n1 = 5 , n2 = 7 y Z = 3 confirmando la asignacin de las lneas espectrales realizada en el trabajo.

Comentario del profesor

La utilizacin de la frmula de Rydberg para calcular las longitudes de ondas (o los nmeros de ondas) de las lneas espectrales de los tomos hidrogenoides aparece habitual-mente en los libros de Qumica General,1-6 para ilustrar el modelo atmico de Bohr, as como en los libros de Qumica-Fsica7-12 y de Qumica Cuntica,13,14 para reforzar todava ms el papel clave que tuvo dicha frmula en el nacimiento de la Mecnica Cuntica y, por supuesto, en los libros de Espectroscopa que incluyen el estudio de los espectros at-micos,15-19 por razones obvias. Los ejercicios y aplicaciones que se hacen de la frmula de Rydberg no suelen plantear muchas dificultades, ya que es una frmula fcil de manejar, una vez que se entiende su significado y su conexin con la estructura de niveles de los tomos hidrogenoides. En ocasio-nes, sin embargo, como la que describen los alumnos en este artculo, el empleo de la frmula de Rydberg puede compli-carse un poco ms de la cuenta.

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Desde un punto de vista experimental, est tambin bastante documentada la prctica de laboratorio en la que se observan las primeras lneas de la serie de Balmer del tomo de hidrgeno en el visible, y se determina posteriormente la constante de Rydberg mediante ajuste por mnimos cua-drados lineal.20-30 Yendo un poco ms all, se han descrito recientemente un par de enfoques pedaggicos adicionales de esta prctica. En el primero de ellos,20 los alumnos prue-ban distintos tipos de representaciones grficas de la longitud de onda de las lneas frente al nmero cuntico n2 hasta dar con la correcta, y en el segundo22 realizan un ajuste no lineal, similar al empleado por el friki de las matemticas en este trabajo, para identificar correctamente las lneas de la serie de Balmer. Otra posibilidad consiste en medir la primera lnea de esta serie para el hidrgeno y para el istopo de deuterio, y calcular a partir de la separacin de las mismas, el cociente entre las masas del protn y del ncleo del deuterio, el deutern.24

Tomando como punto de partida la frmula de Rydberg, se han planteado tambin cuestiones interesantes como, por ejemplo, averiguar si las series espectrales de los tomos hidrgenoides llegan, o no, a solaparse y, en su caso, cuan-do lo hacen,31 o estimar el tamao que pueden llegar a tener los tomos de hidrgeno en el espacio interestelar usando la informacin espectroscpica que puede recogerse sobre los mismos.32,33 La deteccin espectroscpica de tomos hidrgenoides en el espacio es, ciertamente, lo que se ha utilizado como reclamo en este artculo para propiciar el trabajo de los alumnos, pero no hemos entrado en ella con ms detalle porque esa es otra historia que merece ser con-tada en otro momento.

AgradecimientosEste trabajo ha sido financiado parcialmente por el

Ministerio de Ciencia e Innovacin, proyectos CTQ2011-25872 y CONSOLIDER CSD2009-00038, y por la Fundacin Sneca del Centro de Coordinacin de la Investigacin de la Regin de Murcia, proyecto 08735/PI/08.

Bibliografa1. P. Atkins, L. Jones, Principios de Qumica. Los Caminos del

Descubrimiento, Ed. Mdica Panamericana, Buenos Aires, 2012.2. R. H. Petrucci, F. G. Herring, J.D. Machura, C. Bissonette,

Qumica General, Prentice Hall, Madrid, 2011.3. R. Chang, Qumica, McGraw-Hill Interamericana, Mxico, 2010.

4. J. W. Moore, C. L. Stanitski, J. L. Wood, J. C. Kotz, El Mundo de la Qumica: Conceptos y Aplicaciones, Addison Wesley Longman, Mxico, 2010.

5. T. L. Brown, H. E. Lemay, B. E. Bursten, C. J. Murphy, Qumica. La Ciencia Central, Pearson Education, Mxico, 2009.

6. M. D. Reboiras, Qumica. La Ciencia Bsica, Thompson Editores Spain, Madrid, 2006.

7. P. W. Atkins, Qumica Fsica, Ediciones Omega, Barcelona, 1999.8. K. J. Laidler, J. H. Maiser, Physical Chemistry, Houghton

Miffin, Boston, 1999.9. R. S. Berry, S. A. Rice, J. Ross, Physical Chemistry, Oxford

University Press, New York, 2000.10. L. M. Raff, Principles of Physical Chemistry, Prentice Hall,

New York, 2001.11. I. N. Levine, FisicoQumica, McGraw-Hill, Madrid, 2004.12. T. ngel, P. Reid, Qumica Fsica, Pearson Education, Madrid, 2006.13. D. A. McQuarrie, Quantum Chemistry, University Science

Books, California, 2007.14. I. N. Levine, Qumica Cuntica, Prentice Hall, Madrid, 2001.15. A. Requena, J. Ziga, Espectroscopa, Prentice Hall, Madrid, 2004.16. J. M. Hollas, Basic Atomic y Molecular Spectroscopy, Wiley-

Interscience, Royal Society of Chemistry, 2002.17. T. P. Softley, Atomic Spectra, Oxford Chemistry Primers 19,

Oxford University Press, Oxford, 1994.18. P. F. Bernath, Spectra of Atoms y Molecules, Oxford University

Press, New York, 1995.19. S. Svanberg, Atomic y Molecular Spectroscopy, Springer-

Verlag, Berlin, 2001.20. A. M. R.P. Bopegedera, J. Chem. Educ. 2011, 88, 7781.21. S. R. Goode, L. A. Metz, J. Chem. Educ. 2003, 80, 14551459.22. B. R. Ramachyran, A. M. Halpern, J. Chem. Educ. 1999, 76,

12661268.23. M. E. M. Piedade, M. N. B. Santos, J. Chem. Educ. 1998, 75,

10131017.24. L. K. Khundkar, J. Chem. Educ. 1996, 73, 10551056.25. G. C. Shields, M. M. Kash, J. Chem. Educ. 1992, 69, 329331.26. E. Reiss, J. Chem. Educ. 1988, 65, 517518.27. J. Douglas, E. L. Nagy-Felsobuki, J. Chem. Educ. 1987, 64,

552553.28. M. Rappon, J. M. Greer, J. Chem. Educ. 1987, 64, 453456.29. A. Companion, K. Schug, J. Chem. Educ. 1966, 43, 591.30. J. L. Hollenberg, J. Chem. Educ. 1966, 43, 216.31. D. W. Ball, J. Chem. Educ. 2006, 83, 883884.32. D. B. Clark, J. Chem. Educ. 1991, 68, 454455.33. D. B. Clark, J. Chem. Educ. 1992, 69, 946.