descomposición espectral

7/21/2019 Descomposicin Espectral

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Principio de descomposicion espectral

Gonzalez Vazquez Mara Jose, Valdes Moreno Mara

Facultad de Ciencias UNAM, Laboratorio de fsica contemporanea II

Marzo, 2015

Resumen

El objetivo del experimento planteado en este reporte es analizar el principio de descomposicion espectral dela mecanica cuantica para el caso particular de estados de polarizaci on de pares de fotones. Utilizando un cristalno lineal para dividir un haz laser de 405 nm en dos conos de fotones de 810 nm los cuales inciden sobre un parde polarizadores que estan colocados frente a dos detectores. A uno de estos fotones se le designa testigo y al otrosenal. Mientras que el polarizador testigo se mantuvo fijo a 0 y 90 grados, con respecto a la polarizacion de laser, el

polarizador senal se giro en intervalos de 5 grados, haciendo un barrido para detectar coincidencias. Posteriormente,se llevo a cabo un analisis grafico, mediante el cual se concluye que los coeficientes que proporcionan la probabilidadpara cada estado de los dos fotones es: sen2() para el polarizador vertical y cos2() para el polarizador horizontal.

1. Introduccion

Para introducir los conceptos teoricos necesarios paracomprender este trabajo, discutiremos un experimento,el cual consiste en hacer incidir una onda de luz mono-cromatica polarizada en un analizador, o polarizador,A.De la figura 1, Oz corresponde a la direccion de propa-gacion de dicha onda yepal vector unitaria que describeel estado de polarizacion. El polarizadorA transmite laluz cuya polarizacion sea paralela al eje Ox y absorbe laluz con polarizacion paralela a Oy.[1]

Figura 1: Un haz de luz se propaga a lo largo de ladireccion Oz y cruza el polarizador P y el analizador

A.

De manera clasica, para un haz de luz suficientementeintenso, se puede describir a la onda plana polarizada

mediante el campo electrico escrito de la forma:

E(r, t) =E0epei(kzt (1)

DondeE0es una constante. La intensidad de la luz esproporcional a|E0|

2. Una vez que esta pasa a traves delpolarizador A, la onda estara polarizada a lo largo de ladireccion de Ox:

E(r, t) = E0exei(kzt (2)

La intensidad correspondiente I, que sera proporcio-nal a |E0|

2, esta dada por la ley de Malus:

I =Icos2() (3)

Donde ex es el vector unitario que designa al eje Oxy es el angulo entre ex y ep.[1]Por otro lado, desde del punto de vista de la mecanicacuantica, que sucede cuando la intensidad I es lo su-

ficientemente debil, de tal forma que se garantice quelos fotones que conforman el haz pasaran uno por uno atraves del polarizador A? Al colocar un detector de fo-tones detras de este, sabemos que no se detectaran frac-ciones de foton, es decir, el foton lograra atravezar elanalizador, siendo detectado, o sera absorbido. Aunqueno se puede predecir con absoluta certeza que ocurriracon cada foton, se puede conocer la probabilidad corres-pondiente a cada caso. Enviando un numero N suficien-temente grande de fotones, uno tras otro, el resultadocorrespondera con el del enfoque clasico, en el sentido

de que Ncos2

() fotones sera detectados.Sabemos que el polarizador solo dara ciertos resultadosperfectamente definidos, los cuales denominamos eigen-valores, pues, en el experimento descrito, el foton cruzara

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el analizador, o sera detenido por el mismo. El primercaso correspondera a cuando el estado de polarizaciondel foton sea paralelo al eje de transmision del polari-zador. La cuantizacion del resultado de la medicion, encomparacion con el resultado clasico, donde la intensi-dad transmitida Ipuede variar continuamente, de acuer-do con el valor de , entre 0 e I. [1]Para cada uno de los eigenvalores, habra un eigenesta-do, los cuales pueden escribirse como ep= ex o ep = ey,donde el primero describe que el foton atravieza el ana-lizador. El segundo, en cambio, indica que el foton seradetenido. As, antes de la medicion, si la partcula seencuentra en alguno de sus posibles eigenestados, el re-sultado sera el eigen valor asociado. Cuando el estado,antes de medir, es arbitrario, solo pueden predecirse lasprobabilidades de obtener los diferentes eigen valores.Para encontrarlas, debe descomponerse el estado de lapartcula en una combinacion lineal de los eigenestados.Para un ep arbitrario, puede escribirse:

ep= excos() +eysen() (4)

De tal forma que la probabilidad de obtener un ei-genvalor es proporcional al cuadrado del valor absoluto

del coeficiente correspondiente a cada eigenestado. Elfactor de proporcionalidad esta determinado por lacondicion de que la suma de todas las probabilidadeses igual a uno. De (4) se deduce entonces que cadafoton tendra la probabilidad cos2() de atravesar elpolarizador y el valor sen2() para la probabilidad deser absorbido. Esta regla se conoce como el principiode descomposicion espectralen mecanica cuantica. Parallevar a cabo esta descomposicion, debe considerarse quela eleccion de los ejes de los cuales dependen los eigenvalores, esta determinada por el eje del polarizador.

Por ultimo, dado que en el experimento reportado eneste trabajo se basa en la produccion y deteccion de pa-res de fotones, es importante mencionar el concepto deconversion parametrica descendente, proceso en el cualun foton proveniente de un haz de bombeo, con una fre-cuencia dada, incide sobre un cristal no lineal, generandodos fotones debido al decaimiento espontaneo producidoen los niveles de energa del cristal. Para el caso que nosinteresa, las polarizaciones propias de cada foton seran

ortogonales. Al foton que tiene la misma polarizacionque el del haz de bombeo se le denomina testigo, mien-tras que al otro se le llamara senal. Estos fotones seranemitidos en dos conos, como se ilustra en la figura 2.

Figura 2: Generacion del cono de fotones

2. Desarrollo experimental

2.1. Material

Laser violeta de 405 nm (CL-2005) con su respectivafuente

Cristal de Beta Borato de Bario tipo II (NewlightPhotonics Inc.)

Monturas

Dos polarizadores lineales

Dos fotodiodos de avalancha

Modulo de conteo de fotones (PerkinElmer optoe-lectronics)

Fibra optica

Circuito electronico de coincidencias

Tres fuentes de voltaje

Software sistema de coincidencias FCE BUAP (lab-View Instrument)

En la figura (3) se muestra un esquema experimentaly en la figura (4) la fotografa correspondiente al dispo-sitivo montado. Las fuentes de voltaje se utilizaron parael circuito electronico de coincidencias y no se muestranaqu.

Despues de que el haz de luz proveniente del laser vio-leta pasara a traves del cristal, se produjeron dos conos,mediante el proceso de conversion parametrica descen-dente descrito en la seccion anterior. As, por cada fotonde 405 nm, haba cierta probabilidad de generar dos fo-tones de 810 nm, uno polarizado horizontalmente y elotro verticalmente.

Para obtener el mayor numero de coincidencias, conayuda del software utilizado, se llevo a cabo una calibra-cion, moviendo ambos detectores hasta obtener el maxi-mo. Es importante que, una vez obtenida la posicion

ideal para estos, se tome referencia de la misma parano afectar los resultados. Teoricamente, los detectoresdeberan estar posicionados a 5 grados de la horizontalque define la trayectoria del haz original, pues el par de

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Figura 3: Esquema dispositivo experimental

fotones saldran del cristal a dicho angulo.Despues de encontrar la alineacion mas eficiente del dis-positivo, se coloco un polarizador frente a cada detec-

tor: uno correspondiente al foton testigo y el otro alfoton senal. El eje del polarizador para el foton testigose mantuvo fijo a 0 y 90 - para ello se considero quela direccion de polarizacion de un laser es lineal vertical-, mientras que el eje del polarizador para el foton senalse giro de 5 en 5 grados. En cada intervalo, se midi o elnumero de coincidencias. Se hicieron 5 mediciones en unventana de adquisicion de 30 nano segundos.Para todas las mediciones, las luces del laboratorio de-ben mantenerse apagadas, pues la luz afectara los foto-diodos.

Figura 4: Montaje experimental

3. Resultados y analisis

Se coloco el polarizador testigo con su eje de trans-mision a (90), es decir, horizontal (esto considerandoque la luz del laser esta polarizada verticalmente) y sevario el polarizador senal cada 5 hasta 360. Para ca-

da angulo se hizo un promedio de las 5 mediciones decoincidencias y se grafico, dando como resulta la figura5.. De acuerdo con la teora, los fotones que atraviesenel polarizador testigo tendran un estado de polarizacion

perpendicular, mientras que los que atraviesen el pola-rizador senal tendran polarizacion paralela.

Figura 5: Numero de coincidencias contra angulo conel polarizador testigo a 90

Posteriormente, se coloco el polarizador testigo verti-cal, es decir, a 0 y se volvio a variar el polarizador senalcada 5 hasta 360. Igualmente, se calculo un promediode la 5 mediciones de coincidencias como se muestra enla grafica de la figura 6. Para este caso, tendremos quepor el polarizador testigo pasara un foton que lleva po-larizacion paralela, por lo que a traves del polarizador

senal pasara un foton con polarizacion perpendicular.

Figura 6: Numero de coincidencias contra angulo conel polarizador testigo a 0

El error asociado a las mediciones se tomo como ladiferencia entre el valor maximo y el mnimo de las 5

mediciones realizadas.En ambas graficas, se observa un comportamiento ondu-latorio. Para la medicion de cada caso, podemos escribirlas funciones de estado:

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|f>= CH|Hs >+CV|Vi > (5)

|f>=Cv|Vs >+CH|Hi > (6)

Donde H y V corresponden a los estados de polariza-cion (horizontal o vertical), los subndices i y s indicantestigo (idler) y senal (signal). La intencion de esteexperimento es encontrar el valor para los coeficientes

CH y CV.Para obtener un mejor analisis, se normalizaron lascoincidencias respecto a su valor maximo. As, podemosnotar que los datos siguen un comportamiento similara las funciones cos2() y sen2(). Esto se ilustra enla graficas de las figuras 7 y 8, donde las curvas rojas

corresponden a los ajustes propuestos.

Figura 7: Grafica de coincidencias normalizadas com-parada con la funcion cos2()

As, podemos identificar los coeficientes de amplitudde probabilidad CH y CV con cos

2() y sen2(). Alcomparar con los datos experimentales, por lo tantopudimos identificar que los coeficientes de amplitudde probabilidad corresponden a dichas funciones yal compararlas con nuestros datos experimentales,notamos que, si bien hay una traslacion de los puntos,esto puede asociarse con ruido de fondo y posibleserrore sistematicos.La relacion que siguen los fotones que pasan por el

polarizador horizontal (figura 6) es: N = N0cos2

(),mientras que la relacion que siguen los fotones que pasanpor el polarizador vertical (figura 7) es: N=N0sen

2().

Figura 8: Grafica coincidencias normalizadas compa-rada con la funcion sen2()

4. Conclusiones

El experimento planteado permitio que se estudiaranlas propiedades de correlacion entre parejas de fotones,provenientes de una fuente de luz cuantica. Al graficarlos datos experimentales, numero de coincidenciascontra angulos de variacion, manteniendo el polarizadortestigo en 0 y 90, se observan comportamientosasociados a las funciones cos2() y sen2().

Sabemos que los coeficientes de probabilidad CH y CV,o coeficientes espectrales, deben cumplir la condicion deque la suma de todas las probabilidades es igual a uno,podemos entonces asegurar que la probabilidad de quelos fotones sean verticales u horizontales esta dada porla relacion: cos2() +sen2() = 1. As, los coeficientesespectrales corresponden a cos2() y sen2().Por otro lado, pensando en la ley clasica de Malus, quepredice la atenuacion de la intensidad de un haz de luzque pasa a traves de un polarizador lineal, recordamosque dicha atenuacion dependen del agulo relativo entre

la direccion de polarizacion de la onda incidente y eleje de transmision del polarizador. La variacion en laintensidad se comporta como cos2()[3]. Al final de laseccion de resultados y analisis, se senala la relacionque obedecen los fotones para cada caso del montajeexperimental. La constante de porporcionalidad N0correspondera al numero de fotones que pasan porel polarizador. Como se menciono en la introduccion,los detectores no registran fracciones de fotones: estospasaran o seran absorbidos por el polarizador. As, setendra el mismo fenomeno de atenuacion, de cierta

forma. Pensando en los fotones individuales, lo que sedenomina intensidad, en terminos de deteccion, no esuna propiedad de los mismos, pues estos solo llevan suenerga. La intensidad se refiere entonces al numero de

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fotones que recibe el detector por unidad de tiempo.As, podramos pensar que la ley cuantica de Malus serefiere a como se transforman las probabilidades de queun foton pase a traves de un segundo polarizador.Este experimento no solo demuestra el principio dedescomposicion espectral, el cual nos indica que solopodemos conocer la probabilidad de que los fotonespasen a traves o sean absorbidos por el polarizador, sino que ilustra tambien la ley cuantica de Malus.

Referencias

[1] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu y F. L, Quantum Me-chanics

[2] Rosales de Leon Alberto. Practica 2: Principio dedescomposicion espectral. Reporte de laboratoriode fsica contemporanea I

[3] E. Hecht, Optics, Third Edition, Addison-Wesley,1998.

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