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El método de descomposición en fracciones simples consiste en descomponer un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado. Se utiliza principalmente en cálculo integral. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el del numerador. En caso contrario se dividirá numerador entre denominador aplicando este proceso al resto de dicha división

Para mayor claridad, sea:

en donde: . Para reducirla a fracciones simples se debe expresar el denominador en laforma:

o

es decir, como el producto de factores lineales o cuadráticos, en este curso sólo nos interesa el primero.

Se distinguen 4 casos de los que, en este curso, estudiaremos solamente dos (los correspondientes al 1º tipo de denominadores):

1 - Factores lineales distintos

Donde ningún par de factores es idéntico.

Donde son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.

2 - Factores lineales repetidos

Donde hay pares de factores son idénticos.

Donde son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.

- -

- - -

---

DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES

1

- -

Para hallar las constantes, en el caso de factores lineales distintos se puede utilizar la siguiente fórmula:

en donde

Para los otros casos no existe una formulación específica. Sin embargo, estos se pueden resolver simplificando y formando un sistema de ecuaciones con cada una de las , la resolución del sistema proporciona los valores de los .

Ejemplo 1

Sea Se puede descomponer en

Necesitamos encontrar los valores a y b

El primer paso es deshacernos del denominador, lo que nos lleva a:

Simplificando

El siguiente paso es asignar valores a x, para obtener un sistema de ecuaciones, y de este modo calcular los valores a y b.

Sin embargo, podemos hacer algunas simplificaciones asignado a x los valores de las raíces de B(x):

Para el caso de a observamos que nos permite calcularla:

Siendo el resultado, el siguiente

-

CÁLCULO DE LAS CONSTANTES

2

Ejemplo 2

Sea

Se puede descomponer de esta manera

multiplicando por , tenemos

Simplificando

Procedemos a asignar valores a x, para formar un sistema de ecuaciones

Resolviendo el sistema de ecuaciones, tenemos finalmente

Pablo Martínpablo@marifeypablo.es@PabloMartinPi

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