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Vo. Bo. Dr. Jorge Eduardo Macias Diaz

Desarrollo y Análisis de un Método Limitador de Flujo para Leyes de

Conservación y su Aplicación a CFD en Bifurcaciones

T E S I S Que para obtener el grado de

Doctor en Ciencias con Orientación en

Matemáticas Aplicadas

P r e s e n t a

Mario Arciga Alejandre

Director de Tesis:

Dr. Silvia Jerez Galiano

Guanajuato, Gto.. Agosto de 2013

Desarrollo y Analisis de un MetodoLimitador de Flujo para Leyes de

Conservacion y su Aplicacion a CFD enBifurcaciones

Mario Arciga AlejandreB [email protected]

Asesor: Dra. Silvia Jerez Galiano

Julio del 2013

*

Indice general

1. Introduccion 31.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Metodologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Metodos numericos para leyes de conservacion 92.1. Forma integral de una ley de conservacion . . . . . . . . . . . . . . 92.2. Forma diferencial de una ley de conservacion . . . . . . . . . . . . . 112.3. Solucion por curvas caracterısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4. Soluciones debiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5. Problema de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.6. Metodos numericos conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.6.1. Convergencia debil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6.2. Esquemas limitadores de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3. Metodo Switch para leyes de conservacion 333.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2. Metodo limitador de flujo Switch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3. Consistencia y suavidad del flujo numerico Switch viscoso . . . . . 403.4. Convergencia del metodo Switch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4.1. Estabilidad TVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4.2. Monotonıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.5. Metodo limitador de flujo multidimensional . . . . . . . . . . . . . 483.5.1. Convergencia del algoritmo de descomposicion bidimen-

sional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.6. Resultados numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.6.1. Resultados numericos 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.6.2. Resultados numericos 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.6.3. Graficas comparativas y de errores . . . . . . . . . . . . . . . 60

I

II INDICE GENERAL

4. Ecuaciones de Navier-Stokes y su tratamiento numerico 674.1. Medios continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.1.1. Conceptos preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.1.2. Cantidades conservadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.1.3. Clasificacion de los fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.1.4. Ecuaciones de Navier-Stokes para fluidos Newtonianos, in-

compresibles, homogeneos e isotropicos . . . . . . . . . . . . 754.2. Tratamiento numerico de las ecuaciones para fluidos incompresibles 76

4.2.1. Formulacion con funciones de corriente y vorticidad . . . . 764.2.2. Compresibilidad artificial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.2.3. Metodos de correccion de presion con tecnicas de particion

de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.2.4. Metodos de correccion de presion con tecnicas tipo SIMPLE 794.2.5. Metodo SIMPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.2.6. Condiciones iniciales y de frontera . . . . . . . . . . . . . . . 82

5. Aplicacion en fluidos incompresibles 855.1. Discretizacion y adaptacion del metodo Switch . . . . . . . . . . . . 85

5.1.1. Interpolacion en los nodos y reconstruccion de gradientes . 925.2. Resultados numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.2.1. Test driven cavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.2.2. Flujo en conductos con bifurcaciones . . . . . . . . . . . . . 99

A. Existencia, unicidad y convergencia para un esquema de volumen finito109A.1. Preliminares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109A.2. Problema Elıptico y su Discretizacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

A.2.1. Existencia, unicidad, estimacion del error y convergenciadel problema discreto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

A.3. Problema Parabolico y su Discretizacion. . . . . . . . . . . . . . . . 114A.3.1. Existencia, unicidad, estimacion del error y convergencia

del problema discreto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Bibliografıa 117

Indice alfabetico. 117

Agradezco el apoyo recibidopor el CONACyT y el CIMAT.

1

2 INDICE GENERAL

Capıtulo 1

Introduccion

Uno de los campos de la fısica mas complicados de estudiar son los fluidos,el comportamiento de gases y lıquidos en movimiento. La mecanica de fluidos esfundamental en campos tecnologicos tan diversos como la aeronautica, la inge-nierıa quımica, civil e industrial, la meteorologıa y la oceanografıa.

Las ecuaciones fundamentales de la dinamica de fluidos, conocidas comoecuaciones de Navier-Stokes, fueron propuestas por el frances constructor depuentes Claude-Louis Navier y derivadas formalmente por el matematico ir-landes George Stokes. Estas ecuaciones son solo una aproximacion del comporta-miento real de los fluidos, ya que se construyen a partir de la hipotesis de continui-dad, es decir, las moleculas del fluido se mueven de forma continua con respectoal espacio y al tiempo. En la realidad, tanto los gases como los lıquidos son mate-ria compuesta por moleculas que colisionan unas con otras y con las paredes delos objetos que las confinan.

Las ecuaciones de Navier-Stokes se formulan como sigue

∂tρ+∇ · (ρv) = 0,

∂t(ρv) +∇ · (ρv ⊗ v)− F −∇ · (T) = 0.(1.1)

donde v = (u, v, w) es la velocidad del fluido, ρ su densidad, T el tensor de ten-siones internas y F es el campo de fuerzas externas o volumetricas. La densidadρ determina la cantidad de masa-fluida por unidad volumen y el tensor T inmis-cuye propiedades moleculares del fluido tales como la viscosidad. Los terminos∇ · v(ρv) y ∇ · (ρv ⊗ v) se conocen como la parte advectiva de las ecuaciones.

Actualmente no se conoce una solucion analıtica para este conjunto de ecua-ciones, salvo para ciertos problemas sencillos del flujo y situaciones muy con-cretas. Debido a esto, se debe recurrir al analisis numerico y hacer uso de lascomputadoras para realizar millones de calculos, y ası determinar una solucionaproximada.

3

4 1. Introduccion

A la rama de la mecanica de fluidos que desarrolla y obtiene estas solucio-nes mediante computadoras, se denomina dinamica de fluidos computacional(CFD). Una aplicacion usando CFD usualmente requiere de los siguientes trespasos:

1. Pre-proceso. Discretizacion del dominio de interes, proceso en el cual seconstruye una malla sobre tal dominio1. Se asignan condiciones sobre lasfronteras del dominio y se determinan las propiedades fısicas del fluido y,dependiendo de la complejidad de problema, tambien los objetos con losque interactua. En esta parte ademas, para problemas no estacionarios, seasignan condiciones iniciales para las variables indeterminadas.

2. Proceso o solver. En esta etapa, a partir de la malla y de una adecuadadiscretizacion de las ecuaciones, se obtienen generalmente sistemas linealesque se resuelven empleando usualmente un metodo iterativo.

3. Post-proceso. Es donde se realiza el analisis en base a graficas y/o datosnumericos de los resultados obtenidos del paso anterior.

Uno de los intereses de este trabajo es proponer un nuevo algoritmo parael tratamiento del termino advectivo de las ecuaciones de (1.1), en la etapa deproceso o solver. La razon se debe a que, en problemas con adveccion dominante,es decir, aquellos en los que se considera que la viscosidad es cercana a cero ydegenerados, cuando la viscosidad se anula en un numero finito de puntos oen un intervalo, las soluciones para (1.1) llegan a ser discontinuas. Esto ultimo,es un problema para los metodos numericos que componen el solver, ya que seproducen soluciones numericas oscilatorias que no corresponden con la fısica delproblema.

1.1. Antecedentes

Hay 3 grandes grupos de metodos numericos para ecuaciones en deriva-das parciales: diferencias finitas (FDM), elemento finito (FEM) y volumen finito(FVM).

FDM ([33], [37]) es el mas antiguo y por lo tanto con mayor estudio. Se trabajadirectamente sobre la ecuacion diferencial, usualmente, para la construccion y el

1Hay metodos que no requieren la construccion explicita de una malla, sin embargo siempre serequiere de la configuracion (entradas de flujo, paredes, obstaculos, etc ) de la region donde esta elfluido, la cual forma parte del pre-proceso. Los metodos que no emplean una malla explıcita seconocen como mesh-free methods.

1.1. Antecedentes 5

analisis de errores se utiliza el teorema de Taylor. Tienen la formulacion mas sim-ple y funcionan bastante bien mientras la geometrıa sea sencilla. Su principal in-conveniente es la dificultad que presenta su aplicacion a geometrıas complejas ysu tratamiento de las condiciones de frontera en tales geometrıas. Si la geometrıano es demasiado compleja se suele hacer un mapeo reversible a un dominio orto-gonal, donde los metodos de diferencias finitas pueden funcionar bastante bien,tal mapeo suma errores a la solucion numerica.

FEM ([4], [57]) se basa en la formulacion debil de la ecuacion diferencial. Seutilizan las llamadas “funciones de forma”, las cuales son funciones parametri-cas tıpicamente polinomiales que serviran para aproximar la solucion en cadaelemento de la malla. La mismas funciones de forma se utilizan como funcionde prueba (test function) en la formulacion debil. La integracion se realiza en elespacio de variables locales (las que parametrizan a las funciones de prueba),haciendo un respectivo cambio de coordenadas al dominio donde esta definidala ecuacion. Para su analisis se hace uso extensivo de herramientas del analisisfuncional. FEM, lo mismo que FVM, no tiene los problemas que tiene FDM paramanejar geoetrıas complicadas. El mallado del dominio es no estructurado.

FVM ([14], [32]) se basa en la forma integral de la ecuacion. A diferencia deFEM, la integracion se hace directamente en el volumen de control. Para su es-tudio tambien se utilizan herramientas del analisis funcional. En general es massimple que FEM y usualmente mas rapido2. Una de las caracterısticas fuertes deFVM es que, el tratamiento para la captura de choques se integra directamen-te en la discretizacion y de manera natural segun la teorıa, no ası en el caso deFEM donde se requiere de un tratamiento especial y usualmente mas comple-jo (funciones de forma discontinuas). Otra caracterıstica a favor de FVM es que,conservatividad es algo que se pide y se obliga en la construccion de un FVM,entonces no es raro que de los tres esquemas, sea el que mejor cumple con estacondicion.

Dadas las caracterısticas arriba mencionadas, el metodo numerico mas utili-zado en dinamica de fluidos computacional (CFD) es el de volumen finito. Pa-quetes informaticos como FLUENT u OpenFOAM (uno de codigo propietario yel otro libre), especializados en el modelado de fluidos, utilizan esquemas de vo-lumen finito. Por lo que en este trabajo se opta por una formulacion tipo volumenfinito, para el desarrollo del nuevo metodo.

Ahora, dado el interes de esta tesis nos centramos en una familia en particularde metodos, los esquemas shock-capturing, los cuales como su nombre indica seespecializan en aproximar las disontinuidades eficientemente. Estos metodos se

2En [38], Naaim y Brugnot hicieron una comparacion de los metodos FEM y FVM de la rupturade una presa. Los resultados de ambos fueron similares, pero FEM tomo 233 veces mas tiempo decalculo que FVM.

6 1. Introduccion

derivan de una ecuacion de adveccion sin tener en cuenta la difusion. En anosrecientes, diversos esquemas shock-capturing de alta resolucion se han desarrolla-do con exito para la captura de ondas de choque, los cuales producen solucionesno oscilatorias [19, 34, 46, 51, 42, 53, 24]. Nuestro interes es tomar como baseestos esquemas y usar su metodologıa, para construir metodos numericos shock-capturing viscosos, es decir, algoritmos para aproximar la solucion de ecuacionesde adveccion-difusion degeneradas o de adveccion dominante.

1.2. Objetivo

Este trabajo tiene dos objetivos importantes:

La construccion y analisis de un algoritmo shock capturing del tipo limitadorde flujo TVD-estable, para ecuaciones de adveccion-difusion degeneradasmuldimensionales.

Con este proposito se optimiza la formulacion de los algoritmos limitado-res de flujo con una tecnica tipo WENO (implementacion de una funcionswitch) para la ecuacion advectiva, y que despues se extiende a la ecuacionde adveccion-difusion. Ademas se estudian las propiedades teoricas parael esquema propuesto, tales como la TVD-estabilidad, monotonıa y su con-vergencia a la solucion debil tanto para la ecuacion hiperbolica como parala parabolica.

La adaptacion del nuevo metodo limitador de flujo a una formulacion devolumen finito, siguiendo la metodologıa SIMPLE para las ecuaciones deNavier-Stokes incompresibles, y obtener ası un solver bidimensional parael calculo del flujo en bifurcaciones.

Un reto extra que nos encontramos en este punto, fue adaptar la formula-cion SIMPLE para mallas no estructuradas, ya que para el estudio del flujoen conductos con bifurcaciones resulta preferible. Una etapa previa, fue lavalidacion del solver bidimensional propuesto, en la parte de resultadosse presenta uno de los tests realizados para este proposito. Finalmente, semuestran los resultados obtenidos con el solver, para el calculo del flujo enun conducto rıgido con una bifurcacion no simetrica.

1.3. Metodologıa

La forma en que se desarrolla la tesis es el proceso que se sigue para alcanzarlos objetivos antes propuestos:

1.3. Metodologıa 7

En el capıtulo 2 se muestra la derivacion de las leyes de conservacion, ası co-mo un estudio de la existencia y unicidad de su solucion. Se presenta elproblema de Riemann como un caso particular donde la solucion analıticaes conocida. A continuacion se da la formulacion de los metodos numeri-cos, que se trabajan en esta tesis, y los conceptos de estabilidad no lineal,convergencia debil y monotonıa, necesarios para su estudio teorico.

En el capıtulo 3 se desarrolla un esquema limitador de flujo basado en tecni-cas WENO para en los metodos: Richtmyer-Lax-Wendroff dos pasos y unmetodo Upwind conservativo para leyes de conservacion hiperbolicas yviscosas. El nuevo metodo recibe el nombre de esquema Switch y presen-ta nuevas ideas para la construccion de algoritmos limitadores de flujo. Seprueban propiedades teoricas como la estabilidad no lineal, la convergen-cia debil y la monotonıa para el esquema Switch. Tambien se adapta estenuevo esquema al caso multidimensional. Un analisis de la eficiencia delmetodo propuesto se realiza mediante la validacion numerica en tests consolucion analıtica y comparando sus resultados con varios de los mas co-nocidos limitadores de flujo.

En el capıtulo 4 se repasan los conceptos base de medios continuos para ladeduccion de las ecuaciones de Navier-Stokes en su forma incompresible.Despues se discuten algunas de las tecnicas mas comunmente empleadasen la obtencion de soluciones numericas para las ecuaciones de Navier-Stokes. En particular, se profundiza en la revision del metodo SIMPLE dePatankar propuesto en [40].

En el capıtulo 5 se aplica el metodo Switch a un esquema de volumen finitobidimensional bajo una formulacion tipo SIMPLE, para desarrollar un sol-ver CFD para las ecuaciones de Navier-Stokes en su forma incompresible.Se presenta la validacion del solver SIMPLE-Switch para el problema dedriven-cavity y se comparan los resultados con los obtenido por Ghia et alen [17]. Por ultimo, se muestran los resultados obtenidos para el problemade un fluido en un conducto rıgido con una bifurcacion no simetrica.

El trabajo se complementa con: un apartado de conclusiones al termino delcapıtulo 5, un apendice con la discretizacion y convergencia debil de un meto-do de volumen finito para las ecuaciones elıpticas y parabolica, y por ultimo labibliografıa mas destacada para elaborar este trabajo.

8 1. Introduccion

Capıtulo 2

Metodos numericos para leyes deconservacion

Muchas leyes fısicas son leyes de conservacion, las cuales nos dicen que bajociertas condiciones y por un periodo de tiempo, alguna cantidad fısica se con-serva. Por ejemplo la ley de conservacion de la masa, del momento lineal, dela energıa, etc. En particular, las tres leyes mencionadas anteriormente resultande gran importancia ya que juntas forman las ecuaciones de Navier-Stokes 1, elmodelo matematico fundamental de la dinamica de fluidos.

En este capıtulo se revisan las nociones basicas acerca de las leyes de con-servacion. Ademas se dan las pautas a seguir para construir metodos numeri-cos para dichas leyes, en particular metodos conservativos. Estos algoritmos, taly como su nombre indica, conservan las cantidades que el problema continuoconserva. Tambien se introducen conceptos como estabilidad, variacion total yconvergencia presentes a lo largo de esta tesis. Ası como las condiciones nece-sarias que deben cumplir tales metodos numericos para garantizar estabilidad yconvergencia para el caso no lineal.

2.1. Forma integral de una ley de conservacion

Una ley de conservacion para la cantidad u, en una region Ω subconjunto dealgun Rd, sin fuentes ni sumideros2, se puede establecer mediante una ecuacionintegral de la forma

1En el capitulo 4 se hara la deduccion de las ecuaciones de Navier-Stokes a partir de leyes deconservacion.

2Significa que no nace ni desaparece la cantidad u en la region Ω.

9

10 2. Metodos numericos para leyes de conservacion

∂

∂t

ˆΩu(x, t)dV +

ˆΓn · f(u(x, t))dA = 0. (2.1)

donde n es el vector normal unitario exterior a Γ. La ecuacion anterior nos diceque: la variacion de la cantidad u en la region Ω, solo se debe a intercambios de flujos, dela misma cantidad u, a traves de la frontera Γ de la region Ω y tales intercambios estandictados por la funcion f . Razon por la cual a f se le llama funcion flujo o flujofısico.

Una ley de conservacion que considere posibles alteraciones a la cantidad udentro de la region Ω debido a fuerzas externas, se escribe como

∂

∂t

ˆΩu(x, t)dV +

ˆΓn · f(u(x, t))dA =

ˆΩs(u(x, t), x, t)dV. (2.2)

donde s es el termino fuente que representa los posibles cambios de la variable udados por las fuerzas externas que actuan sobre el volumen Ω.

Fijado un intervalo de tiempo [t1, t2] e integrando para ese intervalo la ecua-cion (2.1) se expresa

ˆΩu(x, t2)dV =

ˆΩu(x, t1)dV −

ˆ t2

t1

ˆΓn · f(u(x, t))dAdt. (2.3)

Es decir, la cantidad u en la region Ω al tiempo t2, es la misma que habıa en esa mismaregion al tiempo anterior t1, mas la suma, durante todo el intervalo de tiempo [t1, t2], delos cambios producidos por el flujo a traves de la frontera.

Las versiones en una dimension (x ∈ [x1, x2] ⊂ R), de las ecuaciones (2.1) y(2.3) son, respectivamente

∂

∂t

ˆ x2

x1

u(x, t)dx = f(u(x1, t))− f(u(x2, t)) (2.4)

y

ˆ x2

x1

u(x, t2)dx =

ˆ x2

x1

u(x, t1)dx+

ˆ t2

t1

f(u(x1, t))dt−ˆ t2

t1

f(u(x2, t))dt. (2.5)

Las ecuaciones (2.1-2.5) se conocen como los principios de conservacion olas versiones integrales de las leyes de conservacion. Si en la ecuacion (2.1) seaplica el teorema de la divergencia, se intercambian los operadores integral yparcial respecto del tiempo y se supone que tal ley se cumple para cada region Ω,entonces se obtienen las leyes de conservacion en su forma diferencial. Estas seformulan en la siguiente seccion y se muestran algunos ejemplos.

2.2. Forma diferencial de una ley de conservacion 11

2.2. Forma diferencial de una ley de conservacion

Se nombra como ley de conservacion en forma diferencial en d dimensionesa un sistema de m ecuaciones en derivadas parciales de la forma

ut +∇ · f(u) = 0, (2.6)

donde u = (u1, ..., um)T es el vector de variables conservadas de las funcionesescalares en d + 1 dimensiones uj = uj(x1, .., xd, t) y f(u) = (f1(u), ..., fm(u))T

llamado el vector de flujos, con (∇ · f(u))i =∑d

j=1∂∂xj

fi(u), i = 1, ...,m.

Una solucion clasica para el problema anterior, es una funcion de claseC1(R×R+) que satisface la igualdad (2.6). Si se quiere unicidad es necesario incluir unacondicion inicial, del estilo u(x, 0) = u0(x). Para garantizar existencia ademas sedebe pedir cierta regularidad para la funcion f , mas adelante se revisara esto conmas detalle. A continuacion, se muestran algunos ejemplos caracterısticos paraleyes de conservacion.

Example 1. Ecuacion de adveccion 1D linealut + aux = 0, x ∈ R, t > 0.u(x, 0) = u0(x), x ∈ R. (2.7)

con a ∈ R constante, es una ley de conservacion cuyo flujo es la funcion linealf(u) = au.

Example 2. Ecuacion de Burgers no viscosa 1Dut + uux = 0, x ∈ R, t > 0.u(x, 0) = u0(x), x ∈ R. (2.8)

aquı la funcion flujo es f(u) = 12u

2. La ecuacion de Burgers es la ley de conser-vacion no lineal mas conocida. Se usa como base para entender, disenar y probaresquemas numericos para leyes de conservacion, ya que esta bien estudiada y seconoce su solucion exacta para un tipo paticular de problema inicial, conocidocomo problema de Riemann.

Example 3. Ecuaciones de Euler 1D, las cuales modelan la dinamica de unfluido sin tener en cuenta su viscosidad

∂t

ρρvE

+ ∂x

ρvρv2 + pv(E + p)

= 0, (2.9)


donde ρ = ρ(x, t) es la densidad de un fluido, v = v(x, t) es la velocidad, E =E(x, t) la energıa y p = p(x, t) la presion. Para tener un problema bien planteado,al sistema anterior se le establecen adecuadas condiciones iniciales y de frontera.

Example 4. Ecuaciones de Euler 3D

~ut +∇ · f(~u) = 0, (2.10)

con ~u = [ρ, ρu, ρv, ρw, E]T el vector de variables conservadas y con flujo fısicodado por la matriz

f(~u) =

ρu ρu2 + p ρuv ρuw u(E + p)

ρv ρuv ρv2 + p ρvw v(E + p)

ρw ρuw ρvw ρw2 + p w(E + p)

donde (u, v, w) es el vector de velocidades. Utilizamos ~u para el vector de varia-bles conservadas para no confundir con u la componente en x de la velocidad. Laversion completa en 3 dimensiones de las ecuaciones de Euler tambien es una leyde conservacion, la cual forma un sistema de 5 ecuaciones no lineales, para masdetalle consultar [27].

En la siguiente seccion se propone un metodo analıtico para obtener la solu-cion de leyes de conservacion unidimensionales, ver [26].

2.3. Solucion por curvas caracterısticas

Se considera la siguiente ley de conservacion para una variable real u =u(x, t) en una dimension espacial x ∈ R

ut + f(u)x = 0

u(x, 0) = u0(x).(2.11)

Se supone que u0 es suave y que el problema (2.11) tiene solucion clasica al menoshasta un tiempo finito Tb > 0. Sea una curva suave s : R → R × R+ en el planox-t dada por s(t) = (x(t), t) y se estudia como varıa u con respecto del tiempocuando se restringe a s

d

dtu(s(t)) =

d

dtu(x(t), t) =

∂u

∂x

∂x

∂t+∂u

∂t

∂t

∂t= ut + x′(t)ux. (2.12)

Si se pide que la curva s cumpla la condicion

x′(t) =d

duf(u(x, t)) = f ′(u(x, t)), (2.13)

2.3. Solucion por curvas caracterısticas 13

entonces la curva s se conoce como curva caracterıstica para el problema (2.11).Sustituyendo (2.13) en (2.12) se tiene

d

dtu(x(t), t) = 0. (2.14)

Bajo la condicion (2.14), u es constante cuando se restringe a la curva s(t), enparticular tambien f ′(u(x(t), t)) es constante por lo que

f ′(u(x(0), 0)) = f ′(u0(x(0))).

Ası, la solucion de (2.13) es

x(t) = f(u0(x(0)))t+ ξ.

Para t = 0 tenemos ξ = x(0), entonces la condicion para la curva s, que en estecaso es una recta, se lee

x(t) = f ′(u0(ξ))t+ ξ. (2.15)

Dado que u es constante sobre la recta anterior, la solucion al problema (2.11), enel punto (x, t) con t < Tb, esta dada por

u(x, t) = u0(ξ), donde ξ es tal que x = f ′(u0(ξ))t+ ξ. (2.16)

La anterior situacion se ilustra en la figura 2.1.

Figura 2.1: Construccion de la solucion usando rectas caracterısticas.


A continuacion se calcula la solucion a los problemas (2.7) y (2.8) presentadosanteriormente por el metodo de las caracterısticas:

Example 1. Ecuacion de adveccion 1D linealut + aux = 0, x ∈ R, t > 0.u(x, 0) = u0(x), x ∈ R.

Suponiendo que u satisface la ecuacion adveccion y restringiendo u a la curvacaracterıstica que verifica dx

dt = a, la cual es x(t) = at + ξ. Entonces por (2.16) lasolucion del problema (2.7) es

u(x, t) = u0(x− at).

La solucion se mueve hacia la derecha si a > 0, o bien a la izquierda si a < 0 y enambos casos la velocidad de propagacion es |a|.

Example 2. Ecuacion de Burgers no viscosaut + uux = 0, x ∈ R, t > 0.u(x, 0) = u0(x), x ∈ R.

Al igual que en el ejemplo anterior, u satisface la ecuacion de Burgers y res-tringiendo u a la curva x(t) que verifica x(t)′ = u(x(t), t), entonces u es constantea lo largo de la curva caracterıstica. En este caso la solucion es

u(x, t) = u0(ξ), donde ξ se obtiene de x = u(ξ, 0)t+ ξ.

En este caso la velocidad de propagacion de la funcion inicial es precisamente lavariable u, es decir, cada punto de la curva solucion se mueve a velocidad dictadaexactamente por la misma funcion solucion. Tal situacion conduce a formacionde choques (soluciones discontinuas) incluso para condiciones iniciales suaves.Esto ultimo es analizado a continuacion.

Ahora la pregunta es, ¿que tan grande puede ser Tb, tal que, para cada t ∈[0, Tb) se pueda despejar ξ de la ecuacion (2.15)? Usando el teorema de la Fun-cion Implıcita en (2.15) para encontrar el maximo intervalo posible para t, tal queξ es localmente una funcion de t. La condicion que se debe cumplir es,

−f ′′(u0(ξ))u′0(ξ)t− 1 6= 0.

Si g(ξ) := f ′′(u0(ξ))u′0(ξ) ≥ 0 la anterior condicion siempre se cumple parat ≥ 0, ahora, si g(ξ) < 0, entonces la condicion se cumple siempre que

2.3. Solucion por curvas caracterısticas 15

t < − 1

g(ξ). (2.17)

Regresando a la pregunta, ¿que tan grande puede ser Tb?, recordar que ξ = x(0)es un parametro independiente que se mueve a lo largo del eje x, el valor mınimoque puede tomar el lado derecho de (2.17) es justamente nuestro Tb,

Tb := − 1

mınξg(ξ)

. (2.18)

para valores menores a tal valor mınimo siempre podremos escribir de maneralocal a ξ como funcion de t, luego la solucion suave estara dada por (2.16).

Ahora, suponiendo que la condicion inicial es suave, entonces la solucion delproblema (2.11) tambien es suave para 0 < t < Tb. Pero, ¿que pasa exactamenteal tiempo Tb?. Para responder, se supone que g(ξ) < 0 en algun intervalo, Iξ :=(ξa, ξb), (el caso g(ξ) ≥ 0 implica Tb = ∞). Lo anterior solo pasa si f ′′(u0(ξ)) yu′o(ξ) tienen signos contrarios en Iξ. Por lo que se estudia el caso f ′′ > 0, es decirf es convexa y u′0 < 0 en Iξ, (en el caso contrario para f ′′ < 0 se hace un analisissimilar). Para ξ1, ξ2 con ξa < ξ1 < ξ2 < ξb, como u0|Iξ es decreciente,

u0(ξ1) > u0(ξ2),

y como f ′ es creciente,f ′(u0(ξ1)) > f ′(u0(ξ2)).

Lo anterior implica que las dos rectas caracterısticasx = f ′(u0(ξ1)) + ξ1

x = f ′(u0(ξ2)) + ξ2(2.19)

se cruzan, y puesto que u es constante sobre tales curvas, en particular se tieneque u0(ξ1) = u0(ξ2), lo cual es una contradiccion. ¿Que es lo que ha pasado?,las alturas inicialmente distintas, u0(ξ1(t = 0)) y u0(ξ2(t = 0)), mantienen susvalores para ξ1(t) y ξ2(t) arbitrariamente cercanos al aproximarse al tiempo decruce de las rectas (2.19) y cerca del cruce la pendiente de u crece sin medida, verla figura 2.2.

Para cualquier funcion inicial continua u0, Tb determina el valor maximo parat en el cual se tiene solucion continua al problema (2.11). Justo cuando t = Tb, enalgun punto de la solucion aparece una discontinuidad de salto, que se conocecomo onda de choque, donde las curvas caracterısticas se cruzan.


Figura 2.2: Fomracion de choque al tiempo Tb para una funcion inicial continua.

Tales discontinuidades ocurren en muchas situaciones fısicas; en el rompi-miento de una ola, el campo de velocidades cerca de la frontera de un avionsupersonico en vuelo, el cambio de presion durante el rompimiento de una mem-brana en un conducto, en reacciones quımicas, durante explosiones, etc.

Es necesario extender el concepto de solucion para leyes de condervacion deforma que se incluyan soluciones discontinuas. La idea de como hacer esto sedescribe en la siguiente seccion.

2.4. Soluciones debiles

Sea la ecuacion diferencial de (2.11) definida en R× R+,

ut + f(u)x = 0 (2.20)

con condicion inicial suave u(x, 0) = u0(x). Entonces, multiplicando e integrandola ecuacion (2.20) por una funcion φ ∈ C1

0 (R× R+,R)3, se obtieneˆ ∞0

ˆRφut + φf(u)xdxdt = 0.

Intercambiando la integral en el primer termino e integrando por partes la ante-rior ecuacion,ˆ

R

[φu∣∣∣t=∞t=0−ˆ ∞

0φtudt

]dx+

ˆ ∞0

[φf(u)

∣∣∣x=∞

x=−∞−ˆ ∞−∞

φxf(u)dx

]dt = 0.

Dado que φ es de soporte compacto, entonces φf(u)∣∣∣x=∞

x=−∞= 0 y la ecuacion

anterior se escribeˆ ∞0

ˆR

[φtu+ φxf(u)] dxdt = −ˆRφ(x, 0)u(x, 0)dx. (2.21)

3El soporte de una funcion f , denotado por supp(f), es el conjunto (x, t) : f(x, t 6= 0). Sedefine el conjunto de todas las funciones continuas con soporte compacto como C1

0 = f :ft, fx son continuas y supp(f) es compacto .

2.4. Soluciones debiles 17

Se dice que u(x, t) ∈ L1(R×R+,R)4 es una solucion debil para la ecuacion (2.11),si la igualdad (2.21) es cierta para cada φ ∈ C1

0 (R× R+,R).

La pregunta que nos interesa ahora es, ¿que tipo de discontinuidades aceptala definicion de solucion debil? Sea una curva suave Γ descrita por s(t) en elplano x-t, tal curva describe la trayectoria de una discontinuidad aislada de u,es decir, que localmente u es solucion clasica en cada lado de s(t). Y sea D ⊂(R × R+) una region abierta alrededor de s(t), suficientemente pequena, comopara que u tenga solucion clasica en todo D excepto sobre s(t). Se definen en Dlas regiones disconexas D1 y D2 tales que D1 ∪D2 ∪ (Γ ∩D) = D, ver figura 2.3.Ademas se consideran las siguientes hipotesis:

H1. u esta uniformemente acotada en D,

H2. se escoge una funcion φ(x, t) ∈ C10 tal que supp(φ) ⊂ D.

Figura 2.3: Trayectoria de una discontinuidad.

Entonces para i = 1, 2 y ε > 0 se define el conjunto

Dεi = (x, t) ∈ D : ||(x, t)− s(t)|| > ε.

Por H1, de la definicion de solucion debil se tiene

0 =

ˆD

(uφt + f(u)φx)dxdt = lımε→0

ˆDε1∪Dε2

(uφt + f(u)φx)dxdt. (2.22)

4Un espacio medible es un par ordenado (Ω, Σ), donde Ω es un conjunto yΣ una σ-algebra sobreeste, siendo una σ-algebra una familia no vacıa de subconjuntos de Ω, cerrada bajo complementos,uniones e intersecciones contables. A los subconjuntos de Σ se denominan conjuntos medibles. Unafuncion es medible entre dos espacios medibles si la preimagen de todo conjunto medible es tambienmedible. Se define un subconjunto se todas las funciones reales y medibles, para p ∈ [1,∞)∪ ∞como Lp(Ω) = f ∈ Ω :

´Ω|f |p <∞.


Como u es solucion clasica en cada Dεi , usando el teorema de Green se obtiene

ˆDεi

(uφt + f(u)φx)dxdt =

ˆDεi

∇ · (f(u)φ, uφ)− (f(u)x + ut︸︷︷︸=0

)φ

dxdt

=

ˆ∂Dεi

(ni · (f(u), u)φ) ds.

(2.23)Con ni la normal unitaria exterior a ∂Di. Denotando el conjunto

Γεi := (x, t) ∈ D : ||(x, t)− s(t)|| = ε

y los lımitesur = lım

x→s(t)+u(x, t) y ul = lım

x→s(t)−u(x, t).

Por H2 se cumple

lımε→0

ˆ∂Dε1

(n1 · (f(u), u)φ) ds = lımε→0

ˆΓε1

(n1 · (f(u), u)φ) ds

=

ˆΓ∩D

(n1 · (fl, ul)φ) ds,

(2.24)

y

lımε→0

ˆ∂Dε2

(n2 · (f(u), u)φ) ds = lımε→0

ˆΓε2

(n2 · (f(u), u)φ) ds

= −ˆ

Γ∩D(n1 · (fr, ur)φ) ds.

(2.25)

De las ecuaciones (2.23-2.25) se llega a queˆ

Γ∩D(n1 · (fl − fr, ul − ur)φ) ds = 0. (2.26)

La ecuacion anterior es valida para cada funcion de soporte compato φ, entonces

n1 · (fl − fr, ul − ur) = 0. (2.27)

El vector tangente a la curva s es s′(t) = (x′(t), 1), entonces el vector normalunitario n1 es n = (1,−x′(t))/||(1,−x′(t))||, entonces (2.27) nos dice

x′(t)(ul − ur) = fl − fr. (2.28)

La igualdad (2.28) se conoce como la condicion de Rankine-Hugoniot. La con-dicion de Rankine-Hugoniot nos indica si una onda de choque es solucion debil

2.5. Problema de Riemann 19

(2.21) del problema (2.11). Si se usa la notacion [u] = ur − ul, [f ] = fr − fl, en estecaso la condicion de Rankine−Hugoniot se reescribe como

[f ] = x′(t)[u]. (2.29)

En el caso de una funcion escalar u, se puede despejar x′(t) = [f ]/[u]. En general,si u es un vector, no siempre se puede despejar. En el caso particular de un sistemalineal f(u) = Au con A una matriz constante, la condicion de Rankine-Hugoniotse lee

A[u] = x′(t)[u].

Esto es, [u] es un vector propio para A con x′(t) como valor propio. La pareja([u], x′) dicta las velocidades y direcciones caracterısticas del problema.

Notar que las soluciones debiles se buscan en un espacio de funciones masgrande, L1, que en el caso de las soluciones clasicas, C1. El coste que se paga esque las soluciones debiles no son unicas, es necesario una condicion extra quegarantice unicidad. En la siguiente seccion se muestra con un ejemplo la no uni-cidad de soluciones debiles.

2.5. Problema de Riemann

La funcion mas simple discontinua es la funcion escalon

u0(x) =

ul si x < 0

ur si x > 0.(2.30)

Las funciones mas simples con mas de una discontinuidad estan formadas porvarias funciones escalon. La formulacion del metodo de volumen finito que setrabaja en la tesis (que se trata con mayor detalle mas adelante) emplea funcionesconstantes a trozos como aproximacion a la solucion. Ademas en la practica, losdatos iniciales son valores discretos y una funcion constante a trozos sera la can-didata ideal para representar tal informacion experimental. Por todo ello, es estaseccion se estudia que pasa con las soluciones debiles cuando la condicion iniciales una funcion constante a trozos.

Un Problema de Riemann para la ecuacion (2.11), consiste en considerar lafuncion escalon (2.30) como condicion inicial del problema. Dado que, desde elinicio se tiene una discontinuidad, no es posibles hablar de solucion clasica paraun problema de Riemann, necesariamente se construyen soluciones debiles.


En particular, se considera el problema de Riemann para la ecuacion de Bur-gers (2.8), recordandola

ut +(1

2u2)x

= 0, x ∈ R, t > 0,

bajo la condicion inicial (2.30). Se busca obtener la solucion particular a este pro-blema y para ello se estudian dos casos:

1. Cuando ul > ur. Aplicando el metodo de las caracterısticas a cada tramoconstante (donde existe solucion clasica), se tiene que las lıneas caracterısti-cas se cruzan inmediatamente (ver figura 2.4). Usando la condicion de Ran-kine Hugoniot para determinar a que velocidad viaja la discontinuidad ini-cial se tiene

x′(t) =12u

2l −

12u

2r

ul − ur=

1

2(ul + ur)

No es difıcil ver que la siguiente funcion conocida como onda de choque,

u(x, t) =

ul si x < st

ur si x > st, (2.31)

con s = (ul +ur)/2 la velocidad de choque, es solucion debil5 del problemade Burgers propuesto.

2. Cuando ul < ur. Hay infinidad de soluciones, una de ellas es la misma(2.31), la solucion que se acepta como valida recibe el nombre de onda derarefaccion 6,

u(x, t) =

ul x < ult

x/t ult < x < urt

ur x > urt.

(2.32)

Las figuras 2.4 y 2.5 muestran las ondas de choque y rarefaccion respecti-vamente, ası como sus lıneas caracterısticas.

5Se usa la definicion de solucion debil partiendo las integrales en los tramos donde existe solu-cion clasica.

6Esta solucion es la que se obtiene como lımite de las soluciones del problema parabolico ut +uux = εuxx al hacer ε→ 0. Esta ecuacion parabolica siempre tiene solucion continua, incluso paracondiciones iniciales discontinuas.

2.5. Problema de Riemann 21

Figura 2.4: Onda de choque.

Figura 2.5: Onda de rarefaccion.

Como se acaba de ver, las soluciones debiles no son unicas, la condicion deRankine-Hugoniot no garantiza unicidad. Es necesario una condicion extra, atal condicion se le nombra como condicion entropica, se deriva de la ley ter-modinamica que asegura que: la entropıa crece a traves de cualquier cambio de laspropiedades o variables fısicas del medio. Hay muchas versiones matematicas parala condicion de entropıa, aquı solo se enuncian las mas relevantes para este tra-bajo, pero para mas detalles consultar capıtulo 1 de [22] y capıtulo 3 de [31] y [39].

La condicion de entropıa de Lax: La solucion debil u(x, t), es ademas solucionentropica si la velocidad de propagacion de cualquier choque s cumple con

f ′(ur) < s < f ′(ul). (2.33)

En el caso de que f sea convexa (f ′′ > 0), la anterior condicion se reduce aque ul > ur. Condicion que verifica la onda de choque (2.31) para el problema deBurgers anterior, por lo que queda probada su unicidad.

Ahora, se considera una funcion convexa η, la cual se conoce como funcionentropica, y una funcion Ψ, llamada flujo entropico, que cumple Ψ′(u) = f ′(u)η′(u).

La condicion de entropıa de Kruzcov bajo formulacion debil: La solucion debilu(x, t) es solucion entropica de (2.11) si, para cada η y cada respectivo flujo Ψ, se cumple


la siguiente desigualdadˆ ∞

0

ˆR

[φtη(u) + φxΨ(u)] dxdt ≤ −ˆRφ(x, 0)η(x, 0)dx. (2.34)

para cada φ ∈ C10 (R× R) con φ ≥ 0.

Una vez que se asegura existencia y unicidad de solucion para la ley de con-servacion (2.11), un punto importante es obtener su solucion. Para ecuacionesdiferenciales parciales no lineales no siempre se puede encontrar solucion analıti-ca, de hecho en la mayorıa de los casos no se conoce. Por ello, en general se usanmetodos numericos para resolver la EDP.

En las siguientes secciones se revisan los conceptos basicos de los metodosnumericos para leyes de conservacion escalares.

2.6. Metodos numericos conservativos

El interes de esta tesis es la construccion de un metodo numerico no linealpara la ley de conservacion (2.11). Por lo que, aunque la teorıa para esquemaslineales es la mas estudiada y la que cuenta con mas herramientas de trabajo, laextension al caso no lineal no es directa, ya que un metodo linealizado puedeser siempre estable y esto no es garantıa de que el esquema no lineal sea esta-ble. Bajo esta pauta, en esta seccion se introducen los conceptos de estabilidad yconvergencia para metodos no lineales y algunas propiedades asociadas a ellos.

Por simplicidad se considera una discretizacion rectangular del dominio es-pacio-temporal en la forma (xj , tn) con xj = jh, tn = nk para cada j ∈ Z ycada n ∈ N, donde h, k > 0 fijos, son los pasos espacial y temporal en la dis-cretizacion. Entonces, siendo xj+1/2 = xj + h/2 y tn+1/2 := tn + k/2 se denotaCnj := (xj−1/2, xj+1/2) × [tn, tn+1) como la celda o volumen centrado en j y n.Tambien usaremos Cj := (xj−1/2, xj+1/2).

Recordando la version integral de la ley de conservacion (2.5) definida encada celda Cnj , como

1

h

ˆ xj+1/2

xj−1/2

u(x, tn+1)dx =1

h

ˆ xj+1/2

xj−1/2

u(x, tn)dx

−1

h

[ˆ tn+1

tn

f(u(xj+1/2, t))dt−ˆ tn+1

tn

f(u(xj−1/2, t))dt

],

se propone el siguiente algoritmo explıcito

Un+1j = Unj −

k

h

[Fnj+1/2 − F

nj−1/2

](2.35)

2.6. Metodos numericos conservativos 23

donde

Unj ≈1

h

ˆ xj+h/2

xj−h/2u(x, tn)dx

es el valor aproximado para la variable conservada u en el volumen Cnj y

Fnj−1/2 ≈1

k

ˆ tn+1

tn

f(u(xj−1/2, t))dt

es el valor aproximado para el flujo fısico f en el punto xj−1/2 durante el tiempo[tn, tn+1], por lo cual se nombra flujo numerico. Diferentes discretizaciones deFnj−1/2 nos dan distintos metodos numericos explıcitos. A lo largo de este trabajo,los metodos numericos propuestos para una ley de conservacion (2.11) tendranla forma (2.35).

Una aproximacion obtenida por el esquema numerico (2.35), es una funcionconstante a trozos como sigue

Uk(x, t) =∑j

χnj (x, t)Unj , (2.36)

con χnj (x, t) la funcion caracterıstica del conjunto Cnj . Usando el ındice k en Uk,para resaltar que cada funcion solucion depende del paso temporal k7.

Se dice que un esquema numerico es conservativo, si se puede escribir exacta-mente de la siguiente forma

Un+1j = Unj −

k

h

[F (Unj−p, U

nj−p+1, ..., U

nj+q)− F (Unj−p−1, U

nj−p, ..., U

nj+q−1)

](2.37)

para enteros, no ambos cero, p, q. Aquı, el flujo numerico F es alguna funcionque utiliza p + q + 1 valores vecinos a Unj para aproximar al flujo fısico en lospuntos xj−1/2 y xj+1/2. Durante todo el trabajo se considera funciones flujo condos argumentos, p = 0 y q = 1, por lo que se tiene la ecuacion dada en (2.35) para

Fj+1/2 = F (Unj , Unj+1) y Fj−1/2 = F (Unj−1, U

nj ).

La propiedad de conservatividad para un esquema es muy importante, yaque: (i) esquemas numericos que no son exactamente conservativos no capturancorrectamente los choques, es decir, la velocidad de propagacion en una discon-tinuidad no es la adecuada, y (ii) garantiza que las cantidades conservadas de laley continua, sigan siendo conservadas en su version discreta.

Ademas para garantizar que el flujo numerico aproxima correctamente al flu-jo fısico, se pide que un esquema con flujo numerico F , sea consistente, lo cualse cumple si

7Sin perdida de generalidad, desde el inicio fijamos una relacion entre los pasos h y k.


1. para cada u ∈ R, F (u, u) = f(u) y

2. si u esta en el dominio de f , existe una constante K (que puede dependerde u) tal que

|F (a, b)− f(u)| ≤ K max|u− a|, |u− b|

para cada a, b suficientemente cercanos a u.

A continuacion se definen diferentes flujos numericos para el esquema (2.35),obteniendo algunos de los metodos numericos mas basicos para una ley de con-servacion:

Example 1. Metodo Upwind

Fj+1/2 =1

2(Fnj+1 + Fnj )− 1

2sign(aj+1/2)(Fnj+1 − Fnj ),

con Fnj = f(Unj ) y aj+1/2 = f ′(12(Unj + Unj+1)). Este metodo es de orden de trun-

camiento local uno.

Example 2. Metodo Lax-Wendroff

Fj+1/2 =1

2(Fnj + Fnj+1)− k

2haj+1/2(Fnj+1 − Fnj ),

de orden de truncamiento local dos.

2.6.1. Convergencia debil

Para estudiar el concepto de convergencia de un metodo conservativo y con-sistente de la forma (2.35) a una solucion debil de la ley de conservacion unidi-mensional,

ut + f(u)x = 0, (x, t) ∈ [a, b]× [0, T ], (2.38)

es necesario definir el espacio de soluciones debiles a dicha ley. Sea

W = w ∈ L∞ : w(x, t) es solucion debil para (2.38), 0 ≤ t ≤ T.

Para tal espacio se define la norma

||w||1,T :=

ˆ T

0||w(·, t)||1dt =

ˆ T

0

ˆ ∞−∞|w(x, t)|dxdt.


Entonces, una sucesion de soluciones Ukk converge a una solucion debil w deW , si

dist(Uk,W) := ınfw∈W

||Uk − w||1,T → 0 si k → 0. (2.39)

Un punto sutıl, para este sentido de convergencia es que durante el pro-ceso de convergencia, la aproximacion puede estar saltando entre varias solu-ciones debiles muy diferentes. Es decir, para dos aproximaciones UkN y UkM con1 < kN < kM se pueden tener soluciones debiles completamente distintas. Estose debe a la no unicidad en las soluciones debiles. Aunque en la practica usual-mente uno fija la malla espacial y temporal desde el inicio, y para tamanos de pa-so suficientemente pequenos, se puede garantizar que se esta lo suficientementecerca de una de las soluciones debiles.

El proximo paso es exigir ciertas propiedades a los metodos numericos, paraasegurar convergencia de la solucion numerica Ukk a una solucion debil delproblema (2.38). Con este proposito se definen los siguientes conceptos.

La variacion total de una funcion real u se define como sigue

TV (u) = supJ∑j=1

|u(ξj)− u(ξj−1)|,

donde el supremo se toma sobre cada entero J > 0 y cada particion de R: −∞ =ξ0 < ξ1 < ... < ξJ = ∞. Con ello se intenta medir la suma de las ”variaciones”presentes en la funcion u, con la intencion de controlar las oscilaciones en lassoluciones numericas.

Como el supremo de un conjunto es menor o igual al supremo de cualquierotro conjunto que contenga al primero, entonces para un t ∈ [tn, tn+1) fijo, lavariacion total de una solucion numerica Uk(·, t) es

TV (Uk) =∑j

|δUnj+1/2|,

donde δUnj+1/2 := Unj+1 − Unj . Por lo que, fijado un T > 0, se dice que un metodoque produce un conjunto de soluciones Uk : k < k0, es TV-estable, si, existenR > 0 y M > 0 constantes, las cuales no dependen de k, tales que, para cadak < k0 se cumplen las siguientes condiciones

1. Uk ∈ L1,T := w ∈ L1 : ||w||1,T <∞

2. TVT (Uk) :=∑T/k

n=0

∑∞j=−∞(k|δUnj−1/2|+ h|δUn+1/2

j |) < R

3. −M ≤ Supp(Uk(·, t)) ≤M para cada t ∈ [0, T ].


Se demuestra que si un esquema es TV-estable, entonces el conjunto de so-luciones Ukk, forma un subconjunto compacto del espacio L1,T , vease [2]. Sise cumple ademas que el subconjunto de funciones del espacio L1 es de soportecompacto uniformemente acotado, entonces el espacio se reduce a un subcon-junto no vacıo compacto con la propiedad de que las sucesiones de funcionesUkk→0 en tal conjunto, tienen subsucesiones convergentes. Por lo que, ya seesta en condiciones de enunciar el teorema que garantiza convergencia.

Teorema 2.1 Sean Uk (k ≤ k0) el conjunto de soluciones generadas por un esquemanumerico conservativo, consistente y para un T > 0, TV-estable. Entonces el metodo esconvergente (dist(Uk,W)→ 0 si k → 0).

La demostracion se encuentra en el capıtulo 15 de [31].

Una manera de obtener esquemas TV-estables es probando que tienen varia-cion total decreciente (TVD, Total Variation Diminishing). Se dice que un esque-ma numerico es TVD-estable o simplemente TVD, si se cumple

TV (Un+1) ≤ TV (Un).

La funcion Un se define como, Un(x) =∑

j χj(x)Unj , con χj la funcion carac-terıstica del volumen Cnj . Si un esquema es TVD, entonces es TV-estable, puestiene variacion total acotada, ya que

TV (Un) ≤ TV (U0) ≤ TV (u0).

La ultima desigualdad es cierta ya que se espera que una funcion continua nopresente mayor variacion que su forma discreta.

Por ultimo, queda la cuestion de la convergencia a una cierta solucion entropi-ca del problema continuo. Una condicion que cumplen las soluciones entropicasen el caso continuo es la siguiente: sean dos condiciones iniciales u0, v0 tales que

∀x u0(x) ≤ v0(x)

entonces, las respectivas soluciones entropicas u y v satisfacen

∀x, t u(x, t) ≤ v(x, t).

Existe una clase de metodos numericos que imita la propiedad anterior, yproducen directamente soluciones entropicas, son los metodos monotonos. Unmetodo numerico (2.35) es monotono si reescribiendolo bajo la forma

Un+1j = M(Unj ; j),


cumple que

∀Uni ,∂

∂UniM(Unj ; j) ≥ 0.

A continuacion se dan algunos de los teoremas mas importantes para esta familiade metodos y que se usaran en el siguiente capıtulo.

Teorema 2.2 Un metodo monotono es TVD.

Teorema 2.3 GodunovUn metodo monotono tiene orden menor o igual a 1.

Teorema 2.4 Un metodo monotono consistente y conservativo para el cual k/h es fijo,produce soluciones entropicas.

Consultar [31], para detalles de las demostraciones de teoremas anteriores.

En resumen, las 3 condiciones que se usaran en el capıtulo siguiente para de-mostrar convergencia son: conservatividad, consistencia y TVD-estabilidad. Hayuna forma mas sencilla de probar que un metodo es TVD-estable, el cual se pro-pone en el siguiente teorema.

Teorema 2.5 Harten [19]Un esquema numerico si se puede escribir en la forma

Un+1j = Unj − Cj−1(Unj − Unj−1) +Dj(U

nj+1 − Unj ), (2.40)

es TVD-estable si, para cada j, las siguientes condiciones se cumplen

Cj−1 ≥ 0, Dj ≥ 0 y Cj−1 +Dj ≤ 0.

La condicion (2.40) es equivalente a la siguiente condicion

∀j, 0 ≤ Cj−1 −Dj

(Unj+1 − Unj )

(Unj − Unj−1)≤ 1. (2.41)

Como un ejemplo de aplicacion del teorema anterior, se analizan las condi-ciones necesarias para que el esquema Upwind sea TVD. Entonces, sustituyendoel flujo numerico Upwind propuesto en la seccion anterior en la ecuacion (2.35)se tiene

Un+1j = Unj −

k

h

[1

2(Fnj+1 − Fnj ) +

1

2(Fnj − Fnj−1)

−1

2sign(aj+1/2)(Fnj+1 − Fnj ) +

1

2sign(aj−1/2)(Fnj − Fnj−1)

].

(2.42)


con aj+1/2 = f ′(12(Unj + Unj+1)). Por el teorema del Valor Medio para integrales,

para cada j, existe U ξj+1/2 tal que

Fnj+1 − Fnj = f ′(U ξj+1/2)(Unj+1 − Unj ),

con U ξj+1/2 ∈ IUj+1/2 := (mınUnj , Unj+1,maxUnj , Unj+1). Aplicando el teoremadel Valor Medio a (2.42), el esquema Upwind se reescribe

Un+1j = Unj −

1

2σj+1/2(Unj+1 − Unj )− 1

2σj−1/2(Unj − Unj−1)

+1

2sign(aj+1/2)σj+1/2(Unj+1 − Unj )− 1

2sign(aj−1/2)σj−1/2(Unj − Unj−1).

con σj+1/2 = khf′(U ξj+1/2). En este caso los coeficientes de Harten son

Cj−1 =1

2σj−1/2(1 + sign(aj−1/2)), Dj = −1

2σj+1/2(1− sign(aj+1/2)),

Ahora, se supone que para cada j, f ′ tiene el mismo signo en el intervalo IUj+1/2.Entonces, σj+1/2 y aj+1/2 tienen el mismo signo para cada j, esto implica quesiempre se tiene

Cj−1 ≥ 0, Dj ≥ 0.

Ahora bien, Cj +Dj = σj+1/2sign(aj+1/2), por lo que

∀j 0 ≤ Cj +Dj ≤ 1 ⇔ ∀j |σj+1/2| ≤ 1.

Al numero σj+1/2 se le conoce como el numero de Courant, y a la condicion

|σj+1/2| ≤ 1, ∀j

recibe el nombre de condicion CFL, en honor a Richard Courant, Kurt Friedrichsy Hans Lewy que la descubrieron en el ano 1928. Con todo ello, se obtiene que elmetodo Upwind es TVD-estable bajo la condicion CFL.

2.6.2. Esquemas limitadores de flujo

Es conocido que los metodos clasicos de orden uno tienen una forma bastantesuave en zonas discontinuas de la solucion, la razon es que anaden ”viscosidadartificial”.8 Debido justamente a la viscosidad artificial extra, no presentan falsas

8Al observar el error de truncamiento de un metodo de orden uno como los esquemas Upwindo Lax-Friedrichs, se puede ver que estos metodos son aproximaciones a la ecuacion original masun termino viscoso (de la forma auxx). A la introduccion de dicho termino se le llama viscosidadartificial, ya que la estructura del metodo lo incluye artificialmente. El coeficiente a de tal terminodetermina que tanta viscosidad artificial tiene un metodo. La ecuacion que se obtiene en el analisisanterior se le llama la ecuacion modificada [31] .


oscilaciones en entornos de las discontinuidades, a menos que estas incremen-ten su tamano, desestabilizando la solucion. Por otro lado, los metodos clasicosde segundo orden, por ejemplo los esquemas de MacCormack, Lax-Wendroff oBeam-Warming, presentan falsas oscilaciones cerca de una discontinuidad. Ta-les oscilaciones son indeseables porque muchas veces se propagan y tienden adesestabilizar la solucion, aun sin ser este el caso, las falsas oscilaciones puedenproducir soluciones sin sentido al tomar valores que fısicamente son imposibles.Pero, en zonas suaves de la solucion los metodos de orden dos tienen una mejoraproximacion que los de orden uno.

En un intento por tomar lo mejor de cada metodo se puede hacer una combi-nacion pesada de ambos, el peso debe ser una funcion que depende de la mismasolucion y su fin es decidir a que metodo cargarle el peso en funcion de la suavi-dad local. Esta idea es la base de los esquemas limitadores de flujo (flux-limiter),ya que la combinacion pesada se introduce en la definicion del flujo numericocomo sigue

Fj+1/2 = FLj+1/2 + Ψj+1/2(FHj+1/2 − FLj+1/2), (2.43)

donde FLj+1/2 y FHj+1/2 representan los flujos numericos de los esquemas de ordenuno y de orden (≥ 2), respectivamente. Y Ψj+1/2 es la funcion limitadora de flujo,la cual determina que flujo debe tener mayor peso de acuerdo a la suavidad localde la solucion.

Generalmente para el parametro o peso que mide la suavidad de la solucionse utiliza la siguiente variable

θj+1/2 =

Unj − Unj−1

Unj+1 − Unjanj+1/2 > 0,

Unj+2 − Unj+1

Unj+1 − Unjanj+1/2 < 0.

(2.44)

como parametro que mide la suavidad local de la funcion. Si θj+1/2 ∼ 1, se su-pone que la funcion es suave en las cercanıas de Unj , en caso contrario se piensaque hay un cambio brusco en la solucion. La funcion limitadora de flujo dependedirectamente del parametro θj+1/2, por lo que Ψj+1/2 = Ψ(θj+1/2).

Una forma de construir un esquema limitador de flujo es: tomar un esquemade orden mayor o igual a dos y descomponerlo de tal manera que en su flujo, seidentifique el flujo de un esquema de orden uno. Este flujo de orden uno sirvede base, mientras que los terminos restantes actuan como una correccion. A estacorreccion se le multiplica una adecuada funcion limitadora de flujo Ψj+1/2, paracontrolar la viscosidad artificial administrada al flujo de orden uno, tal y como semuestra en la ecuacion (2.43).


Dentro de la familia de esquemas limitadores de flujo hay un grupo que tienegran relevancia, los metodos limitadores de flujo TVD. Y como su nombre in-dica son aquellos que verifican la propiedad de TVD-estabilidad. Las funcionesΨj+1/2 se construyen de forma que se verifique la condicion TVD.

Uno de los objetivos principales de la tesis es la construccion y el analisis deun nuevo metodo limitador de flujo TVD, por lo que a continuacion se presentaun ejemplo sencillo de como construir un metodo limitador de flujo TVD. Se tomael metodo de Lax-Wendroff de orden dos, definido en secciones anteriores, parala ecuacion de adveccion lineal

ut + aux = 0, x ∈ R, t > 0.

con a > 0. El flujo numerico Lax-Wendroff se escribe

Fj+1/2 =a

2(Unj + Unj+1)− a2

2

k

h(Unj+1 − Unj ).

o bien,

Fj+1/2 = aUnj +a

2(1− ak

h)(Unj+1 − Unj ).

El termino aUnj corresponde a FLj+1/2 del metodo Upwind, los terminos restan-tes actuan como la parte correctiva. Entonces, se propone la siguiente estructuralimitador de flujo

Fj+1/2 = aUnj + Ψ(θj+1/2)a

2(1− ak

h)(Unj+1 − Unj ), (2.45)

donde θj+1/2 se define como en (2.44). Ahora, se usa el teorema de Harten (2.5)para encontrar condiciones sobre la funcion limitador de flujo Ψ. Introduciendoel flujo numerico (2.45) en la ecuacion (2.35) se tiene el metodo

Un+1j = Unj − σ(1− 1

2(1− σ)Ψj−1/2)(Unj − Unj−1)− 1

2σ(1− σ)Ψn

j+1/2(Unj+1 − Unj ),

(2.46)

donde σ = ak

h. Los coeficientes de Harten en este caso son

Cj−1 = σ(1− 1

2(1− σ)Ψj−1/2) y Dj = −1

2σ(1− σ)Ψj+1/2.

Usando la condicion (2.41) y despues de manipulaciones algebraicas, la funcionΨnj+1/2 debe verificar

0 ≤ σ(

1 +1

2(1− σ)

[Ψ(θj+1/2)

θj+1/2−Ψ(θj−1/2)

])≤ 1,


para que el esquema limitador de flujo (2.46) sea TVD-estable. Bajo la condicionCFL |σ| ≤ 1, La funcion p(σ) := 1 + 1

2σ(1 − σ)α con α un factor constante, tieneun punto crıtico σ0 = 1/2 + 1/α. En tal punto, P es maximo, entonces su valormaximo es P (σ0) = (1 + 1/α + α/4)/2. Se quiere que |P (σ0)| ≤ 1, lo anterior escierto si |α| ≤ 2, es decir, ∣∣∣∣Ψ(θj+1/2)

θj+1/2−Ψ(θj−1/2)

∣∣∣∣ ≤ 2,

la cual es cierta siempre que,

0 ≤ Ψ(θ)

θ≤ 2, 0 ≤ Ψ(θ) ≤ 2

para cada θ.En el capıtulo siguiente se propone un nuevo esquema limitador de flujo , bajo

una estructura de construccion nueva y una variable peso que mide la suavidadde la solucion distinta a (2.44). Ademas se demuestra TVD-estabilidad y conver-gencia, y se comparan sus resultados numericos con varios de los mas conocidosmetodos limitadores de flujo TVD.

Capıtulo 3

Metodo Switch para leyes deconservacion

3.1. Introduccion

En este capıtulo se desarrolla un metodo conservativo del tipo limitador deflujo TVD para leyes de conservacion viscosas escalares de la forma ut + f(u)x = µ(u)uxx,

u(x, t) = u0(x), x ∈ Ω ⊂ R, 0 ≤ t ≤ T,(3.1)

donde u = u(x, t) ∈ R, u0 ∈ L∞(Ω,R), f(u) ∈ C1(R,R) y µ(u) ≥ 0 definidas en Ωun subconjunto acotado de R. Siendo la funcion f el flujo fısico del sistema y µ elcoeficiente de difusion. En el caso de que µ = 0 la ecuacion (3.1) se conoce comouna ley de conservacion hiperbolica o no viscosa.

El problema (3.1) modela fenomenos de transporte con difusion de la canti-dad conservada u sobre un volumen de control Ω, sin fuentes ni sumideros. Elobjetivo es desarrollar metodos para leyes de conservacion viscosas con advec-cion dominante con la posibilidad de que sean leyes de conservacion degenera-das. Por adveccion dominante, se condiera que µ toma valores cercanos a cero ypor otro lado una ley de conservacion degenerada ocurre cuando µ, se anula enun numero finito de puntos o en un intervalo, de manera que en estas regiones serecupera un problema hiperbolico el cual puede tener soluciones discontinuas.Por ello, bajo estas condiciones se buscan soluciones debiles de la forma (2.21).

Cuando µ es no constante en (3.1), en general no se conoce solucion analıticapara el problema, por lo que se aproxima su solucion mediante metodos numeri-cos. Actualmente, muchos de los algoritmos usados para resolver numericamen-te (3.1), se basan en metodos de descomposicion (o metodos splitting) de ope-

33

34 3. Metodo Switch para leyes de conservacion

radores, los cuales descomponen el problema (3.1) en dos problemas; uno hi-perbolico con el operador advectivo y otro parabolico simple con el operadordifusivo. Cada problema se resuelve numericamente con un metodo adecuado,ver [53] y [5]. Este tipo de metodos se utilizan con resultados muy exitosos para laresolucion de sistemas complejos con adveccion dominante, como las ecuacionesde Navier-Stokes, ver [23] y [31].

La solucion de leyes de conservacion degeneradas tiene una estructura mascompleja que la solucion de una ley hiperbolica, para detalles vease [45]. Porello, Evje y Karlsen en [8] consideran esquemas de diferencias finitas basados enla forma consevativa de (3.1) como sigue

ut(x, t) + h(u(x, t), ux(x, t))x = 0, (3.2)

donde el flujo fısico esta dado por la ley de Fourier-Fick

h(u, ux) = f(u)− µ(u)x. (3.3)

Siguiendo las mismas ideas de Evje y Karlsen [16], en este trabajo se extiendey se mejora el metodo limitador de flujo TVD propuesto por Jerez y Uh en 2010,ver [52] y [24]. Dicho metodo es una combinacion de los esquemas: Richtmyer-Lax-Wendroff dos etapas y un metodo Upwind conservativo. Para ese metodo seobtuvieron buenos resultados numericos para problemas hiperbolicos con dis-continuidades bajo flujos convexos y no convexos. Pero despues de un rigurosoanalisis de validacion se llego a que: (i) en ocasiones en presencia de ondas dechoque para tiempos largos de simulacion, la aproximacion se propaga a unavelocidad equivocada y (ii) en las ondas de rarefaccion la solucion numerica pre-sentaba un pequeno choque.

En este capıtulo se optimiza el metodo limitador de flujo propuesto por Jerezy Uh para leyes hiperbolicas, mediante tecnicas ENO/WENO [20, 35, 3, 49], intro-duciendo una nueva funcion en el esquema que activa y desactiva los terminosde limitacion del flujo, recibiendo ası el nombre de metodo limitador de flujo Switch.Eliminando, de este modo, los errores numericos (i) y (ii) del esquema original.Luego se extiende el metodo Switch para el problema (3.2) siguiendo las ideas deToro en [51] para algoritmos limitadores de flujo viscosos. Se dan condiciones deTVD-estabilidad y convergencia del metodo Switch para el problema hiperbolicoy viscoso. Por ultimo, se muestran resultados numericos para el metodo Switchpara diferentes tests, donde la solucion analıtica es conocida, y tambien se com-paran con las aproximaciones dadas por algunos de los limitadores de flujo masconocidos.

3.2. Metodo limitador de flujo Switch 35

3.2. Metodo limitador de flujo Switch

En 2010, Jerez y Uh proponen un metodo tipo limitador de flujo para una leyde conservacion hiperbolica como sigue ut + f(u)x = 0,

u(x, t) = u0(x), x ∈ Ω ⊂ R, 0 ≤ t ≤ T,(3.4)

donde u = u(x, t) ∈ R × R+, u0 ∈ L∞(Ω,R) y f(u) ∈ C1(R,R) siendo Ω unsubconjunto acotado de R. Con tales condiciones se tiene existencia y unicidaddebil, ver cap. 5 de [14].

Para aproximar la solucion del problema (3.4) se sigue una formulacion devolumen finito para los metodos numericos, que en el caso unidimensional yempleando una malla regular, viene dado por (2.35) bajo una formulacion con-servativa.

En [24], Jerez y Uh proponen un esquema donde el flujo numerico F , se de-fine como una combinacion de dos flujos conocidos; un Upwind conservativode primer orden y el metodo Richtmyer-Lax-Wendroff de dos pasos de segundoorden:

Un+1j = U

n+1/2j −r

[φn+1/2j

(fn+1/2j+1/2 − f

n+1/2j

)+ (1− φn+1/2

j )(fn+1/2j − fn+1/2

j−1/2

)],

(3.5)donde

r =k

h

fnj = f(Unj ),

Un+1/2j+1/2 = 1

2(Unj + Unj+1)− 12r(f

nj+1 − fnj ),

Un+1/2j = Unj − 1

2r(λ+j (fnj − fnj−1)− λ−j (fnj+1 − fnj )

),

fn+1/2j+1/2 = f(U

n+1/2j+1/2 ),

fn+1/2j = f(U

n+1/2j ),

(3.6)

con

λ+j = maxfu(Unj )/|fu(Unj )|, 0 y λ−j = mınfu(Unj )/|fu(Unj )|, 0,


para k y h los tamanos de paso temporal y espacial respectivamente, los cualespara un mallado regular se consideran constantes. La combinacion convexa

1

h

[φn+1/2j

(f(Un+1/2j+1/2

)−f

(Un+1/2j

))+(1−φn+1/2

j )(f(Un+1/2j

)−f

(Un+1/2j−1/2

))],

dada en (3.5), es una aproximacion de la derivada del flujo como sigue

f(u)x ≈1

h

[φnj

(f(u(x+ hx, t))− f(u(x, t))

)+

(1− φnj )(f(u(x, t))− f(u(x− hx, t))

)],

donde φnj ∈ [0, 1] es la funcion limitador de flujo, la cual decide que diferencia esla mas adecuada; la atrasada, la adelantada, o bien, la centrada para aproximarla derivada espacial. La cuales se definen como sigue

δ+1/2f

n+1/2 := fn+1/2j+1/2 − f

n+1/2j ,

δ−1/2fn+1/2 := f

n+1/2j − fn+1/2

j−1/2

y

δ01/2f

n+1/2 := fn+1/2j+1/2 − f

n+1/2j−1/2 .

Para la eleccion de la funcion limitador de flujo, se comparan las diferencias

δ+1/2U

n+1/2 := Un+1/2j+1/2 − U

n+1/2j

y

δ−1/2Un+1/2 := U

n+1/2j − Un+1/2

j−1/2

mediante el siguiente cociente

θn+1/2j :=

δ−1/2Un+1/2

δ+1/2U

n+1/2. (3.7)

La funcion limitador φ(θn+1/2j ), se determina de tal manera que el esquema

resulte TVD-estable, para detalles consultar [24].Un primer paso es construir un esquema conservativo (ver seccion 6 del capıtu-

lo anterior) para la ecuacion (3.2), que elimine los errores numericos del metodo


(3.5). Al reescribir el esquema (3.5) en forma conservativa, el flujo numerico sedefine

Fj+1/2 =1

2

[FUPj+1/2 + FRIj+1/2 + anj+1/2

(φn+1/2j − 1

2

)(Unj+1 − Unj

− r[(f+j (Unj+1)− f−j (Unj+1))− (f+

j (Unj )− f−j (Unj ))])], (3.8)

donde anj+1/2 = f ′(Unj+1/2), FUPj+1/2 = f+j (Unj )+f−j (Unj+1) para f−j (Unj ) = λ−j f(Unj )

y f+j (Ujn) = λ+

j f(Unj ) y FRIj+1/2 = f(Un+1/2j+1/2 ), vease [24].

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

72 72.5 73 73.5 74 74.5 75 75.5 76 76.5 77 77.5 78

u(x

,t=

50)

x

Inviscid Burgers: ic(x)=if(x<=0,2,1), dx=0.0805, dt=0.0333333, CFL_MAX=0.847227

E1E2

Reference

-1.3

-1.05

-0.8

-0.55

-0.3

-0.05

0.2

0.45

0.7

0.95

1.2

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2

u(x

,t=

0.5

)

x

Inviscid Burgers: ic(x)=if(x<1,-1,1), dx=0.025, dt=0.00333333, CFL_MAX=0.133333

E1E2

Reference

Figura 3.1: Resultados numericos para la ecuacion de Burgers dado por el metodoJerez-Uh (E1) y el metodo Switch (E2). (i) Onda de choque a tiempos grandes. (ii)Onda de Rarefaccion.

Como se muestra en la figura 3.1, el metodo (3.5), tiene errores significativosen ondas de choque para simulaciones a tiempos largos y en las ondas de rare-faccion. Los puntos claves para eliminar estos errores numericos son:

1. Definir una nueva funcion limitador φ(θn+1/2j ) que subsane los errores co-

metidos en la onda de rarefaccion.

2. Introducir una funcion peso ϕ, la cual actua como una especie de interrup-tor, activando/desactivando la parte del esquema que deberıa estar pre-sente cuando la funcion es mas o menos suave. Esta es la base de los es-quemas no oscilatorios esencialmente pesados (weighted essentially non-oscillatory, WENO), ver [35, 3, 49]. En particular, se quiere un esquema Up-wind conservativo en vecindades de las ondas choque, y en el resto man-tener el limitador de flujo (3.5) con la nueva funcion limitador. Bajo este


proposito se define la funcion ϕ, que depende de cierto parametro indica-dor de suavidad.

Con todo ello, el nuevo metodo que se propone para la ley de conservacion (3.4)y bajo su formulacion conservativa (2.35) es

FSWj+1/2 =1

2ϕnj+1/2F

UPj+1/2 +

1

2(2− ϕnj+1/2)

[FRIj+1/2 + anj+1/2

(φnj+1/2 −

1

2

)(Unj+1 − Unj

− r[(f+j (Unj+1)− f−j (Unj+1))− (f+

j (Unj )− f−j (Unj ))])]. (3.9)

A continuacion se definen las funciones φnj+1/2 y ϕnj+1/2 constantes en cada celdade la malla, la cual se denota por Cnj := (xj−1/2, xj+1/2)× [tn, tn+1).

1. Funcion limitador φ(θnj+1/2).

Si |δ+1/2U

n+1/2| ∼ |δ−1/2Un+1/2| se supone que θnj+1/2 ∼ sign(θnj+1/2) y es

preferible utilizar la diferencia centrada δ01/2f

n+1/2, ademas se esperaque φnj+1/2 ∼

12 .

Si |δ+1/2U

n+1/2| < |δ−1/2Un+1/2| entonces |θnj+1/2| < 1, se prefiere usar la

diferencia adelantada δ+1/2f

n+1/2, tal que φnj+1/2 ∼ 1.

En el ultimo caso, si |δ+1/2U

n+1/2| > |δ−1/2Un+1/2| entonces |θnj+1/2| > 1 y

es preferible usar la diferencia atrasada δ−1/2fn+1/2, tal que φnj+1/2 ∼ 0.

Ahora, buscando tener conservatividad en el esquema, se quiere verificarlos puntos anteriores de forma simetrica1, para lo cual se utiliza la funcionarcotangente, ver figura (3.2).

φnj+1/2 =1

2− 1

πarctan(|θnj+1/2| − 1). (3.10)

1Valores simetricos de φnj+1/2 = 1/2 a φnj+1/2 = 1 con respecto a los valores de φnj+1/2 = 1/2 aφnj+1/2 = 0, esta es la transicion de ir; de la diferencia central a la adelantada, e ir de la diferenciacentral a la atrazada.


0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.5

-ata

n(|

hat-

phi|-1

)

hat-phi

Figura 3.2: Perfil de la funcion φnj+1/2.

Notar que el rango de φnj+1/2 es el intervalo [0, 1], lo cual es una propiedadimportante en los estudios de estabilidad.

2. Funcion peso ϕ(θnj ) tipo WENO2.

El proposito de la funcion de peso ϕnj es optimizar la aproximacion del nue-vo esquema en entornos con discontinuidades, esta es la parte que ayuda acapturar los choques con la velocidad correcta. La funcion ϕnj toma los valo-res discretos 0 o 2, dependiendo de la suavidad de u. Por ejemplo, se buscaque, con ϕnj = 0 se obtenga un limitador de flujo que con φnj+1/2 = 1/2 re-cupera el esquema Lax-Wendroff-Richtmyer, y con ϕnj = 2 se tiene un flujonumerico Upwind.

La funcion ϕnj se define como

ϕnj =

0 si |θnj − 1| < ε, y (δ+Unj > 0 y δ−Unj > 0).

2 en otro caso.(3.11)

donde

θnj =

δ−Unj /δ

+Unj , anj ≥ 0

δ+Unj /δ−Unj , anj < 0.

(3.12)

con ε un parametro positivo de tolerancia que controla la suavidad de lafuncion solucion tal que 0 < ε < 1/2.

2La tecnica ENO introducida por A. Harten et al. en [20], consiste en elegir para cada celda Cnjdonde u es suave, una combinacion de polinomios (stencil) de alto orden de exactitud r. La tecnicaWENO en lugar de considerar solo el unico stencil que contiene r + 1 puntos, introduce pesos demanera que de acuerdo a la suavidad de u enciende o apaga los algoritmos que forman el stencil.De esta forma se da el orden adecuado al metodo en zonas suaves o con saltos.


Una vez construido el metodo Switch para la ley de conservacion hiperbolica(3.4), su extension a la ley de conservacion viscosa

ut + g(u, ux)x = 0,

con flujo fısico, g(u) = f(u) − µ(u)x, es directa. Por lo que bajo una formulacionconservativa

Un+1j = Unj − r(Hj+1/2 −Hj−1/2), (3.13)

el flujo numerico Switch viscoso es

HV SWj+1/2 =

1

2ϕnj F

UPj+1/2 +

1

2(2− ϕnj )

[FRIj+1/2 + anj+1/2

(φnj+1/2 −

1

2

)(Unj+1 − Unj

−r[(F+j (Unj+1)− F−j (Unj+1))− (F+

j (Unj )− F−j (Unj ))])]− 1

hµ(Unj+1)δ−U

nj+1, (3.14)

donde F es el flujo numerico de la ley de conservacion no viscosa. El esquema(3.13)-(3.14) se le llama metodo limitador de flujo Switch viscoso. A continuacionse estudia los esquemas Switch viscoso y no viscoso, analizando propiedadesteoricas de los mismos. Por simplicidad de los analisis se considera el coeficienteµ constante.

3.3. Consistencia y suavidad del flujo numerico Switch vis-coso

Bajo la consideracion de µ constante, se reescribe el flujo numerico HV SWj+1/2 del

esquema (3.13) como sigue

HV SWj+1/2 =

1

2ϕnj F

UPj+1/2 +

1

2(2− ϕnj )

[FRIj+1/2 + anj+1/2

(φnj+1/2 −

1

2

)(Unj+1 − Unj

− r[(F+j (Unj+1)− F−j (Unj+1))− (F+

j (Unj )− F−j (Unj ))])]

− dδ−Unj+1, (3.15)

donde d =µ

h.

Proposicion 3.1 El metodo numerico Switch viscoso (3.13)-(3.15) es consistente con laley de conservacion (3.2).

DemostracionEl flujo numerico es consistente si HV SW

j+1/2 cumple las siguientes dos condicio-nes:

3.3. Consistencia y suavidad del flujo numerico Switch viscoso 41

1. Si para cada u ∈ R, HV SWj+1/2(Unj = u, Unj+1 = u) = h(u).

a) Para ϕnj = 0, entonces HV SWj+1/2(u, u) = FRIj+1/2(u) = f(u)− δ−u = h(u),

b) Para ϕnj = 2, entonces HV SWj+1/2(u, u) = FUPj+1/2(u) = f(u)− δ−u = h(u).

2. Si existe una contante K > 0 tal que

|HV SW (Unj , Unj+1)− h(u)| ≤ K max

j,n(|Unj − u|, |Unj+1 − u|). (3.16)

Ahora, como h ∈ C1(Ω) entonces HV SWj+1/2 es de clase C1 en el segmento

L := [(Unj , Unj+1), (u, u)]. Ademas sea anj+1/2 = f ′(Unj+1/2) en cada celda Cnj .

Por el teorema del Valor Medio, existe q ∈ L tal que

HV SWj+1/2(Unj , U

nj+1)−HV SW

j+1/2(u, u) = ∂Unj HV SWj+1/2(q)(Unj − u)+

∂Unj+1HV SWj+1/2(q)(Unj+1 − u),

con

∂Unj HV SWj+1/2 =

ϕnj4anj+1/2(1 + sgn(anj+1/2)) + 1

2anj+1/2(2− ϕnj )(

12 + 1

2anj+1/2r + (φnj+1/2 −

12)(−1 + anj+1/2r)

)+ d,

∂Unj+1HV SWj+1/2 =

ϕnj4anj+1/2(1− sgn(anj+1/2)) + 1

2anj+1/2(2− ϕnj )(

12 −

12a

nj+1/2r + (φnj+1/2 −

12)(1− anj+1/2r)

)− d.

Definimos la constante

K = 2 max| supΩ∂Unj H

V SWj+1/2|, | sup

Ω∂Unj+1

HV SWj+1/2|,

y dado que el flujo HV SW es consistente, tenemos

|HV SWj+1/2(Unj , U

nj+1)− h(u)| ≤

|Unj − u||∂Unj HV SWj+1/2(q)|+ |Unj+1 − u||∂Unj+1

HV SWj+1/2(q)|

≤ K

2

(|Unj − u|+ |Unj+1 − u|

)≤ K max|Unj − u)|, |Unj+1 − u)|.


3.4. Convergencia del metodo Switch

Para asegurar la convergencia del esquema viscoso (3.13)-(3.15) a una solu-cion debil del problema (3.2), se usa la teorıa de la TV-estabilidad que se ha pre-sentado en el capıtulo anterior, junto con el trabajo de Toro [51] para esquemaslimitadores de flujo viscosos. Pero primero, dado que el esquema Switch (2.35)-(3.9) es un nuevo algoritmo para aproximar la solucion de leyes de conservacionhiperbolicas, en este capıtulo se inicia probando la convergencia del esquemaSwitch para el caso hiperbolico.

3.4.1. Estabilidad TVD

Sea el esquema Switch (2.35)-(3.9) para la ley de conservacion hiperbolica(3.4). Recordar que este metodo activa y desactiva dos esquemas: un metodo Up-wind conservativo (ϕnj = 2) y un metodo limitador flujo (ϕnj = 0). Como se vio enel capıtulo anterior, los esquemas Upwind son algoritmos monotonos. Entoncessolo queda probar que para el caso ϕnj = 0, el metodo Switch es TVD-estable parael problema (3.4).

Usando el teorema del Valor Medio se linealiza el esquema (2.35)-(3.9) conϕnj = 0 y reordenando los terminos se reescribe

Un+1j = Unj −G(θnj )(Unj+1 − Unj ) (3.17)

suponiendo que la derivada f ′ tiene valor constante anj , es decir, anj = anj+1/2 =

anj−1/2, en cada celda Cnj , y tomando el caso anj > 0 se define

G(θnj ) = σnj φ(1− σnj )( 1

θnj− 1)

+ 1, (3.18)

con σnj = anj r el numero local de Courant-Friedrich-Levy (CFL). Por simplicidadse toma φ = φnj+1/2 y ϕ = ϕnj , ya que estos coeficientes son constantes en cadacelda Cnj . Recordar que θnj viene definida en (3.12).

Teorema 3.2 El esquema Switch (2.35)-(3.9) con ϕnj+1/2 = 0 es TVD-estable si |σ| ≤ 1

con σ = maxj,n |anj r|.

DemostracionPara probar TVD-estabilidad usamos la condicion de suficiencia de Harten,

0 ≤ G ≤ 1, para la funcion G definida en (3.18). De la definicion de ϕ en (3.11) setiene que

|θnj − 1| < ε,

3.4. Convergencia del metodo Switch 43

lo cual es equivalente a−ε

1− ε<

1

θnj− 1 <

ε

1 + ε.

Usando esta desigualdad en G se llega a que

σnj φ(1− σnj )( −ε

1− ε

)+ 1 ≤ G ≤ σnj φ(1− σnj )

( ε

1 + ε

)+ 1.

Teniendo en cuenta que 0 < ε < 1/2, entonces se verifica

−σnj φ(1− σnj ) + σnj ≤ G ≤ σnj φ(1− σnj ) + σnj ,

y dado que 0 < φ < 1 entonces

0 ≤ −σnj φ(1− σnj ) + σnj y σnj φ(1− σnj ) + σnj < 1.

En el caso de anj < 0, la definicion de G en (3.18) es la misma pero considerando|σnj | en vez de σnj , sin olvidar que θnj viene determinado segun el signo de σnj , sellega de igual forma a cumplir la condicion de Harten.

De manera analoga, a continuacion se estudian las condiciones de suficienciapara la TVD-estabilidad para el metodo Switch viscoso.

Teorema 3.3 El esquema Switch viscoso (3.13)-(3.15) es TVD-estable si

|σ| ≤ 1 y1

1− |σ|≤ Re

con σ = maxj,n |anj r| y Re = maxj,n|anj r|/d el numero local de Reynolds.

DemostracionSe estudia para cada uno de los dos valores que toma el coeficiente ϕ, porque

resultan esquemas diferentes:

1. Sustituyendo ϕ = 2 en (3.15) y aplicando el teorema del Valor Medio setiene

Un+1j = Unj −G1(θnj ),

conG1 = |σnj |+ d

(1− 1

θnj

).


Teniendo en cuenta que

−ε1− ε

≤ 1− 1

θnj≤ ε

1 + ε,

como 0 < ε ≤ 1/2, entonces −1 ≤ −ε1− ε

. Por lo tanto se cumple que

|σnj |(

1− 1

Re

)≤ G1 ≤ |σnj |

(1 +

1

Re

).

Entonces 0 ≤ G1 ≤ 1 si y solo si

1 ≤ Re y|σnj |

1− |σnj |≤ Re,

y ambas condiciones siempre se cumplen si

1

1− |σnj |≤ Re.

2. Sea ϕnj = 0 y linealizando el metodo (3.13)-(3.15) en cada celda Cnj comoanteriormente, se tiene

Un+1j = Unj −G2(θnj ),

conG2 = |σnj |

φ(1− |σnj |)

( 1

θnj− 1)

+ 1

+ d(

1− 1

θnj

).

Ya verificamos en el caso anterior que

−1 ≤ −α1 ≤ 1− 1

θnj≤ α2 ≤ 1,

donde α1 =−ε

1− εy α2 =

ε

1 + ε. Por lo que se tiene

−|σnj |(

(1− |σnj |) +α1

Re

)+ |σnj | ≤ G2 ≤ |σnj |

((1− |σnj |) +

α2

Re

)+ |σnj |,

imponiendo la condicion1

1− |σnj |≤ Re y sustituyendo esto en la desigual-

dad anterior se obtiene

−|σnj |(1 + α1)(1− |σnj |) + |σnj | ≤ G2 ≤ |σnj |(1 + α2)(1− |σnj |) + |σnj |,


o lo que es lo mismo

g1(|σnj |) ≤ G2 ≤ g2(|σnj |),

donde g1(|σnj |) := (1 + α1)|σnj |2 − α1|σnj | y g2(|σnj |) := −(1 + α2)|σnj |2 −(2 + α2)|σnj |. Estudiando los puntos extremos de las funciones gi, i = 1, 2,se llega a que 0 ≤ g1 y g2 ≤ 1 bajo las definiciones de α1 y α2 anteriores.

Ahora se puede asegurar convergencia del metodo Switch viscoso a una solu-cion debil para la ley de conservacion (3.1) bajo las condiciones de la proposicion3.1 y el teorema 3.3. Y esto se sigue por el Teorema de Lax-Wendroff, ver detallesen el capıtulo anterior.

Por ultimo, una cuestion que resulta importante contestar es: ¿Cuando es ne-cesario la inclusion de viscosidad artificial en la construccion de los metodosnumericos para una ley de conservacion viscosa? La razon es que la ecuacion(3.1) ya tiene una viscosidad fısica y algunos autores han reportado que los es-quemas tipo limitadores de flujo anaden excesiva viscosidad artificial. Por lo quefinalizaremos el estudio cualitativo del metodo obteniendo una condicion paracuando un algoritmo limitador de flujo es eficiente.

Para ello, se sigue el trabajo realizado por el Toro en [51] que reescribe unmetodo limitador de flujo limitador de manera general como sigue


conGG =

1

2|σnj |

1

θnj(1−Aj+1/2)Aj−1/2 + 1

+ d(

1− 1

θnj

), (3.20)

donde Aj+1/2 y Aj−1/2 son funciones de viscosidad numerica que se definende acuerdo al metodo elegido. Imponiendo la condicion de Harten de TVD-estabilidad, 0 ≤ GG ≤ 1, en la ecuacion (3.20), despues de manipulaciones al-gebraicas se obtiene

−1− 2

Re

(1− 1

θnj

)≤ (1−Aj+1/2)

1

θnj+Aj−1/2 ≤

2− |σnj ||σnj |

− 2

Re

( 1

θnj− 1). (3.21)

Toro descompone la desigualdad (3.21) en dos desigualdades que dan suficienciaa la condicion de Harten, las cuales son

2

Re

( 1

θnj

)≤ (1−Aj+1/2)

1

θnj≤

2− |σnj ||σnj |

− 1 +2

Re

( 1

θnj

),


−1− 2

Re≤ Aj−1/2 ≤ 1− 2

Re.

Despejando los Aj+1/2 y Aj−1/2 de las desigualdades anteriores se obtiene

AM −2− |σnj ||σnj |

(θnj ) ≤ Aj+1/2 ≤ AM ,

−2 +AM ≤ Aj−1/2 ≤ AM .

dondeAM = 1− 2Re . En el caso de queAj+1/2 = Aj−1/2 = |σnj |, se tiene el metodo

Lax-Wendroff para la ley de conservacion no viscosa, el cual no anade ningunaviscosidad artificial. Por lo que, si AM ≥ |σnj | entonces es necesario introduciralgo de viscosidad artificial en el algoritmo para asegurar TVD estabilidad.

Siguiendo este estudio, el metodo Switch viscoso (3.13)-(3.15) con ϕ = 0 sereescribe como sigue


dondeG = |σnj |

φ(1− |σnj |)

( 1

θnj− 1)

+ 1

+ d(

1− 1

θnj

). (3.23)

Imponiendo la condicion de Harten de TVD-estabilidad, 0 ≤ G ≤ 1 se llega

−1− 1

Re

(1− 1

θnj

)≤ φ(1−|σnj |)

1

θnj+φ(|σnj |−1) ≤

1− |σnj ||σnj |

− 1

Re

(1− 1

θnj

). (3.24)

y proponiendo dos desigualdades suficientes de igual forma que el Toro se obtie-nen

A∗M −1− |σnj ||σnj |

(θnj ) ≤ |σnj | ≤ A∗M ,

−1 +A∗M ≤ |σnj | ≤ A∗M .

donde A∗M = 1 − 1φRe . Por lo que no es necesario una formulacion limitador de

flujo tipo Switch si A∗M ≤ |σnj |, o lo que es lo mismo si

φRe ≤ 1

(1− |σnj |).

En este caso se fija φ = 12 recuperando el metodo Richtmyer-Lax-Wendroff que

no introduce viscosidad artificial y es el adecuado para el problema. Dado que φse encuentra en el intervalo [0, 1], la condicion anterior siempre se cumple si sepide la siguiente condicion que no depende de φ,

Re ≤ 1

(1− |σnj |). (3.25)


Mientras la desigualdad contraria a (3.25) se verifique el algoritmo limitador deflujo Switch viscoso (3.13)-(3.15) resulta eficiente, lo cual coincide con la condi-cion obtenida anteriormente para que el metodo Switch viscoso sea TVD.

Para leyes de conservacion viscosas (3.2) con una solucion debil, unica y fısi-camente relevante como es el caso de la solucion BV de entropıa formulada porVolpert en [55], se tiene convergencia para metodos conservativos y monotonossiguiendo el trabajo de Evje y Karlsen, ver [16]. En la siguiente seccion se daranlas condiciones necesarias para que el esquema limitador de flujo Switch viscososea monotono.

3.4.2. Monotonıa

Proposicion 3.4 El esquema Switch viscoso (3.13)-(3.15) es monotono si |σ| ≤ 1 y

φnj =

0 si σnj ≥ 0 ,

1 si σnj < 0,(3.26)

para todo j, n, with σ = maxj,n∣∣∣σnj ∣∣∣.

DemostracionSe tiene dos metodos diferentes de acuerdo al valor del coeficiente ϕ:

1. Si ϕ = 2, se obtiene un metodo Upwind que bajo la condicion CFL, |σ| ≤ 1,siempre es monotono.

2. Si ϕ = 0, se obtiene un metodo limitador de flujo viscoso. Para estudiarsu monotonıa se linealiza el metodo en cada celda Cnj mediante el teoremadel Valor Medio y se supone sin perdida de generalidad, que la derivadaf ′(Un+1/2

. ) es constante anj en cada celda Cnj obteniendo

Un+1j = S(Unj−1, U

nj , U

nj+1) =

= Unj − σnjφ(1− σnj )δ+Unj + (1− φ(1− σnj ))δ−Unj

+ d(δ+Unj − δ−Unj ).

para todo j, n. Recordando la definicion dada en el capıtulo anterior unalgoritmo es monotono si (∂S/∂Unk ) ≥ 0, para cada k ∈ j − 1, j, j + 1.Entonces, calculando las derivadas correspondientes se tiene que

(i) (∂S/∂Unj ) ≥ 0 si y solo si |σnj | ≤ 1,

(ii) (∂S/∂Unj+1) ≥ 0 si y solo si |σnj | ≤ 1, y φ = 0 cuando anj ≥ 0,


(iii) (∂S/∂Unj−1) ≥ 0 si y solo si |σnj | ≤ 1, y φ = 1 cuando anj < 0.

Una vez se han estudiado algunas de las propiedades cualitativas mas im-portantes del metodo Switch viscoso (3.13)-(3.14), se busca aplicarlo a problemasmultidimensionales, por lo que en la siguiente seccion se trabaja en esta direc-cion.

3.5. Metodo limitador de flujo multidimensional

En esta seccion se extiende el metodo Switch a una ley de conservacion multi-dimensional. Para ello, se considera el siguiente problema de Cauchy de valoresiniciales

ut(x, t) +∇ · f(u(x, t),∇u(x, t)) = 0, (3.27)u(x, 0) = u0(x).

con x = (x1, x2, ..., xm) ∈ Ω ⊆ Rm y t ∈ [0, T ] para u = u(x, t) una variableconservativa y f = f(u,∇u) es el flujo de Fourier-Fick.

Para extender un esquema de volumen finito a mas dimensiones las tecnicasusuales son los metodos de descomposicion (dimensional splitting) y de pasos frac-cionados (fractional step), veanse las monografıas de Yanenko y de Hundsdorfer-Verwer, [56] y [23], respectivamente. Por simplicidad, se extiende el metodo Switchviscoso, (3.13)-(3.14), para la ecuacion parabolica 2D siguiente

ut + (f(u)− µ1(u)x)x + (g(u)− µ2(u)y)y = 0, (3.28)

donde f y g son las funciones de flujo advectivo para la x-direccion y la y-direccion, respetivamente. En este trabajo se usa una tecnica de descomposiciondesarrollada por Marchuk y Yanenko, para la generalizacion multidimensionaldel metodo Switch, basada en la siguente ”split”-aproximacion

u(x, y, n∆t) ≈[Sg,y∆t S

f,x∆t

]nu0, (3.29)

siendo Sf,x∆t u0 la solucion exacta del siguiente problema de Cauchy

vt + (h1)x = 0,

v(x, y) = u0(x, y), (y aquı es fija) (3.30)

3.5. Metodo limitador de flujo multidimensional 49

donde h1 = f(v)− µ1(v) y Sg,y∆t v0 la solucion exacta del problema de Cauchy

wt + (h2)y = 0,

w(x, y) = v0(x, y), (x aquı es fija). (3.31)

donde h2 = g(w)− µ2(w).El siguiente paso es aproximar cada operador, Sf,x∆t y Sg,y∆t , usando la esquemas

Switch viscoso (3.13)-(3.14). Como en la seccion previa, se discretiza el dominioespacio-temporal con un mallado uniforme donde xi = x0 + i(∆x), yj = y0 +j(∆y) y tn = n(∆t) con i = 0, ..., nx, j = 0, ..., ny y n = 0, ..., nt. Denotando porV ni,j y Wn

i,j , las aproximaciones para las soluciones exactas de (3.30) y (3.31) en elpaso n del ”split”-problema (3.29). Entonces se aproxima la solucion para el pason+ 1 como sigue:

1. Primero se calcula la solucion numerica de (3.30) usando la forma (3.13)-(3.14) definida por

H1V SWi+1/2,j =1

2ϕxF

UPi+1/2,j +

1

2(2− ϕx)

[FRIi+1/2,j + ani+1/2,j

(φx −

1

2

)(V ni+1,j − V n

i,j

− rx[(F+i,j(V

ni+1,j)− F−i,j(V

ni+1,j))− (F+

i,j(Vni,j)− F−i,j(V

ni,j))]

)]− (rv)xµ1(V n

i+1,j)δx−V

ni+1,j , (3.32)

para todo i = 1, ..., nx−1, fijado cada j = 0, ..., ny con rx = ∆t∆x y (rv)x = 1

∆x .Para V n+1

i,j con i = 0 y i = nx se toman condiciones de Dirichlet.

2. El siguiente paso es construir la solucion numerica de (3.31) tomando co-mo condicion inicial la aproximacion previa V n+1

i,j mediante la formulacionconservativa (3.13)-(3.14) como sigue

H2V SWi,j+1/2 =1

2ϕyG

UPi,j+1/2 +

1

2(2− ϕy)

[GRIi,j+1/2 + ani,j+1/2

(φy −

1

2

)(Wni,j+1 −Wn

i,j

− ry[(G+i,j(W

ni,j+1)−G−i,j(W

ni,j+1))− (G+

i,j(Wni,j)−G−i,j(W

ni,j))]

)]− (rv)yµ2(Wn

i+1,j)δy−W

ni+1,j , (3.33)

para todo j = 1, ..., ny−1, fijado cada i = 0, ..., nx con ry = ∆t∆y y (rv)y = 1

∆y .Para Wn+1

i,j con j = 0 y j = ny, condiciones de Dirichlet.

Por ultimo, se calcula Un+1i,j = Wn+1

i,j obteniendo ası la aproximacion Switch vis-cosa para el problema (3.29). Este procedimiento se repite para cada paso tem-poral construyendo una solucion numerica para (3.28). La funciones switch y


limitadora de flujo multidimensionales vienen dadas por

ϕξ =

0 if |θni,j,ξ − 1| < ε, y (∆+Z

ni,j > 0 y ∆−Z

ni,j > 0),

2 en otro caso.(3.34)

donde

θni,j,ξ =∆+,ξZ

ni,j

∆−,ξZni,j

, ξ ∈ x, y

con ∆+,xZn = V n

i+1,j − V ni,j , ∆−,xZ

n = V ni,j − V n

i−1,j , analogamente ξ = y conZn = Wn y

φξ =1

2− 1

πarctan(|θn+1/2

i,j | − 1), con θn+1/2i,j,ξ =

∆1/2+,ξZ

ni,j

∆1/2−,ξZ

ni,j

. (3.35)

Notar que la extension a dos dimensiones del metodo Switch para el caso noviscoso se sigue de la misma forma pero considerando µ1 = µ2 = 0.

3.5.1. Convergencia del algoritmo de descomposicion bidimensional

La solucion debil de entropıa Kruzkov para una ley de conservacion hiperbolicabidimensional [28] se define porˆR2

ˆ T

0(|u− k|ψt + sgn(u− k)((f(u)− f(k))ψx + (g(u)− g(k))ψy))dtdxdy

+

ˆR2

(|u0 − k|ψ(x, 0)− (|u− k|ψ(x, T )))dxdy ≥ 0. (3.36)

Denotando u0 = u0, un+1/2 = Sf,x∆t un y un+1 = Sg,y∆t u

n+1/2 para n = 0, 1, 2, .... Yuna solucion de la forma (3.29) para cada t con tn < t < tn+1 esta dada por

u∆t(x, y, t) =

Sf,x(t−tn)u

n para tn ≤ t ≤ tn+1/2

Sg,y(t−tn+1/2)un+1/2 para tn+1/2 ≤ t ≤ tn+1.

(3.37)

Si en cada medio paso de tiempo se implementa la tecnica de descomposicionjunto con un esquema conservativo, consistente, Lipschitz continuo y monotono,entonces el metodo (3.37) converge a la solucion debil unica de entropıa de Kruzkovbidimensional, ver Teorema 1 de Crandall y Majda en [8]. Para una revision masprofunda de esta y otras tecnicas multidimensionales se remite al lector al capıtu-lo 4 de [22].

3.6. Resultados numericos 51

Hasta ahora, para el caso de leyes de conservacion viscosas multidimensiona-les (3.28), no se tiene un resultado de convergencia para aproximaciones viscosasbajo una formulacion conservativa del tipo (3.13)-(3.14). Por lo que, resulta unproblema abierto interesante extender los resultados obtenidos por Evje y Karl-sen en [16] para una ley de conservacion viscosa escalar multidimensional.

3.6. Resultados numericos

En esta seccion se analiza el comportamiento de los esquemas Switch (2.35)-(3.9) y Switch viscoso (3.13)-(3.15) mediante problemas prueba con discontinui-dades y se comparan con la solucion analıtica cuando sea posible.

Se miden los errores de las aproximaciones numericas en las normas 1 y 2,las versiones discretas de las normas en los espacios L1(R) y L2(R). Con especialatencion a los resultados obtenidos en la norma 1, ya que es la norma naturalpara la formulacion de volumen finito que estamos proponiendo. En 1D, conEnj = Unj − u(j∆x, n∆t) la diferencia entre la solucion exacta y la numerica, ypara un tiempo fijo t = n∆t, las p−normas discretas (p = 1, 2, ...) se definen como

||Ej ||p =

∆x∑j

|Ej |p 1p

, p = 1, 2, ...

Y en dos dimensiones, ahora con Eni,j = Uni,j − u(i∆x, j∆y, n∆t),

||Ei,j ||p =

∆x∆y∑j

|Ei,j |p 1p

p = 1, 2, ...

Tambien se presta interes en comparar los resultados del metodo Switch convarios de los metodos limitadores de flujo mas conocidos, tales como Van-Leer,Min-Mod, Superbee y Quick, ver [54].

Se inicia la validacion del metodo Switch aproximando la solucion de proble-mas de Riemann unidimensionales con diferentes condiciones iniciales, ya que lasolucion analıtica es conocida, la cual se reviso en el capıtulo anterior.

3.6.1. Resultados numericos 1D

Ecuacion de Burgers no viscosa

El problema de Cauchy para la ecuacion de Burgers es el siguiente


ut +(

12u

2)x

= 0,

u(x, 0) = u0(x).(3.38)

y se consideran algunos casos representativos como ondas de choque y deraefaccion.

Example 1. Con condicion inicial

u0(x) =

2 si x ≤ 0,

1 si x > 0,(3.39)

La solucion analitica para la ecuacion no viscosa de Burgers mediante el meto-do de las curvas caracterısticas, descrito en al capıtulo 2, es

u(x, t) =

2 si 2x ≤ t,

1 si 2x > t.(3.40)

Resultados numericos a tiempos t = 1 y t = 10 unidades se muestran enfiguras 3.3 y 3.4, una tabla del comportamiento del error, cuando la malla serefina, se muestra en el cuadro 3.1. Para t = 1 se toma un intervalo espacial[−0.5, 2] con 251 nodos (∆x = 0.01) y un intervalo temporal [0, 1] con 210 puntos(∆t = 0.0048). Para t = 10 se toma un intervalo espacial [−2, 16] con 601 nodos(∆x = 0.03), un intervalo temporal [0, 10] con 800 puntos (∆t = 0.0125). el valormaximo del CFL local es 0.98 cuando t = 1 y 0.85 cuando t = 10.

∆x Error L1 Error L2

2.00× 10−2 2.55× 10−2 8.27× 10−2

1.00× 10−2 1.28× 10−2 5.85× 10−2

5.00× 10−3 6.40× 10−3 4.13× 10−2

2.50× 10−3 1.60× 10−3 2.92× 10−2


3.00× 10−2 2.24× 10−2 7.44× 10−2

1.50× 10−2 1.12× 10−2 5.26× 10−2

7.50× 10−3 5.60× 10−3 3.72× 10−2

3.75× 10−3 2.80× 10−3 2.63× 10−2

Cuadro 3.1: Ecuacion de Burgers no viscosa con onda de choque. Comportamien-to del error en las normas 1 y 2, a tiempos t = 1 y t = 10 unidades.


Notar que el metodo Switch toma la velocidad correcta en la que el choque sepropaga y el esquema de Jerez-Uh, en que se basa esta nueva propuesta, muestraun retraso de la velocidad del choque, el cual se hace mayor para tiempos mayo-res, ver figura 3.1. El error obtenido con el metodo Switch es similar al obtenidopor los otros metodos limitadores de flujo.

Ejemplo 2. Con condicion inicial

u0(x) =

−1 si x ≤ 1,

1 si x > 1,(3.41)

aquı, la solucion es una onda de rarefaccion definida por la siguiente espresion

u(x, t) =

−1 x < 1− t,(x− 1)/t 1− t ≤ x ≤ 1 + t,1 x > 1 + t.

(3.42)

Resultados numericos a tiempos t = 0.5 y t = 10 unidades se muestran en figu-ras 3.5 y 3.6, una tabla del comportamiento del error, cuando se refina la malla,se muestra en cuadro 3.2. Para t = 0.5 se toma un intervalo espacial [0, 2] con 151nodos (∆x = 0.01), un intervalo temporal [0, 0.5] con 100 puntos (∆t = 0.005). Pa-ra t = 10 se considera el intervalo espacial [−13, 13], con 180 nodos (∆x = 0.14),y 400 puntos en el tiempo (∆t = 0.025). EL maximo valor para el CFL local es0.375 cuando t = 0.5, y 0.17 cuando t = 10.


1.33× 10−2 3.63× 10−2 3.98× 10−2

6.66× 10−3 1.84× 10−2 2.01× 10−2

3.33× 10−3 9.28× 10−3 1.01× 10−2

1.66× 10−3 4.66× 10−3 5.12× 10−3


1.45× 10−1 3.31× 10−1 7.68× 10−2

7.24× 10−2 1.67× 10−1 3.92× 10−2

3.61× 10−2 8.43× 10−2 2.04× 10−2

1.80× 10−2 4.22× 10−2 1.04× 10−2

Cuadro 3.2: Ecuacion de Burgers no viscosa con onda de rarefaccion. Comporta-miento del error en las normas 1 y 2, a tiempos t = 0.5 y t = 10 unidades.

Notar que en la aproximacion obtenida por el metodo Switch no aparece un”falso choque”, ver figura 3.1, tambien presente en otros esquemas tales como el


Godunov de orden 1 y algunos limitadores de flujo, en particular los metodosSuperbee, Quick y Umist (con base Godunov-LW2), los cuales tambien presentanoscilaciones falsas que empeoran a tiempos largos, detalles en [52].

Ley de conservacion con flujo discontinuo

Ahora se considera la siguiente ley de conservacion no lineal

ut + f(x, u)x = 0, (3.43)

con flujo fısico definido por

f(x, u) =

1

2u2 si x ≤ 1,

u2 si x > 1.(3.44)

Con condicion inicial u0(x) = 1, y condiciones de frontera u(0, ·) = 1, u(2.5, ·) =1. La solucion para la ecuacion (3.43) es

u(x, t) =

1 x ≤ 1,

1√2

1 < x < 1 +√

2t,12t(x− 1−

√2) + 1√

21 +√

2 < x < 1 + 2t,

1 x > 1 + 2t.

(3.45)

Los resultados numericos se muestran en la figura 3.7, el comportamiento delerror cuando la malla se refina, se muestra en la tabla 3.3. Se toma un intervaloespacial [0, 2.5] con 251 nodos (∆x = 0.01), un intervalo temporal [0, 0.5] con 250puntos (∆t = 0.002). El valor maximo para el CFL local es 0.4.


1.00× 10−2 6.44× 10−3 2.01× 10−2

5.00× 10−3 3.30× 10−3 1.37× 10−2

2.50× 10−3 1.68× 10−3 9.51× 10−3

1.25× 10−3 8.50× 10−4 6.62× 10−3

Cuadro 3.3: Ley de conservacion con flujo discontinuo. Comportamiento delerror en las normas 1 y 2, al tiempo t = 0.5.

Se observa que la solucion presenta dos tipos de ondas de choque, la ondaexpansiva y la onda compresiva. Los resultados mostrados en general por losmetodos limitadores de flujo y en particular por el esquema Switch son muybuenos sin falsas oscilaciones, sin retrasos ni excesiva difusion numerica.


Ecuacion de Buckley-Leverett

Mucha de la teorıa desarrollada matematica y numericamente esta pensadaen que el flujo es convexo, en parte porque las famosas ecuaciones de Euler parafluidos ideales se pueden escribir como un sistema hiperbolico con flujo convexo.Convexidad (∀uf ′′(u) > 0) o concavidad (∀uf ′′(u) < 0) garantiza una genuina nolinealidad para las ecuaciones.

Un caso importante de un flujo no convexo aparece en simulaciones de flui-dos de dos fases en la ecuacion de Buckley-Leverett, y para la cual las aproxima-ciones numericas no son tan precisas, ver [31] para mas detalles. La ecuacion deBuckley-Leverett es

ut +

(u2

u2 + 12(1− u)2

)x

= 0, (3.46)

con condicion inicial,

u0(x) =

1 if −0.5 ≤ x ≤ 0 ,

0 if 0 < x ≤ 1.5 .

Los resultados numericos se muestran en la figura 3.8, para un intervalo es-pacial [−0.2, 1.5] con 86 nodos (∆x = 0.02) y un intervalo temporal [0, 1] con 200puntos (∆t = 0.005). El valor maximo para el CFL local es 0.52.

No se tiene una solucion exacta en este caso, sin embargo utilizando el metodode las curvas caracterısticas se obtiene una solucion analıtica que se toma comoreferencia, para t = 1. Una aproximacion especialmente pobre se obtiene conel metodo Superbee y las aproximaciones mas precisas las ofrecen los metodosVan-Leer y Switch.

Ecuacion de Burgers

A continuacion se valida el metodo Switch viscoso dado en (3.13)-(3.15), con-siderando la conocida ecuacion de Burgers

ut +

(1

2u2

)x

= µuxx, (3.47)

bajo dos condiciones iniciales diferentes.

Ejemplo 1. Con condicion inicial suave

u(x, t) =2µπ sin(πx)

2 + cos(πx), (3.48)


para la cual la solucion exacta es

u(x, t) =2µπ exp(−π2µt) sin(πx)

2 + exp(−π2µt) cos(πx). (3.49)

Los resultados numericos se muestran en las figuras 3.9 y 3.10, una tabla conel comportamiento del error cuando se refina la malla se muestra en la tabla 3.4.Se toma un intervalo espacial [0, 1] con 61 nodos (∆x = 0.0167), y se trabajan losintervalos temporales [0, 1] y [0, 10] con 75 y 750 puntos, respectivamente, es decir∆t = 0.0133. El valor maximo del CFL local es 0.029 en ambos casos.


1.00× 10−2 2.78× 10−8 5.48× 10−8

5.00× 10−3 1.17× 10−8 2.35× 10−8

2.50× 10−3 4.42× 10−9 9.89× 10−9

1.25× 10−3 2.13× 10−9 5.33× 10−9


1.00× 10−2 1.25× 10−5 3.03× 10−5

5.00× 10−3 0.66× 10−5 1.62× 10−5

2.50× 10−3 7.12× 10−6 9.38× 10−6

1.25× 10−3 3.02× 10−6 3.31× 10−6

Cuadro 3.4: Ecuacion de Burgers con condicion inicial suave con µ = 0.01. Com-portamiento del error en las normas 1 y 2, a tiempos t = 10−3 y t = 5 unidades.

Notar aquı que la aproximacion Switch viscoso no deja de ser buena paratiempos largos como ocurre en otros metodos de orden 1.

Ejemplo 2. Con condicion inicial discontinua

u0(x) =

−2 si x ≤ 0,

2 si x > 0,(3.50)

la solucion exacta para la ecuacion de Burgers es

u(x, t) = 2G(x, t)−G(−x, t)G(x, t) +G(−x, t)

(3.51)

donde

G(x, t) =1

2et−xµ erfc

(x− 2t

2√µt

),


con la funcion de error complementaria erfc(x) = 1− erf(x) y

erf(x) =2√π

ˆ x

0e−t

2dt.

Las condiciones de frontera u(−1, 0) y u(1, 0) se toman de la funcion (3.51). Con-siderando la siguiente aproximacion asintotica para la funcion error

erf(x) ≈ sng(x)

√√√√1− exp

(−x2

4π + ax2

1 + ax2

),

donde a = 8(π−3)3π(4−π) , con un error menor que 3.5×10−4, se toma esta aproximacion

como la solucion de referencia para la comparacion.Los resultados numericos se muestran en la figura 3.11 y una tabla del com-

portamiento del error cuando la malla se refina, se muestra en el cuadro 3.5. Setoma un intervalo espacial [−1, 1] con 61 nodos (∆x = 0.033), y el intervalo tem-poral [0, 1.0] con 160 puntos, es decir ∆t = 0.03. El valor maximo del CFL local esde 0.69.


1.33× 10−2 1.72× 10−2 1.42× 10−2

1.66× 10−2 8.63× 10−3 7.05× 10−3

8.33× 10−3 4.31× 10−3 3.51× 10−3

Cuadro 3.5: Ecuacion de Burgers con condicion inicial discontinua y µ = 0.01.Comportamiento del error en las normas 1 y 2 a tiempo t = 1 unidades.

Notar que el metodo Switch viscoso mejora los resultados obtenidos por losotros esquemas limitadores de flujo en particular para la norma 2.

3.6.2. Resultados numericos 2D

Ecuacion de adveccion lineal con condicion inicial discontinua

Se considera el metodo Switch bidimensional desarrollado en la seccion 3.5para la ecuacion lineal

ut + ux + uy = 0, (x, y) ∈ [0, 2]× [0, 2], (3.52)

con condicion inicial

u0(x, y) =

1 si |x− 0.5| < 0.5 y |y − 0.5| < 0.5,0 en otro caso.


Los resultados numericos y errores se muestran en la figura 3.12, una tablapara el comportamiento del error cuando se refina la malla, se muestra en elcuadro 3.6. Se toma un intervalo espacial [0, 2]2 con 120× 120 nodos (∆x = ∆y =0.0167) y uno temporal [0, 0.5] con 80 pasos (∆t = 0.0063). El valor maximo delCFL local es 0.75.

# Nodos Error L1 Error L2

202 3.77× 10−1 3.38× 10−1

402 2.58× 10−1 2.78× 10−1

802 1.79× 10−1 2.34× 10−1

Cuadro 3.6: Ecuacion de adveccion lineal 2D con condicion inicial discontinua.Comportamiento del error en las normas 1 y 2, al tiempo t = 0.5 unidades.

En este ejemplo, para todos los esquemas analizados la difusion numericacrece en entornos cercanos a las discontinuidades.

Para tener una idea del tiempo de calculo de nuestro esquema comparadocon ciertos limitadores de flujo mas usuales se presenta la tabla 3.7 en la que sepuede comparar el tiempo computacional de cada metodo. En el caso 1 se tomaun mallado con 1002 nodos y 200 pasos de tiempo, y en el caso 2 un mallado de2002 nodos con 400 pasos de tiempo. La PC utilizada tiene 2 cores a 2GH y 4 GBof RAM. Notar que, comparado con los otros limitadores de flujo, el esquemaSwitch es un tanto mas rapido, lo cual es significativo en problemas donde esnecesario un refinamiento considerable de la malla y al trabajar en problemastridimensionales.

# Esquema Tiempo(seg) caso 1 Tiempo(seg) caso 2GODUNOV 3.1 27.6LW2 2.3 18.5UPWIND 2.6 22.9NEW 6.0 48.7VAN-LEER 6.9 62.5VAN-ALBADA 7.0 63.2MIN-MOD 6.6 54.8SUPERBEE 6.8 62.2SWEBY 6.7 63.6QUICK 6.7 66.6UMIST 6.9 73.4

Cuadro 3.7: Tiempos de calculo de varios esquemas para la ecuacion de advec-cion lineal 2D.


Ecuacion de Burgers

Finalmente se analiza el metodo Switch viscoso 2D para el problema no lineal

ut +(1

2u− µux

)x

+(1

2u− µuy

)y

= 0, (x, y) ∈ [−1, 1]× [−1, 1], (3.53)

con condicion inicial

u0(x, y) = (1 + exp((x+ y)/(2µ)))−1 . (3.54)

La solucion exacta para este problema es

u(x, y, t) = (1 + exp((x+ y − t)/(2µ)))−1 (3.55)

Las condiciones en la frontera se calculan a partir de la solucion.

Graficas para los resultados numericos y errores se muestran en la figura 3.13para viscosidad y µ = 0.001. Una tabla para el comportamiento del error cuan-do se refina la malla, se muestra en el cuadro 3.8. Se toma un intervalo espacial[−1, 1]2 con 50 × 50 nodos (∆ = x∆y = 0.02) y un intervalo temporal [0, 0.5] con280 pasos (∆t = 0.0018). El valor maximo del CFL local es 0.1623.

# Nodos Error L1 Error L2

202 1.29× 10−2 3.53× 10−2

402 3.21× 10−4 5.86× 10−4

802 8.55× 10−5 1.54× 10−4

Cuadro 3.8: Ecuacion 2D de Burgers con viscosidad µ = 0.1. Condicion inicialsuave. Comportamiento del error en las normas 1 y 2 al tiempo t = 0.5 unidades.

De nuevo, todos los metodos obtienen buenas aproximaciones a excepciondel metodo FORWE.


3.6.3. Graficas comparativas y de errores

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

u

x

SWITCH

ANALYTIC

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

MON-SWITCH SWITCH FORWE VAN-LEER MIN-MOD SUPERBEE QUICKE

rro

r o

f u

NORM 1

NORM 2

Figura 3.3: Resultados para la ecuacion de Burgers 1D no viscosa con onda dechoque al tiempo t = 1.0.

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

14.6 14.8 15 15.2 15.4

u

x

SWITCH

ANALYTIC

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

MON-SWITCH SWITCH FORWE VAN-LEER MIN-MOD SUPERBEE QUICK

Err

or

of

u

NORM 1

NORM 2

Figura 3.4: Resultados para la ecuacion de Burgers 1D no viscosa con onda dechoque al tiempo t = 10.0


-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.5 1 1.5 2

u

x

SWITCH

ANALYTIC

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05


Err

or

of

u

NORM 1

NORM 2

Figura 3.5: Resultados para la ecuacion de Burgers 1D no viscosa con onda derarefaccion al tiempo t = 0.5

-1

-0.5

0

0.5

1

-10 -5 0 5 10

u

x

SWITCH

ANALYTIC

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Err

or

of

u

NORM 1

NORM 2

Figura 3.6: Resultados para la ecuacion de Burgers 1D no viscosa con onda derarefaccion al tiempo t = 10.0


0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2

u

x

SWITCH

ANALYTIC

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035


Err

or

of

u

NORM 1

NORM 2

Figura 3.7: Resultados para la ley de conservacion 1D con flujo discontinuo altiempo t = 0.5.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

u

x

SWITCH

ANALYTIC

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7


Err

or

of

u

NORM 1

NORM 2

Figura 3.8: Resultados para la ecuacion de Buckley-Leverett 1D al tiempo t = 1.


0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

u

x

SWITCH

ANALYTIC

0

5e-06

1e-05

1.5e-05

2e-05

2.5e-05

3e-05

SWITCH FORWE VAN-LEER MIN-MOD SUPERBEE QUICK

Err

or

of

u

NORM 1

NORM 2

Figura 3.9: Resultados para la ecuacion de Burgers 1D con condicion inicial con-tinua con µ = 0.01 al tiempo t = 1.

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

u

x

SWITCH

ANALYTIC

0

5e-06

1e-05

1.5e-05

2e-05

2.5e-05

3e-05

3.5e-05


Err

or

of

u

NORM 1

NORM 2

Figura 3.10: Resultados para la ecuacion de Burgers 1D con condicion inicial con-tinua con µ = 0.01 al tiempo t = 10.


-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-1 -0.5 0 0.5 1

u

x

SWITCH

ANALYTIC

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2


Err

or

of

u

NORM 1

NORM 2

Figura 3.11: Resultados para la ecuacion de Burgers 1D con condicion inicial dis-continua con µ = 0.01 al tiempo t = 1.0.

SWITCH

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2x 0

0.2 0.4

0.6 0.8

1 1.2

1.4 1.6

1.8 2

y

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

u

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3


Err

or

of

u

NORM 1

NORM 2

Figura 3.12: Resultados para la ecuacion de adveccion lineal 2D al tiempo t =0.5u.


SWITCH

0 0.2

0.4 0.6

0.8 1

x 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

u

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025


Err

or

of

u

NORM 1

NORM 2

Figura 3.13: Resultados para ecuacion de Burgers 2D con µ = 0.001 al tiempot = 0.5.

Capıtulo 4

Ecuaciones de Navier-Stokes y sutratamiento numerico

El siguiente paso en este trabajo es aplicar el nuevo metodo limitador de flujoa las herramientas computacionales de dinamica de fluidos incompresibles, lascuales resuelven numericamente las ecuaciones de Navier-Stokes. La adaptaciondel metodo Switch se realiza en el siguiente capıtulo, pero antes, en este se pre-senta la deduccion de las ecuaciones de Navier-Stokes y se revisan algunas delas estrategias mas conocidas para encontrar soluciones numericas a las mismas.En particular, se examina con mayor detenimiento el metodo SIMPLE propuestopor Patankar [40] en 1983, el cual cuenta con gran aceptacion en el campo CFDpor sus buenos resultados obtenidos. Por esta razon, la formulacion SIMPLE es laempleada para adaptar el metodo Switch a la resolucion del sistema de Navier-Stokes.

4.1. Medios continuos

La mecanica de medios continuos es la ciencia que estudia el movimientode los fluidos (gases y lıquidos), teniendo en cuenta las fuerzas que lo provo-can, y las interacciones entre el fluido y el contorno que lo limita. La hipotesisfundamental de esta area de estudio es considerar que el fluido es continuo a lolargo del espacio que ocupa, ignorando su estructura molecular, por lo que semueve con velocidad macroscopica (la cual es el promedio de la velocidad de laspartıculas que lo forman).

Existen dos formas de describir el movimiento de un fluido, ası como suspropiedades (velocidad, densidad, temperatura, etc.):

Formulacion Lagrangiana. Se basa en seguir a cada partıcula fluida en su

67

68 4. Ecuaciones de Navier-Stokes y su tratamiento numerico

movimiento, de manera que las propiedades de la partıcula fluida vienendeterminadas por la funcion trayectoria.

Formulacion Euleriana. Las propiedades se miden en un punto fijo del es-pacio sin importar que en ese instante, la partıcula fluida ocupa ese lugar.

En esta seccion se revisan los conceptos elementales para el estudio de medioscontinuos y se deducen las ecuaciones de Navier-Stokes en su forma incompre-sible a partir de los principios de conservacion dados en el capıtulo 1. Para unestudio mas completo de las mismas se pueden consultar [41], [47], [44] y [11]

4.1.1. Conceptos preliminares

Se considera un dominio espacial B ⊂ R3 cuya frontera es suave a trozos1, alcual se nombra configuracion de referencia o configuracion inicial. A los puntosde B, denotados por X = (X1, X2, X3), se denominan puntos materiales. Unaconfiguracion o deformacion2 de B es una funcion inyectiva diferenciable coninversa tambien diferenciable

φ : B → R3,

cuyo Jacobiano Jφ es siempre positivo (preserva orientacion). Sea I = [0, tfin) ⊂R, tfin > 0, un movimiento de B es una funcion continua

Φ : B × I → R3,

tal que, para cada t ∈ I , la funcion

Φt : B → R3

X 7→ Φ(X, t)

es una deformacion con Φ0 la funcion identidad. Los puntos en Bt = Φt[B] (laimagen de Φt), denotados por x(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = Φt(X), se nombranpuntos espaciales, tales puntos definen trayectorias llamadas lıneas de flujo.

Sea f = f(X, t) con X ∈ B, una funcion escalar o vectorial, por ejemplodensidad, temperatura, velocidad, fuerza, etc., se dice que esta representada encoordenadas materiales o lagrangianas. Por otro lado, si se expresa f(x, t) conx ∈ Bt, se dice que esta representada en coordenadas eulerianas. El cambio entretales coordenadas lo dicta la configuracion Φt. Por ejemplo, la velocidad para unpunto material X (coordenadas lagragianas) se define como

v(X, t) = (∂/∂t)Φ(X, t). (4.1)1Una superficie suave a trozos es la union finita de superficies en cuyo interior la normal existe

y no es cero.2En particular una configuracion φ es un cambio de coordenadas entre los espacios B y φ[B].

4.1. Medios continuos 69

En terminos de (x, t) (coordenadas eulerianas) tal velocidad se escribe

v(x, t) = v(Φ(X, t), t) := v(X, t). (4.2)

Calculando ∂v∂t mediante la regla de la cadena para X ∈ B fijo, x = Φ(X, t) y

(∂/∂t)xj = vj = vj se tiene

∂v

∂t=∂v

∂t+

3∑j=1

∂v

∂xj∂xj

∂t=∂v

∂t+

3∑j=1

vj∂

∂xj

v =∂v

∂t+ (v · ∇)v.

La relacion anterior se puede obtener para cualquier cantidad, no solo para lavelocidad v. A la derivada anterior donde se considero X fijo, se le llama deriva-da material y usualmente se denota por D

Dt , y se tiene el siguente operador

D

Dt:=

∂

∂t+ (v · ∇). (4.3)

La derivada material relaciona la variacion temporal para una cierta cantidaden los dos sistemas de referencia, Lagrangiano y Euleriano. El termino v ·∇ se de-nomina termino convectivo y denota transporte o desplazamiento de la cantidaden estudio.

4.1.2. Cantidades conservadas

Un teorema esencial para formular las ecuaciones de Navir-Stokes es el teore-ma de transporte de Reynolds (ver [36]) o tambien teorema de transporte de Leibniz-Reynolds, ya que resulta una generalizacion a tres dimensiones de la regla deLeibniz para integrales en una dimension.

Teorema 4.1 Transporte de Reynolds Sea U ⊂ B abierto con frontera suave a trozos,tambien Ut = Φt[U ] y x = Φt(X). Sea f = f(x, t) una funcion de clase C1 definida enla region Ut, entonces

d

dt

Ûtf(x, t)dV =

Û

[d

dtf(X, t) + f(X, t)∇ · V (X, t)

]Jφ dV

=

Ût

∂

∂tf(x, t) + f(x, t)(∇ · V (x, t)) dV

=

Ût

∂

∂tf(x, t)dV +

ˆ∂Ut

(V · n)f(x, t) dA.

donde dV y dA son elementos de area y volumen respectivamente, V es la velocidad delelemento de area dA y Jφ es el determinante de la matriz jacobiana de la transformacionφ : U → Ut.


A continuacion se aplica este resultado a las leyes de conservacion de la masay del momento lineal:

Conservacion de la masa. Para cada t, sea ρ(x, t) ∈ C(Ut × I) la densidaddel cuerpo deformado Bt. Considerar que la masa se conserva se traduceformalmente a ˆ

Uρ(X, 0)dX =

Ûtρ(x, t)dx,

con x = Φt(X). Entonces, si J(X, t) es el jacobiano de la configuracion Φt,usando el teorema 4.1,

0 =d

dt

Ûρ(X, 0)dX =

d

dt

Ûtρ(x, t)dx

=

Û

[d

dtρ(Φt(X), t) + ρ(Φt(X), t)∇ · V (X, t)

]J(X, t) dX,

La anterior ecuacion es cierta para cada U ⊂ B, por lo tanto el integrandoes cero. Teniendo en cuenta que el jacobiano J(X, t) es siempre mayor quecero, que x = Φt(X) y V (X, t) = v(x, t), entonces

Conservacion de la masa

forma Lagrangiana

Dρ

Dt+ρ∇·v = 0.

(4.4)Como Dρ

Dt = ∂∂tρ+ (v · ∇)ρ, entonces (4.4) se reescribe


forma Euleriana

∂ρ

∂t+ρ∇·v = 0.

(4.5)

Si ρ es constante se dice que Bt (t ∈ I) es incompresible y las ecuacionesanteriores se reducen a


forma incompresible∇·v = 0.

(4.6)

Conservacion del momento lineal. De la segunda ley de Newton se sabeque, la variacion de la cantidad de momento lineal en Ut es igual a la sumade todas las fuerzas que actuan sobre Ut. Para Bt un cuerpo deformado seconsideran tres tipos de fuerza presentes:

1. Fuerzas de volumen son funciones vectoriales

f : Ut × I → R3,


proporcionales a la masa del fluido y normalmente tienen unidadesde aceleracion3. Algunos ejemplos son las fuerzas de gravedad, elec-tromagneticas, nucleares y quımicas.

2. Fuerzas superficiales o de contacto son funciones vectoriales

ts : ∂Ut × I → R3,

cuyas unidades son fuerza por unidad de area, tales fuerzas se impo-nen sobre el medio a traves de su superficie (por ejemplo presion). Lafuerza resultante que actua a traves de la superficie es

´∂Ut t

s(x, t)ds.

A las fuerzas f y ts se las denomina la carga del sistema.

3. Fuerzas internas o de continuidad son de la forma

ti : Ut × I × S1 → R3, S1 = y ∈ R3 : |y| = 1,

y representan caracterısticas como la rigidez y viscosidad del cuerpomaterial. Se ejercen entre las partıculas internas y mantienen la ”con-tinuidad” del movimiento. Al tomar un trozo de goma y al intentardeformarlo un poco, ejerciendo sobre su superficie algo de presion. Lapresion se ”propaga” sobre el cuerpo de tal forma que, para un corteplano arbitrario, sobre la superficie del corte existen fuerzas. Para talplano, fijado un punto x0 en su interior, el vector de tension en x0 sedefine como el lımite siguiente (cuando existe)

lım∆S→x0

∆F

∆S,

donde ∆S es un elemento de superficie contenida en el plano que pasapor x con normal unitaria n y ∆F es la resultante de las fuerzas en ∆S.El campo vectorial ti esta dado por vectores de tension de la siguientemanera

ti(x, t, n) = lım∆S→x

∆F (x, t)

∆S.

La situacion se ilustra en la figura 4.1.

3Otra opcion es considerar fuerza con unidades de fuerza por unidad de volumen, de ahı elnombre, y en este caso la fuerza total sobre Ut sera

´Utf(x, t)dx.


Figura 4.1: Fuerzas externas e internas en un fluido.

La cantidad total de fuerzas internas en Ut esÛtti(x, t, n)dx =

ˆ∂Ut

ti(x, t, n)dx,

pues las fuerzas en el interior se cancelan debido a la tercera ley deNewton. Ademas, por definicion de ti, se tiene que ts = ti en ∂Ut.

Por lo que el principio integral para la conservacion del momento lineal es

d

dt

Ûtρ(x, t)v(x, t)dx =

Ûtρ(x, t)f(x, t)dx+

ˆ∂Ut

ti(x, t, n)ds. (4.7)

Para poder aplicar el teorema de la divergencia a la integral definida en la fron-tera en (4.7) es necesario el siguiente teorema.

Teorema 4.2 (Tensor de tensiones) Para el campo vectorial ti definido arriba, existeun campo tesorial nombrado tensor de tensiones

T : U t × I → R3×3,

tal que,∀x ∈ Bt, t ∈ I, n ∈ S1, ti(x, t, n) = T (x, t)n.

Ahora, aplicando el teorema de Cauchy y el teorema de la divergencia paramatrices se reescribe (4.7) como

d

dt

Ûtρ(x, t)v(x, t)dx =

Ûtρ(x, t)f(x, t) +∇ · T (x, t) dx. (4.8)

donde [∇·T ]i =∑3

j=1 ∂Tij/∂xj . Ademas, de la ley de conservacion del momento

angular se tiene que la matriz T es simetrica (ver [7], [1]).


Utilizando nuevamente el teorema de transporte de Reynolds en (4.8) se ob-tiene

Conservacion del momentum

forma Lagrangiana

Dρv

Dt+ρ(∇·v)v = ρf+∇·T.

(4.9)Como Dρv

Dt = ∂∂t(ρv) + (v · ∇)(ρv), donde el i-esimo componente (i = 1, 2, 3) del

termino convectivo (v · ∇)(ρv) es

[(v · ∇)(ρv)

]i

=

3∑j=1

vj∂ρvi

∂xj.

Ademas [ρ(∇ · v)v

]i

= ρ

3∑j=1

∂vj

∂xj

vi =3∑j=1

ρvi∂vj

∂xj.

Entonces

[(v · ∇)(ρv) + ρ(∇ · v)v

]i

=3∑j=1

∂

∂xj(ρvivj) = [∇ · (ρv ⊗ v)]i,

donde v ⊗ v es la matriz de componentes vivj , i, j = 1, 2, 3. Por lo que (4.9) sereescribe como


forma Euleriana∂t(ρv) +∇ · (ρv ⊗ v − T ) = ρf.

(4.10)Si Bt es incompresible (ρ constante), entonces∇ · v = 0, de (4.9) y (4.10) se tiene


forma incompresible Lagrangiana

Dv

Dt= f +

1

ρ∇ · T.

(4.11)


forma incompresible Euleriana∂tv+(v ·∇)v = f+

1

ρ∇·T.

(4.12)En esta tesis se trabaja con la formulacion euleriana.


4.1.3. Clasificacion de los fluidos

La forma del tensor T define el tipo de fluido, para distintos tipos de flui-dos se proponen distintas relaciones entre T y las cantidades cinematicas, a talesrelaciones se les llama leyes constitutivas o leyes de comportamiento. La par-te de la fısica que estudia las relaciones entre el esfuerzo y la deformacion es lareologıa, la cual sustentada en hechos experimentales propone relaciones entrelos esfuerzos (en este caso T ) y las cantidades cinematicas.

El supuesto mas general del que se parte para construir las relaciones consti-tutivas es que el tensor T sea de la forma

T = −p(x, t)I3 + Θ(∇v(x, t)),

donde I3 es la matriz identidad, Θ : R3×3 → R3×3 es cualquier funcion quedepende de ∇v = (∂vk/∂xl)k,l=1,2,3 y p(x, t) es la presion interna y una variableesencial en la dinamica de un fluido. como lo es la velocidad v y la densidad ρ,

Fluidos perfectos. Tambien conocidos como fluidos no viscosos o invısci-dos, cuando Θ = 0, en este caso las ecuaciones de Navier-Stokes se reducena las ecuaciones de Euler, propuestas en el capıtulo 1.

Fluidos Newtonianos. Suponen que Θ es lineal, es decir, cada componentede T es una funcion lineal de la matriz∇v, se tiene

T ij = −pδij +

3∑k=1

3∑l=1

aijkl∂vk

∂xl,

siendo δij la delta de Kronecker, con 34 = 81 (no mas de 54 distintas por lasimetrıa) aijkl constantes reales.

Fluidos no-Newtonianos. Cuando Θ es no lineal, las ecuaciones resultan-tes modelan fluidos fuertemente viscosos. Por ejemplo la miel, la pasta dedientes y el aceite.

Fluidos homogeneos e isotropico. Un fluido es homogeneo e isotropicosi las relaciones entre T y las cantidades cinematicas no dependen de laposicion, de la direccion ni del tiempo.

En este trabajo se consideran fluidos Newtonianos, homogeneos e isotropicos.


4.1.4. Ecuaciones de Navier-Stokes para fluidos Newtonianos, incom-presibles, homogeneos e isotropicos

Si Θ es una funcion lineal entonces T es de la forma

T ij = −pδij +3∑

k=1

3∑l=1

aijkl∂vk

∂xl,

Las condiciones de homogeneidad e isotropıa simplifican el ultimo sumando dela ecuacion anterior a tal grado que solo son necesarias dos constantes (λ y µ)para representar dicho sumando (ver [7]), en este caso el tensor T se escribe

T = −PI3 + λ(∇ · v)I3 + 2µD, (4.13)

con P = p/ρ y

D =∇v + (∇v)T

2. (4.14)

A continuacion se reescribe el termino, ∇ · T , en la ecuacion del momento linealteniendo en cuenta las caracterısticas del fluido. Realizando los siguientes calcu-los

∇ · (PI3) = ∇ · [Pδij ]ij =

3∑j=1

∂

∂xj(Pδij)

i

=

[∂

∂xiP

]i

= ∇P, (4.15)

∇ ·(

(∇ · v)I3

)= ∇ ·

[3∑

k=1

∂vk∂xk

δij

]ij

=

3∑j=1

∂

∂xj

3∑k=1

∂vk∂xk

δij

i

,

=

[∂

∂xi

3∑k=1

∂vk∂xk

]i

= ∇(∇ · v),

(4.16)

∇ · (∇v) = ∇ ·[∂vi∂xj

]ij

=

3∑j=1

∂2vi∂x2

j

i

= ∆v, (4.17)

∇ · (∇v)T = ∇ ·[∂vj∂xi

]ij

=

3∑j=1

∂

∂xj

∂

∂xivj

i

=

[∂

∂xi∇ · v

]i

= ∇(∇ · v), (4.18)

y dado que∇ · v = 0 (fluido es incompresible), se llega a que


∇ · T = −∇P + µ∆v. (4.19)

Con esto ya se pueden escribir las ecuaciones de Navier-Stokes para fluidos New-tonianos, incompresibles, homogeneos e isotropicos en su formulacion euleriana

vt + (v · ∇)v = −∇p+ ν∆v + f.

∇ · v = 0.(4.20)

donde v es el vector de velocidad, p es la presion, ν es la viscocidad (ν = µ/ρ)y f son las fuerzas externas. Los terminos vt y (v · ∇)v son terminos de acele-racion, al segundo se le suele llamar aceleracion convectiva. Los terminos dellado derecho −∇p, ν∆v y f son los terminos de las fuerzas de: presion, visco-sas y volumen, respectivamente. Resultados sobre existencia y unicidad de lasecuaciones de Navier-Stokes, se pueden consultar [48], [47], [11], [29] y [21].

En adelante se supone que nuestro fluido es Newtoniano, incompresible, ho-mogeneo e isotropico. Se omite las palabras Newtoniano, homogeneo e isotropo,dira simplemente fluido incompresible, queriendo decir todo lo anterior.

4.2. Tratamiento numerico de las ecuaciones para fluidosincompresibles

En esta seccion se revisan, sin profundizar, cuatro de las estrategias mas usua-les a la hora de abordar el estudio numerico de las ecuaciones de Navier-Stokesen su forma incompresible.

4.2.1. Formulacion con funciones de corriente y vorticidad

Introduciendo el campo escalar de vorticidades, ω = vx − uy, y la funcionde corriente ψ tal que u = ψy, v = −ψx, en (4.20), el sistema para el caso 2D sereescribe como

ωt + (uω)x + (vω)y = ν∇2ω.

La cual se nombra ecuacion de transporte de vorticidades. La vorticidad y lafuncion de corriente se relacionan por medio de la ecuacion de Poisson

∇2p = −ψ.

Es raro encontrar que un software CFD que utilice la anterior formulacion de-bido a los problemas que se generan en las condiciones de frontera. Para conocermas detalles de esta formulacion se pueden consultar [7] y [13].

4.2. Tratamiento numerico de las ecuaciones para fluidos incompresibles 77

4.2.2. Compresibilidad artificial

Se modifica la ecuacion de continuidad introduciendo compresion artificialcomo sigue

1

c2pt + ux + vy = 0.

Bajo esta relacion las ecuaciones (4.20) se pueden escribir como la siguiente leyde conservacion con fuente

Ut + F (U)x +G(U)y = S(U),

donde

U =

puv

, F =

c2uu2 + puv

, G =

c2vuv

v2 + p

,y

S =

0ν(uxx + uyy)ν(vxx + vyy)

.El sistema anterior aproxima bien solo el estado estacionario, Ut = 0, exten-

siones al caso no estacionario requiere una formulacion mas compleja. Para mesdestalles de esta metodologıa consultar [50] y [6].

4.2.3. Metodos de correccion de presion con tecnicas de particion deoperadores

Aplicando la tecnica de particion de operadores [56], se descompone el siste-ma (4.20) en dos ecuaciones

ut + (~u · ∇)~u = ν∇2~u+ ~f,

ut = −∇p.

A continuacion se presentan dos versiones para la resolucion numerica del nuevosistema. La primera metodologıa sigue los siguientes pasos

1. Prediccion Advectiva-Difusiva ~un → ~u∗∗

Se calcula u∗∗ para el campo de velocidades mediante la siguiente ecuacionexplıcita

~u∗∗ − ~un

∆t+ (~un · ∇)~un = ν∇2~un + ~fn. (4.21)


2. Correccion-PresionSustituyendo la velocidad u∗∗ en la ecuacion anterior se tiene

~un+1 − ~u∗∗

∆t= −∇pn+1,

en general, la velocidad u∗∗ no satisface la ecuacion de continuidad, paracorregirla se impone,∇ · ~un+1 = 0, en la ecuacion anterior obteniendo

∇2pn+1 =1

∆t∇ · ~u∗∗.

La anterior se conoce como ecuacion de correcion de presiones o ecuacionPoisson de la presion.

3. Correccion-Velocidad ~u∗∗ → un+1

De la primera ecuacion del paso anterior se tiene

~un+1 = ~u∗∗ −∆t∇pn+1,

el termino ∆t∇pn+1 corrige al campo de velocidades u∗∗, ahora un+1 satis-face la ecuacion de continuidad.

El proceso anterior enfatiza la correcion del campo de velocidades olvidandoal campo de presiones, un problema del proceso anterior es la falta del gradientede presiones en la ecuacion (4.21). La siguiente metodologıa mejora esta situacional incluir a p desde el inicio.

1. Prediccion Adveccion-Difusion ~un → ~u∗

Se agrega −∇pn en (4.21)

~u∗ − ~un

∆t+ (~un · ∇)~un = −∇pn + ν∇2~un + ~fn.

2. Correccion-PresionY la ecuacion de presion dada por la descomposicion de operadores se dis-cretiza como sigue

~un+1 − ~u∗

∆t= −∇(pn+1 − pn),

de igual forma que en la tecnica anterior, se impone∇ · ~un+1 = 0, entonces

∇2(pn+1 − pn) =1

∆t∇ · ~u∗∗.


3. Correccion-Velocidad ~u∗ → un+1

De la primera ecuacion del paso anterior, se obtiene la velocidad para elpaso siguiente de tiempo

~un+1 = ~u∗ −∆t∇(pn+1 − pn).

Para conocer mas detalles del metodo consultar [40, 10, 54, 12].

4.2.4. Metodos de correccion de presion con tecnicas tipo SIMPLE

Las tecnicas de tipo SIMPLE [40] son ampliamente utilizadas en CFD. Su me-todologıa es sencilla y se obtienen en general buenos resultados en un ampliorango de problemas CFD. SIMPLE es la abreviacion de Semi-Implicit for Pressure-Linked Equations, es un proceso iterativo donde se hacen correcciones a los cam-pos de velocidades y presion, empleando una ecuacion de tipo Poisson para lapresion, la cual se obtiene al considerar la ecuacion de continuidad como una res-triccion para las ecuaciones de momento. Esta tecnica es la que se emplea para laaplicacion del metodo SWITCH a CFD, su descripcion con detalle se preseta enla siguiente seccion.

4.2.5. Metodo SIMPLE

Se describe la idea del metodo SIMPLE siguiendo el trabajo de Patankar [40],para las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles en dos dimensiones,

ut +∇ · (u~u) = ∇ · (ν∇u)− px, (4.22)vt +∇ · (v~u) = ∇ · (ν∇v)− py, (4.23)∇ · ~u = 0, (4.24)

con ~u = (u, v) el vector de velocidades y ν la viscocidad cinematica.El primer paso es proponer un campo de presiones p∗ (por ejemplo, se pue-

de tomar pn) y semidiscretizar las ecuaciones (4.22) y (4.23) de manera lineal eimplıcita

u∗ − un

∆t+∇ · (u∗~un) = ∇ · (ν∇u∗)− p∗x, (4.25)

v∗ − vn

∆t+∇ · (v∗~un) = ∇ · (ν∇v∗)− p∗y. (4.26)

De la ecuacion anterior se calcula el campo de velocidades ~u∗ = (u∗, v∗). El campo~u∗ no necesariamente cumple la ecuacion de continuidad, por lo que se supone


que las variables u∗, v∗ y p∗ requieren correcciones u′, v′ y p′ respectivamente,entonces

un+1 = u∗ + u′, (4.27)vn+1 = v∗ + v′, (4.28)pn+1 = p∗ + p′. (4.29)

se impone la condicion de continuidad a las ecuaciones anteriores, es decir, sepide que∇ · ~un+1 := un+1

x + vn+1y = 0, lo cual implica

u′x + v′y = −(u∗x + v∗y). (4.30)

Ahora, se considera un esquema lineal e implıcito para las ecuaciones (4.22)y (4.23) como sigue

un+1 − un

∆t+∇ · (un+1~un) = ∇ · (ν∇un+1)− pn+1

x , (4.31)

vn+1 − vn

∆t+∇ · (vn+1~un) = ∇ · (ν∇vn+1)− pn+1

y , . (4.32)

Restando las ecuaciones lineales (4.31)-(4.22) y (4.32)-(4.23), y teniendo en cuentalas ecuaciones de correcion (4.27-4.29) se obtiene

1

∆tu′ +∇ · (u′~un) = ∇ · (ν∇u′)− p′x, (4.33)

1

∆tv′ +∇ · (v′~un) = ∇ · (ν∇v′)− p′y. (4.34)

El paso clave del metodo SIMPLE es desestimar la contribucion de los terminoscon derivadas espaciales: ∇ · (u′~un), ∇ · (ν∇u′), ∇ · (v′~un) y ∇ · (ν∇v′). Con ello,de (4.33) y(4.33) se tienen las siguientes ecuaciones de correcion

u′ = −(∆t)p′x, (4.35)v′ = −(∆t)p′y. (4.36)

De modo que las variables corregidas son

un+1 = u∗ − (∆t)p′x, (4.37)vn+1 = v∗ − (∆t)p′y. (4.38)

Ahora, derivando (4.35) con respecto de x y (4.36) con respecto de y, se sustutu-yen en (4.30) y se llega a

∇ · ∇p′ = 1

∆t∇ · ~u∗. (4.39)


La anterior ecuacion de Poisson para p′ es la ecuacion presion-correccion, similara las que aparecen en las tecnicas de particion de operadores de la seccion ante-rior. Al obtener p′ de (4.39), y sustituyendo su valor en (4.29), se tiene la variablecorregida.

Hasta este punto tenemos un+1 y vn+1 los cuales, por construccion satisfacenla ecuacion de continuidad, pero no necesariamente las variables un+1, vn+1 ypn+1 satisfacen las ecuaciones de momento (4.22) y (4.23). De manera que si losresiduales4

r1 :=

∣∣∣∣un+1 − un

∆t+∇ · (un+1~un)−∇ · (ν∇un+1) + pn+1

x

∣∣∣∣ , (4.40)

r2 :=

∣∣∣∣vn+1 − vn

∆t+∇ · (vn+1~un)−∇ · (ν∇vn+1) + pn+1

y

∣∣∣∣ , (4.41)

no son lo suficientemente pequenos, se repite el proceso haciendo

p∗ = pn+1.

En resumen, el metodo SIMPLE consiste de los siguiente pasos:

1. Proponer un campo de presiones p∗.

2. Resolver las ecuaciones de momento (con p = p∗) para obtener las veloci-dades u∗ y v∗.

3. Resolver la ecuacion de Poisson para p′.

4. Corregir los campos de velocidad y de presion, para obtener un+1, vn+1 ypn+1.

5. Parar si se alcanza el criterio de convergencia, de otro modo volver al paso2 con p∗ = pn+1.

Experimentalmente se ha observado que el metodo SIMPLE, ver [40] y [54],obtiene mejor convergencia si se utiliza un factor de relajacion en las correcciones(4.27), (4.28) y (4.29) de la siguiente manera

un+1 = αu∗ + (1− α)u′ (4.42)vn+1 = αv∗ + (1− α)v′ (4.43)pn+1 = p∗ + αpp

′, (4.44)

en general se toman como, α = 0.5 y αp = 0.8, ver [40]. En este trabajo se emplea-ran estos valores.

4Tal criterio es costoso y en la practica se utilizan criterios mas sencillos, como por ejemplo:medir el tamano de las correcciones u′, v′ y p′, incluso el unico criterio podrıa ser el tamano de p′,por ser el mas difıcil de reducir.


4.2.6. Condiciones iniciales y de frontera

Una parte muy importante para la solucion, tanto continua como computacio-nal, de las ecuaciones de Navier-Stokes es la correcta incorporacion de condicio-nes iniciales y de frontera.

Sea Ω ⊂ R2 acotado, nuestro dominio de interes, entonces la condicion inicialse define como

I.C.

u(x, y, 0) = u0(x, y)

v(x, y, 0) = v0(x, y)

p(x, y, 0) = p0(x, y)

∀(x, y) ∈ Ω (4.45)

Para los problemas de aplicacion, se toman tres tipos de condicion de frontera, loscuales son: condicion de pared (wall), condicion de entrada (inlet) y condicionde salida (outlet). Respecto de las variables u, v y p, los datos conocidos en lafrontera pueden ser [40]:

1. La presion es conocida y se desconoce el campo de velocidades.

2. La componente normal de la velocidad es conocida y se desconoce la pre-sion.

Las condiciones de frontera se toman de acuerdo a [40] pag. 142, [10] pag. 123y [54] pag. 49. Para la condicion de pared se conoce directamente el campo develocidades, si la pared es fija el valor se establece a cero, si se esta deslizando seasigna la misma velocidad de deslizamiento

B.C.Wall

u(x, y, t) = uwall(x, y)

v(x, y, t) = vwall(x, y)∀t ≥ 0, ∀(x, y) ∈ ∂Ωwall. (4.46)

Para la condicion de entrada se da el valor del campo de velocidades

B.C.Inlet

u(x, y, t) = uin(x, y)

v(x, y, t) = vin(x, y)∀t ≥ 0, ∀(x, y) ∈ ∂Ωin. (4.47)

Para la condicion de salida se fija un valor para el campo de presiones

B.C.Oulet

u(x, y, t) = uout(x, y)

v(x, y, t) = vout(x, y)∀t ≥ 0, ∀(x, y) ∈ ∂Ωout. (4.48)

En el caso particular del metodo SIMPLE se tienen que tener en cuenta los si-guientes comentarios respecto a las condiciones de frontera [40]:

1. Si la presion es conocida en una parte de la frontera, p = pb, entonces setoma p∗ = pb y p′ = 0.


2. Si la velocidad es conocida en toda o una parte de la frontera, ~u = ~ub, enton-ces se toma ~u∗ = ~ub, ademas en la obtencion de la ecuacion de Poisson(4.39)para p′, los terminos con ~ub no deben aparecer.

Con todo esto, ya se tiene la estrategia para resolver las ecuaciones (4.22),(4.23) y (4.24), falta definir el esquema numerico. En el siguiente capıtulo, sedescribe la discretizacion de tipo volumen finito para cada termino que apareceen las ecuaciones (4.31), (4.32) y (4.39). A tal discretizacion se aplica el esquemaSWITCH que se construyo en el capıtulo anterior.

Para un entendimiento mayor de la discretizacion por el metodo de volu-men finito para las ecuaciones elıptica y parabolica como (4.31), (4.32) y (4.39), serecomienda consultar el apendice. Se da un ejemplo de discretizacion Upwind,ademas de los teoremas de existencia, unicidad y convergencia, tanto de las ecua-ciones continuas como las discretas.

Capıtulo 5

Aplicacion en fluidosincompresibles

El proposito de este capıtulo es aplicar el metodo limitador de flujo Switch,desarrollado en el capıtulo 3, a la metodologıa SIMPLE y mostrar su eficiencia.Para la validacion del metodo se presentan los resultados obtenidos para el pro-blema de driven cavity y se comparan con los resultados dados por Ghia et al. en[17].

Ademas el solver SIMPLE-Switch desarrollado, se aplica al problema del calcu-lo del flujo en conductos rıgidos con bifurcaciones. La complejidad computacio-nal de este problema reside en la adaptacion de la formulacion de volumen finitoa mallas no estructuradas bajo la estrategia SIMPLE.

5.1. Discretizacion y adaptacion del metodo Switch

En esta seccion se muestran las modificaciones que se hacen a un metodo devolumen finito para usarlo en mallas no estructuradas. Ademas se incorpora elesquema Switch a tal formulacion de volumen finito.

Recordando que las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles en 2D son

ut + uux + vuy + px = ν(uxx + uyy), (5.1)vt + uvx + vvy + py = ν(vxx + vyy), (5.2)

e imponiendo la ecuacion de continuidad (4.24), las ecuaciones anteriores se pue-den formular de manera general como

φt +∇ · (φ~u) = ν∇ · (∇φ) + Sφ (5.3)

85

86 5. Aplicacion en fluidos incompresibles

Figura 5.1: Mallas no estructuradas. En la malla de la izquierda las variables selocalizan en el baricentro de cada volumen (cell-centered), en la de la derecha lasvariables escalares se localizan en el baricentro miestras que las variables vecto-riales en los vertices (vertex-centered).

con ~u = (u, v), φ ∈ u, v y siendo Sφ = −px para (5.1) y Sφ = −py para 5.2.

En este trabajo se considera el fluido isotermo (cambios despreciables en latemperatura), por lo que no se incluye la ecuacion de la energıa en el sistema.Ademas el flujo se supone no turbulento, por lo que no se considera ningunametodologıa especıfica de turbulencia.

Se discretiza la ecuacion (5.3) sobre una malla 2D no estructurada, ver figura5.1, donde todas nuestras variables se guardan en el baricentro de cada volu-men (cell-centered approach), ver [54]. Se considera un volumen Ω, por ejemplo untriangulo, se integra la ecuacion (5.3) y usando el teorema de la divergencia setiene que

ˆΩφtdV +

ˆ∂Ωn · (φ~u)dA = ν

ˆ∂Ωn · (∇φ)dA+

ˆΩSφdV. (5.4)

con dV y dA los elementos de volumen y de area, respectivamente, y n la normalunitaria exterior de la frontera ∂Ω. Ademas en (5.4) se supone que ν es constante.

Para el triangulo Ω con lados σi, i = 1, 2, 3, y suponiendo φt y Sφ constantesen cada volumen, la ecuacion (5.4) se reescribe

|Ω|∂tφ+

3∑i=1

ˆσi

φn · ~udσ = ν3∑i=1

ˆσi

n · ∇φdσ +

ˆΩSφdV. (5.5)

A continuacion se presenta el tipo de discretizacion que se usa para cada unode los terminos de la ecuacion (5.5).

5.1. Discretizacion y adaptacion del metodo Switch 87

Discretizacion temporal. Para la derivada respecto del tiempo se usa unadiferencia finita adelantada, y se evaluan el resto de los terminos a tiempon+ 1 para obtener un esquema implıcito como sigue

|Ω|φn+1 − φn

∆t+

3∑i=1

ˆσi

φn+1n · ~undσ = ν

3∑i=1

ˆσi

n · ∇φn+1dσ +

ˆΩSφn+1dV.

(5.6)

Discretizacion del termino convectivo. El segundo termino del lado iz-quierdo de (5.5) se aproxima de la siguiente forma

3∑i=1

ˆσi

φn · ~u ≈3∑i=1

|σi|φi(n · ~u)i, (5.7)

con φi y Ci = |σi|(n ·~u)i aproximaciones a los valores φ y |σi|n ·~u en el puntomedio de la cara σi. No es difıl demostrar que, en general, una discretiza-cion para una integral de lınea donde se emplea el punto medio, como en(5.7), es de segundo orden. Al termino Ci se nombra flujo convectivo y seaproxima usando el siguiente promedio de los valores de la solucion

Ci ≈ |σi|ui · n, (5.8)

dondeui =

~ua + ~ub2

con ~ua y ~ub son los valores de la velocidad ~u en los nodos a y b que formanla cara σi. No se tiene directamente los valores de ~u en los nodos, por loque estos se obtienen mediante un proceso de interpolacion que se describemas adelante.

Ahora, ¿Que valor utilizar para φi? Aquı es donde se va a incorporar elmetodo limitador de flujo. Sea P el baricentro del volumen en cuestion (eneste caso un cuadrilatero) y A el baricentro de uno de los volumenes veci-nos. Para evaluar la funcion limitadora de flujo se necesita del parametroθ, que mide la suavidad de la variable φ. Se busca usar para θ una formasimilar a la que se dio en (2.44), entonces es necesario dar un punto extrasobre la lınea que une a los puntos A y P para evaluar a φ. Para este caso,Darwish y Moukalled en [9] proponen utilizar

θP =2~rPA · ∇φPφD − φU

− 1, (5.9)

donde ~rPA es el vector que va del punto P al punto A, φU es el valor ups-tream de φ y φD valor downstream de φ. Se toman φU = φP , φD = φA si


Figura 5.2: Punto artificial B utilizado para la incorporacion de un esquema limi-tador de flujo.

Ci > 0, φU = φA, φD = φP si Ci < 0. La ecuacion (5.9) se obtiene de agre-gar el punto fantasma B sobre la lınea que forman los puntos P y A, verfigura 5.2.

Aproximando el valor de φ en B usando el teorema de Taylor, entonces elvalor de φ en la cara i se aproxima usando una funcion limitadora de flujoΨ como

φi = φU + Ψ(θP )(φD − φU ), (5.10)

con φU , φD los valores de φ upstream y downstream, respectivamente comose definieron anteriormente. Los valores de los gradientes ∇φP , en (5.9)se aproximan haciendo una reconstruccion con mınimos cuadrados, masadelante se explica este proceso.

Ahora, falta definir la funcion limitadora de flujo Ψ dada para el esquemaSwitch (2.35)-(3.9), que se construyo en el capıtulo 3 . Aquı la funcion deflujo fısico que estamos considerando, para cada cara i, es el flujo lineal

f(φi) = Ciφi (5.11)

A continuacion se adaptan los terminos que aparecen en la definicion delflujo Switch (3.9), para un flujo lineal (5.11). Para un subındice fijo i se con-sidera el flujo convectivo Ci como C:

• Los terminos Unj y Unj+1, aquı son φP y φA respectivamente. La deriva-

da anj+1/2 es C y θn+1/2j es θP definido en (5.9).


• Para el flujo upwind

FUPj+1/2 =

CφP C > 0,CφA C < 0.

• El flujo de Lax-Wendroff

FLWj+1/2 = C

[1

2(φP + φA)− 1

2

∆t

|~rPA|C(φA − φP )

].

Ademas

F+j (Unj ) =

φP C > 0,0 C < 0.

F+j (Unj+1) =

φA C > 0,0 C < 0.

y

F−j (Unj ) =

φP C < 0,0 C > 0.

F−j (Unj+1) =

φA C < 0,0 C > 0.

Con esto, salvo las aproximaciones de los valores de φ en los nodosy los gradientes de φ en los centroides, que se ven mas adelante, sefinaliza la discretizacion del termino convectivo.

Discretizacion del termino difusivo. El primer termino del lado derechode la ecuacion (5.5) se aproxima como

ν3∑i=1

ˆσi

n · ∇φ ≈ ν3∑i=1

|σi|(n · ∇φi)i

donde Di = |σi|(n · ∇φ)i aproxima a |σi|n · ∇φ en el punto medio de lacara σi. A Di se le nombra flujo difusivo. Para determinar Di se trabaja enlas coordenadas locales ξ y η. Con ξ sobre ~rPA y η sobre la cara σ como semuestra en la figura 5.3.

Entonces se denotan los incrementos

∆ξ = |~rPA| y ∆η = |σ|,

y para las coordenadas rectangulares

∆x = xb − xa y ∆y = yb − ya,

donde a = (xa, ya) y b = (xb, yb) son los vertices que determinan la cara σ(a aparece primero al recorrer en sentido anti-horario la frontera del volu-men). Con esto se tiene que la normal unitaria exterior n se escribe

n =∆y

∆ηi− ∆x

∆ηj. (5.12)


Figura 5.3: Cordenadas locales ξ y η.

Los otros vectores unitarios ξ y η son

ξ =A− P|∆ξ|

, η =∆x

∆ηi +

∆y

∆ηj. (5.13)

Entonces podemos escribir

n · ∇φ =∆y

∆η

∂φ

∂x− ∆x

∆η

∂φ

∂y. (5.14)

Usando regla de la cadena se tiene

∂φ

∂ξ=∂φ

∂x

∂x

∂ξ+∂φ

∂y

∂y

∂ξ,

∂φ

∂η=∂φ

∂x

∂x

∂η+∂φ

∂y

∂y

∂η. (5.15)

Bajo manipulaciones algebraicas de las anteriores ecuaciones se sigue

∂φ

∂x=

1

∆

(∂φ

∂ξ

∂y

∂η− ∂φ

∂η

∂y

∂ξ

),

∂φ

∂y=

1

∆

(−∂φ∂ξ

∂x

∂η+∂φ

∂η

∂x

∂ξ

), (5.16)

donde el jacobiano es

∆ =∂x

∂ξ

∂y

∂η− ∂x

∂η

∂y

∂ξ.

Ahora, considerando las siguientes aproximaciones

∂x

∂ξ=xA − xP

∆ξ,

∂y

∂ξ=yA − yP

∆ξ,

∂x

∂η=xb − xa

∆η,

∂y

∂η=yb − ya

∆η,

∂φ

∂ξ=φA − φP

∆ξ,∂φ

∂η=φb − φa

∆η,

(5.17)


sustituyendo (5.17) en (5.16), y lo que se obtiene se sustituye en (5.14), deesta forma queda definida Di como sigue

Di = |∆η| (n · ∇φ) =∆η

n · ξφA − φP

∆ξ− ξ · ηn · ξ

(φb− φa). (5.18)

Al primer termino del lado derecho en la ecuacion anterior se le nombradifusion directa, al segundo termino del mismo lado, difusion cruzada.Con esto queda determinada la discretizacion del termino difusivo.

Discretizacion del termino fuente. Para las ecuaciones de Navier-Stokes,los terminos que aparecen en la fuente son − ∂p

∂x y −∂p∂y . A continuacion, se

da la discretizacion para − ∂p∂x y la otra derivada se hace de manera similar.

Para este caso, la segunda integral del lado derecho de la ecuacion (5.5) secalcula

ˆΩSφdV = −

ˆΩ

∂p

∂xdV = −

ˆΩ∇ · (pi)dV = −

3∑i=1

|σi|ni · (pi)i. (5.19)

donde (pi)i es el valor del vector pi en el centro de la cara σi y ni la normalunitaria exterior. Sustituyendo la definicion de la normal (5.12) en (5.19) setiene que

−ˆ

Ω

∂p

∂xdV = −

3∑i=1

|σi|(∆y)i(∆η)i

pi. (5.20)

Como (∆η)i = |σi|, entonces

−ˆ

Ω

∂p

∂xdV = −

3∑i=1

(∆y)ipi. (5.21)

Como en el caso de las variables de velocidad, se interpola pi usando losrespectivos valores nodales (este procedimiento se muestra en la siguienteseccion). De manera analoga se llega a que

−ˆ

Ω

∂p

∂ydV =

3∑i=1

(∆x)ipi. (5.22)

Con esto se finaliza la discretizacion de todos los terminos de la ecuacion(5.5). En la siguiente seccion, se muestra como interpolar los valores de φ y p enlos nodos, y como calcular el gradiente de φ en los baricentros.


Figura 5.4: Reconstruccion del gradiente por mınimos cuadrados

5.1.1. Interpolacion en los nodos y reconstruccion de gradientes

La interpolacion de φ en los nodos se logra mediante un promedio pesado,definiendo los pesos como el inverso de la distancia con los baricentros veci-nos. Sea el nodo de calculo a, el cual tiene N volumenes vecinos con baricentrosP1, ..., PN . Si la distancia del nodo a al punto Pi es di, entonces se toma

φa =

N∑i=1

wiφPi∑Ni=1wi

(5.23)

con los pesos wi = 1/di.

Ahora, se quiere encontrar aproximaciones para el gradiente de φ,(∂φ∂x , ∂φ∂y

),

en el baricentro P con coordenadas (x0, y0), vease figura 5.4. Para ello, se realizauna reconstruccion por mınimos cuadrados, la cual se describe a continuacion.

De nuevo, se supone queP tieneN volumenes vecinos con baricentrosP1, ..., PN

y la distancia de P a Pi se denota por√

∆x2i + ∆y2

i , entonces por el teorema deTaylor se tiene

φPi ≈ φP + ∆xi

(∂φ

∂x

)P

+ ∆yi

(∂φ

∂y

)P

,


para cada i = 1, ..., N . Y se construye el sistema∆x1 ∆y1

∆x2 ∆y2

∆x3 ∆y3...

∆xN ∆yN

(∂φ

∂x

)P(

∂φ

∂y

)P

=

∆φ1

∆φ2

∆φ3...

∆φN

,

con ∆φi = φPi−φP . Dado que el anterior sistema siempre esta sobre-determinado(incluso para un triangulo se tiene N = 3), se resuelve proyectando por mınimoscuadrados.1 El sistema de 2× 2 que se obtiene es

n∑i=1

(∆xi)2

n∑i=1

∆xi∆yi

n∑i=1

∆xi∆yi

n∑i=1

(∆yi)2

(∂φ

∂x

)P(

∂φ

∂y

)P

=

n∑i=1

∆xi∆φi

n∑i=1

∆yi∆φi

. (5.24)

En el siguiente apartado se valida la discretizacion de volumen finito Switchpropuesta en las secciones anteriores, junto con la tecnica del metodo SIMPLE,descrita en al capıtulo anterior.

5.2. Resultados numericos

Para resolver el sistema lineal generado por las ecuaciones (4.31) y (4.32), lascuales producen un sistema ralo no simetrico, se uso el metodo de Gradiente Bi-conjugado Estabilizado (BicCGSTAB), ver cap. 7 de [43]. Para resolver el sistemalineal generado por las ecuaciones (4.39), el cual produce un sistema simetrico ra-lo, se utilizo el metodo de Gradiente Conjugado con precondicionador de Jacobi(CGJ), ver [43].

La implementacion del metodo SIMPLE, utilizando las discretizaciones quese discutieron en este capıtulo, se hizo en C/C++, las mallas se generaron conel software libre GMSH2 y para las visualizaciones (post-proceso) tambien seuso GMSH.

5.2.1. Test driven cavity

En un dominio cuadrado [0, 1]2 (de unidades, por ejemplo m2) se impone:1Para el sistema sobre-determinado Ax = b, se resuelve el sistema ATAx = AT b.2http://geuz.org/gmsh/


Una viscosidad cinematica ν = 0.01m2/s.

La condicion de frontera ~u = 0 en todos lados excepto en el segmento su-perior, donde la condicion es (u, v) = (1, 0) (unidades m/s2).

Las condiciones iniciales son ~u = 0, p = 0.

Con las condiciones anteriores el numero de Raynolds para este problema es de

R =LU

ν= 100,

donde se toma, para la longitud caracterıstica L = 1 m y para la velocidad carac-terıstica U = 1 m/s.

La malla utilizada se genero con el software GMSH y tiene las siguientes ca-racterısticas: 10,086 elementos triangulares en total, 9822 elementos en el interior,264 elementos pared, 0 elementos entrada, 0 elementos salida, 5,044 nodos, dis-tancia mınima entre centroides 0.00198833. Una grafica de la malla se muestra enla figura 5.5.

Para resaltar contornos y zonas de magnitud similar, se muestran las compo-nentes de la velocidad u, v en graficas a 50 iso-samples en las figuras 5.6 y 5.8.Se muestra en la figura 5.7, la componente de velocidad u del mismo problemautilizando el software FLUENT al mismo tiempo. Una grafica para la presion semuestra en la figura 5.9. La magnitud del campo de velocidades ||~u|| se muestraen la figura 5.10, y el campo de velocidades ~u se muestra en la figura 5.11.

Ghia et. al. en [17] hacen un estudio numerico de este problema driven ca-vity, se comparan numericamente nuestros resultados con los suyos en las gra-ficas 5.12 y 5.13. Los valores se toman sobre las lıneas medias x = 1/2 para u yy = 1/2 para v.


Figura 5.5: Malla propuesta para el problema driven cavity.

Figura 5.6: Componente de velocidad u para el problema driven cavity a tiempot = 0.5.


Figura 5.7: Componente u de la velocidad para el problema driven cavity usandoel software FLUENT 6.1.

Figura 5.8: Componente de velocidad v para el problema driven cavity a tiempot = 0.5.


Figura 5.9: Campo de presiones para el problema driven cavity a tiempo t = 0.5.

Figura 5.10: Magnitud de la velocidad para el problema driven cavity.


Figura 5.11: Campo de velocidades para el problema driven cavity.

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

u

y (x=0.5)

GhiaEsquema

Figura 5.12: Comparacion de algunos valores u sobre la lınea x = 1/2 con losvalores reportados por Ghia en [17].


-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

v

x (y=0.5)

GhiaEsquema

Figura 5.13: Comparacion de algunos valores v sobre la lınea y = 1/2 con losvalores reportados por Ghia en [17].

5.2.2. Flujo en conductos con bifurcaciones

En este problema se toma la geometrıa de un conducto con una bifurcacionno simetrica como el mostrado en la figura 5.14. Los valores propuestos para lasgraficas que se muestran son:

Una viscosidad cinematica ν = 0.01m2/s.

Del lado izquierdo se imponen condiciones de entrada de flujo, para ello seusa la siguiente funcion para la velocidad u

u(−20, y, t) = −0.001(1− e−2t)y(y − 1), (5.25)

cuya grafica se muestra en 5.15.

Los extremos del conducto en la parte derecha tienen condiciones de salidap = 0, y en el resto de la frontera tiene condiciones de pared sin resbale~u = 0.

Las condiciones iniciales son u0 = 0, v0 = 0 y p0 = 0.

La malla utilizada tiene las siguientes caracterısticas: 133,866 elementos triangu-lares en total, 128980 elementos en el interior, 4816 elementos pared, 10 elementosentrada, 60 elementos salida, 66934 nodos y distancia mınima entre centroides0.001788. Una grafica de la malla se muestra en la figura 5.16, la cual presentamayor refinamiento en la parte cercana a la bifurcacion.


Para el tiempo t = 5, se muestran los resultados obtenidos para las compo-nentes de la velocidad u y v en las figuras 5.17 y 5.18. La grafica para la presionpresenta muy poca variacion, vease la firgura 5.19. Un acercamiento en la zonade bifurcacion en el campo de velocidades se muestra en 5.20. Para ver el estadono estacionario se muestra, en secuencia, algunas capturas de las iso-curvas delas variables v y u, la componente v presenta mayor variacion.

Figura 5.14: Geometrıa del conducto con bifurcacion no simetrica.

Figura 5.15: Velocidad de entrada para el problema del conducto con bifurcacion.


Figura 5.16: Malla para el problema del conducto con bifurcacion.

Figura 5.17: Velocidad u para el problema del conducto con bifurcacion.


Figura 5.18: Velocidad u para el problema del conducto con bifurcacion.

Figura 5.19: Campo de presiones para el problema del ducto con bifurcacion.


Figura 5.20: Campo de velocidades en la zona de bifurcacion.


X

Y

Z X

Y

Z

X

Y

Z X

Y

Z

X

Y

Z X

Y

Z

Figura 5.21: Estado no estacionario. Iso-curvas de la variable v.


X

Y

Z X

Y

Z

X

Y

Z X

Y

Z

X

Y

Z X

Y

Z

Figura 5.22: Estado no estacionario. Iso-curvas de la variable u.

Conclusiones

En este trabajo se desarrolla un nuevo metodo para leyes de conservacion, elcual se nombra metodo Switch, ya que introduce una funcion de tipo interrup-tor que ayuda a controlar su comportamiento en presencia de discontinuidades.Tal metodo es de tipo limitador de flujo, se basa en el esquema presentado porJerez y Uh en [24] para leyes de conservacion 1D. El metodo Switch presenta unmejor comportamiento en presencia de discontinuidades. Un analisis de TVD-estabilidad y convergencia debil se lleva a cabo, obteniendo las condiciones sufi-cientes para cumplir estas propiedades. Se realiza una comparacion con varios delos mas conocidos limitadores de flujo, obteniendo buenos resultados. La tecnicatipo WENO de la funcion switch, implementada en esta tesis, se puede emplearcomo una estrategia para optimizar los esquemas limitadores de flujo, de manerageneral.

Ademas se adapta el nuevo esquema Switch a leyes de conservacion viscosasy se extiende de manera multidimensional con la tecnica de particion de dimen-siones. Un punto pendiente aquı, es poder demostrar que el esquema Switch ySwitch viscoso sin tener que satisfacer la condicion de monotonıa (que resultabastante restrictiva), satisface alguna de las condiciones numericas de entropıa,y de esta forma garantizar unicidad en la solucion. Por lo que, esto queda comotrabajo futuro.

Como una parte del analisis de eficiencia del metodo Switch, se incorporael nuevo metodo a un esquema 2D de tipo volumen finito bajo una estructuraSIMPLE. Con el interes de resolver las ecuaciones de Navier-Stokes en su formaincompresible. Se muestran comparaciones con resultados publicados por Ghiaen [17], obteniendo resultados similares.

Ademas, en el pre-procesamiento del problema se utilizan mallas no regu-lares y no estructuradas, las cuales presentan mayor complejidad a la hora deusar las discretizaciones numericas, y por lo tanto son mas propensas a introdu-cir errores. La mayor ventaja de usar mallas no estructuradas es su gran grado deadaptacion a geometrıas no simples.

Para mostrar, en parte, tal flexibilidad del mallado no estructurado, se realiza

107


una prueba donde se modela un flujo a traves de un conducto con una bifurca-cion no simetrica. Queda pendiente poder realizar comparaciones con resultadossimilares publicados. Como trabajo futuro se busca realizar un estudio mas deta-llado del calculo del flujo en bifurcaciones para: (i) varios numeros de Reynolds,(ii) distintas geometrıas para la bifurcacion (mas de 2 bifurcaciones, bifurcacionesmas bruscas) y (iii) flujos a distintas velocidades por distintos conductos antes dela interseccion.

Desde el punto de vista teorico falta realizar un analisis de unicidad, estabi-lidad y convergencia del solver SIMPLE-Switch para las ecuaciones de Navier-Stokes, pero tal analisis no es sencillo dada la complejidad de las ecuaciones (verpor ejemplo [15]). Otro posible trabajo futuro es de igual forma que se construyeel solver SIMPLE-Switch, realizar la misma adaptacion del metodo Switch a otrosesquemas de tipo SIMPLE como lo son el SIMPLEC, SIMPLER y PISO.

Apendice A

Existencia, unicidad yconvergencia para un esquema devolumen finito

Introducimos en este apendice la notacion necesaria para entender los teore-mas de existencia, unicidad y convergencia de un tipo de esquema de volumenfinito, tal esquema es para la ecuacion modelo de adveccion-difusion con terminofuente, como

ρ [φt +∇ · (φ~v)] = ν∆φ+ Sφ, (1.1)

donde la cantidad escalar φ, es transportada en un campo de velocidades ~v, en unmedio con densidad ρ, con un factor de difusion dado por ν y un termino fuenteSφ el cual puede o no depender de φ.

En el metodo SIMPLE, se resuelven iterativamente 2 tipos de ecuaciones li-neales, una parabolica como la ecuacion (1.1) y otra elıptica para la presion, estaultima se utiliza para hacer la correcion del campo de velocidades y se obtiene dela restriccion de divergencia cero. En este apendice se revisa la notacion y teorıapara un esquema de volumen finito para estos dos tipos de ecuaciones.

Las demostraciones de los teoremas de este capıtulo se pueden consultar en[14].

A.1. Preliminares.

Todas las mallas seran mallas admisibles como las que se definen en [14],escribiremos T refiriendonos a una malla admisible. A continuacion, se define el

109

110A. Existencia, unicidad y convergencia para un esquema de volumen finito

espacio de funciones que intentan aproximar a la solucion exacta, las cuales sonfunciones constantes en cada volumen de control.

Definicion A.1 Para cada (T ,P) malla de Ω, se define

X(T )X(T )X(T ) := f : Ω→ R : ∀K ∈ T ∃cK ∈ R, f(K) = cK.

SiP = xKK∈T y u ∈ X(T ) y se denota poruKuKuK al unico numero real con u(K) = uK .

Notar que las funciones en X(T ) estan definidas en casi todos los puntos deΩ, ya que, en general,

⋃T Ω, ya que se considera abierto cada volumen de

control (solo se tiene la igualdad cuando T = Ω).En lo siguiente se definen las versiones discretas de las normas en L2(Ω) y

H10 (Ω), las cuales se usaran en el analisis de convergencia y error de los metodos

de volumen finitos propuestos.

Definicion A.2 Sea (T ,P) una malla de Ω y u ∈ X(T ), se define

‖u‖L2(Ω)

=

[∑K∈T

|K|u2K

] 12

, ‖u‖1,T =

[∑σ∈E

τσ(Dσu)2

] 12

.

Donde

Dσu =

|uK − uL| si σ = K|L ∈ Eint

|uK | si σ ∈ EK ∩ Eext.

Proposicion A.3 Las funciones ‖ · ‖L2(Ω)

y ‖ · ‖1,T definidas arriba son normas paraX(T ).

A.2. Problema Elıptico y su Discretizacion. 111

A.2. Problema Elıptico y su Discretizacion.

Sea la ecuacion elıptica general

−∆u(x) +∇ · (u(x)v(x)) + bu(x) = f(x), x ∈ Ω,u(x) = g(x), x ∈ ∂Ω.

(1.2)

Para cumplir existencia y unicidad en el sentido debil, se debe verificar la si-guiente hipotesis respecto a la ecuacion anterior:

Hipotesis A.4

1. Ω ⊆ Rd (d = 2, 3) es un dominio admisible.

2. b ∈ R+ ∪ 0.

3. f ∈ L2(Ω).

4. v ∈ C1(Ω,Rd), ∇ · v ≥ 0.

5. g ∈ C(∂Ω,R) y existe g ∈ H1(Ω) tal que ∀∗x ∈ ∂Ω γ(g) = g, con γ el operadortraza de H1(Ω) a L2(Ω).

Para escribir el esquema de volumen finito del problema anterior, primeronotar que, despues de aplicar el teorema de la divergencia y dado que ∆u =∇ · ∇u, de la ecuacion (1.2) se tiene

−ˆ∂K∇u · n+

ˆ∂K

uv · n+ |K|buK = |K|fK ,

donde uK = 1|K|´K u y fK = 1

|K|´K f . La ecuacion anterior motiva el siguiente

esquema finito.

Bajo la Hipotesis A.4 anterior, un esquema de volumen finito para la ecuacionelıptica anterior se escribe

∀K ∈ T∑σ∈EK

FK,σ +∑σ∈EK

vK,σuσ,+ + b|K|uK = |K|fK , (1.3)

donde

1. FK,σ =

−τσ(uL − uK) si σ = K|L ∈ Eint

−τσ(g(xσ)− uK) si σ ∈ EK ∩ Eext

Si g(xσ) no esta definido, se puede tomar 1|σ|´σ g. Se nombra flujo numerico

difusivo o simplemente flujo difusivo al termino FK,σ.


2. vK,σ =´σ v · nK,σ donde nK,σ es la normal unitaria exterior a K. Se conoce

como flujo advectivo al termino vK,σ.

3. uσ,+ =

uK si σ = K|L ∈ Eint, vK,σ ≥ 0,uL si σ = K|L ∈ Eint, vK,σ < 0,uK si σ ∈ ∂K ∩ Eext, vK,σ ≥ 0,g(yσ) si σ ∈ ∂K ∩ Eext, vK,σ < 0.

Notar que con esta definicion, ademas se tiene:

uσ,+ =

uL si σ = K|L ∈ Eint, vL,σ ≥ 0,uK si σ = K|L ∈ Eint, vL,σ < 0,uL si σ ∈ ∂L ∩ Eext, vL,σ ≥ 0,g(yσ) si σ ∈ ∂L ∩ Eext, vL,σ < 0.

Lo cual implica que el flujo numerico advectivo es conservativo, es decir,vK,σ =

´σ v · nK,σ =

´σ v · (−nL,σ) = −vL,σ.

Notar que, tambien para cada σ = K|L ∈ Eint se cumple

FL,σ = −FK,σ , (1.4)

es decir, en cada lado de un volumen de control el flujo difusivo tambien es con-servativo. Si todos los flujos son conservativos, implica que el esquema es con-servativo en el sentido de que: la cantidad transportada u que abandona un volumenpor una determinada cara σ, es la misma que entra al volumen vecino por la misma caraσ. Esta propiedad de conservar ambos flujos son, por obvias razones, de sumaimportancia cuando se quiere modelar fluidos. Tal propiedad tambien se cum-plira en un esquema de volumen finito para un tipo de ecuacion parabolica, lacual se analizara mas adelante, y servira como ecuacion modelo para las ecua-ciones de Navier-Stokes en su forma incompresible en el siguiente capıtulo.

En la siguiente seccion se discute existencia y unicidad del esquema (1.3).

A.2.1. Existencia, unicidad, estimacion del error y convergencia delproblema discreto.

Bajo el siguiente lema se tiene existencia y unicidad de solucion para el pro-blema discreto (1.3), ademas de una primera estimacion del error de esta aproxi-macion en la norma H1

0 .

A.2. Problema Elıptico y su Discretizacion. 113

Lema A.5 Si T es una malla admisible para Ω ⊆ Rd (d = 2, 3), existe solucion unicauT ∈ X(T ) al sistema de N = |T | ecuaciones con N incognitas dado por (1.3). Masaun, si g = 0, entonces

‖uT ‖1,T ≤ diam(Ω)‖f‖L2(Ω)

.

El teorema que se escribe a continuacion garantiza la convergencia del esque-ma (1.3) para condiciones Dirichlet homogeneas.

Teorema A.6 Bajo las condiciones de la Hipotesis A.4 con g = 0, sea T una mallaadmisible para Ω. Sea uT ∈ X(T ) tal que ∀K ∈ T y ∀∗x ∈ K, uT (x) = uK sedefine como la unica solucion al problema discreto dado por la ecuacion (1.3). Entonces, sisize(T )→ 0, uT converge1 en L2(Ω) a la unica solucion debil u ∈ H1

0 (Ω) del problemacontinuo (1.2). Mas aun ‖uT ‖1,T converge a ‖u‖

H10(Ω)

cuando size(T )→ 0.

Y en el caso de condiciones Dirichlet no homogeneas se tiene el siguienteteorema para el esquema (1.3).

Teorema A.7 Sea el problema continuo (1.2) dado g es la traza de una funcion Lipschitzcontinua g. 2 Sea Tnn∈N una sucesion de mallas admisibles para Ω tales que

lımn→∞

size(Tn) = 0.

Para cada n ∈ N sea uK,nK∈Tn la solucion al problema discreto (1.3) y sea uTn ∈X(T ), tal que ∀K ∈ Tn y ∀∗x ∈ K con uTn(x) = uK,n. Entonces uTn converge a launica solucion debil u ∈ H1(Ω) del problema continuo (1.2).

El siguiente teorema da una estimacion del error para el metodo de volumenfinito (1.3) en la norma L2.

Teorema A.8 Sea u la solucion al problema continuo (1.2) con u ∈ C2(Ω). Para T unamalla admisible en Ω ⊂ Rd (d = 1, 2, 3) y tomando uT ∈ X(T ) tal que ∀K ∈ Ty ∀∗x ∈ K, siendo uT (x) = uK donde uKK∈T es la solucion al problema discretoecuacion (1.3). Ademas, para cada K ∈ T se define eK = u(xK) − uK verificando queeT ∈ X(T ) tal que, ∀K ∈ T y ∀∗x ∈ K con eT (x) = eK . Entonces existe C ∈ R+ quesolo depende de u, v y Ω tal que

‖eT ‖1,T ≤ Csize(T ) y ‖eT ‖L2(Ω)≤ Csize(T ).

De forma analoga, en la siguiente seccion se propone la forma general de unmetodo de volumen finito para un problema parabolico y se revisa el resultadode convergencia para el mismo.

1Recordar que fnn∈N converge en Lp(Ω) a f si lımn→∞

‖fn − f‖Lp(Ω)= 0.

2Si γ : H1(Ω) → L2(Ω) es el operador traza, entonces g = γ(g) = g|∂Ω y ‖g‖L2(Ω)

=

‖γ(g)‖L2(Ω)

≤ C‖g‖H1(Ω)

donde la constante C solo depende de Ω.


A.3. Problema Parabolico y su Discretizacion.

Ahora, se considera la siguiente ecuacion parabolica para T > 0

ut(x, t)−∆u(x, t) +∇ · (u(x, t)v) + bu(x, t) = f(x, t), x ∈ Ω, t ∈ (0, T )u(x, 0) = u0(x), x ∈ Ω.u(x, t) = g(x, t), x ∈ ∂Ω, t ∈ (0, T ).

(1.5)Notar que esta ecuacion es la ecuacion modelo (1.1) que se propuso al inicio deeste capıtulo, solo que aquı se considera lineal el termino fuente, lo cual sera su-ficiente para nuestros propositos en el proximo capıtulo. Para tener existencia yunicidad para (1.5) en el sentido fuerte, es decir para u ∈ C2(Ω×R+,R)), se pidela siguiente hipotesis:

Hipotesis A.9

1. Ω ⊆ Rd (d = 2, 3) es un dominio admisible.

2. b ∈ R+ ∪ 0.

3. f ∈ C0(Ω× R,R).

4. v ∈ Rd.

5. g ∈ C0(∂Ω× R+,R).

6. u0 ∈ C2(Ω,R).

Dado que la ecuacion (1.5) introduce una nueva variable independiente, co-rrespondiente a la variable tiempo, a continuacion se toma una discretizaciontemporal acorde con el mallado espacial propuesta en la seccion Preliminares.Para ello, se fija el paso del tiempo k, 0 < k < T y sean tn = nk y Tk = maxn ∈N : nk < T sea ademas T := 0, 1, ..., Tk + 1. Sea T una malla admisible parael dominio Ω. Para escribir la esquema de volumen finito del problema anterior,primero notar que, despues de aplicar el teorema de la divergencia y dado que∆u = ∇ · ∇u, de la ecuacion (1.5) se tiene, para cada K ∈ T

ˆK

ˆ tn+1

tn

ut(x, t)dtdx+

ˆ tn+1

tn

ˆ∂K

(−∇u(x, t) + u(x, t)v) · nK(x)dσdt+

b

ˆ tn+1

tn

ˆKu(x, t)dxdt =

ˆ tn+1

tn

ˆKf(x, t)dxdt,

donde nK es el vector normal unitario exterior al volumen K.

A.3. Problema Parabolico y su Discretizacion. 115

Salvo en el termino ut, se evalua la funcion u al tiempo tn+1, y ası se obtieneun m’etodo implıcito, el cual se formulaˆK

(u(x, tn+1)− u(x, tn)

)dx+

ˆ∂K

(−∇u(x, tn+1) + u(x, tn+1)v) · nK(x)dσ+

b

ˆKu(x, tn+1)dx =

ˆKf(x, tn+1)dx,

y resulta incondicionalmente estable. Aplicando a la ecuacion integral anterior laformulacion de volumen finito se obtiene el siguiente metodo discreto tanto en lavariable temporal como en la espacial,

|K|un+1K − unK

k+∑σ∈EK

Fn+1K,σ +

∑σ∈EK

vK,σun+1σ,+ + b|K|un+1

K = |K|fnK , (1.6)

el cual, sigue cumpliendo los puntos de la Hipotesis A.9, para cadaK ∈ T y cadan ∈ T y donde

1. FnK,σ =

−τσ(unL − unK) si σ = K|L ∈ Eint

−τσ(g(xσ, tn)− unK) si σ ∈ EK ∩ Eext

Si g(xσ, tn) no esta definido, se puede tomar 1k|σ|´σ g(x, tn)dσ.

2. vK,σ =´σ v · nK,σ donde nK,σ es la normal unitaria a σ, exterior a K.

3. unσ,+ =

unK si σ = K|L ∈ Eint, vK,σ ≥ 0,unL si σ = K|L ∈ Eint, vK,σ < 0,unK si σ ∈ ∂K ∩ Eext, vK,σ ≥ 0,g(yσ, tn) si σ ∈ ∂K ∩ Eext, vK,σ < 0.

4. fnK =1

|K|

ˆKf(x, tn+1)dxdt.

Notar que para cada σ = K|L ∈ Eint se cumple

FnL,σ = −FnK,σ , (1.7)

es decir, en cada lado de un volumen de control el flujo se conserva.


A.3.1. Existencia, unicidad, estimacion del error y convergencia delproblema discreto.

Suponiendo solucion fuerte para el problema parabolico (1.5) bajo condicio-nes Dirichlet, con el siguiente teorema se prueba convergencia y se obtine unaestimacion del error del esquema numerico (1.6).

Teorema A.10 Sea u ∈ C2(Ω × R+,R) la solucion al problema continuo (1.5) juntocon la Hipotesis A.9. Sea T una malla admisible para Ω ⊂ Rd (d = 2, 3). Existe solucionunica al problema discreto (1.6), para unT ∈ X(T ) tal que ∀K ∈ T , ∀n ∈ T y ∀∗x ∈ Kcon unT (x) = unK .

Ademas para cada n ∈ T y K ∈ T , denotando el error como enK = u(xK , tn)−unK yque verifica enT ∈ X(T ) tal que, n ∈ T, ∀K ∈ T y ∀∗x ∈ K con enT (x) = enK . Entoncesexiste C ∈ R+ que solo depende de u, v, b, T y Ω tal que

‖enT ‖L2(Ω)≤ C(h+ k),

con h = size(Ω).

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