PRCTICA 2: SERIES DE FOURIER 1/4

PRCTICA 2: SERIES DE FOURIER Ejercicio 2.1 Obtenga la representacin en mdulo y fase de las siguientes expresiones complejas

1 1 21.1 1 2

32.1 2 12 3 23. 2 32 4 2

j jj j

j jj jj j jj j

+ ++

+ +

+

Cdigo MATLAB 2.1 MATLAB es capaz de operar con nmeros complejos de forma transparente. Basta con utilizar

i o j que por defecto representan en MATLAB la unidad imaginaria 1 las funciones real(), imag(), abs() y angle() se pueden utilizar para obtener las partes real, imaginaria, el mdulo y la fase de una expresin compleja respectivamente. El siguiente cdigo permite resolver el apartado 1 del ejercicio anterior.

% El siguiente comando calcula y almacena la expresin compleja expres=(1+j)/(1-j)+(1+2*j)/(1-2*j) % El modulo se puede obtener en la forma modulo1=abs(expres) % Y la fase en la forma fase1=angle(expres) % Y las partes real e imaginaria en la forma preal=real(expres) pimag=imag(expres) % Ntese que se pueden usar tanto 'j' como 'i' % para representar la unidad imaginaria % El modulo se puede obtener tambin a partir de estas modulo2=sqrt(preal^2+pimag^2) fase2=atan2(pimag,preal)

El resultado es

expres = -0.6000 + 1.8000i modulo1 = 1.8974 fase1 = 1.8925 preal = -0.6000 pimag = 1.8000 modulo2 = 1.8974

PRCTICA 2: SERIES DE FOURIER 2/4

fase2 = 1.8925 Ejemplo 2.2 Para la seal peridica v(t) de la figura, obtenga los coeficientes del desarrollo exponencial de Fourier y posteriormente exprese la misma seal en trminos de un desarrollo en funciones seno y coseno.

El valor para cn (los coeficientes de la serie exponencial de Fourier correspondiente) es

]2/[]1)[cos( njncn =

Donde la indeterminacin del valor para n=0 se resuelve como c0=1/2. Cuestin: Porqu son cero los armnicos pares del espectro de v(t)? Obtenga las aproximaciones del desarrollo en serie para un nmero de trminos de n=4, n=8 y n=16 para un valor de T=1 Cdigo MATLAB 2.2 Primera parte

% Los valores de cn para -10

PRCTICA 2: SERIES DE FOURIER 3/4

Figura 2.1: Espectros de modulo y fase para v(t)

Segunda parte El desarrollo trigonomtrico de Fourier en trminos de las funciones seno y coseno resulta ser:

+=

imparnt

Tn

nx

2sin22/1

El siguiente cdigo obtiene las aproximaciones para 4, 8 y 16 coeficientes para el valor T=1

% Intervalo temporal considerando T=1 t=0:0.001:1; x=0.5; % Este es el valor para n=0 for n=1:2:7, % COnsideramos 4 terminos impares x = x + (2/(n*pi))*sin(2*n*pi*t); end % Continuamos sumando para obtener la aproximacin para n=8 y=x; for n=9:2:15 y = y + (2/(n*pi))*sin(2*n*pi*t); end % Continuamos sumando para obtener la aproximacin para n=16 z=y; for n=17:2:31 z = z + (2/(n*pi))*sin(2*n*pi*t); end % Trazamos las dos aproximaciones subplot(3,1,1), plot(t,x); ylabel('Aprox 4 terminos'); subplot(3,1,2), plot(t,y); ylabel('Aprox 8 terminos'); subplot(3,1,3), plot(t,z); ylabel('Aprox 16 terminos'); xlabel('t');

PRCTICA 2: SERIES DE FOURIER 4/4

Figura 2.2: Aproximaciones para n=4, 8 y 16

Ejercicio 2.2

Repita el ejemplo anterior para las seales de la figura: 1. Represente el espectro de mdulo y fase para los coeficientes del desarrollo exponencial de Fourier, 2. Represente las aproximaciones para n=4, 8 y 16 mediante el desarrollo trigonomtrico de Fourier.

a.

b.