des copules à la logique floue · de profits/pertes à partir des calcul du capital économique et...
TRANSCRIPT
Des copules à la logique floue
La R&D actuarielle
au service des modèles prospectifs
Frédérique Henge – Actuaire Recherche & Développement
Matthias Pillaudin – Actuaire Consultant Confirmé
Université d’été Solvabilité II – Journée technique
Univers i té de Strasbourg
21 ju i l l e t 2011
21 juillet 2011 – Université d’été Solvabilité II – Des copules à la logique f loue 2 / 48
SOMMAIRE
• Introduction
• Partie 1 – L’apport de la théorie des copules pour l’évaluation continue et
• prospective de la rentabilité d’un portefeuille
1. Le suivi de la rentabilité sous Solvabilité II
2. Analyse multivariée et copules
3. Construction d’un business plan prospectif à l’aide des copules elliptiques
4. Développements futurs
• Partie 2 – La modélisation des lois comportementales via la logique floue
1. Contexte
2. La logique floue
3. La commande floue
4. Conclusion
• Conclusion
• Questions/Réponses
3 / 4821 juillet 2011 – Université d’été Solvabilité II – Des copules à la logique f loue
Introduction
Un accroissement de l’appréciation des risques allant de pair avec une montée en
compétences techniques
Problématiques de modélisation, de valorisation, de reporting
Solvabilité II : Une nouvelle culture des risques
Pilier 1
Exigences
quantitatives
Pilier 2
Exigences
qualitatives
Pilier 3
Information des
superviseurs et du public
Calcul en valeur
économique des passifs
d’assurance
Calcul de l’exigence en
capital
Identification et évaluation
des fonds propres éligibles
Règles de les placements
Le système interne de
gouvernance
Audit/contrôle internes
Processus de contrôle
prudentiel
L’évaluation interne des
risques et de la solvabilité
(ORSA)
Principe de transparence
Information publique
Information pour les
superviseurs
Informations publiées par
les superviseurs
Qualité des données / Système d’information
Conduite du changement / Pilotage projet
Communication interne / Echanges avec l’ACP
Supervision Groupe
4 / 4821 juillet 2011 – Université d’été Solvabilité II – Des copules à la logique f loue
Introduction
La modélisation prospective : des chantiers d’envergure pour la R&D
Difficultés de mise en œuvre
Appréciation du poids de chacun des risques
– Existence de liens étroits pouvant provoquer des réactions en chaîne
– Impacts simultanés dont l’effet global n’est pas forcément prévisible a priori
Modélisation de certains phénomènes ou comportements
– Difficulté d’identifier les relations de cause à effet nécessaire pour construire des lois et modèles de diffusion
pertinents
– Dépendances non-linéaires entre les risques
Solvabilité II : Une nouvelle culture des risques
Risques
techniques
Risques
opérationnels
Risques
imprévisibles
Risques
financiers
Risques
d’ALM
Autres
risques
Risque
d’insolvabilité
Deux principales étapes pour viser une
valorisation « juste » et cohérente des
éléments du bilan économique
La cartographie des risques auxquels
est exposé l’assureur
La modélisation de l’activité compte
tenu des spécificités du profil de
risques
21 juillet 2011 – Université d’été Solvabilité II – Des copules à la logique f loue 5 / 48
SOMMAIRE
• Introduction
• Partie 1 – L’apport de la théorie des copules pour l’évaluation continue et
• prospective de la rentabilité d’un portefeuille
1. Le suivi de la rentabilité sous Solvabilité II
2. Analyse multivariée et copules
3. Construction d’un business plan prospectif à l’aide des copules elliptiques
4. Développements futurs
• Partie 2 – La modélisation des lois comportementales via la logique floue
• Conclusion
• Questions/Réponses
Partie 1
21 juillet 2011 – Université d’été Solvabilité II – Des copules à la logique f loue 6 / 48
Le suivi de la rentabilité sous Solvabilité II
Le suivi continu et prospectif de la rentabilité d’un portefeuille en cohérence avec l’approche
Solvabilité II nécessite :
D’identifier l’ensemble des risques ayant un impact sur la rentabilité
De définir des indicateurs de suivi de la rentabilité cohérents avec l’approche Solvabilité II
De définir la méthode d’agrégation de ces indicateurs
D’élaborer des Business Plans Prospectifs permettant de déterminer la valeur de ces indicateurs
selon différents scénarios
2 approches possibles pour évaluer et agréger les indicateurs de rentabilité:
Assurer un suivi continu et prospectif en lien avec les calculs du pilier 1
Modélisation du
capital économique
pour chaque risque
Calibrage
grâce une régression
économétrique et/ou
une loi de probabilité
Projection des
bénéfices individuels
espérés
Agrégation des
indicateurs via une
matrice de corrélation
Calcul des indicateurs
individuels
Modélisation de la
perte agrégée comme
somme des pertes
individuelles
Calibrage d'une loi de
probabilité
multidimensionnelle
Projection des
bénéfices individuels
et agrégés
Calcul des indicateurs
de risques individuels
et agrégés
Calcul du capital
économique individuel
et agrégé
AP
PR
OC
HE
MO
DU
LA
IRE
AP
PR
OC
HE
INT
EG
RE
E
Partie 1
21 juillet 2011 – Université d’été Solvabilité II – Des copules à la logique f loue 7 / 48
Analyse multivariée et copules
Insuffisance du coefficient de corrélation linéaire
Effets non linéaires non négligeables surtout dans
le cadre de l’évaluation des quantiles extrêmes
Hypothèse de normalité trop restrictive pour
l’agrégation de variables aléatoires
Théorème de SKLAR
Statistique exhaustive de la dépendance
Si les marges sont continues, la copule est unique
Séparation de l’analyse
Calibrage des marginales
Fonction de dépendance stochastique
Analyse multivariée simplifiée
Principe d’invariance des copules
Flexibilité d’utilisation
Traitement des séries univariées
Limitations du risque de régressions fallacieuses
Utilité des copules pour l’analyse multivariée
))(),...,(),((),...,,G( 221121 dd
p
d xFxFxFCxxx
),...,,( 21 dXXX vecteur aléatoire réel
La copule C décrit la dépendance de ))(),...,(),(( 2211 dd XTXTXT
Si sont des fonctions
strictement croissantes dTTT ,...,, 21
Partie 1
21 juillet 2011 – Université d’été Solvabilité II – Des copules à la logique f loue 8 / 48
Analyse multivariée et copules
Copule gaussienne et loi méta-gaussienne
Définition de la copule gaussienne
Loi méta-gaussienne
Loi d’un vecteur aléatoire dont la copule est normale mais dont les lois marginales ne sont pas
gaussiennes
Copules de Student
Les copules elliptiques
))(),...,(),((),...,,( 1
2
1
1
1
21 dd uuuuuuC
))(),...,(),((),...,,(1
2
1
1
1
,21 dvvvvd utututtuuuC
Principales propriétés
Symétrie – copules dites échangeables
La copule normale ne permet pas de modéliser les phénomènes de dépendance de queue
Dans l’ensemble des loi elliptiques, la Value at Risk est une mesure de risque cohérente
Pour la copule gaussienne, la dépendance stochastique est uniquement linéaire
Le paramètre v de la copule de Student permet de caractériser la dépendance de queue
Lorsque v tend vers l’infini la copule de Student est équivalente à la copule gaussienne
Copule de Student avec rho=0,5 et v=2
Copule gaussienne avec rho=0,5
Partie 1
21 juillet 2011 – Université d’été Solvabilité II – Des copules à la logique f loue 9 / 48
Analyse multivariée et copules
Définition d’une copule archimédienne
Principales copules
Frank
Les copules archimédiennes
Propriétés
La copule de Gumbel et la copule de Clayton présentent des comportements inverses
La copule de Frank ne peut pas modéliser des phénomènes extrêmes
Ces copules possèdent un unique paramètre à estimer
Dans la plupart des cas, l’estimation du paramètre de la copule est fortement simplifiée grâce
aux propriétés des mesures de concordance
Copule de Clayton Copule de Gumbel
Copule de Frank
Soit une fonction strictement
décroissante, convexe à valeurs
strictement positives (générateur)
))((),...,,(1
1
21
d
i
id uuuuC
Copule Générateur
Clayton
Gumbel
Frank
1,)ln( u
0),1
1ln(
e
e u
10,1
etu
Partie 1
21 juillet 2011 – Université d’été Solvabilité II – Des copules à la logique f loue 10 / 48
Analyse multivariée et copules
Processus de calibration d’une copule et trajectoires stochastiques dépendantes
BACK-TESTING
ETUDE DES SERIES UNIVARIEES CALIBRAGE DE LA COPULE PROJECTIONS STOCHASTIQUES
Etude de la dépendance temporelle
Filtrage des séries
Calibrage d’une loi standard
Estimation des paramètres
Discrimination entre les copules
Qualité des résultats
Vecteurs uniformes dépendants
Réalisations des séries univariées
Trajectoires stochastiques
Hypothèses structurantes
Dépendance temporelle linéaire
Pas de simulation et périodicité des observations empiriques
Nombre de dimensions
Partie 1
21 juillet 2011 – Université d’été Solvabilité II – Des copules à la logique f loue 11 / 48
Analyse multivariée et copules
Limites techniques et pratiques
Robustesse des tests de discrimination
Sensibilité aux données : fenêtre glissante
Modélisation continue/discrète
Nombre de données et problèmes de calibrage
Puissance de calcul nécessaire variable selon la
copule et le nombre de dimensions
Calibrage de copules à N dimensions par une
méthode arborescente impossible en général
Dépendance temporelle et spatiale couplées
Limites d’utilisation et conditions d’application
La mise en place d’un modèle utilisant les
copules nécessite de qualifier correctement les
objectifs à atteindre ainsi que les moyens pour
y parvenir
Partie 1
21 juillet 2011 – Université d’été Solvabilité II – Des copules à la logique f loue 12 / 48
Construction d’un business plan prospectif à l’aide des copules elliptiques
Dans le cadre de la réalisation d’un Business Plan Prospectif basé sur la projection d’un
Ratio Combiné Economique (RCE):
Les copules sont calibrées sur les incréments des Ratios Combinés Economiques (par risque)
Le profit de l’année k pour le risque j est obtenu en multipliant le Ratio combiné économique par le
volume des primes
Le profit de l’année k pour l’ensemble du portefeuille est obtenu en sommant l’ensemble des
profits de chaque risque j
Le capital économique est obtenu à partir du quantile de la distribution des pertes au niveau de
chaque risque individuel et au niveau du portefeuille total
Construction de l’indicateur de suivi de la rentabilité
Principe et hypothèses
))(),(),(),(( 44332211 RCEFRCEFRCEFRCEFC p
k
j
k
j
k
j imesRCEP Pr)1(
1j
k
j
k PPtot
tolérancedeNiveau )()( ,,,,,, httthtththt LELVaREC
N
kk
j
k
N
kk
j
k
j
r
EC
r
P
Ind
1
1
)1(
)1(
Partie 1
21 juillet 2011 – Université d’été Solvabilité II – Des copules à la logique f loue 13 / 48
Construction d’un business plan prospectif à l’aide des copules elliptiques
Hypothèses de projection
Paramètres techniques
Lois log-normales pour les incréments
Horizon de projection : 20 ans
Pas de simulation : annuel
Taux de chute fixe : 5% annuel
Taux d’actualisation fixe : 3% annuel
Capital économique non fixé au SCR pour
prendre en compte les contraintes de
rating
Risques considérés : décès, santé,
Incapacité-Invalidité et IARD
Processus de simulation
Principe et hypothèses (2)
Simulation des à partir des copules
Génération de trajectoires stochastiques
dépendant des différents
Génération de scénarios de Profits/pertes à partir
des
Calcul du capital économique et des
indicateurs prospectifs
Forme de la dépendance stochastique
On considère uniquement les copules
elliptiques gaussiennes et de Student
Matrice de corrélation
Degrés de liberté pour la copule de
Student : v=2
jRCE
jRCE
jRCE
jRCE
Partie 1
21 juillet 2011 – Université d’été Solvabilité II – Des copules à la logique f loue 14 / 48
Construction d’un business plan prospectif à l’aide des copules elliptiques
Copule Normale
Copule de Student
Simulation des incréments des RCE à l’aide des copules
Partie 1
21 juillet 2011 – Université d’été Solvabilité II – Des copules à la logique f loue 15 / 48
Construction d’un business plan prospectif à l’aide des copules elliptiques
Positions initiales
Trajectoires stochastiques des Ratios Combinés Economiques : l’exemple du décès
Copule Normale
Conclusions
La copule gaussienne aura tendance à sous-estimer les valeurs extrêmes
À l’inverse une mauvaise calibration de la copule de Student (et notamment le nombre de degrés de
liberté) peut amener à surestimer le capital économique et à sous-évaluer la rentabilité future du
portefeuille
Trajectoires des Ratios Combinés Economiques
Copule de Student
Partie 1
21 juillet 2011 – Université d’été Solvabilité II – Des copules à la logique f loue 16 / 48
Construction d’un business plan prospectif à l’aide des copules elliptiques
Commentaires
Le résultat reste très volatile et nécessite de nombreuses simulations
L’impact des positions initiales est primordial
Les hypothèses techniques sont ici relativement restrictives
En raison des valeurs du taux de chute et du taux d’actualisation, l’indicateur de suivi du risque est
principalement impacté par les10 premières années
Génération du Business Plan Prospectif
Partie 1
21 juillet 2011 – Université d’été Solvabilité II – Des copules à la logique f loue 17 / 48
Construction d’un business plan prospectif à l’aide des copules elliptiques
Sensibilité aux paramètres techniques
Impact des positions initiales : RCE initiaux
Impact des paramètres des lois marginales : Variance de l’amplitude des chocs sur les RCE
Impact des copules sur le Business Plan Prospectif
Partie 1
21 juillet 2011 – Université d’été Solvabilité II – Des copules à la logique f loue 18 / 48
Construction d’un business plan prospectif à l’aide des copules elliptiques
Effet de la diversification
Processus de comparaison des résultats
Résultats obtenus sur 10 000 simulations
Copule Normale: +27%
Copule de Student: +19%
Commentaires
Les résultats sont jugés robustes (écart-type < 1%) à partir de 5 000 simulations environ
la copule de Student mène à des résultats moins importants en raison d’une meilleure prise en
compte des phénomènes extrêmes
La copule Normale correspondant à une approche modulaire dans notre cas, on peut conclure que
ce type d’agrégation mène à une surestimation de la rentabilité future lorsque la copule de Student
est plus adaptée aux données
Impact important sur les résultats des stress-testings
Impact des copules sur le Business Plan Prospectif (2)
Simulation des Profits « dépendants » à partir
des copules
Simulation des Profits « indépendants » à partir
des lois marginales
Calcul de l’indicateur de rentabilité « dépendant »
et « indépendant »
Comparaison des résultats en différence
relative
Partie 1
21 juillet 2011 – Université d’été Solvabilité II – Des copules à la logique f loue 19 / 48
Construction d’un business plan prospectif à l’aide des copules elliptiques
Utilisation de la copule Normale
Quantification de l’impact du nouveau produit sur le capital économique : méthode
incrémentielle
Business Plans prospectifs
Nouveau produit uniquement
Estimation sur l’ensemble du nouveau portefeuille ainsi constitué
Conclusions
Effet de la diversification : +39%
La rentabilité totale du portefeuille diminue du fait des faibles profits engendrées par le nouveau
produit
Application : étude de rentabilité d’un nouveau produit IARD
k
P
k
PP
k
P iiiECECEc
iP
Partie 1
21 juillet 2011 – Université d’été Solvabilité II – Des copules à la logique f loue 20 / 48
Développements futurs
Limites d’utilisation des copules elliptiques
Temps de calcul nécessaire important pour une estimation robuste
Utilisation possible des copules archimédiennes hiérarchiques
Limites des hypothèses utilisées
Prise en compte de l’ensemble des risques
Modélisation des taux de rachat
Modélisation du taux d’actualisation
Dépendance entre les paramètres techniques
Pas de réassurance
Limites de l’indicateur de rentabilité
L’estimation du capital via la Value at Risk n’est robuste que dans l’espace des lois elliptiques
Les risques de modèle, d’estimation des paramètres et de simulation sont démultipliés par
l’utilisation d’une approche excessivement simplifiée comme dans le cas de certains Business
Plan Prospectifs
Aucune Intégration de paramètres qualitatifs (probabilités subjectives, opinions d’experts, risque
de modèle)
Pas de mesure de l’incertain (aucune probabilité objective à la différence du risque), application
possible de la logique floue
Limites de l’étude
21 juillet 2011 – Université d’été Solvabilité II – Des copules à la logique f loue 21 / 48
SOMMAIRE
• Introduction
• Partie 1 – L’apport de la théorie des copules pour l’évaluation continue et
• prospective de la rentabilité d’un portefeuille
• Partie 2 – La modélisation des lois comportementales via la logique floue
1. Contexte
2. La logique floue
3. La commande floue
4. Conclusion
• Conclusion
• Questions/Réponses
22 / 48
Partie 2
21 juillet 2011 – Université d’été Solvabilité II – Des copules à la logique f loue
Contexte
Tenir compte de l’ensemble des éléments intervenant dans le compte de résultat et au bilan
Vision prospective et économique des flux de trésorerie futurs inhérents aux contrats et aux
engagements, compte tenu de leur probabilité de survenance
Représentation du profil de risques de la compagnie
Modélisation ALM : Représenter au mieux l’évolution possible de la situation de la
compagnie
Approche déterministe
Projection basée sur un unique scénario jugé le plus probable
Limites en termes de représentativité et d’appréciation des risques
Approche stochastique, par simulations
Couverture de l’ensemble des possibles, en reproduisant l’incertitude liée à l’évolution future des
contrats
– Modèles d’actifs, de passifs & interactions
– Représentation : Variable financières, variables biométriques, décisions stratégiques
Méthodologie capable de capter le caractère volatil des éléments modélisés
– Exemple : Options et des garanties financières des contrats d’épargne
Valorisation économique de l’activité d’assurance
23 / 48
Partie 2
21 juillet 2011 – Université d’été Solvabilité II – Des copules à la logique f loue
Contexte
Approche traditionnelle : Modélisation ALM & Approche stochastique
Générateur de scénarios
économiques Univers réel
Univers risque-neutre
Données du portefeuille
Modèle d’actif :
Taux d’intérêt
Actions
Obligations
Inflation
Corrélation
Modèle de passif :
Mortalité
Rachats
Arbitrages
Modèle d’interaction :
Stratégie de revalorisation
Politique d’investissement
Choix de modélisation
Boucle sur les simulations
Boucle sur les années de projection
Boucle sur les contrats/assurés
Restitution des résultats et des variables d’intérêt Distribution empirique
Moyennes
Mesures de risque
24 / 48
Partie 2
21 juillet 2011 – Université d’été Solvabilité II – Des copules à la logique f loue
Contexte
Modélisation des rachats pour les contrats en euros rachetables
Approche traditionnelle : Modélisation ALM & Approche stochastique
Rachats structurels
Rachats liés aux caractéristiques propres du
contrat ou de l’assuré
Fonction de divers facteurs comme l’âge
atteint, l’ancienneté du contrat, ou la fiscalité
Loi d’expérience s’appuyant en général sur
la fiscalité du contrat
Rachats conjoncturels
Rachats liés au contexte économique, i.e.
aux réallocations d’épargne réalisées par les
assurés en fonction d’opportunités de
marché
Fonction d’un écart de rendement entre le
taux servi et un taux de référence du marché
(taux attendu)
Loi comprise dans le tunnel de 2 lois de
rachat (ONC du QIS5)
– Plafond maximum de rachats
– Plafond minimum de rachats
25 / 48
Partie 2
21 juillet 2011 – Université d’été Solvabilité II – Des copules à la logique f loue
Contexte
Une modélisation probabiliste nécessitant certaines simplifications
Nombre limité d’observations pour représenter de manière exhaustive les phénomènes
Abstraction d’un certain nombre d’informations jugées non fiables
Choix sur les données en entrée pour la construction de la loi
– Axes principaux de représentativité
Perte d’informations liée à l’élimination des données imparfaites
– Imprécisions, incertitudes, incomplétudes
Manque de représentativité des décisions humaines par une logique binaire
Réaction singulière de chaque individu face à une situation, étant donné sa pensée propre et la
perception qu’il se fait de l’environnement
Difficulté de capter les imprécisions inhérentes à la pensée humaine
Lacunes de la théorie probabiliste dans un environnement incertain
Nouveau champ de recherche : La logique floue
Approche traditionnelle : Modélisation ALM & Approche stochastique
26 / 48
Partie 2
21 juillet 2011 – Université d’été Solvabilité II – Des copules à la logique f loue
La logique floue
Environnement mathématique complet permettant d’intégrer des données imparfaites dans
un processus de décision
Une proposition peut être vraie et fausse en même temps, dans une certaine mesure
Notion de continuité entre les états
Travaux importants
Principe de Valence de Lukasiewicz (20ième siècle)
Existence de plusieurs valeur de vérité et non plus uniquement les deux valeurs binaires
Théorie des ensembles flous de Zadeh (« Fuzzy sets », 1965)
Base de la logique floue
Principe d’extension de Zadeh (1975)
Application reliant deux sous-ensembles flous de deux ensembles de référence
Théorie des possibilités de Zadeh (1978)
Notions de mesures de possibilité (occurrence d’un évènement) et de nécessité (degré avec lequel
la réalisation de l’évènement est certain)
Concept
Modèles mathématiquesFormalisation de l’expertise
par le langageLogique floue
27 / 48
Partie 2
21 juillet 2011 – Université d’été Solvabilité II – Des copules à la logique f loue
La logique floue
La notion d’appartenance à un sous-ensemble
Degré d’appartenance ou valeur de vérité
La fonction d’appartenance caractérise le sous-ensemble flou
Soit A un sous-ensemble d’un ensemble de référence U
Caractéristiques
Opérateurs sur les sous-ensembles flous
Théorie des ensembles flous (Zadeh, 1965)
28 / 48
Partie 2
21 juillet 2011 – Université d’été Solvabilité II – Des copules à la logique f loue
La logique floue
Différentes formes possibles pour les fonctions d’appartenance
Fonctions symétriques
Fonctions non symétriques
La logique booléenne : Un cas particulier de la logique floue
Théorie des ensembles flous (Zadeh, 1965)
Forme triangulaire Forme trapézoïdale Forme gaussienne
Fonction
d’appartenance de la
classe « Taux élevé » :
Fonction d’appartenance
de la classe
« Taux égal à 10% » :
Cloche asymétrique Fonction croissante Fonction décroissante
29 / 48
Partie 2
21 juillet 2011 – Université d’été Solvabilité II – Des copules à la logique f loue
La logique floue
Variables floues : Variables linguistiques à valeurs linguistiques dans l’univers de référence
ou univers du discours
Univers du discours : Taux de rachat compris entre 0% et 100%
Variable linguistique : Taux de rachat
Valeurs linguistiques ou classes d’appartenance
Proche de zéro : Entre 0% et 3%
Faible : Entre 0% et 10%
Moyen : Entre 7% et 20%
Théorie des ensembles flous (Zadeh, 1965)
Elevé : De 17% à 40%
Fort : Au-delà de 30%
30 / 48
Partie 2
21 juillet 2011 – Université d’été Solvabilité II – Des copules à la logique f loue
La commande floue
Application permettant de calculer un résultat non flou depuis plusieurs variables non
floues, par le biais d’un processus de raisonnement flou
Méthodologie
DEFUZZIFICATION
FUZZIFICATION
INFERENCE
Variables floues
Fonctions d’appartenance
ENTREE :
Variables réelles
(entrées & sorties)
Règles d’inférence
Gestion des données
SORTIE :
Résultat réel
Fonctions d’appartenance
du sous-ensemble flou de
la conclusion cible
31 / 48
Partie 2
21 juillet 2011 – Université d’été Solvabilité II – Des copules à la logique f loue
La commande floue
Transformation des variables réelles d’entrée et de sortie en sous-ensembles flous
Définition du cadre d’analyse : Application aux rachats
Variables d’entrée / sortie du processus flou
Entrées
– Ecart de rendement entre le taux servi et le taux attendu
– Ancienneté du contrat
Sortie : Taux de rachat
Univers du discours pour chacune des variables identifiées
Ecart de rendement : Entre -10% et 10%
Ancienneté du contrat : Supérieur à zéro
Taux de rachat : Entre 0 et 100%
Classes d’appartenance qui partitionnent l’univers du discours
Fonctions d’appartenance qui caractérisent chaque classe d’appartenance
Première étape : La fuzzification
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Partie 2
21 juillet 2011 – Université d’été Solvabilité II – Des copules à la logique f loue
La commande floue
Première étape : La fuzzification
Fonctions
d’appartenance des
variables en entrée :
l’écart de rendement et
l’ancienneté du contrat
33 / 48
Partie 2
21 juillet 2011 – Université d’été Solvabilité II – Des copules à la logique f loue
La commande floue
Fonction d’appartenance de la variable en sortie : le taux de rachat
Première étape : La fuzzification
34 / 48
Partie 2
21 juillet 2011 – Université d’été Solvabilité II – Des copules à la logique f loue
La commande floue
Détermination de la fonction d’appartenance du sous-ensemble flou de la conclusion cible à
partir de règles d’inférence
Règles d’inférence : Formaliser l’expertise par des phrases
SI « l’écart de rendement est fortement négatif » ET « l’ancienneté est proche de 8 ans »
ALORS « le taux de rachat est fort »
Matrice d’inférence
Deuxième étape : L’inférence
Conjonction
Conclusion
PrémissesImplication
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Partie 2
21 juillet 2011 – Université d’été Solvabilité II – Des copules à la logique f loue
La commande floue
3 étapes à accomplir
Agrégation : Evaluer les conditions associées aux règles d’inférence
La conjonction « OU » correspond à l’opérateur « maximum »
La conjonction « ET » correspond à l’opérateur « minimum »
Activation : Evaluer chaque règle Ri et appliquer la méthode d’implication
Agrégation des conclusions : Obtenir la fonction d’appartenance finale à partir du critère de
maximisation
Deuxième étape : L’inférence
)(' )( yRiconclusion
)()( )( yMAXy Riconclusionfinale
)(upremisse
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Partie 2
21 juillet 2011 – Université d’été Solvabilité II – Des copules à la logique f loue
La commande floue
Exemple : Ecart = -1,25% et Ancienneté = 10 ans
L’écart est « faiblement négatif »
avec un degré de 62%
L’écart est «proche de zéro »
avec un degré de 38%
L’ancienneté est « proche de
8 ans » avec un degré de 100%
Deuxième étape : L’inférence
37 / 48
Partie 2
21 juillet 2011 – Université d’été Solvabilité II – Des copules à la logique f loue
La commande floue
Activation de 2 règles d’inférence
Règle R1 aboutissant à la conclusion « Taux de rachat fort »
Agrégation à l’aide de la fonction minimum
Règle R2 aboutissant à la conclusion « Taux de rachat élevé »
Agrégation à l’aide de la fonction minimum
Deuxième étape : L’inférence
%6210%;25,1 premisse
%3810%;25,1 premisse
38 / 48
Partie 2
21 juillet 2011 – Université d’été Solvabilité II – Des copules à la logique f loue
La commande floue
Implication suivant la méthode de Mamdani
Deuxième étape : L’inférence
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Partie 2
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La commande floue
Implication suivant la méthode de Larsen
Deuxième étape : L’inférence
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Partie 2
21 juillet 2011 – Université d’été Solvabilité II – Des copules à la logique f loue
La commande floue
Agrégation des conclusions par la fonction maximum
Classe floue consolidée représentative de la variable floue de sortie
Deuxième étape : L’inférence
Méthode de Mamdani Méthode de Larsen
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Partie 2
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La commande floue
Détermination d’une valeur de sortie réelle et interprétable à partir de la fonction
d’appartenance du sous-ensemble flou de la conclusion cible établie par le mécanisme
d’inférence
Différentes techniques applicables
Résultats pouvant être très différents
Exemples
Méthode du centre de gravité
Le résultat réel correspond à l’abscisse du centre de gravité de la surface sous la fonction
d’appartenance
Méthode de la moyenne des maximums
Le résultat réel correspond à la moyenne des valeurs de sortie ayant le degré d’appartenance
maximal
Bissection de la surface
Le résultat réel correspond à la moyenne des valeurs de sortie ayant le degré d’appartenance
maximal
Troisième étape : La défuzzification
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Partie 2
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Conclusion
Approche complémentaire à la théorie des probabilités
Assouplissement du cadre de la théorie classique de sorte à répondre au besoin de représenter
des connaissances soumises à des imprécisions
La logique floue comble les lacunes de la logique booléenne en introduisant la notion de continuité
entre les états
Une expertise rendue accessible
Technique opérationnelle traitant numériquement des situations que nus ne pouvons décrire que
qualitativement
Les applications ne sont pas forcément plus performantes mais juste plus faciles à réaliser et à
utiliser
Plusieurs champs d’application
La commande floue
La régression floue
La logique floue
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Partie 2
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Conclusion
Le résultat obtenu à partir d’une commande floue n’est pas linéaire mais se rapproche du
comportement humain
Avantages
Théorie simple, susceptible de s’appliquer à des systèmes complexes
Pas de modèle mathématique rigoureux requis
Robustesse de la commande floue vis-à-vis des incertitudes
Inconvénients
Contradictions possibles dans les règles d’inférence
Expertise indispensable, conditionnant la performance du procédé
– Grand degré de subjectivité dans les choix de modélisation, notamment pour les fonctions d’appartenance
Apparition éventuelle d’erreurs au cours de l’utilisation des règles qui doivent êtres établies avec
réflexion
– Phase de tests nécessaire pour détecter les éventuelles aberrations et adapter le système
Application dans le cadre des rachats : Une approche à appronfondir
Affinage de l’algorithme de la commande floue
Augmenter le nombre de variables linguistiques
Affiner les classes d’appartenance
Affiner les règles d’inférence
La commande floue
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SOMMAIRE
• Introduction
• Partie 1 – L’apport de la théorie des copules pour l’évaluation continue et
• prospective de la rentabilité d’un portefeuille
1. Le suivi de la rentabilité sous Solvabilité II
2. Analyse multivariée et copules
3. Construction d’un business plan prospectif à l’aide des copules elliptiques
4. Développements futurs
• Partie 2 – La modélisation des lois comportementales via la logique floue
1. Contexte
2. La logique floue
3. La commande floue
4. Conclusion
• Conclusion
• Questions/Réponses
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Conclusion
Rôle important de la R&D dans le perfectionnement des modèles
Modélisation & mise en œuvre
Plusieurs approches envisageables
Arbitrer entre exactitude mathématique
et représentativité des résultats
Contrôle
Vérifier de la cohérence du modèle développer
Apprécier le risque de modèle
Beaucoup de pistes à développer
Intégration des avancées scientifiques liées à d’autres secteurs de recherche
Théorie financière
Théorie comportementale
Modélisation des risques opérationnels
Optimisation des temps de calcul
Pilotage de l’activité à l’aide d’indicateurs Solvabilité II
Implication des opérationnels métiers dans le process de modélisation
Contrainte réglementaire liée à Solvabilité II
Formulation actuarielle de « l’avis d’expert » dans les modèles prospectifs
De grands chantiers en perspective
FLEXIBILITECOMPLEXITE
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Des copules à la logique floue
MERCI DE VOTRE ATTENTION
QUESTIONS / REPONSES
La R&D actuarielle au service des modèles prospectifs
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Optimind en résumé
Une société de conseil experte et indépendante
La société
SAS créée en 2000 au capital de 400 950 euros
Capital social détenu par les associés, personnes physiques, directeurs métiers de l’entreprise, membres du comité de direction
+ de 80 collaborateurs dont plus d’une quarantaine d’actuaires diplômés membres de l’Institut des Actuaires
1er société d’actuariat conseil française en nombre d’actuaires
Les références client
Plus de 90 % du marché de l’assurance en volume de CA
Quelques références Assurance
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2 000 000 €
4 000 000 €
6 000 000 €
8 000 000 €
10 000 000 €
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14 000 000 €
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20 000 000 €
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Prévisions
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Les pôles de compétences OPTIMIND
Practice Optimind structurée autour des Pôles de Compétence Optimind, pour une
couverture matricielle des besoins en expertise
Expérience des produits et des systèmes d’information en Epargne, Retraite, Prévoyance, Santé et
IARD
Aptitudes transverses à l’exercice de nos métiers – Solvabilité II, ERM, ORSA, Inventaire,
Comptabilité sociale et IFRS, Modélisations prospectives sur les outils SAS, MoSes ou Prophet par
exemple
La mutualisation systématique des expertises et du retour d’expérience
Inventaire
Modélisation prospective
Normes IFRS
Epargne Retraite Prévoyance IARDSanté
Solvabilité II
Nos pôles de compétences
Animés par un Practice Leader , porte parole de l’expertise collective d’Optimind sur le sujet
Expertise métier
Expertise outil / technique
Formation continue, publication
Veille réglementaire et juridique
Composés chacun de 15 à 20 consultants de séniorités diverses
Mise à jour bases de données de marché