derived categroy についてsiva.cc.hirosaki-u.ac.jp/usr/ueyama/wakate/2008/wakate13...付録c...
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Wakamatsu tilting moduleと
derived categroyについて
相原琢磨
千葉大学自然科学研究科∗
概要
TA に対して, Aと B := EndA(T) がどのくらい似ているか？について考える. TA が
tilting moduleのとき, Aと Bは derived equivalentであることが知られている. ここ
では, TA が tilting moduleの拡張である, Wakamatsu tilting moduleのときについて考
察する. しかし,この場合の結果は得られていない.
目次
1 Introduction 3
2 Categoryと equivalence 4
2.0.1 Triangulated categoryと quotient category . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Module category . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
2.1.1 森田の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
2.1.2 Quiverと path algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41
2.1.3 Cartan matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45
2.2 Derived category . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45
2.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46
2.2.2 Derived category . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49
2.2.3 Derived functor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
2.2.4 Derived equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72
∗ E-mail address : [email protected]
1
2.3 Stable module category . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78
2.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78
2.3.2 Stable module category . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79
2.3.3 Stable equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88
2.3.4 奥山の方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95
3 Tilting module 99
3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99
3.2 Tilting moduleと category . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100
3.2.1 Tilting moduleと tilting complex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100
4 Wakamatsu tilting module 101
4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101
4.2 Wakamatsu tilting moduleと module category . . . . . . . . . . . . . . . . .103
4.3 Wakamatsu tilting module with finite projective dimension . . . . . . . . . .110
4.4 Wakamatsu tilting moduleと stable equivalence . . . . . . . . . . . . . . . .114
4.4.1 Algebraの extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114
4.4.2 Ker (A, B), Cok (A, B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118
4.4.3 Stable equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121
付録 A Derived category on Mod-A 122
A.1 準備 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122
A.2 D(Mod-A)の K(Mod-A)への引き戻し . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125
付録 B Proof of Rickard’s theorem 128
B.1 準備 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128
B.1.1 Adjoint functorと fully faithful . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128
B.1.2 K−(add-P•) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131
B.2 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136
B.2.1 (1)=⇒ (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137
B.2.2 (2)=⇒ (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137
B.2.3 (3)=⇒ (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137
B.3 Two-sided tilting complex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144
2
付録 C Example 2.2.49の derived equivalenceについて 145
1 Introduction
以下, kを代数閉体*1, Aを有限次元 k-algebraとし,考える moduleはすべて有限生成と
する*2. よって, Aは Artin algebraで,すべての moduleに対して, projective coverが存在
する.
TA ∈ mod-A, B := EndA(T)に対して,次の図式が成り立つ.
TA AA+3
progenerator +3
tilting module
Equivalent Isomorphic +3 Morita equivalent +3 Derived equivalent
このように, TAに対して,その endomorphism algebraBと Aはよく似た構造をもつ. こ
こでは, TA が tilting moduleの拡張である ”Wakamatsu tilting module”のとき, Aと Bが
どのくらい似ているかを考える. つまり,
TA AA+3
progenerator +3
tilting module +3
Wakamatsu tilting module
Equivalent Isomorphic +3 Morita equivalent +3 Derived equivalent +3 ?
また, TA が Wakamatsu tilting module (+ 条件) のとき, Aと Bを拡大した algebraΛ, Γ
が stable equivalentになることが知られている. この stable equivalenceが Aと Bのある
関係からきているかどうかも今後の研究課題だろう. 例えば,この拡大が trivial な拡大の
場合は, A, B間の derived equivalenceが Λ, Γ間の derived equivalenceにもちあがること
が Rickardによって示されている (trivial な拡大でなくても, TAが tilting module (+条件)
ならば, derived equivalenceはもちあがる).
そこで, categoryと equivalenceについて詳しく解説していく. categoryと equivalence
は次のような関係になっている.
*1 分解体で十分である. ここに載せるほとんどの結果が体でも成り立つが,代数閉体 (分解体)でないと不都合な点がある.
*2 断りがない限り. 特に, category内で考えるときは (長さ無限の complexに対して,直和や直積をとるため)注意が必要である.
3
Category Module category //OO
Derived category
self-inj. //OO
Stable module categoryOO
Equivalent Morita equivalent +3 Derived equivalent +3 Stable equivalent*5
ここで, stable module categoryは Aが self-injective algebraでなくても,定義することは
でき, equivalenceも考えることはできるが, derived category, derived equivalenceとの関係
はわかっていない. これも今後の研究課題である.
また, Morita equivalenceや (体上の) derived equivalenceは標準的な functor (tensorで
与えられる functor)で与えられることがわかっているが, stable equivalenceは一般に
標準的な functorでは与えられない. そこで特に, 標準的な functorで与えられる stable
equivalence (stable equivalence of Morita type)を考える.
2 Categoryと equivalence
ここでは,前節で述べた equivalenceについて解説する.
まずは, categoryについて簡単に復習しよう. categoryとは, objectの集まり (集合とは
限らない*6) と morphismの集合からできている. また, 2つの categoryC, D に対して,
F : C // D が functorとは,次を満たすときにいう.
(i) Cの obj. Xに対して,Dの obj. F(X)がただ一つ決まる.
(ii) F : HomC(X,Y) // HomD(F(X), F(Y)) : 写像
(iii) F([identity map])= [identity map],F(g f) = F(g)F( f )
さらに, 2 つの categoryが equivalentC ' D であるとは, functor F : C // D ,
G : D // C が存在し, GF ' 1C *7 , FG ' 1D となるときにいう.
*5 stable equivalenceについてはまだまだわかっていないことが多い. stable equivalentならば, simple moduleの個数は等しくなるか？ stable equivalenceで保存される特徴は？
*6 集合の category :
obj. 集合
mor. 写像
*7 GF(X)GF( f )//
'
GF(Y)'
Xf
// Y
4
次に, categoryの種類について述べる. categoryには,大きく分けて 2つの種類がある.
(1) abelian cat.· · · · · · mod-A, Cb(mod-A)など
additive cat.*8 で, kernel*9, cokernel*10 が存在し, 準同型定理 ( f : X → Y に対して,
X/Ker f ' Im f *11)が成り立つ.
(2) triangulated cat.· · · · · · Kb(mod-A), Db(mod-A)など
additive cat. with auto-functor ([1] :C ∼→ C)*12 , triangle (X→ Y→ Z → X[1]) で次の
公理を満たす.
(TR1) f : X→ Yに対して, triangle :Xf→ Y→ Z→ X[1] が作れる. 特に, 1X : X→ X
のときは Z = 0. このとき, f から作られる Zを mapping coneといい, C( f )と
かく.
(TR2) triangle :Xf→ Y
g→ Z
h→ X[1] ⇐⇒ triangle :Yg→ Z
h→ X[1]− f [1]→ Y[1]
(TR3) Xu //
f Y
gM v
// N
に対して, h : C(u)→ C(v)が存在して, Xu //
f Y //
g C(u) //
h X[1]
f [1]M v
// N // C(v) // M[1]
*8 Hom(X,Y) が abelian gp.で, composition : Hom(Y,Z) × Hom(X,Y) → Hom(X,Z) が bilinearとなる. さらに, ”0” が存在し,直和をとることができる.
*9 Ki→ X
f→ Y, f i = 0となり, f g = 0となる Z
g→ X に対して, K
i@
@@
Z g//
∃1 ??
Xf// Y
を満たす K のこと. こ
れを Ker f とかく.
*10 Xf→ Y
ρ→ C, ρ f = 0となり, g f = 0となる Y
g→ Z に対して, C ∃1
X
f// Y g
//
ρ ??Z
を満たす C のこと. こ
れを Cok f とかく.*11 X/Ker f は, f の kernelの cokernel, Imf は, f の cokernelの kernelのこと.*12 auto-functorであることから,逆の functorが存在し,それを [−1] とかく. また,整数 nに対して,帰納的に
[n] を定義できる. [n] :=
n 個︷ ︸︸ ︷[1] · · · · · · [1] n > 0
1C n = 0
[−1] · · · [−1]︸ ︷︷ ︸−n 個
n < 0
5
(TR4) (Octahedral axiom)f : X→ Y, g : Y→ Xに対して,
Xf //
Yu //
g
C( f ) //
i
X[1] triangle
Xg f //
f
Zv //
C(g f) //
j
X[1]
f [1]
triangle
Yg //
u
Z //
v
C(g) //
Y[1]
u[1]
triangle
C( f )i
// C(g f)j
// C(g) // C( f )[1] triangle
ここで, u, vは (TR1)により, i, j は (TR3)により与えられる.
これにより, f ,gから新しい triangle :C( f )→ C(g f)→ C(g)→ C( f )[1] が得ら
れる.
以下 (断りがない限り) , category (cat.)は additive category, functorは additive functor*13
を考える.
群や環で準同型写像 (群や環の構造を保つ写像) を考えるように, cat.でも functorを考
えるときは構造を保つものを扱いたい. 上で見たように, (1)の cat.は kernel, cokernel (つ
まり, exact sequence)が, (2)の cat.は triangleが構造上大切なものになっている. よって,
abelian cat.から abelian cat.への functorは exact sequenceを保つものを, triangulated cat.
から triangulated cat.への functorは triangleを保つものを考える. このような functorを
exact functorとよぶ.
次に, equivalenceについて述べる. cat.は, object, morphismの 2つの要素を持っている
ため, equivalentであることを調べるときもこの 2つの要素が保たれているかを考えなけ
ればいけない (*7で,縦の morphismが同型であること⇔objectを保つ,四角形が可換で
あること⇔morphismを保つ) . 基本的には逆の functorを探すわけだが,群や環の同型を
調べるのに準同型定理を使うように, cat.でも逆の functorを作らないで equivalentである
ことを調べる方法がある.
Def 2.0.1 cat.C,Dと functorF : C → Dに対して,
*13 F : Hom(X,Y)→ Hom(F(X), F(Y)) は gp. homo.
6
(1) F : fullde f⇔ F : HomC(X,Y)→ HomD(F(X), F(Y))が全射.
(2) F : faithfulde f⇔ F : HomC(X,Y)→ HomD(F(X), F(Y))が単射.
(3) F : fully faithfulde f⇔ F は full かつ faithful.
Lemma 2.0.2 cat.C,Dと functorF : C → Dに対して,次は同値である.
(1) C F' D(2) F は fully faithful で, object間では全射である (すなわち, 任意の M ∈ D に対して,
X ∈ Cが存在して, F(X) ' M となる) .
proof. (1)⇒ (2)は明らか. (2)⇒ (1)を示す. F の逆の functorGを次のように定義する.
M ∈ Dに対して, F(X) ' M となる X ∈ Cを対応させる. これは, F が fully faithful である
ことから well-definedである. さらに,これは F : HomC(X,Y) → HomD(F(X), F(Y))の逆
写像になっている.
2.0.1 Triangulated categoryと quotient category
triangulated cat.について詳しく述べておく. 特に,以下の 3つについて詳しく解説する.
(1) triangle (2) epaisse subcategory*14 (3) quotient category
ここでは,Aを abelian cat.,K ,H を triangulated cat.とする.
まずは, triangleについて. triangleは, mod-Aの exact sequenceに対応している. 例えば,
triangle :Xf→ Y
g→ Z
h→ X[1] に対して, g f = 0, hg= 0が成り立つ*15.
Def 2.0.3 functor :K → Aが cohomological functorとは, triangle :X→ Y→ Z→ X[1]
に対して, Hによって導かれる列 : · · · → H(Z[n−1])→ H(X[n]) → H(Y[n]) → H(Z[n]) →H(X[n+ 1])→ · · · が exactになるときにいう. また, Hn := H · [n] とおく.
Prop 2.0.4 W ∈ K に対して, HomK (W,−) : K → Mod-Z は cohomological functorで
ある.
*14 subcategoryD of C とは, faithful functor :D → C が存在するときにいう. 特に, その functorが fully
faithful のとき, full subcategoryという.
*15 (TR1) (TR3)より, X1 //
X //f
0 //
X[1]
X
f// Y g
// Zh// X[1]
となるから, g f = 0. hg= 0は (TR2)で triangleをずら
してから同様.
7
proof. triangle : Xf // Y
g // Zh // X[1] とする. このとき,
HomK (W,X)HomK (W, f ) // HomK (W,Y)
HomK (W,g) // HomK (W,Z)
が exactであることを示せば,あとは (TR2)によりずらしてから同様にすればよい. g f = 0
より, HomK (W,g) ·HomK (W, f ) = 0.逆に, v ∈ HomK (W,Y)で, gv= 0とする. ((TR2)でず
らしてから) (TR3)より,
W1 //
∃u
W //
v
0 //
W[1]
X
f// Y g
// Zh
// Z[1]
Remark 2.0.5 Def 2.0.3, Prop 2.0.4に対して, その dualを考えることができる. con-
travariant functor*16 H : K → Aに対して, H によって導かれる列 : · · · → H(X[n+ 1]) →H(Z[n]) → H(Y[n]) → H(X[n]) → H(Z[n − 1]) → · · · が exactになるとき, H を
contravariant cohomological functorという. HomK (−,W) : K → Mod-Z は contravariant
cohomological functorである.
Prop 2.0.6 2つの triangleとその間の morphism
Xf //
u
Yg //
v
Zh //
w
X[1]
u[1]
X′
f ′// Z′
g′// Z′
h′// X′[1]
に対して, u, v,wのうち, 2つが iso.ならば,残りの 1つも iso.である.
proof. (TR2)により, u, vが iso.のときを示せばよい. Prop 2.0.4より,
HomK (−,X) //
'
HomK (−,Y) //
'
HomK (−,Z) //
HomK (−,w)
HomK (−,X[1]) //
'
HomK (−,Y[1])
'
HomK (−,X′) // HomK (−,Y′) // HomK (−,Z′) // HomK (−,X′[1]) // HomK (−,Y′[1])
*16 F : C → D が contravariant functorとは, F が導く morphism間の写像が F : HomC(X,Y) →HomD(F(Y), F(X)) となるときにいう.
8
2行はともに exactになるから, 5-Lemmaより, HomK (−,w)は iso.−に Z′, Zを代入して,
HomK (Z′,w) : HomK (Z′,Z) //
∈
HomK (Z′,Z′)
∈
iso.
∃w′ // ww′ = 1Z′
HomK (Z,w) : HomK (Z,Z) //
∈
HomK (Z,Z′)
∈
iso.
w′w // ww′w
1Z // w
したがって, wは iso.である.
ここで,上の証明で使ったことをまとめておく.
Prop 2.0.7 [Yoneda’s Lemma]
f : X→ Yに対して, HomK (−, f )が iso.ならば, f は iso.である.
Cor 2.0.8 f : X → Yに対して, triangle : Xf→ Y → Z → X[1] は同型を除いて一意的で
ある.
Lemma 2.0.9 triangle :Xf→ Y
g→ Z
h→ X[1] に対して,次は同値である.
(1) f は section.つまり, HomK ( f ,X)は全射.
(2) gは retraction.つまり, HomK (Z,g)は全射.
(3) h = 0.
proof. (1) ⇒ (3). HomK (u,X) : HomK (Y,X) → HomK (X,X) : 全射とする. このとき,
u f = 1X となる u ∈ HomK (Y,X) が存在する. したがって, (TR3)より,次の commutative
diagramを作ることができる.
Xf //
Yg //
u
Zh //
X[1]
X1X
// X // 0 // X[1]
よって, h = 0. (2)⇒ (3). (1)⇒ (3)の dual. (3)⇒ (2). Prop 2.0.4より. (3)⇒ (1). Remark
2.0.5より.
9
Prop 2.0.10 triangle :Xf→ Y
g→ Z
h→ X[1] に対して,次は同値である.
(1) f は iso. (2) Z = 0.
proof. (1)⇒ (2). (TR3)より,
X1 //
X //
f
0 //
X[1]
Xf
// Y g// Z
h// X[1]
Prop 2.0.6より, Z ' 0. (2)⇒ (1). Lemma 2.0.9より, f は section. (TR2)でずらしてから
Lemma 2.0.9で, f は retraction.したがって, f は iso.
Prop 2.0.11 objectと morphismの組 : Xifi→ Yi
gi→ Zihi→ Xi [1] (1 ≤ i ≤ n) と有限直和 ⊕
に対して,次は同値である.
(1) Xifi→ Yi
gi→ Zihi→ Xi [1] (1 ≤ i ≤ n)は triangleである.
(2) ⊕Xi⊕ fi→ ⊕Yi
⊕gi→ ⊕Zi⊕hi→ ⊕Xi [1] は triangleである.
proof. X := ⊕Xi , f := ⊕ fi とおき, Y, Z, g, hも同様におく. また, projectionpXi : X → Xi ,
inclusionqXi : Xi → Xとする.
(1)⇒ (2). Z′ := C( f )とすると, (TR3)より次のような commutative diagramを作れる.
Xf //
pXi
Y //
pYi
Z′ //
r i
X[1]
Xi fi
// Yi gi
// Zi hi
// Xi [1]
よって,次の commutative diagramを得る.
X // Y // Z′ //
r
X[1]
X // Y // Z // X[1]
10
(今の段階では,下の行は triangleとは限らない) そこで, HomK (−,?)を applyして, com-
mutative diagramを作る.
HomK (−,X) // HomK (−,Y) // HomK (−,Z′) //
HomK (−,r)
HomK (−,X[1]) // HomK (−,Y[1]) exact
HomK (−,X) //
'
HomK (−,Y) //
'HomK (−,Z) //
'
HomK (−,X[1]) //
'
HomK (−,Y[1])
'
⊕HomK (−,Xi ) // ⊕HomK (−,Yi ) // ⊕HomK (−,Zi ) // ⊕HomK (−,Xi [1]) // ⊕HomK (−,Yi [1]) exact
ここで,上行と下行は Prop 2.0.4より, exactである.よって,中段も exactとなり, 5-Lemma
より HomK (−, r)は iso.したがって, Yoneda’s Lemmaより, r は isoとなる.
(2) ⇒ (1). Z′i := C( fi), Z′ := ⊕Zi とおくと, (1) ⇒ (2)より, X → Y → Z′ → X[1] は
triangle. (TR3)より,
Xf // Y
g // Zh //
r
X[1]
Xf
// Yg′
// Z′h′
// X[1]
r i : Zi
qZi→ Z
r→ Z′pZ′
i→ Z′i とすると,次の commutative diagramを得る.
Xf // Y
g // Zh //
⊕r i
X[1]
Xf
// Yg′
// Z′h′
// X[1]
Prop 2.0.6より, ⊕r i は iso.だから, r i は iso.となる.
Prop 2.0.12 triangle :Xf→ Y
g→ Z
0→ X[1] は次のように分解される.
X
01
// Z ⊕ X
[1 0] // Z0 // X[1]
proof. X1→ X → 0 → X[1], Z
1→ Z → 0 → Z[1] は triangleだから, Prop 2.0.11より,
Xf ′
→ Z ⊕ Xg′
→ Z0→ X[1] は triangleである. ここで, f ′ :=
[01
], g′ := [1 0] である. また,
11
Prop 2.0.9より, gは retractionだから, g′′ : Z→ Yで, gg′′ = 1Z となるものが存在する. し
たがって,次の commutative diagramを得る.
Xf ′ // Z ⊕ X
g′ //
[g′′ f ]
Z0 // X[1]
Xf
// Y g// Z
0// X[1]
Prop 2.0.6より, [g′′ f ] は iso.になる.
Lemma 2.0.13 triangleとその間の morphism
Xf //
u
Yg //
v
Zh //
w
X[1]
(triangle 1)
X′f ′
// Y′g′
// Z′h′
// X′[1] (triangle 2)
に対して, wが iso.ならば, v′ : Y→ Y′ が存在して,次を満たす.
(1) Xt [ f u] // Y⊕ X′
[v′ − f ′] // Y′hw−1g′ // X[1] は triangleである.
(2) 下の図式は commutativeである.
Xf //
u
Yg //
v′
Zh //
w
X[1]
X′
f ′// Y′
g′// Z′
h′// X′[1]
proof.下のような commutative diagramを作る.
Y′g′ // Z′
h′ //
w−1
X′− f ′[1] //
−1
Y′[1]
Y′w−1g′
// Z −h′w// X′[1]
f ′[1]// Y′
(TR2)[(triangle 2)に適用] により,上行は triangleで,縦のmorphismは iso.だから,下行も
triangle [:= (triangle 3)]である. (TR2)[(triangle 1)に適用], (TR4)[(triangle 1)(triangle 3)に
12
適用] により,次の commutative diagram (∗)を得る.
Y′w−1g′ // Z
−h′w //
h
X′f ′[1] //
γ
(∗1)
Y′[1]
Y′hw−1g′
//
w−1g′
X[1]φ
//
(∗2)
C(hw−1g′)ψ
//
δ
(∗3)
Y′[1]
(w−1g′)[1]
Z
h//
−h′w
(∗4)
X[1]− f [1]
//
φ
Y[1]−g[1]
// Z[1]
−(h′w)[1]
X′[1] γ
// C(hw−1g′)δ
// Y[1]0
// X′[2]
一番下の行は triangleである. よって, Prop 2.0.12より,次の triangleの同型を得る.
X′[1]t [0 1] // Y[1] ⊕ X′[1]
[1 0] //
[η γ]
Y[1]0 // X′[2]
X′[1] γ// C(hw−1g′)
δ// Y[1]
0// X′[2]
ここで, t[δ θ] := [η γ]−1とおき,次のことを確認しておく.
1C(hw−1g′) = [η γ] · t[δ θ][1Y[1] 0
0 1X′[1]
]= t[δ θ] · [η γ]
= ηδ + γθ =
[δη δγθη θγ
]さらに, (∗1), (∗2)より,次の commutative diagramを得る.
Y′hw−1g′ // X[1]
t [− f [1] θφ] // Y[1] ⊕ X′[1][ψη f ′[1]] //
[η γ]
Y′[1]
Y′hw−1g′
// X[1]φ
// C(hw−1g′)ψ
// Y′[1]
下行は (∗)の 2行目で triangleである. また縦の morphismは iso.だから,上行も triangle
になる. この triangleに (TR2)を適用して,
Xt [ f −(θφ)[−1]] // Y⊕ X′
[−(ψη)[−1] − f ′] // Y′hw−1g′ // X[1]
13
は triangle [:= (triangle 4)]である. したがって, [−(ψη)[−1] − f ′] · t[ f − (θφ)[−1]] = 0よ
り, −(ψη)[−1] · f = f ′ · (−(θψ)[−1]). さらに, (∗3)より,
g′ · (−(ψη)[−1]) = −g′ · ψ[−1] · η[−1]= w · g · δ[−1] · η[−1]= w · g
また, (∗4)より,−(θφ) · h = θ · γ · h′w
= h′ · w
よって,次の commutative diagram (∗∗)を得る.
Xf //
−(θφ)[−1]
Yg //
−(ψη)[−1]
Zh //
w
X[1]
−θφ
X′f ′
// Y′g′
// Z′h′
// X′[1]
したがって,次も commutative diagramである.
Xf //
−(θφ)[−1]−u
Yg //
−(ψη)[−1]−v
Zh //
0
X[1]
−θφ−u[1]
X′
f ′// Y′
g′// Z′
h′// X′[1]
上行に HomK (−,X′)を適用して,
exact HomK (Y,X′) //
∈
HomK (X,X′) //
∈
HomK (Z[−1],X′)
∈
∃ϕ // −(θφ)[−1] − u // 0
よって,次の commutative diagramを得る.
Xt [ f u] // Y⊕ X′
[v′ − f ′] //1 0ϕ 1
Y′hw−1g′ // X[1]
X t [ f −(θφ)[−1]]// Y⊕ X′
[−(ψη)[−1] − f ′]// Y′
hw−1g′// X[1]
14
ここで, v′ := −(ψη)[−1] − f ′ϕとする. 下行は (triangle 4)で,縦の morphismは iso.だから
上行も triangleである. さらに, (∗∗)より,次の図式も commutativeであることがわかる.
Xf //
u
Yg //
v′
Zh //
w
X[1]
X′
f ′// Y′
g′// Z′
h′// X′[1]
次に, epaisse subcategoryについて. epaisse subcategoryは, triangulated cat.をわって
(quotient cat.)また triangulated cat.にするための subcategoryである.
Def 2.0.14U が K の epaisse subcategoryとは,次を満たすときにいう.
(1) U は K の full triangulated subcat.
(2) f ∈ HomK (X,Y)に対して,
(i) f がU の objectを通過する. (ii) C( f ) ∈ Uならば, X, Y ∈ U となる.
full subcat.が epaisse subcategoryである判定条件を用意しておく.
Prop 2.0.15U を K の full triangulated subcategoryとする. このとき,次は同値である.
(1) U は K の epaisse subcategoryである.
(2) U は同型と直和因子で閉じている.
proof. (1) ⇒ (2). (同型で閉じていること) f : X → Y, Y ∈ U とすると, Prop 2.0.10よ
り, Xf→ Y → 0 → X[1] は triangleである. よって, X ∈ U. (直和因子で閉じている
こと) X, Y ∈ K とする. Prop 2.0.12より, X[−1]0→ Y → X ⊕ Y → X は triangle.よっ
て, X ⊕ Y ∈ U ならば, 0は U を通過するから, X[−1], Y ∈ U. (2) ⇒ (1). triangle :
Xf→ Y → Z → X[1], W f ′′
AAA
X
f//
f ′ >>Y
, W, Z ∈ U とすると, (TR3)より以下の commutative
15
diagramをもつ.
Xf ′ // W //
f ′′
C( f ′) //
X[1]
Xf
// Y // Z // X[1]
(TR2)でずらしてから Lemma 2.0.13より, triangle :W→ C( f ′) ⊕ Y→ Z→W[1] を得る.
W, Z ∈ U より, C( f ′) ⊕ Y ∈ U だから, Y ∈ U. したがって, X ∈ U となる.
Example2.0.16 H : K → A : cohomological functor,U :=X ∈ K
∣∣∣ Hn(X) = 0 (∀n ∈ Z)
: full subcat. ofK とする. このとき,
(1) U は K の epaisse subcategoryである.
(2) f : morphism∈ K に対して,次は同値である.
(i) C( f ) ∈ U (ii) Hn( f ) : iso. (∀n)
以下,U を K の epaisse subcategoryとし, S :=
f : morphism∈ K∣∣∣ C( f ) ∈ U
とおく.
また, f : X→ Yに対して, f ∈ Sであることを X +3 Y で表すことにする.
Prop 2.0.17次が成り立つ.
(FR0) Wf→ X
s→ Yg→ Z, s f, gs∈ Sならば, s ∈ S.
(FR1) (1) 1X ∈ S (2) Xs⇒ Y
t⇒ Zならば, ts ∈ S.
(FR2) (1) Xs +3
f Y
Z
ならば, Xs +3
f Y∃
Z ∃+3 ∃W
(2) Yg
Z t+3 W
ならば, ∃X∃+3
∃ Y
gZ t
+3 W
(FR3) 次は同値である.
(1) Xf //g// Y
∃s +3 Z , s f = sg (2) W∃t +3 X
f //g// Y , f t = gt
(FR4) f ∈ S⇐⇒ f [1] ∈ S
(FR5) Xf //
u Y
vX′
f ′// Y′
ならば, Xf //
u Y
v
//
C( f ) //
∃ X[1]
X′
f ′// Y′ // C( f ′) // X′[1]
16
proof. (FR0) (TR3)より,以下の commutative diagram (∗1)を得る.
Xs // Y //
g
C(s) h //
X[1]
X gs+3 Z // C(gs) // X[1]
さらに, (TR4)より,以下の commutative diagram (∗2)を得る.
Wf // X //
s
C( f ) //
W[1]
Ws f
+3
f
Y // C(s f) //
W[1]
X s
//
Y //
C(s)h
// X[1]
C( f ) // C(s f) // C(s) w
// C( f )[1]
(∗1)より, hは C(gs) ∈ U を通過するから, wはU を通過する. さらに, (∗2)より,
C( f ) // C(s f) // C(s) w // C( f )[1]
は triangleである. C(s f) ∈ U だから, epaisse subcategoryの定義より, C(s) ∈ U を得る.
(FR1) (1)は明らか. (2)を示す. (TR4)より,次の commutative diagramを得る.
Xs +3 Y //
t
C(s) //
X[1]
X ts//
s
Z // C(ts) //
X[1]
Y t
+3
Z //
C(t) // Y[1]
C(s) // C(ts) // C(t) // C(s)[1]
よって, C(s), C(t) ∈ U より, C(ts) ∈ U となる.
17
(FR2) (1)Xt [s f]→ Y⊕ Z
[g −t]→ W→ X[1] を triangleとする. このとき, gs= t f であること
に注意する. (TR4), Prop 2.0.12と (TR2)より,次の commutative diagram (∗3)を得る.
Xt [s f] // Y⊕ Z
[g −t] //
[1 0]
W //
X[1]
X s+3
t [s f]
Y // C(s) //
(∗4)
X[1]
Y⊕ Z
[1 0] //
[g −t]
(∗5)
Y0 //
Z[1]t [0 1]
// Y[1] ⊕ Z[1]
W // C(s) // Z[1]
−t[1]// W[1]
(∗4), (∗5)より,次の commutative diagramを得る.
Xs +3
f
(∗6)
Y //
g
C(s) // X[1]
Z t
// W // C(s) // Z[1]
さらに, (∗3)の下行は triangleより, (TR2), (TR3), Prop 2.0.6で次の triangleの同型を得る.
Zt //
W //
C(s) //
'
Z[1]
Z t// W // C(t) // Z[1]
よって, C(t) ' C(s) ∈ U となり,主張 (∗6)を得る. (2)も同様.
(FR3) f : X→ Yに対して,次が同値であることを示せばよい.
(i) f はU を通過する. (ii) Xf // Y
∃s +3 Z , s f = 0 (iii) W∃t +3 X
f // Y , f t = 0
(i)⇒(ii). Uu@
@@
Xf
//
>>~~~Y
, U ∈ U とすると, triangle : Uu→ Y
s⇒ C(u) → U[1] を得る. さ
らに, s f = 0も明らか. (ii)⇒(i). (TR1), (TR2), (TR3)より,次の commutative diagramを
18
得る.
X //
f
0 //
X[1] −1 //
(∗7)
X[1]
f [1]
Y s
+3 Z // C(s) // Y[1]
したがって, (∗7)より, f は C(s)[−1] ∈ U を通過する. (i)⇔(iii) も同様.
(FR4)明らか.
(FR5)Z := C( f ), Z′ := C( f ′) とする. (TR4)より,次の commutative diagram (∗8), (∗9)
を得る.
(∗8) (∗9)
Xf // Y //
v
Z //
X[1]
Xv f
//
f
Y′ // C(v f) //
X[1]
Y v
+3
Y′ //
C(v) // Y[1]
Z +3 C(v f) // C(v) // Z[1]
Xu +3 X′ //
f ′
C(u) //
X[1]
Xf ′u
//
u
Y′ // C( f ′u) //
X[1]
X′
f ′//
Y′ //
Z′ // X′[1]
C(u) // C( f ′u) +3 Z′ // C(u)[1]
ここで, C(u), C(v) ∈ U より, (∗8)の 4行目 : Z ⇒ C(v f), (∗9)の 4行目 : C( f ′u) ⇒ Z′ で
あることに注意する. v f = f ′uより, (∗8)の 2行目と (∗9)の 2行目は同じ triangleである
から, C := C(v f) = C( f ′u)とおき,次の commutative diagramをもつ.
Xf // Y //
v
Z //
X[1]
Xv f
f ′u//
u
Y′ // C //
X[1]
X′
f ′// Y′ // Z′ // X′[1]
したがって, (FR1)より,主張の commutative diagramを得る.
次に, quotient categoryについて.
19
Def 2.0.18 X, Y ∈ K に対して,
K(X,Y) :=
( f , s)∣∣∣∣∣ X
f→W
s⇐ Y
とおく. また, ( f1, s1), ( f2, s2) ∈ K(X,Y) に対して, ( f1, s1) ∼ ( f2, s2) を次のように定義
する.W1
∃
X
f1
>>~~~~~~~~~~~~
f2
@@@
@@@@
@@@@
@ ∃W
Y
s1
\d@@@@@@@@@@@
@@@@@@@@@@@
s2
z ~~~~
~~~~
~~~
~~~~
~~~~
~~~∃
ks
W2
∃
OO
この関係”∼”は同値関係である.
proof. ( f1, s1) ∼ ( f2, s2) ∼ ( f3, s3)ならば, ( f1, s1) ∼ ( f3, s3)であることを示せばよい. 仮
定より,以下の commutative diagramをもつ.
W1
g1
W
X
f1
>> f2 //
f3
AAA
AAAA
AAAA
AAAA
AAAA
W2
g2
OO
g′2
Y
s1
\dAAAAAAAAAAAAAAAAAA
AAAAAAAAAAAAAAAAAA
s2
ks
s3
z
s
dl PPPPPPPPPPPPPPP
PPPPPPPPPPPPPPP
s′s nnnnnnnnnnnnnn
nnnnnnnnnnnnnn
W′
W3
g3
OO
W
Y
s
\dAAAAAAA
AAAAAAA
s′
z
W′
に対して, (FR2)より, commutative diagram
W
"Y
s
\dAAAAAAA
AAAAAAA
s′
z
Z
W′
<D をも
20
つ. このとき, Y から Z への 2つの道
W
"W2
g2
OO
g′2
Ys2ks Z
W′
<D は等しいから, (FR3)に
より, W2 から W′′ への等しい道
W
W2
g2
OO
g′2
Z +3 W′′
W′
>F が作れる. このとき,
(FR1)により, Y⇒ W′′ であることに注意する. したがって,次の commutative diagramを
得る.W1
g1
W
X
f1
>>|||||||||||||||||||
f3
BBB
BBBB
BBBB
BBBB
BBBB
g2 f2
66
g′2 f2
((
W′′ Y
s1
\dBBBBBBBBBBBBBBBBBB
BBBBBBBBBBBBBBBBBBks
s3
z ||||
||||
||||
||||
||
||||
||||
||||
||||
||
s
dl
s′rz
W′
KS
W3
g3
OO
よって, ( f1, s1) ∼ ( f3, s3)が成り立つ.
そこで,HomK (X,Y) := K(X,Y)/ ∼
とおく. また, ( f , s)を含む同値類を [( f , s)] とする.
21
Lemma 2.0.19 X, Y, Z ∈ K に対して,
HomK (X,Y) × HomK (Y,Z) //
∈
HomK (X,Z)
∈([( f , s)], [g, s′]
) // [(h f, s′′s′)]
は well-defindedである. ここで, h, s′′ は次のようにとる.
W′′
(FR2)W
h==
W′
s′′]eDDDDDDD
DDDDDDD
X
f??~~~~~~~
Y
s
]eCCCCCCCC
CCCCCCCC g
==zzzzzzzzZ
s′\dAAAAAAA
AAAAAAA
proof. [( f , s1)] = [( f ′, s′1)], [(g, s2)] = [(g′, s′2)] とすると,次の commutative diagram (∗1)
を得る.
W3
W1
h
66llllllllllllllll
g1
W2
s3
dl RRRRRRRRRRRRRRRR
RRRRRRRRRRRRRRRR
g2
X
f
66llllllllllllllll
f ′
((QQQQQQQQQQQQQQQQQ W Y
s1
dl RRRRRRRRRRRRRRRRR
RRRRRRRRRRRRRRRRR
g
66llllllllllllllllls
ks
s′1rz lllllllllllllllll
lllllllllllllllll
g′
((RRRRRRRRRRRRRRRRR W′ Z
s2
dl RRRRRRRRRRRRRRRR
RRRRRRRRRRRRRRRR
s′ks
s′2rz mmmmmmmmmmmmmmmm
mmmmmmmmmmmmmmmm
W′1
g′1
OO
h′
((QQQQQQQQQQQQQQQQQ W′2
s′3rz mmmmmmmmmmmmmmmm
mmmmmmmmmmmmmmmm
g′2
OO
W′3
22
このとき, (FR2)により, commutative diagram (∗2)
W2
g2
W
α!!C
CCCC
CCC Ysks
g==W′
βy zzzz
zzz
zzzz
zzz
W′′
を得るが,
g2g = g′2g′ より, (h f, s3s2) ∼ (αg1 f , βs′)であることを示せばよい.
W3
W1
g1
h
66lllllllllllllllllW2
s3
dl RRRRRRRRRRRRRRRR
RRRRRRRRRRRRRRRR
g2
X
f
66llllllllllllllllW α
// W′′ W′β
ks Zs′
ks
s2
dl RRRRRRRRRRRRRRRR
RRRRRRRRRRRRRRRR
W3
W2
s3
]eCCCCCCC
CCCCCCC
g2
W′′ W′
βks
に対して, (FR2)より, commutative diagram (∗3)
W3
ϕ
V W2
s3
]eCCCCCCC
CCCCCCC
g2
W′′
ψ
KS
W′β
ks
を
得る. よって, ϕhs1(∗1)= ϕs3g
(∗3)= ψβg2g
(∗2)= ψαs
(∗1)= ψαg1s1より, Yから Vへの等しい道
W3
ϕ
W1
g1
h
77nnnnnnnnnnnnnnYs1
ks V
W α// W′′
ψ
KS
23
を得る. したがって, (TR3)より, W1からW′′′ への等しい道
W3
ϕ
W1
g1
h==V
γ +3 W′′′
W α// W′′
ψ
KS
を得る. よって,次の commutative diagramを得る.
W3
γϕ
W1
g1
h
55lllllllllllllllllW′′′ W2
s3
em RRRRRRRRRRRRRRRR
RRRRRRRRRRRRRRRR
g2
X
f
66llllllllllllllllW α
// W′′
γψ
KS
W′β
ks Zs′
ks
s2
dl RRRRRRRRRRRRRRRR
RRRRRRRRRRRRRRRR
これは, (h f, s3s2) ∼ (αg1 f , βs′)であることを意味している.
Lemma 2.0.20 HomK (X,Y)に次のように和を定義する.
[( f1, s1)] + [( f2, s2)] := [(g1 f1 + g2 f2, s)]
ここで, g1, g2, sは次のようにとる.
Ys1 +3
s2
(FR2)
W1
g1
W2 g2
+3 W
さらに, (FR1)より, t := g1s1 = g2s2 ∈ S. このとき,この和は well-defindedである.
proof. [( f1, s1)] = [( f ′1, s′1)], [( f2, s2)] = [( f ′2, s′2)] とする. また,
Ys1 +3
s2
(FR2)
W1
g1
W2 g2
+3 W
Ys′1 +3
s′2
(FR2)
W′1
g′1
W′2 g′2
+3 W′
24
とすると, gi , g′i ∈ Sより,
[(gi fi , gi si)] = [( fi , si)]= [( f ′i , s′i )]= [(g′i f ′i , g′i s
′i )]
より,改めて, gi fi を fi , g′i f ′i を f ′i と置き換え, [( f1 + f2, s)] = [( f ′1 + f ′2, s′)] であることを
示せばよい. ここで, s := g1s1 = g2s2, s′ := g′1s′1 = g′2s′2である. つまり,以下のことを示す.
[( fi , s)] = [( f ′i , s′)] (i = 1, 2) =⇒ [( f1 + f2, s)] = [( f ′1 + f ′2, s′)]
仮定より,次の commutative diagramをもつ.
W
gi
X
fi
>>~~~~~~~~~~~
f ′i @
@@@@
@@@@
@@Zi Y
s
\d@@@@@@@@@@@
@@@@@@@@@@@tiks
s′
~~~~
~~~~
~~~
~~~~
~~~~
~~~
W′
g′i
OO
(FR2)より,以下の commutative diagramを得る.
W
g1
~~~~~~
~~~~
~~~
g2
@@@
@@@@
@@@@
Z1
$@@
@@@@
@@@@
@
@@@@
@@@@
@@@ Y
s
KS
t1ks t2 +3
(FR2)
Z2
z ~~~~
~~~~
~~~
~~~~
~~~~
~~~
Z
25
このとき, Yから Zへの等しい道
Wg1
~~
g2
AAA
AAAA
Z1
$AA
AAAA
A
AAAA
AAA Y
s
KS
Z2
z
Z
があるから, (FR3)より, Wか
ら M への等しい道
Wg1
~~
g2
AAA
AAAA
Z1
$AA
AAAA
A
AAAA
AAA
Z2
z
Z
M
を得る. ここで, hi : Zi ⇒ Z ⇒ M とおく.
(FR1)より, hi ∈ Sであることに注意し, t : Yt1⇒ Z1
h1⇒ M とおく. 同様に, t ∈ Sである. さ
らに, Yから M への等しい道
M
Z1
h1
:B|||||||
|||||||Y
s′
Z2
h2
\dBBBBBBB
BBBBBBB
W′g′1
``BBBBBBBB g′2
>>||||||||
が作れるから, W′ から M′ への等
26
しい道
M′
M
t′
KS
Z1
h1
:B|||||||
|||||||Z2
h2
\dBBBBBBB
BBBBBBB
W′g′1
``BBBBBBBB g′2
>>||||||||
を得る. よって,次の commutative diagramを得る.
W
t′h1g1
X
f1+ f2
>>~~~~~~~~~~~~~~
f ′1+ f ′2
@@@
@@@@
@@@@
@@@ M′ Y
t′tks
s
\d@@@@@@@@@@@@@@
@@@@@@@@@@@@@@
s′
z ~~~~
~~~~
~~~~
~~
~~~~
~~~~
~~~~
~~
W′
t′h1g′1
OO
これは, [( f1 + f2, s)] = [( f ′1 + f ′2, s′)] であることを意味している.
これにより, HomK (X,Y) は 0 = [(0, 1Y)] をもつ abelian gp.であることがわかる. さら
に, Lemma 2.0.19のmapは bilinearであることも簡単にわかる. そこで, quotient category
K/U を次のように定義する.
Def 2.0.21K のU による quotient categoryK/U を次のように定義する.
K/U = object : K と同じ
morphism : HomK/U(X,Y) := HomK (X,Y)
この categoryは additive cat.である. また, HomK/U(X,Y)の 0は [(0, 1Y)], Y = Xのとき
の 1は [(1X, 1X)] である.
では, quotient cat.が triangulated cat.になっていることを確認しよう. まずは,そのため
の準備をする.
27
Def 2.0.22 canonical functorQ : K → K/U を次のように定義する. X ∈ K に対して, Q(X) = X
f ∈ HomK (X,Y)に対して, Q( f ) = [( f , 1Y)]
Qが additive functorになっていることは明らかである. また, s : X ⇒ Yならば, Q(s) は
iso.になる. Q(s)−1 = [(s, 1Y)]−1 = [(1Y, s)].
Remark 2.0.23一般に, Qは full functorではない.
Prop 2.0.24 (1) HomK/U(X,Y) =
Q(s)−1Q( f )∣∣∣∣∣ X
f→W
s⇐ Y=
Q(g)Q(t)−1
∣∣∣∣∣ Xt⇐W
g→ Y
(2) f ∈ HomK (X,Y)に対して,次は同値である.
(i) Q( f )は iso. (ii) W∃h→ X
f→ Y
∃g→ Z, g f, f h ∈ S
(3) f ∈ HomK (X,Y)に対して,次が成り立つ.
(i) Q( f )は iso.⇔ f ∈ S
(ii) s : Y→ Z, s, s f ∈ Sならば, f ∈ S
(iii) t : W→ X, t, f t ∈ Sならば, f ∈ S
(4) f ∈ HomK (X,Y)に対して,次は同値である.
(i) Q( f ) = 0 (ii) ∃s : Y⇒ Z, s f = 0 (iii) ∃t : W⇒ X, f t = 0
(iv) f はU を通過する.
(5) U = KerQ
proof.
(1) 最初の包含関係について. ” ⊇ ” は明らか. ” ⊆ ” も [( f , s)] = [(1, s)][( f , 1)]から明ら
か. 最後の包含関係について. (FR2),Qは functor, s ∈ S ならば, Q(s) は iso. から明
らか.
(2) (i)⇒(ii). (1) より, Q( f )−1 = Q(s)−1Q(g′), Yg′
→ Z′s⇐ Xとすると, Q(s) = Q(g′)Q( f )よ
り, [(s, 1Z′ )] = [(g′ f , 1Z′ )]. よって, commutative diagram
Z′
t X
g′ f >>~~~~~
s $@@
@@@@
@@Z Z′
AAAAAAAAAA
t
ks
Z′tKS を得る.
したがって, g := tg′ とすれば, g f ∈ S. 双対的に, Q( f )−1 = Q(h)Q(t)−1, Yt⇐ W
h→ X
として同様 ((FR3)を使う) . (ii)⇒(i). Q(g f) = Q(g)Q( f )は iso.より, left inverseをも
つから Q( f ) も left inverseをもつ. 同様に, Q( f h) = Q( f )Q(h) は right inverseをもつ
28
から, Q( f )は right inverseをもつ.
(3) (i) (2)と (FR0). (ii) Q( f ) = Q(s)−1Q(s f)は iso.で, (i). (iii) (ii) と同様.
(4) (i)⇒(ii). 同値関係の定義から明らか. (ii)⇒(i). s ∈ S ならば, Q(s) は iso. (i)⇔(iii).
同様. (i)⇒(iv). Q( f ) = 0とすると, (i)⇔(iii) より, Wt⇒ X
f→ Y を得る. triangle :
Wt⇒ X→ C(t)→W[1] に HomK (−,Y)を applyして,
exact : HomK (C(t),Y)∈
// HomK (X,Y)
∈
// HomK (W,Y)
∈
∃g // f // f t = 0
よって, f は C(t) ∈ U を通過する.
(5) ” ⊆ ” X ∈ U とする. 0 : 0→ X ∈ Sより, Q(0)は iso.である. よって, K/U の中で,
0 ' X. ” ⊇ ” Q(X) = 0とする. 1X ∈ S. Q(1X) = 0より, (4)(i)⇒(iv) で, 1X はU を通過する. よって, epaisse subcategoryの定義より, X ∈ U.
(4) (iv)⇒(i). (5)より.
Prop 2.0.25 functorF : K → H とする. 任意の s ∈ Sに対して, F(s)が iso.ならば,以下
の commutative diagramをもつ functorF : K/U → H が一意的に存在する.
K/UF
""EEE
EEEE
E
K
Q<<zzzzzzzz
F// H
proof. (存在) F : K/H → H を次のように定義する. X ∈ K/U に対して, F(X) = F(X)
[( f , s)] ∈ HomK/U(X,Y)に対して, F([( f , s)]) = F(s)−1F( f )
F が well-difindedであること, additive functorであること, 図式が可換になることは
明らかである. (一意性) F′ を主張を満たすもう一つの functorとする. X ∈ K/Uに対して, F′(X) = F′(Q(X)) = F(X) = F(X). [( f , s)] ∈ HomK/U(X,Y) に対して,
F′([( f , s)]) = F′([(1W, s)][( f , 1W)]) = F′([(1W, s)])F′([( f , 1W)]) = F′(Q(s)−1)F′(Q( f )) =
F′Q(s)−1F′Q( f ) = F(s)−1F( f ) = F([( f , s)]). したがって, F′ = F を得る.
29
Prop 2.0.26H を K の full subcategory,V := U ∩ H が H の epaisse subcategoryで
あると仮定する. このとき, 条件 (∗) もしくは (∗∗) を満たせば, H/V は K/U の full
subcategoryである.
(∗) Y ∈ H , Ys⇒Wならば, Z ∈ H , f : W→ Zが存在して, f s ∈ S
(∗∗) X ∈ H , Wt⇒ Xならば, Z ∈ H , g : Z→ Xが存在して, tg ∈ S
proof. S′ := f ∈ HomH (X,Y) | C( f ) ∈ V, canonical functorQ′ : H → H/V とおく. Hが K の full subcategoryより, fully faithful functor F : H → K が存在する. s′ ∈ S′ に対
して, F(s′) ∈ Sより, QF(s′)は iso.である. よって, Prop 2.0.25より,次を満たす functor
F : H/V → K/U が存在する.
H F //
Q′
KQ
H/V
F
// K/U
ここで, [( f , s)] ∈ HomH/V(X,Y)に対して, F の取り方から, F([( f , s)]) = QF(s)−1QF( f ) =
[(1, s)][( f , 1)] = [( f , s)] であることに注意する. そこで, F が fully faithful であることを
示す. F : HomH/V(X,Y) → HomK/U(X,Y), X, Y ∈ H . (F が faithful であること) 明ら
か. (F が full であること)まずは,条件 (∗)を満たすときを示す. [( f , s)] ∈ HomK/U(X,Y),
つまり,W
X
f >>Y
s\dAAAAAA , W ∈ K に対して, 条件 (∗) より,
Z
WgOO
X
f >>Y
s\dAAAAAA
, Z ∈ H ,
gs ∈ S ととれる. このとき, [(g f, gs)] ∈ HomH/V(X,Y) である. よって, F([(g f, gs)]) =
[(g f, gs)] = [( f , s)]. 次に,条件 (∗∗)を満たすときを示す. Q( f )Q(t)−1 ∈ HomK/H (X,Y),つ
まり,W
tz
f A
AA
X Y, W ∈ K に対して,条件 (∗∗)より,
Zg
Wtz
f A
AA
X Y
, Z ∈ H , tg ∈ S
ととれる. このとき, Q′( f g)Q′(tg)−1 ∈ HomH/V(X,Y)である. よって, F(Q′( f g)Q′(tg)−1) =
Q( f g)Q(tg)−1 = Q( f )Q(t)−1.
このことから, auto-functor [1] :K/U → K/U を得る. さらに, 次のように K/U にtriangleの構造を入れる.
30
Def 2.0.27 X′f→ Y′
g→ Z′
h→ X′[1] in K/U が triangleであるとは, K での triangle :
Xu→ Y
v→ Zw→ X[1] が存在して,次の commutative diagram inK/U をもつときにいう.
XQ(u) //
'
YQ(v) //
'
ZQ(w) //
'
X[1]
'
X′f
// Y′ g// Z′
h// X′[1]
すなわち,K/U での triangleはすべて K の triangleを Qで送ったものである.
K/U が triangulated cat.であることを確認するために, 2つの Lemmaを用意しておく.
Lemma 2.0.28K での triangle : Xf→ Y → Z → X[1], X′
f ′
→ Y′ → Z′ → X′[1] と
morphismu : X→ X′, v : Y→ Y′, Q(v)Q( f ) = Q( f ′)Q(u)に対して, φ ∈ HomK/U(Z,Z′)が
存在して,次の commutative diagram inK/U をもつ.
XQ( f ) //
Q(u)
Y //
Q(v)
Z //
φ
X[1]
X′
Q( f ′)// Y′ // Z′ // X′[1]
Remark 2.0.29 Qは full functorでないため,K/U に対しての (TR3)を主張しているわ
けではない.
proof. 仮定より Q( f ′u − v f) = 0 となるから, f ′u − v f は U を通過する. そこで,
Wh!!B
BB
Xf ′u−v f
//
g >>Y′
とする. このとき, Z′′ := C(t[ f g]) とおくと, (TR3)より, 次の com-
mutative diagram inK をもつ.
Xf // Y // Z // X[1]
X t [ f g]//
u
Y⊕W //
[1 0]
KS
[v h]
Z′′ //
t
KS
w
X[1]
f [1]
X′
f ′// Y′ // Z′ // X′[1]
31
Prop 2.0.12,W ∈ U より, [1 0] ∈ S だから, (FR5)より, t ∈ S である. Q([1 0]) = 1Q(Y),
Q([v h]) = Q(v)であることに注意して, φ := Q(w)Q(t)−1とすればよい.
Lemma 2.0.30 commutative diagram inK/U : XQ(u) //
φ
Y
ψ
X′Q(u′)
// Y′
に対して, φ := Q(s)−1Q( f ),
s : X′ ⇒ X′′ とする. このとき, u′′ : X′′ → Y′′, t : Y′ ⇒ Y′′, g : Y→ Y′′ が存在して次を満
たす.
(1) X′u′ //
s
Y′
t
X′′
u′′// Y′′
in K
(2) ψ = Q(t)−1Q(g) (3) XQ(u) //
Q( f )
Y
Q(g)
X′′
Q(u′′)// Y′′
in K/U
proof. ψ := Q(t′)−1Q(g′)とおく. 仮定より,次の diagram inK がある.
Xf
uulllllllllllllllllu // Y
g′
((RRRRRRRRRRRRRRRRR
X′′ Z
X′s
em RRRRRRRRRRRRRRRR
RRRRRRRRRRRRRRRR
u′// Y′
t′
2:llllllllllllllll
llllllllllllllll
(FR2)により,次の commutative diagramを付け足す.
Xf
uulllllllllllllllllu // Y
g′
))RRRRRRRRRRRRRRRRR
X′′
v
--
Z
t′′
X′
s
em RRRRRRRRRRRRRRRR
RRRRRRRRRRRRRRRR u′ //
(FR2)
Y′
t′
2:lllllllllllllllll
lllllllllllllllll
s′
rz llllllllllllllll
llllllllllllllll
(FR2)
Z′
s′′
.6 Y′′
32
そこで, t := t′′t′ ∈ S, u′′ := s′′v, g := t′′g′ とおく.
(1)tu′ = t′′t′u′ = s′′s′u′ = s′′vs= u′′s
(2)
Q(t)−1Q(g) = Q(t′′t′)−1Q(t′′g′)
= Q(t′)−1Q(t′′)−1Q(t′′)Q(g′)
= Q(t′)−1Q(g′)
= ψ
(3)
Q(g)Q(u) = Q(t′′)Q(g′)Q(u)
= Q(s′′)Q(s′)Q(t′)−1Q(g′)Q(u)
= Q(s′′)Q(s′)Q(u′)Q(s)−1Q( f )
= Q(s′′)Q(v)Q( f )
= Q(u′′)Q( f )
Prop 2.0.31K/U は triangulated categoryである.
proof. (TR1)～(TR4)を示せばよい.
(TR1) λ ∈ HomK/U(X,Y)とし, λ = Q(s)−1Q( f )とおく. f : X→W inK に対して, triangle
: Xf→W→ Z→ X[1] を作ると,次の commutative diagram inK/U を得る.
Xλ // Y //
Q(s) '
Z // X[1]
XQ( f )
// W // Z // X[1]
よって,K/U での triangle :Xλ→ Y→ Z → X[1] を得る. あとは, Q(1X) = 1Q(X) よ
り明らか.
(TR2) 明らか.
33
(TR3) triangleとその間の morphism inK/U
XQ(u) //
φ
Y //
ψ
Z // X[1]
φ[1]
X′
Q(u′)// Y′ // Z′ // X′[1]
に対して, Lemma 2.0.30より,次のような morphismが存在する.
u′′ : X′′ → Y′′, t : Y′ ⇒ Y′′, g : Y→ Y′′
(i) X′u′ //
s
Y′
t
X′′
u′′// Y′′
in K
(ii) ψ = Q(t)−1Q(g) (iii) XQ(u) //
Q( f )
Y
Q(g)
X′′
Q(u′′)// Y′′
in K/Uここで, φ := Q(s)−1Q( f ), s : X′ ⇒ X′′ である.
triangle inK : X′′u′′→ Y′′ → Z′′ → X′′[1] とすると, (iii) と Prop 2.0.28より,次の
commutative diagram inK/U を得る.
XQ(u) //
Q( f )
Y //
Q(g)
Z //
λ
X[1]
Q( f )[1]
X′′
Q(u′′)// Y′′ // Z′′ // X′′[1]
さらに, (i) と (FR5)より,次の commutative diagram inK を得る.
X′′u′′ // Y′′ // Z′′ // X′′[1]
X′u′
//
s
KS
Y′ //
t
KS
Z′ //
r
KS
X′[1]
s[1]
KS
34
したがって,K/U での commutative diagramを得る.
XQ(u) //
Q( f )
Y //
Q(g)
Z //
λ
X[1]
Q( f )[1]
X′′
Q(u′′)//
Q(s)−1
Y′′ //
Q(t)−1
Z′′ //
Q(r)−1
X′′[1]
Q(s)−1[1]
X′Q(u′)
// Y′ // Z′ // X′[1]
φ = Q(s)−1Q( f ), (ii) より, ψ = Q(t)−1Q(g)となるから,主張を得る.
(TR4) φ ∈ HomK/U(X,Y), ψ ∈ HomK/U(Y,Z) とする. (TR1)～(TR3)より次の commuta-
tive diagram inK/U を得る.
Xφ // Y //
ψ
C(φ) //
X[1]
Xψφ
//
φ
Z // C(ψφ) //
X[1]
Y
ψ//
Z //
C(ψ) // Y[1]
C(φ) // C(ψφ) // C(ψ) // C(φ)[1]
最下行 : C(φ) → C(ψφ) → C(ψ) → C(φ)[1] が triangleであることを示せばよい.
φ := Q(s)−1Q( f ), ψ := Q(t)−1Q(g)とすると, ψφ = Q(s′t)−1Q(g′ f )とかける.
W′′
(FR2)W
g′==
W′
s′]eDDDDDDD
DDDDDDD
X
f??~~~~~~~
Y
s
]eCCCCCCCC
CCCCCCCC g
==zzzzzzzzZ
t\dAAAAAAA
AAAAAAA
K/U に対しての (TR1)の証明より, C(φ) ' C( f ), C(ψ) ' C(g), C(ψφ) ' C(g′ f )
, (FR5)より, C(g) ' C(g′) in K/U となることに注意する. そこで, f : X → W,
35
g′ : W→W′′ に対して,K での (TR4)によって, commutative diagram
Xf // W //
g′
C( f ) //
X[1]
Xg′ f
//
f
W′′ // C(g′ f ) //
X[1]
W
g′//
W′′ //
C(g′) // W[1]
C( f ) // C(g′ f ) // C(g′) // C( f )[1]
を得ることができ,最下行 : C( f ) → C(g′ f ) → C(g′) → C( f )[1] は triangleである.
この triangleは K/U で C(φ) → C(ψφ) → C(ψ) → C(φ)[1] と同型であるから,主
張を得る.
また明らかに, canonical functorQが exact functorであることがわかる. さらに, coho-
mological functorK/U → Aを作る.
Prop 2.0.32 cohomological functorH : K → A とする. このとき, 任意の X ∈ Uに対して, H(X) = 0 ならば, 次の commutative diagramをもつ cohomological functor
H : K/U → Aが一意的に存在する.
K/UH
""DDD
DDDD
D
KH
//
Q<<zzzzzzzz
A
proof.次を示す.
(1) s ∈ S⇒ H(s) : iso. (このことから主張を満たす functorH が存在する [Prop 2.0.25])
(2) H : cohomological functor
(1)について. s : X⇒ Y, triangle :Xs⇒ Y→ C(s)→ X[1] とする. このとき,
exact : H(C(s)[−1]) // H(X)H(s) // H(Y) // H(C(s))
36
を得る. s ∈ Sより C(s) ∈ U だから, H(C(s)[−1]) = H(C(s)) = 0となる. したがって, H(s)
は iso.である. (2)について. K/U での triangleはすべて K の triangleを Qで送ったもの
だから,上の commutative daigramより明らか.
一般に, Qは full functorではないが,K の特別な objectに対しては morphismの集合が
同型になる.
Def 2.0.33 Y ∈ K がU-localとは,任意の X ∈ U に対して, HomK (X,Y) = 0となるとき
にいう.
Prop 2.0.34 Y ∈ K : U-localに対して,次が成り立つ.
(1) t : X⇒ X′ に対して, HomK (t,Y)は iso.である. 特に, Y′ : U-localならば, Y⇒ Y′ は
iso.である.
(2) canonical functorQは HomK (−,Y) ' HomK/U(−,Y)を導く.
proof. (1) triangle :Xt⇒ X′ → C(t) → X[1] に対して, HomK (−,Y) を applyして, exact :
HomK (C(t),Y) → HomK (X′,Y) → HomK (X,Y) → HomK (C(t)[−1],Y) を得る. C(t) ∈ Uより, HomK (C(t)[−1],Y) = HomK (C(t),Y) = 0 となるから, HomK (t,Y) は iso.になる.
このことから, 後半は明らか. (2) Q : HomK (X,Y) → HomK/U(X,Y) が全単射になる
ことを示す. (単射であること) f ∈ HomK (X,Y), Q( f ) = 0とすると, f は U を通過す
る. そこで,W
v A
AA
X
u >>
f// Y
, W ∈ U とすると, 仮定より, v = 0. (全射であること)
φ = Q(g)Q(t)−1 ∈ HomK/U(X,Y)とする (Xt⇐ W
g→ Y). (1)より, HomK (t,Y)は iso.だか
ら, f t = gとなる f ∈ HomK (X,Y)が存在する. よって, Q( f ) = Q(g)Q(t)−1 = φとなる. [別
証] φ := Q(s)−1Q( f ) ∈ HomK/U(X,Y)とする (Xf→ W
s⇐ Y). triangle :Ys⇒ W→ C(s)
v→Y[1] とすると,仮定より v = 0. Prop 2.0.9より, HomK (s,Y)は全射だから, gs= 1Y となる
g ∈ HomK (W,Y)が存在する. このとき, Q(g f) = [(g f, 1Y)] = [( f , s)] = φとなる.
これらについて, dualも成り立つ.
Def 2.0.35 X ∈ K がU-colocalとは,任意の Y ∈ U に対して, HomK (X,Y) = 0となると
きにいう.
Prop 2.0.36 X ∈ K : U-colocalに対して,次が成り立つ.
37
(1) s : Y⇒ Y′ に対して, HomK (X, s)は iso.である. 特に, X′ : U-colocalならば, X′ ⇒ X
は iso.である.
(2) canonical functorQは HomK (X,−) ' HomK/U(X,−)を導く.
前節で出てきた equivalenceと categoryの対応は次のようになっている.
Equivalent Morita eq. +3OO
Derived eq.
self-inj. +3OO
Stable eq.OO
Category mod-A // Db(mod-A) // mod-A
この sectionでは,これらの equivalenceと categoryについて解説していく.
2.1 Module category
Module category mod-Aの obj.は,有限生成 (右) A-module, mor.は, A-homo.で作られ
る.これは明らかに abelian cat.になっている.また, mod. cat.が equivalent (as abelian cat.)
[mod-A ' mod-B, A Morita∼ B] なとき, Aと Bは Morita equivalentであるという. moduleを
考えることは表現を考えることと同値なため, Morita eq.ならば,表現が同じということに
なる. Morita eq.については『森田の定理』と『quiver』がとても重要である. 以下,それぞ
れについて解説していく.
2.1.1 森田の定理
Def 2.1.1 TA : progeneratorde f⇔ add-TA = proj-A. ここで, add-TA は TA の直和・直和因子
からなる mod-Aの full subcat., proj-A = add-AAである*17.
Thm 2.1.2次は同値である.
(1) A Morita∼ B
(2) proj-A ' proj-B (as additive cat.)
(3) TA : progeneratorが存在し, B ' EndA(T)が成り立つ.
proof. (1) ⇒ (2). F : mod-A → mod-Bを eq.を引き起こす exact functorとする. P ∈proj-A に対して, F(P) ∈ proj-B であることを示せばよい. F は eq.より, 任意の B-
*17 add-TA,proj-Aは, kernelが存在しないため, abelian cat.にならない.
38
mod., B-homo.は mod-Aから F により送られたものとしてよいことに注意する. した
がって, mod-B での図式 : F(P)F(g)
$$JJJJJJJ
F(X)F( f )
// // F(Y)
に対して, これを mod-A で考えると, F
は exact functor,P は proj.より, Pg
!!DDD
DDDD
∃h
Xf
// // Y
を得る. よって, mod-B での可換図式 :
F(P)F(g)
$$JJJJJJJF(h)
F(X)
F( f )// // F(Y)
が成り立つので, F(P)が proj.であることがわかる.
(2) ⇒ (3). F : proj-A → proj-B, G : proj-B → proj-Aを eq.を引き起こす functorとす
る. このとき, TA := G(B) とおく. TA が proj.であることは明らか (add-TA ⊆ proj-A) . ま
た, F(A) は proj.より, F(A) | ⊕B*18. さらに, functorは直和を保存するから, A ' GF(A) |⊕G(B) = ⊕T より, TA が proj-Aを generateしていることがわかる (add-TA = proj-A) . ま
た, B ' EndB(B) ' EndA(G(B)) = EndA(T).
(3)⇒ (1). TA : progenerator,B ' EndA(T)とおく. このとき, BTA と考えることができる.
そこで, F := HomA(BTA,−) : mod-A→ mod-B, G := − ⊗B TA : mod-B→ mod-Aとおく.
(i) XAf→ YAに対して,
tx : HomA(T,X) ⊗B T ' //
∈
X
∈
, GF(X)GF( f ) //
tX
GF(Y)tY
f ⊗ t // f (t) Xf
// Y
であること.
proof. X = T のときは明らか. よって, TA は proj-Aの generatorより, X ∈ proj-A
ならば, tX は iso. 任意の XA と exact*19 : 0 → Ω(X) → P(X) → X → 0に対して,
TA は proj.より, exact : 0→ HomA(T,Ω(X)) → HomA(T,P(X)) → HomA(T,X) → 0
*18 X | Yde f⇔ X は Y の直和因子.
*19 XA に対して, P(X) は X の proj. cover,I (X) は X の inj. hull とする. また, Ω(X), Ω−1(X) はそれぞれのkernel, cokernel.
39
(HomA(BTA,−)を apply) .したがって,以下の図式を得る (− ⊗B TAを apply) .
0 // TorB1 (HomA(T,X),T) // HomA(T,Ω(X)) ⊗B T //
tΩ (X)
HomA(T,P(X)) ⊗B T //
tP(X) '
HomA(T,X) ⊗B T //
tX
0
0 // Ω(X) // P(X) // X // 0
Snake Lemmaより, tX は epi.これは任意の XA に対して成り立つから, tΩ(X) も epi.
したがって, Snake Lemmaより, tX は iso.また,可換であることは明らか.
(ii) MBg→ NBに対して,
sM : M' //
∈
HomA(T,M ⊗B T) ,
∈
Mg //
sM
NsN
m // [t 7→ m⊗ t] FG(M)FG(g)
// FG(N)
であること.
proof. BT ' HomA(AA, BTA) | ⊕ HomA(TA, BTA) ' BBより, BT は proj.であることに
注意して,前と同様.
よって, F,Gは eq.を引き起こすことがわかる. 特に, TA, BT は proj.より, exact functorで
あることも明らか.
このように森田の定理により, Morita eq.についてはよくわかっている. 特に, A上の
progeneratorは TA '⊕
SAnSP(S) (nS は自然数, SAは simpleA-mod.全体を動く)という
形しかないため, Aと Morita eq.な alg.はすべてわかることになる. また, TA =⊕
SAP(S)
(SAは simpleA-mod.全体を動く)ととったときの B := EndA(T)は, AとMorita eq.な alg.
のうち,次元が最小で,すべての simple mod.の次元は 1になる. つまり, Bは Aと Morita
eq.な alg.の中の最小なものといえる. このような Bを Aの basic algebraとよぶ. この
sectionの最初に述べたように, Morita eq.は表現が同じになるので,表現を考えるときは
basicな alg.を考えればよいことになる.
Remark 2.1.3 Morita eq.は表現としての情報はすべて残すが,環としての情報は落とす
ことになる. また,簡単な例としては, k Morita∼ Matn(k)があげられる (kは Matn(k)の basic
alg.) . kは commutative alg.だが, Matn(k)は non-comm.
40
2.1.2 Quiverと path algebra
quiverとは,有限個の頂点と有限個の矢印をもつ有向グラフである. •1 a // •2 b // •3 に対して, 1から 3に行く道 (path)を abとかく. 特に,点から動かないことも (長さ 0の)道と
し, eとかくことにする (例えば, 1から 1への長さ 0の道 e1) .
quiverQの path algebraとは, Qの path全体を k-basisとする algebraである.積は, path
がつながる場合はその pathとし,それ以外の場合は 0とする. (積に関する)単位元は∑n:点
en
である.
Example2.1.4 (1) Q : • add1 , kQ :=
⟨e1,a,a2,a3, · · ·
⟩k' k[a]
(2) Q : • a //1 • b //2 •3 , kQ := 〈e1,e2,e3,a,b,ab〉k '
k k k
0 k k
0 0 k
(3) Q : •a ::
1 •boo cdd2
任意の alg.は quiver (with relation)を使って次のように書ける.
Thm 2.1.5 Aに対して, quiverQと kQのイデアル I が存在して, A Morita∼ kQ/I となる.
proof. Aは basicであるとしてよい. quiverQを次のように定める.
Q :=
V(Q) :=simpleA-mod.
:= 1,2, · · · ,n
A(Q)i→ j :=basis of Ext1A(i, j)
P( j) : proj., j : simple , top(Ω(i)) : semisimple*20 より, HomA(P( j),Ω(i)) →HomA(P( j),P(i)), HomA(P( j),Ω(i)) HomA(P( j), top(Ω(i))) ' HomA( j, top(Ω(i))) 'HomA(top(Ω(i)), j) ' HomA(Ω(i), j) ' Ext1A(i, j). したがって, Ext1A(i, j) の basisは,
HomA(P( j),P(i)) の (ある) basisの部分集合になる. そこで, arrowai j : i → j に対して,
fai j : P( j)→ P(i)をとり,固定する. このとき,
ϕ : kQ //
∈
EndA(A) '
∈
A
ai j // fai j
*20 XA に対して, top(X) := X/rad(X) : semisimple
41
とすると, ϕは alg. homo.になる. さらに, f ∈ HomA(P( j),P(i))とする. f ∈ R := radAと
してよい.このとき, f ≡ ∑αi fai j mod R2, αi ∈ kとなる.したがって, f ′ := f −∑αiai j ∈ R2
とする. R2 = R · Rより,同じことを繰り返すと, Rは nilpotent idealより,有限回で終わる.
これは ϕが全射であることを示している. よって, I := Kerϕとすればよい.
x ∈ I に対して, x = 0を relationという.
Remark 2.1.6上の証明を見てもわかるように, Ext1A(i, j)の basisの取り方で relationは
変わる. しかし, basisを取り替えても Morita eq.であることは変わらない. すなわち, Aに
対して, quiverの取り方は一意的だが, relationの取り方はいろいろある.
Remark 2.1.7 quiverの arrowは simple moduleの積み重ねの情報だから, Aと A/R2の
quiverは一致する.
これにより,表現を考えるときは quiver with relationを考えればよい. そこで, quiverか
らの表現 (mod.)の表し方を解説する. すべての mod.は (non-zeroな)最小の mod.である
simple mod.の積み重ねで作ることができる. その積み重ねを表す列が composition series
と Loewy series, socle seriesである.
(1) composition series ofXA · · · · · · Xi/Xi+1 : simple mod.となる submod.の列 : 0 =: Xr (
Xr−1 ( · · · ( X1 ( X0 := X. この列の取り方は一意的ではないが,長さは一意的である.
その長さ r を composition lengthという.
(2) Loewy series ofXA · · · · · · 列 : 0 = rad`(X) ( rad`−1(X) ( · · · ( rad(X) ( rad0(X) =: X.
この列の長さ `を Loewy lengthという.
(3) socle series ofXA · · · · · · 列 : 0 =: soc0(X) ( soc(X) ( · · · ( soc`−1(X) ( soc`(X) = X.
この列の長さ `を socle lengthという.
また, (Loewy length)= (socle length)となる.
例えば, simple mod.1,2,3,4に対して,
(1) composition series1
2
3
4
1
3
2
4
1
3
4
2
(2) Loewy series1
2 3
4
(3) socle series
1
3
2 4
これらは,すべて同じ mod.の列である.
42
以下, simple mod.は自然数 1, · · · ,n, mod.は Loewy seriesで表すことにする. また,
alg.は basicを考えることにする.
定理 2.1.5 (とその証明)から, quiverの arrow : i → j は Ext1A(i, j)の元 (basis)と対応し
ている. さらに, Ext1A(i, j)の元は non-split exact : 0→ j → X → i → 0と対応しているの
で, mod. X :=
ij
が存在する. よって,すべての mod.に対して, proj. coverが存在する
ので, quiverから proj. mod.の構造 (したがって, AAの構造, simple mod.の積み重ね)がわ
かることになる. これはすべての mod.の構造がわかることを意味している*21. すなわち,
mod-Aの情報がわかることになる.
Remark 2.1.8 quiverを矢印の方向に読むと AAの上からの simple mod.の積み重ねがわ
かり,矢印を逆の方向から読むと AAの上からの simple mod.の積み重ねがわかる. よって,
quiverの矢印を逆から読むと DAA*22の下からの simple mod.の積み重ねがわかる. これ
は injective mod.の構造がわかることを意味している*23.
Example2.1.9 (1) Q : • add1 relation :
a3 = 0
A := kQ/I ' k[a]/ (
a3)' kC3 (巡回群 C3の group alg., chark = 3)
• AA =
1a 1
a 1
• mod-A =
1,
11
, 1
11
, 直和
(2) Q : •a ::1 •boo cdd
2
relation :
a2 = 0
ba= 0
cb= 0
c2 = 0
• AA =1
a 1
⊕ 2b
c=
==
1 2, DAA :=
1a ===
2
b
1
⊕ 2c
2
*21 mod.を計算する場合は, ExtnA(−,−) を計算しなければいけないが,これも quiverから計算できる.*22 D− := Homk(−, k)*23この場合, socle seriesになることに注意する.
43
• mod-A =
1, 2,
22
, 1 21 2
, · · · · · · mod.
1 21 2
の存在0 // 1 //
PO*24
11
//
1 // 0
0 // 21 2
// X // 1 // 0
(3) Q : •a ::b //1 •c
oo 2
relation :
a2 = 0
ab= 0
ca= 0
bcb= 0
• AA =
1a
b=
==
1 2c
1
⊕2
c1
b2
c1
(3)′ Q : •x ::y //1 •z
oo 2
relation :
x2 = 0
xy= 0
yzy= 0
zyz= zx
• AA =
1x
y=
==
1 2z
1
⊕2
z1
yx
2
z1
*24 PO := Push Out, PB := Pull Back
44
(3)と (3)′ の alg. Aは同型である. 対応は,
A(3) //
∈
A(3)′
∈
a // x− yz
b // y
c // z
2.1.3 Cartan matrix
上のことからもわかるように, 表現を考えるときは AA の構造 (simple moduleの積み
重ね) が重要になる. そこで, 各 projective indecomposable moduleP(i)A の中の simple
module j の個数を考えることは表現を考える上で重要なことの一つにあげられる. その情
報を持つ行列が Cartan matrixである.
Def 2.1.10 Aの Cartan matrixC(A)を次のように定める.
C(A)i j := dim HomA(P(i),P( j))
ここで, P(i)は simple modulei の projective coverである.
このままでは Cartan matrixC(A) を計算しづらいが, dim HomA(P(i),P( j)) は次のよう
に求めることができる.
Prop 2.1.11 dim HomA(P(i),P( j)) = ( j 番目の projective moduleの中の simple modulei の個数)
proof. path algebraの作り方より.
Example2.1.12 Example 2.1.9の (2), (3)で計算してみよう.
(2) C(A) =
2 1
0 2
(3) C(A) =
3 2
1 2
2.2 Derived category
次に, (bounded) derived categoryDb(mod-A) について解説する. derived categoryは
triangulated cat.になる. また, (bounded) derived categoryが equivalent (as triangulated
45
cat.) [Db(mod-A) ' Db(mod-B), A derived∼ B] なとき, Aと Bは derived equivalentであると
いう. derived eq.なとき, Aと Bの表現の型が同じになる. ここで表現の型とは,
• finite type, tame type • global dimension< ∞ • self-injective, symmetric
などのことをいい*25, derived eq.ならばこれらの情報を保存する.
以下, derived categoryを定義し, derived eq.について重要なことをまとめていく.
2.2.1 Definition
まずは, Db(mod-A)を定義する. 以下,記号は 2.0.1に合わせる. Db(mod-A)は以下のよ
うにして作ることができる.
• mod-A // Cb(mod-A) // Kb(mod-A) // Db(mod-A)
• mod-A // C−,b(mod-A) // K−,b(mod-A) // D−,b(mod-A) ' Db(mod-A)
• mod-A // C+,b(mod-A) // K+,b(mod-A) // D+,b(mod-A) ' Db(mod-A)
1. Category of cochain complex :C(mod-A)
• objectX•
· · · · · · // Xn−1 dn−1// Xn dn
// Xn+1 // · · · · · · dndn−1 = 0 , Xi ∈ mod-A
• morphismf • : X• → Y•
X• :
f •
· · · · · · // Xn−1dn−1
X• //
f n−1
Xndn
X• //
f n
Xn+1 //
f n+1
· · · · · ·
Y• : · · · · · · // Yn−1dn−1
Y•
// Yndn
Y•
// Yn+1 // · · · · · ·
この cat.は abelian cat.になる. また, objectの取り方より, Im dn−1 ⊆ Kerdn が成り
立ち, その差を Hn(X•) := Kerdn/Im dn−1 とおく. また, Hn( f •) : KerdnX•/Im dn−1
X• →Kerdn
Y•/Im dn−1Y• も定義できる.
*25ここでいう『表現の型』とは数学的に正確な言葉ではない. 一般に表現の型 (representation type)といったら, finite typeや tame typeなどのことを指す.
46
f • : X• → Y• に対して,
C( f •) : · · · · · · // Xn ⊕ Yn−1dn−1
C( f• ) //
(n−1 th)
Xn+1 ⊕ Yndn
C( f• ) //
(n th)
Xn+2 ⊕ Yn+1 //
(n+1 th)
· · · · · ·
とする. ここで, dnC( f •) :=
−dn+1X• 0
f n+1 dnY•
. 明らかに, C( f •) ∈ C(mod-A)である.
さらに, shift functor [1] : C(mod-A) → C(mod-A) とは, X• に対して, (X•[1])i := Xi+1
となるような平行移動のことである (各 d は −1 倍して平行移動). 同様に, [−1] :
C(mod-A) → C(mod-A)は, (X•[−1])i := Xi−1となる平行移動とする. 明らかに, functor
[1] は auto-functorである. また,帰納的に [n] も定義できる.
Cb(mod-A), C−,b(mod-A), C+,b(mod-A) はそれぞれ以下のような object をもつ
C(mod-A)の full subcategoryである.
(b) Xi = 0 ( i 0)
(− ,b) Xi = 0 (i 0), Hn(X•) = 0 ( n 0)
(+ ,b) Xi = 0 (i 0), Hn(X•) = 0 ( n 0)
2. homotopy category :K(mod-A)
• objectは C(mod-A)と同じ.
• HomK(mod-A)(X•,Y•) := HomC(mod-A)(X•,Y•)/(homotopic)
ここで, f • : X• → Y• が homotopicとは,各 nに対して, hn : Xn+1 → Yn が存在し
て, f n = hndnX• + dn−1
Y• hn−1を満たすときにいう.
したがって, homotopy cat.内では, homotopic= 0と見ていることになる.
この cat.は abelian cat.にならない*26が, mapping coneC( f •), shift functor [1]をもつ
triangulated cat.になる. また,上と同様に, Kb(mod-A), K−,b(mod-A), K+,b(mod-A)を定
義する. さらに, H : K(mod-A)→ mod-Aは cohomological functorである.
3. Derived category :D(mod-A)
U :=X• ∈ K(mod-A)
∣∣∣ Hn(X•) = 0 (∀n)*27 とおき, Ub := U ∩ Kb(mod-A),
U−,b := U ∩ K−,b(mod-A), U+,b := U ∩ K+,b(mod-A) とする. 以下, ∗ ∈nothing, b, (−, b), (+, b)
とする. U∗ は, K∗(mod-A) の epaisse subcat.になり,
quotient cat.を考えることができる. そこで, D∗(mod-A) := K∗(mod-A)/U∗ とおく. こ
*26 homotopy cat.K(mod-A) での morphism ”0”の意味が module cat. mod-Aでの意味と異なるため.*27 X• ∈ U を acyclic complexとよぶ. これは exact sequenceのこと.
47
の cat.内では, acyclic (exact)= 0と見ていることになるが, morphismに対しては注意
が必要である. それは, f • : X• → Y• in D∗(mod-A)に対して, K∗(mod-A)内では,
∃Z•∃u•
y
∃v•
!!CCC
CCCC
C
X• Y•
,
∃Z•
X•
∃v•==
Y•
∃u•]eCCCCCCC
CCCCCCC
で, C(u•) ∈ U∗ (よって, D∗(mod-A)内で u• は iso.) , f • = v•/u• となることである.
さらに, Prop 2.0.32より, cohomological functorH : D(mod-A) → mod-Aが定義でき
る. このとき, f ∈ HomD(mod-A)(X,Y)に対して,次は同値である.
(1) f は iso. inD(mod-A) (2) Hn( f )は iso. for∀n ∈ Z in mod-A
proof. (1)⇒ (2). C( f ) = 0より,明らか. (2)⇒ (1). triangle :Xf→ Y → C( f ) → X[1]
に対して, exact :Hn(X)Hn( f )→ Hn(Y) → Hn(C( f )) → Hn(X[1])
Hn( f [1])→ Hn(Y[1]) を得る.
Hn( f )は iso.だから, Hn(C( f )) = 0.したがって, C( f ) = 0 in D(mod-A)となる. これは,
f が iso. inD(mod-A)であることを意味している.
Remark 2.2.1 H は full functorでないため, Hn(X•) ' Hn(Y•)であっても X• ' Y• と
は限らない. 例えば, quiver : •1 xdd , x2 = 0に対して, 0 // 11
x // 11
// 0 と
0 // 10 // 1 // 0 の cohomologyは同型だが, 2つの complexは同型ではない. また, H
は faithful functorでもない.
4. Db(mod-A) ' D−,b(mod-A) ' D+,b(mod-A)
Db(mod-A) ' D−,b(mod-A)を示す. そのためには,次を示せばよい.
(1) Db(mod-A)→ D−,b(mod-A) : fully faithful (2) object間の全射
(1) Y• ∈ Kb(mod-A), W• ∈ K−,b(mod-A), s• : Y• ⇒ W• とする. また, m ∈ Z に対して,
Hi(W•) = 0 (i < m), W j = 0 ( j > n)とする.
Z• : 0 // Im dm−1W•
// Wm // · · · · · · // Wn // 0
48
とおくと,
W• :
f •
· · · // Wm−1dm−1
W• //
dm−1W•
Wm // · · · · · · // Wn // 0
Z• : 0 // Im dm−1W•
// Wm // · · · · · · // Wn // 0
に対して, H( f •) は iso.である. したがって, Q( f •) は iso.となるから, f • ∈ S である.
ゆえに, f •s• ∈ Sを得る. よって, Prop 2.0.26より, Db(mod-A) → D−,b(mod-A)は fully
faithfulである. (2) (1)でのW• に対して, Z• をとったようにとればよい.
(1)と同様に, D−(mod-A) → D(mod-A), D+(mod-A) → D(mod-A)は fully faithful であ
ることがわかる (この場合, X• ∈ K−(mod-A), W• ∈ K(mod-A), t• : W• ⇒ X• に対して,
H(t•)は iso.だから, Z• : · · · → Wn → Kerdn+1 → 0ととればよい). しかし, object間の
全射が成り立たないため, equivalenceにはならない. また, D−,b(mod-A)→ D−(mod-A),
D+,b(mod-A) → D+(mod-A) も fully faithful になる (この場合, Y• ∈ K−,b(mod-A),
W• ∈ K−(mod-A), s : Y• ⇒W• に対して, H(s)は iso.より, W• ∈ K−,b(mod-A)).
D−,b(mod-A)f.f. // D−(mod-A)
f.f.
&&NNNNNNNNNNN
Db(mod-A)
'
'D(mod-A)
D+,b(mod-A)f.f.
// D+(mod-A)
f.f.
88ppppppppppp
2.2.2 Derived category
次に, derived categoryについて詳しくまとめていく. まずは, homotopy cat.と derived
cat.の間の関係について考える.
Lemma 2.2.2 I • ∈ K+(inj-A)はU-localである. ここで, inj-A := add-DAAである.
proof. X• ∈ U に対して, HomK(mod-A)(X•, I •) = 0 であることを示す. すなわち, u• ∈HomK(mod-A)(X•, I •)に対して, u• = 0 in K(mod-A)であることを示す. これは, hn−1 : Xn →In−1 が存在して, un = dn−1
I• hn−1 + hndnX•となることを示せばよい. まず, I i = 0 (i < 0)
としてよい. n に関しての帰納法で示す. n ≤ −1 のとき, hn = 0 とする. このとき,
49
(un − dn−1I• hn−1)dn−1
X• = 0が成り立つ. n ≥ 0のとき, nに対して, hn−1 : Xn → In−1が存在し,
(un − dn−1I• hn−1)dn−1
X• = 0が成り立つと仮定する. 次を示す.
(1) hn : Xn+1→ Inが存在する. (2) un = hndnX• + dn−1
I• hn−1 (3) (un+1 − dnI•h
n)dnX• = 0
(3)によって,帰納法を続けることができ, (2)によって,主張を得る.
Cokernelの定義より,次を得る.
Xn/Im dn−1X•
∃
$$
Xn−1dn−1
X•
// Xnun−dn−1
I• hn−1//
::uuuuuuuuuIn
X• ∈ U, mod-A は abelian cat.より, Xn/Im dn−1X• = Xn/Kerdn
X• ' Im dnX• . よって, In は
injectiveより,次の commutative daigramを得る.
Im dnX•
//
##GGGGGGGGG
Xn+1
hn
Xn−1dn−1
X•
// Xn
dnX•
<<yyyyyyyy
un−dn−1I• hn−1
// In
したがって, (1)(2)が成り立つことがわかる. (3)について.
(un+1 − dnI•h
n)dnX• = dn
I•un − dn
I• (un − dn−1
I• hn−1)
= 0
Lemma 2.2.3任意の X• ∈ K+(mod-A) に対して, I • ∈ K+(inj-A) が存在して, X• ' I • in
D(mod-A)となる.
proof. Xn = 0 (n < 0)としてよい. nに関する帰納法で示す.
• I0 := I (X0)とする.
• n ≥ 0のとき,次を仮定する.
0 // X0 //
u0
X1 //
u1
· · · · · · // Xn−1 //
un−1
Xn //
un
· · · · · ·
0 // I0d0
// I1 // · · · · · · // In−1dn−1
// In
50
Hi(X•) ' Kerdi/Im di−1 (i < n). このとき, un : Im dn−1X• → Im dn−1 となるが, un :
Xn/Im dn−1X• → In/Im dn−1 と仮定する (n = 0のときは u0 = u0). 次の commutative
diagramをもつ.
Im dnX• _
exact : 0 // Hn(X•) //
'X•/Im dn−1
X•//
99 99rrrrrrrrrr
_
un
PO
Xn+1 // _
vn+1
Xn+1/Im dnX•
// 0
exact : 0 // Ker f n // In/Im dn−1 // Yn+1 // _
wn+1
Xn+1/Im dnX•
// _
gn+1
0
exact : 0 // Ker f n // In/Im dn−1f n
// I (Yn+1) // Cok f n // 0
このとき, In+1 := I (Yn+1), dn : In In/Im dn−1 f n
→ In+1, un+1 := wn+1vn+1 とす
ると, In+1/Im dn = Cok f n, un+1 = gn+1 となる. さらに, 最下行の exactより,
Ker f n = Kerdn/Im dn−1となる. したがって, Hn(X•) ' Kerdn/Im dn−1を得るが,こ
の同型は unの制限で与えられる.
このことから, I •, u• : X• → I • を得ることができ, Hn(u•) は iso.だから, X• ' I • in
D(mod-A)となることがわかる.
Prop 2.2.4次の equivalenceが成り立つ.
(1) Q : K+(inj-A)→ D+(mod-A)は equivalenceである.
(2) Q : K+,b(inj-A)→ D+,b(mod-A)は equivalenceである.
proof.
(1) Prop 2.0.34, Lemma 2.2.2より, Q : K+(inj-A) → D+(mod-A) は fully faithful である.
また, Lemma 2.2.3より, object間の全射が成り立つ.
(2) (1)と同様.
これらの dualも成り立つ.
51
Lemma 2.2.5 P• ∈ K−(proj-A)はU-colocalである.
Lemma 2.2.6任意の X• ∈ K−(mod-A) に対して, P• ∈ K−(proj-A) が存在して, P• ' X•
in D(mod-A)となる.
Prop 2.2.7次の equivalenceが成り立つ.
(1) Q : K−(proj-A)→ D−(mod-A)は equivalenceである.
(2) Q : K−,b(proj-A)→ D−,b(mod-A)は equivalenceである.
K+,b(inj-A)f.f.
wwoooooooooooK−,b(proj-A)
f.f.wwooooooooooo
K+(inj-A) K−(proj-A)
D+,b(mod-A)f.f.
wwoooooooooooD−,b(mod-A)
f.f.wwooooooooooo
D+(mod-A) D−(mod-A)
次に, Extについて考える.
Def 2.2.8 X•, Y• ∈ D(mod-A), n ∈ Zに対して,
Extn(X•,Y•) := HomD(mod-A)(X•,Y•)
とおき, nth hyper Extとよぶ.
mod-Aは D(mod-A) の full subcat.と考えることができる*28が, A上では hyper Extと
(普通の) Extが等しくなることを示そう.
まずは, ExtnA(X,Y)を復習しておく.
ExtnA(X,Y) :=exactE : 0→ Y→ E−n+1→ · · · → E0→ X→ 0
/∼
*28 D(mod-A) の中では,A := X• ∈ D(mod-A) | Hn(X•) = 0 (n , 0) である. つまり, mod-Aは D(mod-A) のfull subcat.A と equivalentである.
52
ここで, E ∼ E′ とは, 列 : E =: E0, E1, · · · , E` := E′ が存在し, Ei と Ei+1 の間には
commutative diagramが存在することを意味し,これは同値関係になる. また, Eを含む同
値類を [E] で表すし, 0→ E−n+1→ · · · → E0→ 0を E• で表す.
[E] ∈ ExtnA(X,Y)に対して, Y[n− 1] → E• → X → Y[n] は D(mod-A)での triangleにな
るから, (TR2)により, triangle :Xe→ Y[n] → E•[1] → X[1] を作れる.
逆に, u ∈ HomD(mod-A)(X,Y[n]) に対して, triangle :Y[n− 1]→ C(u)[−1]→ Xu→ Y[n] が
作れる. そこで, E• := C(u)[−1]とおく. このとき,
Hi(E•) :=
X (i = 0)
Y (i = −n+ 1)
0 (otherwise)
より, D(mod-A)で,
E• '[0→ E−n+1/Im d−n→ E−n+2→ · · · → E−1→ Kerd0→ 0
]となるから,次の exactを得る.
E(u) : 0→ Y→ E−n+1/Im d−n→ E−n+2→ · · · → E−1→ Kerd0→ X→ 0
さらに, [E] ∈ ExtnA(X,Y), f ∈ HomA(X′,X), g ∈ HomA(Y,Y′) に対して, 次のような
commutative diagramを得る.
E : 0 // Y // E−n+1 // E−n+2 // · · · // E−1 // E0 //
PB
X // 0
E′′ : 0 // Y //
g
PO
E−n+1 //
E−n+2 // · · · // E−1 // E′0 //
OO
X′ //
f
OO
0
E′ : 0 // Y′ // E′−n+1 // E−n+2 // · · · // E−1 // E′0 // X′ // 0
よって, E′ は exactだから, [E′] ∈ ExtnA(X′,Y′)となる. これは,
ExtnA( f ,g) : ExtnA(X,Y) //
∈
ExtnA(X′,Y′)
∈
[E] // [E′]
を得たことを意味している (well-definedであることは, PB, POの性質よりわかる). この
とき,次のことがわかる.
53
Prop 2.2.9 n > 0, X, Y ∈ mod-A に対して, natural isomorphismφ: ExtnA(X,Y) →HomD(mod-A)(X,Y[n]) = Extn(X,Y)をもつ. ここで, φ([E]) = e,逆は ψ(u) = [E(u)] で与えら
れる.
proof.次の stepで示す.
(Step 1)φは well-definedである.
proof. [E1], [E2] ∈ ExtnA(X,Y)に対して, commutative diagram
0 // Y // E−n+11
//
f −n+1
· · · // E01
//
f 0
X // 0
0 // Y // E−n+12
// · · · // E02
// X // 0
をもつとすると, 2つの triangleの間に次の commutative diagramを得る.
Y[n− 1] // E•1 //
f •
Xe1 // Y[n]
Y[n− 1] // E•2 // X e2
// Y[n]
よって, e1 = e2となる.
(Step 2)ψは well-definedである.
proof. (TR3)より明らか.
(Step 3)ψφ = 1
proof. triangleの一意性より明らか.
(Step 4)φψ = 1
proof. triangleの一意性より明らか.
(Step 5)φは naturalである. すなわち, f : X′ → X, g : Y→ Y′ に対して,
ExtnA(X,Y)φ //
ExtnA( f ,g)
HomD(mod-A)(X,Y[n])
HomD(mod-A)( f ,g[n])
ExtnA(X′,Y′)
φ// HomD(mod-A)(X′,Y′[n])
proof. ExtnA( f ,g)の作り方より,次のような triangleの間の commutative diagram
54
をもつ.
Y[n− 1] // E• // Xe // Y[n]
Y[n− 1] //
g[n−1]
E′′• //
OO
X′ //
f
OO
Y[n]
g[n]
Y′[n− 1] // E′• // X′
e′// Y′[n]
よって, e′ = g[n] e f を得る.
これにより, self-orthogonalな moduleについて次のことがわかる.
Cor 2.2.10 TA ∈ mod-Aを self-orthogonal,すなわち, Extn>0A (T,T) = 0とする. このとき,
Q : Kb(add-TA)→ Db(mod-A)は fully faithful である.
proof. T• : 0→ T` → · · · → Tm→ 0 ∈ Kb(add-TA)に対して, w(T•) := m− ` + 1とおく.
T•1 , T•2 ∈ Kb(add-TA)に対して, w(T•1), w(T•2)に関する帰納法で示す.
(1) w(T•1) = 1とする. このとき, T•1 := T1としてよい.
(i) w(T•2) = 1のとき, T•2 := T2[n] とする.
HomKb(add-TA)(T•1 ,T
•2) =
HomA(T1,T2) (n = 0)
0 (n , 0)
また, Prop 2.2.9より,
HomDb(mod-A)(T•1 ,T•2) =
ExtnA(T1,T2) (n > 0)
HomA(T1,T2) (n = 0)
0 (n < 0)
=
HomA(T1,T2) (n = 0)
0 (n , 0)
(ii) w(T•2) > 1のとき, w(T•) = w(T•2) − 1となる T• で主張が成り立つと仮定する.
T•2 : 0 → T` → · · · → Tm f→ T′ → 0, T• : 0 → T` → · · · → Tm → 0とおく
と, T•f •
→ T′[−m] → T•2 [1] → T•[1] は triangleである. ここで, f • は f m = f ,
f i = 0 (i , m)である. よって, HomKb(add-TA)(T•1 ,−)を applyして, 5-lemmaより
主張を得る.
55
(2) w(T•1) > 1のとき, (1)(ii) と同様.
例えば, projective mod.や injective mod.は self-orthogonalであるから, Kb(proj-A) や
Kb(inj-A)は Db(mod-A)の full triangulated subcat. (特に, epaisse subcategory)であること
がわかる. では,これらの full subcat.が derived cat.内ではどのようになっているか見てみ
よう.
Def 2.2.11 X•, Y• ∈ C(mod-A)に対して, Cp,q := HomA(X−p,Yq)とおき, Hom•(X•,Y•)を
次のように定義する.
Hom•(X•,Y•) :=
Homn(X•,Y•) :=
∏p+q=n
Cp,q
dnHom•(X•,Y•)(u) := (−1)n+1ud−p−1
X• + dqY•u u ∈ Cp,q
これは, X•[n+ 1]に HomA(−,Yq), Y• に HomA(X−p,−)を applyした commutative diagram
...
...
n−2
...
n−1 n
· · · // HomA(X−p+1,Yq−1) //
HomA(X−p+1,Yq) //
HomA(X−p+1,Yq+1) //
· · ·n+1
· · · // HomA(X−p,Yq−1) //
HomA(X−p,Yq) //
HomA(X−p,Yq+1) //
· · ·n+2
· · · // HomA(X−p−1,Yq−1) //
HomA(X−p−1,Yq) //
HomA(X−p−1,Yq+1) //
· · ·
......
...
を ” · · · ” 上で直積をとったものである (differentialに注意). Hom•(X•,Y•) は明らかに
cochain complexになる.
Remark 2.2.12 (1) X ∈ mod-A, Y• ∈ C(mod-A)ならば, Hom•(X,Y•) ' HomA(X,Y•).
(2) X• ∈ C(mod-A), Y ∈ mod-Aならば, Hom•(X•,Y) ' HomA(X•,Y).
(3) X• ∈ K−(mod-A), Y• ∈ K+(mod-A) ならば, Hom•(X•,Y•) ∈ C+(−), 各 n に対して,
Homn(X•,Y•)は有限直和.
56
(4) X• ∈ K+(mod-A), Y• ∈ K−(mod-A) ならば, Hom•(X•,Y•) ∈ C−(−), 各 n に対して,
Homn(X•,Y•)は有限直和.
Lemma 2.2.13 X•, Y• ∈ C(mod-A)に対して,次のことがわかる.
(1) B := EndC(mod-A)(X•)とすると, Hom•(X•,Y•) ∈ C(Mod-B)
(2) B := EndC(mod-A)(Y•)とすると, Hom•(X•,Y•) ∈ C(B-Mod)
ここで, Mod-Bは right B-moduleの categoryである (有限生成以外も全部とる). B-Mod
は left B-moduleの cat.
proof.
(1)∑
p+q=ncp,q ∈ Homn(X•,Y•) (cp,q ∈ Cp,q), f • ∈ Bに対して,
( ∑p+q=n
cp,q
)· f • :=
∑p+q=n
cp,q ·
f −p とすれば, Homn(X•,Y•) ∈ mod-Bである. また, f −pd−p−1X• = d−p−1
X• f −p−1 に注意す
れば, dnHom•(X•,Y•) は B-homo.である.
(2) (1)と同様.
Lemma 2.2.14 X•, Y• ∈ C(mod-A)に対して,
dnHom•(X•,Y•[1]) = −dn+1
Hom•(X•,Y•) , dnHom•(X•[−1],Y•) = dn+1
Hom•(X•,Y•)
Lemma 2.2.15 u• ∈ HomC(mod-A)(X•,Y•), Z• ∈ C(mod-A)に対して,
Hom•(Z•,C(u•)) ' C(Hom•(Z•,u•))
Prop 2.2.16 n ∈ Z, X•, Y• ∈ C(mod-A)に対して,
Hn(Hom•(X•,Y•)) ' HomK(mod-A)(X•,Y•[n])
proof.次を示す.
(1) Kerdn = HomC(mod-A)(X•,Y•[n])
57
(2) Im dn−1 = Htp(X•,Y•[n]) :=u• ∈ HomC(mod-A)(X•,Y•[n])
∣∣∣ u•は homotopic
(1) ”⊆”∑
p+q=ncp,q ∈ Kerdn とすると, dq−1
Y• cp+1,q−1 + (−1)n+1cp,qd−p−1X• = 0. よって,
(−1)ndq−1Y• cp+1,q−1 = cp,qd−p−1
X• .
· · · // X−p−1d−p−1
X• //
cp+1,q−1
X−p
cp,q
// · · ·
· · · // Yq−1(−1)ndq−1
Y•
// Yq // · · ·
”⊇” ” ⊆” を逆からやればよい.
(2) ”⊆”∑
p+q=ncp,q ∈ Im dn−1とすると,
∑p+q=n−1
cp,qが存在して,
cp,q = dq−1Y• cp,q−1 + (−1)ncp−1,qd−p
X•
= (−1)n(−1)ndq−1
Y• cp,q−1 + cp−1,qd−pX•
· · · // X−pd−p
X• //
cp,q
(−1)ncp,q−1
||yyyy
yyyy
X−p+1
(−1)ncp−1,q
xxxx
xxxx
x// · · ·
· · · // Yq−1(−1)ndq−1
Y•
// Yq // · · ·
”⊇” ” ⊆” を逆からやればよい.
以下, ∗ ∈ nothing, +, −, b
とする.
Def 2.2.17 X• ∈ K(mod-A)に対して, X• が finite injective dimensionをもつとは,任意の
Y ∈ mod-Aに対して, Extn(Y,X•) = 0 (n 0)となるときにいう. また,
K∗(mod-A)f.i.d. :=X• ∈ K∗(mod-A)
∣∣∣ X•は finite injective dimensionをもつ
とし,U∗f.i.d. := U ∩ K∗(mod-A)f.i.d. とおく.
Lemma 2.2.18次が成り立つ.
(1) K∗(mod-A)f.i.d. は K∗(mod-A)の full triangulated subcategoryである.
(2) U∗f.i.d. は epaisse subcategory ofK∗(mod-A)f.i.d. である.
proof.
58
(1) auto-functor [1]と mapping coneC(u•) で閉じていることを示せばよい. X•, Y• ∈K∗(mod-A)f.i.d. とする.
• auto-functor [1]で閉じていること.
Extn(−,X•[1]) ' Extn+1(−,X•)より.
• mapping coneC(u•)で閉じていること.
u• : X• → Y• に対して, triangleに Extn(−,?)を applyして,
exact : · · · → Extn(−,Y•)→ Extn(−,C(u•))→ Extn+1(−,X•)→ · · ·
を得る.
(2) 明らか.
そこで,D∗(mod-A)f.i.d. := K∗(mod-A)f.i.d./U∗f.i.d.
とおく.
Lemma 2.2.19 canonical functorQ は fully faithful : D∗(mod-A)f.i.d. → D∗(mod-A) を
導く.
proof. X• ∈ K∗(mod-A)f.i.d., Y• ∈ K∗(mod-A), s : X• ⇒ Y• に対して, derived cat.内で,
X• ' Y• より, Y• ∈ K∗(mod-A)f.i.d. となる. よって, Prop 2.0.26より主張を得る.
Lemma 2.2.20 X• ∈ K+(mod-A)に対して,次は同値である.
(1) X• ∈ K+(mod-A)f.i.d. (2) I • ∈ Kb(inj-A)が存在して, X• ' I • in D(mod-A)
proof. (1)⇒ (2). Lemma 2.2.3より, I • ∈ K+(inj-A)が存在して, X• ' I • in D(mod-A)とな
る. また, i > nに対して, Exti(−,X•) は mod-A上で 0になると仮定する. このとき, i > n
に対して, I • はU-localより, Prop 2.0.34を適用して,
HomK(mod-A)(KerdiI• [−i], I •) ' HomK(mod-A)(Kerdi
I• , I•[i])
' HomD(mod-A)(KerdiI• , I
•[i])
' HomD(mod-A)(KerdiI• ,X
•[i])
' Exti(KerdiI• ,X
•)
= 0
59
よって,次の commutative diagramを得る.
0 //
KerdiI• _
xxxxxxxx// 0
I i−1di−1
I•
// I idi
I•
// I i+1
したがって, Hi(I •) = 0, KerdiI• → I i−1: split monoである. ゆえに, Kerdi
I• ∈ inj-Aとな
る. I j = 0 ( j < m) とし, I ′• : 0 → Im → · · · → In → Kerdn+1I• → 0とすると, I • ' I ′•
in D(mod-A) で, I ′• ∈ Kb(inj-A) より, 主張を得る. (2) ⇒ (1). In = 0 (n > 0)とすると,
Y ∈ mod-Aに対して, Prop 2.0.34, Prop 2.2.16より,
Extn(Y,X•) ' Extn(Y, I •)
= HomD(mod-A)(Y, I •[n])
' HomK(mod-A)(Y, I •[n])
' Hn(Hom•(Y, I •))
' Hn(HomA(Y, I •))
= 0
となる.
Prop 2.2.21次が成り立つ.
(1) Kb(inj-A) ⊆ K+(mod-A)f.i.d. ⊆ K+,b(mod-A)
(2) Q : Kb(inj-A)→ D+(mod-A)f.i.d. は equivalenceである.
proof.
(1) see proof of Lemma 2.2.20
(2) Cor 2.2.10より, Kb(inj-A)→ Db(mod-A)は fully faithful である. さらに,これは (1)よ
り, fully faithful : Kb(inj-A)→ D+(mod-A)f.i.d.である. また, Lemma 2.2.20より, object
間の全射も成り立つ.
これらの dualも成り立つ.
60
Def 2.2.22 X• ∈ K(mod-A)に対して, X• が finite projective dimensionをもつとは,任意の
Y ∈ mod-Aに対して, Extn(X•,Y) = 0 (n 0)となるときにいう. また,
K∗(mod-A)f.p.d. :=X• ∈ K∗(mod-A)
∣∣∣ X•は finite projective dimensionをもつ
とし,U∗f.p.d. := U ∩ K∗(mod-A)f.p.d.とおく.
Lemma 2.2.23次が成り立つ.
(1) K∗(mod-A)f.p.d.は K∗(mod-A)の full triangulated subcategoryである.
(2) U∗f.p.d.は epaisse subcategory ofK∗(mod-A)f.p.d.である.
そこで,D∗(mod-A)f.p.d. := K∗(mod-A)f.p.d./U∗f.p.d.
とおく.
Lemma 2.2.24 canonical functorQ は fully faithful : D∗(mod-A)f.p.d. → D∗(mod-A) を
導く.
Lemma 2.2.25 X• ∈ K−(mod-A)に対して,次は同値である.
(1) X• ∈ K−(mod-A)f.p.d. (2) P• ∈ Kb(proj-A)が存在して, X• ' P• in D(mod-A)
Prop 2.2.26次が成り立つ.
(1) Kb(proj-A) ⊆ K−(mod-A)f.p.d. ⊆ K−,b(mod-A)
(2) Q : Kb(proj-A)→ D−(mod-A)f.p.d.は equivalenceである.
61
Kb(inj-A)
f.f.
wwnnnnnnnnnnnnKb(proj-A)
f.f.vvnnnnnnnnnnnn
K+,b(inj-A)f.f.
wwoooooooooooK−,b(proj-A)
f.f.wwooooooooooo
K+(inj-A) K−(proj-A)
D+(mod-A)f.i.d.
f.f.
vvnnnnnnnnnnnnD−(mod-A)f.p.d.
f.f.vvnnnnnnnnnnnn
D+,b(mod-A) Db(mod-A)f.f.
wwoooooooooooD−,b(mod-A)
f.f.wwooooooooooo
D+(mod-A) D−(mod-A)
では, D(mod-A) は homotopy cat.内に引き戻せるだろうか？ これはできないようであ
る. つまり, D(mod-A)を homotopy cat.K(mod-A)内に引き戻すことはできない. しかし,
D(Mod-A) は homotopy cat.K(Mod-A) 内に引き戻せる. この証明は付録として書くこと
にする.
2.2.3 Derived functor
次に, derived category間の functor ”right derived functor”について述べる. 以
下, K∗(mod-A) を K−(mod-A), K+(mod-A), K−,b(mod-A), K+,b(mod-A), Kb(mod-A),
K−(mod-A)f.p.d., K+(mod-A)f.i.d. のいづれかとする. また, Bは k-algebraとする.
Def 2.2.27 exact functor F : K∗(mod-A) → K(mod-B) の right derived functor
RF : D∗(mod-A) → D(mod-B) とは, 次の categoryC の initial objectである. なお,
initial objectについては付録 A を参照のこと.
categoryC :
• object : (ζ, G)
exact functorG : D∗(mod-A)→ D(mod-B), ζ ∈ Hom(QF,GQ)
• morphismη : (ζ1, G1)→ (ζ2, G2)
η ∈ Hom(G1,G2),任意の f • : X• → Y• ∈ K∗(mod-A) に対して,次の commutative
62
diagram inD(mod-B)をもつ.
G1(X•)η
$$JJJJJJJJJ
G1( f •)
F(X•)ζ2
//
ζ1
::uuuuuuuuu
F( f •)
G2(X•)
G2( f •)
G1(Y•)η
$$JJJJJJJJJ
F(Y•)
ζ1
::uuuuuuuuu
ζ2
// G2(Y•)
側面は ζ1, ζ2, η による commutative diagramであり, 底面が morphismの定義による
commutative diagramである.
ここで, triangulated categoryK , H 間の exact functorF, G : K → H に対して, α ∈Hom(F,G)は, f : X→ Y ∈ K に対して,次の commutative diagramを満たすものである.
F(X)F( f ) //
αX
F(Y) //
αY
F(C( f )) //
αC( f )
F(X)[1]
αX[1]
G(X)
G( f )// G(Y) // G(C( f )) // G(X)[1]
また, exact functorF, G : K/U → H に対して,
iso. : Hom(F,G) ∼ //
∈
Hom(FQ,GQ)
∈
α // αQ
となる. 単射であることは明らか. また, β ∈ Hom(FQ,GQ) とする. X ∈ K/U に対して,
βX : F(X) → G(X) となることは明らかだから, morphismに対して図式が commutative
であることを示せばよい. φ := Q(s)−1Q( f ) とすると,次の commutative diagram inH を得る.
F(X)FQ( f ) //
βX
F(Z)
βZ
F(Y)FQ(s)
'oo
βY
G(X)
GQ( f )// G(Z) G(Y)
GQ(s)
'oo
よって, G(φ)βX = βYF(φ)となる.
63
Prop 2.2.28 exact functorF : K∗(mod-A)→ K(mod-B)に対して,次が成り立つ.
(1) F : acyclic 7→ acyclic⇔ exact functorF : D∗(mod-A) → D(mod-A) が存在して,
ξ : QF ' FQ.
(2) (1)の条件を満たせば, (ξ, F)は F の right derived functorである.
proof. (1) (⇐).明らか. (⇒). Prop 2.0.25より, functorF が存在する.また, F の作り方から
exactであることは明らか. (2) initial objectであることを示せばよい. η : (ξ, F) → (ζ, G)
とすると,
Hom(QF,GQ) '
∈
Hom(FQ,GQ) '∈
Hom(F,G)
∈
ζ = ηQξ oo // ηQ oo // η
Remark 2.2.29 T : D∗(mod-A) → D∗(mod-A) は T : K∗(mod-A) → K∗(mod-A) の right
derived functorである.
Lemma 2.2.30 K∗(mod-A)は次を満たす full triangulated subcategoryLをもつとする.
L : 任意の X• ∈ K∗(mod-A)に対して, I • ∈ L, X• ⇒ I • が存在する.
このとき,任意の u• : X• → Y• ∈ K∗(mod-A)と s• : X• ⇒ I •X• , I •X• ∈ Lに対して, I •Y• ∈ Lが存在して,次の commutative diagramをもつ.
X•u• //
s•
Y•
t•
I •X•
u•// I •Y•
64
Remark 2.2.31各 K∗(mod-A)に対して, non-trivialな Lの例は次である.
K∗(mod-A) L
K−(mod-A) −
K+(mod-A) K+(inj-A)
K−,b(mod-A) −
K+,b(mod-A) K+,b(inj-A)
Kb(mod-A) −
K−(mod-A)f.p.d. −
K+(mod-A)f.i.d. Kb(inj-A)
proof. (FR2)より,次の commutative diagramをもつ.
X•u• //
s•
Y•
t′•
I •X• u′•
// Y′•
したがって, t′′• : Y′• ⇒ I •Y′• が存在するから, t• := t′′•t′•, I •Y• := I •Y′• , u• := t′′•u′• とすれば
よい.
Prop 2.2.32 [Existence theorem] exact functorF : K∗(mod-A) → K(mod-B), K∗(mod-A)
は Lemma 2.2.30のような full triangulated subcategoryLをもつとする. また, QF : L →D(mod-B) (QF : K∗(mod-A) → D(mod-B)の Lへの制限)は acyclic上で 0になると仮定
する. このとき, F の right derived functor (ξ, RF)が存在して,次を満たす.
(1) I • ∈ Lに対して, ξI• : QF(I •)→ RF(Q(I •))は iso.である.
(2) X• ∈ K∗(mod-A), I • ∈ L, X• ⇒ I • ならば, Hn(RF(Q(X•))) ' Hn(F(I •))である.
proof. J : L → K∗(mod-A) を inclusionとすると, 仮定と Prop 2.0.26より, J : L/(U ∩L) → D∗(mod-A)は equivalenceになり, QJ = JQを満たす. このとき, Jの quasi-inverse
を P : D∗(mod-A)→ L/(U ∩L)とし, ε : 1L/(U∩L) → PJを iso.とする. また,仮定と Prop
2.0.25より, exact functor :F′ : L/(U ∩L)→ D(mod-B)が存在し, QFJ = F′Qを満たす.
65
そこで, F := F′Pとおくと,これは exact functorである.
LJ
wwoooooooooooooFJ
''OOOOOOOOOOOO
Q
K∗(mod-A) F //
Q
K(mod-B)
Q
L/(U ∩L)J
wwoooooooooooF′
''NNNNNNNNNNN
D∗(mod-A)P
77ooooooooooo
F
// D(mod-B)
さらに, G : D∗(mod-A)→ D(mod-A)に対して,次の iso.を得る.
Hom(F,G) '
∈
Hom(FJ,GJ) '
∈
Hom(FJQ,GJQ) '
∈
Hom(QFJ,GQJ)
∈
η // ηJ //
(ηJ
)Q
// ηQJ · F′εQ
そこで, Hom(QF,GQ) ' Hom(QFJ,GQJ)であることを示す.
Hom(QF,GQ) //
∈
Hom(QFJ,GQJ)
∈
η // ηJ
(単射であること) ηJ = 0とする. X• ∈ K∗(mod-A)に対して, I • ∈ L, s• : X• ⇒ I • とすると
次の commutative diagram inD(mod-B)を得る.
QF(X•)QF(s•) //
ηX•
QF(I •)
ηI•=ηJ(I• )=0
GQ(X•)
GQ(s•)
' // GQ(I •)
よって, η = 0を得る. (全射であること) θ ∈ Hom(QFJ,GQJ)とする. X• ∈ K∗(mod-A)に
対して, I • ∈ L, s• : X• ⇒ I • とし, ηX• := GQ(s•)−1 · θI• · QF(s•) : QF(X•)→ GQ(X•)とお
く. まず, ηX• が s• の取り方によらないことをみる. s′• : X• ⇒ I ′• に対して, Lemma 2.2.30
66
より,
X•s′• +3
s•
I ′•
t•
I •
t′•+3 I ′′•
, I ′′• ∈ Lを得る. したがって,次の commutative diagramを得る.
QF(X•)QF(s•) //
vvnnnnnnnnnnnnQF(I •)
θI•vvmmmmmmmmmmmm
QF(t′•)
GQ(X•)GQ(s•)
// GQ(I •)
GQ(t′•)
QF(X•)QF(t′•s•) //
vvnnnnnnnnnnnnQF(I ′′•)
θI ′′•vvmmmmmmmmmmmm
GQ(X•)GQ(t′•s•)
// GQ(I ′′•)
QF(X•)
vvnnnnnnnnnnnn
QF(t•s′•) // QF(I ′′•)
θI ′′•vvmmmmmmmmmmmm
GQ(X•)GQ(t•s′•)
// GQ(I ′′•)
QF(X•)
vvnnnnnnnnnnnn
QF(s′•) // QF(I ′•)
θI ′•vvmmmmmmmmmmmm
QF(t•)
OO
GQ(X•)GQ(s′•)
// GQ(I ′•)
GQ(t•)
OO
後側面は functorQF,前側面は GQ,右側面は θ から得られる. このことから, ηX• が s• の
取り方によらないことがわかる.
そこで, η ∈ Hom(QF,GQ) であることを示せばよい. u• ∈ HomK∗(mod-A)(X•,Y•) に対し
て, Lemma 2.2.30より,次の commutative diagram inK∗(mod-A)を得る.
X•u• //
s•
Y•
t•
I •X•
u•// I •Y•
67
ここで, I •X• , I •Y• ∈ Lである. よって,次の commutative diagramを得る.
QF(X•)QF(u•) //
QF(s•)
yyssssssssssηX•
QF(Y•)
QF(t•)yysssssssss
ηY•
QF(I •X• )QF(u•)
//
θI•X•
QF(I •Y• )
θI•Y•
GQ(X•)GQ(u•) //
GQ(s•)
yyssssssssssGQ(Y•)
GQ(t•)yysssssssss
GQ(I •X• )GQ(u•)
// GQ(I •Y• )
上面は QF, 下面は GQ, 左側面は ηX• , 右側面は ηY• , 前側面は θ による commutative
diagramである. したがって,後側面が commutative diagramになることがわかる. これは
η ∈ Hom(QF,GQ)であることを示している.
よって, ξ ∈ Hom(QF, FQ)で F′εQ = ξJ となるものが存在する. このとき,
ηQJ · F′εQ = ηQJ · ξJ
=(ηQ · ξ
)J
となる. したがって,上の同型が次で与えられることになる.
Hom(F,G) '
∈
Hom(QF,GQ)
∈
η // ηQ · ξ
これは, (ξ, F)が initial objectであることを示している.
さらに, I • ∈ Lに対して, εQ(I•) は iso.より, ξI• = F′εQ(I•) は iso.になる.
最後に, X• ∈ K∗(mod-A)に対して, I • ∈ L, X• ⇒ I • に対して,
FQ(X•) ' FQ(I •)
= FJQ(I •)
= F′Q(I •)
= QFJ(I •)
となるから, Hn(FQ(X•)) ' Hn(F(I •))を得る.
68
これらの dualも成り立ち, F の ”left derived functor”を定義することができる.
Def 2.2.33 exact functor F : K∗(mod-A) → K(mod-B) の left derived functor
LF : D∗(mod-A) → D(mod-B) とは, 次の categoryD の terminal objectである. な
お, terminal objectについては付録 A を参照のこと.
categoryD :
• object : (G, ζ)
exact functorG : D∗(mod-A)→ D(mod-B), ζ ∈ Hom(GQ,QF)
• morphismη : (G1, ζ1)→ (G2, ζ2)
η ∈ Hom(G1,G2),任意の f • : X• → Y• ∈ K∗(mod-A) に対して,次の commutative
diagram inD(mod-B)をもつ.
G2(X•)ζ2
$$IIIIIIIII
G2( f •)
G1(X•)
η::ttttttttt
ζ1
//
G1( f •)
F(X•)
F( f •)
G2(Y•)ζ2
$$IIIIIIIII
G1(X•)
η::ttttttttt
ζ1
// F(Y•)
側面は ζ1, ζ2, η による commutative diagramであり, 底面が morphismの定義による
commutative diagramである.
Prop 2.2.34 exact functorF : K∗(mod-A)→ K(mod-B)に対して,次が成り立つ.
(1) F : acyclic 7→ acyclic⇔ exact functorF : D∗(mod-A) → D(mod-A) が存在して,
ξ : FQ ' QF.
(2) (1)の条件を満たせば, (F, ξ)は F の left derived functorである.
Remark 2.2.35 T : D∗(mod-A) → D∗(mod-A) は T : K∗(mod-A) → K∗(mod-A) の left
derived functorである.
Lemma 2.2.36 K∗(mod-A)は次を満たす full triangulated subcategoryMをもつとする.
69
M : 任意の X• ∈ K∗(mod-A)に対して, P• ∈ M, P• ⇒ X• が存在する.
このとき, 任意の u• : X• → Y• ∈ K∗(mod-A) と s• : P•X• ⇒ X•, P•X• ∈ M に対して,
P•Y• ∈ Mが存在して,次の commutative diagramをもつ.
P•X•u• //
s•
P•Y•
t•
X•
u•// Y•
Remark 2.2.37各 K∗(mod-A)に対して, non-trivialなMの例は次である.
K∗(mod-A) M
K−(mod-A) K−(proj-A)
K+(mod-A) −
K−,b(mod-A) K−,b(proj-A)
K+,b(mod-A) −
Kb(mod-A) −
K−(mod-A)f.p.d. Kb(proj-A)
K+(mod-A)f.i.d. −
Prop 2.2.38 [Existence theorem] exact functorF : K∗(mod-A) → K(mod-B), K∗(mod-A)
は Lemma 2.2.36のような full triangulated subcategoryMをもつとする.また, QF :M→D(mod-B) (QF : K∗(mod-A)→ D(mod-B)のMへの制限)は acyclic上で 0になると仮定
する. このとき, F の left derived functor (LF, ξ)が存在して,次を満たす.
(1) P• ∈ Mに対して, ξP• : RF(Q(P•))→ QF(P•)は iso.である.
(2) X• ∈ K∗(mod-A), P• ∈ M, P• ⇒ X• ならば, Hn(LF(Q(X•))) ' Hn(F(P•))である.
そこで, right derived functorRHom•(X•,−) を作る. 以下, X• ∈ C(mod-A),
B := EndC(mod-A)(X•) とする. まず, Hom•(X•,−) : C(mod-A) → C(Mod-B) である
ことに注意する.
70
Prop 2.2.39 exact functor Hom•(X•,−) : K(mod-A)→ K(Mod-B)
proof. Lemma 2.2.14, Lemma 2.2.15より.
Lemma 2.2.40次が成り立つ.
(1) X• または, I • ∈ K+(inj-A)がU に属せば, Hom•(X•, I •) ∈ U(2) P• ∈ K−(proj-A)または, X• がU に属せば, Hom•(P•,X•) ∈ U
proof. (1)
• X• ∈ U のとき, Prop 2.2.16より,
Hn(Hom•(X•, I •)) ' HomK(mod-A)(X•, I •[n])
' HomD(mod-A)(X•, I •[n])
' 0
• I • ∈ U のとき, U-localの定義より, HomK(mod-A)(I •, I •) = 0. よって, I • = 0 in
K(mod-A). よって, Prop 2.2.16より.
(2) (1)の dual.
Prop 2.2.41 exact functor Hom•(X•,−) : K+(mod-A) → K(Mod-B) は right de-
rived functor RHom•(X•,−) : D+(mod-A) → D(Mod-B) をもち, I • ∈ K+(inj-A) に
対して, RHom•(X•, I •) ' Hom•(X•, I •) を満たす. 特に, X• ∈ K−(mod-A) ならば,
RHom•(X•,−) : D+(mod-A)→ D+(mod-B)となる.
proof. Prop 2.2.32の仮定を確認すればよい. まず, L := K+(inj-A) とすればよい. さらに
このとき, Hom•(X•,−)の Lへの制限は, Lemma 2.2.40より acyclic上 0になる. よって,
RHom•(X•,−) : D+(mod-A)→ D(Mod-B)が存在し, derived functorの作り方から,L上で,
RHom•(X•,−) = Q·Hom•(X•,−)となる. (後半の主張について) X• ∈ K−(mod-A), Y• ⇒ I •,
I • ∈ K+(inj-A)とすると, RHom•(X•,Y•) ' RHom•(X•, I •) ' Hom•(X•, I •) ∈ C+(mod-B).
Prop 2.2.42 Y• ∈ D+(mod-A)に対して,
Hn(RHom•(X•,Y•)) ' Extn(X•,Y•)
71
proof. I • ∈ K+(inj-A), Y• ⇒ I • とすると,
Hn(RHom•(X•,Y•)) ' Hn(Hom•(X•, I •))
' HomK(mod-A)(X•, I •[n])
' HomD(mod-A)(X•, I •[n])
' HomD(mod-A)(X•,Y•[n])
' Extn(X•,Y•)
これらの dualである tensorで与えられる left derived functor− ⊗LA M•B も同様に考え
ることができ, RHom•(−,−) と − ⊗LA − の adjoint性も moduleの場合と同様に存在する
(moduleのときの adjoint性を用いて確認することができる).
2.2.4 Derived equivalence
次に, derived equivalence [bounded derived categoryが (triangulated categoryとして)
equivalentDb(mod-A) ' Db(mod-B)] について解説する. derived equivalentであることの
判定は, Rickardの定理がとても重要である. そこでここでは, Rickardの定理を紹介し,あ
る例で実際に derived equivalentであることを確かめてみる. なお, Rickardの定理の証明
は付録として書くことにする. 以下, Bを finite dimensionalk-algebraとする.
まずは, derived equivalenceから得られることを簡単に紹介しておく.
Prop 2.2.43 [22] Aと Bが derived equivalentならば,次のことが成り立つ.
(1) Aと Bの simple moduleの個数が等しい.
(2) Aと Bの centerが同型になる.
(3) 行列 M ∈ Matn(Z)が存在して, tM ·C(A) · M = C(B)となる.
Prop 2.2.43 (3)の” M”はある complexから得られるのだが, その complexが derived
equivalenceについて重要な役割を果たす.
Def 2.2.44 P• ∈ K(mod-A)が tilting complexであるとは,次を満たすときにいう.
(0) P• ∈ Kb(proj-A)
(1) HomKb(proj-A)(P•,P•[n]) = 0 (n , 0)
(2) add-P• は Kb(proj-A)を triangulated categoryとして生成する.
72
Remark 2.2.45 (1)について : これは P• 同士の Hyper ext Extn(P•,P•) が n , 0で消
えていることを意味している. (2)について : これは P• から, 直和や直和因子, shift [n],
mapping cone (triangle)をとる操作を繰り返して, Aが作れることを意味している.
この tilting complexが derived equivalenceについて重要な役割を果たすことになる. こ
のことを述べているのが,次の Rickardの定理である.
Thm 2.2.46 [14]次は同値である.
(1) Aと Bは derived equivalentである.
(2) Kb(proj-A) ' Kb(proj-B) (as triangulated category)
(3) tilting complexP• ∈ Kb(proj-A)が存在して, B ' EndKb(proj-A)(P•)となる.
Remark 2.2.47これは明らかに, Moritaの定理の拡張になっている. したがって,
Morita equivalent=⇒ derived equivalent
となる (tilting complexとしては, progeneratorをとればよい). さらに, derived equivalence
を与える functorは two-sided tilting complexを用いて, left derived functorで与えられる
ことがわかっている (付録を参照).
したがって, derived equivalentであることを確かめるためには, tilting complexを作れれ
ばよい. しかし, tilting complexを作ることが非常に難しい. それでも,上で述べたように,
” M”は tilting complexから得ることができ,さらに, ”M”は行列の計算から求めることがで
きるため, tilting complexを (ある程度)『予想』することはできる*29.
そこで, A と Bが derived equivalentであるとき, それを与える tilting complexP• か
ら” M”を作る方法を解説する.
Prop 2.2.48 [5] P• ∈ Kb(proj-A)を tilting complex,P• = P•1 ⊕ · · · ⊕ P•n を P• の直既約分
解とし, i , j のとき, P•i ; P•j とする. また, B := EndKb(proj-A)(P•)とおく. このとき,
dim HomKb(proj-A)(P•i ,P
•j ) =
∑p,q
(−1)p+qHomA(Ppi ,P
qj )
となる.
*29 ” M”は tilting complexに光を当てたときの『影』のようなものである. この ” M” から tilting complexを予想することは,物体の影からその物体自体を予想できる程度でしかない. 例えば, simple mod.の個数が多い場合などは予想することも難しい.
73
付録 B を見てもわかるように, derived equivalenceにより, P•i たちが Bの projective
moduleと対応する. よって, Prop 2.2.48から Bの Cartan matrixC(B)を計算できることに
なる. このことから, Prop 2.2.43 (3)を証明することができ, ”M”の作り方がわかる.
proof. of Prop 2.2.43 (3)Aと Bは derived equivalentであるとする. Bは basicと仮定して
よいから, Prop 2.2.48と同じように P• をとり,直既約分解する. このとき, Ppj ∈ proj-Aよ
り, Ppj = ⊕i np
j (i)P(i)と書くことができる. そこで, M を次のように定義する.
Mi j :=∑
p
(−1)pnpj (i)
また, C(A)i j := ai j = dim HomA(P(i),P( j))とする. そこで,実際に計算してみると,
(tM ·C(A) · M)i j =
∑`
∑p
(−1)pnpi (`)
∑
k
a`k ·∑
q
(−1)qnqj (k)
=
∑p,q,`,k
(−1)p+qnpi (`)nq
j (k)a`k
=∑p,q
(−1)p+qdim HomA(⊕` npi (`)P(`),⊕k nq
j (k)P(k))
=∑p,q
(−1)p+qdim HomA(Ppi ,P
qj )
= dim HomKb(proj-A)(P•i ,P•j )
= C(B)i j
を得る.
Example2.2.49 Example 2.1.9の (2)と (3)の alg. (それぞれ A, Bとおく) が derived
equivalentであることを示してみよう. まず, ”M”を計算してみると,
M =
[1 1−1 0
]であることがわかる. この” M”はもちろん一意的ではないが, それは derived equivalence
を導く tilting complexが一意的ではないことからくる. 今の場合, ”M”は ±を除いて上のような行列しかない. この”±”は tilting complexを shiftしても tilting complexであること
からくる. よって,今の場合は本質的に tilting complexは (存在すれば)一つしかない. そこ
74
で, tilting complexからの” M”の作り方を見て,次のような complexを作ってみる.
P• :=⊕
P•1 := [ 0 // P(1) b //0th
P(2) // 0 ]
P•2 := [ 0 // P(1) // 0 ]
これは明らかに complexになっているが, tilting complexになっていることを確かめる.
tilting complexの定義 (0)は明らかだから, (1)(2)を確かめればよい.
(1) n > 1ならば,明らかだから ±1の shiftを計算する.
• shift [1]について. これは HomKb(proj-A)(P•1,P•1[1]), HomKb(proj-A)(P•2,P
•1[1]) を計算
すればよいが, dim HomA(P(1),P(2)) = 1であることから簡単に確認できる.
• shift [−1]について. これは HomKb(proj-A)(P•1,P•1[−1]), HomKb(proj-A)(P•1,P
•2[−1])を
計算すればよいが, HomA(P(2),P(1)) = 0であることから明らかである.
(2) P• の直和や直和因子, shift, mapping coneから AA が作れることを確かめる. つまり,
P(1), P(2)が作れればよい. まず, P(1)は P• の直和因子だから作れる. また, P(2)は,
P•1 :
P(1) b //
1
P(2)
P•2 : P(1) // 0
の mapping coneにより得ることができる.
したがって, P• は tilting complex であることが確かめられた. そこで, B 'EndKb(proj-A)(P•)であることを示す. まず, HomKb(proj-A)(P•i ,P
•j )を計算してみる.
(I) HomKb(proj-A)(P•1,P•1)
(i) P(1) b //
0
P(2)
0
P(1)b
// P(2)
(ii) P(1) b //
0
P(2)
c
P(1)
b// P(2)
(iii) P(1) b //
a
P(2)
0
P(1)b
// P(2)
(iv) P(1) b //
a
P(2)
c
P(1)
b// P(2)
(v) P(1) b //
1
P(2)
1
P(1)b
// P(2)
75
(II) HomKb(proj-A)(P•1,P•2)
(i) P(1) b //
0
P(2)
P(1) // 0
(ii) P(1) b //
a
P(2)
P(1) // 0
(iii) P(1) b //
1
P(2)
P(1) // 0
(III) HomKb(proj-A)(P•2,P•1)
(i) P(1) //
0
0
P(1)
b// P(2)
(ii) P(1) //
a
0
P(1)
b// P(2)
(IV) HomKb(proj-A)(P•2,P•2)
(i) P(1)
0
P(1)
(ii) P(1)
a
P(1)
(iii) P(1)
1
P(1)
これらのうち, EndKb(proj-A)(P•) の basisになるものは, (I)(ii)(iii)(v), (II)(ii)(iii), (III)(ii),
(IV)(ii)(iii) で,さらに, radicalに含まれるものは, (I)(ii)(iii), (II)(ii)(iii), (III)(ii), (IV)(ii) で
ある.
また, (I)(iii), (IV)(ii) は (II)(iii) と (III)(ii) の合成, (II)(ii) は (II)(iii) と (IV)(ii) の合成で
作られる. よって, EndKb(proj-A)(P•)の quiverの arrowは, (I)(ii) と (II)(iii), (III)(ii) から得ら
れる. そこで, x = (I)(ii), y = (III)(ii), z = (II)(iii) とおく. このとき, x2 = 0, xy = 0, zx= 0,
yzy= 0であることが簡単に確かめられる.
したがって, B ' EndKb(proj-A)(P•) であることがわかる. ここで, 注意として,
EndKb(proj-A)(P•)の basisを選ぶとき, (I)(ii) もしくは (I)(iii) の代わりに, (I)(iv) を選らんで
も同じようにできるが,この場合の path algebraとしては, Exampla 2.1.9(3)′ を得る.
2つの alg. A, Bが与えられたとき,それらをつなぐ tilting complexを作ることは難しい.
しかし, (Aだけを見て) A上の tilting complexを作る方法はいくつか知られている. そのよ
うな tilting complexにより Aと derived equivalentである alg.を作ることを何回か繰り返
して得られた中に, Bと derived equivalent (もしくは,同型, Morita equivalent)であるよう
な algebraが現れれば, Aと Bが derived equivalentであることが確かめられる*30. この方
*30この方法でも, 最終的に, B とつながること (同型, Morita equivalent, derived equivalent)を確かめ
76
法を奥山の方法 [12, 17]という. この方法について詳しくは, 2.3で述べることにする.
そこで, A上の tilting complexを作る方法を一つ紹介しよう.
Prop 2.2.50 [21] XA ∈ mod-A, · · · → P1ϕ→ P0
π→ X → 0を Xの projective resolusionと
する. また, QA ∈ proj-Aを P0 ⊕ Qが A上の progeneratorであるようにとる. さらに,次を
仮定する.
(1) P1 | Q (2) HomA(Q,X) = 0 = HomA(X,Q)
このとき,
P• :=⊕
P•1 := [ 0 // P1ϕ //
0th
P0// 0 ]
P•2 := [ 0 // Q // 0 ]
は tilting complexである.
Remark 2.2.51 • Example 2.2.49はこのような tilting complexになっている. 実際,
X :=
2
2
とすればよい.
• Ext1A(X,X) = 0である. 実際,仮定より, HomA(Ω(X),X) = 0となる.
proof. tilting complexの定義 (0)は明らかだから, (1)(2)を示す.
(1) n > 1ならば,明らかだから ±1の shiftを計算する.
• shift [1]について. これは HomKb(proj-A)(P•1,P•1[1]), HomKb(proj-A)(P•2,P
•1[1]) を計算
すればよい.
P•1 :
P1ϕ //
f
P0
P•1 : P1 ϕ// P0
に対して,仮定より, π f = 0となり, P1は projective mod.より, f は ϕを通過する.
したがって, f は 0と homotopicであることがわかる. HomKb(proj-A)(P•2,P•1[1]) に
ついても同様.
なければいけないが, A, B が self-injective alg.,A と B は Morita typeの stable equivalentならば,Linckelmannの定理 を使うことでこれを確かめることができる.
77
• shift [−1]について. これは HomKb(proj-A)(P•1,P•1[−1]), HomKb(proj-A)(P•1,P
•2[−1])を
計算すればよい.
P•1 :
P1ϕ // P0
f
P•1 : P1 ϕ
// P0
に対して, morphismの定義から fϕ = 0であるから, f は Xを通過する. しかし,
仮定より, HomA(X,P1) = だから, f = 0を得る. HomKb(proj-A)(P•1,P•2[−1]) につい
ても同様.
(2) 仮定 (1)より, P1 は add-P• で生成される triangulated cat.に含まれる. よって, P•1 と
P1 の mapping coneにより, P0 は add-P• で生成される triangulated cat.に含まれる.
したがって, P0 ⊕ Qは add-P• で生成される triangulated cat.に含まれ,仮定より,これ
は progeneratorだから主張を得る.
2.3 Stable module category
ここでは, stable module categoryを定義し, stable module category間の equivalence
[stable equivalence, Morita typeの stable equivalence]について解説する. stable module
categoryはいつでも定義できるが, 一般に triangulated categoryにならない. しかし,
Morita typeの stable equivalenceからMorita equivalenceを調べることができるなど,重要
な役割をもつ categoryである.
2.3.1 Definition
Def 2.3.1 f : X → Y ∈ mod-A に対して, f が projective homomorphismであるとは,
P ∈ proj-Aが存在して, f が Pを通過するときにいう.
Prop 2.3.2 f ∈ HomA(X,Y) が projective homomorphismならば, f は Y の projective
coverP(Y)を通過する. さらに, f が epimorphismならば, P(Y) | Xとなる.
proof.前半は projective moduleの定義から明らか. また後半は, projective homo.の定義と
Nakayama’s lemmaから epi. X P(Y)を得ることからわかる.
Def 2.3.3 stable module category mod-A は, objectは mod-A と同じで, morphismは
78
HomA(X,Y) := HomA(X,Y)/(projective homomorphism)でとる. つまり, mod-A 内では
projective homo.= 0と見ていることになり, P ∈ proj-Aであることと P = 0 in mod-Aで
あることは同値である. よって, XA ' X0 ⊕ (projective module)は X ' X0 in mod-Aとなる.
したがって, mod-A内では X ∈ mod-Aは projective-free*31としてよい.
2.3.2 Stable module category
上でも述べたように, mod-A は一般に triangulated categoryにならない (もちろん,
abelian categoryにもならない). では, いつ triangulated categoryになるのかを調べてみ
よう.
Def 2.3.4 (1) A : self-injective algebrade f⇐⇒ AA ∈ inj-A⇔ proj-A = inj-A
(2) A : Frobenius algebrade f⇐⇒ AA ' D(A)A⇔ AA ' AD(A)
(3) A : symmetric algebrade f⇐⇒ AAA ' AD(A)A
明らかに,
symmetric +3 Frobenius +3 self-injective quasi-Frobenius
が成り立ち, Aが basicならば, self-injective⇒ Frobeniusとなる. また, Aが self-injective
ならば, simple moduleSA に対して, soc(P(S)) は simple moduleとなり, さらに, A が
symmetricならば, soc(P(S)) ' Sとなる.
Prop 2.3.5 [5] Aが self-injective algebraならば, mod-Aは triangulated categoryになる.
proof. X ∈ mod-Aに対して, shift [1]を X[1] := Ω−1(X)で定義する. このとき, exact間の
commutative diagram
0 // X //
α
I (X) //
β
Ω−1(X) // 0
0 // Ω(Ω−1(X)) // P(Ω−1(X)) // Ω−1(X) // 0
に対して (A が self-inj.より, I (X) は proj.だから β を得る), Nakayama’s lemmaより,
β は epi.で, P(Ω−1(X)) が proj. であることから, β は split epi.である. ゆえに, β の
kernelは inj. である. よって, Snake lemmaより, α も epi.であるが, また Snake lemma
から α の kernelは inj. となり, α は split epi.であることがわかる. したがって, X '
*31 X ∈ mod-Aが projective-freeであるとは, X の直和因子の projective moduleが 0になることをいう.
79
Ω(Ω−1(X)) ⊕ (injective)となるが, Aが self-inj.より, X ' Ω(Ω−1(X)) in mod-Aを得る. さ
らに, exact間の commutative diagram
0 // Ω(X) // I (Ω(X)) //
γ
Ω−1(Ω(X)) //
0
0 // Ω(X) // P(X) // X // 0
に対して (A が self-inj. より, P(X) は inj. だから γ を得る), 同様に (先ほどの dual),
X ' Ω−1(Ω(X)) in mod-Aであることがわかる. よって, [1]は auto-functorである.
次に, f ∈ HomA(X,Y)に対して, exact間の commutative diagram
0 // X //
f
PO
I (X) //
Ω−1(X) // 0
0 // Y g// Z
h// Ω−1(X) // 0
に対して, Z := C( f )とおき, triangle :Xf→ Y
g→ Z
h→ X[1] を定義する. このとき, (TR2)～
(TR4)を示す.
(TR2) f ∈ HomA(X,Y)に対して, exact間の commutative diagram
0 // X //
f
PO
I (X) //
Ω−1(X) // 0
0 // Y g// Z
h//
PB
Ω−1(X) //
Ω−1( f )
0
0 // Y // I (Y) // Ω−1(Y) // 0
より, exact間の commutative diagram
0 // Y //
g
PO
I (Y) //
t [0,1]
Ω−1(Y) // 0
0 // Z t [h,−]// Ω−1(X) ⊕ I (Y)
[−Ω−1( f ),−]// Ω−1(Y) // 0
を得る. よって, Aは self-inj.より, triangle :Yg→ Z
h→ X[1]− f [1]→ Y[1] であること
がわかる. 逆に, triangle :Z[−1]−h[−1]→ X
f→ Y
g→ Zであることを示す. ここで, X, Z
80
は projective-free (すなわち, X ' Ω(Ω−1(X)) ' Ω−1(Ω(X))) としてよい. このとき,
exact間の commutative diagram
0 // Ω(Z) i //
−Ω(h)
P(Z) π //
ϕ
Z //
−h
0
0 // Xi //
f
PO
I (X) //
j
Ω−1(X) // 0
0 // Y g// Z
h// Ω−1(X) // 0
に対して, kernelの定義より, ψ : P(Z)→ Yが存在して, π + jϕ = gψを満たす. よっ
て, gが mono.より, exact間の commutative
0 // Ω(Z) i //
−Ω(h)
PO
P(Z) π //
t [ψ, ϕ]
Z // 0
0 // X t [ f , i]// Y⊕ I (X)
[g,− j]// Z // 0
を得る. よって, Aが self-inj.より, triangle :Z[−1]−h[−1]→ X
f→ Y
g→ Zを得る.
(TR3) Xf //
u Y
vX′
f ′// Y′
に対して, diagram
X //
f
u
I (X) //
||||
||||
|
Ω−1(X)
Ω−1( f )
ttttttttt
ttttttttt
Y //
v
Z // Ω−1(X)
X′ //f ′
I (X′)
||||
||||
// Ω−1(X′)
ttttttttt
ttttttttt
Y′ // Z′ // Ω−1(X′)
81
に対して, POより,
I (X)
||zzzzzzzz
Y //
v
Z
∃w
I (X′)
zzzz
zzzz
Y′ // Z′
を得ることから, exact間の commutative diagram
0 // Y //
v
Z //
w
Ω−1(X) //
∃ϕ
0
0 // Y′ // Z′ // Ω−1(X′) // 0
を得るが,Ω( f )の取り方から ϕ = Ω( f )となる. したがって, triangle間の commuta-
tive diagramを得る.
82
(TR4) f : X→ Y, g : Y→ Zに対して,次の commutative diagramを考える.
X //
f
xxxxxxxxxxI (X) //
zzuuuuuuuuuΩ−1(X)
qqqqqqqqqq
qqqqqqqqqq
Y //
g
C( f ) //
Ω−1(X)
X //
g f
xxxxxxxxxx
f
I (X) //
zzuuuuuuuuu
Ω−1(X)
qqqqqqqqqq
qqqqqqqqqq
Z // C(g f) //
Ω−1(X)
Yg
xxxx
xxxx
xxx
//
I (Y)
zzuuuuuuuuu//
Ω−1(Y)
qqqqqqqqqq
qqqqqqqqqq
Z //
C(g) //
Ω−1(Y)
C( f ) //
xxxx
xxxx
xI (C( f )) //
zzvvvvvvvvvvΩ−1(C( f ))
qqqqqqqqqq
qqqqqqqqqq
C(g f) // W // Ω−1(C( f ))
それぞれの段は PO diagramである. そこで, W ' C(g) in mod-Aであることを示せ
ばよい. しかし, 3段目と 4段目の POより, exact間の commutative diagram
0 // Y //
Z ⊕ I (Y) //
C(g) //
0
0 // C( f ) // C(g f) ⊕ I (C( f )) // W // 0
が存在するが, mono. Y → C( f ), Z → C(g f), I (Y) → I (C( f )) であり, さらに,
83
Y→ C( f )と Z→ C(g f)の cokernelは一致することから, Snake lemmaを使い,
0
//
0 // Y //
Z ⊕ I (Y) //
C(g) //
0
0 // C( f ) //
C(g f) ⊕ I (C( f )) //
W //
0
Ω−1(X) // Ω−1(X) ⊕ I // I // 0
を得る. よって, Aは self-inj.より I は proj.だから, W ' C(g) ⊕ I となり, W ' C(g)
in mod-Aであることがわかる.
Remark 2.3.6 Aは self-inj.とする. 上で示したように, X ∈ mod-Aは X ' Ω(Ω−1(X)) ⊕(proj.) ' Ω−1(Ω(X)) ⊕ (proj.)と分解でき, X を proj.-freeとすると, I (X) ' P(Ω−1(X)),
P(X) ' I (Ω(X))となる. よって, Xが proj.-freeならば, (X ⊆ radI (X)より) XsocA = 0と
なる. 逆に, XsocA = 0ならば, Xは proj.-freeである.
次に, derived categoryと stable module categoryを比較する. Rickardにより,次のこと
が示された.
Thm 2.3.7 [13] Aを self-injective algebraとする. このとき, triangulated categoryとして,
Db(mod-A)/Kb(proj-A) ' mod-A
となる.
Remark 2.3.8一般には, 上の 2 つの categoryは一致しない. 例えば, non-semisimple
gl.dim < ∞ な algebraは一致していない. 実際,左辺は ”0” になるが,右辺は non-zeroで
ある.
Def 2.3.9 TA ∈ mod-Aとする.
(1) f : X → Y ∈ mod-Aが left T-approximationであるとは, Y ∈ add-T, epi HomA( f ,T) :
HomA(Y,T) HomA(X,T)となるときにいう.
84
(2) f : X→ Y ∈ mod-Aが right T-approximationであるとは, X ∈ add-T, epi HomA(T, f ) :
HomA(T,X) HomA(T,Y)となるときにいう.
(3) X ∈ mod-Aが left T-dominant resolusionをもつとは,
exact : 0 // X // T0f0 // T1
// · · · fn−1 // Tn
が存在して, Ti ∈ add-T, Xi := Ker fi に対して, Xi → Ti が left T-approximationになる
ときにいう.
(4) X ∈ mod-Aが right T-dominant resolusionをもつとは,
exact :Tnfn−1 // · · · // T1
f0 // T0// X // 0
が存在して, Ti ∈ add-T, Xi := Cok fi に対して, Ti → Xi が right T-approximationにな
るときにいう.
例えば, TA = D(A)A ならば, inj. への mono.は left T-approximationであり, 任意の
moduleは injective hullをとることで, left T-dominant resolusionをもつ. また, TA := AA
ならば, proj.からの epi.は right T-approximationであり, 任意の moduleは projective
coverをとることで, right T-dominant resolusionをもつ.
さらに, mod-Aの 2つの full subcategoryを定義する.
D(T) := Ker Extn>0A (−,T)∩
X ∈ mod-A
∣∣∣ Xは left T-dominant resolusionをもち,その長さは無限
C(T) := Ker Extn>0A (T,−)∩
X ∈ mod-A
∣∣∣ Xは right T-dominant resolusionをもち,その長さは無限
例えば, TA = D(A)Aならば,D(T) = mod-A, TA := AAならば, C(T) = mod-Aとなる.
Lemma 2.3.10 T ∈ mod-A は self-orthogonalとする. よって, fully faithful functor
Kb(add-T) → Db(mod-A) が存在する. このとき, X, Y ∈ mod-A を (1) または (2) のよ
うにとれば,
HomA(X,Y)/(T を通過する) ' HomDb(mod-A)/Kb(add-T)(X,Y)
となる.
(1) X ∈ D(T), Y ∈ Ker Extn>0A (T,−) (2) X ∈ Ker Extn>0
A (−,T), Y ∈ C(T)
proof.まず, T• ∈ Kb(add-T), n 0に対して,
85
• X ∈ Ker Extn>0A (−,T)ならば, HomDb(mod-A)(X,T•[n]) = 0
• X ∈ Ker Extn>0A (T,−)ならば, HomDb(mod-A)(T•,X[n]) = 0
となることに注意する (T• の長さによる induction).
(1)のときを示す. epi.を示す. Db(mod-A)/Kb(add-T)内の morphismは, Db(mod-A)内
でZ•
sz
f
AAA
X Yとなっている. ここで, s : Z• ⇒ X は Db(mod-A)/Kb(add-T) 内では
iso.で, C(s) ∈ Kb(add-T)である. また, X ∈ D(T)より, left T-dominant resolusion
0 // Xε // T0
f0 // T1f1 // · · · // Tn
fn // · · ·
が存在して, Xi := Ker fi とおく. このとき, Extn>0A (Xi ,T) = 0である. triangle :Z•
s⇒ X →C(s)→ Z•[1] に HomDb(mod-A)(Xn[−n− 1],−)を applyして, exact
HomDb(mod-A)(Xn[−n− 1],Z•) // HomDb(mod-A)(Xn[−n− 1],X) // HomDb(mod-A)(Xn[−n− 1],C(s))
を得るが, C(s) ∈ Kb(add-T), Xn ∈ Ker Extn>0A (−,T)より, HomDb(mod-A)(Xn[−n−1],C(s)) = 0
である. よって,自然な Xn[−n− 1]s′⇒ X (ext.)に対して,
Xn[−n− 1]∃hxxppppp s′
"*MMMMMMMMMM
Z• s
+3 Xを得る.
また, triangle :T•[−1]→ Xn[−n−1]s′⇒ X
ε→ T• に HomDb(mod-A)(−,Y)を applyして, exact
HomDb(mod-A)(X,Y) // HomDb(mod-A)(Xn[−n− 1],Y) // HomDb(mod-A)(T•[−1],Y)
を得るが, T• ∈ Kb(add-T), Y ∈ Ker Extn>0A (T,−) より, HomDb(mod-A)(T•[−1],Y) = 0 で
ある. したがって,X ∃g
>>>
Xn[−n− 1]
4<qqqqqqqqqq
f h// Y
を得る. 次に, mono.を示す. f : X →
Y を Db(mod-A)/Kb(add-T) で 0 とする. このとき, f はある Kb(add-T) の object S•
を (Db(mod-A) 内で) 通過する. 上と同じ議論で, 次のような commutative diagram in
86
Db(mod-A)を得る.
S•
b
@@@
@@@@
@
X−n[−n− 1]s′ +3
%%KKKKKKKKKK Xf
//
a??~~~~~~~~
Y
Z•
;C~~~~~~~
~~~~~~~
ここで, Z• := C(a)[−1]である. このとき, f s′ = 0より, f は ε を通過する. よって,次のよ
うな commutative diagram inDb(mod-A)をもつことになる.
T•
δ
AAA
AAAA
A
Xf
//
ε
>>Y
そこで, triangle : T0[−1] → T•1 [−1] → T• → T0 に HomDb(mod-A)(−,Y) を applyして,
exact
HomDb(mod-A)(T0,Y) // HomDb(mod-A)(T•,Y) // HomDb(mod-A)(T•1 [−1],Y)
を得るが, HomDb(mod-A)(T•1 [−1],Y) = 0より, 次の commutative daigram inDb(mod-A) を
もつ.
T•
δ
@@@
@@@@
@// T0
g~~
~~~~
~
Xf
//
ε
>>~~~~~~~~Y
よって, f は T0を通過するから, mono.であることがわかる.
(2)はその dual.
proof. of Thm 2.3.7.F : mod-A→ Db(mod-A)→ Db(mod-A)/Kb(proj-A)とする. TA := AA
でとり, Aは self-inj.より,D(T) ∩ Ker Extn>0A (T,−) = mod-Aである. したがって, Lemma
2.3.10より, F は full faithful である.
次に, F が exactであることを示す. X ∈ mod-Aに対して, exact : 0→ X → I (X) →Ω−1(X) → 0より, triangle :X → I (X) → Ω−1(X) → X[1] で, Aは self-inj.より, Ω−1(X) 'X[1] in Db(mod-A)/Kb(proj-A)となる.また, X→ Yに対して, exact : 0→ X→ Y⊕ I (X)→
87
Z → 0より, triangle : X → Y ⊕ I (X) → Z → X[1] で, Aは self-inj.より, I (X) = 0 in
Db(mod-A)/Kb(proj-A)となるから主張を得る.
最後に, object間の全射を示す. X• ∈ K−,b(proj-A)に対して, Xi = 0 (i > 0), Hi(X•) = 0
(i < n) としてよい. このとき, Y• : 0 → Cokdn−1 → Xn+1 → Xn+2 → · · · → X0 → 0
は X• と Db(mod-A) 内で iso.である. さらに, Y• → Cokdn−1[−n] の mapping coneは
Kb(proj-A) に属すから Y• ' Cokdn−1[−n] in Db(mod-A)/Kb(proj-A) となる. したがって,
F(Cokdn−1[−n]) ' Y• ' X• in Db(mod-A)/Kb(proj-A)を得る.
2.3.3 Stable equivalence
次に, stable equivalence [stable module categoryが (additive categroyとして) equivalent
mod-A ' mod-B]*32について解説する. 特に, Morita typeの stable equivalenceについて述
べる. ここでは,次の 2つのことを主な目標とする.
(1) Linckelmannの定理 (2) derived equivalenceと stable equivalenceの関係.
AMB, BNAが次を満たすとする.
(1) AM, MBは projective,BN, NAは projective
(2) AM ⊗B NA ' AAA ⊕ A(projective module)A
(3) BN ⊗A MB ' BBB ⊕ B(projective module)B
このとき, AMB, BNA は stable equivalence mod-A ' mod-Bを導き,互いに quasi-inverse
になっている.このように与えられる stable equivalenceをMorita typeの stable equivalence
という.
self-inj.間では, stable equivalenceと Morita typeの stable equivalenceの差はほとんど
ない. つまり,次が成り立つ.
Prop 2.3.11 [16] A, Bを self-injective algebraとし, F : mod-A→ mod-Bは stable equiv-
alence mod-AF' mod-Bを導く exact functorとする. このとき, F は Morita typeの stable
equivalenceである.
Lemma 2.3.12 [16] A, Bは self-injective algebraとし, AZB は AZ ∈ A-proj,任意の X ∈mod-Aに対して, X ⊗A ZB ∈ proj-Bを満たす (A, B)-bimoduleとする. このとき, AZB は
*32 A と Bが stable equivalentであるとき, A と Bの simple moduleの個数が等しいかどうかは未だに知られていない.
88
projective moduleである.
proof. AZB を proj.-freeとし, Z = 0を示す. まず, soc(A)Zsoc(B) = 0であることに注意
する. AZ は proj.より, Asoc(A)ZB ' Asoc(A) ⊗A ZB となり, 仮定より, これは proj.だか
ら, 0 = Asoc(A)Zsoc(B)B ' Asoc(A)Z ⊗B soc(B)B を得る. しかし, Bは self-inj. (すべての
simple moduleは soc(B)の直和因子)より, soc(A)Z = 0となる. さらに, Aが self-inj.より,
Z = 0であることがわかる.
proof. of Prop 2.3.11.MB := F(A) とおくと, F は functor : mod-A→ mod-Bを導くから
M ∈ proj-Bである. また, alg. homo. :A ' EndA(A)→ EndB(M)より, AM と見れる.
このとき, X ∈ mod-Aに対して,
HomB(X ⊗A M, F(X)) ' //
∈
HomA(X,HomB(M, F(X)))
∈α(X) oo // [X ' HomA(A,X)→ HomB(M, F(X))]
のように α : − ⊗A M → F を定義する. 明らかに, αは naturalであり,さらに, α(A)は iso.
だから任意の proj.に対して, α([proj.])は iso.である.また,任意の X ∈ mod-Aに対して, X
の proj. resolusionに − ⊗A M, F を applyすると, F は exactより, exact間の commutative
diagram
0 // TorA1 (X,M) // Ω(X) ⊗A M //
α(Ω(X))
P(X) ⊗A M //
' α(P(X))
X ⊗A M //
α(X)
0
0 // F(Ω(X)) // F(P(X)) // F(X) // 0
を得る. Snake lemmaより, α(X)は epi.であるが,これは任意のmoduleに対して成り立つ
から, α(Ω(X))も epi.である. したがって, Snake lemmaより, α(X)は iso.であることがわ
かる. よって, α : − ⊗A M ' F を得る. また, TorAn>0(X,M) = 0であるから, AM は proj.で
ある.
次に, G := HomB(M,−) : mod-B → mod-Aとおくと, MB は proj.より, G は exactで
ある. さらに, Bは self-inj.より, HomB(M, B)A | ⊕D(A)A となるが, A が self-inj.より,
HomA(M, B)は proj.であることがわかる. したがって, Gは G : mod-B→ mod-Aを導く.
また, homo.と tensorの adjoint性とその対応で proj. homo.は対応する (MB : proj.) か
ら, Gは F の right adjointである (adjointについては付録 B を参照). よって, Gは F の
quasi-inverseである. そこで, BNA := HomB(M, B)とおくと, NA, BNは proj.である. ここ
で,先ほどと同様に, β : − ⊗B NA ' Gであることに注意する.
89
あとは, AM⊗BNA ' AAA⊕A(proj.)Aであることを示せばよい (BN⊗A MB ' BBB⊕B(proj.)B
も同様). つまり, AAA ' AM ⊗B NA in A-mod-A であることを示す. F, G の unit を
ε : 1 → GF とする. このとき, εA は (A, A)-homo.になるから (A, A)-bimoduleとしての
PO diagram
0 // A //
εA
PO
I (A) //
Ω−1(A) // 0
0 // M ⊗B N // P // Ω−1(A) // 0
を考える. 明らかに, AP は proj.である. さらに, 任意の X ∈ mod-A に対して, XA 'X ⊗A M ⊗B NA in mod-Aとなるから, X ⊗A PAは proj.である. よって, Lemma 2.3.12より,
APAは proj.であることがわかる. よって,主張を得る.
Remark 2.3.13上で, ”ほとんど” と言ったが, 任意の stable equivalenceが exact :
mod-A → mod-Bからきているとはいえないから,いつでも stable equivalenceが Morita
typeの stable equivalenceになるとはいえない.
次に, Linckelmannの定理 [7] (一般化 [9] ) について解説する.
Thm 2.3.14 A, Bは projective simple moduleをもたないとする. また, Aと Bは Morita
typeの stable equivalentとし, AMB, BNA がその equivalenceを導くとする. このとき, 任
意の simple moduleS ∈ mod-Aに対して, S ⊗A MB が simple moduleならば, Aと Bは
Morita equivalentである.
以下, A, Bは Morita typeの stable equivalentとし, AMB, BNAがその equivalenceを導く
とする.
Lemma 2.3.15 AM, MB, BN, NAは progeneratorである.特に, −⊗A M : mod-A→ mod-B
は faithful functorである.
proof. NAが progeneratorであることを示す. proj-A ⊇ add-NAであることは明らか. また,
AM ⊗B NA ' AAA ⊕ A(proj.)A で, MB は proj.より, AA | M ⊗B NA | ⊕ B ⊗B NA ' ⊕NA で
あるから, proj-A ⊆ add-NA を得る. 特に, alg. homo. :B → C := EndA(AM)opを使って,
mono. : HomA(X,Y) ' HomC(X ⊗A M,Y ⊗A M) → HomB(X ⊗A M,Y ⊗A M)であることが
わかる.
90
Remark 2.3.16上の証明で, MBは progeneratorより, alg. mono. :B → Cとなるが,一
般に epi.にはならない. これが, Morita equivalenceと Morita typeの stable equivalenceの
差である.
SA :=non-isomorphic simpleA-modules
PA :=
non-isomorphic projective indecomposableA-modules
Lemma 2.3.17 A, Bは projective simple moduleをもたないとする. このとき, 任意の
S ∈ SAに対して, S ⊗A M ∈ SBならば,
(1) SB = S ⊗A M | S ∈ SA (2) PB = P⊗A M | P ∈ PA
proof. proj-B = add-MB より, Q ∈ PB に対して, P ∈ PA が存在して, Q | P⊗A M となる.
よって,任意の T ∈ SBに対して, P ∈ PAが存在して, TBは P⊗A MBの composition factor
になる. しかし, − ⊗A MB は exactより, P ⊗A MB の composition factorは simple module
S ⊗A MB (S ∈ SA)であるから, T ' S ⊗A M となる S ∈ SAが存在する.
次に, (1) の右辺が non-isomorphicの集合であることを示す. S, T ∈ SA に対して,
S⊗A MB ' T⊗A MBとすると, −⊗B NAを applyして, S⊗A M⊗B NA ' T⊗A M⊗A NAとなる
が, AMB, BNAは stable equivalenceを導くから, S⊕ (proj.) ' T⊕ (proj.),Sは non-projective
だから, S | T であることがわかる. しかし, T は simple moduleだから, S ' T を得る.
P ∈ PA に対して, P ⊗A MB が indecomposableであることを示す. 一般に, sim-
ple top*33 XA に対して, X ⊗A MB が simple topであることを示せばよい. `(X) :=
(composition length ofX) とおき, `(X) に関する inductionで示す. `(X) = 1ならば, XA
は simple moduleだから, X ⊗A MB も simple moduleである. そこで, `(X) > 1とする.
S | soc(X)に対して, exact (∗)
0 // S // X // X/S // 0
を考える. この exact (∗)に − ⊗A MBを applyして, exact (∗∗)
0 // S ⊗A M // X ⊗A M // X/S ⊗A M // 0
*33 X ∈ mod-Aが simple topであるとは, top(X) が simple moduleになるときにいう.
91
を得るが, S ⊗A MB は simple moduleで, inductionの仮定より, X/S ⊗A MB は simple top
である. もし, exact (∗∗)が splitするならば, − ⊗B NAを applyして,
X ⊗A M ⊗B NA ' S ⊗A M ⊗B NA ⊕ X/S ⊗A M ⊗B NA
となるが, AMB, BNA は stable equivalenceを導くから, X ⊕ (proj.) ' S ⊕ X/S ⊕ (proj.)を
得る. しかし, SAは non-proj.,XAは indecomposableだから, X ' Sとなるが, `(X) > 1よ
り,これは矛盾する. したがって, exact (∗∗) は non-splitで, S ⊆ rad(X ⊗A M) となるから,
top(X) ' top(X/S)は simple topである.
したがって,上で述べたように, Q ∈ PBに対して, Q | P⊗A M となる P ∈ PAが存在する
が, P⊗A M が indecomposableより, QB ' P⊗A MBであることがわかる.
また, P, Q ∈ PAに対して, P⊗A MB ' Q⊗A MBならば, −⊗A MBの exact性より, (topを
比べて) P ' Qを得る.
proof. of Thm 2.3.14.PA = Pi | 1 ≤ i ≤ nとおく. X ∈ mod-Aに対して, −⊗A MBの exact
性と Lemma 2.3.17より, dim HomA(Pi ,X) = dim HomB(Pi ⊗A M,X ⊗A M) となる. 特に,
dim HomA(Pi ,P j) = dim HomB(Pi ⊗A M,P j ⊗A M)となる.したがって, Lemma 2.3.17より,
− ⊗A MB : proj-A→ proj-Bは fully faithful である. さらに, Lemma 2.3.17より, object間
の全射が成り立つから, − ⊗A MB : proj-A→ proj-Bは equivalenceを導く. したがって, A
と Bが Morita equivalentであることがわかる.
もちろん, S ∈ SA に対して, S ⊗A MB ∈ SB となるのはかなり特殊な caseである. しか
し, Aが self-inj.である場合は, simple moduleは indecomposable moduleに対応すること
がわかっている.
Thm 2.3.18 [7] Aは projective simple moduleをもたないとし, (A, A)-bimoduleとして,
indecomposableとする.また, Aと BはMorita typeの stable equivalentとし, AMB, BNAが
その equivalenceを導くとする. このとき,次が成り立つ.
(1) AMBが projective-freeであることと AMBが indecomposableであることは同値である.
(2) A, Bが self-injective algebra,AMBが projective-freeならば, S ∈ SAに対して, S⊗A MB
は non-projective indecomposable moduleである.
proof.
(1) AMB は proj.-freeと仮定する. AMB = M1 ⊕ M2 とすると, − ⊗B NA を applyして,
AAA⊕A(proj.)A ' AM1⊗B NA⊕AM2⊗B NAを得る.しかし, AAAが indecomposableより,
92
AM2 ⊗B NAは proj.としてよい. したがって, − ⊗A MBを applyして, AM2 Bが proj.で
あることがわかり, M は proj.-freeより, M2 = 0を得る. 逆に, AMBを indecomposable
とする. AMBが proj.であると仮定すると, S ∈ SAに対して, S ⊗A MBは proj.である.
よって, SAは proj.となるが,これは矛盾である.
(2) A, Bは self-inj.とする. AMB は proj.-freeより, soc(A)Msoc(B) = 0となる. よって,
Bは self-inj.より, soc(A)MB は proj.-freeである. AM は proj.だから, soc(A)MB 'soc(A) ⊗A MB を得るが, A は self-inj.より, すべての S ∈ SA に対して, S ⊗A MB |soc(A)MBとなっている. したがって, S⊗A MBは proj.-freeであることがわかる. もし,
S⊗A MB ' T1 ⊕ T2と分解できたら, − ⊗B NAを applyして, SAが simple moduleより,
T2 ⊗B NAは proj.としてよいから, T2 Bは proj.となる. よって, T2 = 0を得るから SA
は indecomposableであることがわかる.
このように, Morita equivalenceと Morita typeの stable equivalenceの差がわかったが,
次に derived equivalenceと (Morita typeの) stable equivalenceの関係を見てみよう. しか
し, Thm 2.3.7のように,一般には比べられていないようである.
Thm 2.3.19 [13, 22] A, Bを self-injective algebraとする. このとき, Aと Bが derived
equivalentならば, Aと Bは Morita typeの stable equivalentである.
proof. Aと Bを derived equivalentとすると, AM•B ∈ Db(A-mod-B) が存在して, − ⊗LA M•B
が Db(mod-A) と Db(mod-B) の間の equivalenceを導く (付録 B を参照). ここで, AM• ∈Kb(A-proj)である.
したがって, Thm 2.3.7より,
Db(A-mod-B)/Kb(A-proj-B) '
∈
A-mod-B
∈
AM•B oo //AMB
を得る. またもう一度, Thm 2.3.7より,
Db(A-mod)/Kb(A-proj) '
∈
A-mod
∈
AM• oo //AM
となるから, AM は proj. であることがわかる. さらに, Rickardの定理より, derived
equivalenceの制限は, Kb(proj-A)と Kb(proj-B)の間の equivalenceを導くから, Thm 2.3.7
93
より,
Db(mod-A)/Kb(proj-A)−⊗L
AM•B'
//
'
Db(mod-B)/Kb(proj-B)
'
mod-A '−⊗AMB
// mod-B
であることがわかるが, − ⊗A MBは exact functorだから,主張を得る.
Remark 2.3.20上の証明で, − ⊗A MB が exact functorであることを使ったが, M•B ∈Kb(proj-B) より, MB は proj.であり, − ⊗L
A M•B の quasi-inverseを考えれば, − ⊗A MB の
quasi-inverse− ⊗B NAを与えることができる.
これにより, category equivalenceの関係が以下のようになることがわかった.
Morita eq. +3 Derived eq.self-inj. +3 Stable eq. of Morita type +3 Stable eq.
また, injective moduleでカットした injectively stable module categorymod-Aも同様に
定義できる. 次のことがわかっている [3].
Prop 2.3.21 Aと Bが Morita typeの stable equivalentならば, mod-A ' mod-Bとなる.
以下, AMB, BNA は indecomposableとし, AM ⊗B NA ' AAA ⊕ APA (APA は projective
module),BN ⊗A MB ' BBB ⊕ BQB (BQBは projective module)とおく.
Prop 2.3.22次が成り立つ.
AMB ' AHomA(N,A)B ' AHomB(N, B)B
BNA ' BHomA(M,A)B ' AHomB(M, B)A
よって, (− ⊗A MB, − ⊗B NA)は left-right adjoint pair in module categoryになる.
proof. BNA ' BHomB(M, B)A を示す. まず, MB は proj. より, HomB(M,−)A ' − ⊗B
HomB(M, B), HomB(M, B) はそれぞれ片側で proj.であることに注意する. よって, (− ⊗A
MB, HomB(M,−)) は adjoint pair in module categoryより, adjoint pair in stable module
categoryである. したがって, BNA ' BHomB(M, B)A in B-mod-Aを得る. しかし, BNA は
94
indecomposableより, BHomB(M, B)A ' BNA ⊕ B(proj.)A となる. さらに, AMBは indecom-
posableで, AMB ' HomB(HomB(M, B), B)より,主張を得る.
Prop 2.3.23次が成り立つ.
APA ' AHomA(P,A)A , BQB ' BHomB(Q, B)B
proof. APA ' HomA(P,A)を示す.
AHomA(A,A)A ⊕ AHomA(P,A)A ' AHomA(A⊕ P,A)A
' AHomA(M ⊗B N,A)A
' AM ⊗B NA
' AAA ⊕ APA
proof. of Prop 2.3.21.まず, IA ∈ inj-Aに対して, I ⊗A MB ∈ inj-Bであることを示す. すな
わち, HomB(−, I ⊗A M)が exact functorであることを示せばよい. − ⊗A MBは right adjoint
of − ⊗B NA より, HomB(−, I ⊗A M) ' HomA(− ⊗B N, I )を得る. BN ∈ B-proj, IA ∈ inj-Aよ
り, HomA(− ⊗B N, I )は exact functorである.
次に, XA ∈ mod-A に対して, X ⊗A PA ∈ inj-A であることを示す. すなわち, APA 'AHomA(P,A)A より, X ⊗ PA ' HomA(P,X) となるから, HomA(−,HomA(P,X)) が exact
functorであることを示せばよい. HomA(−,HomA(P,X)) ' HomA(−⊗A P,X)に対して, APA
は proj.より, exactに −⊗A PAを applyすると, split exactを得るから, HomA(−⊗A P,X)は
exact functorである.
2.3.4 奥山の方法
次に, Linckelmannの定理を使って, derived equivalenceを調べる方法 [奥山の方法]
[12, 17]を紹介する.
A, Bを self-injective algebraとし, Aと BはMorita typeの stable equivalentと仮定する.
このとき, B上の tilting complexを作り,その endomorphism algebraを B1とすると, Bと
B1は derived equivalent (よって, Morita typeの stable equivalent)である. これを繰り返し
て, Bと derived equivalent (Morita typeの stable equivalent)な algebraBnを作る.
Astable of Morita type
/o/o/o/o/o/o/o/o Bstable of Morita type
derived/o/o/o/o/o/o/o/o B1
stable of Morita type
derived/o/o/o/o/o/o/o/o · · · · · · stable of Morita type
derived/o/o/o/o/o/o/o/o Bn
95
このとき,この equivalenceで, simpleA-moduleたちの対応を考え,それらがすべて simple
Bn-moduleと対応していたら, Linckelmannの定理により, Aと Bn が Morita equivalence
になっていることがわかる.したがって, Aと Bの derived equivalence [A Morita∼ Bnderived∼ B]
を得ることができる.
この方法はもちろん, tilting complexの取り方による. 1万回繰り返しても simple module
が simple moduleに対応するとは限らないが, 1万 1回目で simple moduleに対応する可能
性もある. 逆に, ”うまく” tilting complexをとれば, 1回で simple moduleに対応する可能
性もある. つまり,長さ nは一意的ではない. しかし,一発で tilting complexを与えること
がとても困難なため,とても有効かつ画期的な方法である.また,最初に与えられた algebra
A, Bが Morita typeの stable equivalentであることを確かめなければいけないことに注意
する.
Remark 2.3.24この方法は, derived equivalentならば, Morita typeの stable equivalent
であることを使っているので,今のところ (self-inj.でない場合はこの関係がわかっていな
いから) A, Bが self-inj.でないと使えない.
Example2.3.25 group algebra (block*34)で奥山の方法を用いて derived equivalentであ
ることを計算してみよう. ここでは小さい例として, 5次交代群 A5, chark = 2で実際に確
かめてみる. 詳しくは,私の修士論文 [23] (第 11回若手研究集会報告集) を見ていただき
たい.
G := A5, chark = 2とする. このとき, kGkGkG ' A ⊕ A′, A′ ' Mat4(k) となる. また,
P ' C2 ×C2 ∈ Syl2(G)とし, H := NG(P) ' A4とおくと, kHは (kH, kH)-bimoduleとして
indecomposableである. B := kHとおく. このとき, A, Bの quiver with relationは次のよう
になる.
A :
•2b1
// •1 3a1oo a2 // •b2
oo b1a1 = b2a2 = 0, a1b1a2b2 = a2b2a1b1
*34 finite groupG に対して, G の元を basisとした k 上の vector spaceは algebraになる (積は groupの積).このとき,この algebraを kGと書き, group algebraという. また, kGを (kG, kG)-bimoduleとして,直既
約分解したときの因子を blockとよぶ. group algebraや blockは symmetric algebraになっている.
96
B :
•1x1
y3=
====
=== x2 = y2 = 0, xy= yx
•2
y1
@@x2
// •3
x3
^^========y2oo
まず, A と B は Morita typeの stable equivalentである. 実際, この equivalenceは,
−⊗A AB : mod-A→ mod-Bで与えられる (これは kGの作用を kHへ制限したものである).
この対応で,
SA−⊗AAB //
∈
mod-B
∈1
// 1
2 //
[23
]
3 //
[32
]
となっている.
そこで, B 上の tilting complex P• を Prop 2.2.50の XB = 1 としてとり, その endo-
morphism algebraを B1 とする. Bと B1 は derived equivalentである. このとき, この対
応で,
mod-B //
∈
mod-B1
∈
1 // 1[
23
] // 2
[32
] // 3
となる.実際,次のように計算できる.ここで, P•1 := [P(2)⊕P(3)→ P(1)], P•2 := [P(2)→ 0],
P•3 := [P(3)→ 0]とおく.
• 1Bについて.
HomK−(mod-B)(P•,1[n]) = 0 (n , 0)より, 1Bは HomK−(mod-B)(P•,1)B1 に対応する. そ
97
こで, triangle :Ω2(1)[1] → P•1 → 1→ Ω2(1)[2]に, HomK−(mod-B)(P•,−)を applyし
て, exact
0 // HomK−(mod-B)(P•,Ω2(1)[1]) // HomK−(mod-B)(P•,P•1) // HomK−(mod-B)(P•,1) // 0
を得る. HomK−(mod-B)(P•,P•1) は projective indecomposableB1-module P(1) で,
HomK−(mod-B)(P•,1)は 1-dim.より,主張を得る.
• XB :=
2
3
について.
HomK−(mod-B)(P•,X[n]) = 0 (n , 1)より, XBは Ω(HomK−(mod-B)(P•,X[1])) に対応す
る. そこで, triangle :Ω(X)[1] → P•2 → X[1] → Ω(X)[2] に, HomK−(mod-B)(P•,−)を
applyして, exact
0 // HomK−(mod-B)(P•,Ω(X)[1]) // HomK−(mod-B)(P•,P•2) // HomK−(mod-B)(P•,X[1]) // 0
を得る. HomK−(mod-B)(P•,P•2) は 5-dim. projective indecomposableB1-moduleP(2)
で, HomK−(mod-B)(P•,X[1]) は 4-dim.より,主張を得る.
• 3
2
B
について. 上と同様.
したがって, simpleA-moduleは simpleB1-moduleと対応するから, Aと B1 が Morita
equivalentであることがわかる. よって, Aと Bは derived equivalentであることがわかる.
Remark 2.3.26上は有限群のモジュラー表現論における大問題の一つで,
Broue’s conjectureと呼ばれている. G を有限群とし, A を kG の (non-simpleな)
blockとする (chark = p > 0).また, Pを Aの defect group*35とし, H := NG(P)とおく. A
はある対応で, kH の blockと対応しており (Brauer対応),それを Bとする. このとき, P
が abelian groupならば, Aと Bは derived equivalentになっているか？という予想である.
対称群 (交代群)や Pが cyclic groupなどの場合は解決されている. また, Pが non-abelian
でも, Aと Bがよく似ていることがあるが,この場合は反例がある (G := Sz(8),p = 2).し
かし, Pが abelianという強い仮定をはずしたとき, Aと Bがどのくらい似ているか？ ま
たはいつ derived equivalentになっているか？ということはこれからの重要な研究課題で
ある.
*35 block Aの defect groupは, Aの情報を操作する G の p-subgroupである. 例えば, Pが cyclic groupならば, Aは finite typeになる.
98
3 Tilting module
ここでは, tilting moduleについて解説する. 特に, tilting moduleTA が与えられたとき,
その endomorphism algebra EndA(T)と Aが derived equivalentになることを示す [4].
3.1 Definition
Def 3.1.1 TA ∈ mod-Aが tilting moduleであるとは,次を満たすときにいう.
(1) TA は self-orthogonalである. つまり, Extn>0A (T,T) = 0となる. よって, Kb(add-TA)は
Db(mod-A)の full subcategoryと考えることができる.
(2) Kb(add-TA) = Kb(proj-A) in Db(mod-A)
上の定義は, categoricalな定義になっているが,これを moduleの言葉で言い換えると次
のようになる.
Prop 3.1.2 TA ∈ mod-A, TAは self-orthogonalとする. このとき,次は同値である.
(1) TAは tilting moduleである.
(2) (i) TAは finite projective dimensionをもつ.
(ii) exact : 0→ AA→ T0→ T1→ · · · → Tn→ 0, Ti ∈ add-TAをもつ.
Remark 3.1.3上の (2)(ii) は, AA の left TA-dominant resolusionになっている. 実際,
exact : 0→ Ai → Ti → Ai+1→ 0 (各 Ai は kernel)に, HomA(−,T)を applyして,exact : 0→ HomA(Ai+1,T)→ HomA(Ti ,T)→ HomA(Ai ,T)→ Ext1A(Ai+1,T)→ 0
Extm+1A (Ai+1,T) ' ExtmA(Ai ,T)
を得るが, n 0に対して An = 0より, Ext1A(Ai+1,T) = 0であることがわかる.
また, Aが self-inj.ならば, progeneratorと tilting moduleは等しいことがわかる.
proof.明らか.
99
3.2 Tilting moduleと category
tilting moduleは明らかに, progeneratorの拡張になっている. しかし, tilting moduleで
は, Morita equivalenceは導くことはできない. つまり, TAを tilting module,B := EndA(T)
とおくと,
mod-A; mod-B
proj-A
::ttttttttt, add-TA
eeJJJJJJJJJ' proj-B
OO
Remark 3.2.1 tilting moduleのときも, module categoryのある full subcategoryとの間
に equivalenceが存在する. それについては,次の章で述べる.
では, categoryを広げて, derived categoryで見てみよう. このとき, Rickardの定理より,
equivalenceが存在することがわかる.
Db(mod-A) ' Db(mod-B)
Kb(proj-A)
88ppppppppppp= Kb(add-TA)
ggNNNNNNNNNNN' Kb(proj-B)
OO
そこで,実際に, tilting complexを与えてみよう.
3.2.1 Tilting moduleと tilting complex
TA を tilting module, B := EndA(T) とする. また, TA の proj. resolusionを P• とお
く. このとき, TA は finite projective dimensionをもつ (Kb(proj-A) ⊇ Kb(add-TA)) から,
P• ∈ Kb(proj-A)である.
そこで, tilting complexの定義 (1)(2)を調べる.
100
(1) n , 0に対して,
HomKb(proj-A)(P•,P•[n]) ' HomKb(mod-A)(P•,T[n])
' ExtnA(T,T) n > 0
0 n < 0
= 0
(2) Kb(proj-A) ⊆ Kb(add-TA)より.
さらに, (1)のように, B ' EndKb(proj-A)(P•)であることがわかる. よって, P• は Aと Bの
間の derived equivalenceを導く tilting complexになっていることがわかる.
4 Wakamatsu tilting module
次に, tilting moduleの拡張である Wakamatsu tilting moduleについて解説する [18, 19,
20].
4.1 Definition
Def 4.1.1 TA ∈ mod-AがWakamatsu tilting moduleであるとは,次の 2条件を満たすとき
にいう.
(1) TAは self-orthogonalである. (2) AA ∈ D(TA)
Wakamatsu tilting moduleは明らかに tilting moduleの拡張になっているが, tilting mod-
uleと大きく違う点は, TA の proj. resolusion,AA の left TA-dominant resolusionの長さが
発散するところである. つまり, TA の proj. resolusionをとっても, それが A上の tilting
complexにならない.
Wakamatsu tilting moduleは次のように言い換えることができる.
Prop 4.1.2 TA ∈ mod-A, B := EndA(T)とする. また,自然に BT とみる. このとき,次は同
値である.
101
(1) TAはWakamatsu tilting moduleである.
(2) Aop ' EndB(T) (a 7→ [t 7→ ta]), Extn>0B (T,T) = 0
proof. XA ∈ mod-Aに対して, A-homo.πTX を次のように定義する.
πTX : X //
∈
HomB(HomA(X,T),T)
∈
x // [ f 7→ f (x)]
XA = TAならば, πTT は iso.である.
XAは left T-dominant resolusionをもつと仮定し,それを
exact : 0 // X // T0f0 // T1
f1 // · · · fn−1 // Tn
とする. Xi := Ker fi (0 ≤ i ≤ n− 1)とおく.
X → T0 は left approximationより, exact : 0→ X → T0 → X1 → 0に HomA(−,T) を
applyして, exact : 0→ HomA(X1,T)→ HomA(T0,T)→ HomA(X0,T)→ 0を得るが,さら
に, HomB(−,T)を applyして, exact間の commutative diagram
0 // X //
πTX
T0//
πTT0
'
X1//
πTX1
0
0 // HomB(HomA(X,T),T) // HomB(HomA(T0,T),T) // HomB(HomA(X1,T),T) // Ext1B(HomA(X,T),T) // 0
を得る. また, Extk+1B (HomA(X,T),T) ' ExtkB(HomA(X1,T),T) となる. Snake lemmaより,
KerπTX = 0, CokπT
X ' KerπTX1
, CokπTX1' Ext1B(HomA(X,T),T) であることがわかる. さ
らに,
• n > 0ならば, X1について同様の操作をすることで, πTX は iso.
• n > 1ならば, X1, X2, · · · について同様の操作をして, πTXは iso., ExtjB(HomA(X,T),T) =
0 (0< j < n).
であることがわかる.
逆に, KerπTX = 0ならば, left approximationf : X→ T0が存在して (HomA(X,T)の proj.
coverとして, HomA(T0,T) をとればよい), f は mono.である. 特に, πTX が iso.ならば,
X1 := Cok f に対して, KerπTX1= 0となるから (上と同じ議論), left T-dominant resolusion
0→ X→ T0→ T1を得る. さらに, πTX が iso.で, n > 1に対して, ExtjB(HomA(X,T),T) = 0
(0 < j < n)ならば,上の議論より, left T-dominant resolusion 0→ T0 → T1 → · · · → Tnを
得ることができる.
102
このことから, Xの left T-dominant resolusion 0→ X → T0 → · · · → Tn について次の
ことがわかったことになる.
(i) n ≥ 0⇐⇒ KerπTX = 0 (ii) n > 0⇐⇒ πT
Xは iso.
(iii) n > 1⇐⇒ πTXは iso.かつ Extn> j>0
B (HomA(X,T),T) = 0
(1)⇒(2). AA ∈ D(T)より, πTA は iso.だから, AA ' HomB(HomA(A,T),T) ' EndB(T)を
得るが,これは alg. iso. :Aop '→ EndB(T) (a 7→ [t 7→ ta]) を与える. さらに, Extn>0B (T,T) '
Extn>0B (HomA(A,T),T) = 0を得る. (2)⇒(1).略
このことから, TAをWakamatsu tilting moduleとすると, AD(T) ⊗B TA ' AD(A)A, BT ⊗A
D(T)B ' BD(B)B であることがわかる. さらに, DTB もWakamatsu tilting moduleになる.
また, (progeneratorでない) Wakamatsu tilting moduleの例としては, D(A)A などがあげら
れる. non-trivialな例はこの章の後半で与えることにする.
4.2 Wakamatsu tilting moduleとmodule category
ここでは, Wakamatsu tilting moduleによって導かれる module categoryの full subcate-
gory間の equivalenceについて解説する.
以下, TA をWakamatsu tilting module,B := EndA(T)とおく. このとき,自然に BT とみ
る. また, XA ∈ mod-Aに対して,上と同様に, πTX を定める. さらに,
cog∗(T) :=X ∈ mod-A
∣∣∣ Xは left T-dominant resolusionをもち,その長さは無限
gen∗(T) :=X ∈ mod-A
∣∣∣ Xは right T-dominant resolusionをもち,その長さは無限
とおく. よって,D(T) = Ker Extn>0
A (−,T) ∩ cog∗(T)
C(T) = Ker Extn>0A (T,−) ∩ gen∗(T)
となる.
adjoint pair (− ⊗B TA, HomA(T,−)B)に対して, unit, counitをそれぞれ ηT , εT とおく.
Prop 4.2.1次の equivalenceが成り立つ.
(1) BTA : Fix(εT) ∩ Ker Extn>0A (T,−) ' cog∗(DTB)
(2) BTA : gen∗(TA) ' Fix(ηT) ∩ Ker Extn>0B (−,DT)
103
proof. (1) X ∈ Fix(εT) ∩ Ker Extn>0A (T,−) とする. YB := HomA(T,X) とおくと,
X ∈ Fix(ηT)より, Y⊗B TA ' XAである. また, πDTBYB
: Y := HomA(T,X) ' HomA(DX,DT) 'HomA(HomB(Y,DT),DT), Extn>0
A (HomA(Y,DT),DT) ' Extn>0A (DX,DT) ' Extn>0
A (T,X) = 0
より, YB ∈ cog∗(DTB) となる. したがって, HomA(T,−) : Fix(εT) ∩ Ker Extn>0A (T,−) →
cog∗(DTB) を得る. 逆に, Y ∈ cog∗(DTB) に対して, πDTBYB
は iso. より, Y 'HomA(HomB(Y,DT),DT) ' HomA(T,Y⊗BT)となるから, HomA(T,Y⊗BT)⊗BTA ' Y⊗BTA
を得る. よって, Y ⊗B TA ∈ Fix(εT) となる. また, 0 = Extn>0A (HomB(Y,DT),DT) '
Extn>0A (T,Y ⊗B T) となるから, Y ⊗B TA ∈ Ker Extn>0
A (T,−) を得る. したがって,
− ⊗B T : cog∗(DTB)→ Fix(εT) ∩ Ker Extn>0A (T,−)となる. (2)同様.
Prop 4.2.2次の equivalenceが成り立つ.
(1) ADTB : Fix(ηDT) ∩ Ker Extn>0A (−,T) ' gen∗(DTB)
(2) ADTB : cog∗(TA) ' Fix(εDT) ∩ Ker Extn>0B (DT,−)
上のことから次の equivalenceを得る.
Prop 4.2.3次の equivalenceが成り立つ.
(1) BTA : C(TA) ' D(DTB) (2) ADTB : D(TA) ' C(DTB)
mod-Aの full subcategoryAに対して,
PA :=X ∈ mod-A
∣∣∣ 任意の M ∈ Aに対して, Extn>0A (X,M) = 0
IA :=
X ∈ mod-A
∣∣∣ 任意の M ∈ Aに対して, Extn>0A (M,X) = 0
とおく. また, X, Y ∈ mod-Aに対して,
cXY : HomA(T,Y) ⊗B HomA(X,T) //
∈
HomA(X,Y)
∈
g⊗ f // g f
とする. Xまたは Yが add-TAに属せば, cXY は (k-) iso.になる.
Prop 4.2.4次の equivalenceが成り立つ.
BTA : ID(TA) ' PC(DTB)
104
proof. XA ∈ ID(TA) とする. TA ∈ D(TA) より, Extn>0A (T,X) となる. WA ∈ D(TA) に対し
て, W の left T-dominant resolusionを 0 → W → T0 → · · · とおく. exact : 0→ W →T0 → W1 → 0に HomA(−,T)を applyして, exact : 0→ HomA(W1,T) → HomA(T0,T) →HomA(W,T) → 0を得る. さらに, HomA(T,X) ⊗B −を applyして, exact間の commutative
diagram
0 // TorB1 (HomA(T,X),HomA(W,T)) // HomA(T,X) ⊗B HomA(W1,T) //
cW1X
HomA(T,X) ⊗B HomA(T0,T) //
cT0X
'
HomA(T,X) ⊗B HomA(W,T) //
cWT
0
0 // HomA(W1,X) // HomA(T0,X) // HomA(W,X) // 0
を得る. ここで, 下行の exactは, W1 ∈ D(TA), X ∈ ID(TA) からわかる. よって, Snake
lemmaより, KercW1X ' TorB1 (HomA(T,X),HomA(W,T)), KercW
X ' CokcW1X , CokcW
X = 0
であることがわかる. さらに, W1 ∈ D(TA) に同様の操作をすることで, cWX は iso.
になる. 特に, A ∈ D(TA) より, πTX = cA
X は iso.だから, XA ∈ Fix(εT) を得る. ゆ
えに, XA ∈ Fix(εT) ∩ Ker Extn>0A (T,−) となる. また, 上の commutative diagramか
ら TorBk+1(HomA(T,X),HomA(W,T)) ' TorBk (HomA(T,X),HomA(W1,X)) であることが
わかるが, cW1X は iso. だから, TorB1 (HomA(T,X),HomA(W,X)) = 0 となり, 帰納的に,
TorBn>0(HomA(T,X),HomA(W,T)) = 0を得る. これは, Extn>0B (HomA(T,X),W ⊗A DT) = 0
であることを意味しているが, equivalenceADTB : D(TA) ' C(DTB) より,
HomA(T,X)B ∈ PC(DTB)となる. 逆も同様に示すことができる.
Prop 4.2.5次の equivalenceが成り立つ.
ADTB : PC(TA) ' IP(DTB)
上の証明から次のことがわかる.
Cor 4.2.6 X, Y ∈ mod-Aとする. このとき, X ∈ D(TA), Y ∈ ID(TA)または X ∈ PC(TA),
Y ∈ C(TA)ならば, cXY は iso.である.
Prop 4.2.7次の包含関係が成り立つ.
(1) ID(TA) ⊆ C(TA), PC(TA) ⊆ D(TA)
(2) IPC(TA) = C(TA), PID(TA) = D(TA)
proof.
105
(1) TA ∈ D(TA)より, ID(TA) ⊆ Ker Extn>0A (T,−)である. また,
ID(TA) BTA' PC(DTB) ⊆ Fix(ηT) ∩ Ker Extn>0B (−,DT) BTA' gen∗(TA)
より, ID(TA) ⊆ gen∗(TA)を得る. 後半はこの dual.
(2) 定義より, IPC(TA) ⊇ C(TA) である. 逆に, TA ∈ PC(TA) より, IPC(TA) ⊆Ker Extn>0
A (T,−)である. また,
IPC(TA)BTA' PID(DTB) ⊆ Fix(ηT) ∩ Ker Extn>0
B (−,DT)BTA' gen∗(TA)
となるから, IPC(TA) ⊆ C(TA)であることがわかる. ここで,上の式の一つ目の eq.,二
つ目の包含関係は前 Propと同様に示すことができる. 後半はこの dual.
Prop 4.2.8次が成り立つ.
(1) (i) inj-A ⊆ ID(TA) ⊆ C(TA)
(ii) ID(TA), C(TA)は直和因子, monomorphismの cokernel, extensionで閉じている.
(2) (i) proj-A ⊆ PC(TA) ⊆ D(TA)
(ii) PC(TA),D(TA)は直和因子, epimorphismの kernel, extensionで閉じている.
proof. (1) (i)は明らか. (ii) ID(TA)のときは明らかだから, C(TA)のときを示す. 直和因子
で閉じていることは,前の equivalenceを考えれば明らか.
exact : 0→ X→ Y→ Z→ 0とする.
• X, Z ∈ C(TA) のとき, Y ∈ Ker Extn>0A (T,−) であることは明らかだから, Yの right
T-dominant resolusionを作れればよい. XAの right T-dominant resolusionを · · · →TX
0 → X → 0 とおく (ZA に対しても同様におく). PO, PBによる exact間の
commutative diagram
0 // TX0
//
PO
T0//
TZ0
// 0
0 // X // Y //
PB
TZ0
//
0
0 // X // Y // Z // 0
106
に対して, Snake lemmaより,次のような exact間の commuatative diagram
0 // X1//
Y1//
Z1
//
0 // TX
0//
T0//
TZ0
//
0
0 // X //
Y //
Z // 0
0 0
を得る. T0 ∈ add-TA, Extn>0A (T,Y1) より, T0 → Y → 0は right approximationであ
る. よって,同様の操作を繰り返せば, Yの right T-dominant resolusionを作ること
ができる.
• X, Y ∈ C(TA)のとき, Z ∈ Ker Extn>0A (T,−)だから, ZAの right T-dominant resolusion
を作れればよい. PBにより, commutative diagram
0 // Y1// W //
PB
X //
0
0 // Y1// TY
0//
Y //
0
Z Z
を得るが, Y1, X ∈ C(TA) より, W ∈ C(TA) となるから, TY0 → Z → 0 は right
approximationである. したがって, ZAの right T-dominant resolusionをとることが
できた (これは ZAの minimal right resolusionではない).
(2) (1)と同様.
Prop 4.2.9次が成り立つ.
ID(TA) ∩D(TA) = add-TA = PC(TA) ∩ C(TA)
proof.明らか.
107
このことから, projective injective moduleは add-TA に属すことがわかる. 特に, inde-
composable projective injective moduleは Wakamatsu tilting moduleの直和因子になる.
ここまでのことをまとめると次のようになる.mod-A mod-B
gen∗(TA)
IIIIIIIII
BTA
Fix ∩ Ker Extn>0A (T,−)
oooooooooooBTA
cog∗(DTB)
KKKKKKKKKK Fix ∩ Ker Extn>0B (−,DT)
nnnnnnnnnnnn
C(TA)BTA D(DTB)
ID(TA)BTA
ttttttttt
OOOOOOOOOOO PC(DTB)
PPPPPPPPPPPP
ssssssssss
inj-A
BTA
add-TABTA
proj-B add-DTB
cog∗(TA)
IIIIIIIII
ADTB
Fix ∩ Ker Extn>0A (−,T)
ADTB
ooooooooooogen∗(DTB)
KKKKKKKKKK Fix ∩ Ker Extn>0B (DT,−)
nnnnnnnnnnnn
D(TA)ADTB))I
P55
C(DTB)ss P
Ikk
PC(TA)
ttttttttt
OOOOOOOOOOOOADTB
&&I
P
88
ID(DTB)
ssssssssss
PPPPPPPPPPPPtt
P
I
jj
proj-A
ADTB
add-TAADTB
inj-B add-DTB
このように, Wakamatsu tilting moduleとその endomorphism algebraに対して, module
categoryの full subcategory間にいくつかの equivalenceは存在する. しかし, derived cat-
108
egory間では equivalenceが見つからない. それは 2つの epaisse subcategory,Kb(proj-A),
Kb(add-TA) がうまく比べられないところにあるのだと思う (上でも述べたように, Waka-
matsu tilting moduleに対しての resolusionが boundedでとれない). では, Wakamatsu
tilting moduleTAをとったときの 2つの algebraA, B := EndA(T)はどのくらい似ているの
か？また,どのくらいの条件をつければ, derived equivalence (または TAが tilting module)
になるのだろうか？
例えば, (一般に) tilting moduleでない trivial な Wakamatsu tilting moduleの例として
DAA があげられるが,このときは, Aと Bはよく似ている (同型). それでは, non-trivialな
例を見てみよう.
Example4.2.10 Example 2.1.9 (2)に対して, Wakamatsu tilting moduleを作る. TA を次
のようにおく.
TA :=
[1 2
1 2
]⊕
[22
]このとき, TAがWakamatsu tilting moduleになっていることを確かめる.
(1) TAが self-orthogonalであることは省略する.
(2) AAの left T-dominant resolusionを構成する.
exact : 0 //[
11
]//[
1 21 2
]//[
22
]// 0
exact : 0 //[
21 2
]//[
1 21 2
]//[
1 21 2
]// TA
// TA// · · ·
また, TAの projective dimensionは無限である.
exact :· · · // P(1) // P(1) // P(1)⊕ P(2) //[
1 21 2
]// 0
exact :· · · // P(1) // P(1) // P(2) //[
22
]// 0
B := EndA(T) とおくと, Bは Example 2.1.9 (3)の algebraになることが確かめられる.
よって, Example 2.2.49で見たように, Aと Bは derived equivalentである.
しかし, TAと Example 2.2.49でとった tilting complexとの関係がまったくわからない.
109
4.3 Wakamatsu tilting module with finite projective dimension
上で述べたように, Wakamatsu tilting moduleTA がどのくらいの条件を持てば, tilting
moduleになっているかを考える. 次のことが予想されている.
Conjecture 4.3.1 [Wakamatsu tilting conjecture (WTC)]
Wakamatsu tilting moduleTA が finite projective dimensionを持てば, TA は tilting module
か？
以下, TA を Wakamatsu tilting module,B := EndA(T) とする. また, πTX も前と同様に定
める.
Prop 4.3.2 XA ∈ mod-Aに対して,次の exact sequenceが存在する.
0 // HomB(Ext1A(X,T),T) // CokπTΩ(X)
// KerπTX EDBC
GF@A// Ext1B(Ext1A(X,T),T) // Ext1B(HomA(Ω(X),T),T) // CokπT
X EDBCGF@A
// Ext2B(Ext1A(X,T),T) // Ext2B(HomA(Ω(X),T),T) // Ext1B(HomA(X,T),T) EDBCGF@A
// Ext3B(Ext1A(X,T),T) // Ext3B(HomA(Ω(X),T),T) // Ext2B(HomA(X,T),T) EDBCGF@A
// Ext4B(Ext1A(X,T),T) // · · · · · ·
proof. XA の projective resolusion : 0→ Ω(X) → P(X) → X → 0に HomA(−,T)を apply
して,
exact : 0 // HomA(X,T) // HomA(P(X),T) // HomA(Ω(X),T) // Ext1A(X,T) // 0
110
を得る. そこで, 2つの exactを
(∗1) 0 // HomA(Ω(X),T) // HomA(P(X),T) // L // 0
(∗2) 0 // L // HomA(Ω(X),T) // Ext1A(X,T) // 0
とする. このとき, exact (∗1)に HomB(−,T)を applyして, Snake lemmaより,
0 // Kerδ · πTΩ(X)
//
0 //
KerπTX
//
0 // Ω(X) //
πTΩ (X)
P(X) //
πTP(X)'
X //
πTX
0
HomB(HomA(Ω(X),T),T)
δ
0 // HomB(L,T) //
HomB(HomA(P(X),T),T) //
HomB(HomA(X,T),T) //
Ext1B(L,T) // 0
Cokδ · πTΩ(X)
// 0 // CokπTX
// Ext1B(L,T) // 0
を得る. ここで, P ∈ proj-Aに対して, P ∈ D(TA)より, πTP は iso., HomA(P,T) ∈ add-BT で
あることに注意する.よって, Kerδ · πTΩ(X) = 0, KerπT
X ' Cokδ · πTΩ(X), CokπT
X ' Ext1B(L,T),
Exti+1B (L,T) ' ExtiB(HomA(X,T),T) (i > 0)であることがわかる. したがって, exact (∗2)に
111
HomB(−,T)を applyして,
0 //
HomB(Ext1A(X,T),T) //
CokπTΩ(X)
//
0 // Ω(X)πTΩ (X) //
δ·πTΩ (X)
HomB(HomA(Ω(X),T),T) //
δ
CokπTΩ(X)
// 0
HomB(L,T)
HomB(L,T)
KerπT
X// Cokδ //
_
0
Ext1B(Ext1A(X,T),T)
...
を得る.
Prop 4.3.3次の exact sequenceをもつ.
(1) XA ∈ mod-Aに対して,
· · · // TorB2 (HomA(T,X),T) // TorB3 (HomA(T,Ω−1(X)),T) // TorB3 (Ext1A(T,X),T) EDBCGF@A
// TorB1 (HomA(T,X),T) // TorB2 (HomA(T,Ω−1(X)),T) // TorB2 (Ext1A(T,X),T) EDBCGF@A
// KerεTX
// TorB1 (HomA(T,Ω−1(X)),T) // TorB1 (Ext1A(T,X),T) EDBCGF@A
// CokεTX
// KerεTΩ−1(X)
// Ext1A(T,X) ⊗B T // 0
(2) YB ∈ mod-Bに対して,
112
0 // HomA(T,TorB1 (Y,T)) // CokηTΩ(X)
// KerηTY EDBC
GF@A// Ext1A(T,TorB1 (Y,T)) // Ext1A(T,Ω(Y) ⊗B T) // CokηT
Y EDBCGF@A
// Ext2A(T,TorB1 (Y,T)) // Ext2A(T,Ω(Y) ⊗B T) // Ext1A(T,Y⊗B T) EDBCGF@A
// Ext3A(T,TorB1 (Y,T)) // Ext3A(T,Ω(Y) ⊗B T) // Ext2A(T,Y⊗B T) // · · ·
ここで, ηT , εT はそれぞれ adjoint pair (− ⊗B TA, HomA(T,−))の unit, counitである.
Prop 4.3.4次が成り立つ.
(1) pd(BT) < ∞ならば, C(TA) = Ker Extn>0A (T,−)
(2) pd(TA) < ∞ならば,D(DTB) = Ker Extn>0B (−,DT)
proof. (1)定義より, C(TA) ⊆ Ker Extn>0A (T,−)である. そこで,逆を示す.
XA ∈ Ker Extn>0A (T,−)とする. Prop 4.3.3より,
(a) CokεTX ' KerεT
Ω−1(X) (b) KerεTX ' TorB1 (HomA(T,Ω−1(X)),T)
(c) TorBi (HomA(T,X),T) ' TorBi+1(HomB(T,Ω−1(X)),T) (i > 0)
を得るが,Ω−1(X) ∈ Ker Extn>0A (T,−)より,同様の操作を繰り返して,
• CokεTX ' TorB` (HomA(T,Ω−`−1(X)),T) (` > 0)
• KerεTX ' TorB` (HomA(T,Ω−`(X)),T) (` > 0)
を得る.
よって, pd(BT) < ∞ならば, εTX は iso.である. したがって,
Ker Extn>0A (T,−) ⊆ Fix(εT) ⊆ gen1(TA)
を得る.ここで, gen1(TA) :=XA ∈ mod-A
∣∣∣ right T-dominant resolusion :T0→ X→ 0をもつ.
である. ゆえに, exact : 0→ X1 → T0f→ X → 0 ( f : right T-approximation)に対して,
X1 ∈ Extn>0A (T,−)だから,同じ操作を繰り返して, X ∈ gen∗(TA)を得る.
113
(2)同様.
Prop 4.3.5 [10] pd(TA) < ∞ならば,次は同値である.
(1) TAは tilting moduleである. (2) suppd(XA)
∣∣∣ XA ∈ Ker Extn>0A (−,T) ∩ P∞
< ∞
ここで, P∞ :=XA ∈ mod-A
∣∣∣ pd(XA) < ∞である.
proof. AA の left T-dominant resolusionを 0→ AA → T0f0→ · · ·
fn−1→ Tn → · · · , Ai := Ker fi
とおく.
(1)⇒(2) Tn+1 = 0とする. XA ∈ Ker Extn>0A (−,T)とし, exact : 0→ Ai → Ti → Ai+1 → 0
に HomA(X,−) を applyすることで, Extj+1A (X,Ai) ' Ext j
A(X,Ai+1) ( j > 0) を得るから,
Exti>nA (X,A) = 0であることがわかる.
よって, 任意の MA ∈ mod-A に対して, exact : 0→ Ω(M) → P(M) → M → 0 に
HomA(X,−) を applyして, ExtiA(X,M) ' Exti+1A (X,Ω(M)) (i > n) を得る. これを繰り返せ
ば, pd(X) < ∞ ならば, Exti>nA (X,−) = 0を得る. したがって, pd(X) ≤ nであることがわ
かる.
(2)⇒(1) exact : 0→ Ai → Ti → Ai+1 → 0 に HomA(A`,−) (` > 0) を applyして,
Ext j+1A (A`,Ai) ' Ext j
A(A`,Ai+1) を得る. よって, pd(TA) < ∞ より, A` ∈ Ker Extn>0A (−,T) ∩
P∞ となるから, pd(A`) ≤ mとすると (仮定より Ker Extn>0A (−,T) ∩ P∞ に属する任意の
moduleの projective dimensionはある自然数mで抑えられる), Extn>0A (A`,Am) = 0を得る.
したがって, n = 1, ` = m+ 1のときを考えれば, exact : 0→ Am → Tm → Am+1 → 0は
splitするから, Am ∈ add-TAとなる.
4.4 Wakamatsu tilting moduleと stable equivalence
Wakamatsu tilting module (+条件)が与えられたとき,ある symmetric algebra間に stable
equivalenceが存在する. ここではこのことについて解説する.
4.4.1 Algebraの extension
AMAに対して, (A, A)-bimodule homoϕ : M ⊗A M → M, ψ : M ⊗A M → DAを次を満た
すものとする.
(1) ϕは associative [ϕ(m⊗ ϕ(m′ ⊗m′′)) = ϕ(ϕ(m⊗m′) ⊗m′′)] かつ nilpotent [ある i が存在
して, ϕi = 0]である.
114
(2) ψ は ϕ-associative [ψ(m ⊗ ϕ(m′ ⊗ m′′)) = ψ(ϕ(m ⊗ m′) ⊗ m′′)] かつ non-degenerate
[ψ(m⊗ M) = 0または ψ(M ⊗m) = 0ならば, m= 0]である.
(3) ψ(m⊗m′)(1A) = ψ(m′ ⊗m)(1A)
このとき, AΛA := A⊕ M ⊕ DAとおき,積を次のように定める.
(a, m, f ) · (a′, m′, f ′) := (aa′, am′ +ma′ + ϕ(m⊗m′), a f ′ + f a′ + ψ(m⊗m′))
Λは symmetric algebraになり*36, nilpotent symmetric algebraという. 特に, M = 0のと
き, trivial extensionという.
また, BTAに対して,
BMTB := BT ⊗A HomA(T,M)
ϕT : BMT ⊗B MTB
//
∈
BMTB
∈(t ⊗ f ) ⊗ (t′ ⊗ f ′) // t ⊗ [t′′ 7→ ϕ( f (t′) ⊗ f ′(t′′))]
ψT : BMT ⊗B MTB
//
∈
BDBB
∈
(t ⊗ f ) ⊗ (t′ ⊗ f ′) // [b 7→ ψ( f (t′) ⊗ f ′(bt))(1A)]
とおくと, ψT の non-degenerate性を除いて,上の (1)～(3)を満たす. そこで, BΓB := ΛT :=
B⊕ MT ⊕ DBとおき,積を上と同様に定める. また,
θT,M : BMTB
//
∈
BD(MT)B
∈
t ⊗ f // [t′ 7→ t ⊗ f (t′)]
とおくと, Γが symmetric algebraであることと θT,M が iso.であることは同値である.
Prop 4.4.1 TA を Wakamatsu tilting moduleとし, · · · → P1 → P0 → TA → 0を TA の
projective resolusionとする. このとき, MA, T ⊗A MA ∈ C(TA)ならば,次は同値である.
(1) θT,M は isomorphismである.
*36
χψ : AMA //
∈
ADMA
∈
m // [m′ 7→ ψ(m⊗m′)(1A)]
により, AMA ' ADMA となる (ψ の non-degenerate性から χψ は mono.であることがわかる).
115
(2) exact :· · · → HomA(T,P1 ⊗A M)→ HomA(T,P0 ⊗A M)→ HomA(T,T ⊗A M)→ 0
(3) Ωn(T) ⊗A MA ∈ C(TA) (n > 0)
(4) functor :− ⊗A MA : PC(TA)→ C(TA)
proof. まず, Ωn(TA) ∈ PC(TA) であることに注意する. よって, (4)⇒(3)は明らか. また,
XA ∈ mod-Aに対して,
θX,M : X ⊗A HomA(T,M)B//
∈
HomA(T,X ⊗A M)B
∈
x⊗ f // [t 7→ x⊗ f (t)]
と定義する. XA = TA のときは上の θT,M と一致する. XA ∈ proj-Aならば, θX,M は iso.で
ある.
(1)⇔(2)次の commutative diagram
· · · // P1 ⊗A HomA(T,M) //
θP1,M'
P0 ⊗A HomA(T,M) //
θP0,M'
T ⊗A HomA(T,M) //
θT,M
0
· · · // HomA(T,P1 ⊗A M) // HomA(T,P0 ⊗A M) // HomA(T,T ⊗A M) // 0
に対して,上行は Ωn(T) ∈ PC(TA), TA⊗A MA ∈ C(TA)より, exactである.よって, (1)と (2)
が同値であることがわかる.
(3)⇒(2)Ωn(T) ∈ PC(TA), MA ∈ C(TA)より,
exact :· · · // P1 ⊗A MA// P0 ⊗A MA
// T ⊗A MA// 0
を得るが, (3)より Ωn(T) ⊗A MA ∈ C(TA)となるから, (2)を得る.
(1)⇒(4) W ∈ PC(TA)とする. Wの left T-dominant resolusionを 0→ W→ T0 → T1 →· · · とおき,各 kernelをWi とする (W =W0). このとき, Wi ∈ PC(TA), MA ∈ C(TA)より,
exact (∗1) : 0 // Wi ⊗A MA// Ti ⊗A MA
// Wi+1 ⊗A MA// 0
また, Wi ∈ PC(TA), T ⊗A MA ∈ C(TA)より,
exact (∗2) : 0 // Wi ⊗A HomA(T,M)B// Ti ⊗A HomA(T,M)B
// Wi+1 ⊗A HomA(T,M)B// 0
を得る. そこで, (∗1)に HomA(T,−) を applyして (∗2)と組み合わせることで, exact間の
commutative diagram
0 // Wi ⊗A HomA(T,M)B//
θWi ,M
Ti ⊗A HomA(T,M)B//
θTi ,M'
Wi+1 ⊗A HomA(T,M)B//
θWi+1,M
0
0 // HomA(T,Wi ⊗A M) // HomA(T,Ti ⊗A M) // HomA(T,Wi+1 ⊗A M) // Ext1A(T,Wi ⊗A M) // 0
116
を得る. よって, Snake lemmaより,
(a) KerθWi ,M = 0 (b) CokθWi ,M ' KerθWi+1,M (c) CokθWi+1,M ' Ext1A(T,Wi ⊗A M)
(d) Ext j+1A (T,Wi ⊗A M) ' Ext j
A(T,Wi+1 ⊗A M) ( j > 0)
であることがわかる. これは i ≥ 0に対して成り立つから,
(i) θW,M は iso.よって, W⊗A MA ∈ Fix(εT) (ii) W⊗A MA ∈ Ker Extn>0A (T,−)
を得る. ゆえに,
Fix(εT) ∩ Ker Extn>0A (T,−) 'BTA
∈
cog∗(DTB)
∈
W⊗A M oo // HomA(T,W⊗A M)
であることがわかる.
さらに, W の proj. resol. : · · · → Q1 → Q0 → W → 0に対して, Ωn(W) ∈ PC(TA),
T ⊗A MA ∈ C(TA)より,
exact : 0 // Ωn+1(W) ⊗A HomA(T,M) // Qn ⊗A HomA(T,M) // Ωn(W) ⊗A HomA(T,M) // 0
を得るが,さらに, −⊗B TAを applyして (MA ∈ C(TA)より, HomA(T,M) ∈ D(DTB)となる
から, TorBn>0(HomA(T,M),T) = 0 ),
0 // TorB1 (Ωn(W) ⊗A HomA(T,M),T) // Ωn+1(W) ⊗A HomA(T,M) ⊗B T // Qn ⊗A HomA(T,M) ⊗B T // Ωn(W) ⊗A HomA(T,M) ⊗B T // 0
TorBj+1(Ωn(W) ⊗A HomA(T,M),T) ' TorBj (Ωn+1(W) ⊗A HomA(T,M),T) ( j > 0)
であることがわかる. これは n ≥ 0で成り立つから, TorBj>0(W ⊗A HomA(T,M),T) = 0を
得る. したがって, HomA(T,W⊗A M) ' W⊗A HomA(T,M) ∈ Ker Extn>0B (−,DT)である. ゆ
えに,
gen∗(TA) 'BTA
∈
Fix(ηT) ∩ Ker Extn>0B (−,DT)
∈
W⊗A T oo // HomA(T,W⊗A M)
を得る.
よって, WA ∈ C(TA)であることがわかる.
Cor 4.4.2 TAをWakamatsu tilting module with finite projective dimensionとする. このと
き, MA ∈ C(TA)ならば,任意の ` ≥ 0に対して,Ω`(T) ⊗A MA ∈ C(TA)となる. よって, θT,M
は isomorphismである.
117
4.4.2 Ker (A, B), Cok (A, B)
A, B ⊆ mod-Aに対して,
Ker (A, B) :=XA ∈ mod-A
∣∣∣ ∃exact : 0→ X→ V →W→ 0, V ∈ A, W ∈ B
Cok (A, B) :=XA ∈ mod-A
∣∣∣ ∃exact : 0→ V →W→ X→ 0, V ∈ A, W ∈ B
とおく.
以下, TAをWakamatsu tilting module,B := EndA(T)とおく.
Prop 4.4.3次が成り立つ.
(1) Ker (C(TA), PC(TA)) = Cok (C(TA), PC(TA))
(2) Ker (ID(TA), D(TA)) = CokID(TA), D(TA))
proof. (1) ”⊆” XA ∈ Ker (C(TA), PC(TA)) に対して, exact : 0→ X → V → W → 0, V ∈C(TA), W ∈ PC(TA)とする. また, V ∈ C(TA)より, right T-approximation :T0 → V → 0が
存在する. よって, exact間の commutative diagram
V1
V1
0 // W1
//
T0//
W // 0
0 // X // V // W // 0
を得る. ここで, V1 は T0 V の kernel,W1 は T0 V W の kernelである. した
がって, exact : 0→ V1 → W1 → X → 0を得るが, V ∈ C(TA) より, V1 ∈ C(TA), また,
PC(TA)は epi.の kernelで閉じているから, W1 ∈ PC(TA)となることがわかる. ”⊇” XA ∈Cok (C(TA), PC(TA))に対して, exact : 0→ V → W→ X→ 0, V ∈ C(TA), W ∈ PC(TA)と
すると, W ∈ PC(TA) ⊆ D(TA)より, left T-dominant resolusion 0→ W→ T0 が存在する.
118
よって, exact間の commutative diagram
0 // V // W //
X //
0
0 // V // T0//
V1//
0
W1 W1
を得る. ここで, W1, V1はそれぞれW → T0, V → W → T0の cokernelである. したがっ
て, exact : 0→ X→ V1→W1→ 0を得るが, W ∈ PC(TA)より, W1 ∈ PC(TA),また, C(TA)
は mono.の cokernelで閉じているから, V1 ∈ C(TA)となることがわかる. (2)同様.
Prop 4.4.4 exact : 0 → X → Y → Z → 0 に対して, X, Y, Z のうち 2 つが
Ker (C(TA), PC(TA))に属せば,残りの 1つも Ker (C(TA), PC(TA))に属す.
proof. XA ∈ Ker (C(TA), PC(TA))に対して, exact : 0→ X → VX → WX → 0, VX ∈ C(TA),
WX ∈ PC(TA),また,前 Propにより Ker (C(TA), PC(TA)) = Cok (C(TA), PC(TA)) だから,
exact : 0→ VX →WX → X→ 0, VX ∈ C(TA), WX ∈ PC(TA)と書くことにする.
(1) X, Z ∈ Ker (C(TA), PC(TA))のとき
PO, PBによる commutative diagram
0 // X //
PO
Y //
Z // 0
0 // VX// Y //
PB
Z //
0
0 // VX//
V //
VZ//
0
0 // WX// W // WZ
// 0
より, exact : 0→ Y→ V → W→ 0を得るが, C(TA), PC(TA)は extensionで閉じてい
るから,主張を得る.
(2) X, Y ∈ Ker ((C(TA), PC(TA)))のとき
119
exact間の commutative diagram
VY
VY
0 // X //
WY //
Z // 0
0 // X // Y // Z // 0
を得る. ここで, XはWY Y Zの kernelである. exact : 0→ VY → X → X → 0
に対して, (1)から X ∈ Ker (C(TA), PC(TA))である. よって, POにより
0 // X //
PO
WY //
Z // 0
0 // VX//
W //
Z // 0
WX WX
を得るが, W ∈ PC(TA) だから Z ∈ Cok (C(TA), PC(TA)) = Ker (C(TA), PC(TA)) を
得る.
(3) Y, Z ∈ Ker (C(TA), PC(TA))のとき
exact間の commutative diagram
0 // X // Y //
Z //
0
0 // X // VY//
Z //
0
WY WY
を得る. ここで, Zは X → Y → VYの cokernelである. exact : 0→ Z→ Z→WY → 0
に対して, (1)から Z ∈ Ker (C(TA), PC(TA)) = Cok (C(TA), PC(TA)) である. よって,
120
PBにより,
VZ
VZ
0 // X // V //
PB
WZ //
0
0 // X // VY// Z // 0
を得るが, V ∈ C(TA)より,主張を得る.
Cor 4.4.5次が成り立つ.
(1) すべての simpleA-moduleが Ker (C(TA), PC(TA)) に属せば, Ker (C(TA), PC(TA)) =
mod-Aとなる.
(2) XA ∈ mod-A に対して, pd(XA) < ∞ または id(XA) < ∞ ならば, XA ∈Ker (C(TA), PC(TA))である.
4.4.3 Stable equivalence
TA を Wakamatsu tilting module,B := EndA(T) とし, 上のように AMA, Λ (nilpotent
symmetric algebra overM), Γを定義する. また, θT,M も上と同じとする.
Thm 4.4.6次を仮定する.
(1) MA, T ⊗A MA ∈ C(TA)
(2) θT,M は isomorphismである.
(3) mod-A = Ker (C(TA), PC(TA)), mod-B = Cok (ID(DTB), D(DTB))
このとき, Λ と Γ は stable equivalentである. 特に, TA が tilting moduleならば, Λ と Γ
は derived equivalentである.
Remark 4.4.7 TAが tilting moduleのとき,
(i) (Λ 上の) tilting complexは TA の projective resolusion : 0→ P• → TA → 0に対し
て, P• ⊗A Λで与えられる. 実際,任意の proj. Λ-moduleは proj. A-moduleに − ⊗A Λ
を applyすることで得られるから, P• ⊗A Λ ∈ Kb(proj-Λ) であり, add-(P• ⊗A Λ) は
121
(triangulated cat.として) Kb(proj-Λ)を生成する. また,
HomKb(proj-Λ)(P• ⊗A Λ,P• ⊗A Λ[n])
= HomKb(proj-A)(P•,P• ⊗A ΛA[n])
= HomKb(mod-A)(P•,P•[n]) ⊕ HomKb(mod-A)(P•,P• ⊗A M[n]) ⊕ HomKb(mod-A)(P•,P• ⊗A DA[n])
= HomKb(mod-A)(P•,P•[n]) ⊕ HomKb(mod-A)(P•,P• ⊗A M[n]) ⊕ DHomKb(mod-A)(P•[n],P•)
= HomDb(mod-A)(T,T[n]) ⊕ HomDb(mod-A)(T,T ⊗A M[n]) ⊕ DHomDb(mod-A)(T[n],T)
=
B⊕ MT ⊕ DB (n = 0)
0 (n , 0)=
Γ (n = 0)
0 (n , 0)
(ii) 仮定 (1)～(3)のうち, MA ∈ C(TA)だけを仮定すればよい. 実際, TA が tilting module
ならば,上の corollaryから T ⊗A MA ∈ C(TA)と (2)を得る. また,任意の XA ∈ mod-A
に対して, pd(TA) < ∞ より,ある自然数 mが存在して, Extn>0A (T,Ω−m(X)) = 0 (mは
pd(TA)で決まる)となるから, pd(BT) < ∞より, Ω−m(X) ∈ Extn>0A (T,−) = C(TA)を得
る. よって, XA ∈ Ker (C(TA), PC(TA))であることがわかる.
付録A Derived category on Mod-A
ここでは, D(Mod-A)が homotopy cat.K(Mod-A)内に引き戻せることをを証明する. な
お, 2.2.2でのことは有限生成でなくても成り立つ. また, Mod-Aの full subcat. Proj-A,
Inj-Aをそれぞれ projective mod. , injective mod.の categoryとする (有限生成以外も全部
とる).
A.1 準備
Def A.1.1 Cを category (additive categoryでなくてもよい)とする.
(1) Cが small categoryであるとは, Cの objectの集まりが集合になるときにいう.
(2) I ∈ Cが initial objectであるとは,任意の C ∈ Cに対して, set : HomC(I ,C)がただ 1つ
の元からなるときにいう.
(3) T ∈ Cが terminal objectであるとは,任意の C ∈ Cに対して, set : HomC(C,T)がただ
1つの元からなるときにいう.
122
(4) 0 ∈ Cが zero objectであるとは, initialかつ terminal objectであるときにいう.
Remark A.1.2 categoryC (additive categoryでなくてもよい) に対して, initial または
terminal objectが存在するとは限らない. よって, 0が存在するとは限らない. また, initial
objectは存在したら一意的である. terminal objectに対しても同様.
Def A.1.3 C を category,Λ を small categoryとする (additive categoryでなくてもよい).
functor categoryCΛ を次のように定義する.
• objectF
F : Λ→ C : functor
• morphismt : F → G
α : λ→ µ ∈ Λに対して,
F(λ)F(α) //
tλ
F(µ)
tµ
G(λ)
G(α)// G(µ)
Def A.1.4 C を category,Λ を small categoryとする (additive categoryでなくてもよい).
F ∈ CΛ に対して, categoryCF (additive categoryとは限らない)を次のように定義する.
• object (X, fλλ∈Λ)
X ∈ C, fλ : X→ F(λ) ∈ Cで,任意の α : λ→ µに対して,
F(λ)F(α)
""FFFFFFFF
X
fλ==||||||||
fµ// F(µ)
• morphismh : (X, fλ)→ (Y, gλ)h : X→ Y ∈ C, λ ∈ Λに対して,
Ygλ
!!CCC
CCCC
C
Xfλ
//
h??
F(λ)
123
また,CF の terminal objectを Fの limit といい, lim←
Fとかく.特に,Λが集合のとき (object
は Λ の元, morphismは identityだけとして small categoryとみる), F の limit を product
という (直積). またこのとき, lim←
F := (X, pλ)に対して, pλ を projectionという.
Remark A.1.5 (1) C(Mod-A) の objectと morphismの列 : · · · → X•n+1
f •n+1→ X•n → · · · →X•0 とこの列により与えられる functor F : N → C(Mod-A) (ここでは, 0 ∈ N とする) に対して, その limit lim
←F が存在する. pm :
∏X•n → X•mを projectionとすると,
lim←
F = (X•, pn), X• ⊆∏X•n である. また, shift :
∏X•n →
∏X•n を
∏X•n
shift //
pm+1
∏X•n
pm
X•m+1 f •m+1
// X•m
となる morphismとすると,
0 // X• // ∏ X•n1−shift // ∏ X•n
は exactである. 逆に, Ker (1− shift)は limit になる. つまり, F の limit は 1− shiftの
kernelで与えられる. lim←
X•n := X• とおく. また, 1− shiftで作られる triangle ((TR2)
でずらして)を
∏X•n[−1] // hlim
←X•n // ∏ X•n
1−shift // ∏ X•n
つまり, hlim←
X•n := C(1− shift)[−1]とおく.
(2) X• ∈ C(Mod-A), n ∈ Nに対して, X•n ∈ C(Mod-A)を
0 // Cokd−n−1X•
d−nX• // X−n+1
d−n+1X• // X−n+2 // · · ·
とする. このとき,列 : · · · → X•n+1 → X•n → · · · → X•0 が作れて, X• ' lim←
X•n となる. な
ぜなら, X• ' Ker (1− shift)となるから (X• →∏X•mは daigonalに入れる).
Def A.1.6 C を category,Λ を small categoryとする (additive categoryでなくてもよい).
F ∈ CΛ に対して, categoryCF (additive categoryとは限らない)を次のように定義する.
124
• object ( fλλ∈Λ , X)
X ∈ C, fλ : F(λ)→ X ∈ Cで,任意の α : λ→ µに対して,
F(µ)fµ
!!BBB
BBBB
B
F(λ)fλ
//
F(α)<<xxxxxxxx
X
• morphismh : ( fλ , X)→ (gλ , Y)
h : X→ Y ∈ C, λ ∈ Λに対して,
Xh
>>>
>>>>
F(λ) gλ
//
fλ
==Y
また, CF の initial objectを F の colimit といい, lim→
F とかく. 特に, Λ が集合のとき, F
の colimit を coproductという (直和). またこのとき, lim→
F := (iλ , X) に対して, iλ を
injectionという.
A.2 D(Mod-A)の K(Mod-A)への引き戻し
Def A.2.1
K(Inj-A)L :=I • ∈ K(Inj-A)
∣∣∣ I •はU-local
とおく. Lemma 2.2.2より, Kb(Inj-A) ⊆ K+(Inj-A) ⊆ K(Inj-A)L となる.
Lemma A.2.2 次が成り立つ.
(1) K(Inj-A)L は K(Mod-A)の full triangulated subcategoryである. さらに,直積で閉じて
いる.
(2) U ∩ K(Inj-A)L = 0
proof.明らか.
Lemma A.2.3 X• ∈ K(Mod-A) に対して, I • ∈ K(Inj-A)L が存在して, X• ' I • in
D(Mod-A)となる.
proof.次の stepで示す.
125
(Step 1) X• ' hlim←
X•m in D(Mod-A)
proof. triangle (∗): ∏X•m[−1]→ hlim
←X•m→
∏X•m
1−shift→ ∏X•mにHomK(Mod-A)(X•,−)
を applyして,
exact : HomK(Mod-A)(X•,hlim←
X•m) // HomK(Mod-A)(X•,∏
X•m) // HomK(Mod-A)(X•,∏
X•m)
を得るが, X• = Ker (1− shift)であることに注意して,次の commutative diagram
in K(Mod-A)を得る.
X //
φ
∏X•m
1−shift // ∏ X•m
hlim←
X•m // ∏ X•m 1−shift// ∏ X•m
よって, Q(φ) が iso.となることを示せばよい. さらに, n ∈ Z に対して, Hn(φ) が
iso.となることを示せばよい. 各 X•mの作り方より,
Hn(X•m) :=
Hn(X•) (−m≤ n)
0 (−m> n)
となるから,
exact : 0 // Hn(X•) // ∏ X•mHn(1−shift) // ∏ X•m // 0
を得る. したがって, triangle (∗) に Hn(−) を applyした exactと合わせて次の
commutative diagramを得る.
exact : 0 // Hn(X) //
Hn(φ)
Hn(∏
X•m)Hn(1−shift) // Hn(
∏X•m) // 0
exact : 0 // Hn(hlim←
X•m) // Hn(∏
X•m)Hn(1−shift)
// Hn(∏
X•m) // 0
よって,主張を得る.
(Step 2) I •m ∈ K+(Inj-A)が存在して, X•m ' I •m in D(Mod-A)
proof. X•m ∈ K+(Mod-A)であることに注意して, Lemma 2.2.3より.
126
(Step 3) I •m+1→ I •mが存在して, X•m+1//
X•m
I •m+1
// I •m
in K(Mod-A)
proof. ψm : X•m ⇒ I •mとする. ψm+1 で作られる triangleに HomK(Mod-A)(−, I •m) を
applyして,
exact : HomK(Mod-A)(I •m+1, I•m) // HomK(Mod-A)(X•m+1, I
•m) // HomK(Mod-A)(C(ψm+1)[−1], I •m)
を得るが, C(ψm+1) ∈ U, I •m ∈ K+(Inj-A)はU-localより, HomK(Mod-A)(C(ψm+1)[−1], I •m) =
0である.
(Step 4)hlim←
X•m ' hlim←
I •m in D(Mod-A)
proof. (Step 3), (TR3)より,次の commutative diagram inK(Mod-A)をもつ.
∏X•m[−1] //
hlim←
X•m //
∏X•m
1−shift //
∏ψm
∏X•m
∏ψm
∏I •m[−1] // hlim
←I •m // ∏ I •m 1−shift
// ∏ I •m
Q(∏ψm)は iso.だから,主張を得る.
(Step 5)hlim←
I •mはU-localである.
proof.∏
I •mはU-localより.
よって, I • := hlim←
I •mとすれば主張を得る.
Remark A.2.4 この証明を見てもわかるように, X• ∈ K(mod-A)に対して, I • を有限生成
の中ではとれない.
Prop A.2.5 Q : K(Inj-A)L → D(Mod-A)は equivalenceである.
proof. Prop 2.0.34より, K(Inj-A)L → D(Mod-A) は fully faithful である. また, Lemma
A.2.3より object間の全射も成り立つ.
これらの dualも成り立つ.
Def A.2.6
K(Proj-A)L :=P• ∈ K(Proj-A)
∣∣∣ P•はU-colocal
とおく. Kb(Proj-A) ⊆ K−(Proj-A) ⊆ K(Proj-A)L となる.
127
Lemma A.2.7 次が成り立つ.
(1) K(Proj-A)L は K(Mod-A)の full triangulated subcategoryである.さらに,直積で閉じて
いる.
(2) U ∩ K(Proj-A)L = 0
Lemma A.2.8 X• ∈ K(Mod-A) に対して, P• ∈ K(Proj-A)L が存在して, X• ' P• in
D(Mod-A)となる.
Prop A.2.9 Q : K(Proj-A)L → D(Mod-A)は equivalenceである.
付録B Proof of Rickard’s theorem
ここでは, Rickardの定理 (Theorem 2.2.46)を証明する [14, 15, 22, 21].この定理は
Moritaの定理や tilting moduleの拡張になっているが, tilting complexを両側で見ること
ができないため,同様には証明できない. それを解消することがこの定理の証明の難しい
ところである.
B.1 準備
B.1.1 Adjoint functorと fully faithful
K ,H を triangulated categoryとする. また,考える functorは exactとする.
Def B.1.1 F : K → H , G : H → K を functorとする. F が Gの left adjoint functor(G
が F の right adjoint functor)であるとは, X ∈ K , Y ∈ H に対して,
HomH (F(X),Y) ' HomK (X,G(Y))
を満たし,さらに, f : X → M ∈ K , g : Y → N ∈ H に対して,次の commutative diagram
をもつときにいう.
HomH (F(M),Y)−F( f ) //
'
HomH (F(X),Y)g− //
'
HomH (F(X),N)
'
HomK (M,G(Y))− f
// HomK (X,G(Y))G(g)−
// HomK (X,G(N))
128
また,
HomH (F(X), F(X)) '
∈
HomK (X,GF(X))
∈
1F(X) oo // εX
, HomK (G(Y),G(Y)) '
∈
HomH (FG(Y),Y)
∈
1G(Y) oo // δY
となるような ε : 1K → GFを unit, δ : FG→ 1H を counitとよぶ. ここで, ε, δが natural
であることは,同型と可換性から簡単にわかる.
Prop B.1.2 F : K → H , G : H → K を functorとし, F はGの left adjointとする. また,
ε : 1K → GF, δ : FG→ 1H をそれぞれ unit, counitとする. このとき,
(1) Gが fully faithful であることと δ : FG ' 1H であることは同値である.
(2) F が fully faithful であることと ε : 1K ' GFであることは同値である.
(3) F が exactであることとGが exactであることは同値である.
proof.
(1) Gを fully faithful とすると, Y ∈ H に対して,
HomH (Y, FG(Y)) '
∈
HomH (G(Y),GFG(Y)) '
∈
HomH (FG(Y), FG(Y))∈
∃τYoo // G(τY) = εG(Y) oo // 1FG(Y)
可換性を使って, τYδY = 1FG(Y), δYτY = 1Y であることが簡単に確かめられる. 逆は明
らか.
(2) (1)の dual.
(3) F を exactとする. X ∈ H に対して, F が exactであることと adjointの定義より,
HomK (−,G(X)[1]) ' HomK (−[−1],G(X))
' HomH (F(−)[−1],X)
' HomH (F(−),X[1])
' HomK (−,G(X[1]))
を得る. Yoneda’s lemmaから G(X)[1] ' G(X[1]) となる. また, f : X → Y ∈ H に対
して, triangle : X → Y → Z → X[1] とする. また, triangle :G(X)G( f )→ G(Y) → W →
129
G(X)[1] とおく. このとき, F が exactであることと (TR3)から次の triangleの間の
commutative diagramを得る.
FG(X)FG( f ) //
δX
FG(Y) //
δY
F(W) //
h
FG(X)[1]
X
f// Y g
// Z // X[1]
さらに, adjointの定義から,
HomK (F(W),Z) ' //
∈
HomH(W,G(Z))
∈
h oo // ∃α
が存在して,次の commutative diagramを得る.
G(X)G( f ) // G(Y) // W //
α
G(X)[1]
G(X)G( f )
// G(Y)G(g)
// G(Z) // G(X)[1]
注意として,この commutative diagramの下行はまだ triangleとはわからない. これに,
HomK (−,?)を applyして,次の commutative diagramを得る.
HomK (−,G(X)) // HomK (−,G(Y)) // HomK (−,W) //
HomK (−,α)
HomK (−,G(X)[1]) // HomK (−,G(Y)[1]) exact
HomK (−,G(X)) //
'
HomK (−,G(Y)) //
'
HomK (−,G(Z)) //
'
HomK (−,G(X)[1]) //
'
HomK (−,G(Y)[1])
'
HomH (F(−),X) // HomH (F(−),Y) // HomH (F(−),Z) // HomH (F(−),X[1]) // HomH (F(−),Y[1]) exact
したがって, 5-lemmaから, HomK (−, α)は iso.になるから, Yoneda’s lemmaより αは
iso.であることがわかる.
Prop B.1.3 F : K → H を full functorとする. このとき,次は同値である.
(1) 任意の X ∈ K に対して, F(X) = 0ならば, X = 0である.
(2) F は faithfulである.
130
proof. (2)⇒(1)明らか. (1)⇒(2) Xf→ Yに対して, F( f ) = 0と仮定する. Z := C( f )とおく.
triangle : F(Y)F(g)→ F(Z) → F(X)[1]
0→ F(Y)[1] に対して, Prop 2.0.9と F が full であるこ
とから, h : Z→ Yが存在して, F(h)F(g) = 1F(Y) となる. α := hgとおくと, F(α) = 1F(Y) と
なる. よって, F が exactであることから, F(C(α)) ' C(F(α)) ' C(1F(Y)) = 0となり,仮定
より, C(α) = 0であることがわかる. したがって, αは iso.であるが, α f = hg f = 0より,
f = 0を得る.
B.1.2 K−(add-P•)
P• ∈ K−(proj-A) とする. ここでは, categoryK−(add-P•) について考え, functor :
K−(add-P•) → K−(proj-A) を定義する. この categoryK−(add-P•) は通常の K−(mod-A)
と同様に定義できるわけだが, C−(add-P•)の objectX• • は,
· · · → X•n−1→ X•n→ X•n+1→ · · · → 0
で, 各 X•n は add-P• の objectである. 注意として, X• • の differentialδ は δ2 = 0 in
K−(mod-A)となる. しかし, X•nの differentialdは d2 = 0 in mod-Aとなる.
...
...
...
...
X•n−1 :
· · · // Xm−1,n−1 //
Xm,n−1 //
Xm+1,n−1 //
· · ·
X•n :
· · · // Xm−1,n //
Xm,n
δ
d // Xm+1,n //
· · ·
X•n+1 :
· · · // Xm−1,n+1 //
Xm,n+1 //
Xm+1,n+1 //
· · ·
......
......
_______________________________
また, C−(add-P•) での morphismによる可換性も K−(mod-A) の中で考えていることに
注意する.
131
Remark B.1.4 X• • ∈ K−(add-P•)を double complexと考えて,通常の意味で total com-
plex (第 p項は p = m+ nとなるところで直積, differentialは縦 +横 [δ + d]) をとっても縦
δを homotopy cat.内で考えているため,それは complexにならない. そこでここでは, ”う
まく” total complexをとることで, functor :K−(add-P•)→ K−(proj-A)を作る.
Def B.1.5 α : Xm,n → Ym,n が degree (p, q) の morphismであるとは, 各 m, n に対
して, α ∈ HomA(Xm,n,Ym+p,n+q) となるときにいう. これはもちろん indexが異なれば,
α : Xm,n → Ym+p,n+q と α : X`, k → Y`+p, k+q は異なる homomorphismだから,厳密に書く
とすれば ” αm,n ” と書くべきだが,簡単のため,すべてまとめて”α”と書くことにする. ま
た, X := Xm,nと書くことにする.
例えば, d : X→ Xは degree (1, 0), δ : X→ Xは degree (0, 1)の morphismである.
以下, HomK(proj-A)(P•,P•[n]) = 0 (n , 0)を仮定する.
Lemma B.1.6 X• •, Y• • ∈ C−(add-P•) とし, α : X → Y を degree (p, q), p , 0 の
morphismとし, αd = dαを満たすとする. このとき, h : X → Y : degree (p− 1, q)が存在
して, α = hd+ dhを満たす.
proof.各 nに対して, α•n ∈ HomK(proj-A)(X•n,Y•n+q[p]) より.
Lemma B.1.7 X• • ∈ C−(add-P•)とする. このとき, d : X→ X : degree (1− i, i), i ≥ 0が
存在して,∑
0≤i≤`did`−i = 0を満たす.
proof. d0 := d, d1 := (−1)m+nδ : Xm,n → Xm,n+1とする. 明らかに, d0d1 + d1d0 = 0となる.
そこで, ` > 2に対して, di (0 ≤ i ≤ `− 1),各 di は degree (1− i, i)が存在して,∑i
didk−i = 0,
k < `を満たすと仮定する. このとき,
d0
∑1≤i≤`−1
did`−1
= −∑
1≤i≤`−1
∑1≤ j≤i
d jdi− jd`−i
= −∑
1≤ j≤`−1
d j
∑j≤i≤`−1
di− jd`− j
=
∑1≤ j≤`−1
d jd`− jd0
=
∑1≤i≤`−1
did`−1
d0
132
よって,∑
1≤i≤`−1did`−1は degree (−` + 2, `)だから, Lemma B.1.6より,主張を得る.
Def B.1.8 X• • ∈ C−(add-P•)に対して, t(X• •) ∈ K−(proj-A)を次のように定義する.
t(X• •) :=
t(X• •)n :=
⊕n=p+q
Xp,q
differential :=∑
i
di
Lemma B.1.7より,これは complexになる.
Lemma B.1.9 α• • : X• • → Y• • ∈ C−(add-P•) とする. このとき, t(α• •) : t(X• •) →t(Y• •) ∈ K−(proj-A)が存在する.
proof. α0 を α• • の degree (0, 0) の morphismとおく. α• • の可換性より, βi :=
(−1)i+ j(α0d1 − d1α0) : Xi, j → Yi, j+1とすると, β• : X• j → Y• j+1は 0に homotophicである
から, h1 : X → Y : degree (−1, 1)が存在する. そこで, α1 := (−1)i+ jh1 : Xi, j → Yi−1, j+1と
おくと, α0d1 + α1d0 = d0α1 + d1α0となる.
n > 2,αi (0 ≤ i ≤ n− 1),各 αi は degree (−i, i),∑
0≤i≤kαidk−i =
∑0≤i≤k
diαk−i , k < nと仮定す
る. このとき,
d0
∑0≤i≤n−1
αidn−1 −∑
1≤i≤n
diαn−i
=
∑0≤i≤n−1
∑0≤ j≤i
α jdi− jdn−i −∑
1≤i≤n−1
∑1≤ j≤i
d jαi− jdn−i +∑
1≤i≤n
∑1≤ j≤i
d jdi− jαn−i
= (1)− (2)+ (3)
=
∑1≤ j≤n
d jαn− j −∑
0≤ j≤n−1
α jdn− j
d0
ここで,
133
(1)
∑0≤i≤n−1
∑0≤ j≤i
α jdi− jdn−i
=∑
0≤ j≤n−1
α j
∑j≤i≤n−1
di− jdn−i
= −∑
0≤ j≤n−1
α jdn− jd0
(3)
∑1≤i≤n
∑1≤ j≤i
d jdi− jαn−i
=∑
1≤ j≤n
d j
∑j≤i≤n
di− jαn−i
=∑
1≤ j≤n
d j
∑j≤i≤n
αi− jdn−i
=∑
1≤ j≤n−1
∑j≤i≤n−1
d jαidn−i +∑
1≤ j≤n
d jαn− jd0
したがって, (−1)i+ j
∑0≤i≤n−1
αidn−1 −∑
1≤i≤n
diαn−i
に対して, Lemma B.1.6より, degree
(−n, n) の morphismhn が存在する. このとき, αn := (−1)i+ jhn とおけば,
(∑iαi
) (∑i
di
)=(∑
idi
) (∑iαi
)を得る. よって, t(α• •) :=
∑iαi とおけば主張を得る.
Lemma B.1.10 α• • : X• • → Y• • ∈ C−(add-P•)とする.このとき,各 nに対して, α•nが 0
に homotopic (すなわち, α• • = 0 in C−(add-P•))ならば, t(α• •)は 0に homotopicである.
proof. 仮定より, degree (−1,0)の morphismh0が存在して, α0 = d0h0 + h0d0を満たす. そ
こで, degree (−1 − i, i) の morphismhi が存在して, αk =∑
0≤i≤k(dihk−i + hidk−i) を満たすと
134
仮定する. このとき,
d0
αn −∑
0≤i≤n−1
hidn−i −∑
1≤i≤n
dihn−i
=
∑0≤i≤n
αidn−i −∑
1≤i≤n
diαn−i
−∑
0≤i≤n−1
αidn−i +∑
1≤i≤n−1
∑1≤ j≤i
d jhi− jdn−i
+∑
0≤i≤n−1
∑0≤ j≤i
h jdi− jdn−i +∑
1≤i≤n
∑1≤ j≤i
d jdi− jhn−i
= (1)− (2)− (3)+ (4)+ (5)+ (6)
= (1)− (3) + −(2)+ (4)+ (6) + (5)
= αnd0 +
−dnα0 −∑
1≤ j≤n−1
d jhn− jd0 + dnd0h0
− ∑0≤ j≤n−1
h jdn− jd0
=
αn −∑
0≤i≤n−1
hidn−i −∑
1≤i≤n
dihn−i
d0
135
ここで, (4)+ (6)は次のように計算できる.
∑1≤i≤n−1
∑1≤ j≤i
d jhi− jdn−i +∑
1≤i≤n
∑1≤ j≤i
d jdi− jhn−i
=∑
1≤i≤n−1
∑1≤ j≤i
d jhi− jdn−i + d jdi− jhn−i
+ ∑1≤ j≤n
d jdn− jh0
=∑
1≤ j≤n−1
d j
∑j≤i≤n−1
hi− jdn−i + di− jhn−i
+ ∑1≤ j≤n
d jdn− jh0
=∑
1≤ j≤n−1
d j
(αn− j − hn− jd0 − dn− jh0
)+
∑1≤ j≤n
d jdn− jh0
=∑
1≤ j≤n−1
d jαn− j −∑
1≤ j≤n−1
d jhn− jd0 + dnd0h0
したがって, Lemma B.1.6より, hnが存在して, αn =∑
0≤i≤ndihn−i + hidn−i となる.
Lemma B.1.9, B.1.10より, functor t : C−(add-P•) → K−(proj-A) が得られる. さらに, t
は mapping coneを mapping coneにうつすから, functor t : K−(add-P•) → K−(proj-A) を
得る.
B.2 Proof
まずは, tilting complexと Rickardの定理の復習をしよう.
Def B.2.1 P• ∈ K(mod-A)が tilting complexであるとは,次を満たすときにいう.
(0) P• ∈ Kb(proj-A)
(1) HomKb(proj-A)(P•,P•[n]) = 0 (n , 0)
(2) add-P• は Kb(proj-A)を triangulated categoryとして生成する.
Thm B.2.2 次は同値である.
(1) Aと Bは derived equivalentである.
(2) Kb(proj-A) ' Kb(proj-B) (as triangulated category)
(3) tilting complexP• ∈ Kb(proj-A)が存在して, B ' EndKb(proj-A)(P•)となる.
136
B.2.1 (1) =⇒ (2)
次のことを示せばよい.
Prop B.2.3 X• ∈ K−,b(proj-A) とする. このとき, X• ∈ Kb(proj-A) であることと任意の
Y• ∈ K−,b(proj-A) に対して, HomK−,b(proj-A)(X•,Y•[i]) = 0 (i 0) であることは同値で
ある.
proof. X• ∈ K−,b(proj-A)とする.任意のY• ∈ K−,b(proj-A)に対して, HomK−,b(proj-A)(X•,Y•[i]) =
0 (i 0)と仮定する. このとき, i 0に対して, KerdiX• が proj.になることを示せばよい.
Y• := KerdiX• とおくと,
X• :
· · ·di−2
X• // Xi−1di−1
X• //
di−1X•
Xidi
X• // · · ·
Y•[−i + 1] : 0 // KerdiX•
// 0
はHomK−,b(proj-A)(X•,Y•[−i+1])に属すから, 0に homotopicである.したがって, KerdiX• →
Xi は split mono.である. よって, KerdiX• は proj.である. 逆は明らか.
B.2.2 (2) =⇒ (3)
G : Kb(proj-B)'→ Kb(proj-A)とする.このとき, P• := G(B)とおき, P• が tilting complex
であることを示す. tilting complexの定義 (0)は明らかだから, (1)(2)を示す.
(1) n , 0に対して, HomKb(proj-A)(P•,P•[n]) = HomKb(proj-B)(B, B[n]) = 0
(2) add-Bは Kb(proj-B)を triangulated cat.として生成するから,明らか.
さらに, B ' EndB(B) ' EndKb(proj-B)(B) ' EndKb(proj-A)(P•)であることがわかる.
B.2.3 (3) =⇒ (1)
P• ∈ Kb(proj-A) を n , 0で HomKb(proj-A)(P•,P•[n]) = 0を満たす complexとし, B :=
EndKb(proj-A)(P•)とする. ここで, P• ∈ Kb(proj-A)より, Bは finite dimensionalである.
先に述べたように, functor : K−(add-P•) → K−(proj-A) が作れたが, さらに,
HomKb(proj-A)(P•,−) : add-P• → proj-B は equivalenceを導く. ここでも同様に,
Q• ∈ Kb(proj-A)に対して, HomKb(proj-A)(P•,Q•)は finite dimensionalである.
そこで, F : K−(proj-B) ' K−(add-P•) → K−(proj-A) とする. ここで, F|Kb(proj-B) は fully
137
faithfulである (Cor 2.2.10と同様に確認できる).
まずは, F が fully faithful であることを確かめよう.
Def B.2.4 X• ∈ K−(mod-A)に対して, X•(n)を次のような complexとする.
0→ X−n→ X−n+1→ · · · → 0
Prop B.2.5 F は fully faithful である.
proof. X• •, Y• • ∈ K−(add-P•) とする. (full) f • : t(X• •) → t(Y• •) ∈ K−(proj-A) とする
と, f は Xi, j → Yi−m, j+m の homomorphismと見れる. そこで, m ∈ Z に対して, fm を
X → Y の degree (−m, m) の morphismとすると, f • の可換性から,∑i≤n
fidn−i =∑0≤i
di fn−i
となる. P• ∈ Kb(proj-A) より, fi = 0 (i < m) としてよい. このとき, fmd0 = d0 fm より,
fm ∈ HomKb(proj-A)(X• j ,Y• j+m[−m]) となるから, m< 0に対して, fmは 0に homotopicであ
る.これは, Fが full であることを示している. (faithful) X• ∈ K−(proj-B)を X• •と対応する
complexとし, F(X•) = 0とする. また, Xi = 0 (i > 0)としてよい. F|Kb(proj-B) が fully faith-
ful, F(X•(0)) ∈ add-P• ⊆ Kb(proj-A) より, j 0に対して, HomKb(proj-B)(X•(0),X•( j)) 'HomKb(proj-A)(F(X•(0)), F(X•( j))) ' HomK−(proj-A)(F(X•(0)), F(X•)) = 0より, X−1 → X0 は
split epi.になる. したがって, inductionより, X• = 0となるから, F が faithfulであること
を得る.
次に, F の right adjoint functorGを作る.
X• ∈ K−(proj-A)とする. P• ∈ Kb(proj-A)より, N ≥ 0が存在して, HomK−(proj-A)(P•,X•[n]) =
0 (n > N) となる. X•N := X•[N] とおく. P(HomK−(proj-A)(P•,X•N)
)∈ proj-B に対して,
S•N ∈ add-P• が存在して, P(HomK−(proj-A)(P•,X•N)
)' HomK−(proj-A)(P•,S•N) となる. こ
のとき, HomK−(proj-A)(P•,X•N) ' HomK−(proj-A)(P•,X•N(i)) (i 0) であることに注意して,
HomK−(proj-A)(P•,S•N) HomK−(proj-A)(P•,X•N) となる morphismS•N → X•N が存在する.
このとき, triangle :X•N−1 → S•N → X•N → X•N−1[1] とおく. これを繰り返して, i ≤ Nに対
138
して, S• i が定義できる. そこで,
X•i
!!DDD
DDDD
D
S• • : · · · // S• i−1 δ //
""EEE
EEEE
E
S• iδ
//
>>
S• i+1 // · · ·
X•i−1
==
とおくと, triangleの性質により, δ2 = 0 in K−(proj-A)となるから, S• • ∈ K−(add-P•)とな
る. この S• • ∈ K−(add-P•)を X• ∈ K−(proj-A)の P•-resolusionという.
このとき, X• ∈ K−(proj-A) に対して, その P•-resolusionS• • ∈ K−(add-P•) (よって,
K−(proj-B))と対応させたいわけだが,その対応が functor,さらに, F の right adjointになっ
ていることを示す.
Lemma B.2.6 X• ∈ K−(proj-A), i ≤ N, n > 0に対して,
HomK−(proj-A)(P•,X•i [n]) = 0
proof. N = 0としてよい. i ≤ 0とする. (induction oni) i = 0のときは明らか. n > 0に対
して, triangle :X•i−1[n] → S• i [n] → X•i [n] → X•i−1[n+ 1]に HomK−(proj-A)(P•,−)を applyし
て, exact :
HomK−(proj-A)(P•,X•i [n− 1]) // HomK−(proj-A)(P•,X•i−1[n]) // HomK−(proj-A)(P•,S• i [n])
を得る. よって, inductionの仮定より, n > 1のときは主張を満たす. n = 1のときは, epi :
HomK−(proj-A)(P•,S• i) HomK−(proj-A)(P•,X•i ) と HomK−(proj-A)(P•,S• i [1]) = 0であること
からわかる.
Lemma B.2.7 X• ∈ K−(proj-A), X• の P•-resolusionを S• • ∈ K−(add-P•)とおき, S• • の
K−(add-P•) ' K−(proj-B)での対応を S• ∈ K−(proj-B)とする. このとき, Q• ∈ K−(proj-B)
に対して, F(S•)→ X•が存在して, HomK−(proj-A)(F(Q•), F(S•)) ' HomK−(proj-A))(F(Q•),X•)
を満たす.
proof. X• ∈ K−(proj-A), HomK−(proj-A)(P•,X•[n]) = 0 (n > 0)としてよい. よって, S•n = 0
139
(n > 0)である. また, n ≥ 0に対して,次の triangleを得る.
X•−n−1// S•−n // X•−n
// X•−n−1[1]
S•−n[n− 1] // S• •(n− 1) // S• •(n) // S•−n[n]
まず,次のことを示す.
Claim : n > 0に対して,
triangle : X•−n[n− 1] //
F(S• •(n− 1)) //
X• // X•−n[n]
F(S•−n[n− 1])
ggPPPPPPPPPPPP
66mmmmmmmmmmmmmF(S• •(n− 2))
hhPPPPPPPPPPPP
99sssssssssss
(induction on n) n = 1 のとき, X•−1 の作り方から, triangle : X•−1 → S•0 →X•0 → X•−1[1] を得る. そこで, n ≤ m に対して主張を満たすと仮定する.
F(S•−m[m− 1]) //
X•−m[m− 1]
F(S•−m[m− 1]) // F(S• •(m− 1))
に対して, (TR4) より, commutative diagram
(∗)
F(S•−m[m− 1]) // X•−m[m− 1] //
X•−m−1[m] //
(∗1)
F(S•−m[m])
F(S•−m[m− 1]) //
F(S• •(m− 1)) // F(S• •(m)) u//
F(S•−m[m])
X•−m[m− 1] //
F(S• •(m− 1)) //
(∗2)
X• // X•−m[m]
X•−m−1[m] // F(S• •(m)) // X• // X•−m−1[m+ 1]
をもつ. したがって, triangle : X•−m−1[m] → F(S• •(m)) → X• → X•−m−1[m + 1] を得
る. また, (∗2) により, Claimの 2 つ目の可換性を得る. そこで, Claimの 1 つ目の
可換性を考える. commutative diagram (∗) の 2 行目の triangle : F(S•−m[m − 1]) →F(S• •(m− 1)) → F(S• •(m))
u→ F(S•−m[m]) に HomK−(proj-A)(F(S•−m−1[m]),−) を applay
して, HomK−(proj-A)(F(S•−m−1[m]), F(S• •(m− 1))) = 0より,
mono : HomK−(proj-A)(F(S•−m−1[m]), F(S• •(m)))
u−// HomK−(proj-A)(F(S•−m−1[m]), F(S•−m[m]))
140
であることがわかる. さらに,
F(S•−m−1[m]) //
δ
22F(S• •(m)) u // F(S•−m[m])
に対して, S• • の differentialの作り方から, commutative diagram
F(S•−m−1[m]) //
''OOOOOOOOOOOF(S• •(m)) u //
F(S•−m[m])
X•−m−1[m]
77ppppppppppp
をもち, (∗1)より, F(S•−m−1[m]) から F(S•−m[m]) への uを通る 2つの道
F(S•−m−1[m]) //
''OOOOOOOOOOOF(S• •(m)) u // F(S•−m[m])
X•−m−1[m]
OO
は等しい. したがって,上の mono性より, commutative diagram
F(S•−m−1[m]) //
''NNNNNNNNNNN
F(S• •(m))
X•−m−1[m]
88qqqqqqqqqq
を得る.
よって, (F(S• •) を F(S• •(n)) の homotopy colimitと思って) morphism f • : F(S• •) →X• を得る. そこで, Z• := C( f •) とおく. triangle : X•−n−1[n] → F(S• •(n)) → X• →X•−n−1[n + 1] に HomK−(proj-A)(P•[p],−) を applyして, Lemma B.2.6より, n > p に対し
て, HomK−(proj-A)(P•[p], F(S• •(n))) ' HomK−(proj-A)(P•[p],X•) であることがわかる. し
たがって, (F(S• •) を F(S• •(n)) の homotopy colimitと思って) 任意の p に対して,
HomK−(proj-A)(P•[p],Z•) = 0 となる. これは, add-P• により生成される triangulated cat.
に属する objectに対して, HomK−(proj-A)(−,Z•) = 0となることを意味している. よって,
Q• ∈ K−(proj-B) に対して, F(Q•(n)) は add-P• により生成される triangulated cat.に属す
るから, HomK−(proj-A)(F(Q•(n)),Z•) = 0となる. ゆえに, (F(Q•) を F(Q•(n)) の homotopy
colimit と思って) HomK−(proj-A)(F(Q•),Z•) = 0となるから, HomK−(proj-A)(F(Q•), F(S•)) 'HomK−(proj-A)(F(Q•),X•)を得る.
141
そこで, X• ∈ K−(proj-A) に対して, X• の P•-resolusionを対応させることで G :
K−(proj-A) → K−(proj-B) を作る. Lemma B.2.7より, G が functorであることと F の
right adjointであることを次のように確かめることができる.
Prop B.2.8 F は right adjoint functorGをもつ.
proof. X• ∈ K−(proj-A)に対して, G(X•) := (P•-resolusion ofX•)とする. (well-defindedで
あること) X• ∈ K−(proj-A)に対して,その P•-resolusionを S• •, T• • とおく. Lemma B.2.7
より, f • : F(S• •)→ X•, g• : F(T• •)→ X• が存在して,
HomK−(proj-A)(F(T• •), F(S• •)) 'f •−
//
∈
HomK−(proj-A)(F(T• •),X•)
∈
α• oo // g• = f •α•
HomK−(proj-A)(F(S• •), F(T• •)) 'g•−
//
∈
HomK−(proj-A)(F(S• •),X•)
∈β• oo // f • = g•β•
をもつ. よって, g• = f •α• = g•β•α• より, g•(β•α• − 1F(T• •)) = 0となる. したがって, g• −の mono性より, β•α• = 1F(T• •) であることがわかる. 同様に, α•β• = 1F(S• •) であることが
わかる. ゆえに, F は fully faithful だから, S• • ' T• • であることを得る. (morphismの対
応) Lemma B.2.7と F が fully faithful であることから, Q• ∈ K−(proj-B)に対して,
ϕ : HomK−(proj-A)(F(Q•),X•) ' // HomK−(proj-A)(F(Q•), FG(X•)) ' // HomK−(proj-B)(Q•,G(X•))
を得る. 特に, Q• = G(X•)のとき, 1G(X•) に対して, ηX• : FG(X•) → X•, ϕ(ηX• ) = 1G(X•) が
存在する. このとき, u• : X• → Y• ∈ K−(proj-A)に対して,
ϕ : HomK−(proj-A)(FG(X•),Y•) ' //
∈
HomK−(proj-B)(G(X•),G(Y•))
∈
u•ηX• // G(u•)
で G(u•) を定める. (G が functorであること) additiveであることは明らか. また, ϕ が
naturalであることから G(v•u•) = G(v•)G(u•), ηの取り方からG(1) = 1であることがわか
る. (adjointであること) Lemma B.2.7と F が fully faithful であることからしたがう. (G
が exactであること) F が exactでGはその right adjointより.
ここまでのことをまとめておく.
142
Prop B.2.9 P• ∈ Kb(proj-A), HomKb(proj-A)(P•,P•[n]) = 0 (n , 0) とし, B :=
EndKb(proj-A)(P•)とおく. このとき, fully faithful exact functorF : K−(proj-B)→ K−(proj-A)
が存在して, F は right adjoint exact functorGをもつ.
また, F は equivalence HomK−(proj-B)(P•,−) : add-P• → proj-Bの quasi-inverseの拡張, G
は P•-resolusionにより与えられた.
そこで, F が equivalenceであることを示す.
Prop B.2.10 add-P• が Kb(proj-A) を triangulated categoryとして生成するならば, F は
equivalenceである.
proof. F が fully faithful であることは示した. よって, object間の全射が示せればよい.
また, right adjoint functorGが存在するから, δ : FG → 1K−(proj-A) を counitとする. X• ∈
K−(proj-A), triangleFG(X•)δX•→ X• → Y• → FG(X•)[1] に対して, exact functorGを apply
して, triangle :GFG(X•)G(δX• )→ G(X•) → G(Y•) → GFG(X•)[1] を得る. このとき, G(δX• )
は iso.だから, G(Y•) = 0となる.したがって,任意の nに対して, HomK−(proj-A)(P•,Y•[n]) 'HomK−(proj-A)(F(B),Y•) ' HomK−(proj-B)(B,G(Y•)) = 0となるから, triangulated categoryと
して, add-P• で生成される objectQ• に対して, HomK−(proj-A)(Q•,Y•) = 0となる. しかし,
仮定より, Aは add-P• で生成されるから, Y• = 0である. よって, X• ' F(G(X•))であるこ
とがわかる.
最後に, F|K−,b(proj-B) : K−,b(proj-B)→ K−,b(proj-A)であることを示す. それは次のことが
示せればよい.
Prop B.2.11 X• ∈ K−(proj-A) とする. このとき, X• ∈ K−,b(proj-A) であることと任意の
Y• ∈ K−(proj-A)に対して, HomK−,b(proj-A)(Y•,X•[n]) = 0 (n 0)となることは同値である.
proof. X• ∈ K−(proj-A) が任意の Y• ∈ K−(proj-A) に対して, HomK−(proj-A)(Y•,X•[n]) = 0
(n 0)とする. 特に, Y• = Aとすると, Aは proj.より,
0 = HomK−(proj-A)(A,X•[n])
' Hn(Hom•(A,X•))
' Hn(HomA(A,X•))
' Hn(X•)
となるから, X• ∈ K−,b(proj-A)であることがわかる. 逆は明らか.
143
B.3 Two-sided tilting complex
ここで, derived equivalenceを与える functorが left derived functor− ⊗LA M•Bになってい
ることを解説する.
A と B は derived equivalentとし, P• ∈ Kb(proj-A) は tilting complex with
B ' EndKb(proj-A)(P•), Q• ∈ Kb(proj-B) は tilting complex with A ' EndKb(proj-B)(Q•)
とする. つまり,
Db(mod-A) '
∈
Db(mod-B)
∈
P• oo // BB
AAoo // Q•
このとき, AA⊗k P•A ∈ Kb(A-proj-A)は tilting complex withAop⊗k B ' EndKb(A-proj-A)(A⊗k
P•)となっている. よって,
equivalent (∗) : Db(A-mod-A) ' Db(A-mod-B)
であることがわかる. つまり, Aop ⊗k Aと Aop ⊗k Bは derived equivalentである. そこで,
equivalence (∗)による AAAの対応として, AM•B ∈ Db(A-proj-B)をとる.
equivalent(∗) : Db(A-mod-A) '
∈
Db(A-mod-B)
∈
AAAoo // AM•B
このとき, M•B ' Q•B in Db(mod-B), AM• ' ARHom•(P•A, AAA) in Db(A-mod)となっている.
よって, Q•Bからの functor : Db(mod-A)→ Db(mod-B)の構成
K−(proj-A) // K−(proj-B)
K−,b(proj-A) //
OO
K−,b(proj-B)
OO
proj-A
OO
add-Q•BHomK−(proj-B)(Q•,−)A
' HomK−(proj-B)(M•,−)A
'oo
OO
144
より, − ⊗LA M•B : Db(mod-A)→ Db(mod-B)で与えられることがわかる.
Remark B.3.1 上のように,片側の tilting complexQ•Bを両側の complexに取れ直せたこ
とが重要であるが,ここでは体 k上で考えているため,すべての k-moduleは projectiveに
なることからこれらのことが従う. しかし,一般に, commutative ring上の algebraに対し
てはこのようなことが成り立つかはわかっていない. 今の場合のように, − ⊗LA M•B で与え
られる derived equivalenceを standard derived equivalenceという. non-standardな derived
equivalenceの例は知られていない.
Def B.3.2 上で与えられた complexAM•Bを two-sided tilting complexという.
付録C Example 2.2.49の derived equivalenceについて
Example 2.2.49でみたように, Example 2.1.9 (2)と (3) (それぞれ A, Bとおく)は derived
equivalentである. ここではその derived equivalenceでの simple moduleの対応を与える.
Db(mod-A)' //
∈
Db(mod-B)
∈
1 oo //[
21
]2 oo // 1[1]
(1) 1Aについて.
HomKb(mod-A)(P•,1[n]) = 0 (n , 0) より, 1A ∈ Db(mod-A) は HomKb(mod-A)(P•,1)B ∈Db(mod-B) に対応する. A での triangle : Ω(1) → P(1) → 1 → Ω(1)[1] に
HomKb(mod-A)(P•,−) を applyして, B での exact : 0→ HomKb(mod-A)(P•,Ω(1)) →HomKb(mod-A)(P•,P(1)) → HomKb(mod-A)(P•,1) → 0 を得る. P(1) | P• より,
HomKb(mod-A)(P•,P(1)) ' P(2)Bであり,さらに,Ω(1)A ' 1Aより, HomKb(mod-A)(P•,1)B ' 21
であることがわかる.
(2) 2Aについて.
HomKb(mod-A)(P•,2[n]) = 0 (n , −1)より, 2[−1]A ∈ Db(mod-A)はHomDb(mod-B)(P•,2[−1])B ∈Db(mod-B) に対応する. YB := HomDb(mod-B)(P•,2[−1])B とおくと, dimY = 1 だか
ら, YB は simple moduleである. さらに, ZB :=
21
に対して, HomB(Y,Z) '
145
HomDb(mod-B)(Y,Z) ' HomDb(mod-A)(2[−1],1) ' Ext1A(2,1) より, HomB(Y,Z) は 1-dim.
である. したがって, 2[−1]A は 1B に対応することがわかる. よって, 2A は 1[1]B に対
応する.
このことから, 2Bの対応も与えることができる. 2Bの対応を X•Aとおく. Bでの triangle
: 1 → 2
1
→ 2 → 1[1] に対して, derived equivalenceで triangleは triangleにうつる
から, A での triangle : 2[−1] → 1 → X• → 2 を得る. さらに (TR2)より, triangle :
1→ X• → 2→ 1[1]を得るが, triangleの一意性より, X• ' 2
1
A
であることがわかる.
参考文献について
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方法 [5, 16, 7, 8, 9, 3, 12, 17]
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