Historia de la Derivada

Historia de la derivada

El concepto de derivada fue desarrollado por Leibniz y Newton. Leibniz

fue el primero en publicar la teoría, pero parece ser que Newton tenía papeles

escritos (sin publicar) anteriores a Leibniz. Debido a la rivalidad entre Alemania

e Inglaterra, esto produjo grandes disputas entre los científicos proclives a uno

y otro país.

Newton llegó al concepto de derivada estudiando las tangentes y Leibniz

estudiando la velocidad de un móvil.

La derivada es la herramienta más poderosa inventada por el hombre. El

año de su invento se llama annus mirabilis, que fue el año en que Isaac Newton

estableció la Teoría de la Gravitación Universal y el Cálculo Diferencial, y

este "año maravilloso" fue el de 1666. (En rigor trabajó entre 1665 y 1666).

Desde hace 2006 - 1666 = 340 años (suponemos que usted lee estos apuntes

en el año 2006, conforme lo lea en años venideros efectué la resta pertinente)

la herramienta matemática llamada derivada parece inmutable explicando la

gran parte de los fenómenos de la naturaleza.

La derivada como tal, paradójicamente, no existe en la naturaleza, es un

invento del cerebro humano que sirve para explicar el desarrollo dinámico de la

mayoría de los fenómenos naturales. Históricamente la derivada sirvió para el

estudio de la posición dinámica de un objeto a través del tiempo. Esto es si la

posición de un objeto es conocida en cualquier momento entonces podemos

conocer la velocidad de su desplazamiento.

Derivada de una Función Real

LA DERIVADA DE UNA FUNCION REAL

La derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha

función. Es decir, provee una formulación matemática de la noción del

coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o

decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio) respecto del eje

de un plano cartesiano de dos dimensiones.

La derivada es un concepto que tiene muchas aplicaciones. Se aplica en

aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el

cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo

fundamental en los estudios de física, química y biología, o en ciencias sociales

como la economía y la sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica

de dos dimensiones de f, se considera la derivada como la pendiente de la

recta tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de

esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que

determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta

secante en una recta tangente.

Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus

puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se

tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso.

Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las

aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es

susceptible de derivación.

Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola

variable), son aproximables linealmente.

La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta

tangente.

Notaciones para la derivada de una función

Si es una función derivable en un intervalo , , el proceso por

medio del cual se obtiene , da origen a una nueva función que recibe el nombre de función derivada.

El dominio de está formado por todos los números del dominio de

para los que exista .

Por ejemplo, si con entonces está definida

únicamente para .

Si con una función derivable entonces la derivada de f puede denotarse por:

a. que se lee: derivada de f(x) respecto a x.

b. que se lee: derivada de "y" respecto a x.

c. que se lee: "y" prima.

Derivada como Límite

LA DERIVADA COMO UN LIMITE

Definición:

La derivada de una función F, es aquella función que denotada por F´,

cuyo valor es un número cualquiera x del dominio de F, de este modo, queda

constituida de la siguiente manera la derivada como una función:

,

Ejemplos:

Utilizando la definición de derivada de una función, determinar la derivada

de cada una de las funciones cuyas ecuaciones son:

1.

Se debe calcular el

La expresión indica que la función debe evaluarse en .

Así

Luego:

Por tanto, si entonces

2.

En este caso

Luego:

Si entonces

3.

En este caso

Luego:

Si entonces

Continuidad y derivabilidad

Vamos ahora a relacionar la continuidad con la derivabilidad de una

función en un punto , por medio del siguiente teorema.

Teorema

Si una función es derivable en un punto , entonces es continua en .

El recíproco de este teorema no es cierto. Es decir, el hecho de que una

función sea continua en un punto no implica que sea derivable en él.

Antes de estudiar algunos ejemplos, necesitamos conocer las siguientes

definiciones sobre derivadas laterales.

Definición

Si es una función continua definida en , entonces:

1. La derivada por la derecha, que se denota , se define por la igualdad:

, siempre que el límite exista.

2. La derivada por la izquierda, denotada , se define por la igualdad:

, siempre que el límite exista.

Como consecuencia de la definición de derivada, se tiene que existe si y solo si existen las derivadas laterales y ambas son iguales.

Así:

Existe

Ejemplos:

1. Consideremos la función definida por:

Vamos a determinar si es continua en 1 y si existe.

Para lo primero tenemos que:

a. existe pues

b. Como ,y

entonces

Luego es continua en pues

Para lo segundo determinaremos las derivadas laterales.

a.

b.

Como entonces no existe.

Luego, se ha comprobado que aunque es continua en se tiene que no es derivable en .

La representación gráfica de la función es la siguiente:

Note que en la gráfica de tiene un "pico", siendo precisamente en donde no es derivable la función.

2. Sea la función con ecuación:

Determinemos si existe y si es continua en

Calculemos las derivadas laterales

a.

b.

Luego por lo que no es derivable en

Probemos ahora si f es continua en

a. existe pues ;

b. y

Entonces es continua pero no es derivable en .

La representación gráfica de la función es la siguiente:

Note que la gráfica tiene una tangente vertical en (0,0)

El hecho de que no sea derivable en cero, está relacionado con el hecho de que una recta vertical no tiene pendiente.

3. Sea la función con ecuación: Determinemos si esta función es continua y derivable en . Se tiene que

existe pues

Como

y

Entonces existe y además , por lo que es una función continua en .

Estudiemos ahora las derivadas laterales:

a.

b.

Como entonces no existe.

Nuevamente, aunque una función sea continua en un punto esto no garantiza que sea derivable en él.

La representación gráfica de esta función es la siguiente:

Note que nuevamente la recta tangente a la curva en es una línea vertical.

Ejercicios resueltos:

Resuelve las siguientes derivadas aplicando definición

1. ( ) 432

+= xxf

( )( ) ( )

x

xxxLimxf

x ∆

+−+∆+=

→∆

4343'

22

0

( )( )

x

xxxxxLimxf

x ∆

−−+∆+∆+=

→∆

43423'

222

0

( )x

xxxxxLimxf

x ∆

−−+∆+∆+=

→∆

434363'

222

0

( )x

xxxLimxf

x ∆

∆+∆=

→∆

2

0

36'

( )( )

x

xxxLimxf

x ∆

∆+∆=

→∆

36'

0

( ) ( )xxLimxfx

∆+=→∆

36'0

( ) ( )036' += xxf

( ) xxf 6' =

2. ( )x

xf1

=

( )

( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )2

0

0

0

0

0

0

1'

0

1'

1'

..'

'

'

'

11

'

xxf

xxxf

xxxLimxf

xxxx

xLimxf

x

xxx

x

Limxf

x

xxx

xxx

Limxf

x

xxx

xxx

Limxf

x

xxxLimxf

x

x

x

x

x

x

−=

+

−=

∆+

−=

∆+∆

∆−=

∆

∆+

∆−

=

∆

∆+

∆−−

=

∆

∆+

∆+−

=

∆

−∆+=

→∆

→∆

→∆

→∆

→∆

→∆

3. ( ) xxxf +=2

( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )

( )( )

( )( )

( )xx

xxxxf

xx

xx

xx

xxf

xxxx

xxf

xxxx

xxf

xxxxxxx

xxxLimxf

xxxxxxx

xxxxLimxf

xxxxxxx

xxxxxxxxLimxf

xxxxxxx

xxxxxxLimxf

xxxxxxx

xxxxxxLimxf

xxxxxxx

xxxxxxxxxxxxLimxf

x

xxxxxxLimxf

x

x

x

x

x

x

x

+

++=

+

+

+

+=

+++

+=

+++++

++=

++∆++∆+∆

+∆+∆=

++∆++∆+∆

∆+∆+∆=

++∆++∆+∆

−−∆++∆+∆+=

++∆++∆+∆

+−∆++∆+=

++∆++∆+∆

+−∆++∆+=

++∆++∆+∆

++∆++∆++−∆++∆+=

∆

+−∆++∆+=

→∆

→∆

→∆

→∆

→∆

→∆

→∆

2

2

2

2

2

22

22

220

22

2

0

22

222

0

22

22

0

22

22

22

0

22

2222

0

22

0

2

.12'

.2

12'

12'

00

102'

.

12'

.

2'

.

2'

.

'

.

'

.

.'

'

Teoremas de Derivación

TEOREMAS DE DERIVACION

Hallar la derivada de una función aplicando la definición de derivada es

un proceso largo y la mayoría de las veces bastante tedioso. Afortunadamente

existen varias propiedades en la derivación de funciones que los matemáticos

han descubierto y establecido como teoremas. Algunos de estos teoremas son

generales, aplicables a cualquier función, y otros sólo se aplican a funciones

particulares. A continuación se enuncian algunos de los teoremas más

importantes (se nombran enumerándolos consecutivamente para facilitar una

futura referencia a ellos):

Nota: se supone, obviamente, que las funciones a las que hacen referencia los

teoremas son diferenciables, esto es, que tienen derivada.

El proceso que hemos utilizado hasta ahora para determinar la derivada

de una función, se denomina derivación; correspondiente a la definición de

derivada.

Es necesario para resolver problemas donde interviene la derivada, tener un

método que nos permita resolverlas rápidamente, corresponden a los

teoremas, los cuales se aplican para derivar un gran número de funciones sin

tener que recurrir a la definición de derivada. Veamos estos teoremas:

Teorema 1: Derivada de una función constante.

La derivada de una constante es igual a cero.

Simbólicamente: f(x) = k ⇒ f’(x) = 0 ; k es constante.

Ejemplos:

Si f(x) = 7 ⇒ f’(x)= 0

Si f(x) = √2 ⇒ f’(x)= 0

Si f(x) = -1/3 ⇒ f’(x)= 0

Teorema 2: Derivada de la función identidad.

La derivada de una función identidad es igual a uno.

Simbólicamente: Si f(x) = x ⇒ f’(x) = 1

Ejemplos

Si f(x) = x ⇒ f’(x) = 1

Si f(a) = a ⇒ f’(a) = 1

Si f(y) = y ⇒ f’(y) = 1

Teorema 3: Derivada de la función potencia.

La derivada de una función potencia, es igual a la potencia multiplicada por la

base elevada al exponente menos uno.

Simbólicamente: Si f(x) = xⁿ ⇒ f’(x) = nxⁿ¯�

Ejemplos

Si f(x) = x³ ⇒ f’(x) = 3x³¯¹ ⇒ aplicando el teorema 3 ⇒ f’(x) = 3x² ⇒ solución

Si f(x) = x¾ ⇒⇒⇒⇒ f’(x) = 3/4x¾¯¹ ⇒ aplicando el teorema ⇒ f’(x) = 3/4x¯¼ ⇒ solución

Si f(x) = √x ⇒ f(x) = x½ ⇒ Transformando la raíz en exponente fraccionario ⇒ f’(x) = ½ x½¯¹ ⇒ aplicando el teorema ⇒ f’(x) = ½x¯½ ⇒ solución

Teorema 4: Derivada de una Constante por una Función.

La derivada de una constante por una función es igual al producto de la

constante por la derivada de la función.

Simbólicamente: Si Q(x) = cf(x) ⇒ Q’(x) = cf’(x)

Ejemplos

Si Q(x) = 5x donde c=5 y f(x) = x Entonces

Q’(x) = 5x’

Q’(x) = 5(1) x1-1 ⇒ Teorema de la función potencia

Q’(x) = 5x0 ⇒ Resolviendo la resta y el producto

Q’(x) = 5(1) ⇒ Aplicando la propiedad de potencia

Q’(x) = 5 ⇒ Resolviendo el producto ∴ Q’(x) = 5 ⇒ Solución

Si Q(x) = 2/x² , x ≠ 0 donde c = 2 y f(x) = x¯²

En primer lugar subimos el denominador cambiando su signo respectivo;

como se muestra:

Q(x) = 2x¯² ⇒ Ahora

Q’(x) = 2(x¯²)’

Q’(x) = (-2)(2)x¯²¯¹ ⇒ Teorema función potencia

Q’(x) = -4x¯³ ⇒ Resolviendo la resta y el producto ∴ Q’(x) = -4x¯³ ⇒ Solución

Teorema 5: Derivada de una suma algebraica de funciones.

La derivada de una suma algebraica es igual a la suma algebraica de las

derivadas.

Simbólicamente: P(x) = f(x) + g(x) ⇒ P’(x) = f’(x) + g’(x)

Ejemplos

Si P(x) = x2+2x Donde: f(x) = x2 y g(x) = 2x

Entonces:

P’(x) = (x²+2x)’

P’(x) = (x²)’+(2x)’ → Aplicando el teorema de la suma

P’(x) = 2x²¯¹+(1) (2)x¹¯¹ → Aplicando el teorema de la potencia y el teorema de

la constante por una función.

P’(x) = 2x+2 → Aplicando las operaciones ∴ Se tiene: P’(x) = 2x+2 → Solución

Teorema 6: Derivada del producto de funciones.

La derivada del producto de dos funciones es igual a la primera por la derivada

de la segunda, más la segunda por la derivada de la primera.

Simbólicamente: P(x) = f(x) . g(x) ⇒ P’(x) = f(x) . g’(x) + g(x) . f’(x)

Ejemplos

Hallar la derivada de P(x) = (3x-2x²) (5+4x)

Entonces:

p’(x) = (3x-2x²) (5+4x)’+ (5+4x) (3x-2x²)’ → Aplicando el teorema 6

p’(x) = (3x-2x²)4 + (5+4x) (3-4x) → Aplicando los teoremas de una función

constante y de una función potencia.

P’(x) = 12x-8x² + 15-20x+12x-16x² → Efectuando los productos

P’(x) = 4x-24x² + 15 → Efectuando las operaciones ∴∴∴∴ P’(x) = -24x² + 4x + 15 → Solución

Hallar la derivada de P(x) = 5x¯² (x+3)

Entonces:

P’(x) = 5x¯² (x+3)’+(x+3) (5x¯²)’ → Aplicando el teorema 6

P’(x) = (5x¯²) (1) + (x+3)(-2)(5)x¯³ → Aplicando el teorema de la función potencia

e identidad.

P’(x) = 5x¯² + (x+3)(-10x¯³) → Efectuando las operaciones indicadas

P’(x) = 5x¯² -10x-2 - 30x¯³ → Efectuando el producto respectivo ∴ P’(x) = - 30x¯³ - 5x¯²→ Solución

Teorema 7: Derivada del cociente entre dos funciones.

La derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador por la

derivada del numerador, menos el numerador por la derivada del denominador,

dividido por el denominador al cuadrado.

Simbólicamente:

Ejemplos:

1.

con

2.

con

3.

con

Teorema 8: Derivada de la función seno

Si f(x) = Sen x, entonces f’(x) = Cos x

Ejemplos

Sea f(x) = 3Sen x, hallar f’(x)

f’(x) = 3(Sen x)’ → Aplicando el teorema

f’(x) = 3Cos x → Solución

Sea f(x) = 5x+Senx, Hallar f’(x)

f’(x) = (5x)’+(Senx)’→ Teorema de una suma algebraica de funciones

f’(x) = 5+Cos x → Solución

f’(x) = Cos x + 5

f(x) = 4x2 Sen x. Hallar f’(x). f’(x) = 4x2 (Sen x)’ + Sen x (4x2)’ → Teorema del producto

f’(x) = 4x2 Cos x + 8xSen x → Solución

Teorema 9: Derivada de la función coseno

Si f(x) = Cos x entonces f’(x) = -Sen x

Ejemplos Sea f(x) = 2 Cos (2x). Hallar f’(x) f’(x) = 2(Cos 2x)’ → Aplicando el teorema

f’(x) = 2(-Sen 2x) (2x)’ → Regla de la cadena

f’(x) = -4Sen 2x → Derivada de una constante por una función.

f’(x) = -4Sen 2x → Solución

Sea f(x) = Cos 3x. Hallar f’(x)

f’(x) = (Cos 3x)’ → Aplicando el teorema

f’(x) = -Sen 3x (3x)’ → Regla de la cadena

f’(x) = -3Sen 3x → Derivada de una constante por

una función.

f’(x) = -3Sen 3x → Solución

Teorema 10. Derivada de la función tangente

Si f(x) = tg x entonces f’(x) = Sec² x

Ejemplos

Sea f(x) = Sen(tgx). Hallar f’(x)

Entonces

f’(x) = Cos(tgx) (tgx)’ → Aplicando teorema del seno y regla de la cadena

f’(x) = Cos(tgx) (Sec²x) →Aplicando el teorema de la derivada de la función

tangente.

f’(x) = Cos (tgx) (Sec² x) →Solución

Sea f(x) = 3tg4x. Hallar f’(x).

Entonces:

f’(x) = (3tg4x)’ → Aplicando el teorema de la función tangente

f’(x) = 3 Sec² 4x (4x)’ → Aplicando regla de la cadena

f’(x) = 3 Sec² 4x (4) → Aplicando teorema de la derivada de una constante por

una función

f’(x) = 12 Sec² 4x → Solución

Teorema 11. Derivada de la función Secante

Si f(x) = Sec x entonces f’(x) = Secx tgx

Ejemplos

Sea f(x) = Sec 5x. Hallar f’(x)

Solución:

f’(x) = 5tg5x Sec5x → Aplicando directamente el teorema

f’(x) = 5tg5x Sec5x → Solución

Sea f(x) = (1+Secx )³. Hallar f’(x)

Entonces:

f’(x) = [(1+Secx)³]’

f’(x) = 3(1+Secx)² (1+Secx)’ → Aplicando regla de la cadena y derivada de la

función potencia

f’(x) = 3(1+Secx)² [(1)’+(Secx)’] → Derivada de una suma algebraica de

funciones

f’(x) = 3(1+Secx)² [0+Secx tgx] → Derivada de una constante y de la secante

f’(x) = 3(1+Secx)² (Secx tgx) → Solución

Teorema 12. Derivada de la función Cosecante

Si f(x) = cscx entonces f’(x) = -cscx cotx

Ejemplos:

Sea f(x) = csc(2x)tgx. Hallar f’(x)

Solución:

f’(x) = csc(2x)(tgx)’ + tgx [csc2x]’ → Derivada del producto

f’(x) = csc 2x Sec² x + tgx [-csc 2x cot 2x](2x)’ → Derivada de la función

tangente y cosecante

f’(x) = csc 2x Sec² x + 2tgx [-csc 2x cot 2x] → Derivada de una constante por

una función

f’(x) = csc 2x Sec² x - 2tgx csc 2x cot 2x → Solución

Sea f(x) = csc² 5x + Senx. Hallar f’(x)

f’(x) = (csc²5x)’ + (Sen x)’ → Derivada de una suma algebraica de funciones

f’(x) = 2csc 5x (5x)’ + Cos x → Derivada de una función potencia, seno y

regla de la cadena.

f’(x) = 10 csc 5x + Cos x → Derivada de una constante por una función

f’(x) = 10 csc 5x + Cos x → Solución

Teorema 13. Derivada de la función cotangente

Si f(x) = Cot x entonces f’(x) = -csc2 x

Ejemplos:

Sea f(x) = 3 csc x – 5 cot x. Hallar f’(x)

f’(x) = 3(csc x)’ - 5(cot x)’ → Derivada de una suma algebraica de funciones

f’(x) = 3(-csc x cot x) - 5(-csc²x) → Derivada de la función cosecante y

cotangente

f’(x) = -3 csc x cot x - 5 csc² x → Solución

Ejercicios resueltos de los Teoremas de derivación Resuelve las siguientes derivadas

1. ( ) 645324

+−−= xxxxf

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 41013'

6453'

3

'''2'4

−−=

+−−=

xxxf

xxxxf

2. ( ) ( )( )45.423

−−= xxxxf

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( )

( )

( ) xxxxxf

xxxxxxxf

xxxxxxxf

xxxxxxxf

32128025'

401032401215'

10.445.83'

45.445.4'

234

34324

2322

'2232'23

+−−=

−++−−=

−+−−=

−−+−−=

3. ( ) xxxxf 376213 4

+−−=−

( )

( )

( )

( ) 37

63

4'

3763

4'

3763

4'

372'

23

2231

2213

4

1334

++−=

++−=

++−=

+−−=

−

−−

−

xxxxf

xxxxf

xxxxf

xxxxxf

4. ( )65

424

3

−

−=

x

xxxf

( )( )( ) ( ) ( )

( )

( )( )( ) ( )( )

( )

( )( )

( )( )24

46

24

46246

24

33'24

24

3'4'34

65

24366010'

65

804024362030'

65

42.2046.65'

65

42.6542.65'

−

+−+−=

−

+−+−−=

−

−−−−=

−

−−−−−=

x

xxxxf

x

xxxxxxf

x

xxxxxxf

x

xxxxxxxf

Teorema de derivación de funciones trigonométricas

1. ( ) Senxxxf4

3=

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) CosxxSenxxxf

SenxxSenxxxf

43

'4'4

312'

.3.3'

+=

+=

2. ( ) 63

3

743 xCosxxSecxxf +−=

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]

( ) ( )[ ]

( ) 532

532

'

6'3'3'

'

63'

144123'

3

424123'

3

7.4.43'

3

743'

xSenxxxSecxTagxxf

xSenxxCosxxSecxTagxxf

xCosxxCosxxSecxxf

xCosxxSecxxf

Cosx+++=

+−+−=

++−=

+−=

3. ( )Senxx

Tgxxxf

−

+=

3

2

4

5

( )( )( ) ( ) ( )

( )

( )( )( ) ( ) ( )

( )

( )( )

( )( )Senxx

CosxTagxCosxxTagxxxSenxSecxSenxxSecxxxf

Senxx

CosxTagxCosxxTagxxxxSenxSecxSenxxSecxxxf

Senxx

TagxxSenxxxSecxSenxxxf

Senxx

TagxxSenxxtgxxSenxxxf

−

++−−−+−=

−

++−−−−+=

−

+−−+−=

−

+−−+−=

3

222234

3

2242234

3

2'3'23

3

2'3'23

4

51210420'

4

5126010440'

4

5410.4'

4

545.4'